湖南师大附中2020-2021学年度高一第二学期第一次大练习以及参考答案
2020-2021学年湖南省长沙市湖南师大附中高一下学期开学摸底考试历史试卷带讲解
A. 与《资政新篇》的主张异曲同工
B. 顺应了近代中国经济结构变化的要求
C. 否定了封建地主土地所有制D. 实现了农民阶级“耕者有其田”的理想
【9题答案】
C
【详解】《天朝田亩制度》把小农经济作为追求目标，而《资政新篇》要求发展资本主义，二者是对立的，故A项错误。近代中国经济结构变化的要求是发展资本主义，而太平天国运动是建立在小农经济基础之上，因此是违背了近代中国经济结构变化的要求，故B项错误。根据材料，结合所学可以知道，《天朝田亩制度》提出的平均土地，是对封建土地所有制的否定，在当时的条件下具有革命性，为彻底消灭地主土地所有制，给资本主义萌芽开阔了发展的场所，故C项正确。《天朝田亩制度》的绝对平均主义是空想，根本无法实施，故D项错误。
6.宋太祖曾说：“朕选儒臣干事者百余人，分治大藩（节度使辖区），即使他们都贪浊，也不及武臣一人为害之大。”由此可知，宋太祖采取的重要措施是
A. 削减藩镇节度使实权B. 设参知政事为副相
C. 派文臣担任各州长官D. 设转运司综理财政
【6题答案】C
【详解】根据“分治大藩（节度使辖区），即使他们都贪浊，也不及武臣一人为害之大”可得出宋代针对唐末五代以来的藩镇割据的弊端，推行文官制度，派文臣担任各州长官，削弱地方的权力，故C项正确；宋代并没有藩镇节度使，排除A；B项是中央官制，排除B；D项与材料的主旨无关，排除D。
D. 力挽狂澜—日出东方—进京赶考—星火燎原—灯塔指引
【17题答案】
A
【详解】“日出东方”指中国共产党的成立；“星火燎原”指井冈山道路，即工农武装割据；“力挽狂澜”指遵义会议，挽救了党，挽救了红军，挽救了中国革命；“灯塔指引”指中共七大，为争取抗日战争的胜利和实现中国的光明前途准备了条件；“进京赶考”指七届二中全会后，中国共产党即将夺取政权，建立新中国。先后顺序排列正确的是：日出东方，星火燎原，力挽狂澜，灯塔指引，进京赶考，故选A；力挽狂澜指遵义会议，应在日出东方后，BD错误；力挽狂澜指遵义会议，星火燎原指井冈山道路，星火燎原应在力挽狂澜前，故C错误。
湖南师大附中2022-2023学年度高一第二学期第一次大练习语文试卷
湖南师大附中2022-2023学年度高一第二学期第一次大练习语文一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成下面小题。
材料一：老子之“道”和孔子之“仁”，是中国儒道文化精神的两大基石。
“道”与“仁”虽然考察问题的逻辑起点不同，具体方法不同，但是所彰显的社会价值观则基本相同。
老子之“道”，是万物生成的本原，又是现象存在的本体。
道，表现在价值原则上是“上善”。
上善，就是至善的道德。
万物中，水最能体现道德之善：“上善若水。
水善利万物而不争，处众人之所恶，故几于道。
”道，表现在社会行为上是“无为”。
无为不是不为，而是像水那样为而无为。
社会行为的核心是“治国治身”。
治国顺乎民性，修养生息。
治身以学养性，行循自然。
道，表现在主体性情上是“复性”，复性，就是回归于本然之性，本然之性至真至纯，是圣人道德境界的标志。
出乎本性的道德是“上德”，迫于外在规范的道德则是“下德”。
孔子之“仁”，是君子道德人格的核心，又是社会伦理秩序的规范。
仁，必须形之于“德”。
仁，是心性修养的一种抽象存在，必须以道德的形式具体呈现出来。
所以，乳子既将仁作为人生矢志不渝追求的道德目标，又将仁作为人生修养的道德品质，其核心是“爱人”“济众”。
仁与德，必须表现在博爱与正己之间。
仁，必须导之于“礼”。
自由追求是人类与生俱来的天性，秩序建构是社会存在的必然前提。
孔子既强调“克己复礼”，自觉遵守秩序；也热爱生命自由，在不越礼的前提下，最大限度地享受自由人生。
仁与礼，必须落实于自由与规范之间。
仁，必须成之于“行”。
“仁”是君子精神世界的支点，但必须落实到人生行为之中，才能彰显其意义。
孔子将君子之道概括为“不忧”“不惑”“不惧”，并强调唯有仁者、智者、勇者才能做到。
仁与行，必须落实于精神与生活之间。
综上所论，“道”和“仁”都立足于救世，因而构成辩证性关联。
老子论“道”，强调人性的本然状态；孔子论“仁”，强调社会的应然状态。
2020-2021学年湖南师范大学附属中学高一下学期入学自主检测数学试题解析
2020-2021学年湖南师范大学附属中学高一下学期入学自主检测数学试题一、单选题1．已知集合2{|20}A x x x =-=，{}0,1,2B =，则A B ⋂= A ．{}0 B ．{}0,1 C ．{}0,2 D ．{}0,1,2答案：C 试题分析：集合，所以，故选C.【解析】交集的运算，容易题.2．设3525a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2525b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2535c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >>答案：D根据指数函数25xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，可比较a ，b 的大小，根据幂函数25y x =的单调性，可比较b ，c的大小，即可得答案.因为2015<<，所以25xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为单调递减函数，所以32552255⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b <， 又幂函数25y x =在(0,)+∞上为单调递增函数， 所以22552355⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b c <，所以a b c <<. 故选：D3．函数121()()2x f x x =-的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B将问题转化为2个函数的交点问题，化成函数图象即可得出结论.函数121()()2x f x x =-的零点，即令121()()02x f x x =-=，根据此题可得121()2x x =，在平面直角坐标系中分别画出幂函数y x =和指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选：B.【点睛】本题主要考查函数零点，意在考查学生的化归于转化的数学思想，属基础题. 4．已知函数()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，且()43f =，则()2021f 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．3 D ．3-答案：D利用诱导公式可得()()20214f f =-，由此可求得()2021f 的值.()()()4sin 4cos 4sin cos 3f a b a b παπβαβ=+++=+=，()()()()()2021sin 2021cos 2021sin cos f a b a b παπβπαπβ=+++=+++()sin cos 43a b f αβ=--=-=-.故选：D.【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.5．关于x 的方程20x ax b ++=，有下列四个命题：甲：1x =是该方程的根；乙：3x =是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁答案：A对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程20x ax b ++=的两根，进而可得出结论.若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的一根为3，由于两根之和为2，则该方程的另一根为1-，两根异号，合乎题意； 若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则1x =是方程20x ax b ++=的一根， 由于两根之和为2，则另一根也为1，两根同号，不合乎题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的两根为1和3，两根同号，不合乎题意；若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的两根为1和3， 两根之和为4，不合乎题意. 综上所述，甲命题为假命题. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断.6．若实数,a b 满足12a b+=ab 的最小值为A B ．2C ．D ．4答案：C12121002ab a b ab ab a ba b a +=∴=+≥⨯∴≥，＞，＞，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为 C. 【解析】基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．7．若函数()()f x x x b =-在区间[]0,2上是减函数，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(],4-∞ B ．(],2-∞ C ．[)2,+∞ D ．[)4,+∞答案：D当[]0,2x ∈时，()()2f x x x b x bx =-=-，根据其为减函数，可得22b≥，即可求得答案. 因为[]0,2x ∈时，()()2f x x x b x bx =-=-是减函数，所以22b≥，解得4b ≥. 故选：D8．已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是（ ）A ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称B ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称C ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称D ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称答案：D由选项所给条件直接列举对应模拟图象（不唯一），根据图象判断即可 如图所示. 对选项D ，易得()f n n =，n ∈Z ，显然D 项无最大值，故D 项符合， 故选：D 二、多选题9．已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．4ab ≤ B ．111a b+≥C ．2216a b +≥D ．228a b +>答案：AB由基本不等式42=+≥a b ab ，对A进行判断；用“1”的代换，可得111111()()(2)44a ba b a b a b b a+=++=++，然后利用基本不等式判断B ；由基本不等式得228a b +≥=，可以判断C ；由重要不等式变形，222a b ab +≥，222()()2a b a b +≥+，可判断D解：对于A ，因为0,0,4a b a b >>+=，所以4=+≥a b 2a b ==时取等号）， 所以04<≤ab ，（当且仅当2a b ==时取等号），所以A 正确；对于B ，因为1111111()()(2)(21444a b a b a b a b b a +=++=++≥+=，当且仅当2a b ==时取等号，所以B 正确；对于C ，因为228a b +≥=， 当且仅当2a b ==时取等号，所以C 错误；对于D ，因为222a b ab +≥，所以222()()2a b a b +≥+，所以222()16822a b a b ++≥==， 当且仅当2a b ==时取等号，所以D 错误， 故选：AB.10．下列几个说法，其中正确的有（ ）A ．已知函数()f x 的定义域是1,82⎛⎤ ⎥⎝⎦，则()2xf 的定义域是(]1,3-B ．已知命题p ：“0x ∀≥，都有1x e x ≥+”，则命题p 的否定：“00x ∃<，都有001xe x <+”C ．