椭圆的离心率试
求椭圆离心率的方法
求椭圆离心率的方法椭圆的离心率是描述椭圆形状程度的一个数值，它是一个无量纲量，通常用字母e表示。
离心率的计算是通过椭圆的半长轴和半短轴来推导得到的。
首先，我们需要明确椭圆的定义。
椭圆是一个平面上的封闭曲线，它的形状类似于拉长的圆。
椭圆具有一对焦点（F1和F2），而且椭圆上的每一点到这两个焦点的距离之和是一个常数（2a）。
椭圆的长轴是连接两个焦点的直线段，并通过椭圆的中心点，而短轴则是与长轴垂直且通过椭圆的中心点的线段。
椭圆的离心率可以通过椭圆的半长轴（a）和半短轴（b）来计算。
半长轴表示椭圆长轴的一半，即半长轴等于长轴长度的一半，记作a；半短轴表示椭圆短轴的一半，即半短轴等于短轴长度的一半，记作b。
离心率的计算公式如下：e = √(1 - (b^2/a^2))其中，e表示椭圆的离心率，b表示椭圆的半短轴长度，a表示椭圆的半长轴长度。
举个例子来说明，假设一个椭圆的半长轴的长度是4，半短轴的长度是2，我们可以通过公式来计算其离心率。
首先，计算a的平方：a^2 = 4^2 = 16然后，计算b的平方：b^2 = 2^2 = 4接下来，将b的平方除以a的平方：b^2/a^2 = 4/16 = 1/4最后，计算1减去b的平方除以a的平方的结果：1 - (1/4) = 3/4最后，我们取这个结果的平方根：√(3/4) ≈0.866因此，这个椭圆的离心率约为0.866。
我们可以看到，椭圆的离心率范围是0到1之间的实数，并且离心率越接近于0，椭圆的形状越趋近于圆；离心率越接近于1，椭圆的形状越趋近于长条形。
另外，如果我们已知椭圆的焦距（c）和长轴的长度（2a），也可以通过这些参数来计算椭圆的离心率。
这个计算公式为：e = c/a其中，e表示椭圆的离心率，c表示焦距的长度，a表示长轴的长度。
以上就是计算椭圆离心率的两种方法，通过半长轴和半短轴的长度或者通过焦距和长轴的长度都能得到椭圆的离心率。
椭圆中离心率求解的常见题型
b2
%； = - c，0 =—，而,2 ( C，0 )，则
一加又
B(0，b)，＜(-，0 )，则 Nb =b=-° =丄,由/[B 可得
0-
-
一弊=-+，则椭圆的离心率为_=f
训练二 椭圆的两个焦点分别为，1，，2，过,作椭 长轴的 垂线交椭圆于点；若△, 2为等腰直角三角形,则椭圆
是________.
解
由题意，可得弦AB =
也，点，1到直线0的距离Y = ■”--
c=b，即2b = b，解得椭圆的离心率为_土
题组训练三
在给定椭圆中，过焦点且 于长轴的弦长为//,焦点
到相应准线的距 1，则该椭圆的离心
.
解析 由题意，可得过焦点且 于长轴的 长为
比=//，焦点到相应准线的距离Y = =、- c = % = 1，解得椭
跟选择题的考 点，通常有求椭圆和双 的离 心率和离心率取值范围这两种题型，属于高考中的中 •
在教师平时的教学中发现学生经常遇到此类题型时 「手
无策， 结 近几年的高考试题和各地模拟卷中的一些
试 阐述解决这类 的一些较新的方法，以 考复习Biblioteka 考之用.一、 定义求离心率的值
例1 （2016全国I卷）直线Z经过椭圆的一个顶点和
的离心率是_______ . 解析 由图形可知等腰直角三角形的直角顶点只能是 b2
点,2，即，1，2 = ；，2，即2 c=—，解得椭圆的离心率为e =
/2 -1.
三、
在
离心率的值
例3如图所示，在平面直
角坐
中，< ,<2 , =1 , =2
2
2
为
兀 + b = 1 （ - > b > 0）
求椭圆离心率的方法
求椭圆离心率的方法椭圆是平面上的几何图形，具有有限个点的离心率的性质。
离心率是描述椭圆形状独特度的一个重要参数，它表明椭圆的偏心程度。
离心率的计算是通过椭圆的长短轴的长度来进行的。
首先，我们来了解一下什么是椭圆。
椭圆可以看作是一个平面上的一条固定点到平面上任意一点的距离之和等于常数的点的集合。
这个固定点叫做焦点，常数叫做焦距。
椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，并通过椭圆的中心点。
短轴是垂直于长轴的线段，并通过椭圆的中心点。
焦距的一半等于椭圆的离心距离。
椭圆的离心率是一个无量纲的比例，用e表示。
离心率的范围是0≤e<1，当e 等于0时，说明椭圆是一个圆；当e接近1时，椭圆的偏心程度越大。
要求椭圆的离心率，首先需要知道椭圆的长轴和短轴的长度。
假设椭圆的长轴长度是2a，短轴长度是2b，那么离心率e的计算公式为：e = √(a^2 - b^2)/a即离心率等于椭圆的长轴和短轴长度之差的平方根除以长轴长度。
通过这个公式，我们可以求解任意椭圆的离心率。
下面通过一个例子来进一步说明求解椭圆离心率的方法。
假设有一个椭圆，长轴的长度是6，短轴的长度是4。
我们先代入公式：e = √(6^2 - 4^2)/6计算得到离心率e=√(36-16)/6=√20/6≈0.82。
这个结果表明该椭圆的离心率约为0.82，说明椭圆的偏心程度较大。
除了通过椭圆的长短轴长度来计算离心率，还有另一种计算方法，即通过椭圆的焦点和焦距来计算离心率。
焦点的坐标可以表示为(F1,0)和(-F1,0)，焦距可以表示为2c。
离心率的计算公式如下：e = c/a对于上面的例子，假设焦点的坐标分别是(-2,0)和(2,0)，焦距是2c=4。
代入公式得到离心率e=4/6≈0.67，与前面的计算结果相近。
总结一下，我们可以通过椭圆的长短轴长度或者焦点和焦距来计算椭圆的离心率。
这个参数可以帮助我们进一步了解椭圆的形状特征，判断椭圆与其他几何图形的关系，以及在各种科学工程领域的应用。
椭圆的离心率
椭圆的离心率一、求离心率：（一）直接法：公式： e =c a =c 2a 2 =a 2-b 2a 2 =1-b 2a2 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为3.已知1m +2n =1(m >0,n >0)则当mn 取得最小值时，椭圆x 2m 2 +y 2n 2 =1的离心率为（二）寻找a ,b ,c 的齐次方程求解4.若椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)短轴端点为P 满足PF 1⏊PF 2,则椭圆的离心率为5.已知椭圆C ：x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y =-3 (x -c )与椭圆C 的一个交点为M （M 在第一象限）， 且满足条件∠MF 2F 1＝2∠MF 1F 2，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2 2 B ．2 -1C ．3 -1D ．3 26.已知椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且∠F 1AF 2=34 cos ，则椭圆的离心率e ＝（ ）A ．12 B ．2 2 C ．14D ．2 4 二、求离心率的取值范围：（一）利用题中的不等关系求解7.椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)的焦点为F 1,F 2,两条准线与x 轴的交点为M ,N ,若MN ≤2F 1F 2,则该椭圆的离心率的取值范围为8.已知椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)的焦点为F 1,F 2,B 为短轴的端点，BF 1∙ BF 2≥12 F 1F 2, 求椭圆的离心率的取值范围（二）借助平面几何的关系建立不等关系9. 已知F 1,F 2是椭圆x 2a 2 +y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点，若在其右准线上存在P ，使得线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是10.已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的一点，且∠F 1PF 2=600,椭圆离心率e 的取值范围是 2019级高二数学一级部 制作人：麻文芳 使用时间：2020年12月3日。
专题椭圆的离心率及范围
一、利用定义求椭圆的离心率（a c e = 或 221÷øöçèæ-=a b e ）1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率=e322，椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则=m [解析]当焦点在x 轴上时，32124=Þ=-m m ； 当焦点在y 轴上时，316214=Þ=-m m m ， 综上316=m 或3334，已知m,n,m+n 成等差数列，成等差数列，m m ，n ，mn [解析解析]]由Þïîïíì¹=+=02222mn n m n n m n îíì==42n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 5，已知)0.0(121>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为23 6，设椭圆2222by a x +=1=1（（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是21 椭圆的离心率及范围（2013年椭圆专题复习） ，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列等差数列，则椭圆的离心率是5成等比数列，则椭圆122=+n y m x 的离心率为1。
二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e 7，在D Rt ABC 中，90=ÐA ，1==AC AB ，如果一个椭圆过A 、B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率上，求这个椭圆的离心率 ()36-=e8， 如图所示如图所示,,椭圆中心在原点椭圆中心在原点,F ,F 是左焦点是左焦点,,直线1AB 与BF 交于D,D,且且901=ÐBDB ,则椭圆的离心率为则椭圆的离心率为( ) ( )2 F 2M F 1O M P F 2F 1O [解析解析] ]=Þ=-Þ-=-×e ac c a cba b 221)(215-ìa 2 –c 2=m(2a-c) 2(a 2-c 2)=m(2a+c)两式相除：2a-c 2a+c =12 Þe=231111．设椭圆．设椭圆）（0b a 1by a x 2222>>=+的左、右焦点分别为21F F 、，如果椭圆上存在点P ，使°=Ð90PF F 21，求离心率e 的取值范围。
求椭圆离心率的方法
求椭圆离心率的方法椭圆是一种重要的数学平面图形，它在物理、工程、天文学等领域中都有广泛的应用。
而离心率则是用来描述椭圆形状的一个重要参数，它可以通过多种方法计算或确定。
以下我将详细介绍椭圆离心率的计算方法。
首先，我们需要先了解椭圆的定义及相关性质。
椭圆是平面上到两个给定点（焦点）距离之和等于常数的点构成的集合。
而椭圆的离心率定义为焦点距离与长短轴长度之比的绝对值。
一般表示为e。
离心率可以描述椭圆的扁平程度，离心率越接近于零，椭圆越趋近于圆形；离心率越接近于1，椭圆越趋近于长条形。
那么如何计算一个给定椭圆的离心率呢？下面将介绍两种经典的计算方法。
第一种方法是使用椭圆的焦点和半轴长度来计算离心率。
椭圆的定义中提到了焦点距离之和等于常数的点构成椭圆。
我们可以通过测量椭圆上两个焦点的距离以及椭圆的长短轴长度来计算离心率的值。
具体的计算公式如下：e = c/a （1）其中e为椭圆离心率，c为两个焦点的距离，a为椭圆的长半轴长度。
第二种方法是使用椭圆的几何性质来计算离心率。
考虑给定椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
根据椭圆的性质，焦点的坐标可以表示为(c,0)和(-c,0)，其中c^2 = a^2 - b^2。
