专题_竖直平面内的圆周运动
专题05竖直平面内的圆周运动问题高中物理练习分类专题教案(人教版2019)
第五章抛体运动专题05：竖直平面内的圆周运动问题题组一拱形桥、凹形路面模型1.(2023江苏镇江实验高中月考)如图所示，甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车情景，甲、乙两图的过山车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的过山车在轨道的内侧做圆周运动，过山车上有安全锁(由三个轮子组成)，把过山车套在了轨道上，四个图中轨道的半径都为R，重力加速度为g，下列说法正确的是()A.甲图中，当过山车以一定的速度通过轨道最高点时，座椅一定给人向上的力B.乙图中，当过山车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向上的力C.丙图中，当过山车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅可能给人向下的力D.丁图中，过山车过最高点的最小速度为√gR2.(2023广东实验中学期中)某段路面由两个半径相同的圆弧相切组成，某同学乘坐的汽车(视为质点)。
以不变的速率通过这段路面，在通过凸形路面最高点B时，汽车对路面的压力大小为其所受重力的34已知汽车及车上人的总质量为m，圆弧路面的半径为R，重力加速度大小为g，下列说法正确的是()A.汽车的速率为√gRB.汽车的速率为√gR2C.汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为3mg2D.汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为7mg4题组二轻绳模型3.(2023江苏连云港四校期中联考)如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，已知重力加速度为g，则下列说法中正确的是()A.小球在圆周最高点时的向心力一定是重力B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C.若小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为√gLD.小球过最低点时绳子的拉力有可能小于小球的重力4.(2023北京朝阳六校联考)如图所示，滚筒洗衣机脱水时，滚筒绕水平转动轴转动，滚筒上有很多漏水孔，附着在潮湿衣服上的水从漏水孔中被甩出，达到脱水的目的。
某一阶段，如果认为湿衣服在竖直平面内做匀速圆周运动，已知滚筒半径为R，取重力加速度为g，那么下列说法正确的是()A.衣物转动到最高点时水滴更容易被甩出B.脱水过程中滚筒对衣物作用力始终指向圆心C.脱水过程中滚筒对衣物的摩擦力始终充当向心力D.为了保证衣物在脱水过程中能做完整的圆周运动，滚筒转动的角速度至少为√gR5.(2022浙江温州期末)激光高速特技车(以下简称小车)依靠强磁电机提供动力，能以很大的速度在空心球体中运动。
高中物理重要方法典型模型突破11-模型专题(3) -竖直平面内圆周运动 (解析版)
专题十一模型专题（3）竖直面上的圆周运动【典型模型解读】1.竖直面内匀速圆周运动：注意匀速圆周运动的条件2.竖直平面内非匀速圆周运动的两类典型模型分析轻绳模型轻杆模型实例如球与绳连接、沿内轨道运动的球等如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等图示最高点无支撑最高点有支撑最高点受力特征重力、弹力，弹力方向指向圆心重力、弹力，弹力方向指向圆心或背离圆心受力示意图力学方程mg+F N=mrv2mg±F N=mrv2临界特征F N=0,v min=gr竖直向上的F N=mg,v=0过最高点条件v≥gr v≥0速度和弹力关系讨论分析①能过最高点时，v≥gr，F N+mg=mrv2，绳、轨道对球产生弹力F N②不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动①当v=0时，F N=mg，F N为支持力，沿半径背离圆心②当0<v<gr时，-F N+mg=mrv2，F N背离圆心，随v的增大而减小③当v=gr时，F N=0④当v>gr时，F N+mg=mrv2，F N指向圆心并随v的增大而增大【典例讲练突破】【例1】（2019高考江苏卷物理6）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（）A.运动周期为2πRω B.线速度的大小为ωRC.受摩天轮作用力的大小始终为mgD.所受合力的大小始终为m ω2R【解析】由于座舱做匀速圆周运动，由公式2πTω=，解得：2πT ω=，故A 错误；由圆周运动的线速度与角速度的关系可知，v R ω=，故B 正确；由于座舱做匀速圆周运动，所以座舱受到摩天轮的作用力是变力，不可能始终为mg ，故C 错误；由匀速圆周运动的合力提供向心力可得：2F m R ω=合，故D 正确。
【答案】BD【练1】在考驾驶证的科目二阶段，有一项测试叫半坡起步，这是一条类似于凸型桥面设计的坡道。
高中物理：物体在竖直面内的圆周运动
1、轻绳或细杆作用下物体在竖直面内的圆周运动（1）轻杆作用下的运动如图所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点A时，若杆与小球m之间无相互作用力，那么小球做圆周运动的向心力仅由重力提供：得=，由此可得小球在最高点时有以下几种情况：当=0时，杆对球的支持力F N = mg，此为过最高点的临界条件。
②当=时，，=0③当0＜＜时，m g＞＞0且仍为支持力，越大越小④当＞时，＞0，且为指向圆心的拉力，越大越大（2）细绳约束或圆轨道约束下的运动：如图所示为没有支撑的小球（细绳约束、外侧轨道约束下）在竖直平面内做圆周运动过最高点时的情况。
①当，即当==时，为小球恰好过最高点的临界速度。
