配套K12黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题文

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黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三数学上学期期中试题理.docx

哈尔滨市第六中学2018-2019学年度上学期期中考试高三理科数学试卷.考试说明：本试卷分第「卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试吋I'可120分钟.（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂,，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折耗、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给•出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.5.函数y = ^-x 2的图•象大致是（） 1.已知集合A = {y\y=\x\-2,x^R},9B = {x\x>\}f 则下列结论正确的是（ C. A B — B z • z — 1 2.若z = 1 - 2/,则 () 2iA. 2B. _2 rC. —2zD. 2z 3.已知向fitz = (2,l), a h = \O f | cz+Z?|=5\/2 ,贝]]\b\=() A. V2 B. y/5 4.下列命题正确的是（）A. 3X （）G R.+2x （）+3 = 0C. 2D. 5B. Vxe >x 2C. %>1是+>1的充分不必要条件D.若 a> b ,则 a 2 > b 2A. -3 G AB. 3g B6.已知是两个不同的平lfil\ m.n 是两条不同的直线，给出下列命题:① 若•加丄£mu 0、则a 丄0 ② 若mua 、nua 、m//队n// [i 、则&〃 0③ 若/??<= 6Z,7?（Z « , IL m,n 是异而直线，则“与Q 相交④若 ar\p = m.n // m,且 nUajY 卩、则 n // a 且〃〃 0.其中正确的命题是（）7.函数f （x ） = cos （x + 0）^<0<7i ）在兀=冬处取得最小值，则/（兀）在[0,刃上的单调递I 。

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哈尔滨市第六中学2018-2019学年度上学期期中考试高三文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1. 已知集合 M={—1,1}, N = {x\丄 <2 却 <4,xwZ},则 M cN =()2A. {-1,1}B. 0C. (-1,1)D. {-1} 2. 已知d~^ = b + i(a,bwR),其中i 为虚数单位，贝i]a-hh=()IA. —1B. 1C ・ 2D ・ 3—> —> —> —> —> —> 3. 已知向量加=(2 + lJ),n = (2 + 2,2),若(m+ /?)丄(m- n)r9 则 2 =代7. 执行右面的程序框图，若输出的结果是三，则输入的7为（16C. 5D. 6&• y = alnx^-hx 2 +无在x = 1和兀=2处有极值,则弘b 的值分别为（）A. -4B. — 3C. -2D. -14.要得到函数y = cos （2x +1）的图象,只要将函数y = cos2尤的图象（A.向左平移1个单位B. 向右平移1个单位 C向左平移+个单位D.向右平移冷75.已知 d = log 3 — A. a>b> c,c = log ）则a,b,c 的大小关系为（3 5B. b> a> c C ・ c> b> a D. c> a> b6. 已知片、厲是椭圆的两个焦点，过耳且与长轴垂直的直线交椭圆于人3两点,若AAB 坊为正三角形，则这个椭圆的离心率为（）D.Vj 2r B. 4 A. 39•一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为〃几10.在 AABC 屮，ZA = 60,BC = A /10, D 是边上的一点,0) = 72 , ACBD 的面积为1,则BD 的长为( )3A. -B. 4C. 2D. 1a = \< 1 B.<1a- — 6 C.< 1a = —3D. <b =——23b =b = -\3I.A . 2a =——3b = --6全面积是（则该棱锥的A. 4 +2后211.已知sin（a +彳）+ c°s（a —評一埠，煜<a<0,则c。

黑龙江省哈尔滨六中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷2 (有解析)

黑龙江省哈尔滨六中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.双曲线5y2−x2=5的渐近线方程是()A. y=±5xB. y=±15x C. y=±√5x D. y=±√55x2.对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列命题中真命题是()A. 若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αB. 若α//β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a//bC. 若a//b，b⊂α，则a//αD. 若a⊂β，b⊂β，a//α，b//α，则β//α．3.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′.已知点O′是斜边B′C′的中点，且O′A′=2，则△ABC的面积为()A. 4√2B. 8√2C. 2√2D. 6√24.在三棱锥S−ABC中，▵ABC为正三角形，设二面角S−AB−C，S−BC−A，S−CA−B的平面角的大小分别为α，β，γ(α,β,γ≠π2)，则下面结论正确的是()A. 1tanα+1tanβ+1tanγ的值可能是负数B. α+β+γ<3π2 C. α+β+γ>πD. 1tanα+1tanβ+1tanγ的值恒为正数5.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱6.椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，过F作x轴的垂线交椭圆C于A，B两点，若△OAB是直角三角形(O为坐标原点)，则C的离心率为()A. √5−2B. √3−1C. √5−12D. √3−127.已知四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB=6，CD=10，EF=7，则AB与CD所成角的度数为()A. 120°B. 45°C. 60°D. 90°8.已知四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为1正方形，棱SD⊥面ABCD, SD=1，则二面角A−SB−C的大小是()A. 60∘B. 120∘C. 30∘D. 150∘9.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC⊥BC，若A1A=AB=2，当阳马B−A1ACC1体积最大时，则堑堵ABC−A1B1C1的外接球的体积为()A. 2√2πB. 8√23π C. 14√23π D. 4√2π10.如图，四棱锥P–ABCD的底面ABCD是平行四边形，M、N分别为线段PC、PB上一点，若PM∶MC=3∶1，且AN//平面BDM，则PN∶NB=()A. 4∶1B. 3∶1C. 3∶2D. 2∶111.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B−AC−D的大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°12.椭圆x29+y22=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2的大小()A. 60°B. 120°C. 150°D. 30°二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如果双曲线x236−y2100=1上一点P到焦点F1的距离等于7，那么点P到另一个焦点F2的距离是．14.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为______．15.已知一个圆锥的底面半径长为1，圆锥母线长为3，一动点由圆锥底面圆周上一点A绕圆锥侧面一周再回到A点，则该动点所走的最短路程为________16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列结论：①BD⊥平面ACC1A1；②AC⊥平面BDD1；③AC1⊥平面CB1D；④BD1⊥平面AB1C1.其中正确的个数是________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点．(1)求证：EF//平面ABHG；(2)求证：平面ABHG⊥平面CFED．18.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB．19.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为棱AD、AB的中点．(1)求证：EF//平面CB1D1；(2)求异面直线EF与AD1所成角．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥BC，平面PACD为直角梯形，∠PAC=90°，PD//AC，PA=AB=PD=1，AC=2，∠BAC=120°(1)求证：PA⊥AB；(2)求直线BD与平面PACD所成角的正弦值；(3)求二面角D−BC−A的平面角的正切值．21.已知直线l：y=k(x−n)与抛物线y2=4x交于A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1x2≠0)两点．(Ⅰ)若直线l过抛物线的焦点F，求x1x2的值；(Ⅱ)若x1x2+y1y2=0，求n的值．22.已知动点P与两定点A(−2,0)，B(2,0)连线的斜率之积为−1．4(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；(Ⅱ)若过点F(−√3,0)的直线l与轨迹C交于M、N两点，且轨迹C上存在点E使得四边形OMEN(O 为坐标原点)为平行四边形，求直线l的方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】x．本题考查了焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程y=±ab【解答】=1，解：双曲线5y2−x2=5的标准方程是y2−x25x．因为a=1，b=√5，所以渐近线方程为：y=±√55故选D．2.答案：B解析：A.利用线面垂直的判定定理即可判断出；B.利用两个平面平行的性质定理即可判断出；C.利用线面平行的判定定理即可判断出；D.利用面面平行的判定定理即可得出．本题综合考查了空间中的线面、面面平行于垂直的位置关系，属于基础题．解：A.由a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，只有当m与n相交时，才能得到a⊥α，因此A不正确；B.由α//β，α∩γ=a，β∩γ=b，利用两个平面平行的性质定理即可得出a//b，因此正确；C.由a//b，b⊂α，则a//α或a⊂α；D.由a⊂β，b⊂β，a//α，b//α，只有a与b相交时，才能得出β//α．故选：B．3.答案：B解析：【分析】本题考查斜二测画法，属于基础题．根据斜二测画法的规律计算出原三角形的底边和高可得结果．【解答】解：由斜二测画法知三角线ABC为直角三角形，直角边长分别为4，4√2，×4×4√2=8√2．则三角形ABC的面积为12故选B．4.答案：D解析：【分析】本题考查空间二面角的综合问题，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查转化思想，数形结合思想以及空间想象能力，是较难题．将问题平面化，画出图形，分类讨论：点S在平面ABC的射影点O在区域7，4，5，利用三角形面积公式判定即可得解．【解答】解：记O为点S在平面ABC的射影点，则如图(4)，O可能落在7个区域，根据正三角形对称性，只需分析落在区域7，4，5的情况，分别与图(1)，(2)，(3)对应，图(1)，若S接近O，则α+β+γ→0，故C错，显然此时1tanα+1tanβ+1tanγ>0；图(2)，如图，可得1tanα+1tanβ+1tanγ=d1+d2−d3SO，设AB=2，则√3=S△ABC=12ACd1+12BCd2−12ABd3，则d1+d2−d3>0，故1tanα+1tanβ+1tanγ>0；图(3)，如图，可得1tanα+1tanβ+1tanγ=d1−d2−d3SO，设AB=2，则√3=S△ABC=12ACd1−12BCd2−12ABd3，则d1−d2−d3>0，故1tanα+1tanβ+1tanγ>0；故选：D．5.答案：B解析：根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，可知几何体如图：几何体是三棱柱．6.答案：C解析：【分析】本题主要考查椭圆的性质与几何意义，属于一般题．由△OAB是直角三角形，可得c=b2a，化为a与c的关系式求离心率．解析：解：∵点F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，∴过F作垂直于长轴的垂线交椭圆于A、B两点，若△OAB是直角三角形，则c=b2a，即a2−c2−ac=0，故得e2+e−1=0，e∈(0,1)，得e=√5−12．故选：C．7.答案：C解析：解：取AD中点G，连结EG、FG，∵四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，AB=6，CD=10，EF=7，∴GF//AB，且GF=12AB=3，GE//CD，且GE=12CD=5，∴∠EGF是AB与CD所成角(或所成角的补角)，∵cos∠EGF=GF2+GE2−EF22×GF×GE =9+25−492×3×5=−12，∴∠EGF=120°，∴AB与CD所成角的度数为60°．