新版沪科版八年级数学下册专题综合提升训练精品课件：专题一 二次根式
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沪科版初中数学八年级下册精品课件16.1 二次根式
属于“非负数+正数”的形式,一定大于零.而（5） 中xy<0,（7）根指数不是2，是3.（3）不是，因为 在实数范围内，负数没有平方根.
例2 当x取何值时, 二次根式 x 1有意义? 解：由x-1≥0，得 x≥1. 当x≥1时， x 1 在实数范围内有意义. 试求当x=9时，二次根式 x 1的值. 当x=9时， x 1 9 1 8 2 2 .
2
4
4
2
2
2
1 3
2
1 3
2
0
0
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 2是一个平方等于2的非负数，因此有（ 2）2 2
归纳
一般地，有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双 重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下： a2, ︱a︱, a . 由前面可知，二次根式还有第二条重要性质：即 a2 = a . 文字叙述：任何一个非负数的平方的算术平方根 都等于这个数.
a 2 a取任何实数
( a)2与 a2 有区别吗?
例3：化简:
(1) 16;
(2) (5)2 ;
(3) (7)2;
(4) 72 .
解：(1) 16 42 4 (3) (7)2 7
（2）（- 5）2 5
(4) 72 1 7
课堂小结
定义 a （a≥0）
二 次 根 式 性质
a 0(a 0)
（即 数）
a 表示一个非负
2
a aa 0;
a2 （ a a 0）
正方形的边长是 b 3 .
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
例2 当x取何值时, 二次根式 x 1有意义? 解：由x-1≥0，得 x≥1. 当x≥1时， x 1 在实数范围内有意义. 试求当x=9时，二次根式 x 1的值. 当x=9时， x 1 9 1 8 2 2 .
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0
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 2是一个平方等于2的非负数，因此有（ 2）2 2
归纳
一般地，有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双 重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下： a2, ︱a︱, a . 由前面可知，二次根式还有第二条重要性质：即 a2 = a . 文字叙述：任何一个非负数的平方的算术平方根 都等于这个数.
a 2 a取任何实数
( a)2与 a2 有区别吗?
例3：化简:
(1) 16;
(2) (5)2 ;
(3) (7)2;
(4) 72 .
解：(1) 16 42 4 (3) (7)2 7
（2）（- 5）2 5
(4) 72 1 7
课堂小结
定义 a （a≥0）
二 次 根 式 性质
a 0(a 0)
（即 数）
a 表示一个非负
2
a aa 0;
a2 （ a a 0）
正方形的边长是 b 3 .
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
新沪科版八年级数学下册第16章《二次根式》精品课件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
有意义的实数
x的值有（
A、0个
B ） B、1个 C、2个 D、无数个
8（１）
3 ( 3) ____
2
2
x 1 （２）当 x 1 时， (1 x) ____
（３） ( x 2) 2 x 2 ，x 2
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
9
计算： ( 10) (3 3)
商的算术平方根等于被除式的算 术平方根除以除式的算术平方根
（4）、二次根式的除法法则
a b
a (a 0, b 0) b
二次根式的乘除：
a b ＝
ab (a≥0 , b≥0)
a b (a≥0 , b≥0)
a b
(a≥0, b＞0) (a≥0, b＞0)
ab ＝
a b
a b
＝
＝
a b
梳理五.最简二次根式的定义.
梳理七.二次根式加减法则
二次根式加减时，先将二次根式化 为最简二次根式，再把被开方数相同的 二次根式进行合并。 注意：对被开方数相同的二次根式 进行合并，实质是对被开方数相同的二 次根式的系数进行合并。
梳理八. 混合运算法则
1.先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号先算先算括号里面的. 2.对于二次根式的运算，各种运算 律照常使用，各种乘法公式照常 使用
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次式.
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式. (2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因 式.
