2016年高考数学文试题分类汇编：导数及其应用

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湖北省各地2016届高三最新数学文试题分类汇编：导数及其应用含答案

湖北省各地2016届高三最新数学文试题分类汇编导数及其应用一、选择、填空题1、（黄冈市2016高三3月质量检测）函数f(x)＝e x cosx 在点(0，f(0))处的切线方程为。

2、（荆、荆、襄、宜四地七校联盟2016届高三2月联考）设曲线x ay sin 12+=（Ra ∈)上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为（）A B C D3、（荆门市2016届高三元月调考）函数f(x) =xe x 在点A(0，f(0))处的切线斜率为 A ．0 B ． 1 C ．1 D ．e4、（荆州市2016届高三第一次质量检测）已知函数321()13f x x x a x =+++，若函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增，则实数a 的取值范围是 5、（武汉市2016届高中毕业班二月调研）过曲线C ：y=xx ln 上点（1，()1f ）处的切线方程为。

6、（襄阳市普通高中2016届高三统一调研）设函数32()1f x x a x x =-+-在点(1，f (1))的切线与直线x + 2y －3 = 0垂直，则实数a 等于 A ．1B ．2C ．3D ．47、（孝感市六校教学联盟2016届高三上学期期末联考）曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（）A ．45°B ． 30°C ．60°D ．120°8、（宜昌市2016届高三1月调研）若点P 是曲线2ln y x x=-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为A B 、1 C 、2D 9、（宜昌市2016届高三1月调研）已知函数()ln ta n ((0,))2f x s παα=+∈的导函数为'()f x ，若存在001x <<使得00'()()f x f x =成立，则实数α的取值范围是10、（湖北省八校2016届高三第一次（12月）联考）若函数()y fx =对任意)2,2(ππ-∈x 满足()()co s sin0,f x x f x x '+>则下列不等式成立的是A ．)4()3(2ππ-<-f f B ．)4()3(2ππf f <C ．)3(2)0(πf f > D ．)4(2)0(πf f >参考答案： 1、10x y -+= 2、B 3、C 4、［1，)+∞ 5、1yx =-6、A7、A8、A9、(,)42ππ10、A二、解答题1、（黄冈市2016高三3月质量检测）已知函数f(x) ＝lnx －mx ＋m. (I)求函数f(x)的单调区间；(JJ)若f(x)≤0在x ∈（0，+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围． 2、（荆、荆、襄、宜四地七校联盟2016届高三2月联考）已知函数xea xx f )1()(2+-=（Ra ∈)有两个不同的极值点n m ,，)(n m<，且mnn m≥++1，（1）求实数a 的取值范围；（2）当∈x []2,0时，设函数)(x mf y=的最大值为)(m g ，求)(m g ；3、（荆门市2016届高三元月调考）已知f(x)=（a －ln x ）x －1. (I)不等式f(x)≤0对任意x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围；。

广东省14市2016届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编：导数及其应用

广东省14市2016届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（潮州市2016届高三上学期期末）已知函数322()23(0)3f x x ax x a =-++>的导数'()f x 的最大值为5，则在函数()f x 图象上的点（1，f （1））处的切线方程是 A 、3x －15y ＋4＝0 B 、15x －3y －2＝0C 、15x －3y ＋2＝0D 、3x －y ＋1＝0 2、（东莞市2016届高三上学期期末）如图，某时刻P 与坐标原点重合，将边长为2的等边三角形PAB 沿x 轴正方向滚动，设顶点P （x ，y ）的轨迹方程是y ＝f （x ），若对于任意的t ∈［1,2］，函数()g x =32(4)[(4)]2f mx x f x +-++在区间（t ，3）上都不是单调函数，则m 的取值范围为 (A) （－373，－5） (B) （－9，－5） (C) （－373，－9） (D)（－∞，－373）3、（广州市2016届高三1月模拟考试）已知()y f x =为R 上的连续可导函数，且()()0xf x f x '+>，则函数()()1g x xf x =+()0x >的零点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）无数个 4、（清远市2016届高三上学期期末）己知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若函数)(sin )(x f x g =,则函数)(x g 的最大值是（）.A -21B. 0 .C 2 D. 不存在 5、（韶关市2016届高三上学期调研）已知定义在R 上的函数()y f x =满足：函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<('()f x 是函数()f x 的导函数)成立.若11(sin )(sin )22a f =⋅，(2)b ln =⋅121(2),()4f ln c log =⋅121()4f log ,则,,a b c 的大小关系是（）A ． a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>6、（肇庆市2016届高三第二次统测（期末））已知函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数,,a b c 均存在以()f a ,()f b ,()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（A ）(,1)-∞- （B ）(,3)e -∞- （C ）(1,)-+∞ （D ）(3,)e -+∞参考答案： 1、B 2、3、A4、C5、A6、D二、填空题1、（汕头市2016届高三上学期期末）已知直线:l y kx b =+与曲线331y x x =++相切，则当斜率k 取最小值时，直线l 的方程为．2、（湛江市2016年普通高考测试（一））函数()2cos 1f x x =+的图象在点6x π=处的切线方程是 3、（肇庆市2016届高三第二次统测（期末））曲线ln y x x =在点(,)e e 处的切线方程为 . 4、（珠海市2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线ln y x =在x e =（e 为自然对数的底数）处的切线与直线30ax y -+=垂直，则实数a 的值为．参考答案：1、31y x =+2、1306x y π+--= 3、2y x e =- 4、e -三、解答题 1、（潮州市2016届高三上学期期末）已知函数()ln f x x a x =+，其中a 为常数，且a ≤－1。

高考(2016-2018)数学(文)真题分项版解析——专题07导数的应用(原卷版)

考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度1.导数与函数的单调性了解函数单调性和导数的关系能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)理解选择题解答题★★★2.导数与函数的极(最)值了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)掌握解答题★★★3.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题掌握选择题★☆☆分析解读1.会利用导数研究函数的单调性,掌握求函数单调区间的方法.2.掌握求函数极值与最值的方法,解决利润最大、用料最省、效率最高等实际生产、生活中的优化问题.3.利用导数求函数极值与最值、结合单调性与最值求参数范围、证明不等式是高考热点.分值为12~17分,属于高档题.命题探究练扩展2018年高考全景展示 1.2018年新课标I 卷文已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．2017年高考全景展示1.2016高考四川文科已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =( )(A)4 (B) 2 (C)4 (D)22.2017浙江，7函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是3.2017课标1，文21已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．4.2017课标II ，文21设函数2()(1)x f x x e =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围. 2016年高考全景展示1. 2016高考文数(本小题满分13分)设f (x )=x ln x –ax 2(2a –1)x ，a ∈R .(Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围.。

2016年高考数学理真题分类汇编：导数及其应用

2016年高考数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A2、（2016年全国I 高考）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为【答案】D二、填空题1、（2016年全国II 高考）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln 2-2、（2016年全国III 高考）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________。

【答案】21y x =--三、解答题1、（2016年北京高考）设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【解析】（I ）()e a x f x x bx -=+∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ②由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴g 的最小值是(2)(12)e 1g =-=-∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间.2、（2016年山东高考）已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【解析】(Ⅰ) 求导数322)11(=)(′x x x a x f －－－ 322)(1(=x ax x )－－当0≤a 时，(0,1)∈x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈+∞x ，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；当0>a 时，3322+(2)(1(=2)(1(=)(′x ax a x x a x ax x x f ))－－)－－（1）当＜２＜a 0时，1>2a， (0,1)∈x 或),(∈+∞2a x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (2) 当２=a 时，1=2a， )(0,∈+∞x ，0≥)(′x f ，)(x f 单调递增， (3) 当２>a 时，1<2<0a， )(0,∈ax 2或∞)(1,∈+x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， ,1)(∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (Ⅱ) 当1=a 时，212+ln =)(x x x x x f －－，32322+11=2)(1(=)(′xx x x x x x f 2－－)－－于是)2+1112+ln =)(′)(322xx x x x x x x f x f 2－－－(－－－，－1－1－322+3+ln =xx x x x ，]2,1[∈x令x x x ln =)g(－，322+3+=)h(xx x x －1－1，]2,1[∈x ，于是)(+(g =)(′)(x h x x f x f ）－， 0≥1=1=)(g ′xx x x －1－，)g(x 的最小值为1=g(1)；又42432+=+=)(h ′x x x x x x x 6－2－362－3－设6+23=)(θ2x x x －－，]2,1[∈x ，因为1=)1(θ，10=)2(θ－，所以必有]2,1[0∈x ，使得0=)(θ0x ，且0<<1x x 时，0>)(θx ，)(x h 单调递增； 2<<0x x 时，0<)(θx ，)(x h 单调递减；又1=)1(h ，21=)2(h ，所以)(x h 的最小值为21=)2(h ．所以23=21+1=)2(+1(g >)(+(g =)(′)(h x h x x f x f ））－．即23)()(+'>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 成立．3、（2016年四川高考）设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （I ）讨论f (x )的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得f (x ) ＞-e 1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。

