浙江新高考数学文科一轮复习创新方案热点题型10.3二项式定理(含答案详析)

合集下载

2021年高考数学一轮复习 10.3 二项式定理时作业理(含解析)新人教A版

2021年高考数学一轮复习 10.3 二项式定理时作业理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(xx·烟台市适应性练习(一))在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－3x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－427B ．－227 C.227 D.427解析：由二项展开式的通项式T r ＋1＝C r6⎝ ⎛⎭⎪⎫136－r·(－3)r ·x 3－r ，令3－r ＝2，得r ＝1.则x 2项的系数为C 16·⎝ ⎛⎭⎪⎫135·(－3)1＝－227.答案：B2．(xx·青岛市高三自评试题)若(1－x )n＝1＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *)，且a 1∶a 3＝1∶7，则n ＝( )A ．8B ．9C ．7D ．10解析：由二项式定理知a 1＝C 1n ，a 3＝C 3n ，故C 3nC 1n＝7⇒(n －1)(n －2)＝42，得(n －8)(n ＋5)＝0⇒n ＝8或n ＝－5(舍)，故选A.答案：A3．(xx·郑州第三次质量预测)设a ＝⎠⎛0πsin x d x 则二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax －1x 8的展开式中x 2项的系数是( )A ．－1 120B ．1 120C ．－1 792D ．1 792解析：由题意a ＝⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪π0＝2，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 8展开式的通项式为T r ＋1＝C r8(2x)8－r·⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 8(－1)r 28－r·x8－32 r ，令8－32r ＝2，得r ＝4，所以x 2项的系数为C 4824＝1 120，故选B .答案：B4．(xx·济宁市模拟)设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x)d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2－1x 6展开式中的第4项为( )A ．－1 280x 3B ．－1 280C ．240D ．－240解析：a ＝⎠⎛12(3x 2－2x)d x ＝(x 3－x 2)⎪⎪⎪21＝4，所以⎝⎛⎭⎪⎫4x 2－1x 6展开式第四项为C 36(4x 2)3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝－1 280 x 3，选A .答案：A5．(xx·山东滨州联考)在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．－28C ．7D ．28解析：依题意，n 2＋1＝5，∴n＝8.二项式为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8，易得常数项为C 68⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝7. 答案：C6．若(x ＋y)9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy<0，则x 的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15 B .⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，＋∞ C .⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－45D ．(1，＋∞)解析：二项式(x ＋y)9的展开式的通项是T r ＋1＝C r9·x9－r·y r.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧C 19·x 9－1·y≤C 29·x 9－2·y 2x ＋y ＝1xy<0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 8·1－x －4x 7·1－x 2≤0x 1－x <0，由此解得x>1，即x 的取值范围是(1，＋∞)．答案：D7．(xx·3月襄阳市普通高中调研)若(1－2x)2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x2 013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2 解析：观察所求数列和的特点，令x ＝12可得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－a 0，再令x ＝0可得a 0＝1，因此a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－1.答案：C8．(xx·湖北武汉调研测试)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( )A.3516 B.358 C.354D ．105 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8＝2x ＋182x8＝1＋2x 828x4，展开式中常数项即为(1＋2x )8中含x4的项为C 48(2x )4，故常数项为C 482428＝C 48·2－4＝358.答案：B9．(xx·安徽省“江南十校”高三联考)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 1＋a 3＋…＋a 9)2－(a 0＋a 2＋…＋a 8)2＝－39，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－3 解析：(a 1＋a 3＋…＋a 9)2－(a 0＋a 2＋…＋a 8)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 9)(a 1－a 0＋a 3－a 2＋…＋a 9－a 8)＝－39令x ＝0得a 0＋a 1＋…＋a 9＝(2＋m )9令x ＝－2，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9＝m 9所以(a 0＋a 1＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝(m 2＋2m )9＝39所以m 2＋2m ＝3，解得m ＝－3或m ＝1，选A. 答案：A 二、填空题10．(xx·陕西卷)(a ＋x )5展开式中x 2的系数为10，则实数a 的值为________．解析：因为(a ＋x )5＝C 05a 5＋C 15a 4x ＋C 25a 3x 2＋C 35a 2x 3＋C 45ax 4＋C 55x 5，所以C 25a 3＝10a 3＝10.所以a 3＝1，a ＝1. 答案：111．(xx·山西大学附属中学高三月考)设a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )dx ，则二项式(a x －1x)6展开式中含x 2项的系数是________．解析：a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )dx ＝(－cos x ＋sin x )⎪⎪⎪π0＝2sin(x －π4)⎪⎪⎪π＝2，二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6展开式中含x 2项为：C 16(2x )5·⎝⎛⎭⎪⎫－1x ＝－192x 2，所以x 2的系数为：－192. 答案：－19212．(xx·贵州省六校第一次联考)(x ＋1)(1－2x )5展开式中，x 3的系数为________(用数字作答)．解析：本题是二项式定理计算系数的题，可以从以下角度来思考：x 3的来源有两种，一种是从第一个括号里面取出一个x ，从第二个括号里面取出x 2，此时x 3的系数为C 25(－2)2＝40；另外一种是第一个括号取出常数，第二个括号取出x 3，此时x 3的系数为C 35(－2)3＝－80，故总的系数为－40.答案：－4013．(xx·黄冈质检)已知a ＝⎠⎛1－1(1＋1－x 2)d x ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a －π2x －1x 6展开式中的常数项为________．解析：令y ＝1＋1－x 2，则x 2＋(y －1)2＝1(y≥1)，如图可看出a ＝⎠⎛1－1(1＋1－x 2)d x 表示的面积是a ＝2×1＋π2＝2＋π2，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －π2x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，由二项式定理，T r ＋1＝(－1)r·C r6·26－r·x6－r·x －r ＝(－1)r ·C r 6·26－r·x6－2r，要求展开式的常数项，则6－2r ＝0，即r ＝3，∴(－1)3·C 36·26－3＝－20×8＝－160.答案：－16014．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的通项为T r ＋1＝C r 6(－1)r x 6－2r ，当r ＝3时，T 4＝－C 36＝－20，当r ＝4时，T 5＝C 46＝15，因此常数项为－20＋15＝－5.答案：－515．(xx·安徽省江南十校高三开学第一考)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2x －1x 4的展开式中所有有理项的系数和等于________．(用数字作答)解析：T r ＋1＝C r6·(2x)6－r·(－1)r ·x －r ＝(－1)r C r 626－rx6－3r2，r ＝0,1,2,3,4,5,6，当r ＝0,2,4,6时，T r ＋1＝(－1)r C r 626－rx6－3r2为有理项，则所有有理项的系数和为C 0626＋C 2624＋C 4622＋C 6620＝365. 答案：36516．(xx·山东烟台高三测试)若⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．解析：T 6＝C 5n (x 2)n －5(－x －1)5＝－C 5n x2n －15，其中2n －15＝1，∴n＝8，令x ＝1得(1－3)8＝256＝a 0＋a 1＋…＋a 8，令x ＝0得(1－0)8＝1＝a 0，∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝256－1＝255.答案：255 [热点预测]17．(1)(xx·马鞍山高中毕业班第一次教学质量检测)已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是________．(2)(xx·郑州市高中毕业年级第二次质量预测)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )A .16B .14C .13D .512解析：(1)第三项的系数a 2＝C 2n(－1)2＝C 2n，第五项的系数a 4＝C 4n(－1)4＝C 4n，C 2nC 4n＝12n －2n －3＝314，∴n＝10，T r ＋1＝C r 10x 2(10－r)(－x － 12 )r ＝C r 10(－1)r ，由20－52r ＝0得r ＝8，所以常数项为C 810(－1)8＝45.(2)展开式中前三项的系数分别为a 1＝C 0n ＝1，a 2＝C 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝n 2，a 3＝C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝n n －18，a 1，a 2，a 3成等差数列，所以有2×n 2＝1＋n n －18，解得n ＝8或n ＝1(舍)，则T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫12x － 14 r＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫12r，其中r ＝0,1,2，…，8，当r ＝0,4,8时为有理项，其展开式共有9项，重新排成一排，有理项互不相邻的概率为A 66A 37A 99＝512，故选D .答案：(1)45 (2)D |P?36834 8FE2 迢36387 8E23 踣u32453 7EC5 绅28966 7126 焦35132 893C 褼f(26649 6819 栙;22184 56A8 嚨9。

【精品】2020年高考数学一轮复习对点提分专题10.3 二项式定理 (文理科通用)(学生版)

第十篇计数原理、概率、随机变量及其分布专题10.03二项式定理【考试要求】1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【知识梳理】1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质3.(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1. 【微点提醒】(a＋b)n的展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1，C n n.n【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k是二项展开式的第k 项.( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关.( )(4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( )【教材衍化】2.(选修2－3P31T4改编)(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( )A.C m nB.C m ＋1nC.C m －1nD.(－1)m －1C m －1n3.(选修2－3P35练习A1(3)改编)C 02 019＋C 12 019＋C 22 019＋…＋C 2 0192 019C 02 018＋C 22 018＋C 42 018＋…＋C 2 0182 018的值为( ) A.2 B.4C.2 019D.2 018×2 019【真题体验】4.(2018·全国Ⅲ卷)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.805.(2019·东营调研)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N ＋)是一个递增数列，则k 的最大值是( ) A.5B.6C.7D.86.(2018·浙江卷)二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的展开式的常数项是________.【考点聚焦】考点一通项公式及其应用角度1 求二项展开式中的特定项【例1－1】 (1)(2019·北京海淀区二模)(x 2＋1)⎝⎛⎭⎫1x －25的展开式的常数项是( )A.5B.－10C.－32D.－42(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x 10的展开式中所有的有理项为________.【规律方法】求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可. 角度2 求二项展开式中特定项的系数【例1－2】 (1)(多项式是积．的形式)(2017·全国Ⅰ卷)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为( ) A.15B.20C.30D.35(2)(多项式是和．的形式)已知(1＋ax )3＋(1－x )5的展开式中含x 3的系数为－2，则a 等于( ) A.2 3B.2C.－2D.－1(3)(三项展开式问题)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20C.30D.60【规律方法】 1.求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解.2.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可.3.三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷改编)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________.(2)在(1－3x )7＋⎝⎛⎭⎫x ＋ax 6的展开式中，若x 2的系数为19，则a ＝________.考点二二项式系数与各项的系数问题【例2】 (1)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.(2)(2019·汕头质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________.【规律方法】 1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.2.若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.【训练2】 (1)(2019·烟台模拟)已知⎝⎛⎭⎫x 3＋2x n的展开式的各项系数和为243，则展开式中x 7的系数为( ) A.5B.40C.20D.10(2)(2018·湘潭三模)若(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 9x 9，x ∈R ，则a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29的值为( ) A.29 B.29－1C.39D.39－1考点三二项式系数的性质角度1 二项式系数的最值问题【例3－1】 (2019·上海崇明区二模)二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( ) A.3 B.5 C.6 D.7角度2 项的系数的最值问题【例3－2】已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992，则在⎝⎛⎭⎫2x －1x 2n的展开式中，二项式系数最大的项为______，系数的绝对值最大的项为________.【规律方法】 1.二项式系数最大项的确定方法：当n 为偶数时，展开式中第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为2C nn；当n 为奇数时，展开式中第n ＋12项和第n ＋32项的二项式系数最大，最大值为12C n n -或12C n n +.2.二项展开式系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，从而解出k 来，即得.【训练3】已知m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ， (x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A.5B.6C.7D.8【反思与感悟】1.二项式定理及通项的应用(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理.(2)运用二项式定理一定要牢记通项T k ＋1＝C k n a n －k b k ，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题.(3)在通项T k ＋1＝C k n a n －k b k (n ∈N *)中，要注意有n ∈N *，k ∈N ，k ≤n ，即k ＝0，1，2，…，n .2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. 【易错防范】1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C n n ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关.2.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.已知⎝⎛⎭⎫x －1x 7的展开式的第4项等于5，则x 等于( ) A.17 B.－17C.7D.－72.已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2123.(2019·广州测试)使⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 3n(n ∈N *)展开式中含有常数项的n 的最小值是( ) A.3 B.4C.5D.64.(2018·邯郸二模)在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( )A.15B.45C.135D.4055.(2019·枣庄二模)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B.12C.1D.26.(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝( ) A.1 024 B.243 C.32 D.247.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( )A.63B.64C.31D.328.若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A.2nB.3n －12C.2n ＋1D.3n ＋12二、填空题9.(2017·山东卷)已知(1＋3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54，则n ＝________.10.(2018·石家庄调研)(1＋x )n 的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________.11.若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________(用数字作答).12.⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －15的展开式中常数项是__________(用数字作答).【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2019·河南百校联盟模拟)(3－2x －x 4)(2x －1)6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A.600 B.360 C.－600 D.－36014.在⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x 2 01910的展开式中，含x 2项的系数为( ) A.10 B.30C.45D.12015.(2019·安徽江南十校联考)若(x ＋y －1)3(2x －y ＋a )5的展开式中各项系数的和为32，则该展开式中只含字母x 且x 的次数为1的项的系数为________(用数字作答).16.设(1－ax )2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x 2 018，若a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2 018a 2 018＝2 018a (a ≠0)，则实数a ＝________.【新高考创新预测】17.(多填题)已知（2－x ）71＋x ＝a 6x 6＋a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0＋a 1＋x ，那么a 0＋a ＝______；a 4＝______.。

