昆山市兵希中学九年级数学上学期期中复习(5)

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江苏省昆山市兵希中学九年级数学上册 5

A
D
F
E O
C
B
1.如图，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O内，点A 与点D在点B、C所在直线的同侧，比较∠BAC与 ∠BDC的大小，并说明理由．
2、如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E， ∠BAC=40°，∠AED=75°. 求∠ABD的度数.
3、如图,点A、B、C、D在⊙O 上,∠ADC=∠BDC=60°
判断△ABC的形状，并说明理由.
如图，△ABC的三个顶点在⊙O上,且AB=AC，D是 BC边上的一点，E是直线AD延长线和的交点.
(1)求证：AB2=AD·AE.
(2)当D为BC延长线上一点时，
A
第1小题的结论成立吗？
O
D
B
CEຫໍສະໝຸດ ❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 ❖2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 ❖4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
①∠BDC=_______°， ②∠BOC=_______°.
A
D
O
B
C
2、如图，点A、B、C在⊙O上， ①若∠BAC=60°，求∠BOC=______°; ② 若∠AOB=90°，求∠ACB=______°.

初三昆山期中数学试卷答案

---初三昆山期中数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，角BAC的度数是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 若方程 2x - 3 = 5 的解为 x，则 x 的值为：A. 2B. 3C. 4D. 53. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于x轴的对称点坐标是：A. (2,-3)B. (-2,3)C. (2,6)D. (-2,-3)4. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，那么它的体积V是：A. abcB. a+b+cC. ab+bc+acD. a²+b²+c²5. 在等差数列{an}中，若a1=3，d=2，那么a10的值是：A. 22B. 23C. 24D. 25二、填空题（每题5分，共25分）6. 若x² - 5x + 6 = 0，则x的值为______。

7. 在直角三角形中，若一个锐角的度数是30°，则另一个锐角的度数是______。

8. 一个圆的半径是5cm，那么它的直径是______cm。

9. 已知函数y=2x+1，当x=3时，y的值为______。

10. 在三角形ABC中，若AB=AC，则∠ABC的度数是______。

三、解答题（每题15分，共45分）11. （解答题）解方程：x² - 6x + 9 = 0。

12. （解答题）已知数列{an}是等差数列，a1=2，d=3，求第10项an的值。

13. （解答题）在平面直角坐标系中，点A(3,4)关于原点的对称点B的坐标是______。

四、综合题（每题20分，共40分）14. （综合题）一个长方体的长、宽、高分别是x cm、y cm、z cm，已知长方体的体积是V cm³，写出V关于x、y、z的表达式，并求出当x=5 cm，y=3 cm，z=4 cm时，长方体的体积。

江苏省昆山市兵希中学九年级数学总复习：方程与不等式专题训练

《方程与不等式》专题训练姓名一、选择题：1、一元二次方程x (x －2)＝0根的情况是 ( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2、一元二次方程x (x －2)＝2－x 的根是 ( ) A ．－1 B ．2 C ．1和2 D ．－1和23、若x ＝2是关于x 的一元二次方程x 2－m x ＋8＝0的一个解，则m 的值是 ( ) A ．6 B ．5 C ． 2 D ．－6 4、已知x ＝1是方程x 2＋bx －2=0的一个根，则方程的另一个根是 ( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1 5、不等式8－2x >0的解集在数轴上表示正确的是( )6、不等式组11112x x +≥-⎧⎪⎨<⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是( )7、如果不等式组()2131x x x m⎧->-⎪⎨<⎪⎩ 的解集是x <2，那么m 的取值范围是( ) A ．m ＝2 B ． m>2 C ． m<2 D ．m ≥28、小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15 km ，可早到10分钟，每小时骑12 km 就会迟到5分钟，问他家到学校的路程是多少千米？设他家到学校的路程是x km ，则列出的方程是（） A ．10515601260x x +=- B ．10515601260x x -=+ C ．10515601260x x -=- D ．1051512x x+=- 二、填空题1、方程组524050x y x y --=⎧⎨+-=⎩的解是_______．2、已知关于x 的方程x 2－m x ＋n ＝0的两个根是0和－3，则m ＝_______，n ＝______．3、已知x ＝1是分式方程131kx x=+的根，则实数k ＝______． 4、已知一元二次方程x 2－6x －5＝0的两根为a 、b ，则11a b+的值是______．5、若关于x 、y 的二元一次方程组3133x y ax y +=+⎧⎨+=⎩的解满足x ＋y <2，则a 的取值范围为______．6、如果关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0(m 为常数)有两个相等实数根，那么m ＝________. 7、分式方程1x ＝3x －2的解为________．8、某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有________种购买方案．三、解答题 1、解方程：①x ()x －2＋x －2＝0. ②x 2＋4x －2＝0.③ xx ＋1－1x －1＝1. ④x ＋12x ＝x ＋13.2、解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．①2x －3<13x +， ②⎩⎪⎨⎪⎧1－x －，①3x －22<x ＋12，②3、解不等式组：20312123xx x+≥⎧⎪-+⎨<⎪⎩，并写出该不等式组的最小整数解．4、如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2＋17) cm，正六边形的边长为(x2＋2x) cm(其中x>0)．求这两段铁丝的总长．5、某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过3000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，且其单价和为130元．(1)请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？(2)若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个(副)，羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有几种购买方案？6、潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A 、B 两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：((1)求A 、B 两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？(2)某种植户准备租20亩地用来种植A 、B 两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植A 类蔬菜的面积多于种植B 类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植户所有租地方案．四、选做题1、设一元二次方程(x －1)(x －2)＝m(m>0)的两根分别为α、β，且a <β，则a ，β满足 ( )A ．1<a <β<2 B．1<a <2<β C ．a <1<β<2 D ．a <1且β>22、我市专业户王大爷承包了30亩水塘，分别养殖甲鱼和桂鱼．有关成本、销售额见下表：(1)2010 (收益＝销售额－成本)(2)2011年，王大爷继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼，计划投入成本不超过70万元．若每亩养殖的成本、销售额与2010年相同，要获得最大收益，他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩？(3)已知甲鱼每亩需要饲料500kg ，桂鱼每亩需要饲料700kg.根据(2)中的养殖亩数，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每次载装饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍，结果运输养殖所需全部饲料比原计划减少了2次．求王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料多少kg?3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P为BC的中点．动点Q从点P 出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．⑴当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；⑵已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．。

江苏省昆山市兵希中学九年级数学上册 5

相交内含
8 6
d＞11 0≤d＜1
➢例题讲解
已知两圆半径R、r( R>r)是方程x2-3x+1=0的两根，两圆的圆心距为d. ①若d=4，试判断两圆的位置关系； ②若d=2，试判断两圆的位置关系； ③若两圆相交，试确定d的取值范围； ④若两圆相切，试求d的值．
➢例题讲解
如图，⊙O1与⊙O2外切于点P， ⊙O与 ⊙O1、 ⊙O2分别内切于M、N，△OO1O2的周长为18㎝. 求⊙O的半径.
圆与圆的位置关系
两个圆有两个公共点时，叫
做这两个圆相交
圆与圆的位置关系
两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内
部时，叫做这两个圆内切这个唯一公共点叫做切点
内切和外切统称为相切
圆与圆的位置关系
两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在
另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含
➢回顾与思考
1、点与圆有哪几种位置关系？ 2、直线与圆有哪几种位置关系？
在运动过程中圆与圆的位置关系发生了怎样的变化？
圆与圆的位置关系
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点
都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离
圆与圆的位置关系
两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另
一个圆的外部时，叫做这两个圆外切这个唯一的公共点叫做切点
两圆同心是两圆内含的一种特例
外离内含外切内切
相交
没
有相
公共
离
点
一
个
公相
共点
切
两
个
公
相
共点
交
外离
o1 R
r o2

