函数的概念和图像第1课时

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函数的概念(第1课时) 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

问题3 图1是北京市2016年11月23日的空气质量指数(简称AQI)变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻h的空气质量指数(AQI)的I值？你认为这里的I是t的函数吗？
A3 t 0 t 24

B3 I 0 I 150
概念形成
设在一个变化过程中，有两个变量x与y，对于x的每一个值，都有唯一确定的y与它对应，那么就说y是x的函数．
概念形成
设在一个变化过程中，有两个变量x与y，对于x的每一个值，都有唯一确定的y与它对应，那么就说y是x的函数．
对于数集A4中的任意一个数y ，
按照表格，
在数集B4中，都有唯一确定的r与它对应，
那么就说r是y的函数．
概念形成
1．函数的概念一般地，设 A, B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中
天，至多不超过6天.如果工资确定的工资标准是
每人每天350元，而且每周付一次工资，那么一
个工人每周的工资W和他每周工作的天数d就是
函数关系：
W=350d
d的变化范围是什么？ A2={1,2,3,4,5,6}
W的变化范围是什么？ B2={350,700,1050,1400,1750,2100}
A2中的任意一个d和B2的工资W之间有什么关系？
这个关系是怎样建立起来的？
解析式：W=350d
概念形成
设在一个变化过程中，有两个变量x与y，对于x的每一个值，都有唯一确定的y与它对应，那么就说y是x的函数．
对于数集A2中的任意一个数d ，
按照 W=350d ，在数集B2中，都有唯一确定的W与它对应，
那么就说W是d的函数．
概念形成
思考： 1、问题1与问题2中的函数有相同的对应关系，它们是同一个函数吗?

正弦函数的图像(第1课时)(课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)

课本练习
练习７．１（１）１．作出函数y＝ｓｉｎx，x∈［－π，π］的大致图像．２．作出函数y＝－ｓｉｎx，x∈［０，２π］的大致图像，并分别写出使得y＞０和y＜０的 x的取值范围．３．在同一平面直角坐标系中作出y＝ｓｉｎx和y＝ｓｉｎx＋２的大致图像，并说明它们之间的关系．
随堂检测
从图７-１-２可知，（０，０）、（π２，１）、（π，０）、（３π２，－１）和（２π，０）是函数y＝ｓｉｎx，x∈［０，２π］图像的五个关键点．我们描出这五个点，并用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数y＝ｓｉｎx，x∈［０，２π］的大致图像（图７-１-４）．
这种通过五个关键点作出正弦函数大致图像的方法，通常称为 “五点（作图）法”．
例１用“五点法”作出函数y＝１－ｓｉｎx，x∈［０，２π］的大致图像，并写出使得y＜１的x的取值范围．解将五个关键点列表（表７１）如下：
描点并用光滑曲线把它们连接起来，就得到y＝１－ｓｉｎx， x∈［０，２π］的大致图像（图７-１-５）．
作出函数y＝１的图像，如图７-１-５所示．由图可知，使得y＜１的x的取值范围是（０，π）．
随着α的变化，可以得到函数y＝ｓｉｎx图像上的其他
点．方便起见，我们先将单位圆O１分为１２等份（等
份数越多，作出的图像越精确），使得角α的弧度数依
次取０、
…、２π，再借助圆 O１得到对应
的纵坐标，依次作出函数y＝ｓｉｎx图像上的点（０，
ｓｉｎ０）、
…、
（２π，ｓｉｎ２π），用光滑的曲线将这些点连接起
我们已经知道，任意一个给定的实数狓都对应着唯一确定的角（其弧度数等于实数x），而这个角又对应着唯一确定的正弦值ｓｉｎx．这样，对于任意一个给定的实数 x，都有唯一确定的正弦值ｓｉｎx与之对应．按照这个对应关系所建立的函数叫做正弦函数，记作y＝ｓｉｎ x．正弦函数的定义域是实数集R．