②当＜，即＞=时（绳、轨道对小球还需产生拉力和压力），小球能过最高点③当＞，即＜=时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了圆周轨道。
竖直面内的圆周运动一般不是匀速圆周运动，而是变速圆周运动，此时由物体受到的合力沿半径方向的分力来提供向心力，一般只研究最高点和最低点，此情况下，经常出现临界状态，应注意：（1）绳模型：临界条件为物体在最高点时拉力为零（2）杆模型：临界条件为物体在最高点时速度为零例1、一根绳子系着一个盛水的杯子，演员抡起绳子，杯子就在竖直面内做圆周运动，到最高点时，杯口朝下，但杯中的水并不流出来，如图所示，为什么呢？解析：对杯中水，当=时，即=时，杯中水恰不流出，若转速增大，＜时，＞时，杯中水还有远离圆心的趋势，水当然不会流出，此时杯底对水有压力，即N+=，N=－；而如果＞，＜时，水会流出。
例2、如图所示，轻杆OA长l=0.5m，在A端固定一小球，小球质量m=0.5kg，以O点为轴使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时，小球的速度大小为=0.4m/s，求在此位置时杆对小球的作用力。
（g取10 m／s 2）解法一：先判断小球在最高位置时，杆对小球有无作用力，若有作用力，判断作用力方向如何小球所需向心力==0.5×=0.16 N小球受重力=0.5×10=5 N重力大于所需向心力，所以杆对小球有竖直向上的作用力F，为支持力以竖直向下为正方向，对小球有－F=解得：F= 4.84 N解法二：设杆对小球有作用力F，并设它的方向竖直向下，对小球则有－F=F=－=－4.84 N“－”表示F方向与假设的方向相反，支持力方向向上。
高考物理(热点+题型全突破)专题4.6 竖直面内的圆周运动问题(含解析)
专题4.6 竖直面内的圆周运动问题1. 轻绳模型绳或光滑圆轨道的内侧，如图所示，它的特点是：在运动到最高点时均没有物体支撑着小球。
下面讨论小球(质量为m )在竖直平面内做圆周运动(半径为R )通过最高点时的情况：(1) 临界条件小球到达最高点时受到绳子的拉力恰好等于零，这时小球做圆周运动所需要的向心力仅由小球的重力来提供。
根据牛顿第二定律得，mg ＝m v 2临界R，即v 临界＝Rg .这个速度可理解为小球恰好通过最高点或恰好通不过最高点时的速度，也可认为是小球通过最高点时的最小速度，通常叫临界速度。
(2) 小球能通过最高点的条件：当v >Rg 时，小球能通过最高点，这时绳子对球有作用力，为拉力。
当v ＝Rg 时，小球刚好能通过最高点，此时绳子对球不产生作用力。
(3) 小球不能通过最高点的条件：当v <Rg 时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了轨道。
（如图）2. 轻杆模型杆和光滑管道，如图所示，它的特点是：在运动到最高点时有物体支撑着小球。
下面讨论小球(质量为m )在竖直平面内做圆周运动(半径为R )通过最高点时的情况：(1) 临界条件由于硬杆的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度是：v 临界＝0。
此时，硬杆对物体的支持力恰等于小球的重力mg。
(2) 如上图所示的小球通过最高点时，硬杆对小球的弹力情况为：当v＝0时，硬杆对小球有竖直向上的支持力F N，其大小等于小球的重力，即F N＝mg.当0<v<Rg时，杆对小球的支持力竖直向上，大小随速度的增加而减小，其取值范围为0<F N<mg.当v＝Rg时，F N＝0.这时小球的重力恰好提供小球做圆周运动的向心力。
当v>Rg时，硬杆对小球有指向圆心(即方向向下)的拉力，其大小随速度的增大而增大。
3. 两种模型分析比较如下：轻杆模型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球4. 分析物体在竖直平面内做圆周运动时的易错易混点（1）绳模型和杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是绳不能有支撑力，而杆可有支撑力。
竖直平面内圆周运动专题
gl
E
F
qE
q
qE
mg mg mg
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三、小结 一、几种常见物理模型 二、复合场中竖直平面内的圆周运动
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感谢您的：如图所示, AB、CD为四分之一圆弧轨道, B、C切线水平,
A点切线竖直, BC段水平, AB弧半径为R , CD弧半径为2 R . 将一质量为m的光滑小球由A点静止释放, 试求小球向右
恰好通过B、C两点后的瞬间, 对轨道的压力.
A B
D C
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二、复合场中竖直平面内的圆周运动
B
O D
A
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一、几种常见物理模型
R F mg
光滑下凹轨道
gR
mg R
光滑上凸轨道
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例4：光滑的水平轨道和半径为R的竖直圆形轨道顺接, 弧顶 到水平面的高度为h , 且R > h , 如图所示, 一个质量为m 的小球以水平速度v0开始运动, 欲使小球能沿轨道运动 到达轨道右侧, 小球的初速度v0应满足什么条件? v0
A O
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一、几种常见物理模型
F mg R
gR
mg R
光滑圆管内
（与轻杆相似）
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光滑圆轨内侧
（与轻绳相似）
例3：如图所示, 光滑的水平轨道与竖直放置的光滑半圆形轨道顺 接, 圆半径为R . 一小球由D点出发向A运动, 通过B点时加速 度大小为2 g , 试求:小球通过B点时对轨道的压力.