2016年高考数学文试题分类汇编：导数及其应用

2016年高考数学文试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2016年山东高考）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =2、（2016年四川高考）已知a 函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)23、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f(x)=图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B 则则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)4、（2016年全国I 卷高考）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二、填空题1、（2016年天津高考）已知函数()(2+1),()xf x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________.2、（2016年全国III 卷高考）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________. 三、解答题1、（2016年北京高考）设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；（III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.2、（2016年江苏省高考）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. （1）设a =2,b =12. ① 求方程()f x =2的根;②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.3、（2016年山东高考）设f(x)=x ln x–ax2+(2a–1)x，a∈R. (Ⅰ)令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.4、（2016年四川高考）设函数f(x)=a x 2－a －lnx ，g(x)=1x －ee x ，其中a ∈R ，e=2.718…为自然对数的底数。

三年高考(2016-2018)数学(文)真题分类解析：专题07-导数的应用

考纲解读明方向分析解读1.会利用导数研究函数的单调性,掌握求函数单调区间的方法.2.掌握求函数极值与最值的方法,解决利润最大、用料最省、效率最高等实际生产、生活中的优化问题.3.利用导数求函数极值与最值、结合单调性与最值求参数范围、证明不等式是高考热点.分值为12~17分,属于高档题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1.【2018年新课标I卷文】已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．【答案】(1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.详解：（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=a e x–．由题设知，f ′（2）=0，所以a=．从而f（x）=，f ′（x）=．当0<x<2时，f ′（x）<0；当x>2时，f ′（x）>0．所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥时，f （x ）≥．设g （x ）=，则当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0．因此，当时，．点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.2017年高考全景展示1.【2016高考四川文科】已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a = ( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D 【解析】考点：函数导数与极值.【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点，2.【2017浙江，7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是【答案】D【解析】试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ．【考点】导函数的图象【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数)('x f 的正负，得出原函数)(x f 的单调区间． 3.【2017课标1，文21】已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）当0a =，)(x f 在(,)-∞+∞单调递增；当0a >，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增；当0a <，()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a-+∞单调递增；（2）34[2e ,1]-．【解析】（2）①若0a =，则2()xf x e =，所以()0f x ≥．【考点】导数应用【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出)('x f ，有)('x f 的正负，得出函数)(x f 的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数)(x f 极值或最值．4.【2017课标II ，文21】设函数2()(1)x f x x e =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）在(,1-∞-和(1)-+∞单调递减，在(11--单调递增（Ⅱ）[1,)+∞ 【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间（2）对a 分类讨论，当a ≥1时，()(1)(1)1x f x x x e x a x =-+≤+≤+，满足条件；当0a ≤时，取200000()(1)(1)11x f x x x ax =>-+=>+，当0＜a ＜1时，取0x =，20000()(1)(1)1f x x x ax >-+>+.试题解析：（1）2()(12)x f x x x e '=--令()0f x '=得1x =-当(,1x ∈-∞-时，()0f x '<；当(11x ∈--+时，()0f x '>；当(1)x ∈-+时，()0f x '<所以()f x 在(,1-∞-和(1)-+∞单调递减，在(11--单调递增【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.2016年高考全景展示1.【2016高考山东文数】(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围.【答案】 (Ⅰ)当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)12a >. 【解析】试题分析：(Ⅰ)求导数()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞，从而()112'2ax g x a x x-=-=，讨论当0a ≤时，当0a >时的两种情况下导函数正负号，确定得到函数的单调区间. (Ⅱ)分以下情况讨论：①当0a ≤时，②当102a <<时，③当12a =时，④当12a >时，综合即得.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()'10f =.①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增. 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，可得当当()0,1x ∈时，()'0f x <，11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意.考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.。

2016-2020年高考数学分类汇编数学导数

2016-2020年高考数学分类汇编：专题3导数全国1【2020全国1卷理6】函数f(x)=x 4−2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为A．y=−2x−1 B. y=−2x+1 C. y=2x−3 D. y=2x+1【答案】B【解析】f′(x)=4x3−6x2,k=f′(1)=−2,f(1)=−1,∴y−f(1)=f′(1)(x−1),∴y=−2x+1【2020全国1卷文15】曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为__________.【答案】y=2x【解析】设与曲线y相切的直线的切点坐标为(x0,y0)，对y=ln x+x+1求导，得y′=1+1x+1=2，解得x0=1，∴y0=2，由直线的点斜式可因为切线斜率为2，即切点处的导数1x0得y−2=2(x−1)，即y=2x。

【2020全国1卷文20】已知函数f(x)=e x−a(x+2).（1）当a =1时，讨论f (x )的单调性；（2）若f (x )有两个零点，求a 的取值范围。

【答案】（1）()x f 在()+∞,1上递增，在()1,∞-上递减，（2）.1ea > 【解析】（1）函数()x f 的定义域为R ，().'a e x f x -=因为(),1,1'-=∴=x e x f a 若0<x ，();0'<x f 若0>x ，();0'>x f 所以()x f 在()+∞,1上递增，在()1,∞-上递减；（2）解法1：①当0≤a 时，()0'>x f ，()x f 在R 上递增；最多只有1个零点，不符合题意； ②当0>a 时，()x f 在()+∞,ln a 上递增，在()a ln ,∞-上递减；所以，()x f 的最小值为()()a a a f ln 1ln +-=。

由题意，()0ln <a f ，得1->e a 。

山东省13市2016届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编：导数及其应用含答案

山东省13市2016届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（德州市2016届高三上学期期末）设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为'()f x ,若()'()1f x f x +<,(0)2016f =，则不等式()2015xx e f x e ->（其中e 为自然对数的底数)的解集为 A ．(2015,)+∞ B ．(,0)(2015,)-∞+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(,0)-∞2、（济南市2016届高三上学期期末）已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，()f x '为其导函数，若对于任意实数x ,有()()0f x f x '->，则 A.()()20152016ef f >B 。

()()20152016ef f <C 。

()()20152016ef f =D 。

()()20152016ef f 与大小不确定3、（胶州市2016届高三上学期期末）已知函数()21=cos 4f x xx +，()f x '是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是4、(临沂市2016届高三上学期期末）对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,不等式()()sin cos x f x x f x '⋅<⋅恒成立，则下列不等式错误．．的是A. 234f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 。

()cos113f f π⎛⎫>2⋅ ⎪⎝⎭C.()214f f π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭D.646f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5、（泰安市2016届高三上学期期末）设()f x 在定义域内可导,其图象如右图所示，则导函数()f x '的图象可能是6、(烟台市2016届高三上学期期末）已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()11,f f x =的导数()()2f x x R '<∈，则不等式()21f x x <-的解集为A 。

