3.2简单的三角恒等变换(2)导学案
(导学案)简单的三角恒等变换(2)
简单的三角恒等变换（二）学习目标：1.了解三角函数的积化和差、和差化积公式，了解三角恒等变换的特点、变换技巧，熟练掌握三角函数的有关公式，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的．2.以熟悉的二倍角公式为出发点，有利于引导学生激情投入、全力以赴，引发学生的学习兴趣，强化学生的参与意识，加强了解三角恒等变换下三角函数的性质之间的内在联系，体现了数学知识的内在美.重点：半角公式的推导过程及应用关角公式进行求值和化简.难点：公式的综合应用.预习案使用说明、学法指导：1.用15分钟左右的时间，阅读探究课本基础知识，能推导出积化和差、和差化积公式，能综合应用三角变换公式进行简单的三角恒等变换.自主高效预习，提升自己的阅读理解能力.2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题.3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面的“我的疑惑”处。
Ⅰ.相关知识1.和差化积公式①sin(α＋β)＋sin(α－β)＝；②sin(α＋β)－sin(α－β)＝；③cos(α＋β)＋cos(α－β)＝；④cos(α＋β)－cos(α－β)＝ .在上述四个式子中，令α＋β＝θ，α－β＝ϕ，则α＝，β＝2ϕθ-，由此可得出四个相应的和差化积公式：sinθ＋sinϕ＝；sinθ－sinϕ＝；cosθ＋cosϕ＝；cosθ－cosϕ＝ .2.积化和差公式①sinα·cosβ＝；②cosα·sinβ＝；③cosα·cosβ＝；④sinα·sinβ＝ .学习建议 请同学们回顾这部分旧知识，不使它们成为学习本课时内容的障碍。
Ⅱ.预习自测学习建议 自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才会”。
1.使函数f(x) ＝sin(2x ＋θ)＋3 cos(2x ＋θ) 为奇函数的θ 的一个值为( ). A ．6π B. 3π C. 2πD. 32π2.函数f(x)＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期是（ ） A.4π B.2πC. πD. 2π 我的疑惑 请将预习中不能解决的问题写下来，供课堂解决.探究案Ⅰ.学始于疑——我思考、我收获 “学始于疑”的内容为同学们进行下面探究学习前首先要思考的启发性问题，这些问题同学们不必作答，学完“探究案”后这些问题就会迎刃而解. 1.二倍角公式中的“倍角”如何理解？ 2. 如何正确使用二倍角公式？学习建议 请用2分钟时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究学习. Ⅱ.质疑探究——质疑解疑、合作探究 一、基础知识探究探究点 辅助角公式asinx ＋bcosx ＝22b a +sin(x ＋ϕ) 使asinx ＋bcosx ＝22b a +sin(x ＋ϕ)成立时，cos ϕ＝22ba a +，sin ϕ＝22ba b +，其中ϕ为辅助角，它的终边所在象限由点（a ，b ）决定.问题1：将下列各式化成Asin(ωx ＋ϕ)的形式，其中A ＞，ω＞0，|ϕ|＜2π. sinx ＋cosx ＝ ；sinx －cosx ＝ ；3sinx ＋cosx ＝ ；3sinx －cosx ＝ ；sinx ＋3cosx ＝ ；sinx －3cosx ＝ ；归纳总结探究点一 利用辅助角公式求值例1 已知cos α＝31，α为第四象限角，求sin 2α、cos 2α、tan 2α. 跟踪训练 已知cos θ＝－53，且180°＜θ＜270°，求tan 2θ.归纳总结（二）知识综合应用探究探究点二 辅助角公式的应用（重点）例2 已知函数f(x)＝2cosx(sinx －cosx )＋1，x ∈R. (1)求函数f(x)的最小正周周期. (2)求函数f(x)在区间[8π，43π]上的最小值和最大值.拓展提升已知函数f(x)＝3sin(2x －6π)＋2sin 2(x －12π)( x ∈R).(1)求函数f(x)的最小正周周期.(2)求函数f(x)取最大值的x 的集合.探究点四 三角恒等式的证明（重点）例2 求证：βαβαβα22cos sin )sin()sin(-+＋αβ22tan tan ＝1.探究点五 与平面向量、三角函数性质有关的问题例3 已知向量→a ＝（sinx ，cosx ），→b ＝（3cosx ，cosx ），且→b ≠→0，定义函数f(x)＝2→a ·→b －1.(1)求函数f(x)的单调增区间. (2)若→a ⊥→b ，求x 的最小正值.探究点六 实际应用题（难点）例4 把一段半径为R 的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯才能使横截面的面积最大?Ⅲ.我的知识网络图——归纳总结、串连整合Ⅳ.当堂检测——有效训练、反馈矫正1.函数f(x) ＝sinx －3cosx(x ∈[－π，0])的单调增区间是（ ） A.[ －π，－65π] B. [ －65π，－6π] C. [ －3π，0] D. [ －6π，0]2.已知f(x)＝cos 4x －2sinx ·cosx －sin 4x. (1)求f(x)的最小正周期.(2)当x ∈[0，2π]时，求f(x)的最小值及取得最小值时x 的集合.训练案1.已知|tan3θ|＝25，215π＜θ＜9π，那么sin 6θ的值为 .2.已知cos(4π－α)＝1312，且4π－α是第一象限角，则)4sin()22sin(απαπ+-的值为 .3.已知αααcos sin 2cos 1-＝1，tan(β－α)＝－31，则tan(β－2α)＝ .4.已知函数f(x)＝3sinx －cosx ，x ∈R.若f(x)≥1，则x 的取值范围为（ ）A ．{x|k π＋3π≤x ≤k π＋π，k ∈Z } B. {x|2k π＋3π≤x ≤k π＋π，k ∈Z } C. {x|k π＋6π≤x ≤k π＋65π，k ∈Z } D. {x|2k π＋6π≤x ≤2k π＋65π，k ∈Z }5.已知：0°＜α＜β＜90°,sin α与sin β是方程x 2－(2cos40°)x ＋cos 240°－21＝0的两个根，求cos(2α－β)的值.6.设a ∈R ，f(x)＝cosx(asinx －cosx) ＋cos 2(2π－x )满足f(－3π)＝f(0)，求函数f(x)在 [4π，2411π]上的最大值和最小值.。
《2简单的三角恒等变换》导学案
