一类带势的非线性Schrodinger方程对称爆破解的L 2集中性质

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带调和势的非线性Schrodinger方程解的爆破性质

的Ｌｐｃ算子；Ⅳ 为空间维数；（）ａａｌｅｙ是实值函数．
显，有１）方（是个典非性ｃ６ｉｅ程．１）ｌ时方（称然没势，，程１一经的线ｓｌｄｇ方当，＝ｌ，程１为（）即１ｎｒｒ（ｘ ‘ ）又
Ｓｏｖｏｌ空间日ＲⅣ 中ｂｅ（）．
定义日上的能量泛为：
（）Ｉｌ＋Ｖ）．１（＝
现给出初值问题（一２在空间Ｈ上的局部适定性．１（））
一
，． Ⅳ 铊
命题１设 ∈Ｈ，则存在Ｔ＞０，初值问１（在最大时间区间［，上存在唯一解ｕｔ）使得题（一））２０）（，，
引理１设 ∈Ｈ，ｕｔ）（ｘ为柯西问１（的解，，题（一））２则下列式子成立：
（）３Ｊ＝１如（量变）１』质不式ｆ ∽＝ｚ＋，一）１Ｉ｝１，１ｚＪ（ＩＪ＝（能不式（４）１ Ⅳ （变）＋Ｉ量
在某些假设条件下，证明了该问题的解在有限时间内爆破．关键词：非线性ＳｈＳｉｇｒｃｒｄｎｅ方程；爆破；调和势中图分类号：Ｏ１５２文献标识码：Ａ７．４引言本文讨论如下带调和势的非线性Ｓｈ６ｉｇｒｃｒｄｎｅ方程的初值问题
第１卷９
第７期
牡丹江大学学报
Ｊｕｎ１ｏＭｄｎｉｎＩｉＯＳｔｏｒａｆｕａｊａｇＪＶＴｉｙｎ
Ｖ．１ｏｏ１９Ｎ．７Ｊ．２０ｕ１Ｏ１

一类带势的非线性Schrodinger方程组解整体存在和解爆破的最佳条件

ｖｌｅｕｔｂｅｆｈｅｇｏａｌｅｉｔｎｃｈｅＣａｃｒｌｍｈｑｕｔｏｎ．ａｕｓｍｓｏｒｔｌｂｘｓｅｅｏｆｔｕｈｙｐｏｂｅｏｆｔｅｅａｉｓ
Ｋｅｏｄ：ｔｒｓｏｄ；ｇｏａｘｓｅｃ；ｂｏｕｙｗｒｓｈｅｈｌｌｂｌｅｉｔｎｅｌｗ－ｐ；ｈｒｎｃｐｔｎｉｌｏｌｅｒＳｈＯｉｇｒｅｕｔｎａｍｏｉｏｅｔ；ｎｎｉａｃｒｄｎｅｑａｉｓａｎｏ
整体存在和解爆破的最佳条件．一步回答了初值小到什么程度时，西问题的整体解存在．进柯关键词：最佳条件；体解；整爆破解；和势；线性Ｓｈ６ｉｇｒ程组调非ｃｒｄｎｅ方
中图分类号：７．９Ｏ１５２文献标识码：Ａ文章编号：０７６７（０００－０６０１０ —５３２１）Ｉ０３—５
ＺＨＡＮＧＹａｎ，ＬＵｈｎｘｅＺｏｇｕ
（ｃｏｌｏａｈｍａｉａｃｅｃＸｕｈｏｒｌｎｖｒｉｙ，ｚｏ２１Ｊａｇｕ，ｎ）ＳｈｏｆＭｔｅｔｌＳｉｎｅ，ｚｕＮｏｍａｉｅｓｔＸｕｈｕ２１ｉｎｓＣｈｉａｃＵ１６，
一
＞０ｉ：，．；＝１２通过构建方程组（）：１的适当的泛函，定义一个合适的变分问题，立（）建１的关于时间的两个
不变流，从而获得（）１解整体存在和爆破的最佳条件．且回答了初值小到什么程度时，１的整体解存在．并（）