2016高考文科试题分类分类汇编及详解--集合、函数、导数

一、集合与常用逻辑用语一、集合1、（2016年北京高考）（1）已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则A B = （A ）{|2<<5}x x （B ）{|<45}x x x >或（C ）{|2<<3}x x （D ）{|<25}x x x >或【答案】C2、（2016年江苏省高考）已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ________▲________. 【答案】{}1,2-3、（2016年山东高考）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则()U A B ð= （A ）{2,6} （B ）{3,6}（C ）{1,3,4,5}（D ）{1,2,4,6}【答案】A4、（2016年四川高考）学科网设集合A={x ｜1≤x ≤5},Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是(A)6 (B) 5 (C)4 (D)3 【答案】B5、（2016年天津高考）已知集合}3,2,1{=A ，},12|{A x x y y B ∈-==，则A B =（）（A ）}3,1{ （B ）}2,1{（C ）}3,2{（D ）}3,2,1{【答案】A6、（2016年全国I 卷高考）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = （A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7} 【答案】B7、（2016年全国II 卷高考）已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B = （）（A ）{210123}--，，，，，（B ）{21012}--，，，，（C ）{123}，，（D ）{12}，【答案】D8、（2016年全国III 卷高考）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð=（A ）{48}, （B ）{026}，, （C ）{02610}，，, （D ）{0246810}，，，，, 【答案】C9、（2016年浙江高考）已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U PQ （）ð=（） A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}【答案】C二、常用逻辑用语1、（2016年山东高考）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，b 内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面b 相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A2、（2016年上海高考）设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件【答案】A3、（2016年上海高考）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（） A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题【答案】D4、（2016年四川高考）设p:实数x ，y 满足x>1且y>1，q: 实数x ，y 满足x+y>2，则p 是q 的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】A5、（2016年天津高考）设0>x ，R y ∈，则“y x >”是“||y x >”的（）（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C6、（2016年浙江高考）已知函数f （x ）=x 2+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A二、函数一、选择题1、（2016年北京高考）下列函数中，在区间(1,1)- 上为减函数的是（A ）11y x=- （B ）cos y x = （C ）ln(1)y x =+ （D ）2x y -= 【答案】D2、（2016年山东高考）已知函数f(x )的定义域为R.当x ＜0时，f(x )=x 3-1；当-1≤x ≤1时，f(-x )= —f(x )；当x ＞12时，f(x +12)=f(x —12).则f(6)= （A ）-2 （B ）-1 （C ）0 （D ）2 【答案】D3、（2016年四川高考）某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。

三年高考(2016-2018)数学(文)真题分类解析：专题07-导数的应用

考纲解读明方向分析解读1.会利用导数研究函数单调性,掌握求函数单调区间方法.2.掌握求函数极值与最值方法,解决利润最大、用料最省、效率最高等实际生产、生活中优化问题.3.利用导数求函数极值与最值、结合单调性与最值求参数范围、证明不等式是高考热点.分值为12~17分,属于高档题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1.【2018年新课标I卷文】已知函数．（1）设是极值点．求，并求单调区间；（2）证明：当时，．【答案】(1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.详解：（1）f（x）定义域为，f ′（x）=a e x–．由题设知，f ′（2）=0，所以a =．从而f （x ）=，f ′（x ）=．当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥时，f （x ）≥．设g （x ）=，则当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0．因此，当时，．点睛：该题考查是有关导数应用问题，涉及到知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数单调性关系以及证明不等式问题，在解题过程中，首先要保证函数生存权，先确定函数定义域，之后根据导数与极值关系求得参数值，之后利用极值特点，确定出函数单调区间，第二问在求解时候构造新函数，应用不等式传递性证得结果.2017年高考全景展示1.【2016高考四川文科】已知a 函数3()12f x x x =-极小值点，则a = ( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D 【解析】考点：函数导数与极值.【名师点睛】本题考查函数极值．在可导函数中函数极值点0x 是方程'()0f x =解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边导数正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点，2.【2017浙江，7】函数y=f (x )导函数()y f x '=图像如图所示，则函数y=f (x )图像可能是【答案】D【解析】试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ．【考点】导函数图象【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象关系：若导函数图象与x 轴交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数)('x f 正负，得出原函数)(x f 单调区间． 3.【2017课标1，文21】已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ．（1）讨论()f x 单调性；（2）若()0f x ≥，求a 取值范围．【答案】（1）当0a =，)(x f 在(,)-∞+∞单调递增；当0a >，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增；当0a <，()f x 在(,ln())2a-∞-单调递减，在(ln(),)2a -+∞单调递增；（2）34[2e ,1]-．【解析】（2）①若0a =，则2()xf x e =，所以()0f x ≥．【考点】导数应用【名师点睛】本题主要考查导数两大方面应用：（一）函数单调性讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数定义域，再求出)('x f ，有)('x f 正负，得出函数)(x f 单调区间；（二）函数最值（极值）求法：由确认单调区间，结合极值点定义及自变量取值范围，得出函数)(x f 极值或最值．4.【2017课标II ，文21】设函数2()(1)x f x x e =-. （1）讨论()f x 单调性；（2）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 取值范围.【答案】（Ⅰ）在(,1-∞- 和(1)-+∞单调递减，在(11--单调递增（Ⅱ）[1,)+∞【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间（2）对a 分类讨论，当a ≥1时，()(1)(1)1x f x x x e x a x =-+≤+≤+，满足条件；当0a ≤时，取200000()(1)(1)11x f x x x ax =>-+=>+，当0＜a ＜1时，取0x =，20000()(1)(1)1f x x x ax >-+>+.试题解析：（1）2()(12)x f x x x e '=--令()0f x '=得1x =-当(,1x ∈-∞-时，()0f x '<；当(1x ∈--+时，()0f x '>；当(1)x ∈-+时，()0f x '<所以()f x 在(,1-∞- 和(1)-+∞单调递减，在(11--单调递增【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数单调性，求出最值，进而得出相应含参不等式，从而求出参数取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数最值问题.2016年高考全景展示1. 【2016高考山东文数】(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 取值范围.【答案】 (Ⅰ)当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)12a >.【解析】试题分析：(Ⅰ)求导数()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞，从而()112'2ax g x a x x-=-=，讨论当0a ≤时，当0a >时两种情况下导函数正负号，确定得到函数单调区间. (Ⅱ)分以下情况讨论：①当0a ≤时，②当102a <<时，③当12a =时，④当12a >时，综合即得.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()'10f =.①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增. 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，可得当当()0,1x ∈时，()'0f x <，11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意.考点：1.应用导数研究函数单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数计算、应用导数研究函数单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好考查考生逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.。

2016届高考数学(人教,文)专题复习课件：专题3 导数及其应用

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考点21
导数与函数的单调性
考法3 利用导数讨论函数单调性或求单调区间
考法4 已知单调性求解参数范围
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导数与函数的单调性
考法3 利用导数讨论函数单调性或求单调区间
利用导数讨论函数单调性或求函数的单调区间是导数的重要应用，也是高考的热点，经常在解答题的分支问题中出现．所给的函数可以是多项式函数、复合函数，或者是含参数的函数． 1．讨论函数f(x)单调性 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根． (3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f(x)的正负，由符号确定f(x)在该子区间上的单调性． 2．求函数的单调区间求函数的单调区间可以类似于1中讨论函数单调性的方法，确认在每个子区间上的单调性，也就得到了对应的单调区间．此外，还可以根据下面的方法求解： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的取值范围．当f′(x)＞0时， f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜ 0时， f(x)在相应的区间上是减函数．还可以列表，写出函数的单调区间．要特别注意的是，涉及含参数的单调性或单调区间问题，一定要弄清参数对导数f′(x)在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．【注意】利用导数讨论函数的单调性需注意的几个问题： (1)确定函数的定义域．解决问题的过程中，只能在函数的定义域内进行，通过讨论导数值的符号，来判断函数的单调区间． (2)在划分函数的单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点． (3)如果一个函数单调性相同的区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”连接，只能用逗号或“和”字隔开，如把增区间写为(－∞，－2)∪(1，＋∞)是不正确的，因为(－∞，－2)∪(1，＋∞)不是一个全区间，该函数在(－∞，－2)∪(1，＋∞)上不一定是单调递增的．

