2016-2017学年山东省青岛第二中学高二上学期第二学段(期末)考试数学(文)试题 扫描版缺答案
山东省青岛市崂山区青岛第二中学2022高二数学上学期期末考试试题(含解析)
以 ， 为 轴，因为 棱 的中点， 为棱 上的动点，
所以 ， ，
所以 ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
故 ，
故选：C
【点睛】本题考查了空间向量法求异面直线所成的角，考查了学生的计算能力，属于基础题.
12.已知椭圆 的左，右焦点是 是椭圆上一点，若 ，则椭圆的离心率可以是（）
10.对任意实数 ， ， ，给出下列命题，其中真命题是（）
A.“ ”是“ ”的充要条件B.“ ”是“ ”的充分条件
C.“ ”是“ ”的必要条件D.“ 是无理数”是“ 是无理数”的充要条件
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据 ， 时， 不一定成立判断A错误；由不等式性质知 时， 不成立判断B错误；由“ ”时一定有“ ”成立判断C正确；根据无理数的概念知“ 是无理数”是“ 是无理数”的充要条件正确.
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算与数量积一一判断即可.
【详解】解：对于 ， ， ，
， ， 即 ，故 正确；
对于 ，若Q为 的重心，则 ，
即 ，故 正确；
对于 ，若 ， ，则
故 正确；
对于 ，
故 错误.
故选：
【点睛】本题考查向量的线性运算，向量的数量积及利用向量的数量积求向量的模，属于中档题.
【详解】对于A，因为“ ”时 成立， ， 时， 不一定成立，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故A错，对于B， ， ， 时， ； ， ， 时， ，所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，故B错，对于C，因为“ ”时一定有“ ”成立，所以“ ”是“ ”的必要条件，C正确；对于D“ 是无理数”是“ 是无理数”的充要条件，D正确.
山东省青岛市高二上学期期末数学试卷(理科)
山东省青岛市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名: 班级: 成绩:一、选择题：（共12题；共24分）1.（2分）下列说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变：②设有一个回归方程>'=3-5x ,变量X增加一个单位时，y平均增加5个单位：③相关系数r越接近1,说明模型的拟和效果越好；其中错误的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 42.（2分）（2017 •来宾模拟）下列说法正确的是（）A .命题“V x£R, 2x>0” 的否定是'勺 xOGR, 2。
<0"B .命题“若sinx二siny,则x=y”的逆否命题为真命题C .若命题p, 都是真命题，则命题“pAq”为真命题D .命题“若AABC为锐角三角形，则有sinAAcosB”是真命题3.（2分）（2018高二下・甘肃期末）若随机变量X的分布列为:已知随机变量（d b£R, a>Q）t且E（K）= 10,。
（打=4 ,则门与。
的值为（）A . a=\O f b=3B .。
=3）b= 10C . 0 = 5, 5=6D . 〃 = 6, b=54.（2分）（2016高二下•三门峡期中）一排9个座位坐了 3个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A . 3X3!B . 3X （3!） 3C . （3!） 4D.9!5.（2分）（2016高二上«自贡期中）已知直线1经过两个点A （0, 4）, B （3, 0）,则直线1的方程为（）A . 4x+3y - 12=0B . 3x+4y - 12=0C . 4x+3y+12=0D . 3x+4y+12=06.（2分）（2017高一下•荷泽期中）空间直角坐标系中，点A （ -3, 4, 0）与点B （x, - 1, 6）的距离为丽，则x等于（）A.2B . -8C . 2 或-8D.8或27.（2分）圆旌十尸_4,什6y=°的圆心坐标是（A.（2>3）B.（-2,3）C.（-2,-3）D.（2.-3）g io）8.（2分）（2016高二下•三门峡期中）若多项式联+/° =的+/（/+1）+…+化h + 1）+ ,则a9 二（）A.9B.10C . -9D . - 109.（2分）（2017高一上•威海期末）设l、m两条不同的直线，a是一个平而，则下列命题不正确的是（）A .若 1_L a , mu a ,则 1 J_mB .若 l_La , 1〃如贝l] m_L aC .若 l_La ,则 m_La ,则 l〃mD .若 l〃a , m〃a ,贝lj l〃m10.（2分）（2016高三上•浦东期中）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为（）1A.51D . 6111.（2分）（2017 •绵阳模拟）某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为工,且相互之间设有影响，若每个项目成功都获利20万元，若每个项目失败都亏损5万元，该公司三个投资项目获利的期望为（）A . 30万元B . 22.5万元C . 10万元D . 7. 5万元12.（2分）（2017 •山东模拟）我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展.某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）A . 72B . 108C . 180D . 216二、填空题：（共4题；共5分）13.（1分）（2017 •民乐模拟）若随机变量&服从正态分布N（ u, o2）, P （ u - « < 4 < u + 0 ）=0.6826, P （ u - 2 o < € < u +20 ） =0.9544,设，〜N （1,。
2015-2016学年山东省青岛二中高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年山东省青岛二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是（）A．至多有一次为正面B．两次均为正面C．只有一次为正面D．两次均为反面2．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（）A．2 B．4 C．8 D．3．如图是2010年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，16 C．85，1.6 D．85，84．下列关于直线l，m与平面α，β的命题中，正确的是（）A．若l⊂β且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β，则l∥αD．α∩β=m且l∥m，则l∥α5．方程所表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线6．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．67．函数f（x）=x2e x+1，x∈[﹣2，1]的最大值为（）A．4e﹣1B．1 C．e2D．3e28．下列命题错误的是（）A．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1≥0”B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题C．若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜成立的概率是D．“平面向量与的夹角是钝角”的必要不充分条件是“＜0”9．已知函数，其中a为大于零的常数，若函数f（x）在区间[1，+∞）内调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1]C．[1，+∞）D．[﹣1，+∞）10．已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则当a≥0时，f（a）和e a f（0）（e是自然对数的底数）大小关系为（）A．f（a）≥e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．f（a）≤e a f（0）D．f（a）＜e a f（0）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题纸横线上）11．将参加夏令营的编号为1，2，3，…，52的52名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是．12．（5分）（2014黄山三模）阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S值为．13．在函数y=x3﹣8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是．14．（5分）（2010盐城三模）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a 的取值范围为．15．下列四个关于圆锥曲线的命题：①已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|+|PN|=3，则动点P的轨迹是一条线段；②从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于它的虚半轴长；③双曲线与椭圆有相同的焦点；④关于x的方程x2﹣mx+1=0（m＞2）的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率．其中正确的命题是．（填上你认为正确的所有命题序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）（2015秋青岛校级期末）设命题p：方程+=1表示的图象是双曲线；命题q：∃x∈R，3x2+2mx+（m+6）＜0．求使“p且q”为真命题时，实数m的取值范围．17．（12分）（2016锦州二模）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）120 0.6第二组[30，35）195 p第三组[35，40）100 0.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）30 0.3第六组[50，55）15 0.3（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（Ⅱ）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．18．（12分）（2015秋青岛校级期末）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，（1）求椭圆的方程（2）若直线L过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线L的方程．19．（12分）（2012大连模拟）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O、E分别是A1C1、AA1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．（Ⅰ）证明：OE∥平面AB1C1；（Ⅱ）求异面直线AB1与A1C所成的角；（Ⅲ）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．20．（13分）（2015秋青岛校级期末）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点A（a，4）到其准线的距离为．（Ⅰ）求p与a的值；（Ⅱ）设抛物线C上动点P的横坐标为t（0＜t＜2），过点P的直线交C于另一点Q，交x 轴于M点（直线PQ的斜率记作k）．过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN恰好是C的切线，问k2+tk﹣2t2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．21．（14分）（2015秋青岛校级期末）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）若对任意的a∈（1，2）存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m 的取值范围．2015-2016学年山东省青岛二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是（）A．至多有一次为正面B．两次均为正面C．只有一次为正面D．两次均为反面【分析】利用互斥事件的定义：即在任何一次试验中不会同时发生的事件，即可判断出．【解答】解：对于A，至多有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于B，两次均为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于C，只有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于D，两次均为反面与至少有一次为正面，不能够同时发生，是互斥事件；故选：D．【点评】本题正确理解互斥事件的定义是解题的关键．2．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（）A．2 B．4 C．8 D．【分析】由双曲线的标准方程求出其右焦点，从而得到抛物线的焦点坐标，进行求出P的值．【解答】解：∵双曲线的右焦点为（4，0），∴抛物线y2=2px（p＞0）的焦点是（4，0），∴．故选C．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．3．如图是2010年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，16 C．85，1.6 D．85，8【分析】根据均值与方差的计算公式，分布计算出所剩数据的平均数和方差分即可．【解答】解：根据题意可得：评委为某选手打出的分数还剩84，84，86，84，87，所以所剩数据的平均数为（84+84+86+84+87）=85，所剩数据的方差为[（84﹣85）2+（84﹣85）2+86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]==1.6．故答案为C【点评】解决此类问题的根据是熟练掌握均值与方差的计算公式，并且要结合正确的计算．4．下列关于直线l，m与平面α，β的命题中，正确的是（）A．若l⊂β且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β，则l∥αD．α∩β=m且l∥m，则l∥α【分析】对于A，根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α；对于B，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个；对于C，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α；对于D，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α【解答】解：对于A，若l⊂β，且α⊥β，则根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α，所以A错；对于B，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个，即若l⊥β，α∥β，l⊥α；B正确对于C，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α，所以C错对于D，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α，所以D错故答案为 B【点评】本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系的判断，是基础题．解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．方程所表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线【分析】利用sinθ值的范围，求得2sinθ+3与sinθ﹣2的范围，结合标准形式判断曲线的形状．【解答】解：∵﹣1≤sinθ≤1，∴2sinθ+3＞0．sinθ﹣2＜0，方程所表示的曲线是：表示焦点在x轴上的双曲线，故选C．【点评】本题考查双曲线的标准方程的特征，正弦函数的值域，利用好曲线的标准形式，是解题的关键．6．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x ﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．7．函数f（x）=x2e x+1，x∈[﹣2，1]的最大值为（）A．4e﹣1B．1 C．e2D．3e2【分析】求出函数的导函数，令导数为0求出根，判断根左右两边导函数的符号，求出函数的极值及端点值，在其中选出最大值．【解答】解：f′（x）=xe x+1（x+2）令f′（x）=0得x=﹣2或x=0当f′（x）＞0时，x＜﹣2或x＞0；当f′（x）＜0时，﹣2＜x＜0当x=﹣2时f（﹣2）=；当x=0时，f（0）=0；当x=1时，f（1）=e2所以函数的最大值为e2故选C【点评】利用导数求函数的最值时，求出函数的极值及端点值，选出最值即可．8．下列命题错误的是（）A．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1≥0”B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题C．若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜成立的概率是D．“平面向量与的夹角是钝角”的必要不充分条件是“＜0”【分析】根据复合命题p∧q的真假与p，q真假关系选出答案．【解答】解：∵当p、q中有一个是假命题则p∧q为假命题；当p、q中两个都是真命题时则为真命题；∴若p∧q为假命题，则p，q均为假命题是错误的．故选B．【点评】本题考查复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系，属于一道基础题．9．已知函数，其中a为大于零的常数，若函数f（x）在区间[1，+∞）内调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1]C．[1，+∞）D．[﹣1，+∞）【分析】先由函数求导，再由“函数f（x）在区间[1，+∞）内调递增”转化为“f′（x）≥0在区间[1，+∞）内恒成立”即﹣≥0在区间[1，+∞）内恒成立，再令t=∈（0，1]转化为：在区间（0，1]内恒成立，用二次函数法求其最值研究结果．【解答】解：∵函数，其中a为大于零∴f′（x）=﹣∵函数f（x）在区间[1，+∞）内调递增，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）内恒成立，∴﹣≥0在区间[1，+∞）内恒成立，令t=∈（0，1]∴在区间（0，1]内恒成立，∴∴a≥1故选C【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．10．已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则当a≥0时，f（a）和e a f（0）（e是自然对数的底数）大小关系为（）A．f（a）≥e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．f（a）≤e a f（0）D．f（a）＜e a f（0）【分析】构造函数g（x）=，利用导数研究其单调性，注意到已知f'（x）＞f（x），可得g（x）为单调增函数，最后由a＞0，代入函数解析式即可得答案．