一类带调和势的非线性Schrodinger方程组的爆破问题

收稿日期：２００６－０９－１９收稿日期：国家自然科学基金项目资助（１０３７１１１３）作者简介：邵长安（１９８２－），男，山东临沂人，硕士研究生，从事偏微分方程研究；邢家省（１９６４－），男，河南泌阳人，副教授，博士后．文章编号：１００４－３９１８（２００７）０１－０００１－０４一类带调和势的非线性Schrodinger 方程组的爆破问题邵长安，邢家省（北京航空航天大学理学院，北京１０００８３）摘要：研究一类带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程组的初值问题，通过在Ｓｏｂｏｌｅｖ空间中定义能量空间，运用能量方法，建立质量能量守恒律，利用能量函数，得到了只要初值满足一定的条件，该方程组的解在有限时间内爆破．关键词：调和势；非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程组；爆破中图分类号：Ｏ１７５．２９文献标识码：Ａ考虑下面的一类带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程组的初值问题ｉｕｔ＝－Δｕ＋│ｘ│２ｕ－（ｐ＋１）│ｕ│ｐ－１│ｖ│ｑ＋１ｕ（１）ｉｖｔ＝－Δｖ＋│ｘ│２ｖ－（ｑ＋１）│ｖ│ｑ－１│ｕ│ｐ＋１ｖ（２）ｕ（０，ｘ）＝ｕ０，ｖ（０，ｘ）＝ｖ０，ｘ∈Ｒｎ，ｔ＞０（３#%$%&）其中，ｉ是虚数单位，ｕ＝ｕ（ｔ，ｘ），ｖ＝ｖ（ｔ，ｘ）是（ｔ，ｘ）∈Ｒ＋×Ｒｎ的复值函数，Δ是Ｌａｐｌａｃｉａｎ算子，ｐ，ｑ是常数，ｐ’ｑ’１．非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程ｉｕｔ＝－Δｕ－│ｕ│ｐ－１ｕ是量子力学和量子理论中的经典非线性模型，很多作者已经用不同的方法研究过它，并取得了非常深刻的结论，如其解的存在唯一性［１］，爆破解［２－３］与整体解［４－５］等．带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程ｉｕｔ＝－Δｕ＋│ｘ│２ｕ－│ｕ│ｐ－１ｕ，是用来刻划吸引的Ｂｏｓｅ－Ｅｉｎｓｔｅｉｎ凝聚模型［６］，很多作者也已经用不同的方法研究过它，并取得的非常深刻的结论［７－８，１０－１１］等．若在方程组（１）－（３）中ｕ＝ｖ，显然就是带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程，因此方程组（１）－（３）与Ｂｏｓｅ－Ｅｉｎｓｔｅｉｎ的研究密切相关．本文用能量方法研究该方程组解的爆破性．为了书写的方便用(・ｄｘ表示Ｒｎ(・ｄｘ．１预备知识和引理设Ｈ１（Ｒｎ）表示通常的Ｓｏｂｏｌｅｖ空间，定义能量空间Ｈ：＝ｕ∈Ｈ１（Ｒｎ），Ｒｎ(│ｘ│２│ｕ│２＜)*∞，并定义能量函数Ｅ（ｔ）＝(（│Δｕ│２＋│Δｖ│２）ｄｘ＋(│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－２(│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１）ｄｘ定义如果（ｕ，ｖ）∈Ｃ（［０，Ｔ）；Ｈ１（Ｒｎ）×Ｈ１（Ｒｎ）），│ｕ│ｐ－１│ｖ│ｑ＋１ｕ，│ｖ│ｑ－１│ｕ│ｐ＋１│ｖ∈Ｃ（［０，Ｔ）；Ｌ１（Ｒｎ）×Ｌ１（Ｒｎ）），（│ｘ│ｕ，│ｘ│ｖ）∈Ｃ（［０，Ｔ），Ｌ２（Ｒｎ）×Ｌ２（Ｒｎ））．且在广义函数意义下满足方程组，那么（ｕ，ｖ）称为方程组的一个弱解．命题１［９］设任意的（ｕ０，ｖ０）∈Ｈ（Ｒｎ）×Ｈ（Ｒｎ），ｐ＋ｑ＞１＋４ｎ，该方程组初值问题在最大时间区间［０，Ｔｍａｘ）内存在唯一解（ｕ，ｖ），且（ｕ，ｖ）∈Ｃ（［０，Ｔ）；Ｈ１（Ｒｎ）×Ｈ１（Ｒｎ））．引理１（守恒律）设（ｕ，ｖ）是方程组的在０+ｔ＜Ｔ上的解，则：（Ⅰ）(（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ＝(（│ｕ０│２＋│ｖ０│２）ｄｘ（质量守恒）第２５卷第１期２００７年２月河南科学ＨＥＮＡＮＳＣＩＥＮＣＥＶｏｌ．２５Ｎｏ．１Ｆｅｂ．２００７第２５卷第１期河南科学（Ⅱ）Ｅ（ｕ，ｖ）＝!（│Δｕ│２＋│Δｖ│２）ｄｘ＋!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－２!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ＝Ｅ（ｕ０，ｖ０）（能量守恒）证明（Ⅰ）在（１）和（２）两边分别乘以２ｕ#和２ｖ$，并在Ｒｎ上积分相加，分部积分得!ｉ（ｕｔｕ#＋ｕ#ｔｕ＋ｖｔｖ$＋ｖ$ｔｖ）ｄｘ＝!（２│Δｕ│２＋２│ｘ│２│ｕ│２－２（ｐ＋１）│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１）ｄｘ＋!（２│Δｖ│２＋２│ｘ│２│ｖ│２－２（ｑ＋１）│ｖ│ｑ＋１│ｕ│ｐ＋１）ｄｘ取虚部得!（ｕｔｕ#＋ｕ#ｔｕ＋ｖｔｖ$＋ｖ$ｔｖ）ｄｘ＝０即ｄｄｔ!（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ＝０故得!（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ＝!（│ｕ０│２＋│ｖ０│２）ｄｘ（Ⅱ）在（１）和（２）两边分别乘以２ｕ#ｔ和２ｖ$ｔ后，并在Ｒｎ上积分相加，分部积分得!ｉ（２│ｕｔ│２＋２│ｖｔ│２）ｄｘ＝!（２ΔｕΔｕ#ｔ＋２│ｘ│２ｕｕ#ｔ－２（ｐ＋１）│ｕ│ｐ－１│ｖ│ｑ＋１ｕｕ#ｔ）ｄｘ＋!（２ΔｖΔｖ$ｔ＋２│ｘ│２ｖｖ$ｔ－２（ｑ＋１）│ｖ│ｑ－１│ｕ│ｐ＋１ｖｖ$ｔ）ｄｘ取实部，得０＝ｄｄｔ!（│Δｕ│２＋│Δｖ│２＋│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）－２│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１）ｄｘ所以Ｅ（ｕ，ｖ）＝Ｅ（ｕ０，ｖ０）．引理２设ｕ０∈Ｈ，ｖ０∈Ｈ，ｕ（ｔ）∈Ｃ（［０，Ｔ）；Ｈ）与ｖ（ｔ）∈Ｃ（［０，Ｔ）；Ｈ）是方程组初值问题的解，令Ｊ（ｔ）：＝!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ，那么有（Ⅲ）Ｊ′（ｔ）＝４Ｉｍ!ｘｕ#Δｕｄｘ＋４Ｉｍ!ｘｖ$Δｖｄｘ＝－４Ｉｍ!ｘｕΔｕ#ｄｘ－４Ｉｍ!ｘｖΔｖ$ｄｘ（Ⅳ）Ｊ″（ｔ）＝８!（│Δｕ│２＋│Δｖ│２）ｄｘ－８!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－４ｎ（ｐ＋ｑ－２）!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ＝８Ｅ（ｕ０，ｖ０）－１６!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－４［ｎ（ｐ＋ｑ－２）－４］!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ证明（Ⅲ）利用分部积分，直接计算，如下Ｊ′（ｔ）＝ｄｄｔ!│ｘ│２（ｕｕ#＋ｖｖ$）ｄｘ＝!│ｘ│２（ｕｔｕ#＋ｕｕ#ｔ＋ｖｔｖ$＋ｖｖ$ｔ）ｄｘ＝!│ｘ│２（２Ｒｅｕｔｕ#＋２Ｒｅｖｔｖ$）ｄｘ＝２!│ｘ│２Ｉｍ（ｉｕｔｕ#）ｄｘ＋２!│ｘ│２Ｉｍ（ｉｖｔｖ$）ｄｘ＝２!│ｘ│２Ｉｍ（－"ｕｕ#）ｄｘ＋２!│ｘ│２Ｉｍ（－"ｖｖ$）ｄｘ＝－２!│ｘ│２Δ（Ｉｍｕ#Δｕ）ｄｘ－２!│ｘ│２Δ（Ｉｍｖ$Δｖ）ｄｘ＝２!Δ│ｘ│２Ｉｍ（ｕ#Δｕ）ｄｘ＋２!Δ│ｘ│２Ｉｍ（ｖ$Δｖ）ｄｘ＝４Ｉｍ!ｘｕ#Δｕｄｘ＋４Ｉｍ!ｘｖ$Δｖｄｘ＝－４Ｉｍ!ｘｕΔｕ#ｄｘ－４Ｉｍ!ｘｖΔｖ$ｄｘ．（Ⅳ）因为Ｒｅ!（ｉ２ｘΔｕ#ｕｔ）ｄｘ＝Ｒｅ（ｉ!ｎｋ＝１&ｘｋ（ｕ#ｘｋｕｔ－ｕｘｋｕ#ｔ）ｄｘ）＝Ｒｅ（ｉ!ｎｋ＝１&ｘｋ（&&ｔ（ｕ#ｘｋｕ）－&&ｘｋ（ｕｕ#ｔ））ｄｘ）＝ｄｄｔ!Ｒｅ（ｉｘｕΔｕ#）ｄｘ＋ｎＲｅ（ｉ!ｕｕ#ｔｄｘ）＝ｄｄｔＩｍ!ｘｕ#Δｕｄｘ＋ｎＩｍ!ｕ#ｕｔｄｘ．而ｎＩｍ!ｕ#ｕｔｄｘ＝ｎＲｅ!（－ｉｕｔｕ#）ｄｘ＝ｎ!（"ｕｕ#－│ｘ│２ｕｕ#＋（ｐ＋１）│ｕ│ｐ－１│ｖ│ｑ＋１ｕｕ#）ｄｘ＝ｎ!（－│Δｕ│２－│ｘ│２│ｕ│２＋（ｐ＋１）│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１）ｄｘ．且利用分部积分，代入直接计算可得：Ｒｅ!（ｉ２ｘΔｕ#ｕｔ）ｄｘ＝Ｒｅ!（－２ｘΔｕ#"ｕ＋２ｘΔｕ#│ｘ│２ｕ－２ｘΔｕ#（ｐ＋１）│ｕ│ｐ－１│ｖ│ｑ＋１ｕ）ｄｘ２－－２００７年２月邵长安等：一类带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程组的爆破问题＝－Ｒｅ!２ｘΔｕ"!ｕｄｘ＋Ｒｅ!２ｘΔｕ"│ｘ│２ｕｄｘ－Ｒｅ%２ｘΔｕ"（ｐ＋１）│ｕ│ｐ－１│ｖ│ｑ＋１ｕｄｘ＝－（ｎ－２）!│Δｕ│２ｄｘ－（ｎ＋２）!│ｘ│２│ｕ│２ｄｘ＋２ｎ!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ所以ｄｄｔＩｍ!ｘｕ"Δｕｄｘ＝Ｒｅ!（ｉ２ｘΔｕ"ｕｔ）ｄｘ－ｎＩｍ!ｕ"ｕｔｄｘ＝－（ｎ－２）!│Δｕ│２ｄｘ－（ｎ＋２）!│ｘ│２│ｕ│２ｄｘ＋２ｎ!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ＋ｎ!