专升本高数定积分的应用PPT课件
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第七讲定积分的应用35页PPT
图形之面积。
解 (i)求交点
y2 x x0 x1 yx2 y0 y1
(ii)相应于[0,1]上任一小区间[x,x+dx]的小窄条
面积的近似值，即面Y积元素
dA( xx2)dx y
y x2 y x
2
(iii)所求面积
1
A (
xx2)dx
1
o x x+dx
0
3
x
例２ 求由抛物线 y2 2x 与直线 xy4
y
Aa b21co2 std t
0
2
b
ab(t 1sin2t)2
22
0
-a o
ax
-b
ab
练习 1 .求由曲线 xaco3t,syasi3nt 所围图 形面积。
2.求由曲线 r3acos及 r1cos所围
图形的公共部分的面积
y a
-a o a x -a
Y
1 S1
0.5
S2
0.5 1 1.5 2 -0.5
x
-1
答案
1.所求面积
A4
a 0
ydx4
0
asin3 td(ac
o3st)
2
12a2 2 sin4 tco2stdtY12a2 2 sin4 t(1sin2 t)dt
0
0
12a2(3 1 5 3 1) 3a2
422 6422 8
2.所求面积
A2(S1S2)
解方 rr程 1 3 cc组 o o s得 s A 点 的极 (2 3坐 , 3) 标
x
A A 1A 20 2 3d1A 2 3 3 d2 A 9 4
y(x2)21
二、极坐标情形
3(专升本内容)定积分及其应用
b
b
b
f R[a, b], g R[a, b] f g R[a, b]
性质2
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
b
b
k ( 为常数)
b
性质3
性质4
a f ( x )dx a f ( x )dx c
b
c
f ( x )dx
a 1 dx a
r 1 ( )
r 2 ( )
d
o
x
o
x
1 2 A [ ( )] d 2
1 2 2 A [ 2 ( ) 1 ( )]d 2
(2) 体积
o
a
A( x )
x x dx
b
y
V
x x x dx
a A( x )dx
（2）分部积分法
b
a
udv [uv ] vdu
7、常用的积分等式：
a
a
2 a f ( x)dx , f ( x) f ( x) 0 f ( x)dx ; 0 , f ( x) f ( x)
a l a
f ( x l ) f ( x) :
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
b
f ( x )dx alim a f ( x )dx blim 0
0
b
f ( x )dx
(2)无界函数的广义积分
a f ( x )dx lim0 a
a f ( x )dx lim0 a
判断瑕点：考察f(x)的间断疑点处是否f(x)→ ∞.
专升本高数定积分的应用PPT课件
d
面积 A [( y) ( y)]dy . c
图6.1.3
图6.1.4
例 1. 求 y sin x ， y cos x ， x 0， x π 所围图形的面积.
2
解 作出简图（如图 6.1.5 所示），利用微元法求面积 A
π
π
A
4 0
(cos
x
sin
x)dx
2 π
(sin
x
cos
2
2
2
因此
V
R
A(x)dx
R 1 (R2 x2 ) tandx
R
R 2
1 2
tan
R2
x
1 3
x3
R R
=
2 3
R3
tan
.
注意，此题也可以用过 y轴上的点 y作垂直于 y轴的平面截
立体所得的截面来计算.
6.1.4 用定积分求平面曲线的弧长
设 一 曲 线 yf(x )在 [a ,b ]上 具 有 一 阶 连 续 的 导 数 f'(x )， 我 们 来 计 算 从 x a 到 x b 的 一 段 弧 的 长 s 度 ( 如 图 8 . 1 . 1 0所 示 ) .
A 1
r2 ( )d .
2
图6.1.6
图6.1.7
例 4 求由曲线r 2cos 2 所围图形的面积.
解 作简图(如图 6.1.7 所示)，由于图形的对称性，
只需计算S1，再 8 倍即可,点 A的幅角为0，点 O的幅角为
π ，且 由 0变到 π 时，恰好画出弧 AO.所以
4
4
π
π
S
8S1
仍采用微元法，取 x为积分变 量 ， x [a,b] ， 在 微 小 区 间 [x, x dx]内，用切线段 MT 近似 代替小弧段 MN ,得弧长微元为
面积 A [( y) ( y)]dy . c
图6.1.3
图6.1.4
例 1. 求 y sin x ， y cos x ， x 0， x π 所围图形的面积.