【解答】解：设g（x）=，∵f′（x）＞f（x），∴g′（x）=＞0∴函数g（x）为R上的增函数∵a≥0，∴g（a）≥g（0）即＞，∴f（a）≥e a f（0），故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，恰当的构造函数，并能利用导数研究其性质是解决本题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题纸横线上）11．将参加夏令营的编号为1，2，3，…，52的52名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是19．【分析】求得系统采用的分段间隔为=13，根据第一个取号为6号可得其他取号．【解答】解：系统采用的分段间隔为=13，由第一个取号为6号得，第二个至第四个取号分别是19号，32号，45号，则样本中还有一名学生的编号是19，故答案为：19．【点评】本题考查了系统采用的特征，求得系统抽样的分段间隔是关键．12．（5分）（2014黄山三模）阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S值为﹣．【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到不满足条件输出s结束循环，得到所求．【解答】解：经过第一次循环得到s=cos，不满足n≥3，n=2，执行第二次循环得到s=cos cos，不满足n≥3，n=3，执行第三次循环得到s=cos cos cos，满足判断框的条件执行“否”输出S=cos cos cos．又s=cos cos cos =××（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了循环结构，先执行后判定是直到型循环，解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．13．在函数y=x3﹣8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是0．【分析】求出函数的导数，运用直线的斜率公式，解不等式即可判断整数点的个数．【解答】解：函数y=x3﹣8x的导数为y′=3x2﹣8，设切线的倾斜角为α，即有切线的斜率k=tanα∈[0，1），即有0≤3x2﹣8＜1，解得﹣＜x≤﹣或≤x＜，由坐标为整数，可得x∈∅，故答案为：0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率公式的运用，考查判断能力，属于中档题．14．（5分）（2010盐城三模）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a 的取值范围为﹣1≤a≤3．【分析】先求出命题的否定，再用恒成立来求解【解答】解：命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是：““∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0”即：△=（a﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a≤3故答案是﹣1≤a≤3【点评】本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题．15．下列四个关于圆锥曲线的命题：①已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|+|PN|=3，则动点P的轨迹是一条线段；②从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于它的虚半轴长；③双曲线与椭圆有相同的焦点；④关于x的方程x2﹣mx+1=0（m＞2）的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率．其中正确的命题是②④．（填上你认为正确的所有命题序号）【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|+|PN|=3＜4，则动点P的轨迹不存在，故不正确；②从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于它的虚半轴长，正确；③双曲线的焦点是（±5，0），椭圆的焦点是（±，0），故不正确；④关于x的方程x2﹣mx+1=0（m＞2）的两根之和大于2，两根之积等于1，故两根中，一根大于1，一根大于0小于1，故可分别作为椭圆和双曲线的离心率．正确；故答案为：②④．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）（2015秋青岛校级期末）设命题p：方程+=1表示的图象是双曲线；命题q：∃x∈R，3x2+2mx+（m+6）＜0．求使“p且q”为真命题时，实数m的取值范围．【分析】根据复合命题真假的判断，可得命题p和命题q都是真命题．再根据双曲线方程的形式和二次函数的图象与性质，分别解出命题p为真和命题q为真时m的取值范围，最后取交集即可得到本题答案．【解答】解：∵“p且q”为真命题，∴命题p和命题q都是真命题∵命题p：方程+=1表示的图象是双曲线，p是真命题∴（1﹣2m）（m+4）＜0，解之得m＜﹣4或m＞又∵命题q：∃x∈R，3x2+2mx+（m+6）＜0，q是真命题∴△=4m2﹣12（m+6）＞0，解之得m＜﹣3或m＞6因此，使“p且q”为真命题时的m的取值范围为（﹣∞，﹣4）∪（6，+∞）．【点评】本题以命题真假的判断为载体，求实数m的取值范围，着重考查了双曲线的标准方程和二次函数的图象与性质等知识点，属于基础题．17．（12分）（2016锦州二模）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）120 0.6第二组[30，35）195 p第三组[35，40）100 0.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）30 0.3第六组[50，55）15 0.3（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（Ⅱ）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．【分析】（I）根据频率分步直方图的面积是这组数据的频率，做出频率，除以组距得到高，画出频率分步直方图的剩余部分，根据频率，频数和样本容量之间的关系，做出n、a、p的值．（II）根据分层抽样方法做出两个部分的人数，列举出所有试验发生包含的事件和满足条件的事件，根据等可能事件的概率公式，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）∵第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，∴高为．频率直方图如下：第一组的人数为，频率为0.04×5=0.2，∴．由题可知，第二组的频率为0.3，∴第二组的人数为1000×0.3=300，∴．第四组的频率为0.03×5=0.15，∴第四组的人数为1000×0.15=150，∴a=150×0.4=60．（Ⅱ）∵[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45）岁中有4人，[45，50）岁中有2人．设[40，45）岁中的4人为a、b、c、d，[45，50）岁中的2人为m、n，则选取2人作为领队的有（a，b）、（a，c）、（a，d）、（a，m）、（a，n）、（b，c）、（b，d）、（b，m）、（b，n）、（c，d）、（c，m）、（c，n）、（d，m）、（d，n）、（m，n），共15种；其中恰有1人年龄在[40，45）岁的有（a，m）、（a，n）、（b，m）、（b，n）、（c，m）、（c，n）、（d，m）、（d，n），共8种．∴选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率为．【点评】本题考查频率分步直方图，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查等可能事件的概率，考查利用列举法来得到题目要求的事件数，本题是一个概率与统计的综合题目．18．（12分）（2015秋青岛校级期末）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，（1）求椭圆的方程（2）若直线L过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线L的方程．【分析】（1）根据椭圆的定义求出a，b，即可求椭圆的方程（2）求出圆心坐标，根据点的对称性，利用作差法求出直线斜率即可求出直线方程．【解答】解（1）∵PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，∴2a=|PF1|+|PF2|=+=6，即a=3，且4c2═|PF1|2+|PF2|2=（）2+（）2=解得c2=，∴b2=9﹣=，故椭圆的方程为，（2）设A（m，n），B（x，y），圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，圆心M（﹣2，1），∵A，B关于M对称，∴，即，∵A，B都在椭圆上，∴，两式相减得，即，即直线AB的斜率k=，∴直线方程为y﹣1=（x+2），即56x﹣81y+193=0．【点评】本题主要考查椭圆的方程和性质，利用对称性结合作差法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．19．（12分）（2012大连模拟）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O、E分别是A1C1、AA1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．（Ⅰ）证明：OE∥平面AB1C1；（Ⅱ）求异面直线AB1与A1C所成的角；（Ⅲ）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．【分析】解法一：（Ⅰ）证明OE∥AC1，然后证明OE∥平面AB1C1．（Ⅱ）先证明A1C⊥B1C1．再证明A1C⊥平面AB1C1，推出异面直线AB1与A1C所成的角为90°．（Ⅲ）设点C1到平面AA1B1的距离为d，通过，求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．解法二：如图建系O﹣xyz，求出A，A1，E，C1，B1，C的坐标（Ⅰ）通过计算，证明OE∥AC1，然后证明OE∥平面AB1C1．（Ⅱ）通过，证明AB1⊥A1C，推出异面直线AB1与A1C所成的角为90°．（Ⅲ）设A1C1与平面AA1B1所成角为θ，设平面AA1B1的一个法向量是利用推出，通过，求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．【解答】解法一：（Ⅰ）证明：∵点O、E分别是A1C1、AA1的中点，∴OE∥AC1，又∵EO⊄平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，∴OE∥平面AB1C1．（4分）（Ⅱ）∵AO⊥平面A1B1C1，∴AO⊥B1C1，又∵A1C1⊥B1C1，且A1C1∩AO=O，∴B1C1⊥平面A1C1CA，∴A1C⊥B1C1．（6分）又∵AA1=AC，∴四边形A1C1CA为菱形，∴A1C⊥AC1，且B1C1∩AC1=C1∴A1C⊥平面AB1C1，∴AB1⊥A1C，即异面直线AB1与A1C所成的角为90°．（8分）（Ⅲ）设点C1到平面AA1B1的距离为d，∵，即d．（10分）又∵在△AA1B1中，，∴S△AA1B1=．∴，∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．（12分）解法二：如图建系O﹣xyz，，，C1（0，1，0），B1（2，1，0），．（2分）（Ⅰ）∵=，，∴，即OE∥AC1，又∵EO⊄平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，∴OE∥平面AB1C1．（6分）（Ⅱ）∵，，∴，即∴AB1⊥A1C，∴异面直线AB1与A1C所成的角为90°．（8分）（Ⅲ）设A1C1与平面AA1B1所成角为θ，∵，设平面AA1B1的一个法向量是则即不妨令x=1，可得，（10分）∴，∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．（12分）【点评】本题考查直线与平面平行，异面直线所成的角，直线与平面所成的角的求法，考查空间想象能力，计算能力．20．（13分）（2015秋青岛校级期末）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点A（a，4）到其准线的距离为．（Ⅰ）求p与a的值；（Ⅱ）设抛物线C上动点P的横坐标为t（0＜t＜2），过点P的直线交C于另一点Q，交x 轴于M点（直线PQ的斜率记作k）．过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN恰好是C的切线，问k2+tk﹣2t2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的定义和点在抛物线上满足的条件即可得出；（Ⅱ）由题意可知：过点P（t，t2）的直线PQ的斜率k不为0，则直线PQ：y﹣t2=k（x﹣t），即可求出点M的坐标，把直线PQ的方程与抛物线的方程联立即可得出点Q的坐标．由QN⊥QP，即可得出直线QN的方程，与抛物线方程联立即可得出点N的坐标，利用导数和斜率的计算公式即可得出直线MN两种形式的斜率，化简即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）可得抛物线的准线方程为，由题意可得，解得．∴抛物线的方程为x 2=y ．把点A （a ，4）代入此方程得a 2=4，解得a=±2．∴a=±2，．（Ⅱ）由题意可知：过点P （t ，t 2）的直线PQ 的斜率k 不为0，则直线PQ ：y ﹣t 2=k （x ﹣t ），当y=0时，，∴M．联立消去y 得（x ﹣t ）[x ﹣（k ﹣t ）]=0， 解得x=t ，或x=k ﹣t ．∴Q （k ﹣t ，（k ﹣t ）2），∵QN ⊥QP ，∴，∴直线NQ ：，联立，消去y 化为，解得x=k ﹣t ，或．∴N，∴抛物线在点N 处的切线的斜率为=，另一方面k MN =，∴，∵，∴，化为k 2+tk ﹣2t 2=﹣1为定值．【点评】熟练掌握抛物线的定义及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立即可得到交点的坐标、导数的几何意义与切线的斜率关系、斜率的计算公式设解题的关键．21．（14分）（2015秋青岛校级期末）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）若对任意的a∈（1，2）存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】求导f′（x）=+2x﹣a，（1）由题意得，f′（1）=1+2﹣a=0从而解得a=3，检验即可；（2）当a∈（1，2），f′（x）=＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数，求最大值，化对任意的a∈（1，2）存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立为对任意的a∈（1，2），不等式ln2+4﹣2a＞mlna恒成立；从而得m＜恒成立，令g（a）=，（1＜a＜2）；求函数的最小值即可．【解答】解：f′（x）=+2x﹣a，（1）由题意得，f′（1）=1+2﹣a=0，解得，a=3；经检验，x=1是函数f（x）的一个极小值点；（2）当a∈（1，2），f′（x）=＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数，故f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）=ln2+4﹣2a；故对任意的a∈（1，2）存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立可化为对任意的a∈（1，2），不等式ln2+4﹣2a＞mlna恒成立；即m＜恒成立；令g（a）=，（1＜a＜2）；则g′（a）=，令M（a）=﹣2alna+2a﹣4﹣ln2，则M′（a）=﹣2lna＜0，则M（a）在（1，2）上是减函数，M（a）＜M（1）=2﹣4﹣ln2＜0，故g′（a）＜0；则g（a）=在（1，2）上是减函数，故m≤g（2）=1，故实数m的取值范围为：m≤1．【点评】本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题，属于难题．。
山东省青岛二中2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年山东省青岛二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是（）A．至多有一次为正面B．两次均为正面C．只有一次为正面D．两次均为反面2．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（）A．2 B．4 C．8 D．3．如图是2010年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，16 C．85，1.6 D．85，84．下列关于直线l，m与平面α，β的中，正确的是（）A．若l⊂β且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β，则l∥αD．α∩β=m且l∥m，则l∥α5．方程所表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线6．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．67．函数f（x）=x2e x+1，x∈[﹣2，1]的最大值为（）A．4e﹣1B．1 C．e2D．3e28．下列错误的是（）A．“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1≥0”B．若p∧q为假，则p，q均为假C．若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜成立的概率是D．“平面向量与的夹角是钝角”的必要不充分条件是“＜0”9．已知函数，其中a为大于零的常数，若函数f（x）在区间[1，+∞）内调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1]C．[1，+∞）D．[﹣1，+∞）10．已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则当a≥0时，f（a）和e a f（0）（e是自然对数的底数）大小关系为（）A．f（a）≥e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．f（a）≤e a f（0）D．f（a）＜e a f（0）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题纸横线上）11．将参加夏令营的编号为1，2，3，…，52的52名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是．12．（5分）（2014黄山三模）阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S值为．13．在函数y=x3﹣8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是．14．（5分）（2010盐城三模）若“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假，则实数a的取值范围为．15．下列四个关于圆锥曲线的：①已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|+|PN|=3，则动点P的轨迹是一条线段；②从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于它的虚半轴长；③双曲线与椭圆有相同的焦点；④关于x的方程x2﹣mx+1=0（m＞2）的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率．其中正确的是．