第三节 一元一次不等式(组)的解集与区间
一元一次不等式的解集
一元一次不等式的一般形式是 ax + b > c、ax + b < c 或 ax + b ≥ c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
一元一次不等式的标准形式
总结词
一元一次不等式的标准形式是指将不 等式中的常数项移到右边，使左边只 包含未知数和其系数。
详细描述
一元一次不等式的标准形式是 ax > d、 ax < d 或 ax ≥ d，其中 a、d 是常数， a ≠ 0。
配问题等。
与一次函数的联系
01
02
03
定义
一次函数是形如y=kx+b 的函数，其中k、b为常数 且k≠0，x为自变量。
解法
在求解一次函数的值时， 常常需要利用一元一次不 等式的性质来求解，如求 解函数的定义域等。
应用
在实际问题中，一次函数 和一元一次不等式都可用 于解决实际问题，如最优 化问题、决策问题等。
02 将数轴上方的部分作为解集。
同样地，对于一元一次不等式 x 4 < 0，其解集可以通过区间表示 法表示为 (-∞, 4)，也可以通过数 轴表示法在数轴上标出临界点4， 并将数轴下方的部分作为解集。
04 一元一次不等式在实际问 题中的应用
最大值最小值问题
总结词
一元一次不等式在解决最大值和最小值问题中具有广泛应用。
05 一元一次不等式与其他数 学知识的联系
与一元一次方程的联系
定义
一元一次不等式和一元一次方程 都是只含有一个未知数，并且未
知数的次数为1的代数式。
解法
一元一次不等式和一元一次方程的 解法有许多相似之处，如去分母、 去括号、移项、合并同类项等。
应用
专题03 解一元一次不等式(组)及参数问题八种模型(学生版)
专题03解一元一次不等式(组)及参数问题八种模型【类型一解一元一次不等式模型】例题：（2022·陕西·模拟预测）解不等式3136x x-<-，并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集．【变式训练1】（2022·陕西·西安市西光中学二模）解不等式7132184x x->--，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．【变式训练2】（2021·上海徐汇·期中）解不等式38236x x---≤，把解集在数轴上表示出来，并求出最小整数解．【变式训练3】（2022·福建·三明一中八年级阶段练习）解不等式：(1)2(41)58x x -≥-(2)261136x x +-≤【变式训练4】（2022·河南驻马店·八年级阶段练习）解下列一元一次不等式，并把它们的解集表示在数轴上：(1)2﹣5x ＜8﹣6x ；(2)53-x +1≤32x ．【类型二解一元一次不等式组模型】例题：（2022·福建·三明一中八年级阶段练习）解不等式组52331132x xx x -≤⎧⎪-+⎨<-⎪⎩，并把不等式组的解集在数轴上表示出来：【变式训练1】（2022·广东·汕头市龙湖实验中学九年级阶段练习）解不等式组：1011122x x -≥⎧⎪⎨--<⎪⎩，并写出它的所有整数解．【变式训练2】（浙江省温州市2020-2021学年八年级上学期3月月考数学试题）解一元一次不等式组523(1)131722x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．【变式训练3】（2022·广东揭阳·八年级阶段练习）解不等式组：12(1)2235xx x x ⎧+<-⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．【变式训练4】（2022·湖南岳阳·八年级期末）（1）解不等式121132x x+++≥；（2）解不等式组：3242(1)31x x x -<⎧⎨-≤+⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．【类型三一元一次不等式的定义时含参数问题】例题：（2021·全国·七年级课时练习）已知不等式||1(2)20n n x --->是一元一次不等式，则n =____．【变式训练1】（2022·山东·枣庄市第十五中学八年级阶段练习）已知()3426m m x --+>是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为______．【变式训练2】（2021·黑龙江·肇源县超等蒙古族乡学校八年级期中）若21(2)15m m x --->是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为______________．【类型四一元一次不等式整数解中含参数问题】例题：（2022·上海·七年级期中）如果不等式2x ﹣3≤m 的正整数解有4个，则m 的取值范围是_____．【变式训练1】（2020·全国·八年级单元测试）已知不等式30x m -≤有5个正整数解，则m 的取值范围是________．【类型五一元一次方程组与不等式间含参数问题】例题：（2022·全国·八年级）关于x 的方程42158x m x -+=-的解是负数，则满足条件的m 的最小整数值是_____．【变式训练1】（2021·四川成都·八年级期末）已知关于x 的方程35x a x +=-的解是正数，则实数a 的取值范围是______．【变式训练2】（2021·全国·七年级课时练习）如果关于x 的方程2435x a x a++=的解不是负数，那么a 的取值范围是________．【变式训练3】（2021·全国·七年级课时练习）当m________时，关于x的方程222x m xx---=的解为非负数．【类型六二元一次方程组与不等式间含参数问题】例题：（2021·内蒙古呼和浩特·七年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组231231x y kx y k+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x＋y＜4，则满足条件的k的最大整数为____．【变式训练1】（2021·四川绵阳·x，y的二元一次方程组221x yx y k+=⎧⎨+=+⎩的解为正数，则k的取值范围为__．