专题10-3 二项式定理测-2018年高考数学一轮复习讲练测

2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第十章计数原理，概率，随机变量及其分布第三节二项式定理班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．【2017届 “超级全能生”浙江省高三3月联考】在二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（）A. -240B. 240C. -160D. 160 【答案】C2．【2017届四川巴中市高中高三10月零诊】设i 为虚数单位，则6)(i x -的展开式中含4x 的项为（） A ．415x - B ．415x C ．420ix - D ．420ix 【答案】A.【解析】由二项展开的通项公式616(1)r r r r r T C i x -+=-，令2r =，故4x 的系数是2226(1)15C i -=-，故选A.3.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】二项式51x ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）A. 10B. 10-C. 5D. 5- 【答案】B【解析】展开式的通项为()()11552151r rrr T C x-+=-，令()115502r -=得3r =，所以展开式中的常数项为3510C -=-，故选B.4．【2017届江西南昌市高三上学期摸底】4(12)x -展开式中第3项的二项式系数为（）A ．6B ．-6C ．24D ．-24 【答案】A【解析】第3项的二项式系数为246C =,选A.5．【2017届湖北武汉市部分学校高三上学期起点】若二次项8()ax x-的展开式中常数项为280，则实数a =（）A ．2B ．2±C ．D 【答案】C6．【2017届浙江温州市普通高中高三8月模拟】在nx⎛+ ⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则3x 的系数为（） A ．15 B ．45 C ．135 D ．405 【答案】C【解析】由题意4642n n =，6n =，36621663rr r r r rr T C x C x --+==，令3632r -=，2r =，2263135C =．故选C ．7．【2017届内蒙古杭锦后旗奋斗中学高三上入学摸底数学理试卷】二项式1022)x 展开式中的常数项是A ．360B ．180C ．90D ．45 【答案】B【解析】551021101022()(2)r rrr r rr T C C x x--+=-=-，令5502r -=，则2r =．所以常数项为22310(2)180T C =-=．故选B ．8．【2017届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考】二项式()72x +的展开式中含5x 项的系数是( )A. 21B. 35C. 84D. 280 【答案】C【解析】5x 的系数为： 5757284C -⨯=，故选C ．9．【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下联考】62x x⎛- ⎝的展开式中，6x 的系数为（）A. 240B. 241C. -239D. －240 【答案】C10．【2018届云南省名校月考（一）】()()4511x x -+的展开式中3x 的系数为（）A. 4B. -4C. 6D. -6 【答案】B【解析】()()()()4512233441223344554444455555511x x C C x C x C x C xCC x C x C x C x C x -+=-+-++++++()()234234514641510105x xx x x x x x x -+-++++++，所以3x 的项为3223311041065414x x x x x x x ⨯-⨯+⨯-⨯=-，故3x 的系数为4-，故选B.11．【2017届江西新余一中高三上开学】已知函数()()()log 110,1a f x x a a =-+>≠且的图象过定点()(),b f b ,则()523xx b -+的展开式中,x 的系数是（）A ．240-B ．120-C ．0D ．120【答案】A【解析】法一：log (1)1a 0a 1a x -+≠（＞，且）的图象过定点（2,1）,故b=2, 所以2525(3+b)(32)x x x x -=-+ 55(2)(1)x x =--0514445505144555555555(222)()C x C x C x C C x C x C x C =-++--++-∴展开式中x 的系数为44555455552()(2)240C C C C ⋅⋅-+-⋅⋅=-.法二：()log (1)1(0,1)a a a f x x =-+>≠且的图象过定点（2,1）,故b=2, 所以2525(3b)(32)b x x x x -+=-+ ，展开式中含x 的项可采取以下办法获得：2522222(3b)(32)b(32)(32)(32)(32)x x x x x x x x x x x x -+=-+-+-+-+-+,从上述5个因式中取一个－3x ，其他4个因式中均取常数项，于是得x 的系数为14454(3)2240.C C -⋅=- 12.【2018届河南省师范大学附属中学高三8月】已知()92901292x a a x a x a x +=++++，则()()2213579246835792468a a a a a a a a a ++++-+++的值为（）A. 93B. 103C. 113D. 123 【答案】D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13．【2018届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中】展开式中，的系数为__________．【答案】【解析】展开式的通项为，所以展开式中的系数为。

2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第十章 3 第3讲二项式定理

第3讲二项式定理1．二项式定理 (1)定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *)． (2)通项：第k ＋1项为T k ＋1＝C k n an －k b k． (3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C k n (k ＝0，1，2，…，n )． 2．二项式系数的性质[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a ＋b )n 的展开式中的第r 项是C r n an －r b r .( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)在(a ＋b )n 的展开式中，每一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)通项T r ＋1＝C r n an －r b r 中的a 和b 不能互换．( ) (5)(a ＋b )n 展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× [教材衍化]1．(选修2-3P31例2(1)改编)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数为________．解析：T k ＋1＝C k 5(2x )k ＝C k 52k x k ，当k ＝2时，x 2的系数为C 25·22＝40.答案：402．(选修2-3P31例2(2)改编)若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：二项式系数之和2n＝64，所以n ＝6，T k ＋1＝C k 6·x6－k·⎝⎛⎭⎫1x k＝C k 6x 6－2k，当6－2k ＝0，即当k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.答案：203．(选修2-3P41B 组T5改编)若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为________．解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.答案：8 [易错纠偏](1)混淆“二项式系数”与“系数”致误； (2)配凑不当致误．1．在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．解析：由题意得2n ＝32，所以n ＝5.令x ＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1. 答案：－12．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________．解析：因为(1＋x )10＝[2－(1－x )]10，所以其展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r 210－r ·C r 10(1－x )r ，令r ＝8，得a 8＝4C 810＝180.答案：180二项展开式中的特定项或特定项的系数(高频考点)二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)求展开式中的某一项；(2)求展开式中的项的系数或二项式系数； (3)由已知条件求n 的值或参数的值．角度一求展开式中的某一项(2019·高考浙江卷)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．【解析】该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9(2)9－k x k，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()29＝162；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.【答案】 162 5角度二求展开式中的项的系数或二项式系数⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．35【解析】 (1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30，故选C.【答案】 C角度三由已知条件求n 的值或参数的值(2020·浙江新高考联盟联考)若二项式(ax －1x)6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若A ＝4B ，则a ＝________．【解析】 T r ＋1＝(－1)r C r 6(ax )6－r (1x)r ＝(－1)r a 6－r C r 6x 6－32r . 令6－32r ＝3得r ＝2，则 A ＝a 4C 26＝15a 4；令6－32r ＝0得r ＝4，则B ＝(－1)4a 2C 46＝15a 2，又由A ＝4B 得15a 4＝4×15a 2，则a ＝2. 【答案】 2与二项展开式有关问题的解题策略(1)求展开式中的第n 项，可依据二项式的通项直接求出第n 项．(2)求展开式中的特定项，可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可． (3)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．1．若⎝⎛⎭⎫x 6＋1x x n的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.T r ＋1＝C r n (x 6)n －r ⎝⎛⎭⎫1x x r＝C r n x 6n －152r ，当T r ＋1是常数项时，6n －152r ＝0，即n＝54r ，又n ∈N *，故n 的最小值为5，故选C. 2．(2020·金华十校期末调研)在(x 2－1x )n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________；展开式中常数项是________．解析：在⎝⎛⎭⎫x 2－1x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，所以n ＝8. 所以T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫x 28－r⎝⎛⎭⎫－1x r ＝⎝⎛⎭⎫128－r(－1)r C r 8x8－2r.由8－2r ＝0，得r ＝4.所以展开式中常数项是⎝⎛⎭⎫124(－1)4C 48＝358. 答案：8358二项式系数的性质或各项系数和(1)在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x 11的展开式中，系数最大的项为第________项． (2)(2020·宁波十校联考)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．【解析】 (1)依题意可知T r ＋1＝C r 11(－1)r x22－3r，0≤r ≤11，r ∈Z ，二项式系数最大的是C 511与C 611.当r ＝6时，T 7＝C 611x 4，故系数最大的项是第七项． (2)令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以有(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.【答案】 (1)七 (2)1或－3(变条件)本例(2)变为：若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．解析：令x ＝2，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(4＋m )9，令x ＝0，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝(m ＋2)9，所以有(4＋m )9(m ＋2)9＝39，即m 2＋6m ＋5＝0，解得m ＝－1或－5.答案：－1或－5赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.1．在⎝⎛⎭⎫x 2＋1x n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．120解析：选A.因为二项展开式中中间项的二项式系数最大，又二项式系数最大的项只有第4项，所以展开式中共有7项，所以n ＝6，展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，则r ＝4，故展开式中的常数项为T 5＝C 46＝15.2．已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________．解析：由题意知a 4为含x 的项的系数，根据二项式定理得a 4＝C 23×12×C 22×22＋C 33×13×C 12×2＝16，a 5是常数项，所以a 5＝C 33×13×C 22×22＝4.答案：16 4二项式定理的应用设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11D ．12【解析】 512 018＋a ＝(52－1)2 018＋a ＝C 02 018522 018－C 12 018522 017＋…＋C 2 0172 018×52×(－1)2 017＋C 2 0182 018×(－1)2 018＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0182 018×(－1)2 018＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，所以a ＝12.【答案】 D(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)求余数问题时，应明确被除式f (x )与除式g (x )(g (x )≠0)，商式q (x )与余式的关系及余式的范围．1．(2020·金华十校联考)设二项式⎝⎛⎭⎫x －12n(n ∈N *)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n ，b n ，则a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n＝( )A ．2n －1＋3 B ．2(2n －1＋1) C ．2n ＋1D ．1解析：选C.二项式⎝⎛⎭⎫x －12n(n ∈N *)展开式的二项式系数和为2n ，各项系数和为⎝⎛⎭⎫1－12n＝⎝⎛⎭⎫12n ，所以a n ＝2n ，b n ＝⎝⎛⎭⎫12n，所以a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n ＝2×（1－2n ）1－212×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝2n ＋1－21－12n ＝2n ＋1，故选C. 2．求证：3n >(n ＋2)·2n －1(n ∈N *，n >2)．证明：因为n ∈N *，且n >2，所以3n ＝(2＋1)n 展开后至少有4项．(2＋1)n ＝2n ＋C 1n ·2n －1＋…＋C n －1n ·2＋1≥2n ＋n ·2n －1＋2n ＋1>2n ＋n ·2n －1＝(n ＋2)·2n －1，故3n >(n ＋2)·2n －1(n ∈N *，n >2)．[基础题组练]1．(2020·金华十校期末调研)在(x 2－4)5的展开式中，含x 6的项的系数为( ) A ．20 B ．40 C ．80D ．160解析：选D.T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r (－4)r ＝(－4)r C r 5x 10－2r，令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以含x 6的项的系数为(－4)2C 25＝160.2．(2020·台州高三期末考试)已知在(x 2－15x )n 的展开式中，第6项为常数项，则n ＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选D.因为第6项为常数项，由C 5n (x 2)n －5(－15x )5＝－(12)n －5C 5n ·x n －6，可得n －6＝0，解得n ＝6.故选D.3．(2020·温州市普通高中模考)在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( )A ．15B ．45C ．135D ．405解析：选C.由题意4n 2n ＝64，n ＝6，T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫3x r ＝3r C r 6x 6－3r 2，令6－3r 2＝3，r ＝2，32C 26＝135.4．(2020·湖州市高三期末考试)若(x ＋a x )(2x －1x )5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项是( )A ．－40B ．－20C ．40D ．20解析：选C.令x ＝1，(1＋a )×(2－1)5＝2，解得a ＝1. 所以(2x －1x)5的通项公式T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (－1x )r ＝(－1)r 25－r C r 5x 5－2r ，令5－2r ＝－1，5－2r ＝1. 解得r ＝3或2.所以该展开式中常数项＝(－1)322C 35＋(－1)2×23C 25＝40. 5．(x 2－x ＋1)10的展开式中x 3项的系数为( ) A ．－210 B ．210 C ．30D ．－30解析：选A.(x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为：－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.6．(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：选C.(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x 6－k ，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C. 7．已知(ax ＋b )6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与－18，则(ax ＋b )6的展开式中所有项系数之和为( )A ．－1B ．1C ．32D ．64解析：选D.由二项展开式的通项公式可知x 4项的系数为C 26a 4b 2，x 5项的系数为C 16a 5b ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧C 26a 4b 2＝135C 16a 5b ＝－18，解得a ＋b ＝±2，故(ax ＋b )6的展开式中所有项的系数之和为(a＋b )6＝64，选D.8．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210解析：选C.因为f (m ，n )＝C m 6C n 4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.9．(2020·义乌调研测试)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B.12 C ．1D ．2解析：选D.因为⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x 10－r ·⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 10x 10－2r ，所以(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中含x 6的项为x 2·C 310x 4－a C 210x 6＝(C 310－a C 210)x 6，则C 310－a C 210＝30，解得a ＝2，故选D.10．(2020·台州模拟)(x ＋2y )7的展开式中，系数最大的项是( ) A ．68y 7 B ．112x 3y 4 C ．672x 2y 5D ．1 344x 2y 5解析：选C.设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 7·2r ≥C r －17·2r －1，C r 7·2r ≥C r ＋17·2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧7！r ！（7－r ）！·2r ≥7！（r －1）！（7－r ＋1）！·2r －1，7！r ！（7－r ）！·2r≥7！（r ＋1）！（7－r －1）！·2r ＋1，即⎩⎨⎧2r ≥18－r，17－r ≥2r ＋1解得⎩⎨⎧r ≤163，r ≥133.又因为r ∈Z ，所以r ＝5.所以系数最大的项为T 6＝C 57x 2·25y 5＝672x 2y 5.故选C.11．(2020·金华市东阳二中高三调研)在二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是________．解析：因为在二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以n ＝8，展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·(－1)r ·x8－2r，令8－2r ＝2，则r ＝3，所以展开式中含x 2项的系数是－C 38＝－56. 答案：－5612．(2020·温州中学高三模考)已知(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n(n ∈N *)的展开式中没有常数项，且2≤n ≤8，则n ＝________．解析：因为⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n的通项公式为T r ＋1＝C r n x n －r ·x －3r ＝C r n x n －4r，故当n －4r ＝0，－1，－2时存在常数项，即n ＝4r ，4r －1，4r －2，故n ＝2，3，4，6，7，8时为常数项，所以当n ＝5时没有常数项符合题设．答案：513．若直线x ＋ay －1＝0与2x －y ＋5＝0垂直，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 5的展开式中x 4的系数为________．解析：由两条直线垂直，得1×2＋a ×(－1)＝0，得a ＝2，所以二项式为⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5，其通项公式T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r 25－r C r 5x 10－3r ，令10－3r ＝4，解得r ＝2，所以二项式的展开式中x 4的系数为23C 25＝80.答案：8014．已知⎝⎛⎭⎫1－1x (1＋x )5的展开式中x r (r ∈Z 且－1≤r ≤5)的系数为0，则r ＝________. 解析：依题意，(1＋x )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x r ，故展开式为⎝⎛⎭⎫1－1x (x 5＋5x 4＋10x 3＋10x 2＋5x ＋1)，故可知展开式中x 2的系数为0，故r ＝2.答案：215．(2020·杭州市高考模拟)若(2x －1x 2)n 的展开式中所有二项式系数和为64，则n ＝________；展开式中的常数项是________．解析：因为(2x －1x 2)n 的展开式中所有二项式系数和为2n ＝64，则n ＝6；根据(2x －1x 2)n＝(2x －1x2)6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·(－1)r ·(2x )6－r ·x －2r ＝C r 6·(－1)r ·26－r ·x 6－3r ，令6－3r ＝0，求得r ＝2，可得展开式中的常数项是C 26·24＝240.答案：6 24016．(2020·浙江东阳中学高三检测)已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 0＝________；(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)2＝________．解析：由(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，观察：可令x ＝0得：(1－2×0)7＝a 0＋a 1×0＋…＋a 7×0＝1，a 0＝1.(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 7)[a 0＋a 2＋a 4＋a 6－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)]，则可令x ＝1得：(1－2×1)7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1，再可令x ＝－1得：(1＋2×1)7＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 7＝37＝2 187，可得：(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)2 ＝－1×2 187＝－2 187. 答案：1 －2 18717．设f (x )是(x 2＋12x )6展开式中的中间项，若f (x )≤mx 在区间[22，2]上恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：(x 2＋12x )6的展开式中的中间项为第四项，即f (x )＝C 36(x 2)3(12x )3＝52x 3，因为f (x )≤mx 在区间[22，2]上恒成立，所以m ≥52x 2在[22，2]上恒成立，所以m ≥(52x 2)max ＝5，所以实数m 的取值范围是[5，＋∞)．答案：[5，＋∞)[综合题组练]1．C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2n 2n (n ∈N *)的值为( )A ．2nB ．22n －1 C ．2n －1D ．22n －1－1解析：选D.(1＋x )2n ＝C 02n ＋C 12n x ＋C 22n x 2＋C 32n x 3＋…＋C 2n 2n x 2n . 令x ＝1，得C 02n ＋C 12n ＋C 22n ＋…＋C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝22n ；再令x ＝－1，得C 02n －C 12n ＋C 22n －…＋(－1)r C r 2n ＋…－C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝0.两式相加，可得C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n2n ＝22n2－1＝22n －1－1.2．(2020·杭州七校联考)若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，15 B.⎣⎡⎭⎫45，＋∞C.⎝⎛⎦⎤－∞，－45 D ．(1，＋∞)解析：选D.二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r ＋1＝C r 9·x9－r ·y r . 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2，x ＋y ＝1，xy <0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 8·（1－x ）－4x 7·（1－x ）2≤0，x （1－x ）<0，解得x >1，即x 的取值范围为(1，＋∞)．3．若⎝⎛⎭⎫x ＋13x n 的展开式中前三项的系数分别为A ，B ，C ，且满足4A ＝9(C －B )，则展开式为x 2的系数为________．解析：易得A ＝1，B ＝n 3，C ＝C 2n 9＝n （n －1）18，所以有4＝9⎝⎛⎭⎫n 2－n 18－n 3，即n 2－7n －8＝0，解得n ＝8或n ＝－1(舍)．在⎝⎛⎭⎫x ＋13x 8中，因为通项T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝⎛⎭⎫13x r ＝C r 83r·x 8－2r ，令8－2r ＝2，得r ＝3，所以展开式中x 2的系数为5627. 答案：56274．已知(x tanθ＋1)5的展开式中x 2的系数与⎝⎛⎭⎫x ＋544的展开式中x 3的系数相等，则tan θ＝________．解析：⎝⎛⎭⎫x ＋544的通项为T r ＋1＝C r 4·x 4－r ·⎝⎛⎭⎫54r ，令4－r ＝3，则r ＝1，所以⎝⎛⎭⎫x ＋544的展开式中x 3的系数是C 14·54＝5，(x tan θ＋1)5的通项为T R ＋1＝C R 5·(x tan θ)5－R ，令5－R ＝2，得R ＝3，所以(x tan θ＋1)5的展开式中x 2的系数是C 35·tan 2θ＝5，所以tan 2θ＝12，所以tan θ＝±22.答案：±225．(2020·台州市书生中学高三期中)设m ，n ∈N ，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n .(1)当m ＝n ＝5时，若f (x )＝a 5(1－x )5＋a 4(1－x )4＋…＋a 1(1－x )＋a 0，求a 0＋a 2＋a 4的值；(2)f (x )展开式中x 的系数是9，当m ，n 变化时，求x 2系数的最小值．解：(1)当m ＝n ＝5时，f (x )＝2(1＋x )5，令x ＝0，则f (0)＝a 5＋a 4＋…＋a 1＋a 0＝2，令x ＝2，则f (2)＝－a 5＋a 4－…－a 1＋a 0＝2×35，所以a 0＋a 2＋a 4＝f （0）＋f （2）2＝35＋1＝244. (2)由题意得f (x )展开式中x 的系数是C 1m ＋C 1n ＝m ＋n ＝9，x 2系数为C 2m ＋C 2n ＝m （m －1）2＋n （n －1）2＝m 2＋n 2－（m ＋n ）2＝m 2＋n 2－92，又m 2＋n 2－92＝m 2＋（9－m ）2－92＝2m 2－18m ＋722，因为m ，n ∈N ，所以当m ＝4或m ＝5时最小，最小值为16.6．(2020·金丽衢十二校联考)已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n . (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解：(1)通项T r ＋1＝C r n ⎝⎛⎭⎫12n －r·(2x )r ＝22r －n C r n x r ，由题意知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，所以2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以n ＝14或7.当n ＝14时，第8项的二项式系数最大，该项的系数为22×7－14C 714＝3 432；当n ＝7时，第4、5项的二项式系数相等且最大，其系数分别为22×3－7C 37＝352，22×4－7C 47＝70. (2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，所以n ＝12或n ＝－13(舍)．所以T r ＋1＝22r －12C r 12x r .由⎩⎪⎨⎪⎧22r －12C r 12≥22（r －1）－12C r －112，22r －12C r 12≥22（r ＋1）－12C r ＋112，得⎩⎨⎧r ≤525，r ≥475所以r ＝10. 所以展开式中系数最大的项为T 11＝22×10－12·C 1012x 10＝332(2x )10.。

