江苏省邗江中学2016届高三第一学期期中考试数学模拟考试

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2016-2017学年江苏省扬州市高三(上)期中数学试卷(解析版)

2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）sin240°=．2．（5分）复数z=i（1﹣i）的虚部为．3．（5分）抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为．4．（5分）不等式的解集为．5．（5分）已知平行直线l1：x﹣2y﹣2=0，l2：2x﹣4y+1=0，则l1与l2之间的距离为．6．（5分）若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为．7．（5分）已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m=．8．（5分）已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）=．9．（5分）已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．10．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C 上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为．11．（5分）若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a=．12．（5分）已知函数f（x）=﹣kx无零点，则实数k的取值范围是．13．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为．14．（5分）已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．16．（14分）函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，求实数m的取值范围．17．（14分）已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．18．（16分）如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．（1）求sin∠ABC的大小；（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．19．（16分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C 于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．20．（16分）已知函数f（x）=+x．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．三、解答题（共4小题，满分40分）21．（10分）已知矩阵M=的一个特征值为4，求实数a的值．22．（10分）某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表：班别高一（1）班高一（2）班高一（3）班人数 3 6 1若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．23．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．24．（10分）已知集合A={a1，a2，…，a m}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪A n=A，则称A1，A2，A3，…，A n 为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2010•湛江一模）sin240°=．【分析】由诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα和特殊角的三角函数值求出即可．【解答】解：根据诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα得：sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了学生利用诱导公式sin（180°+α）=﹣cosα进行化简求值的能力，以及会利用特殊角的三角函数解决问题的能力．2．（5分）（2016秋•扬州期中）复数z=i（1﹣i）的虚部为1．【分析】由复数代数形式的乘法运算化简复数z得答案．【解答】解：∵z=i（1﹣i）=i﹣i2=1+i，∴复数z=i（1﹣i）的虚部为：1．故答案为：1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）（2016秋•扬州期中）抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为x2=2y．【分析】根据抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，可知p的值，即可得出抛物线的方程．【解答】解：∵抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，∴﹣=﹣，∴p=1，∴抛物线方程为x2=2y．故答案为：x2=2y．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质和抛物线的标准方程的应用，属于基础题．4．（5分）（2015•广东校级三模）不等式的解集为{x|x＜0或x＞1} ．【分析】把不等式的左边移项到右边，通分并利用分式的减法法则计算后转化成乘积的形式，最后根据二次不等式取解集的方法即可求出原不等式的解集．【解答】解：∵，∴即，∴等价于x（x﹣1）＞0，解得x＜0或x＞1，∴不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}．故答案为：{x|x＜0或x＞1}．【点评】本题主要考查了分式不等式的解法．对于分式不等式，一般是“移项，通分”，将分式不等式转化为各个因式的正负问题．同时考查了运算求解的能力，属于基础题．5．（5分）（2016秋•扬州期中）已知平行直线l1：x﹣2y﹣2=0，l2：2x﹣4y+1=0，则l1与l2之间的距离为．【分析】利用平行线间的距离公式计算可得．【解答】解：直线l1：x﹣2y﹣2=0即2x﹣4y﹣4=0∴l1与l2间的距离d==．故答案为：．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，涉及平行线间的距离公式，属基础题．6．（5分）（2016秋•扬州期中）若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为8．【分析】首先画出可行域，将目标函数变形为直线的斜截式，利用几何意义求最大值．【解答】解：由题意，可行域如图：目标函数z=x+2y变形为y=x z，由其几何意义得到当此直线经过图中A时z最大，由得到A（4，2），所以z的最大值为4+2×2=8；故答案为：8．【点评】本题考查了简单线性规划问题；首先正确画出可行域，然后利用目标函数的几何意义求最值．7．（5分）（2016秋•扬州期中）已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m=﹣2或1．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴=m（m+1）﹣2=0，解得m=﹣2或1．故答案为：﹣2或1．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）（2016秋•扬州期中）已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）=﹣．【分析】利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式可求tanα的值，由已知利用两角差的正切函数公式即可计算得解tan（α﹣β）的值．【解答】解：∵tan（α+）===3，解得：tanα=，tanβ=2，∴tan（α﹣β）===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式，两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9．（5分）（2016秋•扬州期中）已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【分析】函数在区间单调递增，则导函数在该区间的值大于等于0恒成立，在通过换主元求参数范围．【解答】解：∵函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增∴函数f（x）的导函数f′（x）=1+a•cosx≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，令cosx=t，t∈[﹣1，1]，问题转化为g（t）=at+1≥0在t∈[﹣1，1]上恒成立，即g（﹣1）≥0，g（1）≥0成立，所以﹣1≤t≤1．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了利用函数单调性求参数范围，同时也考查了恒成立中求参数的基本方法．10．（5分）（2016秋•扬州期中）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为27．【分析】求出弦长AB，求出圆心到直线的距离加上半径，得到三角形的高，然后求解三角形面积的最大值．【解答】解：⊙C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=25的圆心（2，1），半径为5．圆心到直线l：4x﹣3y+15=0的距离为：=4弦长|AB|=2=6，圆上的点到AB的最大距离为：9．△ADB面积的最大值为：=27故答案为：27【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离的求法，考查计算能力．11．（5分）（2016秋•扬州期中）若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a=．【分析】构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，∴a+b﹣2=1，那么：（+）[a+（b﹣2）]=4+1+（+）≥5+2=9，当且仅当2（b﹣2）=a时即取等号．联立，解得：a=．故答案为：．【点评】本题考查了构造不等式的思想，利用“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．12．（5分）（2016秋•扬州期中）已知函数f（x）=﹣kx无零点，则实数k的取值范围是[﹣2，0）．【分析】画出函数y=与y=kx的图象，利用函数f（x）=﹣kx无零点，求出实数k的取值范围．【解答】解：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是=kx没有实数解，在平面直角坐标系中画出：y=与y=kx的图象，如图：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是y=与y=kx没有交点．由图象可知k∈[﹣2，0）．故答案为：[﹣2，0）．【点评】本题考查函数的图象的作法，考查数形结合以及转化思想的应用．13．（5分）（2016秋•扬州期中）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为y=±2x．【分析】求得双曲线的右焦点，将直线y=x代入双曲线方程，求得x2=，则设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），由•=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c2=x2，由双曲线的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，则可知b2﹣4a2=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=±x=±2x．【解答】解：由题意可知：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），则，整理得：（9b2﹣16a2）x2=9a2b2，即x2=，∴A与B关于原点对称，设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），∵AF⊥BF，∴•=0，即（x﹣c）（﹣x﹣c）+×（﹣）=0，整理得：c2=x2，∴a2+b2=×，即9b4﹣32a2b2﹣16a4=0，∴（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，∵a＞0，b＞0，∴9b2+4a2≠0，∴b2﹣4a2=0，故b=2a，双曲线的渐近线方程y=±x=±2x，故答案为：y=±2x．【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系，向量数量积的坐标表示，向量垂直的充要条件，双曲线的渐近线方程，考查计算能力，属于中档题．14．（5分）（2016秋•扬州期中）已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是[，+∞）．【分析】依题意，f由（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象，可得x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，整理后为二次不等式，利用△≤0即可求得实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x（1﹣a|x|）+1==（a＞0），∴f（x+a）=（x+a）（1﹣a|x+a|）+1，∵f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象如下：∴x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，即x+ax2+1≥﹣a（x2+2ax+a2）+x+a+1，整理得：2x2+2ax+a2﹣1≥0恒成立，∴△=4a2﹣4×2（a2﹣1）≤0，解得：a≥．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立问题，深刻理解f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，得到x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立是解决问题的关键，也是难点，考查作图、分析与运算能力，属于难题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2016秋•扬州期中）已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．【分析】（1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据三角函数的图象平移变换规律，求出g（x）的解析式，在求的值．【解答】解：函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．化简得：f（x）=2sinx•sinx+1+2sinxcosx=2sin2x+sin2x+1=2（cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+2由正弦函数的图象及性质．可得：2x﹣∈[，]是单调增区间，即≤2x﹣≤，k∈Z．解得：≤x≤，所以：函数f（x）的单调递增区间是[，]，（k∈Z）（2）由（1）可得f（x）=sin（2x﹣）+2，把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x﹣）+2的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到g （x）=sin（x+）+2的图象．∴=sin（）+2=sin+2=3所以的值为：3．【点评】本题考查了三角函数的图象及性质的运用和化简能力．三角函数的图象平移变换规律．属于中档题．16．（14分）（2016秋•扬州期中）函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，由交集运算的定义，可得A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（）min，解得实数m的取值范围．【解答】解：（1）由x2+2x﹣8＞0，解得：x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故则函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域A=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），…（2分）若m=﹣4，g（x）=x2﹣3x﹣4，由x2﹣3x﹣4≤0，解得：x∈[﹣1，4]，则B=[﹣1，4]…（4分）所以A∩B=（2，4]；…（6分）（2）存在使得不等式x2+（m+1）x+m≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（）min…（10分）因为=x+1+﹣1≥1，当且仅当x+1=1，即x=0时取得等号所以﹣m≥1，解得：m≤﹣1．…（14分）【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档．17．（14分）（2016秋•扬州期中）已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．【分析】（1）分类讨论：当切线的斜率存在时，设切线的方程为l：y﹣5=k（x﹣4），利用直线与圆相切的性质即可得出．斜率不存在时直接得出即可．（2）•=（+）•（+），即可得出结论．【解答】解：（1）若a=﹣8，圆M：x2+y2﹣2x+a=0即（x﹣1）2+y2=9，圆心（1，0），半径为3，斜率不存在时，x=4，满足题意；斜率存在时，切线l的斜率为k，则l：y﹣5=k（x﹣4），即l：kx﹣y﹣4k+5=0由=3，解得k=，∴l：8x﹣15y+43=0，综上所述切线方程为x=4或8x﹣15y+43=0；（2）•=（+）•（+）=1﹣（1﹣a）=﹣6，∴a=﹣6，∴圆M的半径==．【点评】本题考查了二次方程与圆的方程之间的关系、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了向量的数量积公式，属于中档题．18．（16分）（2016秋•扬州期中）如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．（1）求sin∠ABC的大小；（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．【分析】（1）利用余弦定理，即可求sin∠ABC的大小；（2）确定函数解析式，利用导数方法求最值．【解答】解：（1）在△ABC中，cos∠ABC==﹣…（3分）所以sin∠ABC=．…（5分）（2）在△ABD中，由得：AD=，BD=﹣…（9分）设水路运输的每百人每公里的费用为k元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k元，则运输总费用y=（5CD+3BD）×2k+8k×AD=20k（35++﹣）…（11分）令H（θ=，则H′（θ）=．当0＜θ＜时，H′（θ）＜0，H（θ）单调减；当＜θ＜时，H′（θ）＞0，H（θ）单调增∴θ=时，H（θ）取最小值，同时y也取得最小值．…（14分）此时BD=，满足0＜＜70，所以点D落在BC之间所以θ=时，运输总成本最小．答：θ=时，运输总成本最小．…（16分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查余弦定理，属于中档题．19．（16分）（2016秋•扬州期中）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y 轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．【分析】（1）由题意可知：设P（x1，y1），则Q（﹣x2，y2），由．解得：x2=c，由直线的斜率公式k==，k'==，=﹣5为定值；（2）由，，=3，求得A点坐标，代入椭圆方程，解得=，由c2=a2﹣b2，，因此=，=，由三角形的面积公式可知：S△APQ=•3c•4y1=6cy1=，求得c2=，即可求得c的值，求得椭圆方程．【解答】解：（1）设焦点F（c，0），由c2=a2﹣b2，P（x1，y1），则Q（﹣x2，y2），∴直线PF的斜率k=，QF的斜率k'=，∵．∴c=2（x2﹣c），即x2= c …（3分）∴k==，k'==，∴k=﹣5k'，即=﹣5为定值．…（6分）（2）若，则丨AF丨=3丨FP丨，=3，解得：A（﹣c，﹣3y1）∵点A、P在椭圆C上，则，整理得：=8，解得：=，…（10分）则，代入得：=，=，∵△APQ的面积为S△APQ=•3c•4y1=6cy1=，解得：c2=，∴c2=4，…（14分）∴椭圆方程为：．…（16分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线的斜率公式，向量数量积的坐标表示及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题．20．（16分）（2016秋•扬州期中）已知函数f（x）=+x．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．【分析】（1）第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．（2）根据可导函数极值的定义，找到极值点，求出极值，当极大值为正数时，从而判定负整数是否存在；（3）利用单调性与极值的关系，求证：既存在极大值，有存在极小值．【解答】解：（1）∵，f′（1）=1，f（1）=ae+1∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（ae+1）=x﹣1，又直线过点（0，﹣1）∴﹣1﹣（ae+1）=﹣1，解得：a=﹣…（2分）（2）若a＜0，∵（x≠0），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（﹣∞，0）上无极值；当x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（0，1）上无极值；在x∈（1，+∞）时，令H（x）=ae x（x﹣1）+x2，则H′（x）=（ae x+2）x，∵x∈（1，+∞），∴e x∈（e，+∞，）∵a为负整数∴a≤﹣1，∴ae x≤ae≤﹣e∴ae x+2＜0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在（1，+∞）上单调减，又H（1）=1＞0，H（2）=ae2+4≤﹣e2+4＜0∴∃x0∈（1，2），使得H（x0）=0 …（5分）且1＜x＜x0时，H′（x）＞0，即f′（x）＞0；x＞x0时，H′（x）＜0，即f′（x）＜0；∴f（x）在x0处取得极大值（*）又H（x0）=ae x0（x0﹣1）+x02=0，∴代入（*）得：，∴不存在负整数a满足条件．…（8分）（3）设g（x）=ae x（x﹣1）+x2，则g′（x）=（ae x+2）x，因为a＞0，所以，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；故g（x）至多两个零点．又g（0）=﹣a＜0，g（1）=1＞0，所以存在x1∈（0，1），使g（x1）=0再由g（x）在（0，+∞）上单调递增知，当x∈（0，x1）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，故故f′（x）=，f（x）单调递增；所以函数f（x）在x1处取得极小值．…（12分）当x＜0时，e x＜1，且x﹣1＜0，所以g（x）=ae x（x﹣1）+x2＞a（x﹣1）+x2=x2+ax﹣a，函数y=x2+ax﹣a是关于x的二次函数，必存在负实数t，使g（t）＞0，又g（0）=﹣a＜0，故在（t，0）上存在x2，使g（x2）=0，再由g（x）在（﹣∞，0）上单调递减知，当x∈（﹣∞，x2）时，g（x）＞0，故f′（x）=，f（x）单调递增；当x∈（x2，0）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；所以函数f（x）在x2处取得极大值．综上，函数f（x）既有极大值，又有极小值．…（16分）【点评】本题考查了导数的几何意义及可导函数极值的求解，并运用了分类讨论的解题方法，对学生的思维强度要求高，属于难题．三、解答题（共4小题，满分40分）21．（10分）（2016秋•扬州期中）已知矩阵M=的一个特征值为4，求实数a的值．【分析】求得矩阵M的特征多项式，由题意可知：4为方程f（λ）=0的一个根，代入即可求得实数a的值．【解答】解：矩阵M的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3a，由矩阵M的一个特征值为4，∴4为方程f（λ）=0的一个根，则2×3﹣3a=0，解得：a=2，实数a的值2．【点评】本题考查矩阵特征值的性质，考查矩阵特征多项式的应用，属于基础题．22．（10分）（2016秋•扬州期中）某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表：班别高一（1）班高一（2）班高一（3）班人数 3 6 1若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．【分析】随机变量ξ的取值可能为0，1，2．利用“超几何分布”的概率计算公式及其分布列、数学期望即可得出．【解答】解：随机变量ξ的取值可能为0，1，2．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．则ξ0 1 2P∴E（ξ）=+1×+2×=．答：数学期望为．【点评】本题考查了“超几何分布”的概率计算公式及其分布列、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（10分）（2016秋•扬州期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．【分析】（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE与PD所成角的余弦值．（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0，，1），…（2分）=（﹣1，﹣，1），=（1，0，﹣2），∴cos＜，＞===﹣，∴CE与PD所成角的余弦值为．…（4分）（2）点F在棱PC上，且PF=λPC，∴，∴F（λ，λ，﹣2λ），=（λ，λ﹣1，2﹣2λ），又=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣，1）．设为平面CDE的法向量，则，取x=1，得=（1，0，1），…（6分）设直线BF与平面CDE所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，…（8分）令t=2﹣λ，则t∈[1，2]，∴sinθ==，当，即t=∈[1，2]时，有最小值，此时sinθ取得最大值为，即BF与平面CDE所成的角最大，此时=，即λ的值为．…（10分）【点评】本题考查线线面的余弦值的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．24．（10分）（2016秋•扬州期中）已知集合A={a1，a2，…，a m}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪A n=A，则称A1，A2，A3，…，A n为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．【分析】（1）设A1∪A2={a1}，得f（2，1）=3；设A1∪A2={a1，a2}，得f（2，2）=9；设A1∪A2∪A3={a1，a2}，由此利用分类讨论思想能求出f（3，2）．（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，再利用数学归纳法进行证明．【解答】解：（1）设A1∪A2={a1}，共有3种，即f（2，1）=3；…（1分）设A1∪A2={a1，a2}，若A1=∅，则有1种；若A1={a1}，则有2种；若A1={a2}，则有2种；若A1={a1，a2}，则有4种；即f（2，2）=9；…（2分）设A1∪A2∪A3={a1，a2}，若A1=∅，则A2∪A3={a1，a2}，所以有f（2，2）=9种；若A1={a1}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a2}，所以有f（2，2）+f（2，1）=12；若A1={a2}，则有12种；若A1={a1，a2}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a1}或A2∪A3={a2}或A2∪A3=∅，所以有1+3+3+9=16种；即f（3，2）=49．…（4分）（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，用数学归纳法证明．当n=2时，f（2，2）=9，结论成立．…（5分）假设n=k时，结论成立，即f（k，2）=（2k﹣1）2，当n=k+1时，A1∪A2∪…∪A k+1={a1，a2}当A k+1=∅时，A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种；当A k+1={a1}时，A1∪A2∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，或A1∪A2∪A3∪…∪A k={a2}，所以有2k﹣1种，共有2k（2k﹣1）种；同理当A k+1={a2}时，共有2k（2k﹣1）种；当A k+1={a1，a2}时，A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，或A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1}，所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪…∪A k={a2}，所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪A3∪…∪A k=∅，所以有1种，共有22k种；则f（k+1，2）=4（2k﹣1）2+4（2k﹣1）+1=（2k+1﹣1）2，所以，当n=k+1时，结论成立．…（9分）所以f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*．…（10分）【点评】本题考查函数值的求法，考查函数表达式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和数学归纳法的合理运用．。