江苏省昆山市兵希中学九年级数学总复习：数与式专题训练

《数与式》专题训练一、选择题：1、－6的绝对值的倒数是 ( )A ．－6B ．6C ．16 D ．－16 2、下列实数中是无理数的是 ( )A B C ．13 D ．3.143、下列计算正确的是 ( )A ．(－8)－8＝0B ．(－12)×(－2)＝1 C ．()01--＝1 D ．2-＝－2 4、用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是 ( )A ．0.1（精确到0.1）B ．0.05（精确到百分位）C ．0. 05（精确到千分位）D ．0.050(精确到0.001)5、2019年，某地区有54310人参加中考，将54310用科学记数法（保留2个有效数字）表示为 ( )A ．54×103B ．0. 54×105C ．5.4×104D ．5.5×1046、实数a ( )A ．7B ．－7C ．2a －15D ．无法确定7、若x ，y 为实数，且10x ++=，则2011x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是( )A ．0B ．1C ．－1D ．－20198、下列运算正确的是 ( )A ．a ＋b ＝abB ．a 2·a 3＝a 5C ．a 2＋2ab －b 2＝(a －b )2D ．3a －2a ＝19、已知a －b ＝1，则代数式2a －2b －3的值是 ( )A ．－1B ．1C ．－5D ．510、已知3y =，则2xy 的值为 ( )A ．－15B ．15C ．－152 D ．152 11、计算111a a a ---与的结果为 ( ) A ．11a a +- B ．1a a -- C ．－1 D ．212、定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝11a b +，根据这个规则计算2☆3的值是 ( ) A ．56 B ．15C ．5D ．6 二、填空题12=_______．（结果保留根号）2、今年中央财政下拨医疗卫生补助金1346亿元．这个金额用科学记数法表示为元．3、某服装原价为a 元，降价10%后的价格为_______元．4、对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算※如下：a ※b ＝，如3※2＝=8※12＝_______． 5、当x ＝－2时，代数式21x x -的值是_______． 6、要使分式13x -有意义，则x 的取值范围是______． 7、要使式子aa 2+有意义，则a 的取值范围为_________． 8、分解因式：①2x 2－8＝ . ②a 2(b-1)＋8a (b-1)＋16(b-1)= ．9、若m 为正实数，且13m m -=，则221m m-=______．102210b b ++=，则1a b a +-＝_______． 11、已知11-x ＝1，则 12-x ＋x －1= ．三、解答题1、计算①121)21(2218-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-； ②)01°－22③()1013cos3012π-⎛⎫-+-︒+- ⎪⎝⎭． ④ ()1221222-⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭．2、先化简，再求值： ①21211x x ---，其中x ＝－2． ② 22121124x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中x ＝t a n60°－1．③22211111m m m m m m -+-⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中m④22122121x x x x xx x x ---⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 满足x 2－x －1＝0．3、已知a 2＋2ab ＋b 2＝0，求代数式a (a ＋4b )－(a ＋2b )(a －2b )的值．4、．已知2x －1＝3，求代数式（x －3)2＋2x (3＋x )－7的值．四、选做题1、若a 1＝1－m1，a 2＝1－11a ，a 3＝1－21a ，… ；则a 2019的值为____________． 2、用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图①、②、③中的一种)．设竖档AB ＝x 米，请根据以下图案回答下列问题(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD 、AB 平行)：(1)在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x 为多少时，矩形框架ABCD 的面积为3平方米？(2)在图②中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x 为多少时，矩形框架ABCD 的面积S 最大？最大面积是多少？(3)在图③中，如果不锈钢材料总长度为a 米，共有n 条竖档，那么当x 为多少时，矩形框架ABCD 的面积S 最大？最大面积是多少？3、如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角尺ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为(－1,0)，点B在抛物线y＝ax2＋ax－2上．(1)点A的坐标为________，点B的坐标为________；(2)抛物线的关系式为________________；(3)设(2)中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；(4)将三角尺ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C′的位置．请判断点B′、C′是否在(2)中的抛物线上，并说明理由．。

江苏省昆山市兵希中学中考数学总复习统计与概率专题

《统计与概率》专题训练姓名一、选择题：1、要调查城区九年级8000名学生了解禁毒知识的情况，下列调查方式最合适的是 ( ) A．在某校九年级选取50名女生 B．在某校九年级选取50名男生C．在某校九年级选取50名学生 D．在城区8000名九年级学生中随机选取50名学生2、下列调查中，适宜采用抽样方式的是 ( )A．调查我市中学生每天体育锻炼的时间 B．调查某班学生对“五个重庆”的知晓率C．调查一架隐形战机各零部件的质量 D．调查运会100米参赛运动员兴奋剂的使用情况3、要反映台州市某一周每天的最高气温的变化趋势，宜采用( )A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．频数分布直方图4、下列事件属于必然事件是( )A．在1个标准大气压下，水加热到100℃沸腾 B．明天我市最高气温为56℃C．中秋节晚上能看到月亮 D．下雨后有彩虹5、多多班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位：本)，绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是( )A．极差是47 B．众数是42C．中位数是58 D．每月阅读数量超过40的有4个月6、下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下列说法正确的是 ( )A．甲比乙的成绩稳定B．乙比甲的成绩稳定C．甲、乙两人的成绩一样稳定D．无法确定谁的成绩更稳定7、北京市今年6月某日部分区县的最高气温如下表：则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是 ( )A．32，32 B．32，30 C．30，32 D．32，318、株洲市关心下一代工作委员会为了了解全市初三学生的视力状况，从全市30000名初三学生中随机抽取了500人进行视力测试，发现其中视力不良的学生有100人，则可估计全市30000名初三学生中视力不良的约有 ( )A．100人 B．500人 C．6000人 D．15000人9、如图，A、B是数轴上两点，在线段AB上任取一点C，则点C到表示－1的点的距离不大于2的概率是 ( )A．12B．23C．34D．4510、某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为( )A．13B．19C．12D．23二、填空题1、某灯具厂从1万件同批次产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，估计该厂这一万件产品中不．合格品约为________件．2、如果x1与x2的平均数是4，那么x1＋1与x2＋5的平均数是_______．3、在一次爱心捐款中，某班有40名学生拿出自己的零花钱，有捐5元、10元、20元、50元的，右边扇形统计图反映了不同捐款的人数比例，那么这个班的学生平均每人捐款_________元．4、在如图所示的矩形纸片上作随机扎针实验，则针头扎在阴影区域的概率为__________．5、同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率为_______．6、一个样本为1，3，2，2，a，b，c．已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样本的方差为_______．7、从－2、－1、0、1、2这5个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程x2—x＋k＝0的k值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率_______．8、为了庆祝中国共产党建党九十周年，襄阳市各单位都举行了“红歌大赛”．某中学将参加本校预赛选手的成绩（满分为100分，得分为整数，最低分为80分，且无满分）分成四组，并绘制了如下的统计图，请根据统计图的信息解答下列问题．(1)参加本校预赛的选手共_______人．(2)参加预赛选手成绩的中位数所在组的范围是_______；(3)成绩在94.5分以上的预赛选手中，男生和女生各占一半．学校从中随机确定2名参加市“红歌大赛”，则恰好是一名男生和一名女生的概率为_______．三、解答题1、为更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如下的调查问卷（单选）．在随机调查了本市全部5000名司机中的部分司机后，统计整理并制作了如下的统计图：根据以上信息解答下列问题：(1)补全条形统计图，并计算扇形统计图中m＝_______，(2)该市支持选项B的司机大约有多少人？(3)若要从该市支持选项B的司机中随机选择100名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，则支持该选项的司机小李被选中的概率是多少？2、某中学九年级(3)班50名学生参加平均每周上网时间的调查，由调查结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题：(1)求a的值；(2)用列举法求以下事件的概率：从上网时间在6～10小时的5名学生中随机选取2人，其中至少．．有1人的上网时间在8～10小时．3、王大伯几年前承办了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活98%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示．(1)分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；(2)试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？4、某市今年的信息技术结业考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容，规定：每位考生先在三个笔试题（题签分别用代码B1、B2、B3表示）中抽取一个，再在三个上机题（题签分别用代码J1、J2、J3表示）中抽取一个进行考试．小亮在看不到题签的情况下，分别从笔试题和上机题中随机地各抽取一个题签．(1)用树状图或列表法表示出所有可能的结果；(2)求小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标（例如“B1”的下表为“1”）均为奇数的概率．5、2011年6月4日，李娜获得法网公开赛的冠军，圆了中国人的网球梦，也在国内掀起一股网球热．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷．要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题．小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座；如果摸出的是白球，小明去听讲座．(1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；(2)若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利？说明理由．四、选做题1、有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使关于x 的分式方程11222ax x x-+=--有正整数解的概率为_______． 2、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P 是反比例函数y ＝x6（x ＞0）图象上的任意一点，以P 为圆心，PO 为半径的圆与x 、y 轴分别交于点A 、B ．（1）判断P 是否在线段AB 上，并说明理由；（2）求△AOB 的面积；（3）Q 是反比例函数y ＝6x（x ＞0）图象上异于点P 的另一点，请以Q 为圆心，QO 半径画圆与x 、y 轴分别交于点M 、N ，连接AN 、MB ．求证：AN∥MB．3、在平面直角坐标系XOY 中，直线1l 过点()0,1A 且与y 轴平行，直线2l 过点()2,0B 且与x 轴平行，直线1l 与直线2l 相交于点P 。

