高二数学课前五分钟双基练3.30-4.05
高二数学 双基限时练3
双基限时练(三)1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴垂直C ．与x 轴平行D ．与x 轴平行或重合答案 D2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t之间的函数关系为s ＝18t 2，则当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A. 2B. 1C.12 D .14解析 s ′＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →018(t ＋Δt )2－18t 2Δt ＝lim Δt →0 14tΔt ＋18(Δt )2Δt ＝lim Δt →0(14t ＋18Δt )＝14t . ∴当t ＝2时，s ′＝12.答案 C3．若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( )A ．h ′(a )<0B ．h ′(a )>0C ．h ′(a )＝0D ．h ′(a )的符号不定解析 由2x ＋y ＋1＝0，得h ′(a )＝－2<0.∴h ′(a )<0.答案 A4．曲线y ＝9x 在点(3,3)处的切线方程的倾斜角α等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°解析 k ＝y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →09x ＋Δx －9x Δx＝lim Δx →0－9x (x ＋Δx )＝－9x 2. ∴当x ＝3时，tan α＝－1.∴α＝135°.答案 C5．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)解析 y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝lim Δx →0 2xΔx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 令2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，y ＝14.故所求的点是(12，14)．答案 D6．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则过点A 的切线的斜率为________．解析 k ＝f ′(2)＝lim Δx →02(2＋Δx )2－2×22Δx＝limΔx→08Δx＋2(Δx)2Δx＝limΔx→0(8＋2Δx)＝8.答案87．若函数f(x)在x0处的切线的斜率为k，则极限limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝________.解析limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝－limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)－Δx＝－k.答案－k8．已知函数f(x)在区间[0,3]上图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f′(3)，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)解析由f(x)的图象及导数的几何意义知，k1>k2>k3.答案k1>k2>k39．已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．解 ∵f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝4，∴过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k ，则4k ＝－1，k ＝－14.∴所求的直线方程为y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0.10．已知曲线y ＝1t －x上两点P (2，－1)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.求： (1)曲线在点P 处、点Q 处的切线的斜率；(2)曲线在点P ，Q 处的切线方程．解 将P (2，－1)代入y ＝1t －x 得t ＝1，∴y ＝11－x. ∴y ′＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 11－(x ＋Δx )－11－x Δx ＝lim Δx →01[1－(x ＋Δx )](1－x )＝1(1－x )2. (1)曲线在点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1； 曲线在点Q 处的切线的斜率为y ′|x ＝－1＝1[1－(－1)]2＝14. (2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14(x ＋1)，即x －4y ＋3＝0.11．已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程．解 (1)∵f ′(2)＝lim Δx →013(2＋Δx )3－4(2＋Δx )＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－4×2＋4Δx ＝0， ∴直线l 的斜率为0，其直线方程为y ＝－1.(2)∵抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线，∴设抛物线的方程为x 2＝2py ，则－p 2＝－1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .12．已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 存在．理由如下：∵y ＝x 2＋1，∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋1－(x 2＋1)Δx ＝ lim Δx →0 2xΔx ＋(Δx )2Δx＝2x . 设切点坐标为(t ，t 2＋1)，∵y ′＝2x ，∴切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t .于是可得切线方程为y －(t 2＋1)＝2t (x －t )．将(1，a )代入，得a －(t 2＋1)＝2t (1－t )，即t 2－2t ＋a －1＝0.∵切线有两条，∴方程有两个不同的解．故Δ＝4－4(a－1)>0.∴a<2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．新课标第一网系列资料。
高二数学 双基限时练5
双基限时练(五)1．函数y ＝cos n x 的复合过程正确的是( )A ．y ＝u n ，u ＝cos x nB ．y ＝t ，t ＝cos n xC ．y ＝t n ，t ＝cos xD ．y ＝cos t ，t ＝x n答案 C2．下列函数在x ＝0处没有切线的是( )A ．y ＝3x 2＋cos xB ．y ＝x sin xC ．y ＝1x ＋2xD ．y ＝1cos x解析 因为y ＝1x ＋2x 在x ＝0处没意义，所以y ＝1x ＋2x 在x ＝0处没有切线．答案 C3．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0解析 设切点为(x 0，x 20)，则斜率k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)．故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案 D4．y ＝log a (2x 2－1)的导数是( )A.4x (2x 2－1)ln aB.4x 2x 2－1C.1(2x 2－1)ln aD.2x 2－1ln a解析 y ′＝1(2x 2－1)ln a (2x 2－1)′＝4x (2x 2－1)ln a. 答案 A5．已知函数f (x )＝ax 2－1，且f ′(1)＝2，则a 的值为( )A ．a ＝1B ．a ＝2C ．a ＝ 2D ．a >0解析 f ′(x )＝12 (ax 2－1)－12 ((ax 2－1)′＝12ax 2－1(2ax ＝ax ax 2－1. 由f ′(1)＝2，得a a －1＝2，∴a ＝2. 答案 B6．曲线y ＝ sin2x 在点M (π，0)处的切线方程是________． 解析 y ′＝(sin2x )′＝cos2x ((2x )′＝2cos2x ，∴k ＝y ′|x ＝π＝2.又过点(π，0)，所以切线方程为y ＝2(x －π)．答案 y ＝2(x －π)7．f (x )＝e 2x －2x ，则f ′(x )e x －1＝________. 解析 f ′(x )＝(e 2x )′－(2x )′＝2e 2x －2＝2(e 2x －1)．∴f ′(x )e x －1＝2(e 2x －1)e x －1＝2(e x ＋1)． 答案 2(e x ＋1)8．已知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝________.解析 ∵f ′(x )＝33x －1，∴f ′(1)＝32.答案 329．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象都过点P (2,0)，且在点P 处有相同的切线．求实数a ，b ，c 的值．解 ∵函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象都过点P (2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2×23＋2a ＝0，b ×22＋c ＝0，得a ＝－8,4b ＋c ＝0， ∴f (x )＝2x 3－8x ，f ′(x )＝6x 2－8.又当x ＝2时，f ′(2)＝16，g ′(2)＝4b ，∴4b ＝16，∴b ＝4，c ＝－16.∴a ＝－8，b ＝4，c ＝－16.10．已知曲线y ＝e 2x (cos3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解 ∵y ′＝(e 2x )′(cos3x ＋e 2x ((cos3x )′＝2e 2x (cos3x －3e 2x sin3x ， ∴y ′|x ＝0＝2.∴曲线在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.依题意，可设l 的方程为2x －y ＋b ＝0，则|b －1|5＝ 5.解得b ＝6或b ＝－4.∴直线l 的方程为2x －y ＋6＝0或2x －y －4＝0.11．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋a (a 为常数)，直线l 与函数f (x )、g (x )的图象都相切，且l 与函数f (x )图象的切点的横坐标为1，求直线的方程及a 的值．解 ∵f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1，即直线l 的斜率为1，切点为(1,0)．∴直线l 的方程为y ＝x －1.又l 与g (x )的图象也相切，等价于方程组⎩⎨⎧ y ＝x －1，y ＝12x 2＋a只有一解，即方程12x 2－x ＋1＋a ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝1－4×12(1＋a )＝0，∴a ＝－12.12．已知曲线y ＝5x .(1)求该曲线与直线y ＝2x －4平行的切线方程；(2)求过点P (0,5)且与曲线相切的切线方程．解 (1)设切点为(x 0，y 0)，由y ＝5x ，得y ′＝52x ，∴y ′|x ＝x 0＝52x 0. ∵切线与直线y ＝2x －4平行，∴52x 0＝2， ∴x 0＝2516，∴y 0＝254.故所求的切线方程为y －254＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2516， 即16x －8y ＋25＝0. (2)∵点P (0,5)不在曲线y ＝5x 上，故设切点为M (m ，n )，则切线的斜率为52m . 又∵切线的斜率n －5m ，∴52m＝n －5m ＝5m －5m ， ∴m －2m ＝0.解得m ＝4或m ＝0(舍去)．∴切点M (4,10)，切线的斜率为54.故切线方程为y－10＝54(x－4)，即5x－4y＋20＝0.新课标第一网系列资料。
高二数学课前五分钟双基练3-4
1.空间任意四个点,,,A B C D ，则DA CD CB +- 等于 ；
2.已知向量,a b 满足条件：2,a b == ，且a 与2b a - 互相垂直，则a 与b 的夹角
为 ；
3.已知正方体1111ABCD A BC D -中，E 为底面11AC 的中心，若1AE AA xAB yAD =++ ，
则x 与y 的值分别是 ；
高二数学课前五分钟双基练（3）
1.空间任意四个点,,,A B C D ，则DA CD CB +- 等于 ；
2.已知向量,a b 满足条件：2,a b == ，且a 与2b a - 互相垂直，则a 与b 的夹角
为 ；
3.已知正方体1111ABCD A BC D -中，E 为底面11AC 的中心，若1AE AA xAB yAD =++ ，
则x 与y 的值分别是 ；
