人教A版数学必修一《1.3《函数的基本性质》导学案
内蒙古翁牛特旗乌丹第一中学高中数学 1.3.1函数的基本性质单调性学案 新人教A版必修1
内蒙古翁牛特旗乌丹第一中学高中数学 1.3.1函数的基本性质单调性学案新人教A 版必修1课题课型新授课 教学目标：1、通过一次函数、二次函数的图像理解单调性的定义；刻画增函数、减函数的图象特征；2、能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明。
3、在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知 数学的严谨美。
教学重、难点：重点：理解增函数、减函数的概念。
难点：用数学符号将自然语言的描述单调性的形式化定义，单调性概念的应用。
教学方法：引导发现与合作交流相结合教学内容：一、1.观察P27图1.3-1中的各个函数图象，说说分别反映了相应函数的哪些变化规律？2.继续阅读教材27页--28页，思考：如何利用函数解析式2)(x x f =描述“在区间),0(+∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大”？在区间(]0-，∞上呢？二、阅读28页--29页增函数、减函数、单调性、单调区间的概念，找出关键词，完成下面表格： 名称 定义 几何意义 图形表示增函数减 函 数一次函数bkx x f +=)(二次函数c bx ax x f ++=2)(反比例函数xky =教学流程：四、1.阅读教材29页例1、例2，讨论阅读中遇到的问题。
2.判断并证明函数f (x )＝1x-＋1在(0，＋∞)上的单调性．3.函数)(x f 的定义域为R ，在定义域上是增函数，则),2(-f )(πf ，)3(-f 的大小关系是？变式：函数)(x f 在定义域R 上是增函数，且)9()2(+->m f m f ,则实数m 的取值范围_____4.证明函数xx y 1+=在（1，+∞）上为增函数。
单调性六、课后作业1.函数32)(2+-=mx x x f ，当),2[+∞-∈x 时是增函数，当]2,(--∞∈x 时是减函数，则)1(f 等于（ ） A.-3 B.13 C.7 D.由m 而定的常数2.利用函数单调性的定义，证明函数f (x )＝x 在区间[0，＋∞)上是增函数。
人教版高中数学《函数的基本性质》优质教案
2.1函数的基本性质一、教学目标1．结合具体函数，了解函数单调性的含义；2．会运用函数奇偶性的定义和函数的图象理解研究函数的奇偶性；3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.二、教学重点1．回顾和理解函数的三大性质单调性、奇偶性以及周期性基础知识，掌握其概念的应用，一般是判断单调性、求参数或求值；2．掌握运用基础知识处理函数性质的综合应用题的解题思路. 其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．三、教学难点掌握周期性与抽象函数结合类的题型.高考对函数周期性的考查，常与抽象函数结合，题型主要以选择题或填空的形式出现，常涉及函数求值问题，且与函数的单调性、奇偶性相结合命题.四、教学过程（一）考情解读设计意图：对2016年广东开始高考卷之后的全国卷类型题进行整合，以表格形式呈现，一目了然，分析可得函数的基本性质是高考的常考内容，题型一般为选择填空，占分一般为5-10分.紧接着分析考点内容，明确复习方向.（二）知识梳理设计意图：对函数的单调性、奇偶性、周期性的定义、图像特点等进行梳理，把重点内容标红，并进行相应讲解，为后面的题型讲解奠定知识基础.1.单调函数的定义及几何意义2.函数的最值3.函数的奇偶性4.周期性（三）典例分析题型一：函数的单调性设计意图：精选了两道单调性的题目作为例题，例1为简单地应用单调性定义及函数图像特征判断单调性的题目，通过此题老师可带领学生总结判断函数单调性的方法：定义法、图像法等；例2为已知分段函数单调性求参数范围的题目，通过此题巩固应用单调性求参数、不等式等题型.【例1】（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为（）A ．()f x x =-B ．()23x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x =D ．()f x 【例2】已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ 题型二：函数的奇偶性设计意图：精选了两道奇偶性的题目作为例题，例1为简单地应用奇偶性定义求参数的题目，通过此题老师可带领学生巩固奇偶性的定义及图像特征；例2为奇偶性与分段函数结合的题目，但只要把握奇偶性的定义，可很快解决，通过此题再次强化奇偶性相关知识.【例1】（2021·全国Ⅰ卷）已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【例2】（2019·全国Ⅰ卷）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+题型三：函数的周期性设计意图：由于周期性一般与抽象函数及奇偶性相结合，题目比较综合.这里选取了一道直接利用周期性定义进行求值的题目，教师通过此题引导学生回顾求值由内到外的原则及分段函数求值的相关知识，巩固周期性的定义，为下一题型综合题奠定基础.【例1】（2018·江苏卷）函数()f x 满足()()()4f x f x x +=∈R ，且在区间(]2,2-上，()πcos ,02,21,20,2x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则()()15f f 的值为________． 题型四：函数性质的综合应用设计意图：精选了两道函数性质的综合应用的题型.例1为单调性与奇偶性相结合解不等式 的相关问题，教师可引导学生将此类已知单调性和奇偶性的抽象函数问题具体化画图来思考，紧紧扣住定义解题.例2为奇偶性与周期性相结合求值的题，通过此题再次巩固奇偶性和周期性的定义，将题目已知条件转化为熟悉的定义再去解题.()2017(,)(1)11(2)1A.[2,2] B.[1,1] C.[0,4] D.