梳理六 .同类二次根式的定义。
几个二次根式化为最简二次根
式后，若被开方数相同，则这几个
二次根式就叫做同类二次根式。
判断几个二次根式是否为同类 二次根式的方法： 1、先化简：把各个二次根式 都化为最简二次根式。 2、再观察：化简后的二次根 式的被开方数是否相同。
2
有意义的实数
x的值有（
A、0个
B ） B、1个 C、2个 D、无数个
8（１）
3 ( 3) ____
2
2
x 1 （２）当 x 1 时， (1 x) ____
（３） ( x 2) 2 x 2 ，x 2
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
9
计算： ( 10) (3 3)
商的算术平方根等于被除式的算 术平方根除以除式的算术平方根
（4）、二次根式的除法法则
a b
a (a 0, b 0) b
二次根式的乘除：
a b ＝
ab (a≥0 , b≥0)
a b (a≥0 , b≥0)
a b
(a≥0, b＞0) (a≥0, b＞0)
ab ＝
a b
a b
＝
＝
a b
梳理五.最简二次根式的定义.
梳理七.二次根式加减法则
二次根式加减时，先将二次根式化 为最简二次根式，再把被开方数相同的 二次根式进行合并。 注意：对被开方数相同的二次根式 进行合并，实质是对被开方数相同的二 次根式的系数进行合并。
梳理八. 混合运算法则
1.先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号先算先算括号里面的. 2.对于二次根式的运算，各种运算 律照常使用，各种乘法公式照常 使用
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次式.
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式. (2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因 式.
梳理六 .同类二次根式的定义。
几个二次根式化为最简二次根
式后，若被开方数相同，则这几个
二次根式就叫做同类二次根式。
判断几个二次根式是否为同类 二次根式的方法： 1、先化简：把各个二次根式 都化为最简二次根式。 2、再观察：化简后的二次根 式的被开方数是否相同。
沪科版八年级数学 下册 16.1《二次根式》课件(共22张PPT)
（1） 1 ； x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
归 纳
∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式时，应同时考虑分母不为零.
练 习
正文讲授 2. a 取何值时，下列根式有意义？
1 2 （1） a+1；（2） ；（3） （a-1 ． ） 1- 2a
解：（1）由a+1≥0，得
a≥ - 1； 1 （2）由1-2a＞0，得 a＜ ； 2 2 （a-1 ） （3）由 ≥0，得 a为任何实数．
变 式
正文讲授 a 取何值时，下列根式有意义？
归 纳
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进
行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0； 条件： B≥0； ... N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
2 （1） a 2 - 2a+1 ；（2） ． （a-1 ）
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
变
式
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 2 2 x 1;
(2) x 2 2 x 3.
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 2 x 1 x 12 ≤0， ∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义.
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
归 纳
∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式时，应同时考虑分母不为零.
练 习
正文讲授 2. a 取何值时，下列根式有意义？
1 2 （1） a+1；（2） ；（3） （a-1 ． ） 1- 2a
解：（1）由a+1≥0，得
a≥ - 1； 1 （2）由1-2a＞0，得 a＜ ； 2 2 （a-1 ） （3）由 ≥0，得 a为任何实数．
变 式
正文讲授 a 取何值时，下列根式有意义？
归 纳
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进
行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0； 条件： B≥0； ... N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
2 （1） a 2 - 2a+1 ；（2） ． （a-1 ）
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
变
式
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 2 2 x 1;
(2) x 2 2 x 3.
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 2 x 1 x 12 ≤0， ∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义.
沪科版八下数学1二次根式教学课件
(2)( 2 )2; ＝2
(3)( 0.8 )2; ＝0.8 (4) -( 1.3 )2. ＝－1.3
2 下列计算正确的是( A )
知3－练
A．－( 6 )2＝－6 B．( 3 )2＝9
C．( 16 )2＝±16
D．
16 2 16
25
25
3
把4
1 4
写成一个正数的平方的情势是(
B
)
A.
知3－讲
a2 与( a )2的区分与联系： 联系： a2与( a )2均为非负数，且当a≥0时， a2＝
( a )2. 计算(b a )2时，运用(ab)2＝a2b2这个结论可知， (b a )2＝b2a.
例7 计算: (1) 52 ;
2
(2) 1 2 .
解： (1) 52 = 52 =5
或 52 = 5 =5.
(4) a＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不 能称为二次根式．
知1－讲
(5)当x＝－3时，（x
1
3）2
无意义，∴
1 （x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，
（x
1
3）＞2 0，∴
（x
1
3）2 是二次根式．
1
∴ （x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
x.