1.空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c === ，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为
BC 中点，则MN 等于 ；（用,,a b c 表示）
2.设2,,,,36
a c a
b b
c ππ⊥== ，且1,2,3a b c === ，则a b c ++= ；
高二数学课前五分钟双基练（4）
1.空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c === ，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为
BC 中点，则MN 等于 ；（用,,a b c 表示）
2.设2,,,,36
a c a
b b
c ππ⊥== ，且1,2,3a b c === ，则a b c ++= ；。
高二数学 双基限时练4
双基限时练(四)1．下列各式中正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(cos x )′＝sin xC ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －6答案 C2．已知函数f (x )＝x 3的切线斜率等于1，则其切线方程有() A ．1条 B . 2条C ．3条D ．不确定解析 令f ′(x )＝3x 2＝1，得x ＝±33，∴切线斜率为1的点有两个，故有两条．答案 B3．函数y ＝cos x 在x ＝π6处的切线的斜率为( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－12解析 y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴k ＝y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12.答案 D4．曲线y ＝x 在点(1,1)处的切线方程为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝xC ．y ＝12x ＋12D ．y ＝－12x ＋32解析 ∵y ＝x ＝x 12，∴y ′＝12x －12.∴k ＝y ′|x ＝1＝12.故切线方程为y －1＝12(x －1)，即y ＝12x ＋12.答案 C5．已知f (x )＝x n .若f ′(－1)＝－4，则n 的值为( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5解析 ∵f (x )＝x n ，f ′(x )＝nx n －1，∴f ′(－1)＝n (－1)n －1＝－4.∴n ＝4.答案 A6．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．解析 ∵y ＝e x ，∴y ′＝e x .设切点为(x 0，y 0)，切线方程为y ＝kx ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝e x 0，y 0＝e x 0·x 0， ∴x 0＝1，y 0＝e.故切点(1，e)，k ＝e.答案 (1，e) e7．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 解析 ∵f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x .f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4为常数， ∴f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1. 答案 18．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝________.解析 f ′(x )－g ′(x )＝2x －1x ＝1，即2x 2－x －1＝0.解得x ＝－12或x ＝1，又x >0，∴x ＝1.答案 19．已知曲线y ＝x 3－3x ，过点(0,16)作曲线的切线，求曲线的切线方程．解 设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝y ′ |x ＝x 1＝3x 21－3，∴切线方程为y ＝(3x 21－3)x ＋16.又切点在切线上，∴y 1＝(3x 21－3)x 1＋16.∴x 31－3x 1＝(3x 21－3)x 1＋16，解得x 1＝－2.∴切线方程为y ＝9x ＋16，即9x －y ＋16＝0.10．证明：过曲线y ＝1x 上的任何一点P (x 0，y 0)(x 0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是一个常数．证明 由y ＝1x ，得y ′＝－1x 2.∴k ＝f ′(x 0)＝－1x 20.∴过点P (x 0，y 0)的切线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝y 0＋1x 0＝2x 0； 令y ＝0，得x ＝2x 0.∴过点P (x 0，y 0)(x 0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×2x 0×2x 0＝2是一个常数． 11．在曲线y ＝1x (x <0)上求一点P ，使P 到直线x ＋2y －4＝0的距离最小．解 由题意知，平行于直线x ＋2y －4＝0与y ＝1x (x <0)相切的切点即为所求．设切点P (x 0，y 0)，由y ′＝－1x 2，得k ＝y ′|x ＝x 0＝－1x 20， 又x ＋2y －4＝0的斜率为－12，∴－1x 20＝－12，∴x 0＝2，或x 0＝－ 2. ∵x <0，∴x 0＝－ 2.y 0＝－12＝－22. ∴P (－2，－22)为所求．12．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求：(1)过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程；(2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 (1)∵y ′＝2x ，且P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点， ∴过点P 的切线的斜率为k 1＝y ′|x ＝－1＝－2.过点Q 的切线的斜率为k 2＝y ′|x ＝2＝4.故过点P 的切线方程为y －1＝－2(x ＋1)， 即2x ＋y ＋1＝0.过点Q 的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又直线PQ 的斜率k ＝4－12－(－1)＝1， ∴2x 0＝1，x 0＝12.故切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.故平行于PQ 的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.新课标第一网系列资料 。
人教版新课标A版高中数学必修5双基限时练及答案4.doc
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】双基限时练(四)1．在△ABC 中，若sin B ：sin C ＝3：4，则边c b 等于( )A ．4：3，或16：9B ．3：4C ．16：9D ．4：3解析 由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c b ＝sin C sin B ＝43. 答案 D2．在△ABC 中，已知a ＝32，b ＝162，∠A ＝2∠B ，则边长c 等于( )A ．32 2B ．16 2C ．4 2D ．16解析 由正弦定理，可得a b ＝sin A sin B ＝sin2B sin B ＝2cos B .∴cos B ＝22，∴B ＝45°，A ＝90°，∴c ＝b ＝16 2.答案 B3．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理及题设条件，知sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C .由sin Acos A ＝sin Bcos B ，得sin(A －B )＝0.∵0<A <π，0<B <π，得－π<A －B <π，∴A －B ＝0.∴A ＝B .同理B ＝C ，∴△ABC 是等边三角形．答案 B4．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( ) A ．6 B ．2 6 C ．3 6D ．4 6解析 由余弦定理，得 AC 2＝BC 2＋AB 2－2·AB ·BC ·cos B ＝62＋42－2×6×4×13＝36，∴AC ＝6. 答案 A5．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )A ．5B ．10C ．10 2D ．10 3解析 如图，设将坡底加长到C 时，倾斜角为30°，在△ABC 中，AB ＝10 m ，∠C ＝30°，∠BAC ＝75°－30°＝45°.由正弦定理得BC sin ∠BAC＝AB sin C .即BC＝AB sin∠BACsin C＝10×2212＝102(m)．答案 C6．在△ABC中，已知AC＝2，BC＝3，cos A＝－513，则sin B＝________.解析∵cos A＝－513，∴sin A＝1213.由正弦定理，可得3sin A＝2sin B，∴sin B＝2sin A3＝23×1213＝813.答案8137．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 3 h，该船实际航程为________．解析如图所示，设O A→表示水流方向，O B→为船航行方向．则O C→为船实际航行方向．由题意，知|A C→|＝43，|O A→|＝23，∠OAC＝60°，在△OAC中，由余弦定理，得OC2＝(43)2＋(23)2－2×43×23×1＝36.2∴|OC|＝6.答案 6 km8．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为________ km.解析如图所示，由题意可知AB＝33，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×33×2×cos150°＝49，AC＝7.则A，C两地距离为7 km.答案79．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________.解析如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知：x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin45°sin60°＝1063(cm)．答案 1063 cm10．如图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD 为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标出现在B 点时，测得∠BCD ＝75°，∠CDB ＝45°，求炮兵阵地与目标的距离．解 ∠CBD ＝180°－∠CDB －∠BCD ＝180°－45°－75°＝60°， 在△BCD 中，由正弦定理，得 BD ＝CD sin75°sin60°＝6＋22.在△ABD 中，∠ADB ＝45°＋60°＝105°， 由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos105°＝3＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×2－64＝5＋2 3. ∴AB ＝5＋2 3.∴炮兵阵地与目标的距离为5＋23km.高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
人教版新课标A版高中数学必修5双基限时练及答案13.doc