【变式训练2】（2021·江苏江苏·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组231323x y mx y m+=+⎧⎨-=+⎩，且x，y满足x+y＞3．则m的取值范围是___．【变式训练3】（2021·四川南充·七年级期末）已知关于x，y的方程组24223x y kx y k+=⎧⎨+=-+⎩，的解满足x﹣y＞0，则k的最大整数值是______________．【变式训练4】（2021·甘肃·九年级专题练习）若关于x，y的二元一次方程组3331x yx y a+=⎧⎨+=+⎩的解满足x＋y＜2，则a的取值范围为_______．【类型七解一元一次不等式组中有无解集求参数问题】例题：（2021·内蒙古·包头市青山区教育教学研究中心八年级期中）关于x的不等式组352x ax a->⎧⎨-<⎩无解，则a的取值范围是_____．【变式训练1】（2022·广西贵港·八年级期末）若关于x的不等式组33235x xx m-<⎧⎨->⎩有解，则m的取值范围是______．【变式训练2】（2021·四川凉山·七年级期末）已知关于x的不等式组5122x ax x->⎧⎨->-⎩无解，则a的取值范围是_________．【变式训练3】（2021·河南南阳·三模）已知关于x的不等式组3xx m>⎧⎨≤⎩有实数解，则m的取值范围是____．【变式训练4】（2022·江苏南通·九年级阶段练习）如果关于x的不等式组232x ax a>+⎧⎨<-⎩无解，则常数a的取值范围是______________．【类型八解一元一次不等式组中有整数解求参数问题】例题：（2021·宁夏中卫·八年级期末）不等式组,3x ax>⎧⎨<⎩的整数解有三个，则a的取值范围是_________．【变式训练1】（2021·安徽·马鞍山二中实验学校七年级期中）已知不等式组211x x a-<⎧⎨-≤⎩，只有三个整数解，则a 的取值范围是_________．【变式训练2】（2021·黑龙江佳木斯·模拟预测）不等式组2312x ax -⎧⎨-≤⎩＜有3个整数解，则a 的取值范围是_____．【变式训练3】（2020·内蒙古·北京八中乌兰察布分校一模）关于x 的不等式组3x ax <⎧⎨≥⎩只有两个整数解，则a 的取值范围是_____．【变式训练4】（2022·湖南湘潭·八年级期末）已知关于x 的不等式组3010x a x -≤⎧⎨-≤⎩①②，有且只有3个整数解，则a 的取值范围是______________。
一元一次不等式的解集
一元一次不等式的解集一元一次不等式在数学中是一类基础且常见的问题类型，其解集表示了不等式的解的范围。
本文将详细讨论一元一次不等式的解集，并通过示例来说明解集的求解方法。
一元一次不等式的一般形式为 ax + b > c （或 < 或≥ 或≤），其中a、b、c为已知实数且a ≠ 0。
我们的目标是找到x的取值范围，使得不等式成立。
解一元一次不等式的基本步骤如下：步骤一：将不等式转化为等价的形式。
对于>和≥的不等式，可以直接保持原有形式。
对于<和≤的不等式，需要将不等号翻转，将其转化为>或≥的形式。
步骤二：将不等式化简为标准形式 ax + b > 0（或 < 或≥ 或≤）。
将不等式中的常数项移到右侧，使得等式左侧只有一个未知数，右侧为0。
步骤三：确定不等式的解集。
考虑a的正负情况，进行讨论。
接下来，我们将通过几个具体的示例来说明一元一次不等式的解集求解方法。
示例一：解不等式 2x - 1 > 5步骤一：保持原有形式。
2x - 1 > 5步骤二：化简为标准形式。
2x - 1 - 5 > 02x - 6 > 0步骤三：确定解集。
当a = 2 > 0时，不等式解集为x > 3。
示例二：解不等式 -3x + 4 ≤ 10步骤一：将不等式翻转。
-3x + 4 ≤ 10 变为 3x - 4 ≥ -10步骤二：化简为标准形式。
3x - 4 + 10 ≥ 03x + 6 ≥ 0步骤三：确定解集。
当a = 3 > 0时，不等式解集为x ≥ -2。
通过以上两个示例，我们可以看到一元一次不等式的解集求解过程。
根据具体的不等式形式，我们可以灵活运用求解方法来得出正确的解集。
在实际问题中，一元一次不等式的解集常常用来表示一些约束条件或范围，例如线性规划、经济学模型等。
通过解集的求解，我们可以得出对应问题的有价值的数值范围。
总结起来，一元一次不等式的解集求解是数学中的基础技能之一。
第3节 一次函数与方程(组)及一元一次不等式
第三节一次函数与方程（组）及一元一次不等式二、核心纲要直线:y = kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b = 0 (k≠0)的解.求直线y = kx+b与x轴交点时，可令y = 0，得到方程k + B = 0,解方程得x=bk-，直线y=kx+b交x轴于点(bk-,0)，bk-就是直线y =kx+b与x轴交点的横坐标，可令y轴交点的横坐标.注：(1)从“数”看:kx+b=0(k≠0)的解⇔在一次函数y=kx+b(k≠0)中，令y=0时，x的值.(2)从“形”看:kx+b=0(k≠0)的解⇔一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与x轴交点的横坐标.2.—次函数与一元一次不等式的关系(1) 任何一次一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax + b<0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小）于0时，求自变量相应的取值范围.(2) 函数图像的位置决定两个函数值的大小关系①函数y1的图像在函数y2的图像的上方⇔y1>y2，如下图所示；②函数y1的图像在函数y2的下方⇔y1<y2，如下图所示；③特别说明：函数y 的图像在x 轴上方⇔y >0；函数y 的图像在X 轴下方y <0.3.一次函数与二元一次方程（组）的关系(1)一次函数的解析式：y =kx +b (k ≠0)本身就是一个二元一次方程，直线y =kx +b (k ≠0)上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y =kx +b (k ≠0)，因此二元一次方程的解也就有无数个. (2) —次函数:y = kx +b (k ≠0)① 从“数”看，它是一个二元一次方程； ② 从“形”看，它是一条直线。
