2016-2017学年高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 1.1 数的概念的扩展1.2 复
第四章 第四节 数系的扩充与复数的引入
[题组自测 题组自测] 题组自测 1．若复数 z 满足 ＋i)z＝1－3i，则复数 z 在复平面上的 ． 满足(1＋ ＝ － ， 对应点在 A．第四象限 ． C．第二象限 ． B．第三象限 ． D．第一象限 ． ( )
1－3i (1－3i)( －i) － )(1－ ) － )( 解析： ＝－1－ ， 解析：由已知得 z＝ ＝ ＝ ＝－ －2i，则 1＋i )(1－ ) ＋ (1＋i)( －i) ＋ )( z 所对应的点为 －1，－ ，故 z 对应的点在第三象限． 所对应的点为(－ ，－ ，－2)， 对应的点在第三象限．
a＋2i ＋ (a＋2i)i ＋ ) 解析： 解析：由题可知 i ＝b＋i，整理可得 i2 ＝b＋i， ＋， ＋， ＝－1， ＝ ， 即 2－ai＝b＋i，根据复数相等可知 a＝－ ，b＝2， － ＝ ＋， ＝－ 所以 a＋b＝1. ＋ ＝
答案： 答案： B
3．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中 是虚数单位，则 ．若复数 是虚数单位， ＋ ， ＋ ，其中i是虚数单位 复数(z 的实部为________． 复数 1－z2)i的实部为 的实部为 ． 解析：∵z1＝4＋29i，z2＝6＋9i， 解析： ＋ ， ＋ ， ＝－20－ ， ∴(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－ －2i， ＝－ ＋ ＝－ 的实部为－ ∴复数(z1－z2)i的实部为－20. 复数 的实部为 答案： 答案：－20
答案：B 答案：
)(2＋ ) (1＋2i)( ＋i) ＋ )( 3．复数 ． 等于 (1－i)2 －) 5 A. 2 5 C. i 2 5 B．－ ．－ 2 5 D．－ i ．－ 2
(
)
)(2＋ ) (1＋2i)( ＋i) 2＋4i＋i＋2i2 ＋ )( ＋ ＋＋ 5i 5 解析： 解析： ＝ ＝ ＝－ . 2 (1－i)2 －) －2i －2i
数系的扩充与复数的引入 (2).
课堂教学单元教案科目：高二数学课题：数系的扩充与复数的引入一．数学分析：（1）复数系是在实数系的基础上扩充儿得到的，为了帮助学生了解学习复数的必要性，了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，本章从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程，这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望，而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。
复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的，虚数单位、实部、虚部、复数相等的充要条件、以及虚数，纯虚数等概念的理解都应促进对复数实质的理解，即复数实际上一有序的实数对。
类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的集合表示。
用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数得到直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。
（2）复数代数形式的四个运算，及复数代数形式的加法，减法，乘法和除法，重点是加法和乘法。
复数加法和乘法的法则是规定的，是具有其合理性的；这种规定与实数的加法，乘法的法则是一致的，而且实数的加法，乘法的有关运算仍然成立的。
二．学情分析：1.知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力；2.心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学的一章内容“推理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解；3.学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。
所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。
高中数学选修1-2精品学案：第四章 数系的扩充与复 数的引入 第1课时 数系的扩充和复数的概念
第1课时数系的扩充和复数的概念1.了解引进复数的必要性,理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的代数形式,复数虚部与实部.3.实数集、复数集、虚数集与纯虚数集的关系.重点:掌握复数的实部与虚部;实数、复数、虚数、纯虚数与复数的代数形式的实部、虚部的关系;两复数相等的充要条件.难点:体会复数问题实数化的过程.由于解方程的需要推动了数的发展,为了使类似x+5=3的方程有解,引入了负数;为了使类似5x=3的方程有解,引入了分数;为了使类似x2=3的方程有解,引入了无理数.但引入无理数后,类似x2=-1的方程在实数范围内仍然没解.问题1:为了得到方程x2=-1的解,需引入虚数单位i,试给出虚数单位i的定义?虚数单位i满足它的平方等于-1,即i2=-1.问题2:(1)复数:形如a+b i(a,b∈R)的数叫作复数.(2)复数集:全体复数所成的集合叫作复数集,用字母C表示.(3)复数的代数形式:复数通常用字母z表示,把复数表示成a+b i(a,b∈R)的形式,其中a与b分别叫作复数的实部与虚部.(4)两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果a、b、c、d∈R,那么a+b i=c+d i∈a=c,b=d.问题3:复数z=a+b i(a,b∈R),当b=0时,复数z是实数;当b≠0时,复数z是虚数;当时,复数z是纯虚数.问题4:两复数可不可以比较大小?当两复数是实数时,两复数可以比较大小;当两复数有一个是虚数时,两复数不能比较大小,只能分析两复数相不相等.“复数”“虚数”这两个名词,都是人们在解方程时引入的.为了用公式求一元二次、三次方程的根,就会遇到求负数的平方根的问题.1545年,意大利数学家卡丹诺在《大术》一书中,首先研究了虚数,并进行了一些计算.1.“a=0”是“复数a+b i(a,b∈R)为纯虚数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】a=0时,a+b i(a,b∈R)可能为纯虚数,也可能为0;a+b i为纯虚数时,a=0.所以答案为B.【答案】B2.复数z=-3-10i的实部是().A.3B.-3C.-10iD.10【解析】复数z=-3-10i的实部是-3.【答案】B3.若复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则z1=z2的充要条件是.【解析】z1=z2,则它们的实部与虚部分别相等,即a=c且|b|=|d|.【答案】a=c且b2=d2(或写成a=c且|b|=|d|)4.判断下列命题的真假:(1)-1的平方根只有一个;(2)i是1的4次方根;(3)i是方程x6-1=0的根;(4)方程x3-x2+x-1=0的根只有一个.【解析】(1)∵(-i)2=i2=-1,∵-i也是-1的平方根,故(1)为假命题.(2)∵i2=-1,∵i4=i2·i2=(-1)2=1,故(2)为真命题.(3)i6-1=i2·i2·i2-1=(-1)3-1=-2≠0,故(3)为假命题.(4)由x3-x2+x-1=0得(x2+1)(x-1)=0,则x2=-1或x=1,即x=±i或x=1都是方程x3-x2+x-1=0的根,故(4)为假命题.对复数概念的理解已知下列命题:①复数a+b i不是实数;②两个复数不能比较大小;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,其中x∈R,则x=±2;④若复数z=a+b i,则当且仅当b≠0时,z为虚数;⑤若a+b i=c+d i,则a=c且b=d.其中真命题的个数是().A.0B.1C.3D.4【方法指导】根据复数的有关概念来判断命题的真假.【解析】①是假命题,因为当a∈R且b=0时,a+b i是实数.②是假命题,因为两个复数都是实数时,可以比较大小.③是假命题,因为由纯虚数的条件得解得x=2.④是假命题,因为没有强调a,b∈R.⑤是假命题,因为没有强调,a,b,c,d∈R这一重要条件,故选A.【答案】A【小结】对于概念的理解注意一些小细节,比如a+b i中要求a∈R,b∈R.复数概念的应用z=+(m2+5m+6)i,当实数m为何值时,(1)z是实数;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数?【方法指导】根据复数的分类方式将问题转化为求实部和虚部应满足什么条件.【解析】(1)若z是实数,则得m=-2.(2)若z是虚数,则得m≠-2且m≠-3且m∈R.(3)若z是纯虚数,则得m=3.【小结】①本题考查复数集的分类,给出的是复数的标准代数形式即z=a+b i(a,b∈R),若不然,应先将其化为标准形式,再根据满足的条件去解;②解题中应时刻注意使式子有意义.复数相等的充要条件(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,y∈R,求x与y.(2)设z1=1+sin θ-icos θ,z2=+(cos θ-2)i,若z1=z2,求θ.【方法指导】确定两复数的实部与虚部,利用两复数相等的定义列方程组,解方程组.【解析】(1)根据复数相等的充要条件,得方程组解得(2)由已知,得故解得θ=2kπ(k∈Z).【小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法,转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是:①等式两边整理为a+b i(a,b∈R)的形式;②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;③解方程组,求出相应的参数.下列命题中正确的有.①若z=a+b i(a,b∈R),则当a=0,b≠0时,z为纯虚数;②若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;③若实数a与a i对应,则实数集与纯虚数集一一对应.【解析】①正确.②错误,只有当z1,z2,z3∈R时才成立;若z1=1,z2=0,z3=i也满足题意.③错误,若a=0,则0·i=0不再是纯虚数.【答案】①复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时:(1)z∈R;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数?【解析】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为零,所以有由②得x=4,经验证满足①.所以当x=4时,z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部非零,所以有解得即<x<4或x>4.所以当<x<4或x>4时,z为虚数.(3)因为一个复数是纯虚数时其实部为零且虚部不为0,所以有解得方程无解,所以复数z不可能是纯虚数.关于a的方程是a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,若方程有实数根,求锐角θ和实数根.【解析】设实数根是a,则a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,∵a,tan θ∈R,∵∵a=-1且tan θ=1,又0<θ<,∵θ=,a=-1.1.设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论中正确的是().A.A∈B=CB.∈S A=BC.A∩(∈S B)=∈D.B∩(∈S A)=B【答案】D2.如果复数z=(a2-3a+2)+(a-1)i为纯虚数,则实数a的值为().A.1或2B.1C.2D.不存在【解析】由a2-3a+2=0和a-1≠0,得a=2.【答案】C3.已知复数z=3-2i,则复数z的实部与虚部的积是.【解析】z=3-2i的实部和虚部分别为3,-2,故答案为-6.【答案】-64.实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第四象限;(2)在x轴的负半轴上?【解析】(1)由已知得∵∵-7<m<3.∵当m∈(-7,3)时,z对应的点在第四象限.(2)由已知得解得m=4,即m=4时,z对应的点在x轴的负半轴上.(2019年·上海卷)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=.【解析】∵m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,∵∵m=-2.【答案】-21.复数z=-2+3i的虚部是().A.-2B.2C.3D.3i【解析】复数z=-2+3i的虚部是3.【答案】C2.若复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足().A.x=-B.x=-2或-C.x≠-2D.x≠1且x≠-2【解析】由题意得x2+x-2≠0,∵x≠1且x≠-2.【答案】D3.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合N={-1,3},若M∩N={3},则实数m的值为.【解析】由题设知3∈M,∵m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3.∵即∵m=-1.【答案】-14.设复数z=ab+(a2+b2)i(a、b∈R),a、b分别满足什么条件时,z是实数、虚数、纯虚数?【解析】当a、b同时为0时,z为实数;当a、b不全为0时,z是虚数;当a、b有且仅有一个为0时,z为纯虚数.5.如果(x+y)i=x-1,则实数x、y的值分别为().A.x=1,y=-1B.x=0,y=-1C.x=1,y=0D.x=0,y=0【解析】根据复数相等的充要条件,可知解得【答案】A6.下列命题中,正确命题的个数是().①若x,y∈C,则x+y i=1+i的充要条件是x=y=1;②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;③若x2+y2=0,则x=y=0;④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零;⑤-1没有平方根;⑥若a∈R,则(a+1)i是纯虚数.A.0B.1C.2D.3【解析】由于x,y∈C,所以x+y i不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,①是假命题.由于两个虚数不能比较大小,∵②是假命题.当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,∵③是假命题.因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故④错.因为-1的平方根为±i,故⑤错.当a=-1时,(a+1)i是实数0,故⑥错.【答案】A7.复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,则复数z的虚部为.【解析】复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,∵∵∵a=-3,∵a2-1=8,∵复数z的虚部为8.【答案】88.已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时:(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数;(4)z=+4i?【解析】(1)m需满足解得m=-3.(2)m需满足m2+2m-3≠0且m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)m需满足解得m=0或m=-2.(4)m需满足解得m∈∈.9.已知m、n∈R,复数z1=m2+2n-3+(m+n)i,z2=2m-3n+2+(2m-n)i,若z1=z2,则m+n=.【解析】∵z1=z2,∵∵∵n=1或n=-,m+n=3n,∵m+n的值为3或-.【答案】3或-10.已知复数z1=sin 2x+λi,z2=m+(m-cos 2x)i(λ,m,x∈R),且z1=z2.若λ=0且0<x<π,求x的值.【解析】∵z1=z2,∵∵λ=sin 2x-cos 2x.若λ=0,则sin 2x-cos 2x=0,得tan 2x=.∵0<x<π,∵0<2x<2π,∵2x=或2x=,∵x=或.。
2016_2017学年高中数学第四章数系的扩充与复数的引入章末高效整合课件北师大版选修1_2
)
解析：
原式＝(m2－m)＋(m3＋1)i，由复数为实数，可得
m3＋1＝0，即m＝－1. 答案： B
3＋i 3．i 是虚数单位，复数 ＝( 1－i A．1＋2i C．－1－2i
解析：
)
B．2＋4i D．2－i
3＋i 3＋i1＋i 2＋4i ＝ ＝ 2 ＝1＋2i. 2 1－i
答案： A
4 ．复平面内，若复数 z ＝ m2(1 ＋ i) － m(4＋ i) － 6i 所对应的
∴cos∠AOB →2 →2 →2 2 |OA| ＋|OB| －|BA| 3 ＋52－10 4 ＝ ＝ ＝5. → → 2×3×5 2|OA||OB| 4 ∴cos∠OBC＝－5. → → 又|BC|＝|OA|＝3， → ∴|z1＋z2|＝|OC| ＝ ＝ 58. →2 →2 → → |OB| ＋|BC| －2|OB|· |BC|· cos∠OBC
3．求使等式(2x－1)＋i＝y－(3－y)i成立的实数x，y的值．
解析： 根据复数相等的充要条件， 由(2x－1)＋i＝y－(3－y)i
2x－1＝y， 得 1＝－3－y，
5 x＝ 解得 2 . y＝4
熟记法则 强化运算
复数的加法、减法运算，可以通过运算法则转为实数的运 算，即实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，且复数加法满 足交换律、结合律，复数能用几何形式表示．复数的加、减运
z＋2 已知 z 是纯虚数， 是实数，那么 z 等于( 1－i A．2i C．－i
解析：
)
B．i D．－2i
z＋2 bi＋2 设 纯 虚 数 z ＝ bi(b ∈ R) ， 代 入 ＝ ＝ 1－i 1－i
bi＋21＋i 2－b＋b＋2i z＋2 ＝ ，由于 为实数，b＝－2，故 2 1－i1＋i 1－i 选 D.