江苏省昆山市兵希中学九年级数学上学期期中复习(5)(无答案) 苏科版

江苏省昆山市兵希中学九年级数学上学期期中复习（5）（无答案）苏科版【知识回顾】用一元二次方程解决问题：列一元二次方程解应用题的步骤有哪些 . 【例题讲解】例1：在国家下身的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月分的14000元/2m 下降到5月分的12600元/2m⑴问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：95.09.0 ）⑵如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/2m ？请说明理由。

例2：某批发商以每件50元的价格购进800件T 恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低x 元。

（1）填表（不需化简）（2）如果批发商希望通过销售这批T 恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？例3：某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元. （1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？例4：如图，是上海世博园内的一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图内阴影部分）种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600米2，那么花园各角处的正方形观光休息亭的周长为多少米？例5：某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）若甲工程队独做a 天后，再由甲、乙两工程队合作天（用含a 的代数式表示）可完成此项工程；（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？【练习巩固】1、在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A . (1)10x x -= B.(1)102x x -= C. (1)10x x += D. (1)102x x += 2、如图，在△ABC 中，∠B=900，AB=3 cm ，BC=4 cm 点P 从点A 开始以0.5cm/s 的速度沿AB 边向点B 移动，点Q 从点B 开始以1 cm ／s 的速度沿BC 边向点C 移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，_________秒后△PBQ 的面积等于2 cm 2．3、某西瓜经营户以2元／千克的价格购进一批小型西瓜,以3元／千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元／千克,每天可多售出40千克．另外,每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？【课后作业】一、选择题1、上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a %后售价为128元. 下列所列方程中正确的是（）A ．128)% 1(1682=+aB ．128)% 1(1682=-aC ．128)% 21(168=-aD ．128)% 1(1682=-a 2、某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（）A 、50(1+x)2=182B ．50+50(1+x)+50(1+x)2=182 C 、50(1+2x)＝182 D ．50+50(1+x)+50(1+2x)=1823、庆“五一”,市工会组织篮球比赛,赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）,共进行了45场比赛,这次有（）队参加比赛.A.12B.11C. 9 D104、某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B 型包装箱比A 型包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个。

江苏省昆山市兵希中学九年级数学上学期期中复习(2)(无答案) 苏科版

江苏省昆山市兵希中学九年级数学上学期期中复习（2）苏科版【知识回顾】1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）双重非负性；（2）（a）2=a（a≥0）；（3）（4）ab=ba∙（a≥0,b≥0）；（5）()0,0>≥=bababa.5.分母有理化【例题讲解】例1：当x满足什么条件时，下列各式有意义？（1（2）a＋2a；（3）1213-+-xx；（4（5+例2化简：（1=__ __；（2=___ __；（3___ _；（40,0)x y≥≥=___ _；（5_______=；（6=__ _；（7=__ _ ；（8=__ _；（9=__ _；例3：1、下列各组二次根式中是否为同类二次根式：（1）2112与（2）2718与（3）313与（4）5445与2、已知二次根式与是同类二次根式，则的α值可以是（）A、5B、6C、7D、8例4: 1、若20a-=，则2a b-=．2、设0>a、0>b，则下列运算中错误．．的是（）a（a＞0）==aa2a-（a＜0）0 （a=0）；（A ）b a ab ⋅= （B ）b a b a +=+ （C ）a a =2)( （D ）ba ba =3、若，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．4、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简【练习巩固】 1、函数中，自变量的取值范围是．2、下列二次根式中，x 的取值范围是x ≥2的是（） A 、2－x B 、x+2 C 、x －2 D 、1x －23、若整数m 满足条件2)1(+m ＝1+m 且m ＜52，则m 的值是．4、已知x ＜1，则12x -x 2+化简的结果是（） A.x －1 B. x ＋1 C. －x －1 D.1－x5、比较大小：．6、使n 12是整数的最小正整数n = 。

江苏省昆山市兵希中学九年级数学上学期期中复习(1)(无答案) 苏科版

江苏省昆山市兵希中学九年级数学上学期期中复习（1）苏科版1、基本概念：圆、圆心、半径、直径、弦、弧（优弧、劣弧、等弧）、圆心角、圆周角、同心圆、等圆．2、基本结论：（1）点与圆的位置关系：如果⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么点P 在圆内d r ⇔<；点P 在圆上d r ⇔=；点P 在圆外d r ⇔>．（2）圆心角、弧、弦的关系定理：（3）垂径定理及其推论：（4）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角的推论：90°的圆周角所对弦是，例1（有关弦、半径、圆心到弦的距离之间的计算）(1) 如图，在半径为5cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为3cm ，则弦AB 的长是_______ ; (2) 如图，在⊙O 中，弦AB ＝60，C 是弧AB 的中点，CD ＝9，求⊙O 的半径.例2（圆心角、弧、弦的关系定理的应用）如图所示，AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，•且AE=BF ，请你找出弧AC 与弧BD 的数量关系，并给予证明．例3（圆周角与圆心角）1．如图，点A 、B 、C 、D 是⊙O 上的三点，∠BAC=40°，则∠OBC 的度数是________ABCDA BB2．如图，已知圆心角∠AOB 的度数为100°，则圆周角∠ACB 等于____________º。