江苏省邗江中学2016届高三上学期10月月考数学试卷

邗江中学2015-2016学年度第一学期高三数学 2015.10一、填空题1.复数2)21(i +的共轭复数是。

2. 若点)9,(a 在函数x y 3=的图像上，则6tanπa =。

3. 函数)2lg()(x x f -=的定义域为。

4.已知△ABC 中，030,1,3===A BC AB ,则=AC 。

5. 给出如下命题：A 、若“p 且q ”为假命题，则p,q 均为假命题；B 、命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为“若b a ≤，则122-≤b a ”C 、命题“02,00≤∈∃x R x ”的否定是“02,00>∈∀x R x ”D 、“5≥a ”是“0],2,1[2≤-∈∀a x x 恒成立”的充要条件其中正确的命题序号是。

6. 已知31sin =θ，则)2cos(θπ+=。

7. 已知向量)2,1(,),1(,)1,2(-=-=-=m ，若)(+与夹角为锐角，则m 的取值范围为。

8. 已知正实数y x ,满足16)1)(1(=+-y x ，则=+max )(y x 。

9. 已知直线)40(π<<=a a x 与函数x x h x x g x x f sin )(,2sin )(,cos )(===的图像及x 轴依次交于点Q N M P ,,,，则22MQ PN +的最小值为。

10. 平面上满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥01002y x y x x 的点),(y x 行程的区域D ，区域D 关于直线xy 2=对称的区域为E ，则区域D 和E 中距离最近两点的距离为。