高三数学复习第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
提 升 学 科 素 养
演 练 知 能 检 测
第一节
平面向量的概念及其线性运算 [自测· 牛刀小试]
回 扣 主 干 知 识
1．下列说法中正确的是
A．只有方向相同或相反的向量是平行向量 B．零向量的长度为零 C．长度相等的两个向量是相等向量
(
)
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相
同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行， 则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反 向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命 题的个数是3. 答案：D
数学(6省专版)
演 练 知 能 检 测
第一节
平面向量的概念及其线性运算 向量的线性运算
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：由于零向量与任意向量平行，故选项A错误；
长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，故C错 误；方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，故 D错误．
演 练 知 能 检 测
答案：B
数学(6省专版)
第一节
平面向量的概念及其线性运算
2.(教材习题改编)D 是△ABC 的边 AB 上的中点， 则向量 CD
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；
零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任 意向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向 量概念有关的问题．
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高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 4.1.1 数的
高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 4.1.1 数的概念的扩展自我小测 北师大版选修1-21．已知a ，b ∈R ，下列结论正确的是( )．A ．a ＝0⇔a ＋b i 为纯虚数B ．b ＝0⇔a ＋b i 为实数C ．方程x 2＋1＝0的解为iD ．－1的平方根等于i2．i ＋i 3＋i 5＋…＋i 33的值是( )．A ．iB ．－iC ．1D ．－13．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( )．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．以2i -2的实部为虚部的新复数是( )．A ．2－2iB ．2＋iC ．D ．5．复数z ＝m 2(1＋i)－m (2＋3i)－4(2＋i)，当实数m ＝__________时，z 为纯虚数．6．复数223+(-815)i 44x x x x x -+-+为实数，则实数x 的值为__________． 7．实数m 为何值时，复数2245=(25)i 3m m z m -m -1m --+，(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是零？8．复数z ＝log 2(x 2－5x ＋4)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时，(1)z ∈R ；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数？已知复数2(-43)i z x x x =++且z ＞0.求实数x 的值．参考答案千里之行始于足下1．B 对于z ＝a ＋b i ，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数，故A 错；方程x 2＋1＝0的解有两个x 1＝i ，x 2＝－i ，故C 错；－1的平方根为±i，故D 错．2．A 由i ＋i 3＝i －i ＝0，得i ＋i 3＋i 5＋…＋i 33＝(i ＋i 3)＋(i 5＋i 7)＋…＋(i 29＋i 31)＋i 33＝(i ＋i 3)＋i 4(i ＋i 3)＋…＋i 28(i ＋i 3)＋i 33＝i 33＝i 32·i＝(i 2)16·i＝(－1)16·i＝i.3．C 当a ＝b ＝0时复数为0为实数，故B 不正确．由(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数，则0,=0,a b a b +≠⎧⎨-⎩解得a ＝b ≠0，即a ＝b ≠0为该复数为纯虚数的充要条件，∴a ＝b 是该复数为纯虚数的必要而不充分条件．4．A 2i -222=--的实部为－2，所以新复数为2－2i.5．－2 由题意z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2－3m －4)i 为纯虚数， 得2228=0,340,m m m m ⎧--⎨--≠⎩解得m ＝－2. 6．3或5 由已知，得22815=0, 440. x x x x ⎧-+⎨-+≠⎩①②由①，得x ＝3或x ＝5.由②，得x ≠2.∴x ＝3或x ＝5.7．解：(1) 2215=03,m m m ⎧--⎨≠-⎩即=5=33m m m -⎧⎨≠-⎩或，， ∴当m ＝5时，z 为实数．(2) 221503m m m ⎧--≠⎨≠-⎩，，即533m m m ≠≠-⎧⎨≠-⎩且，， ∴当m ≠5且m ≠－3时，z 为虚数． (3) 22450 32150 m m m m m ⎧--⎪+⎨⎪--≠⎩，①，② 由①，得m ＝5或m ＝－1且m ≠－3，即m ＝5或m ＝－1；由②，得m ≠5且m ≠－3.∴当m ＝－1时，z 为纯虚数．(4)23245=0215=0 m mmm m⎧--⎪⎨⎪--⎩，，由①，得m＝5或m＝－1且m≠－3；由②，得m＝5或m＝－3.∴当m＝5时，z为零．8．解：(1)23245=0215=0m mmm m⎧--⎪⎨⎪--⎩，①，②即41=4x xx><⎧⎨⎩或，，此时无解．∴不存在x使z R.(2)z为虚数，则254030230. x xxlog x⎧-+>⎪->⎨⎪(-)≠⎩，，∴4134.x xxx><⎧⎪>⎨⎪≠⎩或，，∴x>4.∴当x>4时，z为虚数．(3)z为纯虚数，则22254=030log x xlog x⎧(-+)⎨(-)≠⎩，，∴254=13031x xxx⎧-+⎪->⎨⎪-≠⎩，，，解得5=2x+.∴当x时，z为纯虚数．百尺竿头更进一步解：∵z＞0，∴z∈R.∴x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.又z＞0>0 x，∵当x＝1时上式成立；当x＝3时上式不成立．∴x＝1.。
高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩
• (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚 部与虚部相等列方程组．
• (2)利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两 个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数
问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重 要．
• 1．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则( ) • A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 • C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1 • 解析： (a＋i)i＝ai－1＝b＋i，故应有a＝1，b＝－1. • 答案： D
的圆．
• (2)设z＝x＋yi(x，y∈R)．由于2＜|z|＜4， • ∴2＜|x＋yi|＜4，即4＜x2＋y2＜16. • 从而复数z的对应点Z的集合是以原点O为圆心，以2和4为半
径的圆所夹的圆环，且不包含圆环的内、外边界．
•
复数的模表示复数在复平面内对应的点到原
点的距离，计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，
然后再利用复数模的公式进行计算，由于复数的模是一个实
数，所以复数的模可以比较大小．
2．求复数 z1＝6＋8i 及 z2＝－12－ 2i 的模，并比较它们的 模的大小．
解析： ∵z1＝6＋8i，z2＝－12－ 2i， ∴|z1|＝ 62＋82＝10， |z2|＝ －122＋－ 22＝32. ∵10＞32，∴|z1|＞|z2|.