故选：C．取AD中点G，连结EG、FG，则∠EGF是AB与CD所成角(或所成角的补角)，由此利用余弦定理能求出AB与CD所成角的度数．本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面在面间的位置关系的合理运用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．8.答案：B解析：【分析】本题考查考查二面角的求法，属于中档题．【解答】解：∵在四棱锥S−ABCD中，底面是边长为1的正方形，，棱SD⊥面ABCD，SD=1，∴SA=SC=√2，且AB⊥SD，AB⊥AD，又SD∩AD=D，∴BC⊥平面SAD，∴BC⊥SA，过A在面SAB内做AH⊥SB，垂足为H，连接CH，则CH⊥SB，∴∠AHC是二面角A−SB−C的平面角，∵在RtΔSAB中，SA=√2，AB=1，则SB=√3，∴AH=SA·ABSB =√63，同理CH=√63，∴在ΔSAB，中AH=√63，CH=√63，AC=√2，cos∠AHC=(√63)2+(√63)2−(√2)22×√63×√63=−12，，．故选B．9.答案：B解析：【分析】本题考查了棱柱体积和利用不等式求最值以及球的体积求解．利用棱柱的体积计算公式，结合不等式求最值，即可得到外接球的半径和体积．【解答】解：由题意三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，且AC⊥BC，又因为AA1=AB=2，所以令AC=x,BC=y，则x2+y2=4．因此V B−A1ACC1=13×2xy≤13×(x2+y2)=43，当且仅当x=y=√2时，等号成立，此时B−A1ACC1体积最大，所以此时直三棱柱是长方体的一部分，外接球的半径满足(2R)2=(√2)2+(√2)2+22，解得R2=2，即R=√2，所以外接球的体积为43π×(√2)3=8√2π3．故选B．10.答案：D解析：【分析】本题考查了线面平行的性质和中位线定理，以及平行线的性质，属于基础题．连接AC交BD于点O，连接CN交BM于点G，证得G为CN的中点，作HN//BM，可得PH=HC，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接CN交BM于点G，由AN//平面BDM，平面ANC∩平面BDM=OG，可得AN//OG，∵OA=OC，∴CG=NG，∴G为CN的中点，作HN//BM交PC于点H，∴CM=HM，∵PM：MC=3：1，∴PH=HC，∴PN：NB=PH：HM=2：1，故选：D．11.答案：D解析：【分析】本题考查棱锥的体积，二面角，考查空间想象能力．欲使得三棱锥体积最大，因为三棱锥底面积一定，只须三棱锥的高最大即可，即当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，由此可得二面角B−AC−D的大小．【解答】解：如图，取E为AC的中点，连接BE，DE，易知BE⊥AC，DE⊥AC，则∠BEC为二面角B−AC−D的平面角，因为△ACD一定，所以只须三棱锥的高最大即可，即当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，此时∠BEC=90°．故选D．12.答案：B解析：【分析】本题考查了余弦定理和椭圆的概念及标准方程．利用椭圆的定义得|PF2|=2，|F1F2|=2√7，再利用余弦定理计算得结论．【解答】解：因为|PF1|=4，所以|PF2|=2，|F1F2|=2√7．在ΔPF1F2中，cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1|×|PF2|=16+4−282×4×2=−12，所以∠F1PF2=120°．故选B．13.答案：19解析：【分析】本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．运用双曲线的定义||PF1|−|PF2||=2a，是解题的关键．【解答】解：由双曲线的定义知||PF1|−|PF2||=2a=12，由题知|PF1|=7，故得|PF2|=19或|PF2|=−5(舍去)．故答案为19．14.答案：2√2解析：【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的各棱长．本题考查三视图与几何体的关系，注意正确画出直观图分别计算各棱长，得到最长棱．【解答】解：三视图复原的几何体是三棱锥A−BCD，底面为直角边长为2的等腰三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为√3，底边长为2，如图：AB=AD=BD=2，AC=CD=2√2，所以最长的棱长为2√2；故答案为：2√2．15.答案：3√3解析：【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对的弦，转化为求弦长的问题．【解答】解：∵因为扇形的弧长等于圆锥底面周长∴扇形的弧长是2πr=2π，根据弧长公式得到2π=3nπ，180∴n=120°即扇形的圆心角是120°，∴弧所对的弦长AA′=2×3sin60°=3√3．故答案为3√3．16.答案：2解析：【分析】本题主要考察的线面垂直的判定，理清线面之间的位置关系，根据判定条件灵活转化是关键．【解答】解：正方体ABCD−A1B1C1D1中，对于①，∵BD⊥AC，AA 1⊥BD，∴BD⊥平面ACC1A1，故①正确；对于②，∵BD⊥AC，DD 1⊥AC，∴AC⊥平面BDD1，故②正确；对于③，AC1与平面CB1D内直线不垂直，错误；对于④，BD1与平面AB1C1内直线不垂直，错误；故答案为2．17.答案：证明：(1)因为E，F分别是A1D1,B1C1的中点，所以EF//A1B1,在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1B1//AB，所以EF//AB，又EF⊄平面ABHG，AB⊂平面ABHG，所以EF//平面ABHG；(2)在正方体ABCD−A1B1C1D1中，CD⊥平面BB1C1C，又BH⊂平面BB1C1C，所以BH⊥CD.①设BH∩CF=P，△BCH≌△CC1F，所以∠HBC=∠FCC1,因为∠HBC+∠PHC=90°，所以∠FCC1+∠PHC=90°，所以∠HPC=90°，即BH⊥CF.②由①②，又DC∩CF=C，CF，CD⊂平面CFED，所以BH⊥平面CFED，又BH⊂平面ABHG，所以平面ABHG⊥平面CFED．解析：本题主要考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题．(1)可证EF//AB，由线面平行的判定可得结论；(2)可证得BH⊥CD，BH⊥CF，由面面垂直的判断定理可得结论．18.答案：证明：(1)因为四边形ABCD是菱形，且∠DAB=60°，所以△ABD是正三角形，因为G是AD的中点，所以BG⊥AD，所以又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BG⊥平面PAD；(2)因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PG⊥AD，又知BG⊥AD，而PG∩BG=G，PG⊂平面PBG，BG⊂平面PBG．所以AD⊥平面PBG．又因为PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB．解析：本题考查直线与平面垂直的判定及面面垂直的性质，以及空间中直线与直线之间的位置关系．(1)根据△ABD为等边三角形且G为AD的中点，则BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，根据面面垂直的性质定理可知BG⊥平面PAD；(2)根据△PAD是等边三角形且G为AD的中点，则AD⊥PG，且AD⊥BG，PG∩BG=G，满足线面垂直的判定定理，则AD⊥平面PBG，而PB⊂平面PBG，根据线面垂直的性质可知AD⊥PB．19.答案：解：(1)连接BD，∵E、F分别为棱AD、AB的中点．∴EF//BD，又DD1//BB1且DD1=BB1，∴四边形BDD1B1为平行四边形，∴BD//B1D1，∴EF//B1D1，又EF⊄平面CB1D1，∴EF//平面CB1D1；(2)连接B1A，由(1)知EF//B1D1，∴∠AD1B1为异面直线EF与AD1所成角．∵AD1=B1D1=AB1，∴，∴∠AD1B1=60°，即异面直线EF与AD1所成角为60°．解析：(1)连接BD，通过证明四边形BDD1B1为平行四边形，证明BD//B1D1，可证EF//B1D1，再利用线面平行的判定定理证明EF//平面CB1D1；(2)连接B1A，证明∠AD1B1为异面直线EF与AD1所成角，解△AD1B1可得异面直线EF与AD1所成的角．本题考查了线面平行的证明及异面直线所成角的求法，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力，利用作−证−求的思路求角的常用方法．20.答案：证明：(Ⅰ)因为PA⊥BC，∠PAC=90°，即PA⊥AC，因为AC，BC交于点C，所以PA⊥平面ABC，而AB⊂底面ABC，所以PA⊥AB．解：(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，平面PACD⊥平面ABC，过点B作BM⊥CA交CA延长线于点M，连结DM，则∠BDM即是直线BD与平面PACD所成角；取AC的中点E，连接BE，DE，则DE//PA；在△ABE中，AB=AE=1，∠BAE=120°，所以BE=√12+12−2×1×1×cos120°=√3，AM=1 2AB=12，所以BM=√32，因为DE//PA，所以DE⊥平面ABC，BD=√3+1=2，在直角三角形△BDM中，sin∠BDM=BMBD =√34，即直线BD与平面PACD所成角的正弦值为√34．(Ⅲ)过点E作EF⊥BC，垂足为F，连接DF，则∠DFE为二面角D−BC−A的平面角，在△EBC中，BE=√3,EC=1,∠BEC=150°，则BC =√3+1−2×√3×1×cos150°=√7，S △EBC =12BE ⋅ECsin∠BEC =12BC ⋅EF ，EF =√2114， tan∠DFE =DEEF =2√213，即二面角D −BC −A 的平面角的正切值为2√213．解析：(Ⅰ)由PA ⊥BC ，PA ⊥AC ，得到PA ⊥平面ABC ，由此能证明PA ⊥AB ．(Ⅱ)过点B 作BM ⊥CA 交CA 延长线于点M ，连结DM ，则∠BDM 即是直线BD 与平面PACD 所成角，由此能求出直线BD 与平面PACD 所成角的正弦值．(Ⅲ)过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，连接DF ，则∠DFE 为二面角D −BC −A 的平面角，由此能求出二面角D −BC −A 的平面角的正切值．本题考查异面直线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21.答案：解：(Ⅰ)由题设知，抛物线焦点F(1,0)，…2分于是直线l 方程为y =k(x −1)(k ≠0)，代入y 2=4x 得k 2x 2−2(k 2+2)x +k 2=0，…4分显然△=4(k 2+2)2−4k 4=4(k 2+1)>0…5分由根与系数的关系得x 1x 2=k 2k=1.…6分 (Ⅱ)显然k ≠0，由{y =k(x −n)y 2=4x消去x 得y 2−4k y −4n =0 由题设△=16k 2−16n >0，即1+nk 2>0①由根与系数的关系，得y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−4n ，②…10分又x 1x 2+y 1y 2=0，y 12=4x 1，y 22=4x 2，得y 1y 2=−16，由②得n =4，代入①式检验成立，所以n =4.…12分．解析：(Ⅰ)求出抛物线焦点，直线l 方程为y =k(x −1)(k ≠0)，代入y 2=4x 利用韦达定理求出x 1x 2的值即可．(Ⅱ)通过{y =k(x −n)y 2=4x消去x 利用韦达定理，通过x 1x 2+y 1y 2=0，转化求解n 即可．本题考查抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．22.答案：解：(Ⅰ)设P(x,y)，由k PA ⋅k PB =−14，得y x+2⋅y x−2=−14，整理得：x 24+y 2=1． ∴曲线C 的方程为x 24+y 2=1；(Ⅱ)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由题意知l 的斜率一定不为0，故不妨设l ：x =my −√3，代入椭圆方程整理得(m 2+4)y 2−2√3my −1=0，△=12m 2+4m 2+16=16m 2+16>0，则y 1+y 2=2√3m m 2+4,y 1y 2=−1m 2+4，①假设存在点E ，使得四边形OMEN 为平行四边形，其充要条件为OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点E 的坐标为(x 1+x 2,y 1+y 2). 由点E 在椭圆上，即(x 1+x 2)24+(y 1+y 2)2=1，整理得x 12+x 22+4y 12+4y 22+2x 1x 2+8y 1y 2−4=0．又M ，N 在椭圆上，即x 12+4y 12=4,x 22+4y 22=4，故x 1x 2+4y 1y 2=−2，②又x 1x 2=(my 1−√3)(my 2−√3)=m 2y 1y 2−√3m(y 1+y 2)+3，将①②代入上式解得m =±2√55 即直线l 的方程是：x =±2√55y +1，即√5x ±2y −√5=0．解析：(Ⅰ)设出P 的坐标，由k PA ⋅k PB =−14化简整理可得曲线C 的方程；(Ⅱ)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由题意知l 的斜率一定不为0，设l ：x =my −√3，代入椭圆方程整理得(m 2+4)y 2−2√3my −1=0，假设存在点E ，使得四边形OMEN 为平行四边形，其充要条件为OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点E 的坐标为(x 1+x 2,y 1+y 2).由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l 的方程．本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，注意函数与方程思想的合理运用，是中档题．。

