高二数学排列与组合综合应用例题解析 人教版
人教版高中数学选修2-3《排列组合综合应用》
上表演，出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的 安排方法有多少种？
A C A A A A (种）
6 8 1 2 1 4 5 8 2 4 4 8
（二）有条件限制的组合问题：
例2：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9} 求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子 集的个数。 下面解法错在哪里? 至少有两个偶数，可先由4个偶数中取2个偶数， 然后再由剩下的7个数中选3个组成5个元素集合且满足至 少有2个是偶数。成以共有子集C42.C73=210(个)
用“具体排”来看一看是否重复，如C42中的一种选法是：选4 个偶数中的2，4，又C73中选剩下的3个元素不6，1，3组成集 合{2，4，6，1，3，}；再看另一种选法：由C42 中选4个偶数中 的4，6，又C73中选剩下的3个元素不2，1，3组成集合{4，6， 2，1，3}。显然这是两个相同和子集，所以重复了。重复的原 因是分类不独立。
（三）排列组合混合问题：
例3.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？
1 1 1 解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有2(A2 + C 8 2 C7C7 A 7 种方法，
解: ⑤ a在e的左边(可不相邻)，这表明a,e只有一种顺 序，但a,e间的排列数为A22，所以，可把5个元素全排 列得排列数A55，然后再除以a,e的排列数A22。所以共 有排列总数为A55 / A22（种） 注意：若是3个元素按一定顺序，则必须除以排列数 A33。
1. 高二要从全级10名独唱选手中选出6名在歌咏会
优先法
解： ② 先从b,c,d三个选其中两个 排在首末两位，有A32种，然后把剩下的一个与a,e 排在中间三个位置有A33种，由乘法原理: 共有A32. A33=36种排列.
高中数学 专题强化训练1 排列、组合的综合应用(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题
专题强化训练(一) 排列、组合的综合应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a 种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b 种，则(a ，b )为( )A ．(34,34)B ．(43,34)C ．(34,43)D ．(A 34，A 34)C [由题意知本题是一个分步乘法问题，首先每名学生报名有3种选择，根据分步乘法计数原理知4名学生共有34种选择，每项冠军有4种可能结果，根据分步乘法计数原理知3项冠军共有43种可能结果．故选C.]2．若C 3n ＝C 4n ，则n ！3！(n －3)！的值为( ) A ．1B ．20C ．35D ．7 C [若C 3n ＝C 4n ，则n (n －1)(n －2)3×2×1＝n (n －1)(n －2)(n －3)4×3×2×1，可得n ＝7， 所以n ！3！(n －3)！＝7！3！4！＝7×6×53×2×1＝35.] 3．在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为( )A ．C 23C 397B ．C 23C 397＋C 33C 297 C ．C 5100－C 13C 497D ．C 5100－C 597 B [根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C 23C 397种，“有3件次品”的抽取方法有C 33C 297种，则共有C 23C 397＋C 33C 297种不同的抽取方法，故选B.]4．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种D [和为偶数共有3种情况：取4个数均为偶数有C 44＝1种取法；取2奇数2偶数有C 24·C 25＝60种取法；取4个数均为奇数有C 45＝5种取法，故共有1＋60＋5＝66种不同的取法．]5．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是( )A ．60B ．120C ．240D ．480A [先将4个熟悉道路的人平均分成两组有C 24·C 22A 22种．再将余下的6人平均分成两组有C 36·C 33A 22种．然后这四个组自由搭配还有A 22种，故最终分配方法有12C 24·C 36＝60(种)．] 二、填空题6．有8名男生和3名女生，从中选出4人分别担任语文、数学、英语、物理学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种．(用数字作答)720 [由题意知，从剩余10人中选出3人担任3个学科课代表，有A 310＝720种．]7．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有________种．20 [分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C 23＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C 24＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20(种)．]8．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有________种．(用数字作答)96 [甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A 44种方法．乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A 44种方法．丙传第一棒，共有C 12·A 44种方法．由分类计数原理得，共有A 44＋A 44＋C 12·A 44＝96(种)方法．]三、解答题9．现有5名教师要带3个不同的兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，求不同的带队方案有多少种？[解] 第一类，把甲、乙看做一个复合元素，和另外的3人分配到3个小组中，有C 23A 33＝18(种)，第二类，先把另外的3人分配到 3个小组，再把甲、乙分配到其中2个小组，有A 33A 23＝36(种)，根据分类加法计数原理可得，共有18＋36＝54(种)．10．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？[解](1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24种测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680种．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C16·C34·A44＝576种．1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A．300B．216 C．180D．162C[分两类：第一类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C23·C22·A44＝72(个)符合要求的四位数；第二类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C12·C23·(A44－A33)＝108(个)符合要求的四位数．根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180(个)，故选C.]2．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同发言顺序的排法种数为() A．360 B．520C．600 D．720C[根据题意，可分两种情况讨论：①甲、乙两人中只有一人参加，有C12·C35·A44＝480(种)情况；②甲、乙两人都参加，有C22·C25·A44＝240(种)情况，其中甲、乙两人的发言相邻的情况有C22·C25·A33·A22＝120(种)．故不同发言顺序的排法种数为480＋240－120＝600.] 3．将10个运动员名额分给7个班，每班至少1个，则不同的分配方案的种数为________．84[因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空隙．在9个空隙中选6个位置插隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班．每一种插板方法对应一种分配方案，则共有C69＝C39＝9×8×73×2×1＝84种分配方案．] 4．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为________．2[设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意C36－C3x＝16，即6×5×4＝x(x－1)(x－2)＋16×6，所以x(x－1)(x－2)＝2×3×4，解得x＝4，即女生有2人．]5．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内．(1)共有几种放法？(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？[解](1)44＝256(种)．(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C34种，再放到2个小盒中有A24种放法，共有C34A24种方法；第二类，2个盒子中各放2个小球有C24C24种放法，故恰有2个盒子不放球的方法共有C34A24＋C24C24＝84种放法．。
专题04 排列组合与二项式定理(解析版)--高二数学专题解析
专题04排列组合与二项式定理--高二数学专题解析知识点一：排列1：排列≤)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不（1）定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m n同元素中取出m个元素的一个排列.（2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.2：排列数与排列数公式1：组合（1）定义：一般地：从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.（3）组合与排列的异同≤)个元素”.相同点:组合与排列都是“从n个不同的元素中取出m(m n不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.2：组合数与组合数公式（1）组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m n≤)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元3：组合数的性质b一、单选题1．在()5232x x ++的展开式中x 的系数是（）A ．160B ．180C ．240D ．210【答案】C【分析】根据二项式的定义可知有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，即可得解.【详解】在()5232x x ++的展开式中，要得到含x 的项，则有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，故x 的系数为445C 32240⨯⨯=．故选：C7．高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．【答案】3600【答案】20【分析】根据题意，先对【详解】对于6盏不同的花灯进行取下，可先对因为取花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取，又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序，所以共有663333A20 A A=故答案为：20.13．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．x16．（多选题）若()32+n x（=20．（多选题）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）A ．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有20种B ．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有78种C ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种D ．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种【答案】BCD【分析】对于A ：讨论甲、乙之间有几位同学，分析运算即可；对于B ：讨论甲、乙所在位置，分析运算即可；对于C ：先求甲、乙相邻的安排方法，再排除甲、乙相邻且甲、丙相邻的安排方法；对于D ：先将学生安排出去，再排除有小区没有人去的可能.【详解】对于选项A ：可知有三种可能：甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有12222222C A A A 16=种；甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有12161240++=种，故A 错误；对于选项B ：可知有四种可能：甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有33A 6=种；甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有2333A A 36=种；不同的排法共有618183678+++=种，故B 正确；对于选项C ：若甲、乙相邻，则不同的排法有2424A A 48=种；若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有481236-=种，故C 正确；对于选项D ：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有53243=种；若有小区没有人去，则有两种可能：所有人去了一个小区，则不同的排法有13C 3=种；所有人去了两个小区，则不同的排法有()25132C 2C 90-=种；不同的排法共有()243390150-+=种，故D 正确；故选：BCD.21．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有__________．原理即可得出答案.【详解】首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有33A 6=个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有22A 2=种结果.前三位是123，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，数字本身就是第十个数字.故答案为：10.27．重新排列1，2，3，4，5，6，7，8．(1)使得偶数在原来的位置上，而奇数不在原来的位置上，有多少种不同排法？(2)使得偶数在奇数的位置上，而奇数在偶数的位置上，有多少种不同的排法？(3)使得偶数在偶数位置上，但都不在原来的位置上；奇数在奇数位置上，但也都不在原来的位置上，有多少种不同的排法？(4)如果要有数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(5)如果只有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(6)如果至少有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(7)偶数在偶数位置上；但恰有两个数不在原来位置上，奇数在奇数位置上，但恰有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？(8)偶数在偶数位置上，且至少有两个数不在原来位置上；奇数在奇数位置上，也至少有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？【答案】(1)9；(2)576；(3)81；(4)25487；(5)630；(6)771；(7)36；(8)225.【分析】（1）利用匹配问题错排公式求解；（2）利用乘法分步原理求解；（3）利用匹配问题求解；（4）用排除法．对8个数进行全排列，再减去没有数在原来的位置上的排法，即得解；（5）利用乘法分步原理求解；（6）用排除法．先对8个数进行全排列，再去掉恰有i 个数在原来位置上的排法()0123i =,,,，即得解；（7）利用匹配问题和分步乘法原理得解；。
