唐常杰翻译的计算理论导引24

第10章复杂性理论高级专题（学生讨论ＰPT素材）作为教学科研的基本训练的一个重要环节，学生应该能根据教材，作出有自己特色的PPT 发言稿. 这里提供一些素材，试图减小学生的工作难度。

PPT不能仅仅是剪报。

一份好的讨论班PPT 应该有同学的理解和创新.(素材节选自教材但不能代替教材)从素材作PPT一般需要用读--减---加三个过程。

（a）先充分阅读理解教材，（b）从此素材中删去次要语句，（c）增加自己的心得，理解方法，解释和图形。

PPT应该突出思路，突出要点, 适当的比喻可以帮助理解。

10. 1 近似算法例如，我们考虑7.5节所讨论的顶点覆盖问题。

顶点覆盖问题被描述为一个表示判定问题（decision problem）的语言VERTEX-COVER。

判定问题只有两个答案，是或非。

该问题的最优化形式记作MIN-VERTEX-COVER。

任意给定一个图，其目标是在所有可能的顶点覆盖中找到一个最小的顶点覆盖。

下述多项式时间算法近似地解这个最优化问题。

它给出一个顶点覆盖，其规模不超过最小顶点覆盖的2倍。

A=“对于输入<G>，这里G是一个无向图：1）重复下述操作直至G中所有的边都与有标记的边相邻。

2）在G中找一条不与任何有标记的边相邻的边。

3）给这条边做标记。

4）输出所有有标记的边的顶点。

”定理10. 1上述的算法A是一个多项式时间算法，它给出G的一个顶点覆盖，其规模不超过G的最小顶点覆盖的2倍。

证明A的运行时间显然是多项式时间的。

设X是它输出的顶点集合，H是有标记的边的集合，因为G的每一条边要么属于H，要么与H中的一条边相邻，所以X与G中所有的边关联。

因此，X是一个顶点覆盖。

为了证明X的规模不超过最小顶点覆盖Y的2倍，我们要确认两个事实：X中顶点的数目大小是H的2倍和H不大于Y。

首先，H中的每一条边为X提供2个顶点，从而X中顶点的数目大小是H的2倍。

其次，Y是一个顶点覆盖，从而H中每一条边与Y中的某个顶点关联。

由于H中的边互不相邻，故Y中的顶点不可能同时关联H中的两条边。

由于Y中有不同的顶点关联H中的每一条边，所以顶点覆盖Y不小于H。

因此，X中顶点的数目大小不超过Y的2倍。

MIN-VERTEX-COVER 是一个最小化问题（minimization problem），因为我们的目标是求可行解中最小的解。

在最大化问题（maximization problem）中，我们试图求最大的解。

如果一个最小化问题的近似算法总能找到不超过最优k倍的可行解，则称这个算法是k-优（k-optimal）的。

前面关于顶点覆盖问题的算法是2优的。

对于最大化问题，一个k-优近似算法总能找到不小于最优解大小的1k的可行解。

下面是最大化问题MAX-CUT的近似算法。

把顶点集V划分成两个互不相交的子集S和T，称为无向图中的割（cut）。

一个顶点在S中另一个顶点在T中的边对称作割边（cut edge）。

如果一条边不是割边，则称作非割边（uncut edge）。

割边的数目称作割的大小。

MAX-CUT 求输入图G中的最大割。

正如在问题7.25中的所说明的，该问题是NP完全问题。

下述算法近似MAX-CUT到因子2的范围内。

B=“对于输入〈G〉，这里G是顶点集为V的无向图：1）令Φ=S和VT=。

2）如果把一个顶点从S移到T或从T移到S，使割的大小变大，则做这样的移动，并且重复这一步。

3）如果不存在这样的顶点，则输出当前的割并且停止。

”该算法从一个（假定是）坏的割开始，然后做局部改进，直到不能进一步做局部改进为止。

虽然这个过程一般不能给出最大的割，但是可以证明它给出的割的大小至少是最大割大小的一半。

定理10. 2 上述的算法B是MAX-CUT的2-优的多项式时间近似算法。

证明由于每次执行步骤2增加割的大小，而割的大小不超过G的边数，故B在多项式时间内运行。

现在证明B输出的割不小于最大割的一半。

实际上，要证明更强的结论：B输出的割至少包含G中所有边的一半。

观察到，在G的每一个顶点，割边不少于非割边，否则B要把该顶点移到另一边。

把所有顶点的割边数加在一起，这个和是割边总数的2倍，因为每一条割边对它的两个端点各计算一次。

根据前面的观察，这个和不小于所有顶点非割边数之和。

于是，G中的割边不少于非割边，从而B输出的割中至少包含所有边的一半。

10. 2 概率算法概率算法以随机过程为工具。

典型算法包含一条“掷硬币”的指令，并且掷硬币的结果可能影响算法后面的执行和输出。

对某些类型的问题，相对于确定型算法，用概率算法更容易解决。

10.2.1 BPP类为了更为形式化地讨论概率计算问题，这里首先定义一个新的计算模型—概率图灵机。

然后本节介绍一个与高效的概率计算相关的复杂性类并给出几个例子。

定义10. 3 概率图灵机（probabilistic Turing Machine）M是一种非确定型图灵机，它的每一非确定性步，称做掷硬币步（coin-flip step），并且有两个合法的下次动作。

按照下述方式把概率赋给M对输入ω的每一个计算分支b。

定义分支b的概率为[]k2bPr-=，其中，k 是在分支b 中出现的掷硬币步的步数，定义M 接受ω的概率为[][]是接受分支接受b b Pr M Pr =ω换言之，如果模拟M 对ω的计算，在每一掷硬币步，用掷硬币决定下一步的动作，则M 接受ω的概率等于它到达接受格局的概率。