2
解 作出简图（如图 6.1.5 所示），利用微元法求面积 A
π
π
A
4 0
(cos
x
sin
x)dx
2 π
(sin
x
cos
2
2
2
因此
V
R
A(x)dx
R 1 (R2 x2 ) tandx
R
R 2
1 2
tan
R2
x
1 3
x3
R R
=
2 3
R3
tan
.
注意，此题也可以用过 y轴上的点 y作垂直于 y轴的平面截
立体所得的截面来计算.
6.1.4 用定积分求平面曲线的弧长
设 一 曲 线 yf(x )在 [a ,b ]上 具 有 一 阶 连 续 的 导 数 f'(x )， 我 们 来 计 算 从 x a 到 x b 的 一 段 弧 的 长 s 度 ( 如 图 8 . 1 . 1 0所 示 ) .
A 1
r2 ( )d .
2
图6.1.6
图6.1.7
例 4 求由曲线r 2cos 2 所围图形的面积.
解 作简图(如图 6.1.7 所示)，由于图形的对称性，
只需计算S1，再 8 倍即可,点 A的幅角为0，点 O的幅角为
π ，且 由 0变到 π 时，恰好画出弧 AO.所以
4
4
π
π
S
8S1
仍采用微元法，取 x为积分变 量 ， x [a,b] ， 在 微 小 区 间 [x, x dx]内，用切线段 MT 近似 代替小弧段 MN ,得弧长微元为
精品课件-高等数学定积分在几何上的应用ppt
第二节 定积分在几何上的应用
例3 求由 y=cosx, y=sinx 在区间 [0, ] 上所围成的图 形的面积.
两曲线的交点
y sin x
y
cos
x
( , 4
2) 2
A1
A2
A A1 A2
4 (cos x sin x)dx
0
(sin x cos x)dx
x(t) ye of Information and Technology
y2 2x
y x4
A42y4y22dy1.8
Nanjing College of Information and Technology
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
问题 若选x为积分变量呢？ 4
SS1 S2
2
[
2x (
2 x )]dx
第二节 定积分在几何上的应用
应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:
1) 选取积分变量, 确定它的变化区间[a,b];
2) 在区间[a, b]上任取一个小区间[x,x+dx], 并在小区
间上找出所求量F的微元 dF = f(x)dx (局部近似值) ;
3) 求定积分 F
b
f (x)dx
a
Nanjing College of Information and Technology
ΔA≈ f(x)dx
面积元素
dA
yf(x)
记作dA
o a xxdbxx
(2) 将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”得
b
b
Alim f(x)dx f ( x)dx d A
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
《定积分课件》课件
03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。
定积分及其应用概要精品PPT课件
若当 0 时, Sn 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的
分法和 i 的取法无关, 则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积,
并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为
b
f (x)dx
b
a
n
即
a
f (x)dx I
lim 0 i1
f (i )xi
其中ƒ(x)为被积函数, ƒ(x)d x称为被积表达式, x 称为积分
则该窄矩形的面积 f (i )xi
近似等于 Si , 即
f (i )xi Si
III.求和、取极限
为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加,
n
n
就得曲边梯形的面积的近似值, 即 S Si f (i )xi
i 1
i 1
记各小区间的最大长度为 max{x1, x2 , , xn}
当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 m1iaxn {xi } 0
从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:
I.化整为零(或分割)——任意划分
(如右图)用分点
y
y=ƒ(x)
a x0 x1 x2 xn1 xn b
将区间[a,b]任意地划分为n个小区间
[x0 , x1 ],[x1, x2 ], ,[xn1, xn ],
x2
o a x0 x1
xi1 xi xi
来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间
[a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;
但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0, y
故可将此区间的高近似看为一个常量,
y=ƒ(x)
A
C
B
定积分的应用课件
V
a [ f ( x)]2dx
a
2
a3
2
x3
3
dx
32
a3 .