11. 如下图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE=CD 。

若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AE AB AP υλ+=，则υλ+的最大值为。

12. 已知圆4)2(:22=++y x C ，相互垂直的两条直线21,l l 都过点A(2,0)。

扬州市2016—2017学年度高三数学第一学期期中测试参考答案

2016-2017学年度高三第一学期期中测试数学试题Ⅰ参考答案2016．11一、填空题1． 2．1 3．22x y = 4．(,0)(1,)-∞+∞ 56．8 7．2-或1 8．34- 9．[1,1]- 10． 27 11．23 12．20k -≤<13．2y x =± 14．)+∞二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．解：（1）2()2cos()sin (sin cos )sin 2cos222f x x x x x x x π=-++=-+)24x π-+ ……4分由()222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间是()3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ ……8分（2）由（1）知())24f x x π-+把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到)24y x π=-+的图象，再把得到的图象向左平移3π个单位，得到 ())212g x x π++的图象， ……12分即())212g x x π=++，所以()36g π=． ……14分16．解：（1）由2280x x +->，解得：4x <-或2x >，则(,4)(2,)A =-∞-+∞ ，……2分若4m =-，2()34g x x x =--，由2340x x --≤，解得：14x -≤≤，则[1,4]B =- ……4分所以(2,4]A B = ； ……6分（2）存在1[0,]2x ∈使得不等式2(1)1x m x m +++≤-成立，即存在1[0,]2x ∈使得不等式211x x m x ++-≥+成立，所以2min 1()1x x m x ++-≥+ ……10分因为2111111111x x x x x x x ++=+=++-≥+++，当且仅当11x +=，即0x =时取得等号所以1m -≥，解得：1m ≤-． ………14分17．解：（1）若8a =-，圆M ：22(1)9x y -+=，圆心M (1,0)，半径为3． ………2分若切线斜率不存在，圆心M 到直线4x =的距离为3，所以直线4x =为圆M 的一条切线； ………4分若切线斜率存在，设切线方程为：5(4)y k x -=-，化简为：450kx y k --+=，则圆心到直3=，解得：815k =．所以切线方程为4x =或815430x y -+=； ………7分（2）圆M 的方程可化为22(1)1x y a -+=-，圆心M (1,0)，则1OM =设圆的半径1)r a < …………9分因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA MB =- ，且||||M A M B r ==，则222()()()()()()1OA OB OM MA OM MB OM MB OM MB OM MB r ⋅=+⋅+=-⋅+=-=- …12分又因为6OA OB ⋅=-，解得：r………14分18．解：（1）在ABC ∆中，222900490064001cos 2230707AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===-⋅⨯⨯ ……3分所以sin ABC ∠=………5分（2）在ABD ∆中，由sin sin sin AD AB BDABD BAD θ==∠∠得：30sin θ==所以7sin AD θ=，30sin 30777sin sin 7BD θθθθθ-==- ………9分设水路运输的每百人每公里的费用为k 元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k 元，则运输总费用(53)282[5(70)34]y CD BD k k AD k BD BD AD =+⨯+⨯⨯==-++3o s3632c o s7720[352()4]20[35]sin 7sin 7sin k k θθθθθ-=--+⨯=++ ……11分令2cos ()sin H θθθ-=，则212cos '()sin H θθθ-=，设'()0H θ=，解得：1cos ,23πθθ==当03πθ<<时，()0,()H H θθ'<单调减；当32ππθ<<时，()0,()H H θθ'>单调增3πθ∴=时，()H θ取最小值，同时y 也取得最小值． ……14分此时30907sin 77BD θθ=-=，满足900707<<，所以点D 落在BC 之间所以3πθ=时，运输总成本最小．答：3πθ=时，运输总成本最小． ………16分19．解：（1）设(,0)F c 且222c a b =-，00(,)P x y ，则00(,)Q x y -，所以00y k x c =-，00'y k x c =--，因为2NF FP = ，所以02()c x c =-，即032x c = ………3分 ∴0002y y k x c c ==-，0002'5y y k x c c ==--- ∴5'k k =-，即5'k k =-为定值 ………6分（2）若AN FP =，则3AF FP =，所以3AF FP = ，解得：01(,3)2A c y --因为点A 、P 在椭圆C 上，则220222202291149124y c a b y c a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩（）（），(1)9(2)⨯-得：228084c a =，解得：2225c a = ………10分则2223c b =，代入（1）得：22002213102y y c b ==，202320y c =因为0013462APQ S c y cy ∆=⨯⨯=且APQ S ∆=，解得：220125c y =，则24c = ………14分所以椭圆方程为：221106x y +=． ………16分20．解：（1）∵22(1)'()x ae x x f x x -+= ∴'(1)1f =, (1)1f ae =+∴函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为：(1)1y ae x -+=-，又直线过点(0,1)-∴1(1)1ae --+=-，解得：1a e=- ………2分（2）若0a <，22(1)'()x ae x x f x x-+=，当(,0)x ∈-∞时，'()0f x >恒成立，函数在(,0)-∞上无极值；当(0,1)x ∈时，'()0f x >恒成立，函数在(0,1)上无极值；方法（一）在(1,)+∞上，若()f x 在0x 处取得符合条件的极大值0()f x ，则0001()0'()0x f x f x >⎧⎪>⎨⎪=⎩，…5分则00000200201102(1)03x x x ae x x ae x x x ⎧⎪>⎪⎪⎪+>⎨⎪⎪-+⎪=⎪⎩（）（）（），由（3）得：02001x x ae x =--，代入（2）得： 00001x x x -+>-，结合（1）可解得：02x >，再由0000()0x ae f x x x =+>得：020x x a e >-，设2()x x h x e=-，则(2)'()xx x h x e -=，当2x >时，'()0h x >，即()h x 是增函数，所以024()(2)a h x h e>>=-，又0a <，故当极大值为正数时，24(,0)a e ∈-，从而不存在负整数a 满足条件． ………8分方法（二）在(1,+)x ∈∞时，令2()(1)x H x ae x x =-+，则'()(2)x H x ae x =+ ∵(1,+)x ∈∞ ∴(,+)x e e ∈∞ ∵a 为负整数 ∴1a ≤- ∴x ae ae e ≤≤- ∴20x ae +< ∴'()0H x < ∴()H x 在(1,)+∞上单调减又(1)10H =>，22(2)440H ae e =+≤-+< ∴0(1,2)x ∃∈，使得0()0H x = …5分且01x x <<时，()0H x >，即'()0f x >；0x x >时，()0H x <，即'()0f x <； ∴()f x 在0x 处取得极大值0000()x ae f x x x =+ （*）又02000()(1)0x H x ae x x =-+=∴00001x x ae x x =--代入（*）得：0000000(2)()011x x x f x x x x -=-+=<-- ∴不存在负整数a 满足条件． ………8分（3）设2()(1)x g x ae x x =-+，则'()(2)x g x x ae =+，因为0a >，所以，当0x >时，'()0g x >，()g x 单调递增；当0x <时，'()0g x <，()g x 单调递减；故()g x 至多两个零点．又(0)0g a =-<，(1)10g =>，所以存在1(0,1)x ∈，使1()0g x = 再由()g x 在(0,)+∞上单调递增知，当1(0,)x x ∈时，()0g x <，故2()'()0g x f x x =<，()f x 单调递减；当1()x x ∈+∞，时，()0g x >，故2()'()0g x f x x=>，()f x 单调递增；所以函数()f x 在1x 处取得极小值． ………12分当0x <时，1x e <，且10x -<，所以222()(1)(1)x g x ae x x a x x x ax a =-+>-+=+-，函数2y x ax a =+-是关于x 的二次函数，必存在负实数t ，使()0g t >，又(0)0g a =-<，故在(,0)t 上存在2x ，使2()0g x =，再由()g x 在(,0)-∞上单调递减知，当2()x x ∈-∞,时，()0g x >，故2()'()0g x f x x =>，()f x 单调递增；当2(,0)x x ∈时，()0g x <，故2()'()0g x f x x=<，()f x 单调递减；所以函数()f x 在2x 处取得极大值．综上，函数()f x 既有极大值，又有极小值． ………16分数学试题Ⅱ参考答案21．解：解：矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f a a λλλλλ--==----- ………4分矩阵231M a⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为4 ………8分所以4为方程0)(=λf 的一个根，则2330a ⨯-=，解得2a =． ………10分22．解：解：随机变量ξ的取值可能为0，1，2．272107(0)15C P C ξ=== ………3分11372107(1)15C C P C ξ=== ………6分232101(2)15C P C ξ=== ………9分则7713()0121515155E ξ∴=⨯+⨯+⨯= 答：数学期望()E ξ为35． …………10分23．解：（1）如图，以A 为坐标原点，,,AD AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(1,1,0)C 、(0,0,2)P 、D(1,0,0)、1(0,,1)2E，………2分从而1(1,,1),(1,0,2).2CE PD =--=-∴cos ||||CE PDCE PD CE PD ⋅<>==⋅,即CE 与PD． ………4分（2）点F 在棱PC 上，且P F P C λ=，所以P F P C λ=，于是(,,22F λλλ-，(,1,22)BF λλλ=-- ，又(0,1,0)CD =- ，1(1,,1)2CE =-- ．设(,,)n x y z =为平面CDE 的法向量，则00n CD n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，可得0102y x y z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取1x =，则(1,0,1)n = ………6分设直线BF 与平面CDE 所成的角为θ，则sin |cos ,|BF n θ=<>=………8分令2t λ=-，则[1,2]t ∈，所以sin θ=当179t =，即9[1,2]7t =∈时，29146t t -+有最小值59，此时sin θBF 与平面CDE 所成的角最大，此时952277t λ=-=-=，即λ的值为57． ……10分24．解：（1）设121{}A A a = ，共有3种，即(2,1)3f =； ………1分设1212{,}A A a a = ，若1A =∅，则有1种；若11{}A a =，则有2种；若12{}A a =，则有2种；若112{,}A a a =，则有4种；即(2,2)9f =； ………2分设12312{,}A A A a a = ，若1A =∅，则2312{,}A A a a = ，所以有(2,2)9f =种；若11{}A a =，则2312{,}A A a a = 或232{}A A a = ，所以有(2,2)(2,1)12f f +=；若12{}A a =，则有12种；若112{,}A a a =，则2312{,}A A a a = 或231{}A A a = 或232{}A A a = 或23A A =∅ ，所以有133916+++=种；即(3,2)49f =； ………4分（2）猜想2(,2)(21)n f n =-(2,*)n n N ≥∈，用数学归纳法证明．当2n =时，(2,2)9f =，结论成立； ………5分假设n k =时，结论成立，即2(,2)(21)k f k =-，当+1n k =时，123112{,}k A A A A a a +=当1k A +=∅时，12312{,}k A A A A a a = ，所以有2(,2)(21)k f k =-种；当11{}k A a +=时，12312{,}k A A A A a a = ，所以有2(,2)(21)k f k =-种，或1232{}k A A A A a = ，所以有21k -种，共有2(21)k k -种；同理当12{}k A a +=时，共有2(21)k k -种；当112{,}k A a a +=时，12312{,}k A A A A a a = ，所以有2(,2)(21)k f k =-种，或1231{}k A A A A a = ，所以有21k -种，或1232{}k A A A A a = ，所以有21k -种，或123k A A A A =∅ ，所以有1种，共有22k 种；则212(1,2)4(21)4(21)1(21)k k k f k ++=-+-+=-所以，当+1n k =时，结论成立； ………9分所以2(,2)(21)n f n =-(2,*)n n N ≥∈………………10分。

2016-2017学年江苏省扬州市高三(上)期中数学试卷(解析汇报版)