3.在半径为2的⊙O 中，弦AB 的长为22，则弦AB 所对的圆心角∠AOB 的度数是__________4.如图AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，若AC =8，AB =10，OD ⊥BC 于点D ，则BD 的长为（）（A ）1.5 （B ）3 （C ）5 （D ）6 课堂练习：1、如图，在ABC ∆中，AB 为O 的直径，60,70B C ∠=∠=，则BOD ∠的度数是_____度．2、如图，分别以A 、B 为圆心，线段AB 的长为半径的两个圆相交于C 、D 两点，则∠CAD 的度数为．3、如图，AB 是O 的直径,点D 在O 上∠AOD=130°,BC ∥OD 交O 于C,则∠A= ．4、如图，⊙O 中，MAN 的度数为320°，则圆周角∠MAN ＝_______.5、如图，AB 是O ⊙的直径，弦2cm BC =，F 是弦BC 的中点，60ABC ∠=°．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A B A →→方向运动，设运动时间为()(03)t s t <≤，连结EF ，当t 值为 s 时，BEF △是直角三角形．6、如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 与E ，交BC 与D ．求证：（1）D 是BC 的中点；（2）△BEC ∽△ADC ；（3）BC 2=2AB ·CE课后作业：一、选择：1、如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC =50°，则∠CDB 大小为 ( ) A ．25° B ．30° C ．40° D ．50°2、如图，AB 是O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于E ，则下列结论ABO CD中不成立．．．的是（）Ａ．A D ∠=∠ Ｂ．CE DE =Ｃ．90ACB ∠= Ｄ．CE BD = 3、若⊙O 的半径为4cm ，点A 到圆心O 的距离为3cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是( )A ．点A 在圆内B ．点A 在圆上C ．点A 在圆外D ．不能确定4、已知⊙O 的半径为5,弦AB 的弦心距为3,则AB 的长是( ) A.3 B.4 C.6 D.85、如图已知BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦AC ⊥BD 于点E ，若∠AOD=60°，则∠DBC 的度数为（） A.30° B.40° C.50° D.60° 二、填空：1、如图AB 是O ⊙的直径，C D 、为O ⊙上的两点，若35CDB ∠=°，则ABC ∠的度数为__________.2、如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时最深为米3、如图所示，⊙O 的两弦AB 、CD 交于点P ，连接AC 、BD ，得S △ACP ：S △DBP =16:9，则AC ：BD4、如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 是BC 的中点，已知∠AOB =98°，∠COB =120°．则∠ABD 的度数是．三、解答题：1、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF ﹦BF ；（2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O 的半径为，CE 的长是．2、如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC ，OE ⊥BC ， OE ＝12BC ． 1）求∠BAC 的度数．2）将△ACD 沿AC 折叠为△ACF ，将△ABD 沿AB 折叠为△ABG ，延长FCGBABDOCH 相交于点H ．求证：四边形AFHG 是正方形．（3）若BD ＝6，CD ＝4，求AD 的长．3、如图，AB 为O 的直径，CD 为弦，且CD AB ⊥，垂足为H ．（1）如果O 的半径为4，CD =AC 的长；（2）若点E 为ADB 的中点，连结OE ，CE ．求证：CE 平分OCD ∠；（3）在（1）的条件下，圆周上到直线AC 距离为3的点有多少个？并说明理由．4、如图，AB 是O ⊙的直径，C D 、是O ⊙上的两点，且.AC CD = （1）求证：OC BD ∥；（2）若BC 将四边形OBDC 分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC 的形状.。

江苏省昆山市兵希中学九年级数学上学期期中复习(4)(无

江苏省昆山市兵希中学九年级数学上学期期中复习（4）（无答案）苏科版【知识回顾】1.一元二次方程的概念：形如：()002≠=++a c bx ax2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：（2）配方法：（3）因式分解法：（4）公式法：求根公式：()042422≥--±-=ac b aac b b x3.可化为一元二次方程的分式方程和简单的二元二次方程组的解法.4.一元二次方程的根的判别式：△=24b ac -（1）当时，方程有两个不相等．．．．．的实数根；（2）当时，方程有两个相等．．．．的实数根；（3）当时，方程没有实数根．．．．．。

5.一元二次方程的根与系数的关系：设一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2 = ；x 1·x 2= . 【基础训练】例1： 1. 下列方程中，关于x 的一元二次方程是 ( )A. ()()23121x x +=+ B.21120xx+-= C ．20a bx c x ++= D ．()270x x x -+= 2．一元二次方程3x(x+1)=2x 2+1的二次项系数是____；一次项系数是____；常数项是____。

3.当a 时，方程()222350aa xx --+-=是关于x 的一元二次方程，例2：解下列方程（1）(2x ＋3)2－25＝0. （2） 2410x x --= （3）2250x x +-=（4）()()2322+=+x x （5）2260x x +-= （6）()()222335x x +=-例3：解方程（组）：（1）x x ─ 1 ─ 2 x ─ 2x─ 1 = 0 （2）⎩⎨⎧=-+=-4330222y y x y x例4：1、关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（）A ．a ≥1 B．a ＞1且a ≠5 C．a ≥1且a ≠5 D．a ≠5 2、已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（）A ．7-B ．3-C ．7D ．3 3、设x 1、x 2 是一元二次方程x 2+4x －3=0的两个根，2x 1(x 22+5x 2－3)+a =2，则a = ． 4、已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．【练习巩固】1、如果关于x 的方程220x x a -+=有两个相等的实数根，那么a= .2、已知x 1=-1是方程052=-+mx x 的一个根，则m= ；方程的另一根x 2= 。

江苏省昆山市兵希中学九年级数学上册二次根式的复习课件苏科版

25 2
3( a2)( a2)；4( x 3)2
5
8 2
525
1 2
15.
➢灵活运用
5 、在 A B C 中， C = 9 0 O ， A C =1 0 c m ， A B =3 4 c m 求 B C 长 .
6、物体自由下落，开始落下时物体的高度hm
与落到地面所用的时间ts之间有关3x.
x1 x1
➢复习巩固
3、化简：
(1) 72a3； (2) 252 242；
3
b； 3a3
4
7； 12
5
5 2； 52
6 a a2b 4ab2 4b3 (2b a)
a 2b
a
➢复习巩固
4、计算 1 4 4 • 3 5 ( 3 10)；
5
4
2 108 3 1 32；
5 如果4个苹果分别从地面2m、 2.5m、 3m、 3.2m处落下，求它们落到地面所用时间的总和.
➢灵活运用
7 、已知 x 3 1 ,求 x 2 2 x 3 的值 .
8、如果 a32b0,求 16的值 . ab
9 、已知 m 是 2 的小数部分 ,求 m 2m 1 2 2 的值 .
➢知识点回顾
1、什么叫二次根式？ 2、二次根式有哪些性质？
3、最简二次根式有哪些条件？ 4、什么叫同类二次根式？
5、二次根式的运算？
➢复习巩固
1、x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x6；
(2) 23x；
3 x2 6； 4 x1.
x 2、下列等式中，字母应分别满足什么条件？
1 a2a；
2 x26x93x；