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是02b <<D ．若函数()214ln1x f x x x +=+-在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值分别为M 和m ，则8M m += 答案：ACD 对于A ，令1282x <≤可求得()2x f 的定义域，知A 正确； 对于B ，由全称命题的否定知B 错误；对于C ，将问题转化为22xy =-与y b =有两个不同交点的问题，利用数形结合的方式可确定b 的范围，知C 正确；对于D ，构造()()4g x f x =-，根据奇偶性定义知()g x 为奇函数，由()()max min 0g x g x +=可推导知D 正确. 对于A ，()f x 的定义域为1,82⎛⎤⎥⎝⎦，1282x ∴<≤，解得：13x -<≤，()2x f ∴的定义域为(]1,3-，A 正确；对于B ，由全称命题的否定知p ⌝为：00x ∃≥，使得001xe x <+，B 错误；对于C ，()22x f x b =--有两个零点等价于22xy =-与y b =有两个不同交点，由图象可知：02b <<，C 正确；对于D ，令()()21114ln,122x g x f x x x x ⎛⎫+⎡⎤=-=∈- ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭， ()()()2211lnln 11x xg x x x g x x x-+-=-=-=-+-，()g x ∴为奇函数， ()()max min 0g x g x ∴+=，即440M m -+-=，8M m ∴+=，D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：本题C 选项考查了根据函数零点个数求解参数范围的问题，解决此类问题的常用方法为：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.11．已知函数()sin(3)f x x ϕ=+ 22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3π D ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 答案：AC利用()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，即可求出ϕ的值，从而得出()f x 的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可. 因为()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈ ，得4k πϕπ=-+，k Z ∈，因为 22ππϕ-<<，所以0,4k πϕ==-，所以()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数成立，故选项A 正确；对于B ：123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，30,434x ππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数；故选项B 不正确；对于C ：因为()max 1f x =，()min 1f x =-，又因为()()122f x f x -=，所以12x x -的最小值为半个周期，即21323ππ⨯=，故选项C 正确； 对于D ：函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到 ()sin 3sin 3sin344y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选项D 不正确；故选：AC【点睛】本题主要考查了利用三角函数的对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周期、单调性、最值，属于中档题 12．已知1x y +=，0y >，0x ≠，则121x x y ++的值可能是（ ） A ．23B ．1C ．34D ．54答案：BCD1,0,0x y y x +=>≠,有10y x =->则1x <且0x ≠,分01x <<和0x <打开||x ，然后用重要不等式求出其最值，从而得到答案.由1,0,0x y y x +=>≠，得10y x =->，则1x <且0x ≠. 当01x <<时,121x x y ++=122242x x x x x x x x+-+=+--=1215+44244x x x x -+≥-.当且仅当2=42x x x x --即23x = 时取等号. 当0x <时,121x x y ++=122242x x x xx x x x--+-+=+----=1213+44244x x x x ---+≥---.当且仅当2=42x x x x ----即2x =- 时取等号. 综上，13214x x y +≥+. 故选：BCD.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、填空题13．已知42a =，lg x a =，则x =__________．试题分析：由42a =得12a =，所以1lg 2x =，解得x【解析】指数方程；对数方程.14．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()22f x x x =-.则0x <时，()f x =______.答案：22x x --当0x <时，0x ->，代入0x >时的方程，根据()f x 是奇函数，化简整理，即可得答案. 当0x <时，0x ->，因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-.所以()()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦. 故答案为：22x x --15．已知函数f(x)062f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且f(x)在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，则ω＝________. 答案：2由辅助角公式对函数化简f(x)＝2sin(ωx＋3π)，求出函数的单调递减区间，结合题意可得(,)62ππ⊆272[+,]66ππππωωωω+k k ，求出12k ＋1≤ω≤7+12,3∈kk Z ，进而由函数的周期可得1≤ω≤73，由()()062ππ+=f f ，可得+62=23πππ=x 对称中心的横坐标，进而可得结果.因为f(x)3π)， 由2π＋2kπ≤ωx＋3π≤32π＋2kπ，k∈Z，得272+66ππππωωωω≤≤+k k x ，因为f(x)在区间(,)62ππ上递减， 所以(,)62ππ ⊆272[+,]66ππππωωωω+k k ，从而有2121+6671272326k k k k πππωωωπππωωω⎧≥+≥⎧⎪⎪⎪⇒+⎨⎨≤⎪⎪≤+⎩⎪⎩， 又因为周期22=33ππωω≥⇒≤T , 所以1≤ω≤73，因为()()062ππ+=f f 所以+62=23πππ=x 为f(x)＝2sin(ωx＋3π)的一个对称中心的横坐标， 所以3πω＋3π＝kπ(k∈Z)，ω＝3k －1，k∈Z， 又1≤ ω ≤73，所以ω＝2.故答案为：2【点睛】本题考查了三角恒等变换和三角函数图象的性质，考查了计算能力，属于基础题目. 四、双空题16．设函数()2,2,x x a f x x x x a≥⎧=⎨-+<⎩ ①若x R ∃∈，使得()()11f x f x +=-成立，则实数a 的取值范围是______. ②若函数()f x 为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是______. 答案：1a > 0a ≤或1a =①由()()11f x f x +=-知，函数()f x 关于直线1x =对称，结合图像可知a 的取值范围；②()22g x x x =-+在(,1)-∞上单增，()h x x =在R 上单增，结合图像知，0a ≤或者1a =①由()()11f x f x +=-知，函数()f x 关于直线1x =对称，又二次函数()22g x x x =-+，开口向下，对称轴为1x =，结合图像：由x R ∃∈，使得()()11f x f x +=-，知1a >②()22g x x x =-+在(,1)-∞上单增，()h x x =在R 上单增，结合图像知，0a ≤或1a =【点睛】结论点睛：函数对称性常用结论：（1）函数()f x 满足()()f a x f a x +=-，则函数图像关于直线x a =对称； （2）函数()f x 满足()()f x a f x a -+=-+，则函数图像关于点(,0)a 中心对称； 五、解答题17．已知函数()22lg x x af x x++=.（1）求使()1f a ≥的a 最小值；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，()f x 有意义，求实数a 的取值范围. 答案：（1）7；（2）()3,-+∞.（1） 由对数的单调性解不等式即可求解；（2）由题意转化为在区间[)1,+∞上，220x x ax++>恒成立，分离参数求解即可. （1）()1f a ≥即()lg 31a +≥， 所以310a +≥，即7a ≥， 所以a 的最小值为7.（2）对任意[)1,x ∈+∞，()f x 有意义⇔在区间[)1,+∞上，220x x ax++>恒成立220x x a ⇔++>恒成立22a x x ⇔>--恒成立，①设()22g x x x =--，[)1,x ∈+∞，则①()max a g x ⇔>，因为()()22211g x x x x =--=-++，故当1x =时()g x 取得最大值()13g =-， 所以3a >-，即a 的取值范围是()3,-+∞.【点睛】关键点点睛：对任意[)1,x ∈+∞，()f x 有意义，转化为在区间[)1,+∞上，220x x ax++>恒成立，分离参数后即可求解，属于中档题.18．已知函数f(x)＝sin 2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin x 2x （1）求f(x)的最大值及取得最大值时x 的值； （2）若方程f(x)＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值． 答案：（1）x ＝512π＋kπ(k∈Z)，最大值为1；（2）23.（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数f(x)解析式，由正弦函数的性质可得答案. （2）求出函数f(x)的对称轴，得到x 1与x 2的关系，利用诱导公式化简可得答案.（1）f(x)＝cos xsin x 2x －1)＝12sin 2x ＝sin 2-3x π⎛⎫ ⎪⎝⎭.当2x －3π＝2π＋2kπ(k∈Z)，即x ＝512π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.（2）由（1）知，当x∈(0，π)时，函数f(x)图象的对称轴为x ＝512π. 又方程f(x)＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2. 所以x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，所以cos(x 1－x 2)＝cos 25-26x π⎛⎫⎪⎝⎭＝sin 22-3x π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又f(x 2)＝sin 22-3x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.【点睛】本题考查三角函数恒等变换，考查正弦函数的图像与性质，属于中档题. 19．设0a >，()x x e af x a e=+是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）判断()f x 在()0,∞+上是增函数还是减函数，并证明你的结论. 