a
a
105
类似地，如果旋转体是由连续曲线 x ( y) 直线
y c 、 y d 及 y 轴所围成的曲边梯形 绕y轴旋转
一周而成的立体, 体积为
y
d
V d [ ( y)]2 dy c
x (y) c
熟记
o
x
例 3 求由抛物线 y 2x2，直线x 1及x轴所围成的
间 [ y, y dy]
y2 x
dA
y x2
x
面积微元 dA ? ( y y2 )dy
A 01dA 01(
y y2 )dy
2 3
3
y2
y3 1
3
0
1 3
例 3 计 算 由 曲 线 y2 2x和 直 线 y x 4所 围
成的图形的面积.
y+dy
解 求两曲线的交点
y
y2 2x
(2,2), (8,4).
h 0
r 2h .
3
例2 计算椭圆
x2 a2
y2 b2
1
绕x轴旋转而形成的旋转体
的体积.
y x2 y2 a2 b2 1
解 这个旋转体可以看成
以半个椭圆 y b a2 x2 a o
ax
a
绕x轴旋转而成的立体
取积分变量为x, x [a,a]
利用旋转体体积公式，知: 所求的体积为
V
a a
y x4
选 x 作积分变量时, 需求
两块面积
dA
y x4
y2 2x
选 y 为积分变量 y [2, 4] 作面积微元 dA
5专升本定积分的应用
(1)若固定成本 C0 1（万元），求总成本函数、 总收益函数和总利润函数 (2)当产量由1百台增加到5百台时，求总成本与 总收益的增量
(3)产量为多少时，总利润最大？最大利润为多少？
2010-3-15 23
解 (1)总成本函数
1 C ( x) C ( x)dx C0 (3 x)dx 1 0 0 3 1 2 1 3x x 6 总收益函数 x x 1 R( x) R( x)dx (7 x)dx 7 x x 2 0 0 2 当产量为0，总收益为0时
而成的旋转体 (旋转椭球体) 的体积. 解 由对称性知，所求体积为：
b2 2 2 ( a x ) dx 2 a
3
V x 2 y dx 2
2 0
a
a
0
b 2 2 a
b
2
2 x a 4 2 ab a x 3 0 3
2
O
y
b
4 3 a=b 时, 得半径为 a 的球体的体积: V a 3 2010-3-15
(8 , 4 )
解 所求面积为:
4
8
S x 2
2
2
0
2 xdx [ 2 x ( x 4)]dx -2 2
1 2
o
2
( 2, 2 )
8
x
y2 2x
1 8 1 8 2 (2 x ) d (2x ) (2 x ) d (2x ) ( x 4)dx 0 2 2 2 3 3 2 8 8 2 1 1 28 2 2 (2 x ) (2 x ) x 4x 0 2 2 2 3 3 2
a
2010-3-15
定积分及其应用(高数) PPT课件
定理2 设 u( x),v( x)在区间[a,b]上有连续的导数,
则
aabbuuddvvu[uvvba]ba
bb
vvdduu
aa
定积分的分部积分公式
由不定积分的分部积分法 及N--L公式.
类似于不定积分的分部积分法：“反、对、幂、指、三”
（3）重要公式
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 三角函数的定积分公式 周期函数的定积分公式
方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积取负号.
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
2.定积分的性质
性质1
b
a [
f
(
x)
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
性质2
b
a kf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
( k 为常数)
性质3 （区间可加性）
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
区间上的定积分都相等.
例1 设
f
(
x)
2 5
x
0
x
1
,
求
1 x2
2
0
f
( x)dx.
解
2
0
f
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
1
2xdx
2
5dx
6.
0
1
例2 求
专升本高数讲义课件PPT第七讲和第八讲：分部积分法,有理函数积分法和定积分的概念与微积分基本定理
e x (sin x cos x) e x sin xdx 注意循环形式
e
x
sin
xdx
ex 2
(sin
x
cos
x)
C.
例7 求积分 x arctan x dx.
1 x2
解 1 x2 x , 1 x2
x
arctan 1 x2
x
dx
arctan
xd
1 x2
1 x2 arctan x 1 x2d(arctan x)
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
例4 求积分 x3 ln xdx.