[1,3]f x f f x x ⋅-∞+∞ =- -- --【例1】（全国Ⅰ卷）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）≤≤ ()(,)(1)(1).(1)2(1)(2)(3)(502018A.50 B.0 C.2 D.0)5f x f x f f f f f f x -∞+∞ -=+=++++= ⋅-若，则…（【例2】（全国Ⅱ卷）已知是定义域为的奇函数，满足）（四）巩固练习设计意图：精选了三道题作为练习题.第一题考查单调性的判断和奇偶性定义，再次巩固函数基本性质的概念，为基础题.第二题为单调性与奇偶性相结合解不等式的相关问题，巩固数形结合思想.第三题为奇偶性和周期性相结合求值的题，为自编题，难度系数不高，巩固学生对周期性和奇偶性的概念理解，提高信心.1.（2020·全国Ⅰ卷）设函数()331f x x x =-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在()0,+∞单调递增B ．是奇函数，且在()0,+∞单调递减C ．是偶函数，且在()0,+∞单调递增D ．是偶函数，且在()0,+∞单调递减2．(2014·全国Ⅰ卷)已知偶函数f x ()在[0,)+∞单调递减，f (2)0=．若f x >(-1)0，则x 的取值范围是__________．()()()()()3R ,R,4,22,2022=A.2022 B.2 C.2022 D.2f x x f x f x f f ∈ +=-= --.已知函数是上的奇函数对任意都有若则（）（五）总结提升设计意图：制作了本节课的思维导图，引导同学们再次巩固函数基本性质高考重点考查的题型及其对应方法.五、作业设计设计意图：作业选取了两道单选题，一道多选题，四道填空题.题一考查单调性判断和奇偶性定义；题二考查奇偶性的定义，深化概念；题三考查单调性解不等式，为单调性的应用类题；题四考查奇偶性应用求解析式；题五考查偶函数的定义，跟2021出现的题目非常相像，说明研究高考题的重要性，值得深思；题六考查周期性的定义，为周期性和奇偶性的简单综合题；题七需要将题目所给等式经过化简才能变为周期性的定义的模式，进一步深化周期性与奇偶性的概念及其应用.。
人教高中数学必修一A版《函数的基本性质》函数的概念与性质说课复习(第2课时函数的最大值、最小值)
x＝5 时，有最大值 f(5)．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
x2－x（0≤x≤2），
2．已知函数 f(x)＝x－2 1（x>2），
求函数 f(x)的最大值和
最小值．
解：作出 f(x)的图象如图．由图象可知，当 x＝2 时，f(x)取最 大值为 2； 当 x＝12时，f(x)取最小值为－14. 所以 f(x)的最大值为 2，最小值为－14.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
函数 y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________． 解析：函数 y＝2x2＋2 在(0，＋∞)上是增函数， 又因为 x∈N*，所以当 x＝1 时， ymin＝2×12＋2＝4. 答案：4
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
图象法求函数的最值 已知函数 f(x)＝－2x，x∈（－∞，0），
本部分内容讲解结束
栏目 导引
3.2 函数的基本性质
3.2.2 奇偶性
第3课时 函数奇偶性的概念
课件
第三章 函数的概念与性质
考点
学习目标
结合具体函数，了解函数奇偶 函数奇偶性的
性的含义，掌握判断函数奇偶 判断
性的方法
奇、偶函数的 了解函数奇偶性与函数图象对
图象
称性之间的关系
奇、偶函数的 会利用函数的奇偶性解决简单
3．若函数 f(x)＝1x在[1，b](b>1)上的最小值是14，则 b＝________． 解析：因为 f(x)在[1，b]上是减函数， 所以 f(x)在[1，b]上的最小值为 f(b)＝1b＝14， 所以 b＝4. 答案：4
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
4．已知函数 f(x)＝4x2－mx＋1 在(－∞，－2)上递减，在[－2， ＋∞)上递增，求 f(x)在[1，2]上的值域． 解：因为 f(x)在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，所 以函数 f(x)＝4x2－mx＋1 的对称轴方程为 x＝m8 ＝－2，即 m＝ －16. 又[1，2]⊆[－2，＋∞)，且 f(x)在[－2，＋∞)上递增．
人教A版高中数学必修1《1.3 函数的基本性质 信息技术应用 用计算机绘制函数图象》_3
教学环节
起止时间（’”- ’”）
环节目标
教学内容
学生活动
媒体作用及分析
1、背景导入
0’0”- 2’28”
拓展知识，了解世界上第一台计算机的历史，体会计算机运算速度快的优点。
世界上第一台计算机诞生于1946年，每秒可进行5000次加法运算。
思考，回答问题
普米白板工具展示图片，书写功能。
2、主题介绍
学生能够用《图形科学计算器》绘制函数图像，并分析函数图像性质。
教师介绍《图形科学计算器》基本功能，小组实验，分析函数图像性质。
小组比拼，操作实验，分析函数图像性质，并在全班讲解展示成果。
利用图形科学计算器绘图；结合实物展台，及时展示学生设计实验结果。
6、抢答环节
35’24”- 43’50”
熟悉图形科学计算器的使用，快速绘制函数图像并分析函数性质。
2’28”- 3’30”
了解本节课主要学习的三种软件。
函数绘图软件工具的介绍。
思考，回答问题
普米白板工具展示图片，书写、标注圈点功能。
3、Excel
3’30”- 10’34”
学生能够用Excel绘制函数图像。
阅读教材，完成挑战，让学生自己操作Excel绘制函数图像，教师总结。
学生自己操作Excel绘制函数y=x3的图像。
附表
教学设计表
一、基本信息
用计算机绘制函数图像
学科（版本）
人教A版（必修1）
章节
1.3
学时
1课时
年级
高一
二、教学目标