江苏省昆山市兵希中学九年级数学上册二次函数的复习课件苏科版

-1
13
-4
（二）习题：
1、抛物线y= x 2－2x－3的开口_____,顶点坐
标为_______,对称轴为直线________,与x轴的交点坐标为________,与y轴的交点坐标为 _______,当x ______时,y随x 的增大而增大,当 x_____时,y有最____值是_________.
6、在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b 和二次函数 yax2 bx的图象可能为 ( )
7、已知二次函数 yax2bxc的图像如图所示, 有下列结论:(1) a+b+c<0；(2)a－b+c>0； (3)abc>0;(4)b=2a其中正确的结论有( )
( A)4个
x= -1
(B)3个
(C)2个
y
-1
1
x
0
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤Δ=b-4ac > 0
返回
x2
3、抛物线标为________
y(，2b对aa, 4称x2a4c轴abb（2 )xac≠0）的顶点坐
为直线___x___
b 2a
①当a、b同号时，对称轴在y轴的____侧；左 1 ②当a、b异号时，对称轴在y轴的____侧． 2
右
4、二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的函数
值随自变量值的变化规b 律： (1)若a<0，当x<- 2 a 时，y随x的增大
(A)( 1 ,0)
1
(B)(12 ,0)
2
(C)(2,0)
(D)(3,0)

初三昆山期中试卷数学答案

一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列各数中，是整数的是（）A. √9B. -3.14C. 0.1D. √4答案：D解析：√9=3，是整数；-3.14不是整数；0.1不是整数；√4=2，是整数。

故选D。

2. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -1B. 0C. 1D. -0.5答案：B解析：绝对值是数与0的距离，所以绝对值最小的是0。

故选B。

3. 如果a=2，b=-3，那么a+b的值是（）A. -1B. 5C. -5D. 0答案：A解析：a+b=2+(-3)=-1。

故选A。

4. 下列方程中，解为x=3的是（）A. 2x+1=7B. 3x-2=7C. x+2=5D. 4x-3=9答案：C解析：将x=3代入选项C，得到3+2=5，方程成立。

故选C。

5. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 长方形D. 平行四边形答案：A解析：正方形和等腰三角形都是轴对称图形，而长方形和平行四边形不是轴对称图形。

故选A。

6. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y=x^2B. y=2x+1C. y=3/xD. y=√x答案：C解析：反比例函数的一般形式是y=k/x（k≠0）。

故选C。

7. 下列各式中，正确的是（）A. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2B. (a-b)^2=a^2-2ab+b^2C. (a+b)^2=a^2-2ab+b^2D. (a-b)^2=a^2+2ab-b^2答案：B解析：根据完全平方公式，(a-b)^2=a^2-2ab+b^2。

故选B。

8. 下列各式中，能表示直角三角形斜边长度的是（）A. a^2+b^2=c^2B. a^2+c^2=b^2C. b^2+c^2=a^2D. a^2+b^2=c^2答案：A解析：根据勾股定理，直角三角形斜边长度的平方等于两直角边长度的平方和，即a^2+b^2=c^2。

故选A。

9. 下列各数中，是质数的是（）A. 9B. 11C. 15D. 20答案：B解析：质数是指只能被1和自身整除的大于1的自然数。

昆山初三期中数学试卷答案

---昆山初三期中数学试卷答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若等腰三角形底边长为6cm，腰长为8cm，则其面积为（）A. 24cm²B. 32cm²C. 48cm²D. 64cm²答案：B解答：底边长为6cm，腰长为8cm，作高AD，则AD垂直于BC，AD = BC/2 =6cm。

由勾股定理得，AB² = AD² + BD²，所以BD = √(AB² - AD²) = √(8² - 6²) = √(64 - 36) = √28 = 2√7。

三角形面积S = 1/2 BC AD = 1/2 6 6 =18cm²。

2. 若函数f(x) = ax² + bx + c在x = 1时取得最小值，则a（）A. > 0B. < 0C. = 0D. 无法确定答案：A解答：二次函数f(x) = ax² + bx + c的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

当a > 0时，抛物线开口向上，且在顶点处取得最小值。

因为题目给出在x = 1时取得最小值，所以a > 0。

3. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,1)，则线段AB的中点坐标是（）A. (3/2, 2)B. (5/2, 2)C. (1/2, 2)D. (1, 2)答案：A解答：线段AB的中点坐标为((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)，所以中点坐标为((2 - 1)/2, (3 + 1)/2) = (1/2, 2)。

4. 已知正方形的周长为20cm，则其对角线长度是（）A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm答案：B解答：正方形的周长为4倍边长，所以边长为20cm / 4 = 5cm。

对角线长度为边长的√2倍，所以对角线长度为5cm √2 = 10cm。

5. 若x² - 4x + 4 = 0，则x的值为（）A. 2B. 4C. 1D. -2答案：A解答：这是一个完全平方公式，即(x - 2)² = 0，解得x = 2。