高三数学一轮复习(浙江版)练习10.2 二项式定理知能训练 Word版含答案

§二项式定理Ａ组基础题组.(山西八校联考分)若二项式的展开式中的系数是,则实数()..(浙江分)在()()的展开式中,记项的系数为(),则()()()()()..(北京一模)设()…,则…的值为()..(辽宁分)使(∈*)的展开式中含有常数项的最小的为().(浙江分)设二项式的展开式中常数项为,则..(河北石家庄调研)设()的展开式的各项系数之和为,二项式系数之和为,若三数成等比数列,则展开式中第四项为..(合肥第一次质检)若展开式的各项系数绝对值之和为,则展开式中的一次项的系数为..(浙江名校(绍兴一中)交流卷自选模块(五)())多项式的展开式中的常数项为..(浙江名校(诸暨中学)交流卷自选模块(一)())已知()()…(),则(用数字作答)..(课标Ⅱ分)()()的展开式中的奇数次幂项的系数之和为,则..(浙江新高考研究卷自选模块五(学军中学)())已知二项式的展开式中各项系数之和为,求展开式中的常数项..(浙江冲刺卷二())求二项式的展开式中,除常数项外各项系数之和..(浙江新高考研究卷自选模块三(海宁高级中学)())已知(∈*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比是∶,求展开式中各项的系数和..(浙江调研模拟试卷自选模块三(镇海中学))已知()….()求项的二项式系数;()求…的值.组提升题组.(浙江丽水二模)()的展开式中项的系数是().(浙江重点中学协作体第一次适应性测试)将二项式的展开式按的降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式中的指数是整数的项共有()个个个个.(课标全国Ⅱ分)已知()()的展开式中的系数为,则().(湖北荆门调考分)的展开式中的常数项为().(大纲全国分)的展开式中的系数为.(用数字作答).(安徽分)设≠, 是大于的自然数,的展开式为….若点()()的位置如图所示,则.。