（一）知识与技能：使学生学会使用计算机软件工具绘制函数图像。能用“ Excel”列表的方式绘制简单的函数图像；能用《几何画板》绘制带动态参数的函数图像，并进一步分析参数对函数图像的影响。能用《图形科学计算器》绘制函数图像，并分析函数的基本性质。
新课标人教版高中数学必修一 1.3函数的基本性质 教学设计
1.3 函数的基本性质[教学目标]1．理解函数的单调性，初步掌握函数单调性的判别方法．2．理解函数的最大值、最小值及其几何意义．3．结合具体函数了解奇偶性的含义．4．能够运用函数图象理解和研究函数的性质．[教学要求]讨论函数的基本性质，就是要研究函数的重要特征：函数的增与减，最大值与最小值，增长率与衰减率，增长（减少）的快与慢，对称性（奇偶性），函数的零点，函数值的循环往复（周期性）等．引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．[教学重点]函数的单调性的概念；判断、证明函数的单调性；形成奇偶性的定义．[教学难点]1．函数的单调性和奇偶性定义的形式化表达．2．利用增（减）函数的定义判断函数的单调性．[教学时数]3课时[教学过程]第一课时1.3.1单调性与最大（小）值——函数的单调性新课导入一、情景问题如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时内的气温变化图（24时与0时气温相同为32︒C ），观察这张气温变化图：问：该图形是否为函数图象？定义域是什么？问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢？由“函数在某个区间内随着自变量的增加函数值增大或减小”引入课题——函数的单调性．二、观察函数图象，认识“上升”与 “下降”请同学们画出函数x x f =)(和2)(x x f =的图象，并观察图象的变化特征，说说自己的看法．（呈现这两个函数的图象，课本第27页图）可观察到的图象特征：（1）函数x x f =)(的图象由左至右是上升的；（2）函数2)(x x f =的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的；也就是图象在区间]0,(-∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 随着减小，在区间),0(+∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大．归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同．函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映．新课进展一、函数的单调性1．如何用函数解析式2)(x x f =描述“随着x 的增大，相应的)(x f 随着减小”，“随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大”？在区间),0(+∞上任取x 1,x 2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关系呢？对于函数2)(x x f =，经过师生讨论得出：在区间),0(+∞上，任取两个21,x x ，当21x x <时，有)()(21x f x f <．这时，我们就说函数2)(x x f =在区间),0(+∞上是增函数．课堂练习请你仿照刚才的描述，说明函数2)(x x f =在区间]0,(-∞上是减函数．2．增函数和减函数的定义设函数)(x f 的定义域为I ：（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数（increasing function ）．（2）请你仿照增函数的定义给出函数)(x f 在区间D 上是减函数的定义．如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数（decreasing function ）．3．对定义要点分析问：（1）你能分析一下增函数定义的要点吗？（2）你能分析一下减函数定义的要点吗？引导学生分析增（减）函数定义的数学表述，体会定义中“区间D 上的任意两个自变量都有…”的含义．课堂例题例1 （课本第29页例1）课堂练习课本第39页习题1.3A 组第4题．课本第32页练习第1、2、3题．课堂例题例2 （课本第29页例2）课堂练习课本第32页练习第4题．4．本课小结（1）增减函数的图象有什么特点？增减函数的图象从左自右是上升的，减函数的图象从左自右是下降的．（2）用定义证明函数的单调性，需要抓住要点“在给定区间任意取两个自变量”去比较它们的函数值的大小．（3）如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间．5．布置作业课本第39页习题1.3A 组第1、2、3题．课本第44页复习参考题A 组第9题．第二课时1.3.1单调性与最大（小）值——函数的最大（小）值复习导入通过提问复习上节课主要学习内容．问：如何判断函数的单调性？观察上节课例1中的图象（课本第29页），发现，函数图象在2-=x 时，其函数值最小，而在1=x 时，其函数值最大．函数2)(x x f =的图象有一个最低点)0,0(，函数2)(x x f -=的图象有一个最高点)0,0(，而函数x x f =)(的图象没有最低点，也没有最高点．新课进展二、函数的最大（小）值1．函数的最大（小）值的定义设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0．那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值(maximum value)．请你仿照函数最大值的定义，给出函数)(x f y =的最小值的定义．设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≥)(；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0．那么，我们称M 是函数)(x f y =的最小值(minimum value)．