（填上你认为正确的所有序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）（2015秋青岛校级期末）设p：方程+=1表示的图象是双曲线；q：∃x∈R，3x2+2mx+（m+6）＜0．求使“p且q”为真时，实数m的取值范围．17．（12分）（2016锦州二模）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）120 0.6第二组[30，35）195 p第三组[35，40）100 0.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）30 0.3第六组[50，55）15 0.3（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（Ⅱ）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．18．（12分）（2015秋青岛校级期末）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，（1）求椭圆的方程（2）若直线L过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线L的方程．19．（12分）（2012大连模拟）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O、E分别是A1C1、AA1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．（Ⅰ）证明：OE∥平面AB1C1；（Ⅱ）求异面直线AB1与A1C所成的角；（Ⅲ）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．20．（13分）（2015秋青岛校级期末）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点A（a，4）到其准线的距离为．（Ⅰ）求p与a的值；（Ⅱ）设抛物线C上动点P的横坐标为t（0＜t＜2），过点P的直线交C于另一点Q，交x 轴于M点（直线PQ的斜率记作k）．过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN恰好是C的切线，问k2+tk﹣2t2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．21．（14分）（2015秋青岛校级期末）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）若对任意的a∈（1，2）存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m 的取值范围．2015-2016学年山东省青岛二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是（）A．至多有一次为正面B．两次均为正面C．只有一次为正面D．两次均为反面【分析】利用互斥事件的定义：即在任何一次试验中不会同时发生的事件，即可判断出．【解答】解：对于A，至多有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于B，两次均为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于C，只有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于D，两次均为反面与至少有一次为正面，不能够同时发生，是互斥事件；故选：D．【点评】本题正确理解互斥事件的定义是解题的关键．2．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（）A．2 B．4 C．8 D．【分析】由双曲线的标准方程求出其右焦点，从而得到抛物线的焦点坐标，进行求出P的值．【解答】解：∵双曲线的右焦点为（4，0），∴抛物线y2=2px（p＞0）的焦点是（4，0），∴．故选C．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．3．如图是2010年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，16 C．85，1.6 D．85，8【分析】根据均值与方差的计算公式，分布计算出所剩数据的平均数和方差分即可．【解答】解：根据题意可得：评委为某选手打出的分数还剩84，84，86，84，87，所以所剩数据的平均数为（84+84+86+84+87）=85，所剩数据的方差为[（84﹣85）2+（84﹣85）2+86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]==1.6．故答案为C【点评】解决此类问题的根据是熟练掌握均值与方差的计算公式，并且要结合正确的计算．4．下列关于直线l，m与平面α，β的中，正确的是（）A．若l⊂β且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β，则l∥αD．α∩β=m且l∥m，则l∥α【分析】对于A，根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α；对于B，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个；对于C，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α；对于D，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α【解答】解：对于A，若l⊂β，且α⊥β，则根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α，所以A错；对于B，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个，即若l⊥β，α∥β，l⊥α；B正确对于C，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α，所以C错对于D，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α，所以D错故答案为 B【点评】本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系的判断，是基础题．解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．方程所表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线【分析】利用sinθ值的范围，求得2sinθ+3与sinθ﹣2的范围，结合标准形式判断曲线的形状．【解答】解：∵﹣1≤sinθ≤1，∴2sinθ+3＞0．sinθ﹣2＜0，方程所表示的曲线是：表示焦点在x轴上的双曲线，故选C．【点评】本题考查双曲线的标准方程的特征，正弦函数的值域，利用好曲线的标准形式，是解题的关键．6．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x ﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．7．函数f（x）=x2e x+1，x∈[﹣2，1]的最大值为（）A．4e﹣1B．1 C．e2D．3e2【分析】求出函数的导函数，令导数为0求出根，判断根左右两边导函数的符号，求出函数的极值及端点值，在其中选出最大值．【解答】解：f′（x）=xe x+1（x+2）令f′（x）=0得x=﹣2或x=0当f′（x）＞0时，x＜﹣2或x＞0；当f′（x）＜0时，﹣2＜x＜0当x=﹣2时f（﹣2）=；当x=0时，f（0）=0；当x=1时，f（1）=e2所以函数的最大值为e2故选C【点评】利用导数求函数的最值时，求出函数的极值及端点值，选出最值即可．8．下列错误的是（）A．“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1≥0”B．若p∧q为假，则p，q均为假C．若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜成立的概率是D．“平面向量与的夹角是钝角”的必要不充分条件是“＜0”【分析】根据复合p∧q的真假与p，q真假关系选出答案．【解答】解：∵当p、q中有一个是假则p∧q为假；当p、q中两个都是真时则为真；∴若p∧q为假，则p，q均为假是错误的．故选B．【点评】本题考查复合的真假与构成其简单真假的关系，属于一道基础题．9．已知函数，其中a为大于零的常数，若函数f（x）在区间[1，+∞）内调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1]C．[1，+∞）D．[﹣1，+∞）【分析】先由函数求导，再由“函数f（x）在区间[1，+∞）内调递增”转化为“f′（x）≥0在区间[1，+∞）内恒成立”即﹣≥0在区间[1，+∞）内恒成立，再令t=∈（0，1]转化为：在区间（0，1]内恒成立，用二次函数法求其最值研究结果．【解答】解：∵函数，其中a为大于零∴f′（x）=﹣∵函数f（x）在区间[1，+∞）内调递增，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）内恒成立，∴﹣≥0在区间[1，+∞）内恒成立，令t=∈（0，1]∴在区间（0，1]内恒成立，∴∴a≥1故选C【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．10．已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则当a≥0时，f（a）和e a f（0）（e是自然对数的底数）大小关系为（）A．f（a）≥e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．f（a）≤e a f（0）D．f（a）＜e a f（0）【分析】构造函数g（x）=，利用导数研究其单调性，注意到已知f'（x）＞f（x），可得g（x）为单调增函数，最后由a＞0，代入函数解析式即可得答案．【解答】解：设g（x）=，∵f′（x）＞f（x），∴g′（x）=＞0∴函数g（x）为R上的增函数∵a≥0，∴g（a）≥g（0）即＞，∴f（a）≥e a f（0），故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，恰当的构造函数，并能利用导数研究其性质是解决本题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题纸横线上）11．将参加夏令营的编号为1，2，3，…，52的52名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是19．【分析】求得系统采用的分段间隔为=13，根据第一个取号为6号可得其他取号．【解答】解：系统采用的分段间隔为=13，由第一个取号为6号得，第二个至第四个取号分别是19号，32号，45号，则样本中还有一名学生的编号是19，故答案为：19．【点评】本题考查了系统采用的特征，求得系统抽样的分段间隔是关键．12．（5分）（2014黄山三模）阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为 ﹣ ．【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到不满足条件输出s 结束循环，得到所求．【解答】解：经过第一次循环得到s=cos ，不满足n ≥3，n=2，执行第二次循环得到s=cos cos ，不满足n ≥3，n=3，执行第三次循环得到s=cos cos cos ，满足判断框的条件执行“否”输出S=cos cos cos．又s=coscoscos =××（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了循环结构，先执行后判定是直到型循环，解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．13．在函数y=x 3﹣8x 的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是0 ．【分析】求出函数的导数，运用直线的斜率公式，解不等式即可判断整数点的个数．【解答】解：函数y=x 3﹣8x 的导数为y ′=3x 2﹣8， 设切线的倾斜角为α，即有切线的斜率k=tan α∈[0，1），即有0≤3x 2﹣8＜1，解得﹣＜x ≤﹣或≤x ＜，由坐标为整数，可得x ∈∅，故答案为：0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率公式的运用，考查判断能力，属于中档题．14．（5分）（2010盐城三模）若“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假，则实数a的取值范围为﹣1≤a≤3．【分析】先求出的否定，再用恒成立来求解【解答】解：“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是：““∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0”即：△=（a﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a≤3故答案是﹣1≤a≤3【点评】本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题．15．下列四个关于圆锥曲线的：①已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|+|PN|=3，则动点P的轨迹是一条线段；②从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于它的虚半轴长；③双曲线与椭圆有相同的焦点；④关于x的方程x2﹣mx+1=0（m＞2）的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率．其中正确的是②④．（填上你认为正确的所有序号）【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|+|PN|=3＜4，则动点P的轨迹不存在，故不正确；②从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于它的虚半轴长，正确；③双曲线的焦点是（±5，0），椭圆的焦点是（±，0），故不正确；④关于x的方程x2﹣mx+1=0（m＞2）的两根之和大于2，两根之积等于1，故两根中，一根大于1，一根大于0小于1，故可分别作为椭圆和双曲线的离心率．正确；故答案为：②④．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）（2015秋青岛校级期末）设p：方程+=1表示的图象是双曲线；q：∃x∈R，3x2+2mx+（m+6）＜0．求使“p且q”为真时，实数m的取值范围．【分析】根据复合真假的判断，可得p和q都是真．再根据双曲线方程的形式和二次函数的图象与性质，分别解出p为真和q为真时m的取值范围，最后取交集即可得到本题答案．【解答】解：∵“p且q”为真，∴p和q都是真∵p：方程+=1表示的图象是双曲线，p是真∴（1﹣2m）（m+4）＜0，解之得m＜﹣4或m＞又∵q：∃x∈R，3x2+2mx+（m+6）＜0，q是真∴△=4m2﹣12（m+6）＞0，解之得m＜﹣3或m＞6因此，使“p且q”为真时的m的取值范围为（﹣∞，﹣4）∪（6，+∞）．【点评】本题以真假的判断为载体，求实数m的取值范围，着重考查了双曲线的标准方程和二次函数的图象与性质等知识点，属于基础题．17．（12分）（2016锦州二模）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）120 0.6第二组[30，35）195 p第三组[35，40）100 0.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）30 0.3第六组[50，55）15 0.3（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（Ⅱ）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．【分析】（I）根据频率分步直方图的面积是这组数据的频率，做出频率，除以组距得到高，画出频率分步直方图的剩余部分，根据频率，频数和样本容量之间的关系，做出n、a、p的值．（II）根据分层抽样方法做出两个部分的人数，列举出所有试验发生包含的事件和满足条件的事件，根据等可能事件的概率公式，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）∵第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，∴高为．频率直方图如下：第一组的人数为，频率为0.04×5=0.2，∴．由题可知，第二组的频率为0.3，∴第二组的人数为1000×0.3=300，∴．第四组的频率为0.03×5=0.15，∴第四组的人数为1000×0.15=150，∴a=150×0.4=60．（Ⅱ）∵[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45）岁中有4人，[45，50）岁中有2人．设[40，45）岁中的4人为a、b、c、d，[45，50）岁中的2人为m、n，则选取2人作为领队的有（a，b）、（a，c）、（a，d）、（a，m）、（a，n）、（b，c）、（b，d）、（b，m）、（b，n）、（c，d）、（c，m）、（c，n）、（d，m）、（d，n）、（m，n），共15种；其中恰有1人年龄在[40，45）岁的有（a，m）、（a，n）、（b，m）、（b，n）、（c，m）、（c，n）、（d，m）、（d，n），共8种．∴选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率为．【点评】本题考查频率分步直方图，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查等可能事件的概率，考查利用列举法来得到题目要求的事件数，本题是一个概率与统计的综合题目．18．（12分）（2015秋青岛校级期末）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，（1）求椭圆的方程（2）若直线L过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线L的方程．【分析】（1）根据椭圆的定义求出a，b，即可求椭圆的方程（2）求出圆心坐标，根据点的对称性，利用作差法求出直线斜率即可求出直线方程．【解答】解（1）∵PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，∴2a=|PF1|+|PF2|=+=6，即a=3，且4c2═|PF1|2+|PF2|2=（）2+（）2=解得c2=，∴b2=9﹣=，故椭圆的方程为，（2）设A（m，n），B（x，y），圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，圆心M（﹣2，1），∵A，B关于M对称，∴，即，∵A，B都在椭圆上，∴，两式相减得，即，即直线AB的斜率k=，∴直线方程为y﹣1=（x+2），即56x﹣81y+193=0．【点评】本题主要考查椭圆的方程和性质，利用对称性结合作差法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．19．（12分）（2012大连模拟）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O、E分别是A1C1、AA1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．（Ⅰ）证明：OE∥平面AB1C1；（Ⅱ）求异面直线AB1与A1C所成的角；（Ⅲ）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．【分析】解法一：（Ⅰ）证明OE∥AC1，然后证明OE∥平面AB1C1．（Ⅱ）先证明A1C⊥B1C1．再证明A1C⊥平面AB1C1，推出异面直线AB1与A1C所成的角为90°．