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨六中高二(上)期中数学试卷(文科)-教师用卷

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期中数学试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是A. 随机事件B. 必然事件C. 不可能事件D. 不能确定【答案】A【解析】解：一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是随机事件，故选：A．直接根据随机事件的定义判断即可．本题考查了随机随机事件的定义，属于基础题．2.圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的表面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则母线长为，底面圆半径为，该圆锥的表面积为．故选：C．由题意知圆锥的母线长和底面圆半径，由此求得圆锥的表面积．本题考查了圆锥的表面积计算问题，是基础题．3.如图所示，在正方体中，M为的中点，则图中阴影部分在平面上的正投影是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由题意，点M在平面上的投影是的中点，B、在平面上的投影是它本身，在平面上的正投影是D中阴影部分．故选：D．根据点M、B、在平面上的投影是什么，由此得出在平面上的正投影．本题考查了点在平面内的投影问题，是基础题．4.在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为A. 0B.C.D.【答案】B【解析】解：连结，，如图所示，，是异面直线与所成角或所成角的补角，，，异面直线与所成角的余弦值为．故选：B．连结，，，则是异面直线与所成角或所成角的补角，由此能求出异面直线与所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．5.为了准备2018届哈尔滨市中学生辩论大赛，哈六中决定从高二年级的4个文科班级中每个班级选1名男生1名女生组成校辩论队，再从校辩论队中挑选2人做为一辩和二辩，则这两个人来自同一个班级的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：从高二年级的4个文科班级中每个班级选1名男生1名女生组成校辩论队，再从校辩论队中挑选2人做为一辩和二辩，基本事件总数，这两个人来自同一个班级包含的基本事件个数，则这两个人来自同一个班级的概率是．故选：B．基本事件总数，这两个人来自同一个班级包含的基本事件个数，由此能求出这两个人来自同一个班级的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是A. 与是异面直线B. 平面C. AE，为异面直线，且D. 平面【答案】C【解析】解：A不正确，因为与在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在平面；C正确，因为AE，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故A平面不正确；故选：C．由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，本题考查空间想象能力以及推理谁的能力，综合性较强．7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. 16B. 32C. 48D. 144【答案】C【解析】解：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中，，，平面ABCD，，几何体的体积．故选：C．几何体为四棱锥，结合直观图判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答本题的关键．8.如图，圆锥的高，底面圆O的直径，C是圆上一点，且，则直线PC和平面AOC所成角的正弦值为A.B.C.D.【答案】B【解析】解：圆锥的高，底面圆O的直径，C是圆上一点，且，平面AOC，，，是直线PC与平面AOC所成角，直线PC和平面AOC所成角的正弦值为：．故选：B．推导出平面AOC，，，是直线PC与平面AOC所成角，由此能求出直线PC和平面AOC所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.对于平面和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是A. 如果，，m、n共面，那么B. 如果，n与相交，那么m、n是异面直线C. 如果，，m、n是异面直线，那么D. 如果，，那么【答案】A【解析】解：A答案中：如果，，则或m与n异面，又由m、n共面，那么，故A正确；B答案中：如果，n与相交，那么m、n相交或m、n是异面直线，故B答案错误；C答案中：如果，，当m、n是异面直线时，则n与可能平行，也可能相交，故C答案错误；D答案中：如果，，那么或故D答案错误；故选：A．本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，如果，，则或m与n异面，又由m、n共面，那么；如果，n与相交，那么m、n相交或m、n是异面直线；如果，，当m、n是异面直线时，则n与可能平行，也要判断空间中直线与平面的位置关系，有良好的空间想像能力，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理，并能利用教室、三棱锥、长方体等实例举出满足条件的例子或反例是解决问题的重要条件．10.球面上有三点A，B，C组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中，，，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，为直角三角形，其外接圆半径为，即截面的圆的半径为，又球心到截面的距离为，，，．故选：A．利用勾股定理判断为直角三角形，可求得其外接圆的半径，利用球心到这个截面的距离为球半径的一半，求得球的半径R，代入球的表面积公式计算．本题考查了球的表面积公式及球心到截面圆的距离与截面圆的半径之间的数量关系，解题的关键是求得三角形的外接圆的半径．11.一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：，其中正三角形ABC的面积三角形满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示，则阴影，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是：，故选：A．求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到正方形的顶点A、B、C的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关12.如图，正方体的棱长为2，动点E，F在棱上点G是AB的中点，动点P在棱上，若，，，则三棱锥的体积A. 与m，n都有关B. 与m，n都无关C. 与m有关，与n无关D. 与n有关，与m无关【答案】D【解析】解：连结，，则，平面，与平面所成的角为，到平面的距离．．三棱锥的体积．故选：D．求出的面积和P到平面EFG的距离，代入棱锥的体积公式计算．本题考查了正方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知点3，与点1，，则AB的中点坐标为______．【答案】2，【解析】解：点3，与点1，，可得AB的中点坐标：2，．故答案为：2，．利用中点坐标公式即可得出．本题考查了中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为单位：：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在～之间的概率约为______．【答案】【解析】解：由已知中抽取20袋，各袋的质量为单位：：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499其中食盐质量在～之间有498 501 500 501 499共5袋故自动包装机包装的袋装食盐质量在～之间的概率故答案为：我们由已知中从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量，可以判概率计算公式，即可计算出该自动包装机包装的袋装食盐质量在～之间的概率本题考查的知识点是用样本的频率分布，古典概型概率计算公式，其中求出满足条件袋装食盐质量在～之间的袋数，是解答本题的关键，细分分析，易得满分．15.已知P，E，F都在球面C上，且P在所在平面外，，，，，在球C内任取一点，则该点落在三棱锥内的概率为______．【答案】【解析】解：如图，在三角形EGF中，由已知可得，，可得，设三角形EFG的外接圆的半径为r，由，可得．再设的外心为，过作底面EGF的垂线，且使．连接OE，则为三棱锥的外接球的半径．；．则球由测度比为体积比，可得在球C内任取一点，则该点落在三棱锥内的概率为．故答案为：．由题意画出图形，求出三棱锥外接球的半径，再分别求出三棱锥及其外接球的体积，由测度比为体积比得答案．本题考查球内接多面体及其体积、考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.如图，在边长为4的正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将沿DE，EF，DF折成正四面体，则在此正四面体中，下列说法正确的是______．异面直线PG与DH所成的角的余弦值为；与PD所成的角为；与EF所成角为【答案】【解析】解：的边长为4，折成正四面体后，如图，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，，；连接FG，取中点M，可得，异面直线PG与DH所成的角的平角为；，连接MD，可得．；在中，余弦定理：；对；对；取DF中点N，连接GN，NH，可得异面GH与PD所成的角的平面角为，由余弦定理，GH与PD所成的角不是；不对；异面PG与EF所成角的平面角为，由余弦定理，可得PG与EF所成角不是不对．故答案为：．根据正四面体的性质，对各结论进行证明，可得选项；本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且，，．求证：直线平面；求四面体的表面积．【答案】证明：连接AC，交BD于E，连接，交于F，则，由为直四棱柱，可得，则，平面，平面，直线平面；解：由已知可得，，在中，由余弦定理可得．．．则四面体的表面积为．【解析】连接AC，交BD于E，连接，交于F，则，进一步得到则，再由线面平行的判定可得直线平面；先求出四面体的底面积，再由已知求解三角形可得四面体的表面积．本题考查直线与平面平行的判定，考查多面体表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.某校书法兴趣组有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加书法比赛每人被选到的可能性相同．用表中字母列举出所有可能的结果；设M为事件“选出的2人来自不同年级且性别相同”，求事件M发生的概率．【答案】解：从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为：，，，，，，，，，，，，，，，共15种．事件“选出的2人来自不同年级且性别相同”的所有可能结果为：，，，，共6种．事件M发生的概率为．【解析】利用列举法能求出从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果．求出事件“选出的2人来自不同年级且性别相同”的所有可能结果，利用等可能事件概率计算公式能求出事件M发生的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19.如图，已知三棱锥中，，，E为PB中点，D为AB的中点，且为正三角形．求证：平面PAC；若点B在平面DEC上的射影H在DC上若，，求三棱锥的体积．【答案】证明：如图，是正三角形，且D为AB的中点，，为PB的中点，，，，，平面ABC，，又，，平面PAC．解：如图，过点B作于H，由知平面ABC，，又，，平面DEC，为点B在平面DEC上的射影，在中，设，则，由可得：，；三棱锥的体积．【解析】推导出，，从而平面ABC，进而，再由，能证明平面PAC．过点B作于H，推导出H为点B在平面DEC上的射影，求出，；，由此能求出三棱锥的体积本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查函数与方程思想、化归转化思想、数形结合思想，是中档题．20.如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．Ⅰ求此人到达当日空气质量优良的概率；Ⅱ求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；Ⅲ由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？结论不要求证明【答案】解：Ⅰ由图看出，1日至13日13天的时间内，空气质量优良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天．由古典概型概率计算公式得，此人到达当日空气质量优良的概率；Ⅱ此人在该市停留期间两天的空气质量指数、、、、、、、、、、、共13种情况．其中只有1天空气重度污染的是、、、共4种情况，所以，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；Ⅲ因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图看出从5日开始连续5、6、7三天的空气质量指数方差最大．【解析】Ⅰ由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；Ⅱ用列举法写出此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况，查出仅有一天是重度污染的情况，然后直接利用古典概型概率计算公式得到答案；Ⅲ因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了一组数据的方差和标准差，训练了学生的读图能力，是基础题．21.如图，四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别为BC，DE中点证明：平面AEM；若是等边三角形，平面平面BCE，，，求三棱锥的体积．【答案】证明：取AE中点F，连结MF、FN，中，F、N分别为EA、ED的中点，，又四边形ABCD是平行四边形，，又M是BC中点，，，四边形FMCN是平行四边形，，又平面AEM，平面AEM，平面AEM．解：取BE中点H，连结AH，则，平面平面BCE，由知平面AEM，，三棱锥的体积为．【解析】取AE中点F，连结MF、FN推导出四边形FMCN是平行四边形，从而，由此能证明平面AEM．取BE中点H，连结AH，则，推导出平面AEM，由三棱锥的体积．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．22.如图，在矩形ABCD中，，点M在边DC上，点F在边AB上，且，垂足为E，若将沿AM折起，使点D位于位置，连接，得四棱锥．Ⅰ求证：；Ⅱ若，直线与平面ABCM所成角的大小为，求直线与平面ABCM所成角的正弦值．【答案】Ⅰ证明：，，，面面，；Ⅱ解：由Ⅰ知，面，平面ABCM，平面面，过作，则平面ABCM，也就是是直线与平面ABCM所成角，由已知，，并且是所求的直线与平面ABCM所成角．，且在三角形中，，且所以是等边三角形，，即，是等腰三角形．设，，，四棱锥的高由于直线与平面ABCM所成角为，【解析】Ⅰ根据图形折叠前后的关系，易证面，得出．Ⅱ由Ⅰ知，面，所以平面面，过作，则平面ABCM，，是直线与平面ABCM所成角，是直线与平面ABCM所成角在直角三角形求解即可．本题考查直线与平面位置关系的判断，线面角求解，考查空间想象能力、推理论证、计算能力．。

黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二4月月考数学(理)试题(附答案)

哈尔滨市第六中学2020届4月份阶段性测试高二理科数学试题一、选择题（每题5分，共60分） 1. 30<<x 是21<-x 成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 24后，曲线C 变为曲线122=-y x ，则曲线C 的方程为（）A ．116422=-y x B ．141622=-y x C ．141622=-y x D ．116422=-y x 3. 直线03=++y x 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆2)1(22=+-y x 上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．]6,2[B ．]9,3[C ．]24,2[D ．]23,2[4．设曲线)1ln(++=x ax y 在点)0,0(O 处的切线方程为x y 4=，则=a （） A ．3 B ．41C ．4D ．31 5．已知函数x x x f cos sin )(+=，且)(4)(x f x f ='，则x 2tan 的值是（）A ．53-B ．43-C ．815- D ．35 6.已知直线l 的参数方程为为参数）t t y t x (17cos 117sin 4⎩⎨⎧--=+-= ，则直线l 的倾斜角为( ) A.017 B.0107 C.073 D.0163 7.已知直线l ：⎩⎨⎧-==ty t x 23(t 为参数)和抛物线C ：x y 22=，l 与C 分别交于点21,P P ，则点)2,0(A 到21,P P 两点距离之和是( )A ．10B ．1030C ．31010 D ． 1010 8．在0,0>>b a 的条件下，五个结论：①ab b a ≥+2)2(； ②b a ab b a +≥+22；③2222b a b a +≤+；④b a ab b a +≤+22；⑤设c b a ,,都是正数，则三个数a c c b b a 1,1,1+++至少有一个不小于2其中正确的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 9．设曲线C 的参数方程为)20(sin 31cos 32πθθθ≤≤⎩⎨⎧+-=+=y x ,直线l 的方程为023=+-y x ,则曲线C 上到直线l的距离为4的点的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 410．已知R z y x ∈,,，且432=+-z y x ，则()()()222513x y z ++-++的最小值是（）A.20037 B. 7200C.36D.40 11．已知),0(,+∞∈b a ，且611)(2=+++ba b a ，则b a +的取值范围是（）A ．[]2,1B ．]2,21[ C ．[]4,1 D ．),4[+∞12．在直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为12{22x costy sint=+=-+（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 2sin 4m πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，（ m R ∈）.若直线l 与圆M 相交于A ，B 两点，MAB ∆的面积为2，则m 值为（）A ．1-或3B ．1或5C ．1-或5-D ．2或6 二、填空题（每题5分，共20分）13.已知函数1)1()(23+'+=f x ax x f ，且9)1(=-'f ，则=)1(f ；14.在极坐标系),(θρ(02)θπ≤< 中，曲线(sin cos )20ρθθ++=与(sin cos )20ρθθ-+=的交点的极坐标为；15.已知|3||1|)(a x x x f ++-=最小值为5，则=a ；16.若对任意x R ∈，不等式23324x ax x -≥-恒成立，则实数a 的范围是。

2018_2019学年高二数学上学期期中试题理(5)

黑龙江省哈尔滨市第六中学2019高三数学上学期期中试题文

哈尔滨市第六中学2018-2019学年度上学期期中考试高三文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1.已知集合}1,1{-=M ，},4221|{1Z ∈<<=+x x N x ，则=⋂N M ( ) A.}1,1{- B. ∅ C.)1,1(- D. }1{-2.已知()2,a ib i a b R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b +=（） A. 1- B. 1 C. 2 D. 33.已知向量),2,2(),1,1(+=+=→→λλn m 若)()(→→→→-⊥+n m n m ，则=λ（） A ．4-B ．3-C ． 2-D ．1-4.要得到函数cos(21)y x =+的图象，只要将函数cos 2y x =的图象（） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位 5.已知,51log ,41,27log 31313=⎪⎭⎫ ⎝⎛==c b a 则c b a ,,的大小关系为( ) A. c b a >> B. c a b >> C. a b c >> D. b a c >>6．已知21F F 、是椭圆的两个焦点，过1F 且与长轴垂直的直线交椭圆于B A ,两点，若2A BF ∆为正三角形，则这个椭圆的离心率为（）A.33 B. 32 C. 23 D. 22 7.执行右面的程序框图，若输出的结果是1516，则输入的a 为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8.若2ln y a x bx x =++在1x =和2x =处有极值，则a b 、的值分别为（）是否A.113a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩ B.1623a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ C.131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ D.2316a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩9.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是( )（单位：m 2）．正视图侧视图俯视图A.624+B.64+C.224+D.24+10.在ABC ∆中，60,10A BC ∠==o，D 是AB 边上的一点，2CD =，CBD ∆的面积为1，则BD 的长为( )A. 23B.4C.2D.1 11.已知,02,534)2cos()3sin(<<--=-++αππαπα则2cos()3πα+等于( )A.45-B.35-C.45D.3512.定义在R 上的函数)(x f y =满足55()()22f x f x +=-，5()()02x f x '->，任意的21x x <，都有)()(21x f x f >是521<+x x 的( ) A.充分不必要条件 B. 充分必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设变量,x y 满足约束条件0,0,220,x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y =-的最大值为 .14.设双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的渐近线与抛物线12+=x y 相切，则该双曲线的渐近线方程为________.15.直线1+=x y 与圆03222=-++y y x 交于B A 、两点，则=AB . 16.长方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在体积为323π的球O 的球面上，其中12AA =，则四棱锥O-ABCD 的体积的最大值为．三、解答题：17.（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S ，n a ，21成等差数列．（1）证明数列{}n a 是等比数列；（2）若3log 2+=nn a b ，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和n T ．18．(本小题满分12分)ABC ∆中角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且0222=+-+bc a c b ，（1）求角A 的大小；（2）若3=a ，求ABC S ∆的最大值.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，2==BC AB ， 7==CD AD ，3=PA ，︒=∠120ABC ，G 为线段PC 上的点,（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若G 是PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值.20. (本小题满分12分)设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点为F ，过F 的直线与椭圆C 相交于BA 、两点，直线l 的倾斜角为ο60，FB AF 2= （1）求椭圆C 的离心率；（2）如果,415=AB 求椭圆C 的方程.21．（本小题满分12分）已知函数1()ln (1)2f x x a x =--（R a ∈）．（1）若2a =-，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式()0f x <对任意(1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

【解析】黑龙江省哈尔滨市第六中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(文)试题

哈尔滨市第六中学2019-2020学年度上学期期中考试高二文科数学试题一、选择题（每题5分，共60分） 1.命题:(1,),23xp x ∀∈+∞> ，则p ⌝ 是A. (1,),23xx ∀∈+∞„ B. (,1],23xx ∀∈-∞„ C. 00(1,),23xx ∃∈+∞„ D. 00(,1],23xx ∃∈-∞„【答案】C 【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题可得结果.【详解】由全称命题的否定是特称命题可得：命题:(1,),23xp x ∀∈+∞>的否定是00(1,),23x x ∃∈+∞„,故选C.【点睛】本题考查了命题的否定，对于含有量词的命题的否定，只需改量词，否结论即可，是基础题． 2.抛物线218y x =的准线方程是（） A. 2y =- B. 12y =C. 132x =D. 132y =【答案】A 【分析】根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及p 的值，由抛物线的准线方程分析可得答案。