4.两条直线的位置关系与二元一次方程组的解 (1) 二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有唯一的解⇔直线y =k 1x +b 1不平行于直线y =k 2x +b 2⇔k 1≠k 2.(2) 二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩无解⇔直线y =k 1x +b 1平行于直线y =k 2x +b 2⇔k 1=k 2,b 1≠b 2. (3) 二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有无数多个解⇔直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2重合⇔k 1=k 2,b 1=b 2.5.比较两个函数值大小的方法 (1) 画图像，求交点.(2) 过交点作平行于y 轴的直线. (3) 谁高谁大.6.数学思想数形结合和转化思想.本节重点讲解：一个定理，一个证明，两个思想.三、全能突破1.若直线y =(m -3)x +6与x 轴交于点(3,0)，则m 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.如图19-3-1所示，一次函数y =kx +b 的图像经过A 、B 两点，则kx +b ≥0的解集是( ) A. x >0 B. x ≥—3 C. x >2 D. -3≤x ≤23.已知ax +b =0的解是2,则直线y =ax +b 与x 轴的交点坐标是______。
2.2.1 区间的概念2.2.2 一元一次不等式(组)的解法
2.2.1区间的概念2.2.2一元一次不等式(组)的解法21. 理解区间的概念，掌握用区间表示不等式解集的方法，并能在数轴上表示出来．2. 培养学生合作交流的意识和乐于探究的良好思维品质，让学生从数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心．3.了解一元一次不等式（组）概念，掌握一元一次不等式（组）的解法．4. 通过教学，体会数形结合、类比等数学思想方法．【教学重点】用区间表示数集．一元一次不等式（组）的解法．【教学难点】对无穷区间的理解．用数轴确定不等式（组）的解集．讲授填制表格：解一元一次不等式组的步骤．必做题：教材P39，练习A组．选做题：教材P40，练习B组第1题．必做题：P43，练习A组；选做题：P44，练习B组．第一课时一、导入教师提问：(1) 用不等式表示数轴上的实数范围；(2) 把不等式1≤x ≤5在数轴上表示出来．二、 新课讲解设 a ，b 是实数，且 a ＜b ．满足 a ≤x ≤b 的实数 x 的全体，叫做闭区间，记作 [a ，b ]，如图．a ，b 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．全体实数也可用区间表示为(－∞，＋∞)，符号“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”．例1 用区间记法表示下列不等式的解集： (1) 9≤x ≤10； (2) x ≤0.4． 解 (1) [9，10]； (2) (－∞，0.4]．练习1 用区间记法表示下列不等式的解集，并在数轴上表示这些区间： (1) －2≤x ≤3； (2) －3＜x ≤4；x1 －1(3) －2≤x＜3；(4) －3＜x＜4；(5) x＞3；(6) x≤4．例2用集合的性质描述法表示下列区间：(1) (－4，0)；(2) (－8，7]．解(1) {x | －4＜x＜0}；(2) {x | －8＜x≤7}．练习2用集合的性质描述法表示下列区间，并在数轴上表示这些区间：(1) [－1，2)；(2) [3，1]．例3在数轴上表示集合{x|x＜－2或x≥1}．解如图所示．01练习3已知数轴上的三个区间：(－∞，－3)，(－3，4)，(4，＋∞)．当x 在每个区间上取值时，试确定代数式x＋3的值的符号．三．课堂小结填制表格：第二课时一、导入展示本章的章前语关于全球通和神州行的服务资费问题．问题1如果只考虑本地通话的费用，则通话时间为多少时，神州行方式的费用小于全球通方式的费用？解设本地通话时间为x min，由题意得0.6 x＜50＋0.4 x．解这个不等式的步骤依次为0.6x－0.4x＜50，(移项)0.2x＜50，(合并同类项)x＜250．(两边同除以0.2，不等号的方向不变) 所以，在本地通话时间小于250 min时，神州行方式的费用小于全球通方式的费用．二、新课讲解1．一元一次不等式．未知数的个数是1，且它的次数是1的不等式叫做一元一次不等式．例1解不等式2(x＋1)＋x 23＞7x2－1．解由原不等式可得12(x＋1)＋2(x－2)＞21 x－6，(原式两边乘6)12 x＋12＋2 x－4＞21 x－6，(分配律)12 x＋2 x－21 x＞－12＋4－6，(移项)－7 x ＞－14， (合并同类项)x ＜2． (不等式性质)所以，原不等式的解集是{x | x ＜2}，即(－∞，2)． 解一元一次不等式的步骤： S1 去分母； S2 去括号； S3 移项；S4 合并同类项，化成不等式(ax ＞b )(a ≠0)的形式；S5 不等式两边都除以未知数的系数，得出不等式的解集为{x |x ＞b a }（或{x |x ＜ba }）．练习1 求下列不等式的解集：(1) x ＋5＞2； (2)y ＋13－y －12≥y －16． 2．一元一次不等式组．一般地，由几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．问题2 某塑料制品加工厂为了制定某产品第四季度的生产计划，收集到该产品的信息如下：(1) 此产品第四季度已有订货数4 000袋； (2) 每袋需要原料0.1吨，可供原料410吨；(3) 第四季度生产此产品的工人至多有5人，每人的工时至多504工时，每人每工时生产2袋． 请你根据以上的数据，决定第四季度可能的产量． 