我们可以通过测量椭圆的长半轴长度a和短半轴长度b来计算离心率的值。
具体的计算公式如下：e = √(1 - b^2/a^2) （2）其中e为椭圆离心率，a为椭圆的长半轴长度，b为椭圆的短半轴长度。
以上是两种比较常见的计算离心率的方法。
但在实际应用中，我们往往通过测量椭圆上的焦点或半轴长度来确定椭圆的离心率。
比如，在天文学中，测量行星、彗星的椭圆轨道时，可以通过测量焦点距离和半轴长度来计算离心率，从而揭示天体运行的规律。
另外，还有一些特殊情况下的椭圆离心率计算方法。
当椭圆的离心率接近于1时，我们可以用近似公式：e ≈1 - (b/a) (3)其中e为椭圆离心率，a为长半轴长度，b为短半轴长度。
求椭圆离心率常用的三种方法
椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。
离心率确定 多思维破解——以２０２１年高考数学乙卷理科第１１题为例
㊀㊀㊀离心率确定㊀多思维破解以２０２１年高考数学乙卷理科第１１题为例◉广东省信宜市信宜中学㊀梁北永㊀㊀圆锥曲线(椭圆或双曲线)离心率取值范围的问题一直是高考的一个热点问题．此类问题创新新颖,形式各样,变化多端,难度较大．下面结合２０２１年高考数学乙卷理科试卷中的一道椭圆的离心率取值范围的确定加以剖析与总结．１真题呈现高考真题㊀(２０２１年高考数学乙卷理科第１１题)设B 是椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)的上顶点,若C 上的任意一点P 都满足|P B |ɤ２b ,则C 的离心率的取值范围是(㊀㊀)．A．㊀２２,１éëêê)㊀B ．１２,１éëêêöø÷㊀C ．０,㊀２２æèçùûúú㊀D．０,１２æèçùûúú２真题剖析该题以椭圆为问题背景,借助椭圆上的动点所对应的线段长度的不等式恒成立来设置问题,简单易懂．其实,类似的问题最早出现在２０２１年５月份东北三省三校(哈师大附中㊁东北师大附中㊁辽宁省实验中学)高考数学三模数学试卷(理科)中:问题㊀已知P 是椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)上任意一点,B 是椭圆C 的上顶点,|P B |ɤ２b 总成立,则椭圆离心率的取值范围是(㊀㊀)．A．０,㊀２２æèçùûúú㊀B ．㊀２２,１éëêêöø÷㊀C ．０,㊀３２æèçùûúú㊀D．㊀３２,１éëêêöø÷该问题与以上高考真题几乎一致,都以选择题的形式出现,题干基本一样,选项有些许不同,所选结果也是一样的．３真题破解方法１:二次函数的图象与性质法．解析:由题意可得B (０,b )．设P (x ０,y ０),则y ０ɪ[－b ,b ]．由x ２０a ２＋y ２０b ２＝１,可得x ２０＝a ２１－y ２０b ２æèçöø÷．那么|P B |２＝x ２０＋(y ０－b )２＝a ２１－y ２０b ２æèçöø÷＋y ２０－２b y ０＋b ２＝－c ２b ２y ２０－２b y ０＋a ２＋b ２＝－c ２b２y ２０＋２b ３c２y ０æèçöø÷＋a ２＋b ２．根据题目条件|P B |ɤ２b 恒成立,则知当y ０＝－b 时,|P B |２取得最大值(２b )２＝４b ２．结合二次函数的图象与性质,可知对称轴y ＝－b３c２ɤ－b ．整理得b ２ȡc ２,即a ２－c ２ȡc ２,解得a ȡ㊀２c ,故椭圆的离心率e ＝c a ɤ㊀２２．结合椭圆的离心率满足０＜e ＜１,则有０＜e ɤ㊀２２．故选择答案:C ．点评:设出动点P 的坐标,根据其满足椭圆方程进行合理变换,利用两点间的距离公式,合理消参,转化为含有参数y ０的二次函数问题．根据题目条件中|P B |ɤ２b 恒成立,转化为二次函数的图象与性质问题,建立对应的关系式．再利用椭圆离心率的公式以及取值范围来分析与处理．合理转化,把问题转化为二次函数问题来处理,是破解此类问题最常用的基本方法之一．方法２:椭圆与圆的位置关系法．解析:由C 上的任意一点P 都满足|P B |ɤ２b ,则知以B (０,b )为圆心,２b 为半径的圆与椭圆至多有一个交点．联立x ２a ２＋y ２b２＝１,x ２＋(y －b )２＝４b ２,{消去参数x 并整理,得(a ２－b ２)y ２＋２b ３y ＋３b ４－a ２b ２＝０．所以判别式Δ＝４b ６－４b ２(a ２－b ２)(３b ２－a ２)＝０,化简整理可得(a ２－２b ２)２＝０,解得a ＝㊀２b ．则椭圆的离心率e ＝c a ＝㊀１－b ２a２＝㊀２２．３４２０２２年１２月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀新颖试题命题考试Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀结合椭圆离心率e的几何意义可知,当eң０时,此时椭圆越圆,满足条件．所以０＜eɤ㊀２２．故选择答案:C．点评:根据题目条件中|P B|ɤ２b恒成立,转化为对应的圆与椭圆的位置关系问题．通过联立圆与椭圆的方程,消参转化为含y的二次方程,利用判别式为０确定对应参数的关系,进而求解此时所对应的椭圆离心率．再利用椭圆离心率e的几何意义确定离心率的取值范围．等价转化,结合圆与椭圆的位置关系,借助方程的判别式法来处理,思维巧妙．方法３:三角参数法．解析:由题意可得B(０,b)．根据点P是椭圆C:x２a２＋y２b２＝１(a＞b＞０)上的任意一点,可设P(a c o sα,b s i nα)(０ɤα＜２π)．由于|P B|ɤ２b恒成立,则有a２c o s２α＋(b s i nα－b)２ɤ４b２．整理可得(a２－b２)s i n２α＋２b２s i nα＋３b２－a２ȡ０．即[(a２－b２)s i nα＋３b２－a２](s i nα＋１)ȡ０．又s i nα＋１ȡ０恒成立,则(a２－b２)s i nα＋３b２－a２ȡ０,整理得s i nαȡa２－３b２a２－b２．由于|s i nα|ɤ１,则有a２－３b２a２－b２ɤ－１恒成立．整理得２b２ȡa２,即２a２－２c２ȡa２,解得aȡ㊀２c．故椭圆的离心率e＝caɤ㊀２２．结合椭圆的离心率满足０＜e＜１,则有０＜eɤ㊀２２．故选择答案:C．点评:根据点P是椭圆C上任意一点进行三角参数换元处理,结合题目条件中|P B|ɤ２b恒成立建立对应的不等式．通过十字相乘法加以因式分解,利用三角函数的图象与性质,结合不等式恒成立加以转化,建立含参的不等式问题．再利用椭圆离心率的公式以及取值范围来分析与处理．通过三角参数进行换元处理,引入三角函数,借助三角函数的相关知识来分析与处理,也是一种非常不错的破解方法．图１方法４:数形结合法．解析:由题意可得B(０,b),作出以点B为圆心,以２b为半径的圆,如图１所示．设A为圆上任意一点,设øA B O＝θ(０ɤθ＜π),则知A(２b s i nθ,－２b c o sθ＋b)．由C上的任意一点P都满足|P B|ɤ２b,则知点A必在椭圆C外(包括椭圆上),即(２b s i nθ)２a２＋(－２b c o sθ＋b)２b２ȡ１．㊀㊀㊀①当s i nθ＝０时,①式显然成立．当s i nθʂ０时,由①式可得b２a２ȡc o sθ－c o s２θs i n２θ＝c o sθ－c o s２θ１－c o s２θ＝c o sθ１＋c o sθ＝１－１１＋c o sθ恒成立．而c o sθ＜１,则有１－１１＋c o sθ＜１２,从而b２a２ȡ１２,即b２a２ȡ１２．整理得２b２ȡa２,即２a２－２c２ȡa２,解得aȡ㊀２c．故椭圆的离心率e＝caɤ㊀２２．结合椭圆的离心率满足０＜e＜１,则有０＜eɤ㊀２２．故选择答案:C．点评:根据题目条件作出以点B为圆心,以２b为半径的圆,通过题目条件中|P B|ɤ２b恒成立,数形结合转化为圆上任意一点A必在椭圆C外(包括椭圆上)．结合点A坐标的确定并代入椭圆方程,分离系数转化为三角函数关系式,结合不等式恒成立以及三角函数的取值范围建立不等式,再利用椭圆离心率的限制条件来分析与处理．数形结合处理,直观形象,合理转化,巧思妙想,也是一种不错的精彩解法．４教学启示破解圆锥曲线中离心率取值范围问题的常见策略技巧:(１)借助 题目条件 合理切入,直接利用题目条件中的不等信息建立对应的不等式(组),并利用圆锥曲线中离心率的取值限制条件加以综合与应用．(２)抓住 平面几何 数形直观,结合平面几何图形的基本性质,如三角形㊁圆等的基本性质,综合圆锥曲线的几何性质,数形结合,直观想象．(３)利用 三角参数 巧妙转化,合理利用题目条件引入三角函数,将目标问题转化为对应的三角函数问题,结合三角恒等变换以及三角函数的图象与性质等来确定对应的取值范围．(４)结合 端点效应 进行特殊处理,根据圆锥曲线中在极端位置时所对应的离心率,通过 动 与 静的结合来确定离心率的取值范围．对于具体的圆锥曲线离心率的取值范围问题,灵活应用,或一种策略独领风骚,或多种策略齐心协力,或另辟蹊径,合理转化,巧妙破解．Z４４命题考试新颖试题㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年１２月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
高二数学椭圆的离心率
高二数学椭圆的离心率(1)1.已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=_________．2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为_________．3.椭圆为定值，且的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_________．4.在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=_________．5.已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为_________．6.设F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，则椭圆的离心率为_________．7.已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是_________．8.椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为_________．椭圆的离心率（2）1.已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为_________．2.椭圆，F1，F2分别是其左、右焦点，若椭圆上存在点P满足|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是_________．3.设A为椭圆（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF=θ．（1）|AB|=_________；（2）若θ∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为_________．4.从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2，4b2]，则该椭圆离心率e的取值范围是_________．5.已知A，B，P为椭圆+=1（m，n＞0）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB 的斜率乘积k PA•k PB=﹣2，则该椭圆的离心率为_________．6.已知椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于_________．7.已知椭圆的上焦点为F，左、右顶点分别为B1，B2，下顶点为A，直线AB2与直线B1F交于点P，若，则椭圆的离心率为_________．8．如图，P是椭圆上的一点，F是椭圆的左焦点，且，则点P到该椭圆左准线的距离为_________．高二数学椭圆的离心率参考答案与试题解析一．填空题（共16小题）1．