答案：（1）1a =；（2）增函数，证明见解析.（1）根据()f x 为偶函数，可得()()0f x f x --=，将()f x 方程代入，化简整理，可求得1a =，经检验1a =时满足偶函数的定义，即可得答案.（2）由（1）可得()1xxf x e e =+，利用定义法证明单调性，取值、作差、变形、定号即可得证. （1）因为()f x 是R 上的偶函数，所以x ∀∈R ，()()0f x f x --=，即0x x x x e a e aa e a e--+--=，所以()10x xa e e a -⎛⎫--= ⎪⎝⎭，又x x e e --不可能恒为“0”，所以10a a-=，而0a >，解得1a =.当1a =时，()1xx f x e e=+，满足11()()x x x x f x e e f x e e --++-===， 所以1a =.（2）()f x 在()0,∞+上是增函数.证明如下： 在()0,∞+上任取12,x x 且12x x <，则()()()12121212121111xx x x x x x x f x f x e e e e e e e e ⎛⎫-=+--=-+- ⎪⎝⎭()()()12122112121211x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e ⎛⎫-=-+-⨯=- ⎪⎝⎭. 因为1e >，所以由120x x <<，得121x x e e <<，从而121x x e e >，所以()()12121210x x x x x x ee e e e e--<，即()()120f x f x -<，所以()f x 在()0,∞+上是增函数.【点睛】利用定义法证明单调性时，需要严格按照步骤格式，注意取值的任意性，作差后需变形整理，利用条件判断差的正负，即可得证.20．倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32/mg m ，首次改良后排放的废气中含有污染物数量为31.94/mg m ，设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ，首次改良工艺后所排放的废气中含的污染物数量为1r ，则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r 可由函数模型()()0.5*0015,n p n r r r r p R n N +=--∈∈给出，其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后n r 的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08/mg m .试问：至少进行多少次改良工艺后才能使企业所排放的废气中含有污染物数量达标？（参考数据：取lg 20.3=）答案：（1）()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N ；（2）6. （1）根据改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32/mg m ，首次改良后排放的废气中含有污染物数量为31.94/mg m ，得到02r =，1 1.94r =，然后再令1n =求解.（2）根据所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08/mg m ，得到0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤求解.（1）由题意得02r =，1 1.94r =， 所以当1n =时，()0.510015pr r r r +=--⋅，即()0.51.9422 1.945p+=--⋅，解得0.5p =-，所以()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N ，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N .（2）由题意可得，0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤， 整理得0505..1950..206n -≥，即0.50.5532n -≥， 两边同时取常用对数，得lg3205055.lg .n -≥，整理得5lg 2211lg 2n ≥⨯+-， 取lg 20.3=代入，得5lg 2302115.31lg 27⨯+=+-， 又因为*n ∈N ，所以6n ≥.综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. 【点睛】方法点睛：在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N(1＋p)x (其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．21．已知函数()2cos 10cos 222x x xf x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．（ⅰ）求函数()g x 的解析式； （ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 答案：（1）2π；（2）（ⅰ）()10sin 8g x x =-； （ⅱ）证明见解析.（Ⅰ）因为()2cos 10cos 222x x x f x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =．（Ⅱ）（Ⅰ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象， 再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象． 又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（Ⅱ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >， 就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ， 使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由45<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【解析】1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．22．已知()22f x ax bx =++，x ∈R .（1）若1b =-，且(){}3,y y f x x ∉=∈R ，求a 的取值范围；（2）若1a =，且方程()212f x x +-=在()0,2上有两个解1x ，2x ，求b 的取值范围，并证明121124x x <+<. 答案：（1）1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（2）712b -<<-，证明见解析.（1）由题意转化为223ax x -+=无解，分类讨论求解即可；（2）方程()212f x x +-=在()0,2上有两个解化为函数22()|1|H x x bx x =++-在()0,2上有两个零点的问题，去掉绝对值，讨论函数的单调形，求出()H x 在()0,2上存在两个零点时b 的取值范围，即可证明结论.（1）1b =-时，()22f x ax x =-+，因为(){}3,y y f x x ∉=∈⇔R 关于x 的方程223ax x -+=， 即210ax x --=无实数解，易知0a ≠，故由140a ∆=+<，得14a <-，即a 的取值范围是1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）1a =时，()212f x x +-=即2210x bx x ++-=，不妨设1202x x <<<，令()2221,1,121, 1.bx x H x x bx x x bx x ⎧+≤⎪=++-=⎨+->⎪⎩因为(]0,1x ∈时，()1H x bx =+， 所以()0H x =在(]0,1上至多一个解，若()12,1,2x x ∈，则1x ，2x 就是2210x bx +-=的解， 从而12102x x =-<，这与题设矛盾. 因此，(]10,1x ∈，()21,2x ∈. 由()10H x =得11b x =-，所以1b ≤-， 由()20H x =得2212b x x =-，所以712b -<<-.故当712b -<<-时，方程()212f x x +-=在()0,2上有两个解.由11b x =-和2212b x x =-消去b 得212112x x x +=， 因为()21,2x ∈，所以121124x x <+<. 【点睛】关键点点睛：令()2221,1,121, 1.bx x H x x bx x x bx x ⎧+≤⎪=++-=⎨+->⎪⎩去掉绝对值号，根据一次函数及二次函数的图象与性质，分析函数零点，求出参数b 的取值范围是解题的关键，属于难题.。
2020-2021学年湖南省师大附中高一(下)入学生物试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖南省师大附中高一（下）入学生物试卷1.下列事实中，不支持“生命活动离不开细胞”观点都是（）A. HIV由蛋白质和核酸组成B. 乙肝病毒依赖人体肝细胞生活C. 草履虫是单细胞动物，它有纤毛可以运动D. 父母通过精子和卵细胞把遗传物质传给下一代2.下列各项组合中，能体现生命系统由简单到复杂的正确层次的是（）①某草原上的一头荷斯坦奶牛②某草原上的全部动物③某草原上的全部荷斯坦奶牛④荷斯坦奶牛的红细胞⑤红细胞中的血红蛋白⑥整片草原⑦某草原上的所有生物⑧荷斯坦奶牛的心脏⑨荷斯坦奶牛的血液⑩荷斯坦奶牛的循环系统．A. ⑤④⑧⑨⑩①③②⑦B. ④⑨⑧⑩①③⑦⑥C. ⑤④⑨⑧⑩①③②⑦⑥D. ④⑨⑧⑩①②⑦⑥3.如图表示细胞内不同化学元素所组成的化合物，以下说法不正确的是（）A. 若图中①为某种多聚体的单体，则①最可能是氨基酸B. 若③为多聚体，且能贮存生物的遗传信息，则③一定是RNAC. 若②存在于皮下和内脏器官周围等部位，则②是脂肪D. 若④主要在人体肝脏和肌肉内合成，则④最可能是糖原4.下列关于实验图示的叙述，正确的是（）A. 图①的四条色素带中溶解度最大的是Ⅳ-黄绿色的叶绿素bB. 经图②所示操作后，显微镜下可见液泡体积变小紫色变深C. 要将图③中根尖分生区细胞移至视野中央，应将装片向右移动D. 图④中将物镜由甲转换成乙后视野中观察到的细胞数目增多5.生物组织中还原糖、脂肪、蛋白质的鉴定实验中，对材料的选择叙述正确的是（）A. 可用斐林试剂甲液和乙液、蒸馏水来鉴定葡萄糖和尿液中的蛋白质B. 在含有还原糖的组织样液中加入斐林试剂后试管内液体呈现无色，加热后变成砖红色C. 食用花生油可用苏丹Ⅲ染液来鉴定，溶液呈橘黄色D. 甘蔗茎、甜菜块根等含有较多的糖且近于白色，因此可用于进行还原糖的鉴定6.狼体内有A种蛋白质，21种氨基酸；兔体内有B种蛋白质，21种氨基酸。
狼捕食兔后狼体内的一个细胞中含有的蛋白质种类和氨基酸种类最可能是（）A. A+B，42B. A，21C. ＞A，21D. ＜A，217.细胞间信息交流的方式有多种。
湖南师大附中2024年高一下学期第一次大练习数学答案