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】双基限时练(十三)1．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3为( ) A ．4 B.32 C.169D ．2解析 a 6·q 3＝a 9，∴q 3＝a 9a 6＝32，∴a 3＝a 6q 3＝6×23＝4.答案 A2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析 由等比数列的性质，知 a 1·a 2·a 3…a 10＝(a 5·a 6)5＝95＝310，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2…a 10)＝log 3310＝10. 答案 B3．数列{a n }为等比数列，且a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，a n >0，则该数列的公比q 是( )A.22B.255C.1－52D.5－12 解析 由a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，得a n ＝a n q ＋a n q 2.∵a n >0，∴q 2＋q －1＝0，解得q ＝5－12.答案 D4．在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 14＝6，a 4＋a 17＝5，则a 6a19等于( )A.32B.23C.16D ．6解析 ∵a 7·a 14＝a 4·a 17＝6， a 4＋a 17＝5，且a n >a n ＋1， ∴a 4＝3，a 17＝2，∴q 13＝a 17a 4＝23.∴a 6a 19＝a 6a 6q 13＝1q 13＝32. 答案 A5．在等比数列{a n }中，a 5·a 6·a 7＝3，a 6·a 7·a 8＝24，则a 7·a 8·a 9的值等于( )A ．48B ．72C ．144D ．192解析 a 6·a 7·a 8＝(a 5·a 6·a 7)q 3 ∴24＝3q 3，∴q 3＝8，∴a 7·a 8·a 9＝(a 6·a 7·a 8)q 3＝24×8＝192. 答案 D6．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k＝()A．2 B．4C．6 D．8解析依题意，知a k＝a1＋(k－1)d＝9d＋(k－1)d＝(k＋8)d，a2k＝a1＋(2k－1)d＝(2k＋8)d.又a2k＝a1·a2k.∴(k＋8)2d2＝9d·(2k＋8)d.即k2－2k－8＝0.∴k＝4，或k＝－2(舍去)．答案 B7．已知{a n}是等比数列，若a n>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝________.解析∵a2a4＝a23，a4a6＝a25，∴a23＋2a3a5＋a25＝25，即(a3＋a5)2＝25.又a n>0，∴a3＋a5＝5.答案 58．公差不为零的等差数列{a n}中，2a3－a27＋2a n＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.解析∵2a3－a27＋2a11＝2(a3＋a11)－a27＝4a7－a27＝0，又b7＝a7≠0，∴a7＝4.∴b6b8＝b27＝16.答案169．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析 依题意这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }，(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝[2(2)9]2＝4×29＝2048.答案 204810．一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项，并求出通项公式．解 设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么 a 1q 2＝12，① a 1q 3＝18，② ②÷①得 q ＝32.③ 把③代入①得 a 1＝163. 因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8， a n ＝a 1·qn －1＝163·(32)n －1，所以数列的第1项和第2项分别为163和8，通项公式为a n ＝163(32)n－1.11．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．解 由已知，可设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝6，∴a ＝2.故这三个数可表示为2－d,2,2＋d .①若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )． 解得d ＝6或d ＝0(舍去)． 此时三个数为－4,2,8.②若2为等比中项，则有22＝(2－d )(2＋d )．解得d ＝0(舍去)． ③若2＋d 为等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )，解得d ＝－6或d ＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4. 综上可知，这三个数是8,2，－4.12．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求数列{S n }的通项公式；(3)当S 11＋S 22＋…＋S nn 最大时，求n 的值．解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25.又a n >0，∴a 3＋a 5＝5.① 又a 3与a 5的等比中项为2，∴a 3a 5＝4.② 而q ∈(0,1)，∴a 3>a 5.∴由①与②解得a 3＝4，a 5＝1. ∴q 2＝a 5a 3＝14，q ＝12.∴a 1＝16.∴a n ＝16×(12)n －1＝25－n .(2)b n ＝log 2a n ＝5－n ，b n ＋1－b n ＝－1，b 1＝4.∴数列{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列． ∴S n ＝n (9－n )2.(3)由S n n ＝9－n 2，得当n ≤8时，S nn >0， 当n ＝9时，S n n ＝0，当n >9时，S nn <0，∴当n ＝8或n ＝9时，S 11＋S 22＋…＋S nn 最大．高中数学知识点 三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
人教版新课标A版高中数学必修5双基限时练及答案10.doc
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】双基限时练(十)1．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析 a 1＝1，a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝14， ∴d ＝2，∴S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝100. ∴n ＝10. 答案 B2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝35，则a 4＝( ) A ．8 B ．7 C ．6D ．5解析 S 7＝a 1＋a 72×7＝35， ∴a 1＋a 7＝10，∴a 4＝a 1＋a 72＝5. 答案 D3．设数列{a n }是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )A ．1B ．2C ．4D ．8 解析依题意⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝12，a 1·a 2·a 3＝48，∴⎩⎨⎧a 1＋a 3＝8，a 1·a 3＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝2，a 3＝6，或⎩⎨⎧a 1＝6，a 3＝2.∵{a n }是递增数列，∴a 1＝2. 答案 B4．若数列{a n }为等差数列，公差为12，且S 100＝145，则a 2＋a 4＋…＋a 100的值为( )A ．60B ．85 C.1452D ．其他值解析 设a 1＋a 3＋…＋a 99＝S 1， 则a 2＋a 4＋…＋a 100＝S 1＋50d . 依题意，有S 1＋S 1＋50d ＝145. 又d ＝12，∴S 1＝60.∴a 2＋a 4＋…＋a 100＝60＋25＝85. 答案 B5．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．7 解析 由题意，有a 1＋a 2＝4，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝20， ∴a 3＋a 4＝16.∴4d ＝12，d ＝3. 答案 B6．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763D ．663解析 被7除余2的自然数，构成等差数列，其首项a 1＝2，公差d ＝7.最大的a n ＝93，由2＋(n －1)×7＝93得n ＝14.∴这些数的和为S ＝2＋932×14＝665.答案 B7．在数列{a n }中，a n ＝4n －52，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn ，(n ∈N *)，其中a ，b 为常数，则ab ＝________.解析 ∵a n ＝4n －52，∴a 1＝32. 又知{a n }为等差数列，且d ＝4， ∴an 2＋bn ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝32n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－12n . ∴a ＝2，b ＝－12，∴ab ＝－1. 答案 －18．在等差数列{a n }中，S 4＝6，S 8＝20，则S 16＝________. 解析 S 4＝6，S 8＝S 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝20，∴a 1＋…＋a 4＝6，a 5＋…＋a 8＝14. ∴a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝22， a 13＋…＋a 16＝30，∴S 16＝72. 答案 729．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 2＋a n (n ∈N *)，且a 5＝12，则a 3＝________.解析 由a n ＋1＝2a n 2＋a n ，得1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为12的等差数列，故1a 3＝1a 5－2d ＝2－2×12＝1，即a 3＝1.答案 110．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .解 (1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，∴⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝2.∴通项a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242，可得方程 12n ＋n (n －1)2×2＝242.解得n ＝11或n ＝－22(舍去)，∴n ＝11.11．已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值． 解 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件⎩⎨⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5. (2)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，所以，当n ＝2时，S n 取得最大值4.12．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 3＝7，a 5＋a 7＝26，∴⎩⎨⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26.解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .即a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，∴b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14×1n (n ＋1)＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1. ∴T n ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).高中数学知识点 三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