《3．2 简单的三角恒等变换》导学案（二）【学习目标】1.会将形如x b x a cos sin +的函数转化为)sin(ϕ+=x A y 的函数；2.能灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题.3.会建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题.【学习重难点】重点：和、差、倍角公式的灵活应用.难点：建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题.【学习过程】一、 知识回顾1． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式：22222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 2.1tan ααααααααααα==-=-=-=-，，3．半角公式sin 1cos sin.2221cos sin .2αααααααα-====+称为半角公式，符号由所在象限决定 4．三角式恒等变换的解题思路：三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点. 在使用和差角公式与倍角公式时，需要明确各公式的作用，熟练运用时注重通法与技巧，如（1）公式的顺用、逆用、活用；（2）抓住角度之间的联系，通过拆角、凑角等途径，进行角度之间的变换；（3）常用通法与技能技巧的使用，如切弦互化，“1”的妙用、平方法等.二、 知识点一 三角恒等变换在数学中应用的举例()()23cos 2.12sin .y x x y x =-=已知函数求函数的增区间；说出此函数与之间的关系例1三、知识点二 建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题.例2. 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.22200281sin cos .25θθθ-年月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，求的值例3【基础达标】cos .y x x =+求函数的周期、最大值和最小值1.2. 把一段半径为R 的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的 面积最大？【课堂小结】【当堂检测】1.已知半径为1的半圆，PQRS 是半圆的内接矩形如图，问P 点在什么位置时， 矩形的面积最大，并求最大面积的值．2.已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=（1） 求)(x f 的最小正周期，（2）当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合．【课后反思】本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是我对导学案的建议是R SO。
高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换课堂导学案
3.2 简单的三角恒等变换课堂导学三点剖析1.熟练掌握三角函数的有关公式,进行简单的三角恒等变换【例1】 化简:1tan 22cos 42sin 3--θθθ-sin2θ-cos 2θ 思路分析:首先将切化弦,然后统一角,将2θ化为θ角的三角函数.解:原式=1cos sin 22cos 42sin 3--θθθθ-sin2θ-cos 2θ =θθθθθθcos sin 2]sin 4cos 4cos sin 6[cos 22-+-∙-sin2θ-cos 2θ =θθθθθθθθθcos sin 2)]cos 4cos sin 8(cos sin 2sin 4[cos 22--+--sin2θ-cos 2θ =θθθθθθθcos sin 2]cos 4sin 2)[cos sin 2(cos -+-∙-sin2θ-cos 2θ =cos θ（2sin θ+4cos θ）-sin2θ-cos 2θ=sin2θ+4cos 2θ-sin2θ-cos 2θ=3cos 2θ.温馨提示代数式的化简，主要形式有消元、降次、约分等，在三角函数中要通过角变换，名变换，式变换为消元、降次、约分等创造条件，本题就是通过切化弦减少了函数种类，通过角度统一，减少角的个数，为化简铺平道路.2.正确地选择公式，从整体上把握变换过程【例2】已知π＜α＜23π，化简 ααααααcos 1cos 1sin 1cos 1cos 1sin 1-++-+--++ 思路分析:根式化简应升幂去根号，分式化简应化积后约分.解:∵π＜α＜23π, ∴2π＜2α＜43π. 利用半角公式得 2cos 1=+α|cos2α|=-2cos 2α, 2cos 1=-α|sin 2α|=2sin 2α. 原式=)2cos 2(sin 2sin 1)2sin 2(cos 2sin 1αααααα--++-+=2cos 2)2cos 2(sin 2)2cos 2(sin)2sin 2(cos 2)2sin 2(cos 22ααααααααα---++-+. 温馨提示解决本题的关键是利用1+cos α=2cos 22α与1-cos α=2sin 22α升幂,去掉根号,问题获解. 3.熟悉三角公式的结构特征、化式成立的条件及挖掘题目中的隐含条件 【例3】 已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=21,tan β=-71,求sin(2α-β)的值. 思路分析:∵2α-β=(α-β)+α,可先求α的三角函数.解:tan α=tan ［(α-β)+β］=31tan )tan(1tan )tan(=--+-ββαββα, ∴tan2α=αα2tan 1tan 2-=43,tan(2α-β)=βαβαtan 2tan 1tan 2tan +-=1. ∵α,β∈(0,π),∴-π＜2α-β＜2π,由tan(2α-β)=)2cos()2sin(βαβα--, 得cos(2α-β)=sin(2α-β).又∵sin 2(2α-β)+cos 2(2α-β)=1,∴2sin 2(2α-β)=1,解得sin(2α-β)=±22. ∵tan α=31,α∈(0,π),∴0＜α＜4π,∴0＜2α＜2π. 又∵tan β=-71,β∈(0,π),∴2π＜β＜π. ∴-π＜2α-β＜0,∴sin(2α-β)=-22. 温馨提示挖掘本题中的隐含条件,由正切值可以使用的范围缩小,本题易忽略缩小角的范围而出错. 各个击破类题演练1 化简：.)4sin()4tan(21cos 22απαπα+-- 解)4sin()4tan(21cos 22απαπα+∙--=)4(cos )4cos()4sin(21cos 222απαπαπα-∙--∙- =αααπα2cos 2cos )4(sin 2cos =-2=1. 变式提升1 证明 2sin 4x+43sin 22x+5cos 4x-21cos4x-21cos2x=2（1+cos 2x ）. 证明：左边=2（22cos 1x -）2+43（1-cos 22x ）+5（22cos 1x +）2-21（2cos 22x-1）-21cos2x =3+cos2x.右边=2（1+22cos 1x +）=3+cos2x ，∴左边=右边. ∴原式成立.类题演练2 求证αααsin cos 1sin 1+++=21(tan 2α+1). 证明:左边=2cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22cos 2sin 222ααααααα+++ =2cos 22cos 2sin )2cos 2(sin 2cos 2)2cos 2(sin2αααααααα+=++ =21(tan 2α+1). ∴等式成立.变式提升2 求︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2的值; 解:原式=︒︒-︒-︒20cos 20sin )2030cos(2 =︒︒-︒︒+︒︒20cos 20sin 20sin 30sin 220cos 30cos 2 =.320cos 20cos 320cos 20sin 20sin 20cos 3=︒︒=︒︒-︒+︒ 类题演练3已知tan α=71,tan β=31,并且α、β均为锐角，求α+2β. 解:∵tan β=31,。
数学必修4教学案：3.2 简单的三角恒等变换(教学案)