解：设该产品第四季度产量为 x 袋： 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4 000x ≤4 100x ≤5 040解得 4 000≤x ≤4 100．所以，第四季度该产品的产量应不少于4 000袋且不多于4 100袋． 例2 解下列不等式组：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧－3 x ＋2 x ≥5x ＋13x ≤－1 (2)⎪⎩⎪⎨⎧+---≤-0231212475＞x x x x x解：（1）由原不等式组可得⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥543x ≤－1 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－5x ≤－34 所以x ≤－5．即原不等式的解集为{x |x ≤－5}． （2）由原不等式⎩⎪⎨⎪⎧2x ≤－216x ＞－2 即⎩⎨⎧x ≤－1 x ＞－12所以 －12＜x ≤－1．即原不等式组的解集为{x |－12＜x ≤－1}．解一元一次不等式组的步骤：S1 求这个不等式组中各个不等式的解集；S2 求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集． 练习2 解不等式组：⎩⎨⎧4 x ＞2 x －6 10＋3 x ＞7 x －30三．课堂小结解一元一次不等式的步骤； 解一元一次不等式组的步骤．。
不等式组的解集与区间
{x| x≥3 }
{x| x>3 } {x| x≤2 } {x| x<2 }
（3）x-2≥0
x-3≤0 （4）x-2＞0
{x| 2≤x≤3 }
{x| 2＜x＜3 } {x| 2≤x＜3 } {x| 2＜x≤3 }
x-3＜0
（5）x-2≥0
练习：解不等式组
2( x 1) 5 x 5 x 3 3x 1
(1) (2)
1、一元一次不等式（组）的解集
2、一元一次不等式（组）的解集的表示方法
（1）集合描述法 （2）区间：闭区间 开区间 半开半闭区间 无限区间
x-3＜0
（6）x-2＞0 x-3≤0
区间是指一定范围内的所有实数所 构成的集合。也就是数轴上某一“段” 所有的点所对应的所有实数。
设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定
（1）满足不等式a ≤ x ≤ b 的实数x的集 合叫做以 a , b 为端点的闭区间，记作[a,b]
数轴表示
a
b
x
设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定
b
x
在实数集R中，有没有 最大的数和最小的数？
实数集R 用区间表示为（ -∞，+∞ ）
-∞ 读作： 负无穷大
+∞ 读作： 正无穷大
x
填
表：
区间表示 数轴表示 a a b b x x x x
解集表示
{x|x≥a}
[a,+ ∞) (a,+ ∞)
{x|x > a} {x|x≤b}
{x|x＜b}
( －∞,b]
（－ ∞ ，－1]∪［2，＋∞）
一元一次不等式组表示区间解的教案
教案：一元一次不等式组表示区间解一、教学目标1.了解一元一次不等式组的基本概念和求解方法。
2.掌握使用一元一次不等式组表示区间解的方法和技巧。
3.培养学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。
二、教学重点和难点1.重点：一元一次不等式组表示区间解的方法和技巧。
2.难点：如何灵活运用所学知识，分析解决问题。
三、教学准备1.课件和黑板笔。
2.学生自带的练习册。
四、教学流程和方法1.引入：通过举例子让学生感受一元一次不等式组表示区间解的概念和作用。
例如：有一个一元一次不等式组：x+2y≥3，2x+y>10，现在我们想要知道每个不等式所表示的解集，我们就可以把每个不等式单独表示出来，再用这些解集的交集示整个不等式组的解集，如下图所示：2.概念讲解：讲解一元一次不等式组的基本概念和求解方法。
3.示范演练：通过多个例子演示一元一次不等式组的求解过程和表示区间解的方法和技巧。
例如：（1）解：将方程组化为不等式组，得到：x+y≥6x-y≤2解的表示为[x≥2, y≥4]。
（2）解：将方程组化为不等式组，得到：x+3y≤92x-3y≤0x-y≤1解的表示为[0≤x≤1, 0≤y≤3]。
4.对话解读：与学生进行对话交流，解读所学知识和技巧的实际应用及注意事项。
例如：教师：在求解一元一次不等式组时，有哪些需要注意的问题？学生：要注意符号的共性，还要找到每个不等式在坐标系上所表示的区域。
教师：如果有两个等式在同一条直线上，这时要如何解？学生：这时要看符号确定区间。
5.练习测试：让学生进行练习测试，加强对所学知识的掌握。
6.总结反思：总结本节课所学知识和技巧，反思自己还需加强的地方。
五、教学评估通过学生的上课表现和练习测试的情况进行评估，对于掌握不够扎实的学生，进行巩固和加强训练。
六、教学延伸在教学结束后，可以让学生独立完成一些实际问题的求解，加强应用能力的培养和提高。
(完整版)一元一次不等式组的三种求解方法
一元一次不等式组的三种求解方法一元一次不等式及不等式组的解法是初中数学中的一个重要内容，具体可利用图象、数轴以及口诀解答有关题目.下面结合实例进行讲解，同学们在解题时可以灵活选择解题方法。
一、利用图象解一元一次不等式（组）1.求解一元一次不等式kx+b>0或kx+b0或y〈0；当一次函数y=kx+b 的图象在x轴上方或下方时，求横坐标x的取值范围。
2。
求解一元一次不等式k1x+b1〉k2x+b2或k1x+b1〈k2x+b2(其中k、b为常数，且k≠0）可以转化为:求当x取何值时，一次函数y1=k1x +b1的值大于或小于一次函数y2=k2x+b2的值;当一次函数y1=k1x+b1的图象在一次函数y2= k2x+b2图象上方或下方时,求横坐标x的取值范围。