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否 具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知1－讲
解：(1)∵ 3 64 的根指数是3，∴ 3 64不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x2 1 是二
次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， -5a是二次根式； 当a＞0时，－5a＜0，则 -5a 不是二次根式． ∴ -5a 不一定是二次根式．
(3)( 0.8 )2; ＝0.8 (4) -( 1.3 )2. ＝－1.3
2 下列计算正确的是( A )
知3－练
A．－( 6 )2＝－6 B．( 3 )2＝9
C．( 16 )2＝±16
D．
16 2 16
25
25
3
把4
1 4
写成一个正数的平方的情势是(
B
)
A.
知3－讲
a2 与( a )2的区分与联系： 联系： a2与( a )2均为非负数，且当a≥0时， a2＝
( a )2. 计算(b a )2时，运用(ab)2＝a2b2这个结论可知， (b a )2＝b2a.
例7 计算: (1) 52 ;
2
(2) 1 2 .
解： (1) 52 = 52 =5
或 52 = 5 =5.
(4) a＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不 能称为二次根式．
知1－讲
(5)当x＝－3时，（x
1
3）2
无意义，∴
1 （x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，
（x
1
3）＞2 0，∴
（x
1
3）2 是二次根式．
1
∴ （x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
x.
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否 具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知1－讲
解：(1)∵ 3 64 的根指数是3，∴ 3 64不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x2 1 是二
次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， -5a是二次根式； 当a＞0时，－5a＜0，则 -5a 不是二次根式． ∴ -5a 不一定是二次根式．
沪科版数学八年级下册教学课件PPT16.1 二次根式
课程讲授
3 二次根式的性质
问题3：二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？ 它本身的取值范围又是什么？
当a ＞0时，a 表示a的算术平方根，因此 a ＞0； 当a =0时， a 表示0的算术平方根，因此 a =0.这就 是说，当a ≥0时， a ≥0.我们把这个性质叫做二次根 式的双重非负性.
课程讲授
1 二次根式的概念
思考：用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为3的正方形的边长为___3___，面积为S 的正方 形的边长为___S__. (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 ㎡,则
130
它的宽为___2__m.
课程讲授
1 二次根式的概念
思考：用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
即当x ≥-3时， x 3 在实数范围内有意义. （2）因为x为任何实数时都有x2≥0, 所以当x为一切实数时， x2 在实数范围内都有意义.
课程讲授
2 二次根式有意义的条件
练一练：若二次根式 2x 4 有意义 ,则实数 x的取
值范围是 （ D ）
A.x≥-2 B.x>-2 C.x<2 D.x≤2
课程讲授
3 二次根式的性质
练一练：若 ( C) A．1 B．－1 C．7 D．－7
x y 1 （y 3）2 0 ，则x-y的值为
课程讲授
3 二次根式的性质
问题4：根据算术平方根的意义填空，并试着归纳其中
的规律．
2
4
4
2
2
2
1 3
2
2
0
0
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m) 满足关系h =5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为
沪科版八下18-2《二次根式的运算》ppt课件
沪科版八下18-2《二次根式的运 算》ppt课件
contents
目录
• 二次根式基本概念回顾 • 加减运算中二次根式应用 • 乘法运算中二次根式应用 • 除法运算中二次根式应用 • 复杂表达式中二次根式处理技巧 • 总结与提高：掌握核心知识点，提升解
题能力