│Δｕ│２ｄｘ＋ｎ!│ｘ│２│ｕ│２ｄｘ－ｎ（ｐ＋１）!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ＝２!│Δｕ│２ｄｘ－２!│ｘ│２│ｕ│２ｄｘ－ｎ（ｐ－１）!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ．同理ｄｄｔＩｍ!ｘｖ&Δｖｄｘ＝２%│Δｖ│２ｄｘ－２%│ｘ│２│ｖ│２ｄｘ－ｎ（ｑ－１）%│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ所以ｄｄｔ１４Ｊ′（ｔ’(）＝２!（│Δｕ│２＋│Δｖ│２）ｄｘ－２!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－ｎ（ｐ＋ｑ－２）!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ因此Ｊ″（ｔ）＝８!（│Δｕ│２＋│Δｖ│２）ｄｘ－８!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－４ｎ（ｐ＋ｑ－２）!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ＝８Ｅ（ｕ０，ｖ０）－１６!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－４［ｎ（ｐ＋ｑ－２）－４］!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ２主要结果及证明若ｐ＋ｑ)２＋４ｎ，（ｕ０，ｖ０）∈Ｈ（Ｒｎ）×Ｈ（Ｒｎ），（ｕ，ｖ）是此方程组的弱解，下列条件之一满足：（"）Ｅ（ｕ０，ｖ０）＜０；（#）Ｅ（ｕ０，ｖ０）＝０，Ｉｍ!ｘｕ０Δｕ"０ｄｘ＋Ｉｍ!ｘｖ０Δｖ&０ｄｘ＞０；（$）Ｅ（ｕ０，ｖ０）＞０，Ｉｍ!ｘｕ０Δｕ"０ｄｘ＋Ｉｍ!ｘｖ０Δｖ&０ｄｘ)（２Ｅ（ｕ０，ｖ０）Ｊ（０））１／２；则存在有限时间Ｔ，使得ｌｉｍｔ→Ｔ,Δｕ,Ｌ２＋,Δｖ,Ｌ２-.＝∞．证明（反证法）假设时间Ｔ无限．由ｐ＋ｑ)２＋４ｎ，则ｎ（ｐ＋ｑ－２）－４)０再由（Ⅳ）得Ｊ″（ｔ）＝８Ｅ（ｕ０，ｖ０）－１６%│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－４［ｎ（ｐ＋ｑ－２）－４］%│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ/８Ｅ（ｕ０，ｖ０），０/ｔ＜∞（４）通过分析，下面等式成立Ｊ（ｔ）＝Ｊ（０）＋Ｊ′（０）ｔ＋ｔ０%（ｔ－ｓ）Ｊ″（ｓ）ｄｓ，０/ｔ＜∞再由（４）式，可得Ｊ（ｔ）/Ｊ（０）＋Ｊ′（０）ｔ＋４Ｅ（ｕ０，ｖ０）ｔ２，０/ｔ＜∞（５）已知Ｊ（ｔ）是非负函数，且Ｊ（０）＝%│ｘ│２（│ｕ０│２＋│ｖ０│２）ｄｘ，Ｊ′（０）＝－４Ｉｍ%ｘｕ０Δｕ"０ｄｘ－４Ｉｍ%ｘｖ０Δｖ&０ｄｘ因此，令Ｆ（ｔ）＝Ｊ（０）＋Ｊ′（０）ｔ＋４Ｅ（ｕ０，ｖ０）ｔ２，则在假设条件（&），（#），（$）之一下，很显然Ｆ（ｔ）有零点，由（５）式可推出存在时间Ｔ＊＜∞，使得ｌｉｍｔ→Ｔ＊Ｊ（ｔ）＝０．从而ｌｉｍｔ→Ｔ＊%│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ＝０．若%│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ＝０，则必有ｕ＝ｖ＝０，又有引理１（Ⅰ），得ｕ０≡ｖ０≡０，这与已知条件矛盾，故Ｔ有限，即存在有限时间Ｔ，使得ｌｉｍｔ→Ｔ,Δｕ,Ｌ２＋,Δｖ,Ｌ２-.＝∞．参考文献：［１］ＶＥＬＯＧ，ＧＩＮＩＢＲＥＪ．Ｏｎａｃｌａｓｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＪＦｕｎｃｔ，Ａｎａｌ，１９７９，３２：１－７１．［２］ＧＬＡＳＳＥＹＲＴ．Ｏｎｔｈｅｂｌｏｗｉｎｇｕｐｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅｃａｕｃｈｙｐｒｂｌｅｍｆｏｒｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＭａｔｈＰｈｙｓ，１９７７，３－－第２５卷第１期河南科学１８（９）：１７９４－１７９７．［３］ＯＧＡＷＡＴ，ＴＳＵＴＳＵＭＩＹ．Ｂｌｏｗ－ｕｐｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ，１９９１，９２（２０）：４８７－４９６．［４］ＧＩＮＩＢＲＥＪ，ＶＥＬＯＧ．Ｔｈｅｇｌｏｂａｌｃａｕｃｈｙｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒｔｈｅｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｒｅｖｉｓｉｔｅｄ［Ｊ］．ＡｎｎＩｎｓｔＨＰｏｉｎｃａｒｅ，ＡｎａｌＮｏｎＬｉｎｅａｉｒｅ，１９８５，２：３０９－３２７．［５］ＫＥＮＩＧＣ，ＰＯＮＣＥＧ，ＶｅｇａＬ．Ｓｍａｌｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＡｎｎＩｎｓｔＨＰｏｉｎｃａｒｅ，ＡｎａｌＮｏｎＬｉｎｅａｉｒｅ，１９９３，１０：２５５－２８８．［６］ＣＡＲＥＳＲ．Ｒｅｍａｒｋｏｎｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｈａｒｍｏｎｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌ［Ｊ］．ＡｎｎＨｅｎｒｉＰｏｉｎｃａｒｅ，２００２，３：７５７－７７２．［７］ＬＩＸｉａｏ－ｇｕａｎｇ．Ｌ２－ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎｏｆｂｌｏｗ－ｕｐｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｈａｒｍｏｎｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌ［Ｊ］．数学年刊，２００５，２６Ａ：３１－３８．［８］ＺＨＡＮＧＪ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆａｔｔｒａｃｔｉｖｅｂｏｓｅ－ｅｉｎｓｔｅｉｎｃｏｎｄｅｎｓａｔｅ［Ｊ］．ＳｔａｔｉｓｔＰｈｙｓ，２０００，１０１：７３１－７４６．［９］ＣＡＺＥＮＡＶＥＴ．Ａｎｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．ＲｉｏｄｅＪａｎｅｉｒｏ：ｄｅＭｅｔｏｄｏｓＭａｔｅｍａｔｉｃｏｓ，１９８９．［１０］舒级，张健．一类带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程解的爆破性质［Ｊ］．四川师范大学学报（自然科学版），２００２，２５（１）：３２－３５．［１１］舒级，张健．一类带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程［Ｊ］．四川师范大学学报（自然科学版），２００２，２５（２）：１２９－１３１．ＴｈｅＢｌｏｗ－ｕｐｔｏａＣｌａｓｓｏｆＮｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒＥｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈＨａｒｍｏｎｉｃＰｏｔｅｎｔｉａｌＳＨＡＯＣｈａｎｇ－ａｎ，ＸＩＮＧＪｉａ－ｓｈｅｎｇ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＢｅｉＨａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００８３，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ＷｅｓｔｕｄｙａｃｌａｓｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｈａｒｍｏｎｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌ．ＢｙｄｅｆｉｎｉｎｇｅｎｅｒｇｙｓｐａｃｅｉｎＳｏｂｏｌｅｖｓｐａｃｅ，ｕｓｉｎｇｅｎｅｒｇｙｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎｌａｗｓｏｆｔｈｅｍａｓｓａｎｄｔｈｅｅｎｅｒｇｙａｒｅｓｅｔｕｐ．Ｂｙｕｓｉｎｇｅｎｅｒｇｙｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｗｅｐｒｏｖｅｔｈａｔｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｔｈｅｉｎｉｔｉａｌｄａｔａｗｉｌｌｂｌｏｗ－ｕｐｉｎｆｉｎｉｔｅｔｉｍｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈａｒｍｏｎｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｂｌｏｗ－ｕｐ４－－。