例1 用图象的方法解不等式2x+1>3x+4.解析：把原不等式的两边看作两个一次函数,在同一坐标系中画出直线y=2x+1与y= 3x+4（图1）,从图象上可以看出它们的交点的横坐标是x=-3，因此当x3x+4，因此不等式的解集是x〈-3.图1例2 已知函数y=kx+m和y=ax+b的图象如图2交于点p，则根据图象可得不等式组kx+m>0ax+b>kx+m的解集为_____________.图2解析:当kx+m>0时，x〉—2。
ax+b>kx+m时，x〈-1。
∴不等式组的解集为：—2〈x〈—1。
数轴在解一元一次不等式中有着重要作用,不等式的解集在数轴上的表示如下：(1)x〉a:数轴上表示a的点画成空心圆圈，表示a的点的右边部分来表示，表示a不在解集内；(2)x （3）x≥a:数轴上表示a的点画成实心圆点,表示a的点及a的点的右边部分来表示，表示a在这个解集内;（4)x≤a:数轴上表示a的点画成实心圆点，表示a的点及a的点的左边部分来表示，表示a在这个解集内.例3 已知m为任意实数，求不等式组1-x〈3x〈m—2的解集.解析:由不等式1-x2，先在数轴上表示，如图1.接着，在上面的数轴上表示出解集x2，m>4时,该不等式组的解集为2<x〈m—2；当表示数m —2的点在表示2的点的左边或和与2重合即m—2≤2，m≤4时，该不等式组无解。
一元一次不等式组解集数轴表示
一元一次不等式组解集数轴表示全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一元一次不等式组是数学中常见的问题，通过解不等式组可以得到一个或多个解集，这些解集常常用数轴表示。
本文将介绍一元一次不等式组的概念、解的求法以及如何用数轴来表示解集。
一、一元一次不等式组的概念一元一次不等式组是由若干个一元一次不等式组成的集合，形式如下：ax + b < cdx + e <= fgx + h > i其中a、b、c、d、e、f、g、h、i为实数，且a、d、g不全为0。
不等式组的解是使得所有不等式同时成立的实数的集合。
1. 逐个不等式求解法：首先分别解每一个不等式，得到它们的解集，然后取所有解集的交集即为不等式组的解。
2. 图像法：将每个不等式表示在坐标系中，然后考虑它们的交集部分即为不等式组的解。
3. 系数比较法：通过比较不等式的系数大小关系，消去变量，从而得到更简单的一元一次不等式。
再通过解这个简单的不等式来得到原不等式组的解。
三、数轴表示解集数轴是一种用于表示数值大小和相对位置的图形工具，一维数轴上通常有一个原点和正、负两个方向。
我们可以使用数轴来表示一元一次不等式组的解集，具体步骤如下：1. 首先解出不等式组的解，得到形如[x1, x2]或(x1, x2)的解集。
2. 画出一条水平的数轴，数轴上标出各个解的值。
如果解是开区间，则在对应的点上画一个空心圆；如果解是闭区间，则在对应的点上画一个实心圆。
3. 根据解的相对位置，在相应的区间上用短线段连接起来，形成解集的表示。
4. 最后检查数轴上的解集是否符合原不等式组中每个不等式，如果符合则表示正确。
通过这种方法，我们可以直观地看到不等式组的解集在数轴上的位置关系，更容易理解和分析解的性质。
四、例题和解析解不等式组：x+1 < 32x-5 > 1我们首先通过逐个不等式求解的方法得到x的取值范围分别是(-∞, 2)和(3, +∞)，则不等式组的解集为(-∞, 2)∪(3, +∞)。
一元一次不等式（组）知识总结及经典例题分析
二、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x a <(x a >或 )x a x a ³£或或的形式，其一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以或除以))同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例如：131321£---x x 解不等式： 解：去分母，得解：去分母，得 6)13(2)13£---x x （（不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得去括号，得去括号，得 62633£+--x x （注意符号，不要漏乘!）移移 项，得项，得项，得 23663-+£-x x （移项，每一项要变号；但符号不改变） 合并同类项，得合并同类项，得合并同类项，得 73£-x （计算要正确）系数化为系数化为1， 得 37-³x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）三、一元一次不等式组含有同一个未知数的含有同一个未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、个、33个、个、44个或更多．个或更多．四、一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．五、不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型(b a <) a a a a x <ax >a x ≤a x ≥a 一元一次不等式和不等式组【知识要点】一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
不等式的解集与区间的概念
因式分解得
(x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2) < 0
解集表示为
{ x | -2 < x < -1 或 1 < x < 2 }
利用数轴穿根法，解得解集为
-2 < x < -1 或 1 < x < 2
拓展应用：不等式组与区间综合问题
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PART.01
不等式组定义及性质
(a, b) - (c, d) = (a-d, b-c)
区间表示方法及运算规则
区间表示方法
减法运算
乘法运算
除法运算
加法运算
区间运算规则
除了使用圆括号和方括号表示开区间和闭区间外，还可以使用无穷大符号表示包含正无穷大或负无穷大的区间，如(a, +∞)、(-∞, b)等。
对于任意两个实数a、b（a < b）以及实数c、d（c < d），有以下运算规则
根据判别式确定解的情况，将解集在数轴上表示为开区间、闭区间或半开半闭区间。
解集与区间对应关系分析
