2019-2020学年四川省绵阳市三台中学实验学校高一上学期12月月考数学试题及答案

2019-2020学年四川省绵阳市三台中学实验学校高一上学期12月月考数学试题及答案一、单选题1．已知{}012M =,,{|2}N x x a a M ==∈，，则M N ⋃=（ ） A ．{}0 B ．{}01， C ．{}0,1,2 D ．{}0,1,24，【答案】D【解析】先表示出集合N ,根据集合的并集运算即可得解. 【详解】{}{}|2,0,2,4N x x a a M ==∈={}012M =,,所以{}0,1,24M N ⋃=，故选:D. 【点睛】本题考查了并集的简单运算,属于基础题.2．幂函数()f x 的图象过点(2，则()16=f （ ）AB ．4C ．2D ．14【答案】B【解析】设出幂函数()f x 的解析式,代入点坐标,即可求得()f x 解析式.代入即可求得()16f 的值.【详解】设()α,f x x =()f x的图象过点(()αα=,22∴==,则1f2则()f x=所以()164f=故选:B.【点睛】本题考查了幂函数的解析式求法及求值,属于基础题. 3．已知函数f（x）=1nx-1，则函数的零点所在区间为1x+（）A．()3,42,3D．()1,2C．()0,1B．()【答案】B【解析】利用函数的零点存在性定理计算即可得到答案. 【详解】∵函数f（x）=1nx-1在（0，+∞）上是连续的，x+1且函数f（x）=1nx-1在（0，+∞）上为增函数，x+1故函数f（x）=1nx-1在（0，+∞）上至多有一个零点，1x+＜0，又由f（1）=ln1-12f（2）=ln2-1ln1=0，故函数的零点所在的区间是（1，2），故选：B．【点睛】本题考查函数的零点存在性定理的应用，连续函数f（x）在区间（a，b）上，如果f（a）•f（b）＜0，则函数f（x）在区间（a ，b ）必然存在零点．4．已知a =sin4，b =π0.1，c =0.1π，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】C【解析】首先确定a 、b 、c 的各自的范围，进一步确定它们的大小关系． 【详解】由于a=sin4＜0，b=π0.1＞1，0＜c=0.1π＜1， 故：b ＞c ＞a ， 故选C ． 【点睛】本题考查数的大小比较，一是计算出各个数值所在区间（一般是看三个区间(),0,(0,1),(1,)-∞+∞）；二是利用函数的单调性直接解答；5．如图，在扇形AOB 中半径OA =4，弦长AB =4，则该扇形的面积为（ ）A ．163πB ．83π C ．8π D ．43【答案】B【解析】根据题意求出扇形的圆心角，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】扇形AOB 中，半径OA=4，弦长AB=4， ∴∠AOB=3π， ∴该扇形的面积为： S 扇形=12×3π×42=83π．故选B ． 【点睛】本题考查扇形的面积计算问题，是基础题．6．若3sin 84πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3cos 8πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．34-B ．34C ．4- D ．4【答案】B【解析】根据诱导公式,化简即可得解. 【详解】π3sin 84α⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 则由诱导公式可得3πcos 8α⎛⎫- ⎪⎝⎭ππcos 28α⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π3sin 84α⎛⎫=+= ⎪⎝⎭故选:B. 【点睛】本题考查了诱导公式的简单应用,属于基础题.7．定义在R 上的奇函数()f x 在()0+∞，上单调递增，且()40f =，则不等式()0f x ≥的解集是（）A ．[]44-，B ．[)[)404∞-⋃+，，C ．[][)404∞-⋃+，， D ．[)4+∞，【答案】C【解析】根据函数()f x 在()0+∞，上单调递增,且()40f =,可得在()0+∞，内()0f x ≥的解集;结合奇函数性质,可知()f x 在(),0-∞内()0f x ≥的解集,即可得不等式()0f x ≥的解集.【详解】根据题意,函数()f x 是定义在R 上的奇函数,则()00f =. 由()f x 在()0,∞+上单调递增,且()40f =, 则在()0,4上,()0f x <,在()4,+∞上,()0f x >,又由函数()f x 为奇函数,则在()4,0-上, ()0f x >,在(),4-∞-上,()0f x <,若()0f x ≥,则有40x -≤≤或4x ≥,即()0f x ≥的解集是[][)404∞-⋃+，，. 故选：C. 【点睛】本题考查了奇函数的性质应用,结合奇函数的单调性解决不等式问题,属于基础题.8．已知α满足sinα＞0，tan α＜0，化简表达式cos）A ．12sin cos αα-+B ．1cos α--C ．2sin cos l αα--D ．cos 1α-【解析】直接利用已知条件求出cosα＜0，进一步对函数的关系式进行变换．最后化简求出结果． 【详解】α满足sinα＞0，ta nα＜0，则cosα＜0，cos=cos |sinα-cosα|，=-（1-sinα）-（sinα-cosα）， =cosα-1． 故选D ． 【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变变换，三角函数的符号的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．已知函数()214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线8x π=对称C ．