带势的非线性Schrodinger方程解的爆破行为的开题报告

带势的非线性Schrodinger方程解的爆破行为的开题报告题目：带势的非线性Schrodinger方程解的爆破行为研究背景：非线性Schrodinger方程（NLS）是描述许多自然界现象的重要数学模型，例如光学，气体动力学，液体物理学和等离子体物理学等。

这个方程具有广泛的应用前景，也是非线性光学和量子信息领域研究的重要基础。

一些研究表明，带势的NLS方程在量子力学中已被广泛应用，特别是在描述由Bose-Einstein凝聚态所产生的玻色-Einstein凝聚态方面非常重要。

然而，NLS方程的解并非都是稳定的。

在一些情况下，解可能会发生“爆破”，即在有限时间内解的幅值逐渐增大，最终趋于无限大。

这种现象在实际问题中常常会导致数值计算困难甚至是失败，因此研究爆破现象及其预测和控制方法具有重要理论和实际意义。

研究内容：本研究旨在研究带势的非线性Schrodinger方程解的爆破行为，具体包括以下内容：1. 比较分析带势和无势NLS方程的解的性质以及其求解方法；2. 研究在不同势场下带势NLS方程解的稳定性和爆破行为，通过理论分析和数值模拟等方法，探究势场参数对爆破行为的影响因素；3. 探究控制带势NLS方程的解产生爆破的方法，通过设计合适的势场参数和初值条件，寻求解的稳定区域等；4. 结合实际问题，探究带势NLS方程在光学和量子信息领域的应用，提出新的研究方向和应用前景。

研究方法：本研究将运用数学分析、数值计算和实验仿真等多种方法，比较分析不同势场下的带势NLS方程的解的性质和求解方法，通过数值模拟等方法研究解的爆破行为及其影响因素，设计合适的势场参数和初值条件探究控制方法，最后将研究结果与实际问题结合探究其应用前景。

研究意义：本研究将为进一步理解带势的非线性Schrodinger方程解的爆破行为提供重要的理论支持和实验数据，促进相关领域的交叉研究和应用探讨。

研究成果还将有助于提高数学理论和数值方法对实际问题的解决能力，具有重要的科学和应用价值。

带势的非线性Schr()dinger方程爆破解的L~2集中性质解读

带势的非线性Schr(?)dinger方程爆破解的L~2集
中性质
本文在能量空间中研究了带势的非线性Schr(o|¨)dinger方程爆破解的动力学性质.首先,在R2空间中,考虑带势的立方非线性Schr(o|¨)dinger方程的初值问题.通过定义泛函,证明了解在有限时间爆破的充分条件,爆破解在
L~2空间中强极限的不存在性以及爆破解的L~2集中性质.进一步地,我们把如
上结果推广到了RN空间中带势的临界非线性Schr(o|¨)dinger方程情形.最后,我们讨论了一类带调和势的非线性Schr(o|¨)dinger方程的初值问题.同样地,证明了其解在有限时间爆破的充分条件,爆破解在L~2空间中强极限的不存在性以及爆破解的L~2集中性质.
【关键词相关文档搜索】：基础数学; 非线性Schr(o|¨)dinger; 方程; 爆
破解; L~2-质量集中性质; 基态解; 强极限
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带势的非线性Schrōdinger方程的爆破性质

其中＜１由此可知Ｃｕｈ，ａｃｙ问题（）和（）日１３在空间中整体适定ｌｌ（）ｌ２≤ Ｃ。，Ｖｔ∈ ［，．ｔｌＬ（）０ ∞）受不带势的非线性Ｓｈ￣ｉｇｒｅｒｄｎｅ方程系统工作的启发，我们在本文研究带势的非线性Ｓｈ￣ｉｇｒｅｒｄｅｎ方程的Ｃｕｈａｃｙ问题（）（）的爆破解的存在性．１和３
维普资讯
２００８年５月第３１卷第３期
四川师范大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｉｈａｏｍａＵｉｅｓｙＮｔｒｃｎｅｏｒａｏｃｕｎＮｒｌｎｖｒｔ（ａｕａＳｉｃ）Ｓｉｌｅ
２主要结论及证明
下面将讨论爆破解的存在性，主要结论如下．
定理１假设ｐ≥ １＋４
，
日：＝｛，ＭＭ∈Ｈ，）２ｘ＜∞ ｝Ｊ（／ｄ／，
Ｊ
目
收稿日期：０７一卜ｌ２０ｌ２
基金项目：四川省杰出青年基金（７Ｑ２－２资助项目０Ｚ０６０１）
』Ｔ
和（）５式及Ｇｇｉｄ—ｉｎｅｇ不等式可得ａｌｒｏＮｒｂｒａｅｌｌ（）ｌ ≤ Ｃｏ（１（）ｌ＋１，ｔｌ２（）ｌｔｌａ）２
［］２发现自聚焦不稳定导致波坍塌．受物理发现的启发，５从数学角度证明了有限时间爆破解的存在文［］性，６］文［— 进一步研究了其爆破性质．７赋予方程（）初值如下１（，Ｏ）＝。， ∈Ｒ，（）３则方程（）及（）形成Ｃｕｈ１３ａｃｙ问题．定义能量空间如下