人教A版高中数学必修五双基限时练3.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作双基限时练(三)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6 B.π3 C.π6，或5π6D.π3，或2π3解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又0<B <π，∴B ＝π6.答案 A2．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝( ) A ．3－ 3 B. 2 C ．2D ．3＋ 3解析 由正弦定理，知BC sin A ＝AB sin C ，∴BC ＝AB sin Asin C ＝3×226＋24＝3－ 3.答案 A3．在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则B 等于( ) A ．105° B ．60°C ．15°D ．105°，或15°解析 先用正弦定理求角C ，由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝10×1252＝22. 又c >a ，∴C ＝45°，或135°，故B ＝105°，或15°. 答案 D4．已知三角形的三边之比为a ：b ：c ＝2：3：4，则此三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 设三边长为2a,3a,4a (a >0)，它们所对的三角形内角依次为A ，B ，C .则cos C ＝(2a )2＋(3a )2－(4a )22×2a ×3a ＝－14<0，∴C 为钝角．故该三角形为钝角三角形． 答案 B5．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin AD ．a ≥b sin A解析 在△ABC 中，由正弦定理，知 a ＝b sin Asin B ，∵0<sin B ≤1，∴a ≥b sin A . 答案 D6．△ABC 中，已知2A ＝B ＋C ，且a 2＝bc ，则△ABC 的形状是( ) A ．两直角边不等的直角三角形B ．顶角不等于90°，或60°的等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析 解法1：由2A ＝B ＋C ，知A ＝60°.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴12＝b 2＋c 2－bc2bc∴b 2＋c 2－2bc ＝0.即(b －c )2＝0，∴b ＝c . 故△ABC 为等边三角形． 解法2：验证四个选项知C 成立． 答案 C7．在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC 的长为____________．解析 由A ＋B ＋C ＝180°，求得B ＝60°. ∴BC sin A ＝AC sin B ⇒BC ＝AC sin A sin B ＝3×2232＝ 2.答案28．△ABC 中，已知a ＝2，c ＝3，B ＝45°，则b ＝________. 解析 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝2＋9－2×2×3×22＝5，∴b ＝ 5.答案59．在△ABC 中，a ＝23，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ， ∴43＝12×23×b ×223，∴b ＝3 2. 答案 3 210．在△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值．解 解方程2x 2－3x －2＝0，得x 1＝－12，x 2＝2，而cos C 为方程2x 2－3x －2＝0的一个根，∴cos C ＝－12.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c 2＝a 2＋b 2＋ab .∴c 2＝(a ＋b )2－ab ＝100－ab ＝100－a (10－a )＝a 2－10a ＋100＝(a －5)2＋75≥75，∴当a ＝b ＝5时，c min ＝5 3.从而三角形周长的最小值为10＋5 3.11．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．解 ∵lgsin B ＝－lg 2，∴sin B ＝22.又∵B 为锐角，∴B ＝45°.∵lg a －lg c ＝－lg 2，∴a c ＝22.由正弦定理，得sin A sin C ＝22. 即2sin(135°－C )＝2sin C .∴2(sin135°cos C －cos135°sin C )＝2sin C . ∴cos C ＝0，∴C ＝90°，∴A ＝B ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形．12．a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．解 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ， 由正弦定理，得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ， 整理，得b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35. (2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4，∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a ＝3. (3)∵a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 为直角三角形．。
北师大版高中数学必修五双基限时练5.docx
双基限时练(五)一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ＝2，则等差数列{a n }的前10项的和为( )A ．100B ．90C ．－90D ．－100解析 S 10＝10a 1＋10×92d ＝10＋90＝100. 答案 A2．在等差数列{a n }中，S 10＝120，则a 2＋a 9的值为( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48解析 由S 10＝(a 1＋a 10)×102＝120，得a 1＋a 10＝24，又a 1＋a 10＝a 2＋a 9，故答案为B.答案 B3．如果等差数列的前7项之和S 7＝315，a 1＝81，则a 7等于( ) A ．9 B ．10 C ．8D ．11解析 由S 7＝(a 1＋a 7)×72＝315， 得a 1＋a 7＝90，又a 1＝81，∴a 7＝9. 答案 A4．在公差为d 的等差数列{a n }中，S n ＝－n 2＋n ，则( ) A ．d ＝－1，a n ＝－n ＋1 B ．d ＝－2，a n ＝－2n ＋2 C ．d ＝1，a n ＝n －1 D ．d ＝2，a n ＝2n －2解析 由S n ＝－n 2＋n ，{a n }为等差数列，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋n ＋(n －1)2－(n －1)＝－(2n －1)＋1＝－2n ＋2，∴d ＝－2. 答案 B5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取得最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析 设公差为d ，由a 4＋a 6＝2a 5＝－6， 得a 5＝－3＝a 1＋4d ，得d ＝2， ∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2×2＝n 2－12n ， ∴当n ＝6时，S n 取得最小值． 答案 A6．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝9，S 5＝35.则数列{a n }的通项公式为a n ＝( )A ．2n －3B ．2n －1C ．2n ＋1D ．2n ＋3解析由⎩⎨⎧a 1＋3d ＝9，5a 1＋5×42d ＝35，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. 答案 C 二、填空题7．已知数列的通项a n ＝－5n ＋2，则其前n 项和S n ＝________. 解析 S n ＝(－3＋2－5n )n 2＝－5n 2－n2. 答案 －5n 2－n 28．在等差数列{a n }中，a 5＝2，a n －4＝30，S n ＝240，则n 的值为________．解析 ∵a 5＋a n －4＝a 1＋a n ＝30＋2＝32， 又S n ＝(a 1＋a n )n 2＝32n 2＝16n ＝240， ∴n ＝15. 答案 159．设在等差数列{a n }中，3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n 取得最大值，则n ＝___________________________.解析 由3a 4＝7a 7，得d ＝－4a 133，S n ＝－2n 2＋35n 33a 1， ∴当n ＝9时，S n 取得最大值． 答案 9 三、解答题10．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N ＋，其中k是常数，求a 1及a n .解 由S n ＝kn 2＋n ，得a 1＝S 1＝k ＋1， a n ＝S n －S n －1＝2kn －k ＋1(n ≥2)． 又a 1＝k ＋1也满足上式． ∴a n ＝2kn －k ＋1，n ∈N ＋.11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，求S 28. 解 设此等差数列的前n 项和S n ＝an 2＋bn ， ∵S 12＝84，S 20＝460，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·122＋b ·12＝84，a ·202＋b ·20＝460. 解得a ＝2，b ＝－17，∴S n ＝2n 2－17n .∴S 28＝2×282－17×28＝1092.(注此题的解题方法很多，此处只列举一种)12．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解 (1)∵{a n }为等差数列，∴其公差d ＝a 3－a 12＝－3－12＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1－2(n －1)＝3－2n .(2)由(1)知a n ＝3－2n ，∴S k ＝(a 1＋a k )k 2＝(1＋3－2k )k 2＝2k －k 2.由2k －k 2＝－35，得k 2－2k －35＝0，得k ＝7或k ＝－5(舍)．∴k 的值为7.思 维 探 究13．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． 解 (1)∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1，∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52.∴数列{b n }是以－52为首项，以1为公差的等差数列． (2)由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.。
高二数学 双基限时练2
双基限时练(二)1．当自变量x由x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量的比是函数()A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x1处的导数C．在区间[x0，x1]上的导数D．在x处的平均变化率解析由平均变化率的定义知选A.答案A2．对于函数f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)为()A．0B．1C．c D．不存在解析f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝limΔx→0c－cΔx＝0.答案A3．y＝x2在x＝1处的导数为()A．2x B．2C．2＋Δx D．1解析∵Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，∴ΔyΔx＝2＋Δx.∴f′(1)＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.答案B4．在导数的定义中，自变量的增量Δx满足() A．Δx<0 B．Δx>0C．Δx＝0 D．Δx≠0解析Δx可正、可负，就是不能为0，因此选D.答案D5．一物体运动满足曲线方程s＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其实际意义是()A．物体5秒内共走过42米B．物体每5秒钟运动42米C．物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒D．物体以t＝5秒时的瞬时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的路程为42米解析由导数的物理意义知，s′(5)＝42(m/s)表示物体在t＝5秒时的瞬时速度．故选D.答案D6．如果质点A按规律s＝3t2运动，那么在t＝3时的瞬时速度为________．解析∵Δy＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2，∴s′(3)＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(18＋3Δt)＝18.答案187．设函数f(x)满足limx→0f(1)－f(1－x)x＝－1，则f′(1)＝________.解析∵limx→0f(1)－f(1－x)x＝limx→0f(1－x)－f(1)－x＝f′(1)＝－1.答案－18．函数f(x)＝x2＋1在x＝1处可导，在求f′(1)的过程中，设自变量的增量为Δx，则函数的增量Δy＝________.解析Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋1]－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2.答案 2Δx ＋(Δx )29．已知f (x )＝ax 2＋2，若f ′(1)＝4，求a 的值．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋2－(a ×12＋2)＝2a ·Δx ＋a (Δx )2，∴f ′(1)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a ·Δx )＝2a ＝4.