第三节 一元一次不等式(组)的解集与区间
一元一次不等式的解集
与二元一次方程组的联系
定义
二元一次方程组是由两个一元一 次方程组成的，而一元一次不等 式则是一个一元一次方程去掉等
号后的形式。
解法
在解二元一次方程组时，常常需 要利用一元一次不等式的性质来 求解，如不等式的加减消元法等。
应用
在实际问题中，二元一次方程组 和一元一次不等式都可用于解决 实际问题，如经济问题、资源分
02 将数轴上方的部分作为解集。
同样地，对于一元一次不等式 x 4 < 0，其解集可以通过区间表示 法表示为 (-∞, 4)，也可以通过数 轴表示法在数轴上标出临界点4， 并将数轴下方的部分作为解集。
04 一元一次不等式在实际问 题中的应用
最大值最小值问题
总结词
一元一次不等式在解决最大值和最小值问题中具有广泛应用。
详细描述
一元一次不等式的一般形式是 ax + b > c、ax + b < c 或 ax + b ≥ c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
一元一次不等式的标准形式
总结词
一元一次不等式的标准形式是指将不 等式中的常数项移到右边，使左边只 包含未知数和其系数。
详细描述Βιβλιοθήκη Baidu
一元一次不等式的标准形式是 ax > d、 ax < d 或 ax ≥ d，其中 a、d 是常数， a ≠ 0。
不等式的解集与区间
所以不等式组的解集是① ② = x | x 2
用数轴表示：
-3 -2 -1 0
1
2
3
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设a, b R，且a b, 则：
1.闭区间： 记作： a, b 用数轴表示为： a b x
a xb
xLeabharlann Baidu
2.开区间: 满足a x b 的全体实数 x 的集合叫做开区间。 记作：
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1.不等式的解集： 一般地，在含有未知数的不等式中，能使不等式 成立的未知数值的全体所构成的集合，叫做不等 式的解集。 2.解不等式 ：
求不等式解集的过程，叫做不等式的解集。 3.一元一次不等式 ：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1， 系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式。
合并同类项，得 x 1
两边同除以 1 ，得 x 1
解一元一次不等式 步骤： （1）去括号 （2）移项 （3）合并同类项 （4）系数变为1
所以原不等式的解集是 x | x 1
用数轴表示：
-3 -2 -1
0
1
2
3
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一元一次不等式组的解法
1×x≤2×5+1×5 1.25×x≥2×5+1.25×5
小
结
（1）本节课主要学习 了什么？
（2）你有什么体会？
x ≥-2, (4)不等式组 的解集在数轴上表示为( x 5
B
D.
) -5 ) -2
A.
-5
-2
-1
B.
-5
2.5 4
-2
C.
-5
-2
(5)如图,
则其解集是(
A. 1 x 2.5,
B. 1 x ≤4， C. 2.5 x ≤4
D. 2.5 x 4
C
小结： 一元一次不等式组和它的解法
大小小大中间找
例1. 求下列不等式组的解集:
x 3, (13) x 7. x 2, (14) x 5. x 1, (15) x 4. x 0, (16) x 4.
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
解:原不等式组无解.
第三组
x 3, (9) x 7. x 2, (10 ) x 5.
第四组
x 3, (13) x 7. x 2, (14 ) x 5. x 1, (15) x 4. x 0, (16 ) x 4.
x 1, (7) x 4. x 0, (8) x 4 .