例1：绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的 质量m=0.5kg，绳长l=60cm，求： (1)最高点水不流出的最小速率？ (2)水在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力？
高中物理--竖直平面内的圆周运动问题
专题二：竖直平面内的圆周运动的综合问题学习目标】1. 了解竖直平面内的圆周运动的特点．2. 了解变速圆周的运动物体受到的合力产生的两个效果，知道做变速圆周运动的物体受到的合力不指向圆心．3. 掌握处理变速圆周运动正交分解的方法．4. 学会用能量观点研究竖直平面内圆周运动．教材解读】1. 竖直平面内的圆周运动的特点竖直平面内的圆周运动分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种．常见的竖直平面内的圆周运动是物体在轨道弹力（或绳、杆的弹力）与重力共同作用下运动，多数情况下弹力（特别是绳的拉力与轨道的弹力）方向与运动方向垂直对物体不做功，而重力对物体做功使物体的动能不断变化，因而物体做变速圆周运动．若物体运动过程中，还受其他力与重力平衡，则物体做匀速圆周运动．2. 变速圆周运动所受合外力产生两个效果做变速圆周运动的物体受到的合力不指向圆心（图6-12-1），它产生两个方向的效果．半径方向的分力F1产生向心加速度改变速度的方向合切线方向的分力F2产生切线方向加速度改变速度的大小F因此变速圆周运动的合外力不等于向心力，只是在半径方向的分力F1 提供向心力．3. 变速圆周运动中的正交分解应用牛顿运动定律解答圆周运动问题时，常采用正交分解法，其坐标原点是做圆周运动的物体（视为质点）所在的位置，建立相互垂直的两个坐标轴：一个沿法线（半径）方向，法线方向的合力F 1改变速度的方向；另一个沿切线方向，切线方向的合力F2 改变速度的大小．（想一想，图6-12-1 中物体的速度在增大还是减小？）4. 处理竖直平面内圆周运动的方法如前所述，通常情况下，由于弹力对物体不做功，只有重力（或其他力）对物体做功，因此，运用能量观点（动能定理、机械能守恒定律）和牛顿运动定律相结合是解决此类问题的有效方法．另外要注意在不同约束条件下物体能完成圆周运动的条件不同：在绳（或沿圆轨道内侧运动）的约束下，最高点速度v gR ；在杆（或管）的约束下，最高点速度v ≥0．【案例剖析】例1．如图6-12-2 所示，质量为m的小球自半径为R 的光滑半圆形轨道最高点A 处由静止滑下，当滑至最低点B 时轨道对小球的支持力是多大？解析：小球下滑过程中轨道对小球的弹力不做功，只有重力对小球做功，所以小球的机械能守恒．1由机械能守恒定律得 : mgR mv 222在B 点, 根据牛顿第二定律有 :F mg m v, 由可解得 F 3mg R例 2．如图 6-12-3 所示，长为 l 的细绳一端固定在 O 点，另一端拴质量为 m 的小球， 在 O 点正下方距离 O 点 d 处有一钉子． 将细绳拉成水平无初速释放小球， 子后小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，d 应满足什么条件？解析：为使小球能绕钉子做完整的圆周运动， 小球必须能通过圆周 的最高点， 设小球运动的轨道半径为 R ，则小球在最高点的速度应满足： v gR ．根据机械能定律有 : mgl 2mgR 1mv 2由此可解得： R ≤0.4 l ．所以， d 满足的条件是： 0.6 l ≤ d < l ．例 3 ．风洞实验室中可产生大小、 方向可调节的风力． 用长为 l 的细 线拴一小球将其放入风洞实验室，调节风力方向为水平向右(如图 6-12-4 所示)，当小球静止在 A 点时，悬线与竖直方向夹角为 α．试求：⑴ 水平风力的大小；⑵ 若将小球从竖直位置由静止释放， 当悬线与竖直方向成多大角度时， 小球的速度最大？最大速度是多少？解析： ⑴参照图 6-12-5 ，根据平衡知识，可求得风力大小 F = mgtan α， 同时还可求得风力与重力的合力为 mg/cos α．⑵当小球运动到细线与竖直方向夹角为 β时，建立如图 6-12-6 所示的 坐标系：在 x 轴方向，当 Fcos β>mgsin β时，小球速度在增大； 当 Fcos β<mgsin β 时，小球速度在减小．当 Fcos β= mgsin β时小球的速度达到最大，将第⑴问中的 F 代入即12根据动能定理得 : Fl sin mgl (1 cos ) 2 mv思考： ⑴小球静止在 A 点时，给小球多大的速度才能使它在竖直平面内做完整的圆周运动？ B F 如图 6-12-7 所示，小球必须能通过 B 点才能做完整的圆周运动， 设通过 B 点时小球的最小速度为v min ，则此时绳上拉力恰好为零．mg2mgvminm (1)mg2l 1 mv 2 1 mv m 2in(2)cos lcos 2 2 min由 (1)(2) 可解得: v 5glA图6 12 7 ⑵若将风力方向调节为竖直向上，并使风力大小恰好等于小球 重力，那么，在最低点给小球水平方向的初速度，试分析小球的运动情况．可解得： β =α．将 F mg tan 代入可解得2gl (1 cos )cos为使细绳碰到钉图6 12 3图 6 12 4 mg 图6 126x分析：因为合力对小球始终不做功，故动能不变，所以小球做匀速圆周运动． 【知识链接】飞行员在进行特技飞行表演时，会发生黑视现象．当飞行员从俯冲 状态往上拉时（图 6-12-8 ），血液处于超重状态，视重增大，心脏无法 象平常一样运输血液，导致血压降低，从而导致视网膜缺血． 【目标达成】1．如图 6-12-9 所示，小球在竖直放置的光滑圆弧轨道内侧做圆周运动， 球加速度方向的说法中，正确的是（ ）A. 一定指向圆心B. 一定不指向圆心C. 只有在最高点和最低点指向圆心D. 