()f x 的图象关于点08π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．()f x 的图象向左平移4π个单位长度后得到一个偶函数图象【解析】根据解析式,结合正弦函数的图像与性质,可依次判断四个选项. 【详解】对于A,()f x 最小正周期为2ππ2=,所以A 错误；对于B,将8x π=代入解析式,可得ππ1182f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,取得函数最大值,所以B 正确；对于C,将8x π=-代入解析式,可得π118f ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭,所以C错误；对于D,()f x 的图象向左平移4π个单位长度,可得()π2121444g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,()g x 不为偶函数,所以D 错误. 综上可知,正确的为B 故选:B. 【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质,函数图像平移变换的应用,属于基础题.10．已知定义在R 上的函数f （x ）对于任意的实数x 都满足f （x +3）=-f （x ），且当x ∈[0，3]时，f （x ）=e x -1+3，则f （1228）=（ ） A ．4- B ．4 C ．33e + D ．12273e +【答案】A【解析】由f （x +3）=-f （x ）推导函数的周期，利用周期和[0，3]的解析式可求f （1228）的值． 【详解】定义在R 上的函数f （x ）对于任意的实数x 都满足f （x+3）=-f （x ），∴f （x+6）=-f （x+3）=f （x ）， 即函数周期为6， 当x ∈[0，3]时，f （x ）=e x-1+3，∴f （1228）=f （204×6+4）=f （4）=-f （1）=-（e 1-1+3）=-4． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数周期的应用，是基础题． 11．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1 B ．10.1 C ．lg10.1 D ．10–10.1【答案】A【解析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算. 12．已知函数()230210x ax a x f x x +-<⎧=⎨-≥⎩，，若存在1212,,x x R x x ∈≠，使()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．203⎛⎫⎪⎝⎭， B ．23∞⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．23⎛⎤-∞ ⎥⎦⎝，D ．](0-∞，【答案】B【解析】先求得当0x ≥时()f x 的值域;0x <时分类讨论a 的取值情况,当存在1212,R,x x x x ∈≠使得()()12f x f x =成立时的值域,即可求得a 的取值范围. 【详解】当0x ≥时,210x -≥,即当0x ≥时,函数()[)0,f x ∈+∞ 当0x <时,若0a =,则()2f x =恒成立,满足条件；若0a >,则()23f x a <-,若存在1212,R,x x x x ∈≠,使()()12f x f x =成立,则230a ->,即20,3a ⎛⎫∈⎪⎝⎭； 若0a <,则()23f x a >-,满足条件；综上可得2,3a ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数的值域问题,存在性成立问题的解法,分类讨论思想的综合应用,属于中档题.二、填空题13．在平面直角坐标系中，已知一个角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()512P -，，则sin 2α=______________.【答案】120169-【解析】根据终边经过的点,可先求得sin ,cos αα,结合正弦二倍角公式即可求解. 【详解】一个角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点()P 5,12,- ∴由三角函数定义可得12sin α,13==-5cos α13== 则由正弦二倍角公式可得120sin2α2sin αcos α169=⋅=-. 故答案为:120169- 【点睛】本题考查了三角函数定义,正弦二倍角公式的用法,属于基础题.14．函数tan lg y x x =+的定义域是______________. 【答案】02π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【解析】根据正切函数的定义域要求,二次根式有意义条件及对数函数定义域要求,即可解不等式组得函数定义域.【详解】函数tan lg y x x = 则满足π,2200x k k Z x x ππ⎧≠+∈⎪⎪-≥⎨⎪>⎪⎩,解不等式组可得π02x <<, 所以定义域为π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为:π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了具体函数定义域的求法,正切函数定义域、二次根式有意义、对数函数定义域的求法,属于基础题. 15．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()()3log 1f x x a =++，则()8f -等于______________.