（Ⅲ）设点C1到平面AA1B1的距离为d，通过，求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．解法二：如图建系O﹣xyz，求出A，A1，E，C1，B1，C的坐标（Ⅰ）通过计算，证明OE∥AC1，然后证明OE∥平面AB1C1．（Ⅱ）通过，证明AB1⊥A1C，推出异面直线AB1与A1C所成的角为90°．（Ⅲ）设A1C1与平面AA1B1所成角为θ，设平面AA1B1的一个法向量是利用推出，通过，求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．【解答】解法一：（Ⅰ）证明：∵点O、E分别是A1C1、AA1的中点，∴OE∥AC1，又∵EO⊄平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，∴OE∥平面AB1C1．（4分）（Ⅱ）∵AO⊥平面A1B1C1，∴AO⊥B1C1，又∵A1C1⊥B1C1，且A1C1∩AO=O，∴B1C1⊥平面A1C1CA，∴A1C⊥B1C1．（6分）又∵AA1=AC，∴四边形A1C1CA为菱形，∴A1C⊥AC1，且B1C1∩AC1=C1∴A1C⊥平面AB1C1，∴AB1⊥A1C，即异面直线AB1与A1C所成的角为90°．（8分）（Ⅲ）设点C1到平面AA1B1的距离为d，∵，即d．（10分）又∵在△AA1B1中，，∴S△AA1B1=．∴，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值．（12分）解法二：如图建系O ﹣xyz ，，，C 1（0，1，0），B 1（2，1，0），．（2分）（Ⅰ）∵=，，∴，即OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1，∴OE ∥平面AB 1C 1．（6分）（Ⅱ）∵，，∴，即∴AB 1⊥A 1C ，∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°．（8分）（Ⅲ）设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ，∵，设平面AA 1B 1的一个法向量是则即不妨令x=1，可得，（10分）∴，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值．（12分）【点评】本题考查直线与平面平行，异面直线所成的角，直线与平面所成的角的求法，考查空间想象能力，计算能力．20．（13分）（2015秋青岛校级期末）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点A（a，4）到其准线的距离为．（Ⅰ）求p与a的值；（Ⅱ）设抛物线C上动点P的横坐标为t（0＜t＜2），过点P的直线交C于另一点Q，交x 轴于M点（直线PQ的斜率记作k）．过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN恰好是C的切线，问k2+tk﹣2t2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的定义和点在抛物线上满足的条件即可得出；（Ⅱ）由题意可知：过点P（t，t2）的直线PQ的斜率k不为0，则直线PQ：y﹣t2=k（x﹣t），即可求出点M的坐标，把直线PQ的方程与抛物线的方程联立即可得出点Q的坐标．由QN⊥QP，即可得出直线QN的方程，与抛物线方程联立即可得出点N的坐标，利用导数和斜率的计算公式即可得出直线MN两种形式的斜率，化简即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）可得抛物线的准线方程为，由题意可得，解得．∴抛物线的方程为x2=y．把点A（a，4）代入此方程得a2=4，解得a=±2．∴a=±2，．（Ⅱ）由题意可知：过点P（t，t2）的直线PQ的斜率k不为0，则直线PQ：y﹣t2=k（x﹣t），当y=0时，，∴M ．联立消去y 得（x ﹣t ）[x ﹣（k ﹣t ）]=0， 解得x=t ，或x=k ﹣t ．∴Q （k ﹣t ，（k ﹣t ）2），∵QN ⊥QP ，∴，∴直线NQ ：，联立，消去y 化为，解得x=k ﹣t ，或．∴N，∴抛物线在点N 处的切线的斜率为=，另一方面k MN =，∴，∵，∴，化为k 2+tk ﹣2t 2=﹣1为定值．【点评】熟练掌握抛物线的定义及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立即可得到交点的坐标、导数的几何意义与切线的斜率关系、斜率的计算公式设解题的关键．21．（14分）（2015秋青岛校级期末）已知函数f （x ）=lnx+x 2﹣ax （a 为常数）．（1）若x=1是函数f （x ）的一个极值点，求a 的值；（2）若对任意的a∈（1，2）存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】求导f′（x）=+2x﹣a，（1）由题意得，f′（1）=1+2﹣a=0从而解得a=3，检验即可；（2）当a∈（1，2），f′（x）=＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数，求最大值，化对任意的a∈（1，2）存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立为对任意的a∈（1，2），不等式ln2+4﹣2a＞mlna恒成立；从而得m＜恒成立，令g（a）=，（1＜a＜2）；求函数的最小值即可．【解答】解：f′（x）=+2x﹣a，（1）由题意得，f′（1）=1+2﹣a=0，解得，a=3；经检验，x=1是函数f（x）的一个极小值点；（2）当a∈（1，2），f′（x）=＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数，故f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）=ln2+4﹣2a；故对任意的a∈（1，2）存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立可化为对任意的a∈（1，2），不等式ln2+4﹣2a＞mlna恒成立；即m＜恒成立；令g（a）=，（1＜a＜2）；则g′（a）=，令M（a）=﹣2alna+2a﹣4﹣ln2，则M′（a）=﹣2lna＜0，则M（a）在（1，2）上是减函数，M（a）＜M（1）=2﹣4﹣ln2＜0，故g′（a）＜0；则g（a）=在（1，2）上是减函数，故m≤g（2）=1，故实数m的取值范围为：m≤1．【点评】本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题，属于难题．。
山东省青岛高二上学期期末考试数学试题(解析版)
高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知为等差数列，，，则数列的公差（ ） {}n a 135105a a a ++=24699a a a ++={}n a d =A ． B ． C ． D ．2-1-21【答案】A【分析】根据等差数列下标和性质和通项公式直接求解即可.【详解】由等差数列性质知：，，13533105a a a a ++==2464399a a a a ++==，，.335a ∴=433a =432d a a ∴=-=-故选：A.2．双曲线的焦点坐标是（ ）2213y x -=A ．B ．C ．D ．()0,2±()2,0±()(0,【答案】B【分析】根据双曲线方程可得，然后根据可得，最后得出结果. ,a b 222c a b =+c【详解】由题可知：双曲线的焦点在轴上，且 x 1,a b ==2222c a b c ∴=+⇒=所以双曲线的焦点坐标为 ()2,0±故选：B3．已知抛物线C ：，焦点为F ，点到在抛物线上，则（ ）()220y px p =>1,14A ⎛⎫⎪⎝⎭AF =A ．3 B ．2 C ．D ．9454【答案】D【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】因为点在抛物线上，，解得， 1,14A ⎛⎫⎪⎝⎭12p∴=2p =利用抛物线的定义知 524A p AF x =+=故选：D4．直线与直线平行，则两直线间的距离为（ ）:120l x y m -+=2:610l mx y +-=A B C D 【答案】B【分析】先根据直线平行求得，再根据公式可求平行线之间的距离. m 【详解】由两直线平行，得，故， 216m -⨯=⨯3m =-当时，，，此时， 3m =-1:3690l x y --=2:3610l x y -+=12//l l 故两直线平行时. 3m =-又之间的距离为 12,l l d =故选：B.5．圆心在x 轴上且过点的圆与y 轴相切，则该圆的方程是（ ） (A ． B ． 2240x y x +-=2240x y x ++=C ． D ．2240x y y +-=2240x y y ++=【答案】A【分析】根据题意设出圆的方程，列式即可求出．【详解】依题可设圆的方程为，所以，解得．()()2220x a y r r -+=>()2213a r a r ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩2,2a r ==即圆的方程是． 2240x y x +-=故选：A ．6．如图，在直三棱柱中，，．为的中点，则直111ABC A B C -1AB BC ==120ABC ∠=︒M 11A C 线与平面所成的角为（ ）BM 11ABB AA ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B【分析】设点到平面的距离为，通过等体积法求得，再求线面角的正M 11A B B h 1111B A B M M A B B V V --=h 弦即可得解.【详解】如图所示：不妨设，，由余弦定理可得,12AB BC ===120ABC ∠=︒11AC AC ==，11B M ===所以BM ===， 111111111222A B M A B C S S ==⨯⨯=△△11122A B B S =⨯=△设点到平面的距离为，M 11A B B h则，1111111111133B A B M M A B B A B M A B B V V S BB S h --=⇒⋅=⋅⇒=△△解得 h =所以直线与平面所成角的正弦值为， BM 11ABB A 12h BM =所以直线与平面所成角为30°. BM 11ABB A 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过等体积法求得点到平面的距离，再由高比斜M 11A B B 线段可得线面角的正弦.7．已知等差数列的前n 项和为，公差，若（，），则{}n a n S 2d =-2022n n S S -=*n ∈N 2021n ≤1a =（ ） A ．2023 B ．2022C ．2021D ．2020【答案】C【分析】根据题意令可得，结合等差数列前n 项和公式写出，进而得到关于的1n =12021S S =2021S 1a 方程，解方程即可.【详解】因为，令，得， 2022n n S S -=1n =12021S S =又，， 20211202120211010S a d =+⨯2d =-11a S =所以，有， 202112021(2020)S a =-112021(2020)a a =-解得. 12021a =故选：C8．已知斜率为1的直线与椭圆相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，AB 的中()2222:10x y C a b a b +=>>点为P ，若直线OP 的斜率为，则椭圆C 的离心率为（ ）．12-A ．BCD ．5712【答案】B【分析】这是中点弦问题，注意斜率与椭圆a ,b 之间的关系. 【详解】如图：依题意，假设斜率为1的直线方程为：，联立方程：y x m =+，解得：，代入得， 22221y x m x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩21222211m bx x a b +=-+y x m =+222211m a y a b =+故P 点坐标为，由题意，OP 的斜率为， 222222,1111m m b a a b a b ⎛⎫ ⎪- ⎪⎪++⎝⎭12-即，化简得：，，，222222111211m a a b m b a b +=--+2212b a =22222a b b c ==+22212c b a ==e =故选：B.二、多选题9．已知为等差数列的前n 项和，且，，则下列结论正确的是（ ） n S {}n a 113a =-333S =-A ．B ．是先递减后递增的数列 215n a n =-{}n aC ．是和的等比中项D ．的最小值为12a 8a 48a n S 49-【答案】ACD【分析】根据题干条件得到，从而求出通项公式，判断出是递增数列；求出，，2d =81a=129a =，从而判断C 选项，根据，可知在时取得最小值，求出最小4881a =710a =-<810a =>n S 7n =值，从而判断D 选项.【详解】由题意得：，因为，所以．所以通项公式为：313333S a d =+=-113a =-2d ={}n a ，A 选项正确；由于，所以为递增数列，B 选项错误；通()1321215n a n n =-+-=-20d =>{}n a 过计算可得：，，，其中，C 正确；因为为递增数列，且81a=129a =4881a =212848a a a =⋅{}n a ，，故在时取得最小值，，D 选项正确．710a =-<810a =>n S 7n =74749S a==-故选：ACD10．已知两点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差直()()2,0,2,0A B -P 2PA PB -=线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（ ） A ． B ． 1y x =+31y x =+C ． D ．24y x =+3y =+【答案】AD【分析】先求出P 点的轨迹方程为的右支，结合双曲线的渐近线斜率与选项中直线斜率2213y x -=进行比较，得到有无交点，进而求出答案.【详解】因为，故P 点的轨迹方程为双曲线的右支，其中，，则2PA PB AB -=<1a =2c =，所以双曲线为（），渐近线方程为，的斜率为222413b c a =-=-=2213y x -=0x >y =1y x =+，故与（）有交点，A 正确； 1<2213y x -=0x >的斜率，且与y 轴交点为，故与（）无交点，B 错误；31y x =+3>()0,12213y x -=0x >的斜率y 轴交点为，故与（）无交点，C 错误； 24y x =+2>()0,42213y x -=0x >（）有交点，D 正确.3y =+<2213y x -=0x >故选：AD11．已知数列为等差数列，为等比数列，的前项和为，若，{}n a {}n b {}n a n n S 16113a a a π++=，则（ ） 1598b b b =A ． 1111S π=B ． 210461sin2a ab b +=C ． 3783a a a π++=D ． 374b b +≥【答案】ACD【分析】根据题意得，，再根据等差数列与等比数列的性质依次求解即可得答案. 6a π=52b =【详解】解：因为数列为等差数列，为等比数列，，，{}n a {}n b 16113a a a π++=1598b b b =所以，即，，即，1611633a a a a π+==+6a π=315958b b b b ==52b =对于A 选项，，故正确；()1111161111112a a S a π+===对于B 选项，，所以，故错误；对于C 选项，2210646522,4a a a b b b π+====21046sinsin 12a ab b π+==设等差数列的公差为，则，故正确； {}n a d 37866663233a a a a d a d a d a π++=-++++==对于D 选项，由得，故，当且仅当时等号成52b =37,0b b >374b b +≥==372b b ==立，故正确； 故选：ACD12．棱长为2的正方体的侧面(含边界)内有一动点，则（ ）1111ABCD A B C D -11ABB A PA ．若，则 1111,1B P mB B nB A m n =++= 1110B P B D ⋅= B ．若，则11(01)A P A B λλ=<< 110C P B D ⋅= C ．若，则 ()11111111,22B P PA A E A C A D ==+ 1123E B P A ⋅=-D ．若，则存在非零向量使()1111112A E A C A D =+ 1B P 111B P A E ⋅=-【答案】BCD【分析】对于每一个选项中所出现的向量用基底表示，然后通过分析或计算数量积就可以对每一个选项进行判断.【详解】对于A ，，1111,1B P mB B nB A m n =++=则 11111111(1())B P n B B nB A B B A B B n B =+-=-+ ，111111()B P B B B A B B n BP nBA ⇒-=-⇒= 从而可知点在线段上，由于不垂直侧面，故不成立，所以A 错误； P 1BA 11B D 11ABB A 1110B P B D ⋅=对于B ，易证，，从而可知平面，111A C B D ⊥11BC B D ⊥1B D ⊥11A BC 由，可知点在线段上，因此，所以，B 正确；11(01)A P A B λλ=<< P 1BA 11B D C P ⊥110C P B D ⋅=对于C ， 11B P A E ⋅= ()()11111111111224PA AC A D PA AC A D +=+⋅⋅()()11111111111112431()6B A B AC AD AC A D B B A +=+=⨯⋅+⋅()11111111()26B B A B A D B A =+⋅+11111111111111221()6B B B B B A B A D A B A A A B D ⋅+⋅+⋅+⋅=，故C 正确； 12(0040)63=+-+=-对于D ，设，1111B P B B B A λμ=+所以11B P A E ⋅= ()()1111111111111111(222)()AC A D A B A D B B B A B B B A λμλμ+=++⋅+⋅ ()111111112(2)B B B A A B A D λμ+⋅=+11111111111111221()2B B B B B A B A D A B A D A B A λλμμ⋅+⋅+⋅+=⋅，得，从而可知不会是零向量，故D 正确.1(004)0221μμ+-+-==-=12μ=1B P 故选：BCD三、填空题13．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为________. 【答案】6π【详解】试题分析：由题意得，所以圆柱的表面积为 22,2r h ==22+26.r rh πππ=【解析】圆柱的表面积14．已知等比数列满足：，，，则公比______. {}n a 127a =91243a =230a a <q =【答案】13-【分析】根据等比数列的通项公式可得，结合即可求出公比.891=a a q 232310a a a q =<【详解】设等比数列的公式为q ， 则，即， 891=a a q 8127243q =解得，13q =±又，所以，232310a a a q =<0q <所以.13q =-故答案为：.13-15．已知 为坐标原点，等轴双曲线的右焦点为，点 在双O ()2222:10,0x y C a b a b-=>>)FP 曲线 上，由向双曲线的渐近线作垂线，垂足分别为、，则四边形的面积为C P C A B OAPB ______.【答案】##120.5【分析】求出双曲线的方程，可求得双曲线的两条渐近线方程，分析可知四边形为矩C C OAPB 形，然后利用点到直线的距离公式以及矩形的面积公式可求得结果.【详解】因为双曲线为等轴双曲线，则，，可得， C a b =c ==1a b ==所以，双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为， C 221x y -=C 0x y ±=则双曲线的两条渐近线互相垂直，则，，， C OA PA ⊥OB PB ⊥OA OB ⊥所以，四边形为矩形，OAPB 设点，则，不妨设点为直线上的点，()00,P x y 22001x y -=A 0x y -=.2200122OAPB x y S PA PB -=⋅==矩形故答案为：.1216．数列满足，前12项的和为298，则______．