• A．4＋8i B．8＋2i • C．2＋4i D．4＋i • 解析： A(6,5)，B(－2,3) • ∵C为AB的中点 • ∴C(2,4) • ∴点C对应的复数为2＋4i • 故选C. • 答案： C
3．若 a－2i＝bi＋1(a，b∈R)，则 a2＋b2 等于________．
高中数学第四章数系的扩充与复数的引入1.1_1.2数的概念的扩展复数的有关概念一学案
1．1 数的概念的扩展1．2 复数的有关概念(一)学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一复数的概念及复数的表示思考为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．梳理复数及其表示(1)复数的定义①规定i2＝－1，其中i叫作虚数单位；②若a∈R，b∈R，则形如a＋b i的数叫作复数．(2)复数的表示①复数通常表示为z＝a＋b i(a，b∈R)；②对于复数z＝a＋b i，a与b分别叫作复数z的实部与虚部，并且分别用Re z与Im z表示，即a＝Re z，b＝Im z.知识点二 复数的分类(1)复数a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示知识点三 两个复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .1．若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( × ) 2．复数z ＝b i 是纯虚数．( × )3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( √ )类型一 复数的概念 例1 (1)给出下列命题： ①若z ∈C ，则z 2≥0； ②2i－1虚部是2i ； ③2i 的实部是0；④若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ⑤实数集的补集是虚数集． 其中真命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________． 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 (1)C (2)±2，5解析 (1)令z ＝i∈C ，则i 2＝－1<0，故①不正确； ②中2i －1的虚部应是2，故②不正确；④当a ＝0时，a i ＝0为实数，故④不正确． ∴只有③⑤正确．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b －2＝3，∴a ＝±2，b ＝5.反思与感悟 (1)复数的代数形式：若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分． (3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答． 跟踪训练1 下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ③实数集是复数集的真子集． 其中正确说法的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 B解析 对于①，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；对于②，若x ＝－2，则x2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0不是纯虚数，故②错误．显然③正确．故选B. 类型二 复数的分类例2 求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是(1)虚数；(2)纯虚数．考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数 解 (1)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0，解得m ≠－3且m ≠－2.∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数．(2)复数z 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2，故m ＝3.∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数． 引申探究1．若本例条件不变，求m 为何值时，z 为实数．解 由已知得，复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3，虚部为m 2＋5m ＋6. 复数z 是实数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3，故m ＝－2.∴当m ＝－2时，复数z 是实数．2．已知i 是虚数单位，m ∈R ，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i ，则当m ＝________时，z为纯虚数． 答案 3或－2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2－2m －15≠0，解得m ＝3或－2.反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 当实数m 为何值时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是 (1)纯虚数；(2)实数． 考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数解 (1)若复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2－2m －7)＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.故当m ＝4时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数． (2)若复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m ＝－3.故当m ＝－2或－3时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 为实数． 类型三 复数相等例 3 (1)已知x 0是关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0(m ∈R )的实根，则m 的值是________． 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案112解析 由题意，得x 20－(2i －1)x 0＋3m －i ＝0， 即(x 20＋x 0＋3m )＋(－2x 0－1)i ＝0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋x 0＋3m ＝0，－2x 0－1＝0，解得m ＝112.(2)已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值． 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数解 由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－1.反思与感悟 (1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不成立．(2)利用条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．跟踪训练3 复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________. 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数答案 5解析 因为m ∈R ，z 1＝z 2，所以(2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋7＝m 2－8，m 2－2＝4m ＋3，解得m ＝5.1．若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( ) A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案 B解析 由i 2＝－1，得x i －i 2＝1＋x i ，则由题意得1＋x i ＝y ＋2i ，根据复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i.2．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( ) A ．－1B ．2C ．1D ．－1或2 考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数 答案 D解析 因为复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数， 所以m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2. 3．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－a i(a ∈R )是一个复数； ④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ； ⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数． 其中真命题的个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 考点 复数的概念题点 复数的概念及分类 答案 B解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．4．已知复数z ＝a 2＋(2a ＋3)i(a ∈R )的实部大于虚部，则实数a 的取值范围是_________． 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 由已知可得a 2>2a ＋3，即a 2－2a －3>0， 解得a >3或a <－1，因此，实数a 的取值范围是{a |a >3或a <－1}．5．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________． 考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数 答案 －2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2－3x －2)>1，log 2(x 2＋2x ＋1)＝0，得x ＝－2.1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.一、选择题1．设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 B解析 因为a ，b ∈R ，当a ＝0时，复数a ＋b i 不一定是纯虚数，也可能b ＝0，即a ＋b i ＝0∈R . 而当复数a ＋b i 是纯虚数，则a ＝0一定成立．所以a ，b ∈R ，a ＝0是复数a ＋b i 是纯虚数的必要不充分条件．2．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( ) A ．2－2i B ．－5＋5i C ．2＋iD.5＋5i考点 复数的概念 题点 求复数的实部和虚部 答案 A解析 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知复数－5＋2i 的虚部为2，复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A. 3．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y的值为( )A.12B ．2C ．0D ．1 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案 D解析 由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0，∴2x ＋y＝20＝1.4．下列命题中：①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集； ③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3. 正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 A解析 ①取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故①错；②③错，故选A. 5．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z )C ．2k π±π4(k ∈Z )D.k 2π＋π4(k ∈Z )考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数 答案 B解析 由题意，得⎩⎨⎧sin2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π4，θ≠2k π±3π4，k ∈Z ，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z .6．若复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为( )A ．7B ．－17C ．－7D ．－7或－17考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数 答案 C解析 ∵复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35i 是纯虚数，∴cos θ－45＝0，sin θ－35≠0，∴sin θ＝－35，∴tan θ＝－34，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7.7．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( ) A ．3＋i B ．3－i C ．－3－i D ．－3＋i考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案 B解析 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1.∴z ＝3－i ，故选B.二、填空题8．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数 答案 －2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，得m ＝－2.9．已知z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i.则m ＝1是z 1＝z 2的______________条件． 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案 充分不必要解析 当z 1＝z 2时，必有m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，显然m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．10．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________． 考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数 答案 0或1解析 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ， 所以m 2－m ＝0，解得m ＝0或1.11．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 不是纯虚数，则实数a 的取值范围是________________． 考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数 答案 (－∞，－1)∪(－1，＋∞)解析 若复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 是纯虚数，则a 2－2a －3＝0，|a －2|－1≠0，解得a ＝－1，∴当a ≠－1时，复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 不是纯虚数． 12．已知log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，且n ∈N ＋，则m ＋n ＝________.考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数 答案 1或2解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ log 12(m ＋n )≥－1， ①－(m 2－3m )＝0， ②由②，得m ＝0或m ＝3.当m ＝0时，由log 12(m ＋n )≥－1，得0<n ≤2，∴n ＝1或n ＝2.当m ＝3时，由log 12(m ＋n )≥－1，得0<n ＋3≤2，∴－3<n ≤－1，即n 无自然数解．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝2.故m ＋n 的值为1或2.三、解答题13．当实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数解 (1)要使z 是实数，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3. (2)要使z 是虚数，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －3≠0，m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m (m ＋2)m －1＝0，m 2＋2m －3≠0，m －1≠0，解得m ＝0或m ＝－2.四、探究与拓展14．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，求实数x ，y 的值． 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数解 由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ， 故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2. 15．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}满足(M ∩N )⊆M ，且M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．考点 复数相等题点 由复数相等求参数解 由题意，得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，①或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ，②或(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.③由①，得a ＝－3，b ＝±2，由②，得a ＝±3，b ＝－2，③中，a ，b 无整数解，不符合题意．综上，a ＝－3，b ＝2或a ＝－3，b ＝－2或a ＝3，b ＝－2.。