一元一次不等式的解集
一元一次不等式的解集
一元一次不等式在数学中是一类基础且常见的问题类型，其解集表
示了不等式的解的范围。本文将详细讨论一元一次不等式的解集，并
通过示例来说明解集的求解方法。
一元一次不等式的一般形式为 ax + b > c （或 < 或≥ 或≤），其中a、b、c为已知实数且a ≠ 0。我们的目标是找到x的取值范围，使得不等
式成立。
解一元一次不等式的基本步骤如下：
步骤一：将不等式转化为等价的形式。
对于>和≥的不等式，可以直接保持原有形式。
对于<和≤的不等式，需要将不等号翻转，将其转化为>或≥的形式。
步骤二：将不等式化简为标准形式 ax + b > 0（或 < 或≥ 或≤）。
将不等式中的常数项移到右侧，使得等式左侧只有一个未知数，
右侧为0。
步骤三：确定不等式的解集。
考虑a的正负情况，进行讨论。
接下来，我们将通过几个具体的示例来说明一元一次不等式的解集
求解方法。
示例一：
解不等式 2x - 1 > 5
步骤一：保持原有形式。
2x - 1 > 5
步骤二：化简为标准形式。
2x - 1 - 5 > 0
2x - 6 > 0
步骤三：确定解集。
当a = 2 > 0时，不等式解集为x > 3。示例二：
解不等式 -3x + 4 ≤ 10
步骤一：将不等式翻转。
-3x + 4 ≤ 10 变为 3x - 4 ≥ -10
步骤二：化简为标准形式。
3x - 4 + 10 ≥ 0
3x + 6 ≥ 0
步骤三：确定解集。
当a = 3 > 0时，不等式解集为x ≥ -2。
不等式的解集与区间
请同学们自己在数轴上表示出这个解集。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
（2）解不等式组 一般地，含有相同未知数的几个一元一次不等式所 组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 几个一元一次不等式的解集的交集，叫做由它们所组 成的一元一次不等式组的解集。 思考：如果各个不等式的解集的交集是空集呢？ 求解不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
x a b a b x
(1)含有两个端点的数轴区域设 设 a＜ x＜ b
a a≤x≤b {x| a≤x≤b} [a，b] b x
a
b x a＜x＜b
a
b x
a
b x a≤x＜b
a＜x≤b {x| a＜x≤b} (a，b]
{x| a＜x＜b} (a，b)
{x| a≤x＜b} [a，b)
闭区间
开区间
半开半闭区间 半开半闭区间
例1. 用不等式表示数轴上的实数范围：
－4 －3 －2 －1 0 1 x
－3≤x≤1 用集合表示为 {x| -3≤x≤1 }
用不等式表示为 例2. 把不等式 1≤x＜5 在数轴上表示出来．
0 1 2 3 4 5 x
用不等式表示为 用集合表示为
{x| 0≤x＜5 }
0≤x＜5
二：区间的概念
其实不等式的解集还可以用另一种更为简单的表示 形式，那就是区间。
• 开区间 满足不等式a＜x＜b 的所有实数的集 合，叫做开区间，记做（a,b)，在数轴上用介 于a,b两点之间而不包括端点的一条线段上所 有的点表示。如图：
不等式的解集与区间
2 x 3 x 11 ① ⑵ 2x 5 3 1 2 x ②
解: 解不等式①,得， {x|x ≥8} 解不等式②,得， {x|x<4/5} 把不等式①和 ②的解集在 数轴上表示出来:
0
4 5
0
2
3
8
所以不等式组的解集: {x|x>3} 练习：P30 第4题 （1） （3）
一般的，在含有未知数的不等式中能使不等式成立的未知数的全体所构成的集合， 叫做不等式的解集。不等式的解集，一般可用性质描述法来表示。
4、一元一次不等式组：
一般的，含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不 等式组，叫做一元一次不等式组。
5、一元一次不等式组的解集：
几个一元一次不等式的解集的交集，叫做一元一次不等式组的解集。特 别地，如果各个不等式的解集的交集是空集，那么由它们所组成的不等式组 的解集是空集， 求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 6、解不等式组：
找)
达标测试
你能找到下面几个不等式组的解集吗？
不等式组 数轴表示 解集（即公共部分）
x 1 x 2
x 1 x 2
-1
0
1
2
3
{x|x-1<x<2}
{x|x>2} {x|x<-1}
x 1 x 2
-1Leabharlann Baidu
第3节 一次函数与方程(组)及一元一次不等式
第三节一次函数与方程（组）及一元一次不等式
二、核心纲要
直线:y = kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b = 0 (k≠0)的解.求直
线y = kx+b与x轴交点时，可令y = 0，得到方程k + B = 0,解方程得x=
b
k
-，直线y=kx+b
交x轴于点(
b
k
-,0)，
b
k
-就是直线y =kx+b与x轴交点的横坐标，可令y轴交点的横坐标.
