第三部分逻辑表示及推理方法

(等幂律) (交换律) (结合律)
6) G(GH)=G，G(GH)=G； 7) G(HS)=(GH)(GS)， G(HS)=(GH)(GS)； 8) GF=G，GT=G； 9) GF=F，GT=T； 10) ～(GH)= ～G～H， ～(GH)= ～G～H。 11) G～G=T；G～G=F 12) ～～G=G

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设P，Q是两个命题，命题 “P当且仅当Q”称 为P等价Q，记以PQ。 P ：a2+b2=a2， Q： b=0， PQ： a2+b2=a2当且仅当b=0 。
语义规定： PQ是真的当且仅当P，Q或者都是真的，或者都是假的。
例
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五种逻辑联结词的优先级按如下次序递增： ，，，， ～ 例. 符号串 PQRQ ～SR 意味着： ((P(QR))(Q((～S)R)))
第三部分 逻辑表示及推理方法
常用的知识表示方法： 非结构化方法
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逻辑表示法 产生式系统 框架 语义网络
QA3,STRIPS,DART,MOMO DENDRAL，MYCIN
结构化方法
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1 过程式知识表示法 2/11/2019
第五章 谓词演算（复习）

数理逻辑思想的起源：Leibnitz之梦 产生的历史：Boole的工作、Frege的工作 发展的现实：计算机学科的基础（软件到硬件）
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11 真值表 公式G在其所有可能的解释下所取真值 的表，称为G的真值表。 有n个不同原子的公式，共有2n个解释。
12 恒真公式 公式G称为恒真的(或有效的)，如果G在 它的所有解释下都是真的.
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13 恒假公式 公式G称为恒假的(或不可满足的)，如果G在它的所有 解释下都是假的. 14 可满足公式 公式G称为可满足的，如果它不是恒假的。
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原因－－命题P的确切意思应该是： “对任意x， 如果x是人，则x必死”。 但是 H(x)M(x) 中并没有确切的表示出 “对任意x”这个意思， 亦即H(x)M(x)不是一个命题。 因此，在谓词 逻辑中除引进谓词外，还需要引进 “对任意x” 这个语句，及其对偶的语句 “存在一个x”。
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为了表示出这三个命题的内在关系，需要引进谓 词的概念。 例如，在前面的例子“张三是人”中的“是人” 是谓语，称为谓词，“张三”是主语，称为个体。
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二、谓词逻辑
1 谓词 可以独立存在的物体称为个体。 如人、学生、桌子、自然数等都可以做个体。在谓词 演算中，个体通常指一个命题里的思维对象。 设D是非空个体名称集合，定义在Dn上取值于{T，F} 上的n元函数，称为n元命题函数或n元谓词。其中Dn 表示集合D的n次笛卡尔乘积。 一般地，一元谓词描述个体的性质，二元或多元谓词 描述两个或多个个体间的关系。0元谓词中无个体， 理解为就是命题，这样，谓词逻辑包括命题逻辑。
(吸收律)
(分配律) (同一律) (零一律) (De Morgan律) （互补律） （双重否定律）
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17 公式的蕴涵
设G，H是两个公式。 称H是G的逻辑结果(或称G蕴涵 H)，当且仅当对G，H的任意解释I，如果I满足G，则 I也满足H，记作GH。

公式G蕴涵公式H iff 公式GH是恒真的。
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例. 设S={PQ，QR，PM， ～M} 则下面 的公式序列: ～M，PM， ～P，PQ，Q，QR，R 就是从S推出R的一个演绎。 演绎方法的可靠性与完备性 设S是公式集合，G是一个公式。于是，从S演 绎出G的充要条件是G是S的逻辑结果。

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4 复合命题 用联结词将简单命题连接的结果。 5 原子 命题的抽象。 用大写的英文字母P，Q，R，…等表示。 6 文字 原子或原子的否定。 7 子句 有限个文字的析取式称为一个子句。 特别，没有文字的子句称为空子句，记为 。 只有一个文字的子句称为单元子句。 8 短语 有限个文字的合取式称为一个短语。 2/11/2019

设P，Q是两个命题，命题 “P或者Q”称为P， Q的析取，记以PQ，读作P析取Q。
例. P：今天下雪，Q：今天刮风， PQ：今天下雪或者刮风。 语义规定： PQ是真的当且仅当 P,Q中至少有一个为真。 2/11/2019
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设P，Q是两个命题，命题 “P并且Q”称为P，Q的合 取，记以PQ，读作P合取Q。 例. P：22=5，Q：雪是黑的， PQ：22=5并且雪是黑的。 语义规定： PQ是真的当且仅当P和Q都是真的。 设P，Q是两个命题，命题 “如果P，则Q”称为P蕴涵 Q，记以PQ。 例. P：f(x)是可微的， Q：f(x)是连续的， PQ： 若f(x)是可微的，则f(x)是连续的。 语义规定： PQ是假的当且仅当P是真的而Q是假的。
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2 不能描述问题间的逻辑联系