（2013•辽宁）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．，×|OF|==故答案为：2．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为．=，从的关系，可求得，=，，则，整理得）﹣=0，解得=故答案为：3．（2012•四川）椭圆为定值，且的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是．==故答案：．4．（2010•资阳三模）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=．，则，由此可知则∴答案：．5．（2007•福建）已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为．，=3故答案：．6．（2013•浙江模拟）设F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，则椭圆的离心率为．C+中，+e=故答案为：7．（2013•盐城一模）已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是．时，即解：∵椭圆=，时，即k=故答案为|=a+c=，则8．（2013•盐城二模）椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为．的面积为××=ab故答案为：9．（2013•松江区二模）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为15．解：∵椭圆方程为，10+|AB'|=10+=10+5=1510．（2012•浙江模拟）椭圆，F1，F2分别是其左、右焦点，若椭圆上存在点P满足|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是[，1）．）（x=≤）（，由题意可得﹣≤∴[[，）11．（2012•湘潭模拟）设A为椭圆（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF=θ．（1）|AB|=；（2）若θ∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为[，]．，可得，∴[，∴π≤π∴π∴；12．（2011•江苏模拟）从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2，4b2]，则该椭圆离心率e的取值范围是[，]．b=代的范围，即离心率解：设椭圆的标准方程为+）∴≤[，[，]13．已知A，B，P为椭圆+=1（m，n＞0）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积k PA•k PB=﹣2，则该椭圆的离心率为．则﹣﹣=2．故答案为：14．（2012•江苏一模）已知椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于．，建立关于离心率的方程，解方程求，，因为椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与==，故答案为：15．（2011•新余一模）已知椭圆的上焦点为F，左、右顶点分别为B1，B2，下顶点为A，直线AB2与直线B1F交于点P，若，则椭圆的离心率为．的坐标，由的方程，从而求出离心率（，∵，∴2b=0+=．椭圆的离心率为故答案为：16．如图，P是椭圆上的一点，F是椭圆的左焦点，且，则点P到该椭圆左准线的距离为．由在椭圆上及点横坐标为解：∵在椭圆上且∴，∴．到该椭圆左准线的距离故答案：．。
求椭圆的离心率习题专题
圆锥曲线的离心率问题的求解离心率是圆锥曲线的一个重要性质，是描述曲线形状的重要参数．椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据；双曲线的离心率是描述双曲线“开口”大小的一个重要数据；而抛物线的离心率是1.圆锥曲线的统一定义是按离心率的范围不同，确定圆锥曲线中的椭圆、双曲线和抛物线的类型.求离心率的关键是列出一个与a,b,c,e 有关的等式或不等关系.在此,要活用圆锥曲线的特征三角形.常用方法:１.利用曲线定义。
圆锥曲线的统一定义是与离心率密不可分的,在题目中挖掘这隐含信息有助于解题．２.利用曲线变量范围。
圆锥曲中变量的变化范围对离心率的影响是直接的,充分利用这一点，可优化解题．３.利用直线与曲线的位置关系。
根据题意找出直线与曲线相对的位置关系，列出相关元素的不等式，可迅速解题．４.利用点与曲线的位置关系。
根据某点在曲线的内部或外部，列出不等式，再求范围，是一个重要的解题途径．5.联立方程组。
如果有两曲线相交，将两个方程联立，解出交点，再利用范围，列出不等式并求其解．6.三角函数的有界性。
用三角知识建立等量关系，再利用三角函数的有界性，列出不等式易解．7.用根的判别式根据条件建立与ａ、ｂ、ｃ相关的一元二次方程，再用根的判别式列出不等式，可得简解8.构造关于e 的方程求解.9.数形结合法：解析几何和平面几何都是研究图形性质的，只不过平面几何只限于研究直线形和圆。
因此，在题设条件中有关圆、直线的问题，或题目中构造出直线形与圆，可以利用平面几何的性质简化计算。
圆锥曲线的离心率练习题1、已知椭圆的方程22221(0)x y a b a b+=>>，F 1,F 2是椭圆左右两个焦点，P 是椭圆上的一点 若12PF PF =，求椭圆离心率的取值范围。
2、已知椭圆的方程22221(0)x y a b a b+=>>，F 1,F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的一点 若123F PF π∠=，求椭圆离心率的取值范围。
椭圆的离心率(学生用)
椭圆的离心率1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率=e2.椭圆1422=+my x 的离心率为21，则=m 3.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是4.已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+n y m x 的离心率为 5.已知)0.0(121>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+ny m x 的的离心率为6.设椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是 。
7.在∆Rt ABC 中，90=∠A ，1==AC AB ，如果一个椭圆过A 、B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率8. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且 901=∠BDB ,则椭圆的离心率为 9.以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是10.椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e=11.椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，PF 2 ∥AB,求椭圆离心率 12. 将上题中的条件“PF 2 ∥AB ”变换为“PO ∥AB (O 为坐标原点)”相似题：椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e变式(1):椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)，e=-1+ 5 2, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF变式(2): 椭圆12222=+by ax (a ＞b ＞0)的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率e = ． 13.设椭圆）（0b a 1by a x 2222>>=+的左、右焦点分别为21F F 、，如果椭圆上存在点P ，使︒=∠90PF F 21，求离心率e 的取值范围 。
2.2.2椭圆的简单几何性质2——离心率问题
练习：
x2 y 2 (3)设 F1F2 是椭圆 E : 2 2 1(a b 0) 的左、右焦点 , a b
ABF2 为等边三角 过F 1 作轴的垂线与椭圆交于 A,B 两点 ,
形 ,则 E 的离心率为 __________.
x2 y 2 (4)[2013 辽 宁 ] 已 知 椭 圆 C : 2 2 1(a b 0) 的 左 焦 点 为 a b
变式2：已知椭圆
x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为F 、F , 1 2 a 2 b2
o F PF = 60 若椭圆上存在一点P,使得 , 则椭圆离心率e的范围 1 2 o F PF = 120 1 2 是 .
总结：
1．椭圆离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆的离 心率；二是求椭圆离心率的取值范围。 2．求椭圆的离心率：只需要由条件得到一个关于基本 量 a，b，c，e 的一个方程，就可以从中求出离心率． 3．求椭圆的离心率的取值范围：通常可以从两个方面 来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、 角的大小等；二是通过设椭圆点的坐标，利用椭圆 本身的范围，列出不等式．
椭圆的焦点三角形问题 2 2 x y 例 3.椭圆 点 P 为椭圆上的点， 1的焦点为 F1、F2 ， 25 9 (1) 满足F1PF2 为直角的点 P 的个数； (2)当 F1 PF2 为钝角时，求点 P 的横坐标的取值范围；
(3)若 F1PF2 的内切圆半径为 1 ，求 PF 的值. 1 PF2
2
x2 y 2 (1)(12 新课标 )设 F1F2 是椭圆 E : 2 2 1(a b 0) a b
3a 的左、右焦点 , P 为直线 x 上一点 , F2 PF 1 是底角 2
椭圆离心率50道题训练含详解
（2）设椭圆 ： ， 为椭圆 上一点，过点 的直线交椭圆 于A， 两点，且 为线段 的中点，过 ， 两点的直线交椭圆 于 ， 两点，如图．当 在椭圆 上移动时，四边形 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
1．C
【详解】
由椭圆 ，可得 ，所以 ，
所以椭圆的离心率为 .
15．已知椭圆 ： 的离心率为 ，则 的值可能是（）
A． B． C． D．
16．椭圆的中心在原点，离心率为 ，则该椭圆的方程可能为（）
A． B．
C． D．
17．已知曲线 ： ，其中 为非零常数，则下列结论中正确的是（）
A．当 时，则曲线 是一个圆
B．当 时，则曲线 是一个椭圆
C．若 时，则曲线 是焦点为 的椭圆
A．椭圆的离心率是 B．线段AB长度的取值范围是
C． 面积的最大值是 D． 的周长存在最大值
22．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为 和 ，半焦距分别为 和 ，离心率分别为 和 ，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
34．椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，已知 ， ，则椭圆 的离心率为___________.
35．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，且 ，若第一象限的点 、 在 上， ， ， ，则直线 的斜率为__________.