解集与区间的区别
03
解集是具体的数值集合，而区间是数轴上的连续区域，两者在表现形式和性质上有所不同。
不等式的解集可以表示为区间，而区间也可以用来描述不等式的解集。
解集与区间的定义
01
解集是满足不等式的所有解的集合，而区间是数轴上的一段连续区域。
一元二次不等式案例解析
案例一
解析不等式 x^2 - 4x + 3 < 0
因式分解得
(x - 1)(x - 3) < 0
根据一元二次不等式的解法，解集为
1 < x < 3
一元一次不等式
一元一次不等式一元一次不等式是数学中常见的基本类型之一，也是初中代数学的重点内容。
它是由一个未知数的一次项和一个常数项组成的不等式，属于一元一次方程的变体。
通过解一元一次不等式，我们可以找到满足不等式条件的未知数的取值范围。
本文将介绍一元一次不等式的定义、性质以及解题方法。
一、定义和性质一元一次不等式的一般形式为ax + b > 0（或<、≤、≥）、ax + b < 0（或>、≤、≥）、ax + b = 0（或≠），其中a和b为实数，x为未知数。
不等号的方向表示了不等式条件的性质（大于、小于、大于等于、小于等于），等号表示等于或者不等于。
一元一次不等式的性质如下：1. 两个一元一次不等式如果它们的不等号方向相同，则可以进行相加、相减操作。
这意味着我们可以将两个不等式合并成一个更复杂的不等式。
2. 若不等式的两个方程相等，则不等式仍成立。
例如，若ax + b =cx + d，则对于任意实数x，ax + b > cx + d成立的话，ax + b ≥ cx + d也成立。
3. 对不等式的两边同时乘（或除以）正数时，不等号方向保持不变；对不等式的两边同时乘（或除以）负数时，不等号方向需要反转。
4. 可以将一元一次不等式转化为一元一次方程进行求解。
当不等式的解集为实数集时，解集用区间表示。
5. 解不等式时需要根据不等号的方向来确定解的范围。
大于（或小于）的不等式，解的范围为开区间；大于等于（或小于等于）的不等式，解的范围为闭区间。
二、解题方法解一元一次不等式的关键在于确定不等式的解集范围。
下面介绍几种常用的解题方法。
1. 逻辑法逻辑法是解一元一次不等式的基本方法，通过借助数轴的正负性和数的大小关系来判断不等式解的范围。
具体步骤如下：1）根据不等式关系（大于、小于、大于等于、小于等于）将不等式化简为ax + b > 0（或<、≤、≥）的形式；2）根据a的正负性和常数项b的符号，选择合适的数轴区间进行讨论；3）根据a的正负性，确定数轴上方程ax + b = 0的根点，并标记在数轴上；4）根据符号确定不等式的解集范围，并用数轴表示出来。
第3讲 一元一次不等式(组)
D．m≤－ 7 5
【答案】A
变
5．若关于
x
的一元一次不等式组
ìïí ïî
2 x－m≤0 －x＜4
有解，则
m
的取值范围是（
）
A．m≥－8
B．m≤－8
C．m＞－8
D．m＜－8
【答案】C
考点四 整数解问题
例
5．关于
x
的不等式组
ìïí ïî
x－a＞0 3－3x＞0
的整数解共有
6
个，则
a
的取值范围是（
）
A．－6＜a＜－5 B．－6≤a＜－5 C．－6＜a≤－5 D．－6≤a≤－5
（2）化简|4a＋5|－|a－x x
y y
5a 3a
1 9
得：
x y
4a 5 a 4
，
∵方程组的解为正数，
∴
4a a
5 4
0 0
，解得：－
5 4
＜a＜4；
（2）当－ 5 ＜a＜4 时，|4a＋5|－|a－4|＝4a＋5－（4－a）＝5a＋1． 4
变
5．不等式组
ìïïïíïïïî
x - 3≥0 x ＜3 2
的所有整数解之和是（
）
A．9
B．12
C．13
【答案】B
D．15
变 6．如点 P(3x＋9， 1 x－2)在平面直角坐标系的第四象限内，那么 x 的取值范围在数 2
轴上可表示为（ ）
A． -3 4
B． -3 4
C． -3 4 【答案】C
D． -3 4
例
3．若不等式组
一元一次不等式的解和解集的关系
一元一次不等式的解和解集的关系下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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一元一次不等式的解集表示
一元一次不等式的解集表示一元一次不等式是数学中常见的问题之一，它描述了一个变量的取值范围。
解决一元一次不等式的关键是确定解集，并以适当的方式表示。
本文将介绍一元一次不等式的解集表示方法。
1. 不等式的基本形式一元一次不等式可以写成以下形式：ax + b < 0 (1)其中，a和b是已知实数，x是未知变量。
2. 解集的表示方法解集可以用不同的方式表示，取决于不等式中变量的取值范围。
a) 区间表示法当不等式的解集为一个区间时，可以使用区间表示法。
对于不等式(1)，如果它的解集为一个开区间 (x1, x2)，其中 x1 < x2，那么可以表示为：x ∈ (x1, x2) (2)b) 点集表示法当不等式的解集为一个离散的点集时，可以使用点集表示法。
对于不等式 (1)，如果它的解集为一个或多个具体的点，例如 x = x1，那么可以表示为：x = x1 (3)c) 符号表示法当不等式的解集可以用符号表示时，可以使用符号表示法。
对于不等式 (1)，如果它的解集可以用简洁的符号表示，例如 x > x1，那么可以表示为：x > x1 (4)注意：在符号表示法中，当不等式中出现“<” 或“>” 符号时，应注意要使用开区间符号。
3. 解集的求解步骤要确定一元一次不等式的解集，可以按照以下步骤进行：a) 将不等式转化为等式：将不等式转化为等式，得到 ax + b = 0 的形式。
b) 求解等式：解一元一次等式 ax + b = 0，得到 x 的值。
c) 判断不等式的方向：根据 a 的正负情况，确定不等式的方向，例如当 a > 0 时，不等式为大于号，当 a < 0 时，不等式为小于号。
d) 根据步骤 c) 和 b) 确定解集：根据不等式的方向和等式的解，确定解集的表示方法。
4. 解集的示例为了更好地理解一元一次不等式的解集表示，以下给出几个示例：a) 不等式 2x - 3 > 0 的解集表示为 x > 3/2。
不等式的解集与区间
-2
-1
0
课堂 感悟
用不等式表示生活中数量关系.
