2.3(2)教师版
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§2.3 等差数列的前n 项和(二)
【学习目标】
1．熟练掌握等差数列前n 项和的性质，并能灵活运用． 2．掌握等差数列前n 项和的最值问题． 3．理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .
1．前n 项和S n 与a n 之间的关系
对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎨⎧
(n ＝1)， (n ≥2). S 1 S n －S n －1
2．等差数列前n 项和公式
S n ＝ ＝ . n (a 1＋a n )2
na 1＋n (n －1)
2d
3．若等差数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝An 2＋Bn ＋C ，则A ＝
___，B ＝ ，C ＝ .
d 2 a 1－d 2 0
4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________．
23或24
[问题情境]
1．如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？
2．如果一个数列的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？
3．如果{a n }是一个等差数列，那么{|a n |}还是等差数列吗？如果不再是等差数列，如何求{|a n |}的前n 项和？
这一节课我们就来解答上面的问题．
探究 如果数列{a n }的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，求通项公式a n ，并判断这个数列一定是等差数列吗？ 答案 当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋b ＋c ；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(an 2＋bn ＋c )－[a (n －1)2＋b (n －1)＋c ]＝2an －a ＋b . ∴a n ＝⎩⎨⎧
a ＋
b ＋
c (n ＝1)2an －a ＋b (n ≥2)
.
只有当c ＝0时，a 1＝a ＋b ＋c 才满足a n ＝2an －a ＋b ，数列{a n }才是等差数列．
探究点二 等差数列前n 项和的最值
问题 由于S n ＝na 1＋
n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d
2
)n ，当d ＝0时，S n ＝na 1；当d ≠0
时，此解析式可以看作二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 的二次函数，其图象为抛物线y ＝d 2x 2＋(a 1－d 2
)x 上的点集，坐标为(n ，S n )(n ∈N *)．
因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当d ＞0时，S n 有最 值；
当d ＜0时，S n 有最 值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．
d 2 a 1－d 2 0 小 大 探究 按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前n 项
1 2 n2 1
-52n2－6n-9 3
4-2 －n2＋5n 6 2或3
-1 -1 －1
2n
2－
1
2n -1 1
通过上面的例子，我们看到等差数列前n项和的最值在项的符号分界点处取到，
据此完善下列结论：
(1)若a1＞0，d＜0，则数列的前面若干项为项(或0)，所以将这些项相加即得{S n}的最值．
(2)若a1＜0，d＞0，则数列的前面若干项为项(或0)，所以将这些项相加即得{S n}的最值；
特别地，若a1＞0，d＞0，则S1是{S n}的最值;若a1＜0，d＜0，则S1是{S n}的
最值．
正大
负小
小大
【典型例题】
例1已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2－3n，求通项公式a n.
解当n＝1时，a1＝S1＝－1，
当n≥2时，a n＝S n－S n
－1
＝4n－5.
又∵a 1＝－1适合a n ＝4n －5，∴a n ＝4n －5 (n ∈N *)．
小结 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示． 跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ，求a n . 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；
n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1. ∴a n ＝⎩⎨⎧
3 (n ＝1)2·
3n －1 (n ≥2)
例2 在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值．