2016年高考数学文试题分类汇编：导数及其应用含考点详细解析

2016年高考数学文试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2016年山东高考）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A2、（2016年四川高考）已知a 函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D3、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f(x)=图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B 则则△PAB 的面积的取值范围是(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A4、（2016年全国I 卷高考）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C二、填空题1、（2016年天津高考）已知函数()(2+1),()xf x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________. 【答案】32、（2016年全国III 卷高考）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________. 【答案】2y x =三、解答题1、（2016年北京高考）设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；（III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件. 解：（I ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b '=++．因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+．（II ）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．（III ）当24120a b ∆=-<时，()2320f x x ax b '=++>，(),x ∈-∞+∞，此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点．当24120a b ∆=-=时，()232f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ．当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x -∞上单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x +∞上单调递增．所以()f x 不可能有三个不同零点．综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->．故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同零点，所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件．因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．2、（2016年江苏省高考）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. （1）设a =2,b =12. ① 求方程()f x =2的根;②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值. 解：（1）因为12,2a b ==，所以()22x x f x -=+. ①方程()2f x =，即222xx-+=，亦即2(2)2210x x -⨯+=，所以2(21)0x-=，于是21x=，解得0x =. ②由条件知2222(2)22(22)2(())2xx x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立，且()0f x >，所以2(())4()f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且2((0))44(0)f f +=，所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而00(0)(0)220g f a b =-=+-=，所以0是函数()g x 的唯一零点.因为'()ln ln x xg x a a b b =+，又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>，所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b aax b=-. 令'()()h x g x =，则''22()(ln ln )(ln )(ln )xxxxh x a a b b a a b b =+=+，从而对任意x R ∈，'()0h x >，所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数，于是当0(,)x x ∈-∞，''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时，''0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <，则0002x x <<，于是0()(0)02xg g <=，又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g ab a =+->-=，且函数()g x 在以02x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以log 20a <，又02x <，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >，同理可得，在02x和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾.因此，00x =. 于是ln 1ln ab-=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =.3、（2016年山东高考）设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 解析：(Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞，则()112'2ax g x a x x-=-=，当0a ≤时，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增；当0a >时， 10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()'0g x <，函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，()'10f =.①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增. 所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意. ②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，可得当当()0,1x ∈时，()'0f x <，11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意.③当12a =时，即112a=时，()'f x 在(0,1)内单调递增，在 ()1,+∞内单调递减，所以当()0,x ∈+∞时，()'0f x ≤， ()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >时，即1012a << ，当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减，所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >.4、（2016年四川高考）设函数f(x)=a x 2－a －lnx ，g(x)=1x －ee x ，其中a ∈R ，e=2.718…为自然对数的底数。

2016年高考数学理真题导数及其应用

2016年高考数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)2、（2016年全国I 高考）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为二、填空题1、（2016年全国II 高考）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．2、（2016年全国III 高考）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________。

三、解答题1、（2016年北京高考）设函数()a x f x xebx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.2、（2016年山东高考）已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立.3、（2016年四川高考）设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R.（I ）讨论f (x )的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得f (x ) ＞-e 1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。

4、（2016年天津高考）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈,(I)求)(x f 的单调区间；(II) 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=；（Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41错误！未找到引用源。

2016年高考数学文试题分项版解析专题02导数解析版含解析

1.【2016高考新课标1文数】若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是（）（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.2.【2016高考四川文科】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是()(A)(0,1)(B)(0,2)(C)(0,+∞)(D)(1,+∞)【答案】A【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121121,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭ ，故选A.考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．3.【2016高考四川文科】已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =()(A)-4(B)-2(C)4(D)2【答案】D 考点：函数导数与极值.【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点，4.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式_____________________________.【答案】2y x=【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则1()x f x e x --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()x f x f x e x -=-=+，。

2016届高考数学理命题猜想专题07导数及其应用(解析版)