课堂例题例1 （课本第30页例3）说明：本例题是一个实际应用题，教学时应让学生体会问题的实际意义．例2 （课本第30页例4）说明：本例题表明，高一阶段利用函数的单调性求函数的最大（小）值是常用的方法．通过本例题的教学，再一次让学生体会用函数的单调性定义证明函数的单调性的方法．课堂练习课本第32页练习第5题2．函数的最大（小）值与单调性的关系从上面的例题可以看到，函数的最大（小）值与单调性有非常紧密的关系．我们再看一个例子．例3观察下图，用函数的单调性研究以下问题：(1) 若函数()y f x =的定义域为[],x b e ∈，求最大值和最小值；(2) 若函数()y f x =的定义域为[],x a e ∈，求最大值和最小值；(3) 若函数()y f x =的定义域为[),x b d ∈，求最大值和最小值；解：(1)在定义域[],b e 上，函数()y f x =在区间[],b c 上是增函数，在区间[],c d 上是减函数， 在区间[],d e 上是增函数，且()()f e f c <，则函数()y f x =在[],b e 上的最大值为()f c ，最小值为()f d ；(2) 在定义域[],a e 上，函数()y f x =在区间[],a c 上是增函数，在区间[],c d 上是减函数， 在区间[],d e 上是增函数，且()()f a f d <，则函数()y f x =在[],a e 上的最大值为()f c ，最小值为()f a ；(3) 在定义域[),b d 上，函数()y f x =在区间[],b c 上是增函数，在区间[),c d 上是减函数， 由于函数在x d =处没有定义，则函数()y f x =在[),b d 上的最大值为()f c ，没有最小值．思考：为什么要讨论)()(c f e f <？说明：从本例中可以看出，在求函数的最值时，除了注意单调区间的变化之外，还要注意定义域的区间端点的函数值．3．本课小结函数的最大（小）值是一个函数在一段区间或者整个定义域上的整体性质．一个函数可能存在最大值也可能不存在最大值，最大值具有唯一性．对于最小值也一样．我们经常利用函数的单调性求函数的最大（小）值．4．布置作业课本第39页习题1.3A 组第5题；课本第39页习题1.3B 组第1、2题第三课时1.3.2 奇偶性创设情景，导入新课从对称的角度，观察下列函数的图象： 函数2()1,().f x x g x x =+=这两个函数图象有什么共同的特征?请列出从-3到3这一段区间上，两个函数的对应值表，并思考：自变量取值互为相反数时，函数值如何变化，有怎样的等量关系？讨论结果：当自变量取值互为相反数时，函数值恰相等．反映在图象上，函数图象关于y 轴对称．新课进展三、函数的奇偶性1．偶函数如果函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()(),f x f x -=那么函数()f x 就叫做偶函数(even function)．定义域关于坐标原点对称．请你举出偶函数的例子．2)(x x f =，21)(xx f =等等． 2．奇函数 观察函数x x f =)(和x x f 1)(=的图象，说一说这两个函数有什么共同特征？（1）图象看，它们都是关于坐标原点成中心对称；（2）从定义域看，它们的定义域都是关于坐标原点对称；（3）从函数值看，x 与x -的函数值的绝对值相等且符号相反．如果函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()(),f x f x -=-则函数()f x 叫做奇函数(old function)．请你举出奇函数的例子．3．函数的奇偶性奇函数和偶函数的这种性质叫做函数的奇偶性．（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．课堂例题例1 （课本第35页例5）课堂练习课本第36页练习第1（1）——（4）、第2题．4．本课小结本节课学习了函数的奇偶性及其判断方法．我们可以把对称性和奇偶性结合起来思考． 定义域具有对称性，函数值具有对称性，图象具有对称性．由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．5．布置作业课本第39页习题1.3A 组第6题，B 组第3题．课本第44页复习参考题A 组第10题．补充：1．已知2(),f x ax bx cx =++∈R 是偶函数，那么32()g x ax bx cx =++是( )．(A)偶函数 (B)奇函数(C)既奇又偶函数 (D)非奇非偶函数 2． 已知函数1,0,()0,0,1,0.x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩试判断并证明它的奇偶性．。
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第三章 函数的概念与性质 第2课时 函数的最大(小)值
（5）若函数有最值,则最值一定是其值域中的一个元素.
( √ )
（6）若函数的值域是确定的,则它一定有最值.
(× )
[−1, +∞)
2.() = 2 2 + 4 + 1的值域为__________.
2
3.函数() = −3 2 + 2在区间[−1,2]上的最大值为___.
[解析]函数() = − + 图象的对称轴为直线 = ,开口向下,又 ∈ [−, ],
2 − 400 + 37 500 = 0,解得 = 250或 = 150,
所以商场要获取最大利润的75%，每件标价应为250元或150元.
1.知识清单：
（1）利用图象法、单调性求函数的最值.
（2）与最值有关的恒成立问题.
（3）与最值有关的实际应用问题.
（1）商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元?
解 设购买人数为( ∈ ∗ )，羊毛衫的标价为每件元，利润为元,则 ∈
(100,300], = + ( < 0),∵ 0 = 300 + ,即 = −300 ,∴ = ( − 300),
∴利润 = ( − 100)( − 300) = ( − 200)2 − 10 000 ( ∈ (100,300]).
4
1 − 2 +
1
4
−
2
= (1 − 2 )(1
4
−
)
1 2
=
(1 −2 )(1 2 −4)
.
