2015马鞍山二模文数答案

2015年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测高三文科数学答案二、填空题： （11）【答案】1-（12）【答案】32，由条件知6m n +=，141141413()()(5)(54)6662n m m n m n m n m n +=++=++≥+= （13）【答案】5516-， 29log 16222955(log 9)(log 94)4(log )4241616f f f =--=-=-=-．（14）【答案】817（15）【答案】①③④三、解答题： （16）（本小题满分12分）已知ABC ∆的面积为2，且满足04AB AC <⋅≤．设AB 和AC 的夹角为θ. （Ⅰ）求tan θ的取值范围；（Ⅱ）求函数2()2sin ()4f πθθθ=+的最值．【命题意图】本题综合考查平面向量的数量积、三角恒等变换、解三角形，中等题. （16）【解】（Ⅰ）设ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，则由已知：1sin 22bc θ=，0cos 4bc θ<≤，………………………………………4分可得，tan 1θ≥ ………………………………………………………………………6分（Ⅱ）2()2sin ()[1cos(2)]42f ππθθθθθ=+=-+(1sin 2)sin 212sin(2)13πθθθθθ=+=+=-+……10分由（Ⅰ），[,)42ππθ∈，∴22[,)363πππθ-∈，∴π22sin(2)133θ≤-+≤即max ()3f θ=，min ()2f θ= …………………………………………………12分（17）（本小题满分12分）某校拟调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高（Ⅰ）求频率分布表中①、②位置相应的数据，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率？【命题意图】本题考查频率分布表，分层抽样， 古典概型，简单题（17）【解】（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为1000.1515⨯=（人）…1分 第3组的频率为300.3100= ……………2分 频率分布直方图如右: ……………5分（Ⅱ）因为第2、5组共有35名学生，所以利用分层抽样在35名学生中抽取7名学生，每组分别为: 第3组:157335⨯=(人) …………………6分 第5组:207435⨯=(人) …………………7分 所以第2、5组分别抽取3人、4人．（Ⅲ）设第2组的3位同学为123,,A A A ，第5组的4位同学为1234,,,B B B B ， 则从7位同学中抽2位同学有21种可能情况： 121311121314(,),(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A B A B 2321222324(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B 31323334(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B 121314(,),(,),(,),B B B B B B 2324(,),(,),B B B B34(,),B B ……………………………10分其中第5组的4位同学1234,,,B B B B 中至少有一位同学入选的有18种，故至少有1名学生来自第5频率分布直方图组的概率为：67…………………12分（18）（本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形， EA ⊥平面ABCD ，FC ∥EA ，,G H 分别是,AB EF的中点，22EA AB CF ===， （Ⅰ）证明：GH ∥平面BCF ； （Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积．【命题意图】本题考查线面平行，体积计算，中等题．（18）【解】（Ⅰ）证明：连AC ，BD ，设AC ，BD 交于点O ，连OH ，OG ．∵四边形ABCD 为正方形，∴O A CO =， 又∵,G H 分别是,AB EF 的中点，∴GO BC HO CF ∥，∥………………………4分 ∴平面GHO ∥平面BCF ，∵GH ⊂平面GHO ∴证明GH ∥平面BCF ……………………6分 （Ⅱ）∵EA ⊥正方形ABCD ，∴EA BO ⊥， 又BO AC ⊥，所以BO ⊥平面ACFE 所以1223ABCDEF B ACFE ACFE V V S BO -==⨯⨯⨯11212432=⨯⨯+⨯（）．DBDB（19）（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项的和2n S n =.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3(1)nn n n b a a =+-，求数列{}n b 前n 项的和n T .【命题意图】本题考查等差数列，等比数列，分组求和，中等题．（19）【解】（Ⅰ）221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-（2n ≥）………………………3分又1n =时，111a S ==，符合上式 ……………………………………………4分故21*)n a n n N =-∈（……………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知:3(1)231(1)(21)nn n n n n b a a n =+-=⋅-+--22(333)[1357911(1)(21)]n n n T n n =+++-+-+-+-+-+--3(13)2[1357911(1)(21)]13n n n n -=⋅-+-+-+-+-+---133[1357911(1)(21)]n n n n +=--+-+-+-+-+-- ………………8分设1357911(1)(21)n n Q n =-+-+-+-+--当n 为偶数时，(13)(57)[(23)(21)]22n nQ n n n =-++-+++--+-=⨯=， 此时133n n T +=-………………………………………………………11分 当n 为奇数时，1(35)(79)[(23)(21)]n Q n n =-+-+-++---(2)(1)12n n --=-+=-， 此时1133323n n n T n n n ++=---=-- …………………………………13分（20）（本小题满分13分）已知函数()ln 1f x x ax =-+，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当0a >时，若存在121,[,]x x e e∈，使得12()()0f x f x ⋅<，求实数a 的取值范围．【命题意图】本题考查导数的应用，中等题．（20）【解】11(),0axf x a x x x-'=-=>，…………………………………………………2分（Ⅰ）（1）若0a ≤，对0x ∀>均有()0f x '>，故()f x 为其定义域上的单调递增函数；…………………………………………3分（2）若0a >，当1(0,)x a∈时，()0f x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0f x '<；故()f x 在1(0,)a 内单调递增，在1(,)a+∞内单调递减．…………………………4分（Ⅱ）由0a >，11()ln 10a a f e e e e =-+=-<，即存在111[,]x e e e=∈使()0f x <，从而只需存在21[,]x e e∈，使2()0f x >，其等价于1[,]x e e∈时，max ()0f x >．………………………………………………7分由（Ⅰ）知： ①当1e a ≥，即10a e <≤时，()f x 在1[,]e e上单调递增，max ()()f x f e =由()ln 120f e e ea ea =-+=->，解得2a e<， 故10a e<≤；……………………………………………………………………9分②当11e e a <<，即1a e e <<时，()f x 在11[,]e a上单调递增，在1[,]e a 上单调递减；由max 11()()ln 0f x f a a==>，解得01a <<，故11a e<<；……………………………………………………………………11分 ③当11a e ≤，即a e ≥时，()f x 在1[,]e e上单调递减，故1[,]x e e ∀∈，1()()0f x f e≤<，舍去． ……………………………………12分综上，01a <<．………………………………………………………………13分（21）(本小题满分13分)已知椭圆C的焦点是(10F ，，(20F ，点P 在椭圆C 上，且满足12||||4PF PF +=. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若A 为椭圆C 的下顶点，过点A 的两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点,P Q（,P Q 与A 不重合）．试证明直线PQ 经过定点． 【命题意图】考查椭圆方程，直线与圆锥曲线的位置关系，较难题. （21）【解】（Ⅰ）∵1242PF PF a +==，又c∴2221b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=；……………………………………………5分（Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，显然直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 方程y mx n =+，联立方程组2214y x y mx n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 得：222(4)240m x mnx n +++-=，∴12224mn x x m -+=+，212244n x x m -=+，…………………………………………7分∴121228()24ny y m x x n m +=++=+， 2222121212244()4n m y y m x x mn x x n m -=+++=+；………………………………9分 ∴1122121212(,2)(,2)2()4AP AQ x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=++++……………10分22222444164164n n m n m m -+-+++=+ 22516124n n m ++=+ 2(2)(56)04n n m ++==+；∴2n =-（舍），或65n =-；………………………………………………12分即直线PQ 经过定点6(0,)5-．………………………………………………13分。