∴a ＝2.10．已知函数f (x )＝13－8x ＋2x 2，且f ′(x 0)＝4，求x 0的值． 解 Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝[13－8(x 0＋Δx )＋ 2 (x 0＋Δx )2]－(13－8x 0＋2x 20)＝－8Δx ＋22x 0Δx ＋2(Δx )2.f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(－8＋22x 0＋2Δx )＝－8＋22x 0，又∵f ′(x 0)＝4，∴－8＋22x 0＝4，∴x 0＝3 2.11．在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t 存在关系s (t )＝10t ＋5t 2(s 的单位是m ，t 的单位是s)．(1)求t ＝20，Δt ＝0.1时的Δs 与Δs Δt ；(2)求t ＝20时的速度．解 (1)当t ＝20，Δt ＝0.1时，Δs ＝s (20＋Δt )－s (20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－(10×20＋5×202)＝1＋20＋5×0.01＝21.05.∴Δs Δt ＝21.050.1＝210.5.(2)由导数的定义知，t ＝20时的速度即为v ＝lim Δt →0Δs Δt＝lim Δt →010(t ＋Δt )＋5(t ＋Δt )2－10t －5t 2Δt ＝lim Δt →05(Δt )2＋10Δt ＋10tΔt Δt ＝lim Δt →0(5Δt ＋10＋10t )＝10＋10t＝10＋10×20＝210(m/s)．12．若一物体运动方程如下(位移：m ，时间：s)．s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，t ≥3，29＋3(t －3)2，0≤t <3. 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度为v 0，即求物体在t ＝0时瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均速度为Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3(0＋Δt －3)2－29－3(0－3)2Δt＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时速度为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3Δt －18)＝－18(m/s)．即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均速度变化为Δs Δt ＝29＋3(1＋Δt －3)2－29－3(1－3)2Δt＝3Δt －12， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12(m/s)．即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.新课标第一网系列资料 。
北师大版高中数学必修5双基限时练：第一章+数列(11套,含解析)双基限时练2
双基限时练(二)一、选择题1．若数列{a n }的通项公式a n ＝3n ＋2，则数列{a n }的图像是( ) A ．一条直线 B ．一条抛物线 C ．一群孤立的点D ．一个圆解析 ∵n ∈N ＋，∴数列{a n }的图像是一群孤立的点，且这些点都在直线y ＝3x ＋2上．答案 C2．在数列{a n }中，a n ＝3－2n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列解析 ∵a n ＋1－a n ＝3－2(n ＋1)－3＋2n ＝－2<0，∴数列{a n }为递减数列．答案 B3．已知数列{a n }为递减数列，且a n ＝(3－2a )n ＋1，则实数a 的取值范围是( )A ．a <32B ．a >32C ．a ≤32D ．a ≥32解析 由{a n }为递减数列，知3－2a <0，即a >32. 答案 B4．数列{3n 2－28n }中，各项中最小的项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项解析 对称轴n ＝286＝143＝423，∴当n ＝5时，a n 取得最小值． 答案 B5．数列{a n }的通项公式是a n ＝anbn ＋1，其中a 、b 都为正实数，则a n 与a n ＋1的大小关系是( )A ．a n >a n ＋1B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 有关解析 a n ＋1－a n ＝a (n ＋1)b (n ＋1)＋1－anbn ＋1＝abn 2＋abn ＋an ＋a －abn 2－abn －an (bn ＋1)[b (n ＋1)＋1]＝a(bn ＋1)[b (n ＋1)＋1]. ∵a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，∴a n ＋1－a n >0. 答案 B6．已知数列{－2n 2＋4an ＋3}中的数值最大的项为第6项，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫112，6 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫6，132C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤112，132 D ．{6}解析 由题意得，对称轴a ∈[5.5,6.5]． 答案 C 二、填空题7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n，则a 5＝________.解析 由a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n，得a 2＝12，a 3＝121＋12＝13，a 4＝1343＝14，a 5＝1454＝15.答案 158．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，则a n ＝_______________. 解析 由a n ＋1＝a n ＋2，a 1＝1，知a 2＝3，a 3＝5，a 4＝7，…，a n ＝2n －1.答案 2n －19．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N ＋)，则f (n ＋1)－f (n )＝________.解析 由f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，得f (n ＋1)＝1n ＋1＋1＋1n ＋1＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1)，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 答案12n ＋1－12n ＋2三、解答题10．已知a n ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(a ≠0且为常数)，试判断{a n }的单调性． 解 ∵a n －a n －1＝－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(n ≥2，且n ∈N ＋)，∴当a >0时，a n －a n －1<0.即a n <a n －1，数列{a n }为递减数列． 当a <0时，a n －a n －1>0，即a n >a n －1，数列{a n }是递增数列． 11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？求出最小值． 解 (1)由a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94当n ＝2时，a n ＝－2， 当n ＝3时，a 3＝－2， 当n ＝1时，a 1＝0， 同理，当n ＝4时，a 4＝0， 由函数的单调性可知， 当n ≥5时，a n >0，∴数列中只有a 2，a 3这两项为负数． (2)由a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94， 知对称轴为n ＝52＝2.5，又n ∈N ＋，∴当n ＝2，或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 12．已知数列{a n }满足a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N ＋，求实数λ的取值范围．解 ∵a n ≤a n ＋1，∴n 2＋λn －(n ＋1)2－λ(n ＋1)≤0，即λ≥－(2n ＋1)，n ∈N ＋.∴λ≥－3.∴实数λ的取值范围是[－3，＋∞)．思 维 探 究13．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n 2＋5n ＋4.(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？ (2)该数列中有负数项吗？解(1)对任意n∈N＋，∵a n＋1－a n＝1(n＋1)2＋5(n＋1)＋4－1n2＋5n＋4＝－2(n＋3)[(n＋1)2＋5(n＋1)＋4](n2＋5n＋4)<0，∴数列{a n}是递减数列．(2)令a n<0，即1n2＋5n＋4<0，∴n2＋5n＋4<0得(n＋4)(n＋1)<0，∴－4<n<－1. 而n∈N＋，故数列{a n}没有负数项．。
人教版新课标A版高中数学必修5双基限时练及答案11.doc
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】双基限时练(十一)1．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1) D.n (n ＋1)2答案 D2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和且a 3＝－6，a 7＝6，则( ) A ．S 4＝S 5 B ．S 5＝S 6 C ．S 4>S 6D ．S 5>S 6解析 ∵a 3＋a 7＝2a 5＝0， ∴a 5＝0，∴S 4＝S 5. 答案 A3．数列{a n }的通项公式a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是( )A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项解析 a n ＝3n 2－28n ＝3(n 2－283n )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1432－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1432. ∵n ∈N *，∴当n ＝5时，a n 有最小值． 答案 B4．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( )A ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的前10项和(n ∈N *)B ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前10项和(n ∈N *)C ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的前11项和(n ∈N *)D ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前11项和(n ∈N *)解析 要理解循环体的含义，当第一次执行k ＝1时，S ＝12；当第二次执行k ＝2时，S ＝12＋14.可见，该程序是求前10项的偶数的倒数和．答案 B5．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则数列的通项公式为__________；数列{na n }中数值最小的项是第__________项．解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)] ＝2n －11，当n ＝1时，也成立， ∴a n ＝2n －11，na n ＝2n 2－11n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1142－1218.∵n ∈N *，∴当n ＝3时，na n 有最小值． 答案 2n －11 36．若x ≠y ，数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各自成等差数列，则a 1－a 2b 1－b 2＝________.解析 由于a 1－a 2＝x －y 3，b 1－b 2＝x －y 4，则a 1－a 2b 1－b 2＝43.答案 437．有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，若S nT n＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.解析 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝S 9T 9＝7×9＋29＋3＝6512.