除最高点和最低点外，肯定不指向圆心解析：对小球受力分析可知，只有小球处于最高点和最低点时，弹力与重力的合力才 指向圆心，其他位置均不指向圆心，故选项C 、D 正确．2．上海锦江乐园新建的“摩天转轮”是在直径为 98m 的圆周上每隔一定位置固定 座舱，每座舱有 6 个座位．游人乘坐时，转轮始终不停地在竖直平面内匀速转动，试判断 下列说法中正确的是（ ）A. 每时每刻，乘客受到的合力都不为零B. 每个乘客都在做加速度为零的匀速运动C. 乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变D. 乘客在乘坐过程中的机械能始终保持不变 解析：由于乘客随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，故受到合力指向圆心，选项 A 正确、 B 错误．将加速度沿水平、竖直方向分解可知：人位于转轴以下时，人处于超重状 态，人对座位的压力大于人的重力；人位于转轴以上时，人处于失重状态，人对座位的压 力小于人的重力，故选项 C 错误．在运动过程中，人动能始终不变，而势能在变化，所以 选项 D 错误．故本题正确选项为 A ．3．如图 6-12-10 所示，细线长为 l ，一端固定在 O 点，另一端系一小球，把线拉至水平位置，然后无初速释放小球，在达到最低点时小球加速度为 之间的关系为（ ）A ． l 越长， a 越大， F 也越大B ．l 越长， a 越大， F 不变C ． l 越长， F 越大， a 不变D ．a 、F 均不随 l 的变化而变化解析：根据机械能守恒定律和牛顿第二定律可求得：F = 3mg ，a = 2g ，故选项 D 正确．4．如图 6-12-11 所示，将完全相同的两个小球 A 、B ，用长 0.8m 的细线悬于以 v = 4m/s 向右匀速行驶的车厢顶部，两球分别与小车前后壁接触，由于某种原因，车厢突然停止， 此时前后悬线的拉力之比为（ ）A. 1： 1B. 1： 2C. 1： 3图6 12 11图 6 12 8a ，D. 1： 4解析：车厢停止时，前面小球也静止，故拉力等于重力；后面小球由于惯性开始做圆 周运动，根据牛顿第二定律可解得此时绳上拉力是其重力的 3 倍，故选项 C 正确．5．如图 6-12-12 所示， 质量为 m 的小球用细绳拴住， 在竖直平面内做 圆周运动，已知小球运动到最高点时对绳的拉力为 mg ，则小球运动到最低点时对绳的拉力为（ ）A ． 3mg C ．7mgD ． 9mg22解析：在最高点： mg mg m v 1 ，在最低点： F mg m v 2 RR由机械能守恒定律：2mgR 1 mv 22 1 mv 12；由此可得正确选项为 C ．2 22 16．如图 6-12-13 所示，从光滑的 1/4 圆弧槽的最高点滑下的小滑块，滑出槽口时速度方向为水平方向，槽口与一个半球顶点相切，半球底面为水平，若要使小物块滑出槽口后7．童非是我国著名的体操运动员，首次在单杠项目上实现了“单臂大回环”，即用一只手抓住单杠，伸展身体以单杠为轴做圆周运动．假设童非的质量为 65kg ，那么，在完成 “单臂大回环”的过程中，童非的单臂至少要能够承受 N 的力（ g 取 10m/s 2）解析：设童非做圆周运动的轨道半径为 其最小速度可为 0．2在最低点： F mg m vR （R 为其重心离转轴的距离） ，则在最高点，1由机械能守恒定律： 2mgRmv 2，由此解得 F = 5mg=3250N ．28．如图 6-12-14 所示，支架质量为 M ，放在水平地面上，转轴 O 处用长 l 的细绳悬挂质量为 m的小球．⑴ 把小球拉起到细绳水平的位置， 然后释放小球， 当它运动到最低 点时地面对支架的支持力多大？⑵若小球在竖直平面内摆动到最高点时，支架恰对地面无压力，则 小球在最高点的速度是多大？图 6 12 14B ． 5mg 不沿半球面下滑，已知圆弧轨道的半径为 R 1，半球的半径为 是（ ）R 2，则 R 1和 R 2应满足的关系 A. R 1 R 2 C. R 1 R 2B. D.R 1 R 22R 1R 2解析：为使小物块不沿半球面下滑，则它在球顶端的速度v gR 2 ，由机械能守恒定律可得： mgR 11mv 2，联立解得2D 为正确选项．图6 12 12解析：⑴设小球运动到最低点速度为 v ，由机械能守恒定律和牛顿第二定律得：mgl 1 mv 2 ; F mg m v 由此可得 F 3mg 2l 所以此时地面对支架的支持力 F N = Mg + F = Mg +3mg ⑵ 运动到最高点时，支架恰对地面无压力，说明细绳上的拉力 2 对小球 : mg F m v解得 :v (M m)glF = Mg 拓展提高】 9．如图 6-12-15 所示，半径为 R 、内径很小的光滑半圆管置于竖直平面内，两个质量 均为 m 的小球 A 、B ，以不同的速度进入管内， 3mg ，B 通过最高点 C 时，对管壁的下部压力为 解析：设 第二定律， A 、 B 两球到达最高点时速度分别为A 通过最高点 C 时，对管壁上部的压力为 0.75mg ，求 A 、B 两球落地点间的距离． v A 、v B ，根据牛顿2v A mg 3mg m 2 vBmg 0.75mg mA 、B 两球离开C 后做平抛运动， x (v A v B ) t 解得 x 3R对 A 球 :解得 :v A 2 gR 解得 :v B 1gR落地点间距设为 △x ，根据平抛运动规律有：122R gt 22 10．如图 6-12-16 所示，光滑水平面 AB 与竖直平面内半圆形导轨在 B 点衔接，导轨 半径为 R ．一个质量为 m 的物块静止在 A 处压缩弹簧，在弹力作用下获得向右的初速度， 当它经过 B 点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的 7 倍，之后向上运动恰能完成半圆周 运动到达 C 点．求： ⑴ ⑵⑶ 解： 第二定律得： 弹簧对物块的弹力做的功；物块从 B 至 C 克服阻力做的功； 物块离开 C 点后落回水平面时的动能是多大？ 物块在 B 点时受力 mg 和导轨的支持力 F N =7mg ，由牛顿图6 12 16 v B 2 1 2m E KBmv B 3mgRR2物块到达 C 点时仅受重力 mg ，由牛顿第二定律得：7mg mg2 vc mg m cRE KC 1 mv C 21 mgR22⑴根据动能定理，可求得弹簧弹力对物块做功为W 弹= E KB 3mgR⑵物体从 B 到 C 只有重力和阻力做功，根据动能定理有：W阻2mgR E KC E KB 解得:W阻0.5 mgR 即物体从B 到C 克服阻力做功为0.5mgR⑶物体离开轨道后做平抛运动，仅有重力做功，机械能守恒．E K E KC E pC 0.5mgR 2mgR 2.5mgR章末综合。