高二数学排列组合综合应用试题答案及解析
高二数学排列组合综合应用试题答案及解析1.形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为________．【答案】16【解析】试题分析:此“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4；是4时“波浪数”有；另一数3时4、5必须相邻即45132；45231；13254；23154．四种．则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为16．【考点】排列组合的综合应用．2.如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（ 4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种.（用数字作答）【答案】96【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法（此前三步已经用去三种颜色）；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．所以，不同的涂色种数有4×3×2×（1×1+1×3）=96.【考点】排列组合的应用.3.从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，甲到丙地再无其他路可走，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有A．5种B．6种C．7种D．8种【答案】B【解析】甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的方式有种【考点】分类乘法的计数原理4. 3位数学家，4位物理学家，站成两排照像.其中前排3人后排4人，要求数学家要相邻，则不同的排队方法共有（）A．5040种B．840种C．720种D．432种【答案】D【解析】第一类：3位数学家相邻在前排有；第二类：三位数学家相邻在后排，先从4位物理学家中选3为排在前排有，将3位数学家合一，与剩下的一名物理学家在后排排列有，3位数学家再排有，此类共有，综上共有种，故选择D.【考点】排列中的相邻问题.5. 7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．【答案】360.【解析】由于环状排列没有首尾之分，将n个元素围城的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有种排法．由于n个元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有种排法，而珠子圈没有反正，故7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．故应填入：360．【考点】计数原理．6.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种【答案】B.【解析】由题意知，完成这一件事可分为两步：先将标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；再将其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.【考点】排列与组合7.设m∈N*，且m＜15，则(15－m)(16－m)…(20－m)等于()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵m∈N*，且m＜15，∴（15﹣m）（16﹣m）…（20﹣m）=（15﹣m）（16﹣m）（17﹣m）（18﹣m）（19﹣m）（20﹣m）=．故选：C．【考点】排列及排列数公式．8.三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则三位数的个数为（）A．36B．40C．44D．48【答案】B【解析】分两类：第一类写有数字０与２的卡片在百位：有个三位数；第二类写有数字０与２的卡片不在百位：有个三位数；由分类记数原理可知符合题目的三位数共有：8+32=40个,故选B.【考点】排列组合.9.沈阳市的造化街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有（）A．8种B．10种C．12种D．32种【答案】B【解析】由图可知为使路程最短，从A到B都必须向上走两格向左走3格.先考虑横着走，然后竖着走两格共有4种；若先考虑横着走，然后竖着走1个再横着走，共有3+2+1=6种.即共有4+6=10种.【考点】列举法解决实际问题.10.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A．6个B．9个C．18个D．36个【答案】C【解析】先在1,2,3中选一个数作为重复用的数有3种不同选法，再将其与两个数排成一排有，因要求重复使用的数不相邻，故用插空法，在排成一排的两个数形成的三个空挡中任取两个空挡将重复使用的两个数放进去有种不同的的方法，根据分步计数原理，共有不同排法为3=18，一种排法对应一个满足条件的四位数，故这样的四位数由18个，故选C.【考点】计数原理；排列组合知识11.将字母排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有种（用数字作答）；【答案】12【解析】首先对第一列进行全排列有种，然后对第二列进行排列仅有2种，根据分步计数原理知，其不同的排列方法共有种.【考点】排列与组合；分步计数原理.12.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A．152B．126C．90D．54【答案】B【解析】根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有种；2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：种；由分类原理可得18+36+72＝126．【考点】排列，组合的综合应用．13.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机地取出3个，用X表示取出的球的最大号码，则{X＝6}表示的试验结果是________．【答案】从6个球中取出3个，其中一个是6号球，其余的2个是1,2,3,4,5号球中的任意两个．【解析】X＝6表示取出的3个球的最大号码是6，其余的是1,2,3,4,5号球中的任意两个．14.从5位男生4位女生中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到四个不同的工厂调查，则不同的分派方法有________种．【答案】2 400【解析】“从5位男生4位女生中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生”的情况为：2男2女、3男1女，则有种；“分别到四个不同的工厂调查”，再在选出的代表中进行排列，则有(C52·C42＋C53·C41)A44＝2400(种)．15.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？【答案】（1）816 （2）8568 （3）6936 （4）14656【解析】解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C183＝816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C185＝8568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C21C184＋C183＝6936(种)；(4)法一(直接法)至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C121C84＋C122C83＋C123C82＋C124C81＝14656(种)．法二(间接法)由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C205－(C125＋C85)＝14656(种)．16.求20Cn+55＝4(n＋4)Cn+3n-1＋15An+32中n的值．【答案】n＝2【解析】解：20×＝4(n＋4)×＋15(n＋3)(n＋2)即：＝＋15(n＋3)(n＋2)∴(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)·n＝90，即5(n＋4)(n＋1)＝90，∴n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7，∵n≥1且n∈Z，∴n＝2.17.从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，分别按下列要求，各有多少种不同的选法？(1)男、女同学各2名；(2)男、女同学分别至少有1名；(3)在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．【答案】（1）60 （2）120 （3）99【解析】解：(1)C52·C42＝60.(2)C51·C43＋C52·C42＋C53·C41＝120.(3)120－＝99.18. 2位男生和3位女生站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是________．【答案】48【解析】依题意，先排3位女生，有A33种．再把男生甲插到3位女生中间有A21种．把相邻的两位女生捆绑，剩下一个男生插空，有A41种，所以不同排法种数为A33·A21·A41＝48.19.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种．【答案】24【解析】甲、乙排在一起，用“捆绑”排列，丙丁不排在一起，用插空法，不同的排法共有2A22·A32＝24(种)．20.用4种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，要求相邻的区域涂色不同，则不同的涂色方法共有________种．【答案】72【解析】D有4种可能，C有3种可能，A有3种可能，B有2种可能，所以共有4×3×3×2＝72(种)可能．21.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为________．【答案】1359【解析】千位数字是1，百位数字是2的“渐升数”有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)，千位数字是1，百位数字是3的“渐升数”有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)，进而确定千位数字是1，百位数字是3，十位数字是4的“渐升数”有5个．千位数字是1，百位数字是3，十位数字是5的“渐升数”有4个，故第30个“渐升数”是1359.22.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？【答案】72(种)【解析】解：给区域标记号A、B、C、D、E(如图所示)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂色的颜色，如果B与D颜色相同有2种涂色方法，不相同，则只有一种．因此应先分类后分步．(1)当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48(种)．(2)当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24(种)．故共有48＋24＝72(种)不同的涂色方法．23.年第届全国运动会将在沈阳举行,某校名大学生申请当三个比赛项目的志愿者,组委会接受了他们的申请,每个比赛项目至少分配一人,每人只能服务一个比赛项目,若甲要求不去服务比赛项目,则不同的安排方案共有A．种B．种C．种D．种【答案】B【解析】根据题意，由于某校名大学生申请当三个比赛项目的志愿者, 每个比赛项目至少分配一人，则可知所有的情况4=1+1+2，说明有个项目需要两个人，其余的为一个项目一个人，由于甲要求不去服务比赛项目，那么可以考虑两个项目中有没有甲来分为两种情况来说明，,故可知为B【考点】排列组合点评：主要是考查了排列组合的运用，属于基础题。
1.2.1排列与组合(排列)(新人教A版选修2-3)解析
练习 用0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的大于 213045的自然数.
第一类：形如3,4,5, 这样的数都是满足条件的数共有这样的数都是满足条件的数共有： A13·A44
第三类：形如214,215这样的数都是满足
条件的数共有：
A12·A33
(一)
分类加法计数原理
做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法 中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的 方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么 完成这件事共有
N=m1+m2+…+mn .
种不同的方法
分步乘法计数原理
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步
有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方
从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按照一定的顺 序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.
同样，问题２可以归结为： 从４个不同的元素a，b，c，d中任取３个，然后按 照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
分析：把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名， 按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的 顺序排列，求一共有多少种不同的排法？
第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任 选1名，有3种选法. 第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法
根据分步计数原理：3×2=6 即共6种方法。
上午 甲 乙 丙
Aa15 x16
课堂练习
1．计算：（1）5 A53 4 A42 348 （2） A41 A42 A43 A44 64
人教版数学高二选修2-3 1.2排列组合题的常见题型归类分析