36．设 , 分别是椭圆 的左､右焦点，过点 的直线交椭圆 于 两点， ，若 ，则椭圆 的离心率为___________.
四、解答题
44．已知椭圆的焦点为 和 ， 是椭圆上的一点，且 是 与 的等差中项.
高三数学专项训练：离心率的求法
高三数学专项训练：离心率的求法1．椭圆221168x y +=的离心率为（ ）A ．13 B ．12 C D 2．已知点A 是椭圆上一点，F 为椭圆的一个焦点，且xAF ⊥( )A.B. 1C. 1D.3．已知椭圆C 的长轴长为2，两准线间的距离为16，则椭圆的离心率e 为（ ）A B C D 4．若椭圆上存在一点P ，使得点P 到两焦点的距离之比为1:2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）5的焦点在x 轴上，则它的离心率的取值范围为（ ）6．已知圆(x-2)2+y 2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e=A ．1 BC ．7．已知m 是两个正数8,2的等比中项，则圆锥曲线 （ ）A B8．设椭圆的两个焦点分别为121,,F F F 过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰三角形，则椭圆的离心率为 （ ）A 9倍，则椭圆的离心率等于（ ）A. 22；B. 2；C. 21； D. 23；10．若点P 在以F 1，F 2为焦点的椭圆上，PF 2⊥F 1F 2___________11．已知12,F F 是椭圆, 若存在点P 为椭圆上一点, 使则椭圆离心率e 的取值范围是A BCD ．12．则椭圆的离心率为（ ）A 13．.一个正方形内接于椭圆，并有两边垂直于椭圆长轴且分别经过它的焦点则椭圆的离心率为（ ）Ａ Ｂ Ｃ Ｄ14．连接椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点得到的直线方程为220x y -+=，则该椭圆的离心率为（ ）A15M ，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，若212||||2MF MF b ⋅=，则椭圆离心率的取值范围是 ）。
A B D16．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为( )17．已知椭圆x y k k ky x 12)0(3222=>=+的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是( )A B18（ ）A B ．C ．D ． 19．在ABC △中，90A ∠= ，．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率为（ ）A ．220．焦点在x 轴的椭圆C 过A 21．若椭圆两准线间的距离是焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ）A ．21B ．31C ．33 D ．4122．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）A23．从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e 为（ ）A B C D24．F 1，F 2右焦点，O 为坐标原点，半径的圆与该左半椭圆的两个交点A 、B ，且2F AB ∆是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）A.B. D.25．若椭圆上一点与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为（ ▲ ）A B C D 26．ABC ∆是等腰三角形，B ∠=︒120，则以B A ,为焦点且过点C 的双曲线的离心率为27F 1，F 2，设P 是双曲线右支上一点，12F F 在1F P 上的投影的大小恰好为｜1F P ｜，且它们的夹角为率e 为28．已知抛物线22(0)y px p=>的焦点恰好是椭圆F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则椭圆的离心率为 ( ）CD29．设O为坐标原点，存在点P满足▲）30．P若12PFPF=且）A B C D31．若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为( )AC D32的两顶点为(,0),(0,)A aB b，且左焦点为F，FAB∆是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（）ACD33．＞b＞01有相同的焦点，则椭圆的离心率为A BCD34．过椭圆左焦点F且倾斜角为060的直线交椭圆于BA,两点，A35．若双曲线x ya b2222-=1 (a>0，b>0)的渐近线与圆(x-2)2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是A．(2，+∞) B．(1，2) C．(1．+∞)36的离心率为（ ）A B C D37则双曲线的离心率为A. 2B.C.D.38．已知点F ，A 分别为双曲线C ： (0,0)a b >>的左焦点、右顶点，点满足FB AB ⊥，则双曲线的离心率为B.C ． D.39的两个焦点分别为12,F F ,过作垂直于x 轴的直线,与双曲线的一个交点为P ,且01230PF F ∠=,则双曲线的离心率为（ ）A ．2BC ．3D 40．已知双曲线221kx y -=210x y ++=垂直,则双曲线的离心率是（ ）A B C D41．以双曲线两焦点为直径的端点的圆交双曲线于四个不同点，顺次连接这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，那么这个双曲线的离心率等于ABCD 42．．已知双曲线的焦点1F 、2F 在x 轴上,A 为双曲线上一点, x AF ⊥2轴,1:3||:||21=AF AF ,则双曲线的离心率为（ ）A B ．243． 为F1、F2，P 是准线上一点，且1PF ·2PF =0，则双曲线的离心率是44的渐近线与抛物线21y x =+有且只有两个公共点，则该双曲线的离心率A ．5B C D45．如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点，A 、D 为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是 （ ）A B C D461，则双曲线的离心率为47．已知双曲线C:(a>0，b>0)的右焦点为F,过F 且斜率为的直线交C 于A 、B 两点，若，则C 的离心率为（ ）A.B. C.D.48的左、右焦点分别是1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于不同的两点M 、N ．若△1MNF 为正三角形，则该双曲线的离心率为49F 的直线l 与双曲线的左支交于A 、B 两点，且以线段AB 为直径的圆被双曲线C 那么双曲线的离心率为（A （B （C ）2 （D12右焦点,B.5 D.3参考答案1．D【解析】试题分析：根据已知条件可知，椭圆的方程221168x y+=，那么可知焦点在x轴上，且a=4,b=2221688c a b c=-=-=∴=,那么结合离心率公式e=42ca==,故选D.2．C【解析】试题分析：设焦点(),0F c，椭圆方程中令x c=得考点：求椭圆离心率点评：求离心率关键是找到关于,,a b c的齐次方程或不等式3．C【解析】解：因为椭圆C的长轴长为2=2a，a=1，两准线间的距离为C4．D【解析】分析：设椭圆上点P到两焦点F1、F2距离比为1：2，则PF1=r，PF2=2r，可得2a=PF1+PF2=3r．再由椭圆上动点P满足|PF1-PF2|≤2c，可得23a≤6c，最后结合椭圆的离心率满足0＜e＜1，得到该椭圆的离心率e的取值范围．解答：解：设椭圆的两焦点分别为F1、F2，∵点P到两焦点F1、F2距离比为1：2，∴设PF1=r，则PF2=2r，可得2a=PF1+PF2=3r，r=23a∵|PF1-PF2|=r≤2c，（当P点在F2F1延长线上时，取等号）∴23a≤2c，所以椭圆离心率e=ca≥13又∵椭圆的离心率满足0＜e＜1，∴该椭圆的离心率e∈[13，1)故答案为D5．C【解析】此题考查椭圆的标准方程的形式、离心率的计算、椭圆中离心率的范围；由已知得21541(,1)4a aa>+⇒∈，且5e==≤=，所以选C；此题利用均值不等式求的范围；6．D【解析】有图形位置关系知：园过点(,0)a和点(,0)c C为半焦距，于是22(2)1,(2)1a c -=-=由于a c >解得13,13a c e ==∴= 故选D7．D 【解析】m 4m 4a 2b 1c e c/a m 4a 1b 2c e D==±=======-====解：依题意可知当时，曲线为椭圆，，，则当时，曲线为双曲线，，，故选8．D 【解析】依题意可得，112PF F F ⊥，所以12F PF ∆是等腰直角三角形，则11221||||2,|||PF F F c PF PF ====。
求椭圆及双曲线的离心率的习题(最新整理)
求椭圆的离心率1、已知F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率． e ＝.23532、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且＝2BF，则C 的离心率为________．解析：答案：FD333、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且＝2BF，则C 的离心率为________．如图，设椭圆的标准方程为＋＝1(a ＞b ＞0)不妨设B 为FD 22x a22y b上顶点，F 为右焦点，设D (x ，y )．由＝2，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，BF FD即，解得，D (，－)．2()2c x c b y =-⎧⎨-=⎩322c x by ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩32c 2b 由D 在椭圆上得：＝1， ∴＝，∴e＝.22223()()22b c a b -+22c a13ca4、设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l的倾斜角为60o ,2AF FB =.椭圆C 的离心率；解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0.直线l 的方程为 )y x c =-，其中c=.联立2222),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)30a b y cy b ++-=解得12y y ==因为2AF FB =，所以122y y -=.即2=得离心率23c e a ==. 5．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于________．6、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆＋＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，Mx 2a 2y 2b2为线段AB 的中点，若∠MOA ＝30°，则该椭圆的离心率为________． 答案：637．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为( )A. B. C. D. ，故选B.1525452158、设椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，Bx 2a 2y 2b2两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．