专题 竖直面内的圆周运动(含答案(人教版2019))
专题 竖直面内的圆周运动一、轻绳模型1．（2022·全国·高一专题练习）如图，轻绳OA 拴着质量为m 的物体，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，下列说法正确的是（ ） A ．小球过最高点时的最小速度是0 B ．小球过最高点时，绳子拉力可以为零C ．若将轻绳OA 换成轻杆，则小球过最高点时，轻杆对小球的作用力不可以与小球所受重力大小相等，方向相反D ．若将轻绳OA gR 2．（2022·高一课时练习）（多选）如图所示，轻绳一端系一小球，另一端固定于O 点，在O 点正下方的P 点钉一颗钉子，使线拉紧与竖直方向成一角度θ，然后由静止释放小球，当小球第一次通过最低点，悬线碰到钉子瞬间（ ） A ．小球的瞬时速度突然变大 B ．小球的角速度突然变大 C ．小球的向心加速度突然变小 D ．线所受的拉力突然变大3．（2022春·湖北襄阳·高一襄阳四中阶段练习）王老师在课堂上给同学们做如下实验：一细线与桶相连，桶中装有小球，桶与细线一起在竖直平面内做圆周运动，最高点时小球竟然不从桶口漏出，如图所示，小球的质量m =0.2kg ，球到转轴的距离290cm 10m /s l g ==，。
求 （1）整个装置在最高点时，球不滚出来，求桶的最小速率； （2）如果通过最低点的速度为9m/s ，求此处球对桶底的压力大小。
4．（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期末）小李同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球恰好能在竖直平面内做完整的圆周运动。
再次加速甩动手腕，当球某次运动到最低点A 时，绳恰好断掉，如题图所示。
已知握绳的手离地面高度为2L ，手与球之间的绳长为L ，绳能承受的最大拉力为9mg ，重力加速度为g ，忽略手的运动半径和空气阻力。
求： （1）为使小球能在竖直平面内作完整的圆周运动，小球过最高点B 时的最小速度；（2）绳断时球的速度大小；（3）绳断后，小球落地点与抛出点A 的水平距离。
竖直面内的圆周运动(解析版)
竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。
2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。
物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。
小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。
G ＝10 m/s 2。
求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。
这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。
以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。
专题_竖直平面内的圆周运动详解
(1).当V1＝1m/s时,F1＝？ (2).当V2＝4m/s时,F2＝？ (3).通过最低点时,情况又如何呢? (4).如果和小球相连的是细绳而 不是细杆,情况又如何呢?
V
.
O
例2.一细杆与水桶相连,水桶中装有水,水桶与细杆一起在竖 直平面内做圆周运动,如右图所示,水的质量是m＝0.5kg,水 的重心到转轴的距离L＝50cm. (1).若在最高点时水不流出来,求桶的最小速度; (2).若在最高点时水桶的速率V＝3m/s,求水对桶底的压力.
二.小球有支撑(在竖直平面内过最高点的情况)
V
V
r杆
丙
丁
1.临界条件: 由于轻杆和管壁的支撑作用,小球恰好能到达 最高点的临界速度V临界＝0
2.如图丙所示,小球过最高点时,轻杆对小球的弹力情况:
(1).V＝0时,轻杆对小球有竖直向上的支持力FN,且FN＝mg
(2).0＜V＜ gr 时, 轻杆对小球有竖直向上的支持力FN, 大小随速度的增大而减小,取值范 围:0＜FN＜mg
施力 特点
拉力
v gr v gr v gr
不可 通过
T=0
恰好通过 最高点
拉力
拉力
支持力 N=0
支持力
拉力
支持力
安全过 桥
N=0 恰好离 开桥
离开桥
三.例题
例1.长L＝0.5m、质量可以忽略的杆,其下端固定于O点,上 端连有质量＝2㎏的小球,它绕O点在竖直平面内做匀速圆周 运动.当通过最高点时,如图所示,在下列情况下,求杆受到 的力.(g＝10m/s2)
o B
2.如图所示,一个人用一根长为1m、只能承受46N拉力的绳子拴着 一个质量为1kg的小球在竖直平面内做圆周运动.已知圆心O离地 面的高度H＝6m,转动中,小球在最低点时绳子断了,g＝10m/s2,求: (1).绳子断时小球运动的角速度 (2).绳子断后小球落地点与抛出点的水平距离
高一物理必修件专题竖直面内的圆周运动
单位时间内质点沿圆周运动的弧长， 用v表示。
