2019-2020学年江苏省南通市启东中学高三(上)第一次月考数学试卷1 (含答案解析)

2019-2020学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试
卷1
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
1. 设集合A ={x|x >2}，B ={x|x <4}，则A ∩B =______．
2. 已知f(x)=ln(e 2x +1)+kx 是偶函数，则k =________.
3. “x >1”是“x 2>x ”的__________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、
“既不充分又不必要”) 4. 幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m
2−2m+1
在区间(0,+∞)上是增函数，则m =______．
5. 直线3x +√3y −6=0的倾斜角为_________
6. 若命题“∃x 0∈R ，x 02
+x 0+m <0”是假命题，则实数m 的范围是______．
7. 若tanα+1tanα=
103
,α∈(π4,π2)，则sin (2α+π4)+2cos π
4
cos 2α的值为 ．
8. 已知函数f(x)={x −1,x <0
log 2x −3,x >0
，则f(16)+f(−12)=______．
9. 如果直线l ：y =kx −1(k >0)与双曲线
x 2
16
−y 29
=1的一条渐近线平行，那么k = ______ ．
10. 将函数f(x)=sin (ωx −π
6)(ω>0)的图象向左平移π
3个单位后，所得图象关于直线x =π对称，
则ω的最小值为 ．
11. 已知函数f(x)={|x +1|,x ≤0
|log 2x|,x >0
，若方程f(x)=a(a ∈R)有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<
x 2<x 3<x 4，则(x 1+x 2)x 4的取值范围是______ ． 12. 如图，已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点恰好是椭圆
x 2
a 2
+y 2
b 2=1(a >b >0)的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ，则该椭圆的离心率为___________．
13. 已知tanα+2
tanα−1=2，则sinα+2cosα
sinα−3cosα=______．
14. 已知函数f (x )={e x ,x ≤0
1−x 2
,x >0
，若关于x 方程，f[f(x)]−1=m 有两个不同的根x 1,x 2，则x 1+x 2
的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）
15. 已知p ：函数f(x)=lg(ax 2−x +1
16a)的定义域为R ；q ：a ≥1.如果命题“p ∨q 为真，p ∧q 为
假”，求实数a 的取值范围．
16.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b，A−C=π
3
，求sin B的值．
17.椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为√2
2
，两个焦点分别为F1(−1,0)，F2(1,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F2(1,0)的直线l交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合)，
求证：直线MQ过x轴上一个定点．
18.在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水
域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图)，看台Ⅰ，看台
Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是
看台Ⅱ的面积的3倍，矩形表演台BCDE中，CD=10米，三角形
水域ABC的面积为400√3平方米，设∠BAC=θ．
(1)求BC的长(用含θ的式子表示)；
(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．
19.已知函数f(x)=x2+2x，g(x)=xe x．
(1)求f(x)−g(x)的极值；
(2)当x∈(−2,0)时，f(x)+1≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围．
20.已知函数f(x)=(ax+b)e x−1的极值点为−1．
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)若x≥0时，f(x)≥2x−1，求a的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：(2,4)
解析：解：集合A={x|x>2}=(2,+∞)；
B={x|x<4}=(−∞,4)；
∴A∩B=(2,4)．
故答案为：(2,4)．
根据交集的定义进行求解即可．
本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题目．
2.答案：−1
解析：
【分析】
本题考查了函数的奇偶性问题，是一道基础题．根据函数的奇偶性的定义证明即可．【解答】
解：f(−x)=ln(e−2x+1)−kx
=ln (e2x+1)
e2x
−kx
=ln(e2x+1)−lne2x−kx
=ln(e2x+1)−2x−kx
=ln(e2x+1)+(−k−2)x =ln(e2x+1)+kx，
故−k−2=k，
解得：k=−1，
故答案为−1.
