概率论与数理统计 重要公式
概率论与数理统计公式定理全总结
概率论与数理统计公式定理全总结
一、概率论公式：
1.基本概率公式：对于随机试验E，事件A的概率可以表示为P(A)=事件A的样本点数/所有样本点数。
2.条件概率公式：对于事件A和事件B，若P(B)>，则事件A在事件B发生的条件下的概率可以表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
3.全概率公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B有
P(B)=Σ(P(Ai)×P(B，Ai))。
4.贝叶斯公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B，有P(Ai，B)=(P(B，Ai)×P(Ai))/Σ(P(B，Ai)×P(Ai))。
二、数理统计公式：
1.期望：随机变量X的期望E(X)=Σ(Xi×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
2. 方差：随机变量X的方差Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 ×
P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，E(X)为随机变量X的期望，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
3. 协方差：随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))，其中E(X)和E(Y)分别为随机变量X和Y的期望。
4. 相关系数：随机变量X和Y的相关系数ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / √(Var(X) × Var(Y))，其中Cov(X,Y)为随机变量X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别为随机变量X和Y的方差。
概率论与数理统计笔记(重要公式)
AB = A ∪ B
设 A1, A2, …, An 是样本空间 Ω 的一个划分， B 是任意一 个事件，且 p(B)>0，则 P(Ai|B)=
P ( AB ) . P ( A)
P( Ai ) P( B | Ai) P( Ai ) P( B | Ai) = n , i=1,..,n P(B) P( Ak ) P( B | Ak)
k 1
概率的乘法公式： 当 P(A)>0 时，P(AB)= P(A)P(B|A) 当 P(B)>0 时，P(AB)= P(B)P(A|B) 乘法公式还可以推广到 n 个事件的情况：
n 重贝努利(Bernoulli)试验: Pn(k) =
C
k n
pk(1-p)n-k, k=0, 1, 2, …, n.(q=1-p)
i 1
n
P(Ai)P(B|Ai)
当 A1,.A2, … An 互不相容时，(其中 n 为正整数) P(A1∪A2∪…∪An) = P(A1) +P(A2)+…+P(An) (3) P(B-A) = P(B)-P(AB) 特别地，当 A B 时，P(B-A) = P(B)-P(A) ，且 P(A) ≤P(B) (4)P( A )=1-P(A) 古典概型: P(A) =
随机变量的分布函数: 设 X 为随机变量，称函数 F(x)=P{X≤x}, x∈(-∞, +∞) 为 X 的分布函数. F(x)=
考研概率论与数理统计公式大全
考研概率论与数理统计公式大全
一、概率论部分：
1.概率公式：
-事件的概率：P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A发生的可能性，n(S)表示样本空间S中的样本个数。
-互斥事件的概率：P(A∪B)=P(A)+P(B)。
-非互斥事件的概率：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
2.条件概率公式：
-事件A在事件B发生的条件下发生的概率：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
3.乘法公式：
-事件A、B同时发生的概率：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)=P(B)*P(A，B)。
4.全概率公式：
-事件A可以由一系列互斥且构成样本空间的事件B1、B2、..、Bn发
生的概率：P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+...+P(A∩Bn)=ΣP(A∩Bi)。
5.贝叶斯公式：
-已知事件A发生的条件下事件B发生的概率：P(B，
A)=P(A∩B)/P(A)=P(A，B)*P(B)/P(A)。
6.重要的离散概率分布：
-二项分布：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，
k为成功次数，p为每次成功的概率。