v = ωr，其中r为质点到圆心的距离。
角速度定义
单位时间内质点绕圆心转过的角度， 用ω表示。
向心加速度与向心力关系
1 2
向心加速度定义
质点做匀速圆周运动时，指向圆心的加速度，用 a_n表示。
向心力定义
使质点产生向心加速度的力，用F_n表示。
3
向心加速度与向心力关系
05
实验：研究竖直面内圆周运动规律
实验目的和原理介绍
实验目的
通过观察和测量竖直面内圆周运动的物体，探究其运动规律，加深对圆周运动 的理解。
原理介绍
竖直面内的圆周运动是一种常见的运动形式，其运动规律遵循牛顿第二定律和 向心力公式。通过测量物体的速度、半径和周期等物理量，可以研究圆周运动 的加速度、向心力和角速度等特性。
3
与电磁学的联系
在电磁学中，带电粒子在磁场中的运动 轨迹也可能是圆周。因此，可以将竖直 面内的圆周运动与带电粒子在磁场中的 运动进行联系和比较。
解决实际问题时如何应用所学知识
分析物体的受力情况
在解决竖直面内的圆周运动问题时，首先需要分析物体的受力情况，确定物体所受的力以 及这些力对物体运动的影响。
为了防止汽车飘离桥面，需要限制汽车过桥时的速度，同时增加桥面的宽度和强度 ，提高桥面的稳定性和安全性。
汽车过桥时还需要注意桥面的起伏和坡度变化，以及桥面的摩擦系数等因素对行车 安全的影响。
火车转弯时轨道设计原理
火车转弯时，需要克服向心力的作用 ，使火车沿着弯道行驶。为了提供足 够的向心力，轨道设计时需要采用一 定的超高和曲线半径。
质点在以某点为圆心、半径为$r$ 的圆周上运动时，其轨迹称为圆 周，这种运动叫做圆周运动。
竖直平面内的圆周运动
mg＞qE：vA最大，vB最小
mg＜qE：vB最大，vA最小（恰能圆周，考虑A点）
• 若电场的方向不再竖直？
已知qE=√3/3mg
（1）从B点释放，则到C点时的速度？ 绳子拉力？
（2）从B点释放后速度为零的点？
（3）B点的速度至少为多大，才能做完 整的圆周运动？
mgsinθ=mvD²/r右→vD≠0 • 恰至A点：vB1=√5gr • 总结：若vB0＜vB＜vB1，能过C点且在C上方某一点拉力变为0，
斜抛；若vB＞vB1，能完整圆周 • 要使运动过程中拉力始终大于0，要么vB＜vB0，要么vB＞vB1 • v=0只能出现在下方，T=0只能出现在上方
球杆模型
• 特点：杆的作用力方向有两种可能，在最高点速度可以为0
与电场结合的圆周运动
A：T1-（mg+qE）=mvA²/R B : T2 + mg+qE=mvB²/R A→B：-（mg+qE）2R=1/2m（vB²-vA²） 恰能完整圆周：Tb=0 电荷变成负的？
• A:T1-(mg-qE)=mvA²/R • B：T2+mg-qE=mvB²/R • A→B：-（mg-qE）2R=1/2m （vB²-vA²）
m g = m v B ²/ r
• 一个结论：最高点有 mg+Ta=mvA²/r ，最低点有Tb-mg=mvB²/r ，再 由最高点到最低点的动能定理，可以得到：当球能做完整的圆周运 动时，最低点与最高点的拉力之差等于6mg。
• 恰至C点：Tc=0 ，vC=0 ，B→C，mgr=1/2mvB0² • 始终在C点下方运动（必有拉力）：v<vB0 • C点上方任一点D：mgsinθ+Td=mvD²/r，当Td=0时，
高中物理：竖直平面内的圆周运动
高中物理：竖直平面内的圆周运动 (竖直平面内的圆周运动——是典型的变速圆周运动)(圆周运动实例) ①火车转弯 ②汽车过拱桥、凹桥3③飞机做俯冲运动时，飞行员对座位的压力。
④物体在水平面内的圆周运动（汽车在水平公路转弯，水平转盘上的物体，绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转）和物体在竖直平面内的圆周运动（翻滚过山车、水流星、杂技节目中的飞车走壁等）。
⑤万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、重力与弹力的合力——锥摆、（关健要搞清楚向心力怎样提供的）（1）火车转弯：设火车弯道处内外轨高度差为h ，内外轨间距L ，转弯半径R 。
由于外轨略高于内轨，使得火车所受重力和支持力的合力F 合提供向心力。
为转弯时规定速度）（得由合0020sin tan v LRgh v R v m L hmg mg mg F ===≈=θθR g v ⨯=θtan 0(是内外轨对火车都无摩擦力的临界条件)①当火车行驶速率V 等于V 0时，F 合=F 向，内外轨道对轮缘都没有侧压力 ②当火车行驶V 大于V 0时，F 合<F 向，外轨道对轮缘有侧压力，F 合+N=R2mv③当火车行驶速率V 小于V 0时，F 合>F 向，内轨道对轮缘有侧压力，F 合-N'=R2mv即当火车转弯时行驶速率不等于V 0时，其向心力的变化可由内外轨道对轮缘侧压力自行调节，但调节程度不宜过大，以免损坏轨道。
火车提速靠增大轨道半径或倾角来实现2．解决匀速圆周运动问题的一般方法（1）明确研究对象，必要时将它从转动系统中隔离出来。
（2）找出物体圆周运动的轨道平面，从中找出圆心和半径。
（3）分析物体受力情况，千万别臆想出一个向心力来。
（4）建立直角坐标系（以指向圆心方向为x 轴正方向）将力正交分解。
（5）⎪⎩⎪⎨⎧=∑===∑02222y x F R Tm R m R v m F ）（建立方程组πω3．离心运动在向心力公式F n =mv 2/R 中，F n 是物体所受合外力所能提供的向心力，mv 2/R 是物体作圆周运动所需要的向心力。
竖直平面内的圆周运动
分析：
F2
A
最高点:
V1(V2)
v mg F1 m R
2 1
v mg F2 m R
2 2
F1 G
;
R
F3
V3 G
v 最低点： F3 mg m R
思考：小球在最高点的最小速度 可以是多少？什么时候外管壁对 小球有压力，什么时候内管壁对 小球有支持力?什么时候内外管 壁都没有压力？