2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：二项式定理

§10.3二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识梳理1．二项式定理二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)二项展开式的通项T k ＋1＝C k n an －k b k，它表示展开式的第k ＋1项二项式系数C k n (k ＝0,1，…，n )2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n 是偶数时，中间的一项2C nn取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12Cn n－与12Cn n＋相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各二项式系数的和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.常用结论1．C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.2．C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k 是(a ＋b )n 的展开式中的第k 项．(×)(2)(a ＋b )n 的展开式中每一项的二项式系数与a ，b 无关．(√)(3)通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k 中的a 和b 不能互换．(√)(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．(×)教材改编题1.的展开式中x 2的系数等于()A ．45B ．20C ．－30D ．－90答案A解析因为展开式的通项为T k ＋1＝()311010100221C C ()(1)k kk kk kkxxx -+⋅－－－＝－，令－10＋32k ＝2，得k ＝8，所以展开式中x 2的系数为(－1)8×C 810＝45.2．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝243，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于()A ．31B ．32C ．15D ．16答案A解析逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝243，即3n ＝35，所以n ＝5，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝25－1＝31.3．若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．答案20解析因为二项式系数之和为2n ＝64，所以n ＝6，则T k ＋1＝C k 6·x6－k＝C k 6x6－2k，当6－2k ＝0，即k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.题型一通项公式的应用命题点1形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式的特定项例1(1)二项式的展开式中的常数项是()A ．－45B ．－10C ．45D ．65答案C解析由二项式定理得T k ＋1＝C k －k(－x 2)k＝55210(1)C k kk x－－，令5k2－5＝0得k ＝2，所以常数项为(－1)2C 210＝45.(2)已知的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝__________.答案±1解析的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5x 5－k ＝(－a )k C k 5352k x.由5－32k ＝5，得k ＝0，由5－32＝2，得k ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.命题点2形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式问题例2(1)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是()A ．56B ．84C ．112D ．168答案D解析在(1＋x )8的展开式中含x 2的项为C 28x 2＝28x 2，(1＋y )4的展开式中含y 2的项为C 24y 2＝6y 2，所以x 2y 2的系数为28×6＝168.(2)在(2x ＋a 的展开式中，x 2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为()A ．3204B ．－160C ．160D ．－320答案D解析的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·x 6－k ＝C k 6·2k ·x6－2k ，2xT k ＋1＝C k 6·2k ＋1·x 7－2k，由k ∈N ，得7－2k ≠2，故不成立，aT k ＋1＝a C k 6·2k ·x6－2k，令6－2k ＝2，解得k ＝2，则a C 26·22＝60a ＝－120，解得a ＝－2，∵7－2k ≠0，在－2T k ＋1中，令6－2k ＝0，解得k ＝3，∴展开式中的常数项为－2C 36·23＝－320.思维升华(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．跟踪训练1(1)(2022·新高考全国Ⅰx ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________(用数字作答)．答案－28解析(x ＋y )8展开式的通项为T k ＋1＝C k 8x 8－k y k ，k ＝0,1，…，7,8.令k ＝6，得T 6＋1＝C 68x 2y 6；令k ＝5，得T 5＋1＝C 58x 3y 5x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为C 68－C 58＝－28.(2)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．答案1625解析由题意得，(2＋x )9的通项公式为T k ＋1＝C k 9(2)9－k ·x k(k ＝0,1,2，…，9)．当k ＝0时，可得常数项为T 1＝C 09(2)9＝16 2.若展开式的系数为有理数，则k ＝1,3,5,7,9，有T 2，T 4，T 6，T 8，T 10，共5个．题型二二项式系数与项的系数问题命题点1二项式系数和与系数和例3(1)在x 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则()A ．二项式系数和为32B ．各项系数和为128C ．常数项为－135D ．常数项为135答案D解析令x ＝1，得各项系数和为2n ，又二项式系数和为2n ，则2×2n ＝128，得n ＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A ，B 不正确；x 的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·(3x )6－k ＝C k 6·(－1)k 36－k ·362x ，令6－32k ＝0，得k ＝4，因此展开式中的常数项为T 5＝C 46·(－1)4·32＝135，故C 不正确，D 正确．(2)若(1＋x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 2＋a 6＋a 8＝________；a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝________.答案3005120解析①由已知得(1＋x )10展开式的通项为T k ＋1＝C k 10x k，所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数．故a 2＋a 6＋a 8＝C 210＋C 610＋C 810＝300.②对原式两边求导得，10(1＋x )9＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋10a 10x 9.令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝10×29＝5120.命题点2系数与二项式系数的最值问题例4(多选)(2023·唐山模拟)下列关于2的展开式的说法中正确的是()A ．常数项为－160B ．第4项的系数最大C ．第4项的二项式系数最大D ．所有项的系数和为1答案ACD解析2展开式的通项为T k ＋1＝C k 6－k·(－2x )k ＝(－2)k C k 6·x2k －6.对于A ，令2k －6＝0，解得k ＝3，∴常数项为(－2)3C 36＝－8×20＝－160，A 正确；对于B ，由通项公式知，若要系数最大，k 所有可能的取值为0,2,4,6，∴T 1＝x －6，T 3＝4C 26x －2＝60x －2，T 5＝(－2)4C 46x 2＝240x 2，T 7＝(－2)6x 6＝64x 6，∴展开式第5项的系数最大，B 错误；对于C ，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C 正确；对于D ，令x ＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D 正确．思维升华赋值法的应用一般地，对于多项式(a ＋bx )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令g (x )＝(a ＋bx )n ，则(a ＋bx )n 的展开式中各项的系数和为g (1)，(a ＋bx )n 的展开式中奇数项的系数和为12[g (1)＋g (－1)]，(a ＋bx )n的展开式中偶数项的系数和为12[g (1)－g (－1)]．跟踪训练2(1)(多选)对于2的展开式，下列说法正确的是()A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为64C ．常数项为1215D ．系数最大的项为第3项答案ABC解析2的展开式中所有项的二项式系数和为26＝64，故A 正确；在2中，令x ＝1，得(1－3)6＝64，故B 正确；展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k＝(－3)k C k 6x12－3k (0≤k ≤6，k ∈N )，令12－3k ＝0，得k ＝4，所以常数项为(－3)4C 46＝1215，故C 正确；由C 的分析可知第2,4,6项系数为负值，第1项系数为1，第3项系数为(－3)2C 26＝135，第5项系数为(－3)4C 46＝1215，第7项系数为(－3)6C 66＝729，则系数最大的项为第5项，故D 不正确．(2)设(2＋x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9)2的值为________．答案1解析令x ＝1有a 0＋a 1＋…＋a 10＝(2＋1)10，令x ＝－1有a 0－a 1＋a 2－…＋a 10＝(2－1)10，故(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)·(a 0－a 1＋a 2－…＋a 10)＝(2＋1)10(2－1)10＝1.题型三二项式定理的综合应用例5(1)设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若512023＋a 能被13整除，则a 等于()A ．0B ．1C ．11D ．12答案B解析因为a ∈Z ，且0≤a ≤13，所以512023＋a ＝(52－1)2023＋a＝C 020********－C 12023522022＋C 22023522021－…＋C 2022202352－C 20232023＋a ，因为512023＋a 能被13整除，所以－C 20232023＋a ＝－1＋a 能被13整除，结合选项，所以a ＝1.(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是()A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34答案D解析 1.056＝(1＋0.05)6＝C06＋C16×0.05＋C26×0.052＋C36×0.053＋…＋C66×0.056＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…＋0.056≈1.34.思维升华二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.跟踪训练3(1)设n为奇数，那么11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是()A．－3B．2C．10D．11答案C解析11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1＝C0n·11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11＋C n n－2＝(11＋1)n－2＝12n－2＝(13－1)n－2＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13＋(－1)n·C n n－2，因为n为奇数，则上式＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－3＝[C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－13]＋10，所以11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是10.(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是()A．0.940B．0.941C．0.942D．0.943答案B解析0.996＝(1－0.01)6＝C06×1－C16×0.01＋C26×0.012－C36×0.013＋…＋C66×0.016＝1－0.06＋0.0015－0.00002＋…＋0.016≈0.941.课时精练2的展开式中x4的系数为()A ．10B ．20C ．40D ．80答案C解析由题意可得T k ＋1＝C k 5·(x 2)5－k＝(－1)k C k 5·2k ·x10－3k ，令10－3k ＝4，则k ＝2，所以所求系数为(－1)2C 25·22＝40.2．(多选)若2的展开式中的常数项为1516，则实数a 的值可能为()A ．2 B.12C ．－2D ．－12答案AC 解析2的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k＝Cx 12－3k ，令12－3k ＝0，得k ＝4.故C46＝1516，即＝116，解得a ＝±2.3．在(x ＋3)的展开式中，常数项为()A ．－152 B.152C ．－52D.52答案A 解析原式＝＋，①而的通项公式为T k ＋1C k 6x 6－2k .当6－2k ＝－1时，k ＝72∉Z ，故①式中的前一项不会出现常数项；当6－2k＝0，即k ＝3时，可得①式中的后一项即为所求，此时原式常数项为3×C 36＝－152.4．在的展开式中，x 的指数是整数的项数是()A ．2B ．3C ．4D．5答案D解析因为的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 24(x )24－＝512624C kkx －，所以当k＝0,6,12,18,24时，x 的指数是整数，故x 的指数是整数的有5项．5．在二项式(1－2x )n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A ．－960B ．960C ．1120D ．1680答案C解析根据题意，奇数项的二项式系数之和也为128，所以在(1－2x )n 的展开式中，二项式系数之和为256，即2n ＝256，得n ＝8，则(1－2x )8的展开式的中间项为第5项，且T 5＝C 48(－2)4x 4＝1120x 4，即展开式的中间项的系数为1120.6．设a ＝3n ＋C 1n 3n －1＋C 2n 3n －2＋…＋C n －1n 3，则当n ＝2023时，a 除以15所得余数为()A ．3B ．4C ．7D ．8答案A解析∵C 0n 3n ＋C 1n 3n －1＋C 2n 3n －2＋…＋C n －1n 3＋C n n 30＝(3＋1)n ＝4n，∴a ＝4n －1，当n ＝2023时，a ＝42023－1＝4×161011－1＝4×[(15＋1)1011－1]＋3，而(15＋1)1011－1＝C 010********＋C 11011151010＋…＋C 1010101115，故此时a 除以15所得余数为3.7．(多选)在二项式的展开式中，正确的说法是()A ．常数项是第3项B ．各项的系数和是164C ．第4项二项式系数最大D ．奇数项二项式系数和为32答案BCD解析二项式的展开式通项为T k ＋1＝C k 6·(3x )6－k＝62361C 2kkk x ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭－－.对于A 选项，令6－2k3＝0，可得k ＝3，故常数项是第4项，A 错误；对于B 选项，各项的系数和是＝164，B 正确；对于C 选项，展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C 正确；对于D 选项，奇数项二项式系数和为25＝32，D 正确．8．(多选)(2023·沧州模拟)已知(1－2x )2023＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2023x 2023，则()A ．展开式中所有项的二项式系数和为22023B ．展开式中系数最大项为第1350项C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2023＝32023－12D.a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝－1答案AD解析易知(1－2x )2023的展开式中所有项的二项式系数和为22023，故A 正确；由二项式通项，知T k ＋1＝C k 2023(－2x )k ＝(－2)k C k 2023x k ，所以第1350项的系数为(－2)1349C 13492023<0，所以第1350项不是系数最大项，故B 错误；当x ＝1时，有a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2023＝－1，①当x ＝－1时，有a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2022－a 2023＝32023，②①－②，可得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2023＝－1＋320232，故C 错误；当x ＝0时，a 0＝1，当x ＝12时，a 0＋a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝0，所以a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝－a 0＝－1，故D 正确．9．若x 5＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋…＋a 5(x －2)5，则a 1＝________，a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.答案80211解析因为x 5＝[2＋(x －2)]5，则a 1＝C 15·24＝80.令x ＝3，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝35＝243；令x ＝2，得a 0＝25＝32，故a 1＋a 2＋…＋a 5＝243－32＝211.10．(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，展开式中二项式系数最大的项为________；系数最大的项为________________．答案1120x 41792x 5和1792x 6解析T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ·25＝C 6n ·26，得n ＝8.∴在(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1120x 4，设第k ＋1k 8·2k ≥C k －18·2k －1，k 8·2k ≥C k ＋18·2k ＋1，解得5≤k ≤6.又k ∈N ，∴k ＝5或k ＝6，∴系数最大的项为T 6＝1792x 5，T 7＝1792x 6.11．(x ＋y －2z )5的展开式中，xy 2z 2的系数是()A ．120B ．－120C ．60D ．30答案A解析由题意知(x ＋y －2z )5＝[(x ＋y )－2z ]5，展开式的第k ＋1项为C k 5(x ＋y )5－k(－2z )k ，令k ＝2，可得第3项为(－2)2C 25(x ＋y )3z 2，(x ＋y )3的展开式的第m ＋1项为C m 3x 3－m y m ，令m ＝2，可得第3项为C 23xy 2，所以(x ＋y －2z )5的展开式中，xy 2z 2的系数是(－2)2C 25C 23＝120.12．(2023·浙江名校联盟联考)设(x －1)(2＋x )3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1＝________，2a 2＋3a 3＋4a 4＝________.答案－431解析因为x ·C 03·23·x 0－C 13·22·x 1＝－4x ，所以a 1＝－4，对所给等式，两边对x 求导，可得(2＋x )3＋3(x －1)(2＋x )2＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3，令x ＝1，得27＝a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4，所以2a 2＋3a 3＋4a 4＝31.13．若(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 的展开式中的各项系数和为243，则a 1＋2a 2＋…＋na n 等于()A ．405B ．810C ．243D ．64答案B解析(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，两边求导得2n (2x ＋1)n －1＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1.令x ＝1，则2n ×3n －1＝a 1＋2a 2＋…＋na n .又因为(2x ＋1)n 的展开式中各项系数和为243，令x ＝1，可得3n ＝243，解得n ＝5.所以a 1＋2a 2＋…＋na n ＝2×5×34＝810.14．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若(1－2x )2023＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋…＋b 2023x 2023，数列{a n }的首项a 1＝b 12＋b 222＋…＋b 202322023，a n ＋1＝S n ·S n ＋1，则S 2023等于()A ．－12023B.12023C ．2023D ．－2023答案A 解析令x ＝12，得－2023＝b 0＋b 12＋b 222＋…＋b 202322023＝0.令x ＝0，得b 0＝1，所以a 1＝b 12＋b 222＋…＋b 202322023＝－1.由a n ＋1＝S n ·S n ＋1＝S n ＋1－S n ，得S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1＝1，所以1S n ＋1－1S n ＝－1，是首项为1S 1＝－1，公差为－1的等差数列，所以1S n＝－1＋(n －1)·(－1)＝－n ，所以S n ＝－1n ，所以S 2023＝－12023.。

高中数学(人教A版浙江)一轮参考课件：10-3 二项式定理

知识梳理知识梳理双击自测
-4-
3.二项式系数的性质
�� (1)0≤k≤n 时,C�� 与C�� 的关系是C�� = C�� (2)二项式系数先增后减,中间项最大 �� -�� -��
.
��+1 2
��+3 项的二项式系数最大. 2
�� 2
0 2 ,C�� + C�� +
知识梳理知识梳理双击自测
-5-
1.(1+x)2n(n∈N*)的展开式中,系数最大的项是 ( C ) �� A.第 2+1项 B.第n项 C.第n+1项 D.第n项与第n+1项解析:展开式共有2n+1项,且各项系数与相应的二项式系数相同. 故选C. 2.(2015· 福建高考)在(x+2)5的展开式中,x2的系数等于 80 .(用数字作答) �� 5-r r 解析:通项公式为 Tr+1=C5 x 2 ,令 5-r=2,得 r=3. 3 3 则 x2 的系数为C5 · 2 =80.
知识梳理知识梳理双击自测
-7-
自测点评
n-k k 0 n 1 n-1 �� n 1.二项式定理(a+b)n=C�� a +C�� a b+…+C�� a b +…+C�� b (n∈ n-k k N*)揭示二项展开式的规律,一定牢记通项公式 Tk+1=C�� a b 是展开 �� 式的第 k+1 项,不是第 k 项. 2.二项式系数与展开式项的系数的异同 n-k k �� (1)在 Tk+1=C�� a b 中,C�� 是该项的二项式系数,与该项的系数是两个不同的概念,前者只指C�� ,只与 n 和 k 有关,恒为正,后者还与 a,b 有关,可正可负.

浙江新高考数学理科一轮复习创新方案主干知识10.3二项式定理(含答案详析)

第三节二项式定理【考纲下载】1．能利用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理2．二项式系数的性质1．二项式(x＋y)n的展开式的第k＋1项与(y＋x)n的展开式的第k＋1项一样吗？提示：尽管(x＋y)n与(y＋x)n的值相等，但它们的展开式形式是不同的，因此应用二项式定理时，x，y的位置不能随便交换．2．二项式系数与项的系数一样吗？提示：不一样．二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．1．(x －y )n 的二项展开式中，第r 项的系数是( )A ．C r nB ．C r ＋1n C ．C r －1nD ．(－1)r －1C r －1n 解析：选D 本题中由于y 的系数为负，故其第r 项的系数为(－1)r －1C r －1n .2．(2012·四川高考)(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( )A ．42B ．35C ．28D ．21解析：选D 依题意可知，二项式(1＋x )7的展开式中x 2的系数等于C 27×15＝21.3．C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56＋C 66的值为( )A ．62B ．63C ．64D ．65解析：选B 因为C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56＋C 66＝(C 06＋C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56＋C 66)－C 06＝26－1＝63.4.⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n 等于________．解析：∵展开式中只有第6项的二项式系数最大，∴n ＝10.答案：105．(2014·南充模拟)(x ＋1)9的展开式中x 3的系数是________(用数字作答)．解析：依题意知，(x ＋1)9的展开式中x 3的系数为C 69＝C 39＝9×8×73×2×1＝84. 答案：84。