排列、组合题的常见题型归类分析山东省利津县第一中学 胡彬 257400排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，本文介绍十二类典型排列组合题的归类分析解答．1．相邻问题并组法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．【例1】A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果A 、B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 [ ]A ．60种B ．48种C ．36种D ．24种分析 把A 、B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人全排列,共有2444=A 种,故选D.2．相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是[ ]A ．1440B ．3600C ．4820D ．4800分析 除甲、乙外,其余5个的排列数为55A 种,再用甲、乙去插6个空位有26A 种不同的排法种数是36002655=A A 种,故选B. 3．定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．【例3】A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一排，如果 B 必须站A 的右边(A 、B 可不相邻)，那么不同的排法种数有[ ]A ．24种B ．60种C ．90种D ．120种分析 B 在A 右边与B 在A 左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即602155=A 种, 故选B. 4．标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．【例4】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 [ ]A ．6种B ．9种C ．11种D ．23种分析 先把1填入方格，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1＝9种填法，故选B ．5．有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法．【例5】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有[ ]A ．1260种B ．2025种C ．2520种D ．5040种分析 先从10人中选出2个承担甲项任务，再从剩下8个中选1人承担乙项任务，第三步从另外7人中选1个承担两项任务，不同的选法共有:25201718110=C C C 种, 故选C.6．多元素问题分类法元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计．【例6】由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 [ ]A ．210个B ．300个C ．464个D ．600个分析 按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个、331314A A A 个、331313A A A 个、331312A A A 个、3313A A 个,合并总计得300个, 故选B.【例7】从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？分析 被取的两个数中至少有一个能被7整除时，它们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集Ⅰ，能被7整除的数的集合记作A ，则A ＝｛7，14，…98｝共有14个元素，不能被7整除的数的集合{}100,99,2,1⋅⋅⋅=A 共有86个元素.由此可知,从集合A 中任取两个数的取法,共有214C 种; 从集合A 中任取一个数又从集合A 中任取一个数的取法,共有186114C C 种,两种情形共得符合要求的取法有1295186114214=+C C C 种. 【例8】从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少？分析 将Ⅰ＝｛1，2，…，100｝分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A ＝｛4，8，…， 100｝；被4除余1的数集B ＝｛1，5，…，97｝；被4除余2的数集为C ＝｛2，6，…98｝；被4除余3的数集为D ＝｛3，7，…99｝，易见这四个集合，每一个都含25个元素；从A 中任取两个数符合要求；从B 、D 中各取一个数的取法也符合要求；从C 中任取两个数的取法同样符合要求；此外其它取法都不符合要求.由此可得符合要求的取法共有225125125225C C C C ++(种).7．交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A ∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A ∩B)【例 9】从6名运动员中选出4个参加4×100m 接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？分析 设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A ＝｛甲第一棒的排列｝，B ＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()25224353546=+--=⋂+--A A A A B A n B n A n I n (种)8．定位问题优先法某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素．【例10】1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有________种．分析 老师在中间三个位置上任选一个位置,有13P 种;然后4名同学在其余4个位置上有44A 种,共有724413=A A 种. 9．多排问题单排法把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理．【例11】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是[ ]A ．36B ．120C ．720D ．1440．分析 前后两排可看成一排的两段，因此本题可视为6个不同元素排成一排,共72066=A 种,故选C.【例12】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某 1个元素要排在后排，有多少种排法？分析 看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有24A 种;某1个元素在后半段四个位置中任选一个,有14A 种;其余5个元素任排在剩余的5个位置上有55A 种,故共有5760552414=A A A 种排法. 10．“至少”问题间接法关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便．【例13】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有 [ ]A ．140种B ．80种C ．70种D ．35种分析 逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机,故不同取法共有70353439=--C C C 种,故选C.11．选排问题先取后排法从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法．【例14】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？分析 先取男、女运动员各两名,有2425C C 种;这四名运动员混双练习有22A 种排法,故共有222425A C C 种分组法.12．部分合条件问题排除法在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求．【例15】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有 [ ]A ．70个B ．64个C ．58个D ．52个分析 正方体8个顶点,从中每次取四个点,理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有581248=-C 个,故选C.。
高中数学排列组合习题及解析
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的，并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧。
1。
排列的定义：从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2.组合的定义：从n个不同元素中，任取m个元素,并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.3.排列数公式：4。
组合数公式:5.排列与组合的区别与联系：与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题。
例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。
8个学生，4个老师，要求老师在学生中间,且老师互不相邻,共有多少种不同的坐法？分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。
所涉及问题是排列问题。
解先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档，共有种选法。
根据乘法原理，共有的不同坐法为种。
结论1 插入法：对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法。
即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。
例2 、5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法?分析此题涉及到的是排队问题，对于女生有特殊的限制，因此,女生是特殊元素，并且要求她们要相邻，因此可以将她们看成是一个元素来解决问题。
解因为女生要排在一起，所以可以将3个女生看成是一个人，与5个男生作全排列,有种排法，其中女生内部也有种排法,根据乘法原理，共有种不同的排法。
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。
即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列。
例3 高二年级8个班，组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人，名额分配方案有多少种？分析此题若直接去考虑的话，就会比较复杂。
人教版高中数学选修三6.2.3 排列组合的综合运用(精练)(详细解析版)
6.2.3 排列组合的综合运用（精练）【题组一全排列】1．（2020·中山大学附属中学高二期中）一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲,一个学校讲一次,不同的次序种数为( )A．4 B．44C．24 D．48【答案】C【详细解析】一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲,一个学校讲一次,不同的次序种数为4 4=432124A⨯⨯⨯=.故选:C2．（2020·全国高二单元测试）3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组,每人选报一门,则不同的报名方案有________种.【答案】64【详细解析】由题意参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组,每个学生有4种选择,则3名同学共有34=64种报名方案.故答案为:64.3．（2020·上海高二专题练习）若把英文单词“hello”的字母的顺序写错了,则可能出现的错误共有_________种．【答案】59【详细解析】由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题五个字母进行全排列共有55120A=种结果,字母中包含2个l,∴五个字母进行全排列的结果要除以2,共有60种结果,在这60种结果里有一个是正确的,∴可能出现的错误的种数是60159-=,故答案为:59．4．（2021·浙江衢州市）将9个相同的球放到3个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,且每个盒子中球的个数互不相同,则不同的分配方法共有________种.【答案】18【详细解析】将9个相同的球分成个数不同的3份,有（1,2,6）,（1,3,5）,（2,3,4）三种情况,再将这3份个数不同的球放到3个不同的盒子中,有336A=种情况,所以不同的分配方法共有1863=⨯种.故答案为:185．（2020·天津河西区·高二期中）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序,除第1个节目和最后1个节目已确定外,4个音乐节目要求排在第2,5,7,10的位置,3个舞蹈节目要求排在第3,6,9的位置,2个曲艺节目要求排在第4,8的位置,则不同的排法有_____种.（用数字作答）【答案】288【详细解析】4个音乐节目要求排在第2,5,7,10的位置,有44A=24种排法;3个舞蹈节目要求排在第3,6,9的位置,有336A=种排法;2个曲艺节目要求排在第4,8的位置,有222A=种排法.故共有24×6×2＝288种排法.故答案为:288.6．（2020·河南）2020年新型冠状病毒肆虐全球,目前我国疫情已经得到缓解,为了彰显我中华民族的大爱精神,我国决定派遣具有丰富抗击疫情经验的四支不同的医疗队A、B、C、D,前往四个国家E、F、G、H进行抗疫技术指导,每支医疗队到一个国家,那么总共有______（请用数字作答）种的不同的派遣方法.如果已知A医疗队被派遣到H国家,那么此时B医疗队被派遣到E国的概率是______.【答案】241 3【详细解析】由题意可知,每支医疗队到一个国家的派遣方法数为4424A=,由于A医疗队被派遣到H国家,则B医疗队可派遣到其它3个国家,因此,B医疗队被派遣到E国的概率是1 3.故答案为:24;13.【题组二相邻问题】1．（2020·沙坪坝区·重庆八中）小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛,5人坐成一排,若小涛与小江、小玉都相邻,则不同坐法的总数为（）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【详细解析】解:将小涛与小江、小玉捆绑在一起,与其他两个人全排列,其中小涛位于小江、小玉之间,按照分步乘法计算原理可得323212A A⋅=故选:B2．（2020·宁夏吴忠市·吴忠中学高二期末）将A,B,C,D,E,F这6个字母随机排成一排组成一个信息码,则所得信息码恰好满足A,B,C三个字母连在一起,且B在A与C之间的概率为（）A ．112B ．15C ．115D ．215【答案】C【详细解析】由捆绑法可得所求概率为242466A A 1A 15P ==.故答案为C3．（2020·陕西彬州市·高二月考）5个男生,2个女生排成一排,若女生不能排在两端,但又必须相邻,则不同的排法种数为 A ．480 B ．720 C ．960 D ．1440【答案】C【详细解析】两个女生必须相邻,捆绑222A =,女生不能排两端,则从5个男生中任选两人排两端,2520A =,剩余3个男生与捆绑在一起的2个女生看成4个元素,排在其余位置,4424A =,所以不同的排法种数为:22425422024960A A A ⋅⋅=⨯⨯=．4．（2020·广东广州市）2020年初,全国各大医院抽调精兵强将前往武汉参加新型冠状病毒肺炎阻击战,各地医护人员分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机,编号为1,2,3,4,5,6号,要求到达武汉天河飞机场时,每五分钟降落一架,其中1号与6号相邻降落,则不同的安排方法有（ ） A ．60 B ．120 C ．144 D ．240【答案】D【详细解析】由题意,因为1号与6号相邻降落,可1号与6号排列后看作一个,同其它飞机进行全排, 将则不同的安排方法有2525240A A =种.故选:D.5．（2020·莒县教育局教学研究室高二期中）3名男生､3名女生排成一排,男生必须相邻,女生也必须相邻的排法种数为（ ） A ．2 B ．9C ．72D ．36【答案】C【详细解析】根据题意男生一起有336A =排法,女生一起有336A =排法,一共有3333272A A =种排法,故选:C .．6．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）三位女歌手和她们各自的指导老师合影,要求每位歌手与她们的老师站一起,这六人排成一排,则不同的排法数为（ ） A ．24B ．48C ．60D ．96【答案】B【详细解析】先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起,记为三个不同元素进行全排,再将各自女歌手和她的指导老师进行全排,则不同的排法数3222322248N A A A A ==,故选:B.【题组三 不相邻问题】1．（2020·全国）六个人排队,甲乙不能排一起,丙必须排在前两位的概率为（ ） A ．760B ．16C ．1360D ．