江苏专用版高考数学专题复习专题9平面解析几何第61练椭圆的定义与标准方程练习理

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第一讲椭圆的定义及其练习题(精)

中心在坐标原点的椭圆的标准方程和几何意义知识清单1.椭圆的定义:(1)把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于定长(大于F仆2)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

符号表示: |PF 1|+| PF 2|=2a (2a >|F 1F 2|(2平面内，到定点F(c,0的距离与到直线I : x =的动点的轨迹叫做椭圆。

2.椭圆的简单几何性质:焦点在x轴上标准方程的距离之比是常数(a >c >0 a焦点在y轴上x 2y 2+2=12a b x 2y 2+2=12ba图形,焦点坐标对称性顶点坐标范围长轴短轴离心率准线方程F 1(-c , 0, F 2(c , 0 F 1(0, -c , F 2(0, c关于X、y轴成轴对称，关于原点成中心对称椭圆点的焦距与长轴长的比e=X 2y 23.点P(X 0, y 0和椭圆2+2=1的关系:(1 P(X 0, y 0在椭圆内(2 P (X 0, y 在椭圆上？(3 P (X 0, y 0在椭圆外二、例题讲解例1.求下列椭圆的离心率:(1)已知一椭圆的短轴长与它的焦距相等，求椭圆的离心率;(2)已知一方程为标准方程的椭圆上存在一个横坐标等于焦点横坐标，纵坐标等于短半轴长的求该椭圆的离心率。

的点,x 2y 21跟踪训练1：椭圆+=1离心率为，则k =k +892例2.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,求该椭圆的离心率三课堂练习x 2y 2x 2y 21.椭圆+=1与+=1( 0<k<9的关系为(2599-k 25-kA.有相等的长、短轴2.短轴长为5,离心率e=的周长为(A.3B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相同的顶点的椭圆的两焦点为F 1、F 2,过F 1作直线交椭圆于A、B两点,则^ABF 23B.6C.12D.24x 2y 23.椭圆+=1的焦点为F 1和F 2,点P在椭圆上,如果线段PF 1的中点在y轴上,那么|P F1|123是|PF2的（A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍4.已知以椭圆短轴的一个端点和两个焦点为顶点的三角形为正三角形，并且焦点到椭圆的最短距离为3,求椭圆的标准方程.x 2y 25.在椭圆+=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍259四、高考题试做x 2y 21.（2008年江苏，12）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆2+2=1（a >b >0的焦距为2c ,以定点0为圆心，a为半径做圆M。

2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第九章平面解析几何 9.3 含答案精品

圆的定义与方程【知识拓展】1.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程.2.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ )(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆.( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1.(教材改编)圆心是(－2,3)，且经过原点的圆的标准方程为______________. 答案 (x ＋2)2＋(y －3)2＝13 解析易得r ＝13.2.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________. 答案 6解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且AB ＝2m . 因为∠APB ＝90°，连结OP ，易知OP ＝12AB ＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离. 因为OC ＝32＋42＝5，所以(OP )max ＝OC ＋r ＝6，即m 的最大值为6.3.(2016·扬州检测)当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以点C 为圆心，5为半径的圆的方程为______________. 答案 x 2＋y 2＋2x －4y ＝0解析将方程分离参数a 可得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0，方程表示过两直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，x ＋y －1＝0得交点为(－1，2)，故圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.4.(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为_______. 答案 x 2＋y 2－4x －6＝0 解析设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴CA ＝CB ，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9，解得a ＝2， ∴圆心为C (2,0)，半径CA ＝(2＋1)2＋1＝10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10，即x 2＋y 2－4x －6＝0.5.(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________. 答案 (－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.题型一求圆的方程例1 (1)(2016·天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________.(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.答案 (1)x 2＋y 2－4x －5＝0 (2)⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝CM ＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9，即x 2＋y 2－4x －5＝0.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为 y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝⎛⎭⎫32，0，半径为52. 所以圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254.思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程. (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值.(2016·苏北四市联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________. 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋(－b )2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎨⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43.题型二与圆有关的最值问题例2 (2016·盐城检测)已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值. 解设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 的纵截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1.在例2的条件下，求yx的最大值和最小值.解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233. 2.在例2的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值. 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u ＝y －b x －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题.(2016·扬州模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值.解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆.设yx ＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值. 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3.(2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，截距b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上的点与原点的距离的平方，故连结OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则 (x 2＋y 2)max ＝(OC ′)2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝OB 2＝(2－3)2＝7－4 3. 题型三与圆有关的轨迹问题例3 (2016·盐城模拟)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点.(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程. 解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y ). 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中， PN ＝BN .设O 为坐标原点，连结ON ，则ON ⊥PQ ，所以OP 2＝ON 2＋PN 2＝ON 2＋BN 2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法 (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程. (3)几何法，利用圆的几何性质列方程.(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.(2016·天津模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹.解如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况).21.利用几何性质巧设方程求半径典例在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程.思想方法指导本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法.(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式.(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题. 规范解答解一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，(3＋22)2＋D (3＋22)＋F ＝0，(3－22)2＋D (3－22)＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0).故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.1.(2017·南京检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是______. 答案 x 2＋y 2－10y ＝0解析根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，所以圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2.已知圆M 的圆心M 在y 轴上，半径为1，直线l ：y ＝2x ＋2被圆M 所截得的弦长为455，且圆心M 在直线l 的下方，则圆M 的标准方程是__________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1 解析点M 到l 的距离d ＝ 1－(255)2＝55.设M (0，a )，所以|2－a |5＝55，所以a ＝1或a ＝3.又因为a <2×0＋2＝2，所以a ＝1. 所以圆M 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.3.若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为________. 答案 3＋2 2解析由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ×2ab＝3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立.∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2. 4.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________. 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5.圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的标准方程为______________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)，半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1.6.(2016·淮安模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值是__________. 答案3解析圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，则C (1,1)，当PC 最小时，四边形P ACB 的面积最小， (PC )min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时P A ＝PB ＝ 3.所以四边形P ACB 的面积S ＝2×12×3×1＝ 3.7.(2016·常州模拟)已知圆C 过点(－1,0)，且圆心在x 轴的负半轴上，直线l ：y ＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 平行的直线方程为________________. 答案 x －y ＋3＝0解析设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a <0)，因为圆C 过点(－1,0)，且直线l ：y ＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－1－a )2＝r 2，(|a ＋1|2)2＋(2)2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，r 2＝4，即圆心坐标为(－3,0)，则所求直线为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0.8.过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________. 答案 x ＋y －2＝0解析当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件.圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9.已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0， x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________. 答案 π2解析作出可行域D 及圆x2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求. 易知图中两直线的斜率分别为12，－13，即tan α＝12，tan β＝－13，tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1，得θ＝π4，故弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径).10.在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________. 答案7＋1解析设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1，知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x－1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值.∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为d ＝(3－1)2＋(0＋3)2＝7，故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1.11.已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程.解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1，所以b ＝a －1.① 由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝(23)2＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，② 由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意.故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)，A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2).由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③ 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，(x －1)2＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程. 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴圆心P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.*13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3).(1)求MQ 的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值. 解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2.又QC ＝(2＋2)2＋(7－3)2＝4 2.所以(MQ )max ＝42＋22＝62，(MQ )min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。

2025年高考数学一轮复习-9.5.1-椭圆的定义及标准方程【课件】

考法答题的第一问中.
预计2025年高考求椭圆的标准方程、直线与椭圆的交汇问题仍会
预测出题,一般以解答题出现,求椭圆的离心率,考查比较灵活,一般以选择
题、填空题的形式出现.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.椭圆的定义
常数
把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于______(大于|F
1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
(3)
源自教材第113页例6.此题给出椭圆的另一种定义方式
[例1](1)如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在
2 2
+y =1
圆上运动时,则线段PD的中点M的轨迹方程为______________.
4
【解析】(1)设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),
(6)焦点三角形的周长为2(a+c).
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
题号
1
2
4
3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.
(
×
)
提示:(1)因为2a=|F1F2|=8,动点的轨迹是线段F1F2,不是椭圆;
(2)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.
(
×
)
提示:(2)由于2a<|F1F2|,动点不存在,因此轨迹不存在;
(3)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的

2021版江苏高考数学复习讲义：椭圆及其性质含答案

(3,4)∪(4,5)[由已知得⎩⎨⎧5－k ＞0，k －3＞0，5－k≠k－3.解得3＜k ＜5且k ≠4.]4．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)、离心率为12、则椭圆的标准方程为．x24＋y23＝1 [设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)．因为椭圆的一个焦点为F (1,0)、离心率e ＝12、所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，a2＝b2＋c2，解得⎩⎨⎧a ＝2c ＝2，b2＝3，故椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.]第1课时椭圆及其性质考点1 椭圆的定义及应用已知F 1、F 2是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点、P 为椭圆C 上的一点、且PF 1⊥PF 2、若△PF 1F 2的面积为9、则b ＝ .3 [设|PF 1|＝r 1、|PF 2|＝r 2、则⎩⎨⎧r1＋r2＝2a ，r21＋r22＝4c2，所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 2)＝4a 2－4c 2＝4b 2、所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9、所以b ＝3.]考点2 椭圆的标准方程定义法又∵|AF 1|＝3|F 1B |、∴由AF1→＝3F1B →得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 3，－b23、代入x 2＋y2b2＝1 得25c29＋b49b2＝1. 又c 2＝1－b 2、 ∴b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.](1)已知椭圆上两点、常设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0、n ＞0、m ≠n )；(2)椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为2b2a .考点3 椭圆的几何性质。

椭圆的定义、标准方程与应用(例题详解)

椭圆的定义、标准方程与应用（例题详解）一、定义类：1、椭圆定义：椭圆是一种中心对称的图形，即椭圆的中心点与形状对称，可以通过对称轴对椭圆进行对称变换。

具体而言，当你沿着对称轴将椭圆的一段变换至另一段时，整个椭圆的线段形式都不变。

椭圆也有自己的焦点，它是椭圆的特征，椭圆上每个点到它的焦点之间的距离总是一定的。

如果一个图形有以上特征，那么它就可以称为椭圆。

2、已知点A（ -2，0），B（2，0），动点P满足|PA| + |PB| = 4，求点P的轨迹。

3、已知点A（ -2，0），B（2，0），动点P满足|PA| - |PB| = 2，求点P的轨迹。

二、椭圆的标准方程：1、椭圆的标准方程是一种二次曲线函数，是用来表达椭圆的函数。

2、椭圆的标准方程有两种形式，一种是椭圆的极坐标方程，一种是椭圆的笛卡尔坐标方程。

3、椭圆的极坐标方程为：①、$$r=frac{acdot b}{sqrt{a^2cdot sin^2theta + b^2cdot cos^2theta}}$$。

②、a和b分别是椭圆的长轴和短轴，$theta$是弧度。

4、椭圆的笛卡尔坐标方程为：$$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$；其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，$(x,y)$是椭圆上一点的坐标。

三、椭圆的面积和周长：1、椭圆的面积可以使用一下公式来计算：$$S = picdot a cdot b$$；其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，S是椭圆的面积。

2、椭圆的周长也可以使用一下公式来计算：$$L = picdot sqrt{2a^2+2b^2}$$；其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，L是椭圆的周长。