湖南师大附中2023-2024学年度高一第二学期第一次大练习数学（考试范围：必修一､必修二6.1~7.2）时量：120分钟 满分：150分得分：______一､单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题所给的四个选项中，只有一个是符合题意的）1. 下列说法正确的是（ ） A. 若a b →→>，则a b →→> B. 若a b →→=，则a b →→=C. 若a b →→=，则//a b →→D. 若a b →→≠，则,a b →→不是共线向量【答案】C 【解析】【分析】A. 因为向量不能比较大小，所以该选项错误； B. ,a b →→不一定相等，所以该选项错误； C. 若a b →→=，则//a b →→，所以该选项正确；D. 若a b →→≠，则,a b →→也有可能是共线向量，所以该选项错误. 【详解】A. 因为向量不能比较大小，所以该选项错误；B. 若a b →→=，则,a b →→不一定相等，有可能它们方向不同，但是模相等，所以该选项错误； C. 若a b →→=，则//a b →→，所以该选项正确；D. 若a b →→≠，则,a b →→也有可能是共线向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以该选项错误. 故选：C2. 已知,i m ∈R 是虚数单位，当213m −<<时，复数(3i)(2i)m −++在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】变形后，结合213m −<<得到实部和虚部均大于0，得到所在象限. 【详解】()()()()3i 2i 321i m m m −++=++−，又213m −<< ，320,10m m ∴+>−>，∴所对应的点在第一象限.故选：A.3. 使“2560x x +−<”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 51x −<< B. 52x −<<C. 71x −<<D. 72x −<<【答案】A 【解析】【分析】首先解一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】由2560x x +−<，即()()610x x +−<，解得61x −<<，因为()5,1−真包含于()6,1−，所以51x −<<是2560x x +−<成立的一个充分不必要条件. 故选：A4. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 为线段BD 上的一个三等分点，且DF FB >，若AF xAE yDC =+，则x y +=（ ）A. 1B.45C.54D.56【答案】D 【解析】【分析】由题意可知23DF DB = ，12DE DC = ，根据平面向量基本定理，将AF 用,AE DC线性表示，根据两个向量相等即可求出,x y 的值，即可得出答案.【详解】由题知点F 为线段BD 上的一个三等分点，所以23DF DB =，所以()2233AF AD DF AD DB AD DA AB =+=+=++()12121123333363AD AB AE ED DC AE DC DC =+=++=−+1132AE DC xAE yDC =+=+， 因为,AE DC 不共线，所以11,32x y ==，故56x y +=. 故选：D. 5. 已知30.30.30.3,3,log 0.06a b c ==，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】C 【解析】【分析】根据指数幂与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的取值范围，即可求解. 【详解】由指数幂的运算性质，可得300.3100.3<=<，即01a <<，又由00.30.513332=<<<，即12b <<，又由对数的运算，可得0.30.3log 0.06log 0.092c >==，即2>c ， 所以c b a >>. 故选：C.6. 已知函数()()cos f x x ωϕ=+（0ω>，0πϕ<<）为奇函数，且在π3π,64−上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A. 10,2B. 1,12C. 2(0,]3D. 2,13【答案】C 【解析】【分析】由()f x 为奇函数，可得2ϕπ=，()sin f x x ω=−，由函数()f x 在π3π,64−上单调递减，结合正弦函数的图象与性质，列出不等式组求解即可. 【详解】解: 因为()f x 为奇函数，0πϕ<<，所以2ϕπ=，所以()πcos sin 2f x x x ωω=+=−令t x ω=，π3π,64x∈−，0ω>， 则π3π,64t ωω ∈−， 因为()f x 在π3π,64−上单调递减， 所以ππ623ππ42ω −≥− ≤ ，解得203ω<≤.故选：C.7. 如图，在ABC 中，已知45,B D = 是BC 边上的一点，10,14,6AD AC DC ===，则AB 的长为（ ）A.B.C. D. 10【答案】B 【解析】【分析】利用余弦定理正弦定理可得答案.【详解】在ADC △中，222106141cos 21062ADC ∠+−==−××，因为0<πADC ∠<，所以2ππ,33ADC ADB ∠∠=∴=， 在ADB中，sin sin AB ADAB ADB B∠⇒故选：B..8. 已知()1(1),,2(1)12,2xa x f x a a x x x −≤ =>+−>的值域为D ，2,5D ∞ ⊆+ ，则a 的取值范围是（ ） A. ()1,2 B. 29,225C. 36,225D. ()2,5【答案】C 【解析】【分析】考虑2a >时，由指数函数的单调性得到取值范围，此时(2,5∞ ⊆+不成立，舍去，再考虑2a =，结合基本不等式求出函数值域2,5D ∞ ⊆+，A 错误；考虑12a <<，求出12x ≤与12x >时的函数值取值范围，进而得到不等式，求出答案. 【详解】①若2a >，当12x ≤时，()(1)x f x a =−1,2 −∞上单调递增， 此时()(f x ∈，则(D ⊆，又(2,5∞ ⊆+不成立， 所以此时2,5D ∞ ⊆+不成立，排除选项D ；②若()11,,22,212,,2x af x x x x ≤ = +−>当12x ≤时，()1f x =， 当12x >时，()222f x x x=+−≥−，当且仅当x =则函数()f x的值域)2,D =−+∞，满足2,5D ∞⊆+；排除选项A ； ③若12a <<，当12x ≤时，()(1)x f x a =−在1,2 −∞上单调递减，此时())f x ∈+∞， 当12x >时，()22a f x x x=+−≥−，当且仅当12x =>时，等号成立， 在又函数()f x 的值域D 满足2,5D ∞ ⊆+，则2,522,512,a ≥−≥<<解得36225a ≤<. 综上所述：36225a ≤≤. 故选：C.二､多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的选项中有多项符合题意，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 复数22i −的虚部为2i − B. 若i 为虚数单位，则2023i i =−C. 在复数集C 中，方程210x x ++=有两个解，依次为1122−+−−D. 复平面内满足条件i 2z +≤的复数z 所对应的点Z 的集合是以点()0,1为圆心，2为半径的圆 【答案】BC 【解析】【分析】根据复数的定义可判断A ；根据i 的性质可判断B ；根据复数方程的根可判断C ；根据复数的几何意义可判断D.【详解】对于A ，复数22i −的虚部为2−，故A 错误； 对于B ，450533i i i ×+==−，故B 正确；对于C，22131112422x x x x x ++=++=+++ ， 因此在复数集C 中，方程210x x ++=有两个解，依次为1122−−，故C 正确； 对于D ，复平面内满足条件i 2z +≤的复数z 对应的点Z 的集合是以点()0,1−为圆心，2为半径的圆面，故D 错误. 故选：BC.10. 已知ABC 是边长为1的等边三角形，点D 是边AC 上，且3AC AD =，点E 是BC 边上任意一点（包含B ，C 点），则AE BD ⋅的取值可能是（ ） A. 56−B. 16−C. 0D.16【答案】AB 【解析】【分析】设[]()0,1BE BC λλ=∈ ，然后分别将,AE BD 表示为xAB y AC + 的形式，再根据向量数量积的定义以及λ的取值范围求解出AE BD ⋅可取值.【详解】设[]()0,1BE BC λλ=∈ ， 因为3AC AD =，所以13BD BA AD AC AB =+=− ，又因为()()1AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC λλλλ=+=+=+−=−+ ，所以()()()221133113AE BD AC AB AC AB AC AB AB C AC AB A λλλλλλ− ⋅=⋅=⋅+−−−⋅ −−+， 所以()11632AE BDλλλλ−⋅=+−−− ， 所以(152163263AE BD λλλλλ−⋅=+−−−=−+ ， 又因为[]0,1λ∈，所以5251,6366λ−+∈−−， 故选：AB.【点睛】关键点点睛：图形中向量的数量积问题，通过找基底并将未知的待计算的向量表示为基底的形式去计算能很大程度上简化计算；本例中利用基底,AB AC 表示出,AE BD，然后再进行计算.11. 直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2,BP PC = 点M ，N 在过点P 的直线上，若AM＝,mAB AN＝,(0,0),nAC m n >> 则下列结论正确的是（ ）A.12m n+为常数 B. m ＋2n 的最小值为3 C. m ＋n 的最小值为169D. m ，n 的值可以为：m ＝1,2n ＝2 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ：先表示出AP ＝12,33AM AN m n + 利用M 、P 、N 三点共线，得到1233m n+＝1，即可证明；对于B 、C ：利用基本不等式“1”的妙用即可求解； 对于D ：判断出m ＝1,2n ＝2时M 为AB 的中点，C 为AN 的中点，符合题意. 【详解】如图示：对于A ，P 是斜边BC 上一点，且满足2,BP PC = 则AP ＝12,33AB AC +若AM ＝,mAB AN ＝nAC ，则AP ＝12,33AM AN m n+ 又由M 、P 、N 三点共线，则1233m n+＝1，变形可得12m n +＝3；故12m n +为常数， 故A 正确；对于B ，由A 的推导过程可知：123m n+=.所以m ＋2n ＝112()(2)3m n m n ++＝122155233m n n m ++≥+ ＝3， 当且仅当2m n＝2nm ，即m ＝n ＝1时等号成立，则m ＋2n 的最小值为3.故B 正确； 对于C ，由A 的推导过程可知：123m n+=.所以m ＋n ＝112()()3m n m n ++＝12133233m n n m ++≥+ ＝1当且仅当n ，即m n =.故C 错误； 对于D ，当m ＝1,2n ＝2，满足12m n +＝3，此时M 为AB 的中点，C 为AN 的中点，符合题意；D 正确； 故选：ABD ．三､填空题（本大题共三个小题，每小题5分，满分15分）12. 设a ∈R ，复数i12ia +−（i 是虚数单位）的共轭复数是25i −，则=a ______. 【答案】12 【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得i 212i 12i 55a a a+−+=+−，结合题意，列出方程组，即可求解. 【详解】由复数i 12ia +−（i 是虚数单位）的共轭复数是25i −，可得i25i 12i a +=+−，又由()()()()i 12i i12i 12i12i 12i 5a a a ++++==+−−+，可得212i 25i 55a a−++=+， 则225a −=且1255a+=，解得12a =. 故答案为：12.13. 如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC⋅⋅ ，则ABAC的值是_____.【解析】【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =−=+−()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC =+−=−+−22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC =−+=−+=， 得2213,22AB AC =即AB =ABAC=【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+，若△ABC的面积S =，则ab 的最小值为______． 