14【答案】C【详细解析】丙排第一,除甲乙外还有3人,共33A 种排法,此时共有4个空,插入甲乙可得24A ,此时共有3234=612=72A A ⋅⨯种可能;丙排第二,甲或乙排在第一位,此时有1424C A 排法,甲和乙不排在第一位, 则剩下3人有1人排在第一位,则有122323C A A 种排法, 此时故共有1412224323+=84C A C A A 种排法. 故概率6672841360P A +==. 故选:C.2．（2020·全国）将编号为1、2、3、4、5的5个小球全部放入A 、B 、C 三个盒子内,若每个盒子不空,且放在同一个盒子内的小球编号不相连,则不同的方法总数有（ ） A ．42 B ．36 C ．48 D ．60【答案】A【详细解析】将编号为1、2、3、4、5的5个小球,根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两组. ①当三个盒子中的小球个数分别为1、1、3时,由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连, 故3个小球的编号只能是1、3、5的在一个盒子里,故只有一种分组方法,再分配到三个盒子,此时共有336A =种分配方法;②当三个盒子中的小球个数分别为1、2、2时,由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连,此时放2个小球的盒子中小球的编号分别为()1,3、()2,4或()1,3、()2,5或()1,4、()2,5或()1,4、()3,5或()1,5、()2,4或()2,4、()3,5,共6种,再分配到三个盒子中,此时,共有33636A =种.综上所述,不同的放法种数为64362+=种.故选:A.3．（2020·全国）某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词,并要求《将进酒》与《望岳》相邻,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻,且均不排在最后,则后六场开场诗词的排法有（ ） A ．72种 B ．48种 C ．36种 D ．24种【答案】C【详细解析】首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列,共有336A =种排法,再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排),共有236A =种排法,则后六场开场诗词的排法有6636⨯=种,故选:C.4．（2020·防城港市防城中学高二期中）5个人排成一排,其中甲与乙不相邻,而丙与丁必须相邻,则不同的排法种数为（ ） A ．72 B ．48 C ．24 D ．60【答案】C【详细解析】先将丙与丁捆绑,形成一个“大元素”与戊进行排列,然后再将甲、乙插空,由分步乘法计数原理可知,不同的排法种数为22222324A A A =种.故选:C.5.．（2020·北京丰台区·高二期末）某活动中需要甲、乙、丙、丁4名同学排成一排．若甲、乙两名同学不相邻,则不同的排法种数为_________．（用数字作答） 【答案】12【详细解析】先求出甲、乙、丙、丁4名同学排成一排的全排列:4424A =;再求出甲、乙两名同学相邻的排列:2412A =然后,4244241212A A -=-=故答案为:126．（2020·上海）2位女生3位男生排成一排,则2位女生不相邻的排法共有______种. 【答案】72【详细解析】根据题意,分2步进行分析:①、将3位男生排成一排,有336A =种情况,②、3名男生排好后有4个空位可选,在4个空位中,任选2个,安排两名女生,有2412A =种情况,则2位女生不相邻的排法有61272⨯=种;故答案为:727．（2020·安徽省太和第一中学高二月考（理））将A ,B ,C ,D ,E 五个字母排成一排,若A 与B 相邻,且A 与C 不相邻,则不同的排法共有__种. 【答案】36【详细解析】依题意,可分三步,先排D ,E ,有22A 种方法,产生3个空位,将,A B 捆绑有22A 种方法,将,A B 捆绑看作一个元素,插入三个空位之一,有13A 种方法,这时AB 、D 、E 产生四个空位,最后将C 插入与A 不相邻的三个空位之一,有13A 种方法,根据分步乘法计数原理得:共有2211223336A A A A ⨯⨯⨯=种,故答案为:36.8．（2020·博兴县第三中学高二月考）某班上午有五节课,分别安排语文,数学,英语,物理,化学各一节课.要求语文与化学相邻,数学与物理不相邻,则不同排课法的种数是___________ 【答案】24【详细解析】根据题意,分3步进行分析:①要求语文与化学相邻,将语文与化学看成一个整体,考虑其顺序,有222A =种情况, ②将这个整体与英语全排列,有222A =种顺序,排好后,有3个空位, ③数学与物理不相邻,有3个空位可选,有236A =种情况,则不同排课法的种数是22624⨯⨯=种;故答案为:24. 【题组四 分组分配】1．（2020·全国）将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生,其中一人得1本,一人得2本,一人得3本,则有________种不同的分法． 【答案】360【详细解析】先把书分成三组,把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本,有16C 种选法;再从余下的5本中选2本,有25C 种选法;最后余下3本全选,有33C 种选法．故共有12365360C C C ⋅⋅=种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人,还应考虑再分配,故共有3360360A =种分配方法.故答案为: 360.2．（2020·全国）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答) 【答案】1560【详细解析】把6本不同的书分成4组,每组至少1本的分法有2种．①有1组3本,其余3组每组1本,不同的分法共有31163213320l C C C C A = (种); ②有2组每组2本,其余2组每组1本,不同的分法共有22116421222245C C C C A A ⋅= (种)． 所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．然后把分好的4组书分给4个人,所以不同的分法共有44651560A ⨯= (种)．故答案为:1560.3（2020·福建省泰宁第一中学高二月考）五一劳动节期间,5名游客到三个不同景点游览,每个景点至少有一人,至多两人,则不同的游览方法共有___________种.(用数字填写答案) 【答案】90【详细解析】把5人按人数2,2,1分成三组,然后再安排到三个景点浏览,总方法为2235332290C C A A ⨯=． 故答案为:90．4．（2020·全国）把5张不同的电影票分给4个人,每人至少一张,则不同的分法种数为________． 【答案】240．【详细解析】将这5张不同的电影票分成四组,每组至少一张,共有2111532133C C C C A 种分组办法,再分给4人的不同分法有211145321433240C C C C A A ⋅=种．故答案为:240． 5．（2020·全国）从6个人中选4个人值班,第一天1个人,第二天1个人,第三天2个人,共有多少种排法_________. 【答案】180【详细解析】112654C C C 180=.故答案为:180.6．（2020·重庆北碚区·西南大学附中高二期中）某学校安排5名高三教师去3个学校进行交流学习,且每位教师只去一个学校,要求每个学校至少有一名教师进行交流学习,则不同的安排方式共有______种. 【答案】150【详细解析】分2步分析:先将5名高三教师分成3组,由两种分组方法,若分成3、1、1的三组,有3510C =种分组方法,若分成1、2、2的三组,有1225422215C C C A =种分组方法, 则一共有101525+=种分组方法;再将分好的三组全排列,对应三个学校,有336A =种情况,则有256150⨯=种不同的安排方式; 故答案为:150．7．（2020·全国）2020年是全面建成小康社会目标实现之年,是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求,某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研,要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名,则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）． 【答案】900【详细解析】由题意分两步完成:第一步:将5名党员分派到三个不同的扶贫村,第二步,将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村.第一步:因为党员有5人,先分成3个组进行分派,分组情况有两种,第一种按人数是1,1,3分组有1135432210C C C A ⋅⋅=种不同情况,第二种按人数是2,2,1分组有2215312215C C C A ⋅⋅=种不同情况,再将分好的组分派到不同的扶贫村共有33(1015)150A +⨯=种不同分派方式;第二步:将3名医护人员分派到3个不同的扶贫村,共有336A =种不同情况.所以所有的不同分派方案有1506900⨯=种. 故答案为:900. 【题组五 几何问题】1．（2021·全国）直线x m =,y x =将圆面224x y +≤分成若干块,现有5种颜色给这若干块涂色,且任意两块不同色,则所有可能的涂色种数是（ ） A ．20 B ．60 C ．120 D ．240【答案】D【详细解析】当2m ≤-或2m ≥时,圆面224x y +≤被分成2块, 此时不同的涂色方法有5420⨯=种,当2m -<≤2m ≤<时,圆面224x y +≤被分成3块, 此时不同的涂色方法有54360⨯⨯=种,当m <<时,圆面224x y +≤被分成4块, 此时不同的涂色方法有5432120⨯⨯⨯=种, 所有可能的涂色种数是240． 故选:D2．（2021·安徽省）224x y +≤表示的平面区域内,以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点,可以构成的三角形个数为（ ） A ．286 B ．281 C ．256 D ．176【答案】C【详细解析】由题意可得224x y +≤表示的平面区域内的整点共有13个,其中三点共线的情况有10种,五点共线的情况有2种,所以从13个点中可以构成三角形的个数为33313351022861020256C C C --=--=个．故选C ．3．（2020·全国高二单元测试）以一个正方体的顶点为顶点的四面体的个数为( ) A ．70 B ．64 C ．58 D ．52【答案】C【详细解析】正方体的8个顶点中任取4个共有C 84=70个,不能组成四面体的4个顶点有:已有的6个面,对角面:有6个,共12个, ∴以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有:70−12=58个.故答案为C. 【题组六 方程不等式问题】1．（2021·太原市）不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（ ） A ．55 B ．60 C ．91 D ．540【答案】C【详细解析】不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子,允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球,问题等价于将15个相同小球放入三个盒子,没有空盒的放法种数,则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可,因此,不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选:C.2．（2021·湖北）若方程12348x x x x +++=,其中22x =,则方程的正整数解的个数为 A ．10B ．15C ．20D ．30【答案】A 【详细解析】方程12348x x x x +++=,其中22x =,则1346x x x ++=将其转化为有6个完全相同的小球,排成一列,利用挡板法将其分成3组, 第一组小球数目为1x 第二组小球数目为3x 第三组小球数目为4x共有2510C =种方法故方程的正整数解的个数为10 故选A【题组七 数字问题】1．已知集合{}A a b c d =，，，,从集合A 中任取2个元素组成集合B ,则集合B 中含有元素b 的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．1【答案】C【详细解析】A 中任取2个元素组成集合B ,则B 的情况有{}{}{}{}{}{}123456,,,,,,,,,,,B a b B a c B a d B b c B b d B c d ======,共6个,其中符合情况的集合为145,,B B B 共3个,故集合B 中含有元素b 的概率为3162P ==故选:C 2．如果一个四位数的各位数字互不相同,且各位数字之和等于10,则称此四位数为“完美四位数（如1036）,则由数字0,1,2,3,4,5,6,7构成的“完美四位数”中,奇数的个数为（ ） A ．12 B ．44 C ．58 D ．76【答案】B【详细解析】分类讨论:尾数为1:则前三位的数字可能为027,036,045,共1222312C A ⋅⋅=,还可能为234,有336A =种;尾数为3:则前三位的数字可能为016,025,共122228C A ⋅⋅=,还可能为124,有336A =种;尾数为5:则前三位的数字可能为014,023,045,共122228C A ⋅⋅=;尾数为7:则前三位的数字可能为012,共12224C A ⋅=.综上所述,共有126868444+++++=种.故选:B3．从数字0,1,2,3,4,5,6中任取3个,这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有______种（用数字作答）.【答案】34【详细解析】从数字0,1,2,3,4,5,6中任取3个,共有3735C =,乘积为奇数只有1,3,5一种情况故这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有34种.故答案为:34【点睛】本题考查了组合的应用,利用排除法可以快速得到答案,是解题的关键.4．已知{}1,2,3,4,5,,,M m M n M m n =∈∈≠,则方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是_______ . 【答案】12【详细解析】因为{}1,2,3,4,5,,,M m M n M m n =∈∈≠,所以(),m n 的可能情况有:2520P =种, 又因为方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆,所以m n >,所以满足要求的有:2510C =种, 所以概率为:101202P ==.故答案为:12. 5．（2021·宁波市）有写好数字2,2,3,3,5,5,7,7的8张卡片,任取4张,则可以组成不同的四位数的个数为_________.【答案】204【详细解析】由题意得取出的4张卡片上的数字含有相同数字对的个数可能为0,1,2.当含有0对相同数字时,组成的不同的四位数的个数为4424A =个;当含有1对相同数字时,组成的不同的四位数的个数为221434144C C A =个;当含有2对相同数字时,组成的不同的四位数的个数为224436C C =个.综上,可以组成不同的四位数的个数为2414436204++=个.故答案为:204.6．（2020·江西省信丰中学）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为________．【答案】1 6【详细解析】十个数中任取七个不同的数共有C种情况,七个数的中位数为6,那么6只有处在中间位置,有C种情况,于是所求概率P＝＝．。
人教版数学高二A版选修2-3例题与探究1.2排列与组合