1 2
∵ 1 < 2 ,∴ 1 − 2 < 0,当1 ≤ 1 < 2 ≤ 2时,1 2 > 0,1 2 − 4 < 0,
高中数学新教材人教A版必修第一册学案：3.2函数的基本性质Word版含答案
【新教材】3.2.1 单调性与最大（小）值（人教A版）1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；2、会根据单调定义证明函数单调性；3、理解函数的最大（小）值及其几何意义；4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.重点：1、函数单调性的定义及单调性判断和证明；2、利用函数单调性或图像求最值.难点：根据定义证明函数单调性．一、预习导入阅读课本76-80页，填写。
1．增函数、减函数的定义2、单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间D叫做y＝f(x)的________．[点睛] 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“,”连接．如函数y＝1x在(－∞，0),(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．3、函数的最大（小）值1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．( )(3)任何函数都有最大值或最小值．( )(4)函数的最小值一定比最大值小．( )2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )A．[－4,4] B．[－4，－3]，[1,4]C．[－3,1] D．[－3,4]3．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－1,0B ．0,2C ．－1,2 D.12，2 4．下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝2x ＋15．函数f (x )＝2x，x ∈[2,4]，则f (x )的最大值为______；最小值为________． 题型一 利用图象确定函数的单调区间例1求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数:(1)y=3x-2;(2)y=-1x . 跟踪训练一1. 已知x ∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.题型二 利用函数的图象求函数的最值例2 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.跟踪训练二1.已知函数f(x)={1x ,0<x<1,x,1≤x ≤2.(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.题型三 证明函数的单调性 例3 求证:函数f(x)=x+1x 在区间(0,1)内为减函数. 跟踪训练三1.求证：函数f(x)＝21x在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 题型四 利用函数的单调性求最值例4 已知函数f(x)=x+ 4x .(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.跟踪训练四1.已知函数f(x)＝6x−1(x∈[2,6]，)求函数的最大值和最小值．题型五函数单调性的应用例5已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f34⎛⎫⎪⎝⎭的大小.跟踪训练五1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.题型六单调性最值的实际应用例6“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为h（t）=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？跟踪训练六1. 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金为3 600元时,能租出多少辆?(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?1.f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有f(a)−f(b)a−b>0，则必有( )A．函数f(x)先增后减 B．函数f(x)先减后增C．函数f(x)是R上的增函数 D．函数f(x)是R上的减函数2.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为( )A．－1 B．0C．1 D．23．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( ) A．[160，＋∞) B．(－∞，40]C．(－∞，40]∪[160，＋∞) D．(－∞，20]∪[80，＋∞)4.若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f (1－a)<f(2a－1)，则a的取值范围是。
高中数学必修一 《3 2 函数的基本性质》获奖说课导学案
3.2.1 函数的单调性与最大（小）值1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性概念；2.掌握增（减）函数的证明与判断；3.能利用单调性求函数的最大（小）值；4.学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
1.教学重点：函数单调性的概念，函数的最值；2.教学难点：证明函数的单调性，求函数的最值。
1、增函数与减函数的定义：一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有 ，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数。
一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有 ，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数2.函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是 ，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的 。
3.函数的最大（小）值一般地，设函数y ＝f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有f(x) M ，存在x 0∈I ，使得 ＝M 。
称M 是函数y ＝f(x)的最大值。
一般地，设函数y ＝f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有f(x) M ，存在x 0∈I ，使得 ＝M 。
称M 是函数y ＝f(x)的最小值。
一、探索新知探究一 单调性1、思考：如何利用函数解析式2)(x x f 描述“随着x 的增大，相应的f(x)随着增大？”2、你能类似地描述2)(x x f =在区间)0,(-∞上是减函数吗？3、思考：函数||)(x x f =，2)(x x f -=各有怎样的单调性 ？吗？该区间上一定是增函数在那么函数且满足在定义域的某区间上、思考：函数)(),()(,,存在)(4212121x f y x f x f x x x x x f y =<<=5、思考：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？牛刀小试：1、如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上,f(x)是增函数还是减函数。
1.3 函数的基本性质(人教版高中数学必修1 第1章集合与函数概念)
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f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x) 当 x=0 时，有 f(0) = -f(0)，因此有f(0)=0
函数的奇偶性
2. f(x)为奇函数 f(-x)=-f(x)
f(x)为偶函数 f(-x)=f(x)
定义域
x≠0
3. f(x)为奇函数，且f(x)在 x=0 处有定义 f(0)=0
f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x) 当 x=0 时，有 f(0) = -f(0)，因此有f(0)=0
函数的奇偶性
5. 根据函数奇偶性的特征，可以简化函数图象的画法.
偶函数图象关于 y轴 对称. 奇函数图象关于 原点 对称.
例3、已知函数 y=f(x) 是偶函数，它在 y 轴右边的图象如下 图，画出在 y 轴左边的图象.
y
相等
0
x
例3、已知函数 y=f(x) 是奇函数，它在 y 轴右边的图象如下 图，画出在 y 轴左边的图象.
即f ( x 1 ) < f ( x 2 ) 所以，函数 f ( x ) = 3x+2 在 R上是单调增函数。
练习1 证明：函数 f ( x ) = x2+3 在 （0,+∞）上是单调增函数.