数学必修4教学案：3.2 简单的三角恒等变换（教学案）数学必修4教学案：3.2简单的三角恒等变换（教、学案）3.2简单三角恒等式变换【教学目标】能够用所学公式简化、评估和证明三角函数公式，引导学生推导半角公式、和差公式和和差积公式（公式不需要记忆），使学生进一步提高运用变换、变换、方程等数学思想解决问题的能力。
【教学重点、难点】教学重点：引导学生学习三角变换的内容、思想和方法，了解三角变换的特点，在现有公式的基础上提高其推理和计算能力，并以半角公式、和差公式和和差积公式的推导为基础训练。
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。
【教学过程】回顾介绍：回顾角度倍增公式s2?、c2、t2?首先，让学生写下三倍角度的公式，注意等号两侧角度之间的关系，并特别注意C2？。
既然我们可以用单角度来表示双角度，我们可以用双角度来表示单角度吗？半角公式的推导和理解：例1、试以cos?表示sin2?2,cos2?2,tan22?2．分析：我们可以通过双角度cos？？2cos角度公式？第二代？，21和cos??1?2sin2?2来做此题．（二倍（一代人？）22解决方案：cos？？1.因为什么？？2cos2？2.你能得到sin2吗？2.1.余弦？；2.2.1.你能得到Cos2吗？2.1.因为？。
2.你能用两个公式除以Tan 2吗？2.2.1.因为？。
？1.余弦？cos22sin2？Sin评论：⑴ 上述结果也可以表示为：21cos21cos2cos2tan21cos1cos并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2角的象限决定。
⑵ 在三角函数公式的简化、求值和证明中，广泛使用了降幂和增幂公式以及降幂和增幂公式。
⑶ 代数变换通常侧重于公式的子结构形式的变换。
三角恒等式变换通常首先寻找公式中包含的角度之间的联系，并在此基础上选择合适的公式来联系它们，这是三角恒等式变换的一个重要特征。
《简单的三角恒等变换》导学案2
4-53 3．2《简单的三角恒等变换》导学案2【学习目标】： 通过例题的解答，促进学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元。
逆向使用公式等数学思想方法的认识， 从而加深理解变换思想，提高推理能力。
【重点难点】： 辅助角公式在三角恒等变换中的应用及三角恒等变换的相关综合问题。
【学法指导】： 合作交流和认真思考相结合。
【知识链接】： 辅助角公式sin cos )a x b x x θ+=+（其中tan b aθ=） 【学习过程】：1．三角恒等变换的常用方法：能灵活利用公式对三角函数式进行变形，必须注意三变：变名，变次，变角。
（1） 变名例1. 求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值。
例2. 已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，c 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记COP α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求这个最大面积。
（2）变次① 当题中有高次幂的时候，常用半角公式降幂。
例3：求函数21sin 2sin ()2y x x x R =+∈的最大值与最小值。
② 当题中有根式的时候，常用倍角公式升幂。
例4：已知32ππα<<的值。
（3） 变角：例5：已知tan()3tan αβα+=，求证：2sin 2sin 2sin(22)βααβ-=+。
例6：求证：2cos 1sin 214tan 2tan 2αααα=-【归纳小结】：三角恒等变换的常用方法：变次；变角；变名。
【当堂检测】：1．求值：00cos10(tan10sin 50= （ ） A2 B-2 C12 D 12- 2．已知cos()sin 6παα-+=则7sin()6πα+的值是 （ ） A．B C 45- D 45 3．函数sin ()sin 2sin 2xf x x x =+是 （ ）A 周期为4π的偶函数B 周期为2π的奇函数C 周期为2π的偶函数D 周期为4π的奇函数【课后作业】：1．若函数x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图象分别交于M ，N 两点，则MN 长度的最大值为 （ ） A1D22．函数sin()4()cos sin cos x f x x x x xπ-=-是 （ ）A 周期为2π的偶函数 B 周期为π的非奇非偶函数 C 周期为π的偶函数 D 周期为2π的非奇非偶函数3．已知函数2()sin sin()(0)2f x x x x πωωωω=++>的最小正周期为π。
§3.2 简单的三角恒等变换(导学案)(学生版)
1、知识目标：以已有的十一个公式为依据，以求三角函数的周期，最值，三角函数恒等式的证明为基本训练，学习三角变换的内容，思路和方法。
2、能力目标：体会三角变换的特点，提高推理，运算的能力。
能运用化归转化的数学思想方法对三角函数的变换过程进行设计，不断提)B ϕ+的周期，最值，单调区间： 2. 三角函数和差角公式： 3.三角函数二倍角公式： 4.辅助角公式： 二、问题设置： 问题1、求函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=+--的周期，最大值和最小值。
问题2、证明：21cos 2tan 1cos 2θθθ-=+三、知识探究：探究问题1：思考1：求解函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=+--的周期，最值与求函数y sin()A x B ϖϕ=++的周期，最值有什么区别与联系吗？答：问题都是一样的；如果能把函数22tan tan 2y cos)tan 2tan αααααα=--转化为函数y sin()A x B ϖϕ=++，那么，函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=--的周期和最值就可以求解了。
思考2：如何将函数22tan tan 2y cos )tan 2tanαααααα=+--转化为y sin()A x B ϖϕ=++的形式呢？思考3：观察函数22tan tan 2y cos )tan2tan αααααα=+--与函数y sin()A x B ϖϕ=++形式的差别，有哪些？答：函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=--中三角函数的种类多，角也是两种不同的角思考4：在问题3中所找到的差别，我们能否转化消除？如果能，怎样转化消除？答：正切化正弦，可以减少一种三角函数，tan 2α可以通过正切的二倍角公式转化为单角，这样就可以和其它三角函数的角一样了 思考5：当我们把函数22tan tan 2y cos )tan2tan αααααα=--中与y sin()A x B ϖϕ=++不同的地方全部转化消除了，是否意味着我们可以求函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=--的周期，最大值和最小值？思考6：如何书写此问题的解答过程？请在下面写出来： 解答：反思总结：探究问题2：思考7：这是三角恒等式的证明问题，在学习同角三角函数关系的时候，我们已经接触过三角函数恒等式的证明问题，请问三角恒等式的证明有哪些方法？思考8：若用“从等式的左边推证得出等式的右边”的方法证明此恒等式，你认为其核心思想是什么？与思考1问题解决的核心思想有什么样的关系？思考9：结合思考1的解题思路，给出思考2的解答反思总结：四．知识巩固：1、求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值： （1）y sin 2cos 2x x =（2）2y 2cos 12x=+（3）y sin 4x x =+2、求证：（1）2(sin 2cos2)1sin 4x x x -=- （2）12tan 2tan tan2θθθ-=-（3）1sin 2cos sin cos sin θθθθθ+=++ （4）1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++（5）tan()tan()2tan 2424xx x ππ++-=（6）21cos 22sin 2x x ++= ）。