一次函数的图像(第1课时)同步课件

列表法：把自变量的值和对应的函数值列成表格来表示函数关系的方法叫做列表法.
函数表达式法: 表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式.
图像法: 在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标、对应的函数值为纵
坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像.
2.什么是一次函数？
一般地，形如y=kx+b(k、b 是常数，且k≠0)的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，
y
y＝－2x+3 5
解：
＝＋，
(2)
＝－＋，
∴

=

=
，

.
∴交点

坐标为( ， )

y＝x＋2
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
x
新知巩固
2.已知一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋3 ，
(3)求这两条直线与坐标轴所围成的图形面积．
在平面直角坐标系中描出相应的点；
③连线：顺次连接描出的各点.
5
4
3
2
1
-2 -1 O 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
x
尝试与交流
仿照上述方法，在下图中画出y＝－x＋2的图像.
判断点(0，2)、(2，0)、(3，1)、(－1，3)是否在此函数图像上.
y
①列表：
x
··· -2
-1
0
1
2
···
y
···
3
3
3
平行
6. 直线y＝2x＋3与直线y＝2x－1的位置关系是________．

华师大版八年级数学下册第17章函数及其图象第1课时一次函数的图像及平移规律(课件)

两点确定一条直线，画一次函数时，只需要取两个点.
讨论观察“做一做”中画出的四个一次函数
的图象，比较下列各对一次函数的图象有什么共同点，有什么不同点:
（1）y = 3x 与 y = 3
与
y
1 =
x + 2；
2
2
（3）y
=
3x
+
2
与
y
1 =
x + 2；
2
y
y = 3x + 2
–6 –4 –2 0 2 4 6 x
–2
–4
–6
y
y = 3x + 2
6
y
=
3x
y
1
x
2
4
2
2
y 1x 2
–6 –4 –2 0 2 4 6 x
–2
–4
观察所画出的这些一次函数的图象，你能发现什么？
–6
一次函数 y = kx + b （k ≠ 0）的图象是一条直线. 通常也称为直线 y = kx + b. 特别地，正比例函数 y = kx（k ≠ 0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线.
x
y = – 2x y = – 2x – 4
课堂小结
一次函数 y = kx + b （k ≠ 0）的图象是一条直线.
随堂演练
1. 一次函数 y = x + 2 的图象大致是( A )
A
B
C
D
2. 填空：（1）将直线 y = 3x 向下平移 2 个单位，得到直线__y__=_3_x__–_2____. （2）将直线 y = – x – 5 向上平移 5 个单位，得到直线_y_=__–__x_________.

青岛版八年级下册数学《一次函数和它的图像》PPT教学课件(第1课时)

例1.铜的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：cm3）是成正比例的量。当铜块的体积V=3cm3时，测得它的质量是 m= 26.7g。（1）求铜的质量m与体积V之间的的函数关系式。（解2）：当（铜1）块因的为体m积与为V是2.成5c正m3比时例，的求量它，的所质以量设。m=kV，其中
k为比例系数。把V=3，m=26.7代入，得26.7=3k，解得
解：当月收入大于1600元而小于2100时，
y=0.05×(x-1600)
月收入（元） 1600＜x ＜ 2100 700
1800
1900
超出1600元的部分（元）
100
200
300
应缴个人工资、薪金所得税
5
10 15
2000
400 20
（2）某人月收入为1760元，他应缴所得税多少元？
解：当x=1760时，y=0.05×(1760-1600)=8（元）
k=8.9所以，质量m与体积V之间的函数表达式为
m=8.9V(V>0)，m是V的正比例函数。
（2）当V=2.5时，m=8.9×2.5=22.25。所以，当铜块的
体积为2.5cm3 时，铜块的质量为22.25g。
1.下面选项中，不是正比例函数是（ C ）
A．y＝2x B.y=－x C．y＝x
D．y＝2x－1
通过先设出表达式中的未知系数，再根据所给条件，利用解方程或方程组确定这些未知系数，这种方法叫做待定系数法。
已知直线 y ax 2(a 0)与两个坐标轴围成的三角形的面积为 1，求 a的值.
解：直线y ax 2(a 0) 与x轴y轴的交点坐标是－a/2，－2，因为三角形的面积是1，所以1/2×∣－a /2∣×(－2 )=1，解得a=±2。

