【高考调研】高考数学精品复习 第四章专题训练
高考数学专题04高考考前调研卷(四)(2021年整理)
2019年高考数学专题04 高考考前调研卷（四）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学专题04 高考考前调研卷（四））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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专题04 高考考前调研卷（四）【命题说明】命题者是在认真研究近几年新课标全国卷高考试题，命题时严格按照全国Ⅰ卷格式编排，以最新发布的2018年全国卷《考试说明》为依据，内容确保不超纲。
调研卷体现高考“前瞻性”和“预测性”。
试卷力争做到形、神与新课标全国卷风格一致，让学生和教师有“高考卷”的感觉.试卷中知识点分布、试卷的总字数(包括各科选择题的题干字数、大题材料的长度、信息的有效性)、选项文字的长度、答案的规范、难易度的梯度等,都要符合高考试卷特点。
一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。
已知集合{|lg(2)0}A x x =-≤，={|13}B x x -≤≤，则A B ⋂= （ ) A ．[1,3]-B ．[1,2]-C ．(2,3]D ．(1,2]【答案】C 【解析】：由lg(2)0x -≤解得：021x <-≤,所以{|23}A x x =<≤，所以{|23}A B x x ⋂=<≤。
故选项C 正确。
2.已知向量(1,3),(3,1),a b m =-=若a b ⊥，则||b =（ ）A ．﹣1B ．1C ．D 【答案】C【解析】：因为a b ⊥，所以330,1m m -=∴=，所以2||31b =+=,故选项C 正确.3.复数Z 满足(1)|1i Z -=+Z = （ ） A ．1+i B ．1i -C ．1i --D ．1+i -【答案】B 【解析】根据已知得：(1)2i Z -=,所以22(1)11(1)(1)i Z i i i i +===+--+，所以1Z i =-,故选项B 正确。
第四章 专题研究 三角函数的值域与最值
授 人 以 渔
1＋k 4± 7 解之得 k＝ 3
课 时 作 业
4－ 7 4＋ 7 ∴函数 f(x)的值域为[ ， ] 3 3
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高三数学（理）
第四章
专题研究
课 前 自 助 餐
sinx (2)f(x)＝ cosx
sinx≤cosx sinx>cosx
作出图象 2 由图象知，－1≤y≤ 2
授 人 以 渔
探究3 借助一些代数式的几何意义或三角函 数的图象可直观地求出函数的值域，从而减 少运算量．
课 时 作 业
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高三数学（理）
第四章
专题研究
课 前 自 助 餐
专题训练
授 人 以 渔 课 时 作 业
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课 时 作 业
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高三数学（理）
第四章
专题研究
题型三 数形结合求三角函数的值域
课 前 自 助 餐
授 人 以 渔
2－sinx 例 3 (1)求函数 f(x)＝ 的值域． 2＋cosx 1 1 (2) 已 知 f(x) ＝ (sinx ＋ cosx) － |sinx － 2 2 cosx|，求 f(x)的值域． 2－sinx 【解析】 (1)函数 f(x)＝ ，可看作 2＋cosx 点(2,2)(－cosx，sinx)两点连线的斜率． 点(－cosx，sinx)的轨迹为 x2＋y2＝1.
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第四章
专题研究
专题研究
课 前 自 助 餐
三角函数的值域与最值
专题要点
1.
函数 定义域 值域 y＝sinx R [－1,1] cosx R [－1,1] tanx π {x|x≠kπ＋ ，k∈Z} 2 R
【高考调研】高考数学 4-5-1 绝对值不等式精品复习课件
3－x 3 2 ∴ －x＝ 3 2 x － 2
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(3)原不等式等价于①x －2x＋4<－2x 或②x －2x＋4>2x. 解①得无解，解②得x≠2. ∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠2}． 1 1 (4)原不等式等价于－ (3－2x)<x＋6< (3－2x)． 4 4
2
2
4x＋24>2x－3， 即 4x＋24<3－2x.
(3)|x2－2x＋4|>2x；(4)4|x＋6|<3－2x.
【思路分析】 【解析】 这四个小题分别代表四个基本类型． (1)原不等式等价于－2<x－1<2，
解得{x|－1<x<3}．
(2)原不等式等价于x2－1>3或x2－1<－3， 由x2－1>3，得x>2或x<－2. 由x2－1<－3，得x2<－2无解． ∴原不等式的解集为{x|x>2或x<－2}．
答案 D 解析 由题意可得集合A＝{x|a－1＜x＜a＋1}，集合B＝{x|x＜b－2或x
＞b＋2}，又因为A⊆B，所以有a＋1≤b－2或b＋2≤a－1，即a－b≤－3
或a－b≥3.因此选D.
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题型一
例1 解下列不等式
授人以渔
绝对值不等式的解法
(1)|x－1|<2；(2)|x2－1|>3；
高考调研 ·新课标高考总复 习 2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
高考调研精讲精练北师大版选修4-4数学2-2.1
＋1＝0 联立可求得交点坐标．
第7页
高考调研 ·北师大·数学选修4-4
【解析】 (1)直线 l 的参数方程为
x＝3＋tcos120°， y＝4＋tsin120° (t
为参数)，
x＝3－12t，
即 y＝4＋
3 2t
(t
为参数)．
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高考调研 ·北师大·数学选修4-4
x＝3－12t，
(2)把 y＝4＋
y＝y0＋tsinα
(2) 过 定 点 A(x1 ， y1) 、 B(x2 ， y2) 的 直 线 的 参 数 方 程 为 x＝x11＋＋λλx2， y＝y11＋＋λλy2 (λ 为参数，λ≠－1)，其中 λ 的几何意义是动点 M
分有向线段A→B的数量比AMMB.
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高考调研 ·北师大·数学选修4-4
设直线 l 上与已知点 M0 相距为 2 的点为 M 点，且 M 点对应 的参数为 t，
则|M0M|＝|t|＝2，即 t＝±2，将 t 的值代入直线 l 的参数方程， 当 t＝2 时，M 点在 M0 点的上方，其坐标为(－3，3＋ 3)； 当 t＝－2 时，M 点在 M0 点的下方，其坐标为(－1，3－ 3)．
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高考调研 ·北师大·数学选修4-4
思 考 题 2 (2016·银 川 九 中 月 考 ) 已 知 直 线 l ：
x＝－1－3m，
(m 为参数)与双曲线(y－2)2－x2＝1 相交于 A，B
y＝2＋4m
两点，P 点坐标(－1，2)．求： (1)|PA|·|PB|的值； (2)弦长|AB|； (3)弦 AB 中点 M 与点 P 的距离．
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高考调研 ·北师大·数学选修4-4
【解析】 直线 l 的参数(t 为参数)， 代入双曲线方程并整理得 7t2－30t－50＝0，
【高考调研】届高考数学总复习 第四章 三角函数 课时作业20(含解析)理 新人教A版.doc
课时作业(二十)1．下列命题为真命题的是( )A ．角α＝k π＋π3 (k ∈Z )是第一象限角B ．若sin α＝sin π7，则α＝π7C ．－300°角与60°角的终边相同D ．若A ＝{α|α＝2k π，k ∈Z }，B ＝{α|α＝4k π，k ∈Z }，则A ＝B 答案 C2．与－463°终边相同的角的集合是 ( )A ．{α|α＝k ·360°＋463°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·360°＋103°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·360°＋257°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·360°－257°，k ∈Z } 答案 C解析 显然当k ＝－2时，k ·360°＋257°＝－463°，故选C. 3．若600°角的终边上有一点P (－4，a )，则a 的值为 ( )A ．4 3B ．－4 3C ．±4 3 D. 3答案 B解析 tan600°＝tan(360°＋240°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝3＝a－4，∴a ＝－4 3.4．sin 2·cos 3·tan 4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在答案 A解析 ∵π2<2<3<π<4<3π2，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0. ∴sin2·cos3·tan4<0，∴选A.5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．2sin1C.2sin1D ．sin2答案 C解析 ∵2R sin1＝2，∴R ＝1sin1，l ＝|α|R ＝2sin1，故选C. 6．在△ABC 中，若sin A ·cos B ·tan C <0，则△ABC 的形状是 ( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定答案 B解析 ∵△ABC 中每个角都在(0，π)内，∴sin A >0. ∵sin A ·cos B ·tan C <0，∴cos B ·tan C <0. 若B ，C 同为锐角，则cos B ·tan C >0. ∴B ，C 中必定有一个钝角． ∴△ABC 是钝角三角形．故选B.7．已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4 B.3π4 C.5π4D.7π4答案 D解析 由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ在第四象限，∵tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.8．(2013·临沂模拟)若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵A 、B 是锐角△ABC 的两个内角， ∴A ＋B >90°，即A >90°－B .∴sin A >sin(90°－B )＝cos B ，cos A <cos(90°－B )＝sin B . ∴cos B －sin A <0，sin B －cos A >0. ∴点P 在第二象限．