高数第三章

第三章

一、填空题

1．函数()lnsin f x x =在区间5,66ππ⎡⎤⎢

⎥⎣⎦上满足罗尔定理，则ξ= 2． 函数()34f x x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理，则ξ=

3．设函数2ln y x x =，则它在x = 处取得极小值。

4

．设函数(ln y x =+，则它在其定义域(),-∞+∞ 内单调

5．设函数x y xe -=，则曲线的拐点坐标为

6．3231214y x x x =+++的拐点是 __ .

7．a =______b=_______时，曲线32y ax bx =+的拐点是（1，2）.

8．曲线2cos y x x =+在区间[0,

]2π上的最大值为_____________ 9. 曲线3()f x x =的拐点是 ．

二、选择题

1．设在[]0,1上()0f x ''>，则()()()()0,1,10f f f f ''-或()()01f f -几个数的大小顺序为（ ）

A ()()()()1010f f f f ⅱ>>-

B ()()()()1100f f f f ''>->

C ()()()()1010f f f f ''->>

D ()()()()1010f f f f ''>->

2． 设()()()0000,0f x f x f x ''''''==>，则（ ）

A ()0f x '是()f x '的极大值

B ()0f x 是()f x 的极大值

C ()0f x 是()f x 的极小值

D ()()00,x f x 是曲线()y f x =的拐点

3．()f x 二阶可导，()()0,0f f ππ''=>，已知x π=是()f x 的极值点，()()cos g x f x x =则（ ）

A

x π=是()g x 的极大值点 B x π=是()g x 的极小值点 C x π=不是()g x 的极大值点 D x π=是否为()g x 的极值点不定

4．()f x 二阶可导，()()0,0f f ππ''=>，已知x π=是()f x 的极值点， ()()cos g x f x x =则（ ）

A x π=是()g x 的极大值点

B x π=是()g x 的极小值点

C x π=不是()g x 的极大值点

D x π=是否为()g x 的极值点不定

5．设 0,0,a b >>则方程30x ax b ++=的根为（ ）

A 有三个互异的实根

B 有两个互异的实根

C 只有一个正根

D 只有一个负根

6．函数()5x f x =在区间[]1,1-上的最大值为（ ） A 1

5- B 0 C 1

5 D 5

7．若函数()y f x =在定义域内'''()0,()0,f x f x <<则()y f x = ( )

A 单调增加且曲线是凸的

B 单调减少且曲线是凸的

C 单调增加且曲线是凹的

D 单调减少且曲线是凹的

8．若函数()y f x =在定义域内'''()0,()0,f x f x <<则有( )

A ()y f x =单调增加且曲线是凸的

B ()y f x =单调减少且曲线是凸的

C ()y f x =单调增加且曲线是凹的

D ()y f x =单调减少且是凹的

9. 函数()(f x x =-在[1,4]上满足罗尔定理中的ξ=（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

10. 设函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则方程()0f x '=有（ ）

（A ）一个实根 （B ）二个实根 （C ）三个实根 （D ）无实根

11．若函数)(x f y =在定义域内,0)(,0)('''<

A ． )(x f y =单调增加且曲线是凸的

B ． )(x f y =单调减少且曲线是凸的

C ． )(x f y =单调增加且曲线是凹的

D ． )(x f y =单调减少且曲线是凹的

12. 函数ln y x =在(0,)+∞内（ ）

（A ）单增且曲线是凸的 （B ）单增且曲线是凹的

（C ）单减且曲线是凸的 （D ）单减且曲线是凹的

13. 0()0f x '=是函数()f x 在0x 点取得极值的（ ）

（A ）充要条件（B ）充分条件 （C ）必要条件 （D ）以上说法都不对

14. 函数()x f x xe =在(0,)+∞内是（ ）

（A ）单调增加 （B ）单调减少 （C ）有増有减 （D ）有界

三、解答题

1. 证明方程510x x +-=只有一个正根。

2．求椭圆223x xy y -+=上纵坐标最大和最小的点。

3.证明多项式()33f x x x a =-+在[]

0,1上不可能有两个零点。 4．设()1,x

a f x a ax >=-在(),-∞+∞内的驻点为()x a ，问a 为何值时，()x a 最小？并求出最小值。

5.设()f x 在[]

0,1上连续，在()0,1内可导，且()10f =，证明至少存在一点()0,1ξ∈，使()()0f f ξξξ'+=

6． 试求过曲线4xy =上任意一点()()000,0x y x >处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的值。

7.设()f x 在[]0,π上连续，在()0,π内可导，证明至少存在一点()0,ξπ∈， 使()()cot f f ξξξ'=-。

8．试确定a 值，使()1sin sin33f x a x x =+在3x π=处有极值，指出它是极大值还是极小值？并求此极值。

9.若()f x 可导，试证在其两个零点间一定有()()f x f x '+的零点。

10．在椭圆22

221x y a b +=的第一象限部分上求一点P ，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围成图形的面积为最小，（其中0,

a b >>

如图：

11．证明：当x>0时，arctan ln(1)1x x x +>+ 12．()f x 在区间[]0,1上连续，在()0,1内可导，且证明：在内（0，1）至少存在一点ξ，使()()0f f

ξξ'+=