注：
(1)从“数”看:kx+b=0(k≠0)的解⇔在一次函数y=kx+b(k≠0)中，令y=0时，x的值.
(2)从“形”看:kx+b=0(k≠0)的解⇔一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与x轴交点的横坐标.
2.—次函数与一元一次不等式的关系
(1) 任何一次一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax + b<0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小）于0时，求自变量相应的取值范围.
(2) 函数图像的位置决定两个函数值的大小关系
①函数y1的图像在函数y2的图像的上方⇔y1>y2，如下图所示；
②函数y1的图像在函数y2的下方⇔y1<y2，如下图所示；
③特别说明：函数y 的图像在x 轴上方⇔y >0；函数y 的图像在X 轴下方y <0.
3.一次函数与二元一次方程（组）的关系
(1)一次函数的解析式：y =kx +b (k ≠0)本身就是一个二元一次方程，直线y =kx +b (k ≠0)上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y =kx +b (k ≠0)，因此二元一次方程的解也就有无数个. (2) —次函数:y = kx +b (k ≠0)
不等式组的解集与区间
-2 -1
0
1
x
（4）{x|x≤3}
解： {x|x≤3}表示为（- ∞ ，3]，
数轴表示
0 1 2 3
x
用区间表示下列数集，并在数 轴上表示出来：
1、{x|-3<x ≤ 4} 2、 {x|x ≥ 2} 3、 {x|x < 0}
讨论：
｛x|x≤-1或x≥2｝用区间如何表示？
解：用区间表示为
练习：解不等式组
2( x 1) 5 x 5 x 3 3x 1
(1) (2)
1、一元一次不等式（组）的解集
2、一元一次不等式（组）的解集的表示方法
（1）集合描述法 （2）区间：闭区间 开区间 半开半闭区间 无限区间
(－∞,b)
例题：用区间表示下列数集，并在数轴上表示
（1）{x|-1<x<3}
解：{x|-1<x<3}表示为（-1，3）
数轴表示
-1 0 3 x
（2）{x|-2≤x<2}
解：{x|-2≤x<2}表示为[-2，2)
数轴表示
-2 -1
0
1
2
x
（3）{x|x>-1}
解： {x|x>-1}表示为（-1，+∞），
（2）满足不等式a <x < b 的实数x的集 合叫做以 a , b 为端点的开区间，记作（a,b）
初中数学重点梳理：一元一次不等式(组)
一元一次不等式（组）
知识定位
不等式是一个比较重要的知识点，难度不是很大，在理解的基础上，使用适当的技巧即可解决。
知识梳理
一、不等式与不等式的性质
1、不等式：表示不等关系的式子。（表示不等关系的常用符号：≠，＜，＞）。
2、不等式的性质：
（l ）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a ＞ b ， c 为实数⇒a ＋c ＞b ＋c
（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如a ＞b ， c ＞0⇒ac ＞bc 。
（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc.
注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。
3、任意两个实数a ，b 的大小关系（三种）：
（1）a – b ＞0⇔ a ＞b
（2）a – b=0⇔a=b
（3）a–b ＜0⇔a ＜b
4、（1）a ＞b ＞0⇔b a >
（2）a ＞b ＞0⇔22b a <
二、不等式（组）的解、解集、解不等式
1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解。 不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。
不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。
2．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）
三、不等式（组）的类型及解法
1、一元一次不等式：
（l ）概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。
初中数学中考总复习课件 第三节 一次不等式与一次不等式组
化时，甲队比乙队少用4天.