2018年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题10.3 二项式定理测含解析

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．【2017届四川成都七中高三10月段测数学（理）试卷】化简112211222(1)2n n n n n n n n C C C -----⨯+⨯++-⨯=L （）A ．1B ．(1)n -C ．1(1)n +-D ．1(1)n-- 【答案】D 【解析】2．【2017届四川巴中市高中高三毕业班10月零诊理数试卷】设i 为虚数单位，则6)(i x -的展开式中含4x 的项为（）A ．415x -B ．415xC ．420ix -D ．420ix 【答案】A. 【解析】试题分析：由二项展开的通项公式616(1)r r r r r T C i x -+=-，令2r =，故4x 的系数是2226(1)15C i -=-，故选A.3．【改编题】6(1)(1)x x +-展开式中3x 项系数为（）A.14 B ．15 C ．16 D ．17 【答案】C 【解析】6(1)x -展开式的通项为616()kk k T C x -+=-3626(1)k kkC x--=-，令2k =，得2223615T C x x ==，令0k =，得03316T C x x ==，故3x 项为32311516x x x x ⋅+⋅=，所以3x 项系数为16．4．【2017届江西南昌市高三上学期摸底调研数学（理）试卷】4(12)x -展开式中第3项的二项式系数为（）A ．6B ．-6C ．24D ．-24 【答案】A 【解析】试题分析：第3项的二项式系数为246C =,选A.5．【2017届湖北武汉市部分学校高三上学期起点考试数学（理）试卷】若二次项8()ax x-的展开式中常数项为280，则实数a =（） A ．2 B ．2± C ．2± D ．2 【答案】C6．【2017届浙江温州市普通高中高三8月模拟考试数学试卷】在nx x ⎛⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则3x 的系数为（） A ．15 B ．45 C ．135 D ．405 【答案】C 【解析】试题分析：由题意4642n n =，6n =，3662166)3rr r r r rr T C x C x x--+==，令3632r -=，2r =，2263135C =．故选C ．7．【2017届内蒙古杭锦后旗奋斗高三上入学摸底数学理试卷】二项式1022()x x 展开式中的常数项是A ．360B ．180C ．90D ．45 【答案】B 【解析】试题分析：551021101022()()(2)rr r r r rrT C x C xx--+=-=-，令5502r-=，则2r=．所以常数项为22310(2)180T C=-=．故选B．8．若2015220150122015(12)()x a a x a x a x x R-=+++⋅⋅⋅+∈,则12201522015a a a++⋅⋅⋅+=（）A.4030- B.2015- C.2015 D.4030【答案】A9．【2016届辽宁省实验高三第四次模拟数学（理）试卷】设()212a x dx=-⎰,则二项式6212axx⎛⎫+⎪⎝⎭的常数项是（）A．240B．240-C．60-D．60【答案】D【解析】试题分析：242a=-=-，62122xx⎛⎫-⎪⎝⎭的通项为()()662112366112222r rr rr r rC x x C x----⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1230,4r r-==，系数为()244612602C⎛⎫-=⎪⎝⎭.10．【2017届湖南长沙长郡高三入学考试数学（理）试卷】设函数61(),0(),0x xxf xx x⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩，则当0x>时，[()]f f x表达式的展开式中常数项为（）A．-20 B．20 C．-15 D．15【答案】A【解析】11．【2017届江西新余一中高三上学期开学考试数学（理）试卷】已知函数()()()log 110,1a f x x a a =-+>≠且的图象过定点()(),b f b ,则()523x x b -+的展开式中,x 的系数是（）A ．240-B ．120-C ．0D ．120 【答案】A 【解析】试题分析：法一：log (1)1a 0a 1a x -+≠（＞，且）的图象过定点（2,1）,故b=2,所以2525(3+b)(32)x x x x -=-+ 55(2)(1)x x =--0514445505144555555555(222)()C x C x C x C C x C x C x C =-++--++-L L∴展开式中x 的系数为44555455552()(2)240C C C C ⋅⋅-+-⋅⋅=-.法二：()log (1)1(0,1)a a a f x x =-+>≠且的图象过定点（2,1）,故b=2, 所以2525(3b)(32)b x x x x -+=-+ ，展开式中含x 的项可采取以下办法获得：2522222(3b)(32)b(32)(32)(32)(32)x x x x x x x x x x x x -+=-+-+-+-+-+,从上述5个因式中取一个－3x ，其他4个因式中均取常数项，于是得x 的系数为14454(3)2240.C C -⋅=-12.【原创题】210(1)xx -+展开式中3x 项的系数为（）.A.210 B ．120 C ．-90 D ．-210 【答案】D【解析】由题意，2101000101191010(1)[(1)1][(1)]1[(1)]1xx x x C x x C x x -+=-+=-⋅+-⋅22833710100101010[(1)]1[(1)]1[(1)]1C x x C x x C x x +-⋅++-⋅++-⋅L012223331010101010101010(1)(1)(1)(1)C C x x C x x C x x C x x =+-+-+-++-L ，从二项式展开中，3x 出现在222333222333210101010(1)(1)(21)(331)C x x C x x C x x x C x x x x -+-=-++-+-中，所以3x前的系数为231010(2)(1)90120210C C -+-=--=-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13．【2017届黑龙江双鸭山宝清高级高三理适应性考试数学试卷】若⎰=-mdx x 16)12(，则二项式mx 3)21(-的展开式各项系数的和为_______．【答案】1- 【解析】14．【2017届河北唐山市高三上学期调研统考一数学（理）试卷】在nxx )12(3-的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是_______. 【答案】14 【解析】试题分析：依题意有721282,7nn ===，37(2x x-展开式的通项为 ()()173721 3.5277212rrr r r r r C xx C x ----⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，21 3.50,6r r -==，故常数项为()676671214C --=.15．【2017届四川成都七中高三10月段测数学（理）试卷】已知(1)nx +的二项式展开式中第4项和第8项的二项式系数相等，则n = . 【答案】10 【解析】试题分析：73n n C C =，所以10=n ，故填：10.16．【2016届福建省泉州五中高三最后一卷理科数学试卷】已知03sin m xdx π=⎰，则()23ma b c +-的展开式中23m ab c -的系数为______．【答案】6480-【解析】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．求nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-325225的展开式中的常数项，其中n 是017777-除以19的余数．【答案】5168【解析】试题分析：将017777-变形为()7776110+-，借助以二项展开式可得到余数为10，从而得到nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-325225的展开式的通项公式，由x 的次数为0可得到常数项试题解析：()9760117601777777-=-+=-m 除以19的余数是10，所以10=n ．设1+r T 是展开式中的常数项，则10351010321010152255225---+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=r r rr r rr r x C x x C T令01035=-r 得6=r ，所以51685225646107=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=C T ．所以展开式中的常数项为5168． 18．设,,()(1)(1)m nm n N f x x x ∈=+++．（1）当5m n ==时，若545410()(1)(1)(1)f x a x a x a x a =-+-++-+L ，求024a a a ++的值；（2）()f x 展开式中x 的系数是9，当,m n 变化时，求2x 系数的最小值．【答案】（1）244（2）16 【解析】试题分析：（1）通过赋值法令0,2x x ==代入二项展开式可得到系数和的两个关系式，两式结合可求得024a a a ++的值；（2）由二项展开式的通项公式可由x 的系数是9得到9m n +=，将2x 系数转化为用,m n2x 系数为222222(1)(1)()92222mnm m n n m n m n m n C C --+-++-+=+== 又222229(9)921872222m n m m m m +-+---+== 因为,m n N ∈，所以当4m =或5m =时最小，最小值为1619．已知nn x x f )1()(+=，（Ⅰ）若20112011012011()f x a a x a x =+++L ，求2011200931a a a a ++++Λ的值；（Ⅱ）若)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，求)(x g 中含6x 项的系数；【答案】（Ⅰ）20102；（Ⅱ）99；（Ⅲ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求2011()(1)f x x =+展开式中奇数项与偶数项系数和问题，可用(1)(1)f f ±-计算；（Ⅱ）由题意678()(1)2(1)3(1)g x x x x =+++++，由二项式定理可求得展开式中某项的系数；（Ⅲ）这类组合恒等式的证明，通常用构造法，把112m m m m m m n C C nC ++-+⨯++L 构造成一个多项式中某项的系数，由（Ⅱ）的提示可得112m m mm m m n C C nC ++-+⨯++L 是11()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x ++-=++++++L 中m x 的系数，另一方面对()h x 求和可得2(1)(1)(1)()m m n m n x x nx x h x x+++-+++=，这个展开式中mx 的系数应该为1(1)12m m n m n m C ++++⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，这样就能证得结论.（Ⅱ）因为)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，所以678()(1)2(1)3(1)g x x x x =+++++)(x g 中含6x 项的系数为667812399C C +⨯+= （Ⅲ）设11()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x ++-=++++++L （1）则函数()h x 中含m x 项的系数为112m m mm m m n C C nC ++-+⨯++L12(1)()(1)2(1)(1)m m m n x h x x x n x ++++=++++++L （2）（1）-（2）得121()(1)(1)(1)(1)(1)mm m m n m n xh x x x x x n x +++-+-=++++++++-+L(1)[1(1)]()(1)1(1)m n m n x x xh x n x x ++-+-=-+-+2()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x nx x ++=+-+++()h x 中含m x 项的系数，即是等式左边含2m x +项的系数，等式右边含2m x +项的系数为21m m m n m n C nC ++++-+()!()!(2)!(2)!(1)!(1)!(1)(2)()!2(1)!(1)1m n n m n m n m n n n m m n m m n ++=-++-+---+++=⨯++-1(1)12m m n m n C m ++++=+所以112m m mm m m n C C nC ++-+⨯++L 1(1)12m m n m n C m ++++=+20．【2014届第二次大联考数学江苏版】对于给定的函数()f x ，定义()n f x 如下：()()C (1)nkk n k n n k k f x f x x n -==-∑，其中2n n ∈*N ≥，．（1）当()1f x =时，求证：()1n f x =；（2）当()f x x =时，比较2014(2013)f 与2013(2014)f 的大小；（3）当2()f x x =时，求()n f x 的不为0的零点．1111(11)C (1)n k n k k n k k x x n ---==-+-∑11111111(1)C (1)C (1)n nk n k k k n k kn n k k k x x x x n n ------===--+-∑∑21121211(1)C (1)C (1)nnk n k k k n k k n n k k x n x x x x n n -------===--+-∑∑[]212222(1)C(1)(1)nn k n k k n k n x x x x x x nn-----=-=-+-+∑()[]2211(1)n x x x x nn -=--++()2111x xn n =-+，令()0n f x =得111x n=-，20x =（舍去），所以()n f x 的零点为0和11n -．21.【2016届江苏盐城三模数学试卷】记2222*234()(32))(2,)n f n n C C C C n n N =+++++≥∈L （.（1）求(2),(3),(4)f f f 的值；（2）当*2,n n N ≥∈时，试猜想所有()f n 的最大公约数，并证明. （带解析）【答案】（1）(2)8,(3)44,(4)140f f f ===（2）4. 【解析】下面用数学归纳法证明所有的()f n 都能被4整除即可. （ⅰ）当2n =时，(2)8f =能被4整除，结论成立；（ⅱ）假设n k =时，结论成立，即31()(32)k f k k C +=+能被4整除，则当1n k =+时，32(1)(35)k f k k C ++=+ 3322(32)3k k k C C ++=++322111(32)()(2)k k k k C C k C +++=++++ 322111(32)(32)(2)k k k k C k C k C +++=+++++3211(32)4(1)k k k C k C ++=+++，此式也能被4整除，即1n k =+时结论也成立.综上所述，所有()f n 的最大公约数为4.22.在20122212122(1)n r r n n n n nn n n n n x x D D x D x D x D x D x --++=+++++++L L 的展开式中，把0122n n n n n D D D D L ，，，，叫做三项式系数．（1）当2=n 时，写出三项式系数0123422222D D D D D ，，，，的值；（2）类比二项式系数性质11C C C m m m n nn -+=+(1,)m n m N n N ∈∈≤≤，，给出一个关于三项式系数11(121,,)m n D m n m N n N ++-∈∈≤≤的相似性质，并予以证明；（3）求0011222014201420152015201520152015201520152015201520152015201520152015C C C C C C (1)-+-+++--L L k k kD D D D D D 的值．【答案】（1）123214232221202=====D D D D D ，，，，；（2）1111,(121).m m m m n nn n D D D D m n +-++=++≤≤- （3）0．【解析】1111,(121).m m m m n nn n D D D D m n +-++=++≤≤- 因为2122(1)(1)(1)n n x x x x x x +++=++⋅++，所以()121+++n x x ()21x x ++=()n n n n n n n n n x D x D x D x D D 2212122210+++++⋅--Λ．上式左边1m x +的系数为11m n D ++,而上式右边1m x+的系数为11m m m n n n D D D +-++, 由2122(1)(1)(1)n n x x x x x x +++=++⋅++为恒等式,得1111,(121).m m m m n nn n D D D D m n +-++=++≤≤- 220152015(1)(1)x x x ++⋅-。

浙江新高考数学理科一轮复习创新方案知能检测10.3二项式定理(含答案详析)