解 u ln x, x3dx d x4 dv,
4
x3
ln
xdx
1 4
x
4
ln
x
1 4
x
3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂
2
d
(1 t 2 1 t2
)
3
1
1
t
2
dt
6ln t 3ln(1 t) 3 ln(1 t 2 ) 3arctan t C 2
x
3 ln(1
x
e6
)
3 ln(1
x
e3
)
x
3arctan(e 6
)
C.
2
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
(1) 多项式；
(2)
A (x a)n ;
2tan x
高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
《定积分进一步应》课件
《定积分进一步应用》 PPT课件
• 定积分的几何应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的数值计算方法
01
定积分的几何应用
平面图形的面积
矩形面积
01
定积分可用于计算矩形区域的面积，即对长度函数在区间上的
积分。
圆形面积
02
通过定积分计算圆的面积，利用圆的半径和面积之间的关系。
详细描述
万有引力定律是指任何两个物体之间都存在相互吸引的力，这个力的大小与两 个物体的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。在引力问题中，我们 可以通过定积分来计算两个物体之间的引力。
引力问题
公式
F = G∫dm1 dm2 / r^2
解释
F表示两个物体之间的引力，G表示万有引力常数，∫dm1和∫dm2分别表示两个 物体的质量积分，r表示它们之间的距离。
梯形法
将积分区间分成若干个小区间，每个 小区间上取一个梯形，然后求这些梯 形的面积之和。
辛普森法则
辛普森法则是定积分近似计算的一种 方法，它利用了梯形法的思想，将积 分区间分成若干个小区间，然后在每 个小区间上取一个梯形，最后将这些 梯形的面积之和作为定积分的近似值 。
VS
辛普森法则是基于梯形法的改进，它 通过选取不同的权重因子来提高近似 值的精度。
曲线的弧长
直线段长度
定积分可用于计算直线段的长度，即对一元函数在区间上的积分 。
圆弧长度
通过定积分计算圆弧的长度，利用圆的半径和弧长之间的关系。
复杂曲线弧长
对于不规则的曲线，可以通过分割成若干个简单曲线段，再分别计 算弧长后求和。
02
定积分的物理应用
变力沿直线运动所做的功
总结词：变力做功 公式：W = ∫F(x)dx
• 定积分的几何应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的数值计算方法
01
定积分的几何应用
平面图形的面积
矩形面积
01
定积分可用于计算矩形区域的面积，即对长度函数在区间上的
积分。
圆形面积
02
通过定积分计算圆的面积，利用圆的半径和面积之间的关系。
详细描述
万有引力定律是指任何两个物体之间都存在相互吸引的力，这个力的大小与两 个物体的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。在引力问题中，我们 可以通过定积分来计算两个物体之间的引力。
引力问题
公式
F = G∫dm1 dm2 / r^2
解释
F表示两个物体之间的引力，G表示万有引力常数，∫dm1和∫dm2分别表示两个 物体的质量积分，r表示它们之间的距离。
梯形法
将积分区间分成若干个小区间，每个 小区间上取一个梯形，然后求这些梯 形的面积之和。
辛普森法则
辛普森法则是定积分近似计算的一种 方法，它利用了梯形法的思想，将积 分区间分成若干个小区间，然后在每 个小区间上取一个梯形，最后将这些 梯形的面积之和作为定积分的近似值 。
VS
辛普森法则是基于梯形法的改进，它 通过选取不同的权重因子来提高近似 值的精度。
曲线的弧长
直线段长度
定积分可用于计算直线段的长度，即对一元函数在区间上的积分 。
圆弧长度
通过定积分计算圆弧的长度，利用圆的半径和弧长之间的关系。
复杂曲线弧长
对于不规则的曲线，可以通过分割成若干个简单曲线段，再分别计 算弧长后求和。
02
定积分的物理应用
变力沿直线运动所做的功
总结词：变力做功 公式：W = ∫F(x)dx
《定积分应用》PPT课件 (2)
S侧
b
2
a
f (x)
1 f 2( x)dx
返回 11
2.定积分在物理中的应用
(1) 变力沿直线做功
微功 dw F( x)dx
功 (2) 水压力
b
W a F ( x)dx
微压力 dp gxA( x)dx
压力
b
P gxA( x)dx
a
返回 12
二、典型例题
例1 已知
y
星
形
线
x y
2
返回 28
（2）所求图形的面积
S
1
(
y2
1
2
y)dy
( y 1)3 1 1
0
3
3
0
（3）所求旋转体体积
V 2
2
( x 1)dx
2
3
1
3 26
返回 29
4 （1）求面积
1
A 0 (2 x 2x)dx
(4
3
x2
1
x2)
1
3
3
0
（2）求体积
V
1
4xdx
1 (2 x )2dx
sin )2d
2
1 a2
4
返回 34
8.