高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入 1.2 复数的有关概念课后演练
2016-2017学年高中数学第四章数系的扩充与复数的引入1 数系的扩充与复数的引入1.2 复数的有关概念课后演练提升北师大版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第四章数系的扩充与复数的引入1 数系的扩充与复数的引入1.2 复数的有关概念课后演练提升北师大版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第四章数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入 1.2 复数的有关概念课后演练提升北师大版选修1-2一、选择题1．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析: ∵错误!＜2＜π,∴sin 2＞0，cos 2＜0,∴点(sin 2,cos 2）在第四象限．答案: D2．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z｜的取值范围是（）A．(1，5）B．(1，3)C．(1，错误!) D．（1，错误!)解析：由题意得z＝a＋i，∴|z｜＝错误!。
∵0＜a＜2,∴1＜a2＋1＜5，∴1＜|z｜＜ 5.答案：C3．下列四个式子中，正确的是( ）A．4i>3 B．｜2＋3i｜〉|2－3i｜C．|2＋i|〉2i4D．i2>－i解析: 不全是实数的复数不能比较大小,故A、D都错．∵|2＋3i｜＝错误!,｜2－3i|＝错误!，∴B错．∵|2＋i|＝错误!>2i4＝2，∴C对．答案：C4．在复平面内，O为原点，向量OA→对应的复数为－1－2i，点A关于直线y＝－x的对称点为B,则向量OB→对应的复数为( ）A．－2－i B．2＋iC．1＋2i D．－1＋2i解析： 点A (－1，－2），关于直线y ＝－x 的对称点为B (2，1)，则向量OB ，→对应的复数为2＋i.答案: B二、填空题5．设z ＝log 2(m 2－3m －3)＋i·log 2（m －3）（m ∈R ），若z 对应的点在直线x －2y ＋1＝0上，则m 的值是________．解析： log 2（m 2－3m －3）－2log 2（m －3)＋1＝0， log 2m 2－3m －3m －32＝－1, 错误!＝错误!,m ＝±错误!，而m >3，∴m ＝错误!.答案： 156．若复数(k －3)－(k 2－4)i 所对应的点在第三象限,则k 的取值范围是________．解析: 由题意可得错误!,∴k ＜－2或2＜k ＜3。
北京市2016-2017学年高中数学北师大版选修1-2学案：4.1 数系的扩充与复数的引入 Word版含解析
§1 数系的扩充与复数的引入 1．1 数的概念的扩展 1．2 复数的有关概念1．了解引入虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程．2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．(重点) 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．(易混点) 4．理解复数的几何表示．(难点)[基础·初探]教材整理1 复数的有关概念及分类 阅读教材P 73部分，完成下列问题． 1．复数的有关概念 (1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫作复数，其中a ，b ∈R ，i 叫作虚数单位．a 叫作复数的实部，b 叫作复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i. (2)复数集①定义：复数的全体组成的集合叫作复数集． ②表示：通常用大写字母C 表示． 2．复数的分类及包含关系 (1)复数a ＋b i ，a ，b ∈R . ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎨⎧纯虚数(a ＝0)，非纯虚数(a ≠0).(2)集合表示：图4-1-1判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数．( ) (3)b i 是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 教材整理2 复数的有关概念阅读教材P 74“1.2复数的有关概念”以下至P 75“练习”以上部分，完成下列问题．1．两个复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 当且仅当a ＝c ，且b ＝d . 2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )； (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→一一对应复平面向量OZ →＝(a ，b )． 3．复数的模设复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点是Z (a ，b )，点Z 到原点的距离|OZ |叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，且|z |＝a 2＋b 2.如果(x ＋y )i ＝x －1，则实数x ，y 的值分别为( ) A ．x ＝1，y ＝－1B ．x ＝0，y ＝－1C ．x ＝1，y ＝0D ．x ＝0，y ＝0【解析】 ∵(x ＋y )i ＝x －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －1＝0，∴x ＝1，y ＝－1. 【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________[小组合作型]复数的概念与分类(1)若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．±1D ．－1或－2(2)已知复数z ＝a ＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为________．(3)当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m )i 为：①实数？②虚数？③纯虚数？【精彩点拨】 依据复数的分类标准，列出方程(不等式)组求解． 【自主解答】 (1)∵(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.由x 2－1＝0，得x ＝±1，又由x 2＋3x ＋2≠0，得x ≠－2且x ≠－1，∴x ＝1.(2)∵z 是实数，∴a 2－1＝0，∴a ＝±1. 【答案】 (1)B (2)±1(3)①当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．②当m 2－2m ≠0，且m ≠0， 即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．③当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0.[再练一题]1．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠bD ．a >0且a ＝±b【解析】 要使复数z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，a ＋|a |≠0，∴a >0，a ＝±b .故选D. 【答案】 D复数相等(1)下列命题： ①若a ＋b i ＝0，则a ＝b ＝0；②x ＋y i ＝2＋2i ⇔x ＝y ＝2；③若y ∈R ，且(y 2－1)－(y －1)i ＝0，则y ＝1. 其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)已知x ，y ∈R ，(x ＋2y －1)＋(x －3y ＋4)i ＝10－5i ，求x ，y . 【精彩点拨】 根据复数相等的充要条件求解．【自主解答】 (1)命题①②中未明确a ，b ，x ，y 是否为实数，从而a ，x 不一定为复数的实部，b ，y 不一定是复数的虚部，故命题①②错误；命题③中，y ∈R ，从而y 2－1，－(y －1)是实数，根据复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 2－1＝0，－(y －1)＝0，∴y ＝1，故③正确． 【答案】 B(2)因为x ，y ∈R ，所以(x ＋2y －1)，(x －3y ＋4)是实数，所以由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝10，x －3y ＋4＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4. 所以x ＝3，y ＝4.1．复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，其中a ，b ，c ，d ∈R ，则z 1＝z 2⇔a ＝c 且b ＝d .2．复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．转化过程主要依据复数相等的充要条件．基本思路是：(1)等式两边整理为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式；(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组； (3)解方程组，求出相应的参数．[再练一题]2．(1)(2016·重庆高二检测)若(x －y )＋(2x －3)i ＝(3x ＋y )＋(x ＋2y )i(其中x ，y 为实数)，则x ＝________，y ＝________.(2)已知(2x ＋8y )＋(x －6y )i ＝14－13i ，则xy ＝________. 【解析】 (1)由复数相等的意义得 ⎩⎨⎧ x －y ＝3x ＋y ，2x －3＝x ＋2y ，所以⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1. (2)由复数相等的意义，得 ⎩⎨⎧ 2x ＋8y ＝14，x －6y ＝－13，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2. 所以xy ＝－2.【答案】 (1)1 －1 (2)－2[探究共研型]复数的几何意义探究1 若向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，如何求OZ →1＋OZ →2对应的复数？ 【提示】 因为向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，所以OZ →1＝(5，－4)，OZ →2＝(－5,4)，所以OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ →1＋OZ →2对应的复数是0. 探究2 若复数(a ＋1)＋(a －1)i(a ∈R )在复平面内对应的点P 在第四象限，则a 满足什么条件？【提示】 a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，a －1＜0，即－1＜a ＜1.(1)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( ) A ．－ 3B.3iC ．±3iD ．±3(2)求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们模的大小． 【精彩点拨】 (1)设出复数z 的虚部，由模的公式建立方程求解． (2)用求模的公式直接计算．【自主解答】 (1)设复数z 的虚部为b ，∵|z |＝2，实部为1，∴1＋b 2＝4，∴b ＝±3，选D.【答案】 D(2)因为z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ， 所以|z 1|＝62＋82＝10，|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋(－2)2＝32.因为10>32，所以|z 1|>|z 2|.1．复数集和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可以根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．2．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．3．两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．[再练一题]3．(1)复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是________．(2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．【解析】 (1)因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA→与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)，又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB→表示的复数是－6－8i. 【答案】 －6－8i (2)∵z ＝3＋a i(a ∈R )，|z |＝ 32＋a 2，由已知得32＋a 2<4，∴a 2<7，∴a ∈(－7， 7)．[构建·体系]1．给出下列三个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②2i －1的虚部是2i ；③2i 的实部是0.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 复数的平方不一定大于0，故①错误；2i －1的虚部为2，故②错误；2i 的实部是0，③正确，故选B.【答案】 B2．已知复数z ＝2－3i ，则复数的模|z |等于( ) A ．5 B ．8 C ．6D ．11【解析】 |z |＝(2)2＋(－3)2＝11.【答案】 D3．下列命题正确的是__________(填序号)．①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋2i 的充要条件是x ＝1，y ＝2； ②若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ③实数集的补集是虚数集．【解析】 ①由于x ，y 都是复数，故x ＋y i 不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．②当a ＝0时，a i ＝0为实数，故②为假命题． ③由复数集的分类知，③正确，是真命题． 【答案】 ③4．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．【解析】 ∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3－x ＜0，解得x ＞3. 【答案】 (3，＋∞)5．已知复数z ＝(m 2＋3m ＋2)＋(m 2－m －6)i ，则当实数m 为何值时，复数z 【导学号：67720023】(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数． 【解】 z ＝(m 2＋3m ＋2)＋(m 2－m －6)i.(1)令m 2－m －6＝0⇒m ＝3或m ＝－2，即m ＝3或m ＝－2时，z 为实数． (2)令m 2－m －6≠0，解得m ≠－2且m ≠3，所以m ≠－2且m ≠3时，z 是虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m ＋2＝0，m 2－m －6≠0，解得m ＝－1，所以m＝－1时，z是纯虚数．我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·泰安高二检测)－(2－2i)的虚部是()A．－2B．－ 2C. 2 D．2【解析】∵－(2－2i)＝－2＋2i，∴其虚部是 2.【答案】 C2．(2016·青岛高二检测)在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵sin 2>0，cos 2<0，∴复数z对应的点(sin 2，cos 2)在第四象限．故选D.【答案】 D3．(2016·肇庆高二检测)若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝() A．－2＋i B．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i【解析】 由i 2＝－1，得x i －i 2＝1＋x i ，则由题意得1＋x i ＝y ＋2i ，根据复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i.【答案】 B4．已知复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2，且a ≠1 C ．a ＝0D ．a ＝2或a ＝0【解析】 由题意，得a 2－2a ＝0，得a ＝0或a ＝2.故选D. 【答案】 D5．如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( ) A ．－34＋i B.34－i C ．－34－iD ．34＋i【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝34，b ＝1，即z ＝34＋i.【答案】 D 二、填空题6．设i 为虚数单位，若复数z ＝(m 2＋2m －3)＋(m －1)i 是纯虚数，则实数m ＝__________.【解析】 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3.【答案】 －37．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是__________． 【解析】 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，所以所求的复数是3－3i.【答案】 3－3i8．