四、标准形式类：1、已知椭圆的方程为 + = 1（a > b > 0），过点P（2，1）且与该椭圆有一个交点的直线方程为：y-1=k(x-2)，求k的取值范围。

2、已知椭圆的方程为 + = 1（a > b > 0），过点P（0，2）且与该椭圆有一个交点的直线方程为：y=x+2，求k的取值范围。

椭圆的定义和标准方程的基本练习(包括答案).doc

椭圆的定义和标准方程的基本练习(包括答案)椭圆和标准方程1的定义。

选择题(共19题)1。

如果F1 (3，0)，F2 ({3，0)，从点p到F1，F2的距离之和是10，那么点p的轨迹方程是()a.b.c.d .或2。

移动圆内接圆x2 y2 6x 5=0，圆x2y2-6x-91=0。

那么运动圆的中心轨迹是()a。

椭圆b。

双曲线c。

抛物线d。

圆3。

从椭圆上的点p到一个焦点的距离是5，那么从点p到另一个焦点的距离是()。

已知坐标平面上的两点a ({1，0)和b (1，0 ),从移动点p到a和b的距离之和为常数2。

那么运动点p的轨迹是()a .椭圆b .双曲线c .抛物线d .线段5。

从椭圆上的移动点p到两个焦点的距离之和为()a. 10b.8c.6d。

已知两点f1 ({1，0)，F2 (1，0)，并且|f1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中值，则移动点p的轨迹方程为()a.b.c.d.7。

已知F1和F2是椭圆的两个焦点=1，并且穿过点F2的直线在点a和b处与椭圆相交。

如果|AB|=5，则|AF1| |BF1|等于()A.16B.11C.8D.3 8。

设a={1，2，3，4，5}，A，b∈A，则该方程表示焦点在y轴上的椭圆()A.5 B.10 C.20 D.25 9。

简化的结果是在平面上有一个长度为2的线段AB和一个移动点p(a . b . c . d . 10)。

如果满足|PA| |PB|=8，则|PA|的取值范围为()a. [1，4] b. [2，6] c. [3，5] d. [3，6] 11。

设定点F1(0，651233)，F2(0，3)并满足条件|PF1| |PF2|=6，则运动点P的轨迹是()a .椭圆b .线段c .椭圆或线段d .不存在。

12.已知△ABC的周长为20，顶点为B (0，651234)，C (0，4)，那么顶点a的轨迹方程为()a. (x ≠ 0) b. (x ≠ 0) c. (x ≠ 0) d. (x ≠ 0) 13。

(江苏专用)高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 9.5 椭圆教师用书理苏教版-苏教版高三全

第九章平面解析几何 9.5 椭圆教师用书理苏教版1.椭圆的概念平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质X围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距F1F2＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2【知识拓展】点P (x 0，y 0)和椭圆的关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.( × )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距).( √ )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( × )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆.( √ )(5)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆.( × ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相等.( √ )1.(教材改编)椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝________.答案 4或8 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧10－m >m －2>0，10－m －m －2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧m －2>10－m >0，m －2－10－m ＝4，解得m ＝4或m ＝8.2.(2016·某某检测)在平面直角坐标系xOy 内，动点P 到定点F (－1,0)的距离与P 到定直线x ＝－4的距离的比值为12.则动点P 的轨迹C 的方程为______________.答案x 24＋y 23＝1 解析设点P (x ，y )，由题意知x ＋12＋y 2|x ＋4|＝12，化简得3x 2＋4y 2＝12，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.3.(2016·全国乙卷改编)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为________.答案 12解析如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14·2b ＝12b .在Rt△FOB 中，OF ·OB ＝BF ·OD ，即cb ＝a ·12b ，解得a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝c a ＝12.4.如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值X 围是________. 答案 (0,1)解析将椭圆方程化为x 22＋y 22k＝1，因为焦点在y 轴上，则2k>2，即k <1，又k >0，所以0<k <1.5.(教材改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 解析设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1.题型一椭圆的定义及标准方程命题点1 利用定义求轨迹例1 (2016·某某模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________.答案椭圆解析由条件知PM ＝PF ， ∴PO ＋PF ＝PO ＋PM ＝OM ＝R >OF . ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆. 命题点2 利用待定系数法求椭圆方程例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为_________________________________.(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________________________________________. 答案 (1)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1(2)x 29＋y 23＝1 解析 (1)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).∵椭圆过P (3,0)，∴32a 2＋02b2＝1，即a ＝3，又2a ＝3×2b ，∴b ＝1，∴椭圆方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0).∵椭圆过点P (3,0)，∴02a 2＋32b2＝1，即b ＝3.又2a ＝3×2b ，∴a ＝9，∴椭圆方程为y 281＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n ). ∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程.即⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1，①3m ＋2n ＝1，②①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1. 命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题例3 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 答案 3解析设PF 1＝r 1，PF 2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，因为2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22) ＝4a 2－4c 2＝4b 2，又因为1221219,2PF F S rr b ===△ 所以b ＝3. 引申探究1.在例3中，若增加条件“△PF 1F 2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程. 解由原题得b 2＝a 2－c 2＝9，又2a ＋2c ＝18，所以a －c ＝1，解得a ＝5，故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.2.在例3中，若将条件“PF 1→⊥PF 2→”“△PF 1F 2的面积为9”分别改为“∠F 1PF 2＝60°”“1233PF F S =△”，结果如何？解 PF 1＋PF 2＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60° ＝F 1F 22，即(PF 1＋PF 2)2－3PF 1·PF 2＝4c 2，所以3PF 1·PF 2＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以PF 1·PF 2＝43b 2，又因为12121··sin 602PF F S PF PF =︒△ ＝12·43b 2·32 ＝33b 2＝33，所以b ＝3.思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >F 1F 2这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式. (3)当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求PF 1·PF 2；通过整体代入可求其面积等.(1)(2016·某某模拟)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________.(2)(2016·某某模拟)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是______. 答案 (1)x 264＋y 248＝1 (2)1解析 (1)设圆M 的半径为r ，则MC 1＋MC 2＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝C 1C 2，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且 2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0， ∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4，121= 1.2F PF S mn ∴=△题型二椭圆的几何性质例4 (1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是________.(2)(2016·全国丙卷改编)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________.答案 (1)2 (2)13解析 (1)设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20 ＝22－2y 20＋y 20 ＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1， ∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2. (2)设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2a －c ，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2a －c ＝m a ＋c ，a ＝3c ，e ＝13. 思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的X 围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的X 围，离心率的X 围等不等关系. ②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系. (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其X 围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的X 围.(2016·某某)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.答案63解析联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，又F (c,0)，则FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得 c 2－34a 2＋b24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a＝23＝63. 题型三直线与椭圆例5 (2016·某某)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1OF ＋1OA ＝3eFA，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值X 围. 解 (1)设F (c,0)，由1OF ＋1OA ＝3eFA，即1c ＋1a ＝3c aa －c，可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2).设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －2消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意，得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y ＝－1k x ＋9－4k212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912k 2＋1. 在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔MA ≤MO ，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋912k 2＋1≥1，解得k ≤－64或k ≥64. 所以直线l 的斜率的取值X 围为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫64，＋∞.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝1＋1k2[y 1＋y 22－4y 1y 2](k 为直线斜率).提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，B ，C 分别为椭圆O 的上，下顶点，P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴交点除外)，直线PC 交椭圆O 于另一点M .(1)当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积；(2)①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值； ②求PB →·PM →的取值X 围.(1)解由题意知B (0,1)，C (0，－1)，焦点F (3，0)，当直线PM 过椭圆O 的右焦点F 时，直线PM 的方程为x3＋y－1＝1，即y ＝33x －1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝33x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝837，y ＝17或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1(舍去)，即点M 的坐标为(837，17).连结BF ，则直线BF 的方程为x3＋y1＝1，即x ＋3y －3＝0.又BF ＝a ＝2，点M 到直线BF 的距离为d ＝|837＋3×17－3|12＋32＝2372＝37，故△FBM 的面积为S △MBF ＝12·BF ·d ＝12×2×37＝37.(2)方法一 ①证明设P (m ，－2)，且m ≠0，则直线PM 的斜率为k ＝－1－－20－m ＝－1m ，则直线PM 的方程为y ＝－1mx －1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1m x －1，x24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4m 2)x 2＋8mx ＝0，解得点M 的坐标为(－8m m 2＋4，4－m2m 2＋4)，所以k 1＝4－m2m 2＋4－1－8m m 2＋4＝－2m 2－8m ＝14m ，k 2＝1－－20－m ＝－3m，所以k 1·k 2＝－3m ·14m ＝－34为定值.②解由①知，PB →＝(－m,3)， PM →＝(－8m m 2＋4－m ，4－m2m 2＋4＋2)＝(－m 3－12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4)，所以PB →·PM →＝(－m,3)·(－m 3＋12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4)＝m 2＋12m 2＋3m 2＋4.令m 2＋4＝t >4，则PB →·PM →＝t ＋8t －1t＝t 2＋7t －8t ＝t －8t＋7.因为y ＝t －8t＋7在t ∈(4，＋∞)上单调递增，所以PB →·PM →＝t －8t ＋7>4－84＋7＝9，故PB →·PM →的取值X 围为(9，＋∞).方法二 ①证明设点M 的坐标为(x 0，y 0)(x 0≠0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0＋1x 0x －1，令y ＝－2，得点P 的坐标为(－x 0y 0＋1，－2)，所以k 1＝y 0－1x 0，k 2＝－2－1－x 0y 0＋1＝3y 0＋1x 0，所以k 1·k 2＝y 0－1x 0·3y 0＋1x 0＝3y 20－1x 20＝3y 20－141－y 20＝－34为定值. ②解由①知，PB →＝(x 0y 0＋1，3)，PM →＝(x 0＋x 0y 0＋1，y 0＋2)，所以PB →·PM →＝x 0y 0＋1(x 0＋x 0y 0＋1)＋3(y 0＋2)＝x 20y 0＋2y 0＋12＋3(y 0＋2)＝41－y 2y 0＋2y 0＋12＋3(y 0＋2) ＝7－y 0y 0＋2y 0＋1.令t ＝y 0＋1∈(0,2)，则PB →·PM →＝8－tt ＋1t＝－t ＋8t＋7.因为y ＝－t ＋8t＋7在t ∈(0,2)上单调递减，所以PB →·PM →＝－t ＋8t ＋7>－2＋82＋7＝9，故PB →·PM →的取值X 围为(9，＋∞).8.高考中求椭圆的离心率问题考点分析离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值X 围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.典例1 (2015·某某改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值X 围是__________.解析左焦点F 0，连结F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵AF ＋BF ＝4， ∴AF ＋AF 0＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 典例2 (14分)(2016·某某)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1).(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值X 围. 规X 解答解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k1＋a 2k2，因此AM ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. [6分](2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP ＝AQ .记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2.[8分]由(1)知AP ＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，AQ ＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由k 1≠k 2，k 1，k 2＞0，得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2. [12分] 因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2，由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22.所以离心率的取值X 围是(0，22].[14分]1.(2016·苏北四市联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为____________. 答案x 24＋y 23＝1 解析依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.2.(2016·苏北四市一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点A 、B 1、B 2、F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点.若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在直线x ＝a 2c上，则椭圆的离心率为________. 答案 12解析由题意知直线AB 2：－x a ＋y b ＝1，直线B 1F ：x c －y b ＝1，联立解得x ＝2aca －c，若交点在椭圆的右准线上，则2ac a －c ＝a 2c ，即2c 2＋ac －a 2＝0，所以2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12.3.(2017·某某月考)已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C上异于A 1，A 2的任意一点，若直线PA 1，PA 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为________.答案53解析设P (x 0，y 0)，则y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝－49，化简得x 20a 2＋y 204a29＝1，则b 2a 2＝49，e ＝ 1－b a2＝1－49＝53. 4.(2016·某某模拟)已知椭圆：y 29＋x 2＝1，过点P (12，12)的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为________________. 答案 9x ＋y －5＝0解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A ，B 在椭圆y29＋x 2＝1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 219＋x 21＝1，y229＋x 22＝1，两式相减，得y 21－y 229＋x 21－x 22＝0，即y 1－y 2y 1＋y 29＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，又弦AB 被点P (12，12)平分，所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，将其代入上式，得y 1－y 29＋x 1－x 2＝0，得y 1－y 2x 1－x 2＝－9，即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为y －12＝－9(x －12)，即9x ＋y －5＝0.5.(2016·宿迁模拟)已知F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使PF 1·PF 2取得最大值的点P 为__________. 答案 (0,1)或(0，－1)解析由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝4， ∴PF 1·PF 2≤(PF 1＋PF 22)2＝4，当且仅当PF 1＝PF 2＝2，即P (0，－1)或(0,1)时，PF 1·PF 2取得最大值.*6.(2016·某某质检)设A 1，A 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A 1，A 2的点P ，使得PO →·PA 2→＝0，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值X 围是____________. 答案 (22，1) 解析 A 1(－a,0)，A 2(a,0)，设P (x ，y )，则PO →＝(－x ，－y )，PA 2→＝(a －x ，－y )， ∵PO →·PA 2→＝0，∴(a －x )(－x )＋(－y )(－y )＝0， ∴y 2＝ax －x 2>0，∴0<x <a .将y 2＝ax －x 2代入x 2a 2＋y 2b2＝1，整理得(b 2－a 2)x 2＋a 3x －a 2b 2＝0，其在(0，a )上有解，令f (x )＝(b 2－a 2)x 2＋a 3x －a 2b 2， ∵f (0)＝－a 2b 2<0，f (a )＝0，如图，Δ＝(a 3)2－4(b 2－a 2)·(－a 2b 2)＝a 2(a 4－4a 2b 2＋4b 4) ＝a 2(a 2－2b 2)2≥0， ∴对称轴满足0<－a 32b 2－a 2<a ，即0<a 32a 2－b2<a ， ∴a 22c 2<1，∴c 2a 2>12. 又0<c a <1，∴22<c a<1. 7.若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________. 答案x 220＋y 216＝1 解析设切点坐标为(m ，n )，则n －1m －2·nm＝－1，即m 2＋n 2－n －2m ＝0.∵m 2＋n 2＝4，∴2m ＋n －4＝0，即直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0.∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， ∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4， ∴a 2＝b 2＋c 2＝20， ∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.8.已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则PM ＋PN 的最小值为________. 答案 7解析由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且PF 1＋PF 2＝10，从而PM ＋PN 的最小值为PF 1＋PF 2－1－2＝7.9.(2017·某某质检)椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值X 围是________________. 答案 (－263，263)解析设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y ). ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0，即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①，得x 2－3＋1－x 24<0，34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈(－263，263).10.已知过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a ，0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ →＝2QA →，则椭圆的离心率为________. 答案255解析 ∵△AOP 是等腰三角形，A (－a,0)，∴P (0，a ). 设Q (x 0，y 0)，∵PQ →＝2QA →， ∴(x 0，y 0－a )＝2(－a －x 0，－y 0).∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2a －2x 0，y 0－a ＝－2y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－23a ，y 0＝a3，代入椭圆方程化简，可得b 2a 2＝15，∴e ＝1－b 2a 2＝255. 11.(2016·某某模拟)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为A ，B ，且AB ＝52BF .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程.解 (1)由已知AB ＝52BF ，即a 2＋b 2＝52a ， 4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2， ∴e ＝c a ＝32. (2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b2＝1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b2＝1消去y ，得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717. x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217.∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0， 5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0. 从而516－4b 217－12817＋4＝0，解得b ＝1，满足b >21717.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.12.(2015·某某)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足BM ＝2MA ，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程.解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x5b＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b ＋－14b ＋74b＝1，72＋12b x 1－52b ＝ 5.解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.13.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，M 为椭圆上任意一点.过F ，B ，A 三点的圆的圆心坐标为(p ，q ). (1)当p ＋q ≤0时，求椭圆的离心率的取值X 围；(2)若点D (b ＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(MF →＋OD →)·MO →的最小值为72，求椭圆的方程.word21 / 21 解 (1)设椭圆半焦距为c .由题意AF ，AB 的中垂线方程分别为x ＝a －c 2，y －b 2＝a b (x －a 2)，于是圆心坐标为(a －c 2，b 2－ac 2b). 所以p ＋q ＝a －c 2＋b 2－ac 2b≤0，整理得ab －bc ＋b 2－ac ≤0，即(a ＋b )(b －c )≤0，所以b ≤c ，于是b 2≤c 2，即a 2＝b 2＋c 2≤2c 2. 所以e 2＝c 2a 2≥12，即22≤e <1. (2)当e ＝22时，a ＝2b ＝2c ，此时椭圆的方程为x 22c 2＋y 2c2＝1，设M (x ，y )，则－2c ≤x ≤2c ，MF →＝(－c －x ，－y )，OD →＝(b ＋1,0)，MO →＝(－x ，－y )，所以(MF →＋OD →)·MO →＝12x 2－x ＋c 2＝12(x －1)2＋c 2－12. 当c ≥22时，上式的最小值为c 2－12，即c 2－12＝72，得c ＝2；当0<c <22时，上式的最小值为12(2c )2－2c ＋c 2，即12(2c )2－2c ＋c 2＝72，解得c ＝2＋304，不合题意，舍去. 综上所述，椭圆的方程为x 28＋y 24＝1.。