S1
t(t3 x3 )dx
0
y
3 t4 4
y x3
S2
S2
1( x3 t3 )dx
t
S1
O
t1
x
3 t4 t3 1
4
4
S(t)
S1
S2
6 4
t4
t3
1 4
返回 35
令 S(t) 6t3 3t2 0
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直线 y 2 x 及 x 轴所围成．求：
（1） D 的面积；
（2） D 绕 x 轴旋转形成的旋转体的体积．
2011年河南专升本试题 5 2 .求 几 何 体 x 2 y 2 4 z 4 4 的 体 积 。
6.1.1 定积分应用的微元法
微元法分为两步： 第一步：选积分变量 x [a,b]，任取一个微小区间 [x, x dx]，然后写出这个小区间上的部分量 A的近似 值，记为 dA f (x)dx，称为 A的微元； 第二步：将微元dA f (xx
4
π
π
sin x cos x
4 0
+ cos x sin x
2 π
= 2(
2 1).
4
图6.1.5
例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 yx4所围图形
的面积 .
解: 由 y2 2x 得交点 yx4
(2,2 ),(8,4 )
y ydy
y
y2 2x
(8, 4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有
x b 所 围 图 形 （ 如 图 6.1.3 所 示 ） 的 面 积 的 微 元
b
dA [ f (x) g(x)]dx，则面积 A [ f (x) g(x)]dx. a （4）由左右两条曲线 x ( y)，x ( y)及 y c，y d 所围
图形（如图 6.1.4 所示）的面积的微元dA [( y) ( y)]dy,，则
第6讲 定积分的应用
考试点津： • 本讲出题在7、8分之间，一般考平面图形
的面积和旋转体体积，以计算题出现较多。 • 本讲重点：（1）定积分的几何意义的理解。
（2）图形的准确画出。 • 本讲难点：微元法中的元素和积分上下限
的确定。
2010 年河南专升本试题
51．平面图形 D 由曲线 y x2 ，
A 1
r2 ( )d .
2
图6.1.6
图6.1.7
例 4 求由曲线r 2cos 2 所围图形的面积.
解 作简图(如图 6.1.7 所示)，由于图形的对称性，
只需计算S1，再 8 倍即可,点 A的幅角为0，点 O的幅角为
π ，且 由 0变到 π 时，恰好画出弧 AO.所以
4
4
π
π
S
8S1
y
b sin
t
则
V2 a y2dx 2
2
ab2sin3tdt
( )所围成的图形称为曲边扇形（如图 8.1.6 所示）.
则求曲边扇形的面积，可取 为积分变量，其变化范围[ , ],
在微小区间[ , d ]上“以常代变”，即以小扇形的面积微
元dA作为其面积的近似值.于是
dA 1 r2 ( )d
2 将 dA 在 [ , ] 上 积 分 ， 得 出 所 求 的 扇 形 面 积 为
则面积 A f (x)dx. a
图6.1.1
（2）曲线 y f (x)（有正有负），x a，x b及 x轴所围图 形 （ 如 图 6.1.2 所 示 ） 的 面 积 的 微 元 dA f (x) dx , 则 面 积
b
A f (x) dx. a
图6.1.2
（3）由上下两条曲线 y f (x)，y g(x)( f (x)r g(x))，x a，
取 x为积分变量，积分区间为[a,b],
在[a,b]上取代表性小区间[x, x dx],
相应薄片的体积近似等于底面积为 A(x)、
高为 dx 的柱体体积，
即体积微元dV A xdx,从而，
b
所求立体的体积 V A(x)dx. a
图6.1.8
特别 , 当考虑连续曲线段 y f(x )(a x b )绕 x 轴
d
面积 A [( y) ( y)]dy . c
图6.1.3
图6.1.4
例 1. 求 y sin x ， y cos x ， x 0， x π 所围图形的面积.