八年级数学上册一次函数的图象(第一课时)教案北师大版【精品教案】

一次函数的图象教学设计（第一课时）一、教学设计思想本节课共两课时，第1课时本节交代了函数图象的概念和作图的一般步骤，目的是为后继学习反比例函数、二次函数的图像作必要的知识准备。

根据教学目标，结合学生心理特点，这节课采用在教师引导下，学生主动探索发现的教学方法.即教师创设问题情景，引导学生观察、比较、自学、思考并展开讨论，使学生作为学习主体参与知识发生、发展的全过程，体验揭示规律，发现真理的乐趣，从而产生巨大的内驱力，提高课堂教学效率，充分发挥教师主导作用和学生的主体作用.二、教学目标知识与技能1．总结作一次函数图像的一般步骤，能熟练作出一次函数图像．2．总结归纳出一次函数的性质———k>0或k<0时图像变化的情况．过程与方法经历作图过程，归纳总结作作函数图像的一般步骤，发展总结概括能力，培养数形结合的意识．情感态度与价值观加强新旧知识的联系，促进新的认知结构的建构．三、教学重点1．能熟练地作出一次函数的图象．2．归纳作函数图象的一般步骤．3．理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系．四、教学难点理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系．五、教学方法讲、议结合法．六、教具准备投影片两张：第一张：补充练习（§6．3．1 A ）；第二张：补充练习（§6．3．1 B）．七、教学过程Ⅰ．导入新课［师］上节课我们学习了一次函数及正比例函数的概念，正比例函数与一次函数的关系，并能根据已知信息列出x 与y 的函数关系式，本节课我们来研究一下一次函数的图象及性质．Ⅱ．讲授新课一、函数图象的概念［师］要研究一次函数的图象，首先应知道什么叫图象？把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象（graph ）．假设在代数表达式y =2x 中，自变量x 取1时，对应的因变量y =2，则我们可在直角坐标系内或描出表示（1，2）的点，再给x 的另一个值，对应又一个y ，又可知直角坐标系内描出一个点，所有这些点组成的图形叫该函数y =2x 的图象．由此看来，函数图象是满足函数表达式的所有点的集合．那么应如何作函数的图象呢？二、作一次函数的图象［例1］作出一次函数y =21x +1的图象．［师］根据图象的定义，需要先找点．所以要先列表，找满足条件的点，再描点，连线．解：列表描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．连线：把这些点依次连接起来，得到y =21x +1的图象如下，它是一条直线．［师］从刚才我们作图的情况来总结一下，作一次函数的图象有哪些步骤呢？［生］①列表；②描点；③连线．三、做一做（1）作出一次函数y=－2x+5的图象．（2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式y=－2x+5．［生］列表描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．连线：把这些点依次连接起来，得到y=－2x+5的图象，它是一条直线．图象如下：在图象上找点A（3，－1），B（4，－3）当x=3时，y=－2×3+5=－1．当x=4时，y=－2×4+5=－3．∴（3，－1），（4，－3）满足关系式y=－2x+5．四、议一议（1）满足关系式y=－2x+5的x、y所对应的点（x，y）都在一次函数y=－2x+5的图象上吗？（2）一次函数y=－2x+5的图象上的点（x，y）都满足关系式y=－2x+5吗？（3）一次函数y=kx+b的图象有什么特点？［师］请大家分组讨论，然后回答．［生］满足关系式y=－2x+5的x，y所对应的点（x，y）都在一次函数y=－2x+5的图象上．（2）一次函数y =－2x +5的图象上的点（x ，y ）都满足关系式y =－2x +5．［师］由此看来，满足函数关系式y =－2x +5的x ，y 所对应的点（x ，y ）都在一次函数y = －2x +5的图象上；反过来，一次函数y =－2x +5的图象上的点（x ，y ）都满足关系式y =－2x +5．所以，一次函数的代数表达式与图象是一一对应的．即满足一次函数的代数表达式的点在图象上，图象上的每一点的横坐标x ，纵坐标y 都满足一次函数的代数表达式．（3）［生］一次函数的图象是一条直线．