-泊松分布：P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!，其中λ为单位时间（或单
位面积）内随机事件发生的平均次数。
7.重要的连续概率分布：
-均匀分布：f(x)=1/(b-a)，其中a为最小值，b为最大值。
-正态分布：f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中
μ为均值，σ为标准差。
二、数理统计部分：
1.基本概念：
2020考研数学：五大重要概率运算公式
【导语】时间飞逝，很多考⽣抱怨概率论与数理统计部分难度较⼤，其中事件概率计算的五⼤公式是数⼀、数三，396考纲中都有要求的内容，所以也⽐较重要。下⾯⽆忧考整理了概率计算的五⼤公式，供参考。
五⼤公式包括减法公式、加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。
1、减法公式，P(A-B)=P(A)-P(AB)。此公式来⾃事件关系中的差事件，再结合概率的可列可加性总结出的公式。
2、加法公式，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。此公式来⾃于事件关系中的和事件，同样结合概率的可列可加性总结出来。学⽣还应掌握三个事件相加的加法公式。
以上两个公式，在应⽤当中，有时要结合⽂⽒图来解释会更清楚明⽩，同时这两个公式在考试中，更多的会出现在填空题当中。所以记住公式的形式是基本要求。
3、乘法公式，是由条件概率公式变形得到，考试中较多的出现在计算题中。在复习过程中，部分同学分不清楚什么时候⽤条件概率来求，什么时候⽤积事件概率来求。⽐如“第⼀次抽到红球，第⼆次抽到⿊球”时，因为第⼀次抽到红球也是未知事件，所以要考虑它的概率，这时候⽤积事件概率来求;如果“在第⼀次抽到红球已知的情况下，第⼆次抽到⿊球的概率”，这时候因为已知抽到了红球，它已经是⼀个确定的事实，所以这时候不⽤考虑抽红球的概率，直接⽤条件概率，求第⼆次取到⿊球的概率即可。
4、全概率公式
5、贝叶斯公式
以上两个公式是五⼤公式极为重要的两个公式。结合起来学习⽐较容易理解。⾸先，这两个公式⾸先背景是相同的，即，完成⼀件事情在逻辑或时间上是需要两个步骤的，通常把第⼀个步骤称为原因。其次，如果是“由因求果”的问题⽤全概率公式;是“由果求因”的问题⽤贝叶斯公式。例如;买零件，⼀个零件是由A、B、C三个⼚家⽣产的，分别次品率是a%，b%，c%，现在求买到次品的概率时，就要⽤全概率公式;若已知买到次品了，问是A⼚⽣产的概率，这就要⽤贝叶斯公式了。这样我们⾸先分清楚了什么时候⽤这两个公式。
概率论与数理统计 公式
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计是现代科学与工程领域中应用最广泛的数学分支之一。概率论与数理统计涉及众多的公式和理论，是数据分析、预测和决策的重要工具。在此，我们将介绍概率论与数理统计中常用的公式。
1. 概率计算公式
概率计算是概率论中的基础。以下是概率的定义和概率计算公式。
定义：事件A在随机试验中出现的可能性称为概率P(A)。
公式1：若事件A和事件B相互独立，则
P(A∩B)=P(A)×P(B)。
公式2：若事件A和事件B不相互独立，则
P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
公式3：若事件A和事件B互为对立事件，则
P(A)+P(B)=1 。
公式4：全概率公式：P(B)=∑P(Ai)×P(B|Ai) 。
2. 随机变量和概率分布
随机变量是概率论中的重要概念。以下是随机变量和概率分布函数的定义和公式。
定义1：在随机试验中，对每个样本点都有一个对应的实数值，则这个实数值称为随机变量X。
定义2：X的概率分布函数F(x)定义为：F(x)＝
P(X≤x)。
公式5：二项分布的概率分布函数为：P(X=k)=
C(n,k)p^k*q^(n-k) （其中n表示试验次数，k表示事件A 发生的次数，p表示单次事件A发生的概率，q=1-p ）。
公式6：泊松分布的概率分布函数为：P(X=k)=
(λ^k/k!)×e^-λ （其中λ是一个正实数）。
公式7：正态分布的概率分布函数为：
f(x)=(1/√(2π)σ)×e^-(x-μ)²/(2σ²) （其中μ是分布的均值，σ²是分布的方差）。
3. 样本描述和参数估计
样本描述和参数估计是数理统计中的基础。以下是样本描述和参数估计的公式。
概率论与数理统计自学考试公式大全
概率论与数理统计
重点公式
1、)()()()(AB P B P A P B A P -+=
2、若A 、B 独立，则)()()(B P A P AB P ⋅=
3、条件概率=
)/(A B P )
()
(A P AB P 4、乘法公式：)/()()(A B P A P AB P = 5、二项分布：),(~p n B X
分布律：k n k
k n p p C k X P --==)1(}{， 其中n k p ,,2,1,0,10 =<<
期望：np 方差：)1(p np - 6、泊松分布：)(~λP X
分布律：λλ-==e k k X P k
!