e ＝.339．椭圆（）的两个焦点分别为、，以、为边作正三角形，若椭22221x y a b+=0a b >>F 2F 1F 2F 圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为（B ）eA B C ．D 1-4(2-10、已知F 是椭圆的左焦点，A ，B 分别是其在x 轴正半轴和y 轴正半轴上的顶点，P 是椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，那么该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.2224123211、如图所示，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．易知直线B 2A 2的方程为bx ＋ay －ab ＝0，直线B 1F 2的方程为bx －cy －bc ＝0.联立可得P .又A 2(a ，0)，B 1(0，－b )，(2ac a ＋c ，b （a －c ）a ＋c)所以＝，＝.PB 1→ (－2ac a ＋c ，－2ab a ＋c )PA 2→ (a （a －c ）a ＋c ，－b （a －c ）a ＋c)因为∠B 1PA 2为钝角，所以·<0， 即＋<0.PA 2→ PB 1→ －2a 2c （a －c ）（a ＋c ）22ab 2（a －c ）（a ＋c ）2化简得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故＋－1>0即e 2＋e －1>0，. 而0<e <1，所以(c a )2 c a 5－12<e <1求双曲线的离心率1、已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．由三角形相似或平行线分线段成比例定理得＝，∴＝3，即e ＝326a c ca2、已知F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.＋1 B.＋1 C ．2 D ．2 选B32323、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±x ，则该双曲线的离心率e 等于( )12A ．5 B. C. D. 选C552542.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是( )ABC D 【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=-⎪--++⎝⎭ ，因此222,4,ABBC a b e =∴=∴=C4、设F 1，2是双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，x 2a 2y 2b2且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( )A. B ．2 C. D ．2353如图，设P 为右支上一点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，最小角∠PF 1F 2＝30°，由余弦定理得：(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×4a ×2c ·cos 30°， 解得e ＝c a＝.35、过双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两x 2a 2y 2b2点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，b 2a。
椭圆的离心率专题训练汇总
椭圆的离心率专题训练（带详细解析）一．选择题（共29小题）1．（2015?潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．（2015?河南模拟）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．（2015?湖北校级模拟）已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．4．（2015?西安校级三模）斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．（2015?广西模拟）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．（2015?绥化一模）已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．7．（2015?长沙模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．8．（2015?朝阳二模）椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．9．（2015?新余二模）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．或10．（2015?怀化二模）设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．（2015?南昌校级二模）设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．12．（2015?宜宾县模拟）设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13．（2015?高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l14．（2015?宁城县三模）已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．15．（2015?郑州二模）已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．16．（2015?绍兴一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．17．（2015?兰州模拟）已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A． B．C．D．18．（2015?甘肃校级模拟）设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．（2015?青羊区校级模拟）点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B．C．D．﹣120．（2015?包头一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x 2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]21．（2015?甘肃一模）在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，） B．（，1）C．（，1）D．（0，）22．（2015?杭州一模）设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6D．9﹣623．（2015?宜宾模拟）直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且?=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）24．（2015?南宁三模）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足?=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，]B．（0，]C．[，1）D．[，]25．（2015?张掖模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．（2015?永州一模）已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C． D．27．（2015?山东校级模拟）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）28．（2015?鹰潭一模）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．29．（2015?江西校级二模）已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．（2015?潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．2．（2015?河南模拟）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．解答：解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．3．（2015?湖北校级模拟）已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以：AB=NF，再根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a，由离心率公式e==由的范围，进一步求出结论．解答：解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A点评：本题考查的知识点：椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型．4．（2015?西安校级三模）斜率为的直线l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，两边乘2a 2b 2，求得关于的方程求得e ．解答：解：两个交点横坐标是﹣c ，c 所以两个交点分别为（﹣c ，﹣c ）（c ，c ）代入椭圆=1两边乘2a 2b2则c 2（2b 2+a 2）=2a 2b 2∵b 2=a 2﹣c2c 2（3a 2﹣2c 2）=2a^4﹣2a 2c 22a^4﹣5a 2c 2+2c^4=0 （2a 2﹣c 2）（a 2﹣2c 2）=0=2，或∵0＜e ＜1 所以e==故选 A点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了椭圆方程中a ，b 和c 的关系．5．（2015?广西模拟）设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|PF 2|=x ，在直角三角形PF 1F 2中，依题意可求得|PF 1|与|F 1F 2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．解答：解：设|PF 2|=x ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．点评：本题考查椭圆的简单性质，利用三角形边角关系求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力．6．（2015?绥化一模）已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：压轴题．