［师］非常正确．一次函数的图象是一条直线．由直线的公理可知：两点确定一条直线，所以作一次函数的图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了，一次函数y =kx +b 的图象也称为直线y =kx +b ．Ⅲ．课堂练习分别作出一次函数y =31x 与y =－3x +9的图象．［师］根据刚才的讨论可知，我们在画一次函数的图象时，只要确定两个点就可以了．［生］作函数y =31x 的图象时，找点（3，1），（6，2）图象如下．作函数y =－3x +9的图象时，找点（1，6），（2，3）图象如下：补充练习投影片（§6．3．1A ）［生］（1）作一次函数y =－x +21的图象时，取点（0， 21）和（1，－21），然后过这两点作直线即可．图象如下：（2）在图象上取点A （23，－1），B （－1，23）当x =23时，y =－23+ 21=－1 当x =－1时，y =1+21=23∴A 、B 两点的坐标都满足关系式y =－x +21．投影片（§6．3．1 B ）［生］解：（1）作一次函数y =4x +3的图象时，找点（0，3），（1，7），然后过这两点作直线即可．图象如下：（2）当x =0时，y =4×0+3=3; 当x =－1时，y =4×（－1）+3=－1; 当x =21时，y =4×21+3=5; 当x =1时，y =4×1+3=7; 当x =－23时，y =4×（－23）+3=－3． ∴每对数都满足关系式y =4x +3．由前面的议一议可知，以这些数对为坐标的点在所作的函数图象上． Ⅳ．课时小结本节课主要学习了以下内容： 1．函数图象的概念；2．作一次函数图象的步骤以及熟练地作出一次函数的图象，并能验证某些数对是否在函数图象上．3．明确一次函数的图象是一条直线，因此在作一次函数的图象时，不需要列表，只要确定两点就可以了．Ⅴ．课后作业习题6．3 Ⅵ．活动与探究1．已知函数y =（m －2）x 552+-m m+m －4，问当m 为何值时，它是一次函数？解：根据一次函数的定义，有⎩⎨⎧≠-=+-021552m m m解得⎩⎨⎧≠==241m m m 或∴m =1或m =42．如果y +3与x +2成正比例，且x =3时，y =7． ①写出y 与x 之间的函数关系式； ②求当x =－1时，y 的值； ③求当y =0时，x 的值．分析：①y +3与x +2成正比例，就是y +3=k ·（x +2），根据x =3时，y =7，求k 的值，从而确定y 与x 之间的函数关系式．②把x =－1代入所求函数关系式，求出y 的值． ③把y =0代入函数关系式，求出x 的值．解：①∵y +3与x +2成正比例 ∴y +3=k （x +2）把x =3，y =7代入得：7+3=k （3+2） ∴k =2，∴y =2x +1②把x =－1代入y =2x +1中，得y =－2+1=－1③把y =0代入y =2x +1中，得 0=2x +1，∴x =－21．说明：若y 与x 成一次函数关系式，那么函数关系式要写成y =kx +b （k ≠0）的形式． 3．如果y =mx 82-m是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应值（x ，y ）有xy ＜0，求m 的值．分析：按正比例函数y =kx （k ≠0）中对于k 及x 的指数的要求决定m 的值．解：根据题意得，y =mx 82-m 是正比例函数，故有：m 2－8=1且m ≠0即m =3或m =－3又∵xy ＜0，∴x ，y 是异号．∴m =xy＜0 ∴m =3不合题意，舍去． ∴m =－3．常见错误：忽略m ≠0的要求，在解题过程不写这一条件． 4．已知y +b 与x +a （a ，b 是常数）成正比例．求证：y 是x 的一次函数．分析：由y +b 与x +a 成正比例，设立解析式，分析此解析式为x 的一次函数．解：∵y +b 与x +a 成正比例 ∴可设y +b =k （x +a ）（k ≠0）整理，得y =kx +ka －b =kx +（ka －b ） ∵k ，a ，b 都是常数． ∴ka －b 也是常数．又∵k ≠0∴y 是x 的一次函数．常见错误：整理得到y =kx +ka －b 时不会把ka －b 看作一个整式．说明：在叙述函数的，一定要说清楚谁是谁的什么名称函数，否则容易发生混淆现象．如本题中，y +b 是x +a 的正比例这个说法是正确的，同时，y 是x 的一次函数的说法也是正确的．八、板书设计。