2016-2017学年省市高三（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）sin240°= ．2．（5分）复数z=i（1﹣i）的虚部为．3．（5分）抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为．4．（5分）不等式的解集为．5．（5分）已知平行直线l1：x﹣2y﹣2=0，l2：2x﹣4y+1=0，则l1与l2之间的距离为．6．（5分）若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为．7．（5分）已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m= ．8．（5分）已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）= ．9．（5分）已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值围是．10．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为．11．（5分）若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a= ．12．（5分）已知函数f（x）=﹣kx无零点，则实数k的取值围是．13．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为．14．（5分）已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．16．（14分）函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，数m的取值围．17．（14分）已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．18．（16分）如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．（1）求sin∠ABC的大小；（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．19．（16分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．20．（16分）已知函数f（x）=+x．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．三、解答题（共4小题，满分40分）21．（10分）已知矩阵M=的一个特征值为4，数a的值．22．（10分）某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表：班别高一（1）班高一（2）班高一（3）班人数 3 6 1若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．23．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．24．（10分）已知集合A={a1，a2，…，a m}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪A n=A，则称A1，A2，A3，…，A n为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．2016-2017学年省市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2010•一模）sin240°= ．【分析】由诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα和特殊角的三角函数值求出即可．【解答】解：根据诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα得：sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了学生利用诱导公式sin（180°+α）=﹣cosα进行化简求值的能力，以及会利用特殊角的三角函数解决问题的能力．2．（5分）（2016秋•期中）复数z=i（1﹣i）的虚部为 1 ．【分析】由复数代数形式的乘法运算化简复数z得答案．【解答】解：∵z=i（1﹣i）=i﹣i2=1+i，∴复数z=i（1﹣i）的虚部为：1．故答案为：1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）（2016秋•期中）抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为x2=2y ．【分析】根据抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，可知p的值，即可得出抛物线的方程．【解答】解：∵抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，∴﹣=﹣，∴p=1，∴抛物线方程为x2=2y．故答案为：x2=2y．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质和抛物线的标准方程的应用，属于基础题．4．（5分）（2015•校级三模）不等式的解集为{x|x＜0或x＞1} ．【分析】把不等式的左边移项到右边，通分并利用分式的减法法则计算后转化成乘积的形式，最后根据二次不等式取解集的方法即可求出原不等式的解集．【解答】解：∵，∴即，∴等价于x（x﹣1）＞0，解得x＜0或x＞1，∴不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}．故答案为：{x|x＜0或x＞1}．【点评】本题主要考查了分式不等式的解法．对于分式不等式，一般是“移项，通分”，将分式不等式转化为各个因式的正负问题．同时考查了运算求解的能力，属于基础题．5．（5分）（2016秋•期中）已知平行直线l1：x﹣2y﹣2=0，l2：2x﹣4y+1=0，则l1与l2之间的距离为．【分析】利用平行线间的距离公式计算可得．【解答】解：直线l1：x﹣2y﹣2=0即2x﹣4y﹣4=0∴l1与l2间的距离d==．故答案为：．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，涉及平行线间的距离公式，属基础题．6．（5分）（2016秋•期中）若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为8 ．【分析】首先画出可行域，将目标函数变形为直线的斜截式，利用几何意义求最大值．【解答】解：由题意，可行域如图：目标函数z=x+2y变形为y=x z，由其几何意义得到当此直线经过图中A时z最大，由得到A（4，2），所以z的最大值为4+2×2=8；故答案为：8．【点评】本题考查了简单线性规划问题；首先正确画出可行域，然后利用目标函数的几何意义求最值．7．（5分）（2016秋•期中）已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m= ﹣2或1 ．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴=m（m+1）﹣2=0，解得m=﹣2或1．故答案为：﹣2或1．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）（2016秋•期中）已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）= ﹣．【分析】利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式可求tanα的值，由已知利用两角差的正切函数公式即可计算得解tan（α﹣β）的值．【解答】解：∵tan（α+）===3，解得：tanα=，tanβ=2，∴tan（α﹣β）===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式，两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9．（5分）（2016秋•期中）已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值围是[﹣1，1] ．【分析】函数在区间单调递增，则导函数在该区间的值大于等于0恒成立，在通过换主元求参数围．【解答】解：∵函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增∴函数f（x）的导函数f′（x）=1+a•cosx≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，令cosx=t，t∈[﹣1，1]，问题转化为g（t）=at+1≥0在t∈[﹣1，1]上恒成立，即g（﹣1）≥0，g（1）≥0成立，所以﹣1≤t≤1．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了利用函数单调性求参数围，同时也考查了恒成立中求参数的基本方法．10．（5分）（2016秋•期中）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B 两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为27 ．【分析】求出弦长AB，求出圆心到直线的距离加上半径，得到三角形的高，然后求解三角形面积的最大值．【解答】解：⊙C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=25的圆心（2，1），半径为5．圆心到直线l：4x﹣3y+15=0的距离为：=4弦长|AB|=2=6，圆上的点到AB的最大距离为：9．△ADB面积的最大值为：=27故答案为：27【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离的求法，考查计算能力．11．（5分）（2016秋•期中）若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a= ．【分析】构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，∴a+b﹣2=1，那么：（+）[a+（b﹣2）]=4+1+（+）≥5+2=9，当且仅当2（b﹣2）=a时即取等号．联立，解得：a=．故答案为：．【点评】本题考查了构造不等式的思想，利用“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．12．（5分）（2016秋•期中）已知函数f（x）=﹣kx无零点，则实数k的取值围是[﹣2，0）．【分析】画出函数y=与y=kx的图象，利用函数f（x）=﹣kx无零点，求出实数k的取值围．【解答】解：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是=kx没有实数解，在平面直角坐标系中画出：y=与y=kx的图象，如图：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是y=与y=kx没有交点．由图象可知k∈[﹣2，0）．故答案为：[﹣2，0）．【点评】本题考查函数的图象的作法，考查数形结合以及转化思想的应用．13．（5分）（2016秋•期中）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为y=±2x ．【分析】求得双曲线的右焦点，将直线y=x代入双曲线方程，求得x2=，则设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），由•=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c2=x2，由双曲线的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，则可知b2﹣4a2=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=±x=±2x．【解答】解：由题意可知：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），则，整理得：（9b2﹣16a2）x2=9a2b2，即x2=，∴A与B关于原点对称，设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），∵AF⊥BF，∴•=0，即（x﹣c）（﹣x﹣c）+×（﹣）=0，整理得：c2=x2，∴a2+b2=×，即9b4﹣32a2b2﹣16a4=0，∴（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，∵a＞0，b＞0，∴9b2+4a2≠0，∴b2﹣4a2=0，故b=2a，双曲线的渐近线方程y=±x=±2x，故答案为：y=±2x．【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系，向量数量积的坐标表示，向量垂直的充要条件，双曲线的渐近线方程，考查计算能力，属于中档题．14．（5分）（2016秋•期中）已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x ∈R恒成立，则实数a的取值围是[，+∞）．【分析】依题意，f由（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象，可得x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，整理后为二次不等式，利用△≤0即可求得实数a的取值围．【解答】解：∵f（x）=x（1﹣a|x|）+1==（a＞0），∴f（x+a）=（x+a）（1﹣a|x+a|）+1，∵f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象如下：∴x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，即x+ax2+1≥﹣a（x2+2ax+a2）+x+a+1，整理得：2x2+2ax+a2﹣1≥0恒成立，∴△=4a2﹣4×2（a2﹣1）≤0，解得：a≥．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立问题，深刻理解f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，得到x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立是解决问题的关键，也是难点，考查作图、分析与运算能力，属于难题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2016秋•期中）已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．【分析】（1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据三角函数的图象平移变换规律，求出g（x）的解析式，在求的值．【解答】解：函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．化简得：f（x）=2sinx•sinx+1+2sinxcosx=2sin2x+sin2x+1=2（cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+2由正弦函数的图象及性质．可得：2x﹣∈[，]是单调增区间，即≤2x﹣≤，k∈Z．解得：≤x≤，所以：函数f（x）的单调递增区间是[，]，（k∈Z）（2）由（1）可得f（x）=sin（2x﹣）+2，把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x﹣）+2的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到g（x）=sin（x+）+2的图象．∴=sin（）+2=sin+2=3所以的值为：3．【点评】本题考查了三角函数的图象及性质的运用和化简能力．三角函数的图象平移变换规律．属于中档题．16．（14分）（2016秋•期中）函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，数m的取值围．【分析】（1）求出集合A，B，由交集运算的定义，可得A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（）min，解得实数m的取值围．【解答】解：（1）由x2+2x﹣8＞0，解得：x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故则函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域A=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），…（2分）若m=﹣4，g（x）=x2﹣3x﹣4，由x2﹣3x﹣4≤0，解得：x∈[﹣1，4]，则B=[﹣1，4]…（4分）所以A∩B=（2，4]；…（6分）（2）存在使得不等式x2+（m+1）x+m≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（）min…（10分）因为=x+1+﹣1≥1，当且仅当x+1=1，即x=0时取得等号所以﹣m≥1，解得：m≤﹣1．…（14分）【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档．17．（14分）（2016秋•期中）已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．【分析】（1）分类讨论：当切线的斜率存在时，设切线的方程为 l：y﹣5=k（x﹣4），利用直线与圆相切的性质即可得出．斜率不存在时直接得出即可．（2）•=（+）•（+），即可得出结论．【解答】解：（1）若a=﹣8，圆M：x2+y2﹣2x+a=0即（x﹣1）2+y2=9，圆心（1，0），半径为3，斜率不存在时，x=4，满足题意；斜率存在时，切线l的斜率为 k，则 l：y﹣5=k（x﹣4），即l：kx﹣y﹣4k+5=0由=3，解得k=，∴l：8x﹣15y+43=0，综上所述切线方程为x=4或8x﹣15y+43=0；（2）•=（+）•（+）=1﹣（1﹣a）=﹣6，∴a=﹣6，∴圆M的半径==．【点评】本题考查了二次方程与圆的方程之间的关系、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了向量的数量积公式，属于中档题．18．（16分）（2016秋•期中）如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．（1）求sin∠ABC的大小；（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．【分析】（1）利用余弦定理，即可求sin∠ABC的大小；（2）确定函数解析式，利用导数方法求最值．【解答】解：（1）在△ABC中，cos∠ABC==﹣…（3分）所以sin∠ABC=．…（5分）（2）在△ABD中，由得：AD=，BD=﹣…（9分）设水路运输的每百人每公里的费用为k元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k元，则运输总费用y=（5CD+3BD）×2k+8k×AD=20k（35++﹣）…（11分）令H（θ=，则H′（θ）=．当0＜θ＜时，H′（θ）＜0，H（θ）单调减；当＜θ＜时，H′（θ）＞0，H（θ）单调增∴θ=时，H（θ）取最小值，同时y也取得最小值．…（14分）此时BD=，满足0＜＜70，所以点D落在BC之间所以θ=时，运输总成本最小．答：θ=时，运输总成本最小．…（16分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查余弦定理，属于中档题．19．（16分）（2016秋•期中）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．【分析】（1）由题意可知：设P（x1，y1），则Q（﹣x2，y2），由．解得：x2=c，由直线的斜率公式k==，k'==，=﹣5为定值；（2）由，，=3，求得A点坐标，代入椭圆方程，解得=，由c2=a2﹣b2，，因此=，=，由三角形的面积公式可知：S△APQ=•3c•4y1=6cy1=，求得c2=，即可求得c的值，求得椭圆方程．【解答】解：（1）设焦点F（c，0），由c2=a2﹣b2，P（x1，y1），则Q（﹣x2，y2），∴直线PF的斜率k=，QF的斜率k'=，∵．∴c=2（x2﹣c），即x2= c …（3分）∴k==，k'==，∴k=﹣5k'，即=﹣5为定值．…（6分）（2）若，则丨AF丨=3丨FP丨，=3，解得：A（﹣c，﹣3y1）∵点A、P在椭圆C上，则，整理得：=8，解得：=，…（10分）则，代入得：=，=，∵△APQ的面积为S△APQ=•3c•4y1=6cy1=，解得：c2=，∴c2=4，…（14分）∴椭圆方程为：．…（16分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线的斜率公式，向量数量积的坐标表示及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题．20．（16分）（2016秋•期中）已知函数f（x）=+x．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．【分析】（1）第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．（2）根据可导函数极值的定义，找到极值点，求出极值，当极大值为正数时，从而判定负整数是否存在；（3）利用单调性与极值的关系，求证：既存在极大值，有存在极小值．【解答】解：（1）∵，f′（1）=1，f（1）=ae+1∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（ae+1）=x﹣1，又直线过点（0，﹣1）∴﹣1﹣（ae+1）=﹣1，解得：a=﹣…（2分）（2）若a＜0，∵（x≠0），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（﹣∞，0）上无极值；当x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（0，1）上无极值；在x∈（1，+∞）时，令H（x）=ae x（x﹣1）+x2，则H′（x）=（ae x+2）x，∵x∈（1，+∞），∴e x∈（e，+∞，）∵a为负整数∴a≤﹣1，∴ae x≤ae≤﹣e∴ae x+2＜0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在（1，+∞）上单调减，又H（1）=1＞0，H（2）=ae2+4≤﹣e2+4＜0∴∃x0∈（1，2），使得H（x0）=0 …（5分）且1＜x＜x0时，H′（x）＞0，即f′（x）＞0；x＞x0时，H′（x）＜0，即f′（x）＜0；∴f（x）在x0处取得极大值（*）又H（x0）=ae x0（x0﹣1）+x02=0，∴代入（*）得：，∴不存在负整数a满足条件．…（8分）（3）设g（x）=ae x（x﹣1）+x2，则g′（x）=（ae x+2）x，因为a＞0，所以，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；故g（x）至多两个零点．又g（0）=﹣a＜0，g（1）=1＞0，所以存在x1∈（0，1），使g（x1）=0再由g（x）在（0，+∞）上单调递增知，当x∈（0，x1）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，故故f′（x）=，f（x）单调递增；所以函数f（x）在x1处取得极小值．…（12分）当x＜0时，e x＜1，且x﹣1＜0，所以g（x）=ae x（x﹣1）+x2＞a（x﹣1）+x2=x2+ax﹣a，函数y=x2+ax﹣a是关于x的二次函数，必存在负实数t，使g（t）＞0，又g（0）=﹣a＜0，故在（t，0）上存在x2，使g（x2）=0，再由g（x）在（﹣∞，0）上单调递减知，当x∈（﹣∞，x2）时，g（x）＞0，故f′（x）=，f（x）单调递增；当x∈（x2，0）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；所以函数f（x）在x2处取得极大值．综上，函数f（x）既有极大值，又有极小值．…（16分）【点评】本题考查了导数的几何意义及可导函数极值的求解，并运用了分类讨论的解题方法，对学生的思维强度要求高，属于难题．三、解答题（共4小题，满分40分）21．（10分）（2016秋•期中）已知矩阵M=的一个特征值为4，数a的值．【分析】求得矩阵M的特征多项式，由题意可知：4为方程f（λ）=0的一个根，代入即可求得实数a的值．【解答】解：矩阵M的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3a，由矩阵M的一个特征值为4，∴4为方程f（λ）=0的一个根，则2×3﹣3a=0，解得：a=2，实数a的值2．【点评】本题考查矩阵特征值的性质，考查矩阵特征多项式的应用，属于基础题．22．（10分）（2016秋•期中）某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表：班别高一（1）班高一（2）班高一（3）班人数 3 6 1若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．【分析】随机变量ξ的取值可能为0，1，2．利用“超几何分布”的概率计算公式及其分布列、数学期望即可得出．【解答】解：随机变量ξ的取值可能为0，1，2．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．则ξ0 1 2P∴E（ξ）=+1×+2×=．答：数学期望为．【点评】本题考查了“超几何分布”的概率计算公式及其分布列、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（10分）（2016秋•期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．【分析】（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE与PD所成角的余弦值．（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0，，1），…（2分）=（﹣1，﹣，1），=（1，0，﹣2），∴cos＜，＞===﹣，∴CE与PD所成角的余弦值为．…（4分）（2）点F在棱PC上，且PF=λPC，∴，∴F（λ，λ，﹣2λ），=（λ，λ﹣1，2﹣2λ），又=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣，1）．设为平面CDE的法向量，则，取x=1，得=（1，0，1），…（6分）设直线BF与平面CDE所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，…（8分）令t=2﹣λ，则t∈[1，2]，∴sinθ==，当，即t=∈[1，2]时，有最小值，此时sinθ取得最大值为，即BF与平面CDE所成的角最大，此时=，即λ的值为．…（10分）【点评】本题考查线线面的余弦值的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．24．（10分）（2016秋•期中）已知集合A={a1，a2，…，a m}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪A n=A，则称A1，A2，A3，…，A n为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．【分析】（1）设A1∪A2={a1}，得f（2，1）=3；设A1∪A2={a1，a2}，得f（2，2）=9；设A1∪A2∪A3={a1，a2}，由此利用分类讨论思想能求出f（3，2）．（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，再利用数学归纳法进行证明．【解答】解：（1）设A1∪A2={a1}，共有3种，即f（2，1）=3；…（1分）设A1∪A2={a1，a2}，若A1=∅，则有1种；若A1={a1}，则有2种；若A1={a2}，则有2种；若A1={a1，a2}，则有4种；即f（2，2）=9；…（2分）设A1∪A2∪A3={a1，a2}，若A1=∅，则A2∪A3={a1，a2}，所以有f（2，2）=9种；若A1={a1}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a2}，所以有f（2，2）+f（2，1）=12；若A1={a2}，则有12种；若A1={a1，a2}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a1}或A2∪A3={a2}或A2∪A3=∅，所以有1+3+3+9=16种；即f（3，2）=49．…（4分）（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，用数学归纳法证明．当n=2时，f（2，2）=9，结论成立．…（5分）假设n=k时，结论成立，即f（k，2）=（2k﹣1）2，当n=k+1时，A1∪A2∪…∪A k+1={a1，a2}当A k+1=∅时，A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种；当A k+1={a1}时，A1∪A2∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，或A1∪A2∪A3∪…∪A k={a2}，所以有2k﹣1种，共有2k（2k﹣1）种；同理当A k+1={a2}时，共有2k（2k﹣1）种；当A k+1={a1，a2}时，A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，或A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1}，所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪…∪A k={a2}，所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪A3∪…∪A k=∅，所以有1种，共有22k种；则f（k+1，2）=4（2k﹣1）2+4（2k﹣1）+1=（2k+1﹣1）2，所以，当n=k+1时，结论成立．…（9分）所以f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*．…（10分）【点评】本题考查函数值的求法，考查函数表达式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和数学归纳法的合理运用．。