第三节二项式定理[ 通盘稳固 ]1．在 2x2－1 5的二项睁开式中，x 的系数为 ()xA． 10B．－ 10C． 40D．－ 40分析：选D T＋r 2 5 r－1 r r 5－r r10 3rr1＝C5(2x )－＝ (－1)·25－，x·C·x令 10－ 3r＝ 1，得 r＝ 3.因此 x 的系数为 (－ 1) 3·25－3·C35＝－ 40.2．在 (1＋x)2－ (1＋3x)4的睁开式中， x 的系数等于 ()A． 3B．－ 3C． 4D．－ 4分析：选 B由于 (1＋ x)2的睁开式中 x 的系数为1， (1＋3x)4的睁开式中 x 的系数为C43＝ 4，因此在 (1＋ x)2－ (1＋3x)4的睁开式中， x 的系数等于－ 3.3． (2013 ·国高考全)(1＋ x)8(1＋ y)4的睁开式中 x2y2的系数是 ()A． 56B． 84C． 112D． 168分析：选 D(1 ＋x)8睁开式中 x2的系数是 C82，(1＋ y)4的睁开式中 y2的系数是 C42，依据多项式乘法法例可得 (1＋ x)8(1 ＋y)4睁开式中 x2y2的系数为 C82C42＝ 28×6＝ 168.a 1 5的睁开式中各项系数的和为2，则该睁开式中常数项为()4. x＋x2x－xA．－ 40B．－ 20C． 20D． 40分析：选D由题意，令 x＝ 1 得睁开式各项系数的和为(1＋ a) ·(2－ 1)5＝ 2，∴a＝ 1.∵二项式2x－15的通项公式为T r＋1＝ C5r(－ 1)r·25－r·x5－2r，x1 1 533211223∴ x＋x2x－x睁开式中的常数项为x·C5(－ 1) 2·x－＋x·C5·(－ 1)·2 ·x＝－ 40＋ 80＝40.5．在 (1－ x)n＝ a0＋a1x＋a2x2＋ a3x3＋＋ a n x n中，若2a2＋a n－3＝ 0，则自然数n 的值是()A． 7 B．8 C．9 D． 10分析：选 B 易知 a2＝ C n2， a n－3＝ (－ 1)n－3·C n n－3＝ (－ 1)n－3 C n3，又2a2＋a n－3＝ 0，因此2C n2＋ (－ 1)n－3C n3＝0，将各选项逐个代入查验可知n＝ 8 知足上式．6．设 a∈Z，且 0≤ a＜ 13，若 512 012＋a 能被 13 整除，则 a＝ ()A ． 0B ．1C ．11D ．12分析：选 D 512 012＋ a ＝ (13× 4－ 1)2 012＋a ，被 13 整除余 1＋a ，联合选项可得 a ＝ 12时， 512 012＋ a 能被 13 整除．2 5的睁开式中第四项的系数为________．7． (2014 杭·州模拟 )二项式 1－ x分析：由已知可得第四项的系数为 C 53(－ 2)3＝－ 80，注意第四项即 r ＝ 3.答案：－ 808．(2013 ·川高考四52 3的项的系数是 ________(用数字作)二项式 (x ＋ y)的睁开式中，含 x y 答 )．分析：由二项式定理得 52 335－33 2 32 3(x ＋y) 的睁开式中 xy 项为 C 5y ＝ 10xy ，即 xy 的系数为x10.答案： 10x －19． (2013 浙·江高考 )设二项式 5的睁开式中常数项为A ，则 A ＝ ________.3x分析：由于x －15r5 r－ 1r r r 5－ rr r r3的通项 T r ＋ 1＝ C 5( x)－· 3 ＝ (－ 1) C 5x 2 x － 3＝ (－ 1)C 5xxx15－ 5r.令 15－ 5r ＝ 0，得 r ＝ 3，因此常数项为 (－1)3 C 53x 0＝－ 10.即 A ＝－ 10.6答案：－ 1010．已知 (1－ 2x)7＝ a 0＋ a 1x ＋ a 2x 2＋＋ a 7x 7，求：(1)a 1＋ a 2＋＋ a 7；(2)a 1＋ a 3＋ a 5＋ a 7；(3)a 0＋ a 2＋ a 4＋ a 6；(4)|a 0|＋ |a 1 |＋ |a 2|＋＋ |a 7|.解：令 x ＝ 1，则 a 0＋ a 1＋ a 2＋ a 3＋ a 4＋ a 5＋ a 6＋a 7 ＝－ 1.① 令 x ＝－ 1，则 a 0－a 1＋a 2－ a 3＋ a 4－ a 5＋ a 6－ a 7＝ 37 .② (1)∵a 0＝ C 07 ＝ 1，∴a 1＋ a 2＋ a 3＋＋ a 7＝－ 2.－ 1－ 37(2)(①－② ) ÷2，得 a 1＋ a 3＋ a 5＋ a 7＝＝－ 1 094.2－ 1＋ 37 0＋a 2＋a 4＋a 6＝＝ 1 093.(3)(①＋② ) ÷2，得 a2(4)∵(1－ 2x)7睁开式中 a0、 a2、 a4、 a6大于零，而a1、 a3、 a5、 a7小于零，∴|a0|＋ |a1|＋ |a2|＋＋|a7|＝(a0＋ a2＋ a4＋ a6)－ (a1＋ a3＋ a5＋ a7)＝1 093－ (－ 1 094)＝2 187.11．若某一等差数列的首项为11－2 n2n－25－232m的睁开式中的常数项，C5n－A 11－3n，公差为2x5x此中 m 是 7777－ 15 除以 19 的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．解：设该等差数列为 { a n} ，公差为 d，前 n 项和为 S n.11－ 2n≤5n，又 n∈N*，∴n＝ 2，由已知得2n－2≤ 11－ 3n，∴C115n－2n－ A 211n－－23n＝C710－ A 25＝ C310－ A 25＝10×9×8－5× 4＝ 100，∴a1＝ 100.3× 2∵7777－ 15＝ (76＋ 1)77－15＝7677＋ C177·7676＋＋C7677·76＋ 1－ 15＝76(7676＋ C177·7675＋＋ C7677) －14＝76M－ 14(M ∈N*) ，∴7777－ 15 除以 19 的余数是 5，即 m＝ 5.5 22m r5 5 r2 2 r r r 5 52r5∴2x －53 x的睁开式的通项是T r＋1＝ C5·2x－－53x＝(－1)C52－x3r－ 5(r＝ 0,1,2,3,4,5)，令5r － 5＝ 0，得 r ＝3，代入上式，得 T4＝－ 4，即 d＝－ 4，进而等差数列的通项公式是3a n＝ 100＋ (n－ 1)× (－4) ＝104－ 4n.104－ 4k≥ 0，设其前 k 项之和最大，则解得 k＝ 25或 k＝ 26，故此数列的前 25104－ 4 k＋ 1 ≤ 0，项之和与前26 项之和相等且最大，a100＋104－ 4×251＋a25× 25＝ 1 300.25＝S26＝× 25＝S2212．从函数角度看，组合数C n r可当作是以 r 为自变量的函数f(r )，其定义域是 { r|r ∈N，r ≤ n} ．n － r ＋ 1(1)证明： f(r) ＝f(r － 1)；(2)利用 (1) 的结论，证明：当 n 为偶数时， (a ＋ b)n 的睁开式中最中间一项的二项式系数最大．解： (1)证明：∵f(r)＝ C n r＝ n ！n ！， f(r －1) ＝C nr －1＝，r ！ n － r ！ r － 1 ！ n － r ＋ 1 ！n －r ＋ 1 n －r ＋1n ！ n ！ .∴ f( r － 1)＝ r ·＝ r r － 1 ！ n －r ＋ 1 ！ r ！ n － r ！则 f(r) ＝ n － r ＋ 1f(r －1) 建立．r(2)设 n ＝ 2k ，∵f(r)＝n － r ＋1f r rf(r － 1)， f(r － 1)>0 ，∴f r － 12k － r ＋ 1＝ .r2k － r ＋ 11令 f(r) ≥f(r － 1)，则r≥ 1，则 r ≤ k ＋2 (等号不建立 )．∴当r ＝1,2，，k 时， f(r )>f(r － 1)建立．反之，当 r ＝ k ＋ 1， k ＋ 2，， 2k 时， f(r )<f(r － 1)建立．∴f(k)＝ C k 2k 最大，即 (a ＋ b)n 的睁开式中最中间一项的二项式系数最大．[ 冲击名校 ]1． (2013 新·课标全国卷Ⅱ )已知 (1＋ax)(1 ＋x) 5 的睁开式中 x 2 的系数为 5，则 a ＝ ( )A ．－ 4B ．－ 3C ．－ 2D ．－1分析：选D已知 (1＋ ax)(1 ＋x)5 的睁开式中， x 2 的系数为 C 52 ＋aC 51＝ 5，则 a ＝－ 1.2．(2014 湖·州模拟 ) 2a6的睁开式中1x ＋2的系数为－ 12，则实数 a 的值为 ________．xx分析：二项式a6睁开式中第 r ＋ 1 项为r6 ra r r 6 r r 32 x ＋T r ＋1＝ C 6·(2x) －x＝ C 6·2 －·a ·xxr155－，当 3－ r ＝－ 2，即 r ＝ 5 时，含有 x 2的项的系数是C 6·2·a ＝－ 12，解得 a ＝－ 1.。

【创新方案】（浙江专版）2021届高考数学一轮温习第十章第三节二项式定理冲破热点题型文(1)

第三节二项式定理高频考点考点一求二项展开式中的特定项或特定项的系数1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对二项式定理的考查要紧有以下几个命题角度： (1)求二项展开式中的第n 项；(2)求二项展开式中的特定项；(3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数．[例1] (1)(2021·江西高考)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－40(2)(2021·辽宁高考)使⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7[自主解答] (1)此二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r (－1)r 2r x －3r ＝C r 5·(－1)r ·2r ·x 10－5r .因为10－5r ＝0，因此r ＝2，因此常数项为T 3＝C 25·22＝40.(2)T r ＋1＝C r n (3x )n －r ·x －32r ＝C r n ·3n －r ·xn －r －32r ＝C r n ·3n －r ·xn －5r 2(r ＝0,1,2，…，n )，假设T r ＋1是常数项，那么有n －52r ＝0，即2n ＝5r (r ＝0,1，…，n )，当r ＝0,1时，n ＝0，52，不知足条件；当r ＝2时，n ＝5. [答案] (1)C (2)B【互动探讨】假设本例(2)中的条件“n ∈N *”改成“n ≥3”，其他条件不变，那么展开式中的有理项最少有________项．解析：由本例(2)中的自主解答可知：T r ＋1＝C r n 3n －r xn －5r 2(r ＝0,1,2，…，n )．即当⎝⎛⎭⎪⎫n －5r 2为整数时，T r ＋1为有理项．显然当n ＝3时，r 的取值最少，有r ＝0，r ＝2，即有理项为T 1、T 3两项．答案：2求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的第n 项．可依据二项式的通项公式直接求出第n 项．(2)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可．(3)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．1．假设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第5项是常数项，那么正整数n 的值可能为( ) A ．6 B ．10 C ．12 D ．15解析：选C T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r n x n －3r 2，当r ＝4时，n －3r2＝0，又n ∈N *，因此n ＝12.2．(2021·昆明模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的项为2x ·C 4410(－x )4＋x C 0414(－x )0＝2x ＋x ＝3x .因此x 的系数为3.答案：3考点二二项式系数或各项系数和[例2大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，假设13a ＝7b ，那么m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)假设C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，那么a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________.[自主解答] (1)由题意得：a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1，13·2m！m！·m！＝7·2m＋1！m！·m＋1！，因此13C m2m＝7C m2m＋1，∴∴72m ＋1m ＋1＝13，解得m ＝6，经查验为原方程的解，选B. (2)由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x )4中令x ＝－1即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝[3－(－1)]4＝256.[答案] (1)B (2)256【方式规律】赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，经常使用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(3)假设f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，那么f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1＋f －12，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1－f －12.1．设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，假设a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，那么展开式中系数最大的项是( )A ．15x 3B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：选B 在(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n 中，令x ＝1得2n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n . 令x ＝0，得1＝a 0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1＝63，∴n ＝6.而(1＋x )6的展开式中系数最大的项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.2．(2014·丽水模拟)假设(1－2x )2 014＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x 2 013＋a 2 014x 2 014(x ∈R )，那么a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2解析：选C 令x ＝0，那么a 0＝1，令x ＝12，则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014＝0，∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014＝－1.考点三二项式定理的应用[例3] (1)已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值；(2)求的近似值．(精准到小数点后三位)[自主解答] (1)∵2n＋2·3n＋5n－a＝4·2n·3n＋5n－a＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a＝4(C0n5n＋C1n5n－1＋…＋C n－2n5＋C n n)＋5n－an52＋C n－1＝4(C0n5n＋C1n5n－1＋…＋C n－2n52)＋25n＋4－a，显然正整数a的最小值为4.(2)＝(1＋8≈C08＋C18·＋C28·＋C38·≈.【方式规律】1．整除问题的解题思路利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除性问题和余数问题的大体思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判定．2．求近似值的大体方式利用二项式定理进行近似计算：当n不专门大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.求证：(1)32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N*)；(2)3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．证明：(1)∵32n＋2－8n－9＝32·32n－8n－9＝9·9n－8n－9＝9(8＋1)n－8n－9＝9(C0n8n＋C1n8n－1＋…＋C n－1n·8＋C n n·1)－8n－9＝9(8n＋C1n8n－1＋…＋C n－2n82)＋9·8n＋9－8n－9＝9×82(8n－2＋C1n8n－3＋…＋C n－2n)＋64n＝64[9(8n－2＋C1n8n－3＋…＋C n－2n)＋n]，显然括号内是正整数，故原式能被64整除．(2)因为n∈N*，且n>2，因此3n＝(2＋1)n展开后至少有4项．(2＋1)n＝2n＋C1n·2n－1＋…＋C n－1n·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n －1，故3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．————————————[课堂归纳——通法领会]——————————1个公式——二项展开式的通项公式通项公式要紧用于求二项式的特定项问题，在运历时，应明确以下几点：(1)C r n a n－r b r是第r＋1项，而不是第r项；(2)通项公式中a，b的位置不能倒置；(3)通项公式中含有a，b，n，r，T r＋1五个元素，只要明白其中的四个，就能够够求出第五个，即“知四求一”．3个注意点——二项式系数的三个注意点(1)求二项式所有系数的和，可采纳“赋值法”；(2)关于组合式的证明，常采纳“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；(3)展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一样是不相同的，在具体求各项的系数时，一样先处置符号，对根式和指数的运算要细心，以防犯错．。

2020版新攻略高考数学总复习浙江专用课件：10.3 二项式定理

A.15 B.20 C.30 D.35
第二十六页，编辑于星期日：一点二十九分。
考点突破栏目索引
解析
对于
1
1 x2
(1+x)6,若要得到x2项,可以在
1 x12中选取1,此时(1
+x)6中要选取含x2的项,则系数为 C;当62 在
1 x12中选取
时1,(1+x)6中要
x2
选取含x4的项,即系数为 ,C所64 以,展开式中x2项的系数为 + C=6230C,故64
第二十一页，编辑于星期日：一点二十九分。
考点突破
同类练
二项式
x
1 x
6的展开式中常数项为
(
B
)
A.-15 B.15 C.-20 D.20
栏目索引
第二十二页，编辑于星期日：一点二十九分。
考点突破栏目索引
解析
二项式
x
1 x
6
的展开式的通项为Tk+1=
Cx6k 6-k·(-1)k
x=k2 (-1)k
破
考点四二项式定理的应用
第三页，编辑于星期日：一点二十九分。
教材研读
教材研读栏目索引
1.二项式定理
(a+b)n=① C0nan+ C1an n-1b1+…+ Carn n-rbr+…+ Cbnnn (n∈N*).这个公式所表示
的定理叫做二项式定理.
第四页，编辑于星期日：一点二十九分。
教材研读栏目索引
示,即通项为展开式的第r+1项:Tr+1=⑥
b a Cn-r r r n
(r=0,1,…,n).

新高考2023版高考数学一轮总复习第10章第3讲二项式定理课件

Tk＋1＝Ck4xk(k＝0，1，2，3，4)，故(1＋2x2)(1＋x)4 的展开式中 x3 的系数为 C34＋2C14＝12.故选 A．
(3)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含 y2 的项为 T3＝C25(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3 中含 x5 的项为 C13x4·x＝C13x5. 所以 x5y2 的系数为 C25C13＝30.故选 C．另解：由乘法法则知 5 个因式中两个选 y 项，两个选 x2 项，一个选 x 项乘即可，∴x5y2 的系数为 C25C13＝30.
1．二项式定理中，通项公式 Tk＋1＝Cknan－kbk 是展开式的第 k＋1 项，不是第 k 项．
2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在 Tk＋1 ＝Cknan－kbk 中，Ckn是该项的二项式系数，该项的系数还与 a，b 有关．
(2)二项式系数的最值和增减性与指数 n 的奇偶性有关．当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．
第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布
第三讲二项式定理
知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升
知识梳理·双基自测
知识点一二项式定理
(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N＋)．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式，
又(1－2x)5(1＋3x)4 的展开式中按 x 升幂排列的第 3 项即展开式中 x2 项，
C05(－2x)0·C24(3x)2＋C15(－2x)·C14(3x)＋C25(－2x)2·C04(3x)0＝－26x2.