典题精讲【例1】 用1、2、3、4、5、6这六个数字可组成多少个无重复数字且不能被5整除的五位数？思路分析:组成符合条件的五位数可分两步，首先确定个位数字，然后再确定其他各位数字；或按是否含有5这个特殊的数字，分为两类;或由所有1—6这6个数组成的五位数，去掉1—6这6个数组成可被5整除的五位数.解法一：不能被5整除，末位只能从1、2、3、4、6五个数字中选1个，有15A 种方法；再从余下5个数字中选4个放在其他数位,有45A 种方法.由乘法原理，所求五位数有15A 45A =600(个). 解法二：不含有数字5的五位数有55A 个；含有数字5的五位数，末位不选5有14A 种方法，其余数位有45A 种选法，含有5的五位数有14A 45A 个.因此可组成不能被5整除的无重复数字的五位数有55A +14A 45A =600(个). 解法三：由1—6组成的无重复数字的五位数有56A 个，其中能被5整除的有45A 个.因此，所求的五位数共有56A -45A =720-120=600(个).绿色通道：若从最高位数字开始考虑，则问题就无法解决.被5整除的数，个位数字必须是0或5，因此，被5整除的问题，一般从个位数字开始考虑.变式训练1 用0、1、2、3、4、5这六个数字可组成多少个无重复数字且能被5整除的五位数？思路解析:分为两类：一类是个位数字为0，再从余下的5个数字中选4个放在其余数位上有45A 种方法；另一类是个位数字为5，由于0不能放在首位，所以在1、2、3、4中选一个数放在首位有4种方法，然后从余下的4个数中选3个放在中间三个数位上有34A 种方法，此时有434A 种方法.故由加法原理可得能被5整除的五位数有45A +434A =216(个).答案:216.变式训练2 用0、1、2、3、4、5这六个数字可组成多少个无重复数字的五位偶数？思路解析:分为两类：一类是个位数字为0，再从余下的5个数字中选4个放在其余数位上有45A 种方法；另一类是个位数字为2或4，由于0不能放在首位，所以余下4个数中选一个数放在首位有4种方法，然后余下的4个数选3个放在中间三个数位上有34A ，此时有2×4×34A 种方法.故由加法原理可得五位偶数有45A +2×4×34A =312(个).答案:312.【例2】 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种思路解析:取出的3台电视机中要求至少有甲型与乙型各1台，它包括两种可能：2台甲型与1台乙型、1台甲型与2台乙型，所以可用分类原理和分步原理来解决，另外也可以用间接法解决.方法一：从4台甲型电视机中取2台和5台乙型电视机中取1台有24C ·15C 种取法；从4台甲型电视机中取1台和5台乙型电视机中取2台有14C ·25C 种取法.所以共有24C ·15C +14C ·25C =70(种)，故应选C.方法二：从所有的9台电视机中取3台有39C 种取法，其中全部为甲型的有34C 种取法，全部为乙型的有35C 种取法，则至少有甲型与乙型各1台的取法共有39C -34C -35C =70(种)，故应选C.答案:C黑色陷阱：解决这类问题最容易出现的错误就是产生重复，比如首先从4台甲型电视机与乙型电视机中各取1台，有14C ·15C 种取法，再在剩下的7台电视机中任取1台，有17C 种取法，所以不同的取法共有14C ·15C ·17C =140种.这种看起来很不错的解法实际上是错误的，因为它产生了重复.避免产生重复的方法就是“先分类后分步”.变式训练1 假设200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有( )A.319723C C 种B.（4197135200C C C -）种C.319823C C 种D.（319723C C +219733C C ）种思路解析:已知200件产品中有3件次品，197件合格品，则至少有2件次品的抽法为2件次品、3件合格品或3件次品、2件合格品，所以其抽法有219733319723C C C C +. 答案:D变式训练2 某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机,从中选购5台,且至少有品牌机和兼容机各2台,则不同的选购方法有( )A.1 050种B.700种C.350种D.200种思路解析:分两类:(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台;(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台.所以不同的选购方法有36C 25C +26C 35C =350(种).答案:C【例3】（1）写出从5个元素a,b,c,d,e 中任取三个元素的所有组合,并求出其组合数. 思路分析:考虑画出如下树形图,注意按给出字母从左到右的顺序来考虑.C=10（个）. 解：根据树形图，所有组合为abc,abd,abe,acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde.组合数为35（2）将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B 不排在第二，C不排在第三，D不排在第四.试写出他们四人所有不同的排法.思路分析:由于A不排在第一，所以第一只能排B，C，D中的一个.据此可分为三类，作树图可得解:所有的排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA. 绿色通道：写符合条件的组合或排列要运用树图,利用它可以具体列出各种情况,从而避免重复或遗漏,能把抽象问题具体化,使解题思路明朗.其中排列的树形图与组合的树形图是有区别的,排列的树形图中其元素不能重复出现但可任意排列,而组合的树形图中其元素也不能重复出现,但元素出现的次序一般按照从左到右的顺序来考虑,否则容易出现重复或遗漏.变式训练1 a,b,c,d四人排成一列，a不在排头，d不在排尾，写出所有的排列.思路分析:作出树图.图中，有4层分枝的树叶，对应一个合要求的排列，共有14个.解:badc,bcda,bdac,bdca,cadb,cbda,cdab,cdba,dabc,dacb,dbac,dbca,dcab,dcba.变式训练2 利用树图，写出用数字1、2组成的所有四位数.（数字可以重复）思路分析:因为每个数位上的数字只可能是1或2，所以在树图中，每个分枝都只有两个分叉，左边写1右边写2，经过四次分叉即可写出全部的四位数.图中，共有16片“树叶”，对应着16个四位数.解:1 111，1 112，1 121，1 122，1 211，1 212，1 221，1 222，2 111，2 112，2 121，2 122，2 211，2 212，2 221，2 222.【例4】 三个女生和五个男生排成一排,（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？思路分析:（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，排成一排有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有66A ·33A =4 320（种）不同的排法.（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空当.这样共有4个空当，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有55A ·36A =14 400（种）不同的排法.（3）方法一：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有25A ·66A =14 400(种)不同的排法.方法二：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有88A 种不同的排法，从中扣除女生排在首位的13A ·77A 种排法和女生排在末位的13A ·77A 种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有23A ·66A 种不同的排法，所以共有88A -213A ·77A +23A ·66A =14 400种不同的排法. 方法三：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有36A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有55A 种不同的排法，所以共有36A ·55A =14 400种不同的排法. （4）方法一：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有15A ·77A 种不同的排法；如果首位排女生，有13A 种排法，这时末位就只能排男生，有15A 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有66A 种不同的排法，这样可有13A ·15A ·66A 种不同排法.因此共有15A ·77A +13A ·15A ·66A =36 000种不同的排法.方法二：3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中减去两端都是女生排法23A ·66A 种，就能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有88A -23A ·66A =36 000种不同的排法. 解:(1)66A ·33A =4 320(种).(2)55A ·36A =14 400(种).(3)25A ·66A =14 400(种)或88A -213A ·77A +23A ·66A =14 400(种)或55A ·36A =14 400(种).(4)15A ·77A +13A ·15A ·66A =36 000(种)或88A -23A ·66A =36 000(种).绿色通道：解决排列、组合应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法. 若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件.若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其他的元素.间接法也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快.捆绑法、插入法对于有的问题的确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用. 变式训练1 某小组6个人排队照相留念.(1)若分成两排照相,前排2人,后排4人,有多少种不同的排法?(2)若分成两排照相,前排2人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法?(3)若排成一排照相,甲、乙两人必须在一起,有多少种不同的排法?(4)若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相邻,有多少种不同的排法?解:(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样,只不过把第3—6个位子看成是第二排而已,所以实际上是6个元素的全排列问题.故有66A =720种.先确定甲的排法,有12A 种;再确定乙的排法,有14A 种;最后确定其他人的排法,有44A 种,因为这是分步的问题,所以用乘法原理,有12A ·14A ·44A =2×4×24=192种不同排法.采用“捆绑法”,即先把甲、乙两人看成一人,这样有55A 种不同排法,然后甲、乙两人之间再排队,有22A 种排法,因为是分步问题,应当用分步计数原理,所以有55A ·22A =120×2=240种排法.(4)采用“插入法”,把3个女生的位子拉开,在两端和她们之间放进4张椅子,如___________女___________女___________女___________,再将3个男生放到这4个位子上,就保证任何两个男生都不会相邻了.这样,男生有34A 种排法,女生有33A 种排法,因为是分步问题,应当用乘法原理,所以共有34A ·33A =24×6=144种排法.变式训练2 5名男生、2名女生站成一排照相.（1）两名女生要在两端，有多少种不同的站法？（2）两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？（3）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？ （4）女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？解:（1）两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排:22A ·55A =240（种）.（2）中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生:25A ·55A =2 400（种）.（3）把男生任意全排列，然后在六个空中（包括两端）有顺序地插入两名女生:26A ·55A =3 600（种）.（4）七个位置中任选五个排男生,问题就已解决，因为留下两个位置女生排法是既定的:57A =2 520（种）.【例5】 解方程:(1)3A x 8=4·19-x A ;(2)x x C C 751071=. 思路分析:利用排列数公式和组合数公式,消掉m n m n C A ,,转化为x 的代数方程再求解；同时注意排列数或组合数的方程或不等式中未知数的取值范围;对于排列数或组合数公式的两种形式能合理运用:一般连乘形式用于求值,而阶乘形式常用于化简和证明.解:(1)由排列数公式,原方程可化为)!10(!94)!8(!83x x -⨯=-⨯, 化简得x 2-19x+78=0,解得x 1=6,x 2=13.因为x≤8且x-1≤9,x ∈N *,所以原方程的解是x=6.(2)由组合数公式,原方程可化为!710)!7(!7!6)!6(!!5)!5(!•-=---x x x x x x . 化简得6-(6-x)=10)6)(7(x x --,解得x 1=2,x 2=21. 因为x≤5且x≤6,x≤7,x ∈N *,所以原方程的解是x=2.变式训练1 解方程:2213623x x x A A A +=+.解：由排列数公式,得3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1).因为x≥3,所以3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),3x 2-17x+10=0.解之,得x=5,x=32,所以x=5. 变式训练2 解不等式:64n n C C >.解：由组合数公式,原方程可化为)!6(!6!)!4(!4!->-n n n n . 化简得n 2-9n-10＜0,解得-1＜n ＜10.因为n≥6,n ∈N *,所以不等式的解集为{6,7,8,9}.问题探究问题1:在解决排列和组合问题中都用到“树图”,它起到什么作用?导思:树图法虽然在解决排列和组合问题中不是用的很多或许有时根本不去理会它,但是它在教材中还是占有一定的比例去介绍,对教材前后内容的联系起着铺垫的作用,是解决排列和组合问题的基础方法.虽然解决排列和组合问题的方法很多,但都是一些技巧性较强、适用性很窄的方法,从而会让学生感到做题无从选择、举棋不定.树图法虽操作啰嗦,但适应性很广泛,思路明确清晰,有利于我们打开困惑,找出规律,为解题开拓新的局面.对此我们应不能低估其作用,而片面追求各种各样的技巧性方法.探究: “树”是图论中的一个概念,它指的是一个连通的无圈图.“树图”就是“数”的图形,好象一颗树一样,从树干上长出几个主枝,主枝又可分叉长出分枝,分枝再分叉成小分枝……最后一次分枝出的小分枝我们称为“树叶”.利用树图可以把排列组合问题直观化、形象化、具体化,起到了“数形结合”中“形”的作用,从而很容易不遗漏、不重复地写出所有的排列或组合,一般适用于数字不太大的情况.若对于数字较大的排列组合问题,先缩减数字,用树图帮助我们思考,找出规律,也不失为一种较好的方法.问题2：计数原理中学过两种方法：加法与乘法原理，但是在解决排列组合过程中发现有些计数问题中会出现除法，这是何故呢？导思:由此启发我们想到：对于某些比较生疏或困难的问题，可以采用这种补充一个步骤，使它变为已学过的熟悉的问题，反过来再用除法求原问题的解,即原问题+补充一个步骤=熟悉的问题，若原问题方法数为x ，补充步骤的方法数为y,熟悉的问题方法数为z,根据乘法原理：x·y=z,所以x=yz ,即原问题的方法数=补充步骤的方法数熟悉问题的方法数. 探究: 其实在组合数mn C 的计算中就出现了除法：m n m mm n C A A =.这是因为把组合问题补充上一个排序步骤后，就变成了排列问题.根据分步乘法计数法m n A =m n C ·m mA ,所以m n m m m n C A A =.。
高二数学组合例题解析 人教版
高二数学组合例题解析一. 本周教学内容组合二. 重点、难点1. 从n 个不同元素中，任取m 个组成一组。
)!(!!m n m n C m n -= 2. m m m n m n A C A = m n n m n C C -= m n m n m n C C C 11+-=+ m n m n C m m n C 11+-=+ m n m n C m n n C 1--= 11--=m n m n C mn C 3. 分组与分配问题【典型例题】[例1] 甲班组共十六名工人，从中选出七人参加植树。
（1）A 必在其中的选法5005615=C（2）A 必不在其中的选法6435715=C（3）A 、B 同时在其中的选法1820514=C（4）A 、B 至少有一人在其中的选法8008343211440514614614714716=-=++=-C C C C C[例2] 某校13个班分成两组进行足球比赛，第一组七个队，第二组六个队进行单循环比赛（每队与同组各队各赛一场）然后每组前两名进入决赛，四个队再进行单循环比赛，决出冠亚军。