一类带调和势的非线性Schrodinger方程解的爆破性质

则下列等式成立：
（Ｊ１＝Ｒ蜘１（１Ｉ２ＪＩ２尉坏变））ｄ．ｄ式；
ｉ＝｛ｔ一卸＋ｐ
告ｌｌ一ＩＪ一１，（ Ⅱ ６４１Ｉ）
ｖｏ）＝０（，，（）２
（＝（Ｉ１１１２Ｌ｛Ｖ２ … ｌ２））＋＿
号ｌｌ号出＝＝（（ｌ一０糊）
（（＝叫Ｖ如＝３ｆ））
一
）；
其中， ≥０ ∈Ｒ，，ｔ，。ｂ＞０是定参数．方程（）１与玻色．因斯坦凝聚的研究密切相关［．爱１已有许多文章用不同方法研究过类似（）（）１、２的问题，并得到了一系列结果［．本文利用文［，］，６７的方法研究了初值问题（）（）１、的爆破性质．２
（）用乘（），２１式得
一
ｌＩ『：ｌ：一卸ｄ：２２』ｈ）Ｉｄｌｌ（
Ｊ寺ｊｌ专ｊｌＩ（２一Ｖ－＋
ａＩｉｌ＋ｂｉｌ１ｄ．ｘ６）
因２Ｊ０（＝，｝｝为Ｒｅ：．ｍ）０（与无ｄ即｝ｍ）
关Ｊ＝ｌｌ．所以ｊｄＪｄｌ
Ｊ吉一ｌＩ（ＶＶ吉ｌ一２＋ｌ
ａｊｉ＋ｂ１）ｘ：Ｉｉ６ｄｌ
２Ｉａｌ一２Ｐｌ．６Ｉ６上式取虚部，得１１＝Ｉ（ △ ，ａｒ－）两边乘ｊ１，Ｒ上关于积分，在ｎ２则
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２Ｏ０２年１月
第２卷５
第１期

一类带调和势的非线性Schrodinger方程组的爆破问题,

证：＝ｇ＝ｄｄ－ｍｚ罟嬲等・明Ａｋｋｋ＝『舢Ｂａｂ￣ｃａｃｒ
引理２守恒律））（设（是方程组的在Ｏ＜上的解，：￣ｔＴ则
（）（ｆｆ，（２Ｊ（守恒）Ｉｆ２ｆ＋＝Ｉ＋质量 ‰Ｊ
（）Ｉ若在能量空间定义如下能量函数则有：Ｉ
导数，仍用通常的记号记为：有时记为Ｄ＝如果对所有的
ｕｆ（ｕｘｌＡｕＩ２ＩｌｕｚＢ＋ｌｌＩ１）ｊ）＝（＋ＭｘＩｌ２（１ｕ１ｖｄ２ｌ２＿Ｐ）＋Ｖ７１
取部Ｋ（＋ｕ＝鲁』ｌ＝得Ｉ：虚得）０Ｉｏ』１』ｆｄ即 “ 故ｕｘｔ０ｕ０＝口０），Ｒ＞Ｅ（）３其中，ｉ是虚数单位，（，（是（ ∈ ＋ ∈ 的复值函数，ｕｆ）＝￡））Ｒ）ｎ，，（
若令＝０ｋＡｋ＝，＝则方程组可变为孚．ａ，ＭｋＢ记＝ｍｂ
理ｌ．ＩＩ同得ＪＩ＝Ｉｘ２ｄｘｌ２所以ＩｌＩＩ＝（１ｄ（ ’ ｆＩＩ十＋
１，关于变量魁的弱导数都存在，称中（。，为 “ ≤ ≤ｎＭ则＝，）的Ｌｌ
弱梯度．记为Ｖｕ中．＝有时也记为Ｄ＝这时我们也称函数是弱可微ｕ中 ’ ＪＪ。．的，并记ｕ∈Ｗ）．（）４和（） Ⅱ 在（）５两边分别乘以２和２后，４ｃ并在上积分相显然，ｕ（）即ｕ若ｎ，的古典导数存在，ｅ显然 “ 必弱导数存在，且古典导数就是其弱导数。因此弱导数是古典导数的推广。加，部分得ｆ２）＋ｆ＝ｃ￣２ｆＩ一分积ｋｆｉ２ｆＶ－ｃｉＡｕｃ（ｃＶ，ｒ２＋设日１表示通常的Ｓｂｌ空间，ｏｏｖｅ即

一类非线性Schroedinger方程的爆破性质及爆破解的L 2集中性质

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２００７年１月
第３０卷
第１期
四川师范大学学报（自然科学版）ＪｕａｏｉｕｎＮｒｌｎｖｒｔ（ａｒｃｎｅｏｒｌｆｃａｏｍａＵｉｅｉＮｔａＳｉｃ）ｎＳｈｓｙｕｌｅ
数）时，１］文［ — 证明了方程（）的局部解存在性，２１文［］３建立了方程（）１的爆破解与整体解存在的最佳条件．后 ≠ ｋ时，４证明了该方程具有当（）。文［］负能量的解在有限时间内爆破．当
）＝ｌＰ＝ｌ＋，
时
一
（ｕＪＶＶ＋ＩＩ）ｕ）Ｒ沥＋，，ｕ（呖
Ｊｎ，０７ａ．２０
Ｖ０．０．１３Ｎｏ．１
一
类非线性Ｓｈｔｉｇｒｃｒｎｅ方程的爆破性质及Ｍ爆破解的集中性质
雷贤才
（宜宾学院数学系，四川宜宾６４Ｏ）４Ｏ７
摘要：研究一类非线性Ｓｈ＆ｉｇｒｃｒｔｅ方程ｉ＝一△ｕ一）ｌｕ的初值问题，ｎｕ（ｕｌ其中（）为Ｒ上有界可微函数，讨论了该方程初值问题的爆破性质及其爆破解的集中性质．关键词：非线性Ｓ￣Ｍｉｇｒ￣ｎｅ方程；爆破解；爆破点；中Ｌ集
Ｉ
０，
∈
，
（）３、
文［］６证明了当ｆ — ，方程（）２的解出现集中现
象．义方程（）的能量空间日如下定１
．
ｉ。＝一△ｕ一后）Ｉｕｕ（Ｉ，ｕ
｛ｆ，Ｅ ≥０，Ｒ