故选B.9．下列三角函数值结果为正的是( )A ．cos100°B ．sin700°C ．tan(－2π3)D ．sin(－9π4)答案 C解析 100°为第二象限角，cos100°<0；700°＝2×360°－20°，为第四象限角，∴sin700°<0；－2π3为第三象限角，tan(－2π3)>0；－9π4＝－2π－π4为第四象限角．∴sin(－9π4)<0.10．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( )A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ>tan θ>sin θC ．sin θ>tan θ>cos θD ．tan θ>sin θ>cos θ答案 D解析 ∵π4<θ<π2，∴tan θ>1，sin θ－cos θ＝2sin(θ－π4)．∵π4<θ<π2，0<θ－π4<π4，∴sin(θ－π4)>0，∴sin θ>cos θ. 11．给出四个命题①若α∈(0，π2)，则sin α<α；②若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1；③若α、β为第一象限角且α>β，则sin α>sin β； ④ cos2>0.以上命题为真命题的有________． 答案 ①②12．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是________．答案 25π，910π，75π，1910π解析 由已知θ＝2k π＋8π5(k ∈Z )．∴θ4＝k π2＋2π5(k ∈Z )． 由0≤k π2＋2π5≤2π，得－45≤k ≤165. ∵k ∈Z ，∴k ＝0,1,2,3.∴θ4依次为25π，910π，75π，1910π. 13．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________． 答案 －43或－433解析 方法一 依题意可知角α的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34，易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－433. 方法二 ∵sin α·cos α＝34>0，∴sin α·cos α同号． ∴角α在第三象限，即P (－4，a )在第三象限，∴a <0. 根据三角函数的定义a16＋a2·－416＋a2＝34， 解得a ＝－43或a ＝－433.14．如果θ是第二象限角，且cos θ2－sinθ2＝1－sin θ，那么θ2所在象限为第________象限．答案 三解析 ∵cos θ2－sin θ2＝1－sin θ＝|cos θ2－sin θ2|，∴cos θ2≥sin θ2，∴2k π－3π4≤θ2≤2k π＋π4，k ∈Z .又∵2k π＋π2＜θ＜2k π＋π，k ∈Z ，∴k π＋π4＜θ2＜k π＋π2，∴2k π＋5π4＜θ2＜2k π＋3π2.故θ2为第三象限角． 15．若0<α<β<π2，则下列不等式正确的是________．①sin α＋sin β<α＋β ②α＋sin β<sin α＋β③α·sin α<β·sin β ④β·sin α<α·sin β 答案 ①②③解析 由已知得sin α<α，sin β<β，0<sin α<sin β，因此sin α＋sin β<α＋β，即选项①正确．α·sin α<β·sin β，即选项③正确．构造函数f (x )＝x －sin x (其中x >0)，则f ′(x )＝1－cos x ≥0，因此函数f (x )＝x －sin x 在(0，＋∞)上是增函数，当0<α<β<π2时，有f (α)<f (β)，即α－sin α<β－sin β，α＋sin β<sin α＋β，选项②正确．对于选项D ，当α＝π6，β＝π3时，β·sin α＝π6>π6·32＝α·sin β，选项④不正确．16．扇形的中心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________． 答案7＋439解析 设内切圆的半径为r ， 扇形半径为R ，则(R －r )sin60°＝r . ∴R ＝(1＋23)r .∴S 扇形S 圆＝12·2π3R 2πr 2＝13(R r )2＝13(1＋23)2＝7＋439. 17．(教材习题改编)若α的终边落在x ＋y ＝0上，求出在[－360°，360°]之间的所有角α.答案 －225°，－45°，135°，315°解析 若角α终边落在Ⅱ象限，∴{α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z }．若角α的终边落在Ⅳ象限内，∴{α|α＝7π4＋2k π，k ∈Z }．∴α终边落在x ＋y ＝0上角的集合为{α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z }∪{α|α＝7π4＋2k π，k ∈Z }＝{α|α＝3π4＋k π，k ∈Z }．令－360°≤135°＋k ·180°≤360°，∴k ＝{－2，－1,0,1}． ∴相应的角－225°，－45°，135°，315°.18．在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝22x (x ≥0)．求sin(α＋π6)的值．答案1＋266解析 由射线l 的方程为y ＝22x ，可得sin α＝223，cos α＝13.故sin(α＋π6)＝223×32＋13×12＝1＋266.1．已知θ是第一象限的角，且|sin θ2|＝－sin θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 C解析 θ是第一象限的角，∴2k π<θ <π2＋2k π(k ∈Z )．∴k π<θ2<π4＋k π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π<θ2<π4＋2n π(n ∈Z )，θ2是第一象限的角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时， π＋2n π<θ2<5π4＋2n π(n ∈Z )，θ2是第三象限的角；又⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，所以sin θ2≤0.在θ2是第一象限角和第三象限角中只有第三象限角满足sin θ2≤0.故选C. 2．已知－360°≤β＜0°且β与α＝70°的终边关于直线y ＝x 对称，则β＝________.答案 －340°3．已知tan θ<0，且角θ终边上一点为(－1，y )，且cos θ＝－12，则y ＝________.答案3解析 ∵cos θ＝－12<0，tan θ<0，∴θ为第二象限角，则y >0. ∴由－11＋y2＝－12，得y ＝ 3. 4．表盘上零点时，时针与分针重合，再次重合时时针和分针各转过了多少弧度？。
2023必修一人教版高考调研数学
2023必修一人教版高考调研数学数学作为一门基础学科，在高考中占据了重要地位。
为了适应社会的发展需求，2023年高考对数学的要求也进行了调整。
本文将对2023年必修一人教版高考调研数学进行分析和解读。
第一章分式函数与图像的性质1. 分式函数的定义与性质分式函数在高中数学中扮演着重要的角色，其定义为两个多项式函数的商。
分式函数的性质包括定义域、值域、奇偶性以及图像的特点等等。
2. 分式函数的图像与解析式分式函数的图像形态各异，通过对解析式的推敲和分析，可以准确绘制分式函数的图像。
同时，了解分式函数的图像特点有助于解决实际问题。
第二章平面上的向量1. 向量的基本概念向量是空间中的一个有方向和大小的量，可以通过起点和终点来表示。
向量的加法、减法和数量积等运算是研究向量的基础。
2. 平面上的向量运算利用向量的基本运算，可以求解向量的大小、夹角以及向量之间的关系。
这些技巧在几何问题和物理问题中都有广泛的应用。
第三章空间解析几何1. 空间点与向量空间中的点可以由坐标表示，同时向量也可以定义为点的有序组。
空间点与向量之间有着密切的联系，可以通过向量表示点的位置关系和几何性质。
2. 空间中直线与平面的方程直线和平面是空间几何中的重要概念，其方程形式各异。
掌握直线和平面的方程可以推导出几何关系和求解问题。
第四章三角比与三角函数1. 角度与弧度的换算角度和弧度是度量角的单位，两者之间可以进行换算。
在高考数学中，要灵活运用角度和弧度概念，解决与三角函数相关的题目。
2. 三角函数的图像与性质通过对正弦函数、余弦函数和正切函数的图像分析，可以总结出它们的基本性质，并应用到实际问题中。
第五章函数的应用1. 函数的模型建立在实际问题中，我们可以通过观察问题的特点和已知条件，建立数学模型。
掌握函数的应用技巧，可以将实际问题转化为数学问题进行求解。
2. 函数的最值与增减性函数的最值和增减性对于求解优化问题至关重要。
通过对函数的增减性及最值的分析，可以确定函数的取值范围和最优解。
高考调研高考数学总复习配套4-4简单的三角恒等变换
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 ·高三数学（理）
＝cos10°－22ssinin103°0°－10° ＝cos10°－2sin302°csoins1100°°－cos30°sin10°
＝cos10°－2122csoisn1100°°－
3
2
sin10° ＝
3 2.
【答案】
1 (1)8
－α)]＝2sin(π4－α)，∵0<α<π4，∴0<π4－α<π4，又 cos(π4－α)＝1123，
∴
sin(
π 4
－
α)
＝
1－cos2π4－α ＝
1－11232
＝
5 13
，
∴
原
式
＝
2×153＝1103.
【答案】
10 13
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课时作业
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探究 2 (1)该题在确定三角函数值的正负时，必须应用一定 的技巧，增添了解答的难度．不过，所需要用到的公式和性质， 都是最基础的，为多数考生所熟悉．因此，绝大多数的考生都能 入手解题，不致束手无策．
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(2)求1＋2sicno2s02°0°－2sin10°·tan80°的值． 【解析】 原式＝4si2nc1o0s°2c1o0s°10°－2sin10°·csoins8800°° ＝2csoisn1100°°－2sins1i0n°1c0o°s10° ＝2csoisn1100°°－ssiinn1200°°＝cos102°s－in120s°in20°
高考调研数学4-6
第四章
第6课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
π π π k 对称轴方程为 2x－6＝2＋kπ，x＝3＋2π. π kπ π 所以 y＝sin(2x－6)的对称中心为( 2 ＋12，0) π k 对称轴为 x＝3＋2π(k∈Z)． π π π 【解法二】 由 2x－ ＝2(x－ )知 y＝sin(2x－ )图 6 12 6 π 像是由 y＝sin2x 图像向右平移了 个单位， 12
第四章
第6课时
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请注意！
近两年的新课标高考对三角变换的考查要求有所降 低，而对三角函数的图像与性质考查有所加强，但以选择 填空为主，如 2010· 陕西卷 5，安徽卷 6 等.