练习2 证明函数 y 1 在 （0,+∞）上是单调性. x
证明：设x1, x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则
若函数在此区间上是增函数，则区间为单调递增区间
人教A版高中数学必修一全册导学案函数及其表示
课题：1.2 函数及其表示 （习题课）一、三维目标：知识与技能：对函数()f x 记号的理解与运用，会根据条件求函数的解析式，理解函数的三种表示法及其简单应用，掌握函数的图像及其简单应用。
过程与方法：通过本节内容的学习，使学生加深对函数及其应用的理解、初步体会学习函数的方法。
情感态度与价值观：激发学习兴趣，培养学生合作探究学习的能力。
二、学习重、难点：重点：函数()f x 记号的理解与运用，会根据条件求函数的解析式，掌握函数的图像及应用。
难点：函数的图像及其应用。
三、知识链接：1、函数的概念 ：2、函数的三种表示方法：四、学法指导：回顾前几节函数知识的内容，认真学习导学案中的例题，灵活运用函数知识解决问题，并注意方法规律总结。
五、学习过程：A1. 函数()f x 记号的理解与运用：已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2,求f[4] g[6].，f[g(x)]，g[f(x)]。
B2.解析式法及应用：例1求函数的解析式：(1)已知f (2x ＋1)＝x 2＋1，求f (x )；解：(1)设t ＝2x ＋1，则x ＝t －12， ∴f (t )＝(t －12)2＋1.从而f (x )＝(x －12)2＋1.(2)已知f (1x )＝x1－x 2，求f (x )．解法一：设t ＝1x ， 则x ＝1t (t ≠0)，代入f (1x )＝x1－x 2，得f (t )＝1t 1－(1t)2＝t t 2－1， 故f (x )＝xx 2－1(x ≠0)．解法二：∵f (1x )＝x 1－x 2＝1x (1x)2－1， ∴f (x )＝xx 2－1(x ≠0)．(3)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， ∴a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. （4）已知)(x f 满足12()()3f x f x x+=，求)(x f . 解：2f (x )＋f (1x)＝3x ①，把①中的x 换成1x ，得2f (1x )＋f (x )＝3x②，①×2－②得3f (x )＝6x －3x ，∴f (x )＝2x －1x.方法总结：第(1)题用代入法；第(2)题用配凑法；第(3)题已知一次函数，可用待定系数法；第(4)题用方程组法。
高一数学必修1《函数的基本性质》教案
高一数学必修1《函数的基本性质》教案教学目标：1. 理解函数以及函数的各种表达方式。
2. 掌握函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性和零点。
3. 实现函数的简单变换，例如平移、伸缩和反转等。
4. 能够应用函数的基本性质，解决实际问题。
教学重点：1. 理解函数的概念以及函数的各种表达方式。
2. 掌握函数的基本性质，实现函数的简单变换。
3. 能够应用函数的基本性质，解决实际问题。
教学难点：1. 如何理解函数的概念以及函数的各种表达方式。
2. 如何应用函数的基本性质，解决实际问题。
教学方法：一、讲授法。
二、探究法。
三、案例分析法。
教学过程：一. 引入新知识(5分钟)：教师简单介绍函数的概念和历史背景，引导学生关注函数在实际生活中的应用，引出本节课的学习目标，激发学生的学习兴趣。
二. 讲解函数的概念(10分钟)：1. 函数的定义：任何能够使$x$值唯一对应一个$y$值的规律都称为函数，可以表示为$y=f(x)$。
$x$为自变量，$y$为因变量，函数$f(x)$表示$y$与$x$之间的关系。
2. 函数的图像：函数可以通过绘制它们的图像进行可视化。
函数的图像是平面直角坐标系上的一条曲线。
3. 函数的表示方法：函数可以用表格、图像、公式等多种方式表示。
例如$f(x)=x^2$就是一种表示方式。
三. 掌握函数的基本性质(30分钟)：1. 单调性：单调递增和单调递减；2. 奇偶性：奇函数、偶函数和常函数；3. 周期性：周期函数和非周期函数；4. 零点：零点定义以及求零点的方法。
四. 实现函数的简单变换(10分钟)：1. 平移变换：表示为$f(x-a)$或$f(x)+b$，注意$a$和$b$的正负性；2. 伸缩变换：表示为$f(kx)$或$f(x)/k$，注意$k$的正负性；3. 反转变换：表示为$f(-x)$或$f(-y)$，注意反转后的坐标轴位置变化。
五. 应用函数的基本性质(10分钟)：1. 求函数的最值。
人教版高中数学必修一全册导学案
人教版高中数学必修一全册导学案尊敬的读者：在这篇文章中，我将为您提供人教版高中数学必修一全册导学案。
这是一份由数学教师编写的全面指导学生学习高中数学课程的材料。
以下是每个单元的导学案，旨在帮助您更好地理解和掌握相关的数学概念和技巧。
第一单元：函数的概念与基本性质本单元导学案旨在帮助学生们理解函数的基本概念和性质。
在这个单元中，学生将掌握如何用映射、关系、对应等方式描述函数的概念，并了解函数的定义域、值域和图像等基本性质。
第二单元：一次函数与二次函数在这个单元的导学案中，学生将学习一次函数和二次函数的图像、性质和应用。
学生将学会如何识别一次函数和二次函数的特点，并学习如何利用函数的图像解决实际问题。
第三单元：指数与对数函数这一单元的导学案将帮助学生们理解指数函数和对数函数的概念和性质。
学生们将学习指数函数和对数函数的性质、图像以及它们的运算法则，并能够应用指数和对数函数解决实际问题。
第四单元：三角函数本单元的导学案将介绍三角函数的基本概念和性质。
学生将学习正弦函数、余弦函数和正切函数的性质和图像，并掌握化简三角函数表达式的方法。
第五单元：数列与数学归纳法这个单元的导学案旨在帮助学生理解数列的概念和性质，并学习数列的求和公式和通项公式。
学生们将学习如何应用数学归纳法解决数列相关的问题。
第六单元：排列与组合在这个单元的导学案中，学生将学习排列和组合的基本概念和性质。
通过学习排列和组合的问题，学生可以培养解决实际问题的能力。
第七单元：概率与统计在概率与统计的导学案中，学生将学习如何计算事件的概率和统计数据，并了解一些常见的概率分布和统计方法。
第八单元：二次函数的图像与性质在这个单元的导学案中，学生将深入学习二次函数的图像和性质。
学生将学习如何识别二次函数的图像特点，并学习如何应用二次函数解决实际问题。
第九单元：三角函数的图像与性质这个单元的导学案将介绍更多关于三角函数的图像和性质。
学生将学习如何识别三角函数的图像特点，并学会通过图像推导三角函数的性质和公式。
高中数学人教A版必修1课件：1.3函数的基本性质
(2)函数单调性的刻画： ①图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 它的图象若从左向右连续上升(下降)，则称函 数在该区间上是单调递增(减)的； ②定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称 函数在该区间上是单调递增(减)的．
间应是定义域的子集．
2.画出函数 f(x)＝－x2＋2|x|＋3 的 图象，并指出函数的单调区间．
解析： y＝－x2＋2|x|＋3 －x2＋2x＋3＝－x－12＋4
＝－x2－2x＋3＝－x＋12＋4 函数图象如图所示：
x≥0 x＜0 .