第5节第1课时椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第五节椭圆第1课时椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于01常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的02焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的03焦距．2．椭圆的标准方程及简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围04－a≤x≤a且－b≤y≤b05－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点06A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)07A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为082b，长轴长为092a焦点10F1(－c，0)，F2(c，0)11F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝122c对称性对称轴：13x轴和y轴，对称中心：14原点离心率e＝ca(0<e<1)a，b，c的关系15a2＝b2＋c2椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．(2)S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tanθ2＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．()(3)y2 m2＋x2n2＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．()(4)x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相等．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题3.1T3改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()A．长轴长为12B．焦距为34C ．短轴长为14D ．离心率为32答案D解析把椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得y 214＋x 2116＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34，则长轴长2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝32.故选D.(2)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T5改编)已知点P 为椭圆x 216＋y 29＝1上的一点，B 1，B 2分别为椭圆的上、下顶点，若△PB 1B 2的面积为6，则满足条件的点P 的个数为()A ．0B ．2C ．4D ．6答案C解析在椭圆x 216＋y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，则短轴|B 1B 2|＝2b ＝6，设椭圆上点P 的坐标为(m ，n )，由△PB 1B 2的面积为6，得12|B 1B 2|·|m |＝6，解得m ＝±2，将m ＝±2代入椭圆方程，得n ＝±332，所以符合题意的点P ，22，共4个满足条件的点P .故选C.(3)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T1改编)已知点M (x ，y )在运动过程中，总满足关系式x 2＋（y －2）2＋x 2＋（y ＋2）2＝8，则点M 的轨迹方程为________________．答案x 212＋y 216＝1解析因为x 2＋（y －2）2＋x 2＋（y ＋2）2＝8>4，所以点M 的轨迹是以(0，2)，(0，－2)为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，由题意得2a ＝8，即a ＝4，则b 2＝a 2－c 2＝12，所以点M 的轨迹方程为x 212＋y 216＝1.(4)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T4改编)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为12，则椭圆C 的方程可以为________________(写出满足题意的一个椭圆方程即可)．答案x 24＋y 23＝1(答案不唯一)解析因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a >b >0，因为离心率为12，所以ca＝12，所以c 2a 2＝a 2－b 2a2＝14，则b 2a 2＝34.所以椭圆C 的方程可以为x 24＋y 23＝1(答案不唯一)．考点探究——提素养考点一椭圆的定义及其应用(多考向探究)考向1利用椭圆的定义求轨迹方程例1(2024·山东烟台一中质检)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案x 29＋y 25＝1解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，且2a ＝6，2c ＝4，故所求的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.【通性通法】在求动点的轨迹时，如果能够判断动点的轨迹满足椭圆的定义，那么可以直接求解其轨迹方程．【巩固迁移】1．△ABC 的两个顶点为A (－3，0)，B (3，0)，△ABC 的周长为16，则顶点C 的轨迹方程为()A ．x 225＋y 216＝1(y ≠0)B ．y 225＋x 216＝1(y ≠0)C ．x 216＋y 29＝1(y ≠0)D ．y 216＋x 29＝1(y ≠0)答案A解析由题意，知点C 到A ，B 两点的距离之和为10，故顶点C 的轨迹为以A (－3，0)，B (3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a ＝10，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16.其方程为x 225＋y 216＝1.又A ，B ，C 三点不能共线，所以x 225＋y 216＝1(y ≠0)．故选A.考向2利用椭圆的定义解决焦点三角形问题例2(1)如图，△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．答案43解析因为a 2＝3，所以a ＝ 3.△ABC 的周长为|AC |＋|AB |＋|BC |＝|AC |＋|CF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝2a ＋2a ＝4a ＝43.(2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________．答案433解析解法一：由题意，知c ＝a 2－4.又∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|cos60°＝4a 2－3|PF 1||PF 2|＝4a 2－16，∴|PF 1||PF 2|＝163，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×163×32＝433解法二：S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22＝4tan30°＝433.【通性通法】将定义和余弦定理结合使用可以解决焦点三角形的周长和面积问题．【巩固迁移】2．(2023·全国甲卷)已知椭圆x 29＋y 26＝1，F 1，F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos∠F 1PF 2＝35，则|PO |＝()A ．25B ．302C ．35D ．352答案B解析解法一：因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6①，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－65|PF 1||PF 2|＝12②，联立①②，解得|PF 1||PF 2|＝152，|PF 1|2＋|PF 2|2＝21，而PO →＝12(PF 1→＋PF 2→)，所以|PO |＝|PO →|＝12|PF 1→＋PF 2→|，即|PO →|＝12|PF 1→＋PF 2→|＝12|PF 1→|2＋2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2＝1221＋2×152×35＝302.故选B.解法二：设∠F 1PF 2＝2θ，0＜θ＜π2，所以S △PF 1F 2＝b 2tan∠F 1PF 22＝b 2tan θ，由cos ∠F 1PF 2＝cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝35，解得tan θ＝12.由椭圆的方程可知，a 2＝9，b 2＝6，c 2＝a 2－b 2＝3，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×|y P |＝12×23×|y P |＝6×12，解得y 2P ＝3，所以x 2P ＝＝92，因此|PO |＝x 2P ＋y 2P ＝3＋92＝302.故选B.解法三：因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6①，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－65|PF 1||PF 2|＝12②，联立①②，解得|PF 1|2＋|PF 2|2＝21，由中线定理可知，(2|PO |)2＋|F 1F 2|2＝2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝42，易知|F 1F 2|＝23，解得|PO |＝302.故选B.考向3利用椭圆的定义求最值例3已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216＋y 212＝1的两个焦点，点M ，N 在C 上，若|MF 2|＋|NF 2|＝6，则|MF 1|·|NF 1|的最大值为()A ．9B ．20C ．25D ．30答案C解析根据椭圆的定义，得|MF 1|＋|MF 2|＝8，|NF 1|＋|NF 2|＝8，因为|MF 2|＋|NF 2|＝6，所以8－|MF 1|＋8－|NF 1|＝6，即|MF 1|＋|NF 1|＝10≥2|MF 1|·|NF 1|，当且仅当|MF 1|＝|NF 1|＝5时，等号成立，所以|MF 1|·|NF 1|≤25，则|MF 1|·|NF 1|的最大值为25.故选C.【通性通法】在椭圆中，结合|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，运用基本不等式或三角形任意两边之和大于第三边可求最值．【巩固迁移】3．(2024·河北邯郸模拟)已知F 是椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点，则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．答案6＋26－2解析由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2，F (－2，0)．设椭圆的右焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝6，所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF ′|＋6.当P ，A ，F ′三点共线时，|PA |－|PF ′|取到最大值|AF ′|＝2或最小值－|AF ′|＝－ 2.所以|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.考点二椭圆的标准方程例4(1)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则椭圆C 的方程为()A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 29＋y 26＝1D ．x 25＋y 24＝1答案B解析设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF 1|，∴|AF 1|＋2|AB |＝4a .又|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝a ，∴A 为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A (0，b )，又F 2(1，0)，AF 2→＝2F 2B →，∴将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 221.故选B.(2)(2024·山西大同模拟)过点(2，－3)，且与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________________．答案x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1解析椭圆x 24＋y 23＝1的离心率是e ＝12，当焦点在x 轴上时，设所求椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)＝12，b 2＋c 2，＋3b 2＝1，2＝8，2＝6，∴所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1；当焦点在y 轴上时，设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)＝12，b 2＋c 2，＋4b 2＝1，2＝253，2＝254，∴所求椭圆的标准方程为y 2253＋x 2254＝1.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.【通性通法】1．求椭圆方程的常用方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．(2)待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤注意：一定先判断椭圆的焦点位置，即先定型后定量．2．椭圆标准方程的两个应用(1)方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2a 2＋y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ>0)有相同的离心率．(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)共焦点的椭圆系方程为x 2a 2＋k ＋y 2b 2＋k ＝1(a >b >0，k ＋b 2>0)．恰当选用椭圆系方程，可使运算更简便．【巩固迁移】4．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b>0)的两个焦点，若P |PF 1|＋|PF 2|＝4，则椭圆C 的方程为________________．答案x 24＋y 23＝1解析由|PF 1|＋|PF 2|＝4得2a ＝4，解得a＝2.又P C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，所以1222＋1，解得b＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.5．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P1(6，1)，P2(－3，－2)两点，则该椭圆的方程为________________．答案x29＋y23＝1解析设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，m＋n＝1，m＋2n＝1，＝19，＝13.所以所求椭圆的方程为x29＋y23＝1.考点三椭圆的简单几何性质(多考向探究)考向1椭圆的长轴、短轴、焦距例5已知椭圆x225＋y29＝1与椭圆x225－k＋y29－k＝1(k<9，且k≠0)，则两椭圆必定() A．有相等的长轴长B．有相等的焦距C．有相等的短轴长D．有相同的离心率答案B解析由椭圆x225＋y29＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，所以长轴长是10，短轴长是6，焦距是8.在椭圆x225－k＋y29－k1(k<9，且k≠0)中，因为a1＝25－k，b1＝9－k，c1＝4，所以其长轴长是225－k，短轴长是29－k，焦距是8.所以两椭圆有相等的焦距．故选B.【通性通法】求解与椭圆几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系．【巩固迁移】6．若连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，则长轴长与短轴长之比为()A．2B．23C．233D．4答案C解析因为连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，所以a＝2c，所以b2＝a 2－c 2＝3c 2，所以b ＝3c ，故2a 2b ＝a b ＝2c 3c ＝233，所以长轴长与短轴长之比为233.故选C.7．(2024·河北沧州统考期末)焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 23＝1的长轴长为43，则其焦距为________．答案6解析由题意，得2a ＝43，所以a 2＝12，c 2＝a 2－b 2＝12－3＝9，解得c ＝3，故焦距2c ＝6.考向2椭圆的离心率例6(1)(2024·江苏镇江模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为________．答案33解析由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x＝c ，由椭圆的对称性，可设它与椭圆的交点为，因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，又|AF 1|＝|BF 1|，则△AF 1B 为等边三角形．解法一：由|F 1F 2|＝3|AF 2|，可知2c ＝3·b 2a ，即3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，即3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)．解法二：由|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ，可知|AF 1|＝|BF 1|＝|AB |＝43a ，又|AF 1|sin60°＝|F 1F 2|，所以43a ×322c ，解得c a ＝33，即e ＝33.解法三：由|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ，可知|AB |＝|AF 1|＝|BF 1|＝43a ，即2b 2a ＝43a ，即2a 2＝3b 2，所以e ＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝33.(2)(2024·广东七校联考)已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案解析根据椭圆的对称性，不妨设焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．解法一：设M (x 0，y 0)，MF 1→·MF 2→＝0⇒(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝0⇒x 20－c 2＋y 20＝0⇒y 20＝c2－x 20，点M (x 0，y 0)在椭圆内部，有x 20a 2＋y 20b 2<1⇒b 2x 20＋a 2(c 2－x 20)－a 2b 2<0⇒x 20>2a 2－a 4c2，要想该不等式恒成立，只需2a 2－a 4c 2<0⇒2a 2c 2<a 4⇒2c 2<a 2⇒e ＝c a <22，而e >0⇒0<e <22，即椭圆离心解法二：由MF 1→·MF 2→＝0，可知点M 在以F 1F 2为直径的圆上，即圆x 2＋y 2＝c 2在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)内部，所以c <b ，则c 2<b 2，即c 2<a 2－c 2，所以2c 2<a 2，即e 2<12，又e >0，所以0<e <22，【通性通法】求椭圆离心率的方法方法一直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca求解方法二由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解方法三构造a ，c 的齐次式，可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e注意：解题的关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式．【巩固迁移】8．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，C 2：x 24＋y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2.若e 2＝3e 1，则a ＝()A ．233B ．2C ．3D ．6答案A解析由e 2＝3e 1，得e 22＝3e 21，因此4－14＝3×a 2－1a 2，而a >1，所以a ＝233.故选A.9．(2024·广东六校联考)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是________．