R 3中带势项的非线性Schroedinger方程的L 2集中现象

７６８
数
学
物理
学
报
Ｖ１８Ｏ２ｌ．Ａ
其中Ｑ是这个方程的基态，可以详见Ｗｅｓｉ，ａａ。等．另一方面，对大初值，例ｉｔｎ引Ｎｗ［］ｎｅ［如ＩｏＬ＝Ｑｌ已经有了有限时间破裂的解的例子，ｌｌｌ，仳ｌＬ也就是说，当ｔ — 时（这里［Ｔ０），是解的极大存在区间，Ｔ＜。）Ｉ）。．。，ＩＩ一。并且在文献［】［】Ｋｔｂ１和１中，证明了对（．７３１）２式的有限时间破裂解钆当趋向于时，会有一种集中现象，即存在Ｒ＞０（，）使得
在测度意义下
ｆ￡ｆ一）（。
ｌｆ。ｆｌ：Ｑ
（．１）４
１ｉｋ ≤ ≤
在文献［］１中，他还对集中现象有了一个一般性的猜测，即，对日中的有限时间破裂２解钆存在 Ⅳ中的个点｛Ｌ（（，））≤≤ ， ≤ 。 Ⅳ一Ｕ（Ｂ（，）中ｘＲ）
收稿日期：２０～４１；０６０ —０修订日期：２０ — ３００８０ — ９
Ｅｍａｌｓｊｚｏｇ９１ａｏ．ｏ．；ｙ＠ｚｕｅｕｃ－ｉ：ｉａｈｎ１８￣ｙｈｏｃｍｃｄｆｊ．ｄ．ｎｉｎ
基金项目：国家自然科学基金（ｏ１５１５）Ｎ．７１８资助０
ｌｕｉｐ／ｍｓ
ｔ —Ｔ
ｊｔｄ ≥Ｊ。ｕ）ｘＪ．（ＩＪＱＪ￣
（３１）．
ｌ－ｔＩＸｘ（ ≤Ｒ）
甚至对００＜ｓ＜１，Ｅ日（）对某些ｓ这个结果仍然成立．具体可参见Ｃｌａｄｒｏｉｅ等在文献ｌｎ

一类非线性Schroedinger方程解的爆破

（ｉＩ１ “ｌ＋ “ｌｌｌ一口ｌｐ）ｉＪｌ＋１ “ｌ１ｘ＝Ｃｎ兰Ｅ；）（＋ｄｏｔ０ｓ
（）ｌ “ ＝４Ｊ“ ｒｌ１ｉ一ｈ瓜：．ｉｉ』血，（）ｕ＝２ｕｄ＋ｒｎｄ＋１２）ｌＩｄ．ｉｎ一ｌ２ｌｌ（ｎ “＋ｖ』ｄ』ｌ』一１』Ｉ瓜ｐｌ
证明首先用２面乘ｖ３式两端，２（）且取其虚部得
Ｉ２ｇｍ（ｉｕ）＝Ｉ２Ａｕｍ（ｇ）一ｈ（ｌｌｌｎ２ｌ “ ）＋ｈ（ｎ２ｌ“ ｌ＋）
收稿日期：０２—０ —２２０３７
・
作者简介：玲芝（９２一）女，庆市人，陵师范学院讲师，王１６，重涪主要从事偏微分方程方面的研究。
２
（
ｄ
＝
ｕ
ｄ一ｒＪ ● ● Ｊｄ一 ● （）６
Ｉ＋２－西ｕＩｕＩ１ｐ
一
ｉ五 —ｕ）ｌＶｕｄ一ｉＫｕ △ ）ｘ＝一ＶＶｕｕ）ｘＶ（Ｖ五＝ＩＡ — 五ｄ一ｉ（五＋ｄ（ｌＶ五
ｄ●●Ｊ
●
一
ｄ一
●●
＝
Ｏ
ｌ对两端于￡分ＩＩ一ｕ１ｄｏ那么Ｉｕｘ：Ｉｕ１即ｕ（）ｌ上式关积得：ＩＩ０２ｘ＝；（ｕ）ｌｄ０２，有ｌｔｌ１２Ｉｄ
在此，究如下非线性Ｓｈｆｉｇｒ程Ｃｕｈ研ｃｒｄｎｅ方ａｃｙ问题：
ｆ
ｉ＝△ 一ｌｌ＋ｌｌ一ｕ戈ｐ

带排斥势的非线性Schrodinger方程爆破解的L 2集中率

（，）一丸， ∈ ＲＯｚｚ，
（．）１１（．）１２
这里声ｊｚ：０丁）一ｃ且０＜Ｔ≤ 。；一一５，）［， ×Ｒ（。ｉＣｒｅ得ｓ
到了Ｃｕｈａｃｙ问题（．）（．）其对应的能量空间Ｈ（１１～１２在Ｒ）中的适定性，以及解在有限时间
的爆破．如果用ｌｌ代替一等Ｉｊ方程（．）Ｘ。ｆ＆Ｘ，１１又称为Ｇｏｓｉｅｓｉｒｓ— ｔｖｋ方程，Ｐａ用来刻画
厶厶
吸引的Ｂｓ— ｉｓｅｎ凝聚模型［］对于不带势的非线性Ｓｈ６ｉｇｒ程：ｏｅＥｎｔｉ２．ｃｒｄｎｅ方ｆ＋△ ＋Ｉｌ — ０ｔ０ｚ∈ Ｒ，≥ ，，，。、
，ｏｚ一ｚ，Ｉ（，）（）
上ｏ．，
这里一（，）Ｅ，）×Ｒ￡ｚ：０丁一Ｃ且０＜Ｔ≤ 。，。已有大量文献进行了研究，得到了丰富并
而深刻的结果．ｎｂｅａｄＶｅｏＧｉｉｒｎｌｃ能量空间ＨＲ）中建立了局部适定性．Ｇｌｓｅ［在（ａｓｙ５］
本文用Ｌ和［Ｉ分别表示Ｌ（，ＩＩｑ，种正常数用ｃ表示．１・ｌ。。Ｒ）ｌ・ｌ（各Ｌ
２预备知识．
对于方程（．）定义相应的能量空间如下１１，Ｈ：｛一声∈ ＨＲ） ∈ Ｌ（）（，ＩＩＸ。Ｒ），
解，立了其径向对称爆破解的集中速率的下界．建关键词：线性ＳｈＯｉｇｒ非ｃｒｄｎｅ方程；爆破；集中率Ｌ一中图分类号：７．４Ｏ１５２

几类非线性发展方程解的整体存在性、爆破和渐近性质的开题报告

几类非线性发展方程解的整体存在性、爆破和渐近性质的开题报告非线性发展方程是研究物理、数学、工程等领域中不可避免的一个方向，其解的整体存在性、爆破和渐近性质是非常重要的研究方向。

本文主要介绍几类非线性发展方程解的整体存在性、爆破和渐近性质的相关内容。

一、非线性Schrodinger方程解的整体存在性、爆破和渐近性质非线性Schrodinger方程是一个通用的物理模型，其解的特性在光子学、等离子物理、物质物理、超导等领域中均有应用。