一元一次不等式的概念
这节课 我学会了
生活中不等关系无处不在
不等式的解及其解集
作业：书本P30 4
课后思考题：我们班如果要
组织同学去玉黛湖公园开展活动，该 如何买票更加合算？（玉黛湖公园的 票价是：每人1５元；一次购票满３ ０张，每张票可少收１元。）
a
例4 例5
用区间法表示下列不等式的解集:
3 x 8.5
x 10
用集合的性质描述法表示下列区间,并在 数轴上表示:
(1) [4,12]
(2) (-∞,-6)
利用数轴来表示下列不等式的解集.
练一练
(1)x＞-1
1 (2)x＜ 2
-1 0 1
0
12
变 式: 已知x的取值范围如图所示,你能写出x的 取值范围吗?
x 3 7 x 5 2x 9 x
知识点三:
设a,b R,且 a b,则：
叫做闭区间,记作
叫做开区间,记作 叫做半开半闭区间,分别 记作
知识点三:
a 与b叫做区间的
端点
在数轴上表示区间时,
端点属于这个区间,用实心点表示,不属于这个区间,用空心 点表示.
-1 0 1 2 3
-1 0 1 2 3
识
点
二
求不等式组解集的过程,叫做解不等式组.
例3
分析:
说明:
解不等式组 x 5 2x 4 3x 1 9 x
这个不等式组包含两不等式,因此,求这个 不等式组的解集,实际上就是求这两个 不等式的解集的交集
两个不等式的解集可以在数轴上表示出来..
试一试
解不等式
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集的规定可知a＝6.
同步精练
9．若不等式组
2x 1 3
1,
的解集{x|x>2}，则a的取值范围
x a
是___a_≤__2__．
【提示】
解不等式组
2x 1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3 x a
1,
得
x x
2,要
a,
使解集是{x|x>2}，需a≤2.
10．不等式x－3≥1＋5x的解集可用区间表示为(_－__∞_，__－__1_]．
解：解不等式4x＋6＞0，得x＞ 3 ;
2
解不等式3x－5<0，得x＜ 5 .
3
∴原不等式的解集是
3 2
,
5 3
.
同步精练
13．已知不等式组 数a，b的值．
2x 2x
a a
b b
的解集是(－5，4)，求实
解：不等式2x－a＞－b等价于2x＞a－b，解得x＞ a b ;
2
不等式2x－a＜b等价于2x＜a＋b，解得x＜ a b .
知识梳理
(3)一元一次不等式组的解法 若a＜b，则不等式组
①
x a x b
的解集为__{_x_|_x＞__b_}____；
②
x a x b
的解集为_{_x_|_a_＜__x_＜__b_}_；
③
x a x b
的解集为__{_x_|_x＜__a_}____；
④
x a x b
的解集为_____∅_______．
|
x
5 3
典例解析
(2)去分母得2(x－2)≤3x－6，去括号2x－4≤3x－6，移项、 合并同类项得－x≤－2，化系数得x≥2，所以不等式的解集 为{x|x≥2}．
(2){x|x≥2}
(3)解不等式4x＋5＞0，可得x＞ 5 ，解不等式3x－7＜0，
4
可得x＜ 7 ，
3
所以原不等式组的解集是
6．下面条件是a＞b成立的充分不必要条件的是( A ) A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
【提示】 由a>b＋1得a>b＋1>b，即a>b，由 a>b不能得出a>b＋1，因此，使a>b成立的充分不 必要条件是a>b＋1，故选A.
同步精练
二、填空题
7．将由满足下列条件的实数组成的集合用区间表示出
∴(1)A∩B＝{1，2}．(2)A∪B＝{0，1，2，3，4}．
知识梳理
(2)一元一次不等式组的解集 ①含有_相__同__未__知__数__的几个一元一次不等式组成的不等 式组，叫做一元一次不等式组． ②几个一元一次不等式的解集的___交__集___叫做由它们所 组成的一元一次不等式组的解集．特别地，如果各个不等 式的解集的__交__集____是空集，那么由它们组成的不等式组 的解集就是空集．
2
∵不等式的解集是(－5，4)，
a a
2 2
b b
5 4,
解得
a b
1 9.
同步精练
14．设集合A＝{x|x－2＜3，x∈N}，集合B＝{x|x－1≤1， x∈N＋}．求：
(1)A∩B； (2)A∪B.
解：由x－2＜3，得集合A＝{x|x＜5，x∈N}，
由x－1≤1，得集合B＝{x|x≤2，x∈N＋}， ∴集合A＝{0，1，2，3，4}，集合B＝{1，2}，
1．若不等式组 定是( D )
x a x b
的解集是空集，则a，b的关系一
A．a＜b B．a＞b C．a＝b D．a≥b
【提示】 根据解一元一次不等式组 的要求，作出正确的判断．
2．不等式4x－3≤5＋2x的解集用区间表示为( B ) A．(－∞，4) B．(－∞，4] C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
【提示】 由不等式x－3≥1＋5x移 项，化系数为1得x≤－1.
同步精练
三、解答题 11．解不等式：2x 1 (x 3) 2.
3
解：两边同乘以3，得－6x＋x－3＞6，
即－5x＞9，两边同除以－5，得x＜ 9 .