答案 65128．在等差数列{a n }中，a 2＋a 9＝2，则它的前10项和S 10＝________.解析 S 10＝a 1＋a 102×10＝5(a 2＋a 9)＝10. 答案 109．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝14(a n ＋1)2，且a n >0. (1)求a 1，a 2； (2)求{a n }的通项公式；(3)令b n ＝20－a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 的最大值． 解 (1)a 1＝S 1＝14(a 1＋1)2⇒a 1＝1. a 1＋a 2＝14(a 2＋1)2⇒a 2＝3. (2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14[(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2] ＝14(a 2n －a 2n －1)＋12(a n －a n －1)， 由此得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n ＋a n －1≠0，∴a n －a n －1＝2.∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (3)∵b n ＝20－a n ＝21－2n ， ∴b n －b n －1＝－2，b 1＝19.∴{b n }是以19为首项，－2为公差的等差数列． ∴ T n ＝19n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋20n . 故当n ＝10时，T n 的最大值为100.10．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c (c ≠0)，求常数c 的值；(3)对(2)中的b n ，c n ＝1b 2n －1，求数列{c n }的前n 项和T n . 解 (1)由等差数列的性质知， a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117， ∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根． 又公差d >0，∴a 3<a 4， ∴a 3＝9，a 4＝13. ∴d ＝a 4－a 3＝4， a 1＝a 3－2d ＝9－8＝1，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ， ∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .∵{b n }是等差数列． ∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0. 又∵c ≠0，∴c ＝－12. (3)由(2)知b n ＝2n ，∴c n ＝14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋13－15＋…＋21n －1－12n ＋1＝n 2n ＋1.高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
人教A版高中数学必修五双基限时练5.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作双基限时练(五)1．如图，B ，C ，D 三点在地面同一直线上，CD ＝a ，从C ，D 两点测得A 点仰角分别为β，α(β＞α)，则点A 离地面的高度等于( )A.a sin αcos βcos (α－β) B.a cos αsin βcos (α－β) C.a sin αcos βsin (β－α)D.a sin αsin βsin (β－α)解析 在△ACD 中，由正弦定理， 得AC sin α＝CD sin (β－α)，∴AC ＝a sin αsin (β－α).在Rt △ABC 中，AB ＝AC sin β＝a sin αsin βsin (β－α).答案 D2．在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高度为( )A ．20(1＋3) mB ．20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33 mC ．20(6＋2) mD ．10(6＋2) m解析 如图所示，易知AD ＝CD ＝AB ＝20(m)，在Rt △ADE 中，DE ＝AD tan60°＝20 3 (m)． ∴塔吊的高度为CE ＝CD ＋DE ＝20(1＋3)(m)． 答案 A3．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( )A.4003 m B.40033 m C.20033 mD.2003 m解析 由山顶看塔底的俯角为60°，可知山脚与塔底的水平距离为2003，又山顶看塔顶的俯角为30°，设塔高为x m ，则200－x ＝2003×33，∴x ＝4003 m.答案 A4．如图，一船从C处向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔A，B恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达D处，看见灯塔B在船的南偏西60°，灯塔A在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里解析由题意知AB＝BD＝10，所以CD＝12BD＝5.故这只船的速度是10海里/小时．答案 C5．如图，CD是一座铁塔，线段AB和塔底D同在水平地面上，在A，B两点测得塔顶C的仰角分别为60°，45°，又测得AB＝24 m，∠ADB＝30°，则此铁塔的高度为()A．18 3 m B．20 3 mC．32 m D．24 3 m解析在Rt△ACD中，∠DAC＝60°，∴CD＝AD tan60°＝3AD.在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴CD＝BD＝3AD.在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，即242＝AD2＋3AD2－2×3AD2×3 2，∴AD＝24.故CD＝243(m)．答案 D6．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝旋转后的方向走 3 km后他离最开始的出发点恰好为 3 km，那么x的值为________．解析如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°.由余弦定理，得(3)2＝32＋x2－2×3×x cos30°，即x2－33x＋6＝0，解得x1＝3，x2＝23，经检验都适合题意．答案3或2 37．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．解析 由题意在三角形ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°， ∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°. 由正弦定理BC ＝AB sin ∠ACB ·sin ∠BAC ＝30sin15°·sin30°＝156－24＝15(6＋2)．在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38. 答案 无8．如图，线段AB ，CD 分别表示甲、乙两楼，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，从甲梯顶部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角α＝30°，测得乙楼底部D 的俯角β＝60°，已知甲楼高AB ＝24米，则乙楼高CD ＝________米．解析在Rt△ABD中，AB＝24，∠BAD＝30°，∴BD＝AB tan30°＝8 3.在△ACE中，CE＝AE·tanα＝BD tan30°＝8.∴CD＝CE＋DE＝24＋8＝32(米)．答案329．甲船自某港出发时，乙船在离港7海里的海上驶向该港，已知两船的航向成120°角，甲、乙两船航速之比为2：1，求两船间距离最短时，各离该海港多远？解如图所示，甲船由A港沿AE方向行驶，乙船由D处向A港行驶，显然∠EAD＝60°.设乙船航行到B处行驶了s海里，此时A船行驶到C处，则AB＝7－s，AC＝2s，而∠EAD＝60°，由余弦定理，得BC2＝4s2＋(7－s)2－4s(7－s)cos60°＝7(s－2)2＋21(0≤s<7)．∴s＝2时，BC最小为21，此时AB＝5，AC＝4.即甲船离港4海里，乙船离港5海里．故两船间距离最短时，甲船离港4海里，乙船离港5海里．10.如图，甲船在A 处观察到乙船，在它的北偏东60°的方向，两船相距10海里，乙船正向北行驶．若乙船速度不变，甲船是乙船速度的3倍，则甲船应朝什么方向航行才能遇上乙船？此时甲船行驶了多少海里？解 设到C 点甲船遇上乙船， 则AC ＝3BC ，B ＝120°， 由正弦定理，知BC sin ∠CAB ＝AC sin B，即1sin ∠CAB ＝3sin120°，sin ∠CAB ＝12.又∠CAB 为锐角， ∴∠CAB ＝30°.又C ＝60°－30°＝30°，∴BC ＝AB ＝10， 又AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos120°， ∴AC ＝103(海里)，因此甲船应取北偏东30°方向航行才能遇上乙船，遇上乙船时甲船行驶了103海里．。
人教B版高中数学必修二双基限时练5.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作双基限时练(五)基础强化1．如图所示，该直观图表示的平面图形为()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．正三角形解析在该直观图中的三角形有两条边分别平行于x′轴和y′轴，在平面直角坐标系中，这两条边互相垂直，故该三角形的平面图形是直角三角形．答案 C2．两条不平行的直线，其平行投影不可能是()A．两条平行线B．一点和一条直线C．两条相交直线D．两个点解析若它们的投影是两个点，则这两条线均平行于投射线，所以这两条直线平行，由已知这两条直线不平行，故他们的投影不可能是两个点．答案 D3．下列几种说法正确的个数是()①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A．1 B．2C．3 D．4解析在平面直角坐标系中，x轴与y轴所成的角为90°，而在直观图中它们所成的角为45°和135°，故①错；若两条线段一条平行于x轴，一条平行于y轴，则在直线图中对应的线段将不等，故②错；③④正确．答案 B4．利用斜二测画法画直观图时，①三角形的直观图还是三角形；②平行四边形的直观图还是平行四边形；③正方形的直观图还是正方形；④菱形的直观图还是菱形．其中正确的个数是() A．0个B．1个C．2个D．3个解析根据斜二测画法，三角形的直观图还是三角形，平行四边形的直观图还是平行四边形，正方形与菱形的直观图都是平行四边形．答案 C5．如图，一个广告气球被一束入射角为45°的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为5米的椭圆，则这个广告气球直径是()A.524米B.522米 C ．52米 D ．102米解析 直径d ＝5sin45°＝522米．答案 B6．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A.34a 2B.38a 2C.68a 2D.616a 2解析 S △ABC ＝34a 2，∴S △A ′B ′C ′＝24S △ABC ＝616a 2.答案 D7．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为a ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________．解析 在原图形中，OA ＝BC ＝a ，OB ＝22a ，∠BOA ＝90°，∴AB ＝OC ＝3a ，∴原图形的周长为8a .答案 8a8．如图①所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是BB 1、BC 的中点，则图中阴影部分在正方体的六个面上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)可能为图②中的________．解析 △MND 在上、下底面与左、右侧面上的投影均为图a 所示，在前、后侧面上的投影如图c 所示．故ac 正确．答案 ac能 力 提 升9．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为__________．解析 如图易知，水平放置的△ABC 即为图中△A ′BC ′.∴AB 边上的中线C ′D ＝12A ′B .又∵O ′A ′＝C ′A ′＝3，BC ′＝2B ′C ′＝4，∴A ′B ＝5，∴C ′D ＝52.即AB 边上中线实际长度为52.答案 5210．在有太阳的某时刻，一个大球放在水平地面上，球的影子伸到距离球与地面接触点10 m 处，同一时刻一根长 3 m 的木棒垂直于地面，且影子长1 m ，求此球的半径．解 由题设知BO ′＝10，设∠ABO ′＝2α(0°<α<45°)(如右图)，由题意知tan2α＝31＝3，即2α＝60°，∴α＝30°，∴tan α＝33.在Rt △OO ′B 中，tan α＝R BO ′， ∴R ＝BO ′·tan α＝1033m.11．用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC 的直观图．解 (1)画x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°；(2)Ox轴上取点D(3,0)，在O′x′轴上取D′、B′，使O′D′＝OD，O′B′＝OB(如图)，在O′y′轴上取C′，使O′C′＝12OC，在O′x′轴下方过D′作D′A′∥O′y′，使D′A′＝12DA；(3)连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形O′A′B′C′就是四边形OABC的直观图．12．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，C′A′＝2，B′D′∥y′轴且B′D′＝1.5.(1)将其恢复成原图形；(2)求原平面图形△ABC的面积．解(1)画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′.②在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.③连接AB、BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图．(2)∵B′D′∥y′轴，∴BD⊥AC.又B′D′＝1.5且A′C′＝2，∴BD＝3，AC＝2，∴S△ABC＝12BD·AC＝3.品味高考13．如图为水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，若D是△ABC中BC边的中点，那么AB，AD，AC三条线段中最长的是________，最短的是________．答案AC AB。