复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________． 【解析】 ∵|z |＝3， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．【答案】 以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆 三、解答题9．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时；(1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z ＝12－4i? 【解】 (1)∵z ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3， ∴当m ＝－3时，z ∈R . (2)∵z 是虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠1且m ≠－3，m ≠1，∴当m ≠1且m ≠－3时，z 是虚数． (3)∵z 是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m (m ＋2)m －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠1且m ≠－3，m ＝0或m ＝－2，∴当m ＝0或m ＝－2时，z 是纯虚数． (4)∵z ＝12－4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋2)m －1＝12，m 2＋2m －3＝－4，即⎩⎨⎧m ＝－1或－12，m ＝－1，∴m ＝－1时，z ＝12－4i.10．已知O 为坐标原点，OZ →1对应的复数为－3＋4i ，OZ →2对应的复数为2a＋i(a ∈R )．若OZ →1与OZ →2共线，求a 的值． 【解】 因为OZ →1对应的复数为－3＋4i ，OZ →2对应的复数为2a ＋i ，所以OZ→1＝(－3,4)，OZ →2＝(2a,1)．因为OZ →1与OZ →2共线，所以存在实数k 使OZ →2＝kOZ →1，即(2a,1)＝k (－3,4)＝(－3k,4k )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，a ＝－38，即a 的值为－38.[能力提升]1．若复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为( ) A ．－7 B ．－17 C ．7D ．－7或－17【解析】 ∵复数z 是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－35＝0，cos θ－45≠0，∴sin θ＝35且cos θ≠45，∴cos θ＝－45.∴tan θ＝sin θcos θ＝－34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7，故选A. 【答案】 A2．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°，且复数z 的模为2，则复数z 为( )A ．1＋3iB ．2C ．(－1, 3)D ．－1＋3i【解析】 设复数z 对应的点为(x ，y )，则 x ＝|z |·cos 120°＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y ＝|z |·sin 120°＝2×32＝3，∴复数z 对应的点为(－1, 3)，∴z ＝－1＋3i. 【答案】 D3．复数z ＝－5－12i 在复平面内对应的点到原点的距离为__________． 【解析】 复数z ＝－5－12i 在复平面内对应点Z (－5，－12)，所以点Z 与原点O 的距离为|OZ |＝(－5)2＋(－12)2＝13.【答案】 134．若m 为实数，z 1＝(m 2＋1)＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝(4m ＋2)＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 的值的集合又是什么？ 【导学号：67720024】【解】 当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0， 解得m ＝0或m ＝－1或m ＝－2， ∴z 1＝1或z 1＝2或z 1＝5. 当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0， 解得m ＝0或m ＝1或m ＝4，∴z2＝2或z2＝6或z2＝18.上面m的公共值为m＝0，此时，z1与z2同时为实数，且z1＝1，z2＝2. ∴当z1>z2时，m值的集合为空集；当z1<z2时，m值的集合为{0}．。
高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 4.1 数系的扩充与复数的引入 4.1.1 数的概念的扩展
4.1.1数的概念的扩展自主整理1.把平方等于-1的数用符号i 表示,规定i 2=-1,把i 叫作____________.2.形如a+bi 的数叫作____________(a 、b 是实数, i 是虚数单位).记作z=a+bi(a 、b∈R ).3.对于复数z=a+bi,a 与b 分别叫作复数z 的__________与__________,并且分别用__________与__________表示,即a=__________,b=_________.4.复数的全体组成的集合叫作__________,记作__________,显然,_______________.5.z=a+bi 中,当__________时,z 为实数;当b≠0时,z 为虚数;当a=0,b≠0时,z 为纯虚数. 高手笔记1.数集之间的包含关系:N Z Q R C .可用图示表示:2.复数的分类:复数a+bi ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠=≠=).0(),0()0(),0(a a b b 非纯虚数纯虚数虚数实数 3.复数a+bi=0的充要条件为a=b=0.4.复数z=a+bi(a 、b∈R )的实部、虚部分别是a 、b,而虚部不是bi名师解惑如何判断含有参变量的复数是实数,虚数,纯虚数?剖析：对于复数z=a+bi 何时为实数,虚数,纯虚数?应按定义来加以判断.首先,应看a 、b 取值是a∈R ,b∈R ,还是a∈C ,b∈C .若a∈R 、b∈R ,则a 为实部,b 为虚部;若a∈C ,b∈C ,则还应进一步进行运算求得z 的实部、虚部.其次注意纯虚数应满足两条,即实部为0,虚部不为0.特别是虚部不为0,易漏掉而出错. 讲练互动【例1】指出下列各数中,哪些为实数,哪些为虚数,哪些为纯虚数. 3+2,97,31i,0,i,i 4,3i-2,1041-i,i(3-5),πi2,2-2i. 解：实数有3+2,97,0, i 4,πi2; 虚数有3i-2,1041-i,2-2i,3i , i, i (3-5); 纯虚数有31i, i, i (3-5). 绿色通道把握复数的实部、虚部的概念及实数、虚数、纯虚数的定义,作出正确的分类. 变式训练1.指出下列复数的实部和虚部.21-i,3+5i,(2+3)i,-i 2,πi-1,0,5+7. 解:21-i 的实部为21,虚部为-1; 3+5i 的实部为3,虚部为5; (2+3)i 的实部为0,虚部为2+3;-i 2的实部为1,虚部为0;πi-1的实部为-1,虚部为π;0的实部为0,虚部为0; 5+7的实部为5+7,虚部为0.【例2】实数k 为何值时,复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i 分别是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零?分析：根据复数的分类,弄清一个复数满足什么条件分别为实数、虚数、纯虚数,分清复数的实部、虚部.解：(1)当k 2-5k-6=0,即k=6或k=-1时,复数z 为实数.(2)当k 2-5k-6≠0,即k≠6且k≠-1时,复数z 为虚数.(3)当⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--)2(,065)1(,04322k k k k由①得k=4或k=-1.由②得k≠6且k≠-1,∴当k=4时,z 为纯虚数.(4)当⎪⎩⎪⎨⎧=--=--,065,04322k k k k 即k=-1时,z=0. 绿色通道由复数z 的实部、虚部的取值来确定复数z 是实数、虚数、纯虚数.在解题时关键是确定z 的实部、虚部,并要注意纯虚数的概念满足两条:实部为零,虚部不为零.变式训练2.实数m 为何值时,复数z=3542+--m m m +(m 2-2m-15)i(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数;(4)是零?解:(1)当⎩⎨⎧-≠=--,3,01522m m m即⎩⎨⎧-≠-==,3,35m m m 或 即m=5时,z 为实数.(2)当⎩⎨⎧-≠≠--,3,01522m m m即⎩⎨⎧-≠-≠≠,3,35m m m 且 ∴m≠5且m≠-3时,z 为虚数.(3)当⎪⎩⎪⎨⎧≠--=+--②m m ①m m m ,0152,035422由①得m=5或m=-1且m≠-3,即m=5或m=-1;由②得m≠5且m≠-3.∴当m=-1时,z 为纯虚数.(4)当⎪⎩⎪⎨⎧≠--=+--②m m ①m m m ,0152,035422由①得m=5或m=-1且m≠-3,由②得m=5或m=-3.∴当m=5时,z 为零.【例3】复数z=log 2(x 2-5x+4)+ ilog2(x-3),当x 为何实数时,(1)z∈R ;(2)z 为虚数;(3)z为纯虚数?分析：依照复数分类求解此题,但要注意对数函数本身的要求.解:(1)当⎩⎨⎧=->+-,0)3(log ,04522x x x 即⎩⎨⎧=<>,4,14x x x 或 ∴无解.∴不存在x 使z∈R .(2)z 为虚数,则⎩⎨⎧≠->+-.0)3(log ,04522x x x∴⎪⎩⎪⎨⎧≠><>.4,3,14x x x x 或∴x>4当x>4时,z 为虚数.(3)当⎪⎩⎪⎨⎧≠->-=+-)3(,13)2(,03)1(,1452x •x x x 由①得x=2135+或x=2135-,由②得x>3,由③得x≠4,∴当x=2135+时,z 为纯虚数. 绿色通道本题考查了复数的分类及对数函数的定义域,解决此类题时,既要注意复数概念的要求,又要注意实数x 的范围.变式训练3.设复数z=lg (m 2-2m-2)+(m 2+3m+2) i,m∈R .当m 为何值时,z 是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数?解:(1)当⎪⎩⎪⎨⎧=++>--②m m ①m m ,023,02222由②得m=-1或m=-2都满足①.∴当m=-2或m=-1时,z 为实数.(2)当⎪⎩⎪⎨⎧≠++>--②m m ①m m ,023,02222由①得m>1+3或m<1-3,由②得m≠-1且m≠-2.∴当m>1+3或m<1-3m≠-1且m≠-2时,z 为虚数.(3)当⎪⎩⎪⎨⎧≠++=--②m m ①•m m ,023,0)22lg(22由①得m=3或m=-1,由②得m≠-1且m≠-2,∴当m=3时,z 为纯虚数.。
高中数学 第四章 数系的扩充与复 数的引入(3课时)北师大版选修12
【金学案】2015年春高中数学第四章数系的扩充与复数的引入（3课时）北师大版选修1-2知识点新课程标准的要求层次要求领域目标要求数系的扩充和复数的概念1.在问题情境中认识数系的扩充过程,体会在数系扩充中数学与实际需求的作用与关系2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件3.了解复数的代数表示法及其几何意义复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充,要在问题情境中体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维在数系扩充中的作用以及数与现实世界的联系,了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性,了解复数的一些基础知识复数的四则运算能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义1.结合小学、初中所学过的数,思考数系不断扩充的过程.2.回忆向量的有关知识,尝试建立向量与复数的关系.3.阅读本章后面的“阅读材料”,并收集有关资料,了解数系的发展史,深入认识数学的发展规律.4.选择适合的教学方式.5.把握新《标准》,落实新“双基”.第1课时数系的扩充和复数的概念1.了解引进复数的必要性,理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的代数形式,复数虚部与实部.3.实数集、复数集、虚数集与纯虚数集的关系.重点:掌握复数的实部与虚部;实数、复数、虚数、纯虚数与复数的代数形式的实部、虚部的关系;两复数相等的充要条件.难点:体会复数问题实数化的过程.由于解方程的需要推动了数的发展,为了使类似x+5=3的方程有解,引入了负数;为了使类似5x=3的方程有解,引入了分数;为了使类似x2=3的方程有解,引入了无理数.但引入无理数后,类似x2=-1的方程在实数范围内仍然没解.问题1:为了得到方程x2=-1的解,需引入虚数单位i,试给出虚数单位i的定义?虚数单位i满足它的平方等于-1,即i2= -1.问题2:(1)复数:形如a+b i(a,b∈R)的数叫作复数.(2)复数集:全体复数所成的集合叫作复数集,用字母C表示.(3)复数的代数形式:复数通常用字母z表示,把复数表示成a+b i(a,b∈R)的形式,其中a与b分别叫作复数的实部与虚部.(4)两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果a、b、c、d∈R,那么a+b i=c+d i⇔a=c,b=d.问题3:复数z=a+b i(a,b∈R),当b=0时,复数z是实数;当b≠0时,复数z是虚数;当时,复数z是纯虚数.问题4: 两复数可不可以比较大小?当两复数是实数时,两复数可以比较大小;当两复数有一个是虚数时,两复数不能比较大小,只能分析两复数相不相等.“复数”“虚数”这两个名词,都是人们在解方程时引入的.为了用公式求一元二次、三次方程的根,就会遇到求负数的平方根的问题.1545年,意大利数学家卡丹诺在《大术》一书中,首先研究了虚数,并进行了一些计算.1.“a=0”是“复数a+b i(a,b∈R)为纯虚数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】a=0时,a+b i(a,b∈R)可能为纯虚数,也可能为0;a+b i为纯虚数时,a=0.所以答案为B.【答案】B2.复数z=-3-10i的实部是().A.3B.-3C.-10iD.10【解析】复数z=-3-10i的实部是-3.【答案】B3.若复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则z1=z2的充要条件是.【解析】z1=z2,则它们的实部与虚部分别相等,即a=c且|b|=|d|.【答案】a=c且b2=d2(或写成a=c且|b|=|d|)4.判断下列命题的真假:(1)-1的平方根只有一个;(2)i是1的4次方根;(3)i是方程x6-1=0的根;(4)方程x3-x2+x-1=0的根只有一个.【解析】(1)∵(-i)2=i2=-1,∴-i也是-1的平方根,故(1)为假命题.(2)∵i2=-1,∴i4=i2·i2=(-1)2=1,故(2)为真命题.(3)i6-1=i2·i2·i2-1=(-1)3-1=-2≠0,故(3)为假命题.(4)由x3-x2+x-1=0得(x2+1)(x-1)=0,则x2=-1或x=1,即x=±i或x=1都是方程x3-x2+x-1=0的根,故(4)为假命题.对复数概念的理解已知下列命题:①复数a+b i不是实数;②两个复数不能比较大小;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,其中x∈R,则x=±2;④若复数z=a+b i,则当且仅当b≠0时,z为虚数;⑤若a+b i=c+d i,则a=c且b=d.其中真命题的个数是().A.0B.1C.3D.4【方法指导】根据复数的有关概念来判断命题的真假.【解析】①是假命题,因为当a∈R且b=0时,a+b i是实数.②是假命题,因为两个复数都是实数时,可以比较大小.③是假命题,因为由纯虚数的条件得解得x=2.④是假命题,因为没有强调a,b∈R.⑤是假命题,因为没有强调,a,b,c,d∈R这一重要条件,故选A.【答案】A【小结】对于概念的理解注意一些小细节,比如a+b i中要求a∈R,b∈R.复数概念的应用z=+(m2+5m+6)i,当实数m为何值时,(1)z是实数;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数?【方法指导】根据复数的分类方式将问题转化为求实部和虚部应满足什么条件.【解析】(1)若z是实数,则得m=-2.(2)若z是虚数,则得m≠-2且m≠-3且m∈R.(3)若z是纯虚数,则得m=3.【小结】①本题考查复数集的分类,给出的是复数的标准代数形式即z=a+b i(a,b∈R),若不然,应先将其化为标准形式,再根据满足的条件去解;②解题中应时刻注意使式子有意义.复数相等的充要条件(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,y∈R,求x与y.(2)设z1=1+sin θ-icos θ,z2=+(cos θ-2)i,若z1=z2,求θ.【方法指导】确定两复数的实部与虚部,利用两复数相等的定义列方程组,解方程组.【解析】(1)根据复数相等的充要条件,得方程组解得(2)由已知,得故解得θ=2kπ(k∈Z).【小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法,转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是:①等式两边整理为a+b i(a,b∈R)的形式;②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;③解方程组,求出相应的参数.下列命题中正确的有.①若z=a+b i(a,b∈R),则当a=0,b≠0时,z为纯虚数;②若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;③若实数a与a i对应,则实数集与纯虚数集一一对应.【解析】①正确.②错误,只有当z1,z2,z3∈R时才成立;若z1=1,z2=0,z3=i也满足题意.③错误,若a=0,则0·i=0不再是纯虚数.【答案】①复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时:(1)z∈R;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数?【解析】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为零,所以有由②得x=4,经验证满足①.所以当x=4时,z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部非零,所以有解得即<x<4或x>4.所以当<x<4或x>4时,z为虚数.