【答案】48 【解析】【分析】根据正弦定理结合已知可推得2π3C =，然后根据面积公式即可得出14c ab =，由余弦定理可推得2222116a b ab a b ++=，根据基本不等式即可得出答案. 【详解】设R 为ABC 外接圆的半径. 由正弦定理知2sin sin sin a b cR A B C===， 又2cos 2c B a b ⋅=+，可得：2sin cos 2sin sin C B A B ⋅+.由πA B C ++=，得()sinsin A B C =+， 则()2sin cos 2sin sin C B B C B ⋅=++，即2sin cos sin 0B C B ⋅+=，又0πB <<，sin 0B >，得1cos 2C =−.因为0πC <<，得2π3C =， 则△ABC的面积为1sin 2S ab C ==△，即14c ab =， 由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+−，化简，得2222116a b ab a b ++=. 又222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号， 可得：221216ab ab a b +≤，即48ab ≥，故ab 的最小值是48． 故答案为：48.四､解答题（本大题共5个小题，满分77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在OAB 中，0,||2,||4OA OB OA OB ⋅===，E 点满足()R AE t AB t =∈ ，D 在边OB 的中点. （1）当12t =时，求直线AD 与OE 相交所成的较小的角的余弦值； （2）求AE AO −的最小值及相应的t 的值.【答案】（1（215 【解析】【分析】（1）根据题意，以O 为原点，建立平面直角坐标系，求得()()2,2,1,2AD OE =−=，结合向量的夹角公式，即可求解；（2）法一：由()R AE t AB t =∈ ，得到||||AE AO OE −=，结合AB d OA OB =，求得d的值，得到AE= AE t AB= ，即可求解； 法二：由()()2,4,2,0AE t AB t t AO ==−=−，结合向量的模的坐标运算，利用二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：因为0,||2,||4OA OB OA OB ⋅===，以O 为原点，以,OA OB 所在直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，的又因为12AE AB =，即E 为AB 的中点，可得()()()()2,0,0,4,0,2,1,2A B D E ，则()()2,2,1,2AD OE =−= ，设AD 与OE 的夹角为θ，则cos θ=，所以直线AD 与OE【小问2详解】解：法一：因为()R AE t AB t =∈ 表示E 是直线AB 上任意一点， 可得||||AE AO OE −=，其最小值就是原点O 到直线AB 的距离d ，则AB d OA OB =，可得d，此时AE =，则15AE t AB = ， 即15t =时，AE AO −取得最小值法二：由()()2,4,2,0AE t AB t t AO ==−=−，可得AE AO −===当15t =时，AE AO −取得最小值16. 已知函数()22(sin cos )2cos f x x x a x a =++−. （1）若函数()f x 的图象关于直线π8x =对称，求实数a 的值； （2）当1a =时，①求函数()f x 的单调增区间；②若()02f x =，求0tan x 的值. 【答案】（1）1a = （2）①单调递增区间为3πππ,π,88k k k−++∈Z ；②0tan 0x =或0tan 1x =【解析】【分析】（1）化简函数解析式，再由π8f为最大值列出方程得解； （2）①由函数解析式及正弦型函数的单调性求解即可；②由正弦函数性质解方程即可得解. 【小问1详解】()()22(sin cos )2cos 1sin2cos221f x x x a x a x a x x ϕ=++−=++++，()f x 的图像关于直线π8x =对称，则π8f为函数的最值，ππsin 2cos 2188a a∴×+×=⇒=.【小问2详解】①当1a =时，有()πsin2cos21214f x x x x=++=++，由πππ2π22π,242k x k k −+≤+≤+∈Z ，得3ππππ,88k x k k −+≤≤+∈Z ， 即函数()f x 的单调递增区间为3πππ,π,88k k k−++∈Z ；②()00π2sin 24f x x=⇒+， 则0ππ22π44x k +=+或00π3π22π,π44x k k x k +=+∈⇒=Z 或0ππ,4x k k =+∈Z ， 0tan 0x ∴=或0tan 1x =.17. 锐角ABC 的三个内角是A B C ､､，满足()222sin sin sin tan sin sin B C A A B C +−=． （1）求角A 的大小及角B 的取值范围；（2）若ABC 的外接圆的圆心为O ，且12OB OC ⋅= ，求()A AB AC O +⋅ 的取值范围．【答案】（1）6A π=，角B 的取值范围为32ππ，；（2）722−−【解析】【分析】(1)利用正弦定理化角为边，结合余弦定理和同角关系求角A 的大小，再由条件求角B 的取值范围；(2) 【小问1详解】设ABC 的外接圆的半径为R ，因为()222sin sin sin tan sin sin B C A A B C +−=， 由正弦定理可得sin 2aA R=，sin 2b B R =，sin 2c C R =，所以()222tan b c a A bc +−=，又222cos 2b c a A bc+−=，sin tan cos A A A =所以1sin 2A =，因为(0,)2A π∈， 所以6A π=，因为ABC 为锐角三角形， 所以02B π<<，2A B ππ<+<，所以32B ππ<<，所以角B 的取值范围为32ππ，； 【小问2详解】由已知O 为ABC 的外接圆的圆心，所以==OA OB OC R =，因为6A π=，所以263BOC ππ∠=×=， 又12OB OC ⋅= ，所以1cos 2OB OC BOC ⋅∠= ，所以1122R R ××=，所以1R =，设AOC θ∠=，则53AOB πθ∠=−， 又2AOC B ∠=∠，所以23πθπ∈， 所以()()A O AB AC OB O OC OA A OA ⋅=⋅+−+−22OB O O OA OA A C =+−⋅⋅511cos cos 2311πθθ××−+− ×× =21cos o in 2c s θθθ+=−−23cos 2θθ−=1si 2n 2θθ =−−26πθ=+−因为23πθπ∈，，所以57666πππθ<+<，所以1cos 6πθ−≤+<，所以(()722A C A A OB −≤⋅<−+ ，所以()A AB AC O +⋅ 的取值范围为722−−.18. 某足球场长72m ､宽60m ，球门宽6m ，球门CD 位于底线中央.当足球运动员沿斜向直线AB 带球突破时，A 为球场边线的中点，B 为底线上一点，路线如图，若12m BC =；（1）求cos CAB ∠；（2）若P 是球员起脚射门的点，试问PBAB是多少时，P 对球门的张角最大？并求此时P 到底线的距离. 【答案】18.636519.PB AB =【解析】【分析】（1）在直角三角形AEC 中和直角三角形AEB 中，求出,AC AB ,在三角形ABC 中，利用余弦定理求出cos CAB ∠； （2）设PBAB=(01)λλ<≤，过点P 作CE 垂线，垂足为H ，以E 为原点，AE 为x 轴正方向，EB为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，表达出坐标，计算出tan CPH ∠和tan DPH ∠，求出()tan tan DPC DPH CPH ∠=∠−∠，利用基本等式求出最大值.【小问1详解】在直角三角形AEC 中，36,27AE CE ==，则45AC =，在直角三角形AEB 中，15,36BE AE ==，则39AB =， 在三角形ABC 中，12BC =,由余弦定理得22263cos 265AB AC BC CAB AB AC ∠+−==⋅； 【小问2详解】因为点P 在线段AB 上，设PBAB=(01)λλ<≤，过点P 作CE 垂线，垂足为H ，以E 为原点，AE为x 轴正方向，EB为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则有()()()()36,0,0,15,0,27,0,33A B C D −，()()()36,15,36,15,36,1515AB PB EP EB BP λλλλ===+=−− ， ()2715151215tan 3636CPH λλλλ−−+∠==， 1815tan 36DPH λ∠λ+=，()tan tan DPC DPH CPH ∠=∠−∠tan tan 1tan tan DPH CPHDPH CPH∠∠∠∠−=+6361815121513636λλλλλ=+++×()()2636(36)18151215λλλλ×=+++()()2241446545λλλλ=+++2241695024λλλ=++ 242416950λλ=++，由基本不等式知当且仅当λ=时，上式取等号，即为最大值， 又因为090DPC <∠< ，故此时也是DPC∠最大值，的此时m PB PH AE AB =⋅=，处射门对球门的张角最大，此时PB AB =. 19. 设A 是有序实数对构成的非空集，B 是实数集，如果对于集合A 中的任意一个有序实数对(),x y ，按照某种确定的关系f ，在B 中都有唯一确定的数z 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个二元函数，记作()(),,,zf x y x y A ∈，其中A 称为二元函数f 的定义域.（1）已知()()()1122,,,,f x y a x y b x y ==，若()()12121,2,1f a f b x x y y ==+= ，求();f a b +（2）非零向量()00,u x y =，若对任意的(),,,0x y D D A h ∈⊆>，记(),a x y =，都有()()f a f a hu <+，则称f 在D 上沿u 方向单调递增.已知(),e e ,R,R x y x y f x y x y +−=+∈∈.请问f 在(){},,R x y x y ∈∣上沿向量()1,1方向单调递增吗？为什么？ （3）设二元函数f 的定义域为D ，如果存在实数M 满足： ①()x y D ∀∈,，都有(),f x y M ≥， ②()00,x y D ∃∈，使得(00,f x y M =. 那么，我们称M 是二元函数f 的最小值.求()()()211,sin2cos ,,,,R,22f x y y x y x x y x y x y y=++−∈∈≤≤∣的最大值.【答案】（1 （2）f 在(){},,R x y x y ∈∣上沿向量()1,1方向单调递增，理由见解析 （3）52【解析】【分析】（1）由向量数量积的坐标运算结合二元函数的定义求解即可； （2）根据二元函数在定义域上沿u 方向单调递增的定义求解即可； （3）根据(),f x y 的最大值的含义求解即可.【小问1详解】由已知有()()1,2,1f a a f b b a b ====⋅=，则()f a b a b +=+==；【小问2详解】()(),,0,,,1,1x y h a x y u ∈>==R， (),,2a hu x h y h x y h x y ∴+=++++>+，又(),e e x yx y f x y +−=+ ，()()2e e e e e e 0x h y h x h y h x y x yx y h x y f a hu f a ++++−−+−+++∴+−=+−−=−> ， 故f 在(){},,x y x y ∈R ∣上沿向量()1,1方向单调递增； 【小问3详解】由题意可类似的知道(),f x y 的最大值的含义，()21,sin2cos f x y y x y x y =++−()2221sin 2sin cos cos y x y x x x y=++21(sin cos )y x x y+ ()221sin y x yϕ++，其中1tan y ϕ=，（或者直接使用柯西不等式，()()2222(sin cos )1sin cos y x x y x x +≤++，当且仅当sin 1cos y xx=时取等号） 故()1,f x y y y ≤+，当ππ,Z 2x k k ϕ+=+∈时取等号，（或当tan x y =时取等号）， 又122y ≤≤，根据对勾函数单调性易知当12y =或2时，函数(),f x y 取最大值为52. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．.。