【详解】解：根据题意，抛物线的方程为：218y x =，则其标准方程为：28x y =，其焦点在y 轴正半轴上，且4p =，则其准线方程为：2y =-；故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，注意先将抛物线变形为标准方程．3.“x y =”是“||||x y =”的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】A 【分析】分别判断充分条件和必要条件是否成立，从而得到结果. 【详解】当x y =时，x y =，可知充分条件成立当x y =时，x y =±，可知必要条件不成立∴“x y =”是“x y =”的充分不必要条件本题正确选项：A【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题.4.已知双曲线的渐近线为y x =±，实轴长为4，则该双曲线的方程为（） A. 22142x y -=B. 22142x y -=或22148y x -=C. 221168x y -=D. 221168x y -=或2211632y x -=【答案】B 【分析】根据双曲线的焦点所在位置分两种情况讨论: 当双曲线的焦点在x 轴上时,b a =; 当双曲线的焦点在y 轴上时,a b =,结合2a =可解得.【详解】当双曲线的焦点在x 轴上时,2b a =,又24a =,即2a =,所以b =所求双曲线的方程为:22142x y -=;当双曲线的焦点在y 轴上时,2a b =,又24a =,即2a =,所以b =所以所求双曲线的方程为:22148y x -=.所以所求双曲线方程为: 22142x y -=或22148y x -=.故选：B .【点睛】本题考查了根据双曲线的几何性质求双曲线方程,属于基础题.5.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①m α⊂，n ⊂α，m βP ，n βαβ⇒P P ②n m ∥，n m αα⊂⇒P ③αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒P ④m αP ，n m n α⊂⇒P 其中正确命题的个数有（） A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A①m α⊂，n α⊂，m P β，n βP ，则α与β可能相交，①错；②n m P ，n α⊂，则m 可能在平面α内，②错；③αβP ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 可能异面，③错；④m αP ，n α⊂，则m 与n 可能异面，④错，故所有命题均不正确，故选A ．【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行判定与性质，属于中档题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 6.已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（） A. 一条射线 B. 双曲线右支 C. 双曲线 D. 双曲线左支【答案】A【分析】根据PM PN MN -=可得动点P 的轨迹.【详解】因为6PM PN MN -==，故动点P 的轨迹是一条射线，其方程为：0,3y x =≥，故选A.【点睛】利用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹时，要注意定义中规定的条件，如双曲线的定义中，要求动点到两个定点的距离的差的绝对值为常数且小于两个定点之间的距离并且两个定点及动点是在同一个平面中.7.在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1AD 所成角的大小为（）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】C 【分析】连接1D C ，则1AD C ∠或其补角为所求的异面直线所成的角，利用 1AD C ∆为等边三角形可以其大小．【详解】如图，连接1D C ，因为11//A B D C ，所以异面直线1A B 与1AD 所成的角为1AD C ∠或其补角.因为1AD C ∆为等边三角形，所以160AD C ︒∠=.故选C.【点睛】空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.8.过椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点1F做x轴的垂线交椭圆于点P，2F为其右焦点，若1230F F P∠=o，则椭圆的离心率为（）A.2B.13C.12D.3【答案】D【分析】把x c=-代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据1230F F P∠=o，推断出232bac=，整理得23230e e+-=，解得e即可．【详解】已知椭圆的方程22221(0)x ya ba b+=>>，由题意得把x c=-代入椭圆方程，解得P的坐标为（﹣c，2ba）或（﹣c，﹣2ba），∵1230F F P∠=o，∴23tan302bac==o，即()222233ac b a c==-．∴23230e e+-=，∴e＝3或e＝﹣3（舍去）．故选：D．【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及其简单的几何性质，也考查了直角三角形的性质，属于基础题．9.如图，在长方体1111ABCD A B C D-中，若,,,E F G H分别是棱111111A B BB CC C D，，，的中点，则必有（）A.1BD GHPB. BD EF PC. 平面EFGH P 平面ABCDD. 平面EFGH P 平面11A BCD 【答案】D 【分析】根据长方体的性质、平行线的性质、三角形中位线定理、面面平行的判定定理，对四个选项逐一判断，最后选出正确的答案.【详解】选项A:由中位线定理可知：1GH D C P ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以1,BD GH 不可能互相平行，故A 选项是错误的；选项B: 由中位线定理可知：1EF A B P ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误；选项C: 由中位线定理可知：1EF A B P ，而直线1A B 与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的；选项D:由三角形中位线定理可知：111,EF A B EH A D P P ，所以有EF P 平面11A BCD ，EH P 平面11A BCD 而EF EH E =I ，因此平面//EFGH 平面11A BCD ，故本题选D.【点睛】本题考查了面面平行的判定定理、线线平行的性质、三角形中位线定理，考查了推理论证能力.10.已知直线l ：()(1)0y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A 、B 两点，且满足2AF BF =，则k 的值是（）D. 【答案】C 【分析】根据直线方程可知直线恒过定点(1,0)-，过,A B 分别作准线的垂线，由2AF BF =，得到点B 为AP 的中点、连接OB ，进而可知，由此求得点B 的横坐标，则点B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【详解】解：抛物线2:4C y x =的准线1x =-，直线l ：(1)y k x =+恒过定点(1,0)P -，如图过,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为,M N ；由2AF BF =，则||2||AM BN =，所以点B 为AP 的中点、连接OB ，则1||||2OB AF =， ∴在PFA ∆中，||||OB BF =，OBF ∴∆为等腰三角形，点B 的横坐标为12，故点B 的坐标为122⎛ ⎝，又(1,0)P -，所以20223(1)2k -==-- 故选：C ．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，考查抛物线的定义，考查直线斜率的计算，属于中档题．11.如图是某个正方体的平面展开图，1l ，2l 是两条侧面对角线，则在该正方体中，1l 与2l （）A. 互相平行B. 异面且互相垂直C. 异面且夹角为3π D. 相交且夹角为3π 【答案】D 【分析】先将平面展开图还原成正方体，再判断求解.【详解】将平面展开图还原成正方体如图所示，则B ，C 两点重合，所以1l 与2l 相交，连接AD ，则ABD △为正三角形，所以2l 与2l 的夹角为3π. 故选:D.【点睛】本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D.22154x y += 【答案】B【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =.【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．二、填空题（共计20分）13.已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则p =______；点M 到抛物线C 的焦点的距离是______.【答案】 (1). 2 (2). 2 【分析】将点M 坐标代入抛物线方程可得p 值，然后由抛物线的定义可得答案. 【详解】点(1,2)M 代入抛物线方程得：2221p =⨯，解得：2p ＝；抛物线方程为：24y x =，准线方程为：1x ＝-，点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离：112--=（）故答案为：2,2【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题.14.双曲线224640x y -+=上的一点P 到一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离为 . 【答案】17.试题分析：首先将已知的双曲线方程转化为标准方程，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点P 到两个焦点的距离之差的绝对值为，即可求出点P 到另一个焦点的距离为17.考点：双曲线的定义.15.如图所示，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上一点，当点E 满足条件： __________时，SC P 平面EBD .【答案】E 是SA 中点点E 的位置是棱SA 的中点．证明：取SA 的中点E ，连接EB ，ED ，AC ，设AC 与BD 的交点为O ，连接EO ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴点O 是AC 的中点．又E 是SA 的中点，∴OE 是△SAC 的中位线．∴OE∥SC．∵SC ⊄平面EBD ，OE ⊂平面EBD ，∴SC∥平面EBD ．故答案为E 是SA 中点16.给出以下命题，①命题“若5a b +≠，则2a ≠或3b ≠”为真命题；②命题“若1x =，则20x x -=”的否命题为真命题；③若平面α上不共线的三个点到平面β距离相等，则αβ∥④若α，β是两个不重合的平面，直线l α⊂，命题:p l βP ，命题:q αβP ，则p 是q 的必要不充分条件；⑤平面α过正方体1111ABCD A B C D -的三个顶点1,,B D A ，且α与底面1111D C B A 的交线为l ，则l ∥11B D ；其中，真命题的序号是______【答案】①④⑤【分析】①利用逆否命题来判断；②利用逆命题来判断；③根据点在面的同侧和异侧来判断；④根据面面平行的判定和性质来判断；⑤根据面面平行的性质定理来判断.【详解】解：①命题“若5a b +≠，则2a ≠或3b ≠”的逆否命题为：“若2a =且3b =，则5a b +=”，其逆否命题为真命题，故原命题也为真，①是真命题；②命题“若1x =，则20x x -=”的逆命题为：“若20x x -=，则1x =” ，其逆命题为假命题，因为x 还有可能等于0，故否命题也为假，②是假命题；③若平面α上不共线的三个点到平面β距离相等，这三个点中若两个点在平面β的一侧，另一个点在平面β的另一侧，就没有αβ∥，③是假命题；④命题p 是q 的不充分条件，因为要面面平行，需要两条相交直线与面平行，一条是不够的；命题p 是q 的必要条件，因为面面平行，其中一个面上的任何一条线都和另一个面平行，④是真命题；⑤如图：Q 面//ABCD 面1111D C B A ，面ABCD BD α⋂=，面1111A B C D l α⋂=//BD l ∴，又11//BD B D ，l ∴∥11B D .⑤是真命题.故答案为：①④⑤【点睛】本题考查了互为逆否命题同真同假以及线面，面面平行的判定和性质，是基础题.三、解答题（共70分）17.已知p ：方程22126x y m m -=--表示椭圆；q ：双曲线221y x m-=的离心率()1,2e ∈． ()1若p q ∧是真命题，求m 的取值范围；()2若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，求m 的取值范围．【答案】（1）23m <<；（2）02m <≤或3446m m 或≤<<<．【分析】（1）求出命题,p q 为真命题的等价条件，结合p q ∧是真命题，则,p q 同时为真命题，进行计算即可．（2）若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，则,p q 一个为真命题，一个为假命题，进行计算即可．【详解】解：:p 方程22126x y m m -=--表示椭圆；则22126x y m m +=--，则20{60?26m m m m->->-≠-，得2{6?4m m m ><≠，得24m <<或46m <<，即p ：24m <<或46m <<；:q 双曲线221y x m -=的离心率()1,2e ∈．则1a =，2b m =，21c m =+，得()22211,4c e m a ==+∈，则()0,3m ∈，即03m <<，则q ：03m <<，()1若p q ∧是真命题，则p ，q 都是真命题，则2446{03?m m m <<<<<<或，得23m <<．()2若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，则p ，q 一个为真命题，一个为假命题，若p 真q 假，则244630m m m m <<<<⎧⎨≥≤⎩或或，得3446m m 或≤<<<，若p 假q 真，则62403m m m m 或或≥≤=⎧⎨<<⎩，此时02m <≤，综上：02m <≤或3446m m 或≤<<<．【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．18.如图，在三棱锥P ABC -中，G H 、分别为PB PC 、的中点，且ABC ∆为等腰直角三角形，2B π∠=.（1）求证：GH P 平面ABC ；（2）求异面直线GH 与AB 所成的角．【答案】（1）见解+析；（2）2π【分析】（1）根据中点得线线平行，根据线面平行的判定可得GH P 平面ABC ；（2）将异面直线GH 与AB 所成的角转化为直线BC 与AB 所成的角，即可得结果.【详解】解：（1）G H Q 、分别为PB PC 、的中点，//GH BC ∴，GH ⊄Q 平面,ABC BC ⊂平面ABC ，GH ∴P 平面ABC ；（2）由（1）知：//GH BC ，∴异面直线GH 与AB 所成的角为B Ð，2B π∠=Q ， ∴异面直线GH 与AB 所成的角为2π. 【点睛】本题考查线面平行的判定以及求异面直线所成的角，是基础题. 19.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是1111,,C ,BC CC D A A 的中点．求证：（1）求证：EG P 平面11BB D D（2）求异面直线BF 与1HB 所成角的余弦值.【答案】（1）见解+析；（2）15【分析】（1）取BD 的中点O ，连接1,EO D O ，证明四边形1OEGD 是平行四边形，从而1//EG D O ，进而可得EG P 平面11BB D D ；（2）设出正方体的棱长，利用向量的加法和数量积求出1HB BF ⋅u u u u r u u u r ，根据向量的夹角公式可求出异面直线BF 与1HB 所成角的余弦值.【详解】（1）取BD 的中点O ，连接1,EO D O ，则1//,2O O C E E D DC =，又111//,2D G D G DC DC =，11//,G OE OE D G D ∴=∴四边形1OEGD 是平行四边形，1//O EG D ∴，又1D O ⊂平面11BB D D ，EG ⊄平面11BB D D ，∴EG P 平面11BB D D ；（2）设正方体的棱长为2，异面直线BF 与1HB 所成角为θ，则15BF HB ==，1111111111()()HB BC CF HA A B BC HA BC A B CF HA B F CF A B ∴⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u u r u r u u u r u u u u r 00101=+++=，111cos 555BF BF HB HB θ∴===⨯⋅⋅u u u u r u u u u r u u r u u u ur ，所以异面直线BF 与1HB 所成角的余弦值为15. 【点睛】本题考查线面平行的判定，以及异面直线所成的角，利用向量的夹角公式，可方便求出异面直线所成的角，不用建系，不用作图.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 、P 分别是棱AB ，11A B 的中点，求证：（1）1AC ∥平面1B CD ；（2）平面1APC P 平面1B CD ．【答案】（1）见证明；（2）见证明【分析】（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，证明1OD AC P ，再由线面平行的判定可得1AC ∥平面1B CD ；（2）由P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，证得四边形1ADB P 为平行四边形，得到1AP DB P ，进一步得到AP ∥平面1B CD ．再由1AC ∥平面1B CD ，结合面面平行的判定可得平面1APC P 平面1B CD ．【详解】证明：（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，∵四边形11BCC B 为平行四边形，∴O 为1B C 中点，又D 是AB 的中点，∴OD 是三角形1ABC 的中位线，则1OD AC P ，又∵1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，∴1AC ∥平面1B CD ；（2）∵P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，∴1AD B P P 且1AD B P =，则四边形1ADB P 为平行四边形，∴1AP DB P ，又∵AP ⊄平面1B CD ，1DB ⊂平面1B CD ，∴AP ∥平面1B CD ．又1AC ∥平面1B CD ，1AC AP P =I ，且1AC ⊂平面1APC ，AP ⊂平面1APC ， ∴平面1APC P 平面1B CD ．【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．21.已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220y px p =>的准线方程是12x =-. （1）求抛物线的方程；（2）设直线()()20y k x k =-≠与抛物线相交于M N 、两点，O 为坐标原点，证明：以MN 为直径的圆过原点.【答案】（1）22y x =；（2）见解+析【分析】（1）根据抛物线的性质，即可求得p 的值，求得抛物线方程；（2）将直线方程代入抛物线方程，利于韦达定理即可12x x ，由()212124y y x x =，即可求得12y y ，利用向量的坐标运算，即可求得OM ON ⊥u u u u r u u u r ,进而可得到结果．【详解】解：（1）由抛物线()220y px p =>的准线方程为2p x =-，则122p -=-，则1p =， ∴抛物线方程为22y x =；（2）证明：设()()1122,,,M x y N x y ，由2(2)2y k x y x =-⎧⎨=⎩，消去y 整理得()222222140k x k x k -++=， 124x x ∴=，由2211222,2y x y x ==，两式相乘，得()212124y y x x =，注意到12,y y 异号，所以124y y =-，则12120,OM ON x x y y ⋅=+=u u u u r u u u rOM ON ∴⊥，90MON ∴∠=o ，所以以MN 为直径的圆过原点．【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题．22.已知在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两定点(2,0),(2,0)A B -连线的斜率之积为12-，记点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）若过点(1,0)-的直线l 与曲线C 交于,M N 两点，曲线C 上是否存在点E 使得四边形OMEN 为平行四边形？若存在，求直线l 的方程，若不存在，说明理由.【答案】（1）22142x y +=(2)x ≠±；（2）不存在，见解+析【分析】（1）设(,)P x y ，由题意可得12PA PB k k ⋅=-，运用直线的斜率公式，化简即可得到点P 的轨迹曲线C ；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，由题意知l 的斜率一定不为0，设1x my =-，代入椭圆方程整理得关于y 的二次方程，假设存在点E ，使得四边形OMEN 为平行四边形，其充要条件为OE OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ，利用韦达定理可求出点E 的坐标，将点E 的坐标代入椭圆方程即可求出m ，由此可求出点E 的坐标，发现矛盾，故不存在．【详解】解：（1）设(,)P x y ，有12PA PB k k ⋅=-，得1222y y x x ⋅=-+-，整理得22142(2)x y x +=≠±， ∴曲线C 的方程为22142x y +=(2)x ≠±；（2）假设存在符合条件的点()00,E x y ，由题意知直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为()()11221,,,,x my M x y N x y =-- 21 - 由22124x my x y =-⎧⎨+=⎩，得：()222230,0m y my +--=∆> 12222m y y m ∴+=+ 则()12122422x x m y y m +=+-=-+ 由四边形OMEN 为平行四边形，得OE OM ON =+u u u r u u u u r u u u r 2242,22m E m m -⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭点E 坐标代入C 方程得：4220m m +=，解得20m =∴此时(2,0)E ，但2x ≠±，所以不存在点E 使得四边形OMEN 为平行四边形.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．。

黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题文

哈尔滨市第六中学2018-2019学年度上学期期中考试高二文科数学一、选择题（共12小题；每小题5分）1. 一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是（）.A 随机事件 .B 必然事件 .C 不可能事件 .D 不能确定2.圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的表面积为（）.A π）（232+ .B π9 .C π12 .D π103.如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为1DD 的中点，则图中阴影部分M BC 1在平面11B BCC 上的正投影是（）.A .B.C .D4.在正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线11C A 与C B 1所成角的余弦值为（）.A 0 .B 21 .C 22 .D 23 5.为了准备2018届哈尔滨市中学生辩论大赛，哈六中决定从高二年级的4个文科班级中每个班级选1名男生1名女生组成校辩论队，再从校辩论队中挑选2人做为一辩和二辩，则这两个人来自同一个班级的概率是（）.A 72 .B 71 .C 41 .D 81 6.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA 垂直底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（）.A 1CC 与1B E 是异面直线.B AC ⊥平面11ABB A.C AE 、11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥.D 11//AC 平面1AB E7．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）.A 16 .B 32 .C 48 .D 1448. 如图，圆锥的高2=PO ，底面圆O 的直径2=AB ，C 是圆上一点，且︒=∠30CAB ，则直线PC 和平面AOC 所成角的正弦值为（）.A 21 .B 36 .C 32 .D 22 9. 对于平面α和不重合的两条直线,,n m 下列选项中正确的是（）.A 如果n m n m ,,//,αα⊂共面，那么n m //.B 如果n m ,α⊂与α相交，那么n m ,是异面直线.C 如果n m n m ,,,αα⊄⊂是异面直线，那么α//n.D 如果m n m ⊥⊥,α，那么 α//n10.球面上有三点C B A ,,组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中6=AB ，8=BC ，10=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为（）.A 3400π .B π150 .C 3500π .D 7600π 11．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（）.A π631- .B 43 .C π63 .D 41 12.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，动点F E ,在棱上''C D .点G 是AB 的中点，动点P 在'AA 棱上，若n AP m E D EF ===,',1，则三棱锥EFG P -的体积（）.A 与n m ,都有关 .B 与n m ,都无关.C 与m 有关，与n 无关 .D 与n 有关，与m 无关二、填空题（共4小题；每小题5分）13．已知点)5,3,2(A 与点)3,1,4(B ，则AB 的中点坐标为__________．14. 从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）：根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在g g 5.501~5.479之间的概率约为．15．已知F G E P ,,,都在球面C 上，且P 在EFG ∆所在平面外，EG PE EF PE ⊥⊥,，︒=∠120EGF ，422===EG GF PE ，在球C 内任取一点,则该点落在三棱锥EFG P -内的概率为__________．16.如图，在边长为4的正三角形ABC 中，F E D ,,分别为各边的中点，H G ,分别为AF DE ,的中点，将ABC ∆沿DF EF DE ,,折成正四面体DEF P -，则在此正四面体中，下列说法正确的是．①异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值为32； ②PE DF ⊥；③GH 与PD 所成的角为︒45；④PG 与EF 所成角为︒60三、解答题（共6小题）17.(本小题满分10分) 如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面A B C D 为菱形，且︒=∠120BAD ，3,21==AA AD ．（1）求证：直线//1CD 平面BD A 1；（2）求四面体1BDA A -的表面积．18.(本小题满分12分)中俄联盟活动中有3名哈六中同学C B A ,,和3名俄罗斯同学Z Y X ,,，其年级情况如下表，现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）.（1）用表中字母列举出所有可能的结果；（2）设M 为事件“选出的2人来自不同国家且年级不同”，求事件M 发生的概率．19.(本小题满分12分)如图，已知三棱锥ABC P -中，AC PA ⊥，BC PC ⊥，E 为PB 中点，D 为AB 的中点，且ABE ∆为正三角形．（1）求证：⊥BC 平面PAC ；（2）若点B 在平面DEC 上的射影H 在DC 上．若 2=AB ，512=BH ，求三棱锥BCD E -的体积．20.(本小题满分12分)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率.21.(本小题满分12分)如图，四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 是平行四边形，N M ,分别为DE BC ,中点．（1）证明：//CN 平面AEM ；（2）若ABE ∆是等边三角形，平面⊥ABE 平面BCE ，2,==⊥EC BE BE CE ，求三棱锥AEM N -的体积.22．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD 中，点M 在边CD 上，点F 在边AB 上，且AM DF ⊥，垂足为E ，若将ADM ∆ 沿AM 折起，使点D 位于'D 位置，连接F D C D B D ',','得四棱锥ABCM D -'．（1）求证：F D AM '⊥；（2）若3'π=∠EF D ，直线F D '与平面ABCM 所成角的大小为3π，求直线'AD 与平面ABCM 所成角的正弦值．2020届高二上学期期中考试文科数学参考答案一、选择题ACDBB CCBAA AD二、填空题13. ）（4,2,3 14.41 15.π326 16.①② 三、解答题17.（1）略（2）35 18. （1）},{B A ，},{C A ，},{X A ，},{Y A ，},{Z A ，}{C B ，，}{X B ，，}{Y B ，，}{Z B ，，}{X C ，，}{Y C ，，}{Z C ，，}{Y X ，，}{Z X ，，}{Y,Z 共15种。

黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二数学上学期期中试卷理【word版】.doc

哈尔滨市第六中学2018-2019学年度上学期期中考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1. 已知直线l m ,，平面βα,，且α⊥m ，β⊂l ，下列命题正确的是（） A. 若βα⊥，则l m // B. 若βα⊥，则l m ⊥ B. 若l m ⊥，则βα// D. 若l m //，则βα⊥2.正方体1111D C B A ABCD -中，E 为棱1CC 的中点，求异面直线AE 与B A 1所成角的余弦值（） A ．122-B. 122 C ． 62- D ．62 3.已知一个三棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如右图所示），则此三棱锥的体积为（） A. 22 B. 2C. 13D. 624．nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．60 5.如图，在三棱锥BCD A -中，侧面⊥ABD 底面BCD ，CD BC ⊥,32==AD AB ,32=BD ,则直线AC 与底面BCD 所成角的大小为( )A.ο30 B ．ο45 C ． ο60 D ． ο906．用数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的四位数，其中比4000大的偶数共有（）个A. 120B. 96C. 60D.727.将编号为1,2,3,4,5,6的6个小球全部放入编号为1,2,3,4,5,6的6个盒子里，每个盒内放一个球，恰好有2个小球的标号与盒子的编号相同，则不同的放法种数为( )A ．180B ． 135 C.90 D ． 458.在新一轮的素质教育要求下，哈六中在高一开展了选课走班的活动，已知哈六中提供了3门选修课供高一学生选择，现有5名同学参加学校选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则这5同学选课的种数为（）A ．150B ．180C ．240D ．5409．设111122109)2()2()2()32)(1(+++++++=++x a x a x a a x x Λ，则1121a a a +++Λ的值为（） A ． 1- B. 2- C ． 2 D ． 110.《中国诗词大会》节目组决定把《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）种 A.72 B.48 C. 36 D.2411.设D C B A ,,,是同一个半径为2的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且面积为349，则三棱锥ABC D -体积的最大值为（） A.3427 B.349 C. 39 D.34312．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，左视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的值为（）A ．22B ．4C ．23D ．26第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置13.某地试行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科.若要求考生物理、化学、生物三科中至少选一科，政治、历史、地理三科中至少选一科，则考生共有_________种选考方法.(用数字作答）14．已知圆锥的顶点为S ，母线SB SA ,夹角的余弦值为415，SA 与圆锥底面所成角为ο60，若SAB ∆的面积为2，则该圆锥的体积为___________15. 我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“鳖臑”的三视图（图中网络纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知该几何体的高为22，则该几何体外接球的表面积为____________ 16. 边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 翻折成三棱锥BCD A -'，使1='C A ，给出下列四个结论（1）C A BD '⊥；（2）三棱锥BCD A -'的体积为614；C 1B 1A 1CBA（3）B A '与平面BCD 所成的角的正弦值为414；（4）三棱锥BCD A -'的外接球的表面积为π8则正确结论的序号为_____________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，AC AA CAA 2,6011=︒=∠，⊥BC 平面C C AA 11. （1）证明：AB C A ⊥1；（2）设2==AC BC ，求三棱锥11BC A C -的体积.18.（本小题满分12分）已知n xx )1(+的展开式中偶数项二项式系数和比()21nx +展开式中奇数项二项式系数和小120，求：（1）()21nx +展开式中二项式系数最大的项；CBC 1B 1A 1A（2）设nxx )1(+展开式中的常数项为p ，展开式中所有项系数的和为q ,求q p +.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，C C AA 11是边长为4的正方形，底面ABC 是等边三角形，且平面ABC ⊥平面C C AA 11 （1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）求二面角111B BC A --的余弦值；（3）求点C 到平面11BC A 的距离.已知几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（1）连接C B 1，若M 为AB 的中点，在线段CB 上是否存在一点P ，使得//MP 平面1CNB ？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由. （2）求二面角11C NB C --的余弦值.PBCDETA如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，直线PB 与底面ABCD 所成的角为ο45，CD PA 2=，7=PD ，E 是棱PD 的中点. （1）求证：AE CD ⊥；（2）在棱PB 上是否存在一点T ，使得平面ATE 与平面APB 所成锐二面角的余弦值为510？若存在，请指出T 的位置；若不存在，请说明理由.设过点(,)P x y的直线分别与x轴和y轴交于,A B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若2=且3⋅.=（1）求点P的轨迹M的方程；（2）若过)0,1(B,，求E作两条互相垂直的直线，它们分别交轨迹M于点CA,和D四边形ABCD面积的最大值和最小值.2020届高二上学期期中考试理科数学试题答案一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DDBDCCBAACBC13. 18； 14、π338； 15、π12 16、（1）（2）（4）三、解答题：17、解：（1）略（2）334 18、（1）4=n ，4570x T = （2）22 19、解：（1）略（2）77 （3）7214 20、2122.（1）1222=+yx（2）最大值2，最小值916- 11 -。

黑龙江省哈尔滨市第六中学18-19学年度高二上学期开学阶段性考试(8月)——数学(数学)

黑龙江省哈尔滨市第六中学2017—2018学年度上学期开学阶段性考试高二数学试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知等差数列的前项和为，若，则的值为（）A. B. C. D.2. 已知实数表示的平面区域：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-20103x y x y x ，则的最大值为（）A. B. C. D.3．若正数满足，则的最小值是（）A. B. C.5 D.64．已知是的重心，且03=++GC c GB b GA a ，其中分别是角的对边，则（） A. B. C. D.5．数列满足，112,n n n nb a a n N b *++-==∈，则的前10项和为（） A. B. C. D.6．过点可作圆2222230x y ax a a +-++-=的两条切线，则实数的取值范围为（） A ．或 B ． C ． D. 或7.直线过双曲线12222=-by a x 的右焦点，且斜率.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率的范围是（）A . B. C. D.8、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是（）9.在中，内角所对的边分别为，且边上的高为6a ，则取得最大值时，内角的值为（） A ． B ． C ． D ．10．已知是抛物线上的一定点，直线的倾斜角之和为，且分别与抛物线交于两点，则直线的斜率为 ( )A ．B ． C. D.11.若点为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点, 分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若,则=+222111e e （） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．412.过椭圆221164x y +=上一点作圆的两条切线，切点为，过的直线与两坐标轴的交点为，则的面积的最小值为（）A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.若等差数列满足，，则当________时，的前项和最大.14．如图，在矩形中，2AB BC ==，点为的中点，点在边上,若，则的值是__________；15.已知，圆：1)3()1(22=-+--a y a x 上存在点，，(为坐标原点)，则实数的取值范围为16、过抛物线的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为。