(3)因为一个复数是纯虚数时其实部为零且虚部不为0,所以有解得方程无解,所以复数z不可能是纯虚数.关于a的方程是a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,若方程有实数根,求锐角θ和实数根.【解析】设实数根是a,则a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,∵a,tan θ∈R,∴∴a=-1且tan θ=1,又0<θ<,∴θ=,a=-1.1.设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论中正确的是().A.A∪B=CB.∁S A=BC.A∩(∁S B)=⌀D.B∩(∁S A)=B【答案】D2.如果复数z=(a2-3a+2)+(a-1)i为纯虚数,则实数a的值为().A.1或2B.1C.2D.不存在【解析】由a2-3a+2=0和a-1≠0,得a=2.【答案】C3.已知复数z=3-2i,则复数z的实部与虚部的积是.【解析】z=3-2i的实部和虚部分别为3,-2,故答案为-6.【答案】-64.实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第四象限;(2)在x轴的负半轴上?【解析】(1)由已知得∴∴-7<m<3.∴当m∈(-7,3)时,z对应的点在第四象限.(2)由已知得解得m=4,即m=4时,z对应的点在x轴的负半轴上.(2013年·上海卷)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m= .【解析】∵m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,∴∴m=-2.【答案】-21.复数z=-2+3i的虚部是().A.-2B.2C.3D.3i【解析】复数z=-2+3i的虚部是3.【答案】C2.若复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足().A.x=-B.x=-2或-C.x≠-2D.x≠1且x≠-2【解析】由题意得x2+x-2≠0,∴x≠1且x≠-2.【答案】D3.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合N={-1,3},若M∩N={3},则实数m的值为.【解析】由题设知3∈M,∴m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3.∴即∴m=-1.【答案】-14.设复数z=ab+(a2+b2)i(a、b∈R),a、b分别满足什么条件时,z是实数、虚数、纯虚数?【解析】当a、b同时为0时,z为实数;当a、b不全为0时,z是虚数;当a、b有且仅有一个为0时,z为纯虚数.5.如果(x+y)i=x-1,则实数x、y的值分别为().A.x=1,y=-1B.x=0,y=-1C.x=1,y=0D.x=0,y=0【解析】根据复数相等的充要条件,可知解得【答案】A6.下列命题中,正确命题的个数是().①若x,y∈C,则x+y i=1+i的充要条件是x=y=1;②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;③若x2+y2=0,则x=y=0;④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零;⑤-1没有平方根;⑥若a∈R,则(a+1)i是纯虚数.A.0B.1C.2D.3【解析】由于x,y∈C,所以x+y i不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,①是假命题.由于两个虚数不能比较大小,∴②是假命题.当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,∴③是假命题.因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故④错.因为-1的平方根为±i,故⑤错.当a=-1时,(a+1)i是实数0,故⑥错.【答案】A7.复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,则复数z的虚部为.【解析】复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,∴∴∴a=-3,∴a2-1=8,∴复数z的虚部为8.【答案】88.已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时:(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数;(4)z=+4i?【解析】(1)m需满足解得m=-3.(2)m需满足m2+2m-3≠0且m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)m需满足解得m=0或m=-2.(4)m需满足解得m∈⌀.9.已知m、n∈R,复数z1=m2+2n-3+(m+n)i,z2=2m-3n+2+(2m-n)i,若z1=z2,则m+n= .【解析】∵z1=z2,∴∴∴n=1或n=-,m+n=3n,∴m+n的值为3或-.【答案】3或-10.已知复数z1=sin 2x+λi,z2=m+(m-cos 2x)i(λ,m,x∈R),且z1=z2.若λ=0且0<x<π,求x的值.【解析】∵z1=z2,∴∴λ=sin 2x-cos 2x.若λ=0,则sin 2x-cos 2x=0,得tan 2x=.∵0<x<π,∴0<2x<2π,∴2x=或2x=,∴x=或.第2课时复数代数形式的加减运算及其几何意义1.理解复数代数形式的加减运算规律.2.复数的加减与向量的加减的关系.重点:正确理解复数的加减运算,复数加减运算的几何意义.难点:对比复数加减法与向量加减法的异同,从而理解复数的几何意义.实数可以进行加减运算,并且具有丰富的运算律,其运算结果仍是实数;多项式也有相应的加减运算和运算律;对于引入的复数,其代数形式类似于一个多项式,当然它也应有加减运算,并且也有相应的运算律.问题1:依据多项式的加法法则,得到复数加法的运算法则.设z1=a+b i,z2=c+d i是任意两个复数,那么(a+b i)+(c+d i)= (a+c)+(b+d)i,很明显,两个复数的和仍然是一个确定的复数.问题2: 复数的加法满足交换律、结合律.即z1+z2= z2+z1,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3).问题3:利用向量加法讨论复数加法的几何意义向量加法遵循平行四边形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相加.故复数相加就是实部与虚部分别相加得到一个新的复数.问题4:如何理解复数的减法?复数减法是复数加法的逆运算.向量减法遵循三角形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相减.故复数相减就是实部与虚部分别相减得到一个新的复数.十八世纪末十九世纪初,著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理“任何一元n次方程在复数集内有且仅有n个根”时,就应用并论述了卡尔丹所设想的新数,并首次引进了“复数”这个名词,把复数与平面内的点一一对应起来,创立了复平面,依赖于平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.这样历经300年的努力,数系从实数系到复数系的扩张才基本完成,复数才被人们广泛承认和使用.1.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】(3-4i)-(-2+3i)=5-7i.【答案】D2.(2-i)+(3+i)+(4+i)+(5+i)-i(其中i为虚数单位)等于().A.10B.10+2iC.14D.14+2i【解析】(2-i)+(3+i)+(4+i)+(5+i)-i=2+3+4+5+(-+1++-)i=14.【答案】C3.复数z1=9+3i,z2=-5+2i,则z1-z2= .【解析】z1-z2=(9+3i)-(-5+2i)=14+i.【答案】14+i4.已知复数z1=7-6i,z1+z2=-4+3i.(1)求z2;(2)求z1-2z2.【解析】(1)z2=(z1+z2)-z1=(-4+3i)-(7-6i)=-11+9i.(2)z1-2z2=(7-6i)-2(-11+9i)=7-6i+22-18i=29-24i.复数代数形式的加减法运算(1)z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2;(2)计算:(+i)+(2-i)-(-i);(3)计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2012+2013i)+(2013-2014i).【方法指导】依据复数代数形式的加减运算法则以及运算律求解.【解析】(1)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.(2)+i+(2-i)-(-i)=(+2-)+(-1+)i=1+i.(3)(法一)原式=[(1-2)+(3-4)+…+(2011-2012)+2013]+[(-2+3)+(-4+5)+…+(-2012+2013)-2014]i=(-1006+2013)+(1006-2014)i=1007-1008i.(法二)(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,(2011-2012i)+(-2012+2013i)=-1+i,将以上各式(共1006个)相加可知:原式=1006(-1+i)+(2013-2014i)=1007-1008i.【小结】几个复数相加减,运算法则为这些复数的所有实部相加减,所有虚部相加减.第(3)小题的解法一是从整体上把握,将计算分实部和虚部进行,有机构造特殊数列的和进而求得结果.解法二是从局部入手,抓住了式中相邻两项和的特点,恰当地分组使计算得以简化.复数代数形式加减运算的几何意义在复平面内,A、B、C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求D点对应的复数z4及AD的长.【方法指导】根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.【解析】如图所示:对应复数z3-z1,对应复数z2-z1,对应复数z4-z1.由复数加减运算的几何意义得=+,∴z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),∴z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i,∴AD的长为||=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2.【小结】利用向量进行复数的加减运算时,同样满足平行四边形法则和三角形法则.复数加减法运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.复数加减运算的综合应用已知实数a>0,b>0,复数z1=a+5i,z2=3-b i,|z1|=13,|z2|=5,求z1+z2.【方法指导】利用两复数的模,可求得a,b的值,再求z1+z2.【解析】由题意得∴∴z1=12+5i,z2=3-4i,∴z1+z2=15+i.【小结】本题结合了复数的模与复数的加法,表面看着难,其实难度不大.复数z1=2+3i,z2=4-5i,z3=-6i,求z1+z2-z3,并说明z1+z2-z3在复平面内对应的点所在的象限.【解析】z1+z2-z3=(2+3i)+(4-5i)-(-6i)=6+4i,z1+z2-z3在复平面内对应的点为(6,4),在第一象限.如图所示,平行四边形OABC的顶点O、A、C分别表示0、3+2i、-2+4i.求:(1)表示的复数;(2)表示的复数;(3)表示的复数.【解析】(1)因为=-,所以表示的复数为-3-2i.(2)因为=-,所以表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因为=+,所以表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.已知实数a∈R,复数z1=a+2-3a i,z2=6-7i,若z1+z2为纯虚数,求a的值.【解析】z1+z2=(a+2-3a i)+(6-7i)=a+8-(3a+7)i,∵z1+z2为纯虚数,∴∴a=-8.1.复数z1=-3+4i,z2=6-7i,则z1+z2等于().A.3-3iB.3+3iC.-9+11iD.-9-3i【答案】A2.复数(3+i)m-(2+i)对应的点在第三象限内,则实数m的取值范围是().A.m<B.m<1C.<m<1D.m>1【解析】(3+i)m-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i,∵点(3m-2,m-1)在第三象限,∴即m<.【答案】A3.复数z1=-2+3i,z2=4+3i,则z1-z2= .【解析】z1-z2=(-2+3i)-(4+3i)=-6.【答案】-64.已知a∈R,复数z1=2+(a+2)i,z2=a2+2a-1+3i,若z1+z2为实数,求z1-z2.【解析】z1+z2=a2+2a+1+(a+5)i,∵a∈R,z1+z2为实数,∴a+5=0,∴a=-5,∴z1=2-3i,z2=14+3i,∴z1-z2=-12-6i.在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求向量,,对应的复数;(2)判断△ABC的形状.【解析】(1)=-=(2+i)-1=1+i,=-=(-1+2i)-1=-2+2i,=-=(-1+2i)-(2+i)=-3+i,所以,,对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.(2)因为||2=10,||2=8,||2=2,所以有||2=||2+||2,所以△ABC为直角三角形.1.向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是().A.-10+8iB.10-8iC.0D.10+8i【解析】+对应的复数为5-4i+(-5+4i)=0.【答案】C2.复数z1=1-5i,z2=-2+i,则z1-z2在复平面内对应的点在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z1-z2=(1-5i)-(-2+i)=3-6i,对应的点为(3,-6),该点位于第四象限.【答案】D3.复数z1=5-12i,z2=4+7i,则z1-z2= .【解析】z1-z2=(5-12i)-(4+7i)=1-19i.【答案】1-19i4.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设z=z1-z2且z=13-2i,求z1,z2.【解析】z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,又z=13-2i,且x,y∈R,则解得故z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=4×(-1)-2×2-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.5.复平面内点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD,则||等于().A.5B.C.D.【解析】如图所示,▱ABCD四个顶点对应复数分别为z1=i,z2=1,z3=4+2i,z4,则有=+,=(z1-z2)+(z3-z2)=2+3i, 故||==.【答案】B6.已知复数z1,z2,有|z1|=5,|z2|=12,|z1+z2|=13,则|z1-z2|为().A.8B.10C.12D.13【解析】利用向量结合复数分析可知构成的平行四边形为矩形,故对角线相等.【答案】D7.已知实数a>0,复数z1=a+2i,z2=3+5i,|z1-z2|=5,则a的值为.【解析】z1-z2=a-3-3i(a∈R),∵|z1-z2|=5,∴=25,∴a-3=±4,又a>0,∴a=7.【答案】78.已知f(z)=2z+2-i,z0=1+2i,f(z0-z1)=6-3i,z∈C,求复数z1,f(|z0+z1|).【解析】由已知得2z0-2z1+2-i=6-3i,z0=1+2i,∴2+4i-2z1+2-i=6-3i,即4+3i-2z1=6-3i,∴2z1=(4+3i)-(6-3i)=(4-6)+(3+3)i=-2+6i,∴z1=-1+3i,∴|z0+z1|=|(1+2i)+(-1+3i)|=|5i|=5,∴f(|z0+z1|)=f(5)=2×5+2-i=12-i.9.已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为.【解析】(法一)∵|z|=2,∴|z-i|≤|z|+|i|=2+1=3.(法二)设w=z-i,则w+i=z,∴|w+i|=|z|=2.w表示以点(0,-1)为圆心,以2为半径的圆,由图知,圆上到原点的距离以|OP|为最大,最大值是3.【答案】310.已知a,b∈R,若复数z1=a+b i,|z1|=4,z2=b-a i,求|z1+z2|,|z1-z2|.【解析】∵|z1|=4,∴=4,a2+b2=16.∵z1+z2=(a+b)+(b-a)i,∴|z1+z2|====4.∵z1-z2=(a-b)+(b+a)i,∴|z1-z2|====4.第3课时复数代数形式的乘除运算1.理解复数的代数形式的四则运算,并能用运算律进行复数的四则运算.2.能根据所给运算的形式选择恰当的方法进行复数的四则运算.重点:正确进行复数的四则混合运算.难点:采用适当的方法提高运算速度与准确度.两个多项式可以进行乘除法运算,例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd;对于两个复数a+b i,c+d i(a,b,c,d∈R),能像多项式一样进行乘除法运算吗?问题1:结合多项式乘法运算的特点,说明复数乘法运算有哪些特点?(1)复数的乘法与多项式的乘法类似,只是在运算过程中把i2换成-1,然后实部、虚部分别合并;(2)两个复数的积仍是一个复数;(3)复数的乘法与实数的乘法一样,满足交换律、结合律及分配律;(4)在复数范围内,实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立.问题2:什么是共轭复数?一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为共轭复数.问题3:怎样进行复数除法运算?复数的除法首先是写成分数的形式,再利用两个互为共轭复数的积是一个实数,将分母化为实数,从而化成一个具体的复数.问题4:复数的四种基本运算法则(1)加法:(a+b i)+(c+d i)= (a+c)+(b+d)i;(2)减法:(a+b i)-(c+d i)= (a-c)+(b-d)i;(3)乘法:(a+b i)(c+d i)= (ac-bd)+(ad+bc)i;(4)除法:(a+b i)÷(c+d i)== +i(c+d i≠0).高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+b i,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合,统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把“数轴上的点与实数一一对应”扩展为“平面上的点与复数一一对应”.