北师大版高中数学必修五双基限时练4.docx
双基限时练(四)一、选择题1．在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5 B．6C．8 D．10解析由等差中项的性质，知2a5＝a1＋a9，∴a5＝5.答案 A2．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于()A．－1 B．1C．3 D．7解析由a1＋a3＋a5＝3a3＝105，得a3＝35.又(a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5)＝3d＝－6，得d＝－2，∴a20＝a3＋17d＝35－34＝1.答案 B3．{a n}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，若a n＝2014，则序号n的值为()A ．670B ．672C ．674D ．668解析 由题意得a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×3＝3n －2，由3n－2＝2014，n ＝672.答案 B4．在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50，则a 40等于( )A ．40B ．70C ．80D ．90解析 a 10，a 20，a 30，a 40成等差数列，公差为20，∴a 40＝a 10＋3×20＝90.答案 D5．在等差数列{a n }中，a 1＋2a 8＋a 15＝96，则2a 9－a 10＝( )A ．24B ．22C ．20D ．－8解析 由a 1＋2a 8＋a 15＝96＝4a 8，∴a 8＝24.故2a 9－a 10＝2(a 8＋d )－(a 8＋2d )＝a 8＝24.答案 A6．已知数列{a n }为等差数列，且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3B ．±3C ．－33D ．－ 3解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π.∴a 7＝43π，tan(a 2＋a 12)＝tan2a 7＝tan 83π＝tan 23π＝－ 3.答案 D二、填空题7．在等差数列{a n }中，d >0，a 2＋a 5＋a 8＝9，a 3a 5a 7＝－21，则a n ＝________.解析 由a 2＋a 5＋a 8＝9，知a 5＝3.由a 3a 5a 7＝－21，知(3－2d )(3＋2d )＝－7.得d ＝±2，又d >0，∴d ＝2.∴a n ＝2n －7.答案 2n －78．在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 6＝8，则a 20＝________.解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 2，a 4，a 6，a 8，…，a 20为等差数列，设其公差为d ，则a 6＝a 2＋2d ＝4＋2d 得d ＝2，a 20＝a 2＋9d ＝4＋9×2＝22.答案 229．在等差数列{a n }中，(1)若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝350，则a 2＋a 8＝________；(2)若a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2a 5＝52，且a 4<a 2，则a n ＝________. 解析 (1)由已知得a 5＝70，又a 2＋a 8＝2a 5＝140.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝17，a 2a 5＝52，又a 4<a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13，a 5＝4， ∴d ＝－3，a n ＝a 2＋(n －2)d ＝19－3n .答案 (1)140 (2)19－3n三、解答题10．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 也成等差数列．证明 ∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c .∴2(a ＋b ＋c )b＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c c . 化简得b ＋c a ＋a ＋b c ＝2(a ＋c )b .∴b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 成等差数列．11．已知等差数列{a n }的前三项依次为x －1，x ＋1,2x ＋3，求这个数列的通项公式．解 ∵这个数列的前三项依次为x －1，x ＋1,2x ＋3，∴2(x ＋1)＝x －1＋2x ＋3，得x ＝0.∴该数列的首项为－1，公差d ＝1－(－1)＝2，∴其通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－1＋2(n －1)＝2n －3.12．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的4个根组成一个首项为14的等差数列，求|m －n |.解 设a 1＝14，a 2＝14＋d ，a 3＝14＋2d ，a 4＝14＋3d .而方程x 2－2x ＋m ＝0中两根之和为2，方程x 2－2x ＋n ＝0中两根之和也为2.∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4.∴d ＝12.∴a 1＝14，a 4＝74是一个方程的两个根，a 2＝34，a 3＝54是另一个方程的两个根．∴716，1516为m 或n ，∴|m －n |＝12.思 维 探 究13．数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n，λ是常数．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)数列{a n}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由．解(1)由于a n＝(n2＋n－λ)a n，且a1＝1.所以当a2＝－1时，有＋1－1＝2－λ，故λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)数列{a n}不可能为等差数列，证明如下：由a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．若存在λ，使{a n}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.故a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.这与{a n}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{a n}都不可能是等差数列．。
人教A版高中数学必修五双基限时练1.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作双基限时练(一)1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理仅适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③正弦定理仅适用于钝角三角形；④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值；⑤在△ABC中，sin A sin B sin C＝a b c.其中正确的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析①②③不正确，④⑤正确．答案 B2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝() A．4 3 B．2 3C. 3D.3 2解析由正弦定理，得ACsin B＝BCsin A，即AC＝BC·sin Bsin A＝32×sin45°sin60°＝2 3.答案 B3．在△ABC中，已知b＝2，c＝1，B＝45°，则a等于()A.6－22B.6＋22C.2＋1D ．3－ 2解析 由正弦定理，得sin C ＝c sin B b ＝sin45°2＝12，又b >c ，∴C ＝30°，从而A ＝180°－(B ＋C )＝105°，∴a ＝b sin Asin B ，得a ＝6＋22. 答案 B4．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析 利用正弦定理及第一个等式，可得sin A ＝32，A ＝π3，或2π3，但由第二个等式及B 与C 的范围，知B ＝C ，故△ABC 必为等腰三角形．答案 B5．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．30°或150° D ．60°或120°解析 ∵3a ＝2b sin A ， ∴3sin A ＝2sin B sin A . ∵sin A ≠0，∴sin B ＝32， 又0°<B <180°，∴B ＝60°，或120°. 答案 D6．在△ABC 中，已知a ：b ：c ＝4：3：5，则2sin A －sin Bsin C ＝________. 解析 设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝5k (k >0)，由正弦定理，得 2sin A －sin B sin C ＝2×4k －3k5k ＝1. 答案 17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则边c ＝________.解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝30°， 由c sin C ＝b sin B ，得c ＝b sin C sin B ＝22×1222＝2.答案 28．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 解析 ∵tan A ＝13，∴sin A ＝110 .在△ABC 中，AB sin C ＝BCsin A ， ∴AB ＝BC sin A ·sin C ＝10×12＝102. 答案1029．在△ABC 中，若A ：B ：C ＝1：2：3，则a b c ＝________. 解析 由A ＋B ＋C ＝180°及A ：B ：C ＝1:2:3，知A ＝180°×16＝30°，B ＝180°×26＝60°，C ＝180°×36＝90°.∴a ：b ：c ＝sin30°：sin60°：sin90°＝12：32：1＝1：3：2.答案 1：3：210．如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE.解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°.∴cos ∠CBE ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24. (2)在△ABE 中，AB ＝2， 由正弦定理，得AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，故AE ＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－ 2.11．