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分
别是多少m2?
( 2 )若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元， 乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8 万元，至少应安排甲队工作多少天？
解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x m2， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是2x m2 根据题意得：
400 400 4 x 2x
解得：x=50，经检验x =50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100
（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 100m2、50m2；
（2）设至少应安排甲队工作y天，根据题意得：
1800 - 100 y 0.4 y 0.25 8 50
1. （2015 嘉兴）一元一次不等式2（x+1）≥4的解 在数轴上表示为( ) A
【解析】两边同除以－2，得x>-2.本题考查了不 等式的性质3：不等式两边同除以同一个负数， 不等号的方向改变.在这一点上学生容易想不到
改变不等号的方向而误选.
2 x 1 3 2. （2015 邵阳）不等式 的整数解的 x 3 0 个数是( B )
x<a
3x a
解一元 一次不
等式
⑤ ——— xa
xa
解法：先分别求出各个不等式的解集，再求出解 集的公共部分
一元一次不等式(组)的解法及其解集表示(必考)
（4）若不等式组至少有2个整数解，则 <m></m> 的取值范围为_______.
第二章 方程（组）与不等式（组）
命题点8 一元一次不等式（组）的解法及其解集表示（必考）
2023年安徽中考：数学
2022版课标要求
1. 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；
2. 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；
3. 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集.
1.不等式的基本性质
基本性质
数学表达
在解不等式中的应用
性质1
如果 ，那么 ____
移项
性质2
如果 , ,那么 ____ （或 ）
去分母，系数化为1
性质3
如果 , ,那么 ____ （或 ）
＞Baidu Nhomakorabea
＞
＜
失分警示：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
2.一元一次不等式的解法及解集表示
.
同大取大
_______
.
同小取小
续表
解集的类型及其在数轴上的表示
__________
.
大小小大中间找
______
.
大大小小找不到
无解
续表
1.对于不等式组 下列说法中正确的是( )A. 此不等式组的解集是 B. 此不等式组有4个整数解C. 此不等式组的正整数解为1， ， ， D. 此不等式组无解
一元一次不等式组及其解集
x < −2① (2) <3 ② x < 3
借助数轴， 例1. 借助数轴，求下列不等式组的解集：
x < −2① x > −2① (4) (3 ) ② x <3 ② x > 3
观察这些不等式组的解集你能从中找到什么规律： 观察这些不等式组的解集你能从中找到什么规律：
x > −2① ( ) 1 ② x > 3
30x>1200 30x<1500
① ②
1.一元一次不等式组： 一元一次不等式组： 一元一次不等式组
一元一次 不等式组
30x>1200
① 一元一次不等式
30x<1500 ②
一元一次不等式
一般地， 一般地，几个一元一次不等式所组成 的不等式组叫做一元一次不等式组. 的不等式组叫做一元一次不等式组.