第四章
第6课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
第四章
第6课时
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高三数学（新课标版· 理）
1. 函数 周期性 奇偶性 y＝sinx y＝cosx
T＝2π
y＝tanx
T＝π
T＝2π
奇函数
偶函数
奇函数
第四章
第6课时
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函数
y＝sinx
y＝cosx
[2kπ－π ，
y＝tanx
π (kπ－ ，kπ＋ 2
π [2 k π － ，2kπ＋ 增区 2 π 单 间 ](k∈Z) 2 调 π [2 k π ＋ ，2kπ＋ 区 减区 2 3π 间 )(k∈Z) 2
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
第四章 三角函数
第四章
三角函数
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
第6课时 三角函数的性质
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学选修1-2第四章 单元测试题
第四章单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．以下说法正确的是()A．工序流程图中不可能出现闭合回路B．程序流程图中不可能出现闭合回路C．在一个程序流程图中三种程序结构可以都不出现D．在一个程序流程图中三种程序结构必须都出现答案 A解析考查了流程图的定义及特点．故选A.2．据流程图可得结果为()A．19B．67C．51 D．70答案 D解析即求1＋4＋7＋10＋13＋16＋19＝70.故选D.3．根据二分法原理求解方程x2－2＝0得到的程序框图可称为()A．工序流程图B．程序流程图C．知识结构图D．组织结构图答案 B解析根据二分法原理求解方程x2－2＝0的过程既不是工业生产的流程，也不是知识结构或组织结构，所以排除A、C、D，答案为B.4．下面的知识结构图是哪种类型结构()A．树形B．环形C．对称形D．左右形答案 A解析知识结构图通常以“树形”的形状出现．故选A.5．程序框图输出的x1，x2，x3的意义是()A．由小到大排列B．x1＝x2＝x3＝xC．由大到小排列D．将x1，x2，x3互换赋值答案 C解析按照流程图的思路，在判断框中进行判断，输出的最后结果为三个数由大到小的排列．故选C.6．下图为sum＝1＋3＋5＋…＋101的程序框图，其中①应为()A．A＝101? B．A≤101?C．A>101? D．A≥101?答案 B解析按照题意，当数据小于等于101时需要对其做出判断，继续求和．故选B.7．按照下图的程序计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是()A．6 B．21C．156 D．231答案 D解析将3输入后首先进行计算，得到的结果是6来代替输入的3，然后进行判断.6<100循环进行计算，用21来代替6，进行判断，最终当第一个大于100的数时输出结果．故选D.8．下述流程图，如图所示，输出d的含义是()A ．点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离B ．点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的平方 C ．点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的倒数D ．两条平行线间的距离 答案 A 解析 d ＝|Z 1|Z 2＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B D 2.故选A. 9．要解决下面的四个问题，只用顺序结构画不出其流程图的是( )A ．利用公式1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，计算1＋2＋…＋10的值 B ．当圆的面积已知时，求圆的周长 C ．当给定一个数x ，求其绝对值 D ．求函数f (x )＝x 2－4x ＋5的函数值 答案 C解析 C 中需要用到选择结果．故选C.10．下图是某公司的组织结构图，后勤部的直接领导为( )A ．总工程师B ．专家办公室C ．总经理D ．财务部答案 B解析 后勤部的“上位”要素是专家办公室，而“上位”要素与“下位”要素之间是直接的从属关系．故选B.11．(2010·陕西)如图是求样本x 1，x 2，…x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )A ．S ＝S ＋x nB ．S ＝S ＋x nn C ．S ＝S ＋n D ．S ＝S ＋1n答案 A解析 根据题意可知该框图的算法功能是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x ，要求平均数x 须先求和，观察框图执行框里面应填充求和变量关系S ＝S ＋x n ，故选A.12．以下给出的计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内填入的条件是( )A ．i >10?B ．i <10?C ．i >20?D ．i <20? 答案 A解析 多项式共有10项．故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．如图所示的是输出1000以内能被3和5整除的所有正整数的算法流程图，其中错误的部分是________．答案②解析②中a＝15n＋1应改为a＝15n.对于①③④均正确．14．已知框图如图所示：若a＝5，则输出b＝________.答案26解析若a＝5，程序执行否，计算b＝52＋1＝26.故b＝26.15．如图所示的是为计算某一表达式而绘制的流程图，则该表达式为________．答案22＋42＋62＋…＋1002解析由图知，从i＝2开始，依次开始加2，又当i>100时，退出循环，故填22＋42＋62＋ (1002)16．按程序框图运算：规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算．若x＝5，则运算进行________次才停止；若运算进行5次才停止，则x的取值范围是________．答案4；(2,4]解析 第一次运算：5×3－2＝13<244. 第二次运算：13×3－2＝37<244. 第三次运算：37×3－2＝109<244. 第四步运算：109×3－2＝325>244. ∴要进行4次运算才结束． 第一次运算：3x －2＝3x －(3－1)．第二次运算：3×[3x －(3－1)]－2＝32x －(32－1)． 第三次运算：3×[32x －(32－1)]－2＝33x －(33－1)． ⋮ ⋮第n 次运算：3×[3n －1x －(3n －1－1)]－2＝3n x －(3n －1)． ∵要进行5次运算，∴第四次所得的结果小于等于244，第五次所得的结果大于244.即⎩⎪⎨⎪⎧34x －(34－1)≤244，35x －(35－1)>244， ∴2<x ≤4.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)按有关规定，儿童乘火车，若身高不超过1.1 m ，则无需购票；若身高超过1.1 m ，但不超过1.4 m ，可买半票；若超过1.4 m 应买全票．试设计一个购票流程图．解析 由题意画购票流程如图．18．(12分)某人在2004年买了一辆价值15万元的汽车，汽车将以每年20%的速度折旧．请用算法流程图描述汽车的价值变化，并输出4年后汽车的价值．解析用P表示汽车的价值，不难算出2005年汽车的价值P＝15×(1－20%)＝12(万元)，2006年汽车的价值P＝12×(1－20%)＝9.6(万元)，2007年汽车的价值P＝9.6×(1－20%)＝7.68(万元)，2008年汽车的价值P＝7.68×(1－20%)＝6.144(万元)，这个变化用赋值语句表示为P＝P(1－20%)．其算法流程图如图所示．19．(12分)某药厂生产某产品工艺过程：(1)备料、前处理、提取、制粒、压片、包衣、颗粒分装、包装．(2)提取环节经检验，合格，进入下个工序，否则返回前处理．(3)包衣、颗粒分装两环节检验合格进入下个工序，否则为废品．画出生产该产品的工序流程图．解析该产品的工序流程图：20.(12分)根据框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等差数列吗？解析 若将打印出来的数列依次记为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，则a 1＝1，a 2＝a 1＋3＝1＋3＝4，a 3＝a 2＋3＝4＋3＝7，a 4＝a 3＋3＝7＋3＝10，a 5＝a 4＋3＝10＋3＝13.于是可得递推公式⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1a n ＝a n －1＋3. 由于a n －a n －1＝3，因此这个数列是等差数列．21．(12分)某公司组织结构中的部门间关系有：股东大会是一切政策制定和计划实施的最终审批机构，其下有董事会为其负责，监事会为董事会提供顾问和决策建议．董事会下设总经理管理日常工作，总经理直接领导综合办公室的工作．由综合办公室再去管理其他各部门的工作，由职能管理部门管理人力企划部、计财部、监察审计部；市场营销部门又下设市场开拓部、采购部、集团客户部；工程部门负责工程部、后勤部、售后服务部的工作；技术研发部门管理产品开发部、技术支持部．根据以上信息，绘制出组织结构图．解析 结构图如下：22．(12分)求满足10<x2<1000的所有正整数x的值，用程序框图画出来．解析如图所示：。
高考调研精讲精练北师大版选修4-4数学1-3
高考调研 ·北师大·数学选修4-4
x＝rcosθ (2)点 M 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(r，θ，z)的关系为y＝rsinθ
z＝zＷ. (3)特别地，r＝常数，表示的是以 z 轴为轴的圆柱面； θ＝常数，表示的是过 z 轴的半平面； z＝常数，表示的是与 xOy 平面平行的平面．
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(1)∵(r，φ，θ)＝(2， 4 ， 4 )，
x＝rsinφcosθ＝2sin3π4 cos5π4 ＝－1， ∴y＝rsinφsinθ＝2sin3π4 sin5π4 ＝－1，
z＝rcosφ＝2cos3π4 ＝－ 2. ∴(－1，－1，－ 2)为所求．
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高考调研 ·北师大·数学选修4-4
π 2π (2)∵(r，φ，θ)＝(6， 3 ， 3 )，
z＝rcosφ＝π4 ·cosπ2 ＝0， π
∴(0，－ 4 ，0)为所求．
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高考调研 ·北师大·数学选修4-4
x＝r·sinφcosθ＝3·sin56πcos53π＝34， (3)y＝rsinφsinθ＝3sin56πsin53π＝－3 4 3，
z＝rcosφ＝3cos56π＝－3 2 3， ∴(43，－3 4 3，－3 2 3)为所求．
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高考调研 ·北师大·数学选修4-4
题型三 将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标 例 3 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1，如图建立 空间直角坐标系 A－xyz，Ax 为极轴，求点 C1 的直角坐标、柱坐 标以及球坐标．
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高考调研 ·北师大·数学选修4-4
【思路分析】 由题目可获取以下主要信息： ①已知点的直角坐标(x，y，z)； ②化为点的柱坐标(ρ，θ，z)和球坐标(r，φ，θ)． 解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意 义和联系计算即可．
高考调研精讲精练北师大版选修4-4数学2-2.4
高考调研 ·北师大·数学选修4-4
解析 证明：设双线曲的方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)， 则它两条渐线的方程是 bx＋ay＝0，bx－ay＝0. 设以曲线上任一点的坐标为 M(cosaφ，btanφ)，
它到两渐近线的距离分别是 d1 和 d2，
| ab ＋abtanφ| | ab －abtanφ|
高考调研 ·北师大·数学选修4-4
思考题 2 设 P 为等轴双曲线 x2－y2＝1 上的任一点，F1，
F2 为两个焦点，证明：|F1P|·|F2P|＝|OP|2.
【解析】 如图所示，设双曲线上的动点为 P(x，y)，焦点 F1(－ 2，0)，F2( 2，0)，
x＝secθ，
双曲线的参数方程为
(0≤φ<2π)，
抛物线
y2＝2px(p>0) x2＝2py(p>0)
x＝coasφ (φ 为参数) y＝btanφ
x＝btanφ a y＝cosφ（φ为参数）
x＝2pt2
(t 为参数)
y＝2pt
x＝2pt
(t 为参数)
y＝2pt2
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课时学案
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2．4 双曲线的参数方程
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知识探究
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中心在原点的双曲线xa22－yb22＝1(a>0，b>0)的参数方yx＝＝cbotsaaφ nφ (φ 为参数)．
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2022届高考数学一轮复习课时作业 第四章 专题研究 理 新人教版
