第一章 函数习题

第一章 函数

一、本章提要 基本概念

函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数，数学模型 二、要点解析

问题1 判定两个函数是否相同的依据是什么？

解析 判定两个函数是否相同，要依据函数的两个要素：定义域和对应规律． 例1 下列各题中，f (x )与g (x )是否表示同一函数？为什么？ ⑴f (x )=∣x ∣,g (x )=2x ，

⑵f (x )= x ,g (x )=sin(x arcsin )．

解 （1）f (x )和g (x )是同一函数.因为，尽管二者的形式不一样，但定义域和对应法则都相同．

（2）f (x )和g (x )不是同一函数．因为，f (x )的定义域是(+∞∞-,),而g (x )的定义域是[-1,1].

问题2 分段函数是不是初等函数？

解析 分段函数一般不是初等函数，不同区间上其解析式不相同，即它不能用一个解析式来表示，所以说它不是初等函数．但是，也有特殊的分段函数，如 ⎩

⎨

⎧-=,,)(x x x f ,0,

0<≥x x 它与g (x )=2x 是相同的函数，故f (x )可以用一个解析式表示，所以f (x )可以称为

初等函数．

三、例题精解

例２ 设)(x f y =, x ∈[0,4],求)(2

x f 和)5()5(-++x f x f 的定义域． 解 因为)(x f y =的定义域为[0,4]，对于)(2

x f 应有0≤x 2

≤4,即有-2≤x ≤2，所

以，)(2

x f 定义域为[-2，2]．

对于)5()5(-++x f x f 应有⎩⎨⎧≤-≤≤+≤,450,450x x 即⎩

⎨⎧≤≤≤≤-．95,

15x x

此不等式组无解，所以)5()5(-++x f x f 的定义域为空集． 例3 判断下列函数的奇偶性：

⑴x x x f sin )(=; ⑵x x x f cos sin )(-=; ⑶)1ln()(2++

=x x x f .

解 （1）)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=-，所以x x x f sin )(=是偶函数． （2）x x x x x f cos sin )cos()sin()(--=---=-，所以x x x f cos sin )(-=既不是奇函数也不是偶函数． （3）)(x f -=+

-x ln(1)(2+-x ）=x -ln(+12+x )

=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡++++-+11)1(ln 2

22

x x x x x x

=ln

1

12

++x x =)(x f -，

所以ln )(=x f (x+12+x )是奇函数．

例4 下列函数是由哪些简单函数复合而成的？

⑴x y 2

tan 3=； ⑵y =2

)21(3x +.

解 ⑴y =u

3,2v u =,x v tan =.

⑵ 3

2u y =, x u 21+=.

例5 （抵押贷款模型） 设二室一厅商品房价值100000元，王某自筹了40000元，要购房还需要借贷60000元，借款月利率为1%，条件是每年还一部分，25年还清，假如还不起，房子就归债权人，王某具有什么能力才能借贷呢？ 解 模型假设．

起始借款60000元，借款月利率r =0.01，借期n （月）=25（年）×12（月）=300（月），每月还x 元，n y 表示第n 月仍欠借主的钱． 模型建立．

0y =60000， 1y =0y (1+r )x -,

2y []1)1()1()1(201++-+=-+=r x r y x r y ，

[]

1)1()1()1()1(23023++++-+=-+=r r x r y x r y y ， ……

[]

1)1()1()1()1(210+++⋅⋅⋅++++-+=--r r r x r y y n n n n

[]

r

r x r y n n

1

)1()1(0-+-+=，

当贷款还清时,n y =0,可得

1

)1()1(0-++=n n

r r r y x ，

把n =300,r =0.01, 0y =60000代入得 x ≈631.93 ， 即只要王某每月能拿出632元，就可以借贷. 四、练习题

1.判断正误（说明判断理由）

⑴ 函数x y sin =在π],0[上单调增加． （ × ） 解析 函数x y sin =在π],0[上的图像为

所以函数x y sin =在]2π,0[上单调增加，在π],2

π[上单调减少．

π

y

x

O

π

⑵ 2x y =，()∞+∈,0x 是偶函数． （ × ） 解析 判断函数的奇偶性，必须要求函数的定义区间关于原点对称，而()∞+∈,0x 不是关于原点对称的区间，所以该函数不是偶函数．

⑶ 1

12--=x x y 与1+=x y 是不相同的函数． （ √ ）

解析 两个函数是否相同，取决于其定义域和对应法则是否相同．函数11

2--=x x y 的定义

域为()()∞+∞-,11, ，而1+=x y 的定义域是全体实数，所以1

1

2--=x x y 与1+=x y 不

是相同的函数． ⑷u y -=

与2

1

x u =

不能复合成复合函数． （ √ ） 解析 两个函数能否复合成一个复合函数，取决于外层函数的定义域与内层函数的值域是否有公共部分．函数u y -=的定义域为(]0,∞-，函数2

1

x u =的值域为()∞+,0，二者交集为空集，所以u y -=与2

1

x u =

不能复合成复合函数． 2.选择题

⑴ 函数x y sin 1+=是（ D ）．

（A ） 奇函数； （B ） 偶函数； （C ） 单调增加函数； （D ） 有界函数． 解析 因为1sin 1≤≤-x ，即2sin 10≤+≤x , 所以函数x y sin 1+=为有界函数． ⑵ 下列函数中不是复合函数的是（ A ）．

（A ）x

y )3

1

(=； （B ）2

1e x y +=； （C ）x y -=1ln ； （D ）)12sin(+=x y ． 解析 （A ）x

y )3

1(=是基本初等函数中的指数函数，不是复合函数；（B ）、（C ）、（D ）都是复合函数．

⑶ 下列是初等函数的是（ C ）． （A ）x =1，x 是自变量； （B ）⎩⎨

⎧=,,2

x x y ;

0,

0>