{}n a ()2141nn n a a n ++-=-1a =【答案】4【分析】当为偶数时，可求出前项中偶数项的和；当为奇数时，可用表示出前项中奇数n 12n 1a 12项的和，从而可求出的值.1a 【详解】当为偶数时，， n 241n n a a n ++=-所以，，， 247a a +=6823a a +=101239a a =+所以 ；1220418669a a a a a a +++=++当为奇数时，，即n 241n n a a n +-=-241n n a a n +=+-所以，，，，313a a =+5311114a a a =+=+7511933a a a =+=+9712760a a a =+=+，11913595a a a =+=+所以()()11226101543792811S a a a a a a a a a a a a =+++++++++++，所以. 1696205298a =++=14a =故答案为：.4四、解答题17．已知直线，以点为圆心的圆C 与直线l 相切．120l y --=()0,2-(1)求圆C 的标准方程；(2)过点的直线交圆C 于A ，B 两点，且，求的方程． ()3,1-l '8AB =l '【答案】(1) 22(2)25x y ++=(2)或 3x =4390x y +-=【分析】（1）根据点到直线的距离公式求出半径，即可得到圆C 的标方程；r （2）根据弦长公式可求出圆心C 到直线的距离，再根据点到直线的距离公式结合分类讨论思想l '即可求出．【详解】（1）设圆C 的半径为r ，∵C 与l 相切，∴，5r ==∴圆C 的标准方程为．22(2)25x y ++=（2）由可得圆心C 到直线的距离．||8AB =l '3d ==∴当的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到的距离为3，符合条件； l '3x =(0,2)C -3x =当的斜率存在时，设，圆心C 到直线的距离，解得，l ':1(3)l y k x +=-'l '3d ==43k =-此时的方程为，即．l '41(3)3y x +=--4390x y +-=综上，的方程为或．l '3x =4390x y +-=18．已知是各项均为正数的等比数列，.{}n a *31260,16,a a a n N -==∈（I ）求数列{an }的通项公式； （II ）若数列{bn }的通项bn 满足，求{bn }的前n 项和Sn 的最小值及取得最小值时n 的值.92nb n a +=【答案】（I ）；（II ）当时，取得最小值为4nn a =4n =n S 16-【分析】（I ）设出公比，由已知列出方程求出首项和公比即可； （II ）求得，得出，利用二次函数性质可求. 29n b n =-n S 【详解】（I ）设等比数列的公比为，且，{}n a q 0q >则，解得，23111216016a a a q a a a q ⎧-=-=⎨==⎩144a q =⎧⎨=⎩4n n a ∴=（II ），，92nb n a +=()22log 9log 4929n n n b a n ∴=-=-=-，()()2272984162n n n S n n n -+-∴==-=--则当时，取得最小值为.4n =n S 16-19．已知抛物线，拋物线C 上横坐标为1的点到焦点F 的距离为3．()2:20C y px p =>（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）过的直线l 交抛物线C 于不同的两点A ，B ，交直线于点E ，直线BF 交直线()1,0-4x =-于点D ，是否存在这样的直线l ，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线=1x -//DE AF l 的方程．【答案】（1）抛物线C 的方程为，准线方程为；（2）存在直线或28y x =2x =-1)y x +．1)y x =+【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，消去后根据判别式l (1)y k x =+(0)k ≠y 大于零求得的取值范围，写出韦达定理.结合得到直线与直线的斜率相等，由此列k //DE AF DE AF 方程，解方程求得的值，也即求得直线的方程. k l 【详解】（1）因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得, 所以， 13132p+=4p =28y x =即准线方程为.2x =-（2）显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.l l (1)y k x =+(0)k ≠1122(,),(,)A x y B x y 联立得，消去得.28(1)y xy k x ⎧=⎨=+⎩y 2222(28)0k x k x k +-+=由,解得所以.224(28)40k k ∆=-->k <<k <<0k ≠由韦达定理得,. 212282k x x k -+=121=x x 直线的方程为,BF 22(2)2y y x x =--又,所以,所以,1D x =-2232D y y x -=-223(1,)2yD x ---因为,所以直线与直线的斜率相等 //DE AF DE AF 又,所以.(4,3)E k --221133232y k x yx -+-=--整理得,即,121222yy k x x =+--1212(1)(1)22k x k x k x x ++=+--化简得,,即.121211122x x x x ++=+--121212122()412()4x x x x x x x x -+-=-++12+7x x =所以,整理得, 2282=7k k -289k =解得. 经检验,符合题意.k =k =所以存在这样的直线,直线的方程为或． l l 1)y x +1)y x =+20．已知数列满足，. {}n a 11a =()*11n n n n a a a a n ++-=∈N (1)求数列的通项公式；{}n a (2)记，其中表示不超过的最大整数，如，. []lg n n b a =-[]x x []0.60=[]lg 661=（i ）求、、；1b 23b 123b （ii ）求数列的前项的和. {}n b 1000【答案】(1)； 1n a n=(2)（i ），，；（ii ）. 10b =231b =1232b =1893【分析】（1）推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a 公式；（2）（i ）利用对数函数的单调性结合题中定义可求得、、的值；1b 23b 123b （ii ）分别解不等式、、，结合题中定义可求得数列的前0lg 1n ≤<1lg 2n ≤<2lg 3n ≤<{}n b 1000项的和.【详解】（1）解：因为，，则，可得， 11a =()*11n n n n a a a a n ++-=∈N 221a a -=212a =，可得，以此类推可知，对任意的，.331122a a -=313a =N n *∈0n a ≠由，变形为， ()11N n n n n a a a a n *++-=∈111111n n n n n n a a a a a a +++-=-=是一个以为公差的等差数列，且首项为，1n a ⎧⎫∴⎨⎩⎭1111a =所以，，因此，. ()1111n n n a =+-⋅=1n a n=（2）解：（i ），则， [][]lg lg n n b a n =-=[][]1lg100b ===，则，故，1023100<< 1lg10lg 23lg1002=<<=[]23lg 231b ==，则，故；1001231000<<2lg100lg123lg10003=<<=[]123lg1232b ==（ii ），当时，即当时，， lg10003= 0lg 1n ≤<110n ≤<[]lg 0n b n ==当时，即当时，， 1lg 2n ≤<10100n ≤<[]lg 1n b n ==当时，即当时，， 2lg 3n ≤<1001000n ≤<[]lg 2n b n ==因此，数列的前项的和为.{}n b 100009190290031893⨯+⨯+⨯+=21．如图，在四棱锥中，面．，四边形满足P ABCD -PA ⊥ABCD 2PA AB AD ===ABCD ，，，点为中点，点为边上的动点AB AD ⊥//BC AD 4BC =M PC E BC（Ⅰ）求证：平面．//DM PAB （Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存E P DE B --23BE 在，说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，．23【解析】（Ⅰ）由题意有，，又，以以为空间坐标原点建立如图所示空PA AD ⊥PA AB ⊥AB AD ⊥A 间直角坐标系．证明，，为共面向量即得．DM AP AB（Ⅱ）设，，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量为，利用(2,,0)E a 04a <<PDE BDE AP法向量夹角的余弦的绝对值等于求得即可．23a 【详解】（Ⅰ）因为平面，所以，，又，所以，，PA ⊥ABCD PA AD ⊥PA AB ⊥AB AD ⊥PA AB AD 两两垂直．以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示． A 则，，，(0,0,2)P (2,0,0)B (0,2,0)D (2,4,0)C点为中点，故 M PC (1,2,1)M 故，(1,0,1)DM =又，(0,0,2)AP =u u u r(2,0,0)AB =u u u r 所以1122DM AP AB =+u u u u r u u u r u u u r 所以，，为共面向量，平面，DM AP ABDM ⊄PAB 所以平面． //DM PAB （Ⅱ）设，(2,,0)E a 04a <<依题意可知平面的法向量为，，BDE (0,0,2)AP =u u u r (0,2,2)DP =-(2,2,0)DE a =-u u u r 设平面的法向量为，则，PDE (,,)n x y z =2202(2)0n DP y z n DE x a y ⎧⋅=-+=⎨⋅=+-=⎩令，则． 1z =2,1,12a n -⎛⎫= ⎪⎝⎭r 因为二面角的余弦值为，P DE B --23所以， 2cos ,3AP n AP n AP n⋅==⋅u u u r ru u u r r uuu r r ，解得或．23=1a =3a =所以存在点符合题意，E 当或时，二面角的余弦值为．1BE =3BE =P DE B --23【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，考查二面角问题，解题方法是空间向量法，建立空间直角坐标系后，证明线面平行，只要证明直线的方向向量可用平面的一个基底表示即可，而二面角则是利用二面角的余弦值与二面角的两个面的法向量夹角的余弦值相等或相反求解．22．已知椭圆经过点)(2222:10y xC a ba b+=>>2⎫⎪⎪⎭(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B是椭圆C的上，下顶点，点P是直线上的动点，直线PA与椭圆C的另一交6y=点为E，直线PB与椭圆C的另一交点为F．证明：直线EF过定点．【答案】(1)；2219yx+=(2)证明见解析.【分析】（1）根据题意，列出的方程组，通过解方程组，即可求出答案.,a b（2）法一：设，，；当时，根据点的坐标写出直线PA的方)(,6P t)(11,E x y)(22,F x y0t≠,A P程，与椭圆方程联立，可求出点的坐标；同理可求出点的坐标，然后即可求出直线EF的方E F程，从而证明直线EF过定点.法二：首先根据时直线EF的方程为，可判断出直线EF过的定点M必在y轴上，设为0=t0x=；然后同方法一，求出点，的坐标，根据，即可求出的值.)(0,M m E F ME MF∥m【详解】（1）由题意，知，解得，．222224519a ba b cca⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩3a=1b=所以椭圆C的标准方程为．2219yx+=（2）法一：设，，，)(,6P t)(11,E x y)(22,F x y当时，直线PA的方程为，由，得．0t≠33y xt=+223399y xtx y⎧=+⎪⎨⎪+=⎩)(22120t x tx++=解得，所以．所以． 1221t x t =-+212331t y t -=+222233,11t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ++⎭⎝同理可得．2226273,99t t F t t ⎛⎫- ⎪ ++⎭⎝所以直线EF 的斜率为， )()()()()()(22222222222222733327313399391624612991EFt t t t t t t t t k t t t t t t t t t ----+--+-++===++++++所以直线EF 的方程为，整理得， 222233932141t t t y x t t t ⎛--⎫-=+⎪ ++⎭⎝293342t y x t -=+所以直线EF 过定点．30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝当时，点E ，F 在y 轴上，EF 的方程为，显然过点．0=t 0x =30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝综上，直线EF 过定点．30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝法二：当点P 在y 轴上时，E ，F 分别与B ，A 重合，直线EF 的方程为， 0x =若直线EF 过定点M ，则M 必在y 轴上，可设． )(0,M m 当点P 不在y 轴上时，设，，，)()(,60P t t ≠)(11,E x y )(22,F x y 则直线PA 的方程为，由，得，33y x t =+223399y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩)(22120t x tx ++=解得，所以，所以， 1221t x t =-+212331t y t -=+222233,11t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ++⎭⎝同理可得，2226273,99t t F t t ⎛⎫- ⎪ ++⎭⎝所以，． )(222332,11m t m tME t t ⎛⎫--- ⎪=-⎪ ++⎭⎝)(22232796,99m t m t MF t t ⎛⎫-++- =⎪⎪ ++⎭⎝ 因为E ，F ，M 三点共线，所以，ME MF∥所以， )()(222222327933261919m t m m t m t tt t t t +-+---⨯=⨯++++整理得，)()(22330m t -+=因为，所以，解得，即． 230t +>230m -=32m =30,2M ⎛⎫⎪ ⎭⎝所以直线EF 过定点．30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝。
山东省青岛市数学高二上学期理数期末考试试卷
山东省青岛市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知中，，则角 A 的取值范围是 （ ）A.B.C.D.2. （2 分） 在如图的表格中，若每格内填上一个数后，每一横行的三个数成等差数列，每一纵列的三个数成 等比数列，则表格中 x 的值为（ ）13﹣ x A.﹣B.C.﹣D.3. （2 分） (2016 高二上·晋江期中) 若 ＜ ＜0，则下列不等式①a+b＜ab；②|a|＞|b|；第 1 页 共 22 页③a＜b；④ + ＞2 中，正确的不等式有（ ）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个4. （2 分） (2019 高二上·长沙月考) 下列说法中错误的是（ ）A.“”是“”的充分不必要条件B . 命题“”的否定为“”C . 命题“若 都是偶数，则是偶数”的否命题是“若 都不是偶数，则不是偶数”D . 设命题 p：所有有理数都是实数；命题 q：正数的对数都是负数，则为真命题5. （2 分） 已知抛物线的焦点 与椭圆交点为 ， 且 与 轴垂直，则椭圆的离心率为（ ）A.B.C.的一个焦点重合，它们在第一象限内的D. 6. （2 分） (2018·徐汇模拟) 在 A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充要条件中，“第 2 页 共 22 页”是“”的（ ）D . 既不充分也不必要条件7. （2 分） (2019 高二下·上海期末) 已知有相同两焦点 F1、F2 的椭圆 P 是它们的一个交点，则 ΔF1PF2 的形状是（ ）+ y2=1 和双曲线- y2=1，A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝有三角形D . 等腰三角形8. （2 分） 已知曲线 C 上任一点 M 与 x 轴的距离和它与点 F（0，4）的距离相等，则曲线 C（ ）A . 关于 x 轴对称B . 关于 y 轴对称C . 在直线 y=2 的下方D . 关于原点中心对称9. （2 分） (2014·大纲卷理) 已知二面角 α﹣l﹣β 为 60°，AB⊂ α，AB⊥l，A 为垂足，CD⊂ β，C∈l， ∠ACD=135°，则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为（ ）A.B. C. D.10. （2 分） (2018 高二上·台州月考) 已知双曲线的离心率为 ，过右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且，则双曲线的方程为第 3 页 共 22 页（） A. B. C. D.11. （2 分） (2015 高二下·九江期中) “4＜k＜6”是“方程 A . 充要条件 B . 充分不必要条件 C . 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件表示椭圆”的（ ）12. （2 分） (2018 高二上·阳高月考) 直线过椭圆：（a＞0，b＞0）的左焦点 F 和上顶点 A，与圆心在原点的圆交于 P，Q 两点，若，∠POQ=120°，则椭圆离心率为（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13. （1 分） (2020·宿迁模拟) 已知等差数列 中，，值为________．，则其前 n 项和 的最小14. （2 分） (2018·北京) 已知椭圆第 4 页 共 22 页,双曲线. 若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为________；双曲 线 N 的离心率为________15. （1 分） (2019 高一下·浙江期中) 已知 A（1，2），B（-2，1），O 为坐标原点．若直线 l：ax+by=2 与△ABO 所围成区域（包含边界）没有公共点，则 a-b 的取值范围为________ ．16. （1 分） (2017·杨浦模拟) 若抛物线 x2=2py（p＞0）的焦点与椭圆 + =1 的一个顶点重合，则该 抛物线的焦点到准线的距离为________．三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17.（5 分）(2018 高二上·佛山期末) 已知动圆 轨迹为曲线 .过定点 且与定直线相切，动圆圆心 的（Ⅰ）求曲线 的方程；（Ⅱ）已知斜率为 的直线 交 轴于点 ，且与曲线 相切于点 ，设 为坐标原点）.求证：直线 的斜率为 0.的中点为 （其中18. （10 分） (2018·石嘴山模拟) 已知等差数列 .的前 项和为 ，，数列 中，（1） 求数列 的通项公式，并证明数列是等比数列；（2） 若，求数列 的前 项和 .19. （10 分） (2020·日照模拟) 在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，_________，，.（1） 求角 B；（2） 求的面积.20. （10 分） (2019 高二上·宁波期中) 如图，在四棱锥中，平面，，，，. 为线段 的中点.第 5 页 共 22 页（1） 证明：面；（2） 求 与平面所成的角的正弦值.21. （10 分） (2017 高二下·瓦房店期末) 在直三棱柱是棱的中点，且.中，底面是边长为 2 的正三角形，（1） 试在棱上确定一点 ，使平面（2） 当点 在棱中点时，求直线与平面； 所成角的大小的正弦值。