令[][]ωω接受－＝拒绝M M P Pr 1r通常，当图灵机接受属于某一语言的所有字符串并且拒绝不在这个语言中的所有字符串时，我们说图灵机识别该语言。

但是如果我们允许机器有小的错误概率，如，对于某个正数ε，210≤≤ε，如果 1）A ∈ω蕴涵[]εω-≥1P r 接受M ，并且2）A ∉ω蕴涵[]εω-≥1P r 拒绝M则称M 以错误概率ε识别语言A （M recognizes language A with error probability ε）。

换句话说，模拟M 得到错误答案的概率至多为ε。

我们接下来考虑错误概率的边界。

错误概率的边界依赖于输入串的长度n 。

例如，错误概率πε-=2表示指数地小的错误概率。

我们感兴趣的是在时间和（或）空间上运行高效的概率算法。

度量概率图灵机的时间和空间复杂度的方法与度量非确定型图灵机是一样的，使用对每一个输入的最坏情况下的计算分支。

定义10. 4 BPP 是多项式时间的概率图灵机以错误概率31识别的语言类。

我们以错误概率31定义BPP 。

但是根据下述加强引理（amplification lemma ），任何严格地在0和21之间的常数错误概率都给出等价的定义。

这个引理提供一种简单的方法使错误概率指数地小。

注意：错误概率为1002-的概率算法，由于运行它的计算机的硬件失灵给出错误结果的可能性远大于由于掷硬币不走运给出错误结果的可能性。

引理10. 5 设ε是一给定的常数，且210<<ε。

又设M 1是一台错误概率为ε的多项式时间概率图灵机，则对于任意给定的多项式)(n poly ，存在与M 1等价的错误概率为()n poly 2-的多项式时间概率图灵机2M 。

证明思路 2M 用如下方式模拟1M ：运行1M 多项式，并且取这些运行结果中的多数作为计算结果。

错误概率随1M 的运行次数指数地下降。

考虑31=ε时的情况。

这对应于一只装有许多红球和蓝球的盒子。

已知32的球是一种颜色，其余31的球是另一种颜色。

但是不知道哪一种颜色的球多。

随机地抽取若干个球（例如，100个），看哪一个颜色的频率高，以此能够检验哪一种颜色多。

几乎可以肯定，盒中数量多的颜色在样本中的频率高。

这些球对应M 1的计算分支：红色对应接受分支，蓝色对应拒绝分支。

M 2借助运行M 1对颜色取样。

计算表明，如果M 2运行M 1多项式次，并且输出出现频率高的结果，则M 2 犯错误的概率指数地小。

证明 给定TM 1M 和多项式)(n poly ，1M 以错误概率21<ε识别一个语言，要构造下述TM 2M ，它以错误概率()n poly 2-识别同一语言。

ω”对输入=2M 1）计算k 的值（请注意下边的分析）。

2）对输入ω进行k 2次独立的1M 模拟运行。

3）如果1M 接受ω的次数多，则接受；否则拒绝。

”我们设法限定12M 在输入ω上运行错误的概率。

阶段2产生一个由模拟1M 得到的k 2个结果的序列，每个结果要么正确要么错误。

如果这些结果大多数都正确，2M 给出正确的回答。

我们限定为至少一半的结果都是错误的。

假定S 表示阶段2中2M 得到的结果序列。

令S p 表示2M 得到S 的概率。

假定S 中有c 个正确的结果，ω个错误的结果，我们有k 2c =+ω。

如果ω≤c 并且2M 得到S ，那么2M 输出不正确。

我们把这样的序列S 称为一个坏的序列。

如果S 是一个坏的序列，那么()c S 1p εεω-≤。

因为ω≤k ，εε-<1，所以S p 至多是()k k 1εε-。

对所有S 为坏序列的情况S p 求和即得到2M 输出不正确的概率。

坏序列至多有k 22个，这是显而易见的，因为所有不同序列的总数为k 22。

因此，我们得到如下等式：[]()()()k S bad k k 2S 2141k 2p M Pr εεεεω-=-⋅≤=∑上输出不正确在输入 我们假定21<ε，我们有()114<-εε，因此上述概率将随k 的增加指数的减少，2M 的错误概率也将随k 的增加指数的减少。

为得到一个特定的k 值使得我们很好的将M2的概率限定在小于2-t ，我们令()()εεα--=14log 2，并选择α/t k ≥。

于是，我们得到多项式时间内的错误概率()n poly 2-。

1 错误概率的分析来自Chernoff 边界，这是概率论中的一个公认的标准结果。

这里我们给出一个替代的，自包含的计算，它避免了对该结果的依赖。

10.2.2 素数性（PRIMALITY ）素数（prime number ）是大于1并且不能被1和自身以外的任何正整数除尽的整数。

大于1的非素数叫做合数（composite ）。

判断一个整数是素数还是合数是一个非常古老的问题，有很多相关的研究。

现在已经有了解决该问题的多项式时间算法[4]。

但是，由于种种原因，可能不适合在这里讲述过多关于该工作的实现细节。

在本节中，我们描述一个简单得多的检验一个数是素数还是合数的多项式时间概率算法。

判定一个数是否是素数的一种最直接的方法是检查所有小于这个数的整数，看是否有能整除这个数的数，即因子（factors ）。

由于数的大小是随它的长度呈指数增长的，故这个算法具有指数时间复杂度。

我们要描述的测试素数性的概率算法的运行方式完全不同。

它不搜索因子。

实际上，还没有找到求因子的多项式时间概率算法。