§11.1 简谐振动

x
1 2 1 2 E p kx kA cos 2 ( t ) 2 2
3. 机械能
1 2 E Ek E p kA 2
（简谐振动系统机械能守恒）
1 2 kA 2
E
Ep
Ek
A O -A T t
x
五. 两个同频率振动的相位关系
两个振动 x1 A1 cos(t 1 ) 相位差 1. 超前和落后
l kx0l mg 2 l M mg cos 2mgl sin 2 k ( x0 x)l cos
cos 1; sin ; x l
M (2mgl kl 2 )
d 2θ (2mgl kl 2 )θ J 2 dt
d 2mg kl 0 2 dt 3ml
2
1 2 1 2 J ml (2m（2l） 3ml 2 ) 3 3 2mg kl 3ml
3ml T 2π 2mg kl
0 cos(ω t )
能量的方法 (t 时刻系统的能量)
1 2 1 1 2 E J k ( x0 x) mg( l sin ) 2 2 2 2mgl (1 cosθ ) C k ( x x) x mgl cos 2mgl sin 0 J 0 2 J (2mgl kl 2 ) 0 （其它步骤同上）
例4 物理摆 如图所示, 设刚体对轴的转 动惯量为J. 设 t = 0 时摆角向右最大为 0. 求 振动频率和振动方程
解
M J
M mgh sin
mgh sin 0 J 0 时 mgh 0 当<5 J
振动方程
0 cos(ω t )
a 2 A cos( t )
A 2 cos( t )
x A cos(t )
位置
x 轴投影
坐标
圆周运动小球
速度
加速度
速度
加速度
谐振动物体
三.旋转矢量法
t 时刻
A
x v
A
2
t+
t = 0 时刻
A
A
a
o
x
v A cos( t π / 2) A sin( t )
J d y (m 2 ) 2 ky 0 R dt
kR 2 mR 2 J
2
d2 y k y0 2 J dt (m 2 ) R
mR 2 J T 2π 2 kR
例 如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距离 为12cm的两点A和B，历时2s，并且在A，B两点处具有相同 的速率；再经过2s后，质点又从另一方向通过B点。 B A 求 质点运动的周期和振幅。 解 T = 42 = 8
6 3 -3 1.5 t (s)
v (d x /d t )t 0 0 x0 3 6 cos 1 cos 2 v 0 A sin 0
t=1.5s时，x=3cm，
2 4 π 或 π 3 3 4 3
4 3 6 cos( 1.5 ) 3
mgh J
t = 0 时摆角向右最大为 0 ，初相位 = 0 角频率
四.简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例)
1. 动能
1 1 2 2 2 Ek mv kA sin ( t ) 2 2
平均动能 2. 势能
Ek max
1 2 kA 2
Ek min 0
m O
1 t T 1 2 Ek Ek dt kA T t 4
M
由于作轨道运动的宇航器中的宇航员无法用常规方法测体重， 所以制作了类似于弹簧振子的振动系统，振动物体为一可承 载人的弹性椅子，宇航员的质量可由宇航员通过测量振动系 统的周期来确定。
x t
2π π T 2
4.0
π t 0 x 1.0 3 π π -2 x 2.0 10 cos t (SI) 3 2
1 t (SI) 3
例2 图示为一谐振动的位移一时间曲线，试写出振动方程。 x 解 设运动学方程为
x A cos( t ) A 6cm x0 3cm
x(t ) A cos(ω t )
速度
加速度
v A sin(t )
a 2 A cos( t )
相位反映了物 体某一时刻的 运动状态
4. 由初始条件求振幅和初相位 v x0
0
x A cos(ω t ) v ω A sin(ω t )
质点由A 到 B，历时2s；再经2s， 又通过B点 =+
质点由 B 再回到B 点，则 + 被 x 轴平分 = ++= 振幅
A
O



B
x
因此 = /4
A 6 2 cm
例 如图所示，一直角均质细杆，水平 部分杆长为 l ，质量为 m ，竖直部 分杆长为 2l ，质量为 2m ，细杆可 绕直角顶点处的固定轴 O 无摩擦 地转动，水平杆的未端与劲度系数 为 k 的弹簧相连，平衡时水平杆处 于水平位置。 求 杆作微小摆动时的周期。 解
= 2k
T
A2
t
- A2
o
t
-A1
-A1
= (2k+1)
两振动步调相同, 称同相

两振动步调相反 , 称反相
A2 A1
O
A2

x
O
x
A1
例 已知定滑轮半径为R， 转动惯量J ， 一轻绳绕过滑轮， 一端与固定的轻弹簧连接，另一端挂一质量为m的物体， 将m从平衡位置向下拉一微小位置后放手，证明物体作谐 振动，并求周期T。 解 由平衡位置向下取 y 轴 设平衡位置处弹簧伸长 y0

初位移 x0 A cos 初速度 v 0 ω A sin
A x0
2

2 v0 2
v0 tg ( ) x0
1
注意: 确定 的象限
三.旋转矢量法
t 时刻
A
x v
A
2
t+
t = 0 时刻
A
A
a
o
x
v A cos( t π / 2) A sin( t )
例3 如图, 弹簧原长l0 ,倔强系数k ,悬挂质量为m的物体在斜面 上,问其振动是否为谐振动? 解 设平衡位置O距斜面上端l 在平衡位置处
O
mg sin f k (l l0 ) mg sin l l0 k
沿斜面建立x轴,当物体距离O点x时

f
x
F mg sin k (l x l0 ) mg mg sin mg sin k (l0 x l0 ) kx 是谐振动 k k d2 x k x0 2 dt m m
a 2
振幅
x A cos(t )
半径
圆周运动小球
角速度
A 与x 轴夹角
角频率 谐振动物体 相位
例1 有一振动曲线，如图所示。 2.0 1.0 求 物体振动方程和第一次
通过平衡位置的时间 解 o -2.0
第11章 机械振动
§11.1 简谐振动 §11.2 简谐振动的合成 §11.3 阻尼振动和受迫运动
§11.1 简谐振动
一. 弹簧振子
1. 受力特点 线性恢复力 F kx
2. 动力学微分方程
牛頓第二定律 改写为
d2 x k x0 2 dt m
ω k m
d2 x kx m 2 dt
d2 x 2x 0 dt2
解得
令
x(t ) A cos(ω t )
二. 简谐振动
x(t ) A cos(ω t )
三个特征量 1. 振幅 A 2. 周期 T 和频率 v
= 2v = 2 /T 3. 初相位
( t+) 是 t 时刻的相位, 是 t =0 时刻的相位 — 初相
mg ky0
1 2 1 1 2 E mv J k ( y0 y )2 mgy 2 2 2
O
y
1 J 2 1 2 1 2 (m 2 )v ky ky0 2 R 2 2
1 J 2 1 2 1 2 E (m 2 )v ky ky0 C 2 R 2 2
x2 A2 cos(t 2 )

(t 2 ) (t 1 ) 2 1
A2

O
x
x2
O
x1
t
A1

x
A2
A1
x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后 )
2. 同相和反相 x x
A1 A2
1
x
A1
x1
T x2
x2
- A2
o
x
4 1 ' 1.5 π arccos 3 2 1 5 ' π 或 π 3 3
6 3 3
'
1.5
t (s)
t 1.5s时
v 0
5 3
5 4 2 ( π π ) / 1.5 π 3 3 9 2 4 x 6 cos( π t π ) 9 3