}{，0>λ， 2,1,0=k
期望： λ 方差： λ
7、均匀分布：),(~b a U X
概率密度：⎪⎩
⎪⎨⎧-=,0,1
)(a
b x f 其他， 期望：
2
b
a + 方差：12
)(2
a b -
8、指数分布：)(~λE X
概率密度：⎩⎨
⎧≤>=-0
,
00,
)(x x e x f x λλ
a ≤x ≤b
分布函数：⎩⎨
⎧≤>-=-0
,
00,
1)(x x e x F x λ
期望：λ1 方差：
2
1
λ
9、正态分布：
概率密度：2
22)(21)(σμσ
π--
=
x e
x f ，
期望： μ
方差： 2σ
10、若X 是连续型随机变量，)(x F 是分布函数，则概率运算公式为： （1）)(}{a F a x P =<
（2）)()(}{a F b F b x a P -=<< （3）)(1}{a F a x P -=>
11、若X 是连续型随机变量，)(x f 是概率密度，则概率运算公式为： （1）dx x f a
概率论与数理统计公式整理(超全免费版)
第1章随机事件及其概率
第二章随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
概率论与数理统计完整公式
概率论与数理统计完整公式
概率论与数理统计是数学的一个分支，研究随机现象和随机变量之间
的关系、随机变量的分布规律、经验规律及参数估计等内容。在概率论与
数理统计的学习中，有许多重要的公式需要掌握。以下是概率论与数理统
计的完整公式。
一、概率论公式：
1.全概率公式：
设A1，A2，…，An为样本空间S的一个划分，则对任意事件B，有：P(B)=P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P(B│An)·P(An)
2.贝叶斯公式：
对于样本空间S的一划分A1，A2，…，An，其中P(Ai)>0，
i=1,2，…，n，并且B是S的任一事件，有：
P(Ai│B)=[P(B│Ai)·P(Ai)]/[P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P (B│An)·P(An)]
3.事件的独立性：
若对事件A，B有P(AB)=P(A)·P(B)，则称事件A，B相互独立。
4.概率的乘法公式：
对于独立事件A1，A2，…，An，有：
P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)
5.概率的加法公式：
对事件A，B有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
6.条件概率的计算：
对事件A，B有：P(A，B)=P(AB)/P(B)
7.古典概型的概率计算：
设事件A在n次试验中发生k次的次数服从二项分布B(n,p)，则其概率可表示为：P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k)，其中
C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]
二、数理统计公式：
1.样本均值的期望和方差：
样本的均值X̄的期望和方差分别为： E(X̄) = μ，Var(X̄) = σ^2 / n，其中μ 为总体的均值，σ^2 为总体方差，n 为样本容量。
概率论与数理统计公式精选常用公式一览
概率论与数理统计公式精选常用公式一览为了帮助读者更好地掌握概率论与数理统计的知识，本文将为大家整理并介绍一些常用的公式。这些公式是在学习和应用概率论与数理统计过程中必备的工具，相信对大家的学习和研究具有重要的参考价值。
一、概率论常用公式
1. 概率公式
在概率论中，我们经常需要计算事件发生的概率。以下是几个常用的概率公式：
（1）加法公式
设A和B为两个事件，则A与B的和事件概率为P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
（2）乘法公式
设A和B为两个独立事件，则A与B的积事件概率为P(A∩B) =
P(A) * P(B)。
2. 条件概率公式
条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。以下是条件概率的计算公式：
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示A与B的交事件的概率，P(A|B)表示在B发生的条件下A发生的概率。
3. 贝叶斯公式
贝叶斯公式是概率论中非常重要的公式，它用于根据已知条件，计
算一个事件的后验概率。贝叶斯公式如下所示：
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条
件下，事件A发生的概率；P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件