共需多少场比赛。
42242627=++C C C[例3] 一次数学考试共11道题，填空题6个每题3分，选择题5个每题2分。
（答错不扣分）某同学答对六道题，且得分不少于总分的一半。
这位同学答对题的可能性有多少种。
解：285263=⨯+⨯ 一半为14（1）6个3 66C（2）5个3、1个2 1556C C ⋅（3）4个3、2个2 2546C C ⋅（4）3个3、3个2 3536C C ⋅（5）2个3、4个2 4526C C 共计456种[例4] 平面上有9个点，其中只有4点共线，其余无三点共线。
（1）可以确定多少条直线31111415252429=++=+-C C C C C（2）可以确定多少个三角形8024151425353439=⋅+⋅+=-C C C C C C C[例5] 圆周上有12个点。
高二数学组合与组合的运用试题答案及解析
高二数学组合与组合的运用试题答案及解析1. 9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的抽取方法是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】至少有两件一等品包括三种情况,第一种是恰有两件一等品,有种方法;第二种是恰有三件一等品,有种方法; 第三种是恰有四件一等品,有种方法;所以共有种方法,答案选D.【考点】排列组合2.圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为（）A．720B．360C．240D．120【答案】D【解析】圆上有10个点，故无三点共线，因此从中任取三点都能得到一个对应的三角形，因此一共可以画的三角形个数为，注意这里是组合问题，而不是排列问题.【考点】组合应用及转化思想.3.从4名同学中选出3人，参加一项活动，则不同的选方法有种（用数据作答）；【答案】4【解析】从4名同学中选出3 人，则不同的选法有种．【考点】组合数.4.已知{1，2}⊆Z⊆{1， 2，3，4，5}，满足这个关系式的集合Z共有 ()．A．2个B．6个C．4个D．8个【答案】D【解析】由题意知集合Z中的元素1，2必取，另外可从3，4，5中取，可以不取，即取0个，取1个，取2个，取3个，故有个满足这个关系式的集合；故选D．【考点】子集与真子集5.一个口袋里装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，从口袋中取出5个球，使总分低于7分的取法共有多少种？（）A．186B．66C．60D．192【答案】B【解析】解：设取x个红球，y个白球，于是：，其中，或因此所求的取法种数是：（种）,故选B.【考点】组合数公式.6.某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有种选法（用数字作答）．【答案】310【解析】此题用间接法比较简单，从11人任选4人的方法有,其中只有内科医生的方法,只有外科医生的方法,所以按要求的方法种数为.【考点】组合及组合数的计算7.从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有________种．【答案】140【解析】当甲、乙两人都参加时，有C82＝28(种)选法；当甲、乙两人中有一人参加时，有C83·C21＝112(种)选法．∴不同的挑选方法有28＋112＝140(种)．8.某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种(结果用数值表示)．【答案】7【解析】设餐厅至少还需准备x种不同的素菜．由题意，得C52·Cx2≥200，从而有Cx2≥20.即x(x－1)≥40.∴x的最小值为7.9.已知，则= .【答案】【解析】根据题意，由于，即可知，即可知化简解得为n=2,故答案为2.【考点】组合数公式点评：主要是考查了组合数的性质和公式的运用，属于基础题。
人教版高中数学选修2-3练习：第一章1.2-1.2.2第2课时组合的综合应用 Word版含解析
1.2 排列与组合
1.2.2 组合
第 2 课时 组合的综合应用
A 级 基础巩固 一、选择题 1．一个口袋中装有大小相同的 6 个白球和 4 个黑球，从中取 2 个球，则这两个球同色的不同取法有( ) A．27 种 B．24 种 C．21 种 D．18 种 解析：分两类：一类是 2 个白球有 C26＝15 种取法，另一类是 2 个黑球有 C24＝6 种取法，所以取法共有 15＋6＝21(种)． 答案：C 2．4 位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修 1 门，则恰有 2 人 选修课程甲的不同选法共有( ) A．12 种 B．24 种 C．30 种 D．36 种 解析：依题意，满足题意的选法共有 C24×2×2＝24(种)． 答案：B 3．从编号为 1、2、3、4 的四种不同的种子中选出 3 种，在 3 块 不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中 1 号种子必须试种，
分配方式？ (1)分成 1 本、2 本、3 本三组； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本； (3)分成每组都是 2 本的三组； (4)分给甲、乙、丙三人，每人 2 本． 解：(1)分三步：选选一本有 C 16种选法；再从余下的 5 本中选 2
本有 C 25有种选法；对于余下的三本全选有 C 3种选法，由分步乘法计 数原理知选法有 C16C25C3＝60(种)．
答案：D 2．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少 有 一 名 女 生 入 选 的 不 同 选 法 有 16 种 ， 则 该 小 组 中 的 女 生 人 数 为 ________． 解析：设男生人数为 x，则女生有(6－x)人．依题意 C63－C3x＝ 16， 则 6×5×4＝ x(x－ 1)(x－ 2)＋ 16×6， 所 以 x(x－ 1)(x－ 2)＝ 2×3×4，解得 x＝4.即女生有 2 人． 答案：2 3．有五张卡片，它们的正、反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5， 6 与 7，8 与 9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多 少个不同的三位数？ 解：法一 依 0 与 1 两个特殊值分析，可分三类： (1)取 0 不取 1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有 C 14种方 法；0 可在后两位；有 C 12种方法；最后需从剩下的三张中任取一 张，有 C 13种方法；又除含 0 的那张外，其他两张都有正面或反面两 种可能，故此时可得不同的三位数有 C14C12C13·22 个． (2)取 1 不取 0，同上分析可得不同的三位数 C24·22·A 3个． (3)0 和 1 都不取，有不同三位数 C34·23·A 3个． 综上所述，不同的三位数共有 C14C12C13·22＋C24·22·A23＋C34·23·A3＝432(个)． 法二 任取三张卡片可以组成不同三位数 C35·23·A 3个， 其中 0 在百位的有 C24·22·A 2个，这是不合题意的， 故可组成的不同三位数共有 C35·23·A3－C24·22·A2＝432(个)．
高二数学排列组合综合应用试题答案及解析
高二数学排列组合综合应用试题答案及解析1.用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（）A．48B．36C．28D．12【答案】C【解析】解：根据题意，在0，1，2，3，4中有3个偶数，2个奇数，可以分3种情况讨论：①、0被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有种情况；故0被奇数夹在中间时，有2×6=12种情况；②、2被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有种情况，其中0在首位的有2种情况，则有6-2=4种排法；故2被奇数夹在中间时，有2×4=8种情况；③、4被奇数夹在中间时，同2被奇数夹在中间的情况，有8种情况，则这样的五位数共有12+8+8=28种.【考点】排列、组合的应用.2.某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？【答案】108【解析】（1）排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关，如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同，才是不同的组合；（2）排列、组合的综合问题关键是看准是排列还是组合，复杂的问题往往是先选后排，有时是排中带选，选中带排；（3）对于排列组合的综合题，常采用先组合（选出元素），再排列（将选出的这些元素按要求进行排序）试题解析：用1、2、3、4、5、6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2、4、6．分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、4、6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、3、6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种．【考点】排列组合的综合应用．3.个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有A．B．C．D．【答案】C【解析】本题可用插空法，先排除甲、乙两人外的其余四人应为,剩余两人插在5个空中应为,甲、乙两人不相邻的不同排法共有.【考点】排列组合的有关内容.4.现有4个男生和3个女生作为7个不同学科的科代表人选，若要求体育科代表是男生且英语科代表是女生，则不同的安排方法的种数为_________（用数字作答）．【答案】1440．【解析】由题意知，可分三步完成本件事情，第一步，选1男生为体育课代表，第二步，选1女生为英语课代表，剩下的5人进行全排列，最后根据分步计数原理得不同的安排方法的种数为．【考点】计数原理的应用．5.在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有_________ 个．【答案】36【解析】当十位数字为1时有8个,当十位数字为2时有7个,…，当十位数字为8时有1个，当十位数字为9时有0个，所以共个数为8+7+…+2+1+0=36，答案为36.【考点】分步加法计数原理6.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A．6个B．9个C．18个D．36个【答案】C【解析】完成这件事分为两步,第一步先排好1,2,3有种不同方法;第二步将第四个数(可以为1,2,3中的任一个)插到排好的3个数的4个间隔中,又同一数字不能相邻出现,所以每个数字只能放两个位置,有不同方法,这样每一个四位数都出现了两次,从而这样的四位数共有个,答案选C.【考点】记数原理与排列组合7.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A．12种B．18种C．24种D．48种【答案】C【解析】分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A，有种方法；然后A与戊形成三个“空”，有种方法；再将丙、丁插入空中有种方法.可知共有种不同的着舰方法.故选C【考点】简单排列组合问题；捆绑法和插空法的应用.8. 7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．【答案】360.【解析】由于环状排列没有首尾之分，将n个元素围城的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有种排法．由于n个元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有种排法，而珠子圈没有反正，故7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．故应填入：360．【考点】计数原理．9.已知100件产品中有97件正品和3件次品，现从中任意抽出3件产品进行检查，则恰好抽出2件次品的抽法种数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】恰好抽出2件次品则有种，1件是正品种，所以任意抽3件恰好2件次品的抽法种数是。
2019-2020学年高二数学人教A版选修2-3文档：第1章 1.2.2 第2课时 组合的综合应用 Word版含答案
第2课时组合的综合应用1．学会运用组合的概念，分析简单的实际问题．(重点)2．能解决无限制条件的组合问题．(难点)[基础·初探]教材整理组合的实际应用阅读教材P23例6～P25，完成下列问题．1．组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素．不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关．2．应用组合知识解决实际问题的四个步骤(1)判断：判断实际问题是否是组合问题．(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题．(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算．(4)结论：根据计算结果写出方案个数．1．若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有()A．A45种B．45种C．54种D．C45种【解析】由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张，从5名代表中选4人满足分配要求，故有C45种．【答案】 D2．若7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)【解析】第一步，安排周六有C37种方法，第二步，安排周日有C34种方法，所以不同的安排方案共有C37C34＝140种．【答案】1403．从0,1, 2，π2，3，2这六个数字中，任取两个数字作为直线y＝x tanα＋b的倾斜角和截距，可组成______条平行于x轴的直线．【解析】要使得直线与x轴平行，则倾斜角为0，截距在0以外的五个数字均可．故有C15＝5条满足条件．【答案】 54．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种.【导学号：29472024】【解析】每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C27＋C37＋C47＋C57＝112种分配方案．【答案】112[小组合作型]无限制条件的组合问题在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必需参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．【精彩点拨】本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题．【自主解答】(1)从中任取5人是组合问题，共有C512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．解答简单的组合问题的思考方法1．弄清要做的这件事是什么事．2．选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题．3．结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果．[再练一题]1．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？【解】(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45.(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2 名是女教师有C24种方法，即C26＋C24＝21(种)．有限制条件的组合问题高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？【精彩点拨】可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼．使用两个计数原理解决．【自主解答】(1)从余下的34名学生中选取2名，有C234＝561(种)．∴不同的取法有561种．(2)从34名可选学生中选取3名，有C34种．或者C35－C234＝C34＝5 984种．∴不同的取法有5 984种．(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C120C215＝2 100种．∴不同的取法有2 100种．(4)选取2名女生有C120C215种，选取3名女生有C315种，共有选取方式N＝C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555种．∴不同的取法有2 555种．(5)选取3名的总数有C35，因此选取方式共有N＝C35－C315＝6 545－455＝6 090种．∴不同的取法有6 090种．常见的限制条件及解题方法1．特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．[再练一题]2．现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某市．(1)如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？(2)至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？【解】(1)从5名男司机中选派3名，有C35种方法，从4名女司机中选派2名，有C24种方法，根据分步乘法计数原理得所选派的方法总数为C35C24＝C25C24＝5×42×1·4×32×1＝60种．(2)从9人中任选5人运货有C59种方法．其中1名男司机，4名女司机有C15C4＝5种选法．所以至少有两名男司机的选派方法为C59－5＝121种．组合在几何中的应用平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？【精彩点拨】解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数．【自主解答】法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准．第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有C24C18＝48个不同的三角形；第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C14C28＝112个不同的三角形；第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C38＝56个不同的三角形．由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个)．法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C312＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C34＝4种．故这12个点能构成三角形的个数为C312－C34＝216个．1．解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．2．图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．[再练一题]3．四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？【导学号：29472025】【解】如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C35种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，不同的取法有3C35＋3＝33种．[探究共研型]排列、组合的综合应用探究1从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？【提示】共有C24＝4×32＝6(个)不同结果．完成的“这件事”是指从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相乘．探究2从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相除，有多少不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？【提示】共有A24－2＝10(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相除．探究3完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？【提示】由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行．第一类：0在个位，则百位与十位共A24种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共C12C13C13＝18(种)不同的结果，由分类加法计数原理，完成“这件事”共有A24＋C12C13C13＝30(种)不同的结果．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．【精彩点拨】(1)按选中女生的人数多少分类选取．(2)采用先选后排的方法．(3)先安排该男生，再选出其他人担任四科课代表．(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表．【自主解答】(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有C35C23＋C45 C13种，后排有A5种，共(C35C23＋C45C13)·A5＝5 400种．(2)除去该女生后，先选后排，有C47·A4＝840种．(3)先选后排，但先安排该男生，有C47·C14·A4＝3 360种．(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，其余3人全排有A3种，共C36·C13·A3＝360种．解决排列、组合综合问题要遵循两个原则1．按事情发生的过程进行分步．2．按元素的性质进行分类．解决时通常从以下三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．[再练一题]4．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( ) A．360 B．520C．600 D．720【解析】分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有C12C35A4＝2×10×24＝480种选法．第二类，甲、乙都参加时，则有C25(A4－A2A3)＝10×(24－12)＝120种选法．所以共有480＋120＝600种选法．【答案】 C1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( )A．120 B．84C．52 D．48【解析】间接法：C38－C34＝52种．【答案】 C2．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )A．60种B．20种C．10种D．8种【解析】四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即C35＝10.【答案】 C3．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B，若BA＝213，则这组学生共有________人．【解析】设有学生n人，则A2nC4n＝213，解之得n＝15.【答案】154．在直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有________个．【解析】在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C26＝15×15＝225个．【答案】2255．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选．【解】(1)一名女生，四名男生，故共有C15C48＝350种选法．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C2C311＝165种选法．(3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选．故共有C12C411＋C2C311＝825种选法．或采用间接法：C513－C511＝825种．(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．故共有C25C38＋C15C48＋C58＝966种选法．。
高二数学排列组合综合应用试题
高二数学排列组合综合应用试题1.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法．（用数字作答）【答案】1260【解析】9个求排成一列，相当于排队，从9个位置选2个排红球，共有种，从剩余7个选3个排黄球，共有，剩余4个位置排白球，因此共有.【考点】排列问题2.五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：（1）甲必须在排头；（2）甲、乙相邻；（3）甲不在排头，并且乙不在排尾；（4）其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻．【答案】(1)24;(2)48;(3)78;(4)36【解析】（1）特殊元素(位置)法:首先排“排头”不动,再排其它4个位置有种共有24种;(2)捆绑法:把甲、乙看成一个人来排有种,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻排法种数为种;(3)对立法:甲在排头和乙在排尾的各种,其中甲在排头且乙在排尾的有种,五个人站成一排的不同排法数是种,所以甲不在排头，并且乙不在排尾的有种;(4)插空法:先将其余3个全排列种，再将甲、乙插入4个空位种，所以，一共有种不同排法.试题解析：（1）特殊元素是甲,特殊位置是排头;首先排“排头”不动,再排其它4个位置有种,所以共有：种把甲、乙看成一个人来排有种,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻排法种数为种；（3）甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：种；先将其余3个全排列,再将甲、乙插入4个空位，所以，一共有种不同排法.【考点】排列组合3.设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．（1）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？（2）从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？【答案】（1）70种；（2）59种．【解析】（1）由题意可分三步完成，第一步选国画有5种，第二步选油画有2种，第三步选水彩画有7种，根据分步计数原理，问题得以解决．（2）由题意可分三类，第一类，选国画和油画，第二类，选国画和水彩画，第三类，选油画和水彩画，根据分类计数原理，问题得以解决．试题解析：（1）分三步完成，第一步选国画有5种，第二步选油画有2种，第三步选水彩画有7种，根据分步计数原理得，共有5×2×7=70种．（2）分三类，第一类，选国画和油画共有5×2=10种，第二类，选国画和水彩画共有5×7=35种，第三类，选油画和水彩画共有2×7=14种，根据分类计数原理共有10+25+14=59种．【考点】分类和分步计数原理．4.有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)甲、乙、丙各得3本．【答案】（1）1260（2）7560（3）1680【解析】（1）分步：甲选四本、乙选三本、丙选剩下的两本；（2）分两步完成：先分组，再分给甲、乙、丙三名同学；（3）平均分组问题，先分成3组，再分给甲乙丙三名同学．试题解析：(1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有种方法；第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有种方法；第三步：把剩下的书给丙有种方法，∴共有不同的分法有 (种)．(2)分两步完成：第一步：将4本、3本、2本分成三组有种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有种方法，∴共有＝7560(种)．(3)用与(1)相同的方法求解，得＝1680(种)．【考点】排列、组合及简单计数问题；计数原理的应用．5.设全集I=｛1，2，3，4，5，6｝，集合A，B都是I的子集，若A B=｛1，3，5｝，则称A，B为“理想配集”，记作（A，B），问这样的“理想配集”（A，B）共有（）A．7个 B．8个 C．27个 D．28个【答案】C【解析】由于交集是1,3,5，所以A,B集合中都必有1,3,5；分情况讨论：1）当A有3个元素，那么B有种选择；2）当A有4个元素，那么A要从1，3，5外再挑一个，有3种，这时B 有种选择，总共有种；3）当A有5个元素，那么A从1，3，5之外再挑两个，有3种，这时B有种选择，总共有种；4）当A有6个元素，B只有唯一一种可能；由分类计数原理得共有：8+12+6+1=27种；故选Ｃ．【考点】分类计数原理．6.将排成一排，要求在排列中，顺序为“”或“”（可以不相邻），这样的排法有种.【答案】【解析】将排成一排，共有排列的种数为，若按的顺序可分为六类，即（可以不相邻），而每类的排列数是一样的均为种，所以顺序为“”或“”（可以不相邻），这样的排法有种，注意等可能方法的使用.【考点】有限制条件的排列计数问题.7. A、B、C、D、E五人并排站成一排，若A，B必须相邻，且B在A的左边，那么不同的排法共种.【答案】24【解析】将A，B看成一个人，和其他三人一起作全排列，又B在A的左边，故有不同的排法共有：种，故应填入：24．【考点】排列与组合．8.（12分）3名教师与4名学生排成一横排照相，求:（1）3名教师必须排在一起的不同排法有多少种？（2）3名教师必须在中间（在3、4、5位置上）的不同排法有多少种？（3）3名教师不能相邻的不同排法有多少种？【答案】（1）; （2）; （3）.【解析】（1）捆绑法，将3名教师作为一整体与4名学生全排列有种，3名教师各自排列有，分步乘法原理；（2）3名教师排法有，4个学生在4个位子上全排列共有种，分步乘法原理；（3）插空法，4名学生共有种，形成5个空位由3个老师排列有种，再用分步乘法原理.解：（1）3名教师的排法有，把3名教师作为一个整体与4个学生共5个元素的全排列共有种，则共有（种） 4分（2）3名教师的排法有， 4个学生在4个位子上的全排列共有种，则共有（种）---8分（3） 12分【考点】1.分步乘法原理；2.排列组合.9.用四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为,则= 。
人教版数学高二选修2-3 1.2排列组合应用题解法归纳
排列组合应用题解法归纳排列组合应用题历来是高中数学的难点，也是高考必考内容。
它往往与概率问题相结合。
要想准确无误地解决排列组合问题。
关键是熟悉问题的类型及其相应解法，下面对各种解法一一剖析，供同学参考：一、分类法当问题中元素多，取出的情况也较多时，可按要求分成互不相容的几类情况，即适用于多元问题。
另外，含“至少”、“至多”的排列组合问题，一般也分类解决，从而避免遗漏和重复。
例1、从集合{O ，P ，Q ，R ，S }与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O ，Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_____（数字作答）解析：由题意可分类如下：①每排字母中只有数字0的排法有：442319A c c ；②每排字母中只有字母O 的排法有：442913A c c③每排字母中只有字母P 的排法有：442913A c c④每排字母中无0，O ，P 的排法有：442923A c c故满足题意的不同排法种数是442319A c c +442913A c c +442913A c c +442923A c c =8424二、间接法对于某些排列组合问题，正面情况较复杂而反面情况较简单时，可用此法例、过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线A ．18对B ．24对C ．30对D ．36 解析：两直线共面的情况有两类：①每个侧面共有6条直线，共有3个侧面，两条直线共面的情况有326⋅c②上、下底面每个面有3条直线，经过底面一边与侧面的两条对角线这样的面共有6个面，每个面上共面的直线有23c 对，8个面中两条直线共面的情况238c 对。