《函数的概念及其表示》教案完美版

函数的概念及其表示》教案完美版函数的概念及其表示》教案第一课时：1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：一、复习准备：1.讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2.回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时 y 是 x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。

表示方法有解析法、列表法、图象法。

二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A.一枚炮弹发射，经 26 秒后落地击中目标，射高为 845 米，且炮弹距地面高度 h（米）与时间 t（秒）的变化规律是h = 130t - 5t²。

B.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。

（见书 P16 页图）C.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。

“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。

（见书 P17 页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个 x，按照某种对应关系 f，在数集 B 中都与唯一确定的 y 和它对应，记作：f: A → B。

③定义：设 A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么称f: A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（n），记作：y = f(x)，x∈A。

北师大版数学八年级上册4.3一次函数的图像(第1课时)教学设计

3.提问引导：在学生思考的基础上，提问：“这种关系能否用数学模型来描述？”从而引出一次函数的定义。
4.导入新课：通过以上环节，自然地导入本节课的主题——一次函数的图像。
（二）讲授新知
在这一环节中，我将详细讲解一次函数的定义、图像特点及其增减性。
1.一次函数定义：讲解一次函数的一般形式y=kx+b（k≠0，k、b是常数），并解释k、b的含义。
4.培养学生运用描点法绘制一次函数图像的方法，培养学生数形结合的数学思想。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和爱好，激发学生的学习积极性，使学生树立学习数学的信心高学生对数学价值的认识。
3.通过一次函数图像的学习，培养学生勇于探索、善于发现的精神，增强学生的创新意识。
1.分组：将学生分成若干小组，确保每个小组成员在数学水平上具有一定的互补性。
2.讨论任务：让各小组讨论一次函数图像的绘制方法、增减性及其在实际问题中的应用。
3.交流分享：在各小组讨论的基础上，组织学生进行班级分享，互相学习、取长补短。
4.教师点评：对各小组的讨论成果进行点评，强调重点、难点，并解答学生在讨论过程中遇到的问题。
北师大版数学八年级上册4.3一次函数的图像（第1课时）教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一次函数的定义，掌握一次函数的一般形式：y=kx+b（k≠0，k、b是常数），并能够识别实际问题中的一次函数关系。
2.能够通过描点法绘制一次函数的图像，了解一次函数图像的特点，即直线图形。
3.能够根据一次函数的图像，判断函数的增减性，理解当k＞0时，函数图像呈现上升趋势；当k＜0时，函数图像呈现下降趋势。
1.基础巩固题：
（1）请同学们回顾一次函数的定义，并用自己的话简要解释一次函数中k和b的含义。

函数的概念(第1课时)(课件)-2022-2023学年高一数学同步备课系列

总支出金额
生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 表3.1-1是我国某省城镇居民
问题4 国际上常用恩格尔系数 r (r
恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.
你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数 r 是年份 y 的函数吗？如果是，你会用怎
样的语言来刻画这个函数？
x2 1
A. f（x）＝x-1，g（x）＝
x 1
x 1, x 1,
1 x, x 1
B. f（x）＝|x+1|，g（x）＝
C. f（x）＝x+1，x∈R，g（x）＝x+1，x∈Z
D. f（x）＝x，g（x）＝（ x ）2
二、已学函数的定义域和值域：
反比例函数
k
y
确定，定义域，对应关系，值域是函数的三要素;
(4) 符号y=f(x)的理解：
① y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示,仅是一个函数符号, f(x)不是f与x相乘,例
如：y=3x+1可以写成 f(x)= 3x+1,当x=2时y=7可以写成f(2)=7；
② f是对应关系, 它可以是一个或几个解析式,可以是图象,表格, 也可以是文字描
问题2 某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天. 如果公司确定的工资标
准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一
个工人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗？
显然，工资w是一周工作天数d的函数，其对应关系是
w=350 d.
2，
3，
4，
5，
唯一确定的数y和它对应．
事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的