【答案】2-【解析】根据函数()f x 为定义在R 上的奇函数,可知()00f =,代入可求得a 的值,即可得函数()f x 的解析式.由奇函数的性质即可求得()8f -的值.【详解】函数()f x 为R 上的奇函数,()00f a ∴==()()3log 1x x f ∴=+.()()()388log 812f f ∴-=-=-+=-.故答案为:2-【点睛】 本题考查了奇函数的性质及应用,属于基础题.16．已知函数()()())2log 113431x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨⎡∈+∞⎪⎣-⎩，，，，，，则函数()()1g x f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为______________.【答案】4【解析】根据函数零点定义,利用换元法令()t f x =,代入可得[]1f t =.对分段函数分类讨论,即可求得t 的值.画出函数图像,结合函数图像即可判断交点个数,进而判断()g x 零点个数.【详解】函数()()1g x f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点,满足()10f f x ⎡⎤-=⎣⎦,即()1f f x ⎡⎤=⎣⎦ 令()t f x =,则[]1f t =当()1,3t ∈-时,()2log 11t +=,解得121,12t t =-=,当[)3,t ∞∈+时,411t =-,解得35t =, 综上可知()12f x =-,()1f x =或,()5f x = 作出()f x 图象如图所示：当()12f x =-无解,()1f x =有3个解, ()5f x =有1个解, 综上所述,函数()g x 的零点个数为4.故答案为:4【点睛】本题考查了分段函数零点的求法,换元法求函数值,数形结合求函数图像交点个数的应用,属于中档题.三、解答题17．设集合12324x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}|+121B x m x m =≤≤-. （1）当3m =时，求A B ；（2）若不存在元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|45}x x ≤≤（2）{2m m <或}4m >【解析】（1）解指数不等式求得集合A,将3m =代入可得集合B,由集合交集运算即可求得A B . （2）根据题意可知A B =∅.讨论集合B 是否为空集.当集合B 为空集时,解关于m 的不等式可得m 的范围,当集合B 不为空集时,解关于m 的不等式组,即可得m 的范围,综合起来即可得解.【详解】（1）{}1232254x A x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭, 当3m =时{}45B x x =≤≤,∴由交集的运算可得{}{}{}254545A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂≤≤=≤≤.（2）∵{}{}25,121A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-,若不存在元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立,即A B =∅. ∴当B =∅,即121m m +>-,得2m <时,符合题意；当B ≠∅,即121m m +≤-,得2m ≥时,2 15m m ≥⎧⎨+>⎩或2 212m m ≥⎧⎨-<-⎩解得4m >. 综上,所求m 的取值范围是{2m m <或}4m >【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,根据集合的关系求参数的取值范围,注意讨论空集的情况,属于基础题.18．某市每年春节前后,由于大量的烟花炮竹的燃放,空气污染较为严重．该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现,每天空气污染的指数．f （t ），随时刻t （时）变化的规律满足表达式()[]31320248f t lg t a a t ⎛⎫=+-++∈ ⎪⎝⎭，，，其中a 为空气治理调节参数,且a ∈（0，1）．(1)令318x lg t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,求x 的取值范围；(2)若规定每天中f （t ）的最大值作为当天的空气污染指数,要使该市每天的空气污染指数不超过5,试求调节参数a 的取值范围．【答案】(1)[0，1]；(2)30,4⎛⎤⎥⎝⎦. 【解析】(1)题根据t 的取值范围，及复合函数同增的单调性可得x 的取值范围；(2)题根据第(1)题的提示构造一个函数h （x ）=|x -a |+3a +2，然后将绝对值函数转化成分段函数，考虑单调性及最大值的取值，再与5比较，即可得到调节参数a 的取值范围．【详解】(1)由题意,0≤t ≤24，则1≤38t +1≤10,∴0=lg1≤lg （38t +1）≤lg10=1．故x 的取值范围为：[0，1]．(2)由(1),知： 3()lg 1|32||328f t t a x a a α⎛⎫=+-++=-++ ⎪⎝⎭ 可设()||32,[0,1].(0,1)h x x a a x a =-++∈∈则42,0()22,1a x x a h x x a a x -+≤<⎧=⎨-+≤≤⎩． 根据一次函数的单调性,很明显h （x ）在[0，a ）上单调递减,在[a ，1]上单调递增．∴用max ()max{(0),(1)}h x h h =表示函数的最大值是(0),(1)h h 中最大的值.∵max ()5h x ≤，∴()()0515h h ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩,即425235a a +≤⎧⎨+≤⎩,解得0＜a ≤34．