3.2 简单的三角恒等变换(2) 导学案 教案
3.2 简单的三角恒等变换（2）学习目标：1、以已有的公式为依据，以求三角函数的周期，最值，为基本训练，学习三角变换的内容，思路和方法。
2、体会三角变换的特点，提高推理，运算的能力。
能运用化归转化的数学思想方法对三角函数的变换过程进行设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。
3、激情投入，全力以赴，享受学习成功的快乐；培养学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并提高学生综合分析能力。
重点：三角公式的应用；难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，从整体上把握变换过程的 能力。
一、相关知识1. 二倍角公式.2. 诱导公式五、公式六3. x b x a cos sin +=二、预习自测（学习建议）自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量，请同学们独立完成下面的题目。
1.试求函数的周期及最值。
x x y cos sin 3+=2.试求函数的最小值。
x x y 2sin cos 22+=我的疑惑：请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。
板书目标展示组 点评组 探究1 1 4 2 2 5 3 3 6探究点1 已知函数y =c o s x (c o s x +3s i n x )+1(1) 求函数的最小正周期和最值； (2) 求这个函数的单调递增区间。
归纳总结：降幂公式辅助角公式“凑”角探究点2求函数的单调区间。
的值。
、及取得最值时的的最小正周期、最大值）（，求设函数)2()(118cos2)64sin()(2x x f x x x f +--=πππ规律方法总结：探究点3： 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记α=∠COP ，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大值。
规律方法总结: 降幂公式辅助角公式“凑”角应用问题要转化为数学问题注意角的范围当堂检测：（1）间及最大值。
高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换3.2.1倍角公式导学案新人教A版必修4【精选】.doc
13.2.1二倍角公式教学目标： 12能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明教学重点：二倍角公式的推导 教学过程sin15cos15×o o 的求值问题？一、复习引入复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：),(,sin cos cos sin )sin(R R ∈∈+=+βαβαβαβα )(βα+S=+)sin(αα),(,sin sin cos cos )cos(R R ∈∈-=+βαβαβαβα )(βα+C =+)cos(αα ),2,,(,tan tan 1tan tan )tan(Z k k ∈+≠+-+=+ππβαβαβαβαβα)(βα+T=+)tan(αα二、讲解新课(一) 二倍角公式的推导在公式)(βα+S ，)(βα+C ，)(βα+T 中，当βα=时，得到相应的一组公式： sin 2________________α= 简记为_____________.cos 2________________α=简记为_____________又可写成________________.________________.=⎧⎨=⎩tan 2________________α= 简记为_____________.（二）公式的变形应用21sin 2_______________(_________).α±==1cos 2_______;1cos 2_______.αα+=-= 22sin _______.cos _______.αα⇒==（三）相对2倍角(倍角的相对性)sin 2________________α=cos 2________________α=sin α= cos α= （利用2α表示） cos4α= __________________ cos3_________.α=（利用32α表示）. sin2α=__________________ （22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用）例1不查表．求下列各式的值(公式的逆用) （１） 15cos 15sin ； （２）8sin 8cos 22ππ-；（３）5.22tan 15.22tan 22-； （４）75sin 212-． （5）22cos 112π-= （6）求cos 20cos 40cos60cos80o o o o 的值例2求值（１）)125cos 125)(sin 125cos 125(sin ππππ-+（２）2sin 2cos 44αα- （３）ααtan 11tan 11+-- （４）θθ2cos cos 212-+例3若tan θ = 3，求sin2θ- cos2θ的值三、课后提升1、已知12cos13α=，)2,0(πα∈，求sin2α，cos2α，tan2α的值 ?2、已知5tan12α=，3(,)2παπ∈，求tan2α的值。
3.2简单的三角恒等变换导学案
- 1 -3.2简单的三角恒等变换学案【学习目标】掌握降次公式（半角公式）的降次作用,能正确运用三角公式进行三角恒等变换。
【重点、难点】灵活的运用将次公式进行三角恒等变换 【基础梳理】1、 )sin(βα+= )sin(βα-= =+)cos(βα =-)cos(βα =+)tan(βα =-)tan(βα2、辅助角公式： x b x a cos sin +=3、α2sin = =α2cos = =4、降幂升角 2sin α= 2cos α= 5．用αcos 表示下列三角函数式：2sin2α= ；2cos2α= 2tan2α=【预习自测】1.75sin 15sin 的值是 。
2.化简：2cos 2sinxx = x x sin cos -= 3.证明：（1）2(sin cos )1sin 2θθθ-=-；（2）44cos sin cos 2ααα-=. 4. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A1010 B 1010- C 10103 D 10103- 【典例探讨】1.倍角或半角公式的简单应用 例1、 试以αcos 表示2tan ,2cos ,2sin 222ααα。