高中数学函数3.1函数的概念与性质3.1.2第1课时单调性的定义与证明课件新人教B版必修第一册

1．(1)如果(a，b)，(c，d)都是函数 f(x)的单调递增区间，
且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是( )
A．f(x1)<f(x2)
B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．不能确定
(2)下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
[提示]
利用定义证明函数单调性有哪 4 个步骤？
[跟进训练] 1．证明：函数 y＝x＋x 1在(－1，＋∞)上是增函数． [证明] 设 x1>x2>－1，则 y1－y2＝x1x＋1 1－x2x＋2 1＝x1＋x11－xx22＋1. ∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，
类型 3 函数单调性的应用
1．若函数 f(x)是其定义域上的增函数，且 f(a)>f(b)，则 a，b 满足什么关系．如果函数 f(x)是减函数呢？
[提示] 若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)>f(b)时， a>b；若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)>f(b)时，a<b.
[思路点拨] (1) 分析fx的对称轴与区间的关系 ―数―形―结―合→ 建立关于a的不等式 ――→ 求a的取值范围 (2) f2x－3>f5x－6 ――f(x―)在―(－―∞―，＋―∞―)上―是―增―函数―→ 建立关于x的不等式 ――→ 求x的取值范围
(1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 的图像开口向下，要使 f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即 a≤－4.

正弦函数的性质与图像第1课时-高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册

PART 01
温故知新·师生互助
WENGUZHIXIN SHISHENGHUZHU
对于任意一个角 x，都有唯一确定的正弦 sinx 与之对应，因此 y=sinx 是一个函数，一般称为正弦函数．
利用正弦线可以直观地表示正弦函数的函数值，如图， MP 就是角 x 的正弦线．
人教B版高中数学必修三
正弦函数 y sin x 的性质 (1)定义城与值域
人教B版高中数学必修三
共同学习笔迹编号
17
第七章三角函数
7.3.1正弦函数的性质与图像第1课时
学习目标
1. 借助单位圆理解任意角的正弦函数的定义 2. 了解正弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值.
重点难点
重点：正弦函数的性质与图像难点：理解弧度值与x轴上点的对应和正弦函数
人教B版高中数学必修三
②sin74与
5 cos3.
人教B版高中数学必修三
2. 求函数 y＝－2sin x－1 的单调递增区间．
人教B版高中数学必修三
“ THANKS ”
人教B版高中数学必修三
因为任意角都有正弦，所以 y=sinx 的定义域为____. 由的正弦线可以看出， MP 的长度最大是 1，最小是 0．因此可知 y=sinx 的值域为[-1,1]，而且
当且仅当 x 2k , k Z 时，函数 y=sinx 的最大值 ymax= 1；
2
当且仅当 x 3 2k , k Z 时,函数 y=sinx 的最小值 ymin= ____.
＿＿＿＿＿． (3)周期性
由诱导公式 sin(x+k·2π) = sinx(k∈Z)可知，当自变量的值每增加或减少 2π 的整数倍时，正弦值重复出现，这种性质称为正弦函数的周期性.

《函数及其表示方法》函数的概念与性质PPT(第1课时函数的概念)

栏目导引
求函数值和值域
第三章函数
已知 f(x)＝2－1 x(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)． (1)求 f(1)，g(1)的值； (2)求 f(g(x))．【解】 (1)f(1)＝2－1 1＝1，g(1)＝1＋4＝5. (2)f(g(x))＝f(x＋4)＝2－(1x＋4)＝－21－x＝－x＋1 2(x∈R，且 x≠ －2)．
栏目导引
第三章函数
下列各组函数表示同一个函数的是( ) A．f(x)＝x－，xx，≥x0<，0 与 g(x)＝|x| B．f(x)＝1 与 g(x)＝(x＋1)0 C．f(x)＝ x2与 g(x)＝( x)2 D．f(x)＝x＋1 与 g(x)＝xx2－－11
栏目导引
第三章函数
解析：选 A.A 项中两函数的定义域和对应关系相同，为同一个函数；B 项中，f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为(－∞，－1)∪ (－1，＋∞)；C 项中 f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为[0，＋∞)；D 项中，f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．B，C，D 三项中两个函数的定义域都不相同，所以不是同一个函数．故选 A.
栏目导引
第三章函数
■名师点拨对函数概念的 5 点说明
(1)当 A，B 为非空数集时，符号“f：A→B”表示 A 到 B 的一个函数． (2)集合 A 中的数具有任意性，集合 B 中的数具有唯一性． (3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中 f 的具体含义不一样． (4)函数的定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用小写英文字母如 g，h 表示． (5)在函数的表示中，自变量与因变量与用什么字母表示无关紧要，如 f(x)＝2x＋1，x∈R 与 y＝2s＋1，s∈R 是同一个函数．