【高考调研】2022届高考数学一轮复习课时作业第四章专题研究理新人教版1．函数＝co＋错误!，∈[0，错误!]的值域是A．－错误!，错误!] B．[－错误!，错误!]C．[错误!，错误!] D．[－错误!，－错误!]答案 B解析∈[0，错误!]，＋错误!∈[错误!，错误!π]，∴∈[－错误!，错误!]．2．如果||≤错误!，那么函数f＝co2＋in的最小值是B．－错误!C．－1答案 D解析f＝－in2＋in＋1＝－in－错误!2＋错误!，当in＝－错误!时，有最小值，min＝错误!－错误!＝错误!3．已知函数f＝inπ＋θcoπ＋θ在＝3时取得最小值，则θ的一个值可以是A．－错误!B．－错误!答案 B解析f＝错误!in2π＋2θ，f3＝错误!in6π＋2θ＝错误!in2θ，此时in2θ＝－1,2θ＝2π－错误!，∴θ＝π－错误!∈Z．4．函数＝12in2＋错误!＋5in错误!－2的最大值是A．6＋错误!B．17C．13 D．12答案 C解析＝12in2＋错误!＋5co[错误!－错误!－2]＝12in2＋错误!＋5co2＋错误!＝13in2＋错误!＋φφ＝arctan错误!，故选C5．当0＜＜错误!时，函数f＝错误!的最小值是C．2 D．4答案 D解析f＝错误!＝错误!，当tan＝错误!时，f的最小值为4，故选D6．在△OAB中，O为坐标原点，A1，coθ，B inθ，1，θ∈0，错误!]，则当△OAB的面积达到最大值时，θ等于答案 D解析如图θ＝错误!－α，∴S＝1－错误!×1×inα－错误!×1×coα－错误!1－coα1－inα＝错误!－错误!inαcoα＝错误!－错误!in2α＝错误!－错误!in2θ，∴当θ＝错误!时，S取到最大值．故选D7．已知f＝错误!，下列结论正确的是A．有最大值无最小值B．有最小值无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值又无最小值答案 B解析令t＝in，t∈0,1]，则＝1＋错误!，t∈0,1]是一个减函数，则f只有最小值而无最大值．另外还可通过＝1＋错误!，得出in＝错误!，由in∈0,1]也可求出，故选B 8．函数＝in2＋2co在区间[－错误!π，α]上最小值为－错误!，则α的取值范围是________．答案－错误!π，错误!]解析＝2－co－12，当＝－错误!π时，＝－错误!，根据函数的对称性∈－错误!π，错误!]．9．函数＝in＋错误!co在区间[0，错误!]上的最小值为________．答案 1解析＝in＋错误!co＝2in＋错误!，∈[0，错误!]．∴＋错误!∈[错误!，错误!]，∴min＝2in错误!＝110．函数＝错误!＋错误!的最小值是________．答案3＋2错误!解析＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝3＋错误!＋错误!≥3＋2错误!，∴min＝3＋2错误!11．2022·上海理函数＝in错误!＋co错误!－的最大值为________．答案错误!12．2022·东城区已知函数f＝2co2＋2错误!inco＋a，且f错误!＝41求a的值；2当－错误!≤≤错误!时，求函数f的值域．答案1a＝1 2[2－错误!，4]解1由f错误!＝4，可得2×错误!2＋2错误!×错误!×错误!＋a＝4，∴a＝12f＝2co2＋2错误!inco＋1＝co 2＋错误!in 2＋2＝2in2＋错误!＋2∵－错误!≤≤错误!，∴－错误!≤2＋错误!≤错误!，∴－错误!≤in2＋错误!≤1，∴2－错误!≤f≤4，∴函数f的值域为[2－错误!，4]．13．2022·烟台质检设函数f＝a·b，其中向量a＝2co,1，b＝co，错误!in2＋m．1求函数f的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；2当∈[0，错误!]时，f的最大值为4，求m的值．答案1T＝π[0，错误!]，[错误!，π] 21解析∵1f＝2co2＋错误!in2＋m＝2in2＋错误!＋m＋1，∴函数f的最小正周期T＝错误!＝π在[0，π]上的单调递增区间为[0，错误!]，[错误!，π]．2当∈[0，错误!]时，∵f单调递增，∴当＝错误!时，f取得最大值为m＋3，即m＋3＝4，解之得m＝1，∴m的值为114．2022·湖北卷已知函数f＝co 错误!＋ co 错误!－，g＝错误!in 2－错误!1求函数f的最小正周期；2求函数h＝f－g的最大值，并求使h取得最大值的的集合．答案1π22{|＝π－错误!，∈Z}解析1f＝co错误!＋co错误!－＝错误!co －错误!in 错误!co ＋错误!in ＝错误! co2－错误!in2＝错误!－错误!＝错误!co 2－错误!，f的最小正周期为错误!＝π2h＝f－g＝错误!co 2－错误!in 2＝错误!co2＋错误!，当2＋错误!＝2π∈Z时，h取得最大值错误!h取得最大值时，对应的的集合为{|＝π－错误!，∈Z}．15．2022·潍坊模拟函数f＝A inω＋φ∈R，A>0，ω>0,06m6m0，∴函数g＝2m in2＋错误!－m＋1的值域为1，m＋1]．又函数g的值域为1，错误!]，∴m＋1＝错误!，解得m＝错误!，∴存在．。
精品《高考调研》复习练习：4-4-61
课时作业(六十一)一、选择题1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧ x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝1B ．9x 2＋25y 2＝1C ．25x ＋9y ＝1 D.x 225＋y 29＝1答案 A2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标为( )A ．(2，π3，3)B ．(2，2π3，3)C ．(2，4π3，3)D ．(2，5π3，3)答案 C3．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为( )A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆答案 C4．(2011·大连)极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( )A ．(x ＋12)2＋y 2＝14B ．x 2＋(y ＋12)2＝14C ．x 2＋(y －12)2＝14D ．(x －12)2＋y 2＝14答案 D解析 由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D.二、填空题5．直线x cos α＋y sin α＝0的极坐标方程为________．答案 θ＝α＋π26．在极坐标系中，点A (1，π4)到直线ρsin θ＝－2的距离是________．答案 2＋227．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．答案 4 3解析 直线ρsin(θ＋π4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得2r 2－d 2＝242－(222)2＝4 3. 8．极坐标方程分别为ρ＝2cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距为________．答案 52解析 两圆方程分别为x 2＋y 2＝2x ，x 2＋y 2＝y ，知两圆圆心C 1(1,0)，C 2(0，12)，∴|C 1C 2|＝12＋(12)2＝52.9．在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为________．答案 22解析 直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2可化为x ＋y －2＝0，故点(1,0)到直线距离d ＝|1＋0－2|2＝22. 10．两直线ρsin(θ＋π4)＝2008，ρsin(θ－π4)＝2009的位置关系是________．(判断垂直或平行或斜交) 答案 垂直解析 两直线方程可化为x ＋y ＝20082，y －x ＝20092，故两直线垂直．11．在极坐标系中，若过点A (3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点，则|AB |＝________.答案 2 3解析 曲线ρ＝4cos θ，即为圆x 2＋y 2－4x ＝0，过A (3,0)且与极轴垂直的直线为x ＝3，将x ＝3代入x 2＋y 2－4x ＝0，得y 2＝12－9＝3，∴y ＝±3.故|AB |＝2 3.三、解答题12．(2011·江苏扬州)求以点A (2,0)为圆心，且过点B (23，π6)的圆的极坐标方程．解析 由已知圆的半径为AB ＝22＋(23)2－2×2×23cos π6＝2，又圆的圆心坐标为A (2,0)，所以圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.由{ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆的极坐标方程是ρ＝4cos θ. 13．(09·辽宁)在直角坐标系中xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解析 (1)由ρcos(θ－π3)＝1得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)．(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 的直角坐标为(1，33)，则P点的极坐标为(233，π6)，所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．。
【高考调研】高考数学精品复习 第四章专题训练
专题训练一、选择题1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( ) A ．(－32，12] B ．[－12，32] C ．[12，32] D ．[－32，－12] 答案 B解析 x ∈[0，π2]，x ＋π6∈[π6，23π]，∴y ∈[－12，32]． 2．如果|x |≤π4，那么函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是( ) A.2－12 B ．－2＋12C ．－1 D.1－22答案 D解析 f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(sin x －12)2＋54，当sin x ＝－22时，有最小值，y min ＝24－22＝1－22. 3．已知函数f (x )＝sin(πx ＋θ)cos(πx ＋θ)在x ＝3时取得最小值，则θ的一个值可以是( )A ．－π2B ．－π4C.π4D.π2答案 B解析 f (x )＝12sin(2πx ＋2θ)， f (3)＝12sin(6π＋2θ)＝12sin2θ， 此时sin2θ＝－1,2θ＝2kπ－π2， ∴θ＝kπ－π4(k ∈Z )． 4．函数y ＝12sin(2x ＋π6)＋5sin(π3－2x )的最大值是( ) A ．6＋532B ．17C ．13D ．12答案 C 解析 y ＝12sin(2x ＋π6)＋5cos[π2－(π3－2x )] ＝12sin(2x ＋π6)＋5cos(2x ＋π6) ＝13sin(2x ＋π6＋φ)(φ＝arctan 512)，故选C. 5．当0＜x ＜π4时，函数f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x的最小值是( )A.14B.12C ．2D ．4答案 D解析 f (x )＝1－tan 2x ＋tan x＝1－(tan x －12)2＋14，当tan x ＝12时， f (x )的最小值为4，故选D.6．在△OAB 中，O 为坐标原点，A (1，cos θ)，B (sin θ，1)，θ∈(0，π2]，则当△OAB 的面积达到最大值时，θ等于( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 D解析如图θ＝π2－α， ∴S ＝1－12×1×sin α－12×1×cos α－12(1－cos α)(1－sin α) ＝12－12sin αcos α ＝12－14sin2α＝12－14sin2θ， ∴当θ＝π2时，S 取到最大值．故选D. 7．已知f (x )＝sin x ＋1sin x，下列结论正确的是( ) A ．有最大值无最小值 B ．有最小值无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值答案 B解析 令t ＝sin x ，t ∈(0,1]，则y ＝1＋1t，t ∈(0,1]是一个减函数，则f (x )只有最小值而无最大值．另外还可通过y ＝1＋1sin x ，得出sin x ＝1y －1，由sin x ∈(0,1]也可求出，故选B. 二、填空题8．函数y ＝sin 2x ＋2cos x 在区间[－23π，α]上最小值为－14，则α的取值范围是________． 答案 (－23π，2π3] 解析 y ＝2－(cos x －1)2，当x ＝－23π时，y ＝－14，根据函数的对称性x ∈(－23π，2π3]． 9．函数y ＝sin x ＋3cos x 在区间[0，π2]上的最小值为________．答案 1解析 y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)，x ∈[0，π2]． ∴x ＋π3∈[π3，5π6]，∴y min ＝2sin 5π6＝1. 10．函数y ＝1sin 2x ＋2cos 2x的最小值是________． 答案 3＋2 2解析 y ＝1sin 2x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋2sin 2x ＋2cos 2x cos 2x ＝3＋cos 2x sin 2x ＋2sin 2x cos 2x≥3＋2 2 ∴y min ＝3＋2 2.三、解答题11．(2011·烟台质检)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x ＋m )．(1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，f (x )的最大值为4，求m 的值． 解析 ∵(1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋m ＝2sin(2x ＋π6)＋m ＋1， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 在[0，π]上的单调递增区间为[0，π6]，[2π3，π]． (2)当x ∈[0，π6]时，∵f (x )单调递增， ∴当x ＝π6时，f (x )取得最大值为m ＋3，即m ＋3＝4， 解之得m ＝1，∴m 的值为1.12．(2010·北京卷)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2 x －4cos x .(1)求f (π3)的值； (2)求f (x )的最大值和最小值．解析 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94. (2)f (x )＝2(2cos 2 x －1)＋(1－cos 2 x )－4cos x ＝3cos 2 x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R ，因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取最小值－73. 13．(2010·湖北卷)已知函数f (x )＝cos (π3＋x ) cos (π3－x )，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．解析 (1)f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )＝(12cos x －32sin x )(12cos x ＋32sin x )＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8＝12cos 2x －14， f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos(2x ＋π4)， 当2x ＋π4＝2kπ(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22. h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为{x |x ＝kπ－π8，k ∈Z }．。
【免费下载】高考调研高考数学总复习人教新课标配套单元测试第四章三角函数 Word版含解析