2.一元一次不等式组的解集： 一元一次不等式组的解集： 一元一次不等式组的解集 30x>1200
用每分可抽30吨水的抽水机来抽污水管道 用每分可抽30吨水的抽水机来抽污水管道 30 里积存的污水，估计积存的污水超过1200 里积存的污水，估计积存的污水超过1200 吨而不足1500 1500吨 吨而不足1500吨，那么将污水抽完所用时 间的取值范围是什么？ 间的取值范围是什么？ 解：设将污水抽完用x分钟 设将污水抽完用 分钟
专题 一元一次不等式组(知识点精讲)(学生版)
专题05一元一次不等式组
重难突破
知识点一一元一次不等式组的解法
1、一元一次不等式组及解集
一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
注意：
一元一次不等式组的概念应满足三个条件：
①几个不等式必须含有同一个未知数；
②必须都是一元一次不等式；
③几个不等式用大括号合在一起，表示的含义是这几个不等式同时成立．
2、一元一次不等式组的解法
第一步：先分别求出不等式组中各个不等式的解集；
第二步：利用数轴求出这些解集的公共部分；
第三步：写出不等式组的解集的结论．
由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：（表中a b >）
典例1
（2021•南山区校级二模）不等式组13x x --⎧⎨<⎩ 的解集在数轴上可以表示为(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
典例2
（2021•福田区二模）不等式组122
253(6)x x x x ->+⎧⎨+-⎩
的解集为()
A ．3x <-
B ．2x
C ．32x -<
D ．无解
特殊解：
求不等式组中字母参数的取值问题，可以先将字母参数当做已知处理，求出解集，与已知不等式组的解或解集的情况进行对比，进而确定字母参数的值或取值范围．
解的讨论：
已知不等式（组），可以求出这个不等式（组）的解集；反过来，已知不等式（组）的解集，也能确定这个不等式（组）中未知的字母，把后者称为不等式（组）解集确定方法的逆用，处理这类问题时，可先求出原不等式（组）的解集，然后对照已知条件，得到关于未知字母的方程或不等式，解之即可．
一元一次不等式(组)的解法
2.2.2一元一次不等式(组)的解法
【教学目标】
1. 了解一元一次不等式（组）概念，掌握一元一次不等式（组）的解法．
2. 通过教学，体会数形结合、类比等数学思想方法．
3. 通过对不等式有关概念的学习，培养学生的知识迁移能力和建模意识，以及合作学习的意识．
【教学重点】
一元一次不等式（组）的解法．
【教学难点】
用数轴确定不等式（组）的解集．
【教学方法】
本节课主要采用讲练结合法．首先介绍一元一次不等式的有关概念，接着介绍一元一次不等式的解法及相应的步骤，这是解一元一次不等式组的基础．最后引导学生在数轴上用区间表示各不等式的解集，在此基础上求出相应不等式组的解集．
【教学过程】
元一次不等式(组)的 解法
月租费/（元•月－1）
本地通话费/（元•min－1）
50
0.4
0
0.6
问题：通话时间为多少时，神州行方式的费用
小于全球通方式的费用？
解：设本地通话时间为 x min，由题意得 0.6 x＜50＋0.4 x．
解这个不等式的步骤依次为：
0.6 x－0.4 x＜50， 0.2 x＜50， x＜250． (移项) (合并同类项) (两边同除以0.2， 不等号的方向不变) 所以，在本地通话时间小于250 min时，神州行方式的 费用小于全球通方式的费用．
所以第四季度可能的产量在4000到4100袋之间．
一元一次不等式组的定义
由几个含有同一个未知数的一元一次不等式所 组成的不等式组叫做一元一次不等式组．
x 4000 x 4100 x 5040
x5 4 x 1 3
例如：
或
例2
解下列不等式组：
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 x
解： 当 x 在（－∞ ，－3）时，即 x＜－3， 所以 x＋3＜0，即 x＋3 为负； 当 x 在（4，＋∞）时，即 x＞4， 所以 x＋3＞7，即 x＋3 为正； 当 x 在（－3，4）时，即－3＜x＜4，
所以 0＜x＋3＜7，即 x＋3 为正．
一元一次不等式的定义
0.6 x＜50＋0.4 x． 未知数的个数是1，且它的次数是1的不等式 叫做一元一次不等式．
一元一次不等式组课件(公开课)
面积和体积
如何使用一元一次不等式 组求解几何图形的面积和 体积。
线性规划
如何在一组约束条件下最 大化或最小化目标函数。
科学中的一元一次不等式组问题
化学反应
环境科学
如何确定化学反应中各物质的浓度范 围，以确保反应顺利进行。
如何评估污染物排放对环境的影响， 制定合理的环保措施。
生物学
如何分析种群数量变化，预测种群发 展趋势。
05
一元一次不等式组的解题技 巧
观察法在解一元一次不等式组中的应用
总结词
通过观察不等式组的特性，直接得出解集的方法。
详细描述
观察法是一种基于经验和直观的解题技巧，适用于一些简单的一元一次不等式组。通过 观察不等式的性质，如不等式的符号、变量的系数和常数项，可以快速判断不等式的解
集。
代数运算在解一元一次不等式组中的应用
一元一次不等式组的分类
要点一
总结词
一元一次不等式组可以根据未知数的个数、不等式的个数 以及解集的特点进行分类。
要点二
详细描述
一元一次不等式组可以根据未知数的个数分为二元一次不 等式组和一元一次不等式组；根据不等式的个数可以分为 简单的一元一次不等式组和复杂的一元一次不等式组；根 据解集的特点可以分为有解的一元一次不等式组和无解的 一元一次不等式组。根据不同的分类标准，可以对一元一 次不等式组进行不同的处理和求解。
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典例解析
【例1】 解下列不等式(组)：
(1)－2x＋ 1
2
(x－3)＞1;
(2)
x
3
2
1 2
x
－1；(3)
4x 3x
5 7
0, 0.