B发生的概率；P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的先验概率。
二、数理统计常用公式
1. 期望和方差
在数理统计中，我们经常需要计算一组数据的期望和方差。以下是
期望和方差的计算公式：
（1）期望的计算公式
设X为一个离散型随机变量，其取值为x1, x2, ..., xn，对应的概率
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式大全
一、概率论公式
1.概率的基本性质：
-非负性：对于任意事件A，有P(A)>=0；
-规范性：对于必然事件S，有P(S)=1；
-可列可加性：对于互不相容的事件Ai（i=1,2,...），有
P(A1∪A2∪...)=P(A1)+P(A2)+...。
2.条件概率：
-事件B发生的条件下，事件A发生的概率：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)；
-乘法公式：P(A∩B)=P(A，B)*P(B)。
3.全概率公式：
-事件A的概率：P(A)=ΣP(A，Bi)*P(Bi)，其中Bi为样本空间的一
个划分。
4.贝叶斯公式：
-事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率：P(Bi，A)=P(A，
Bi)*P(Bi)/ΣP(A，Bj)*P(Bj)，其中Bj为样本空间的一个划分。
5.独立性：
-事件A与事件B相互独立的充要条件是P(A∩B)=P(A)*P(B)。
二、数理统计公式
1.随机变量的概率分布：
-离散型随机变量的概率分布函数：P(X=x)；
-连续型随机变量的概率密度函数：f(x)。
2.数理统计的基本概念：
-样本均值：X̄=ΣXi/n；
-样本方差：s^2=Σ(Xi-X̄)^2/(n-1)；
-样本标准差：s=√s^2；
- 样本协方差：sxy = Σ(Xi-X̄)(Yi-Ȳ) / (n-1)。
3.大数定律：
-样本均值的大数定律：当样本容量n趋向于无穷大时，样本均值X̄趋向于总体均值μ。
4.中心极限定理：
-样本均值的中心极限定理：当样本容量n足够大时，样本均值X̄服从近似正态分布。
5.参数估计：
-点估计：用样本统计量对总体参数进行估计；
概率论与数理统计公式整理(超全免费版)
第1章随机事件及其概率
第二章随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验
概率论与数理统计_重要公式
、随机事件与概率
、随机变量及其分布
' P (x =Xk)
； ,P(a ：： X 乞 b) = F(b)-F(a)
」(t)dt
2
1、分布函数
F(x)二 P(X 乞 x)
概率密度函数
J f (x)dx = 1
JO
计算概
b
P(a 兰 X 兰 b)=J a f(x)dx 率
a _ 4 II
P(X < a)= P(X ::: a)(一)P(X _ a) = P(X a) = U
a
P(a EX 乞b)= ：」(b)->(a )
ct a
F (x)二P(X 乞x)二、P(X = k)
k兰
x
F(x)二P(X 乞x)二f(t)dt
般正态分布的
分布函数与密度函数的重要关系F '(x)二f (x) F(x)二P(X 乞x) x
-f(t)dt
4、随机变量函数Y=g(X)的分布
离散型：P(Y = yj 二 ' P j,i =1,2,llI，
g(X j)=y '
连续型：①分布函数法，
②公式法f Y(y) = f x (h(y)) h (y) (x = h(y)单调)
h(y)是g(x)的反函数
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量及其分布
分布律：P(X二X i,丫二yj二P j ,i, j =1,2川1联合分布函数F
(X,Y)瓦瓦P ij
x i _x x _y
边缘分布律: 条件分布律: P i = P(x =人)二.p ij p j 二P(Y = y j)八P j
j i
P i：
P
(X=
x
i
Y=y j)= , i=1,2,111，P(Y =y j X =X i)=
P
j
联合密度函数f (x, y) f(x, y)—0
概率论与数理统计公式整理(完整精华版)
第1章随机事件及其概率
第二章随机变量及其分布
概率论与数理统计公式（全）
第三章二维随机变量及其分布
如果二维随机向量■ (X ，Y )的所有可能取值为至多可列 个有序对(x,y )，则称
匕为离散型随机量。
设.=(X ，Y )的所有可能取值为(x 「y j )(i,j =1,2-)， 且事件｛ =(X i ，y j )｝的概率为p j,,称
P ｛(X,Y) =(<『)｝二 pj, j =12 )
为• =( X ，Y )的分布律或称为 X 和Y 的联合分布律。联合分
布有时也用下面的概率分布表来表示：
这里p j 具有下面两个性质:
(1) p j > 0 (i,j=1,2,…); (2) 二二 p ij =1.