必修4-141正弦函数余弦函数的图像(第一课时)

必修4-141正弦函数余弦函数的图像（第一课时）1.4.1正弦函数、余弦函数的图像说课人：各位评委老师下午好！今天我说课的内容是正余弦函数的图像。

我将围绕本节从教材分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程设计、评价分析等六个方面来进行我的说课。

一、教材分析（一）本节在教材中的地位与作用本节课的内容是人教版高中数学教材必修四第一章第四节，三角函数是学生高中阶段学习的最后一类基本初等函数，是刻画生活中周期现象问题的典型的函数模型，在高中数学体系中占有十分重要的地位，本节课作为《正弦函数、余弦函数的图像和性质》的第一课时，是在已掌握一些基本初等函数及学习了三角函数定义之后，学习y=in某，y=co某的图像是知识的又一次延伸，又是进一步学习三角函数的性质的基础。

因此，本节课的内容是一个重点内容，同时，由于三角函数的计算复杂，所以又是教学中的一个难点。

（二）学情分析学生们对基本初等函数作图的重要性和三角函数概念已有了解，所以需要教师更形象直观的手段来解析教学内容，在每个教学环节设置有梯度的问题，让学生在引导下探索并展开思维，让每个学生都能理解并构建正确的知识体系。

二、教学目标1.知识与技能①了解如何利用正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象。

②会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图像。

③会用“五点法”画与正弦函数、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。

④熟悉正弦函数、余弦函数的图像2.方法和过程①培养学生应用分析、探索、化归、类比、数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力。

②培养学生自主探索和合作的能力。

3.情感态度与价值观①使学生进一步了解从特殊到一般，一般到特殊的辨证思想方法，对学生进行辩证唯物主义教育。

②创设和谐融洽的教学氛围和阶梯形问题，使学生在学习活动中获得成功感，从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情。

③通过作图，使学生感受波形曲线的流畅美、对称美，使学生体会事物周期变化的奥秘。

人教版数学八年级下册函数的图像(第1课时)教学课件

停留了5 min；③甲、乙两组同时到达景点；④相遇后，乙组的速度
小于甲组的速度．根据图象信息，以上说法正确的
有 ①②
．
s/km
55
乙甲
t/min O 10 20 30 40 50 60 70
第二十九页，共三十三页。
课堂检测拓广探索题
某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，他们一天生产零件y(个)
由小到的大顺序，把所描出的各
第十二页，共三十三页。
巩固练习
(1)在所给的平面直角坐标系中画出函数 y 1 x的图象.
2
（先填写下表，再描点、连线）
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y
…
3 2
-1 1
2
பைடு நூலகம்
0
1 2
1
3
2…
(2)点P(5，2)
不在该函数的图象
y 3
(tú xiànɡ)上(填“在”或“不在”). 2
第四页，共三十三页。
探究新知
知识点 1 函数(hánshù)的图象
写出正方形的面积S与边长x的函数解析式，并确定 (quèdìng)自变量x的取值范围.
S=x2 （x＞0）
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16
第五页，共三十三页。
第二十二页，共三十三页。
连接(liánjiē)中考
甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后
，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达(dàodá)B地并停留1h后，再以原
速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km

3.1.1 函数的概念第一课时(优质课)