命题猜想七导数及其应用【考向解读】高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．预测2016年高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．【命题热点突破一】导数的几何意义例1、（2015·陕西卷）设曲线y ＝ex 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x>0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．【答案】（1，1）【解析】对y ＝ex 求导得y′＝ex ，令x ＝0，得曲线y ＝ex 在点（0，1）处的切线斜率为1，故曲线y ＝1x （x>0）上点P 处的切线斜率为－1，由y′＝－1x2＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为（1，1）.【感悟提升】函数图像上某点处的切线斜率就是函数在该点处的导数值．求曲线上的点到直线的距离的最值的基本方法是“平行切线法”，即作出与直线平行的曲线的切线，则这条切线到已知直线的距离即为曲线上的点到直线的距离的最值，结合图形可以判断是最大值还是最小值．【变式探究】函数f(x)＝exsin x 的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 【答案】C 【解析】【命题热点突破二】函数的单调性与最值例2、（2015·全国卷Ⅱ）设函数f(x)＝emx ＋x2－mx.(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e －1，求m 的取值范围．【解析】解析（1）证明：f′（x ）＝m （emx －1）＋2x.若m≥0，则当x ∈（－∞，0）时，emx －1≤0，f′（x ）<0；当x ∈（0，＋∞）时，emx －1≥0，f′（x ）>0.若m<0，则当x ∈（－∞，0）时，emx －1>0，f′（x ）<0；当x ∈（0，＋∞）时，emx －1<0，f′（x ）>0.所以f （x ）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增.（2）【感悟提升】确定函数的单调区间要特别注意函数的定义域，不要从导数的定义域确定函数的单调区间，在某些情况下函数导数的定义域与原函数的定义域不同．【变式探究】(1)已知函数f(x)＝ln(x ＋a)＋ax ，求函数f(x)的单调区间和极值．(2)已知函数f(x)＝(ax －2)ex 在x ＝1处取得极值，求函数f(x)在[m ，m ＋1]上的最小值．【解析】解：（1）∵f （x ）＝ln （x ＋a ）＋ax ，∴函数f （x ）的定义域为（－a ，＋∞），∴f′（x ）＝1x ＋a ＋a ＝ax ＋a2＋1x ＋a.当a≥0时，f′（x ）＝1x ＋a ＋a ＞0，函数f （x ）在（－a ，＋∞）上为增函数，无极值.当a ＜0时，令f′（x ）＝0，解得x ＝－a －1a ＞－a ，当f′（x ）＞0时，解得－a ＜x ＜－a －1a ，函数f （x ）为增函数，当f′（x ）＜0时，解得x ＞－a －1a ，函数f （x ）为减函数，故当x ＝－a －1a 时，函数f （x ）有极大值，极大值为f ⎝⎛⎭⎫－a －1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－1a －a2－1.综上所述，当a≥0时，函数f （x ）在（－a ，＋∞）上为增函数，无极值；当a ＜0时，函数f （x ）在⎝⎛⎭⎫－a ，－a －1a 上为增函数，在⎝⎛⎭⎫－a －1a ，＋∞上为减函数，函数f （x ）有极大值，极大值为ln ⎝⎛⎭⎫－1a －a2－1.所以函数f （x ）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.当m≥1时，f （x ）在[m ，m ＋1]上单调递增，f （x ）min ＝f （m ）＝（m －2）em.当0＜m ＜1时，m ＜1＜m ＋1，f （x ）在[m ，1]上单调递减，在[1，m ＋1]上单调递增，f （x ）min ＝f （1）＝－e.当m≤0时，m ＋1≤1，f （x ）在[m ，m ＋1]上单调递减，f （x ）min ＝f （m ＋1）＝（m －1）em ＋1.综上，f （x ）在[m ，m ＋1]上的最小值f （x ）min ＝⎩⎪⎨⎪⎧（m －2）em ，m≥1，－e ，0<m<1，（m －1）em ＋1，m≤0.【感悟提升】利用导数求函数极值的一般步骤：对可导函数求出导数等于零的点，然后判断在导数等于零的点两侧导数的符号，先确定其是否为极值点，若是极值点，则再确定是极大值点还是极小值点．【命题热点突破三】函数的单调性与不等式例3、已知f(x)＝xex ＋ax2－x ，a ∈R. (1)当a ＝－12时，求函数f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时，恒有f′(x)－f(x)≥(4a ＋1)x 成立，求实数a 的取值范围．【解析】解：（1）对f （x ）求导，得f′（x ）＝（x ＋1）ex ＋2ax －1. 当a ＝－12时，f′（x ）＝（x ＋1）ex －（x ＋1）＝（x ＋1）（ex －1）.当x>0或x<－1时，f′（x ）>0；当－1<x<0时，f′（x ）<0. 所以函数f （x ）的单调递增区间为（－∞，－1），（0，＋∞），单调递减区间为（－1，0）. （2）【感悟提升】对于求不等式恒成立时的参数范围问题，一般是将参数分离出来，使不等号一边是参数，另一边是一个区间上具体的函数，这样便于解决问题．但要注意的是分离参数不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，则不要分离参数．【变式探究】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧xe －x2＋mx ，x ∈（0，1），ln x －x ＋2，x ∈[1，＋∞），其中e ＝2.718 28…是自然对数的底数，m ∈R.(1)若函数f(x)为(0，1)上的单调增函数，求m 的取值范围； (2)对任意的1<a<b ，求证：f （b ）－f （a ）b －a <1a （1＋a ）.【解析】解：（1）当x ∈（0，1）时，f （x ）＝xe －x2＋mx ，此时f′（x ）＝e －x2＋mx ＋xe －x2＋mx （－2x ＋m ）＝（－2x2＋mx ＋1）e －x2＋mx.因为e －x2＋mx>0，且f （x ）为（0，1）上的单调增函数，所以－2x2＋mx ＋1≥0在（0，1）上恒成立，即m≥2x2－1x ＝2x －1x 在（0，1）上恒成立.设u （x ）＝2x －1x ，x ∈（0，1），因为u （x ）在（0，1）上是增函数，且u （x ）<u （1）＝1，所以当m≥1时，f （x ）为（0，1）上的单调增函数.【感悟提升】用导数证明不等式问题，实质上是研究函数在一个区间上的恒成立问题，因此，证明的基本思路就是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，再根据函数的性质推断不等式成立．解题时注意技巧的总结：①树立服务意识，所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质，如函数的单调性、最值等，服务于要证明的不等式；②强化变形技巧，所谓“变形技巧”是指对于给定的不等式无法直接证明，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明，例如采用两边取对数(指数)、移项、通分等方法．【命题热点突破四】定积分例4、(1)[2015·天津卷] 曲线y ＝x2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． (2)[2015·陕西卷] 如图7-1所示，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．图7-1【答案】（1）16 （2）1.2【解析】（1）求得曲线与直线的交点坐标是（0，0）和（1，1），所以封闭图形的面积为⎠⎛01（x －x2）dx ＝（12x2－13x3）|10＝12－13＝16.（2）【感悟提升】定积分的应用主要是求曲边形的面积，其方法是根据定积分的几何意义把曲边形的面积表示为函数的定积分．【变式探究】一列火车在平直的铁轨上行驶，遇到紧急情况时，火车紧急刹车，此时火车以速度v （t ）＝5－t ＋551＋t （t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）减速至停止，在此期间火车继续行驶的距离是（）A.55ln 10 mB.55ln 11 mC.（12＋55ln 7）mD.（12＋55ln 6）m 【答案】B【解析】令5－t ＋551＋t ＝0，得t ＝10（舍去负值），即经过10 s 火车停止，行驶的距离s ＝⎠⎛010⎝⎛⎭⎫5－t ＋55t ＋1dt ＝⎣⎡⎦⎤5t －12t2＋55ln （t ＋1）|100＝55ln 11（m ），即紧急刹车后火车继续行驶的距离是55ln 11 m.【高考真题解读】1.【2015高考江苏，19】已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值.【答案】（1）当0a =时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时， ()f x 在2,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时， ()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．（2） 1.c = 【解析】（2）由（1）知，函数()f x 的两个极值为()0f b =，324327a f a b⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 有三个零点等价于()32400327a f f b a b ⎛⎫⎛⎫⋅-=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而304027a a b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或304027a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩．又b c a =-，所以当0a >时，34027a a c -+>或当0a <时，34027a a c -+<．设()3427g a a a c =-+，因为函数()f x 有三个零点时，a 的取值范围恰好是()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则在(),3-∞-上()0g a <，且在331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上()0g a >均恒成立，从而()310g c -=-≤，且3102g c ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，因此1c =．此时，()()()3221111f x x ax a x x a x a ⎡⎤=++-=++-+-⎣⎦，2.【2015高考四川，理21】已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >.（1）设()g x 是()f x 的导函数，评论()g x 的单调性；（2）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间∞(1,+)内恒成立，且()0f x =在∞(1,+)内有唯一解.【答案】（1）当104a <<时，()g x在区间)+∞上单调递增，在区间上单调递减；当14a ≥时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.（2）详见解析.【解析】（1）由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()222ln 2(1)ag x f x x a x x '==---+，所以222112()2()2224()2x a a g x x x x -+-'=-+=.当104a <<时，()g x在区间)+∞上单调递增，在区间上单调递减；当14a ≥时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.综上所述，存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间∞(1,+)内恒成立，且()0f x =在∞(1,+)内有唯一解.3.【2015高考广东，理19】设1a >，函数a e x x f x-+=)1()(2． (1) 求)(x f 的单调区间；(2) 证明：)(x f 在(),-∞+∞上仅有一个零点；(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点）,证明：123--≤e a m ．【答案】（1）(),-∞+∞；（2）见解析；（3）见解析．【解析】∴em （m+1）2≥（m+1）3即：∴m≤…14分4.【2015高考新课标2，理12】设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞ 【答案】A【解析】5.【2015高考新课标1，理12】设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（） (A)[-32e ，1） (B)[-32e ，34） (C)[32e ，34） (D)[32e ，1）【答案】D【解析】设()g x =(21)x e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当12x =-时，max [()]g x =12-2e -，当0x =时，(0)g =-1，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得32e ≤a＜1，故选D.6.【2015高考新课标2，理21】设函数2()mx f x e x mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）[1,1]-．【解析】（Ⅱ）由(Ⅰ)知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()1f x f x e -≤-的充要条件是：(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩即1,1,m m e m e e m e -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①，设函数()1t g t e t e =--+，则'()1t g t e =-．当0t <时，'()0g t <；当0t >时，'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)20g e e --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即1m e m e ->-；当1m <-时，()0g m ->，即1m e m e -+>-．综上，m 的取值范围是[1,1]-．7.【2015江苏高考，17】（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2a y x b =+ （其中a ，b 为常数）模型.（1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）1000,0;a b ==（2）①()f t =定义域为[5,20]，②min ()t f t ==千米【解析】解得10000a b =⎧⎨=⎩．8.【2015高考新课标2，理12】设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞【答案】A 【解析】记函数()()f x g x x =，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．9.【2015高考新课标1，理12】设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（） (A)[-32e ，1） (B)[-32e ，34） (C)[32e ，34） (D)[32e ，1）【答案】D【解析】10.【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）设函数2()mx f x e x mx =+-． (Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）[1,1]-．【解析】。

高考数学专题3_1 导数以及运算、应用试题理(含解析)