∴a 的取值范围为：（0，34]． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性,根据定义域及解析式求值域,构造函数法的应用,绝对值函数转化为分段函数的方法,不等式的计算能力．本题属综合性较强的中档题．19．已知函数()21cos 2sin f x x x x =+-，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若把()f x 向右平移6π个单位得到函数()g x ，求()g x 在区间02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值. 【答案】（1）最小正周期为π（2）单调增区间为36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，，（3）最小值为2-，最大值为1【解析】（1）根据正弦的二倍角公式,余弦降幂公式及辅助角公式化简三角函数式,再根据周期公式即可求得最小正周期.（2）根据正弦函数的图像与性质,即可求得函数()f x 的单调递增区间;（3）先根据三角函数图像平移变换,求得()g x 的解析式.再根据正弦函数的图像与性质,即可求得函数()g x 在区间02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值. 【详解】（1）由二倍角公式及降幂公式,结合辅助角公式化简可得 ()21cos 2sin f x x x x =+-cos2x x =+π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 由2πT π2==,可得()f x 的最小正周期为π. （2）由（1）可知()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 函数()f x 的单调递增区间,由正弦函数的图像与性质可得πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈, 则ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈, 所以函数()f x 的单调增区间为πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （3）若把函数()f x 的图象向右平移π6个单位得到函数()g x 的图象 则()πππg 2sin 22sin 2666x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, π,0,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π7ππ2,,666x ⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦由正弦函数的图像与性质可知()[]πg 2sin 22,16x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭故()g x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-,最大值为1.【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形,降幂公式及辅助角公式的应用,正弦函数的图像与性质的综合应用,三角函数图像平移变换求解析式,属于中档题.20．已知奇函数()251x f x k =-+. （1）求实数k 的值；（2）判断函数()f x 在其定义域上的单调性，并用定义证明；（3）若()()cos sin 20f m f m θθ-+-≤对所有的R θ∈恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1k =（2）函数()f x 是R 上的增函数,证明见解析（3）34m ≥-【解析】（1）根据奇函数性质,可知()00f =,代入即可求得k 的值.（2）利用定义,1212,R,x x x x ∈<,作差()()12f x f x -后,将整式变形后即可判断符号,进而判断函数()f x 的单调性.（3）根据奇函数的性质,结合单调递增,即可将不等式变形为cos sin 2m m θθ+≤+;结合辅助角公式及恒成立问题,解关于m 的不等式组即可求得m 的取值范围.【详解】（1）若()251x f x k =-+为奇函数, 则()010f k =-=,解得1k =.（2）由（1）可知,()2151x f x =-+.则()f x 是R 上的增函数. 证明：任取1212,R,x x x x ∈<,则()()12f x f x -21225151x x =-++ ()()()12122555151x x x x -=++1212,55,x x x x <∴<12550,x x ∴-<且12510,510,x x +>+>()()120f x f x ∴-<即()()12,f x f x <所以函数()f x 是R 上的增函数.（3）若()()cos θsin θ20f m f m -+-≤对所有的R θ∈恒成立, 因为()f x 是奇函数,()()cos θ2sin θf m f m ∴-≤-对所有的R θ∈恒成立.因为()f x 是R 上的增函数,cos θ2sin θm m ∴-≤-对所有的R θ∈恒成立.即cos sin 2m m θθ+≤+对所有的R θ∈恒成立.()θφ2m +≤+因为对所有的R θ∈恒成立.2m ≤+. ()2220 1m 2m m +≥⎧⎪∴⎨+≤+⎪⎩, 解得3m 4≥-. 【点睛】本题考查了奇函数的性质及应用,利用定义证明函数的单调性,奇偶性、奇偶性与不等式的综合应用,辅助角公式化简三角函数式,综合性较强,属于中档题.。