3.答案：充分不必要
解析：
【分析】
本题考查了充分条件与必要条件的判断，为基础题．
此题还需解一元二次不等式．
解：由x2>x得：x>1或x<0，
∴“x>1”是“x2>x”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
4.答案：2
解析：解：若幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m2−2m+1在区间(0,+∞)上是增函数，
则由m2−3m+3=1解得：m=2或m=1，
m=2时，f(x)=x，是增函数，
m=1时，f(x)=1，是常函数，
故答案为：2．
根据幂函数的定义求出m的值，判断即可．
本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道基础题．
5.答案：120∘
解析：
【分析】
本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，利用直线的倾斜角与斜率之间的关系即可得出．
【解答】
解：解：设倾斜角为θ，
∵直线3x+√3y−6=0，
，
θ=120∘，
故答案为120∘．
6.答案：
解析：
本题考查了特称命题与全称命题之间的关系，解题时应注意特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，是基础题．写出该命题的否定命题，根据否定命题求出m的取值范围即可．【解答】
解：命题“∃x0∈R，x02+x0+m<0”是假命题，
它的否定命题是“∀x∈R，有x2+x+m≥0”，是真命题，
即1−4m≤0；
解得m≥1
4
，
∴m的取值范围是[1
4
,+∞)．
故答案为[1
4
,+∞)．
7.答案：0
解析：
【分析】
本题考查同角三角函数关系，二倍角公式，考查和角的正弦公式，考查学生的计算能力，正确运用和角的正弦公式是关键，属基础题．
【解答】
解：∵tanα+1
tanα=10
3
，
∴sinα
cosα+cosα
sinα
=10
3
，
∴1
sin2α=5
3
，
∴sin2α=3
5
，
∵α∈(π
4,π
2 )，
∴cos2α=−4
5
，
=3
5×√2
2
+(−4
5
)×√2
2
+√2
2
(1−4
5
)
=0．
故答案为0．8.答案：−1
解析：
本题考查函数值的求法以及分段函数，考查运算求解能力，属于基础题．
推导出f(16)=log 216−3=1，f(−1
2)=(−1
2)−1=−2，由此能求出f(16)+f(−1
2)的值． 【解答】
解：∵函数f(x)={
x −1,x <0
log 2x −3,x >0, ∴f(16)=log 216−3=1， f(−1
2)=(−1
2)−1=−2， ∴f(16)+f(−1
2)=1−2=−1． 故答案为−1．
9.答案：3
4
解析：解：双曲线
x 216
−
y 29
=1的渐近线方程为y =±3
4x ，
由直线l ：y =kx −1(k >0)与双曲线x 216
−
y 29
=1的一条渐近线平行，
可得k =3
4． 故答案为：34．
求出双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件：斜率相等，即可得到所求k 的值．
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于基础题．
10.答案：1
2
解析： 【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，考查图象的平移，属于基础题． 依题意，的图象关于直线x =π对称，得ω=
3k+24
，k ∈Z ，从而求得结果．
【解答】 解：的图象向左平移π
3个单位后得，
所以的图象关于直线x =π对称，
所以ωπ+ωπ3
−π
6=kπ+π
2，k ∈Z ，
ω=
3k+24
，k ∈Z ，
又ω>0，
所以ω的最小值为1
2， 故答案为1
2．
11.答案：[−4,−2)
解析：解：由题意作函数f(x)={|x +1|,x ≤0
|log 2x|,x >0
与y =a 的图象如下，
，
结合图象可知，
x 1+x 2=−2，0<log 2x 4≤1， 故x 1+x 2=−2，1<x 4≤2， 故−4≤(x 1+x 2)x 4<−2， 故答案为：[−4,−2)．
由题意作函数f(x)={|x +1|,x ≤0
|log 2x|,x >0与y =a 的图象，从而可得x 1+x 2=−2，0<log 2x 4≤1，从而
解得．
本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．
12.答案：√2−1
解析： 【分析】
本题考查抛物线与椭圆的综合问题．在研究圆锥曲线问题时，用定义来解题是比较常用的方法.先把对应图形画出来，求出对应焦点和点A 的坐标(都用p 写)，利用椭圆定义求出2a 和2c 就可找到椭圆的离心率． 【解答】
解：由题可得图，设椭圆另一焦点为E ，
因为抛物线y2=4px(p>0)的焦点F(p,0)
把x=p代入y2=4px解得y=±2p，
所以A(p,2p)又E(−p,0)．
故|AE|=2√2p，|AF|=2p，|EF|=2p．
所以2a=|AE|+|AF|=(2√2+2)p，2c=2p．椭圆的离心率e=c
a
=√2−1．
故答案为√2−1．
13.答案：6
解析：解：由tanα+2
tanα−1
=2，得tanα=4．