分析：α是2α的二倍角，在二倍角的余弦公式中以α代替2α，以2α代替α， 即得222sin,cos ,tan 222ααα相除得. 探讨：你能进一步求出sin,cos,tan222ααα的值吗？变式1：已知43sin -,(,2)52πααπ=∈，sin ,cos ,tan 222ααα的值。
变式2：已知α是钝角，β是锐角，且4sin 5α=，12sin 13β=，求-cos 2αβ的值. 2．倍角或半角公式的灵活应用：三角函数式的求值例2：已知：sin 22sin()sin()4242απαπα=-+，求25sin 23sin cos ααα-的值. 分析：4242παπα-+与的和为2π，所以sin()=cos()4222παπα+-，代入化简；给值、求值的关键是找出已知的式子与欲求的式子之间的关系，适当变换已知的式子和欲求的式子，即可. 变式3：已知tan 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求2sin 22cos θθ-的值. 【课堂检测】1.已知135sin =α，且α在第二象限，求2sin α ，2tan α的值。
《简单的三角恒等变换》 导学案
《简单的三角恒等变换》导学案一、学习目标1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。
2、能运用上述公式进行简单的三角恒等变换，包括化简、求值、证明等。
二、学习重难点1、重点（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用。
（2）二倍角公式的应用。
（3）三角恒等变换的基本思路和方法。
2、难点（1）公式的灵活运用和变形使用。
（2）角的合理变换和整体代换思想的运用。
三、知识梳理1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）（2）＼（＼sin(＼alpha ＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＼cos\alpha\sin\beta\）（3）＼（＼cos(＼alpha ＋＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＼sin\alpha\sin\beta\）（4）＼（＼cos(＼alpha ＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＋＼sin\alpha\sin\beta\）（5）＼（＼tan(＼alpha ＋＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＋＼tan\beta}｛1 ＼tan\alpha\tan\beta}＼）（6）＼（＼tan(＼alpha ＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＼tan\beta}｛1 ＋＼tan\alpha\tan\beta}＼）2、二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）＼（＼sin 2\alpha ＝ 2\sin\alpha\cos\alpha\）（2）＼（＼cos 2\alpha ＝＼cos^2\alpha ＼sin^2\alpha ＝2\cos^2\alpha 1 ＝ 1 2\sin^2\alpha\）（3）＼（＼tan 2\alpha ＝＼frac{2\tan\alpha}｛1 ＼tan^2\alpha}＼）3、辅助角公式＼（a\sin\alpha ＋ b\cos\alpha ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼sin(＼alpha ＋＼varphi)＼），其中\（＼tan\varphi ＝＼frac{b}｛a}＼）四、典型例题例 1 化简：＼（＼sin 15^｛＼circ}＼cos 75^｛＼circ} ＋＼cos 15^｛＼circ}＼sin 75^｛＼circ}＼）解：＼＼begin{align}＆＼sin 15^｛＼circ}＼cos 75^｛＼circ} ＋＼cos 15^｛＼circ}＼sin 75^｛＼circ}＼＼＝＆＼sin(15^｛＼circ} ＋ 75^｛＼circ}）＼＼＝＆＼sin 90^｛＼circ}＼＼＝＆1＼end{align}＼例 2 已知\（＼sin\alpha ＝＼frac{3}｛5}＼），＼（＼alpha\）为第二象限角，＼（＼cos\beta ＝＼frac{5}｛13}＼），＼（＼beta\）为第三象限角，求\（＼cos(＼alpha ＼beta)＼）的值。
【新导学案】高中数学人教版必修四：32《简单的三角恒等变换》(2).doc
3. 2《简单的三角恒等变换》导学案【学习目标】会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明；会推导半角公-式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），进一步提高运用转化、换元、方 程等数学思想解决问题的能力。
【重点难点】学习重点：以己有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三 角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。
学习难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上 把握变换过程的能力〜【学法指导】复习倍角公式S2/ C 2a T M 先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意.o 既然能用单角，表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？回顾复习两角和与差的正弦、余V 2a弦和正切公式及二倍角公式，预习简单的三角恒等变换。
【知识链接】：1、回顾复习以下公式并填空： cos2 a =2、阅看课本 Pl39—141 例 1、2、3o三、提出疑惑： 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中【学习过程】：探究一：半角公式的推导（例1）请同学们阅看例1,思考以下问题，并进行小组讨论。
1、2。
与a 有什么关系？ a 与a/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。
2、 半角公式中的符号如何确定？3、 二倍角公式和半角公式有什么联系?4、 代数变换与三角变换有什么不同？ 探究二：半角公式的推导（例2）请同学们阅看例2,思考以下问题，并进行小组讨论。
1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系?Cos( a + P )= sin( a+ B )= tan( a +B )=・ sin2 a =Cos( a - p )= sin( a - 6 )= tan( a ■ B )= tan2 a =2、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2） ?3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？探究三：三角函数式的变换（例3）,请同学们阅看例1,思考以下问题，并进行小组讨论。
人教版必修四：3.2简单的三角恒等变换(导学案)
班级：姓名：小组：
学习目标
1.了解半角公式及其推导过程；
2.能用两角和与差公式进行简单的三角求值、化简和证明.