答案33，解析设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，由线段PF 1的中垂线过点F 2，得|PF 2|＝|F 1F 2|，即2c ，得m 2＝4c 2＝－a 4c2＋2a 2＋3c 2≥0，即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13，又0<e <1，故33≤e <1，即椭圆离心率的取值范围是33，考向3与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题例7(2024·石家庄质检)设点M 是椭圆C ：x 29＋y 28＝1上的动点，点N 是圆E ：(x －1)2＋y 2＝1上的动点，且直线MN 与圆E 相切，则|MN |的最小值是________．答案3解析由题意知，圆E 的圆心为E (1，0)，半径为1.因为直线MN 与圆E 相切于点N ，所以NE ⊥MN ，且|NE |＝1.又E (1，0)为椭圆C 的右焦点，所以2≤|ME |≤4，所以当|ME |＝2时，|MN |取得最小值，又|MN |＝|ME |2－|NE |2，所以|MN |min ＝22－12＝ 3.【通性通法】与椭圆有关的最值(范围)问题的求解策略【巩固迁移】10．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．答案4解析由题意，知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤3.因为F (－1，0)，A (2，0)，所以PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2，所以当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.课时作业一、单项选择题1．已知动点M 到两个定点A (－2，0)，B (2，0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为()A ．x 29＋y 2＝1B ．y 29＋x 25＝1C ．y 29＋x 2＝1D ．x 29＋y 25＝1答案D解析由题意有6>2＋2＝4，故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，则2a ＝6，c ＝2，故a 2＝9，所以b 2＝a 2－c 2＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1.故选D.2．(2024·九省联考)椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为12，则a ＝()A ．233B ．2C ．3D ．2答案A解析由题意得e ＝a 2－1a＝12，解得a ＝233.故选A ．3．(2024·河南信阳模拟)与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为25的椭圆方程是()A ．x 225＋y 220＝1B ．x 220＋y 225＝1C ．x 220＋y 245＝1D ．x 280＋y 285＝1答案B解析由9x 2＋4y 2＝36，可得x 24＋y 29＝1，所以所求椭圆的焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5，b＝25，a 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1.4．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e k 的取值范围是()A ．(0，3)BC ．(0，3)D ．(0，2)答案C解析当k >4时，c ＝k －4，由条件，知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件，知14<4－k4<1，解得0<k <3.故选C.5．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9.动圆M 在圆C 1内部，且与圆C 1内切，与圆C 2外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程是()A ．x 264－y 248＝1B ．x 248＋y 264＝1C ．x 248－y 264＝1D ．x 264＋y 248＝1答案D解析设动圆的圆心M (x ，y )，半径为r ，因为圆M 与圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169内切，与圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9外切，所以|MC 1|＝13－r ，|MC 2|＝3＋r .因为|MC 1|＋|MC 2|＝16>|C 1C 2|＝8，由椭圆的定义，知M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为16的椭圆，则a ＝8，c ＝4，所以b 2＝82－42＝48，动圆的圆心M 的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.故选D.6．(2023·全国甲卷)设F 1，F 2为椭圆C ：x 25＋y 2＝1的两个焦点，点P 在C 上，若PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝()A ．1B ．2C ．4D ．5答案B解析解法一：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，从而S △F 1PF 2＝b 2tan45°＝1＝12|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝2.故选B.解法二：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，由椭圆方程可知，c 2＝5－1＝4⇒c ＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝42＝16，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝16＋2|PF 1|·|PF 2|＝20，所以|PF 1|·|PF 2|＝2.故选B.7．(2023·甘肃兰州三模)设椭圆x 24＋y 23＝1的一个焦点为F ，则对于椭圆上两动点A ，B ，△ABF周长的最大值为()A ．4＋5B ．6C ．25＋2D ．8答案D解析设F 1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF |＋|BF |＋|AB |＝2a －|AF 1|＋2a －|BF 1|＋|AB |＝4a ＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|＝8＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|，当A ，B ，F 1三点共线时，|AB |－|BF 1|－|AF 1|＝0，当A ，B ，F 1三点不共线时，|AB |－|BF 1|－|AF 1|<0，所以当A ，B ，F 1三点共线时，△ABF 的周长取得最大值8.8．(2024·安徽三市联考)已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P ，Q 为C 上两点，2PF 2→＝3F 2Q →，若PF 1→⊥PF 2→，则C 的离心率为()A ．35B ．45C ．135D ．175答案D解析设|PF 2→|＝3m ，则|QF 2→|＝2m ，|PF 1→|＝2a －3m ，|QF 1→|＝2a －2m ，|PQ |＝5m ，在△PQF 1中，得(2a －3m )2＋25m 2＝(2a －2m )2，即m ＝215a .因此|PF 2→|＝25a ，|PF 1→|＝85a ，|F 2F 1→|＝2c ，在△PF 1F 2中，得6425a 2＋425a 2＝4c 2，故17a 2＝25c 2，所以e ＝175.故选D.二、多项选择题9．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，下列说法中正确的是()A ．曲线C 不可能是椭圆B ．“1＜k ＜4”是“曲线C 是椭圆”的充分不必要条件C ．“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3＜k ＜4”的必要不充分条件D ．“曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆”是“1＜k ＜2.5”的充要条件答案CD解析对于A ，当1＜k ＜4且k ≠2.5时，曲线C 是椭圆，A 错误；对于B ，当k ＝2.5时，4－k ＝k －1，此时曲线C 是圆，B 错误；对于C ，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，－k >0，－1>0，－1>4－k ，解得2.5＜k ＜4，所以“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3＜k ＜4”的必要不充分条件，C 正确；对于D ，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，－1>0，－k >0，－k >k －1，解得1＜k ＜2.5，D 正确．故选CD.10．(2024·海口模拟)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 周长的取值范围是[6，12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为6答案ACD解析设椭圆的左焦点为F ′，则|AF ′|＝|BF |，∴|AF |＋|BF |＝|AF |＋|AF ′|＝6，为定值，A 正确；△ABF 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |，∵|AF |＋|BF |为定值6，|AB |的取值范围是6)，∴△周长的取值范围是(6，12)，B 错误；将y ＝32与椭圆方程联立，解得－332，又F (6，0)，∴AF →·BF →＝0，∴AF ⊥BF ，∴△ABF 为直角三角形，C 正确；将y ＝1与椭圆方程联立，解得A (－6，1)，B (6，1)，∴S △ABF＝12×26×1＝6，D 正确．故选ACD.三、填空题11．(2023·四川南充三诊)若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为________．答案14解析将原方程变形为x 2＋y 21m＝1.由题意知a 2＝1m，b 2＝1，所以a ＝1m ，b ＝1，所以1m＝2，m ＝14.12．(2024·南昌模拟)已知椭圆E 的中心为原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，则椭圆E 的方程为________．答案x 28＋y 24＝1解析椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，c ＝22－2，＝22，＝22，＝2，从而a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.13．(2024·河南名校教研联盟押题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，下顶点为A ，AF 的延长线交C 于点B ，若|AF |∶|BF |＝2∶1，则C 的离心率为________．答案33解析解法一：如图，设椭圆C 的右焦点为F ′，则|AF |＝|AF ′|＝a ，因为|AF |∶|BF |＝2∶1，所以|BF |＝a 2，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝3a 2，又|BF |＋|BF ′|＝2a ，所以|BF ′|＝2a －|BF |＝3a2，由余弦定理可知cos ∠BAF ′＝|AB |2＋|AF ′|2－|BF ′|22|AB ||AF ′|＝13，设O 为坐标原点，椭圆C 的焦距为2c ，则离心率e ＝ca ＝sin ∠OAF ′，因为∠BAF ′＝2∠OAF ′，故cos ∠BAF ′＝1－2sin 2∠OAF ′＝1－2e 2，所以e ＝33.解法二：设B 在x 轴上的射影为D ，由于|AF |∶|BF |＝2∶1，所以|BD |＝|OA |2＝b 2，|FD |＝|OF |2＝c 2，即－3c 2，将B 的坐标代入C 的方程，得9c 24a 2＋b 24b 2＝1，得e ＝33.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，若点P 为椭圆上任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是________．答案[1，4]解析由已知，得2b ＝2，故b ＝1.∵△F 1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b ＝2－32，∴a －c＝2－3，又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1，∴a ＝2，c ＝3，∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1|·|PF 2|＝2a|PF 1|（2a －|PF 1|）＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|.又2－3≤|PF 1|≤2＋3，∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4，∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4，即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1，4]．四、解答题15．(2024·辽宁阜新校考期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 1P C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点A (0，－1)，点M 是椭圆C 上任意一点，求|MA |的最大值．解(1)因为P 3，P 4关于坐标轴对称，所以P 3，P 4必在椭圆C 上，有1a 2＋34b 2＝1，将点P 1(1，1)代入椭圆方程得1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2＝1，所以P 1(1，1)不在椭圆C 上，P 2(0，1)在椭圆C 上，所以b 2＝1，a 2＝4，即椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)点A (0，－1)是椭圆C 的下顶点，设椭圆上的点M (x 0，y 0)(－1≤y 0≤1)，则x 204＋y 20＝1，即x 20＝4－4y 20，所以|MA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＝4－4y 20＋(y 0＋1)2＝－3y 20＋2y 0＋5＝－0＋163，又函数y ＝－＋163在∞，＋，所以当y 0＝13时，|MA |2取到最大值，为163，故|MA |的最大值为433.16．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，左顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，A 到直线EF 2的距离为62b .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 为椭圆C 上的一点，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，求椭圆C 的标准方程．解(1)由题意，得A (－a ，0)，直线EF 2的方程为x ＋y ＝c ，因为A 到直线EF 2的距离为62b ，即|－a －c |12＋12＝62b ，所以a ＋c ＝3b ，即(a ＋c )2＝3b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以(a ＋c )2＝3(a 2－c 2)，所以2c 2＋ac －a 2＝0，因为离心率e ＝ca ，所以2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍去)，所以椭圆C 的离心率为12.(2)由(1)知离心率e ＝c a ＝12，即a ＝2c ，①因为∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，所以12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝3，所以|PF 1|·|PF 2|＝4，1|＋|PF 2|＝2a ，1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°＝（2c ）2，所以a 2－c 2＝3，②联立①②，得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.17．(多选)(2023·山东济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，点P (1，1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A ．|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆CD ．若PF 1→＝F 1Q →，则椭圆C 的长轴长为5＋17答案ACD解析由题意知2c ＝2，则c ＝1，因为点Q 在椭圆上，所以|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |，又－1≤－|QF 2|＋|QP |≤1，所以A 正确；因为点P (1，1)在椭圆内部，所以b ＞1，2b ＞2，所以B 错误；因为点P (1，1)在椭圆内部，所以1a 2＋1b 2＜1，即b 2＋a 2－a 2b 2＜0，又c ＝1，b 2＝a 2－c 2，所以(a 2－1)＋a 2－a 2(a 2－1)＜0，化简可得a 4－3a 2＋1＞0(a >1)，解得a 2＞3＋52或a 2＜3－52(舍去)，则椭圆C 的离心率e ＝ca＜13＋52＝15＋12＝5－12，又0<e <1，所以椭圆C 所以C 正确；由PF 1→＝F 1Q →可得，F 1为PQ 的中点，而P (1，1)，F 1(－1，0)，所以Q (－3，－1)，|QF 1|＋|QF 2|＝（－3＋1）2＋（－1－0）2＋（－3－1）2＋（－1－0）2＝5＋17＝2a ，所以D 正确．故选ACD.18．(多选)(2023·辽宁大连模拟)已知椭圆C ：x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，左、右顶点分别是A 1，A 2，点P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，则下列说法正确的是()A ．|PF 1|＋|PF 2|＝4B ．存在点P 满足∠F 1PF 2＝90°C ．直线PA 1与直线PA 2的斜率之积为－916D ．若△F 1PF 2的面积为27，则点P 的横坐标为±453答案CD解析由椭圆方程，知a ＝4，b ＝3，c ＝7，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，A 错误；当P 在椭圆上、下顶点时，cos ∠F 1PF 2＝2a 2－4c 22a 2＝18>0，即∠F 1PF 2的最大值小于π2，B 错误；若P (x ′，y ′)，则k P A 1＝y ′x ′＋4，k P A 2＝y ′x ′－4，有k P A 1·k P A 2＝y ′2x ′2－16，而x ′216＋y ′29＝1，所以－16y ′2＝9(x ′2－16)，即有k P A 1·k P A 2＝－916，C 正确；若P (x ′，y ′)，△F 1PF 2的面积为27，即2c ·|y ′|2＝27，故y ′＝±2，代入椭圆方程得x ′＝±453，D 正确．故选CD.19．(2023·河北邯郸二模)已知O 为坐标原点，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，上顶点为B ，线段BF 的中垂线交C 于M ，N 两点，交y 轴于点P ，BP →＝2PO →，△BMN 的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解如图，由题意可得|BP |＝23b ，|PO |＝13b ，连接PF .由题意可知|BP |＝|PF |，在Rt △POF 中，由勾股定理，得|PO |2＋|OF |2＝|PF |2，＋c 2，整理得b 2＝3c 2，所以a 2－c 2＝3c 2，即a 2＝4c 2，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12.在Rt △BOF 中，cos ∠BFO ＝|OF ||BF |＝c a ＝12，所以∠BFO ＝60°.设直线MN 交x 轴于点F ′，交BF 于点H ，在Rt △HFF ′中，有|FF ′|＝|HF |cos ∠BFO ＝a ＝2c ，所以F ′为椭圆C 的左焦点，又|MB |＝|MF |，|NB |＝|NF |，所以△BMN 的周长等于△FMN 的周长，又△FMN 的周长为4a ，所以4a ＝16，解得a ＝4.所以c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.20．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解(1)不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c .在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（|PF 1|＋|PF 2|）2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 2，所以3|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝4b 23.又因为|PF 1|·|PF 2|＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立，所以3a 2≥4(a 2－c 2)，所以c a ≥12，所以e ≥12.又因为0<e <1，所以椭圆的离心率的取值范围是12，(2)证明：由(1)可知|PF 1|·|PF 2|＝43b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2，所以△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．。