黑龙江省哈尔滨市第六中学高二上学期期中考试数学理试题含答案

哈尔滨市第六中学2019-2020学年度上学期期中考试高二理科数学试题一.选择题（每题5分，共60分） 1.已知双曲线的渐近线为22y x =±，实轴长为4，则该双曲线的方程为（） A ．22142x y -=B ．22142x y -=或22148y x -=C ． 221168x y -=D ．221168x y -=或2211632y x -=2.给出以下几个结论：(1)垂直于同一直线的两条直线互相垂直； (2)垂直于同一平面的两个平面互相平行；(3)若α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，且m α⊂，n β⊂，//m β，//n α，则αβ∥； (4)若 α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，,,m m n αβαβ⊥⋂=⊥，则n β⊥ (5)若α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，,,//,n m m n αβαβα⊥⋂=⊥，则m β⊥ 其中错误结论的个数为（）A.2B.3C.4D. 53.已知一个三棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如右图所示），则此三棱锥的体积为（） A. 22 B.2 C.13D. 62 4.长方体1,3,ABCD A B C D BC BB '''''-==，平面AB C D ''与长方体的各个面所形成的二面角的大小中不正确的有( ) A ．3π B ．4π C ．6πD ．2π5.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，则该几何体的体积是（） A ．7π B ．9π C ．11π D ．13π6.过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1F 做x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为其右焦点，若1230F F P ∠=o ，则椭圆的离心率为（）A ．22B ．13C ．12D ．37.正三棱锥A BCD -，侧棱23AB =，棱2CD =，,E F 分别是,AB CD 的中点，则EF 与BC 成角为（）A.60oB.90oC. 30oD.45o8.如图，在正四棱锥P ABCD -中，60APC ︒∠=，则二面角A PB C --的平面角的余弦值为（）A.17B.17- C.12 D.12-9.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑P ADE -的体积为1，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于（）A ．17πB ．18πC ．19πD ．20π10.在四面体-A BCD 中，AD ⊥底面ABC ,5,8,6AB AC BC AD ====,G 为ABC ∆的重心, F 为线段AD 的一点，且//FG 平面BCD ，则线段FG 的长度是（） A. 32 B. 25 C. 23 D.411.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上的动点．下列说法正确的是（） A ．对任意动点,F 在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线 B ．对任意动点,F 在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线 C ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变大．． D ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，二面角F BC A --的大小不变．．12.已知椭圆C 的焦点为121,0,0F F -()，(1)，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（）A ．22143x y +=B ．22154x y +=C ．2212x y +=D ．22132x y +=二.填空题（共20分）13.双曲线224640x y -+=上的一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离为___________________14. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为___________15.已知圆锥的底面半径为1，高为22，点P 是底面圆周上一点，若一动点从点P 出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P ，则绕行的最短距离为_________________16. 对于四面体A BCD -，给出下列四个命题：①若AB AC =，BD CD =，则BC AD ⊥；②若,,AB AC AB AD AC AD ⊥⊥⊥，则点A 在平面BCD 内的射影为BCD ∆的重心； ③若AB AC ⊥，BD CD ⊥，则BC AD ⊥； ④若AB CD ⊥，BD AC ⊥，则BC AD ⊥．⑤若AB AC AD ==，则点A 在平面BCD 内的射影为BCD ∆的外心其中真命题的序号是________．三.解答题（共70分）17.（共10分）如图，在正方体1111ABCD-A B C D 中，O 为AC 的中点．（1）求证：1OC //平面11AB D ；（2）求证：平面11A D C ⊥平面11AB D18.（共12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）求证：AD PB ⊥．（2）若E 为BC 中点，试在PC 上找一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ．19. （共12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是1,,AB CC AD 的中点。

黑龙江省哈尔滨市第六中学2018_2019学年高二数学6月阶段性测试试题文(含解析)

黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二数学6月阶段性测试试题文（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要的．1.设全集{}2,|20,{|ln(1)0}U R A x x x B x x ==-<=-<，则A B ⋂=（） A. {|02}x x <<B. {|0}x x >C. {|01}x x <<D.{|02}x x <≤【答案】C 【解析】【分析】分别求出集合A 、B ，利用交集的定义求出A B ⋂ 【详解】{}{}2|20=|02A x x x x x =-<<<，由于ln(1)001101x x x -<⇔<-<⇔<<，所以{}{|ln(1)0}=|01B x x x x =-<<<，{}=|01A B x x ⋂<<故答案选C 。

【点睛】本题考查一元二次不等式与对数不等式的解以及集合交集的运算，属于基础题。

2.已知命题2000:,210P x R x x ∃∈++≤，则 p ⌝为（） A. 2000,210x R x x ∃∈++>B. 2000,210x R x x ∃∈++<C. 2,210x R x x ∀∈++≤ D. 2,210x R x x ∀∈++>【答案】D 【解析】【分析】根据特称命题的否定的写法写出答案即可.【详解】命题p ：∃x 0∈R ，x 02＋2x 0＋1≤0，则P ⌝为∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1＞0。

故答案为：D.【点睛】这个题目考查了特称命题的否定的写法，特称命题的否定是全称命题，写命题的否定的原则是：换量词，否结论，不变条件.3.函数y = ） A. [3,4) B. (,3]-∞ C. [3,)+∞ D. (,4]-∞【答案】A 【解析】【分析】由偶次根号下的被开方数大于等于零、对数真数大于零，列出不等式组，进行求解即可。

黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二6月阶段性测试数学(文)试题(含答案)

哈尔滨市第六中学2020届6月份阶段性测试数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}{}0)1ln(|,02|,2<-=<-==x x B x x x A R U ，则B A ⋂=（）.A }20|{<<x x.B }0|{>x x .C }10|{<<x x.D }10|{≤<x x2．已知命题012,:0200≤++∈∃x x R x P ，则 p ⌝为（）.A 012,0200>++∈∃x x R x .B 012,0200<++∈∃x x R x.C 012,2≤++∈∀x x R x .D 012,2>++∈∀x x R x3.函数)4(log 5.0x y -=的定义域是（）.A [)4,3 .B (]3，∞- .C [)+∞,3 .D (]4，∞- 4.以下说法错误的是（）.A 命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ” .B “2=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件.C 若命题:p 存在R x ∈0，使得01020<+-x x ，则p ⌝:对任意R x ∈，都有012≥+-x x.D 若p 且q 为假命题，则q p ,均为假命题5.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（）.A 3x y = .B ||1lnx y = .C |sin |x y = .D ||2x y = 6.若函数0()(>-=-a a a x f xx 且)1≠a 在R 上为减函数，则函数)32(log )(2-+=x x x f a 的单调递增区间( ).A ()1-∞-，.B ()∞+-，1 .C ()3-∞-， .D ()∞+-，3 7.若函数)(x f 在R 上是单调函数，且满足对任意R x ∈，都有4]3)([=-xx f f ，则)2(f 的值是（）.A 4 .B 6 .C 8 .D 108.若函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=-2),(log 2,222x a x x x f x 的最小值为)2(f ，则实数a 的取值范围为（）.A 0<a.B 0>a.C 0≤a .D 0≥a9.若函数()5223+--=x ax x x f 在()21，内单调递减，则实数a 的取值范围为（） .A 21≥a .B 21>a .C 25≥a .D 25>a 10.已知定义在R 上的可导函数()x f 的导函数为)('x f ，满足())('x f x f <，且()2+x f 为偶函数，()14=f ，则不等式()x e x f <的解集为（） .A ()0，∞- .B ()∞+，0 .C ()4e ，∞- .D ()∞+，4e 11．已知函数R x x ae y x∈+=,3有大于零的极值点，则实数a 的取值范围为（）.A ()0,3- .B ()3-∞-，.C ()∞+-，3 .D ()0，∞- 12．已知函数()),0(,,1)(,21+∞∈∃--==x x x a x g xe xf x，使得)()(21x g x f ≤成立，则实数a 的取值范围为（）.A [)+∞,e .B (]e ,∞- .C ()+∞,e .D ()e ,∞-第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题，23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．“1>a ”是“12>a ”的_____条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）______．14．已知函数ax e x f x+=2)(（e 为自然对数的底数），且函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线斜率为1，则=a ________. 15．函数x x x f ln 21)(2+-=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上的最大值是________. 16．直线x y =与曲线x a y ln =有两个公共点，则实数a 的取值范围是_____．三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（共12分）设命题:p 对042,2>--∈∀m x x R x 恒成立，命题0652,:0200=--+∈∃m mx x R x q .(1)若q p ∧为真，求实数m 的取值范围；(2)若q p ∨为真，q p ∧为假，求实数m 的取值范围.18.（共12分）设函数x x x f 3)(3-=（1）求函数)(x f 图象在点())2(2f ，处的切线方程；（2）求函数)(x f 在[]2,1-上的最大值和最小值．19．（共12分）函数)()(2R m m x e x x f x∈--+=.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若方程2)(x x f =在区间]2,1[-上恰有两个不等的实根，求实数m 的取值范围.20.（共12分）已知函数)(ln )(R a ax xe x x f x ∈+-=.（Ⅰ）若函数)(x f 在[)∞+，1上单调递减，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若1=a ，求)(x f 的最大值.21.（共12分）已知函数1ln )(+-=x x a x f （其中R a ∈）.（1）讨论函数)(x f 的极值；（2）对任意()121)(,02-≤>a x f x 成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22.（共10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 3cos y x （α为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为224sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρ.(1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； (2)设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.22.（共10分）已知.412)(-++=x x x f（1）解不等式10)(<x f ；（2）若不等式a a x x f 84)(2+<-+的解集非空，求实数a 的取值范围.高二文科数学答案一.选择题 CDADB CDDCB DA 二。

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨六中高二(上)期中数学试卷试题及答案(Word版)(文科)