i j
(1)联合 离散型 分布
概率论与数理统计公式（全）
概率论与数理统计公式(全)
概率论与数理统计公式（全）
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量 分布中的一个重要参数。
2
分布满足可加性：设
Y i -
2
(nJ,
则
k
Z 八 Y ~
2
(n i n 2 n k )•
i 吕
设X , Y 是两个相互独立的随机变量，且
X~N(0,1),Y~
2
( n),
可以证明函数
X
、Y / n
的概率密度为
f (t )=
' 2
J 【i
麵i
邛
\、
2)
我们称随机变量 T 服从自由度为n 的t 分布，记为T 〜t(n)
ti_：.(n) - -r.(n)
2
分布
设n 个随机变量X i ,X 2，…,X n 相互独立，且服从标准正态分 布，可以证明它们的平方和
的分布密度为
f(u)=
u _ 0,
u ：
我们称随机变量 W 服从自由度为n 的2分布，记为W- 2
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式大全
一、概率论的常用公式：
1.概率的公式：对于事件A，其概率表示为P(A)，满足0≤P(A)≤1。
2.加法公式：对于两个互斥事件A和B，其概率表示为P(A∪B)，满
足P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.减法公式：对于事件A和B，其概率表示为P(A∩B)，满足
P(A∩B)=P(A)-P(A∪B)。
4.乘法公式：对于两个独立事件A和B，其概率表示为P(A∩B)，满
足P(A∩B)=P(A)某P(B)。
5.条件概率公式：对于事件A和B，其条件概率表示为P(A，B)，满
足P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
6.全概率公式：对于一组互斥事件B1，B2，...，Bn，以及事件A，
有P(A)=∑(P(A，Bi)某P(Bi))。
7.贝叶斯公式：对于一组互斥事件B1，B2，...，Bn，以及事件A，
有P(Bi，A)=P(A，Bi)某P(Bi)/(∑(P(A，Bj)某P(Bj))。
二、数理统计的常用公式：
1.均值公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其均值表示为
μ=∑(某i)/n。
2.方差公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其方差表示为
σ^2=∑((某i-μ)^2)/n。
3.标准差公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其标准差表示为σ=√(σ^2)。
4. 协方差公式：对于两组数据某1，某2，...，某n 和 y1，
y2，...，yn，其协方差表示为 Cov(某,y) = ∑((某i - μ某) 某 (yi - μy)) / n。
5. 相关系数公式：对于两组数据某1，某2，...，某n 和 y1，
《概率论与数理统计》完整公式以及知识点归纳
概率论与数理统计完整版公式第1章随机事件及其概率
第二章随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
dx
)]2
(
f)
x
dx
k
,
)dx
dxdy
dx
x f X )()]2dy
y f Y )(2
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验
概率论与数理统计重要公式
、随机事件与概率
、随机变量及其分布
1、分布函数
Z P(X=X k )
F(x)=P(X 兰 x)才冒 ，
概率密度函数
f 「f(x)dx = 1
计算概率:
-no
2、离散型随机变量及其分布
3、续型型随机变量及其分布
P(a ：： X 乞 b)二 F(b) — F(a)
b
P(a 空 X 空 b)二 f (x)dx
a
般正态分布的概率计算公式
a
_ 4 II
P(X < a
)= P(X ::: a )(一) P(X _ a) = P(X a) = U a
<T
b —A a — 4 P(aEXzb)=G( )-'>( )
分布函数
对离散型随机变量 对连续型随机变量
' x
分布函数与密度函数的重要关系： F(x)=f(x) F(x) = P(Xzx)二 f(t)dt
4、随机变量函数Y=g(X)的分布
离散型：P(Y = yj 二 '
P j ,i = 1,2,111，
g(X j )
连续型：①分布函数法，
②公式法 f Y (y) = f x (h(y)) h( y) (x = h( y)单调)
h(y)是g(x)的反函数
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量及其分布
分布
律： P(X 二 X i ,丫二 yj 二 P ij ,i, j =1,2川1 联合分布函数 F(X,Y) =、 、
•
2、连续型二维随机变量及其分布
① 分布函数及性质
x y
分布函数：F (x , y )二」 f (u , v ) dudv
F (x y )
性质：F (：：, ：：) =1, f (x, y), P((x,y) • G)f(x,y)dxdy
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一、随机事件与概率
二、随机变量及其分布
1、分布函数
()()(),()()()
()k k x x
x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt
≤-∞
⎧=⎪=≤=<≤=-⎨⎪⎩∑⎰ 概率密度函数
计算概率：
2、离散型随机变量及其分布
3、续型型随机变量及其分布
1
)(=⎰
+∞
∞
-dx x f ⎰=≤≤b
a
dx