【解析】 (1)不等式两边同乘以2，得－4x＋(x－3)＞2，
移项化简得－3x＞5，两边同除以－3，得x＜ 5，
所以不等式的解集为
x
|
x
5 3
.
3
1
x
知识梳理
3．区间 设a，b∈R，且a＜b，则 (1)满足a≤x≤b的全体实数x的集合，叫做闭区间，记作 __[_a_，__b_] _． (2)满足a＜x＜b的全体实数x的集合，叫做开区间，记 作__(_a_，__b_) _． (3)满足a≤x＜b的全体实数x的集合，叫做半开半闭区间， 记作__[_a_，__b_) _． (4)满足a＜x≤b的全体实数x的集合，叫做半开半闭区间， 记作__(_a_，__b_] _．
来：
(1)－1＜x＜4可表示为_(－__1_，__4_)_；
(2)x≤－1可表示为_(_－__∞_，__－__1_]_；
(3)x＞0可表示为_(_0_，__＋__∞_)_；
(4)不等式3≤2x－1＜5的解集可表示为___[2_，__3_)__．
8．若不等式组 a＝___6___.
x a x 5
的解集是(6，＋∞)，则实数 【提示】 根据不等式组解
典例解析
解不等式：－2x－6≤3x－5≤6＋2x.
解：由不等式－2x－6≤3x－5得x≥－ 1 ；
5
由不等式3x－5≤6＋2x得x≤11，
∴不等式－2x－6≤3x－5≤6＋2x的解集为
x
1 5
x
11.
【思路点拨】 明确不等式的基本性质，不等式 前除以一个负数的，不等号才改变方向．
同步精练
一、选择题
x
|
5 4
x
7 3
.
3
x
|
5 4
x
7 3
典例解析
【举一反三1】 (1)不等式(x－3)2－x2＋3≥0的解集是( D )
A．[2，3]
B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，2]
【提示】 ∵不等式(x－3)2－x2＋3≥0等价于不等式 x2－6x＋9－x2＋3≥0，解得x≤2，故选D.
【提示】 不等式x－1＞2移项得x＞3， ∴不等式x－1＞2的解集是{x|x＞3}．
同步精练
5．若(a＋1)x＜2(a＋1)的解集是(2，＋∞)，则a的取值范
百度文库
围是( B )
A．(－1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(0，＋∞)
D．(－∞，0)
【提示】 不等式两边同除以a＋1，要 得到解集(2，＋∞)，则a＋1＜0，故选B.