3.1. 函数的概念及其表示
3.1.1函数的概念第一课时
（一）复习回顾提出问题
函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具．初中函数的定义：
在一个变化过程中有两个变量 x 和 y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应.那么 x 叫做自变量，y是 x 的函数.
（一）创设情境提出问题
4a
4a
（四）小结提升形成结构
(1)函数的定义是什么？其三要素是什么？ (2)你是怎么理解对应关系f的？ (3)与初中的函数概念相比较，你对函数有哪些新的认识？ (4)本节课我们得出函数的定义经历了怎样的过程？你能谈谈你的想法吗？
具体函数→一类函数→"变量说"→归纳共性→"集合﹣对应说"→ 概念辨析→简单应用
（二）？抽象概念内涵辨析
？问题2：
某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天，如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么：（1）你认为该怎样确定一个工人的每周的工资？
设一周工作天数d ，工资w ，则w=350d （2）一个工人的工资w是他工作天数d 的函数吗？
函数值的集合C3 C3 B3 ｛I | 0＜I＜150｝
（二）抽象概念内涵辨析
？问题4：
国际上常用恩格尔系数r(r
食物支出金额总支出金额
）,反映一个地区人
民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.观察下表
可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高．
A4 表格 B4
对于数集_A_4__任意时间y ，
与之对应．
（二）抽象概念内涵辨析
？问题2：
追问1：问题1和问题2中的函数的对应关系一样，它们是同一个函数吗？

4.3一次函数的图象(第1课时)

的图象上吗？
都在
（2）正比例函数y=-3x的图象上的点
（x,y)都满足关系式y=-3x吗？
满足
（3）正比例函数y = kx 图象有何特点?
你是怎样理解的？
正比例函数 y = kx (k≠0) 的图象是一
原点（0，0）
直线
条经过 _______________
的_______。
y
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
（1，5），（－1，5），（0.5，－2.5），（－5，1）.
解：将各点的坐标依次代入验证，可知点（－1,5），
（0.5，－2.5）在正比例函数y=－5x的图象上.
2.画出下列正比例函数的图象：
2
2
（1）y 4 x；（2）y x; （3）y x .
3
3
解：三个函数分别列表如下：
（1）
例题讲解
例1 画出正比例函数 y =2x 的图象
解：
y
1. 列表
x … -2 -1 0 1
2 …
y … -4 -2 0
4
2
2. 描点
3. 连线
它是一条直线。
…
5
4
3
2
1
y=2x
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-2
-3
-4
x
做一做
议一议
（1）满足关系式y=-3x的x,y所对应的点（x,y)都在正比例函数y=-3x
（1）、当k>0时，图象经过第一、三
右上升，y的值随着x值得增大而
象限，从左向
增大
;
（2）、当k<0时，图象经过第二、四象限，从左向

第三章函数的概念与性质3.1.1 函数的概念(第1课时)

肃清概念
1.根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y.( × )
2.任何两个集合之间都可以建立函数关系.( × )
3.函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合.( × )
4.在函数的定义中，集合B是函数的值域.( × )
5.在下列两个数集A、B之间的对应中哪些是函数：
A fB
3.零指数幂或负指数幂：( f (x))0、( f (x))n(n N) f (x) 0;4.实际问题
例 2 求函数 f x x 3 1 的定义域。
x2 解:使根式 x 3 有意义的实数 x 的集合是x | x 3，
使分式
x
1
2
有意义的实数
x
的集合是x
|
x
2
，所
以，这个函数的定义域是x | x 3,且x 2
{xR| x 0}
值域(y轴)
R
{y R | y 4ac b2 } 4a
{y
R
|
y
4ac b2 }
4a
{yR| y 0}
2.完成课本63页：思考、例1、探究、练习1、2、3、4
题型一函数关系的判断
例1 (1)(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是
√A.A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方
第三章函数的概念与性质
自主学习回答：
模型主线基本工具集合语言
1.章头语的关键词有哪些？
对应关系符号语言
研究函数的基本内容、过程和方法
2.本节的引言中：正方形的周长l与边长x的对应关系l=4x,与正比例函数
y=4x是否相同？
3.阅读四个问题填表：
问题情景