2020-2021长沙市湖南师大附中高一数学下期末一模试卷含答案
2020-2021长沙市湖南师大附中高一数学下期末一模试卷含答案一、选择题1．如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =，4AD AC ⋅=，则AB BC ⋅=A ．-45B ．13C ．-13D ．-372．已知()()()sin cos ,02f x x x πωϕωϕωϕ=+++＞，＜，()f x 是奇函数，直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ） A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 3．已知不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为（ ） A ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 C ．{}21x x -<<D ．{}21x x x <->或4．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）174176176176178儿子身高y （cm ）175175176177177则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+12x D ．y = 1765．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4）6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．47．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）9．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．3(0,]2B ．3(0,]4C ．3[,1)2D ．3[,1)410．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．（2018年天津卷文）设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为 A ．6B ．19C ．21D ．4512．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．4二、填空题13．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为______．14．()sin1013tan 70+=_____15．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12019113n T ->成立的最大正整数n 的值是_______． 16．设向量(12)(23)a b ==，，，，若向量a b λ+与向量(47)c =--，共线，则λ= 17．如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_______．18．函数2cos 1y x =+的定义域是 _________.19．设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ．20．如图，某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为________．三、解答题21．解关于x 的不等式2(1)10()ax a x a R -++>∈.22．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围. 23．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()fϕ的值；（2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围．24．如图所示，一座小岛A 距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一城镇B .一年青人从小岛A 出发，先驾驶小船到海岸线上的某点C 处，再沿海岸线步行到城镇B .若PAC θ∠=，假设该年青人驾驶小船的平均速度为2/km h ，步行速度为4/km h .（1）试将该年青人从小岛A 到城镇B 的时间t 表示成角θ的函数； （2）该年青人欲使从小岛A 到城镇B 的时间t 最小，请你告诉他角θ的值. 25．已知平面向量a ，b 满足1a b ==. （1）1a b -=，求a 与b 的夹角；（2）若对一切实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，求a 与b 的夹角θ. 26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+． （1）求n a ； （2）设数列1{}n S 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】先用AB 和AC 表示出2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-， 再根据，12BD DC =用用AB 和AC 表示出AD ，再根据4AD AC ⋅=求出A AB C ⋅的值，最后将A AB C ⋅的值代入2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-，，从而得出答案． 【详解】()2A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-，∵12BD DC =， ∴111B C ?C B 222AD A A AD AD A AD A -=-=-+（）， 整理可得：12AB 33AD AC +＝， 221A A 433AD AC AB C C ∴⋅⋅+=＝∴ A =-12AB C ⋅，∴2=A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-．，故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．2．A解析：A 【解析】 【分析】首先整理函数的解析式为()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数为奇函数可得4πϕ=-，由最小正周期公式可得4ω=，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】由函数的解析式可得：()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数为奇函数，则当0x =时：()4k k Z πϕπ+=∈.令0k =可得4πϕ=-.因为直线y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π结合最小正周期公式可得：22ππω=，解得：4ω=.故函数的解析式为：()4f x x =.当3,88x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数在所给区间内单调递减； 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()40,x π∈，函数在所给区间内不具有单调性； 据此可知，只有选项A 的说法正确. 故选A . 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．A解析：A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程求得,a b ；利用一元二次不等式的解法可求得结果.【详解】220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<1∴-和2是方程220ax bx ++=的两根，且0a <1212122ba a⎧-=-+=⎪⎪∴⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩ 222210x bx a x x ∴++=+-< 解得：112x -<<，即不等式220x bx a ++<的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭故选：A 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系等知识的应用；关键是能够通过一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根，进而利用韦达定理构造方程求得变量.4．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+12x 成立，故选C 5．C解析：C 【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则240k k k >⎧⎨=-<⎩解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C. 6．B解析：B 【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥；2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．7．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 8．C解析：C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.9．A解析：A 【解析】试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，2a =，设(0,)M b ，则45b d =，所以4455b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224c a b b =-=-，所以0c <≤0c a <≤．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．10．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.11．C解析：C 【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：51x y x y +=⎧⎨-+=⎩，可得点A 的坐标为：()2,3A ，据此可知目标函数的最大值为：max 35325321z x y =+=⨯+⨯=.本题选择C 选项.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.12．B解析：B 【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.二、填空题13．36π【解析】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上SC 是球O 的直径若平面SCA ⊥平面SCBSA=ACSB=BC 三棱锥S−ABC 的体积为9可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形设球的半解析：36π 【解析】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径， 若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S−ABC 的体积为9， 可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ，可得112932r r r ⨯⨯⨯⨯= ，解得r=3. 