2016-2017邗江高一数学期中试卷

5、已知幂函数的图象过点，则 ▲．
6、若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为▲．
7、给定函数：① ,② ,③ ,④ ，其中在区间上是单调减函数的序号是▲．（填上所有你认为正确的结论的序号）
8、已知方程的解所在区间为，则 =▲．
9、已知是定义域为的偶函数，且时，，则的值为▲．
（2）该厂年产多少台时，可使利润最大？
解：由题意得，成本函数为 ,
从而利润函数
.……………………2分
（1）要使不亏本，只要，
当时，，…………4分
当时，，
综上，，……………………6分
答：若要该厂不亏本，产量应控制在100台到550台之间.…………7分
（2）当时，，
故当时，（万元）……………………10分
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1、已知全集则 ▲
2、函数的定义域为▲
3、设函数满足，则 ▲16
4、若集合 Biblioteka 且，则实数的取值范围是▲5、已知幂函数的图象过点，则 ▲
6、若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为▲
邗江区2016-2017学年第一学期期中试卷
高一数学2016．11
（考试时间120分钟，满分160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1、已知全集则 ▲．
2、函数的定义域为▲．
3、设函数满足，则 ▲．
4、若集合，且，则实数的取值范围是▲．
思路分析：根据函数的定义，当时，可求出的解析式，进而求出其单调区间。

江苏省扬州市邗江中学2016届高三数学上学期期中模拟试卷(含解析)