高中数学椭圆讲义及例题

7.椭圆1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

.注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+=或者 mx 2+ny 2=1 。

3、椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。

③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。

a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

苏教版高考总复习一轮数学精品课件第九章平面解析几何第五节椭圆-第1课时椭圆及其标准方程

2 =________
知识拓展
1.,,三个量的关系:在椭圆的标准方程中,表示椭圆上的点到两焦点间距离的和的
一半,可借助图形帮助记忆.如图，,,（都是正数）恰好是一个直角三角形的三边长,
是斜边,所以 > , > ,且2 = 2 + 2 .
2.椭圆的焦点三角形
（1）定义:由椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”.
△ 1 2 的周长为 1 + 2 + 1 2 = 2 + 2;△ 1 的周长为
1 + 2 + 1 + 2 = 4.
性质2: 4 2 = 1 2
2
= 1
2
+ 2
2
− 2 1 2 cos .
自测诊断
1.（多选题）已知在平面直角坐标系中,点 −3,0 , 3,0 ,点为一动点,且
= > ,故点的轨迹是椭圆,且焦距为 = ,B错误,C正确；当 = 时,点
的轨迹为线段,D错误.
2
2.椭圆
25
2
+
169
= 1的焦点坐标是() C
A. ±5,0 B. 0, ±5 C. 0, ±12 D. ±12,0
[解析]因为椭圆的焦点在轴上,且 = , = ,所以 = − = ,所以
, 的距离等于4,即 + = > = ,满足椭圆定义,所以
+

+ +
−

+ = 表示焦点在轴上,焦距为2,长轴长为4的椭圆,故
B正确；
C选项,由

+

−

【2020年江苏省高考数学考点探究】专题61 椭圆的几何性质(解析版)