浙江新高考数学文科一轮复习创新方案主干知识10.2排列与组合(含答案详析)

第二节摆列与组合【考纲下载】1．理解摆列组合的观点．2．能利用计数原理推导摆列数公式、组合数公式．3．能利用摆列组合知识解决简单的实质问题．1．摆列与组合的观点名称定义摆列从 n 个不一样元素中拿出依据必定的次序排成一列组合m(m≤ n)个元素合成一组2．摆列数与组合数的观点名称定义摆列数从 n 个不一样元素中拿出摆列的个数组合数m( m≤ n)个元素的全部不一样组合的个数3.摆列数与组合数公式(1)摆列数公式①A m n＝n(n－ 1) (n－ m＋ 1)＝n！；n－m ！②A n n＝ n！ .(2)组合数公式C n m＝A mm n＝n n－1 n－2n－ m＋ 1 ＝n！.A m m！m！ n－ m ！4．组合数的性质m n －m_；(1)C n＝ C nm m－1m(2)C n＋ C n＝C n＋1.1．摆列与摆列数有什么差别？提示：摆列与摆列数是两个不一样的观点，摆列是一个详细的排法，不是数，而摆列数是全部摆列的个数，是一个正整数．2．怎样划分一个问题是摆列问题仍是组合问题？提示：看选出的元素与次序能否相关，若与次序相关，则是摆列问题，若与次序没关，则是组合问题．1．将每个小组由A． 122 名教师， 4 名学生疏成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，1 名教师和 2 名学生构成，不一样的安排方案的种数是()B．10C．9D．8分析：选A先安排 1 名教师和 2 名学生到甲地，再将剩下的 1 名教师和 2 名学生安排到乙地，共有C12C24＝ 12 种安排方案．2．用数字1,2,3,4,5 构成的无重复数字的四位偶数的个数为()A． 8 B ．24C． 48D． 120分析：选C先排个位共有C12种方法，再排其他 3 位．则有 A 34种排法，依据分步乘法计数原理，所求的四位偶数的个数为C12A 34＝ 48.3．将字母 a，a，b，b，c， c 排成三行两列，要求每行的字母互不同样，每列的字母也互不同样，则不一样的摆列方法的种数是()A． 12 B ．18C． 24D． 36分析：选A先排第一列，共有 A 33种方法，再排第二列第一行共有C21种方法，第二列第二行，第三列第二行各有 1 种方法．依据分步乘法计数原理，共有 A 33C21×1× 1＝ 12 种排列方法．4．将 9 个同样的小球放入3 个不一样的盒子，要求每个盒子中起码有 1 个小球，且每个盒子中的小球个数都不一样，则共有________种不一样放法．分析：对这 3 个盒子中所放的小球的个数状况进行分类计数：第 1类，这 3 个盒子中所放的小球的个数分别是1,2,6，此类有 A 33＝ 6 种放法；第 2 类，这 3 个盒子中所放的小球的个数分别是 1,3,5，此类有33类，这 3个盒子中所放的小球的个数分别是A3＝ 6 种放法；第2,3,4 ，此类有 A 33＝ 6 种放法．所以共有6＋ 6＋ 6＝ 18 种知足题意的放法．答案： 185.如图 M， N，P， Q 为海上四个小岛，现要建筑三座桥，将这四个小岛连结起来，则共有 ________种不一样的建桥方法 .分析： M， N，P， Q 两两之间共有 6 条线段 (桥抽象为线段)，任取 3 条有 C36＝ 20 种方法，此中不合题意的有 4 种方法．则共有20－ 4＝ 16 种不一样的建桥方法．答案： 16。

高考数学科学复习创新方案：二项式定理

二项式定理[课程标准]1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝01C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项：T k＋1＝02C k n a n－k b k，它表示第03k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2．二项式系数的性质1．注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题．2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同．3．(1＋x)n＝C0n＋C1n x＋…＋C k n x k＋…＋C n n x n.1．(人教A 选择性必修第三册6.3.1练习T 4改编)(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是()A ．C m nB ．C m ＋1nC ．C m －1nD ．(－1)m －1C m －1n答案D解析(x －y )n 的展开式中，第m 项为T m ＝C m －1nx n －m ＋1·(－y )m －1＝(－1)m －1·C m －1n x n －m ＋1y m －1.所以第m 项的系数为(－1)m －1C m －1n.故选D.2．(人教A 选择性必修第三册习题6.3T 5(3)改编x 的展开式的中间项为()A ．－40B ．－40x 2C ．40D ．40x 2答案B解析x 的展开式的中间项为C 36(2x )3＝－40x 2.故选B.3．(多选)已知(a ＋b )n 的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为()A ．7B ．8C ．9D ．10答案ABC解析∵(a ＋b )n 的展开式中第5项的二项式系数C 4n 最大，∴n ＝7或n ＝8或n ＝9.4．若(2x －1)4＝a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 0＋a 2＋a 4＝()A ．40B ．41C ．－40D ．－41答案B解析令x ＝1，则a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，令x ＝－1，则a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－3)4＝81，故a 4＋a 2＋a 0＝1＋812＝41.故选B.5．(人教B 选择性必修第二册P 36复习题A 组T 12改编)设(5x －x )n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，M －N ＝240，则展开式中x 3的系数为________．答案150解析由题意可得N ＝2n ，令x ＝1，则M ＝(5－1)n ＝4n ＝(2n )2.∴(2n )2－2n ＝240，2n ＝16，n ＝4.展开式中第k ＋1项T k ＋1＝C k 4·(5x )4－k (－x )k ＝(－1)k C k 454－k·x 4－k 2.令4－k 2＝3，得k ＝2，∴展开式中x 3的系数为(－1)2×C 24×52＝150.4项为()A ．160B ．－160C ．160x 3D ．－160x 3答案D解析2的展开式中，第4项为T 4＝C 36(x 2)＝(－2)3C 36x 3＝－160x 3.故选D.(2)(2022·新高考Ⅰ卷x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________(用数字作答)．答案－28解析展开式中含有x 2y 6的项为1·C 28x 2y 6－y x·C 38x 3y 5＝－28x 2y 6.(3)(2023·福建名校联盟模拟＋2x－的展开式中的常数项为________(用数字作答)．答案49解析＋2x －＋2x －＋2x －＋2x －＋2x－常数项的方法分类如下：①4个因式中都不取x ，也都不取2x，全取－1，相乘得到常数项，常数项为C 44(－1)4＝1；②4个因式中有1个取x ，再有1个取2x，其余因式取－1，相乘得到常数项，常数项为C 14x C 132x(－1)2＝24；③4个因式中有2个取x ，再有2个取2x ，相乘得到常数项，常数项为C 24x 2C＝24.合并同类项，所以展开式中的常数项为1＋24＋24＝49.1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将T k ＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k .(3)代回通项公式得所求．2．对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．1.(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )9的展开式中x 2的系数是()A ．60B ．80C ．84D ．120答案D解析(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )9的展开式中x 2的系数是C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 29，因为C m －1n ＋C m n ＝C m n ＋1且C 22＝C 33，所以C 22＋C 23＝C 33＋C 23＝C 34，所以C 22＋C 23＋C 24＝C 34＋C 24＝C 35，以此类推，C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 29＝C 39＋C 29＝C 310＝10×9×83×2×1＝120.故选D.2－2x)4的展开式中x3项的系数是－70，则实数a的值为()A．－2B．2C．－4D．4答案D解析－2x)4＝2×(1－2x)4－xa×(1－2x)4，(1－2x)4的展开式的通项为T k＋1＝C k4(－2x)k＝(－2)k C k4x k，k＝0，1，2，3，4，所以2×(1－2x)4的展开式中x3项的系数是2×(－2)3C34＝－64，xa ×(1－2x)4的展开式中x3项的系数是1a×(－2)2C24＝24a ，所以－64－24a＝－70，解得a＝4.3．在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．答案1625解析二项展开式的通项为T k＋1＝C k9(2)9－k x k，k∈N，0≤k≤9，当为常数项时，k＝0，T1＝C09(2)9x0＝(2)9＝162.当项的系数为有理数时，9－k为偶数，可得k＝1，3，5，7，9，即系数为有理数的项的个数是5.多角度探究突破角度二项展开式中系数的和例2(1)(2023·重庆模拟)x的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为()A．212B．312C．310D．210答案C解析x 的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，所以C 2n＝C 8n ，解得n ＝10，取x ＝1，可得所有项的系数之和为310.故选C.(2)(多选)(2023·福建莆田模拟)已知(3x －2)2023＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2023x 2023，则()A ．a 0＝22023B ．a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2023＝1C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2023＝52023＋12D ．a 0＋a 13＋a 232＋a 333＋…＋a 202332023＝－1答案BCD解析令x ＝0，可得a 0＝(－2)2023＝－22023，故A 错误；令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2023＝12023＝1，故B 正确；令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2022－a 2023＝(－5)2023＝－52023，结合B 项分析，两式作差，可得2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2023)＝52023＋1，即a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2023＝52023＋12，故C 正确；令x ＝13，可得a 0＋a 13＋a 232＋a 333＋…＋a 202332023＝(－1)2023＝－1，故D 正确．故选BCD.赋值法的应用(1)对形如(ax ＋b )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1.(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1.(3)一般地，对于多项式(a ＋bx )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令g (x )＝(a ＋bx )n ，则(a ＋bx )n 的展开式中各项的系数和为g (1)，(a ＋bx )n 的展开式中奇数项的系数和为12[g (1)＋g (－1)]，(a ＋bx )n 的展开式中偶数项的系数和为12[g (1)－g (－1)]．1.(多选)(2024·山东济南模拟)已知(x －1)(x ＋2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则()A．a0＝－64B．a1＝63C．a0＋a1＋…＋a7＝0D．a1＋a3＋a5＋a7＝1答案ACD解析对于A，令x＝0，得到a0＝－1×26＝－64，故A正确；对于B，(x＋2)6的通项为T k＋1＝C k6·x6－k·2k，令k＝5，得到T6＝C56·x·25＝192x，令k＝6，得到T7＝C66×26＝64，所以a1＝64－192＝－128，故B错误；对于C，令x＝1，得到a0＋a1＋…＋a7＝0，故C正确；对于D，令x＝－1，则a0－a1＋…－a7＝－2，又因为a0＋a1＋…＋a7＝0，两式相减，得－2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－2，则a1＋a3＋a5＋a7＝1，故D正确．故选ACD.2的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为________．答案90解析令x＝1，＝4n，的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以4n2n＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项为T k＋1＝C k5x5－＝3k C k5x5－32，令5－32k＝2，得k＝2，所以x2的系数为32C25＝90.角度二项式系数的最值问题例3(1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝()A．5B．6C．7D．8答案B解析由题意，得a＝C m2m，b＝C m2m＋1，则13C m2m＝7C m2m＋1，∴13·（2m）！m！m！＝7·（2m ＋1）！m ！（m ＋1）！，∴7（2m ＋1）m ＋1＝13，解得m ＝6.经检验m ＝6为原方程的解．故选B.(2)(2023·杭州模拟)x (n ∈N *)的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第m 项的系数最大，则m ＝()A ．5B ．6C ．7D ．8答案A解析由已知可得，n ＝12.根据二项式定理，知展开式的通项为T k ＋1＝C k 12(2x )12－＝C k 12212－kx 12－32k ，显然当k 是偶数时，该项为有理项，当k ＝0时，T 1＝C 012212x 12＝4096x 12；当k ＝2时，T 3＝C 212210x 9＝67584x 9；当k ＝4时，T 5＝C 41228x 6＝126720x 6；当k ＝6时，T 7＝C 61226x 3＝59136x 3；当k ＝8时，T 9＝C 81224＝7920；当k ＝10时，T 11＝C 101222x －3＝264x －3；当k ＝12时，T 13＝C 121220x －6＝x －6.经比较可得，当k ＝4，即m ＝5时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大．故选A.求二项式系数最大的项(1)如果n(2)如果n 是奇数，第n ＋12项与第等并最大．1.(多选)在(1＋2x )8的展开式中，下列说法正确的是()A ．二项式系数最大的项为1120x 4B ．常数项为2C ．第6项与第7项的系数相等D ．含x 3的项的系数为480答案AC解析因为n＝8，所以二项式系数最大的项为T5，T5＝C48(2x)4＝1120x4，A 正确；(1＋2x)8展开式的通项为T k＋1＝C k8(2x)k＝2k C k8x k，令k＝0，得常数项为1，B错误；第6项为T6＝25C58x5＝1792x5，第7项为T7＝26C68x6＝1792x6，第6项与第7项的系数相等，C正确；含x3的项为T4＝C38(2x)3＝448x3，其系数为448，D 错误．故选AC.2．(2023·绍兴期末)的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为________．答案7解析由题意，得n＝8，所以展开式的通项为T k＋1＝C k8·(3x)8－k＝C k8·x8－4k3，令8－4k3＝0，得k＝2，故常数项为C28＝7.角度项的系数的最值问题例4(1)若(1＋2x)6的展开式中第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是()答案A解析162x>C06，162x>C26（2x）2，>112，x<15，即112<x<15.故选A.(2)已知(1＋x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1＋x)n的系数和为________．答案64解析3n>C2n，3n>C4n，>n ！2！（n －2）！，>n ！4！（n －4）！，∴5<n <7.又n ∈N *，∴n ＝6.令x ＝1，得(1＋x )6的系数和为26＝64.求展开式中系数最大的项如求(a ＋bx )n (a ，b∈R )的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第kk ≥A k －1，k ≥A k ＋1，从而解出k 来．已知(3x ＋x 2)2n的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992，x n的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________．答案－8064－15360x 4解析由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，故2n ＝32，解得n＝5.x的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T 6＝C 510(2x )5＝－8064.设第k ＋1项的系数的绝对值最大，则T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k ＝(－1)k C k 10·210－k·x 10－2k ，k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，k10≥2C k －110，k 10≥C k ＋110，－k ≥2k ，（k ＋1）≥10－k ，解得83≤k ≤113，因为k ∈Z ，所以k ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T 4＝－C 310·27·x 4＝－15360x 4.故二项式系数最大的项为－8064，系数的绝对值最大的项为－15360x 4.例5(1)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512022＋a 能被13整除，则a ＝()A．0B．1C．11D．12答案D解析由于51＝52－1，(52－1)2022＝C020********－C12022522021＋…－C20212022521＋1，又13能整除52，所以只需13能整除1＋a，又0≤a<13，a∈Z，所以a＝12.(2)1.028的近似值是________(精确到小数点后三位)．答案 1.172解析 1.028＝(1＋0.02)8≈C08＋C18×0.02＋C28×0.022＋C38×0.023≈1.172.二项式定理应用的题型及解法(1)在解决整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010除以88的余数是()A．－1B．1C．－87D．87答案B解析1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C110×889＋…＋C910×88＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.故选B.课时作业一、单项选择题1．(2024·吉林模拟)(3＋2x)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为()A．8B．7C．6D．5答案C＋1＝4，得n＝6.解析因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故n2故选C.2．(2024·临沂开学考试)已知n∈N*，(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，若4a1＋a2＝80，则该展开式各项的二项式系数和为()A．81B．64C．27D．32答案D解析∵a1＝C1n·2＝2n，a2＝C2n·22＝4C2n，∴4×2n＋4C2n＝80，解得n＝5，∴该展开式各项的二项式系数和为25＝32.故选D.x的展开式中x的系数为()3．(2023·北京高考A．－80B．－40C．40D．80答案D解析x的展开式的通项为T r＋1＝C r5(2x)5－＝(－1)r25－r C r5x5－2r，令5－2r＝1，得r＝2x的展开式中x的系数为(－1)2×25－2×C25＝80.故选D.4．(2024·河北秦皇岛开学考试)若(3x－5)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a7(x－1)7，则A.257B.129C.－65D.－33,答案B解析令x＝2，则（3×2－5）7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝1，令x＝1，则（3×1－5）7＝a0，即a0＝－27，所以＝1－(－27)＝129.故选B.5．(2024·佛山开学考试)在(x＋1)(x－2)(x＋3)(x－4)(x＋5)的展开式中，含x3的项的系数是()A ．－23B ．－3C ．3D ．15答案A解析由组合知识可知，含x 3的项，需要从5个因式中，3个因式选择x ，2个因式选择常数，则含x 3的项的系数是(－4)×5＋3×5＋3×(－4)＋(－2)×5＋(－2)×3＋(－2)×(－4)＋1×5＋1×(－4)＋1×3＋1×(－2)＝－23.故选A.6．(2023·唐山模拟)已知(ax ＋1)(2x －1)6的展开式中x 5的系数为48，则实数a ＝()A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案A解析二项式(2x －1)6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ·(－1)k ＝C k 6·26－k·(－1)k ·x 6－k ，则(ax ＋1)(2x －1)6的展开式中，x 5的系数为a C 26×24×(－1)2＋1×C 16×25×(－1)＝15×16a －32×6＝48，解得a ＝1.故选A.7．(2023·佛山模拟)若7n ＋C 1n ＋17n －1＋…＋C n －1n ＋17＋C n n ＋1是9的倍数，则自然数n 为()A ．4的倍数B ．3的倍数C ．奇数D ．偶数答案C解析因为7n ＋C 1n ＋17n －1＋…＋C n －1n ＋17＋C n n ＋1＝17(7n ＋1＋C 1n ＋17n ＋…＋C n －1n ＋172＋C n n ＋17＋C n ＋1n ＋1)－17＝17(7＋1)n ＋1－17＝17(8n ＋1－1)＝17[9n ＋1－C 1n ＋19n ＋…＋(－1)n C nn ＋19＋(－1)n ＋1－1]，又7n ＋C 1n ＋17n －1＋…＋C n －1n ＋17＋C nn ＋1是9的倍数，∴n ＋1为偶数，即n 为奇数．故选C.8．(2023·襄阳模拟)已知(1＋3x )n 的展开式中前3项的二项式系数和为79，则展开式中系数最大的项为()A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项答案D解析(1＋3x )n 的展开式中前3项的二项式系数和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝1＋n ＋n （n －1）2＝79，整理可得n 2＋n －156＝0，∵n ≥2且n ∈N *，解得n ＝12，(1＋3x )12的展开式的通项为T k ＋1＝C k 12·(3x )k ＝C k 123k x k(k ＝0，1，2，…，12)，设展开式中第r ＋1r 12·3r ≥C r ＋112·3r ＋1，r 12·3r ≥C r －112·3r －1，r ≥12！（r ＋1）！·（11－r ）！·3r ＋1，r ≥12！（r －1）！·（13－r ）！·3r －1，解得354≤r ≤394，因为r ∈N，故r ＝9，因此，展开式中系数最大的项为第10项．故选D.二、多项选择题9．(2023·衡水模拟)2x 的展开式中()A ．常数项是第4项B ．所有项的系数和为1C ．第5项的二项式系数最大D ．第4项的系数最小答案BCD 解析2x的展开式的通项为T k ＋1＝C k 8(2x )8－＝(－1)k 28－k ·C k 8x4－k.对于A ，令4－k ＝0，得k ＝4，故常数项是第5项，故A 错误；对于B ，令x ＝1，则所有项的系数和是(2－1)8＝1，故B 正确；对于C ，二项式展开式共9项，则由二项式系数的性质知第5项的二项式系数最大，故C 正确；对于D，设第k＋1项的系数的绝对值最大，8－k C k8≥29－k C k－18，8－k C k8≥27－k C k＋18，解得2≤k≤3，又k∈Z，所以k＝2或k＝3，当k＝2时，T3＝1792x2；当k＝3时，T4＝－1792x，所以第4项的系数最小，故D正确．故选BCD.10．(2024·镇江模拟)下列说法正确的是()A．若(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝310－1 B．1.0510精确到0.1的近似数为1.6C．5555被8除的余数为1D．C0929＋C1928＋…＋C99＝39答案ABD解析对于A，(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝0，则a0＝1，a1，a3，a5，a7，a9为负数，a2，a4，a6，a8，a10为正数，令x＝－1，则310＝a0－a1＋a2＋…－a9＋a10，故|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－a1＋a2＋…－a9＋a10＝310－1，A正确；对于B，1.0510＝(1＋0.05)10＝C010×0.050＋C110×0.051＋C210×0.052＋…＋C1010×0.0510＝1＋0.5＋0.1125＋…＝1.5＋0.1125＋…，故1.0510精确到0.1的近似数为1.6，B正确；对于C，5555＝(56－1)55＝C055×5655－C155×5654＋C255×5653－…＋C5455×561－C5555×560，由此可得5555被8除的余数为8－1＝7，C错误；对于D，C0929＋C1928＋…＋C99＝(2＋1)9＝39，D正确．故选ABD.11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，以下关于杨辉三角的猜想中正确的是()A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：C m n＝C n－mn B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C k n＋1＝C k－1n＋C k nC．由“第n行所有数之和为2n”猜想：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2nD ．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝15101051答案ABC解析由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A ，B ，C 正确；115＝(10＋1)5＝C 05×105＋C 15×104＋C 25×103＋C 35×102＋C 45×101＋C 55＝161051，故D 错误．故选ABC.三、填空题12．已知多项式(x ＋2)(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 2＝______，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________．答案8－2解析含x 2的项为x ·C 34·x ·(－1)3＋2·C 24·x 2·(－1)2＝－4x 2＋12x 2＝8x 2，故a 2＝8.令x ＝0，即2＝a 0，令x ＝1，即0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－2.2＋1x2－的展开式中x 2的系数是________(用数字作答)．答案15解析2＋1x 2－，所以T k ＋1＝C k 6x 6－＝C k 6(－1)k ·x 6－2k ，令6－2k ＝2，解得k ＝2，所以展开式中x 2的系数是C 26(－1)2＝15.2＋1x 2－2＋1x 2－2＋1x 2－2＋1x2－中要得到含x 2的项，只需分两类：第一类：从3个括号里选1个括号出x 2，其余括号都出常数项－2，即C 13x 2(－2)2＝12x 2；第二类：从3个括号里选2个括号出x 2，余下的那个括号出1x 2，即C 23(x 2)2·1x 2＝C 23x 2＝3x 2.故展开式中含x 2的项是12x2＋3x 2＝15x 2，其系数为15.14．(2023·揭阳模拟)设a ＝C 019＋C 1197＋C 21972＋…＋C 1919719，则a 除以9所得的余数为________．答案8解析因为a ＝C 019＋C 1197＋C 21972＋…＋C 1919719，所以a ＝(1＋7)19＝(9－1)19＝C 019919＋C 119918(－1)＋…＋C 181991(－1)18＋C 1919(－1)19＝9[C 019918＋C 119917(－1)＋…＋C 1819(－1)18]－1＝9[C 019918＋C 119917(－1)＋…＋C 1819(－1)18－1]＋8，所以a 除以9所得的余数为8.四、解答题15．在①只有第8项的二项式系数最大；②奇数项二项式系数之和为47；③各项系数之和为414这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．，若其展开式中，________，是否存在整数k ，使得T k 是展开式中的常数项？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解若选条件①，即只有第8项的二项式系数最大，则n ＝14；若选条件③，即各项系数之和为414，则4n ＝414，即n ＝14.展开式的通项为T k ＝C k －114(x )15－－1＝3k －1C k －114x21－7k2.由21－7k ＝0，得k ＝3.即存在整数k ＝3，使得T k 是展开式中的常数项．若选条件②，即奇数项二项式系数之和为47，则2n －1＝47＝214，所以n ＝15.二项式15展开式的通项为T k ＝C k －115(x )16－kk －1＝3k －1C k －115x22－7k2.由22－7k ＝0，得k ＝227∉Z ，即不存在整数k ，使得T k 是展开式中的常数项．16．已知m ，n 是正整数，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中x 的系数为7.(1)对于使f (x )中的x 2的系数最小的m ，n ，求出此时x 3的系数；(2)利用上述结果，求f (0.003)的近似值(精确到0.01)．解(1)根据题意得C 1m ＋C 1n ＝7，即m ＋n ＝7，①f (x )中的x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝m （m －1）2＋n （n －1）2＝m 2＋n 2－m －n2.，将①变形为n＝7－m，代入上式得x2的系数为m2－7m＋21＋354故当m＝3或m＝4时，x2的系数的最小值为9.当m＝3，n＝4时，x3的系数为C33＋C34＝5；当m＝4，n＝3时，x3的系数为C34＋C33＝5.(2)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈C04＋C14×0.003＋C03＋C13×0.003≈2.02.。