01 二次根式基本概念回顾
二次根式定义及性质
简化规则
03
对于最简二次根式，被开方数中不含分母且不含能开得尽方的
因数或因式。
典型例题分析与解答
例题1
化简二次根式√48。
解答
√48 = √(16 * 3) = 4√3
例题2
计算(√5 + √3) * (√5 - √3)。
解答
利用平方差公式，原式= (√5)^2 - (√3)^2 = 5 - 3 = 2
二次根式除法公式
介绍二次根式除法的基本公式， 如
$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}=sqrt{fra c{a}{b}}$（$b neq 0$）。
公式推导过程
详细阐述公式的推导过程，包括 分子分母同时乘以相同的二次根
式等步骤。
公式证明
通过具体例子或代数运算证明公 式的正确性和适用性。
除法运算中简化策略
有理化分母
对于分母中含有二次根式的分式，可 以采用有理化分母的方法，将其转化 为不含二次根式的分式，便于计算。
实际应用问题中加减运算
长度、面积、体积等计算
在几何问题中，经常需要计算长度、面积、体积等，这些计算往 往涉及到二次根式的加减运算。
物理问题中的运算
在物理问题中，如力学、电学等领域，也经常需要进行二次根式的 加减运算，以解决实际问题。
公式证明
contents
目录
• 二次根式基本概念回顾 • 加减运算中二次根式应用 • 乘法运算中二次根式应用 • 除法运算中二次根式应用 • 复杂表达式中二次根式处理技巧 • 总结与提高：掌握核心知识点，提升解
题能力
01 二次根式基本概念回顾
二次根式定义及性质
简化规则
03
对于最简二次根式，被开方数中不含分母且不含能开得尽方的
因数或因式。
典型例题分析与解答
例题1
化简二次根式√48。
解答
√48 = √(16 * 3) = 4√3
例题2
计算(√5 + √3) * (√5 - √3)。
解答
利用平方差公式，原式= (√5)^2 - (√3)^2 = 5 - 3 = 2
二次根式除法公式
介绍二次根式除法的基本公式， 如
$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}=sqrt{fra c{a}{b}}$（$b neq 0$）。
公式推导过程
详细阐述公式的推导过程，包括 分子分母同时乘以相同的二次根
式等步骤。
公式证明
通过具体例子或代数运算证明公 式的正确性和适用性。
除法运算中简化策略
有理化分母
对于分母中含有二次根式的分式，可 以采用有理化分母的方法，将其转化 为不含二次根式的分式，便于计算。
实际应用问题中加减运算
长度、面积、体积等计算
在几何问题中，经常需要计算长度、面积、体积等，这些计算往 往涉及到二次根式的加减运算。
物理问题中的运算
在物理问题中，如力学、电学等领域，也经常需要进行二次根式的 加减运算，以解决实际问题。
公式证明
沪科版八年级下册课件《16.1二次根式》课件1
1 有意义,那么A(a, a
a)
象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
例1.下列各式是二次根式吗？
(1) 32 , (4) 12 ,
(2) 6,
(6) xy x, y异号 ,
(5) m m 0 , (7) a ,(8) 5 .
(3) 9 ,
2
3
在实数范围内,负数没有平方根
思 考
a和 a 是二次根式吗？
为什么？如果不是，请改正
根式为：a a 0
第十六章二次根式
16.1 二次根式
知识回顾
什么叫做平方根？ 一般地，如果一个数的平方等于a，那么 这个数叫做a的平方根. 什么叫算术平方根？
正数的正平方根和零的平方根，统称算术 平方根.
用 a (a 0)表示.
二次根式
(a≥0)表示非负数a的算术平方根， 形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
它必须具备如下特点： 1、根指数为2； 2、被开方数必须是非负数.
a a 0
二次根式根号内字母的取值范围必须满足:
被开方数大于或等于零
掌握并应用二次根式的基本性质
当 a大于或等于0时 (
a )
2
= a
掌握并应用二次根式的基本性质
例2.计算： 2 (1)( 12)
2 2 (2)( ) 3
பைடு நூலகம்
(3)( a b ) (a b 0)
2
已知 在第 二
沪科版八年级下册全册课件
复习回顾二次根式的性质：
1.性质1 ( a ) 2 （a a 0）.
2.性质2
a2
a
a a
(a 0), (a 0).
合作学习 计算下列各式，观察计算结果,你发现什么规律？
1. 4× 9 =__6__ 4 9 __6___
2. 16 25 _2_0_ 16 25 _2_0___
一般地,有
例1.当x为何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
(1) x 3 ; (2) x2
解：（1）要使 x 3 有意义，必须使x+3≥0. 解这个不等式，得x≥-3. ∴当x≥-3时， x 3 在实数范围内有意义.
（2）因为x为人何实数时都有 x2 0, 所以当x为一切实数时， x2 都有意义.