山东省青岛第二中学高二数学等差数列练习试题百度文库
一、等差数列选择题1．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4SB ．5SC ． 6SD ． 7S2．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72B ．90C ．36D ．453．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）A ．6-B ．2-C ．1-D ．04．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11B ．10C ．6D ．35．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45B ．50C ．60D ．806．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为（ ）．A ．65B ．16C ．15D ．147．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 8．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．1410．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ） A ．24B ．39C ．104D ．5212．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ）A ．7B ．8C ．7或8D ．913．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10B ．9C ．8D ．714．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 15．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（ ）A ．24B ．23C ．17D ．1616．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（ ） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n + 17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．24018．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱 19．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．420．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则13525a a a a ++++=（ ）A ．350B ．351C ．674D ．675二、多选题21．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列22．题目文件丢失！23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ）A ．12d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =24．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.25．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54 C ．S 2020＝a 2022－1 D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 202226．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--27．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <28．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列29．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）.30．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩，所以015n a n >⇒≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 2．B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，∴2444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，∴99(229)902S ⨯+⨯==，故选：B 【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 3．A 【分析】 转化条件为122527n na a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--， 又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列， 所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--， 令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤， 所以230,0a a <<，其余各项均大于0， 所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 4．A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ，代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=，23a =， 又{}n a 为等差数列， 得39121014a a a d +=+=，213a a d =+=，解得12,1a d ==， 则101+92911a a d ==+=； 故选：A. 5．C【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选：C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 6．C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得，12a =，()2111n S n -=-+，所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故828115a =⨯-=.故选：C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 7．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =， 则公差为31322a a d -==， 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 8．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=.所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 9．C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列，S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=， 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=， 所以62612a =⨯=. 故选：C 10．B 【分析】设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断D ． 【详解】设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ⨯+≥⨯+，所以2d ≤-，A 正确；所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=，B 错误；1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得101n d≤-+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d≥-， 所以10101n d d-≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤， 当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =⨯+⨯-=，当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =⨯+⨯-=，C 正确． 又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得．11．D 【分析】根据等差数列的性质计算求解． 【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，74a =，∴11313713()13134522a a S a +===⨯=． 故选：D ． 12．C 【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以152x =为对称轴，且1515|7822-=-|， 所以当7,8n =时，n S 有最小值． 故选：C 13．A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ． 【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A 14．A 【分析】由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值 【详解】 解：由题意得15452252a ⨯+⨯=，解得11a =， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-，因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =， 故选：A 15．A 【分析】 由题意可得5282045252a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值 【详解】 解：根据题意，5282045252a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=， 故选：A. 16．C 【分析】 由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而得出答案． 【详解】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=，故21n x n =+故选：C 17．B 【分析】利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ，所以由等差数列的性质得978216a a a +==， 解得88a =， 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=． 故选：B 18．C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=， 故选：C . 19．B 【分析】 由题意可得221114n n a a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n n a a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列， 所以2114(1)43nn n a =+-=-，因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14n b ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题 20．A 【分析】先利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】当1n =时，21112112a S ==+⨯-=；当2n ≥时，()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式，2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此，()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=；故选：A. 【点睛】易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.二、多选题21．AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=---所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.22．无23．BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】因为1937538a a a a +=+=+=， 所以()1999983622a a S +⨯===． 因为35a =，73a =，所以公差731732a a d -==--． 故选：BD 24．ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确；对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 25．BCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解. 26．AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件；对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC 27．AC 【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++，构造函数()1112xf x e =-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112x f x e =-+， ()()1111101111x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，所以()1112x f x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********a a S +=≥；当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()2021202110110T a =>.故选：AC 【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 28．AD 【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d-<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确，1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确，故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题. 29．AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不为等差数列．故错误． 故选：AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 30．ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确． 【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大．∴n ＝7时，nnS a 取得最小值． 综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
山东省青岛第二中学高二数学等比数列练习试题百度文库
一、等比数列选择题1．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足()*122n n a S n N ++=∈，则满足2100111100010n nS S 的n 的最大值为（ ）. A ．7B ．8C ．9D ．102．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．23．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若2(1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．()1,3-C ．93,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13nS n = C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列5．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项6．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂. A ．55989B ．46656C ．216D ．367．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（ ）A ．3B ．12C ．24D ．488．已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，10.2b =，111233n n n a b a ++=+，11344n n n b a b +=+，则使0.01n n a b -<成立的最小正整数n 为（ ） A ．5B ．7C ．9D ．119．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（ ） A ．8B ．8±C ．8-D ．110．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，344a a +=，则5678a a a a +++=（ ）A ．80B ．20C ．32D ．255311．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，416a =，则6S ＝（ ）A ．32B ．63C ．123D ．12612．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，226598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是（ ） A ．25B ．254C ．5D ．2513．等比数列{}n a 中，1234a a a ++=，4568a a a ++=，则789a a a ++等于（ ） A ．16B ．32C ．64D ．12814．数列{a n }满足211232222n n na a a a -+++⋯+=(n ∈N *)，数列{a n }前n 和为S n ，则S 10等于（ ）A ．5512⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10112⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．9112⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．6612⎛⎫ ⎪⎝⎭15．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．