知识梳理
2．不等式的解集 (1)一元一次不等式的解集 ①一元一次不等式最终可化为ax＞b(a≠0)的形式，当a＞ 0时，不等式的解集为____x_|_x___ba___；当a<0时，不等式的 解集为___x_|_x___ba____．
②要注意不等式ax＞b与一元一次不等式ax＞b的区别， 对于不等式ax＞b的解集要讨论a＝0的情况．当a＝0时，若 b＜0，则不等式的解集为___R___；若b≥0，则不等式的解集 为___∅___．
【提示】 不等式4x－3≤5＋2x等价 于2x≤8，解得x≤4，故选B.
同步精练
3．若不等式ax－2＞0的解集是(－∞，－4)，则实数a的
取值是( D ) A．1
B．－1
1
C. 2
D．
1 2
【提示】 不等式ax－2＞0等价于ax＞2，
∵解集是(－∞，－4)，∴a＝ 1 ,故选D.
2
4．不等式x－1＞2的解集是( C ) A．{x|x＞1} B．{x|x＞2} C．{x|x＞3} D．{x|x<3}
集的规定可知a＝6.
同步精练
9．若不等式组
2x 1 3
1,
的解集{x|x>2}，则a的取值范围
x a
是___a_≤__2__．
【提示】
解不等式组
2x 1 3 x a
1,
得
x x
2,要
a,
使解集是{x|x>2}，需a≤2.
10．不等式x－3≥1＋5x的解集可用区间表示为(_－__∞_，__－__1_]．
【思路点拨】 明确不等式的基本性质，不等式 除以一个负数时，不等号才改变方向．
典例解析
【例4】 解不等式：－3≤7－5x≤22.
{x|－3≤x≤2}
【解析】 ∵由不等式7－5x≤22解得x≥－3；由不 等式7－5x≥－3解得x≤2，
∴不等式－3≤7－5x≤22的解集为{x|－3≤x≤2}．
【举一反三4】
6．下面条件是a＞b成立的充分不必要条件的是( A ) A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
【提示】 由a>b＋1得a>b＋1>b，即a>b，由 a>b不能得出a>b＋1，因此，使a>b成立的充分不 必要条件是a>b＋1，故选A.
同步精练
二、填空题
7．将由满足下列条件的实数组成的集合用区间表示出
a＝4
【解析】 去括号：5x－10＋8＜6x－6＋7，移项： －x＜3，化系数为1：x>－3，所以不等式的最小整数 解是－2，所以2(－2)－a(－2)＝4，∴a＝4.
典例解析
【举一反三3】 当a满足条件__a_＜__0___时，由ax＞8可 得x＜ 8
a
【提示】 由ax＞8，可得x＜ 8 由不等式的性质可 知不等号方向发生了改变，∴a＜a0.
第三节 一元一次不等式(组)的解集与区间
知识梳理
1．一元一次不等式 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是 ____1___，系数不等于0的__左__右__两__边__都__为__整__式__的__不__等__式_____ 叫作一元一次不等式． (2)解一元一次不等式的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系 数为1.
∴(1)A∩B＝{1，2}．(2)A∪B＝{0，1，2，3，4}．
典例解析
(2)不等式组
2x 3x
6 5
3x 4的解集是(
5x 1
C
)
A．(2，3) B．(2，＋∞) C．(3，＋∞) D．(－∞，2)
【提示】 解不等式2x＋6＜3x＋4可得x＞2； 解不等式3x＋5＜5x－1可得x＞3，∴不等式组 的解集是(3，＋∞)，故选C.