例如，逻辑学中著名的三段论： P：凡人必死 Q：张三是人 R：张三必死
在命题逻辑中：应该有(PQ) R，从而公式 (PQ)R应该是恒真的。 显然该公式不是恒真的，解释{P，Q， ～R}就能弄 假该公式。
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原因：命题R是和命题P, Q有关系的，只是这种 关系在命题逻辑中无法表示。 因此，需要对命题的成分、结构和命题间的共同 特性等作进一步的分析，这正是谓词逻辑所要研 究的问题。
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化范式方法：
步1. 使用基本等价式，将G中的逻辑联结词， 删除。 步2. 使用～(～H)=H和摩根律， 将G中所有的否定号～都放在原子之前。 步3. 反复使用分配律，即可得到等价于G的范 式。
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19 演绎


设S是一个命题公式的集合(前提集合)。从S推 出公式G的一个演绎是公式的一个有限序列： G1, G2, …, Gk 其中，Gi （1≤i ≤ k）或者属于S，或者是某 些 Gj (j<i)的逻辑结果。 并且 Gk就是G。 称公式G为“此演绎的” 逻辑结果，或称从S 演绎出G。 有时也记为SG。
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16 公式等价
称公式G，H是等价的，记以G=H，如果 G，H在其任意解释I下，其真值相同。 公式G，H等价 iff 公式GH恒真。 基本等价式

1) 2) 3) 4) 5)
15
(GH)=(GH)(HG)； (GH)=(～GH)； GG=G，GG=G； GH=HG，GH=HG； G(HS)=(GH)S， G(HS)=(G2/11/2019 H)S；
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基本蕴涵式
8.
～(PQ) ～Q
9.
10.
11.
12.
13.
14.
P，QPQ ～P，PQQ P，PQQ ～Q，PQ ～P PQ，QRPR PQ，PR，QRR
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18 范式



有限个短语的析取式称为析取范式； 有限个子句的合取式称为合取范式。 特别，一个文字既可称为是一个合取范式，也 可称为是一个析取范式。一个子句，一个短语 既可看做是合取范式，也可看做是析取范式。 例如，P，PQ，PQ，(PQ)(～P ～Q)是 析取范式。 P，PQ，PQ，(PQ)(～PR) 是合取范式。
命题逻辑的缺陷
把问题看成一个个孤立的命题，忽略了问题之 间的联系，无法描述客观事物的结构，不能反 映某些重要的常见的逻辑思维过程。 1 繁琐 例.表述集合个体性质及相互关系 S={1,2,…,50} 表述S中元素大于3这样一个性质，需要 1>3,2>3,…,50>3等50个命题。
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G是恒真的 iff ～ G是恒假的。 G是可满足的 iff 至少有一个解释I，使G在I下为真。 若G是恒真的，则G是可满足的； 反之不对。 如果公式G在解释I下是真的，则称I满足G； 如果G在解释I下是假的，则称I弄假G。
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例.考虑G1=
～(P→Q) →P，G2=(P →Q) P， G3=P ～P。
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例.


用谓词的概念可将三段论做如下的符号化： 令 H(x)表示 “x是人”， M(x)表示 “x必死”。 则三段论的三个命题表示如下： P： H(x)M(x) Q： H(张三) R： M(张三)
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若想得到 “命题”P的否定 “命题”，应该就是 “命题” ～P。但是， ～P= ～(H(x)M(x)) = ～(～H(x)M(x)) =H(x) ～M(x) 亦即，“命题”P的否定 “命题”是 “所有人都 不死”。这和人们日常对命题 “所有人都必死” 的否定的理解，相差得实在太远了.
设G是命题公式,A1,…,An是出现在G中的所有原子。指定 A1,…,An的一组真值,则这组真值称为G的一个解释。 设G是公式，I是G的一个解释，G在I下的真值记为TI(G)。
例.G=PQ，设解释I，I’如下： I：
P T
Q T
I’：
P T
Q F
则TI (G)=T，TI’ (G)=F 注意：该例子中写成G=T或G=F是错误的！
古典数理逻辑主要包括两部分：命题逻辑和谓词逻辑。 命题逻辑又是谓词逻辑的一种简单情形。

逻辑研究的基本内容 语法 语言部分：基本符号集、公式形成规则
推理部分：公理集、推理规则
语义 语法和语义之间的关系：可靠性、完备性 基本问题
逻辑表示下的判定问题Leabharlann 22/11/2019