3.掌握三角恒等变换在研究三角函数图像与性质中的应用.
重点难点
重点：灵活运用三角公式，特别是倍角公式进行三角恒等变换.
难点：公式的综合应用.
学法指导
Байду номын сангаас通过例题与练习，对变换对象和变换目标进行对比、分析，逐渐形成在解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式 变形，以及变换过程中体现的换元、逆 向使用公式等数学思想方法的认识．
7.求函数 的最小正周期和递减区间．
学后反思
例2.求证： ；
例3.已知 都是锐角， ，求 的值．
例4.化简：
例5.
例6.已知函数
（1）求函数 的最小正周期；（2）求 的最大值及取得最大值时相应的 值；
（3）求函数的单调递增区间.
当堂检测
1. 等于（）
A． B． C． D．
2.化简：
3.已知 ，求 的值．
4.
5.求证：
6.求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值.
课前预习
半角公式：
co s =（ ）
sin =（ ）
=（ ）注意：根号前的 号，由 所在象限决定.
预习评价
用半角公式求sin15 ，cos15 ，tan15 值.
课堂学习研讨、合作交流
（1）应用半角公式求值
例1.已知 ， 是第四象限角，求 .
★变式已知 ，求（1） ；（2） ；（3） .
（2）三角变换
高中数学三角恒等变换简单的三角恒等变换学案
3.2 简单的三角恒等变换学习目标：1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点)[自 主 预 习·探 新 知]半角公式 (1)sin α2＝±1－cos α2， (2)cos α2＝±1＋cos α2， (3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α，(4)tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2cosα2cos α2·2cosα2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2sinα2cos α2·2sinα2＝1－cos αsin α.[基础自测]1．思考辨析 (1)cos α2＝1＋cos α2.( ) (2)存在α∈R ，使得cos α2＝12cos α.( )(3)对于任意α∈R ，sin α2＝12sin α都不成立．( )(4)若α是第一象限角，则tan α2＝1－cos α1＋cos α.( )[解析] (1)×.只有当－π2＋2k π≤α2≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π＋4k π≤α≤π＋4k π(k ∈Z )时，cos α2＝1＋cos α2. (2)√.当cos α＝－3＋1时，上式成立，但一般情况下不成立． (3)×.当α＝2k π(k ∈Z )时，上式成立，但一般情况下不成立．(4)√.若α是第一象限角，则α2是第一、三象限角，此时tan α2＝1－cos α1＋cos α成立．[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．已知180°＜α＜360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2 B ．1－cos α2 C ．－1＋cos α2D ．1＋cos α2C [∵180°＜α＜360°，∴90°＜α2＜180°，又cos2α2＝1＋cos α2，∴cos α＝－1＋cos α2.] 3．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－35，cos θ＜0，则tan θ2的值等于________．－3 [由sin θ＝－35，cos θ＜0得cos θ＝－45，∴tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2sin θ2cosθ22cos2θ2＝sin θ1＋cos θ＝－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3.][合 作 探 究·攻 重 难](1)设5π＜θ＜6π，cos 2＝a ，则sin 4等于( )A ．1＋a2 B ．1－a2C ．－1＋a2D ．－1－a2(2)已知π<α<3π2，化简：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.【导学号：84352339】[思路探究] (1)先确定θ4的范围，再由sin 2θ4＝1－cosθ22得算式求值．(2)1＋cos θ＝2cos2α2，1－cos α＝2sin 2α2，去根号，确定α2的范围，化简． (1)D [(1)∵5π＜θ＜6π，∴θ2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2，3π，θ4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2.又cos θ2＝a ，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cos α2＜0，sin α2＞0，∴原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cosα22＝－2cos α2.][规律方法] 1.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2．利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系． (2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2计算． (4)下结论：结合(2)求值．提醒：已知cos α的值可求α2的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．[跟踪训练]1．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，求tan θ2.[解] 法一：∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，即θ2是第二象限角，∴tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. 法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－925＝－45， ∴tan θ2＝1－cos θsin θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45＝－2.求证：1tanα2－tan α2＝4sin 2α.[思路探究] 法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明； 法二：cos 2α不变，直接用二倍角正切公式变形． [证明] 法一：用正弦、余弦公式． 左边＝cos 2αcos α2sin α2－sinα2cosα2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cosα2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边， ∴原式成立． 法二：用正切公式．左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边，∴原式成立．[规律方法] 三角恒等式证明的常用方法执因索果法：证明的形式一般化繁为简； 左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.[跟踪训练] 2．求证：2sin x cos xx ＋cos x －x －cos x ＋＝1＋cos xsin x.【导学号：84352340】[证明] 左边＝2sin x cos x⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x4sin 2x 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x2sin 2x 2＝cos x2sin x2＝2cos2x22sin x 2cosx 2＝1＋cos xsin x ＝右边．所以原等式成立.已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期．