专题3.1 导数以及运算、应用【三年高考】1. 【2016年高考四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A2．【2016高考新课标2理数】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln 2-3．【2016高考新课标3理数】设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+，其中0a >，记|()|f x 的最大值为A ．（Ⅰ）求()f x '；（Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．【解析】（Ⅰ）'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---．（Ⅱ）当1a ≥时，'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f =,因此，32A a =-．当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--．令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，且当14at a-=时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)61()1488a a a a g a a a --++=--=-．令1114a a --<<，解得13a <-（舍去），15a >．（ⅰ）当105a <≤时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．（ⅱ）当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4ag g g a-->>．又1(1)(17)|()||(1)|048a a a g g a a --+--=>，所以2161|()|48a a a A g a a-++==．综上，2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩．（Ⅲ）由（Ⅰ）得'|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a =---≤+-.当105a <≤时，'|()|1242(23)2f x a a a A ≤+≤-<-=.当115a <<时，131884a A a =++≥，所以'|()|12f x a A ≤+<. 当1a ≥时，'|()|31642f x a a A ≤-≤-=，所以'|()|2f x A ≤. 4．【2016高考山东理数】已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 当x ∈)1,2(a时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减. 综上所述，当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减；当20<<a 时，)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2(+∞a 内单调递增；当2=a 时，)(x f 在),0(+∞内单调递增；当2>a ，)(x f 在)2,0(a 内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(+∞内单调递增.5．【2016高考新课标1卷】已知函数()()()221xf x x e a x =-+-有两个零点.(I)求a 的取值范围；(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 【解析】（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+．（i ）设0a =,则()(2)x f x x e =-,()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln2ab <,则223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->,故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．若2ea ≥-,则ln(2)1a -≤,故当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点．若2ea <-,则ln(2)1a ->,故当(1,ln(2))x a ∈-时,'()0f x <；当(l n (2),)x a ∈-+∞时,'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点．综上,a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设12x x <,由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞,22(,1)x -∈-∞,()f x 在(,1)-∞上单调递减,所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-,即2(2)0f x -<．由于222222(2)(1)x f x x ea x --=-+-,而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=,所以222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．设2()(2)x x g x xe x e -=---,则2'()(1)()x x g x x e e -=--．所以当1x >时,'()0g x <,而(1)0g =,故当1x >时,()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<,故122x x +<．6. 【2015高考福建，理10】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（）A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C7.【2015高考新课标2，理12】设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【答案】A8.【2015高考新课标1，理12】设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（）(A)[-32e ，1） (B)[-32e ，34） (C)[32e ，34） (D)[32e，1）【答案】D【解析】设()g x =(21)x e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当12x =-时，max [()]g x =12-2e -，当0x =时，(0)g =-1，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得32e≤a ＜1，故选D.9. 【2015高考新课标1，理21】已知函数f （x ）=31,()ln 4x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）零点的个数.【解析】设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==.因此，当34a =时，x 轴是曲线()y f x =的切线. （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在（1，+∞）无零点. 当x =1时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g ===,故x =1是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg f ==<,故x =1不是()h x 的零点.当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在（0,1）的零点个数.10.【2014江西高考理第14题】若曲线x y e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________. 【答案】(ln 2,2)-【解析】设切点P (,)a b ，则由x y e -'=-得：2,2,ln 2,2a a a k e e a b e ---=-=-==-==，所以点P 的坐标是(ln 2,2)-.11. 【2014高考辽宁理第21题】已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x x π=--+-.证明：（Ⅰ）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；(Ⅱ)存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.12. 【2014高考大纲理第22题】函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+. 【解析】（I ）()f x 的定义域为()()()()()2221,,1x x a a f x x x a ⎡⎤--⎣⎦'-+∞=++．（i ）当12a <<时，若()21,2x a a ∈--，则()()0,f x f x '>在()21,2a a --上是增函数；若()22,0,x a a ∈-则()()0,f x f x '<在()22,0a a -上是减函数；若()0,,x ∈+∞则()()0,f x f x '>在()0,+∞上是增函数．（ii ）当2a =时,()()0,0f x f x ⅱ?成立当且仅当()0,x f x =在()1,-+?上是增函数．（iii ）当2a >时，若()1,0x ?，则()()0,f x f x '>在是()1,0-上是增函数；若()20,2x a a ∈-，则()()0,f x f x '<在()20,2a a -上是减函数；若()22,x a a ∈-+∞，则()()0,f x f x '>在()22,a a -+∞上是增函数．【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题,导数的几何意义与导数的应用是高考的热点，年年都出题，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档左右，解答题作为把关题存在，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识．【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间．所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏．解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想．因此在2017年高考备考中应狠下功夫,抓好基础,提高自己的解题能力,掌握好解题技巧,特别是构造函数的灵活运用.预测2017年高考仍将以导数的应用为背景设置成的导数的综合题为主要考点．也有可能利用导数的几何意义出一道中等难度试题，如求切线，或求参数值，重点考查运算及数形结合能力，以及构造新函数等能力．也有可能考查恒成立与存在性问题.【2017年高考考点定位】高考对导数的考查主要有导数的运算，导数的几何意义，利用导数判断单调性，求最值，证明不等式，证明恒成立，以及存在性问题等，难度较大，往往作为把关题存在．考点一、导数的基本运算【备考知识梳理】1．常见函数的求导公式．（１）0)(='C （C 为常数）；（２）1)(-⋅='n n x n x ；（３）x x cos )(sin ='；（４）x x sin )(cos -='；（5）()'ln xxa aa =；（6）()'x xe e =；（7）()1log '(0ln a x a x a =>且1)a ≠；（8）()1ln 'x x=． 2．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）． 3.形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数．复合函数求导步骤：分解——求导——回代．法则：y ＇|X = y ＇|U ·u＇|X 【规律方法技巧】(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．【考点针对训练】（1）求)11(32xx x x y ++=的导数；（2）求)11)(1(-+=xx y 的导数；（3）求2cos 2sin x x x y -=的导数；（4）求y=x x sin 2的导数；（5）求y ＝xx x x x 9532-+-的导数.考点二、导数的几何意义【备考知识梳理】函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线的斜率．也就是说，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线的斜率是()0f x '．相应地，切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-．【规律方法技巧】求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数()y f x =在0x x =的导数，即曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率；（2）在已知切点()()00,P x f x 和斜率的条件下，求得切线方程()()()000y f x f x x x '-=- 特别地，当曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线平行于y 轴时（此时导数不存在），可由切线的定义知切线方程为0x x =；当切点未知时，可以先设出切点坐标，再求解. 【考点针对训练】1. 【2016年河南郑州高三二模】曲线3)(3+-=x x x f 在点P 处的切线平行于直线12-=x y ，则P 点的坐标为（）A ．)3,1(B ．)3,1(-C ．)3,1(和)3,1(-D ．)3,1(- 【答案】C.2. 【河南八市2016年4月高三质检卷】.已知曲线x a y e +=与2(1)y x =-恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为________【答案】223ln -∞-（，）．