4. a≥0， a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
计算： (1) 3a 6a2 . (2) 8a 5 6a2 . 解：（1）由已知，得 a 0,
1,
3 2 ( 3)2 2 3
2 3 3 2.
课堂小结： 回顾本科学习了哪些知识？
布置作业
课堂作业：P7、P9、P10练习； 家庭作业 ： (1)P12习题第1、2题；
(2)预习下一节内容.
教学反思
16.2 二次根式的运算（2）
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数，也可以是式 3. 形式上含有二次根号
1.被开方数的因数是整 数，因式是整式
2.被开方数不含能开得尽 方的因数或因式
练习：把下列各式化简(分母有理化)：
(1) 4 2 37
2a (2)
ab
(3) 2 3 40
沪科版数学八年级下册沪科版八年级数学下册课件：16.1二次根式1
（2）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3）
（4）
（5）
灿若寒星
答案： （1）（2）
（3）（4）
（5）
灿若寒星
2.化简并求值：
(1)
其中
.
(2)
其中
灿若寒星
3.已知求 的值. 答案：
3.
灿若寒星
4.延伸拓展 （1）已知－1＜x＜2，求的值；
（2）已知a为实数，求的值.
答案： 5、（1）（2）
灿若寒星
例2、计算： （1） 解：原式
灿若寒星
解：原式
灿若寒星
（3） 解：原式
灿若寒星
例3、计算： （1） 解:原式
灿若寒星
解：由二次根式的意义可知：即
灿若寒星
例4、设的整数部分是a，小数部 分是b，试求的值. 解：
的整数部分为1. ∴的整数部分为3，小数部分是
即：
灿若寒星
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练习： 1.计算： （1）
初中数学课件
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灿若寒星
二次根式的概念 二次根式 二次根式的性质
二次根式的运算与化简
灿若寒星
例1、x取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
解:（1）由
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子有意义.
灿若寒星
解：（2）由 得－5≤x＜3.
∴当－5≤x＜3时，有意义.
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沪科版八年级数学下册第16章二次根式PPT课件全套
（来自《典中点》）
知2－讲
知识点
2 二次根式有意义的条件
1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数； 反之也成立，即： a 有意义⇔a≥0. 2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；
反之也成立，即： a 无意义⇔a＜0.
知2－讲
例2 当x为何值时，下列式子在实数范围内 x 2
解：(1)要使 x 3 有意义，必须x+3 ≥0.解这个不等 式，得 x ≥ -3.
即当x ≥ -3时， x 3 在实数范围内有意义.
(2)因为x为任何实数时都有x2 ≥0， 所以当x为一切实数时， x 2 在实数范围内都有意 义
（来自《教材》）
知2－讲
总 结
求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，
（来自《典中点》）
知3－讲
知识点
3
二次根式的“双重”非负性（a≥0， a ≥0）
双重非负性： a 中 a≥0， a ≥0，即一个非负
数的算术平方根是一个非负数.
知3－讲
例4 若 x 2 y 9 与 x y 3 互为相反数 ，则x+y 的值为 ( D ) A．3 B．9 C．12 D．27
是先根据定义建立关于字母的不等式(组)，再通过解
不等式(组)确定字母取值范围．
（来自《点拨》）
知2－练
1 (中考· 巴中)要使式子 范围是( A．m>－1 B．m≥－1 )
m 1 有意义，则m的取值 m 1
C．m>－1且m≠1
D．m≥－1且m≠1
（来自《典中点》）
知2－练
2 (中考· 滨州)如果式子 2 x 6 有意义，那么x的取值 范围在数轴上表示正确的是( )
知2－讲
知识点
2 二次根式有意义的条件
1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数； 反之也成立，即： a 有意义⇔a≥0. 2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；
反之也成立，即： a 无意义⇔a＜0.
知2－讲
例2 当x为何值时，下列式子在实数范围内 x 2
解：(1)要使 x 3 有意义，必须x+3 ≥0.解这个不等 式，得 x ≥ -3.
即当x ≥ -3时， x 3 在实数范围内有意义.