∴sinα+2cosαsinα−3cosα=tanα+2
tanα−3
=4+2
4−3
=6．
故答案为：6．
由已知求得tanα，再由同角三角函数的基本关系式化弦为切求得sinα+2cosα
sinα−3cosα
的值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．14.答案：[3ln2+1,+∞)
解析：
【分析】
本题考查分段函数，复合函数的运用，再利用分类讨论的思想解题，属于难题．令t=f(x)−1则有t≤0，再分类讨论求出x1+x2的取值范围．
【解答】
解：f(x)的图象如图所示：
令t=f(x)−1，则有t≤0
(1)当−1
2
≤t≤0时，x只有1个解，设此时的解为x0,则t=f(x0)−1，
易知−ln2≤x0≤0，由图可知f(x)=x0只有一个解，故不成立；
(2)当−1<t<−1
2
时，x有2个解，不妨设此时的解为x3,x4，且x3<x4，
则t=f(x3)−1，t=f(x4)−1，即f(x3)=f(x4)，e x3=1−x4
2，推出x3=ln(1−x4
2
)，
所以有x3<−ln2,0<x4<1，
由图象可得，f(x)=x3有且仅有一个解，
而f(x)=x4只有当1
2
≤x4<1才满足只有一个解，此时满足题意，
设x1<0,x2>0，
则e x1=x4,1−x2
2
=x3，所以x1=lnx4,x2=1−2x3，
所以x1+x2=lnx4+1−2x3=lnx4−2ln(1−x4)+2ln2+1，且1
2
≤x4<1，
令g(x)=lnx−2ln(1−x)+2ln2+1，1
2
≤x<1，易知g(x)在定义域上单调增，
g(x)min=g(1
2
)=3ln2+1，无最大值，所以g(x)∈[3ln2+1,+∞)；
(3)当t≤−1时，x只有1个解，设此时的解为x0,则t=f(x0)−1，
易知x0≥1，由图可知f(x)=x0最多只有一个解，故不成立．
综上所述，可知x1+x2的取值范围是[3ln2+1,+∞)．
故答案为[3ln2+1,+∞)．
15.答案：解：由p真，可知{a>0
Δ=1−4a×1
16
a<0，解得a>2，由p∨q为真，p∧q为假，可得：p和q中一个为真、一个为假．若p真q假时a不存在，若p假q真时1≤a≤2．
综上，实数a的取值范围是1≤a≤2．
解析：由p真，可知{a>0
Δ=1−4a×1
16
a<0，解得a，由p∨q为真，p∧q为假，可得：p和q中一个为真、一个为假．即可解出．
本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
16.答案：解：△ABC中，由题意利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，
∴2sin A+C
2cos A−C
2
=4sin B
2
cos B
2
，
化简可得cos A−C
2=2sin B
2
，
即√3
2=2sin B
2
，解得sin B
2
=√3
4
∴cos B
2
=√13
4
．
∴sinB=2sin B
2cos B
2
=√39
8
．
解析：△ABC中，由题意利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，故有2sin A+C
2cos A−C
2
=4sin B
2
cos B
2
，
化简可得sin B
2=√3
4
，故cos B
2
=√13
4
.再根据sinB=2sin B
2
cos B
2
，计算求得结果．
本题主要考查正弦定理的应用，两角和差的三角公式、诱导公式、二倍角公式的应用，属于中档题．
17.答案：解：(1)∵依题意，{c=1
c
a
=√2
2
，
∴c=1,a=√2，
∴b=√a2−c2=1，
∴椭圆的方程为x2
2
+y2=1；
(2)∵设M(x1,y1)，N(x2,y2)，Q(x2,−y2)，l：y=k(x−1)，
代入x2
2
+y2=1(y≠0)，
∴整理得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0，
∵由韦达定理可得：x1+x2=4k2
1+2k2，x1x2=2k2−2
1+2k2
，
∴MQ的方程为y−y1=y1+y2
x1−x2
(x−x1)，∵令y=0，
∴得x=x1+y1(x2−x1)
y1+y2=x1+k(x1−1)(x2−x1)
k(x1+x2−2)
=2x1x2−(x1+x2)
x1+x2−2
，
代入x1+x2=4k2
1+2k2，x1x2=2k2−2
1+2k2
，
∴x=2x1x2−(x1+x2)
x1+x2−2=2×
2k2−2
1+2k2
−4k
2
1+2k2
4k2
1+2k2
−2
=2，
即：x=2，
∴直线过x轴上的一个定点，定点坐标为(2,0)．
解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
(1)通过椭圆的离心率与焦距，求出a，c，得到b，即可求出椭圆C的方程；
(2)依题意，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，Q(x2,−y2)，l：y=k(x−1)，代入椭圆方程，利用韦达定理，
结合MQ的方程为y−y1=y1+y2
x1−x2
(x−x1)，令y=0，化简求解可得x=2，得到直线MQ过x轴上一个定点．
18.答案：解：(1)∵看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，