球O 的表面积为：2436r ππ= .点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.14．【解析】【分析】将写成切化弦后利用两角和差余弦公式可将原式化为利用二倍角公式可变为由可化简求得结果【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题涉及到两角和差余弦公式二 解析：1【解析】 【分析】tan 60，切化弦后，利用两角和差余弦公式可将原式化为sin10cos10cos 60cos 70，利用二倍角公式可变为1sin 202cos 60cos 70⋅，由sin 20cos70=可化简求得结果. 【详解】()()cos 60cos 7060sin 70sin1013tan70sin101tan 60tan70sin1s 0co i s 60o 7n c s 0+=++⋅=()cos 7060sin10cos101sin 201sin101cos60cos70cos60cos702cos60cos702cos60-=⋅==⋅==本题正确结果：1 【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式的应用.15．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q 由于是正项的递增等比数列可得q ＞1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通解析：6 【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比q ，由于是正项的递增等比数列，可得q ＞1．由a 1+a 5=82，a 2•a 4=81=a 1a 5，∴a 1，a 5，是一元二次方程x 2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a 1，a 5，利用通项公式可得q ，a n ．利用等比数列的求和公式可得数列{2na }的前n 项和为T n ．代入不等式2019|13T n ﹣1|＞1，化简即可得出．【详解】数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，a 2•a 4=81=a 1a 5，即15158281a a a a +=⎧⎨⋅=⎩解得15181a a =⎧⎨=⎩，则公比3q =，∴13n n a -=， 则2122221333n n T -=++++ 11132311313n n -⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭-， ∴12019113n T ->，即1201913n ⨯>，得32019n <，此时正整数n 的最大值为6. 故答案为6. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．2【解析】【分析】由题意首先求得向量然后结合向量平行的充分必要条件可得的值【详解】=由向量共线的充分必要条件有：故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算向量平行的充分必要条件等知识意在考查学解析：2 【解析】 【分析】由题意首先求得向量a b λ+，然后结合向量平行的充分必要条件可得λ的值. 【详解】a b λ+=(,2(2,3)(2,23λλλλ+=++））， 由向量共线的充分必要条件有：()()(2)7(23)42λλλ+⋅-=+⋅-⇒=. 故答案为2． 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【解析】在正四棱锥中顶点S 在底面上的投影为中心O即底面ABCD 在底面正方形ABCD 中边长为2所以OA=在直角三角形SOA 中所以故答案为 解析：3【解析】在正四棱锥中，顶点S 在底面上的投影为中心O ，即SO ⊥底面ABCD，在底面正方形ABCD 中，边长为2，所以，在直角三角形SOA中SO ===所以112233V sh ==⨯⨯=318．【解析】【分析】由函数的解析式得到关于x 的不等式求解不等式即可确定函数的定义域【详解】函数有意义则：即求解三角不等式可得：则函数的定义域为【点睛】求函数的定义域其实质就是以函数解析式有意义为准则列出解析：()222,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由函数的解析式得到关于x 的不等式，求解不等式即可确定函数的定义域. 【详解】函数有意义，则：2cos 10x +≥，即1cos 2x ≥-， 求解三角不等式可得：()222233k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 则函数的定义域为()222,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．19．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则解析：2n+1 【解析】由条件得111112222222111n n n n n n n n a a a b b a a a ++++++++====---，且14b =，所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则11422n n n b -+=⋅=．20．【解析】【分析】由三视图知几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2得到圆锥的高利用圆锥体积公式得到结果【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2∴圆锥的高是∴几何体的体积是【解析】 【分析】由三视图知几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，得到圆锥的高，利用圆锥体积公式得到结果． 【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，=∴几何体的体积是211132π⨯⨯⨯=，故答案为6【点睛】本题考查由三视图还原几何图形，考查圆锥的体积公式，属于基础题.三、解答题21．a ＜0时，不等式的解集是（1a，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）； 1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1a，+∞）；a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1a）∪（1，+∞）．【解析】 【分析】讨论a 与0的大小，将不等式进行因式分解，然后讨论两根的大小，即可求出不等式的解集． 【详解】当0a =时，原不等式可化为10x -+>，所以原不等式的解集为{|1}x x <. 当0a ≠时，判别式()()22141a a a ∆=+-=-.（1）当1a =时，判别式0∆=，原不等式可化为2210x x -+>， 即()210x ->，所以原不等式的解集为{|1}x x ≠.（2）当0a <时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，此时11a <，所以原不等式的解集为1{|1}x x a <<.（3）当01a <<时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，此时11a >，所以原不等式的解集为1{|1}x x x a或.（4）当1a >时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，此时11a<， 所以原不等式的解集为1{|1}x xx a或. 综上，a ＜0时，不等式的解集是（1a，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）； 1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1a，+∞）；a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1a）∪（1，+∞）．【点睛】本题主要考查了含有字母系数的不等式求解问题，解题的关键是确定讨论的标准，属于中档题． 22．(1) 3C π=.(2) .【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理求得1cos 2C =，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得62A ππ<<，利用三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==，又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A Bπ===，即,a A b B ==∴sin )a b A B +=+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，即，则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，综上+a b的取值范围为. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 23．（1）0；（2）,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】 【分析】（1）首先化简()g x 解析式，然后求得左移ϕ个单位后函数()f x 的解析式，根据()f x 的奇偶性求得ϕ的值，进而求得()fϕ的值.（2）根据（1）中求得的()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求得226x πϕ++的取值范围，根据ϕ的取值范围，求得22πϕ+的取值范围，根据()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，以及正弦型函数的单调性列不等式，解不等式求得ϕ的取值范围. 【详解】 （1）()()14sin sin 21cos 222g x x x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()2sin 2216f x x πϕ⎛⎫∴=++- ⎪⎝⎭，又()f x 为偶函数，则262k ϕππ+=+π（k Z ∈），02πϕ<≤，6πϕ∴=．()06f f πϕ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭．（2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫∴++∈++++ ⎪⎝⎭，02πϕ<≤，72,666πππϕ⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦，32,222πππϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦， ()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数．262ππϕ∴+≥且02πϕ<≤． ,62ππϕ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦．【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间有关问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题. 24．（1）1tan 3cos 2t θθ=+-；（2）6π【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出AC 和BC 的值，再求t 关于θ的函数解析式；（2）根据t 的解析式，结合三角函数的性质求出t 的最小值以及对应θ的值． 