高斯不仅把复数看作平面上的点,还看作是一种向量,并利用复数与向量之间一一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法.至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了.1.i是虚数单位,复数z=的虚部是().A.0B.-1C.1D.2【解析】∵z===-i,∴虚部为-1,故选B.【答案】B2.复数z1=3+i,z2=1-i,则z=z1·z2在复平面内的对应点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z=z1·z2=(3+i)(1-i)=4-2i.【答案】D3.已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数,则z= .【解析】设z=b i(b∈R),则(z+2)2-8i=(b i+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i,依题意得解得b=-2.所以z=-2i.【答案】-2i4.设复数z满足i(z+1)=-3+2i(i为虚数单位),试求z的实部.【解析】(法一)∵i(z+1)=-3+2i,∴z=-1=-(-3i-2)-1=1+3i,故z的实部是1.(法二)令z=a+b i(a、b∈R),由i(z+1)=-3+2i,得i[(a+1)+b i]=-3+2i,-b+(a+1)i=-3+2i,∴a+1=2,∴a=1.故z的实部是1.复数代数形式的乘法运算计算:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i);(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)(4)(1-i)3.【方法指导】利用复数代数形式的加减法和乘法的运算法则进行计算,注意i的性质.【解析】(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i.(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(-2+11i+5)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i.(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=(24-8i-6i+2i2)+(28-21i-4i+3i2)=47-39i.(4)(1-i)3=13-3×12×i+3×1×i2-i3=1-3i-3-(-i)=-2-2i.【小结】三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算与实数的运算顺序一样,对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法,用乘法公式更简捷,如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等.复数代数形式的除法运算计算:(1)(1+2i)÷(3-4i);(2);(3)(+i)4+.【方法指导】(1)写成分式的形式,再分母实数化.(2)分子、分母按复数的乘法先分别展开化简,或分解因式,再做除法.(3)先展开,后化简.【解析】(1)(1+2i)÷(3-4i)====-+i.(2)(法一)原式===1.(法二)原式===1.(3)原式=[(+i)2]2+=(-+i)2-=--i+i-=(--)+(-)i.【小结】进行复数的运算,除了应用四则运算法则之外,对于一些简单算式要知道其结果,这样可方便计算,简化运算过程,比如=-i,(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=i,=-i,a+b i=i(b-a i),=i,等等.运算方法要灵活,有时要巧妙运用相应实数系中的乘法公式,比如第(2)题中的解法一.复数四则运算的综合应用已知|z|2+(z+)i=(i为虚数单位),试求满足条件的z.【方法指导】本题可设z=x+y i(x,y∈R),然后代入给定的方程,利用复数相等的充要条件列方程组解x,y,从而得出复数方程的解z.【解析】原方程化简为|z|2+(z+)i=1-i,设z=x+y i(x,y∈R),代入上述方程得x2+y2+2x i=1-i,∴∴∴原方程的解为z=-±i.【小结】对于此类复数方程我们一般是设出复数的代数形式z=x+y i(x,y∈R),然后将其代入给定方程,利用复数四则运算将其整理,然后利用复数相等的充要条件来求解.计算:(1)(1-i)2;(2)(-+i)(+i)(1+i).【解析】(1)(1-i)2=1-2i+i2=-2i.(2)(-+i)(+i)(1+i)=[(--)+(-)i](1+i)=(-+i)(1+i)=(--)+(-)i=-+i.计算:(1);(2)+.【解析】(1)======1-i.(2)+=+=i-i=0.若关于x的方程x2+(t2+3t+tx)i=0有纯虚数根,求实数t的值和该方程的根.【解析】设x=a i(a∈R且a≠0)是方程x2+(t2+3t+tx)i=0的一个纯虚根,将其代入方程可得(a i)2+(t2+3t+t·a i)i=0,∴-a2-at+(t2+3t)i=0,由复数相等的充要条件可得∴故t=-3,方程的两个根为0或3i.1.复数z=(i为虚数单位),则|z|等于().A.25B.C.5D.【解析】z==-4-3i,所以|z|=5.【答案】C2.i是虚数单位,则复数+(1+2i)2等于().A.-2-5iB.5-2iC.5+2iD.-2+5i【解析】+(1+2i)2=+4i-3=5i-2.【答案】D3.若复数z满足z(1+i)=2,则复数z= .【解析】z===1-i.【答案】1-i4.计算:+()2014.【解析】原式=+(-i)2014=-i-1.(2014年·山东卷)已知a,b∈R,i是虚数单位.若a-i与2+b i互为共轭复数,则(a+b i)2=().A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i【解析】先由共轭复数的条件求出a,b的值,再求(a+b i)2的值.由题意知a-i=2-b i,∴a=2,b=1,∴(a+b i)2=(2+i)2=3+4i.【答案】D1.设z=+i,则|z|=().A. B. C. D.2【解析】先化简,再求|z|.∵z=+i=+i=+i,∴|z|==.【答案】B2.复数z=i(-2-i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z=-2i-i2=1-2i,对应复平面内的点为(1,-2),在第四象限.【答案】D3.复数= .【解析】===.【答案】4.规定运算=ad-bc,若=1-2i,i为虚数单位,求复数z.【解析】=2z-1=1-2i⇒z=1-i.5.复数=a+b i(i是虚数单位,a、b∈R),则().A.a=1,b=1B.a=-1,b=-1C.a=-1,b=1D.a=1,b=-1【解析】==-1+i,则a=-1,b=1.【答案】C6.已知复数z=,则+等于().A.0B.1C.-1D.2【解析】z====-1,所以+=1-1=0.【答案】A7.复数= .【解析】==--1=--1=-1+i.【答案】-1+i8.设x、y为实数,且+=,求x-y的值.【解析】由+=知(1+i)+(1+2i)=(1+3i),即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i),即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0<故解得∴x-y=-6.9.已知|z|=3-i+z,则复数z= .【解析】设复数z=a+b i(a,b∈R),∴=a+3+(b-1)i,∴∴∴∴z=-+i.【答案】-+i10.设a,b为共轭复数,且(a+b)2-3ab i=4-12i,求a,b的值.【解析】设a=x+y i,b=x-y i,(x,y∈R).代入原方程得4x2-3(x2+y2)i=4-12i,由复数相等的充要条件得解得或故或或或第四章章末小结1.复数的概念及主要代数性质(1)复数:形如z=a+b i(a,b∈R)的数叫作复数,其中i是虚数单位,i2= -1,a,b分别叫它的实部和虚部.(2)复数的分类:设复数z=a+b i(a,b∈R),①当b=0时,z为实数;②当b≠0时,z为虚数;③当a=0,且b≠0时,z为纯虚数.(3)复数相等的条件:在复数集中任意两个复数a+b i,c+d i(a,b,c,d∈R),规定:a+b i与c+d i相等的充要条件是 a = c 且 b = d ,换句话说,如果两个复数实部和虚部分别相等,那么就说这两个复数相等.(4)两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数,就不能比较它们的大小.(5)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.2.对复平面与复数的几何性质的理解(1)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面,x轴叫作实轴,y轴叫作虚轴.(2)复数z=a+b i(a,b∈R)与复平面上的点Z(a,b)建立了一一对应的关系.(3)复数的模:因为z=a+b i(a, b∈R)与复平面内的向量一一对应,所以向量的模就叫作复数z=a+b i的模,因此有|z|= ,且有z·= a2+b2.3.复数的四则运算及运算律(1)复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行:设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R),则①z1±z2= (a±c)+(b±d)i;②z1·z2= (ac-bd)+(ad+bc)i;③==+i(z2≠0).(2)结论:①在复数代数形式的四则运算中,加法、减法、乘法运算都可以按多项式运算法则进行,只是在运算过程中把i2换成-1,然后实、虚部分别合并;除法法则需分子分母同乘分母的共轭复数,使分母实数化.②记住一些常用的结果,如i的有关性质,可简化运算,提高运算速度.③若z为虚数,则|z|2≠z2.(3)运算律①复数的加法运算满足交换律、结合律.②复数的乘法运算满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律.③复数的减法是加法的逆运算,复数的除法是乘法的逆运算.4.复数与其他知识的联系与区别(1)复数事实上是一对有序实数对,因此复数问题可以转化为实数问题来解决,复数z=a+b i(a,b∈R)与复平面内的向量=(a,b)一一对应,故复数与平面解析几何、平面向量联系密切.(2)复数代数形式的加、减运算与平面向量的加、减运算是一致的,复数代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减法、乘法运算是类似的.题型1:复数的基本概念和运算已知复数z=(2+i)m2--2(1-i),当实数m取什么值时,复数z是:(1)零;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数?【方法指导】得结果结合条件确定m对复数z进行化简【解析】z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)当即m=2时,z为零.(2)当m2-3m+2≠0,即m≠2且m≠1时,z为虚数.(3)当即m=-时,z为纯虚数.(4)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2时,z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.【小结】本题考查了复数的四则运算、复数的分类、复数相等的充要条件、复数的几何意义等知识点.题型2:复数的几何意义已知z是复数,z+2i、均为实数,且复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.【方法指导】a的范围←解不等式组←列不等式组←化简(z+a i)2←求出z←列方程组←设z=c+d i 【解析】根据题意,设复数z=c+d i(c,d∈R),则z+2i=c+(d+2)i为实数,即d+2=0,解得d=-2,所以z=c-2i.又==为实数,即=0,解得c=4,所以z=4-2i.∵(z+a i)2=(4-2i+a i)2=16-(2-a)2-8(2-a)i对应的点在第一象限,∴⇒解得2<a<6.∴实数a的取值范围是(2,6).【小结】复数的几何意义使复数及复平面内的数学问题转化成一系列的实数问题.因而,需熟记各种转化的条件和实数、虚数、纯虚数满足的条件.题型3:复数的综合应用设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设u=,求证:u为纯虚数;(3)求ω-u2的最小值.【方法指导】先设出z的代数形式,然后利用ω=z+是实数为突破口求出|z|,结合-1<ω<2的范围求出z 的实部的取值范围.证明u为纯虚数只需求出u的代数形式后,说明它的实部为0,虚部不为0即可.求ω-u2的最小值,这里可利用重要不等式.【解析】(1)设z=a+b i(a,b∈R,b≠0),则ω=a+b i+=(a+)+(b-)i.∵ω是实数,b≠0,∴b-=0,∴a2+b2=1,∴|z|=1,∴ω=2a,又-1<ω<2,∴z的实部的取值范围是(-,1).(2)u=====-i.又a∈(-,1),b≠0,∴u为纯虚数.(3)ω-u2=2a+=2a+=2a-=2a-1+=2[(a+1)+]-3.∵a∈(-,1),∴<a+1<2,∴ω-u2≥1,当且仅当a+1=时,即a=0时等号成立.故ω-u2的最小值为1.【小结】没有给定复数的具体形式时,要注意首先设出其代数形式z=a+b i(a,b∈R),这是解决复数问题时的一般思路,本题将复数与不等式相结合考查,具有一定的综合性.1.(2012年·全国新课标卷)下面关于复数z=的四个命题:p1:|z|=2;p2:z2=2i;p3:z的共轭复数为1+i;p4:z的虚部为-1.其中的真命题为().A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4【解析】由题意得z===-1-i,则=,z2=(-1-i)2=2i,=-1+i,z的虚部为-1,所以p2,p4是正确的.【答案】C2.(2013年·全国Ⅱ卷)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=().A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i【解析】z===i(1+i)=-1+i.【答案】A3.(2013年·安徽卷)设i是虚数单位,若复数a-(a∈R)是纯虚数,则a的值为().A.-3B.-1C.1D.3【解析】a-=a-=a-=a-(3+i)=(a-3)-i,所以a=3.【答案】D一、选择题1.复数的虚部是().A.-1B.1C.iD.-i【解析】==-1+i.【答案】B2.i为虚数单位,复平面内表示复数z=的点在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】因为z====--i,所以其在复平面上对应的点为(-,-),在第三象限.【答案】C3.已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=().A.-3+4iB.-3-4iC.3+4iD.3-4i【解析】(法一)由(3+4i)z=25,得z===3-4i.(法二)设z=a+b i(a,b∈R),则(3+4i)(a+b i)=25,即3a-4b+(4a+3b)i=25,所以解得故z=3-4i.【答案】D4.已知集合M={1,2,z i},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z=().A.-2iB.2iC.-4iD.4i【解析】∵M∩N={4},∴4∈M,∴z i=4,∴z==-4i.5.已知复数z满足(1-i)z=2,则||为().A.1+iB.1-iC.D.2【解析】z====1+i,=1-i,所以||=|1-i|=.【答案】C6.若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为().A.2B.4C.-6D.6【解析】==,根据已知条件a=-6.【答案】C7.若复数z满足方程z2+2=0,则z3等于().A.±2B.-2C.±2 iD.-2 i【解析】z2+2=0⇒z=±i⇒z3=±2 i.【答案】C8.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b等于().A.-1B.1C.2D.3【解析】由已知条件a+2i=-1+b i,则a=-1,b=2,a+b=1.【答案】B9.若纯虚数z满足(2-i)z=4+b i,则实数b等于().A.-2B.2C.-8D.8【解析】(法一)设z=a i(a∈R且a≠0),则a i(2-i)=4+b i,即2a i-a i2=4+b i,∴a+2a i=4+b i,即∴b=8.(法二)由(2-i)z=4+b i,得z====+i,则=0,∴b=8,选D.【答案】D10.定义运算=ad-bc,则符合条件=0的复数z的共轭复数对应的点在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】由题意得z(1+i)-(1-i)(1+2i)=0,即z=====2-i,所以=2+i,对应点(2,1)在第一象限,选A.【答案】A二、填空题11.复数= .【解析】==-2i.【答案】-2i12.复数(i为虚数单位)的实部等于.【解析】∵==-3-i,∴-3-i的实部等于-3.【答案】-313.设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z= .【解析】由(z-2i)(2-i)=5,得z=2i+=2i+=2i+2+i=2+3i.【答案】2+3i14.若(x+i)i=-1+2i(x∈R),则x= .【解析】由题意,得x+i====2+i,。
高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 4.1 数系的扩充与复数的引入教案 北师大选修12