【解析】21y x =-（）的导数21x a y x y e +'=-=（），的导数为x a y e +'=，设与曲线x a y e +=相切的切点为21m n y x =-（，），（）相切的切点为s t （，），则有公共切线斜率为21m a t ns e s m+--==-（），又21m at s n e+=-=（），，即有22()(1)(12)121m a s e s s s s m s m+------==--（）即为112s s m --=-，即有312s m s +=（＞），则有21m ae s +=-（），即为32112s a ln s s +=--（）（＞），令3()2112s f s ln s s +=--（）（＞），则1112f s s '=--（），当3s ＞时，0f s f s '（）＜，（）递减，当13s ＜＜时，0f s f s '（）＞，（）递增．即有3s =处f s （）取得极大值，也为最大值，且为223ln -，由恰好存在两条公切线，即s 有两解，可得a 的范围是223a ln -＜．故答案为223ln -∞-（，）．考点三、借助导数研究函数单调性【备考知识梳理】一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减；【规律方法技巧】求函数单调区间的一般步骤.（1）求函数()f x 的导数()f x '（2）令()0f x '≥解不等式，得x 的范围就是单调增区间;令()0f x '≤解不等式，得x 的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论. 【考点针对训练】1. 【2016年山西四校第三次联考】已知函数),0(ln )(2R b a x bx ax x f ∈>-+=,若对任意0>x ，)1()(f x f ≥，则（）A.b a 2ln -<B. b a 2ln -≤C. b a 2ln ->D. b a 2ln -≥ 【答案】A2. 【2016年山西四市高三四模】设函数2)(--=ax e x f x . （1）求)(x f 的单调区间；（2）若k a ,1=为整数，且当0>x 时，1)(1<'+-x f x xk 恒成立，其中)(x f '为)(x f 的导函数，求k 的最大值.【解析】（1）函数f （x ）=e x-ax-2的定义域是R ，f′（x ）=e x-a ，若a≤0，则f′（x ）=e x-a≥0，所以函数f （x ）=e x-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增 ,若a ＞0，则当x ∈（-∞，lna ）时，f′（x ）=e x-a ＜0；当x ∈（lna ，+∞）时，f′（x ）=e x-a ＞0；所以，f （x ）在（-∞，lna ）单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增.考点五、借助导数研究函数的极值【备考知识梳理】若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值【规律方法技巧】求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) .(2)求方程f ′(x )=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值. 【考点针对训练】1. 【2015-2016学年度唐山市高三第一模】已知函数()323f x x x x =-+的极大值为m ，极小值为n ，则m+n=（）(A)0 (B)2 (C) -4 (D) -2 【答案】D【解析】因为()2361f x x x '=-+，令()0f x '=，解得13x =±，所以当(1)(,133x ∈++∞-∞-时，()0f x '>，函数单调递增，当(133x ∈-+时，()0f x '<，函数单调递减，所以当1x =()f x 取得极大值，当1x =+()f x 取得极小值，所以(1(1233m n f f +=-++=-，故选D ． 2. 【2016年榆林二模】已知函数()32121332x a b f x x x x x λλ-⎛⎫=+++⎪⎝⎭，（,ab R ∈且0a >）. （1）当121,0λλ==时，若已知12,x x 是函数()f x 的两个极值点，且满足：1212x x <<<，求证：()13f '->；（2）当120,1λλ==时，①求实数()()()31ln30y f x x x =-+>的最小值；②对于任意正实数,,a b c ，当3a b c ++=时，求证：3339a b ca b c ++≥.考点五、借助导数研究函数最值【备考知识梳理】求函数最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值.（2）求出端点函数值(),()f a f b . （3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值. 【规律方法技巧】1、利用导数研究函数的最值问题是要养成列表的习惯，这样能使解答过程直观条理；2、会利用导函数的图象提取相关信息；3、极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点，但若函数在开区间内只有一个极值点，则这个极值点也一定是最值点. 【考点针对训练】1. 【2016年安徽淮南市高三二模】函数2cos y x x =+[0,]2π上的最大值是 .【答案】6π2. 【2016届邯郸市一中高三第十次研】已知函数21()ln(1)2f x x ax x =--+，其中a R ∈．（提示：[]1ln(1)1x x '+=+）（1）若2x =是()f x 的极值点，求a 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）若()f x 在[)0,+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．【解析】（1）(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+．依题意，令(2)0f '=，解得13a =．经检验，13a =时，符合题意.（2）①当0a =时，()1xf x x '=+，故()f x 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是(1,0)-． ②当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x =-．当01a <<时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是1(0,1)a -；单调减区间是(1,0)-和1(1,)a-+∞．当1a =时，()f x 的单调减区间是(1,)-+∞．当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a -；单调减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞． ③当0a <时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是(1,0)- ．综上，当0a ≤时，()f x 的增区间是 (0,)+∞，减区间是(1,0)-；当01a <<时，()f x 的增区间是1(0,1)a-，减区间是(1,0)-和1(1,)a -+∞；当1a =时，()f x 的减区间是(1,)-+∞；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a-；，减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞．【应试技巧点拨】1. 利用导数求切线问题中的“在”与“过”在解决曲线的切线问题时，利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法.在求解过程中特别注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的要切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.因此在审题时应首先判断是“在”还是“过”.若“在”，利用该点出的导数为直线的斜率，便可直接求解；若“过”，解决问题关键是设切点，利用“待定切点法”,即：设点A （x 0,y 0）是曲线y=f(x)上的一点，则以A 为切点的切线方程为y －y 0=f ))((00/x x x -,再根据题意求出切点.2.函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程(组)．其三，求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异．过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上；在点P 处的切线，点P 是切点．3．函数的导数在其单调性研究的作用：(1)当函数在一个指定的区间内单调时，需要这个函数的导数在这个区间内不改变符号(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，当函数在一个区间内不单调时，这个函数的导数在这个区间内一定变号，如果导数的图象是连续的曲线，这个导数在这个区间内一定存在变号的零点，可以把问题转化为对函数零点的研究．(2)根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论，这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行，如果这样的点不止一个，则要根据字母参数在不同范围内取值时，导数等于零的根的大小关系进行分类讨论，最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论．[易错提示] 在利用“若函数()f x 单调递增，则()'0f x ≥”求参数的范围时，注意不要漏掉“等号”．4．利用导数研究函数的极值与最值：(1)确定定义域． (2)求导数()'f x ．(3)①若求极值，则先求方程()'0f x =的根，再检验()'f x 在方程根左、右值的符号，求出极值．(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)②若已知极值大小或存在的情况，则转化为已知方程()'0f x =根的大小或存在情况，从而求解． 5．求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数()y f x =在(),a b 内的极值；(2)将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()(),f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．6.利用导数处理恒成立问题不等式在某区间的恒成立问题，可以转化为求函数在区间上的最值问题来解决，函数的最值问题的求解，利用求导分析函数单调性是常规途径，例如：①()0f x '>⇒()f x 为增函数（()0f x '<⇒()f x 为减函数）.②()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()f x '≥0在(),a b 上恒成立；()f x 在区间(),a b 上为减函数⇒()f x '≤0在(),a b 上恒成立.7.利用导数，如何解决函数与不等式大题在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题. 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决．使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数．因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧总结如下（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”. 二年模拟1. 【2016届海南省农垦中学高三考前押题】曲线21cos sin sin -+=x x x y 在点)0,4(πM 处的切线的倾斜角为（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．65π【答案】A2. 【2016届吉林大学附中高三第二次模拟】已知a b ，为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则22a b+的取值范围（）（A ）1(0)2，（B ）(01)，（C ）(0)+∞，（D ）[1)+∞，【答案】A【解析】'11,1,10,1,01y x b y b a b a a x b===-=--==-<<+，2223a a b a =+-，令()23a g a a =-，()()()26'03a a g a a -=>-，()g a 为增函数，所以210,22a b ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭．3. 【2016年江西三校第二次联考】设函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．12a <≤B ．4a ≥C ．2a ≤D ．03a <≤ 【答案】A【解析】299'()x f x x x x-=-=，因为0x >，所以当03x <<时，'()0f x <，即()f x 在(0,3]上递减，所以0113a a <-⎧⎨+≤⎩，12a <≤．故选A ．4. 【湖北2016年9月三校联考】已知函数()32f x x bx cx d =+++的图象如图所示，则函数2122log 33c y x bx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的单调减区间为（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．()3,+∞ C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),2-∞-【答案】B5. 【2016年江西师大附中高三月考】已知函数()22xxaf x =-，其在区间[]0,1上单调递增，则a 的取值范围为（）A ．[]0,1B ．[]1,0-C ．[]1,1-D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C6. 【2016年江西六校联考】已知()||x f x x e =⋅，又=)(x g )2()10f tf x t R ++=∈()2()()10f x tf x t R +=∈，若满足1)(-=x g 的x有四个，则t 的取值范围为( )A ．21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭B ．21(,)e e ++∞ C ．21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭D ．212,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()()0| |0()x xxxe x f x xe xe x ⎧≥==⎨-⎩<，当0x ≥时，()0x xf x e xe '=+≥恒成立，所以()f x 在[)0+∞，上为增函数；当0x <时，()()1xxxf x e xe ex '=--=-+，由()0f x '=，得1x =-，当1()x ∈-∞-，时，()()10x f x e x '=-+>，()f x 为增函数，当1()0x ∈-，时，()()()10x f x e x f x '=-+<，为减函数，所以函数()xf x xe =在()0-∞，上有一个最大值为()()1111f e e--=--=，要使方程1)(-=x g ，即()()210()f x tf x t R ++=∈有四个实数根，令()f x m =，则方程210m tm ++=应有两个不等根，且一个根在(0)1e ，内，一个根在(1)e +∞，内，再令()21m m tm ϕ=++，因为()010ϕ=>，则只需0(1)eϕ<，即111)20(t e e ++<，解得：21e t e+-<；所以，使得函数()||x f x x e =⋅，方程1)(-=x g 有四个实数根的t 的取值范围是21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭；故选A ．7. 【河南六市高2016年高三三模】已知函数ln(2)()x f x x=，关于x 的不等式2()()0f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．1,ln 23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．1ln 6,ln 23⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C.【解析】2212ln(2)1ln(2)2'()x x x x f x x x ⋅⋅--==，∴()f x 在(0,)2e 上单调递增，(,)2e +∞上单调递减，∴2()()2nax e f x f e==，又∵1()02f =，122e <<，不等式2()()0f x af x +>只有两个整数解，∴(1)1(2)ln 2ln 63(3)a f a f a a f -<⎧⎪-<⇒-<≤-⎨⎪-≥⎩，即实数a 的取值范围是1(ln 2,ln 6]3--故选C ．8.【2016年河北石家庄高三二模】已知函数x x x f 3)(3-=，若过点),2(t M 可作曲线)(x f y =的两条切线，且点M 不在函数)(x f 的图象上，则实数t 的值为______. 【答案】6-或29. 【2016届山西省忻州一中等四校高三下第四次联考】设函数21()ln ().2a f x x ax x a R -=+-∈ (Ⅰ)当1a =时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)若对任意(3,4)a ∈及任意12,[1,2]x x ∈，恒有212(1)ln 2()()2a m f x f x -+>- 成立，求实数m 的取值范围.10. 【2016届安徽师大附中高三最后一卷】定义在R 上的函数()f x 满足()()()222'1202x f f x e x f x -=⋅+-，()()21124x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()g x 的单调区间；（3）如果,,s t r 满足s r t r -≤-，那么称s 比t 更靠近r .当2a ≥且1x ≥时，试比较e x和1x e a -+哪个更靠近ln x ，并说明理由．【解析】（1）()()()22''1220x f x f ex f -=+-，令1,x =解得()01,f =由()()()222'1202x f f x e x f x -=⋅+-，令0x =得()()2'102f f e -=，()2'12f e =，所以，()222x f x e x x =-+.（2）因为()222xf x ex x =-+，所以()()21124x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭=()1x e a x --，()',x g x e a =-①当0a ≤时，总有()'0g x >，函数()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，由()'0g x >得函数()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，由()'0g x <得函数()f x 在(),ln a -∞上单调递减；综上，当0a ≤时，总有()'0g x >，函数()f x 在R 上单调递增；当0a >时， ()f x 在()ln ,a +∞上单调递增， ()f x 在(),ln a -∞上单调递减.11. 【湖北省重点中学2015届高三上学期第三次月考试题】已知函数()f x 的导数为()f x '，且满足关系式2()3(2)ln f x x xf x '=++，则(2)f '的值等于（） A.2- B.2 C.94- D. 94【答案】C.【解析】因为2()3(2)ln f x x xf x '=++，所以x f x x f 1)2(32)(''++=，所以21)2(322)2(''++⨯=f f ，解之得49)2('-=f .故应选C. 12.【吉林市普通高中 2014—2015 学年度高三毕业年级摸底】已知曲线 4y x=在点 P (1, 4) 处的切线与直线 l ，则直线 l 的方程为（）A .490x y -+=或4250x y -+=B . 490x y -+=C .490x y ++=或4250x y +-=D . 以上都不对【答案】C【解析】因为曲线4y x =，所以24y x'=-，所以在点P （1，4）处的切线的斜率为-4，方程为4x +y -8=0，与直线l 的直线方程为4x +y +c =0=c =9或-25，因此直线的方程为4x +y +9=0或4x +y -25=0，故选C ．13.【雅安中学2014－2015学年上期9别为21,x x ，且()+∞∈∈,1),1,0(21x x ，点),(n m P 表示的平面区域为D ，若函数log (4)a y x =+（1a >）的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（）A.(]3,1B.)3,1(C.),3(+∞D.[)3,+∞ 【答案】B14.【2015届北京市东城区5月综合练习】已知函数325()2f x x x ax b =+++ ,327()ln 2g x x x x b =+++，（a ，b 为常数）．（Ⅰ）若()g x 在1x =处的切线过点(0,5)-，求b 的值；（Ⅱ）设函数()f x 的导函数为()f x '，若关于x 的方程()()f x x xf x '-=有唯一解，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）令()()()F x f x g x =-，若函数()F x 存在极值，且所有极值之和大于5ln 2+，求实数a 的取值范围．15. 【2015届湖南省长沙市雅礼中学高三4月】已知函数()()2ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围；（Ⅲ）证明:对任意的正整数n ,不等式()23412ln 149n n n+++++>+都成立．【解析】（Ⅰ）()'121,f x x x a=--+ 0x =时,()f x 取得极值, ()'00,f ∴= 故12010,0a-⨯-=+解得 1.a =经检验1a =符合题意．（Ⅲ） ()()2ln 1f x x x x =+--的定义域为{}1x x >-,由（1）知()()()'231x x f x x -+=+令()'f x =得,0x =或32x =-（舍去）,∴当10x -<<时, ()'0f x >,()f x 单调递增;当0x >时, ()'0f x <,()f x 单调递减．()0f ∴为()f x 在()1,-+∞上的最大值．()()0f x f ∴≤,故()2ln 10x x x +--≤（当且仅当0x =时,等号成立）对任意正整数n ,取10x n=>得,2111ln 1,n n n ⎛⎫+<+⎪⎝⎭ 211ln n n n n++⎛⎫∴< ⎪⎝⎭，故()23413412ln 2ln ln lnln 14923n n n n n++++++>++++=+．（方法二）数学归纳法证明：当1n =时，左边21121+==，右边ln(11)ln 2=+=，显然2ln 2>，不等式成立．假设()*,1n k k N k ≥∈≥时，()23412ln 149k k k+++++>+成立，则1n k =+时，有()()()222341222ln 14911k k k k k k k ++++++++>++++．做差比较：()()()()222222111ln 2ln 1lnln 1111(1)11k k k k k k k k k k k ⎛⎫+++⎛⎫+-+-=-=+-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭++⎝⎭构建函数()()()2ln 1,0,1F x x x x x =+--∈，则()()2301x x F x x -+'=<+，()()0,1F x ∴在单调递减，()()00F x F ∴<=．取()*11,1x k k N k =≥∈+，()2111ln 10011(1)F k k k ⎛⎫⎛⎫+-+<= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭即()()()22ln 2ln 101k k k k ++-+-<+，亦即()()()22ln 1ln 21k k k k +++>++，故1n k =+时，有()()()()222341222ln 1ln 24911k k k k k k k k ++++++++>++>+++，不等式成立．综上可知，对任意的正整数n ,不等式()23412ln 149n n n +++++>+都成立．拓展试题以及解析 1. 已知函数()2115πsin()42f x x x =--，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是（）【答案】A【入选理由】本题主要考查诱导公式、基本初等函数的求导法则、函数的图象等知识，意在考查学生的识图能力、逻辑思维能力.此题难度不大，出题角度较新，故选此题． 2．函数21()ln 2f x x x ax =++存在与直线03=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（） A. ),0(+∞ B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. ]1,(-∞ 【答案】D【解析】因为1()f x x a x'=++，直线的03=-y x 的斜率为3，由题意知方程13x a x ++=（0x >）有解，因为12x x+?，所以1a £，故选D ．【入选理由】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力．本题导数的几何意义巧妙地与基本不等式结合起来，出题方式新颖，试题难度不大，同时对导数运算的深层次考查，体现灵活运用导数知识解决问题能力；故选此题.3. 已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（）A.[32ln 2,2)-B. [32ln 2,2]-C. [1,2]e -D. [1,2)e - 【答案】A【入选理由】本题主要考查分段函数与方程的解，导数与函数最值等，考查函数与方程、数形结合的数学思想,意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力及基本的逻辑推理能力．导数的应用，是高考考试的重点与难点，此题运用构造法，灵活的利用导数求最小值，构思很巧，故选此题.4. 设函数()y f x =是定义在R 上的可导函数，当0x ≠时，()()2x f x f x '<-，则函数21()()g x f x x=-的零点个数为（） A.0B.1C.2D.0或 2【答案】A【入选理由】本题主要考查导数的应用以及函数的零点，考查构造法以及函数与方程思想和逻辑推理能力，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力及基本的逻辑推理能力．导数的应用，是高考考试的重点与难点，此题函数的单调性与函数的零点巧妙地结合起来，构思很巧，故选此题. 5. 已知函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩， 31(),()ln 4f x x ax g x x =++=-，若()0h x =在(0,)+∞上有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】53(,)44--【解析】因为2()3(0)f x x a x '=+>，所以若0a ≥，则2()30f x x a '=+>，此时()0h x =在(0,)+∞上至多有两个不同的实数根，因此0a <，从而由()0f x '=得x =因为(1)0g =，因此要使()0h x =在(0,)+∞1,(1)0,0f f ><，即511303,3(043484a a a a >>->--<⇒⇒<-，从而实数a 的取值范围为53(,).44--【入选理由】本题考查函数图象、函数与方程思想、利用导数研究函数性质等基础知识，意在考查分析问题与解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．此题难度不大，综合性较强，体现高考小题综合化的特点，故选此题. 6. 已知函数()2ln af x ax x x=-+（a R ∈）.（Ⅰ）若函数()f x 为单调递减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当12,(0,)x x ∈+∞时，不等式 121221()()[]()0f x f x x x x x --<恒成立，求a 的取值范围. 【入选理由】本题主要考查导数与函数的最值，导数与函数的单调性、不等式恒成立以及函数的定义域等，考查分离参数法、函数与方程的思想、分类讨论的数学思想以及基本的运算能力和逻辑推理能力等，此题难度较大，综合性较强，符合高考试题特征，故选此题.7. 已知函数()ln .a f x x ax x=-+ (Ⅰ) 若函数()f x 在1x =处的切线过点(0,)a ，求a 的值；（Ⅱ）若01a <<，求证：2()02a f >；（Ⅲ）若()f x 恰有三个不同的零点，求a 的取值范围．。

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