(2)因为x为任何实数时都有x2 ≥0， 所以当x为一切实数时， x 2 在实数范围内都有意 义
（来自《教材》）
知2－讲
总 结
求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，
（来自《典中点》）
知3－讲
知识点
3
二次根式的“双重”非负性（a≥0， a ≥0）
双重非负性： a 中 a≥0， a ≥0，即一个非负
数的算术平方根是一个非负数.
知3－讲
例4 若 x 2 y 9 与 x y 3 互为相反数 ，则x+y 的值为 ( D ) A．3 B．9 C．12 D．27
是先根据定义建立关于字母的不等式(组)，再通过解
不等式(组)确定字母取值范围．
（来自《点拨》）
知2－练
1 (中考· 巴中)要使式子 范围是( A．m>－1 B．m≥－1 )
m 1 有意义，则m的取值 m 1
C．m>－1且m≠1
D．m≥－1且m≠1
（来自《典中点》）
知2－练
2 (中考· 滨州)如果式子 2 x 6 有意义，那么x的取值 范围在数轴上表示正确的是( )
沪科版八年级数学下册总复习ppt课件
a b a b (a 0,b 0)
(二）二次根式的简单性质
商的算术平方根 商的算术平方根等于被除式的算
术平方根除以除式的算术平方根．
a a (a 0,b 0)
bb
1、32 18
2、0.25 81
3、 81 25
（1）下列各式不是二次根式的是（
B）
A 5
B 3 C a2
D 1
2
2二次根式 1 x有意义，则x的取值范围是 x 1
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
A.3
B.-3
C.1
D.-1
6.若（a 2）2 2 a，则a的取值范围是 a 2
本章知识
(二）、二次根式的性质：
1.( a)2 a (a 0)
a （a 0）
2. a2 a
0 （a 0）
a （a 0）
3. ab a b (a 0 b 0)
4.
a b
a b
(a 0
b 0)
回顾与反 思
判别式逆定理 若方程有两个 不相等的实数根,则b2-4ac＞0
若方程有两个 相等的实数根,则b2-4ac=0
若方程没有实数根,则b2-4ac＜0
若方程有两个 实数根,则b2-4ac≥0
判别式的用处
(二）二次根式的简单性质
商的算术平方根 商的算术平方根等于被除式的算
术平方根除以除式的算术平方根．
a a (a 0,b 0)
bb
1、32 18
2、0.25 81
3、 81 25
（1）下列各式不是二次根式的是（
B）
A 5
B 3 C a2
D 1
2
2二次根式 1 x有意义，则x的取值范围是 x 1
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
A.3
B.-3
C.1
D.-1
6.若（a 2）2 2 a，则a的取值范围是 a 2
本章知识
(二）、二次根式的性质：
1.( a)2 a (a 0)
a （a 0）
2. a2 a
0 （a 0）
a （a 0）
3. ab a b (a 0 b 0)
4.
a b
a b
(a 0
b 0)
回顾与反 思
判别式逆定理 若方程有两个 不相等的实数根,则b2-4ac＞0
若方程有两个 相等的实数根,则b2-4ac=0
若方程没有实数根,则b2-4ac＜0
若方程有两个 实数根,则b2-4ac≥0
判别式的用处
1二次根式课件数学沪科版八年级下册
1.了解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式.
2.理解并掌握二次根式有意义的条件，会求被开方数中所含字
母的取值范围.
3.理解并掌握二次根式的基本性质 a a 和
2
重点
难点
aa 0,
a a
aa＜0.
2
1.掌握二次根式有意义的条件.
2.理解并掌握二次根式的基本性质.
会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
思考
用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
3
S
(1)面积为3的正方形边长为_____；若面积为
S ，则边长为_____．
(2)一个长方形的围栏，若长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m．
65
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落
下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，
那么 t
h
为_____．
5
上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S ， 65 ， h ．
5
（1）这些式子分别表示什么意义？
h
分别表示3，S，65， 的算术平方根．
5
（2）这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
2
2
2
2
3
9 =3
4 2
9 3
归纳：由此可以看出： a 2 a ( a≥0 ).
a －a ( a≤0 ).
2
02 0
0.5
2
0.25 0.5
总结
a 2 的性质：
a2
2.理解并掌握二次根式有意义的条件，会求被开方数中所含字
母的取值范围.