716．设等差数列{}n a 的公差10,4≠=d a d ，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =( ) A ．3或6 B ．3 或-1 C ．6D ．317．正项等比数列{}n a 的公比是13，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1118．在等比数列{}n a 中，首项11,2a =11,,232n q a ==则项数n 为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．619．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若364,12S S ==，则12S =（ ） A ．50B ．60C ．70D ．8020．正项等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=，则28a a +=（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8二、多选题21．题目文件丢失！22．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列23．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．101a <<B．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥24．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，135111214a a a ++=，则（ ） A ．{}n a 必是递减数列 B ．5314S =C ．公比4q =或14D ．14a =或1425．记单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-= B ．12n n aC ．21nn S =-D ．121n n S -=-26．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为（ ） A ．8 B ．12 C ．－8D ．－1227．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．1233BE BA BC =+ C ．数列{a n }为等比数列D ．14nn n a a +-=28．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有（ ） A ．13n n S -=B ．{}n S 为等比数列C ．123n n a -=⋅D ．21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩29．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n S n +为等比数列B ．数列{}n a 的通项公式为121n n a -=-C ．数列{}1n a +为等比数列D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---30．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 31．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 32．已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n •b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ） A ．0＜a 1＜1B ．1＜b 1C ．S 2n ＜T 2nD ．S 2n ≥T 2n33．已知数列{}n a 满足11a =，()*123nn na a n N a +=∈+，则下列结论正确的有（ ） A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列 B ．{}n a 的通项公式为1123n n a +=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=--34．已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设n n b c a =，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（ ） A ．8B ．9C ．10D ．1135．等比数列{}n a 中，公比为q ，其前n 项积为n T ，并且满足11a >.99100·10a a ->，99100101a a -<-，下列选项中，正确的结论有（ ） A ．01q << B ．9910110a a -< C ．100T 的值是n T 中最大的D ．使1n T >成立的最大自然数n 等于198【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】根据()*122n n a S n N ++=∈可求出na的通项公式，然后利用求和公式求出2,n n S S ，结合不等式可求n 的最大值. 【详解】1122,22()2n n n n a S a S n +-+=+=≥相减得1(22)n n a a n +=≥，11a =，212a =；则{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，100111111000210n⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，1111000210n⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n 的最大值为9. 故选：C 2．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 3．D 【分析】由2n n S a =-利用11,1,2nn n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将2(1)0nn n S T λ-->恒成立，转化为()()321(1)210nnnλ---+>对*n N ∈恒成立，再分n 为偶数和n 为奇数讨论求解.【详解】当1n =时，112S a =-，得11a =； 当2n ≥时，由2n n S a =-， 得112n n S a --=-，两式相减得112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列. 因为112n n a a -=， 所以22114n n a a -=.又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列， 所以1112211212nn n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 由2(1)0n n n S T λ-->，得214141(1)10234n nnλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以221131(1)1022n nnλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以211131(1)110222n n n nλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+>⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.又*n N ∈，所以1102n⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以1131(1)1022n n nλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即()()321(1)210nnnλ---+>对*n N ∈恒成立，当n 为偶数时，()()321210nnλ--+>，所以()()321321663212121nnn n n λ-+-<==-+++， 令6321n n b =-+，则数列{}n b 是递增数列，所以22693215λb <=-=+； 当n 为奇数时，()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121nnn n n λ-+--<==-+++，所以16332121λb -<=-=-=+， 所以1λ>-.综上，实数λ的取值范围是91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题. 4．C 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，可判断A ，求出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ． 【详解】2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确；1113S a ==，113S =，公差3d =，所以133(1)3nn n S =+-=，所以13n S n=，B 正确； 113a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；1313n n S +=，数列113n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，D 正确． 故选：C ． 【点睛】易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错． 5．B 【分析】首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得n T ，根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项. 【详解】设等比数列{}n a 为q ，则等比数列的公比414141328a q a -===，所以12q =， 则其通项公式为：116113222n n n n a a q ---⎛⎫=⋅=⨯= ⎪⎝⎭，所以()()5611542212622222nn +n n n n n T a a a ---==⨯==，令()11t n n =-，所以当5n =或6时，t 有最大值，无最小值，所以n T 有最大项，无最小项. 故选：B. . 6．B 【分析】第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，则数列{}n a 成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量． 【详解】设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，根据题意得 数列{}n a 成等比数列，它的首项为6，公比6q = 所以{}n a 的通项公式：1666n n n a -=⨯=到第6天，所有的蜜蜂都归巢后， 蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂． 故选：B ． 7．C 【分析】题意说明从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，由系数前n 项和公式求得1a ，再由通项公式计算出中间项． 【详解】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，则有()7171238112a S ⋅-==-，解得13a =，中间层灯盏数34124a a q ==，故选：C. 8．C 【分析】令n n n c a b =-，由111233n n n a b a ++=+，11344n n n b a b +=+可知数列{}n c 是首项为1.8，公比为12的等比数列，即11.812n n c -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯，则110.0121.8n -⎛⎫< ⎪⎝⎭⨯，解不等式可得n 的最小值. 【详解】令n n n c a b =-，则11120.2 1.8c a b =-=-=111113131344444121233343n n n n n n n n n n nn c a b a b a b b a a a b ++++⎛⎫=-=+--=+-- ⎪⎝+⎭111222n n n a b c -==所以数列{}n c 是首项为1.8，公比为12的等比数列，所以11.812n n c -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯由0.01n n a b -<，即110.0121.8n -⎛⎫< ⎪⎝⎭⨯，整理得12180n ->由72128=，82256=，所以18n -=，即9n =故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列及等比数列的通项公式，解题的关键是根据已知的数列递推关系式，利用等比数列的定义，得到数列{}n c 为等比数列，考查了学生的分析问题能力能力与运算求解能力，属于中档题. 9．A 【分析】分析出70a >，再结合等比中项的性质可求得7a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则2750a a q =>，由等比中项的性质可得275964a a a ==，因此，78a =.故选：A. 10．A 【分析】由条件求出公比q ，再利用前4项和和公比求5678a a a a +++的值. 【详解】根据题意，由于{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，()234124a a q a a +==+，∴24q =，0q >，2q则()()456781234161480a a a a q a a a a +++=+++=+=.故选：A 11．D 【分析】根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+， ∴123122()83a a a a a ++=+，即321260a a a --=. ∴2260q q --=，∴2q或32q =-（舍去），∵416a =，∴4132a a q ==， ∴6616(1)2(12)126112a q S q --===--， 故选：D. 12．B 【分析】由等比数列的性质，求得685a a +=，再结合基本不等式，即可求得113a a 的最大值，得到答案. 【详解】由等比数列的性质，可得()2222265986688682225a a a a a a a a a a ++=++=+=，又因为0n a >，所以685a a +=，所以268113682524a a a a a a +⎛⎫=≤=⎪⎝⎭， 当且仅当6852a a ==时取等号． 故选：B . 13．A 【分析】由()4633512a a a a a a q +++=+，求得3q ，再由()37s 94s 6a a a a a a q ++=++求解.【详解】1234a a a ++=，4568a a a ++=.∴32q =，∴()378945616a a a a a a q ++=++=.故选：A 14．B 【分析】根据题意得到22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥），与条件两式作差，得到12n n a =，（2n ≥），再验证112a =满足12n n a =，得到12n n a =()*n N ∈，进而可求出结果. 【详解】 因为数列{}n a 满足211232222n n n a a a a -++++=， 22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥）则1112222--=-=n n n n a ，则12n n a =，（2n ≥）， 又112a =满足12n n a =，所以12n n a =()*n N ∈， 因此1010210123101011111112211222212S a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++=+++==- ⎪+⎝-=⎭.故选：B 15．C 【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得． 【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭， 由题意，902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--，又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C . 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题. 16．D 【分析】由k a 是1a 与2k a 的等比中项及14a d =建立方程可解得k . 【详解】k a 是1a 与2k a 的等比中项212k k a a a ∴=，()()2111121a k d a a k d ⎡⎤∴+-=+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()223423k d d k d ∴+=⨯+，3k ∴=.故选:D 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基础知识，属于基础题. 17．B 【分析】根据等比中项的性质求出3a ，从而求出1a ，最后根据公式求出3S ； 【详解】解：因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =. 所以31a =，211a q ∴=，因为13q =，所以19a =. 因此()3131131a q S q-==-.故选：B 18．C 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由题意可得等比数列通项5111122nn n a a q -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5n = 故选：C 19．B 【分析】由等比数列前n 项和的性质即可求得12S .【详解】 解：数列{}n a 是等比数列，3S ∴，63S S -，96S S -，129S S -也成等比数列，即4，8，96S S -，129S S -也成等比数列， 易知公比2q，9616S S ∴-=，12932S S -=，121299663332168460S S S S S S S S =-+-+-+=+++=.故选：B. 20．C 【分析】利用等比数列的性质运算求解即可. 【详解】根据题意，等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=，则有222288216a a a a ++=，即()22816a a +=， 又由数列{}n a 为正项等比数列，故284a a +=． 故选：C ．二、多选题 21．无22．BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 23．ABC 【分析】利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，所以21122b b b <=，即1b <又22234b b b <=，即2122b b =<， 所以11b >，即11b <<，故B 正确；{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++= 22(121)2[13(21)]22n n n n +-++⋅⋅⋅+-==，因为12n n n b b +⋅=，则1122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=1101101122(222)(222)()(21)n n nb b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-1)1)n n>-=-，当n =1时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时假设当n=k时，21)2k k ->21)k k ->， 则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=+-=->2221(1)k k k >++=+所以对于任意*n N ∈，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题. 24．