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
[0,1]
4．求证：函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单 调减函数．
证明： 设 1＜x1＜x2，
y1－y2＝x1－1 1－x2－1 1 ＝x1－x21－xx21－1 ∵1＜x1＜x2 ∴x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0 ∴x1－x21－xx21－1＞0. 即 y1＞y2，
∴函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单调减函数.
解析： ∵f(x)在R上递减，且3<5，
∴f(3)>f(5)．故选C.
答案： C
3．如图所示，函数y＝ f(x)的单调递增区间有 ________，递减区间有 ________．
新人教A版必修1高中数学§1.3函数的基本性质学案
高中数学 §1.3函数的基本性质学案 新人教A 版必修1学习目标：1. 掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；2. 能应用函数的基本性质解决一些问题；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.学习难点：函数的基本性质的综合运用学习重点：函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；预习案：（复习教材P 27~ P 36，找出疑惑之处）复习1：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？复习2：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？例题剖析：例1判断函数y ＝x 2－2|x |－3的奇偶性，并作出图象指出单调区间及单调性.例2 已知f (x )是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f (x )的(-∞,0)上的单调性，并给出证明.小结：定义在R 上的奇函数的图象一定经过 . 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性 ，偶函数在关于原点对称区间上的单调性例3 已知()f x 是定义在(1,1)-上的减函数，且(2)(3)0f a f a ---<. 求实数a 的取值范围.当堂检测：1、 已知f (x )是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f (x )在[-7,-3]上是 函数，且最 值为 .2、函数2y x bx c =++((,1))x ∈-∞是单调函数时，b 的取值范围 （ ）.A ．2b ≥-B ．2b ≤-C ．2b >-D ． 2b <-3、下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是（ ）.A ．1y x =-+B ．y ．245y x x =-+ D ．2y x =4、 已知函数y =2ax bx c ++为奇函数，则（ ）.A. 0a =B. 0b =C. 0c =D. 0a ≠课后作业：1、设()f x 在R 上是奇函数，当x ≥0时，()(1)f x x x =+，画出函数的图象并求出()f x 的表达式是什么？2、判别下列函数的奇偶性：（1）y ＝ （2）y ＝22(0)(0)x x x x x x ⎧-+>⎪⎨+≤⎪⎩.3、课本第44页8、9、10。
新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第三章函数概念与性质《函数的概念及其表示：函数的表示方法》
教学设计：新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第三章函数概念与性质《函数的概念及其表示：函数的表示方法》教学目标（核心素养）1.数学抽象：学生能够理解并掌握函数的三种基本表示方法（解析式、列表法、图像法），并能根据具体情境选择合适的表示方法。
2.逻辑推理：通过分析不同表示方法下的函数实例，学生能够推导出函数的基本性质，如定义域、值域、单调性等。
3.数学建模：培养学生将实际问题抽象为数学模型的能力，特别是能够运用函数的不同表示方法来构建数学模型。
4.数学运算：在理解函数表示方法的基础上，学生能够进行简单的函数运算和性质分析。
5.数学交流：通过小组合作和课堂展示，学生能够清晰、准确地表达自己对函数表示方法的理解和应用。
教学重点•掌握函数的三种基本表示方法（解析式、列表法、图像法）。
•理解并能灵活应用不同表示方法解决实际问题。
教学难点•理解函数图像与解析式、列表法之间的内在联系，能够相互转化。
•在复杂情境中准确选择和应用合适的函数表示方法。
教学资源•多媒体课件（包含函数实例、图像展示、动画演示等）。
•教材及配套习题册。
•黑板和粉笔/白板和笔，用于板书和演示。
•数学软件（如GeoGebra、Desmos）用于实时绘制函数图像和进行性质分析。
教学方法•讲授与演示结合：利用多媒体展示函数实例和图像，辅助讲解函数表示方法。
•小组合作学习：分组讨论函数实例，共同探究不同表示方法的优缺点和适用情境。
•问题驱动法：通过提出问题引导学生主动思考，加深对函数表示方法的理解和应用。
•实践操作法：利用数学软件绘制函数图像，进行性质分析，提高学生的实践能力。
教学过程导入新课•情境创设：展示一个实际问题的情境（如汽车速度随时间变化的问题），引导学生思考如何描述这种变化关系。
•问题引入：提问“我们有哪些方式来表示这种变化关系（即函数）？”引出函数的不同表示方法。
新课教学1.解析式法：•讲解解析式法的定义和特点，强调其精确性和一般性。
人教版A版高中数学《函数的基本性质--函数的单调性与最值》单元教材教学分析
重点、难点与关键
教学重点：1、掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别，结合函数图形熟记几种常见函数的基本性质。2、函数的最大（小）值
教学难点：1、函数概念的理解。2、利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值。
教学方法和手段的设计
学生在学习本节内容之前已经学习了函数的定义，表示法，图象，也学习了一次函数，二次函数，反比例函数的函数值y与变量x之间的关系，特别是学习了二次函数的最大（小）值，这为理解函数的单调性和最大（小）值奠定了一定的基础。但另一方面，以前对函数的单调性和最大（小）值的研究是一种定性的研究，侧重于直观的思维，而本节内容是要对函数单调性和最大（小）值的定量的研究，侧重于逻辑思维能力，这给学生的学习带来了较大的困难。因此，在教学过程中，多创设熟悉的问题情景：如在引课中利用建造一个长方形的花坛，构造熟悉的二次函数，上课中所举例子都是一些常见的函数来加以落实。在定义教学中，多给学生思考问题的时间和空间，引导学生观察，归纳，总结。特别利用数形结合，定性与定量相结合，尽量让学生用数学语言来描述，以便于学生的理解和掌握。利用类比教学法：当介绍了增函数的定义之后，让学生自己得出相应减函数的定义；当介绍了函数最大值的定义之后，让学生自己得出函数最小值的定义；便于学生进一步加深对定义的理解。对于一些容易出错的问题采取纠错教学法：“函数在(-∞,0）上y随x的增大而减少,在（0,+∞）上y随x的增大而减少，则函数在定义域内是减函数”。“所有函数是否都有最大（小）值？”、“函数在相应的区间内是否一定有单调性？”。还有一些比较复杂的问题：“确定函数的单调区间”等问题让学生去讨论，去探究，教师积极引导，培养学生的自主探究能力。