昆山市九年级上册期中试卷检测题

昆山市九年级上册期中试卷检测题一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，求t的值；（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t 47758．【解析】【分析】（1）先求出△ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，列出方程、解方程即可解答；（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴S△ABC＝12×6×6＝18，∵AP＝t，CP＝6﹣t，∴△PBC与△PAD的面积和＝12t2+12×6×（6﹣t），∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，∴12t2+12×6×（6﹣t）＝18×79，解之，得t1＝2，t2＝4；（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，∴PQ＝2t，①如图1，当0≤t ≤2时，S ＝（2t ）2﹣12t 2＝72t 2＝8，解得：t 1＝477，t 2＝﹣477（不合题意，舍去）， ②如图2，当2≤t ≤3时，S ＝12×6×6﹣12t 2﹣12（6﹣2t ）2＝12t ﹣25t 2＝8，解得：t 1＝4（不合题意，舍去），t 2＝45（不合题意，舍去）， ③如图3，当3≤t ≤6时，S ＝12⨯ 6×6﹣12t 2＝8，解得：t 1＝25，t 2＝﹣25（不合题意，舍去），综上，t 的值为477或25时，重叠面积为8．【点睛】本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.2．如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象1l 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点A 坐标为()9,0，正比例函数12y x =的图象2l 与1l 交于点(),3C m ，点(),0N n 在x 轴上一个动点，过点N 作x 轴的垂线与直线1l 和2l 分别交于P 、Q 两点．（1）求m 的值及直线1l 所对应的一次函数表达式；（2）当03PQ <时，求n 的取值范围；（3）求出当n 为何值时，PQC ∆面积为12？【答案】（1）6m =；9y x =-+；（2）46n <或68n <；（3）2n =或10．【解析】【分析】（1）直接将点C 代入正比例函数，可求得m 的值，然后将点C 和点A 代入一次函数，可求得一次函数解析式；（2）用含n 的式子表示出PQ 的长，然后解不等式即可；（3）用含有n 的式子表示出△PQC 的底边长和高的长，然后求解算式即可得．【详解】（1）将点C(m ，3)代入正比例函数12y x =得： 3=1m 2，解得：m=6 则点C(6，3) ∵A(9，0)将点A ，C 代入一次函数y kx b =+得：0936k bk b =+⎧⎨=+⎩解得：k=－1，b=9∴一次函数解析式为：y=－x+9 （2）∵N(n ，0) ∴P(n ，9－n)，Q(n ，12n ) ∴PQ=192n n --∵要使03PQ < ∴0＜1932n n --≤ 解得：46n <或68n <（3）在△PQC 中，以PQ 的长为底，则点C 到PQ 的距离为高，设为h 第（2）已知：PQ=139922n n n --=- 由图形可知，h=6n - ∵△PQC 的面积为12∴12=136922nn -- 情况一：当n ＜6是，则原式化简为：12=()136922n n ⎛⎫--⎪⎝⎭ 解得：n=2或n=10(舍)情况二：当n ≥6时，则原式化简为：12=()136922n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭解得：n=2(舍)或n=10 综上得：n=2或n=10．【点睛】本题考查一次函数的综合，用到了解一元二次方程，求三角形面积等知识点，解题关键是用含n 的算式表示出PQ 的长度，注意需要添加绝对值符号．3．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率；（2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几. 【详解】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x ，()2517.2x +=，解得，10.2x =，2 2.2x =-（舍去），答：这两年藏书的年均增长率是20%；（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有()7.2520%0.44-⨯=（万册），到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：5 5.6%0.44100%10%7.2⨯+⨯=，答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题.4．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．【答案】解：（1）2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%（2）从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆【解析】【分析】（1）设年平均增长率x，根据等量关系“2008年底汽车拥有量×（1+年平均增长率）×（1+年平均增长率）”列出一元二次方程求得．（2）设从2011年初起每年新增汽车的数量y，根据已知得出2011年报废的车辆是2010年底拥有量×10%，推出2011年底汽车拥有量是2010年底拥有量-2011年报废的车辆=2010年拥有量×（1-10%），得出等量关系是： 2010年拥有量×（1-10%）+新增汽车数量]×（1-10%）+新增汽车数量”，列出一元一次不等式求得．【详解】解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x．根据题意，得75（1+x）2=108，则1+x=±1.2解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%．（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为（108×90%+y）万辆，2011年底全市的汽车拥有量为[（108×90%+y）×90%+y]万辆．根据题意得（108×90%+y）×90%+y≤125.48，解得y≤20．答：该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆．5．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，整理得：x2﹣65x﹣750=0，（x﹣75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用二、初三数学二次函数易错题压轴题（难）6．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当1236 25SS时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+23E'B的最小值．【答案】（1）抛物线y ＝﹣34 x 2+94 x +3，直线AB 解析式为y ＝﹣34x +3；（2）P （2，32）；（3）4103 【解析】【分析】（1）由题意令y ＝0，求出抛物线与x 轴交点，列出方程即可求出a ，根据待定系数法可以确定直线AB 解析式；（2）根据题意由△PNM ∽△ANE ，推出65PN AN =，以此列出方程求解即可解决问题；（3）根据题意在y 轴上取一点M 使得OM′＝43，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+23E′B 的最小值．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝mx 2﹣3mx+n （m≠0）与x 轴交于点C （﹣1，0）与y 轴交于点B （0，3），则有330n m m n ⎧⎨⎩++＝＝，解得433m n ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝， ∴抛物线239344y x x =-++，令y ＝0，得到239344x x -++＝0，解得：x ＝4或﹣1， ∴A （4，0），B （0，3），设直线AB 解析式为y ＝kx+b ，则340b k b +⎧⎨⎩＝＝，解得334k b ⎧-⎪⎨⎪⎩＝＝，∴直线AB 解析式为y ＝34-x+3．（2）如图1中，设P （m ，239344m m -++），则E （m ，0），∵PM ⊥AB ，PE ⊥OA ， ∴∠PMN ＝∠AEN ， ∵∠PNM ＝∠ANE ， ∴△PNM ∽△ANE ，∵△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，123625S S ＝， ∴65PN AN =， ∵NE ∥OB ，∴AN AEAB OA=， ∴AN ＝54545454（4﹣m ），∵抛物线解析式为y ＝239344x x -++， ∴PN ＝239344m m -++﹣（34-m+3）＝34-m 2+3m ， ∴2336455(4)4m mm -+=-，解得m ＝2或4（舍弃）， ∴m ＝2， ∴P （2，32）．（3）如图2中，在y 轴上取一点M′使得OM′＝43，连接AM′，在AM′上取一点E ′使得OE′＝OE ．∵OE′＝2，OM′•OB ＝43×3＝4， ∴OE′2＝OM′•OB ， ∴OE OBOM OE '=''， ∵∠BOE′＝∠M′OE′， ∴△M′OE′∽△E′OB ，∴M E OE BE OB '''='＝23， ∴M′E′＝23BE′，∴AE′+23BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+23BE′最小（两点间线段最短，A 、M′、E′共线时），最小值＝AM′2244()3+410．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM ′就是AE′+23BE′的最小值，属于中考压轴题．7．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 20x +（b+1）x 0+b ﹣2＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点．（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣b ＜0．【解析】【分析】（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2121a 是线段AB 的垂直平分线，从而可以求得b 的取值范围．【详解】解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，函数y ＝2x 2﹣x ﹣4，令x ＝2x 2﹣x ﹣4，化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2；（2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2，整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0，∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0，故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0，解得，0＜a ＜2，即a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）由题意可得，点A 和点B 在直线y ＝x 上，设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点， ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝﹣b a，∵线段AB 中点坐标为（122x x +，122x x +）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a -）， ∵直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线， ∴点（2b a -，2b a -）在直线y ＝﹣x+2121a +上， ∴2b a -＝21221b a a ++ ∴﹣b ＝222122aa a ≤+＝2，（当a ＝22时取等号） ∴0＜﹣b ≤24， ∴﹣2≤b ＜0，即b 的取值范围是﹣24≤b ＜0．【点睛】本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．点A 坐标的为3,0，点C 的坐标为()0,3．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作i 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求AEM △的面积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F的坐标．