专题61 椭圆的几何性质专题知识梳理1．椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x (或y )的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： ①Δ>0⇔直线与椭圆相交； ②Δ＝0⇔直线与椭圆相切； ③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．3．设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝（1＋k 2）[]（x 1＋x 2）2－4x 1x 2(k 为直线斜率)或（1＋1k2）[]（y 1＋y 2）2－4y 1y 2(k 为直线斜率)．考点探究考向1 求椭圆离心率的值【例】(1)如图，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为____．(2)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为____．【解析】(1) 连结OQ ，F 1P 所以OQ 是△PF 1F 2中位线，所以F 1P ⊥F 2P 且F 1P ＝2b ，依椭圆定义可知F 2P ＝2a －2b ∴()2b 2＋(2a －2b )2＝4c 2化简的b ＝23a ∴e ＝53.（2）设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am2（a －c ），又B ，D ，M 三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c ，所以a ＝3c ，所以e ＝13.题组训练1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是____．【解析】由kB 2F .kAB 1＝－1，－b c ·b a ＝－1，b 2＝ac 即a 2－c 2＝ac ，∴e ＝ca ＝5－12.2.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若AM ＝MB ，则该椭圆的离心率为____．【解析】由题意得A 点的坐标为(－a ，0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴c 2＝a 2－b 2＝2b 2(c 为椭圆的半焦距)，∴e ＝63. 3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为____．【解析】易知圆方程为222x y a +=，a =得223ab =，∴c 2＝a 2－b 2＝2b 2(c 为椭圆的半焦距)，∴e ＝63. 4.以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．【解析】当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，此时可求得离心率e ＝ca ＝c b 2＋c 2＝c 2c ＝22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m ，故有2c ＝m,2a ＝(1＋2)m ，所以，离心率e ＝c a ＝2c2a ＝＝2－1.5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是____．【解析】由∠BAO ＋∠BFO ＝90°，∠BAO ＋∠ABO ＝90°，得∠BFO ＝∠ABO .又∠AOB ＝∠AOB ，∴△ABO ∽△BFO ，∴OB OF ＝AO BO ，即b c ＝a b ，得ac ＝b 2＝a 2－c 2，变形得e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或－5－12(舍)，∴椭圆的离心率为5－12.考向2 椭圆离心率的取值范围【例】 (1)已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率e 的取值范围是____．(2)设F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝120°，则椭圆离心率e 的取值范围是____．【解析】（1）设P (x ，y )则x 2a 2＋y 2b 2＝1，由条件PF 1→·PF 2→＝c 2得x 2＋y 2＝2c 2消去y 得x 2＝a 2b 2－2a 2c 2c2，又0≤x 2≤a 2解得13≤e 2≤12，∴33≤e ≤22.(或者利用椭圆与圆有公共点则b ≤2c ≤a 来求解．)（2）法一：易知P 点在短轴端点时∠F 1PF 2取最大值，所以只要在此情况下椭圆变得扁就行了，点P 在短轴端点时，若∠F 1PF 2＝120°，则e ＝c a ＝sin 60°＝32.∴e ∈⎣⎡⎭⎫32，1.法二：若∠F 1PF 2＝120°则有PF 21＋PF 22－2PF 21·PF 22cos 120°＝F 1F 22，且PF 1＋PF 2＝2a ∴4a 2－PF 1·PF 2＝4c 2∴PF 1·PF 2＝4b 2又PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎫PF 1＋PF 222＝a 2所以a 2≥4b 2.∴3a 2≤4c 2即e 2≥34∴e ∈⎣⎡⎭⎫32，1.题组训练1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c ＞0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆离心率e 的取值范围是____．【解析】因为PT ＝PF 22－（b －c ）2(b ＞c )，而PF 2的最小值为a －c ，所以PT 的最小值为（a －c ）2－（b －c ）2.依题意，有（a －c ）2－（b －c ）2≥32(a －c )，所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )，所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)，所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.① 又b ＞c ，所以b 2＞c 2，所以a 2－c 2＞c 2，所以2e 2＜1.② 联立①②，得35≤e ＜22.2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a ＞b ＞0和圆O ：x 2＋y 2＝b 2，若C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，满足∠APB ＝60°，则椭圆C 的离心率的取值范围是____．【解析】如图，连接OA ，OB ，OP ，∵∠APB ＝60°，∴∠APO ＝∠BPO ＝30°.在直角三角形OAP 中，∠AOP ＝60°，∴cos ∠AOP ＝b ||OP ＝12，∴|OP |＝2b ，∴b ＜|OP |≤a ，∴2b ≤a ，∴4b 2≤a 2，即4(a 2－c 2)≤a 2(c 为椭圆的半焦距)，∴3a 2≤4c 2，即c 2a 2≥34，∴32≤e .又0＜e ＜1，∴32≤e ＜1，∴椭圆C 的离心率的取值范围是[32，1)．故答案为[32，1)．3.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是____.【解析】由题意知，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即点F 到点P 与到点A 的距离相等．而|F A |＝a 2c －c ＝b 2c ，|FP |∈，于是b 2c ∈，即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ac －c 2≤a 2－c 2，a 2－c 2≤ac ＋c 2，解得⎩⎨⎧ca≤1，c a ≤－1或c a ≥12，又因为e ＝ca ，e ∈(0，1)，故e ∈⎣⎡⎭⎫12，1考向3 直线与椭圆的位置关系【例】（2018·江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若AOB ∆的面积为7，求直线l 的方程．【解析】（1）因为椭圆C 的焦点为12(F F ，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以222231143a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(,)(0,0)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由22000143x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得22220000(4)243640x y x x x y +-+-=（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000(24)4(4)(364)48(2)0x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y ==．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为7，所以12627AB OP=，从而7AB =．设1122(,),(,)A x y B x y ，由（*）得1,200x =，所以2222220001212222200048(2)()()(1)(4)x y x AB x x y y y x y -=-+-=++．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得2052x =（2020x =舍去），则2012y =，因此P的坐标为)22．综上，直线l的方程为y =+．题组训练1.（2017南通三模）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左焦点为(10)F -，，且经过点3(1)2，．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA DB =，求AB DF的值．【解析】（1）方法一：由题意，得2222211914c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，，，解得2243.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的标准方程为22143y x +=．方法二：由题意，知24a ==，所以2a =．又1c =，222a b c =+，所以b =22143y x +=．（2）方法1：设直线AB 的方程为(1)y k x =+． ① 若k =0时，AB =2a =4，FD =FO =1，所以4AB DF=；② 若k ≠0时，11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，代入椭圆方程，整理得2222(34)84120k x k x k +++-=，所以12x x =所以202434k x k=-+， 0023(1)34k y k x k =+=+，则AB 的垂直平分线方程为()2223143434k k y x k k k -=-+++．因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以22(0)34k D k-+，， 22223313434k k DF k k +=-+=++．因为椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得11(4)2AF x =+，同理21(4)2BF x =+．所以2120211212()44234k AB AF BF x x x k +=+=++=+=+． 4AB DF =．综上，得AB DF的值为4．方法2：设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，， ① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =；② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，由22112222144144x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得22221212043x x y y --+=，所以120120()()043x x x y y y -⋅-⋅+=，所以直线AB 的斜率为01212034x y y x x y -=--，则AB 的垂直平分线方程为00004()3yy y x x x -=-．因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以0(0)4x D ，，所以014xFD =+．同方法一，有04AB x =+，所以4AB DF =．综上，得AB DF 的值为4．方法3：① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF=． ② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，，则AB 的中点为1212()22x x y y M ++，，所以AB 的垂直平分线方程为12121212()22y y x x x xy x y y +-+-=---．令y =0，得221212122()2D y y x x x x x -+=+-22221212122()y y x x x x -+-=-2222121212113(1)3(1)442()x x x x x x -+-+-=-22121211442()x x x x -=-128x x +=．所以1218x x DF +=+．同方法一，有121()42AB x x =++ 2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点(1，32)．过椭圆C的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一点P ，交直线l ：x ＝m (m ＞a )于点M .已知点B (1，0)，直线PB 交l 于点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)若MB 是线段PN 的垂直平分线，求实数m 的值．【解析】 (1)因为椭圆C 的离心率为32，所以a 2＝4b 2.又因为椭圆C 过点(1，32)，所以1a 2＋34b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)解法一：设P (x 0，y 0)，－2＜x 0＜2，x 0≠1，则x 204＋y 20＝1.因为MB 是PN 的垂直平分线，所以P 关于B 的对称点N (2－x 0，－y 0)，所以2－x 0＝m .由A (－2，0)，P (x 0，y 0)，可得直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，令x ＝m ，得y ＝y 0()m ＋2x 0＋2，即M (m ，y 0()m ＋2x 0＋2)．因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以k PB ·k MB ＝y 0x 0－1·y 0()m ＋2x 0＋2m －1＝－1，即y 20（m ＋2）()x 0－1()x 0＋2()m －1＝－1.因为x 204＋y 20＝1.所以()x 0－2()m ＋24()x 0－1()m －1＝1.因为x 0＝2－m ，所以化简得3m 2－10m ＋4＝0，解得m ＝5±133.因为m ＞2，所以m ＝5＋133.解法二：①当AP 的斜率不存在或为0时，不满足条件．②设AP 斜率为k ，则AP ：y ＝k (x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k ()x ＋2，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.因为x A ＝－2，所以x P ＝－8k 2＋24k 2＋1，所以y P ＝4k4k 2＋1，所以P (－8k 2＋24k 2＋1，4k4k 2＋1)．因为PN 的中点为B ，所以m ＝2－－8k 2＋24k 2＋1＝16k 24k 2＋1.(*)因为AP 交直线l 于点M ，所以M (m ，k (m ＋2))，因为直线PB 与x 轴不垂直，所以－8k 2＋24k 2＋1≠1，即k 2≠112，所以k PB ＝4k4k 2＋1－8k 2＋24k 2＋1－1＝－4k 12k 2－1，k MB ＝k ()m＋2m －1.因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以－4k 12k 2－1·k ()m ＋2m －1＝－1.(**)．将(*)代入(**)，化简得48k 4－32k 2＋1＝0，解得k 2＝4±1312，所以m ＝16k 24k 2＋1＝5±133.又因为m ＞2，所以m ＝5＋133.3.（2018苏北四市一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点3(1,)2.F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点.⑴求椭圆的标准方程； ⑵若AF FC =，求BFFD的值； ⑶设直线,AB CD 的斜率分别为12,k k ，是否存在实数m ，使得21k mk =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解之得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩22143x y += （2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2A ，所以3(1,)2B --，此时直线BF 方程为3430x y --=，由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），故1(1)713317BF FD --==-．（3）设00(,)A x y ，则00(,)B x y --，直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得2220000(156)815240x x y x x ---+=，因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标008552C x x x -=-，又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--，同理，D 点坐标为0085(52x x ++，003)52y x +，所以000002100000335252558585335252y y x x y k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =．。