2025高考数学一轮复习-10.3-二项式定理-专项训练【含答案】

10.3-二项式定理-专项训练-专项训练基础巩固练1.在的展开式中,常数项为()A.256B.240C.192D.1602.(2023镇江调研)的展开式中,含 -32的项是()A.第8项B.第7项C.第6项D.第5项3.计算2n-1C 1+2n-2C 2+2n-3C 3+…+C =()A.3nB.2×3nC.3n-1D.3n-2n4.已知(x-2)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,则a8=()A.27B.-27C.324D.-3245.(多选题)(2023无锡月考)对于二项式 -的展开式,下列结论正确的有()A.各项系数之和为0B.二项式系数的最大值为C85C.不存在常数项D.x的系数为-286.(多选题)若(36x5-2x)n的展开式中有且仅有三个有理项,则正整数n的取值可能为()A.4B.6C.7D.87.38被5除所得的余数是.8.在二项式x的展开式中,只有第6项的二项式系数最大,则n=,含x2的项的系数是.9.在下面两个条件中任选一个条件,补充在后面问题中的横线上,并完成解答.条件①:展开式前三项的二项式系数的和等于37;条件②:第3项与第7项的二项式系数相等.问题:在二项式(2x-1)n的展开式中,已知.(1)求展开式中二项式系数最大的项.(2)设(2x-1)n=a n x n+a n-1x n-1+…+a2x2+a1x+a0,求a1+a2+a3+…+a n的值.(3)求1x-1)n的展开式中x2的系数.综合提升练10.(2023南京月考)已知的展开式中第3项、第4项、第5项之和大于25,则的取值范围是()A.(1,+∞)B.(8,+∞)C.(27,+∞)D.(343,+∞)11.(2023南通调研)在1+ 的展开式中,x 2项的系数为()A.45 B.90 C.120 D.112.(多选题)已知(1+2x )n +a (3-x )7=a 0+a 1x+…+a 6x 6(a ≠0),则()A.n=6B.a=128C. 037+ 136+…+ 63D.a 1+2a 2+…+6a 6=-6413.已知(2x+my )(x-y )5的展开式中x 2y 4的系数为-20,则m 的值为.14.(2023连云港期中)已知(2x-1)100=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 100x 100,记n=a 1+2a 2+3a 3+…+100a 100,则n=.15.已知(1+2x )n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ,n ∈N *,其中a 2=60.(1)求(a 0+a 1+a 2+…+a n )[a 0-a 1+a 2-…+(-1)n a n ]的值;(2)设(1+2)n =a+2b (其中a ,b 为正整数),求a 2-2b 2的值.创新应用练16.(多选题)已知(p+x )n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n-1x n-1+a n x n (p>0,n ∈N *且n ≥2),其中log 2a 0=12,log 2a 1-log 2a n-1=10,则()A.np=24B.a 0+a 1+a 2+…+a n =1C.∑ 0 C - =2-1212D.a 1+2a 2+22a 3+…+2n-1a n =223-211参考答案1.C2.B3.BC4.AB5.BCD6 357 238.解(1)根据题意,得 - 200, + +40+60 1100,解得 600, 400.(2)将10000元存入“A ”的利息为10000×2.8%=280(元);将10000元存入“B ”的利息为10000×4.2%=420(元);将10000元存入“C ”的利息为10000×4.82%=482(元).所以这3名市民2023年理财的平均年化收益率为280+420+48230000 100%=3.94%.(3)由600∶400=3∶2,得抽取的这5人中使用“A ”的有3人,使用“B ”的有2人.设这5人中,使用“A ”的分别为A 1,A 2,A 3,使用“B ”的分别为B 1,B 2,则从5人中随机选取2人的样本空间Ω={(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 2,A 3),(B 1,B 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2)},共有10个样本点,其中2人都使用“B ”的样本点为(B 1,B 2),只有1个样本点,所以这2人都使用“B ”的概率为P=110 9.A 10.D 11.BC 12 31313 5914.解(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量=500500+50+50 56 (2)设“生活垃圾投放错误”为事件A ,则事件表示“生活垃圾投放正确”.事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量总和除以生活垃圾总量,即P ( )=500+240+601000=0.8,所以P (A )=1-0.8=0.2.(3)当a=450,b=c=0时,s 2取得最大值.因为 13(a+b+c )=150,所以s 2=13 [(450-150)2+(0-150)2+(0-150)2]=45000.15.ACD 16.AB。