研究非线性Schrodinger方程的解的整体存在性、爆破和渐近性质已成为研究的热点问题。

在研究整体存在性时，可以通过质量守恒、能量估计、场与速度的适当调整等方法来证明解的整体存在性。

在研究爆破时，可以使用半离散的方法来研究解的爆破。

在易于爆破的非线性Schrodinger方程中，可以证明解会在某个时间点处于无限时间内爆破。

在研究解的渐近性质时，可以使用奇异摄动理论来研究解的长时间行为。

例如，可以证明解会在无限时间内趋于平衡状态，并且该平衡状态是双曲类型的。

二、非线性波动方程解的整体存在性、爆破和渐近性质非线性波动方程也是一个通用的物理模型，其解的特性在物理、数学、工程等领域中均有应用。

研究非线性波动方程的解的整体存在性、爆破和渐近性质也已成为研究的热点问题。

在研究整体存在性时，可以使用Mass-Vargas方法、Moser迭代法等方法来证明解的整体存在性。

在研究爆破时，由于非线性波动方程的特性，需要使用适当的衰减估计或限制条件来研究解的爆破。

例如，在未限制的情况下，解有可能在有限时间内爆破。

在研究解的渐近性质时，可以使用奇异摄动理论、不变量流形等方法来研究解的长时间行为。

例如，可以证明解会在无限时间内趋于平衡状态，但不同于线性波动方程，这种平衡状态可以是非常复杂的。

三、非线性演化方程解的整体存在性、爆破和渐近性质非线性演化方程有着广泛的应用，例如，它们可以用于描述激变物质的演化过程、介电材料的电场演化等。

一类带调和势的非线性Schrodinger方程

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２Ｏ０２年３月第２卷第２期５
四川师范大学学报（自然科学版）Ｊｕｎｌｆｉｏｒａｏｓｏｍｌｎｅ畸（ａ１ｉｃ）ＮｎａＵｉｒＨｔｃｎｅｖｓ１Ｓｅ
Ｍａ．０２ｒ２０ Ⅷ ．５Ｎ．２．ｏ２
．
，（）一Ｉｌ‰ ０＝２ｄ，ｍｘ
因此，在假设条件（）～（ｉ下，５式，推出存ｉｉ）由（）可ｉ在时间Ｔ＜＊，使得
ｌ（）＝０ｉＪｔａｒ，
。
（＝（Ｖｌ２ｌｌ』ｌ）２一ｌＪ一
０引言
研究带调和势的非线性ＳｌＳｎｅ方程的初ｃ：ｇｒｗＢ
，
其对应的范数记为ｌｌ．ｌ这样就成为一个删．・值问蘑：
１１
ｂｒ空间，ｅｔ它连续地嵌入到Ｓｂｌ空间日（中，￣ｏｖｅＲ）
ｉ＋÷△ 一÷ ＩＩ＋
定５若＞，０＞ｇ昙下理ｎ０＜，，，６ｐ＜列
２５卷
经过一系列计算ｍ有，
引理３设 ∈ ．为初值问题（）（）Ｉ、２的
Ｊｏ＝ｌｌｌ１ｘ（）铷，ｌ２ｄ
ｒ
解并Ｊ）Ｊｌｌ，－记（＝ｌ则ｌｄ
Ｊｔ＝）一叫Ｖｄ（，
这里（为通常的Ｓｂｌｖ间．Ｒ）ｏｏｅ空在上我们有
掐一
２ｂ１
。
＝
如下的内积结构
Ｊ ‰ｌ｛ｌｆ‰ ｌ一（Ｖ。Ｉ｛ｌ＋｝一

一类带有弱阻尼的非线性Schrodinger方程组的爆破性质

时间内爆破的性质．
关键词：阻尼；线性Ｓｈｓｉｇｒ程组；破性质弱非ｃｒｄｎｅ方爆
中图分类号：７．９Ｏ１５２
文献标识码：Ａ
文章编号：０８— ６３２１）２— ０５— ５１０３９（００００２０
第１４卷第２期
２１００年６月
扬州职业大学学报
ｏｒａｏＹａｇｈｕｏｙｅｈｉＣｏｌｕｎｌｆｎｚｏＰｌｔｃｎｃｌｅ
Ｖｏ．１Ｎｏ．１４２
Ｊｎ２０ｕ．０１
一
类带有弱阻尼的非线性Ｓｈｔｉｇｒｃｒｄｎｅｉ方程组的爆破性质
能量方法研究文献［］出的一类带有弱阻尼的ＮＳ型方程组的爆破性质．１提Ｌ
１预备知识和引理
设Ｈ＝Ｈ（表示通常的Ｓｂｌｖ空间，义如下能量空间Ｒ）ｏｏｅ定
日｛ ∈ （）ｕｄ＜）一ｕＨ；ｆ；Ｉｌｘ ∞，＋
考虑下面带有弱阻尼的非线性ｓｈｔｉｇｒｃｒｄｎｅ方程组的初值问题ｉ
ｉ＋Ⅱ ｕ詈“ Ⅱ △＋ —
一
（）１
（）２
△ ＋
：Ｉ
Ｉｚ
ｕｘ，）＝０，）＝０ ∈ Ｒ，（０，（０，ｔ＞０
其中ｉ是虚数单位，（，ｕｘｔ）∈Ｒ ×Ｒ的复值函数，，（￡）∈Ｒ ×Ｒ的实值函数， △
并定义能量函数
，

li原子的schrodinger方程

li原子的schrodinger方程让我们回顾一下薛定谔方程的基本形式。

薛定谔方程是描述微观粒子的波动性质的基本方程，它可以用来描述电子在原子中的运动。

对于一个单电子体系，薛定谔方程可以写为：Hψ = Eψ其中，H是哈密顿算符，ψ是波函数，E是能量。

在这个方程中，波函数ψ包含了我们对电子位置和动量的所有信息，它是描述电子状态的数学函数。

而哈密顿算符H则包含了电子的动能和势能。

对于li原子而言，它有3个电子，分别占据了不同的能级。

我们可以用薛定谔方程来求解这些能级。

对于一个多电子体系，薛定谔方程的形式稍有不同。

我们需要考虑电子之间的相互作用。

这个相互作用可以通过库伦势能来描述。

li原子的薛定谔方程可以写为：HΨ = (T + V)Ψ = EΨ其中，Ψ是一个包含三个电子的波函数，T是电子的动能算符，V 是电子之间的库伦势能算符，E是li原子的总能量。

这个方程描述了li原子内部电子的运动和相互作用。

为了求解这个方程，我们需要使用一些近似方法。

常用的方法是独立粒子近似和平均场近似。

独立粒子近似假设电子之间没有相互作用，每个电子的运动可以独立描述。

平均场近似则假设每个电子感受到的总势能是平均势能，不考虑其他电子的具体位置。

利用这些近似方法，我们可以求解li原子的能级结构。

在平均场近似下，li原子的能级可以用一个特定的量子数来描述，这个量子数包括主量子数n、角量子数l和磁量子数ml。

不同的能级对应不同的量子数组合，每个能级可以容纳一定数量的电子。

li原子的基态是指能量最低的能级，它对应着最稳定的状态。

对于li原子而言，它的基态是1s能级。

这个能级可以容纳最多2个电子，因为每个电子的自旋量子数只有两个可能取值。

li原子的其他能级则是通过激发电子到更高的能级所得到的。

总结起来，li原子的schrodinger方程是用来描述li原子内部电子运动和能级结构的一种数学方程。

通过求解这个方程，我们可以获得li原子的能级和波函数。

阐述斯勒茨基方程并加以简要评论

斯勒茨基方程是由奥地利物理学家恩斯特·斯勒茨基于1918年提出的一种描述非相对论性量子力学的波函数振荡的方程。

它是描述微观粒子（如电子）在周期性势场中的运动情况的重要方程。

斯勒茨基方程在固体物理学、半导体物理学以及纳米科学等领域有着广泛的应用，对于理解和研究结晶材料和纳米材料的电子结构以及激子的形成和传输等现象具有重要意义。

斯勒茨基方程的基本形式可以表示为：\[ -\frac{{\hbar^2}}{{2m}}\nabla^2\psi(\mathbf{r}) +V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r}) = E\psi(\mathbf{r})\]其中，$\hbar$代表约化普朗克常数，m为粒子的质量，$\psi(\mathbf{r})$为波函数，V($\mathbf{r})$为势能函数，E为粒子的总能量。