2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高三（上）期中数学模拟试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合A={x|x2＜3x+4，x∈R}，则A∩Z中元素的个数为__________．2．复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为__________．3．若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则是z2=﹣1的__________条件．4．在约束条件下，则的最小值是__________．5．若将函数f（x）=sinωx的图象向右平移个单位得到的图象，则|ω|的最小值为__________．6．若直线y=kx是曲线y=x3﹣x2+x的切线，则k的值为__________．7．在△ABC中，，B=60°，BC边上的高，则BC=__________．8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且与直线x﹣y+1=0相切，则圆C的半径为__________．9．在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线y2=2x上的点P到坐标原点O的距离为，则线段PF的长为__________．10．在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D为斜边AB的中点，则=__________．11．已知直线x=a（0＜a＜）与函数f（x）=sinx和函数g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，若MN=，则线段MN的中点纵坐标为__________．12．已知函数f（x）=2x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围为__________．13．如图，椭圆C：+=1（a＞2），圆O：x2+y2=a2+4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF1|•|PF2|=6，则|PM|•|PN|的值为__________．14．若不等式|ax3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a取值范围是__________．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（16分）已知m∈R，对p：x1和x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个根，不等式|m﹣5|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈恒成立；q：函数f（x）=3x2+2mx+m+有两个不同的零点．求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．16．（14分）已知△ABC的面积为S，且．（1）求tan2A的值；（2）若，，求△ABC的面积S．17．（14分）已知a＞0，函数f（x）=ax3﹣bx（x∈R）图象上相异两点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1∥l2．（1）判断函数f（x）的奇偶性；并判断A，B是否关于原点对称；（2）若直线l1，l2都与AB垂直，求实数b的取值范围．18．（14分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC=2，OA=3，单位：百米．已知 O EF 是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边 EF相切于点 M的直路l（宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点 N．现以点 O为坐标原点，以线段 OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边 EF满足函数y=﹣x2+2（）的图象．若点 M到y轴距离记为t．（1）当时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？19．（16分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M．（1）求椭圆C的方程；（2）若|PM|×|PF|=，求点P的横坐标的值；（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．20．（16分）已知函数，其中a为参数，，（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈时，求函数f（x）的最小值；（3）函数g（x）是否存在垂直于y轴的切线？请证明你的结论论．2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高三（上）期中数学模拟试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合A={x|x2＜3x+4，x∈R}，则A∩Z中元素的个数为4．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】解一元二次不等式求出A，再根据交集的定义求出A∩Z，从而得出结论．【解答】解：集合A={x|x2＜3x+4，x∈R}={x|﹣1＜x＜4}，∴A∩Z={0，1，2，3}，故A∩Z中元素的个数为4，故答案为 4．【点评】本题主要考查集合的表示方法，一元二次不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为4．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】化简复数为a+bi（a，b∈R），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a 的值．【解答】解：=．∵复数是纯虚数∴，解得：a=4．故答案为：4．【点评】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则是z2=﹣1的充分不必要条件．【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】当时，可得z2=﹣1，反之不成立．即可判断出．【解答】解：当时，z=cosθ+isinθ=i，则z2=﹣1，反之不成立．例如θ=（k∈Z）时，z2=﹣1．∴是z2=﹣1的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了三角函数求值、复数的运算法则、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．在约束条件下，则的最小值是．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】根据题意先做出可行域，要求的最小值，也就是（1，0）这个点到可行域的最小距离，过这个点向可行域做垂线，垂线的长度就是距离．【解答】解：由题意知，需要先画出可行域，要求的最小值，也就是（1，0）这个点到可行域的最小距离，过这个点向可行域做垂线，垂线的长度就是距离∴d=故答案为：．【点评】本题考查线性规划的问题，是一个线性规划的基础题，在解题时注意要求的距离在哪里，这是解题的关键，注意选择出来，有时不是这种特殊的位置．5．若将函数f（x）=sinωx的图象向右平移个单位得到的图象，则|ω|的最小值为4．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】根据：“左加右减”法则和条件，列出方程，进而由k的取值范围求出|ω|的最小值．【解答】解：由题意得到，，（k∈Z）所以ω=8﹣12k，k∈Z，则k=1时，|ω|min=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换法原则：“左加右减，上加下减”，注意左右平移时必须在x的基础进行加减，这是易错的地方．6．若直线y=kx是曲线y=x3﹣x2+x的切线，则k的值为1或．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用；直线与圆．【分析】设切点为（m，n），求出函数的导数，求得切线的斜率，由已知切线方程可得k，再由切点在曲线上和切线上，满足方程，可得m和k．【解答】解：设切点为（m，n），y=x3﹣x2+x的导数为y′=3x2﹣2x+1，即有切线的斜率为k=3m2﹣2m+1，又n=km，n=m3﹣m2+m，解得m=0，k=1或m=，k=．故答案为：1或．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，主要考查导数的几何意义，设出切点和正确求导是解题的关键．7．在△ABC中，，B=60°，BC边上的高，则BC=1或2．【考点】相似三角形的性质．【专题】选作题；综合法；推理和证明．【分析】先求出AB，再在△ABC中，由余弦定理可得BC2﹣3BC+2=0，即可得出结论．【解答】解：∵B=60°，BC边上的高，∴AB=3在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，把已知AC=，AB=3，B=60°代入可得，7=32+BC2﹣2×3×BC×，整理可得，BC2﹣3BC+2=0，∴BC=1或2．故答案为1或2．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，解答本题的关键是求出AB，属于基础试题．8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且与直线x﹣y+1=0相切，则圆C的半径为．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】设出圆心坐标，利用圆C与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且与直线x﹣y+1=0相切，建立方程，即可求得圆C的半径．【解答】解：由题意，设圆心坐标为（2，b）（b＞0），则=，∴b2+6b ﹣7=0∵b＞0，∴b=1∴圆C的半径为故答案为：【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．9．在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线y2=2x上的点P到坐标原点O的距离为，则线段PF的长为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（m2，m），由P到坐标原点O的距离为，列式并解之得m=，得P的坐标为（3，±），再根据抛物线方程得它的焦点F坐标为（，0），利用两点的距离公式可以算出线段PF的长．【解答】解：∵抛物线方程为y2=2x，∴抛物线的焦点为F（，0）设P（m2，m），得P到坐标原点O的距离为|PO|==，解之得m=∴P的坐标为（3，±），得线段PF的长为|PF|==故答案为：【点评】本题给出抛物线上一点到原点的距离，求该点到抛物线焦点的距离，着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．10．在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D为斜边AB的中点，则=﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】根据含有30°角的直角三角形的性质，得到AB与CD的长度，求出两个向量的夹角是120°，利用向量的数量积公式写出表示式，得到结果．【解答】解：：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2．∵D为斜边AB的中点，∴CD=AB=1，∠CDA=180°﹣30°﹣30°=120°．∴=2×1×cos120°=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，考查含有30°角的直角三角形的性质，是一个基础题．11．已知直线x=a（0＜a＜）与函数f（x）=sinx和函数g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，若MN=，则线段MN的中点纵坐标为．【考点】中点坐标公式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先画出图象，由题意可得|sina﹣cosa|=，于是sin2a=．要求的中点是，将其平方即可得出．【解答】解：先画出图象，由题意可得|sina﹣cosa|=，两边平方得1﹣sin2a=，∴sin2a=．设线段MN的中点纵坐标为b＞0，则b=，∴=，∴b=．故答案为．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，数形结合思想是解决问题的关键．12．已知函数f（x）=2x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围为．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用导数求出求出这两个函数的图象在（0，+∞）上相切时切点的横坐标为x=，再由题意可得f（）＜g（），由此求得实数m的取值范围．【解答】解：由于函数f（x）和函数g（x）都是偶函数，图象关于y轴对称，故这两个函数在（0，+∞）上有2个交点．当x＞0时，令 h（x）=f（x）﹣g（x）=2x2+m﹣lnx，则h′（x）=4x﹣．令h′（x）=0可得x=，故这两个函数的图象在（0，+∞）上相切时切点的横坐标为x=．当x=时，f（x）=+m，g（x）=ln=﹣ln2，函数f（x）=2x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，应有+m＜﹣ln2，由此可得 m＜﹣﹣ln2，故实数m的取值范围为，故答案为．【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，求出这两个函数的图象在（0，+∞）上相切时切点的横坐标为x=，是解题的关键，属于中档题．13．如图，椭圆C：+=1（a＞2），圆O：x2+y2=a2+4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF1|•|PF2|=6，则|PM|•|PN|的值为6．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；转化思想；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出P的坐标，把P的纵坐标用横坐标表示，然后由焦半径公式及|PF1|•|PF2|=6，求得P的横纵坐标的平方和，由对称性得到|PM|•|PN|=a2+4﹣|OM|2=a2+4﹣x02﹣y02，代入横纵坐标的平方和后整理得答案．【解答】解：设P（x0，y0），∵P在椭圆上，∴+=1，则y02=4（1﹣），∵|PF1|•|PF2|=6，∴（a+ex0）（a﹣ex0）=6，e2=，即x02=，由对称性得|PM|•|PN|=a2+4﹣|OP|2=a2+4﹣x02﹣y02=a2+4﹣﹣4+=6．故答案为：6．【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了焦半径公式的应用，考查了计算能力，是中档题．14．若不等式|ax3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a取值范围是．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】令g（x）=ax3﹣lnx，求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值，利用最小值大于等于1，即可确定实数a取值范围．【解答】解：显然x=1时，有|a|≥1，a≤﹣1或a≥1．令g（x）=ax3﹣lnx，①当a≤﹣1时，对任意x∈（0，1]，，g（x）在（0，1]上递减，g（x）min=g（1）=a≤﹣1，此时g（x）∈，，∴函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增∴|g（x）|的最小值为≥1，解得：．∴实数a取值范围是【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（16分）已知m∈R，对p：x1和x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个根，不等式|m﹣5|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈恒成立；q：函数f（x）=3x2+2mx+m+有两个不同的零点．求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用二次方程的韦达定理求出|x1﹣x2|，将不等式恒成立转化为求函数的最值，求出命题p为真命题时m的范围；利用二次方程有两个不等根判别式大于0，求出命题Q为真命题时m的范围；p且q为真转化为两个命题全真，求出m的范围．【解答】解：由题设x1+x2=a，x1x2=﹣2，∴|x1﹣x2|==．当a∈时，的最小值为3．要使|m﹣5|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈恒成立，只须|m﹣5|≤3，即2≤m≤8．由已知，得f（x）=3x2+2mx+m+=0的判别式△=4m2﹣12（m+）=4m2﹣12m﹣16＞0，得m＜﹣1或m＞4．综上，要使“p且q”为真命题，只需P真Q真，即，解得实数m的取值范围是（4，8]．【点评】本题考查二次方程的韦达定理、二次方程有根的判断、复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系能及恒成立问题，属于中档题．16．（14分）已知△ABC的面积为S，且．（1）求tan2A的值；（2）若，，求△ABC的面积S．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正切函数．【专题】解三角形．【分析】（1）由已知和三角形的面积公式可得，进而可得tanA=2，由二倍角的正切公式可得答案；（2）由（1）中的tanA=2，可得sinA，cosA，由两角和的正弦公式可得sinC，结合正弦定理可得边b，代入面积公式可得答案．【解答】解：（1）设△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．∵，∴，…∴，∴tanA=2．…∴．…（2），即，…∵tanA=2，∴…，∴，解得．…∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…由正弦定理知：，可推得…（13分）∴．…（14分）【点评】本题考查和差三角函数、倍角公式、正弦定理的应用、平面向量的运算；考查运算变形和求解能力．17．（14分）已知a＞0，函数f（x）=ax3﹣bx（x∈R）图象上相异两点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1∥l2．（1）判断函数f（x）的奇偶性；并判断A，B是否关于原点对称；（2）若直线l1，l2都与AB垂直，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）先由函数的解析式求出函数的定义域，要判断出其定义关于原点对称，进而由函数的解析式，判断出f（﹣x）=﹣f（x），最后由函数奇偶性的定义，得到结论；再设A（x1，y1），B（x2，y2）且x1≠x2，利用导数的几何意义得出x1=﹣x2从而得到A，B关于原点对称．（2）由（1）知A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），利用斜率公式及导数的几何意义结合直线l1，l2都与AB垂直，得到方程3t2﹣4bt+b2+1=0有非负实根，利用根的判别式即可求出实数b的取值范围．【解答】解：（1）∵f（﹣x）=a（﹣x）3﹣b（﹣x）=﹣（ax3﹣bx）=﹣f（x），…∴f（x）为奇函数．…设A（x1，y1），B（x2，y2）且x1≠x2，又f'（x）=3ax2﹣b，…∵f（x）在两个相异点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1∥l2，∴，∴，又x1≠x2，∴x1=﹣x2，…又∵f（x）为奇函数，∴点A，B关于原点对称．…（2）由（1）知A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），∴，…又f（x）在A处的切线的斜率，∵直线l1，l2都与AB垂直，∴，…令，即方程3t2﹣4bt+b2+1=0有非负实根，…∴△≥0⇒b2≥3，又，∴．综上．…（14分）【点评】本题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布；考查换元法考查推理论证能力．18．（14分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC=2，OA=3，单位：百米．已知 O EF 是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边 EF相切于点 M的直路l（宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点 N．现以点 O为坐标原点，以线段 OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边 EF满足函数y=﹣x2+2（）的图象．若点 M到y轴距离记为t．（1）当时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【专题】数学模型法；导数的综合应用．【分析】（1）求当时，代入函数y=﹣x2+2，得M（，），利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t ＜2）上的极值，进而得出地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大值．【解答】解：（1）把代入函数y=﹣x2+2，得M（，），∵y'=﹣2x，∴k=﹣，∴直线方程为y=﹣x+；（2）由（1）知，直线的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=0，x=（t+），令x=0，y=t2+2，∴（t+）≤2，t2+2≤3，∴2﹣≤t≤1，∴s△OND=（t+）（t2+2）=（t3+4t+），令g（t）=（t3+4t+），∴g'（t）=，当t=时，g'（t）=0，当t∈（2﹣，）时，g'（t）＜0，当t∈（，1）时，g'（t）＞0，g（t）≥g（）=，所以所求面积的最大值为6﹣．【点评】利用导数研究函数的单调性；函数模型的选择与应用．19．（16分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M．（1）求椭圆C的方程；（2）若|PM|×|PF|=，求点P的横坐标的值；（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；分类法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意的离心率公式和a，b，c的关系，可得a=2，b=，进而得到椭圆方程；（2）设P（x0，y0），代入椭圆方程，由勾股定理可得|PM|，由焦半径公式可得|PF|，再由已知条件，计算即可得到所求值；（3）讨论当PM⊥x轴或y轴时，求得P的坐标，设Q（，t）或（﹣，t），由向量垂直的条件，计算可得t；当直线PM的斜率存在且不为0，设直线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），由直线和圆相切的条件，化简整理，设出Q的坐标，由向量垂直的条件：数量积为0，化简整理计算即可所求值．【解答】解：（1）由题意可得e==，c=1，即有a=2，b==，则椭圆方程为+=1；（2）设P（x0，y0），则+=1（0＜x0＜2），|PM|====x0，|PF|=a﹣ex0=2﹣x0，由|PM|•|PF|=，可得x0•（2﹣x0）=，解得x0=1（3舍去），即点P的横坐标的值为1；（3）当PM⊥x轴或y轴时，P（，），设Q（，t）或（﹣，t），由OP⊥OQ，可得•=0，即为3+t=0或﹣3+t=0，解得t=±2；当直线PM的斜率存在且不为0，设直线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），即为kx﹣y+y0﹣kx0=0，由直线PQ与圆O相切，可得=，即为（kx0﹣y0）2=3+3k2，即2kx0y0=k2x02+y02﹣3﹣3k2，令Q（，t），由•=0，可得t=，则t2====12，解得t=±2．综上可得，点Q的纵坐标t的值为±2．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查椭圆方程的应用，向量垂直的条件：数量积为0，运算化简的能力，属于中档题．20．（16分）已知函数，其中a为参数，，（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈时，求函数f（x）的最小值；（3）函数g（x）是否存在垂直于y轴的切线？请证明你的结论论．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）将a=1代入函数f（x），求出其导数，从而求出函数的单调区间；（2）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，进而求出函数的最小值；（3）问题转化为方程有没有解，通过研究左右两个函数的值域，从而得到结论．【解答】解：（1）a=1时，，定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，得 x=1，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（2），x∈，当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间上单调递增，所以，f（x）在区间上的最小值为f（1）=a﹣1，当a＞0时，令f′（x）=0，则x=a，①若a＞e，则f′（x）＜0对x∈成立，则f（x）在区间上单调递减，所以，f（x）在区间上的最小值为，②若1≤a≤e，则有所以f（x）在区间上的最小值为f（a）=lna，③若a＜1，则f'（x）＞0对x∈成立，所以f（x）在区间上单调递增，所以，f（x）在区间上的最小值为f（1）=a﹣1，综上得：；（3）即考虑方程g′（x）=0有没有解，求导得，令g′（x）=0，则，即下面分别研究左右两个函数的值域，∵由（1）得a=1时f（x）的最小值为f（1）=0，∴，即，令，则，∴h（x）在（﹣∞，2）上递增，在（2，+∞）上递减，∴h（x）max=h（2）=1，又∵等号不能同时取到，∴方程无解，即函数g（x）不存在垂直于y轴的切线．【点评】本题考查了函数的单调性、函数的最值问题，考查转化思想，分类讨论思想，本题计算量较大，有一定的难度．。