要通过最高点，此时轻杆的拉力需要大 于等于5mg，速度 V 5gR
拓展：物体在管型轨道内的运动
如图，有一内壁光滑竖直放 置的管型轨道半径为R，内 有一质量为m的小球，沿其 竖直方向上的做变速圆周运 动，小球的直径刚好与管的 内径相等
（1）小球在运动到最高点的时候速度与受力 的关系是怎样的？ （2）小球运动到最低点的时候速度与受力的 关系又是怎样？
练习5
杆长为 L ，球的质量为 m ，杆连球在竖直平面内绕 轴 O 自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小 为F=1/2mg，求这时小球的速度大小。 解：小球所需向心力向下，本题中 F=1/2mg＜mg， 所以弹力的方向可能向上，也可能向下。
⑴若F 向上，则
mv 2 mg F , L
⑵若F 向下，则
v vmin gr
，
当质点的速度小于这一值时，质点将运动不到最
2、最低点： 最低点的向心力方程：
mV FN mg R
2
V
可知此时绳子的拉力不可能为零，其最小值为 mg，速度为零，但不能通过最高点。 要通过最高点，此时绳子的拉力需要大于等 于6mg，速度 V 5gR
拓展：物体沿竖直内轨运动
练习1
绳系着装有水的桶，在竖直平面内做圆周运动， 水的质量为0.5Kg，绳长60Cm，求： （1）最高点水不流出的最小速率； （2）水在最高点速率为3m/s时，水对桶底的压力。
专题：竖直平面内圆周运动的问题分析
1、如图所示，LMPQ是光滑轨道，LM水平，长为5.0 m，MPQ是一半径为R＝1.6 m的半圆，QOM在同一竖直
面上，在恒力F作用下，质量m＝1 kg的物体A从L点由静
止开始运动，当达到M时立即停止用力．欲使A刚好能通
过Q点，则力F大小为多少？(取g＝10 m/s2)
[自主解答] 物体A经过Q点时，其受力 情况如图所示，由牛顿第二定律得： mg＋FN＝m 物体A刚好过Q点时有F N＝0 解得v＝＝4 m/s 对物体从L到Q全过程，由动能定理得 FsLM－2mgR＝mv2 解得F＝8 N.
mv2 当 v≥ 5gR时，小球在最低点所受轨道压力 F1＝mg＋ ，由最低 R 1 2 1 2 mv2 1 点运动到最高点，2mgR＋ mv1＝ mv ，小球所受轨道压力 F2＝ － 2 2 R mv2 mg，F2＝ －5mg，F1－F2＝6mg，再根据牛顿第三定律，可见小球 a R 对轨道最低点压力比小球 b 对轨道最高点压力都大 6mg，D 项正确．
a
R
b
3. 长度均为L的轻杆和轻绳一端固定在转轴上, 另一端各系一个质量为m的小球, 它们各自在竖 直平面内恰好做圆周运动, 则小球运动到最低点 时, 杆、绳所受拉力之比为（ A ） A. 5 : 6 B. 1 : 1 C. 2 : 3 D. 1 : 2
4、质量为0.2kg的小球固定在长为0.9m的轻杆一 端，杆可绕O点的水平轴在竖直平面内转动。 （g取10m/s2）求： （1）当小球在最高点的速度多大时，球对杆的作 用力为零？ （2）当小球在最高点的速度分别为6m/s和1.5m/s 时，球对杆的作用力大小和方向
竖直平面内的圆周运动
(1)10 m/s
(2)105 N
图5－7－10
练习：如图所示，质量m=0.2kg的小球固定在 长为Ｌ＝0.9m的轻杆的一端，杆可绕Ｏ点的水 平轴在竖直平面内转动，g=10m/s2，求： （１）当小球在最高点的速度 为多大时，小球对杆的作用力 为零？ （２）当小球在最高点的速度 分别为６m/s和1.5m/s时，杆 对小球的作用力的大小和方向
问题2：杆球模型：
长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球， 使小球在竖直平面内做圆周运动。 试分析： B （1）当小球在最低点A时，速 度为v2时，杆的产生了拉力还 是支持力？力与速度的关系怎 样？ A （2）当小球在最高点B时，速 度为v1时，杆杆的产生了拉力 还是支持力？力与速度的关系 怎样？
2 1
T2 0, v0 gL
当v=v0，小球刚好能够通过最高点； 当v<v0，小球偏离原运动轨迹，不能通过最高点； 当v>v0，小球能够通过最高点。
拓展：物体沿竖直内轨运动
有一竖直放置、内壁光滑圆环，其半径为r， 质量为m的小球沿它的内表面做圆周运动
A mg FN
小球过最高点的最小速度
FN 0, v0 gr
专题：竖直平面内的 圆周运动与临界问题
问题1：绳球模型
长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平 面内做圆周运动。 试分析： （1）当小球在最低点A的速度 为v1时，绳的拉力与速度的关 系如何？
（2）当小球在最高点B的速度 为v2 时，绳的拉力与速度的关 系又如何？
v2
v 最低点：T1 mg m mg L T2 2 v2 最高点：T2 mg m o L T1 思考：小球能经过最高点的 v1 最小速度是多少 ? mg
当v=v0，小球刚好能够通过最高点； 当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点； 当v>v0，小球能够通过最高点。
专题09 竖直面内的圆周运动模型(解析版)
点的FN
图线
取竖直向下为正方向
取竖直向下为正方向
三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论
【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A和最低点记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为
要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A的向心力恰好等于重力时，由可得①
对应C点的速度有机械能守恒
在DA段射重力与半径方向的夹角为则、