【答案】（Ⅰ）223y x x =--+；（Ⅱ）12；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0 【解析】【分析】（Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式可求解；（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求DQ=2，可得FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解．【详解】解:（Ⅰ）依题意()()2330{3b c c --+⨯-+== 解得2{3b c =-= 所以223y x x =--+（Ⅱ）2223(1)4y x x x抛物线的对称轴是直线1x =-(,0)M x ，()2,23P x x x --+，其中31x -<<-∵P 、Q 关于直线1x =-对称设Q 的横坐标为a则()11a x --=--∴2a x =--∴()22,23Q x x x ----+∴223MP x x =--+，222PQ x x x =---=--∴周长()222222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++当2x =-时，d 取最大值，此时，(2,0)M -∴2(3)1AM =---=设直线AC 的解析式为y kx b =+则303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩∴设直线AC 的解析式为3yx 将2x =-代入3yx ，得1y = ∴(2,1)E -，∴1EM =∴11111222AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯= （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ 的周长最大时，2x =-此时点()0,3Q ，与点C 重合，∴3OQ =∵2223(1)4y x x x∴()1,4D -过D 作DK y ⊥轴于K ，则1DK =，4OK =∴431OK OK OQ =-=-=∴DKQ 是等腰直角三角形，2DQ =∴224FG DQ ==设()2,23F m m m --+，则(,3)G m m + ()223233FG m m m m m =+---+=+∴234m m +=，解得14m =-，21m =当4m =-时，2235m m --+=-当1m =时，2230m m --+=．∴()4,5F --或()1,0【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等，利用参数表示线段的长度是本题的关键．9．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A 在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A(-1,0) ，B(2,3)（2）△ABP最大面积s=1927322288⨯=; P（12，﹣34）（3）存在；25【解析】【分析】（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1，然后解方程组211y xy x⎧=⎨=+⎩﹣即可；（2）设P（x，x2﹣1）．过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1），所以利用S△ABP=S△PFA+S△PFB，，用含x的代数式表示为S△ABP=﹣x2+x+2，配方或用公式确定顶点坐标即可．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，用k分别表示点E的坐标，点F的坐标，以及点C的坐标，然后在Rt△EOF中，由勾股定理表示出EF的长，假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，设点N为OC中点，连接NQ，根据条件证明△EQN∽△EOF，然后根据性质对应边成比例，可得关于k的方程，解方程即可.【详解】解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A（﹣1，0），B（2，3）．（2）设P（x，x2﹣1）．如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．∴PF=y F﹣y P=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣12）2+278当x=12时，yP=x2﹣1=﹣34．∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（12，﹣34）．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，则E（﹣1k，0），F（0，1），OE=1k，OF=1．在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF=22 111=k k+⎛⎫+⎪⎝⎭．令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．∴C（﹣k，0），OC=k．假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．设点N为OC 中点，连接NQ ，则NQ ⊥EF ，NQ=CN=ON=2k ． ∴EN=OE ﹣ON=1k ﹣2k ． ∵∠NEQ=∠FEO ，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN ∽△EOF ，∴NQ EN OF EF =，即：1221k k k k-=，解得：k=±25， ∵k ＞0，∴k=25． ∴存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，此时k=25．考点：1.二次函数的性质及其应用；2.圆的性质；3.相似三角形的判定与性质.10．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中点A 的坐标是()1,0，点C 的坐标是()2,3-，抛物线的顶点为点D ．（1）求抛物线和直线AC 的解析式．（2）若点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求APC ∆的面积的最大值及此时点P 的坐标．（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点E ，点M 为直线AC 上的任意一点，过点M 作//MN DE 交抛物线于点N ，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点M 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）y=-x 2-2x+3，y=-x+1；（2）最大值为278，此时点P(12-，154)；（3）能，(0，1)，(12-+，32)或(12--，32) 【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解，即可得到答案；（2）设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)，求出PQ 的长度，结合三角形的面积公式和二次函数的性质，即可得到答案；（3）根据题意，设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)，可分为两种情况进行分析：①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方；②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方；分别求出点M 的坐标即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x 2+bx+c 过点A(1，0)，C(-2，3)，∴10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，，解得：23b c =-⎧⎨=⎩，．∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3．设直线AC 的解析式为y=kx+n ．将点A ，C 坐标代入，得023k n k n +=⎧⎨-+=⎩，，解得11k n =-⎧⎨=⎩，． ∴直线AC 的解析式为y=-x+1．（2）过点P 作PQ ∥y 轴交AC 于点Q ．设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)．∴PQ=(-m 2-2m+3)-(-m+1)=-m 2-m+2．∴S △APC =S △PCQ +S △APQ =12PQ·(x A -x C )=12(-m 2-m+2)×3=23127()228m -++． ∴当m=12-时，S △APC 最大，最大值为278，此时点P(12-，154)．（3）能．∵y=-x 2-2x+3，点D 为顶点，∴点D(-1，4)，令x=-1时，y=-（-1）+1=2，∴点E(-1，2)．∵MN ∥DE ，∴当MN=DE=2时，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．∵点M 在直线AC 上，点N 在抛物线上，∴设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)．①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方，则MN=(-t 2-2t+3)-(-t+1)=-t 2-t+2．∴-t 2-t+2=2，解得：t=0或t=-1（舍去）．∴此时点M的坐标为（0，1）．②当点M在线段AC（或CA）延长线上时，点N在点M下方，则MN=(-t+1)-(-t2-2t+3)=t2+t-2．∴t2+t-2=2，解得：t=117-+或t=117--．∴此时点M的坐标为（117-+，317-）或（117--，317+）．综上所述，满足条件的点M的坐标为：（0，1），（1172-+，3172-）或（1172--，3172+）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式和二次函数的性质解题；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G 为FC的中点，连接GD，ED．（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．【答案】（1）DE2DG；（2）成立，理由见解析；（3）DE的长为2或2．【解析】【分析】（1）根据题意结论：2DG，如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM，证明△CMG≌△FEG（AAS），推出EF=CM，GM=GE，再证明△DCM≌△DAE （SAS）即可解决问题；（2）如图2中，结论成立．连接EG，延长EG到M，使得GM=GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R，其证明方法类似；（3）由题意分两种情形：①如图3-1中，当E，F，C共线时．②如图3-3中，当E，F，C 共线时，分别求解即可．【详解】解：（1）结论：DE＝2DG．理由：如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，∵∠AEF＝∠B＝90°，∴EF∥CM，∴∠CMG＝∠FEG，∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，∴△CMG≌△FEG（AAS），∴EF＝CM，GM＝GE，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DCM≌△DAE（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，∴△EGD是等腰直角三角形，∴DE2DG．（2）如图2中，结论成立．理由：连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．∵EG ＝GM ，FG ＝GC ，∠EGF ＝∠CGM ， ∴△CGM ≌△FGE （SAS ），∴CM ＝EF ，∠CMG ＝∠GEF ，∴CM ∥ER ，∴∠DCM ＝∠ERC ，∵∠AER+∠ADR ＝180°，∴∠EAD+∠ERD ＝180°，∵∠ERD+∠ERC ＝180°，∴∠DCM ＝∠EAD ，∵AE ＝EF ，∴AE ＝CM ，∴△DAE ≌△DCM （SAS ），∴DE ＝DM ，∠ADE ＝∠CDM ，∴∠EDM ＝∠ADC ＝90°，∵EG ＝GM ，∴DG ＝EG ＝GM ，∴△EDG 是等腰直角三角形，∴DE ＝2DG ．（3）①如图3﹣1中，当E ，F ，C 共线时，在Rt △ADC 中，AC 22AD CD +2255+2，在Rt △AEC 中，EC 22A AE C -22(52)1-7， ∴CF ＝CE ﹣EF ＝6，∴CG ＝12CF ＝3，∵∠DGC ＝90°，∴DG ＝22CD CG -＝2253-＝4，∴DE ＝2DG ＝42．②如图3﹣3中，当E ，F ，C 共线时，同法可得DE ＝32．综上所述，DE 的长为42或32．【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．两块等腰直角三角形纸片AOB 和COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，25AB =，17CD =．