2015-2016学年江苏省扬州市高三上学期期中调研测试试题

2015-2016学年江苏省扬州市高三上学期期中调研测试试题一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合，，则 ______ .2. 已知复数满足（为虚数单位），则 ______ .3. 命题“，”的否定是______ .4. 若，，则 ______ .5. 设，满足约束条件，则的最大值为______．6. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数 ______ .7. 在中，若，，，则的值______．8. 已知函数，则不等式的解集为______．9. 将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），然后把所得图象上的所有点沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则 ______ .10. 已知直线与圆：相交于，两点，若，则圆的半径 ______ .11. 若轴是曲线的一条切线，则 ______ .12. 已知定点，动点在单位圆上运动，以，为邻边作平行四边形，则点到直线距离的取值范围是______．13. 中，，．若椭圆以为长轴，且过点，则椭圆的离心率是______ .14. 实数，，满足，则的最大值为______ .二、解答题（共10小题；共130分）15. 设函数．（1）求的单调增区间；（2）若，求的值域．16. 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，求的值．17. 如图，已知椭圆，离心率为．过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点）．点在椭圆上，且．（1）若椭圆的右准线方程为：，求椭圆的方程；（2）设直线、的斜率分别为、，求的值．18. 有一块三角形边角地，如图中，其中百米，百米，．某市为迎接年城庆，欲利用这块地修一个三角形形状的草坪（图中）供市民休闲，其中点在边上，点在边上．规划部门要求的面积占面积的一半，记的周长为（百米）．（1）如果要对草坪进行灌溉，需沿的三边安装水管，求水管总长度的最小值；（2）如果沿的三边修建休闲长廊，求长廊总长度的最大值，并确定此时、的位置．19. 已知直线与圆：相交，截得的弦长为．（1）求圆的方程；（2）过原点作圆的两条切线，与抛物线相交于，两点（异于原点）．证明：直线与圆相切；（3）若抛物线上任意三个不同的点，，，且满足直线和都与圆相切，判断直线与圆的位置关系，并加以证明．20. 已知函数．（1）解关于字母的不等式；（2）若，求的最小值；（3）若函数有两个零点，，试判断的符号，同时比较与的大小，并说明理由．21. 已知矩阵，属于特征值的一个特征向量为，求．22. 个女生，个男生排成一排，记表示相邻女生的个数，求随机变量的概率分布及数学期望．23. 如图，已知直三棱柱中，，，，．（1）求的长.（2）在线段存在点，使得二面角大小的余弦值为，求的值．24. 已知．（1）若，求的值；（2）若，求证：．答案第一部分1.2.3. ，4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.第二部分15. （1）因为所以，所以的单调增区间为：（2）因为所以所以所以的值域为： .16. （1）因为所以所以整理得：，解得：或；因为，所以 .（2）因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以 .17. （1）因为，解得：所以所以椭圆方程为：（2）法（一）设，，则，因为，在椭圆上所以所以∴因为所以所以因为所以所以法（二）设，则则，下同法（一）18. （1）设百米因为所以因为，所以因为所以因为中，所以，，当且仅当时取（“”）所以（2）由（1）知：，令，所以列表得：极小值且时，；时，，则，在上单调增所以当时，，此时，答：水管总长度的最小值为百米；当点在处，点在线段的中点时，长廊总长度的最大值为百米．19. （1）因为，所以圆心到直线的距离为，因为截得的弦长为所以所以圆的方程为：；（2）设过原点的切线方程为：，即，解得：所以过原点的切线方程为：，不妨设与抛物线的交点为，则，解得：，同理可求：，所以直线：，因为圆心到直线的距离为且所以直线与圆相切；（3）直线与圆相切．证明如下：设，，，则直线，，的方程分别为：：；：；：；因为是圆的切线，，化简得：①因为是圆的切线，同理可得：②则，为方程的两个实根，所以，，因为圆心到直线的距离为：，所以直线与圆相切．20. （1）因为所以，即，解得：．（2）因为，所以，设，则，若，则，所以当时，，当时，，所以在上单调减，在上单调增，故函数有最小值；若，则，所以当时，，当时，，当时，，又是连续函数，所以在上单调减，在上单调增，故函数有最小值；综上可得： .（3）由（2）知，当时，，函数在上单调递增，至多只有一个零点，不合题意；当时，，不可能有两个零点；若，所以，则，，，则在，分别有一个零点，不妨设，所以，，且，所以，所以，又，所以，又在上单调递减，所以，即．21. 由条件，所以，，解得因为，所以22. 的可能取值有，， .；； .随机变量的概率分布为：所以 .23. （1）以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，，则，，，所以，，因为，所以，即，解得，即的长为．（2）设，又，，，所以，，且，设为平面的法向量，所以，，所以，取，解得，，所以为平面的一个法向量．又知为平面的一个法向量，则因为二面角大小的余弦值为，，解得：，所以 .24. （1），所以 .（2）①时，左边右边，②设时，对一切实数，有，那么，当时，对一切实数，有即时，等式成立．故对一切正整数及一切实数，有 .。

扬州市2016—2017学年度高三数学第一学期期中测试参考答案 (1)

江苏省扬州市高三上学期)期中数学试卷(理科)

江苏省扬州市高三上学期）期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）若a=30.3 ，b=logπ3，c=log0.3e，则（）A . a＞b＞cB . b＞a＞cC . c＞a＞bD . b＞c＞a2. （2分） (2016高一下·平罗期末) 设x∈R，向量 =（x，1）， =（1，﹣2），且⊥ ，则| + |=（）A .B .C . 2D . 103. （2分） (2016高二上·大名期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C= ，则△ABC的面积（）A . 3B .C .D . 34. （2分） (2016高三上·天津期中) 已知函数f（x）= ，则f（0）+f（log232）=（）A . 19B . 17C . 15D . 135. （2分） (2016高三上·天津期中) 将函数f（x）=3sin（4x+ ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是（）A . x=B . x=C .D .6. （2分） (2016高三上·天津期中) 定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（）A . f（sinα）＞f（sinβ）B . f（sinα）＜f（cosβ）C . f（cosα）＜f（cosβ）D . f（sinα）＞f（cosβ）7. （2分） (2016高三上·天津期中) 已知数列{an}满足a1=1，an+1= （n∈N*），若bn+1=（n﹣2λ）•（ +1）（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{bn}是单调递增数列，則实数λ的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高三上·天津期中) 设函数f（x）= ，关于x的方程[f（x）]2+mf（x）﹣1=0有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A . （﹣∞，e﹣）B . （e﹣，+∞）C . （0，e）D . （1，e）二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分）已知函数f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上递增，在区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）上递减，则f（x）的解析式可以是________．（只需写出一个符合题意的解析式）10. （1分） (2016高三上·天津期中) 计算（2x+ ）dx=________．11. （1分） (2016高三上·天津期中) 已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）•f（x）=1对于x∈R 恒成立，且f（x）＞0，则f（2015）=________．12. （1分） (2016高三上·天津期中) 若 =3，tan（α﹣β）=2，则tan（β﹣2α）=________．13. （1分） (2016高三上·天津期中) D为△ABC的BC边上一点，，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若，其中λ＞0，μ＞0，则 + =________．14. （1分） (2016高三上·天津期中) 已知奇函数f（x）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f′（x）为其导函数，且满足以下条件①x＞0时，f′（x）＜；②f（1）= ；③f（2x）=2f（x），则不等式＜2x2的解集为________．三、解答题 (共6题；共50分)15. （5分）已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）求函数的单调区间．16. （10分）(2018·郑州模拟) 在中，角的对边分别为，且 .（1）求角；（2）若的面积为，求的最小值.17. （10分） (2017高二上·莆田期末) 在△ABC中，内角的对边成公差为2的等差数列，.（1）求；（2）求边上的高的长；18. （5分） (2017高三上·济宁期末) 已知向量 =（2 cosx，cosx）， =（sinx，2cosx）（x∈R），设函数f（x）= • ﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调减区间；（Ⅱ）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B= ，边AB=3，求边BC．19. （5分） (2017高三上·涪城开学考) 已知向量 =（sin（A﹣B），， =（1，2sinB），且• =﹣sin2C，其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，且S△ABC= ，求边c的长．20. （15分） (2016高三上·天津期中) 设函数f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx．（1）若f（x）在x= 处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0 ，证明f′（x0）＜0．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共50分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、。

【高三】江苏省扬州市届高三上学期期中考试数学试题(纯word)有附加题

【高三】江苏省扬州市届高三上学期期中考试数学试题（纯word）有附加题试卷说明：―学年度第一学期检测试题高三数学．11全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟（满分40分，考试时间30分钟的实部为▲ ．命题“”的否定是▲ ．，且，则实数▲ . 4．已知直线和，，则▲ ．已知，，则▲ ．已知实数满足则目标函数的最小值为▲ ．已知函数函数零点所在的区间，则▲ .8．若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，则▲ ．若函数是偶函数，且它的值域为，则▲ ．的图象与直线相切，相邻切点之间的距离为若点是图象的对称中心，且，▲ ．的一条准线与轴的交点为，点为其短轴的一个端点，若的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为▲ ．，若，且，则的最小值为▲ ．，满足，，，，若，则所有可能的值为▲ ．4．的切线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，当取最小值时，切线在轴上的截距为▲ ．，.（1）若，求集合；（2）若，求实数的取值范围.16．（本题满分14分）在中，分别为角所对的边，已知向量，，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的值.17．（本小题满分1分）在平面直角坐标系已知圆，过点斜率为的直线与圆相交于不同的两点的中点为。