江苏专用2020版高考数学专题复习专题9平面解析几何第61练椭圆的定义与标准方程练习理

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专9平面解析几何第61练椭圆的定义与标准方程练习理（1）理解椭圆的左义，能利用定义求方程：（2）会依据椭圆标准方程用待左系数训练目标法求椭圆方程.训练题型（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆定义的应用；（3）求参数值.（1）泄义法求方程：（2）待泄系数法求方程；（3）根据椭圆泄义及a、b、c之解题策略间的关系列方程求参数值.1. ____________________________________________________ 已知焦点在y轴上的椭圆秩+二=1的长轴长为8,贝山= _____________________________________ .1U m2.设凡尺分别是椭圆去+三=1的左，右焦点，P为椭圆上一点，”是凡邛勺中点，0件3,10则尸点到椭圆左焦点的距离为_________ •・3.设凡E分别是椭圆丘J+备=l（0G<1）的左，右焦点，过点片的直线交椭圆疋于&尸两点，若AJA3RB,低丄x轴，则椭圆疋的方程为__________________________ .R R■ ■4.（2016 •兰州一模）已知椭圆半+寻=l（a>Q0）的左，右焦点分别为凡忌点尸在椭圆上，0为坐标原点，若0P=*丘,且彤• PF：=£,则该椭圆的离心率为________________ .y5.（2016 •衡水模拟）已知忌尺是椭圆7j-+/=l的两个焦点，尸为椭圆上一动点，贝IJ使PF：-啟取最大值的点尸的坐标为_________ .R ■6.（2016 •南通密卷）已知椭圆宇+扌= l（a>&）的中心、右焦点、右顶点依次为0, F, G,J FG直线平=#=^与"轴交于"点'则篇取得最大值时’巳的值为________________ .7.已知椭圆G扌+斗=1，点”与Q的焦点不重合，若”关于C的焦点的对称点分别为儿9 45,线段血•的中点在C上，则凡.8.（2016 •烟台质检）一个椭圆中心在原点，焦点斤，尺在x轴上，尸（2,羽）是椭圆上一点, 且彤，唇尿成等差数列，则椭圆的方程为_______________________ •y / 19.（2016 •衡水冀州中学上学期第四次月考）若椭圆-4-T==l（a>6>0）的离心率e=z,右3 b Z焦点为尸（c,0）,方程d+2&+c=0的两个实数根分别是卫，则点尸g, Q到原点的距离为 _______ .X V10.已知椭圆£：了+左=1（a>Q0）的右焦点为尸（3, 0）,过点尸的直线交尸于万两点•若曲的中点坐标为（1, 一1）,则疋的方程为_________________ .11.（2016 •池州模拟）已知恥/5, 0）,椭圆1与直线尸皿+/）交于点儿B,则△月阳的周长为_______ •12.（2016 •豫北六校联考）如图所示,A,万是椭圆的两个顶点,Q是丽的中点，尸为椭圆的右焦点，％的延长线交椭圆于点M,且OF=y[2,若J0丄创,则椭圆的方程为 ______________ . 13・（教材改编）已知点P® y）在曲线斗+首=1厲>0）上，则Y + 2y的最大值f（b）= 4 b__________________ .（用含b的代数式表示）14. （2016 •合肥一模）若椭圆三+备=1的焦点在x轴上，过点（bb作圆/+/=1的切线, a b2切点分别为川，5,直线丽恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是答案精析1. 162.4解析如图，设片(一G O), E(G O),其中c=y/l-b :.又设 A(Ct tf) 9 jo). 由 AF 、= 3Fb 得庞=3矗即(~2c» — Zf)=3Ca+6 y 0)=(3AO +3C , 3_pb)， •*«Ab= _|c= -討］_歹，代入椭圆方程，得亠；'一+ £=1，4.半5. (0, 1)或(0, — 1)6. 2解析设焦距为2°,则二5,由题意得第=7=£—①运岂当£=*时取等号，又 Y OH a a a \ a 2c/ —£=3,所以a=2・7. 12解析如图，设砂的中点为Q ，连结莎，DF-则点。

《学案与测评》高考数学总复习第九单元第六节椭圆精品课件苏教版

故 ∴c在2=R5t3△，PF于2F是1中b，2=4ac22-=c2P=1F012.-PF22=9 ,
3
又所求椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭
圆方程为 x2 5
3y2 10
1或
y2 5
3x2 10
1
学后反思 (1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能
确定椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程，分别计
举一反三
4. 已知某荒漠上有两个定点A、B，它们相距2 km.现准备在荒漠上围垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.问农艺园的最大面积能达到多少?
解析：设平行四边形的另两个顶点为C、D，由围墙总长为8 km得CA+CB=4>AB=2,由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B 为焦点，长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆.以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的x4轨2 迹y3方2 程1为(y 0) 易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD面积最大，则以C、 D为此椭圆短轴的两端点，此时面积S=2 3 km2.
分析建立坐标系后写出椭圆方程，求出y与x的关系式，从而求
出S与x的函数式.
解依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如下图），
则半椭圆方程为
x2 r2
4yr2(2y≥10),
解得 y 2 r(20≤xx2≤r).
1 ∴S= 2(2x+2r)·2 r2=x2 2(x+r2r),x2 由S＞0和C与D不重合，得其定义域为{x｜0<x<r}.
基础梳理
第六节椭圆
1. 椭圆的定义（1）平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件: ①到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a; ②2a＞F1F2. (2)上述椭圆的焦点是 F1、，椭圆的焦距是F1F2.

(江苏专版)高考数学一轮复习第九章解析几何第四节椭圆实用课件文

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3.[考点二]已知中心在原点，焦点坐标为(0，±2 6)的椭圆被直线
a42＋b32＝1， c2＝a2－b程为x82＋y62＝1.
[答案] (1)x32＋y22＝1 (2)x82＋y62＝1
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[方法技巧] 待定系数法求椭圆方程的思路
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能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点一]已知椭圆 C：x42＋y32＝1，M，N 是坐标平面内的两点，
MAN 的中位线，则|DF1|＝12|AN|，同理|DF2|＝12|BN|，所以|AN|
＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)，因为 D 在椭圆上，所以根据椭圆的定
义知|DF1|＋|DF2|＝4，所以|AN|＋|BN|＝8.
答案：8
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2.[考点一](2018·浙江金丽衢联考)若椭圆 C：x92＋y22＝1 的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，且|PF1|＝4，则∠F2PF1＝________. 解析：由题意得 a＝3，c＝ 7，则|PF2|＝2a－|PF1|＝2.在△ F2PF1 中，由余弦定理可得 cos∠F2PF1＝42＋22×2－4×22 72＝－12. 又∵∠F2PF1∈(0，π)，∴∠F2PF1＝23π. 答案：23π
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2(1．)焦椭点圆在的x标轴准上方的程椭圆的标准方程是__xa_22_＋__by_22＝__1__(a＞b＞0)，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.
(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程是__ay_22_＋__xb_22＝__1__(a＞b＞0)，焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，其中c2＝a2－b2.
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(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6椭圆(第2课时)直线与椭圆教案(含解析)

第2课时直线与椭圆题型一直线与椭圆的位置关系例1(2019·徐州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (3,1)在椭圆上，△PF 1F 2的面积为2 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线y ＝x ＋k 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．解 (1)由条件可知9a 2＋1b2＝1，12PF F S V ＝12×2c ×1＝c ＝22，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝12，b 2＝4，所以椭圆的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 24＝1，y ＝x ＋k ，得4x 2＋6kx ＋3k 2－12＝0，解得x 1,2＝－6k ±36k 2－16(3k 2－12)8，则x 1＋x 2＝－3k 2，x 1x 2＝3k 2－124，y 1y 2＝(x 1＋k )(x 2＋k )＝k 2－124.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－6＝0，解得k ＝±6，此时Δ＝120>0，满足条件．因此k ＝± 6.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．跟踪训练1(1)若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．答案 [1,5)∪(5，＋∞)解析方法一由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立，即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立，由于m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.(2)(2018·江苏十校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设AM →＝eAB →，则该椭圆的离心率e 为________．答案5－12解析因为点A ，B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，所以点A ，B 的坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a e，0，(0，a )．⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ex ＋a ，b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，由e ＝c a化简得，x 2＋2cx ＋c 2＝0，解得M (－c ，a －ec )，由AM →＝eAB →得，⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋a e ，a －ec ＝e ⎝ ⎛⎭⎪⎫a e ，a ，即a －ec ＝ea ，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍去)．题型二弦长及中点弦问题命题点1 弦长问题例2斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则AB 的最大值为________．答案4105解析设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1,2＝－4t ±25－t 25，∴AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝425·5－t 2，当t ＝0时，AB max ＝4105.命题点2 中点弦问题例3已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________．答案 x ＋2y －3＝0解析易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1， ① x 224＋y 222＝1，②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，求出两根，结合已知条件，解决相关问题．涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|(k 为直线斜率)．(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．跟踪训练2(1)已知椭圆x 236＋y 29＝1以及椭圆内一点P (4，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为________．答案－12解析设弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)36＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)9＝0，所以2(x 1－x 2)9＝－4(y 1－y 2)9，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意．(2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且AB ＝3，则椭圆C 的方程为________________．答案x 24＋y 23＝1解析设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且AB ＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，即椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.题型三椭圆与向量等知识的综合例4已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 的中点横坐标为14，且AF →＝λFB →(其中λ>1)．(1)求椭圆C 的标准方程； (2)求实数λ的值．解 (1)由椭圆的焦距为2，知c ＝1，又e ＝12，∴a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由AF →＝λFB →，可知A ，B ，F 三点共线，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝1，不符合题意；当AB 所在直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(*)(*)的判别式Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)>0. ∵x 1,2＝8k 2±144(k 2＋1)2(4k 2＋3)＝4k 2±6k 2＋14k 2＋3，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3＝2×14＝12，∴k 2＝14.∴x 1,2＝1±354.又AF →＝(1－x 1，－y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，AF →＝λFB →，即1－x 1＝λ(x 2－1)，λ＝1－x 1x 2－1，又λ>1，∴λ＝3＋52. 思维升华一般地，在椭圆与向量等知识的综合问题中，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几何的基本方法和基本思想．跟踪训练3已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1，0)，短轴的两个端点分别为B 1，B 2.(1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且F 1P —→⊥F 1Q —→，求直线l 的方程．解 (1)△F 1B 1B 2为等边三角形，则⎩⎨⎧c ＝3b ，c ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3b 2，a 2－b 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43，b 2＝13，椭圆C 的方程为3x 24＋3y 2＝1.(2)易知椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，由已知得Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1,2＝4k 2±16k 4－4×(2k 2＋1)×2(k 2－1)2(2k 2＋1)，所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2(k 2－1)2k 2＋1，F 1P —→＝(x 1＋1，y 1)，F 1Q —→＝(x 2＋1，y 2)，因为F 1P —→⊥F 1Q —→，所以F 1P —→·F 1Q —→＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝0，解得k 2＝17，即k ＝±77，故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是________．答案 2 解析由题意知，4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是________．答案相交解析由于直线y ＝kx ＋k ＋1＝k (x ＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．3．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．答案 53解析由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，不妨设A 点的纵坐标y A ＝－2，B 点的纵坐标y B ＝43，∴S △OAB ＝12·OF ·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是________．答案32解析设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知y M ＝－b 2a 2k x M ，代入k ＝1，M (－4，1)，解得b 2a 2＝14，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32. 5．(2018·南京模拟)已知椭圆C ：mx 2＋y 2＝1(0<m <1)，直线l ：y ＝x ＋1.若椭圆C 上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫63，1 解析设AB 的中点为P ，由中点弦问题可知k AB ·k OP ＝－m ，k AB ＝－1，k OP ＝m ，联立直线l 与直线OP 可得P ⎝⎛⎭⎪⎫1m －1，m m －1.由点P 在椭圆内，则m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m m －12<1，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.离心率e ＝1－m ∈⎝⎛⎭⎪⎫63，1. 6．过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →＝________. 答案－13解析依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan45°(x －1)，即y ＝x －1.代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43.所以设两个交点坐标为A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，所以OA →·OB →＝(0，－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13＝－13.同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.7．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2—→)·PF 2—→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是________．答案 1解析 ∵(OP →＋OF 2→—)·PF 2—→＝(OP →＋F 1O —→)·PF 2—→＝F 1P —→·PF 2—→＝0， ∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4，mn ＝2， ∴12F PF S V ＝12mn ＝1.8．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于____________．答案3－1解析直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt△MF 1F 2中，MF 1＝c ，MF 2＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，若AB ＝10，AF ＝6，cos∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.答案 57解析设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得BF ＝8，所以△ABF 为直角三角形，且∠AFB ＝90°，又因为斜边AB 的中点为O ，所以OF ＝c ＝5，连结AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以BF ＝AF 1＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.10．已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线PQ 过原点O 与MN 平行，且PQ 与椭圆交于P ，Q 两点，则PQ 2MN＝________.答案 2 2解析不妨取直线MN ⊥x 轴，椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F (－1,0)，令x ＝－1，得y 2＝12，所以y ＝±22，所以MN ＝2，此时PQ ＝2b ＝2，则PQ 2MN ＝42＝2 2. 11．已知椭圆C 的一个焦点为F 1(2,0)，相应准线为x ＝8，离心率e ＝12.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过另一个焦点且倾斜角为45°的直线截椭圆C 所得的弦长．解 (1)设点P (x ，y )为椭圆上一点，由统一定义得(x －2)2＋y 2|8－x |＝12，两边同时平方得4[(x －2)2＋y 2]＝(8－x )2，化简得x 216＋y 212＝1.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设椭圆的另一个焦点为F 2(－2,0)，过F 2且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x ＋2，与椭圆x 216＋y 212＝1联立消去y ，得7x 2＋16x －32＝0.设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝－8±1227，x 1＋x 2＝－167，AB ＝AF 2＋BF 2＝a ＋ex 1＋a ＋ex 2＝2a ＋e (x 1＋x 2)＝2×4＋12(x 1＋x 2)＝487.12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积．解 (1)过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为433，所以2b 2a ＝433.因为椭圆的离心率为33，所以c a ＝33，又a 2＝b 2＋c 2，可解得b ＝2，c ＝1，a ＝ 3. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (2)由(1)可知F (－1,0)，则直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y22＝1，消去y 得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. ①设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以x 1,2＝－6k 2±36k 4－4(2＋3k 2)(3k 2－6)2(2＋3k 2)，则x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.又A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝± 2.所以①式化为2x 2＋3x ＝0，x 1＝－32，x 2＝0，所以|x 1－x 2|＝32.CD ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋2×32＝332.而原点O 到直线CD 的距离为d ＝|k |1＋k2＝21＋2＝63，所以△OCD 的面积为S ＝12CD ×d ＝12×332×63＝324.13．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 解析设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m >c ，又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，∴m 2a 2＋m 2b 2＝1>c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e 2，即e 4－3e 2＋1>0，e 2<3－52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122，∴0<e <5－12.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)短轴的端点为P (0，b )，Q (0，－b )，长轴的一个端点为M ，AB 为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA ，PB 的斜率之积等于－14，则点P 到直线QM 的距离为______．答案455b 解析设A (x 0，y 0)，则B 点坐标为(－x 0，－y 0)，则y 0－b x 0·－y 0－b －x 0＝－14，即y 20－b 2x 20＝－14，由于x 20a 2＋y 20b 2＝1，则y 20－b2x 20＝－b 2a2，故－b 2a 2＝－14，则b a ＝12，不妨取M (a,0)，则直线QM 的方程为bx －ay －ab ＝0，则点P 到直线QM 的距离d ＝|2ab |a 2＋b2＝2·b 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝455b .15．平行四边形ABCD 内接于椭圆x 28＋y 24＝1，直线AB 的斜率k 1＝2，则直线AD 的斜率k 2＝________. 答案－14解析设AB 的中点为G ，则由椭圆的对称性知，O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，则GO ∥AD .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 214＝1，x 228＋y224＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)8＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4，整理得x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－2，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14.又G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以k OG ＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－14，即k 2＝－14.16．过椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上的动点M 作圆x 2＋y 2＝b 23的两条切线，切点分别为P 和Q ，直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为E 和F ，求△EOF 面积的最小值．解设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意知PQ 斜率存在，且不为0，所以x 0y 0≠0，则直线MP 和MQ 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝b 23，x 2x ＋y 2y ＝b 23.因为点M 在MP 和MQ 上，所以有x 1x 0＋y 1y 0＝b 23，x 2x 0＋y 2y 0＝b 23，则P ，Q 两点的坐标满足方程x 0x ＋y 0y ＝b 23，所以直线PQ 的方程为x 0x ＋y 0y ＝b 23，可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 23x 0，0和F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 23y 0，所以S △EOF ＝12·OE ·OF ＝b418|x 0y 0|，因为b 2y 20＋a 2x 20＝a 2b 2，b 2y 20＋a 2x 20≥2ab |x 0y 0|，所以|x 0y 0|≤ab2，所以S △EOF ＝b 418|x 0y 0|≥b 39a，当且仅当b 2y 20＝a 2x 20＝a 2b 22时取“＝”，故△EOF 面积的最小值为b 39a.。