第四章 单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1. 集合M ＝{x |x ＝sin ，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝cos ，n ∈N }，则M ∩N 等于( )n π3n π2A ．{－1,0,1} B ．{0,1}C ．{0}D ．∅答案 C 解析 ∵M ＝{x |x ＝sin ，n ∈Z }＝{－，0，}，n π33232N ＝{－1,0,1}，∴M ∩N ＝{0}．应选C.2．已知α∈(，π)，sin α＝，则tan(α＋)等于( )π235π4A. B ．717C ．－ D ．－717答案 A 解析 ∵α∈(，π)，∴tan α＝－.π234∴tan(α＋)＝＝.π4－34＋11＋34173. 已知函数f (x )＝sin(πx －)－1，则下列命题正确的是( )π2A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数断习题线缆敷设完毕，要进行检查和检测处出具高试卷试验报告与相关技术资料，并且电源料试卷切除从而采用高中资料试卷主C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数答案 B 解析 f (x )＝－cosπx －1，周期为2，且为偶函数，故选B.4．把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<)的图像向左平移个单位，所得曲线的π2π3一部分如图所示，则ω、φ的值分别为( )A ．1， B ．1，－π3π3C ．2， D ．2，－π3π3答案 D 解析 由题知，×＝－，∴ω＝2，∵函数的图像过点(，0)，∴2(＋)142πω7π12π3π3π3π3＋φ＝π.∴φ＝－.故选D.π35．函数y ＝2sin(x －)＋cos(x ＋)的一条对称轴为( )π6π3A ．x ＝ B ．x ＝π3π6C ．x ＝－D ．x ＝－π35π6答案 C 解析 y ＝2sin(x －)＋cos(x ＋)π6π3＝2sin(x －)＋sin[－(x ＋)]π6π2π3＝2sin(x －)＋sin(－x )＝sin(x －)．π6π6π6方法一 把选项代入验证．方法二 由x －＝k π＋，得x ＝k π＋π(k ∈Z )．π6π223当k ＝－1时，x ＝－.π36．如图，一个大风车的半径为8 m ，每12 min 旋转一周，最低点离地面为2 m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是( )A ．h ＝8cos t ＋10 B ．h ＝－8cos t ＋10π6π3C ．h ＝－8sin t ＋10 D ．h ＝－8cos t ＋10π6π6答案 D 解析 排除法，由T ＝12，排除B ，当t ＝0时，h ＝2，排除A 、C.故选D.7．设a >0，对于函数f (x )＝(0<x <π)，下列结论正确的是( )sin x ＋a sin x A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值也无最小值答案 B 解析 令t ＝sin x ，则函数f (x )＝(0<x <π)的值域为函数y ＝1＋，t ∈(0,1]的sin x ＋a sin x a t 值域，又a >0，所以y ＝1＋，t ∈(0,1]是一个减函数．故选B.a t8．甲船在岛A 的正南B 处，以4 km/h 的速度向正北航行，AB ＝10 km ，同时乙船自岛A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A. minB. h 1507157C ．21.5 min D ．2.15 h 答案A解析 如右图：设t 小时甲行驶到D 处AD ＝10－4t ，乙行驶到C 处AC ＝6t ，∵∠BAC ＝120°，DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos120°＝28t 2－20t ＋100.当t ＝ h 时DC 2最小，DC 最小，此时t ＝×60＝ min.51451415079．在△ABC 中，已知sin C ＝2sin(B ＋C )cos B ，那么△ABC 一定是( )A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形答案 B 解析 C ＝π－(A ＋B )，B ＋C ＝π－A .有sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin A cos B .即sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0，则A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形．故选B.10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f ()|对x ∈R 恒成π6立，且f ()>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )π2A ．[k π－，k π＋](k ∈Z )π3π6B ．[k π，k π＋](k ∈Z )π2C ．[k π＋，k π＋](k ∈Z )π62π3D ．[k π－，k π](k ∈Z )π2答案 C 解析 因为当x ∈R 时，f (x )≤|f ()|恒成立，所以f ()＝sin(＋φ)＝±1，可得π6π6π3φ＝2k π＋或φ＝2k π－.因为f ()＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sinπ65π6π2φ，故sin φ<0，所以φ＝2k π－，所以f (x )＝sin(2x －)，函数的单调递增区间为5π65π6－＋2k π≤2x －≤＋2k π，所以x ∈[k π＋，k π＋](k ∈Z )，故选C.π25π6π2π62π3二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.答案 －35解析 由角θ的终边在直线y ＝2x 上可得tan θ＝2，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝＝＝－.cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ1－tan2θ1＋tan2θ3512．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为________．答案 π2解析 法一：f (x )＝(1－cos 2x )2＋cos 2x ＝1＋cos 4x －cos 2x ＝1＋cos 2x (cos 2x －1)＝1－cos 2x ·sin 2x ＝1－sin 22x ＝1－()＝＋cos4x .14141－cos4x 27818法二：f (x )＝(sin 2x )2＋cos 2x＝()2＋1－cos2x 21＋cos2x 2＝＋cos 22x ＝＋cos4x .3414781813．已知等腰△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ＋a ，c －a )，若p ∥q ，则角A 的大小为________．答案 30°解析 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b ＋a )，即－ab ＝a 2＋b 2－c 2，由余弦定理，得cos C ＝＝＝－.因为0°<C <180°，所以C ＝120°.又由△ABC 为a 2＋b 2－c 22ab －ab 2ab 12等腰三角形得A ＝(180°－120°)＝30°.1214．若＝2 012，则＋tan2α＝________.1＋tan α1－tan α1cos2α答案 2 012解析 ＋tan2α＝＋＝1cos2α1cos2αsin2αcos2α(sin α＋cos α)2cos2α－sin2α＝＝＝2 012.sin α＋cos αcos α－sin αtan α＋11－tan α15．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝，∠ADB ＝135°.2若AC ＝AB ，则BD ＝________.2答案 25解析 如图，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则由题可知BD ＝a ，CD ＝a ，所以1323根据余弦定理可得b 2＝()2＋(a )2－2××a cos45°，c 2＝()2＋(a )2232232132－2×a cos135°，由题意知b ＝c ，可解得a ＝6＋3，所以BD ＝a ＝2＋2132513.516．下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝，k ∈Z }．k π2③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图像和函数y ＝x 的图像有三个公共点．④把函数y ＝3sin(2x ＋)的图像向右平移得到y ＝3sin2x 的图像．π3π6⑤函数y ＝sin(x －)在[0，π]上是减函数．π2其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)答案 ①④解析 考查①y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，所以最小正周期为π.②k ＝0时，α＝0，则角α终边在x 轴上．③由y ＝sin x 在(0,0)处切线为y ＝x ，所以y ＝sin x 与y ＝x 图像只有一个交点．④y ＝3sin(2x ＋)图像向右平移个单位得π3π6y ＝3sin[2(x －)＋]＝3sin2x .π6π3⑤y ＝sin(x －)＝－cos x 在[0，π]上为增函数，综上知①④为真命题．π2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝，求f (x )的定义域，6cos4x ＋5sin2x －4cos2x 判断它的奇偶性，并求其值域．解析 由cos2x ≠0，得2x ≠k π＋，解得x ≠＋，k ∈Z .π2k π2π4所以f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠＋，k ∈Z }．k π2π4因为f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝6cos4(－x )＋5sin2(－x )－4cos (－2x )＝＝f (x )，6cos4x ＋5sin2x －4cos2x 所以f (x )是偶函数．当x ≠＋，k ∈Z 时，k π2π4f (x )＝6cos4x ＋5sin2x －4cos2x＝＝3cos 2x －1，(2cos2x －1)(3cos2x －1)cos2x 所以f (x )的值域为{y |－1≤y <或<y ≤2}．121218．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋sin(－2x )．求：π2(1)f ()的值；π4(2)f (x )的最小正周期和最小值；(3)f (x )的单调递增区间．答案 (1)1 (2)π，－ (3)(k ∈Z )2[－3π8＋k π，π8＋k π]解析 (1)f ()＝2sin cos ＋sin(－2×)π4π4π4π2π4＝2××＋0＝1.2222(2)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝(sin2x ＋cos2x )22222(sin2x cos ＋cos2x sin )＝sin(2x ＋)．2π4π42π4所以最小正周期为π，最小值为－.2(3)由－＋2k π≤2x ＋≤＋2k π(k ∈Z )，π2π4π2可得－＋k π≤x ≤＋k π(k ∈Z )．3π8π8所以函数的单调递增区间为(k ∈Z )．[－3π8＋k π，π8＋k π]19．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝C,2b a .3(1)求cos A 的值；(2)求cos(2A ＋)的值．π4答案 (1) (2)－138＋7218解析 (1)由B ＝C,2b ＝a ，可得c ＝b ＝a .332所以cos A ＝＝＝.b 2＋c 2－a 22bc 34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a 13(2)因为cos A ＝，A ∈(0，π)，所以sin A ＝＝，cos 131－cos2A 2232A ＝2cos 2A －1＝－.故sin2A ＝2sin A cos A ＝.79429所以cos(2A ＋)＝cos 2A cos －sin 2A sin π4π4π4＝(－)×－×＝－.7922429228＋721820．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ac ＝a 2＋c 2－b 2.(1)求角B 的大小；(2)若|－|＝2，求△ABC 面积的最大值．BA → BC → 定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避答案 (1) (2)π33解 (1)∵在△ABC 中，ac ＝a 2＋c 2－b 2，∴cos B ＝＝.a 2＋c 2－b 22ac 12∵B ∈(0，π)，∴B ＝.π3(2)∵|－|＝2，∴||＝2，即b ＝2.BA → BC → CA → ∴a 2＋c 2－ac ＝4.∵a 2＋c 2≥2ac ，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立．∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4.∴△ABC 的面积S ＝ac sin B ＝ac ≤.12343∴当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积取得最大值为.321．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，·＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4.AB → AC → (1)求bc 的最大值及θ的取值范围．(2)求函数f (θ)＝2sin 2(＋θ)＋2cos 2θ－的最值．3π43解析 (1)∵·＝8，∠BAC ＝θ，∴bc ·cos θ＝8.AB → AC → 又∵a ＝4，∴b 2＋c 2－2bc cos θ＝42，即b 2＋c 2＝32.又b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤16，即bc 的最大值为16.而bc ＝，∴≤16.8cos θ8cos θ∴cos θ≥.又0<θ<π，∴0<θ≤.12π3(2)f (θ)＝2sin 2(＋θ)＋2cos 2θ－3π43·[1－cos(＋2θ)]＋1＋cos2θ－3π23sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋)＋1.3π6∵0<θ≤，∴<2θ＋≤.π3π6π65π6∴≤sin(2θ＋)≤1.12π6当2θ＋＝，即θ＝时，f (θ)min ＝2×＋1＝2；π65π6π312当2θ＋＝，即θ＝时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3.π6π2π622．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1＋)sin 2x ＋m sin(x ＋)1tan x π4sin(x －)．π4(1)当m ＝0时，求f (x )在区间[，]上的取值范围；π83π4(2)当tan α＝2时，f (α)＝，求m 的值．35解析 (1)当m ＝0时，f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝(sin2x －cos2x )＋＝sin(2x －)＋.121222π412又由x ∈[，]，得2x －∈[0，]，所以sin(2x －)∈[－，1]，从而f (x )π83π4π45π4π422＝sin(2x －)＋∈[0，]．22π4121＋22(2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －cos2x ＝＋sin2x －cos2x ＝[sin2x －(1＋m )cos2x ]m 21－cos2x 212m 212＋，12由tan α＝2，得sin2α＝＝＝，2sin αcos αsin2α＋cos2α2tan α1＋tan2α45口不设备资料试cos2α＝＝＝－.cos2α－sin2αsin2α＋cos2α1－tan2α1＋tan2α35所以＝[＋(1＋m )]＋，得m ＝－2.35124535121．(2011·上海)若三角方程sin x ＝0与sin 2x ＝0的解集分别为E ，F ，则( )A ．E ∩F ＝EB ．E ∪F ＝EC ．E ＝FD ．E ∩F ＝∅答案 A 2．下列函数中，其中最小正周期为π，且图像关于直线x ＝对称的是( )π3A ．y ＝sin(2x －) B ．y ＝sin(2x －)π3π6C ．y ＝sin(2x ＋) D ．y ＝sin(＋)π6x 2π6答案 B解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，排除D ，把x ＝代入A 、B 、C 只有B 中y 取得最值，π3故选B.3．函数y ＝tan(x －)的部分图像如图所示，则(＋)·＝( )π4π2OA → OB → AB →A ．6B ．4C ．－4D ．－6答案 A 解析 由tan(x －)＝0，得x －＝k π(k ∈Z )，x ＝4k ＋2(k ∈Z )，结合图形可知π4π2π4π2A (2,0)，由tan(x －)＝1，得x －＝＋k π(k ∈Z )，∴x ＝3＋4k (k ∈Z )，结合图形可π4π2π4π2π4知B (3,1)，∴(＋)·＝(5,1)·(1,1)＝6.OA → OB → AB → 4．(本小题满分12分)如图(a )，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶．在A 处分别测得山顶上铁塔的塔顶E 的仰角为θ和山脚点O (点O 是点E 在公路所在平面上的射影)的方位角是西偏北φ，再行驶a km 到达B 处，测得山脚点O 的方位角是西偏北β.(1)设计一个方案，用测量的数据和有关公式写出计算OE 的步骤；(2)函数f (x )＝a sin(βx ＋φ)的部分图像如图(b )所示，θ＝，求塔顶E 到公路π6的距离．解析 (1)第一步：求OA ，在△AOB 中，∠ABO ＝π－β，∠AOB ＝β－φ，AB ＝a ，由正弦定理，得OA ＝＝；第二步：求OE ，在Rt △EOA 中，a sin (π－β)sin (β－φ)a sin βsin (β－φ)∠EAO ＝θ，∠EOA ＝90°，则OE ＝OA tan θ＝.a sin βtan θsin (β－φ)(2)由图像易得a ＝，β＝，φ＝，又θ＝，则3π3π6π6OE ＝＝.3sin π3tan π6sin (π3－π6)3过点E 作EF ⊥直线AB 于点F ，连接OF ，因为AB ⊥OE ，又OE ∩EF ＝E ，所以AB ⊥平面EOF ，所以AB ⊥OF .在△AOB 中，∠OAB ＝∠AOB ＝，则π6管口保护卷破OB ＝AB ＝a ＝，在Rt △BFO 中，∠OBF ＝，则OF ＝OB sin ＝×＝，又在3π3π333232Rt △EOF 中，OE ＝，所以EF ＝＝＝.3OE 2＋OF 2(3)2＋(32)22125．(本小题满分12分)(2010·福建文)设函数f (θ)＝sin θ＋cos θ，其中，角3θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为(，)，求f (θ)的值；1232(2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：Error!上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．答案 (1)2 (2)0≤θ≤，f (θ)最大值2，最小值1π2解析 (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得Error!于是f (θ)＝sin θ＋cos θ＝×＋＝2.333212(2)作出平面区域Ω(即三角区域ABC )如图所示，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．于是0≤θ≤.π2又f (θ)＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋)，且≤θ＋≤，3π6π6π62π3故当θ＋＝，即θ＝时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；π6π2π3当θ＋＝，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1. π6π6。
【高考调研】高考数学总复习 第四章 三角函数配套单元测试(含解析)理 新人教A版
第四章 单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求) 1. 集合M ＝{x |x ＝sinn π3，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝cosn π2，n ∈N }，则M ∩N 等于( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{0}D ．∅答案 C解析 ∵M ＝{x |x ＝sinn π3，n ∈Z }＝{－32，0，32}， N ＝{－1,0,1}，∴M ∩N ＝{0}．应选C.2．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7答案 A解析 ∵α∈(π2，π)，∴tan α＝－34.∴tan(α＋π4)＝－34＋11＋34＝17.3. 已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，则下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 答案 B解析 f (x )＝－cosπx －1，周期为2，且为偶函数，故选B.4．把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图像向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为( )A ．1，π3B ．1，－π3C ．2，π3D ．2，－π3答案 D解析 由题知，14×2πω＝7π12－π3，∴ω＝2，∵函数的图像过点(π3，0)，∴2(π3＋π3)＋φ＝π.∴φ＝－π3.故选D.5．函数y ＝2sin(x －π6)＋cos(x ＋π3)的一条对称轴为( )A ．x ＝π3B ．x ＝π6C ．x ＝－π3D ．x ＝－5π6答案 C解析 y ＝2sin(x －π6)＋cos(x ＋π3)＝2sin(x －π6)＋sin[π2－(x ＋π3)]＝2sin(x －π6)＋sin(π6－x )＝sin(x －π6)．方法一 把选项代入验证．方法二 由x －π6＝k π＋π2，得x ＝k π＋23π(k ∈Z )．当k ＝－1时，x ＝－π3.6．如图，一个大风车的半径为8 m ，每12 min 旋转一周，最低点离地面为2 m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是(A ．h ＝8cos π6t ＋10B ．h ＝－8cos π3t ＋10C ．h ＝－8sin π6t ＋10D ．h ＝－8cos π6t ＋10答案 D解析 排除法，由T ＝12，排除B ，当t ＝0时，h ＝2，排除A 、C.故选D. 7．设a >0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x (0<x <π)，下列结论正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值也无最小值 答案 B解析 令t ＝sin x ，则函数f (x )＝sin x ＋a sin x (0<x <π)的值域为函数y ＝1＋at ，t ∈(0,1]的值域，又a >0，所以y ＝1＋at，t ∈(0,1]是一个减函数．故选B.8．甲船在岛A 的正南B 处，以4 km/h 的速度向正北航行，AB ＝10 km ，同时乙船自岛A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( ) A.1507min B.157h C ．21.5 min D ．2.15 h答案 A解析 如右图：设t 小时甲行驶到D 处AD ＝10－4t ， 乙行驶到C 处AC ＝6t ，∵∠BAC ＝120°，DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos120°＝28t 2－20t ＋100. 当t ＝514 h 时DC 2最小，DC 最小，此时t ＝514×60＝1507min.9．在△ABC 中，已知sin C ＝2sin(B ＋C )cos B ，那么△ABC 一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形答案 B解析 C ＝π－(A ＋B )，B ＋C ＝π－A .有sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin A cos B . 即sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0，则A ＝B . ∴△ABC 为等腰三角形．故选B.10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )答案 C解析 因为当x ∈R 时，f (x )≤|f (π6)|恒成立，所以f (π6)＝sin(π3＋φ)＝±1，可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6.因为f (π2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ，故sin φ<0，所以φ＝2k π－5π6，所以f (x )＝sin(2x －5π6)，函数的单调递增区间为－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π，所以x ∈[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )，故选C. 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.答案 －35解析 由角θ的终边在直线y ＝2x 上可得tan θ＝2，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. 12．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 答案π2解析 法一：f (x )＝(1－cos 2x )2＋cos 2x ＝1＋cos 4x －cos 2x ＝1＋cos 2x (cos 2x －1)＝1－cos 2x ·sin 2x ＝1－14sin 22x ＝1－14(1－cos4x 2)＝78＋18cos4x . 法二：f (x )＝(sin 2x )2＋cos 2x ＝(1－cos2x 2)2＋1＋cos2x2＝34＋14cos 22x ＝78＋18cos4x . 13．已知等腰△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ＋a ，c －a )，若p∥q ，则角A 的大小为________．答案 30°解析 由p∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b ＋a )，即－ab ＝a 2＋b 2－c 2，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab2ab＝－12.因为0°<C <180°，所以C ＝120°.又由△ABC 为等腰三角形得A ＝12(180°－120°)＝30°.14．若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos2α＋tan2α＝________.答案 2 012解析 1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝sin α＋cos α2cos 2α－sin 2α ＝sin α＋cos αcos α－sin α＝tan α＋11－tan α＝2 012.15．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°.若AC ＝2AB ，则BD ＝________. 答案 2＋ 5解析 如图，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则由题可知BD ＝13a ，CD ＝23a ，所以根据余弦定理可得b 2＝(2)2＋(23a )2－2×2×23a cos45°，c 2＝(2)2＋(13a )2－2×2×13a cos135°，由题意知b ＝2c ，可解得a ＝6＋35，所以BD ＝13a ＝2＋ 5.16．下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }．③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图像和函数y ＝x 的图像有三个公共点．④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图像向右平移π6得到y ＝3sin2x 的图像．⑤函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数．其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号) 答案 ①④解析 考查①y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，所以最小正周期为π. ②k ＝0时，α＝0，则角α终边在x 轴上．③由y ＝sin x 在(0,0)处切线为y ＝x ，所以y ＝sin x 与y ＝x 图像只有一个交点．④y ＝3sin(2x ＋π3)图像向右平移π6个单位得y ＝3sin[2(x －π6)＋π3]＝3sin2x .⑤y ＝sin(x －π2)＝－cos x 在[0，π]上为增函数，综上知①④为真命题．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ，求f (x )的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．解析 由cos2x ≠0，得2x ≠k π＋π2，解得x ≠k π2＋π4，k ∈Z .所以f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π2＋π4，k ∈Z }．因为f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝6cos4－x ＋5sin 2－x －4cos －2x＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数． 当x ≠k π2＋π4，k ∈Z 时， f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x＝2cos 2x －13cos 2x －1cos2x＝3cos 2x －1，所以f (x )的值域为{y |－1≤y <12或12<y ≤2}．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋sin(π2－2x )．求：(1)f (π4)的值；(2)f (x )的最小正周期和最小值； (3)f (x )的单调递增区间．答案 (1)1 (2)π，－ 2 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z ) 解析 (1)f (π4)＝2sin π4cos π4＋sin(π2－2×π4)＝2×22×22＋0＝1.(2)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2(22sin2x ＋22cos2x ) ＝2(sin2x cos π4＋cos2x sin π4)＝2sin(2x ＋π4)．所以最小正周期为π，最小值为－ 2. (3)由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，可得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )．所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．19．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝C,2b ＝3a . (1)求cos A 的值； (2)求cos(2A ＋π4)的值．答案 (1)13 (2)－8＋7218解析 (1)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.(2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－79.故sin2A ＝2sin A cos A ＝429.所以cos(2A ＋π4)＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4＝(－79)×22－429×22＝－8＋7218.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ac ＝a 2＋c 2－b 2. (1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝2，求△ABC 面积的最大值． 答案 (1)π3(2) 3解 (1)∵在△ABC 中，ac ＝a 2＋c 2－b 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵|BA →－BC →|＝2，∴|CA →|＝2，即b ＝2. ∴a 2＋c 2－ac ＝4.