(1)求的取值范围(2)若，求值18．某小区有一块三角形空地，如图△ABC，其中AC=180米，BC=90米，∠C=，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所，△ABC内开发商打算在选一点，然后过点P画一分界线与边AB相交于点E，在△ADE区域内绿化，在四边形BCDE区域内修建运动场所．现已知点P与AC距离为10米，与BC距离为100米米，试问，运动场所面积最大？19．如图，椭圆：（）和圆：，已知圆将椭圆的长轴三等分椭圆，椭圆的下顶点为，过坐标原点直线与圆相交于点、．（1）求椭圆的；（2）直线、分别与椭圆相交另一个交点为点、求证：直线经过一定点②试问：是否存在以为圆心，为半径的圆，使得直线和直线都与圆相交？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由。

江苏省扬州市高三上学期期中数学试卷(理科)

江苏省扬州市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·江北期中) 设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，4，5}，则（∁UA）∩（∁UB）=（）A . ∅B . {4}C . {1，5}D . {2，5}2. （2分） (2019高二下·江门月考) （）A .B .C . 2D . 13. （2分） (2019高一上·龙江期中) 已知函数，则的值为（）A .B .C .D .4. （2分）已知向量则以为邻边的平行四边形的面积为（）A .B .C . 4D . 25. （2分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20，则r=（）A . 1B . 2C . 4D . 86. （2分）设数列{an}是公差不为零的等差数列，它的前n项和为Sn ，且S1 S2、S4成等比数列，则等于（）A . 3B . 4C . 6D . 77. （2分） (2015高三上·来宾期末) 函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为（）A . y=3sin（ x+ ）B . y=3sin（ x+ ）C . y=3sin（ x+ ）D . y=3sin（ x+ ）8. （2分） (2017高三下·武邑期中) 按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M处的条件可为（）A . k≥8B . k＜8C . k＜16D . k≥169. （2分）(2017·新乡模拟) 若实数x，y满足，且z=mx﹣y（m＜2）的最小值为﹣，则m等于（）A .B . ﹣C . 1D .10. （2分）已知倾斜角为的直线l过椭圆的右焦点，则l被椭圆所截的弦长是（）A .B .C .D .11. （2分）七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（）A . 240种B . 192种C . 120种D . 96种12. （2分） (2017高二下·陕西期中) 若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程是（）A . 4x﹣y﹣3=0B . x+4y﹣5=0C . 4x﹣y+3=0D . x+4y+3=0二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高一下·南京期末) 2sin15°cos15°=________．14. （2分） (2018高二上·浙江月考) 定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，则的中点到轴的距离的最小值为________，此时中点的坐标为________.15. （1分） (2017高一下·徐州期末) 已知数列{an}中，a1=3，n（an+1﹣an）=an+1，n∈N*若对于任意的a∈[﹣1，1]，n∈N* ，不等式﹣2at+1恒成立，则实数t的取值范围是________．16. （1分）(2018·杨浦模拟) 函数的零点是________三、解答题 (共8题；共70分)17. （10分）设数列{an}满足an+1=an2﹣nan+1（n∈N*）（1）当a1=2时，求a2、a3、a4，并由此猜想出an的一个通项公式；（2）当a1≥2时，证明：对∀n∈N*，有an≥n+1．18. （10分）(2017·江西模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，△PAB为正三角形．AB⊥AD，CD⊥AD，点E、M为线段BC、AD的中点，F，G分别为线段PA，AE上一点，且AB=AD=2，PF=2FA．（1）确定点G的位置，使得FG∥平面PCD；（2）试问：直线CD上是否存在一点Q，使得平面PAB与平面PMQ所成锐二面角的大小为30°，若存在，求DQ的长；若不存在，请说明理由．19. （15分）(2017·常宁模拟) 某经销商从外地水产养殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如图：（1）记事件A为：“从这批小龙虾中任取一只，重量不超过35g的小龙虾”，求P（A）的估计值；（2）若购进这批小龙虾100千克，试估计这批小龙虾的数量；（3）为适应市场需求，了解这批小龙虾的口感，该经销商将这40只小龙虾分成三个等级，如下表：等级一等品二等品三等品重量（g）[5，25）[25，45）[45，55]按分层抽样抽取10只，再随机抽取3只品尝，记X为抽到二等品的数量，求抽到二级品的期望．20. （5分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离为．点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．求p，t的值．21. （10分） (2016高三上·西安期中) 已知函数f（x）= ．（1）若函数f（x）在区间（a，a+ ）（a＞0）上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）当x≥1时，不等式f（x）≥ 恒成立，求实数k的取值范围．22. （5分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC 的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2 ．23. （5分） (2016高二下·广东期中) 已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2 sin（θ+ ）．（Ⅰ）求曲线C1与曲线C2的普通方程；（Ⅱ）若点P的坐标为（﹣1，3），且曲线C1与曲线C2交于B，D两点，求|PB|•|PD|．24. （10分）已知函数f（x）=|x|+|2x﹣3|，g（x）=3x2﹣2（m+1）x+ ；（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，g（x）≥f（x），求m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、24-1、24-2、。

江苏省扬州市高三上学期期中数学试卷(理科)

江苏省扬州市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016高一上·黑龙江期中) 设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是（）A . 16B . 8C . 7D . 42. （2分） (2017高一上·唐山期末) 已知角θ的终边过点P（﹣12，5），则cosθ=（）A .B .C .D .3. （2分）已知f（x）为sinx与cosx中较小者，其中x∈R，若f（x）的值域为[a，b]，则a+b的值（）A . 0B . 1+C . -1D . 1-4. （2分）已知是三个不同的平面，命题“”是真命题，如果把中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个5. （2分）设数列的前n项和，则的值为（）A . 15B . 16C . 49D . 646. （2分） (2017高一下·上饶期中) 若，是夹角为60o的两个单位向量，则 =2 + ， =﹣3 +2 夹角为（）A . 30oB . 60oC . 120oD . 150o7. （2分） (2017高三上·四川月考) 已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）函数零点的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 39. （2分）函数f（x）=2sin（2x+）的图象（）A . 关于直线x=对称B . 关于直线x=﹣对称C . 关于点（， 0）对称D . 关于点（π，0）对称10. （2分）下列函数中，值域为（0，）的函数是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2016高二下·连云港期中) 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则• 的值为________．12. （1分） (2017高二上·长沙月考) 已知，则 ________．13. （1分） (2016高二下·黔南期末) 设定义在R上的偶函数f（x），满足对任意x∈R都有f（t）=f（2﹣t）且x∈（0，1]时，f（x）= ，a=f（），b=f（），c=f（），用“＜“表示a，b，c的大小关系是________．14. （1分） (2018高二上·兰州月考) 数列 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，…的前n项和等于________ ．15. （1分）(2018·山东模拟) 若关于的方程在上有两个不同的解，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共65分)16. （10分） (2016高一下·武城期中) 设平面向量 =（cosx，sinx）， =（cosx+2 ，sinx）， =（sinα，cosα），x∈R．（1）若，求cos（2x+2α）的值；（2）若α=0，求函数f（x）= 的最大值，并求出相应的x值．17. （10分） (2017高一上·奉新期末) 已知函数f（x）= ，（ω＞0），其最小正周期为．（1）求f（x）的表达式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+m=0在区间上有且只有一个实数解，求实数m的取值范围．18. （10分） (2017高三上·常州开学考) 已知数列{an}满足2an+1=an+an+2+k（n∈N* ，k∈R），且a1=2，a3+a5=﹣4．（1）若k=0，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a4=﹣1，求数列{an}的通项公式an．19. （10分） (2017高二下·长春期中) 已知函数，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线（1）求实数a的值（2）求函数f（x）的单调区间．20. （10分）(2016·运城模拟) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acosB=2c﹣b．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为，且a= ，请判断△ABC的形状，并说明理由．21. （15分） (2016高一下·揭阳开学考) 已知函数f（x）=x2﹣2ax+a．（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数a的值；（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最大值．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共65分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、第11 页共11 页。

江苏省扬州市高三上学期期中数学试卷

江苏省扬州市高三上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2016高一上·上海期中) 已知集合A={x|﹣6≤x≤8}，B={x|x≤m}，若A∪B≠B且A∩B≠∅，则m的取值范围是________．2. （1分） (2017高一上·正定期末) 化简 =________．3. （1分）函数f（x）=loga（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）上存在反函数，则m的取值范围是________．4. （1分） (2019高一上·成都期中) 已知函数若存在实数且使得函数成立，则实数的取值范围为________.5. （1分） (2016高一下·南京期末) 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数f（x）=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，则关于x的不等式x2+bx+c＜4的解集是________．6. （1分） (2019高一上·兰州期中) 函数的单调递减区间为________．7. （1分）(2017·金山模拟) 函数的最小正周期T=________．8. （1分） (2015高一上·福建期末) 若直线x+y=k与曲线y= 恰有一个公共点，则k的取值范围是________．9. （1分） (2019高一上·顺德月考) 已知函数当时,则 ________.10. （1分）(2017·上海模拟) 已知f（x）= 的最大值和最小值分别是M和m，则M+m=________．11. （1分）已知f（n）=sin（ + ）（n∈N+），则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=________．12. （1分） (2015高一上·福建期末) 函数f（x）= 的最小值为________．13. （1分）(2018·北京) 在极坐标系中，直线 =a 与圆 =2 相切，则a=________14. （1分） (2016高二上·嘉兴期中) 若正数a，b满足 =1，则 + 的最小值为________．二、选择题 (共4题；共8分)15. （2分）以下函数中，周期为2π的是（）A . y=sinB . y=sin2xC . y=|sin |D . y=|sin2x|16. （2分）对于函数，给出下列四个结论：①函数的最小正周期为；②若则③的图象关于直线对称；④在上是减函数，其中正确结论的个数为（）A . 2B . 4C . 1D . 317. （2分）(2017·和平模拟) “|x+1|+|x﹣2|≤5”是“﹣2≤x≤3”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件18. （2分）若0<x<1，则的大小关系是（）A .B .C .D .三、解答题 (共5题；共50分)19. （5分）(2014·大纲卷理) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．20. （15分） (2017高一上·无锡期末) 对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（1）给出函数，h（x）是否为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；（2）设，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＞0在x∈[2，4]上恒成立，求实数t的取值范围；（3）设，取a＞0，b＞0，生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x1，x2且x1+x2=1．试问是否存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．21. （10分） (2015高一下·南阳开学考) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两对称轴之间的距离是，若将f（x）的图象先向由平移个单位，再向上平移个单位，所得函数g（x）为奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调递减区间和对称中心．22. （10分） (2018高二上·湖南月考) 数列满足， .（1）求证：数列是等差数列；（2）若，求的取值范围.23. （10分） (2019高二下·郏县月考) 已知是的极值点.（1）求；（2）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、选择题 (共4题；共8分)15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题；共50分) 19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。