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共60分）1．命题:(1,)p x ∀∈+∞，23x >，则p ⌝是( ) A ．(1,)x ∀∈+∞，23x … B ．(x ∀∈-∞，1]，23x …C ．00(1,),23x x ∃∈+∞…D ．00(,1],23x x ∃∈-∞…2．抛物线218y x =的准线方程为( )A ．132y =-B ．2y =-C ．2x =-D ．132x =-3．“x y =”是“||||x y =”的( )条件 A ．充要 B ．充分不必要 C ．必要不充分D ．既不充分也不必要4．已知双曲线的渐近线为：y x =，实轴长为4，则该双曲线的方程为( ) A ．22142x y -= B ．22148x y -=或22148y x -= C ．22148x y -= D ．22142x y -=或22148y x -= 5．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①m α⊂，n α⊂，//m β，////n βαβ⇒②//n m ，//n m αα⊂⇒ ③//αβ，m α⊂，//n m n β⊂⇒④//m α，//n m n α⊂⇒ 其中正确命题的个数有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．已知(3,0)M -，(3,0)N ，||||6PM PN -=，则动点P 的轨迹是( ) A ．一条射线B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支7．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1AD 所成角的大小为( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1F 做x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为其右焦点，若1230F F P ∠=︒，则椭圆的离心率为( )A B ．13C ．12D 9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F ，G ，H 分别是棱11A B ，1BB ，1CC ，11C D 的中点，则必有( )A ．1//BD GHB ．//BD EFC ．平面//EFGH 平面ABCDD ．平面//EFGH 平面11A BCD10．已知直线:(1)(0)l y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A 、B 两点，且满足||2||AF BF =，则k 的值是( )A B C D ．11．如图是某个正方体的侧面展开图，1l 、2l 是两条侧面对角线，则在正方体中，1l 与2(l )A ．互相平行B ．异面且互相垂直C ．异面且夹角为3πD ．相交且夹角为3π12．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 二、填空题（共计20分）13．已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则p = ；点M 到抛物线C 的焦点的距离是．14．双曲线224640x y -+=上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，则点P 到另一个焦点的距离等于．15．如图所示，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，E 为SA 上的点，当E 满足条件：时，//SC 面EBD ．16．给出以下命题，①命题“若5a b +≠，则2a ≠或3b ≠”为真命题； ②命题“若1x =，则20x x -=”的否命题为真命题； ③若平面α上不共线的三个点到平面β距离相等，则//αβ④若α，β是两个不重合的平面，直线l α⊂，命题://p l β，命题://q αβ，则p 是q 的必要不充分条件；⑤平面α过正方体1111ABCD A B C D -的三个顶点B ，D ，1A ，且与底面的交线为l ，则11//l B D ；其中，真命题的序号是．三、解答题（共70分）17．已知p ：方程22126x y m m -=--表示椭圆；q ：双曲线221y x m -=的离心率(1,2)e ∈．（1）若p q ∧是真命题，求m 的取值范围；（2）若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，求m 的取值范围．18．如图，在三棱锥P ABC -中，G 、H 分别为PB 、PC 的中点，且ABC ∆为等腰直角三角形，2B π∠=．（1）求证：//GH 平面ABC ；（2）求异面直线GH 与AB 所成的角．19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，1CC ，11C D ，1A A 的中点．求证：（1）求证：//EG 平面11BB D D ；（2）求异面直线BF 与1HB 所成角的余弦值．20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 、P 分别是棱AB ，11A B 的中点，求证：（1）1//AC 平面1B CD ；（2）平面1//APC 平面1B CD ．21．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)y px p =>的准线方程是12x =-．（1）求抛物线的方程；（2）设直线(2)(0)y k x k =-≠与抛物线相交于M 、N 两点，O 为坐标原点，证明：以MN 为直径的圆过原点．22．已知在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点(2,0)A-，(2,0)B连线的斜率之积为12 -，记点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若过点(1,0)-的直线l与曲线C交于M，N两点，曲线C上是否存在点E使得四边形OMEN为平行四边形？若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由．2019-2020学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．命题:(1,)p x ∀∈+∞，23x >，则p ⌝是( ) A ．(1,)x ∀∈+∞，23x … B ．(x ∀∈-∞，1]，23x …C ．00(1,),23x x ∃∈+∞…D ．00(,1],23x x ∃∈-∞…【解答】解：命题为全称命题，命题:(1,)p x ∀∈+∞，23x >，则p ⌝是00(1,),23x x ∃∈+∞…．故选：C ．2．抛物线218y x =的准线方程为( )A ．132y =-B ．2y =-C ．2x =-D ．132x =-【解答】解：根据题意，抛物线的方程为：218y x =，则其标准方程为：28x y =，其焦点在y 轴正半轴上，且4p =，则其准线方程为：2y =-；故选：B ．3．“x y =”是“||||x y =”的( )条件 A ．充要 B ．充分不必要 C ．必要不充分D ．既不充分也不必要【解答】解：由||||x y x y =⇒=，反之，由||||x y =，不能得到x y =，如|2||2|=-，当22≠-． ∴ “x y =”是“||||x y =”的充分不必要条件．故选：B ．4．已知双曲线的渐近线为：y x =，实轴长为4，则该双曲线的方程为( ) A ．22142x y -= B ．22148x y -=或22148y x -= C ．22148x y -= D ．22142x y -=或22148y x -=【解答】解：双曲线的渐近线方程为y =，实轴长为4， 24a ∴=，则2a =，∴当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为22214x y b -=，0b >，此时2b =b =， ∴双曲线方程为22142x y -=，当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为22214y x b -=，0b >，此时2b =b =，即双曲线的方程为：22148x y -=．故选：D ．5．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①m α⊂，n α⊂，//m β，////n βαβ⇒②//n m ，//n m αα⊂⇒ ③//αβ，m α⊂，//n m n β⊂⇒④//m α，//n m n α⊂⇒ 其中正确命题的个数有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】解：①由m α⊂，n α⊂，且m n O =，//m β，////n βαβ⇒，故①不正确；②//n m ，n α⊂，如果m α⊂则不可能有//m α，可得②不正确； ③//αβ，m α⊂，//n m n β⊂⇒或m ，n 异面，则③不正确； ④//m α，//n m n α⊂⇒或m ，n 异面，则④不正确．综上可得，没有正确的命题．故选：A ．6．已知(3,0)M -，(3,0)N ，||||6PM PN -=，则动点P 的轨迹是( ) A ．一条射线B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支【解答】解：由题意，||336MN =+=， ||||6PM PN -=， ||||||PM PN MN ∴-=， ∴点P 的轨迹是射线．故选：A ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1AD 所成角的大小为( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．90︒【解答】解：11//A B D C ，∴异面直线直线1A B 与1AD 所成的角为1AD C ∠，△1AD C 为等边三角形， 160AD C ∴∠=︒．故选：C ．8．过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1F 做x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为其右焦点，若1230F F P ∠=︒，则椭圆的离心率为( )AB ．13C ．12D【解答】解：显然△12PF F 是直角三角形，根据正弦定理1212||2sin 602||||sin 30sin 90F F c c e a a PF pF ︒=====+︒+︒，故选：D ．9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F ，G ，H 分别是棱11A B ，1BB ，1CC ，11C D 的中点，则必有( )A ．1//BD GHB ．//BD EFC ．平面//EFGH 平面ABCDD ．平面//EFGH 平面11A BCD【解答】解：对于A ，由图形知1BD 与GH 是异面直线，A ∴错误；对于B ，由题意知BD 与EF 也是异面直线，B ∴错误；对于C ，平面EFGH 与平面ABCD 是相交的，C ∴错误；对于D ，平面//EFGH 平面11A BCD ，理由是：由E ，F ，G ，H 分别是棱11A B ，1BB ，1CC ，11C D 的中点，得出1//EF A B ，11//EH A D ，所以//EF 平面11A BCD ，//EH 平面11A BCD ，又EFEH E =，所以平面//EFGH 平面11A BCD ．故选：D ．10．已知直线:(1)(0)l y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A 、B 两点，且满足||2||AF BF =，则k 的值是( )A B C D ．【解答】解：抛物线2:4C y x = 的准线1x =-，直线:(1)l y k x =+恒过定点(1,0)P -，如图过A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为M ，N ；由||2||AF FB =，则||2||AM BN =，点B 为AP 的中点、连接OB ，则1||||2OB AF =， ∴在PFA ∆中，||||OB BF =；OBF ∴∆为等腰三角形，点B 的横坐标为12；故点B的坐标为1(2；又(1,0)P -所以2k ==；故选：C ．11．如图是某个正方体的侧面展开图，1l 、2l 是两条侧面对角线，则在正方体中，1l 与2(l )A ．互相平行B ．异面且互相垂直C ．异面且夹角为3πD ．相交且夹角为3π【解答】解：如图，以涂有红色的正方形为下底面，并且使1l 所在侧面正对着我们，可得2l 所在的面是上底面，且两条直线有一个公共点 ∴在正方体中，1l 与2l 是相交直线作出过1l 、2l 的截面，再利用等边三角形的性质，可得1l 与2l 的所成角为3π故选：D ．12．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 【解答】解：22||2||AF BF =，2||3||AB BF ∴=，又1||||AB BF =，12||3||BF BF ∴=，又12||||2BF BF a +=，2||2aBF ∴=， 2||AF a ∴=，13||2BF a =，在Rt △2AF O 中，21cos AF O a∠=，在△12BF F 中，由余弦定理可得222134()()22cos 222a a BF F a +-∠=⨯⨯，根据221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得214202a a a -+=，解得23a =，a ∴=． 222312b a c =-=-=．所以椭圆C 的方程为：22132x y +=．故选：B ．二、填空题（共计20分）13．已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则p = 2 ；点M 到抛物线C 的焦点的距离是．【解答】解：点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，可得42p =，解得2p =；抛物线方程为：24y x =，抛物线的焦点坐标(1,0)，点M 到抛物线C 2=．故答案为：2；2．14．双曲线224640x y -+=上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，则点P 到另一个焦点的距离等于 17 ．【解答】解：将双曲线224640x y -+=化成标准形式：2216416y x -= 264a ∴=，216b =P 到它的一个焦点的距离等于1，设11PF = 12||216PF PF a -== 211617PF PF ∴=±=（舍负）故答案为：1715．如图四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，E 为SA 上的点，当E 满足条件： SE AE = 时，//SC 面EBD ．【解答】解：//SC 平面EBD ，SC ⊂平面SAC ，平面SAC ⋂平面EBD OE =， //SC OE ∴，又底面ABCD 为平行四边形，O 为对角线AC 与BD 的交点，故O 为AC 的中点， E ∴为SA 的中点，故当E 满足条件：SE AE =时，//SC 面EBD ．故答案为：SE AE =（填其它能表述E 为SA 中点的条件也得分） 16．给出以下命题，①命题“若5a b +≠，则2a ≠或3b ≠”为真命题； ②命题“若1x =，则20x x -=”的否命题为真命题； ③若平面α上不共线的三个点到平面β距离相等，则//αβ④若α，β是两个不重合的平面，直线l α⊂，命题://p l β，命题://q αβ，则p 是q 的必要不充分条件；⑤平面α过正方体1111ABCD A B C D -的三个顶点B ，D ，1A ，且与底面的交线为l ，则11//l B D ；其中，真命题的序号是 ①④⑤ ．【解答】解：①用逆否命题法，命题“若2a =，且3b =，则5a b +=真命题，对； ②否命题“若1x ≠，则20x x -≠”，若0x =，也成立，故假命题，错； ③错，可能相交；④若α，β是两个不重合的平面，直线l α⊂，命题://p l β，命题://q αβ，则p 是q 的必要不充分条件；正确，后者能推出前者，前者推不出后者；⑤平面α过正方体1111ABCD A B C D -的三个顶点B ，D ，1A ，且与底面的交线为l ，则11//l B D ；正确，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//B D BD ，平面α与底面的交线为l ，所以11//l B D ．故答案为：①④⑤ 三、解答题（共70分）17．已知p ：方程22126x y m m -=--表示椭圆；q ：双曲线221y x m -=的离心率(1,2)e ∈．（1）若p q ∧是真命题，求m 的取值范围；（2）若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，求m 的取值范围．【解答】解：p ：方程22126x y m m -=--表示椭圆；则22126x y m m +=--，则206026m m m m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，得264m m m >⎧⎪<⎨⎪≠⎩，得24m <<或46m <<，即:24p m <<或46m <<； q ：双曲线221y x m-=的离心率(1,2)e ∈．则1a =，2b m =，21c m =+，得2221(1,4)c e m a==+∈，则(0,3)m ∈，即03m <<，则:03q m <<，（1）若p q ∧是真命题，则p ，q 都是真命题，则244603m m m <<<<⎧⎨<<⎩或，得23m <<．（2）若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，则p ，q 一个为真命题，一个为假命题，若p 真q 假，则244630m m m m <<<<⎧⎨⎩或或厔，得34m <…，若p 假q 真，则62403m m m m =⎧⎨<<⎩或或厔，此时02m <…，综上02m <…或34m <…．18．如图，在三棱锥P ABC -中，G 、H 分别为PB 、PC 的中点，且ABC ∆为等腰直角三角形，2B π∠=．（1）求证：//GH 平面ABC ；（2）求异面直线GH 与AB 所成的角．【解答】解：（1）证明：G 、H 分别为PB 、PC 的中点， //GH BC ∴，GH ⊂/平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，//GH ∴平面ABC ．（2）解：//GH BC ，ABC ∴∠是异面直线GH 与AB 所成的角（或所成角的补角）， ABC ∆为等腰直角三角形，2B π∠=．∴异面直线GH 与AB 所成的角为2π．19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，1CC ，11C D ，1A A 的中点．求证：（1）求证：//EG 平面11BB D D ；（2）求异面直线BF 与1HB 所成角的余弦值．【解答】解：（1）证明：取BD 的中点O ，连接EO 、1D O ，则1//OE D C ，112OE D C =．又1//D G DC ，112D G DC =，1//OE D G ∴，1OE D G =， ∴四边形1OEGD 是平行四边形，1//GE D O ∴．又1D O ⊂平面11BB D D ，//EG ∴平面11BB D D ．（2）解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则(2B ，2，0)，(0F ，2，1)，(2H ，0，1)，1(2B ，2，2)， (2BF =-，0，1)，1(0HB =，2，1)，设异面直线BF 与1HB 所成角为θ，则11||1cos 5||||55BF HB BF HB θ===． ∴异面直线BF 与1HB 所成角的余弦值为15．20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 、P 分别是棱AB ，11A B 的中点，求证：（1）1//AC 平面1B CD ；（2）平面1//APC 平面1B CD ．【解答】证明：（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，四边形11BCC B 为平行四边形，O ∴为1B C 中点，又D 是AB 的中点，OD ∴是三角形1ABC 的中位线，则1//OD AC ，又1AC ⊂/平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，1//AC ∴平面1B CD ；（2）P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点， 1//AD B P ∴且1AD B P =，则四边形1ADB P 为平行四边形， 1//AP DB ∴，又AP ⊂/平面1B CD ，1DB ⊂平面1B CD ，//AP ∴平面1B CD ．又1//AC 平面1B CD ，1AC AP P =，且1AC ⊂平面1APC ，AP ⊂平面1APC ，∴平面1//APC 平面1B CD ．21．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)y px p =>的准线方程是12x =-．（1）求抛物线的方程；（2）设直线(2)(0)y k x k =-≠与抛物线相交于M 、N 两点，O 为坐标原点，证明：以MN 为直径的圆过原点．【解答】解：（1）抛物线22(0)y px p =>的准线方程是12x =-，可得122p =，即1p =，则抛物线的方程为22y x =；（2）证明：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩可得2240ky y k --=，(0)k ≠，可得124y y =-，222121212()4224y y y y x x ===，则1212440x x y y +=-=，可得0OM ON =，即OM ON ⊥，则以MN 为直径的圆过原点．22．已知在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两定点(2,0)A -，(2,0)B 连线的斜率之积为12-，记点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）若过点(1,0)-的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，曲线C 上是否存在点E 使得四边形OMEN 为平行四边形？若存在，求直线l 的方程，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设(,)P x y ，有12PA PBk k =-得1222y y x x =-+-得221(2)42x y x +=≠±， C ∴的方程为221(2)42x y x +=≠±，（2）假设存在符合条件的点0(E x ，0)y ，点M 坐标为1(x ，1)y 、点N 坐标为2(x ，2)y由题意知直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为x my = 联立22124x my x y =-⎧⎨+=⎩得22(2)230m y my +--=，△0>， 12222m y y m ∴+=+，则121224()22x x m y y m +=+-=-+，由四边形OMEN 为平行四边形，得OE OM ON =+， 2242(,)22mE m m -∴-++，点E 坐标代入C 方程得：4220m m +=，解得20m =，∴此时直线l 的方程为x =，但2x ≠±，所以不存在．。

黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二6月阶段性测试数学(理)试题含解析

哈尔滨市第六中学2020届6月份阶段性测试高二理科数学试题一、选择题（每题5分，共60分）1.设{|23}A x x =-≤，{|}B x x t =<，若R A B =∅ð，则实数t 的取值范围是（）A. 1t <-B. 1t ≤-C. 5t >D. 5t ≥【答案】C 【解析】【分析】分别求解出集合A 和R C B ，根据交集的结果可确定t 的范围. 【详解】{}{}2315A x x x x =-≤=-≤≤，{}R C B x x t =≥R A C B =∅ 5t ∴>本题正确选项：C【点睛】本题考查根据交集的结果求解参数范围的问题，属于基础题.2.已知函数1()cos f x x x=，则()()2f f ππ'+=（）A. 2π-B. 3πC. 1π-D. 3π-【答案】D 【解析】【分析】根据函数解析式求得()f x '，分别将x π=和2x π=代入函数解析式和导函数解析式，进而求得结果.【详解】由题意知：()211cos sin f x x x x x'=-- ()11cos f ππππ∴==-，2422cos sin 222f ππππππ⎛⎫'=--=-⎪⎝⎭()1232f f πππππ⎛⎫'∴+=--=- ⎪⎝⎭本题正确选项：D【点睛】本题考查函数值和导数值的求解问题，属于基础题.3.设11cos ,sin ,a xdx b xdx ==⎰⎰下列关系式成立的是（）A. a b >B. 1a b +<C. a b <D. 1a b +=【答案】A 【解析】试题分析：11cos sin1,sin 1cos1,a xdxb xdx ====-⎰⎰143ππ<<,231sin1,cos12222<<<<． 2111cos122∴-<-<．所以a b >．故A 正确．考点：1定积分;2三角函数值．4.已知点P 是曲线31xx e y e -=+上一动点，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的最小值是( )A. 0B.4π C.23π D.34π 【答案】D 【解析】试题分析：max443,,10,1,114()2x xx y y y k e e eπα-==∴-≤<∴=-∴'=++'+,故选D. 考点：导数的几何意义、基本不等式.【易错点晴】本题主要考查了导数的几何意义.求函数的切线方程的注意事项(1)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．本题也着重了导数的运算.5.设函数23()ln 2f x x ax x =+-，若1x =是函数()f x 是极大值点，则函数()f x 的极小值为（）A. ln 22-B. ln21-C. ln32-D. ln31-【答案】A 【解析】【分析】根据函数()f x 的极大值点为1x =求出参数a 的值，然后再根据函数的单调性求出函数的极小值即可．【详解】∵()23ln (0)2f x x ax x x =+->， ∴()1322f x ax x =+-'， ∵1x =是函数的极大值点， ∴()311122022f a a +-=-'==，解得14a =， ∴()()()21213322222x x x x x f x x x x---+='=+-=， ∴当01x <<时，()()0,f x f x '>单调递增；当12x <<时，()()0,f x f x '<单调递减；当2x >时，()()0,f x f x '>单调递增； ∴当2x =时，()f x 有极小值，且极小值()2ln22f =-．故选A ．【点睛】解答类似问题时常犯的错误是误认为导函数的零点即为函数的极值点，解题时，在求得导函数的零点后，还要判断出导函数在零点两侧的符号是否相反，若不相反则可得该零点不是函数的极值点．6.已知()()2ln 1f x x =+，()1()2xg x m =-，若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是( )A. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【答案】A 【解析】【分析】先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数m 的取值范围.【详解】因为1]3[0x ∈，时，()10,l [10]n f x ∈， 2]2[1x ∈，时，()21214g x m m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，故只需11044m m ≥-⇒≥，故选A. 【点睛】本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，考查计算能力和分析问题的能力，属于中档题．7.直线3y x =-与x a y e +=相切,实数a 的值为（） A. 4 B. 4- C. 2 D. 2-【答案】B 【解析】【分析】利用切线斜率等于导数值可求得切点横坐标，代入x ay e+=可求得切点坐标，将切点坐标代入3y x =-可求得结果.【详解】由x ay e+=得：x ay e+'=3y x =-与x a y e +=相切 1x a e +∴= ∴切点横坐标为：x a =-∴切点纵坐标为：01y e ==，即切点坐标为：(),1a -31a ∴--=，解得：4a =-本题正确选项：B【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，关键是能够利用切线斜率求得切点坐标.8.已知函数()()2ln f x x ax a x a R =--∈,()325262g x x x x =-++-,()g x 在[]1,4上的最大值为b ,当[1,)x ∈+∞ 时, ()f x b ≥恒成立,则a 的取值范围是( ) A. 1a ≤ B. 2a ≤C. 1a ≤-D. 0a ≤【答案】A 【解析】【分析】利用导数研究()g x 在[]1,4上的单调性，从而可求得()()max 20g x g ==，即0b =，将问题转化为()0f x ≥在[)1,+∞上恒成立；求得()f x '后，研究()22h x x ax a =--的符号即可确定()f x '的符号，从而得到()f x 单调性；分别在0∆≤和>0∆两种情况下进行讨论，从而得到结果. 【详解】由()325262g x x x x =-++-得：()2352g x x x '=-++ 当[)1,2x ∈时，()0g x '>；当(]2,4x ∈时，()0g x '<()g x ∴在[)1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减()()max 2810460g x g ∴==-++-=，即：0b =则[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立又()222a x ax af x x a x x--'=--=令()22h x x ax a =--，则28a a ∆=+①当0∆≤，即[]8,0a ∈-时，()0h x ≥在[)1,+∞上恒成立，即()0f x '≥ ()f x ∴在[)1,+∞上单调递增 ()()min 110f x f a ∴==-≥，解得：1a ≤ []8,0a ∴∈-②当>0∆，即()(),80,a ∈-∞-+∞时令()0h x =，解得：218a a a x -+=，228a a ax ++=⑴若21x ≤，即()(],80,1a ∈-∞-时，()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立()f x ∴在[)1,+∞上单调递增 ()()min 110f x f a ∴==-≥，解得：1a ≤即：()(],80,1a ∈-∞-⑵若21>x ，即()1,a ∈+∞时当[)21,x x ∈时，()0f x '<；当()2,x x ∈+∞时，()0f x '> 则()f x 在[)21,x 上单调递减；在()2,x +∞上单调递增()()()2min 11f x f x f a ∴=<=-10a -< ()min 0f x ∴<，不合题意综上所述：(],1a ∈-∞ 本题正确选项：A【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值、恒成立问题的求解.关键是能够明确导函数的符号由二次函数决定，通过对二次函数图象的讨论，来确定原函数的单调性，讨论主要从判别式、根与区间端点的大小关系的角度来进行.9.函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8,081f e e =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4xy x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选D10.已知函数()f x 的定义域为R ,()f x '为函数()f x 的导函数,当[)0,x ∈+∞时,()2sin cos 0x x f x -'>且x R ∀∈，()()cos21f x f x x -++=，则下列说法一定正确的是( ) A.15344643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.15324643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.3134324f f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.1332443f f ππ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】利用二倍角余弦公式可求得()()22sin f x f x x -+=；构造()()2sin g x x f x =-，根据奇偶性定义可求得()g x 为奇函数；通过()0g x '>，结合奇偶性可求得()g x 在R 上单调递增，从而可得5463g g ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入可整理出结果. 【详解】由()()cos21f x f x x -++=得：()()21cos22sin f x f x x x -+=-= 令()()2sin g x x f x =-()()()()()()()222sin sin 2sin 0g x g x x f x x f x x f x f x ∴-+=---+-=--+=⎡⎤⎣⎦()g x ∴为R 上的奇函数又()()2sin cos g x x x f x ''=-，则当[)0,x ∈+∞时，()0g x '>()g x ∴在[)0,+∞上单调递增根据()g x 为奇函数，可知()g x 在R 上单调递增5463g g ππ⎛⎫⎛⎫∴->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即：225544sin sin 6633f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--->---⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即：15344643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确选项：A【点睛】本题考查根据函数的单调性确定大小关系的问题，关键是能够准确构造函数，并通过奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，进而根据导函数的正负，结合函数的奇偶性可确定函数的单调性.11.已知函数()ln (1)22f x x a x a =+-+-.若不等式()0f x >的解集中整数的个数为3，则a 的取值范围是( ) A. (]1ln3,0-B. (]1ln3,2ln 2-C. (]0,1ln 2-D.(]1ln3,1ln 2--【答案】D【分析】将问题变为2ln 2ax a x x ->--，即()()h x g x >有3个整数解的问题；利用导数研究()g x 的单调性，从而可得()g x 图象；利用()h x 恒过点()2,0画出()h x 图象，找到有3个整数解的情况，得到不等式组，解不等式组求得结果.【详解】由()0f x >得：()ln 1220x a x a +-+->，即：2ln 2ax a x x ->-- 令()()ln 20g x x x x =-->，()()20h x ax a x =->()()1110x g x x x x-'∴=-=> 当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>()g x ∴在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增()()min 11g x g ∴==-，且()31ln30g =-<，()422ln 20g =->由此可得()g x 图象如下图所示：由()()22h x ax a a x =-=-可知()h x 恒过定点()2,0 不等式()0f x >的解集中整数个数为3个，则由图象可知：()()()()()()()()11223344h g h g h g h g ⎧>⎪>⎪⎨>⎪⎪≤⎩，即102ln 221ln 3222ln 2a a a ->-⎧⎪>--⎪⎨>-⎪⎪≤-⎩，解得：(]1ln3,1ln 2a ∈-- 本题正确选项：D【点睛】本题考查根据整数解的个数求解参数取值范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线和直线的位置关系问题，通过数形结合的方式确定不等关系.12.已知函数()221xf x eax bx =-+-，其中,a b ∈R ，e 为自然对数底数，若()10f =，()f x '是()f x 的导函数，函数()f x '在()0,1内有两个零点，则a 的取值范围是（） A. ()2226,22e e -+B. ()2,e +∞C. ()2,22e -∞+D.()223,1ee -+【答案】D 【解析】【分析】利用()10f =可将导函数整理为()22221xf x eax a e '=-++-，则()242x f x e a ''=-，此时讨论()f x ''的符号.当2a ≤和22≥a e 时，可求出()f x '在()0,1上单调，不合题意；当222a e <<可知()f x '在10,ln 22a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；在1ln ,122a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，从而可得不等式组()()00101ln 022f f af ⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎩''⎭，从而可求得范围. 【详解】由题意知：()2110f e a b =-+-= 21b a e ∴=+-又()222xf x eax b '=-+，即()22221x f x e ax a e '=-++- 则()242xf x ea ''=-①当2a ≤时，2420x e a ->，即()0f x ''>，此时()f x '在()0,1上单调递增()f x ∴在()0,1内不可能有两个零点，不合题意②当22≥a e 时，2420x e a -<，即()0f x '>，此时()f x '在()0,1上单调递减()f x ∴在()0,1内不可能有两个零点，不合题意③当222a e <<时，令()0f x ''=，则1ln 22a x =当10,ln 22a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ''<；当1ln ,122a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ''> 则()f x '在10,ln 22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；在1ln ,122a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增若()f x 在()0,1内有两个零点则()2202130f a e e a '=++-=-+>，()222122110f e a a e e a '=-++-=+->，21ln 2ln 10222a a f a a e ⎛⎫=-+-< ⎪⎝⎭令()22ln12a g a a a e =-+-，则()212ln 1ln 222a a g a a a '=--⋅⋅=- 当22a e <<时，()0g a '>；当222e a e <<时，()0g a '< 则()g a 在()2,2e 上单调递增；在()22,2e e上单调递减()()22max 52212022e g a g e e e e e e e ⎛⎫∴==+-<+-=-< ⎪⎝⎭，即()0g a < 1ln 022a f ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭对()22,2a e ∈恒成立由()00f '>得：23a e >-；由()10f '>得：21a e <+()223,1a e e ∴∈-+综上所述：()223,1a e e ∈-+ 本题正确选项：D【点睛】本题考查根据函数在某一段区间内的零点个数求解参数范围的问题，关键是能够根据参数的取值范围去讨论导函数的符号，从而确定所求函数的单调性；分类讨论时，通常以函数单调和不单调来进行情况的区分.二、填空题（每题5分，共20分）13.分别在曲线xy e =与直线1y ex =-上各取一点M 与N ,则MN 的最小值为_____21e +【解析】【分析】通过导数的几何意义可求解出与1y ex =-平行的xy e =的切线的切点坐标，可将所求最小值转化为切点到直线1y ex =-的距离，利用点到直线距离公式求得结果.【详解】设曲线xy e =在()00,x x e处的切线斜率为e则：0x e e =，解得：01x = ∴切点坐标：()1,eMN ∴的最小值即为切点()1,e 到直线1y ex =-的距离d 22111e e d e e --∴==++min21MNe =+21e +【点睛】本题考查曲线上的点到直线上的点的距离的最小值问题，关键是能够将问题转化为与直线平行的切线的切点到直线的距离的求解问题，考查了导数几何意义的应用.14.曲线1xy=与直线y x =和3x =所围成的平面图形的面积为_________.【答案】4-ln3 【解析】交点坐标为()()1,3,1,1,,3,33A B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭转化为对y 的积分，所求面积为：3231111ln |4ln 32S y dy y y y ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰15.函数()2xf x x e =在区间(),1a a +上存在极值点,则实数a 的取值范围为__________【答案】(3,2)(1,0)---【解析】【分析】利用导数求得()f x 的单调性；首先求解出()f x 在(),1a a +上无极值点的情况下a 的范围，即()f x 在(),1a a +上单调时a 的范围，取补集可求得结果.【详解】由题意知：()()2222xxxf x xe x e x x e '=+=+当(),2x ∈-∞-和()0,∞+时，()0f x '>；当()2,0x ∈-时，()0f x '< 则()f x 在(),2-∞-，()0,∞+上单调递增；在()2,0-上单调递减若()f x 在(),1a a +上无极值点，则12a +≤-或0a ≥或210a a -≤<+≤(][][),32,10,a ∴∈-∞---+∞时，()f x 在(),1a a +上无极值点∴当()()3,21,0a ∈---时，()f x 在(),1a a +上存在极值点本题正确结果：()()3,21,0---【点睛】本题考查根据函数在某一区间内极值点的个数求解参数取值范围的问题.处理此类问题时，可根据二次函数的图象来进行讨论，也可以利用函数在区间内是否单调来确定参数的取值范围.16.已知()x e f x x=，若关于x 的方程2()()10f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为__________. 【答案】11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由方程()()210fx mf x m -+-=可解得f （x ）＝1或f （x ）＝m ﹣1；分析函数f （x ）的单调性与极值，画出f （x ）的大致图像，数形结合即可得到满足4个根时的m 的取值范围．【详解】解方程()()210fx mf x m -+-=得，f （x ）＝1或f （x ）＝m ﹣1；又当x>0时，()xe f x x =，f ′（x ）()21x e x x-=；故f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；且f （1）e =，当x ＜0时，()xe f x x =-，f ′（x ）()21x e x x-=->0,所以()f x 在（﹣∞，0）上是增函数，画出()f x 的大致图像：若有四个不相等的实数解，则f （x ）＝1有一个根记为t ，只需使方程f （x ）＝m ﹣1有3个不同于t 的根，则m ﹣1e >；即m >1e +；故答案为()1,e ++∞【点睛】本题考查了利用导数研究方程根的问题，考查了函数的单调性、极值与图像的应用，属于中档题．三、解答题17.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ-=.(1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.【答案】（1）1C 的普通方程为：2213y x +=；2C 的直角坐标方程为直线40x y -+=；（2）PQ 2,13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）消参数α可得1C 的普通方程；将2C 的极坐标方程展开，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=即可求得2C 的直角坐标方程。