∵a 2＋c 2≥2ac ，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立． ∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4. ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤ 3.∴当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积取得最大值为 3.21．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB →·AC →＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4.(1)求bc 的最大值及θ的取值范围．(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3的最值．解析 (1)∵AB →·AC →＝8，∠BAC ＝θ，∴bc ·cos θ＝8. 又∵a ＝4，∴b 2＋c 2－2bc cos θ＝42，即b 2＋c 2＝32. 又b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤16，即bc 的最大值为16. 而bc ＝8cos θ，∴8cos θ≤16.∴cos θ≥12.又0<θ<π，∴0<θ≤π3.(2)f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－ 3＝3·[1－cos(π2＋2θ)]＋1＋cos2θ－ 3＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π6)＋1.∵0<θ≤π3，∴π6<2θ＋π6≤5π6.∴12≤sin(2θ＋π6)≤1. 当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×12＋1＝2；当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x ＋m sin(x ＋π4)sin(x －π4)．(1)当m ＝0时，求f (x )在区间[π8，3π4]上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．解析 (1)当m ＝0时，f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝12(sin2x －cos2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12. 又由x ∈[π8，3π4]，得2x －π4∈[0，5π4]，所以sin(2x －π4)∈[－22，1]，从而f (x )＝22sin(2x －π4)＋12∈[0，1＋22]． (2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m 2cos2x ＝1－cos2x 2＋12sin2x －m 2cos2x ＝12[sin2x －(1＋m )cos2x ]＋12，由tan α＝2，得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45， cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以35＝12[45＋(1＋m )35]＋12，得m ＝－2.1．(·上海)若三角方程sin x ＝0与sin 2x ＝0的解集分别为E ，F ，则( )A ．E ∩F ＝EB ．E ∪F ＝EC ．E ＝FD ．E ∩F ＝∅答案 A2．下列函数中，其中最小正周期为π，且图像关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(2x －π3)B ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝sin(2x ＋π6)D ．y ＝sin(x 2＋π6)答案 B解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，排除D ，把x ＝π3代入A 、B 、C 只有B 中y 取得最值，故选B.3．函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图像如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝( )A ．6B ．4C ．－4D ．－6答案 A解析 由tan(π4x －π2)＝0，得π4x －π2＝k π(k ∈Z )，x ＝4k ＋2(k ∈Z )，结合图形可知A (2,0)，由tan(π4x －π2)＝1，得π4x －π2＝π4＋k π(k ∈Z )，∴x ＝3＋4k (k ∈Z )，结合图形可知B (3,1)，∴(OA →＋OB →)·AB →＝(5,1)·(1,1)＝6.4．(本小题满分12分)如图(a )，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶．在A 处分别测得山顶上铁塔的塔顶E 的仰角为θ和山脚点O (点O 是点E 在公路所在平面上的射影)的方位角是西偏北φ，再行驶a km 到达B 处，测得山脚点O 的方位角是西偏北β.(1)设计一个方案，用测量的数据和有关公式写出计算OE 的步骤；(2)函数f (x )＝a sin(βx ＋φ)的部分图像如图(b )所示，θ＝π6，求塔顶E 到公路的距离．解析 (1)第一步：求OA ，在△AOB 中，∠ABO ＝π－β，∠AOB ＝β－φ，AB ＝a ，由正弦定理，得OA ＝a sin π－βsin β－φ＝a sin βsin β－φ；第二步：求OE ，在Rt△EOA 中，∠EAO ＝θ，∠EOA ＝90°，则OE ＝OA tan θ＝a sin βtan θsin β－φ.(2)由图像易得a ＝3，β＝π3，φ＝π6，又θ＝π6，则OE ＝3sin π3tanπ6sin π3－π6＝ 3.过点E 作EF ⊥直线AB 于点F ，连接OF ，因为AB ⊥OE ，又OE ∩EF ＝E ，所以AB ⊥平面EOF ，所以AB ⊥OF .在△AOB 中，∠OAB ＝∠AOB ＝π6，则OB ＝AB ＝a ＝3，在Rt △BFO 中，∠OBF ＝π3，则OF ＝OB sin π3＝3×32＝32，又在Rt △EOF 中，OE ＝3，所以EF ＝OE 2＋OF 2＝32＋322＝212. 5．(本小题满分12分)(·福建文)设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为(12，32)，求f (θ)的值；(2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．答案 (1)2 (2)0≤θ≤π2，f (θ)最大值2，最小值1解析 (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2. (2)作出平面区域Ω(即三角区域ABC )如图所示，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．于是0≤θ≤π2.又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π6)，且π6≤θ＋π6≤2π3，故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.。
2019高考数学(理)高考调研二轮练习：第四章单元测试卷
2019高考数学（理）高考调研二轮练习：第四章单元测试卷【一】选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分、每题中只有一项符合题目要求)1、(2017·上海)假设三角方程sin x ＝0与sin 2x ＝0的解集分别为E ，F ，那么( )A 、E ∩F ＝EB 、E ∪F ＝EC 、E ＝FD 、E ∩F ＝Ø答案 A2、α∈(π2，π)，sin α＝35，那么tan(α＋π4)等于( ) A.17 B 、7C 、－17D 、－7答案 A解析 ∵α∈(π2，π)，∴tan α＝－34，∴tan(α＋π4)＝－34＋11＋34＝17.3、(2017·全国课标文)角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，那么cos 2θ＝( )A 、－45B 、－35C.35D.45答案 B解析 由角θ的终边在直线y ＝2x 上可得tan θ＝2，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.4、以下函数中，其中最小正周期为π，且图像关于直线x ＝π3对称的是( )A 、y ＝sin(2x －π3)B 、y ＝sin(2x －π6)C 、y ＝sin(2x ＋π6)D 、y ＝sin(x 2＋π6)答案 B 解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，排除D ，把x ＝π3代入A 、B 、C 只有B 中y 取得最值，应选B.5、函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，那么ω的最小值等于( )A.23B.32C 、2D 、3答案 B解析 ∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)的最小值是－2时，x ＝2k πw －π2w(k ∈Z )，∴－π3≤2k πw －π2w ≤π4，∴w ≥－6k ＋32且w ≥8k －2，∴w min ＝32，选B.6、把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图像向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如下图，那么ω、φ的值分别为( )A 、1，π3B 、1，－π3C 、2，π3D 、2，－π3答案 D解析 由题知，14×2πω＝7π12－π3，∴ω＝2，∵函数的图像过点(π3，0)，∴2(π3＋π3)＋φ＝π，∴φ＝－π3.应选D.7、函数y ＝2sin(x －π6)＋cos(x ＋π3)的一条对称轴为( )A 、x ＝π3B 、x ＝π6C 、x ＝－π3D 、x ＝－5π6答案 C解析 y ＝2sin(x －π6)＋cos(x ＋π3)＝2sin(x －π6)＋sin[π2－(x ＋π3)]＝2sin(x －π6)＋sin(π6－x )＝sin(x －π6)方法一：把选项代入验证、方法二：由x －π6＝k π＋π2得x ＝k π＋23π(k ∈Z )，当k ＝－1时，x ＝－π3.8、如图，一个大风车的半径为8 m ，每12 min 旋转一周，最低点离地面为2 m 、假设风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，那么该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是( )A 、h ＝8cos π6t ＋10B 、h ＝－8cos π3t ＋10C 、h ＝－8sin π6t ＋10D 、h ＝－8cos π6t ＋10答案 D解析 排除法，由T ＝12，排除B ，当t ＝0时，h ＝2，排除A 、C.应选D.9、函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图像如下图，那么(OA →＋OB →)·AB→＝( )A 、6B 、4C 、－4D 、－6答案 A解析 由tan(π4x －π2)＝0，得π4x －π2＝k π(k ∈Z )，x ＝4k ＋2(k ∈Z )，结合图形可知A (2,0)，由tan(π4x －π2)＝1，得π4x －π2＝π4＋k π(k ∈Z )，∴x ＝3＋4k (k ∈Z )，结合图形可知B (3,1)，∴(OA →＋OB →)·AB→＝(5,1)·(1,1)＝6. 10、甲船在岛A 的正南B 处，以4km/h 的速度向正北航行，AB ＝10km ，同时乙船自岛A 出发以6km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.1507 minB.157 hC 、21.5 minD 、2.15 h答案 A解析 如图：设t 小时甲行驶到D 处AD ＝10－4t ，乙行驶到C 处AC ＝6t ，∵∠BAC ＝120°，DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos120°＝28t 2－20t＋100.当t ＝514 h 时DC 2最小，DC 最小，此时t ＝514×60＝1507 min.11、在△ABC 中，sin C ＝2sin(B ＋C )cos B ，那么△ABC 一定是( )A 、等腰直角三角形B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、等边三角形答案 B解析 C ＝π－(A ＋B )，B ＋C ＝π－A .有sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin A cos B . 即sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0，那么A ＝B ，△ABC 为等腰三角形、应选B.12、(2017·安微理)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，假设f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，那么f (x )的单调递增区间是( )A 、[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B 、[k π，k π＋π2](k ∈Z )C 、[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D 、[k π－π2，k π](k ∈Z )答案 C解析 因为当x ∈R 时，f (x )≤|f (π6)|恒成立，所以f (π6)＝sin(π3＋φ)＝±1，可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6.因为f (π2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ，故sinφ<0，所以φ＝2k π－5π6，所以f (x )＝sin(2x －5π6)，函数的单调递增区间为－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π，所以x ∈[k π＋π6，kπ＋2π3](k ∈Z )，应选C.【二】填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13、等腰△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ＋a ，c －a )，假设p ∥q ，那么角A 的大小为________、答案 30°解析 由p ∥q 得(a ＋c )(c －a )＝b (b ＋a )，即－ab ＝a 2＋b 2－c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，因为0°<C <180°，所以C ＝120°.又由△ABC 为等腰三角形得A ＝12(180°－120°)＝30°.14、假设1＋tan α1－tan α＝2018，那么1cos2α＋tan2α＝________. 答案 2018解析 1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝sin α＋cos α2cos 2α－sin 2α ＝sin α＋cos αcos α－sin α＝tan α＋11－tan α＝2018.15、(2017·新课标全国)在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°.假设AC ＝2AB ，那么BD ＝________.答案 2＋ 5解析 如图，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，那么由题可知BD ＝13a ，CD ＝23a ，所以根据余弦定理可得b 2＝(2)2＋(23a )2－2×2×23a cos45°，c 2＝(2)2＋(13a )2－2×2×13a cos135°，由题意知b ＝2c ，可解得a ＝6＋35，所以BD ＝13a ＝2＋ 5.