(4).当 时小球不能通过最高点A上升至CD圆弧的某一位置速度减为0之后沿圆弧返回。上升的最高点为C永不脱离轨道
【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力
(1)从最高点A点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律：得⑥
(2)从与O等高的D点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒
得②
当小球在C点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O点等高的D位置则由机械能守恒
得③
小结：(1).当时小球能通过最高点A小球在A点受轨道向内的支持力
由牛顿第二定律④
(2).当时小球恰能通过最高点A小球在A点受轨道的支持力为0
由牛顿第二定律。⑤
(3).当 时小球不能通过最高点A小球在A点，上升至DA圆弧间的某一位向右做斜抛运动离开圆周，且v越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0
在C点由牛顿运动定律：得⑦
(3)从A点以初速度释放小球到达最低点
由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律：得⑧
【模型演练1】(2020·全国卷Ⅰ)如图所示，一同学表演荡秋千，已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg，绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为()
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v gr
不可 通过
v gr
v gr
T=0 恰好通过 拉力 最高点
管
桥
拉力 支持力 支持力
支持力
N=0
拉力
安全过 桥
N=0 恰好离 开桥
离开桥
三.例题
例1.长L＝0.5m、质量可以忽略的杆,其下端固定于O点,上 端连有质量＝2㎏的小球,它绕O点在竖直平面内做匀速圆周 运动.当通过最高点时,如图所示,在下列情况下,求杆受到 的力.(g＝10m/s2) (1).当V1＝1m/s时,F1＝？
ห้องสมุดไป่ตู้.小球有支撑(在竖直平面内过最高点的情况)
V
V
r
杆
丙
丁
1.临界条件: 由于轻杆和管壁的支撑作用,小球恰好能到达 最高点的临界速度V临界＝0
2.如图丙所示,小球过最高点时,轻杆对小球的弹力情况: (1).V＝0时,轻杆对小球有竖直向上的支持力FN,且FN＝mg (2).0＜V＜ gr 时, 轻杆对小球有竖直向上的支持力FN, 大小随速度的增大而减小,取值范 围:0＜FN＜mg
A
o
B
2.如图所示,一个人用一根长为1m、只能承受46N拉力的绳子拴着 一个质量为1kg的小球在竖直平面内做圆周运动.已知圆心O离地 面的高度H＝6m,转动中,小球在最低点时绳子断了,g＝10m/s2,求: (1).绳子断时小球运动的角速度
(2).绳子断后小球落地点与抛出点的水平距离
O R
V H
答案: ω＝6rad/s
(2).若在最高点时水桶的速率V＝3m/s,求水对桶底的压力.
O
.
答案:(1)2.24m/s
(2) 4N
思考
1.如图所示,轻杆长为2L,中点装在水平轴O点, 两端分别固定着小球A和B,A、B球质量分别为m 和2m,整个装置在竖直平面内做圆周运动,当杆 绕O转动到某一位置时刻,A球到达最高点,此时 球A和杆之间恰好无相互作用力,求此时O轴所 受力的大小和方向.
x＝6m
(2).当V2＝4m/s时,F2＝？ (3).通过最低点时,情况又如何呢? (4).如果和小球相连的是细绳而 不是细杆,情况又如何呢?
V
O
.
例2.一细杆与水桶相连,水桶中装有水,水桶与细杆一起在竖 直平面内做圆周运动,如右图所示,水的质量是m＝0.5kg,水 的重心到转轴的距离L＝50cm. (1).若在最高点时水不流出来,求桶的最小速度;
(3).V＝ gr (4).V＞ gr
时, 内、外轨道对小球的作用力FN＝0 时, 外轨道对小球有竖直向下的压力,大 小随速度的增大而增大
注意:在竖直平面过最低点时的情况: 无论V等于多少,它总要受到杆或绳或轨道对它的竖直 向上的作用力,且:
V2 F－mg＝m r
V
F
F＝m
V2 r
mg
＋ mg
小结: 施力 特点 绳 拉力 环 杆
(3).V＝ gr (4).V＞ gr
时, 轻杆对小球的作用力FN＝0 时, 轻杆对小球有竖直向下的拉力,大小 随速度的增大而增大
3.如图丁所示,小球过最高点时,光滑轨道对小球的弹力情况:
(1).V＝0时,内轨道对小球有竖直向上的支持力FN,且FN＝mg (2).0＜V＜ gr 时, 内轨道对小球有竖直向上的支持力 FN,大小随速度的增大而减小,取值 范围:0＜FN＜mg
第五章 曲线运动
竖直平面内的圆周运动
两种情景:
一.小球无支撑(在竖直平面内过最高点的情况)
v v
r
绳
r
甲
乙
1.临界条件: 小球到达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚 好等于零,此时小球的重力mg提供它做圆周运动 的向心力; V临界2 即:mg＝m r
上试中的V临界是小球通过最高点时的最小速度; V临界＝ gr
1.临界条件: 小球到达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚 好等于零,此时小球的重力mg提供它做圆周运动 的向心力; V临界2 即:mg＝m r 上试中的V临界是小球通过最高点时的最小速度; V临界＝ gr 2.V＞V临界时， 此时绳、轨道对球分别产生拉力、压力; V2 mg＋F＝m r 3.V＜V临界时，小球不能做完整的圆周运动