3.理解并掌握二次根式的基本性质 a a 和
2
重点
难点
aa 0,
a a
aa＜0.
2
1.掌握二次根式有意义的条件.
2.理解并掌握二次根式的基本性质.
会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
思考
用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
3
S
(1)面积为3的正方形边长为_____；若面积为
S ，则边长为_____．
(2)一个长方形的围栏，若长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m．
65
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落
下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，
那么 t
h
为_____．
5
上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S ， 65 ， h ．
5
（1）这些式子分别表示什么意义？
h
分别表示3，S，65， 的算术平方根．
5
（2）这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
2
2
2
2
3
9 =3
4 2
9 3
归纳：由此可以看出： a 2 a ( a≥0 ).
a －a ( a≤0 ).
2
02 0
0.5
2
0.25 0.5
总结
a 2 的性质：
a2
二次根式PPT课件(沪科版)
【点拨】∵b＜a＜0，∴a－2b＞0，a＋b＜0.∴ a2－4ab＋4b2＋ |a＋b|＝ （a－2b）2＋|a＋b|＝(a－2b)－(a＋b)＝a－2b－a－b ＝－3b.
期末复习专题
11．设 a，b，c 为△ABC 的三边长，化简： （a＋b＋c）2＋ （a－b－c）2＋ （b－a－c）2－ （c－b－a）2.
期末复习专题
1．[蚌埠怀远县期末]在式子 2， x2－2， x＋3，3 x2＋1， －3x
(x≤0)中，一定是二次根式的有( B )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
期末复习专题
2．[滁州凤阳县期中]若实数 a，b，c 满足|a－ 2|＋ b－2＝ c－3 ＋ 3－c.
(1)求 a，b，c； 解：由题意可得 c－3≥0，3－c≥0，∴c＝3， ∴|a－ 2|＋ b－2＝0， ∴a＝ 2，b＝2.
1 3＋
＋ 2
1 4＋
3＋…＋
1 10＋
9.
原式＝ 2－1＋ 3－ 2＋ 4－ 3＋…＋ 10－ 9＝ 10－1.
期末复习专题
13．化简 24的结果是( B ) A．4 6 B．2 6 C．6 2D．8 3期末复习专题
14．能使得 （3－a）（a＋1）＝ 3－a· a＋1成立的所有整数 a 的和是___5_____．
2)2＋(2 3)2＝5＋2 6＋5－2 6＋12＝22.
期末复习专题
3．[2019·合肥瑶海区期中]下列根式中是最简二次根式的是( B )
A．
2 3
B． 3
C．
4 2
D． 8
期末复习专题
4．二次根式 4 5a， 2a3， 8a， b，
的有( C ) A．4 个 B．3 个
期末复习专题
11．设 a，b，c 为△ABC 的三边长，化简： （a＋b＋c）2＋ （a－b－c）2＋ （b－a－c）2－ （c－b－a）2.
期末复习专题
1．[蚌埠怀远县期末]在式子 2， x2－2， x＋3，3 x2＋1， －3x
(x≤0)中，一定是二次根式的有( B )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
期末复习专题
2．[滁州凤阳县期中]若实数 a，b，c 满足|a－ 2|＋ b－2＝ c－3 ＋ 3－c.
(1)求 a，b，c； 解：由题意可得 c－3≥0，3－c≥0，∴c＝3， ∴|a－ 2|＋ b－2＝0， ∴a＝ 2，b＝2.
1 3＋
＋ 2
1 4＋
3＋…＋
1 10＋
9.
原式＝ 2－1＋ 3－ 2＋ 4－ 3＋…＋ 10－ 9＝ 10－1.
期末复习专题
13．化简 24的结果是( B ) A．4 6 B．2 6 C．6 2D．8 3期末复习专题
14．能使得 （3－a）（a＋1）＝ 3－a· a＋1成立的所有整数 a 的和是___5_____．
2)2＋(2 3)2＝5＋2 6＋5－2 6＋12＝22.