斯勒茨基方程的形式非常简洁，但其物理意义非常丰富。

它可以用来描述粒子在势能场中的行为，例如电子在晶格中的运动。

斯勒茨基方程的解可以给出电子的波函数，从而揭示了电子在晶体中的运动方式和能级分布情况。

在固体物理学中，斯勒茨基方程被广泛运用于解释晶体的能带结构以及导电性质，对于研究材料的电子输运性质有着重要的意义。

斯勒茨基方程还可以用于描述半导体中的电子-空穴对的结合态——激子。

激子是电子和正电子在外加电场作用下形成的束缚态，它在半导体光电器件中起着重要作用。

通过对斯勒茨基方程的研究，人们可以更深入地理解激子的形成机制、能级结构以及其在半导体材料中的输运特性。

从个人的理解来看，斯勒茨基方程是描述微观粒子在势场中运动的一种重要方式。

通过对斯勒茨基方程的深入研究和解析，我们可以揭示出物质中微观粒子的行为规律，从而为材料科学和纳米科学领域的研究提供理论基础。

斯勒茨基方程的深入理解不仅可以帮助我们更好地理解材料的电子结构和能带特性，还可以为半导体光电器件的设计和性能优化提供重要指导。

一类拟线性薛定谔方程的H^(2)(R^(N))-解的爆破现象

延边大学学推(自然科学版)Journal of Yanbian University (Natural Science)第47卷第1期2021年3月Vol. 47 No. 1Mar. 2021文章编号：1004-4353(2021)01-0021-06一类拟线性薛定澹方程的H 2(R N )-解的爆破现象林振生1,龙群飞2(1.福建工程学院计算机科学与数学学院，福建福州350118；2.贵州师范大学数学科学学院，贵州贵阳550025 )摘要：为了获得有非正初始能量解的爆破结果，将参数分成3类(①0和2</>W4 +寺；②p> 0,9< 0和2 +寺<p<2・2*；③p>O,0A 0和4 +寺 p<2・2*)进行讨论，并在不同参数假设下分别给出了一类拟线性薛定谭方程的(RJ -解的爆破现象.研究表明，在第②类情形下，当p 趋近于2 +寺时，柯西问题的解在时间无穷大时爆破.本文结果扩展了文献[8]的研究结果.关键词：拟线性薛定谭方程；H 2(R N )-M;有限时间；爆破中图分类号：0175.2 文献标识码：AThe blowing-up phenomena of H 2 (R N )-solution forsome kind of quasi -linear Schrodinger equationsLIN Zhensheng 1 , LONG Qunfei 2(1. School of Computer Science and Mathematics , Fujian University of Technology , Fuzhou 350118 ? China ;2. School of Mathematical Sciences , Guizhou Normal University , Guiyang 550025, China )Abstract : In order to obtain a blow up result for the solutions with non-positive initial energy, we discuss them... . . 4by dividing the parameters into three categories : (1) RW0, 0VO and 2 <C p 4 ； (2) p>0, 0VO and A A2 — <C <C 2 • 2* ； (3)目 > 0, 0》0 and 4 十瓦 WpV2 • 2 *. And, with varying different parameter assumptions , we separately prove the blowing-up phenomena of H 2 (R N ) -solution for some quasi-linear Schrodinger equations. The results show that for the second case, p approaching to 2 + 寻 additionally, the solutions o£ Cauchy problem blow up when the time tends to infinity. The results of this paper extend the results of the literature [8].Keywords : quasi-linear Schrodinger equation ； H 2 (R N ) -solution ； finite time ； blow up0引言本文将考虑如下一类拟线性薛定谭方程收稿日期：2020 - 11 -26 作者简介：林振生(1983-),男，博士，讲师，研究方向为非线性分析及其应用.基金项目：国家自然科学基金面上项目(11871152);福建省教育厅中青年教师教育科研项目(JT180326)；福建工程学院科研启动基金(GY-Z20090)；贵州师范大学博士科研启动项目(GZNU[2018]34)22延边大学学报(自然科学版)第47卷(iu t+A m+0I%I p~2u+^A(I w12=0,⑴\u0=况(鼻，0)EH2(R N)=W2・2(RN),*CRN的H2(R N)-解的爆破现象其中：2<^<2-2*,2*=-^-,『=一1,0GR,0GR,M=uU,t):R N X—zR+-C是复值函数，4=丈暮是标准的拉普拉斯算子.目前，已有许多学者对方程(1)进行了研究，并取得了较好的研究成果.例如：方程(1)驻波解的存在性口切、方程(1)正解的存在性図、方程(1)解的渐近行为⑷、方程(1)柯西问题的局部或整体解的适定性闵.2014年,Adachi等⑷在方程(1)满足2+(2a~1)J y+2的条件下，刻画了方程(1)基态解的爆破率.Guo等在心8,0>O,0>O,N=1时和在GR,4+^S<2・2*时，分别得到了方程(1)的解在有限时间爆破刀和方程(1)的H?(RN)_解在有限时间爆破页的结论.1977年，Glassey给出了如下不等式页:Im ux•VudrcJ r N|Vw|2djc>0(n(c n—1)—2〉0).受到文献［8］以及不等式(2)的启发，本文在0€R"€R,2<p V2•2••的条件下，且在参数取值允许范围内通过选取不同取值探讨方程(1)的H?(RN)-解的爆破现象.1主要结果及其证明定理1设GH2(R N)(JV>1)是方程(1)的解，并且满足：(I)V|u0|2eL2(R N)和”。

一维谐振子的 Schrodinger 方程的解及 Hermite 多项式的性质

z →−m
lim (z + m)Γ(z ) lim
(z + m)(z + m − 1) · · · (z + 1)Γ(z + 1) z →−m (z + m − 1) · · · (z + 1)z Γ(z + m + 1) = lim z →−m (z + m − 1) · · · (z + 1)z 1 = (−1)m m!
ξ →+ ∞
因而在这种情况下, 原 Schrödinger 方程无有界解. 现讨论 v 是非负整数的情况, 即 v = m, m 为非负整数. 在式 (23), (24)的基础上, 若 m 为偶数, 则式 y1 变为未定式, 而 y2 仍为原无界函数. 这时由递推式 (19), am+2 = 0, y1 为 m 次多项式；同样, 若 m 为奇数, 则 y1 为无界函数, y2 为 m 次多项式. 现研究 Γ 函数在 0 和负整数附近的性质. 由于 Res[Γ(z ), −m] = =
ξ2
(10) (11)
y ′′ − 2ξy ′ + (ν − 1)y = 0. 式 (11)即为 Hermite 微分方程.
2
2 Hermite 方程的幂级数求解
下面用幂级数法对 Hermite 方程进行求解. 重写 Hermite 方程如下, 在其中令 λ = ν − 1： y ′′ − 2ξy ′ + λy = 0. 设 y (ξ ) 为如下幂级数形式： y (ξ ) = 那么有 y
l
(39)
变换求和哑元, 令 k = l − i, 则 y1 =
l ∑ (−1)l−i 22l−2i l! i=0
(2l − 2i)!i!