△ABC 三边各不相等，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a cos A ＝b cos B ，求a ＋bc 的取值范围．解 ∵a cos A ＝b cos B ，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin2A ＝sin2B .∵2A,2B ∈(0,2π)，∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B ，或A ＋B ＝π2.如果A ＝B ，那么a ＝b 不合题意，∴A ＋B ＝π2. ∴a ＋b c ＝sin A ＋sin Bsin C ＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4.∵a ≠b ，C ＝π2，∴A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且A ≠π4，∴a ＋bc ∈(1，2)．12．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13. (1)求sin A ；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积． 解 (1)∵sin(C －A )＝1，－π<C －A <π， ∴C －A ＝π2.∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＋A ＋π2＝π，∴B ＝π2－2A ，∴sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝cos2A ＝13. ∴1－2sin 2A ＝13. ∴sin 2A ＝13，∴sin A ＝33.(2)由(1)知，A 为锐角，∴cos A ＝63，sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝63，由正弦定理得AB ＝AC ·sin Csin B ＝6·6313＝6.S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×6×6×33＝3 2.。
人教版新课标A版高中数学必修5双基限时练及答案14.doc
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】双基限时练(十四)1．数列{2n }的前n 项和S n 等于( ) A ．2n －1 B ．2n －2 C ．2n ＋1－1D ．2n ＋1－2解析 S n ＝2(2n －1)2－1＝2n ＋1－2.答案 D2．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( )A ．31B ．33C ．35D ．37 解析 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1. a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10 ＝q 5(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5) ＝q 5＝25＝32. ∴S 10＝1＋32＝33. 答案 B3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是( )A ．179B ．211C ．248D ．275 解析 ∵a 5＝a 1q 4，∴16＝81·q 4.又a n >0，∴q ＝23. ∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝81×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2351－23＝211.答案 B4．在等比数列{a n }中，已知a 1＝3，a n ＝96，S n ＝189，则n 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析 由a n ＝a 1q n －1，得96＝3q n －1. ∴q n －1＝32＝25.取n ＝6，q ＝2， 这时S 6＝3(26－1)2－1＝189.适合题意．答案 C5．等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析 由等比数列的性质，知 T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1，∴a 3＝1. 答案 B6．已知公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列{1a n}的前n 项和为( )A.q n S nB.S n q nC.1S n qn －1 D.S n a 21qn －1 解析 数列{1a n}仍为等比数列，且公比为1q ，所以前n 项和S n ′＝1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1q n 1－1q ＝a 1(q n－1)a 21q n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1q ＝a 1(q n －1)a 21q n －1·(q －1)＝S na 21qn －1. 答案 D7．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n ＋2)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 由log 2(S n ＋2)＝n ＋1，得 S n ＋2＝2n ＋1，S n ＝2n ＋1－2. 当n ＝1时，S 1＝a 1＝22－2＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n . 当n ＝1时也成立，故a n ＝2n . 答案 2n8．在等比数列{a n }中，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q ＝________.解析 a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3，∴a 4＝3a 3. ∴q ＝a 4a 3＝3.答案 39．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，有下列三个命题： ①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n ＝a n ＋1； ②若S n ＝a n (a 为非零常数)，则{a n }是等比数列； ③若S n ＝1－(－1)n ，则{a n }是等比数列． 其中真命题的序号是________．解析 易知①是真命题，由等比数列前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 11－q －a 11－q·q n知②不正确，③正确． 答案 ①③10．已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列，求：(1)p ，q 的值； (2)数列{x n }前n 项和S n .解 (1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q 且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q . 解得p ＝1，q ＝1. (2)由(1)知x n ＝2n ＋n ， ∴S n ＝x 1＋x 2＋…＋x n＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n (n ＋1)2.11．设数列{a n }满足关系：a n ＝32a n －1＋5(n ≥2)，a 1＝－172，令b n＝a n ＋10，求数列{b n }的前n 项和S n .解 由a 1＝－172，a n ＝32a n －1＋5，b n ＝a n ＋10，知 b n ＝a n ＋10＝32a n －1＋15 ＝32(a n －1＋10)＝32b n －1. 又b 1＝a 1＋10＝10－172＝32.∴数列{b n }是首项为32，公比为32的等比数列，故 S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 1－32＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －3. 12．某单位从市场上购进一辆新型轿车，购价为36万元，该单位使用轿车时，一年需养路费、保险费、汽油费、年检费等约6万元，同时该车的年折旧率为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%，当年折旧的费用也为该年花费在该车上的费用)，试问：使用多少年后，该单位花费在该车上的费用就达36万元，并说明理由．解 用a n 表示该单位第n 年花费在轿车上的费用，则有 a 1＝6＋36×0.1， a 2＝6＋(36×0.9)×0.1，a 3＝6＋(36×0.92)×0.1，…， 类推可得a n ＝6＋(36×0.9n －1)×0.1. S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝6n ＋36×0.1×[1＋0.9＋0.92＋…＋0.9n －1] ＝6n ＋3.6×1－0.9n1－0.9＝6n ＋36(1－0.9n )．令S n ＝36，得n ＝6×0.9n,0.9n ＝n6. 注意到1<n <6，取值验证．当n ＝4时，0.94＝0.6561，46＝23≈0.6667，所以n ＝4.故使用4年后，花费在轿车上的费用就已达到36万元．高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
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1．已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22
221x y a b -=，1C 与
2C 的离心率之积为2，则1,C 2C 的离心率分别为（22
） 2．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足
23AFB π∠=
．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（3） 高二数学课前五分钟双基练（3.31）
1．双曲线22221x y a b
-=与曲线22
221(0,0)3x y a b a b -=>>的交点恰为某正方形的四个顶点，则双曲线的离心率为（2）
2．已知抛物线2
8y x =的焦点F 到双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>渐近线的距离为
5
，点P 是抛物线28y x =上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点1(0,)F c 的距离与到直线2x =-的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（2
214
y x -=）
高二数学课前五分钟双基练（4.01）
1．设点P 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上的一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，
已知12PF PF ⊥，且122PF PF =
2．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=的左、右焦点分别是,M N ．正三角形AMN 的一边AN 与
双曲线右支交于点B ，且4AN BN = ，则双曲线C 的离心率为（13
）
1．若双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>与直线y =无交点，则b a 的取值范围是（(
） 2．已知双曲线22
213x y b
-=两个焦点为分别为12,F F ，过点2F 的直线l 与该双曲线的右支交于,M N 两点，且1F MN ∆是以N 为直角顶点的等腰直角三角形，则1F NM S ∆为（12）
高二数学课前五分钟双基练（4.03） 1．已知双曲线22
1169
x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与该双曲线的右支交于,A B 两点，若5AB =，则1ABF ∆的周长为（26）
2．点P 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上，12,F F 是这条双曲线的两个焦点，1290F PF ∠= ，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（5）
高二数学课前五分钟双基练（4.04）
1．已知动点(,)P x y 在椭圆22
:12516
x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足1MF = 且0MP MF = ，则PM 的最小值为（）
2．已知点P 是椭圆22
1(0,0)168
x y x y +=≠≠上的动点，12,F F 是椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且1
0FM MP = ，则OM 的取值范围是(
0,。