期末复习专题
3．[2019·合肥瑶海区期中]下列根式中是最简二次根式的是( B )
A．
2 3
B． 3
C．
4 2
D． 8
期末复习专题
4．二次根式 4 5a， 2a3， 8a， b，
的有( C ) A．4 个 B．3 个
八年级下册数学(沪科版)同步教学课件：1二次根式复习
2. a-4+ 4-a 有意义的条件是 a=4
.
3.求下列二次根式中字母的取值范围.
解：
①
②
解得 - 5≤x＜3
说明：二次根式被开方数不小于 0，所以求二次根式中字母的取 值范围常转化为不等式（组）.
题型二 二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
方法技巧 初中阶段主要涉及三种非负数： a≥0，|a|≥0，a2≥0.如果若 干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.即由 a≥0， b≥0，c≥0 且 a＋b＋c＝0，一定得到 a＝b＝c＝0，这是求一个 方程中含有多个未知数的有效方法之一。
2．化简： x－2－ 2－x＝____0____．
3．若１＜x＜４，则化简 (x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿5 ＿＿
4.下列各式中，是最简二次根式的是（ B ）
A. 8 B. 70
C. 99
1 D. x
5.下列各式中那些是二次根式？那些不是？为什么？
① 15
④ 质
( a)2＝__a__(__a≥0__)；
a2＝a＝
aa （a>0），
00 （a＝0）， －aa （a<0）.
3．最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
(1)被开方数不含__分__母___；
八年级数学下册第16章二次根式基础提升专练二次根式的有关运算作业课件新版沪科版
第九页，编辑于星期六：七点 四十八分。
第十页，编辑于星期六：七点 四十八分。
第十一页，编辑于星期六：七点 四十八分。
第十二页，编ห้องสมุดไป่ตู้于星期六：七点 四十八分。
第十三页，编辑于星期六：七点 四十八分。
第一页，编辑于星期六：七点 四十八分。
第二页，编辑于星期六：七点 四十八分。
第三页，编辑于星期六：七点 四十八分。
第四页，编辑于星期六：七点 四十八分。
第五页，编辑于星期六：七点 四十八分。
第六页，编辑于星期六：七点 四十八分。
第七页，编辑于星期六：七点 四十八分。
第八页，编辑于星期六：七点 四十八分。
沪科初中数学八年级下册《16.1二次根式》精品课件 (3)
最新初中数学精品课件设计
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数4. a≥0， a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果
最新初中数学精品课件设计
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1
4.a≥0, a ≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
最新初中数学精品课件设计
第十六章二次根式
16.1 二次根式
最新初中数学精品课件设计
形如： 1000 、800 20、0 a (a、 0)
这些式子，你能发现它们共同特征吗？
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫做被开方数.由于一个正数有两 个平方根；0的平方根是为0；在 实数范围内，负数没有平方根， 所以a只能是正数和0
11 102
最新初中数学精品课件设计
要使 x 2 满足二次根式的定义要求，
x 应对 作出如何的要求呢？
这是二次根式的相当重要的“非负性”，也是 一个必考重点.
最新初中数学精品课件设计
学习体会
1、本节课你的收获有哪些？ 2、还有什么疑惑？ 3、是否有给老师的建议？
最新初中数学精品课件设计
3 a 32
2 1
1 2a
4 a 32
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
最新初中数学精品课件设计
课堂小结
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数,也可以是式. 3.形式上含有二次根号
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数4. a≥0， a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果
最新初中数学精品课件设计
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1
4.a≥0, a ≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
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第十六章二次根式
16.1 二次根式
最新初中数学精品课件设计
形如： 1000 、800 20、0 a (a、 0)
这些式子，你能发现它们共同特征吗？
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫做被开方数.由于一个正数有两 个平方根；0的平方根是为0；在 实数范围内，负数没有平方根， 所以a只能是正数和0
11 102
最新初中数学精品课件设计
要使 x 2 满足二次根式的定义要求，
x 应对 作出如何的要求呢？
这是二次根式的相当重要的“非负性”，也是 一个必考重点.
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学习体会
1、本节课你的收获有哪些？ 2、还有什么疑惑？ 3、是否有给老师的建议？
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3 a 32
2 1
1 2a
4 a 32
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
最新初中数学精品课件设计
课堂小结
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数,也可以是式. 3.形式上含有二次根号
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