【详解】（Ⅰ）由题意知，AP PB ⊥，2AP =，02πθ<<，所以2tan PC θ=，2cos AC θ=，122tan BC θ=-， 所以t 关于θ的函数为 2122tan 1tan 3242cos 4cos 2AC BC t θθθθ-=+=+=+-； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1tan 2sin 33cos 2cos t θθθθ-=+-=+， 令2sin 0cos y θθ-=>，则22sin 2cos 14y y θθ=++解得32y ，当且仅当1sin ,cos 2θθ= 即6πθ=时，所花时间t 最小．【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 25．（1）3π（2）θπ= 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义及性质即可求解（2）利用平方化简不等式可得22cos 12cos 0x x θθ+⋅--≥恒成立，利用判别式求解即可.【详解】（1）∵1a b ==，21211a b a b ∴-=-⋅+=，即12a b ⋅=， ∴1cos 2a b θ=， ∴3πθ=.（2）不等式a xb a b +≥+两边平方可得:22cos 12cos 0x x θθ+⋅--≥恒成立， ∴0∆≤，即()24cos412cos 0θθ++≤，故()2cos 10θ+≤， 只能cos 1θ=-， 而0θπ≤≤， 所以θπ=. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积定义，性质，不等式恒成立，属于中档题. 26．（1）21n a n =+；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）设公差为d ，由28S =，38522a a a +=+可得1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =，从而可得结果；（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122n nS n n n =++=+，则()11111222nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）设公差为d ，由题1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =．所以21n a n =+．（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122n nS n n n =++=+． 则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭．所以n T 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 34<． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.。
湖南师大附中2020-2021学年度高一第二学期入学自主检测地理【含答案】
湖南师大附中2020-2021学年度高一第二学期入学自主检测地理时量：75分钟满分：100分第I卷选择题（共75分）一、选择题（本大题共25个小题，每小题3分，共75分，每小题只有一个正确答案）1. 下列天体系统中，包含地球和火星的最低一级天体系统是（）A. 地月系B. 太阳系C. 银河系D. 可观测宇宙常见的沉积岩包括砾岩、砂岩、页岩和石灰岩等。
由沉积岩形成的地层具有明显的层理构造，一般先沉积的层在下，后沉积的层在上。
下图为某同学参加化石保护性发掘的实践活动时手绘的地质剖面示意图。
据此完成下面小题。
2. 图中最可能发掘出化石的是（）A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④3. 图中含煤地层形成时期，当地（）A. 沉积作用为主B. 气候炎热干燥C. 广布大陆冰川D. 缺乏植被覆盖4. 若图中的含煤地层形成于侏罗纪，则地层③可能形成于（）A. 寒武纪B. 石炭纪C. 三叠纪D. 第四纪读我国大陆部分地壳厚度线图，完成下面小题。
5. 图示地区的地壳厚度变化趋势大体为（）A. 由东向西逐渐增大B. 由北向南逐渐增大C. 由西向东逐渐增大D. 由南向北逐渐增大6. 若绘制地壳厚度剖面图，其0千米为（）A. 海平面B. 莫霍界面C. 岩石圈底部D. 软流层中部7. “中国天眼”FAST自2020年1月国家验收以来，设施运行稳定可靠，取得了一系列重大科学成果。
被称为“中国天眼”的500米口径球面射电天文望远镜所在区域的地貌类型是（）A. 黄土地貌B. 喀斯特地貌C. 风成地貌D. 丹霞地貌曲流大多发育在平原，受流水的自由摆动被侧向侵蚀形成。
太行山的深邃峡谷中也密集分布了宛转的曲流，如左图所示。
右图示意沿甲乙的河流纵向剖面。
据图，回答下列小题。
8. 形成太行山曲流的内外力作用先后顺序分别为（）A. 地壳抬升--流水下蚀--流水侧蚀 B. 流水沉积--地壳抬升--流水侧蚀C. 流水下蚀--地壳下沉--流水侧蚀D. 流水侧蚀--地壳抬升--流水下蚀9. 据图推测，甲岸（）A. 水流速度更快B. 陆地面积季节变化较大C. 底层水流流向乙岸D. 更适合建造河港埃及费拉菲拉沙漠区有一片屹立在坚实的土层之上的、仿佛沙雕一样的巨大的蘑菇群岩层，被当地人称为“蘑菇沙漠”。
湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期第一次月考化学试题
②___、___。
三、原理综合题
20．CH3OH是一种无色有刺激性气味的液体，在生产生活中有重要用途，同时也是一种重要的化工原料。
(1)已知CH3OH(g)+ O2(g) CO2(g)+2H2(g)的能量变化如图所示：
下列说法正确的是___________(填字母标号)。
a．CH3OH转变成H2的过程是一个吸收能量的过程
9．下列说法不正确的是
A．符合分子通式CnH2n+2的烃一定都是烷烃，分子中均只含单键
B．CH4与C4H8一定不是同系物
C． 与 是同分异构体
D．相同质量的烃完全燃烧，耗氧量最大的是CH4
10．下列关于乙烯的叙述中，正确的是
A．乙烯的化学性质比乙烷活泼
B．甲烷和乙烯在加热条件下都可以与氯气反应，且反应类型一定相同
(3)CH3OH燃料电池是目前开发最成功的燃料电池之一，这种燃料电池由甲醇、空气(氧气)、KOH(电解质溶液)构成。已知其负极反应式为CH3OH+8OH--6e-= +6H2O。
则下列说法正确的是___________(填序号)。
①电池放电时通入空气的电极为负极
②电池放电时，电解质溶液的碱性逐渐减弱
A．风能、太阳能等属于可再生能源
B．推广可再生能源有利于经济可持续发展
C．如图是太阳能光伏电池原理图，图中A极为正极
D．光伏电池能量转化方式是太阳能直接转化为电能
4．有a、b、c、d四个金属电极，有关的反应装置及部分反应现象如下，由此可判断这四种金属的活动性顺序是
实验装置
部分实验现象
a极质量减小，b极质量增加
15．下列说法正确的是
A．CH4和Cl2按体积比1：1混合，发生取代反应生成的产物只有两种
2020-2021长沙市湖南师大附中高一数学下期中一模试卷含答案
10．如图，在三棱柱 中， 平面ABC， 是等腰三角形， ， ，D是AC的中点，点F在侧棱 上，若要使 平面BDF，则 的值为( )
A．1B． 或2C． 或2D． 或3
11．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ）
A．m，n是平面 内两条直线，且 ，
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1= ，
∴ ，
∴高SD=2OO1= ，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC= ，
∴ ．
考点：棱锥与外接球，体积．
【名师点睛】
本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
画出截面图形如图
显然A正三角形C正方形：
D正六边形
可以画出三角形但不是直角三角形；
对于D中，在直线n上取一点Q，过点Q作直线m 的平行线m′，所以m′与n是两条相交直线，m′⊂β，n⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D正确．
湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期第二次大练习物理试题
湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期第二次大练习物理试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列说法正确的是A．参考系必须是固定不动的物体B．研究跳水运动员做转体动作时，运动员可视为质点C．物体对水平支持面的压力大小一定等于物体的重力D．劲度系数和拉力、伸长量没有关系，它只决定于弹簧的材料、长度、弹簧丝的粗细2．关于摩擦力，以下说法中不正确的是A．运动物体可能受到静摩擦力作用，静止物体也可能受到滑动摩擦力作用B．用圆珠笔写字时，笔头与纸的摩擦是滑动摩擦力C．正压力越大，摩擦力可能越大，也可能不变D．摩擦力方向可能与速度方向在同一直线上，也可能与速度方向不在同一直线上3．如图所示，F1、F2、F3恰好构成封闭的直角三角形，这三个力的合力最大的是()A．B．C．D．4．一质点沿直线Ox方向做变速运动，它离开O点的距离随时间变化的关系为x=5+2t3（m），它的速度随时间t变化的关系为v=6t2（m/s）．该质点在t=0到t=2s间的平均速度和t=2s到t=3s间的平均速度大小分别为A．8 m/s，38 m/s B．12 m/s，39 m/sC．12 m/s，19.5 m/s D．8 m/s，12 m/s5．制动装置：是按照需要使汽车减速或在最短的距离内停车，(使汽车)在保证安全的前提下尽量发挥出高速行驶的性能的装置。
目前，配置较高的汽车都安装了ABS(或EBS)制动装置，可保证车轮在制动时不会被抱死，使车轮仍有一定的滚动，安装了这种防抱死装置的汽车，在紧急刹车时可获得比车轮抱死更大的制动力，从而使刹车距离大大减小。
假设汽车安装防抱死装置后刹车制动力恒为F，驾驶员的反应时间为t，汽车的质量为m，刹车前匀速行驶的速度为v，则A．汽车刹车的加速度大小为a＝v tB ．汽车刹车时间t ′＝Fv mC ．汽车的刹车距离为x ＝vt ＋2mv FD ．汽车的刹车距离为x ＝vt ＋22mv F6．一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低的点a 的时间间隔是T a ，两次经过一个较高点b 的时间间隔是T b ，则a 、b 之间的距离为A ．()2218-a b g T T B ．()2214-a b g T T C ．()2212-a b g T TD ．()2212-a b g T T7．如图所示，质量均为1kg 的小球a 、b 在轻弹簧A 、B 及外力F 的作用下处于平衡状态，其中A 、B 两个弹簧劲度系数均为5/N cm ，B 弹簧上端与天花板固定连接，轴线与竖直方向的夹角为60，A 弹簧竖直，g 取210/.m s 则以下说法正确的是( )A ．A 弹簧伸长量为3cmB ．外力F =C ．B 弹簧的伸长量为4cmD ．突然撤去外力F 瞬间，b 球加速度为08．如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 和2m 的四个木块，其中两个质量为m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg ．现用水平拉力F 拉其中一个质量为2 m 的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m 的最大拉力为( )A ．35mgμ B ．34mgμC ．32mgμ D ．3mg μ9．如图所示，在竖直平面内，一根不可伸长的轻质软绳两端打结系于“V”形杆上的A 、B 两点，已知OM 边竖直，且AO BO =，细绳绕过光滑的滑轮，重物悬挂于滑轮下处于静止状态。