保持纸片AOB 不动，将纸片COD 绕点O 逆时针旋转(090)αα<<角度，如图2所示．()1利用图2证明AC BD =且AC BD ⊥；()2当BD 与CD 在同一直线上（如图3）时，求AC 的长和α的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2）7，725．【解析】【分析】 (1)图形经过旋转以后明确没有变化的边长，证明AOC BOD ≅，得出AC=BD ，延长BD 交AC 于E ，证明∠AEB=90︒，从而得到BD AC ⊥.(2) 如图3中，设AC=x ，在Rt △ABC 中，利用勾股定理求出x ，再根据sinα=sin ∠ABC=AC AB即可解决问题【详解】()1证明：如图2中，延长BD 交OA 于G ，交AC 于E ．∵90AOB COD ∠=∠=，∴AOC DOB ∠=∠，在AOC 和BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD ≅，∴AC BD =，CAO DBO ∠=∠，∵90DBO GOB ∠+∠=，∵OGB AGE ∠=∠，∴90CAO AGE ∠+∠=，∴90AEG ∠=，∴BD AC ⊥．()2解：如图3中，设AC x =，∵BD 、CD 在同一直线上，BD AC ⊥，∴ABC 是直角三角形，∴222AC BC AB +=，∴222(17)25x x ++=，解得7x =，∵45ODC DBO α∠=∠+∠=，45ABC DBO ∠+∠=，∴ABC α∠=∠，∴7sin sin 25AC ABC AB α=∠==．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，第二个问题的关键是利用（1）的结论解决问题，属于中考常考题型.13．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现（1）某小组做了有一个角是120︒的等腰三角形DAC 和等边三角形GEB 纸片，DA DC =，让两个三角形如图①放置，点C 和点G 重合，点D ，点E 在AB 的同侧，AC 和GB 在同一条直线上，点F 为AB 的中点，连接DF ，EF ，则DF 和EF 的数量关系与位置关系为：________；数学思考（2）在图①的基础上，将GEB 绕着C 点按顺时针方向旋转90︒，如图②，试判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，并说明理由；类比探索（3）①将GEB 绕着点C 任意方向旋转，如图③或图④，请问DF 和EF 的数量关系和位置关系改变了吗？无论改变与否，选择图③或图④进行证明；②GEB 绕着点C 旋转的过程中，猜想DF 与EF 的数量关系和位置关系，用一句话表述：________.【答案】（1）3EF DF =，DFEF ；（2）3EF DF =，DFEF ,理由见解析; （3）①3EF DF =，DFEF ;②旋转过程中3EF DF =，DF EF 始终成立.【解析】【分析】（1）由题意过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，利用等边三角形和中点性质设DM a =，2GB b =，结合相似三角形判定和性质进行综合分析求解；（2）根据题意要求判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，并综合利用垂直平分线定理以及矩形和等边三角形性质与三角函数进行综合分析；（3）①根据题意延长DF 并截取FN DF =，连接NE ，连接NB 并延长交CE 于点P ，交DC 的延长线于点O ，连接DE ，并利用全等三角形判定和性质以及三角函数进行分析证明；②由题意可知结合①猜想可知旋转过程中3EF DF =，DFEF 始终成立. 【详解】解：（1）3EF DF =，DF EF ；如解图，过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，AD CD =，EGB 为等边三角形.AM MC ∴=，GN BN =.又点F 为AB 的中点，AF BF ∴=.()12MF CF NC NB AC AM CB MC NC +=++=+=+∴. MF NC NB ∴==，CF CN FN AM +==.设DM a =，2GB b =，120ADC ∠=︒，DA DC =，3AM a ∴=，3FN a =，MF NC NB b ===.tan 33EGB NE GN GN b =⋅==∠.在DMF 和FNE 中， 333DM FN a ==， 333MF NE b==，又90DMF FNE ∠=∠=︒，DMF FNE ∴∽. MDF NFE ∴∠=∠，33DF DM FE FN ==，即3EF DF =. 90MDF DFM ∠+∠=︒，90DFM NFE ∴∠+∠=︒.90DFE ∴∠=︒.3EF DF ∴=且DFEF . （2）3EF DF =，DF EF . 理由如下：如解图，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，当旋转角是90︒时，则90ACB ∠=︒，在Rt ACB △中，点F 是AB 的中点，CF BF∴=.又CE EB=，EF∴垂直平分BC.同理，DF垂直平分AC，∴四边形LCMF为矩形，90DFE∴∠=︒.DF EF∴⊥，//AC EF.DA DC=，120ADC=∠︒，30DCA∴∠=︒.GEB为等边三角形，60ECB∴∠=︒.∴∠DCA+∠ACB+∠ECB=180^∘∴D，C，E三点共线.30DCA DEF∴∠=∠=︒.∴在Rt DEF△中，3tan33DEDFFFE DF===∠；（3）①3EF DF=，DF EF.选择题图进行证明：如解图，延长DF并截取FN DF=，连接NE，连接NB并延长交CE于点P，交DC的延长线于点O，连接DE，在ADF和BNF中，AF BFAFD BFNDF NF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SASADF BNF∴≅.AD NB∴=，ADF BNF∠=∠.//AD NB∴.18060O ADC∴∠=︒-∠=︒.又CPO BPE∠=∠，60O CEB∠=∠=︒，OCP OBE∴∠=∠.DCE NBE∴∠=∠.又GEB是等边三角形，GE BE∴=，又AD BN CD==，()SASDCE NBE∴≅.DE NE∴=，BEN CED∠=∠.BEN BED CED BED∴∠+∠=∠+∠，即60NED BEC∠=∠=︒.DEN∴是等边三角形.又DF FN=，DF EF∴⊥，60FDE∠=︒.tan3E EF DF DFFD∴∠=⋅=.或选择图进行证明，证明如下：如解图，延长DF并延长到点N，使得FN DF=，连接NB，DE，NE，NB与CD交于点O，EB与CD相交于点J，在ADF和BNF中，AF BFAFD BFNDF NF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SASADF BNF∴≅.AD NB∴=，ADF BNF∠=∠.//AD NB∴.120NOC ADC∴∠=∠=︒.60BOJ∴∠=︒，60JEC∠=︒.又OJB EJC∠=∠，OBE ECJ∴∠=∠.AD CD=，AD NB=，CD NB∴=.又GEB是等边三角形，CE BE∴=.()SASDCE NBE∴≅.DE NE ∴=，BEN CED ∠=∠.BEN BED CED BED ∴∠-∠=∠-∠，即60NED BEC ∠=∠=︒.DEN ∴是等边三角形.又DF FN =，DF EF ∴⊥，60FDE ∠=︒.tan 3E E F DF DF FD ∴∠=⋅=.②旋转过程中3EF DF =，DFEF 始终成立.【点睛】本题考查几何图形的综合探究题，难度大，运用数形结合思维分析以及掌握并灵活利用全等三角形判定和性质以及三角函数、相似三角形判定和性质等是解题关键.错因分析：①未掌握旋转的性质，即旋转前后线段、角度均不变；②不能合理利用类比关系，由浅到深解决问题.14．在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且∠EAF=∠CEF=45°.(1)将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG ≌△AEF ；(2)若直线EF 与AB ，AD 的延长线分别交于点M ，N(如图②)，求证：EF 2=ME 2+NF 2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF ，BE ，DF 之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF 2=2BE 2+2DF 2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG ，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG ≌△AEF ；（2）将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ，连结GM ．由（1）知△AEG ≌△AEF ，则EG=EF ．再由△BME 、△DNF 、△CEF 均为等腰直角三角形，得出CE=CF ，BE=BM ，NF=DF ，然后证明∠GME=90°，MG=NF ，利用勾股定理得出EG 2=ME 2+MG 2，等量代换即可证明EF 2=ME 2+NF 2；（3）将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ，根据旋转的性质可以得到△ADF ≌△ABG ，则DF=BG ，再证明△AEG ≌△AEF ，得出EG=EF ，由EG=BG+BE ，等量代换得到EF=BE+DF ．试题解析：（1）∵△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ，∴AF=AG ，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2．如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE ）2+（BM ﹣GM ）2=EH 2又∴EF=HE ，DF=GH=GM ，BE=BM ，所以有（GH+BE ）2+（BE ﹣GH ）2=EF 2，即2（DF 2+BE 2）=EF 2考点：四边形综合题15．（1）发现如图，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =.填空：当点A 位于____________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a ，b 的式子表示）（2）应用点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，1AB =.如图所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE .①找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE 长的最大值.（3）拓展如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM ∠=︒，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.【答案】（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE 的最大值是4;（3）AM 的最大值是2，点P 的坐标为（22）【解析】【分析】（1）根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，得到△APN 是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM ，根据当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，即可得到最大值为2+3；如图2，过P 作PE ⊥x 轴于E ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵点A 为线段BC 外一动点，且BC=a ，AB=b ，∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b ，故答案为CB 的延长线上，a+b ；（2）①CD=BE ，理由：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形，∴AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC ，即∠CAD=∠EAB ，在△CAD 与△EAB 中，AD AB CAD EAB AC AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△CAD ≌△EAB ，∴CD=BE ；②∵线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，由（1）知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上，∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；（3）∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，则△APN 是等腰直角三角形，。

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