(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. 【导学号：84352341】[思路探究] 化为f x ＝Aωx ＋φ＋b →由T ＝2π|ω|求周期→分析f x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性→求最小值证明不等式[解](1)f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x ＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以T ＝2π2＝π.(2)证明：令t ＝2x ＋π3，因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，因为y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减，所以f (x )≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，得证．[规律方法] 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式，借助辅助角公式化为y ＝Aωx ＋φ＋k 或y ＝Aωx ＋φ＋k 的形式，将ωx ＋φ看作一个整体研究函数的性质.[跟踪训练]3．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． [解] (1)∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎩⎪⎨⎪⎧ 32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12⎭⎬⎫－12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时， sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z.[1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？ 提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？ 提示：化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式．如图321所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？【导学号：84352342】图321[思路探究] 设∠AOB ＝α→建立周长l α→求l 的最大值[解] 设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4， 即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．母题探究：1.在例4条件下，求长方形面积的最大值．[解] 如图所示，设∠AOB ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则AB ＝R sinα，OA ＝R cos α.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝2OA ·AB ，∴S ＝2R cos α·R sin α＝R 2·2sin αcos α＝R 2sin 2α.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．因此，当2α＝π2，即α＝π4时，S max ＝R 2.这时点A ，D 到点O 的距离为22R ， 矩形ABCD 的面积最大值为R 2.2．若例4中的木料改为圆心角为π3的扇形，并将此木料截成矩形，(如图322所示)，试求此矩形面积的最大值．图322[解] 如图，作∠POQ 的平分线分别交EF ，GH 于点M ，N ，连接OE ，设∠MOE ＝α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6，在Rt △MOE 中，ME ＝R sin α，OM ＝R cos α，在Rt △ONH 中，NH ON ＝tan π6，得ON ＝3NH ＝3R sin α，则MN ＝OM －ON ＝R (cos α－3sin α)， 设矩形EFGH 的面积为S ，则S ＝2ME ·MN ＝2R 2sin α(cos α－3sin α)＝R 2(sin 2α＋3cos 2α－3)＝2R 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－3R 2，由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，则π3＜2α＋π3＜2π3，所以当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S max ＝(2－3)R 2.[规律方法] 应用三角函数解实际问题的方法及注意事项方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) 【导学号：84352343】A ．55B ．－55C ．45D ．255A [由题知α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴sin α2>0，sin α2＝1－cos α2＝55.] 2．(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4B ．π2C ．3π4D ．πC [f (x )＝cos x －sin x ＝2cos x ＋π4.当x ∈[0，a ]时，x ＋π4∈π4，a ＋π4，所以结合题意可知，a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值是3π4.故选C.]3．函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期为________． π [因为f (x )＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.] 4．设a ＝12sin 2°＋32cos 2°，b ＝1－2sin 213°，c ＝32，则a ，b ，c 的大小关系是________.c ＜a ＜b [a ＝cos 60°sin 2°＋sin 60°cos 2°＝si n 62°， b ＝1－2sin 213°＝cos 26°＝sin 64°， c ＝32＝sin 60°，又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，∴c ＜a ＜b .]5．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图323所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求cos 2θ.图323[解] 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以cos θ－sin θ＝15.由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2， 所以cos θ＋sin θ＝75，所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725.。
数学导学案：2简单的三角恒等变换(第2课时)
第2课时三角恒等变换的应用1．掌握三角恒等变换的方法．2．会利用三角恒等变换解决三角函数问题．三角恒等变换(1)a sin α＋b cos α＝______sin(α＋θ)（ab≠0），其中tan θ＝____，a和b的符号确定θ所在的象限．仅仅讨论错误!＝±1、±错误!、±错误!的情况．(2）sin2x＝错误!，cos2x＝错误!,sin x cos x＝__________.(3)讨论三角函数的性质时，通常经过三角恒等变换，将三角函数的解析式化为f（x)＝__________的形式来解决．【做一做1－1】sin x－cos x等于（）A．sin 2x B。
错误!sin错误!C。