高中数学必修一：1.3函数的基本性质“三四五”高效课堂教学设计
“三四五”高效课堂教学设计：（授课日期：年月日星期班级）测试，得到了一些数据.时间间隔t0分钟20分钟60分钟8~9小时1天2天6天一个月记忆量y(百分比)100%58.2%44.2%35.8%33.7%27.8%25.4%21.1%观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量（时间间隔t）逐渐增大时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?（二）经典例题二、知识要点1.增函数和减函数: 一般地，设函数()f x的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,x x，当12x x<时，都有12()()f x f x<，那么就说函数()f x在区间D上是增函数.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,x x，当12x x<时，都有12()()f x f x>，那么就说函数()f x在区间D上是减函数.2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤：☆变式练习2根据函数()y f x =的图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 【解析】2. 函数单调性的证明例2 证明函数()21f x x =-在区间(,)-∞+∞上是增函数.【思路分析】根据函数单调性的定义进行证明，要注意证明的方法和步骤. 【证明】☆变式练习2证明函数1()f x x=在区间(0,)+∞上是减函数. 【证明】三、总结提升1、本节课你主要学习了2、依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤： 四、问题过关1、函数()y f x =的图象如图1所示，则函数()f x 的单调递增区间为 单调递减区间为2、函数()y f x =的图象如图2所示，则函数()f x 的单调递增区间为 单调递减区间为3、函数()y f x =的图象如图3所示，则函数()f x 的单调递增区间为 单调递减区间为图1 图2 图3 4、如图所示的是定义在闭区间［－4，7］上的函数()y f x =的图象，根据图象说出函数的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f （x ）是增函数还是减函数？5、证明函数()3f x x =-+在区间(,)-∞+∞上是减函数.6、证明函数2()1f x x =+在区间(,0)-∞上是减函数.因材施教：教学后记：。
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中学高中数学《1.3 函数的基本性质》导学案新人教A版必修1
1. 掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；
2. 能应用函数的基本性质解决一些问题；
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
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复习1：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？
复习2：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？
二、新课导学
※典型例题
例1 作出函数y＝x2－2|x|－3的图象，指出单调区间及单调性.
小结：利用偶函数性质，先作y 轴右边，再对称作.
变式：y ＝|x 2－2x －3| 的图象如何作？
反思：
如何由()f x 的图象，得到(||)f x 、|()|f x 的图象？
例2已知()f x 是奇函数，在(0,)+∞是增函数，判断()f x 在(,0)-∞上的单调性，并进行证明.
反思：
奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？
（偶函数在关于原点对称的区间上单调性 ；奇函数在关于原点对称的区间上单调性 ）
例3某产品单价是120元，可销售80万件. 市场调查后发现规律为降价x 元后可多销售2x 万件，写出销售金额y (万元)与x 的函数关系式，并求当降价多少元时，销售金额最大？最大是多少？
小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题※动手试试
练1. 判断函数y=
2
1
x
x
+
+
单调性，并证明.
练2. 判别下列函数的奇偶性：
（1）y（2）y＝
2
2
(0)
(0)
x x x
x x x
⎧-+>
⎪
⎨
+≤
⎪⎩
.
练3. 求函数
1
()(0)
f x x x
x
=+>的值域.
三、总结提升
※学习小结
1. 函数单调性的判别方法：图象法、定义法.
2. 函数奇偶性的判别方法：图象法、定义法.
3. 函数最大（小）值的求法：图象法、配方法、单调法.
※知识拓展
形如(||)
f x与|()|
f x的含绝对值的函数，可以化分段函数分段作图，还可由对称变换得到图象. (||)
f x的图象可由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧. |()|
f x的图象，先作()
f x的图象，再将x轴下方的图象沿x轴对折到x轴
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 函数2
y x bx c
=++((,1))
x∈-∞是单调函数时，b的取值范围（）.
A．2
b≥- B．2
b≤-
C ．2
b>- D．2
b<-
2. 下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是（）.
A．1
y x
=-+B．y
C．245
y x x
=-+D．
2 y
x =
3. 已知函数y=
2
ax b
x c
+
+
为奇函数，则（）.
A.0
a= B. 0
b=
C. 0
c= D. 0
a≠
4. 函数y＝x的值域为 .
5. 2
()4
f x x x
=-在[0,3]上的最大值为，最小值为 .
()
f x(1,1)
-上的减函数，且
(2)(3)0
f a f a
---<. 求实数a的取值范围.
2. 已知函数()
f x.
（1）讨论()
f x的奇偶性，并证明；
（2）讨论()
f x的单调性，并证明.。