分析：在焦点△F1PF2中，设P（x0，y0），由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标，因为，故内心I的纵坐标与G相同，最后利用三角形F1PF2的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、b、c的等式，即可解得离心率解答：解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为G（，），∵，∴IG∥x轴，∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴=?|F1F2|?|y0|又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||∴?|F1F2|?|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即×2c?|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率e==故选 A点评：本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用，椭圆离心率的求法7．（2015?长沙模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．考点：椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（m，n ），由得到n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得到b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得到m2的解析式，由m2≥0及m2≤a2求得的范围．解答：解：设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）?（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n 2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b 2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．点评：本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题．8．（2015?朝阳二模）椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：如图，Rt△MF2 F1中，tan60°==，建立关于a、c的方程，解方程求出的值．解答：解：如图，在Rt△MF1F2中，∠MF2F1=60°，F1F2=2c∴MF2=4c，MF1=2 cMF1+MF2=4c+2c=2a?e==2﹣，故选B．点评：本题考查直角三角形中的边角关系，椭圆的简单性质，一元二次方程的解法．9．（2015?新余二模）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．或考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆C的离心率e的计算公式即可得出解答：解：∵椭圆C上的点P满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e的取值范围是．故选：C．点评：本题考查了椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆的离心率的计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．（2015?怀化二模）设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先根据椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a，再利用余弦定理化简整理得cos∠PF1F2=﹣1，进而根据均值不等式确定|PF1||PF2|的范围，进而确定cos∠PF1F2的最小值，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，确定椭圆离心率的取值范围．解答：解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是e∈．故选A．点评：本题主要考查了椭圆的应用．当P点在短轴的端点时∠F1PF2值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．11．（2015?南昌校级二模）设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设P（asinα，bcosα），所以根据条件可得到，b2换上a2﹣c2从而可得到，再根据a，c＞0，即可解出离心率的取值范围．解答：解：设P（asinα，bcosα），A1（﹣a，0），A2（a，0）；∴，；∴；∴；∴，a，c＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的顶点的定义，顶点的坐标，由点的坐标求直线的斜率，以及b2=a2﹣c2，椭圆斜率的概念及计算公式，设出P点坐标是求解本题的关键．12．（2015?宜宾县模拟）设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭（a＞b＞0），运用椭圆的定义，可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得a+c=12，解得a，c，运用离心率公式计算即可得到．解答：解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．13．（2015?高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A的坐标，代入椭圆方程可得离心率．解答：解：设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则，∴m=，n=c，代入椭圆方程可得，化简可得e4﹣8e2+4=0，∴e=﹣1，故选：D．点评：本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．14．（2015?宁城县三模）已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F1（﹣c，0），F2（c，0），（c＞0），通过|F1F2|=2|PF2|，求出椭圆的离心率e．解答：解：F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），（c＞0），P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，可得2c=2，即ac=b2=a2﹣c2．可得e2+e﹣1=0．解得e=．故选：D．点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意通径的求法．15．（2015?郑州二模）已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．椭圆的简单性质．考点：计算题；作图题；圆锥曲线中的最值与范围问题．专题：分由题意作图，从而设设点Q（x0，y0），从而由2|PF1|=3|QF1|可写出点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；析：再由椭圆的第二定义可得|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，从而可得3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），从而化简得到x0=﹣，再由|PF2|=|F1F2|及椭圆的第二定义可得3a2+5c2﹣8ac=0，从而解得．解解：由题意作图如右图，答：l 1，l 2是椭圆的准线，设点Q （x 0，y 0），∵2|PF 1|=3|QF 1|，∴点P （﹣c ﹣x 0，﹣y 0）；又∵|PF 1|=|MP|，|QF 1|=|QA|，∴2|MP|=3|QA|，又∵|MP|=﹣c ﹣x 0+，|QA|=x 0+，∴3（x 0+）=2（﹣c ﹣x 0+），解得，x 0=﹣，∵|PF 2|=|F 1F 2|，∴（c+x 0+）=2c ；将x 0=﹣代入化简可得，3a 2+5c 2﹣8ac=0，即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A ．点评：本题考查了椭圆的性质应用及数形结合的思想应用，属于中档题．16．（2015?绍兴一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，可得∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，可得|AF2|=c，|AF1|=c．再利用椭圆的定义即可得出．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，在Rt△OMF2中，∴∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，|AF2|=c，|AF1|=c．∴2a=c+c，∴=﹣1．故选：C．点评：本题考查了直角三角形的边角关系及其性质、椭圆的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（2015?兰州模拟）已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A． B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：由已知可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|，进而在△F1OM中，|F1O|=c，|F1M|=a，|OM|=a，在△OF2M中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|=a，由∠MOF1=180°﹣∠MOF2得：cos∠MOF1+cos∠MOF2=0，结合余弦定理，化简整理，再由离心率公式计算可得答案．解答：解：∵|MF1|=|MO|=|MF2|，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|，即|MF2|=a，|MF1|=a，在△F1OM中，|F1O|=c，|F1M|=a，|OM|=a，则cos∠MOF1==，在△OF2M中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|=a，则cos∠MOF2==，由∠MOF1=180°﹣∠MOF2得：cos∠MOF1+cos∠MOF2=0，即为+=0，整理得：3c2﹣2a2=0，即=，即e2=，即有e=．故选：D．点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，主要考查离心率的求法，构造关于a，c的方程是解答的关键，难度中档．18．（2015?甘肃校级模拟）设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知P（，y），可得F1P的中点Q的坐标，求出斜率，利用，可得y2=2b2﹣，由此可得结论．解答：解：由已知P（，y），得F1P的中点Q的坐标为（），∴，∵，∴y2=2b2﹣，∴y2=（a2﹣c2）（3﹣）＞0，∴3﹣＞0，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：C．点评：本题考查椭圆的离心率的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定F1P的中点Q的坐标是解答该题的关键，是中档题．19．（2015?