∴15条直线中共面直线69832326=⋅+⋅c c 对，而从15条直线中任取2条直线共有215c 对。
故异面直线对数为；215c -69=36，故选D评注：此法还适用的题型①含有否定词的问题②含有关键词“至多”“至少”的排列组合问题。
高中数学课时练习5排列的综合应用(含解析)新人教A版选修2-
排列的综合应用基础全面练(20分钟35分)1．用1，2，3，…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A．324 B．224 C．360 D．648【解析】选B.分两步，个位为偶数，有A14种选法，从余下的8个数中选2个数字排在三位数的百位，十位上，有A28种选法，由分步乘法计数原理得共有A14A28＝224(个).2．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有( )A．A88 B．A48C．A44A44D．2A44【解析】选C. 安排4名司机有A44种方案，安排4名售票员有A44种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算完成，由分步乘法计数原理知共有A44 A44种方案．3．在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有( )A．34种 B．48种 C．96种 D．144种【解析】选C.由题意可知，先排工序A，有2种编排方法；再将工序B和C视为一个整体(有2种顺序)与其他3个工序全排列共有2A44种编排方法．故实施顺序的编排方法共有2×2A44＝96(种).【补偿训练】4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有( )A．12种B．14种C．16种D．24种【解析】选B.若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A44＝24种排法．甲跑第一棒有A33＝6种排法，乙跑第4棒有A33＝6种排法，甲跑第一棒且乙跑第四棒有A22＝2种排法，所以共有A44－2A33＋A22＝14(种)不同的出场顺序．4．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为________．【解析】奇数的个位数字为1，3或5，所以个位数字的排法有A13种，十位数字和百位数字的排法种数有A24种，故奇数有A13·A24＝3×4×3＝36个．答案：365．某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，那么共有________种不同的排课程表的方法．【解析】六节课总的排法是A66，其中不符合要求为，体育排在第一节有A55种排法，因此符合条件的排法应是：A66－A55＝600.【补偿训练】从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．【解析】易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，有A26种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有A26＝30(条).答案：306．从－3，－2，－1，0，1，2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，问：(1)共能组成多少个不同的二次函数？(2)在这些二次函数中，图象关于y轴对称的有多少个？【解析】(1)方法一(直接法——优先考虑特殊位置)因为a≠0，所以确定二次项系数有7种，确定一次项和常数项有A27种，所以共有7A27＝294个不同的二次函数．方法二(直接法——优先考虑特殊元素)当a，b，c中不含0时，有A37个；当a，b，c中含有0时，有2A27个，故共有A37＋2A27＝294(个)不同的二次函数．方法三(间接法)共可构成A38个函数，其中当a＝0时，有A27个均不符合要求，从而共有A38－A27＝294(个)不同的二次函数．(2)依题意b＝0，所以共有A27＝42(个)符合条件的二次函数．综合突破练(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2021·开封高二检测)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有( )A．A1818种B．A2020种C．A23 A318A1010种D．A22A1818种【解析】选D.先排美国人和俄国人，方法数有A22种，剩下18人任意排有A1818种，故共有A2 2·A1818种不同的站法．2．由1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{a n}，则a72等于( )A．1 543 B．2 543 C．3 542 D．4 532【解析】34＝24(个)，首位是2的四位数有A34＝24(个)，首位是3的四位数有A34＝24(个)，由分类加法计数原理得，首位小于4的所有四位数共3×24＝72(个).由此得a72＝3 542. 3．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a －lg b的不同值的个数是( )A．9 B．10 C．18 D．20【解析】选C.从1，3，5，7，9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数为A25＝20，但lg 1－lg 3＝lg 3－lg 9，lg 3－lg 1＝lg 9－lg 3，所以不同值的个数为20－2＝18.4．某高中的4名高三学生计划在高考结束后到西藏、新疆、香港这3个地区去旅游，要求每个地区都要有学生去，每个学生只能去1个地区旅游，且学生甲不去香港，则不同的旅游安排方案有( )A．36种 B．28种 C．24种 D．22种【解析】选C.学生甲不去香港，则甲有2种安排方案，当甲和某个学生去同一个地区时，另外3名同学可以在3个地区进行全排列，即有A33种安排方案，当甲独自去一个地区时，将另3名同学分为两组，一组2名同学，一组1名同学，然后在甲选过后剩余的地区进行排列，即有A23种安排方案．所以不同的旅游安排方案有2(A33＋A23)＝24(种).5．新冠肺炎疫情期间，某市市民积极报名志愿者，已知甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有( )A．20种 B．30种 C．40种 D．60种【解析】选A. 分三类：甲在周一，共有A24种排法；甲在周二，共有A23种排法；甲在周三，共有A22种排法．所以共有A24＋A23＋A22＝20(种)安排方法．二、填空题(每小题5分，共15分)6．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．【解析】先将A，B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22 A44种摆法．而A，B，C这3 件产品在一起，且A，B相邻，A，C相邻有2A33种摆法．故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有A22 A44－2A33＝36(种).答案：367．将两名男生、五名女生的照片排成一排贴在光荣榜上，恰有三名女生的照片贴在两名男生的照片之间的情况数为________．【解析】先排两名男生有A22，现从5 名女生中选出3名排到两名男生之间有A35，然后把两名男生与他们之间的3名女生(捆绑)看作一个整体与剩下的2名女生排列共有A33，所以总数为A22 A35A33＝720.答案：7208．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种．(用数字作答)【解析】不考虑A，B，C的位置限定时有A66＝720种，只考虑A，B，C三个字母的顺序有A3 3＝6种，而A，B在C的同侧有2A22＝4(种)，故满足条件的排法有A66×2A22A33＝480(种).答案：480三、解答题(每小题10分，共20分)9．用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？(1)六位数且是奇数．(2)个位上的数字不是5的六位数．【解析】(1)方法一：从特殊位置入手(直接法)：第一步：排个位，从1，3，5三个数字中选1个，有A13种排法；第二步：排十万位，有A14种排法；第三步：排其他位，有A44种排法．故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有A13 A14A44＝288(个).方法二：从特殊元素入手(直接法)：0不在两端，有A14种排法；从1，3，5中任选一个排在个位上，有A13种排法；其他数字全排列有A44种排法．故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有A14 A13A44＝288(个).方法三：(排除法)从整体上排除：6个数字的全排列数为A66，0，2，4在个位上的排列数为3A55，而1，3，5在个位上，0在十万位上的排列数为3A44，故符合题意的六位数且是奇数共有A66－3A55－3A44＝288(个).(2)方法一：(排除法)6个数字的全排列有A66个，0在十万位上的排列有A55个，5在个位上的排列有A55个，0在十万位上且5在个位上的排列有A44个，故符合题意的六位数共有A66－A55－(A55－A44)＝504(个).方法二：(直接法)个位上不排5，有A15种排法．但十万位上数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此，需分两类：第一类，当个位上排0时，有A55种排法；第二类，当个位上不排0时，有A14·A14·A44种排法．故符合题意的六位数共有A55＋A14·A14·A44＝504(个).10．从0，1，2，…，6这七个数字中任取三个不同的数字，分别作为函数y＝ax2＋bx＋c 的系数a，b，c，求：(1)可组成多少个不同的二次函数？(2)其中对称轴是y轴的抛物线有多少条？【解析】(1)由二次函数的定义，a≠0，则a有6种取法；在剩下的6个数字中取两个作为b和c，有A26种．所以共有二次函数6·A26＝180(个)；(2)要求对称轴是y轴，则b＝0，在余下的6个数字中取两个作为a和c，有A26＝30条．创新迁移练(2021·郑州高二检测)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有( )A．120种 B．156种 C．188种 D．240种【解析】选 A.当“数”排在第一节时有A22·A44＝48种排法，当“数”排在第二节时有A1 3·A22·A33＝36种排法，当“数”排在第三节时，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有A22·A33＝12种排法，当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有A1 2·A22·A33＝24种排法，所以满足条件的共有48＋36＋12＋24＝120种排法．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高二数学排列与组合综合应用例题解析
一. 本周教学内容：
排列与组合综合应用
二. 重点、难点：
解决排列、组合的基本方法
1. 从“特殊元素”与“特殊位置”入手
2. 分清“有序”与“无序”
3. 分清“分组”与“分配”及平均分组问题
4. 直接法（分类）
5. 间接法（从所有可能中排除）
6. 逆归与叠代
【典型例题】
[例1] 求值：
（1）123152n
n n A A A =+ n n n n n n 15)1()2()1(2=-+-⋅-⋅ 1514622=-++-n n n
012522=--n n 4=n
（2）0323<-n n A A
0)1(3)2)(1(<----n n n n n 032<--n 5<n
又 ∵ 3≥n ∴ 3=n 或4=n
（3）19
843-=n n A A )!10(!94)!8(!83n n -⋅=-⋅ ∴ )
9)(10(9413n n --⋅= ∴ 12)9)(10(=--n n ∴ 6=n
（4）1716013=n A
17160)113(111213=+-⋅⋅n
用17160依次除以13、12、11…… ∴ 4=n
（5）30244
=n A 3024)3)(2)(1(=---n n n n 3024
)23)(3(22=+--n n n n 令t n n =-32 3024)2(=+t t ∴ 54=t
5432=-n n ∴ 9=n
（6）24111112
-+=n n C C 解：02412>-=+n n 或112412
=-++n n 1=n 或3=n 2=n 或6-=n （舍）
∴ ∈n {1，2，3}
[例2] 证明：
（1）)!1(!!33!22!11!0+=⋅++⋅+⋅+⋅+n n n
)!()!1(!)11()!(k k k k k k -+=⋅-+=⋅
左=+=-+++-+-+=)!1()]!()!1[()!2!3()!1!2(1n n n 右
（2）)!
1(11)!1(!32!21+-=++++n n n )!
1(1!1)!1(11)!1(+-=+-+=+k k k k k k ∴ 左 +-+-=)!31!21()!21!11()!
1(11))!1(1!1(+-=+-+n n n （3）1121++++++=++++n m n n m n n n n n n n C C C C C
证明：111==++n n n n C C 11121+++++-=n n n n n n C C C 12132+++++-=n n n n n n C C C
111++++++-=n m n n m n n m n C C C
迭加 ∴ 111+++++=+++n m n n m n n n n n C C C C
（4）r n m m r n r m n r m n C C C C C C C +-=+++0110
构造法，从n 个男生，m 个女生选出r 个人
（法一）r n m C +
（法二）分类 0男r 女 0n C r m
C 1男1-r 女 11-r m n C C
r 男0女 0m r n C C
结果相同 ∴ 0
0m r n r m n r n m C C C C C ++=+
[例3] 典型问题：六个球，投入四个盒子，有多少种不同方法。
（1）球不同，盒不同
（2）球不同，盒不同，每盒不空
（3）球相同，盒不同
（4）球相同，盒不同，每盒不空
（5）球不同，盒相同，每盒不空
（6）球相同，盒相同，每盒不空
解：
（1）409646
=
（2）只有（3，1，1，1），（2，2，1，1）两种
∴ 1560!2/4424264436=+A C C A C
（3）8439=C
（4）1035=C （5）分组（3，1，1，1），（2，2，1，1）
∴ 65!2/242636=+C C C
（6）9
只有（6，0，0，0），（5，1，0，0），（4，2，0，0）
（4，1，1，0），（3，3，0，0），（3，2，1，0）
（3，1，1，1），（2，2，2，0），（2，2，1，1）
（答题时间：20分钟）
1. 一段楼梯共有12个阶梯，某人上楼时，有时迈一阶有时迈两阶，试求此人共有多少种不同的上楼的方法。
2. A 、B ∈{0，1，2，3，6，7}则直线0=+By Ax 可表示多少条平面内不同的直线。
3. 在一次射击比赛中，如图有8个泥靶子，排成三行，一位枪手一次打掉一个靶子，有多少种不同的打靶顺序。
[参考答案]
1. 解：设二阶为a ，一阶为b
（1）a 6 1
（2）a 5 b 2
21!2!5!7=⋅ （3）a 4
b 4 70!4!4!8= （4）a 3
b 6 84!6!3!9= （5）a 2
b 8 45!8!2!10= （6）a 1 b 10 11!
10!11= （7）b 12 1
合计：233
另解：上到第n 阶共有n a 种走法
∴ 21--+=n n n a a a 11=a ，22=a
∴ 33=a 54=a 85=a 136=a 217=a 348=a 559=a 8910=a 14411=a 23312=a
2. 解：
（1）0≠=B A 1条：0=+y x
（2）0=A 或0=B AB 不同时为0 2条：0=x ，0=y
（3）B A ≠、0≠⋅B A 16425=-A 条
02=+y x 03=+y x 02=+y x 03=+y x 063=+y x 062=+y x 036=+y x 026=+y x ∴ 共19条
3. 解：
可重排列，起名，第一列均为a ，第二列均为b ，第三列均为c
∴ 56033
223388=A A A A。