错误!sin错误!D．sin错误!【做一做1－2】函数y＝sin 2x cos 2x的最小值等于__________．答案:(1）错误!错误!(2)错误!sin 2x(3)A sin(ωx＋φ)【做一做1－1】C 原式＝错误!错误!＝错误!sin错误!.【做一做1－2】－错误!y＝错误!sin 4x，则最小值为－错误!.三角恒等变换问题剖析:三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．三角恒等变形是解决有关三角问题的重要环节,它以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍角公式，和差化积和积化和差公式为基础．在恒等变形中要注意三角函数式中的“角"的特点，即有没有特殊角，有没有与特殊角相关联的角,有没有互余、互补的角,角与角之间有没有和、差、倍、半的关系,什么角需要保留，什么角需要化掉等．在恒等变形中，化简三角函数式是核心，而化简的要求是:尽量减少三角函数式中角的个数（最好只含有相同的角）；尽量减少三角函数式中函数名称的种类（最好只含有同名函数)；在函数名称较多的情况下，最好只保留正弦和余弦;在选择使用三角变换公式时,应根据三角函数式中角的特点选择恰当的公式；在化简过程中，要合理使用代数手段，诸如整式、分式、根式运算以及因式分解．对化简的结果，应该尽量减少项数；尽量减少函数种类和次数；尽量化为整式；对含有特殊角的三角函数要求写出其值来．题型一讨论三角函数的性质【例1】已知函数f（x）＝sin2x＋a sin x cos x－cos2x，且f错误!＝1.（1)求常数a的值及f（x)的最小值；(2)当x∈错误!时，求f（x)的单调增区间．分析：(1）利用f错误!＝1求得a，再将函数f（x)的解析式化为f(x）＝A sin(ωx＋φ)的形式后求出最小值；（2）利用(1)求出函数f(x）在R 上的单调增区间，再与错误!取交集．反思：解答此类综合题的关键是利用三角函数的和、差、倍角、半角公式化成f（x)＝A sin（ωx＋φ)的形式，然后借助于三角函数的图象及性质去研究f(x)的相应性质，解答过程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失误．题型二在实际中的应用【例2】要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样截取，才能使长方形截面面积最大？分析:用三角函数表示长方形的面积,转化为求三角函数式的最大值．反思:本题中，将长方形面积表示为三角函数式，利用三角恒等变换转化为讨论函数y＝A sin（ωx＋φ）＋b的最值问题，从而使问题得到简化．这个过程蕴涵了化归思想．题型三易错辨析【例3】当函数y＝sin x＋错误!cos x，x∈R取最大值时，求自变量x的取值集合S。
【2019最新】高中数学第三章三角恒等变换3-2简单的三角恒等变换课堂导学案
【2019最新】高中数学第三章三角恒等变换3-2简单的三角恒等变换课堂导学案课堂导学三点剖析1.熟练掌握三角函数的有关公式,进行简单的三角恒等变换【例1】 化简:1tan 22cos 42sin 3--θθθ-sin2θ-cos 2θ 思路分析:首先将切化弦,然后统一角,将2θ化为θ角的三角函数.解:原式=1cos sin 22cos 42sin 3--θθθθ-sin2θ-cos 2θ =θθθθθθcos sin 2]sin 4cos 4cos sin 6[cos 22-+-∙-sin2θ-cos 2θ =θθθθθθθθθcos sin 2)]cos 4cos sin 8(cos sin 2sin 4[cos 22--+--sin2θ-cos 2θ =θθθθθθθcos sin 2]cos 4sin 2)[cos sin 2(cos -+-∙-sin2θ-cos 2θ =cos θ（2sin θ+4cos θ）-sin2θ-cos 2θ=sin2θ+4cos 2θ-sin2θ-cos 2θ=3cos 2θ.温馨提示代数式的化简，主要形式有消元、降次、约分等，在三角函数中要通过角变换，名变换，式变换为消元、降次、约分等创造条件，本题就是通过切化弦减少了函数种类，通过角度统一，减少角的个数，为化简铺平道路.2.正确地选择公式，从整体上把握变换过程【例2】已知π＜α＜23π，化简 ααααααcos 1cos 1sin 1cos 1cos 1sin 1-++-+--++ 思路分析:根式化简应升幂去根号，分式化简应化积后约分.解:∵π＜α＜23π, ∴2π＜2α＜43π. 利用半角公式得2cos 1=+α|cos2α|=-2cos 2α, 2cos 1=-α|sin 2α|=2sin 2α.原式=)2cos 2(sin 2sin 1)2sin 2(cos 2sin 1αααααα--++-+ =2cos 2)2cos 2(sin 2)2cos 2(sin)2sin 2(cos 2)2sin 2(cos 22ααααααααα---++-+. 温馨提示解决本题的关键是利用1+cos α=2cos 22α与1-cos α=2sin 22α升幂,去掉根号,问题获解.3.熟悉三角公式的结构特征、化式成立的条件及挖掘题目中的隐含条件【例3】 已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)= 21,tan β=-71,求sin(2α-β)的值. 思路分析:∵2α-β=(α-β)+α,可先求α的三角函数.解:tan α=tan ［(α-β)+β］=31tan )tan(1tan )tan(=--+-ββαββα, ∴tan2α=αα2tan 1tan 2-=43,tan(2α-β)=βαβαtan 2tan 1tan 2tan +-=1. ∵α,β∈(0,π),∴-π＜2α-β＜2π,由tan(2α-β)=)2cos()2sin(βαβα--, 得cos(2α-β)=sin(2α-β).又∵sin 2(2α-β)+cos 2(2α-β)=1,∴2sin 2(2α-β)=1,解得sin(2α-β)=±22. ∵tan α=31,α∈(0,π),∴0＜α＜4π,∴0＜2α＜2π. 又∵tan β=-71,β∈(0,π),∴2π＜β＜π. ∴-π＜2α-β＜0,∴sin(2α-β)=-22. 温馨提示挖掘本题中的隐含条件,由正切值可以使用的范围缩小,本题易忽略缩小角的范围而出错.各个击破类题演练1化简：.)4sin()4tan(21cos 22απαπα+-- 解)4sin()4tan(21cos 22απαπα+∙-- =)4(cos )4cos()4sin(21cos 222απαπαπα-∙--∙- =αααπα2cos 2cos )4(sin 2cos =-2=1. 变式提升1证明 2sin 4x+43sin 22x+5cos 4x-21cos4x-21cos2x=2（1+cos 2x ）. 证明：左边=2（22cos 1x -）2+43（1-cos 22x ）+5（22cos 1x +）2-21（2cos 22x-1）-21cos2x =3+cos2x.右边=2（1+22cos 1x +）=3+cos2x ，∴左边=右边. ∴原式成立.类题演练2 求证αααsin cos 1sin 1+++=21(tan 2α+1). 证明:左边=2cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22cos 2sin 222ααααααα+++ =2cos 22cos 2sin )2cos 2(sin 2cos 2)2cos 2(sin2αααααααα+=++ =21(tan 2α+1). ∴等式成立.变式提升2 求︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2的值;解:原式=︒︒-︒-︒20cos 20sin )2030cos(2 =︒︒-︒︒+︒︒20cos 20sin 20sin 30sin 220cos 30cos 2 =.320cos 20cos 320cos 20sin 20sin 20cos 3=︒︒=︒︒-︒+︒ 类题演练3已知tan α=71,tan β=31,并且α、β均为锐角，求α+2β. 解:∵tan β=31, ∴tan2β=43)31(1312tan 1tan 222=-⨯=-ββ. ∴tan(α+2β)=4371143712tan tan 12tan tan ⨯-+=-+βαβα=1. ∵0＜tan α=71＜1,0＜tan β=31＜1,α、β均为锐角， ∴0＜α＜4π，0＜β＜4π，0＜2β＜2π. ∴0＜α+2β＜43π， 又tan （α+2β）=1.∴α+2β=4π. 变式提升3 若α、β为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π. 证明:根据已知条件有3sin 2α=1-2sin 2β=cos2β,又3sin2α=2sin2β,有sin2β=23sin2α=3sin αcos α. ∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α·3sin 2α-sina·3sin αcos α=0.①又0＜α＜2π,0＜β＜2π,∴0＜α+2β＜23π, 由①得α+2β=2π.。