2
解 作出简图（如图 6.1.5 所示），利用微元法求面积 A
π
π
A
4 0
(cos
x
sin
x)dx
2 π
(sin
x
cos
8
1 2
4
(2cos 2 )2d 4
0
4
4cos2 2d
0
π
π
8
4
(1 cos 4 )d
0
8
1 sin 4
4
4 0
2π.
6.3 用定积分求平行截面面积为已知的立体的体积
设有一物体（如图 6.1.8 所示），它被垂直于 x轴的平
面所截，截面面积 A(x)为 x的已知的连续函数，这种物体的
体积也可以用定积分来计算.
Ad A 4 2 (y41 2y2)dy
o yx4 x
(2,2)
1 2
y2
4y
16
y3
4218
例3.
求椭圆
x2 a2
y2 b2
1
所围图形的面积 .
解: 利用对称性 , 有 dAydx
y b
a
A 40 ydx
利用椭圆的参数方程
oxxdxa x
xy a bc siottns(0t2)
应用定积分换元法得
轴旋转一周围成的立体体积时,
V b[f (x)]2d x a
当考虑连续曲线段
有
y
yf(x)
o ax b x
x (y )(c y d )
y
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
V d [(y)]2d y c
d
y x(y) c ox
例13.
计算由椭圆
x2 a2
y2 b2
1
所围图形绕
x
轴旋转而
转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程
y b
yba2x2 ( axa) a
o x ax
则
V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2ba22
a(a2x2)dx
0
2ba22a2x13x30a
4 ab2
3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
方法2 利用椭圆参数方程
x a cost
A 4
0
bsint (asit)ndt4ab
2sin2tdt
0
2
4ab
1 2
2
ab
当 a = b 时得圆面积公式
2.极坐标系下的面积计算
当一个图形的边界曲线用极坐标方程r r( )来表示时，
用极坐标计算面积比在直角坐标系下求面积方便.
求“曲边扇形”的面积：曲线r r( )及两条射线 ，
b
加），即得 A= f (x)dx . a 上述解决问题的方法称为微元法.
6.1.2 用定积分求平面图形的面积
1.直角坐标系下的面积计算 （1）曲线 y f (x)( f (x) 0)， x a ， x b及 x 轴 所围图形（如图 6.1.1 所示）的面积的微元dA f (x)dx，
b
（1） D 的面积；
（2） D 绕 x 轴旋转形成的旋转体的体积．
2011年河南专升本试题 5 2 .求 几 何 体 x 2 y 2 4 z 4 4 的 体 积 。
6.1.1 定积分应用的微元法
微元法分为两步： 第一步：选积分变量 x [a,b]，任取一个微小区间 [x, x dx]，然后写出这个小区间上的部分量 A的近似 值，记为 dA f (x)dx，称为 A的微元； 第二步：将微元dA f (xx
4
π
π
sin x cos x
4 0
+ cos x sin x
2 π
= 2(
2 1).
4
图6.1.5
例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 yx4所围图形
的面积 .
解: 由 y2 2x 得交点 yx4
(2,2 ),(8,4 )
y ydy
y
y2 2x
(8, 4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有
x b 所 围 图 形 （ 如 图 6.1.3 所 示 ） 的 面 积 的 微 元
b
dA [ f (x) g(x)]dx，则面积 A [ f (x) g(x)]dx. a （4）由左右两条曲线 x ( y)，x ( y)及 y c，y d 所围
图形（如图 6.1.4 所示）的面积的微元dA [( y) ( y)]dy,，则
第6讲 定积分的应用
考试点津： • 本讲出题在7、8分之间，一般考平面图形
的面积和旋转体体积，以计算题出现较多。 • 本讲重点：（1）定积分的几何意义的理解。
（2）图形的准确画出。 • 本讲难点：微元法中的元素和积分上下限
的确定。
2010 年河南专升本试题
51．平面图形 D 由曲线 y x2 ，
A 1
r2 ( )d .
