苏教版高中数学必修二1.2.3第3课时.docx

高中数学学习材料
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第3课时直线与平面垂直的判定
【课时目标】1．理解直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用．
1．如果直线a与平面α内的__________________，我们就说直线a与平面α互相垂直，记作：________．
图形如图所示．
2．从平面外一点引平面的垂线，这个点和________间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．
3．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线______于这个平面．
图形表示：
用符号表示为：______________________________________________________________．
一、选择题
1．下列命题中正确的是________(填序号)．
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是________．
3．若a、b、c表示直线，α表示平面，下列条件中能使a⊥α为________．(填序号)
①a⊥b，b⊥c，b⊂α，c⊂α；②a⊥b，b∥α；
③a∩b＝A，b⊂α，a⊥b；④a∥b，b⊥α．
4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC的形状为__________三角形．
5．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF 的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图②使G1、G2、G3三点重合于一点G)，则下列结论中成立的有________(填序号)．
①SG⊥面EFG；②SD⊥面EFG；③GF⊥面SEF；
④GD⊥面SEF．
6．△ABC的三条边长分别是5、12、13，点P到三点的距离都等于7，那么P到平面ABC的距离为__________________________________________________________________．7．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件______时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．
二、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．
11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．
求证：(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD．
能力提升
12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．
13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；
(2)PQ⊥SC．
1．直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义． (2)利用线面垂直的判定定理．
(3)利用下面两个结论：①若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α；②若α∥β，a ⊥α，则a ⊥β．
2．在线面垂直的问题中，通过直线与直线垂直，可以证明直线与平面垂直；直线与平面垂直后，直线和平面内的任何直线都垂直．这样，就形成了线线垂直与线面垂直连环使用的思维形式，它对解题方法、策略乃至人们的思维，无疑都是一种提示．
第3课时 直线与平面垂直的判定 答案
知识梳理
1．任意一条直线都垂直 a ⊥α 2．垂足
3．相交 垂直 m ，n ⊂α，m ∩n ＝O ，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α 作业设计
1．④ 2．a ⊂β或a ∥β 3．④ 4．直角
解析 易证AC ⊥面PBC ，所以AC ⊥BC ． 5．① 6．32
3
解析 由P 到三个顶点距离相等．可知，P 为△ABC 的外心，又△ABC 为直角三角形，
∴P 到平面ABC 的距离为h ＝PD ＝72－⎝⎛⎭⎫1322＝3
23．
7．4
解析
⎭
⎪⎬⎪⎫PA ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒
⎭
⎪⎬⎪
⎫PA ⊥BC AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ，
∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC ． 8．∠A 1C 1B 1＝90°
解析
如图所示，连结B 1C ，
由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，
因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，
即只要证AC ⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC ⊥BC 即可． 因为A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ， 故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可．
(或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1＝90°等) 9．90°
解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ． 又∵MN ⊥B 1M ， ∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ． ∴∠C 1MN ＝90°．
10．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ， ∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ，
又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，AB ∩BE ＝B ，∴CF ⊥平面EAB ． 11．证明 (1)∵PA ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥PA ．
又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩PA ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PD ．
(2)取PD 的中点G ，连结AG ，FG ．又∵G 、F 分别是PD ，PC 的中点，
∴GF 綊1
2
CD ，∴GF 綊AE ，
∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF ． ∵PA ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ，
∵CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ． ∴CD ⊥AG ．∴EF ⊥CD ．
∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD ．
12．证明 连结AB 1，CB 1，设AB ＝1． ∴AB 1＝CB 1＝2，
∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC ． 连结PB 1．
∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32
， PB 21＝PD 21＋B 1D 2
1
＝94， OP 2＝PD 2＋DO 2＝3
4，
∴OB 21＋OP 2＝PB 2
1． ∴B 1O ⊥PO ，
又∵PO ∩AC ＝O ， ∴B 1O ⊥平面PAC ．
13．证明 (1)∵SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥BC ．
又∵BC ⊥AB ，SA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面SAB ． 又∵AQ ⊂平面SAB ，
∴BC ⊥AQ ．又∵AQ ⊥SB ，BC ∩SB ＝B ， ∴AQ ⊥平面SBC ．
(2)∵AQ ⊥平面SBC ，SC ⊂平面SBC ， ∴AQ ⊥SC ．
又∵AP ⊥SC ，AQ ∩AP ＝A ， ∴SC ⊥平面APQ ．
∵PQ ⊂平面APQ ，∴PQ ⊥SC ．。