(江苏专用)高考数学专题9 平面解析几何 69 椭圆的几何性质文-人教版高三全册数学试题

【步步高】（某某专用）2017版高考数学专题9 平面解析几何 69 椭圆的几何性质文1．(2015·日照二模)已知焦点在x 轴上的椭圆C ：a2＋y 2＝1(a >0)，过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，且AB ＝1，则该椭圆的离心率为________．2．(2015·某某大学附中月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值X 围是________．3．(2015·某某某某一中上学期第二阶段考试)在椭圆x 236＋y 29＝1上有两个动点P ，Q ，E (3,0)为定点，EP ⊥EQ ，则E P →·Q P →的最小值为________．4．(2015·某某重点中学盟校一联)已知焦点在x 轴上的椭圆的方程为x 24a ＋y 2a 2－1＝1，随着a的增大，该椭圆形状的变化是越________圆(填“接近于”或“远离”)．5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是________．6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，若AB ＝10，AF ＝6，cos∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率为________．7．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．8．(2015·滕州第五中学上学期第三次阶段性考试)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈[π6，π4]，则该椭圆离心率e 的取值X 围为________． 9.如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．10．(2015·某某宿豫实验高中第四次质量抽测)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，直线y ＝－3x 与椭圆C 交于A ，B 两点，且AF ⊥BF ，则椭圆C 的离心率为________． 11．(2015·苏锡常镇二调)已知A 为椭圆x 29＋y 25＝1上的动点，MN 为圆(x －1)2＋y 2＝1的一条直径，则A M →·A N →的最大值为________．12．(2015·某某六校3月联考)已知点F 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则PQ ＋PF 取最大值时，点P 的坐标为________．13．(2015·某某哈六中上学期期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值X 围为____________．14．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值X 围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值X 围是________．答案解析1.32 2.(13，12)∪(12，1) 3．6解析设P (x 0，y 0)，则有x 2036＋y 209＝1，因为EP ⊥EQ ，所以E P →·Q P →＝E P →·(E P →－E Q →) ＝(EP →)2－EP →·EQ →＝(E P →)2＝(x 0－3)2＋y 20＝(x 0－3)2＋9×(1－x 2036)，即E P →·Q P →＝34x 20－6x 0＋18.因为－6≤x 0≤6，所以当x 0＝4时，E P →·Q P →取得最小值6.4．接近于解析由题意知e 2＝1－a 2－14a ＝1－(a 4－14a)，而a 4－14a随着a 的增大而增大，所以e 随着a 的增大而减小，即随着a 的增大，该椭圆的形状越接近于圆． 5.14解析由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14. 6.57解析在△ABF 中，由36＝100＋BF 2－20BF ×45，解得BF ＝8.又在△BOF 中，由OF 2＝64＋25－80×45＝25，得c ＝5，设椭圆右焦点是F ′，则由椭圆对称性可得BF ＝AF ′，所以2a ＝AF ＋AF ′＝14，a ＝7，则离心率e ＝c a ＝57.7.3－1解析由直线方程为y ＝3(x ＋c )，知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2，所以MF 1＝c ，MF 2＝3c ，所以MF 1＋MF 2＝c ＋3c ＝2a . 即e ＝c a＝3－1. 8．[22，3－1] 解析 ∵B 和A 关于原点对称， ∴B 也在椭圆上，设左焦点为F ′，根据椭圆定义AF ＋AF ′＝2a ， ∵AF ′＝BF ， ∴AF ＋BF ＝2a .①∵O 是Rt△ABF 的斜边AB 的中点， ∴AB ＝2c ，又AF ＝2c sin α②BF ＝2c cos α，③②③代入①，得2c sin α＋2c cos α＝2a ，∴c a ＝1sin α＋cos α＝12sin α＋π4，即e ＝12sin α＋π4.∵α∈[π6，π4]，∴5π12≤α＋π4≤π2， 6＋24≤sin(α＋π4)≤1， ∴22≤e ≤3－1. 9.62解析 F 1F 2＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1.∵AF 2＋AF 1＝4，AF 2－AF 1＝2a ， ∴AF 2＝2＋a ，AF 1＝2－a . 在Rt△F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴AF 21＋AF 22＝F 1F 22，即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2， ∴a ＝2，∴e ＝c a＝32＝62. 10.3－1解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝－3x ，得x 2＝a 2b 23a 2＋b2.设A (x ，y )，则B (－x ，－y )，A F →＝(c －x ，－y )， B F →＝(c ＋x ，y )．由AF ⊥BF ，得A F →·B F →＝c 2－x 2－y 2＝c 2－4x 2＝0， ∴c 2＝4a 2b23a 2＋b2.化简，得c 4＋4a 4－8a 2c 2＝0，即e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4－23，又∵0<e <1，∴e ＝3－1.11．15解析记圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，设A (x ，y )，x ∈[－3,3]，则AC 2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋5－59x 2＝49x 2－2x ＋6，当x ＝－3时，(AC 2)max ＝16，A M →·A N →＝(A C →＋C M →)·(A C →－C M →)＝|AC →|2－|CM →|2＝|AC →|2－1≤15，故A M →·A N →的最大值为15. 12．(0，－1)解析设椭圆的右焦点为E ，PQ ＋PF ＝PQ ＋2a －PE ＝PQ －PE ＋2 2. 当P 为线段QE 的延长线与椭圆的交点时，PQ ＋PF 取最大值，此时，直线PQ 的方程为y ＝x －1， QE 的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P 的坐标为(0，－1)． 13．(2－1,1)解析由a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，得c a ＝sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2. 又由正弦定理得sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝PF 1PF 2，所以PF 1PF 2＝c a ，即PF 1＝c aPF 2.又由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ，所以PF 2＝2a2a ＋c ，PF 1＝2ac a ＋c，因为PF 2是△PF 1F 2的一边，所以有2c －2ac a ＋c <2a 2a ＋c <2c ＋2aca ＋c，即c 2＋2ac －a 2>0，所以e 2＋2e －1>0(0<e <1)，解得椭圆离心率的取值X 围为(2－1,1)． 14．[38，34]解析由题意可得，A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当PA 2的斜率为－2时，直线PA 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由PA 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线PA 1的斜率k ＝38.同理，当直线PA 2的斜率为－1时，直线PA 2的方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由PA 2的斜率存在可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，此时直线PA 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线PA 1斜率的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.。