①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }、③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图像和函数y ＝x 的图像有三个公共点、④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图像向右平移π6得到y ＝3sin2x 的图像、⑤函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数、其中，真命题的编号是________、(写出所有真命题的编号) 答案①④解析考查①y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，所以最小正周期为π.②k ＝0时，α＝0，那么角α终边在x 轴上、③由y ＝sin x 在(0,0)处切线为y ＝x ，所以y ＝sin x 与y ＝x 图像只有一个交点、④y ＝3sin(2x ＋π3)图像向右平移π6个单位得y ＝3sin[2(x －π6)＋π3]＝3sin2x .⑤y ＝sin(x －π2)＝－cos x 在[0，π]上为增函数，综上知①④为真命题、【三】解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17、(本小题总分值10分)(2017·天津文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .B ＝C,2b ＝3a .(1)求cos A 的值；(2)求cos(2A ＋π4)的值、答案(1)13(2)－8＋7218解析(1)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.(2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，cos2A ＝2cos 2A －1＝－79.故sin2A ＝2sin A cos A ＝429.所以cos(2A ＋π4)＝cos2A cos π4－sin2A sin π4＝(－79)×22－429×22＝－8＋7218.18、(本小题总分值12分)函数f (x )＝2sin x cos x ＋sin(π2－2x )、求：(1)f (π4)的值；(2)f (x )的最小正周期和最小值；(3)f (x )的单调递增区间、答案(1)1(2)π，－2(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )解析(1)f (π4)＝2sin π4cos π4＋sin(π2－2×π4)＝2×22×22＋0＝1.(2)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2(22sin2x ＋22cos2x )＝2(sin2x cos π4＋cos2x sin π4)＝2sin(2x ＋π4)所以最小正周期为π，最小值为－ 2.(3)由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，可得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )、所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )、19、(本小题总分值12分)如图(a)，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶、在A 处分别测得山顶上铁塔的塔顶E 的仰角为θ和山脚点O (点O 是点E 在公路所在平面上的射影)的方位角是西偏北φ，再行驶a km 到达B 处，测得山脚点O 的方位角是西偏北β.(1)设计一个方案，用测量的数据和有关公式写出计算OE 的步骤；(2)函数f (x )＝a sin(βx ＋φ)的部分图像如图(b)所示，θ＝π6，求塔顶E 到公路的距离、解析(1)第一步：求OA ，在△AOB 中，∠ABO ＝π－β，∠AOB ＝β－φ，AB ＝α，由正弦定理得OA ＝a sin π－βsin β－φ＝a sin βsin β－φ；第二步：求OE ，在Rt △EOA 中，∠EAO ＝θ，∠EOA＝90°，那么OE ＝OA tan θ＝a sin βtan θsin β－φ.(2)由图像易得a ＝3，β＝π3，φ＝π6，又θ＝π6，那么OE ＝3sin π3tan π6sin π3－π6＝3，过点E 作EF ⊥直线AB 于点F ，连接OF ，因为AB ⊥OE ，又OE ∩EF ＝E ，所以AB ⊥平面EOF ，所以AB ⊥OF .在△AOB 中，∠OAB ＝∠AOB ＝π6，那么OB ＝AB ＝a ＝3，在Rt △BFO 中，∠OBF ＝π3，那么OF ＝OB sin π3＝3×32＝32，又在Rt △EOF 中，OE ＝3，所以EF ＝OE 2＋OF2＝32＋322＝212.20、(本小题总分值12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ac ＝a 2＋c 2－b 2.(1)求角B 的大小；(2)假设|BA →－BC →|＝2，求△ABC 面积的最大值、答案(1)π3(2) 3解(1)∵在△ABC 中，ac ＝a 2＋c 2－b 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵|BA →－BC →|＝2，∴|CA →|＝2，即b ＝2.∴a 2＋c 2－ac ＝4.∵a 2＋c 2≥2ac ，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立、∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4.∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤ 3.∴当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积取得最大值为 3.21、(本小题总分值12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB →·AC→＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4. (1)求bc 的最大值及θ的取值范围、(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3的最值、解(1)∵AB →·AC →＝8，∠BAC ＝θ，∴bc ·cos θ＝8.又∵a ＝4，∴b 2＋c 2－2bc cos θ＝42，即b 2＋c 2＝32.又b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤16，即bc 的最大值为16.而bc ＝8cos θ，∴8cos θ≤16.∴cos θ≥12.又0<θ<π，∴0<θ≤π3.(2)f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－ 3 ＝3·[1－cos(π2＋2θ)]＋1＋cos2θ－ 3 ＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π6)＋1.∵0<θ≤π3，∴π6<2θ＋π6≤5π6.∴12≤sin(2θ＋π6)≤1.当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×12＋1＝2；当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3.22、(本小题总分值12分)(2017·福建文)设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边终过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)假设点P 的坐标为(12，32)，求f (θ)的值； (2)假设点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值、答案(1)2(2)0≤θ≤π2，f (θ)最大值2，最小值1解析(1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2.(2)作出平面区域Ω(即三角区域ABC )如下图，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)、于是0≤θ≤π2.又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π6)，且π6≤θ＋π6≤2π3，故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.。
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【高考调研】高考数学精品复习 第四章专题训练
一、选择题
1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2
]的值域是( ) A ．(－32，12] B ．[－12，32
] C ．[12，32] D ．[－32，－12
] 答案 B
解析 x ∈[0，π2]，x ＋π6∈[π6，23π]，∴y ∈[－12，32
]． 2．如果|x |≤π4
，那么函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是( ) A.2－12 B ．－2＋12
C ．－1 D.1－22
答案 D
解析 f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(sin x －12)2＋54，当sin x ＝－22时，有最小值，y min ＝24
－22＝1－22
. 3．已知函数f (x )＝sin(πx ＋θ)cos(πx ＋θ)在x ＝3时取得最小值，则θ的一个值可以是( )
A ．－π2
B ．－π4
C.π4
D.π2
答案 B
解析 f (x )＝12
sin(2πx ＋2θ)， f (3)＝12sin(6π＋2θ)＝12
sin2θ， 此时sin2θ＝－1,2θ＝2kπ－π2
， ∴θ＝kπ－π4
(k ∈Z )． 4．函数y ＝12sin(2x ＋π6)＋5sin(π3
－2x )的最大值是( ) A ．6＋532
B ．17
C ．13
D ．12
答案 C 解析 y ＝12sin(2x ＋π6)＋5cos[π2－(π3
－2x )] ＝12sin(2x ＋π6)＋5cos(2x ＋π6
) ＝13sin(2x ＋π6＋φ)(φ＝arctan 512
)，故选C. 5．当0＜x ＜π4时，函数f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x
的最小值是( )
A.14
B.12 C ．2 D ．4
答案 D
解析 f (x )＝1－tan 2x ＋tan x
＝1－(tan x －12)2＋14
，当tan x ＝12时， f (x )的最小值为4，故选D.
6．在△OAB 中，O 为坐标原点，A (1，cos θ)，B (sin θ，1)，θ∈(0，π2
]，则当△OAB 的面积达到最大值时，θ等于( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.π2
答案 D
解析
如图θ＝π2
－α， ∴S ＝1－12×1×sin α－12×1×cos α－12
(1－cos α)(1－sin α) ＝12－12
sin αcos α ＝12－14sin2α＝12－14
sin2θ， ∴当θ＝π2
时，S 取到最大值．故选D. 7．已知f (x )＝sin x ＋1sin x
，下列结论正确的是( ) A ．有最大值无最小值 B ．有最小值无最大值
C ．有最大值且有最小值
D ．既无最大值又无最小值
答案 B 解析 令t ＝sin x ，t ∈(0,1]，则y ＝1＋1t
，t ∈(0,1]是一个减函数，则f (x )只有最小值而无最大值．另外还可通过y ＝1＋1sin x ，得出sin x ＝1y －1
，由sin x ∈(0,1]也可求出，故选B. 二、填空题
8．函数y ＝sin 2x ＋2cos x 在区间[－23π，α]上最小值为－14
，则α的取值范围是________． 答案 (－23π，2π3
] 解析 y ＝2－(cos x －1)2，当x ＝－23π时，y ＝－14，根据函数的对称性x ∈(－23π，2π3
]．
9．函数y ＝sin x ＋3cos x 在区间[0，π2
]上的最小值为________． 答案 1
解析 y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)，x ∈[0，π2
]． ∴x ＋π3∈[π3，5π6]，∴y min ＝2sin 5π6
＝1. 10．函数y ＝1sin 2x ＋2cos 2x
的最小值是________． 答案 3＋2 2
解析 y ＝1sin 2x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋2sin 2x ＋2cos 2x cos 2x ＝3＋cos 2x sin 2x ＋2sin 2x cos 2x
≥3＋2 2 ∴y min ＝3＋2 2.
三、解答题
11．(2011·烟台质检)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x ＋m )．
(1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；
(2)当x ∈[0，π6
]时，f (x )的最大值为4，求m 的值． 解析 ∵(1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋m ＝2sin(2x ＋π6
)＋m ＋1， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2
＝π. 在[0，π]上的单调递增区间为[0，π6]，[2π3
，π]． (2)当x ∈[0，π6
]时，∵f (x )单调递增， ∴当x ＝π6
时，f (x )取得最大值为m ＋3，即m ＋3＝4， 解之得m ＝1，∴m 的值为1.
12．(2010·北京卷)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2 x －4cos x .
(1)求f (π3
)的值； (2)求f (x )的最大值和最小值．
解析 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3
＝－1＋34－2＝－94
. (2)f (x )＝2(2cos 2 x －1)＋(1－cos 2 x )－4cos x ＝3cos 2 x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73
，x ∈R ，
因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝23
时，f (x )取最小值－73
. 13．(2010·湖北卷)已知函数f (x )＝cos (π3＋x ) cos (π3－x )，g (x )＝12sin 2x －14
. (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．
解析 (1)f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )＝(12cos x －32sin x )(12cos x ＋32sin x )＝14cos 2x －34
sin 2x
＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8＝12cos 2x －14
， f (x )的最小正周期为2π2
＝π. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos(2x ＋π4
)， 当2x ＋π4＝2kπ(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22
. h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为{x |x ＝kπ－π8
，k ∈Z }．。