∴1
2π(AB
2
)2=3×1
2
π(AC
2
)2，∴AB=√3AC，
∵S△ABC=1
2AB⋅AC⋅sinθ=√3
2
AC2sinθ=400√3，
∴AC2=800
sinθ，∴AB2=2400
sinθ
，
在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcosθ=3200−1600√3cosθ
sinθ
，
∴BC=40√2−√3cosθ
sinθ
．
(2)设表演台的造价为y万元，则y=120√2−√3cosθ
sinθ
，
设f(θ)=2−√3cosθ
sinθ(0<θ<π)，则f′(θ)=√3−2cosθ
sin2θ
，
∴当0<θ<π
6时，f′(θ)<0，当π
6
<θ<π时，f′(θ)>0，
∴f(θ)在(0,π
6)上单调递减，在(π
6
,π)上单调递增，
∴当θ=π
6时，f(θ)取得最小值f(π
6
)=1，
∴y的最小值为120，即表演台的最小造价为120万元．
解析：本题考查了解三角形，函数最值计算，余弦定理，属于中档题．
(1)根据看台的面积比得出AB，AC的关系，代入三角形的面积公式求出AB，AC，再利用余弦定理计算BC；
(2)根据(1)得出造价关于θ的函数，利用导数判断函数的单调性求出最小造价．
19.答案：解：(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，则ℎ′(x)=(x+1)(2−e x)，
∴ℎ(x)
极小值=ℎ(−1)=1
e
−1，
∴ℎ(x)
极大值
=ℎ(ln2)=ln22；
(2)由已知，当x∈(−2,0)时，x2+2x+1≥axe x恒成立
即a≥x2+2x+1
xe x =x+2+x−1
e x
恒成立，
令t(x)=x+2+x−1
e ，则t′(x)=−(x2+1)(x+1)
x e
，
∴当x∈(−2,−1)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，
当x∈(−1,0)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，
故当x∈(−2,0)时，t(x)max=t(−1)=0，∴a≥0．
解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查恒成立问题的等价转化能力及计算能力，属于中档题．
(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，求导数，确定函数的单调性，即可求f(x)−g(x)的极值；
(2)当x∈(−2,0)时，x2+2x+1≥axe x恒成立，即a≥x2+2x+1
xe x =x+2+x−1
e x
恒成立，求出右边的最大
值，即可求实数a的取值范围．
20.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)的导数为f′(x)=(ax+b+a)⋅e x−1，
由题意可得f′(−1)=0，即(−a+a+b)e−2=0，解得b=0；
则f′(x)=ae x−1(x+1)，
当a=0时，函数f(x)=e x−1无极值，不符合题意．
当a>0时，f(x)在(−1,+∞)上递增，在(−∞,−1)上递减；
当a<0时，f(x)在(−1,+∞)上递减，在(−∞,−1)上递增；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)=axe x−1，
设g(x)=axe x−1−2x+1，
若x≥0时，f(x)≥2x−1，必有g(1)=a−2+1≥0⇒a≥1，
故a≥1是命题成立的一个必要条件．
当a≥1，x≥0时，g′(x)=ae x−1(x+1)−2，令ℎ(x)=g′(x)
ℎ′(x)=ae x−1(x+2)>0，故g′(x)在[0,+∞)单调递增，g′(x)min=g′(0)=a
e
−2．
①当a≥2e时，g′(x)min≤0，g(x)在[0,+∞)单调递增，g(x)≥g(0)=1>0，
②当1≤a<2e时，存在x0∈(0,1)，使得g′(x0)=ae x0−1(x0+1)−2=0，
且当x∈(0,x0)时，g′(x)<0，g(x)递减，
x∈(x0,+∞)时，g′(x)>0，g(x)递增，
∴g(x)≥g(x0)=ax0e x0−1−2x0+1=2x0
x0+1−2x0+1=5−2(1
x0+1
+x0+1)．
∵x0∈(0,1)，
∴令t=x0+1，t∈(1,2)．
设函数m(t)=5−2t−2
t
，t∈(1,2)，
又m′(t)=2
t2
−2≤0，
∴m(t)单调递减，
∴m(t)>m(2)=0．
∴g(x)≥g(x0)=ax0e x0−1−2x0+1=5−2(1
+x0+1)>0，
x0+1
综上，a的取值范围为[1,+∞)．
解析：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查不等关系的求解，属于较难题．
(Ⅰ)函数f(x)的导数为f′(x)=(ax+b+a)⋅e x−1，求出b的值，然后对a分类讨论，利用导数求出函数的单调性与极值即可；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)=axe x−1，构造函数g(x)=axe x−1−2x+1，然后利用导数求出函数的单调性与最值，求出a的范围可得答案．。