2
图6.1.6
图6.1.7
例 4 求由曲线r 2cos 2 所围图形的面积.
解 作简图(如图 6.1.7 所示)，由于图形的对称性，
只需计算S1，再 8 倍即可,点 A的幅角为0，点 O的幅角为
π ，且 由 0变到 π 时，恰好画出弧 AO.所以
4
4
π
π
S
8S1
y
b sin
t
则
V2 a y2dx 2
2
ab2sin3tdt
( )所围成的图形称为曲边扇形（如图 8.1.6 所示）.
则求曲边扇形的面积，可取 为积分变量，其变化范围[ , ],
在微小区间[ , d ]上“以常代变”，即以小扇形的面积微
元dA作为其面积的近似值.于是
dA 1 r2 ( )d
2 将 dA 在 [ , ] 上 积 分 ， 得 出 所 求 的 扇 形 面 积 为
则面积 A f (x)dx. a
图6.1.1
（2）曲线 y f (x)（有正有负），x a，x b及 x轴所围图 形 （ 如 图 6.1.2 所 示 ） 的 面 积 的 微 元 dA f (x) dx , 则 面 积
b
A f (x) dx. a
图6.1.2
（3）由上下两条曲线 y f (x)，y g(x)( f (x)r g(x))，x a，
取 x为积分变量，积分区间为[a,b],
在[a,b]上取代表性小区间[x, x dx],
相应薄片的体积近似等于底面积为 A(x)、
高为 dx 的柱体体积，
即体积微元dV A xdx,从而，
b
所求立体的体积 V A(x)dx. a
图6.1.8
特别 , 当考虑连续曲线段 y f(x )(a x b )绕 x 轴
d
面积 A [( y) ( y)]dy . c
图6.1.3
图6.1.4
例 1. 求 y sin x ， y cos x ， x 0， x π 所围图形的面积.
2
解 作出简图（如图 6.1.5 所示），利用微元法求面积 A
π
π
A
4 0
(cos
x
sin
x)dx
2 π
(sin
x
cos
8
1 2
4
(2cos 2 )2d 4
0
4
4cos2 2d
0
π
π
8
4
(1 cos 4 )d
0
8
1 sin 4
4
4 0
2π.
6.3 用定积分求平行截面面积为已知的立体的体积
设有一物体（如图 6.1.8 所示），它被垂直于 x轴的平
面所截，截面面积 A(x)为 x的已知的连续函数，这种物体的
体积也可以用定积分来计算.
Ad A 4 2 (y41 2y2)dy
o yx4 x
(2,2)
1 2
y2
4y
16
y3
4218
例3.
求椭圆
x2 a2
y2 b2
1
所围图形的面积 .
解: 利用对称性 , 有 dAydx
y b
a
A 40 ydx
利用椭圆的参数方程
oxxdxa x
xy a bc siottns(0t2)
应用定积分换元法得
轴旋转一周围成的立体体积时,
V b[f (x)]2d x a
当考虑连续曲线段
有
y
yf(x)
o ax b x
x (y )(c y d )
y
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
V d [(y)]2d y c
d
y x(y) c ox
例13.
计算由椭圆
x2 a2
y2 b2
1
所围图形绕
x
轴旋转而
转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程
y b
yba2x2 ( axa) a
o x ax
则
V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2ba22
a(a2x2)dx
0
2ba22a2x13x30a
4 ab2
3
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方法2 利用椭圆参数方程
x a cost
A 4
0
bsint (asit)ndt4ab
2sin2tdt
0
2
4ab
1 2
2
ab
当 a = b 时得圆面积公式
2.极坐标系下的面积计算
当一个图形的边界曲线用极坐标方程r r( )来表示时，
用极坐标计算面积比在直角坐标系下求面积方便.
求“曲边扇形”的面积：曲线r r( )及两条射线 ，
b
加），即得 A= f (x)dx . a 上述解决问题的方法称为微元法.
6.1.2 用定积分求平面图形的面积
1.直角坐标系下的面积计算 （1）曲线 y f (x)( f (x) 0)， x a ， x b及 x 轴 所围图形（如图 6.1.1 所示）的面积的微元dA f (x)dx，
b