∴不等式的解集是
,
9 5
.
5
同步精练
12．解不等式组：34xx
60 5 0.
典例解析
【例2】 已知不等式2x－8≥－4＋ax的解集是{x|x≤－2}， 求实数a的值．
a＝4
【解析】 原不等式等价于(2－a)x≥4， ∵不等式的解集是{x|x≤－2}， ∴2－a＝－2，解得a＝4.
典例解析
【举一反三2】 已知不等式2x－8≥－4＋ax的解集是 {x|x≥2}，则a＝___0___.
知识梳理
(5)①满足x＜a的全体实数x的集合，可记作_(_－__∞__，__a_) _； ②满足x＞a的全体实数x的集合，可记作___(a_，__＋__∞__) __；③ 满足x≤a的全体实数x的集合，可记作___(－__∞__，__a_]__；④满 足x≥a的全体实数x的集合，可记作___[a_，__＋__∞__)__；⑤其中 “－∞”和“＋∞”分别读作“负无穷大”和“正无穷大”， 实数集R可记作__(－__∞__，__＋__∞_)_．
【提示】 原不等式等价于(2－a)x≥4，∵不等式的 解集是{x|x≥2}，∴2－a＝2，解得a＝0.
【思路点拨】 解含参数的一元一次不等式，要 注意对参数进行讨论，同时体会不等式与相应方程根 的关系．
典例解析
【例3】 已知不等式5(x－2)＋8<6(x－1)＋7的最小整数 解是方程2x－ax＝4的解，求a的值．
典例解析
解不等式：－2x－6≤3x－5≤6＋2x.
解：由不等式－2x－6≤3x－5得x≥－ 1 ；
5
由不等式3x－5≤6＋2x得x≤11，
∴不等式－2x－6≤3x－5≤6＋2x的解集为
x
1 5
x
11.
【思路点拨】 明确不等式的基本性质，不等式 前除以一个负数的，不等号才改变方向．
同步精练
一、选择题
知识梳理
3．区间 设a，b∈R，且a＜b，则 (1)满足a≤x≤b的全体实数x的集合，叫做闭区间，记作 __[_a_，__b_] _． (2)满足a＜x＜b的全体实数x的集合，叫做开区间，记 作__(_a_，__b_) _． (3)满足a≤x＜b的全体实数x的集合，叫做半开半闭区间， 记作__[_a_，__b_) _． (4)满足a＜x≤b的全体实数x的集合，叫做半开半闭区间， 记作__(_a_，__b_] _．
x
|
5 4
x
7 3
.
3
x
|
5 4
x
7 3
典例解析
【举一反三1】 (1)不等式(x－3)2－x2＋3≥0的解集是( D )
A．[2，3]
B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，2]
【提示】 ∵不等式(x－3)2－x2＋3≥0等价于不等式 x2－6x＋9－x2＋3≥0，解得x≤2，故选D.
【提示】 不等式4x－3≤5＋2x等价 于2x≤8，解得x≤4，故选B.
同步精练
3．若不等式ax－2＞0的解集是(－∞，－4)，则实数a的
取值是( D ) A．1
B．－1
1
C. 2
D．
1 2
【提示】 不等式ax－2＞0等价于ax＞2，
∵解集是(－∞，－4)，∴a＝ 1 ,故选D.
2
4．不等式x－1＞2的解集是( C ) A．{x|x＞1} B．{x|x＞2} C．{x|x＞3} D．{x|x<3}
典例解析
(2)不等式组
2x 3x
6 5
3x 4的解集是(
5x 1
C
)
A．(2，3) B．(2，＋∞) C．(3，＋∞) D．(－∞，2)
【提示】 解不等式2x＋6＜3x＋4可得x＞2； 解不等式3x＋5＜5x－1可得x＞3，∴不等式组 的解集是(3，＋∞)，故选C.
【思路点拨】 解一元一次不等式要注意依据不 等式的性质进行恒等变形；解一元一次不等式组注 意总结规律——“大大取大，小小取小”．
【提示】 不等式x－1＞2移项得x＞3， ∴不等式x－1＞2的解集是{x|x＞3}．
同步精练
5．若(a＋1)x＜2(a＋1)的解集是(2，＋∞)，则a的取值范
围是( B )
A．(－1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(0，＋∞)
D．(－∞，0)
【提示】 不等式两边同除以a＋1，要 得到解集(2，＋∞)，则a＋1＜0，故选B.
知识梳理
2．不等式的解集 (1)一元一次不等式的解集 ①一元一次不等式最终可化为ax＞b(a≠0)的形式，当a＞ 0时，不等式的解集为____x_|_x___ba___；当a<0时，不等式的 解集为___x_|_x___ba____．
②要注意不等式ax＞b与一元一次不等式ax＞b的区别， 对于不等式ax＞b的解集要讨论a＝0的情况．当a＝0时，若 b＜0，则不等式的解集为___R___；若b≥0，则不等式的解集 为___∅___．
a＝4
【解析】 去括号：5x－10＋8＜6x－6＋7，移项： －x＜3，化系数为1：x>－3，所以不等式的最小整数 解是－2，所以2(－2)－a(－2)＝4，∴a＝4.
典例解析
【举一反三3】 当a满足条件__a_＜__0___时，由ax＞8可 得x＜ 8
a
【提示】 由ax＞8，可得x＜ 8 由不等式的性质可 知不等号方向发生了改变，∴a＜a0.
典例解析
【例1】 解下列不等式(组)：
(1)－2x＋ 1
2
(x－3)＞1;
(2)
x
3
2
1 2
x
－1；(3)
4x 3x
5 7