青羊区校级模拟）点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B．C．D．﹣1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先，写出焦点F的坐标，然后，根据△AOF为正三角形，建立等式，求解其离心率．解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k=tan60°=，∴点P坐标为：（c，c），代人椭圆的标准方程，得，∴b2c2+3a2c2=4a2b2，∴e=．故选：D．点评：本题重点考查了椭圆的概念和基本性质，属于中档题．求解离心率的解题关键是想法设法建立关于a，b，c的等量关系，然后，进行求解．20．（2015?包头一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x 2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，连接OE，OF，OM，由于△MEF为正三角形，可得∠OME=30°，OM=2b≤a，再利用离心率计算公式即可得出．解答：解：如图所示，连接OE，OF，OM，∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆C的离心率e==．又e＜1．∴椭圆C的离心率的取值范围是．故选：C．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（2015?甘肃一模）在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，） B．（，1）C．（，1）D．（0，）考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：A．根据△ABC是锐角三角形，可得∠BAD＜45°，且1＞，化为，解出即可．解答：解：如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A ．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（2015?杭州一模）设F 1、F 2为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，直线l 过焦点F 2且与椭圆交于A ，B 两点，若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e ，则e 2=（）A ．2﹣B ．3﹣C ．11﹣6D ．9﹣6考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：可设|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=m ，若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF 1|=m ，|BF 1|=m ，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m ，再由勾股定理，可得a ，c 的方程，运用离心率公式计算即可得到．解答：解：可设|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=m ，若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF 1|=m ，|BF 1|=m ，由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ，即有4a=2m+m ，即m=2（2﹣）a ，则|AF 2|=2a ﹣m=（2）a ，在直角三角形AF 1F 2中，|F 1F 2|2=|AF 1|2+|AF 2|2，即4c 2=4（2﹣）2a 2+4（）2a 2，即有c 2=（9﹣6）a 2，即有e2==9﹣6．故选D．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键．23．（2015?宜宾模拟）直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且?=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）考点：椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F2是椭圆的右焦点．由?=0，可得BF⊥AF，再由O点为AB的中点，OF=OF2．可得四边形AFBF2是矩形．设∠ABF=θ，可得BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，利用椭圆的定义可得BF+BF2=2a，可得e=，即可得出．解答：解：设F2是椭圆的右焦点．∵?=0，∴BF⊥AF，∵O点为AB的中点，OF=OF2．∴四边形AFBF2是平行四边形，∴四边形AFBF2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，sinθ+cosθ=，∵θ∈（0，]，∴∈，∴∈．∴∈，∴e∈．故选：D．点评：本题考查了椭圆的定义及其标准方程性质、矩形的定义、三角函数的单调性、两角和差的正弦，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．（2015?南宁三模）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足?=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，]B．（0，]C．[，1）D．[，]考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（x0，y0），则2c2=，化为．又，可得=，利用，利用离心率计算公式即可得出．解答：解：设P（x0，y0），则2c2==（﹣c﹣x0，﹣y0）?（c﹣x0，﹣y0）=+，化为．又，∴=，∵，∴，∵b2=a2﹣c2，∴，∴．故选：A．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量数量积运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25．（2015?张掖模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（x0，y0），则，可得：=．由于，可得=c2，化为=，利用，及其离心率计算公式即可得出．解答：解：设P（x0，y0），则，∴=．∵，∴（﹣c﹣x0，﹣y0）?（c﹣x0，﹣y0）=c2，化为=c2，∴=2c2，化为=，∵，∴0≤≤a2，解得．故选：D．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、不等式的解法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．26．（2015?永州一模）已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作出直线y=x+2，过A作直线y=x+2的对称点C，2a=|PA|+|PB|≤|CD|+|DB|=|BC|，即可得到a的最大值，由于c=1，由离心率公式即可得到．解答：解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，对应的离心率e有最大值，故选C．点评：本题主要考查椭圆的定义和椭圆的离心率的求法，考查直线的对称问题，属于中档题．27．（2015?山东校级模拟）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作出图形，则易知|AF2|=a+c，|BF2|=，再由∠BAF2是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF2，然后通过0＜k＜，分子分母同除a2得0＜＜求解．解答：解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．点评：本题考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角，难度不大，但需要灵活运用和转化知识．28．（2015?鹰潭一模）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用O、P、A、B四点共圆的性质及椭圆离心率的概念，综合分析即可求得椭圆C 的离心率的取值范围．解答：解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，∴|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即，∴，又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1），故选：A．优质文档相信能就一定能点评：本题考查椭圆的离心率，考查四点共圆的性质及三角函数的概念，考查转化与方程思想，属于难题．29．（2015?江西校级二模）已知圆O 1：（x ﹣2）2+y 2=16和圆O 2：x 2+y 2=r 2（0＜r ＜2），动圆M 与圆O 1、圆O 2都相切，动圆圆心M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e 1、e 2（e 1＞e 2），则e 1+2e 2的最小值是（）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别求出e 1、e 2（e 1＞e 2），利用基本不等式求出e 1+2e 2的最小值．解答：解：①当动圆M 与圆O 1、O 2都相内切时，|MO 2|+|MO 1|=4﹣r=2a ，∴e 1=．②当动圆M 与圆O 1相内切而与O 2相外切时，|MO 1|+|MO 2|=4+r=2a ′，∴e 2=∴e 1+2e 2=+=，令12﹣r=t （10＜t ＜12），e 1+2e 2=2×≥2×==故选：A ．点评：本题考查了两圆相切的性质、椭圆的离心率，属于难题．健康文档放心下载放心阅读。
椭圆的离心率解析
解析：由题意得椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，所以a2＝ ，b2＝ ，
所以c2＝a2－b2＝ ，e2＝ ＝ ，e＝ .
3、已知椭圆 过点 ，当 取得最小值时，椭圆的离心率为（）
A． B． C． D． 【答案】D
【解析】由点在椭圆上则： ，
则
当且仅当 ，即 ，由椭圆来自离心率 ，∴椭圆的离心率 ，故选：D．
椭圆的离心率
考向一根据a,b,c的值或关系直接求离心率
1、已知椭圆 的一个焦点为 ，则 的离心率为（）
A． B． C． D． 答案：C
解析：利用椭圆的焦点坐标，求出 ，然后求解椭圆的离心率即可．
椭圆 的一个焦点为 ，可得 ，解得 ， ，
所以 ．故选：C．
2、已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m＞0)，则此椭圆的离心率为()
10、已知椭圆 的焦点为 ， ，过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点.若 ， ，则椭圆 的离心率为______.
解析:根据题意作出图形，设 ，则 ，利用椭圆的定义求出 的表达式，在 中利用余弦定理求出 ，在 中，利用余弦定理求出 的表达式，代入离心率公式求解即可.根据题意，作图如下：
设 ，则 ，由椭圆的定义知， ， ，因为 ，所以 ，在 中，由余弦定理可得， ，在 中，由余弦定理可得， ，即 ，解得 ，所以 ，所以椭圆离心率 .故答案为： 答案:
4、若椭圆 的离心率为 ，则椭圆长轴长为____________.