x f b X a P )()(
一般正态分布的概率计算公式
分布函数
对离散型随机变量
对连续型随机变量
分布函数与密度函数的重要关系：
4、随机变量函数Y=g(X)的分布
离散型：()(),1,2,
j i
i j g x y P Y y p i ===
=∑
，
连续型： ①分布函数法，
②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=⋅=单调 h(y)是g(x)的反函数
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量及其分布
分布律：(,),,1,2,
i j ij P X x Y y p i j ==== 联合分布函数(,)i i ij
x x y y
F X Y p
≤≤=
∑∑
边缘分布律：()i i ij j
p P X x p ⋅===∑ ()j j ij i
p P Y y p ⋅===∑
条件分布律：(),1,2,
ij i j j
p P X x Y y i p ⋅====，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p ⋅
===
=
联合密度函数
2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 分布函数：⎰⎰
∞-∞
-=
x y
dudv v u f y x F ),(),(
性质：2(,)
(,)1,
(,),F x y F f x y x y
∂+∞+∞==∂∂((,))(,)G
P x y G f x y dxdy ∈=⎰⎰
②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：⎰⎰
∞-+∞
∞
-=
x X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰
+∞
∞
-=
dv v x f x f X ),()(
⎰
∞
-=≤=x dt t f x X P x F )()()(∑≤==≤=x
k k X P x X P x F )
()()()
()('
x f x F =⎰
∞
-=≤=x
dt
t f x X P x F )()()(1),(0≤≤y x F }
,{),(y Y x X P y x F ≤≤=)
,(y x f 0
),(≥y x f 1
),(=⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-dxdy y x f )
(
)()(σ
μ
-Φ=<=≤a a X P a X P )
(
1)()(σ
μ
-Φ-=>=≥a a X P a X P )
(
)(
)(σ
μ
σ
μ
-Φ--Φ=≤≤a b b X a P
⎰⎰
∞-+∞
∞
-=y Y dudv v u f y F ),()( ⎰
+∞
∞
-=
du y u f y f Y ),()(
③条件概率密度
+∞<<-∞=
y x f y x f x y f X X Y ,)()
,()(，+∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)
(),()( 3、随机变量的独立性
随机变量X 、Y 相互独立(,)()()X Y F x y F x F y ⇔=，
连续型：(,)()()X Y f x y f x f y = 离散型：..ij i j p p p = ，
4、二维随机变量和函数的分布(卷积公式) 离散型：()(,)i j k
k i j x y z P Z z P X x Y y +===
==∑
注意部分可加性
连续型：()(,)(,)Z f z f x z x dx f z y y dy +∞
+∞
-∞-∞=-=-⎰⎰
四、随机变量的数字特征
1、数学期望
①定义：离散型∑
+∞
==
1
)(k k k p x X E ，连续型⎰
+∞
∞
-=
dx
x xf X E )()(
②性质：(),E C C = )()]([X E X E E =，)()(X CE CX E =，)()()(Y E X E Y X E ±=±
b X aE b aX E ±=±)()( ，当X 、Y 相互独立时：)()()(Y E X E XY E =(正对逆错)
随机变量g(X)的数学期望
2、方差 ①定义：
②性质：0)(=C D ，)()(2
X D a b aX D =±，),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 当X 、Y 相互独立时：)()()(Y D X D Y X D +=±
3、协方差与相关系数
①协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-，当X 、Y 相互独立时：0),(=Y X Cov
②相关系数： ()()XY D X D Y ρ=，当X 、Y 相互独立时：0=XY ρ(X,Y 不相关)
③协方差和相关系数的性质：)(),(X D X X Cov =，),(),(X Y Cov Y X Cov =
),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+，),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++
Cov(x,a)=0(a 为常数)，),(2)()()(22Y X abCov Y D b X D a bY aX D ±+=±
4分布
数学期望E （X ）
方差D （X ）
0-1分布 ),1(p b p p(1-p) 二项分布 ),(p n b
np np(1-p)
}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====∑=k
k
k p x g X g E )())((