4.1数系的扩充与复数的引入教学目标（1）了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位i 的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件．教学过程一．问题情境1．情境：1)数的概念的发展从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．②解方程的需要．为了使方程40x +=有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程320x -=有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程22x =有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集．引进无理数以后，我们已经能使方程2x a =(0)a >永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当0a <时，方程2x a =在实数范围内无解．为了使方程2x a =(0)a <有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式：44x -为例）2．问题：实数集应怎样扩充呢？二．建构数学1．为了使方程2x a =(0)a <有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于1-的“新数”开始．为此，我们引入一个新数i ，叫做虚数单位．并作如下规定：①21i =-；②实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立． 在这种规定下，i 可以与实数b 相乘，再同实数a 相加得i b a ⋅+．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成a bi + (,a b R ∈)的形式．2．复数概念及复数集C形如a bi +(,a b R ∈)的数叫做复数．全体复数构成的集合叫做复数集，一般用字母C 来表示，即{},,C z z a bi a b R ==+∈．显然有N*N Z Q R C ．3．复数的有关概念1) 复数的表示：通常用字母z 表示，即z a bi =+(,a b R ∈)，其中,a b 分别叫做复数的实部与虚部；2）虚数和纯虚数①复数z a bi =+(,a b R ∈)，当0b =时，z 就是实数a ．②复数z a bi =+(,a b R ∈)，当0b ≠时，z 叫做虚数．特别的，当0a =，0b ≠时，z bi =叫做纯虚数．3)复数集的分类分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：4)两复数相等如果两个复数a bi +与c di +（,,,a b c d R ∈）的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等．即a c a bi c di b d =⎧+=+⇔⎨=⎩，（复数相等的充要条件），特别地：aa bib=⎧+=⇔⎨=⎩（复数为0的充要条件）．复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径．5）两个复数不能比较大小：两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，不能比较它们的大小．6）复平面的概念复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i，非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.7）共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数8）复数的几何意义①复数a+bi ，即点Z （a,b ）（复数的几何形式）、即向量OZ （复数的向量形式。
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1.1 数的概念的扩展 1.2 复数的有关概念明目标、知重点 1.了解引入虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.4.理解复数的几何表示．1．复数的有关概念 (1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫作复数，其中a ，b ∈R ，i 叫作虚数单位．a 叫作复数的实部，b 叫作复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )． (2)复数集①定义：复数的全体组叫作复数集． ②表示：通常用大写字母C 表示． 2．复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数b ＝虚数b⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝非纯虚数a(2)集合表示：3．两个复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 当且仅当a ＝c 且b ＝d .4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一,对应,复平面内的点Z (a ，b )； (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一,――→对应平面向量OZ →＝(a ，b )． 5．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，且|z |＝a 2＋b 2.[情境导学]为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，例如x 2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x 2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题． 探究点一 复数的概念思考1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答 设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数．思考2 如何理解虚数单位i? 答 (1)i 2＝－1.(2)i 与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．(3)由于i 2＜0与实数集中a 2≥0(a ∈R )矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立． (4)若i 2＝－1，那么i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n＝1.思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？答 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫作复数，复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i ，这一表示形式叫作复数的代数形式，其中a 、b 分别叫作复数z 的实部与虚部． 思考4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？答 对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ≠0时叫作虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫作纯虚数． 思考5 复数m ＋n i 的实部、虚部一定是m 、n 吗？答 不一定，只有当m ∈R ，n ∈R ，则m 、n 才是该复数的实部、虚部．例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．反思与感悟 复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫作复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫作复数的虚部．跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数； (2)虚部为－2的虚数； (3)虚部为－2的纯虚数； (4)实部为－2的纯虚数．解 (1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数；(2)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ≠0，m ≠0即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝m m ＋m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m m ＋m －1＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0， 解得m ＝0或m ＝－2. 探究点二 两个复数相等 思考1 两个复数能否比较大小？答 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小． 思考2 两个复数相等的充要条件是什么？答 复数a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． 例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .解 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－y ，1＝y －3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝4.反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪训练 3 已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，求x 的值．解 由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0.x 2－2x －3＝0.解得：x ＝3，所以x ＝3为所求． 探究点三 复数的几何意义思考1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答 任何一个复数z ＝a ＋b i ，都和一个有序实数对(a ，b )一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应关系．小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 思考2 下列命题是否正确？①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； ②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； ③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；答 根据实轴的定义，x 轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2，因此①③是真命题；根据虚轴的定义，y 轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i 对应点(0,5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以②是真命题，④是假命题． 思考3 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？答 当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系．思考4 怎样定义复数z 的模？它有什么意义？答 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模就是向量OZ →＝(a ，b )的模，记作|z |或|a ＋b i|. |z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2可以表示点Z (a ，b )到原点的距离．例4 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．解 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2. (1)由题意得m 2－m －2＝0. 解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <2m >2或m <1，∴－1<m <1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，故m ＝2.反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．跟踪训练4 已知复数z 的虚部为3，在复平面内复数z 对应的向量的模为2，求复数z . 解 由已知，设z ＝a ＋3i(a ∈R )．则a 2＋(3)2＝4.解得a ＝±1.所以z ＝±1＋3i.1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( )A.2，1B.2，5 C ．±2，5D ．±2，1答案 C解析 令⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2－2＋b ＝3，∴a ＝±2，b ＝5.2．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－1或1 答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m m ＋＝0m 2－1≠0，∴m ＝0.3．在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 B解析 ∵z ＝i ＋2i 2＝－2＋i ， ∴实部小于0，虚部大于0， 故复数z 对应的点位于第二象限．4．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( ) A ．－1＋3i B ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i 答案 A解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0， 由|z |＝2知，a 2＋32＝2，解得a ＝±1，故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i. [呈重点、现规律]1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况； 2．两个复数相等，要先确定两个复数实虚部，再利用两个复数相等的条件；3．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应；4．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．一、基础过关1．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析因为a，b∈R.“a＝0”时“复数a＋b i不一定是纯虚数”．“复数a＋b i是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的必要而不充分条件．2．下列命题正确的是( )A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数B．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋iC．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1D．两个虚数不能比较大小答案 D解析对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在A中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故A错误；在B中，两个虚数不能比较大小，故B错误；在C中，若x＝－1，不成立，故C错误；D正确．3．以－5＋2i的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是( )A．2－2i B．－5＋5iC．2＋i D.5＋5i答案 A解析设所求新复数z＝a＋b i(a，b∈R)，由题意知：复数－5＋2i的虚部为2；复数5i＋2i2＝5i＋2×(－1)＝－2＋5i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y的值为( )A.12 B ．2 C ．0 D ．1 答案 D解析 由复数相等的充要条件知， ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1. 5．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 答案 －2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0m 2－1≠0⇒m ＝－2.6．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值． 解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.所以实数x ，y 的值分别为12，2.二、能力提升7．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．－1或－2答案 A解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.解得x ＝1.8．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________. 答案 2 ±2解析 由z 1＝z 2得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝n 2－3m －1－4＝n 2－m －6，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝±2.9.已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________. 答案 －1解析 由M ∩N ＝{3}知，3∈M ，即有(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1.10．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．11.设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围． 解 由于z 1<z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ， 当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2. 当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0，m ＝1或m ＝4， ∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2. ∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1. 三、探究与拓展12．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .解 根据题意可画图形如图所示： 设点Z 的坐标为(a ，b )， ∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°， ∴a ＝－1，b ＝3， 即点Z 的坐标为(－1，3)， ∴z ＝－1＋3i.。