解析：首先将方程转化为标准方程，进而能够得出 ，然后求出 ，从而得出长轴长,椭圆 即 ，当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，由 ，得 ， ，解得 ， ，即长轴长为 ，当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，即长轴长为 ，综上所述，椭圆长轴长为 或 .故答案为： 或 答案： 或
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椭圆的离心率试————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：1．椭圆2212516x y +=的离心率等于（ ）A ．45 B ．35C ．34 D ．432．中心在原点，焦点在x 轴上，焦距等于6，离心率等于35，则椭圆的方程是（ ） A ．22110036x y += B ．22110064x y +=C ．2212516x y +=D ．221259x y +=3．已知椭圆222155x y a a +=>（）的焦点为1F ,2F ，且离心率23e =，若点P 在椭圆上，14PF =，则2PF 的值为（ ）A ．2B ．6C ．8D ．144．已知1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得12PF PF ⊥，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．5,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．50,5⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．20,2⎛⎤⎥ ⎝⎦5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于,A B 两点，若,0,12AF BF FAB π⎛⎤⊥∠∈ ⎥⎝⎦，则C 的离心率取值范围为（ ）A ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．6,13⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．3,13⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 6．已知椭圆C ：22221x y a b+=的左焦点为F ，若点F 关于直线12y x =的对称点P 在椭圆C上，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12 B ．22 C ．33 D ．537．以O 为中心，1F ，2F 为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足1222MF MO MF ==u u u u r u u u u r u u u u r，则该椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．33 C ．63D ．248．已知1F ，2F 分别是椭圆()2201mx y m m +=<<的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，若2211PF PF PF +u u u u r u u u r u u u r的最小值为43，则椭圆的离心率是（ ） A ．12 B ．13C ．14D ．159．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为12,A A ，点M 为椭圆上不同于12,A A 的一点，若直线12,MA MA 与直线的斜率之积为12-，则椭圆的离心率为（ ） A ．12 B ．13C ．22D ．3310．设1F ，2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆上存在一点P 使得121293,4PF PF b PF PF ab -=⋅=，则该椭圆的离心率为（ ） A ．13 B ．23 C ．23 D ．223参考答案与试题解析1．椭圆2212516x y +=的离心率等于（ ）A ．45 B ．35C ．34 D ．43【分析】椭圆2212516x y +=的焦点在x 轴上，5,4a b ==，223c a b =-=，椭圆的离心率35c e a ==，即可求得答案． 【解答】解：由题意可知：椭圆2212516x y +=的焦点在x 轴上，5,4a b ==，223c a b =-=，∴椭圆的离心率35c e a ==， 椭圆2212516x y +=的离心率35， 故选B ．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆的离心率公式的应用，属于基础题．2．中心在原点，焦点在x 轴上，焦距等于6，离心率等于35，则椭圆的方程是（ ） A ．22110036x y += B ．22110064x y +=C ．2212516x y +=D ．221259x y +=【分析】根据焦距求得c ，进而利用离心率求得a ，则b 可求得，进而求得椭圆的方程．【解答】解：依题意226316355c c b c a a =⎧=⎧⎪⇒⇒=⎨⎨==⎩⎪⎩， 所以，所求椭圆方程为2212516x y +=．故选C ．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了椭圆的基础知识的掌握．3．已知椭圆222155x y a a +=>（）的焦点为1F ,2F ，且离心率23e =，若点P 在椭圆上，14PF =，则2PF 的值为（ ）A ．2B ．6C ．8D ．14【分析】由椭圆的焦点在x 轴上，25,5b c a ==-，则离心率23c e a == ，即22594a a -=，解得：293a a ==，，根据椭圆的定义：126PF PF +=，即22PF =|．【解答】解：椭圆222155x y a a +=>（），椭圆的焦点在x 轴上，25,5b c a ==-， 则离心率23c e a ==，即22594a a -=，解得：29,3a a ==∴椭圆的长轴长为26a =，由椭圆的定义可知：126PF PF +=，即22PF =，故选A ．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆的定义应用，考查计算能力，属于中档题．4．已知1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得12PF PF ⊥，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．5,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．50,5⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．20,2⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】解设点(),P x y ，由12PF PF ⊥，得222x y c +=，与椭圆方程式联立方程组，能求出该椭圆的离心率的取值范围．【解答】解：∵1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右两个焦点，∴离心率()()2221201,,0,0,e F c F c c a b <<-=-,，设点(),P x y ，由12PF PF ⊥，得()(),,0x c y x c y -+=，化简得222x y c +=，联立方程组22222221x y c x y ab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，整理，得()2222220a x c a c =-⋅≥， 解得22e ≥，又01e <<， ∴212e ≤<． 故选：B ．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线垂直等知识点的灵活运用．5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于,A B 两点，若,0,12AF BF FAB π⎛⎤⊥∠∈ ⎥⎝⎦，则C 的离心率取值范围为（ ）A ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．6,13⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．3,13⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【分析】由题意可知：四边形2AFBF 是矩形．由2cos BF c θ=， 22sin BF AF c θ==，根据椭圆的定义22BF BF a +=，即可表示出1cos sin e θθ=+，利用辅助角公式，及正弦函数的性质，即可求得sin cos θθ+的取值范围，即可求得椭圆的离心率的取值范围． 【解答】解：设2F 是椭圆的右焦点，由AF BF ⊥，∵O 点为AB 的中点，2OF OF =，则四边形2AFBF 是平行四边形， ∴四边形2AFBF 是矩形．如图所示设FAB θ∠=，则2sin BF c θ=， 22cos BF AF c θ==，22BF BF a +=，∴2cos 2sin 2c c a θθ+=， ∴1cos sin e θθ=+，sin cos 2sin 4πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∵0,12πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， ∴,443πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，则23sin ,422πθ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ∴62sin 1,42πθ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ∴e ∈6,13⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭． 故选B ．【点评】本题考查椭圆的性质，考查椭圆的定义，辅助角公式的应用，正弦函数的性质，考查计算能力，考查数形结合思想，属于中档题．6．已知椭圆C ：22221x y a b+=的左焦点为F ，若点F 关于直线12y x =的对称点P 在椭圆C上，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12 B ．22 C ．33 D ．53【分析】求出F 关于直线12y x =的对称点P 的坐标，代入椭圆方程，整理可得椭圆C 的离心率．【解答】解：椭圆C ：22221x y a b+=的左焦点(),0F c -，设F 关于12y x =的对称点()00,P x y ， 则000012222y x c y x c-⎧=-⋅⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得003545x c y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴34,55P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入椭圆C ：22221x y a b+=，得222291612525c c a b+=，即22222291625b c a c a b +=． ∴()()2222222291625a cca c a a c -+=-．整理得：()()225950e e --=．解得25e =（舍）或259e =， ∴53e =． 故选：D ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，训练了点关于直线的对称点的求法，是中档题．7．以O 为中心，1F ，2F 为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足1222MF MO MF ==u u u u r u u u u r u u u u r，则该椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．33 C ．63D ．24【分析】延长MO 与椭圆交于N ，由已知条件能推导出四边形12MF NF 是平行四边形，再由平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，结合椭圆的性质求出椭圆的离心率． 【解答】解：延长MO 与椭圆交于N ， ∵MN 与1F 2F 互相平分， ∴四边形12MF NF 是平行四边形，∵平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，∴222222121212MN F F MF MF NF NF +=+++，∵12222232MF MF MF MF MF a +=+==，1223NF MF a ==，2143NF MF a ==，122F F c =， ∴()22222244224233333a c a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2223c a =， ∴2633e ==． 故选：C ．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，熟练掌握椭圆的性质，是中档题．8．已知1F ，2F 分别是椭圆()2201mx y m m +=<<的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，若2211PF PF PF +u u u u r u u u r u u u r的最小值为43，则椭圆的离心率是（ ） A ．12 B ．13C ．14 D ． 15 【分析】由题意画出图形，再由2211PF PF PF +u u u u r u u u r u u u r的最小值为43，结合对勾函数的单调性可知当1PF u u u r取最大值为a c +时成立，求得c 值，则椭圆离心率可求． 【解答】解：令12,PF s PF t ==u u u r u u u u r，则2211PF PF PF +u u u u r u u u r u u u r为2t s s +，其最小值为43， 则2t s的最小值为13．由椭圆22mx y m +=，得221y x m+=，∵01m <<，∴椭圆的长轴长为2．∴()224143s s ss -=+-≥，∴4133s s +≥， 由4133s s +=，解得43s =或3s =（舍）． 由对勾函数的单调性可知，当s 有最大值为43a c +=时，2t s s+有最小值为43， 即413c +=，得13c =． ∴椭圆的离心率13c e a ==． 故选：B ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，训练了利用“对勾函数”的单调性求函数最值，是中档题．9．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为12,A A ，点M 为椭圆上不同于12,A A 的一点，若直线12,MA MA 与直线的斜率之积为12-，则椭圆的离心率为（ ） A ．12 B ．13 C ．22 D ．33 【分析】设出M 坐标，由直线,AM BM 的斜率之积为12-得一关系式，再由点M 在椭圆上变形可得另一关系式，联立后结合隐含条件求得椭圆的离心率．【解答】解：由椭圆方程可知，()(),0,,0A a B a -，设()00,M x y ，∴0000,AM BM y y k k x a x a==+-， 则000012y y x a x a ⋅=-+-，整理得：2022012y x a =--，① 又2200221x y a b +=，得()2222002=b y a x a-，即2202220y b x a a=--，② 联立①②，得2212b a -=-，即22212a c a --=-，解得22e =． 故选：C ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．10．设1F ，2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆上存在一点P 使得121293,4PF PF b PF PF ab -=⋅=，则该椭圆的离心率为（ ） A ．13 B ．23 C ．23 D ．223【分析】由椭圆定义可得122PF PF a +=，解方程可得12,PF PF ，由条件可得a b ,的方程，求得3a b =，由,a b c ,的关系和离心率公式，计算即可得到所求离心率． 【解答】解：由椭圆定义可得122PF PF a +=，123PF PF b -=， 解得()()121123,2322PF a b PF a b =+=-， 1294PF PF ab ⋅=， 可得()22194944a b ab -=， 即为224990a ab b --=，化为()()3340b a b a -+=，可得3a b =，2222922c a b b b b =-=-=， 则该椭圆的离心率为223c e a ==． 故选：D ．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义和方程思想，考查运算能力，属于中档题．。