【思路点拨】 解一元一次不等式要注意依据不 等式的性质进行恒等变形；解一元一次不等式组注 意总结规律——“大大取大，小小取小”．
知识梳理
(3)一元一次不等式组的解法 若a＜b，则不等式组
①
x a x b
的解集为__{_x_|_x＞__b_}____；
②
x a x b
的解集为_{_x_|_a_＜__x_＜__b_}_；
③
x a x b
的解集为__{_x_|_x＜__a_}____；
④
x a x b
的解集为_____∅_______．
知识梳理
(5)①满足x＜a的全体实数x的集合，可记作_(_－__∞__，__a_) _； ②满足x＞a的全体实数x的集合，可记作___(a_，__＋__∞__) __；③ 满足x≤a的全体实数x的集合，可记作___(－__∞__，__a_]__；④满 足x≥a的全体实数x的集合，可记作___[a_，__＋__∞__)__；⑤其中 “－∞”和“＋∞”分别读作“负无穷大”和“正无穷大”， 实数集R可记作__(－__∞__，__＋__∞_)_．
|
x
5 3
典例解析
(2)去分母得2(x－2)≤3x－6，去括号2x－4≤3x－6，移项、 合并同类项得－x≤－2，化系数得x≥2，所以不等式的解集 为{x|x≥2}．
(2){x|x≥2}
(3)解不等式4x＋5＞0，可得x＞ 5 ，解不等式3x－7＜0，
4
可得x＜ 7 ，
3
所以原不等式组的解集是
2
∵不等式的解集是(－5，4)，
a a
2 2
b b
5 4,
解得
a b
1 9.
同步精练
14．设集合A＝{x|x－2＜3，x∈N}，集合B＝{x|x－1≤1， x∈N＋}．求：
(1)A∩B； (2)A∪B.
解：由x－2＜3，得集合A＝{x|x＜5，x∈N}，
由x－1≤1，得集合B＝{x|x≤2，x∈N＋}， ∴集合A＝{0，1，2，3，4}，集合B＝{1，2}，
典例解析
【例2】 已知不等式2x－8≥－4＋ax的解集是{x|x≤－2}， 求实数a的值．
a＝4
【解析】 原不等式等价于(2－a)x≥4， ∵不等式的解集是{x|x≤－2}， ∴2－a＝－2，解得a＝4.
典例解析
【举一反三2】 已知不等式2x－8≥－4＋ax的解集是 {x|x≥2}，则a＝___0___.
1．若不等式组 定是( D )
x a x b
的解集是空集，则a，b的关系一
A．a＜b B．a＞b C．a＝b D．a≥b
【提示】 根据解一元一次不等式组 的要求，作出正确的判断．
2．不等式4x－3≤5＋2x的解集用区间表示为( B ) A．(－∞，4) B．(－∞，4] C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
【提示】 由不等式x－3≥1＋5x移 项，化系数为1得x≤－1.
同步精练
三、解答题 11．解不等式：2x 1 (x 3) 2.
3
解：两边同乘以3，得－6x＋x－3＞6，
即－5x＞9，两边同除以－5，得x＜ 9 .
∴不等式的解集是
,
9 5
.
5
同步精练
12．解不等式组：34xx
60 5 0.
【提示】 原不等式等价于(2－a)x≥4，∵不等式的 解集是{x|x≥2}，∴2－a＝2，解得a＝0.
【思路点拨】 解含参数的一元一次不等式，要 注意对参数进行讨论，同时体会不等式与相应方程根 的关系．
典例解析
【例3】 已知不等式5(x－2)＋8<6(x－1)＋7的最小整数 解是方程2x－ax＝4的解，求a的值．
知识梳理
(2)一元一次不等式组的解集 ①含有_相__同__未__知__数__的几个一元一次不等式组成的不等 式组，叫做一元一次不等式组． ②几个一元一次不等式的解集的___交__集___叫做由它们所 组成的一元一次不等式组的解集．特别地，如果各个不等 式的解集的__交__集____是空集，那么由它们组成的不等式组 的解集就是空集．
解：解不等式4x＋6＞0，得x＞ 3 ;
2
解不等式3x－5<0，得x＜ 5 .
3
∴原不等式的解集是
3 2
,
5 3
.
同步精练
13．已知不等式组 数a，b的值．
2x 2x
a a
b b
的解集是(－5，4)，求实
解：不等式2x－a＞－b等价于2x＞a－b，解得x＞ a b ;
2
不等式2x－a＜b等价于2x＜a＋b，解得x＜ a b .