BD 【分析】设设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由已知得1112114a a ++=，解方程计算即可得答案. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为21531a a a ==，2311a a q == ， 所以51115135151511111112111114a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=+++=， 解得1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩或1142.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，当14a =，12q =时，551413121412S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，数列{}n a 是递减数列；当114a =，2q 时，5314S =，数列{}n a 是递增数列； 综上，5314S =. 故选：BD. 【点睛】本题考查数列的等比数列的性质，等比数列的基本量计算，考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为1112114a a ++=，进而解方程计算. 25．BC 【分析】根据数列的增减性由所给等式求出1a d 、，写出数列的通项公式及前n 项和公式，即可进行判断. 【详解】数列{a n }为单调递增的等比数列，且24100a a +=>，0n a ∴>23464a a a =，2364a ∴=，解得34a =，2410a a +=，4410q q∴+=即22520q q -+=，解得2q或12， 又数列{a n }为单调递增的等比数列，取2q，312414a a q ===， 12n na ，212121n n n S -==--，()1121212n n nn n S S ++-=---=.故选：BC 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的求解、等比数列的增减性、等比数列求和公式，属于基础题. 26．AC 【分析】求出等比数列的公比2q =±，再利用通项公式即可得答案； 【详解】5721624a q q a ==⇒=±， 当2q时，65428a a q ==⨯=，当2q =-时，654(2)8a a q ==⨯-=-，故选：AC.【点睛】本题考查等比数列通项公式的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 27．BD【分析】证明1233 BE BABC=+，所以选项B正确；设BD tBE=（0t>），易得()114n n n na a a a+--=-，显然1n na a--不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n na a--}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn na a+-=，所以选项D正确，易得321a=，选项C 不正确.【详解】因为2AE EC=，所以23AE AC=，所以2()3AB BE AB BC+=+,所以1233BE BA BC=+，所以选项B正确；设BD tBE=（0t>），则当n≥2时，由()()1123n n n nBD tBE a a BA a a BC-+==-+-，所以()()111123n n n nBE a a BA a a BCt t-+=-+-，所以()11123n na at--=，()11233n na at+-=，所以()11322n n n na a a a+--=-，易得()114n n n na a a a+--=-，显然1n na a--不是同一常数，所以选项A错误；因为2a-1a=4，114n nn na aa a+--=-，所以数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，显然选项C 不正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 28．ABD 【分析】根据,n n a S 的关系，求得n a ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-， 可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =， 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD. 【点睛】本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式，以及等比数列的证明和判断，属综合基础题. 29．AD 【分析】 由已知可得11222n n n n S n S nS n S n++++==++，结合等比数列的定义可判断A ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断B ；由1231,1,3a a a ===可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++． 又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 正确；所以2n n S n +=，则2nn S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故B 错误；由1231,1,3a a a ===可得12312,12,14a a a +=+=+=，即32211111a a a a ++≠++，故C 错； 因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222 (2)2n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-()()()23122412122 (2)212 (22412)2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选:AD ． 【点睛】本题考查等比数列的定义，考查了数列通项公式的求解，考查了等差数列、等比数列的前n 项和，考查了分组求和．30．BD 【分析】先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠， 当1q =时，10n S na =>，符合题意； 当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误. 当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 31．ACD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 32．ABC 【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，分组法求出其前2n 项和的表达式，分析，即可得解.【详解】∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；∵a n +a n +1＝2n ，∴122324a a a a +=⎧⎨+=⎩； ∴12123212244a a a a a a a +⎧⎨+=-⎩＞＞ ∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n ＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝2+6+10+…+2（2n ﹣1）＝2n 2； ∵数列{b n }为递增数列；∴b 1＜b 2＜b 3；∵b n •b n +1＝2n∴122324b b b b =⎧⎨=⎩； ∴2132b b b b ⎧⎨⎩＞＞； ∴1＜b1B 正确．∵T 2n ＝b 1+b 2+…+b 2n＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）()()()()121212122122nn n b b b b ⋅--=+=+-))2121n n ≥-=-；∴对于任意的n ∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误．故选：ABC【点睛】本题考查了分组法求前n 项和及性质探究，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.33．ABD【分析】 由()*123n n na a n N a +=∈+两边取倒数，可求出{}n a 的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案.【详解】 因为112323n nn n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11340a +=≠，所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2位公比的等比数列，11342n n a -+=⨯即1123n n a +=-，故选项A 、B 正确.由{}n a 的通项公式为1123n n a +=-知，{}n a 为递减数列，选项C 不正确. 因为1231n n a +=-，所以 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-++-=+++-22(12)2312234n n n n +-⨯-=⨯-=--.选项D 正确， 故选：ABD【点睛】本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n 项和，分组求和法，属于中档题.34．AB【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n }的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{c n }的前n 项和T n ，验证得答案．【详解】由题意，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，12n n b -=，n n b c a ==2•2n ﹣1﹣1＝2n ﹣1，则数列{c n }为递增数列，其前n 项和T n ＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n ﹣1）＝（21+22+…+2n ）﹣n ()21212nn -=-=-2n +1﹣2﹣n ．当n ＝9时，T n ＝1013＜2019；当n ＝10时，T n ＝2036＞2019．∴n 的取值可以是8，9．故选：AB【点睛】本题考查了分组求和，考查了等差等比数列的通项公式、求和公式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.35．ABD【分析】由已知9910010a a ->，得0q >，再由99100101a a -<-得到1q <说明A 正确；再由等比数列的性质结合1001a <说明B 正确；由10099100·T T a =，而10001a <<，求得10099T T <，说明C 错误；分别求得1981T >，1991T <说明D 正确.【详解】对于A ，9910010a a ->，21971·1a q ∴>，()2981··1a q q ∴>. 11a >，0q ∴>. 又99100101a a -<-，991a ∴>，且1001a <. 01q ∴<<，故A 正确；对于B ，299101100100·01a a a a ⎧=⎨<<⎩，991010?1a a ∴<<，即99101·10a a -<，故B 正确； 对于C ，由于10099100·T T a =，而10001a <<，故有10099T T <，故C 错误； 对于D ，()()()()19812198119821979910099100·····991T a a a a a a a a a a a =⋯=⋯=⨯>， ()()()199121991199219899101100·····1T a a a a a a a a a a =⋯=⋯<，故D 正确. ∴不正确的是C .故选：ABD .【点睛】本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。
山东省青岛市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．圆的半径是（ ） 22230x y y +--=A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】将圆的一般式化为标准式即得.【详解】由，可得， 22230x y y +--=()2214x y +-=所以圆的半径是， 22230x y y +--=2故选：B.2．已知直线的方程为，直线的方程为，若，则1l ()258x m y ++=2l ()3453m x y m ++=-12//l l m =（ ） A ．或 B ． C ． D ．1-3-7-1-3-【答案】B【分析】根据两直线平行可得，解之即可，注意重合.12210A B A B -=【详解】由，得，化为：，解得或． 12//l l ()()5380m m ++-=2870m m ++=1m =-7-经过验证时，两条直线重合，舍去．． 1m =-7m ∴=-故选：B ．3．圆心为且过原点的圆的方程是 ()1,1A ． ()()22111x y -+-=B ． ()()22111x y +++=C ． ()()22112x y +++=D ． ()()22112x y -+-=【答案】D【详解】试题分析：设圆的方程为，且圆过原点，即()()2211(0)x y m m -+-=>，得，所以圆的方程为.故选D.()()220101(0)m m -+-=>2m =()()22112x y -+-=【解析】圆的一般方程.4．数列， ， ， ，……的通项公式可能是（ ）15-1719-111n a =A ．B ．C ．D ．(1)32nn -+1(1)23n n --+(1)23nn -+1(1)32n n --+【答案】C【分析】由分母构成等差数列即可求出.【详解】数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为5,7,9, ，()51223n n +-⨯=+所以.()123nna n -=+故选：C.5．若三个数成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） 1,,9m 221x my -=A BC D 【答案】D【分析】先根据等差中项求出，再套用离心率公式即可求解. m 【详解】因为，所以，解得， 1,,9m 219m =+5m =所以，2251x y -=1,a b ==则， c ==所以 c e a ==故选：D6．已知椭圆的左､右顶点分别为，点在椭圆上，直线的斜率分别为22:164x y C +=,A B P C ,PA PB ，则（ ）12,k k 12k k ⋅=A ．B ．C ．D ．23-14-94-【答案】A【分析】由椭圆方程得到的坐标，再结合斜率公式即可求解 ,A B【详解】由题意知．()),A B设，则()00,P x y 12k k =为椭圆上一点，P C ，即， 2200164x y ∴-=-202466y x -=-23=-即．1223k k ⋅=-故选：A7．若等差数列与等差数列的前n 项和分别为和，且，则（ ） {}n a {}n b n S n T 2531+=-n n S n T n 88a b =A ．B ．C ．D ．2123131135443747【答案】C【分析】根据等差数列的性质和求和公式，得到，即可求解. 815815a Sb T =【详解】由等差数列的性质和求和公式，可得． 11581151511581151515()215535215()3151442a a a a aS b b b b b T ++⨯+=====++⨯-故选：C.8．若方程的取值范围为（）x b +=bA ．B ．C ．D ．[-(0,(-[2,【答案】D【分析】题目转化为函数与有两个公共点，画出函数图像，根据图像计算得到y=y x b =+答案.【详解】方程与有两个公共点， xb +=y =y x b =+曲线为圆心，半径为2的圆的上半部分（包括端点）， y =(0,0)如图所示．由图形知，当直线经过点时，直线与曲线有2个公共点，此时有； y x b =+(0,2)2b =，解得. 2=b =b =-结合图形可得实数b 的取值范围是． [2,故选：D二、多选题9．下列关于双曲线说法正确的是（ ）22132y x -=A ．实轴长为B ．与椭圆有同样的焦点22149y x +=C ．与双曲线有相同的渐近线 D ．焦点到渐近线距离为222691y x -=【答案】AC【分析】根据双曲线方程求出的值，即可判断A 项；求出双曲线与椭圆的焦点可判断B 项；,,a b c 分别求出两条双曲线的渐近线，可判断C 项；根据点到直线的距离即可判断D 项.【详解】由已知可得，. a =b =c =所以，实轴长为，A 项正确；2a =双曲线的焦点坐标为、，在轴上.椭圆的焦点为、，在轴上.B 项((0,y )()x 错误；的渐近线与的渐近线均为，C 项正确； 22132y x -=22691y x -=y x =取的一个焦点，一条渐近线方程为，可知点到渐22132y x -=(y =20y -=(的距离D 项错误.20y -=d 故选：AC.10．下列说法中，正确的有（ ） A ．直线在y 轴上的截距为-2B 的倾斜角为120°320x y --=10y -+=C ．直线(m ∈R)必过定点(0，-3) D ．点(5，-3)到直线y +2=0的距离为7 30mx y ++=【答案】AC【分析】根据一般式直线方程，结合公式，分别判断直线的纵截距，斜率，定点，点到直线的距离.【详解】A.直线中，当时，，故A 正确； 320x y --=0x ==2y -B. 的斜率，故B 错误；10y -+=k =60 C.直线，当时，，所以直线恒过定点，故C 正确； ()30R mx y m ++=∈0x ==3y -()0,3-D.点到直线的距离，故D 错误. ()5,3-20y +=()321d =---=故选：AC11．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）{}n a n n S 27n S n n =-+A ．是递增数列 {}n a B ．1012=-a C ．当时，4n >0n a <D ．当或时，取得最大值 3n =4n S 【答案】BCD【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断每个选n S 2n ≥1n n n a S S -=-{}n a 项的正误.【详解】当时，， 2n ≥128n n n a S S n -=-=-+又，所以， 116218===-⨯+a S 28n a n =-+则是递减的等差数列，故A 错误；{}n a ，故B 正确；1012=-a当时，，故C 正确；4n >820n a n =-<因为的对称轴为，开口向下， 27n S n n =-+72n =而是正整数，且或距离对称轴一样远， n 3n =4所以当或时，取得最大值，故D 正确. 3n =4n S 故选：BCD.12．已知直线与圆，则下列说法中正确的是（ ） :440l kx y k -+-=22:4440M x y x y +--+=A ．直线与圆一定相交 l M B ．若，则直线与圆相切 0k =l M C ．当时，直线被圆截得的弦最长 1k =l MD ．圆心到直线的距离的最大值为M l 【答案】BCD【分析】A.由直线l 过，再判断与圆的位置关系即可； B.利用圆心到直线的距离和半径()4,4()4,4的关系判断；C.由直线l 的方程为，判断是否过圆M 的圆心即可；D.结合圆的性质分析出0x y -=何时取得最大值，再结合两点间的距离公式即可求出结果.【详解】，即，是以为圆心，以2为半径的22:4440M x y x y +--+=()()22224x y -+-=()2,2圆，A.因为直线，直线l 过，，则在圆外，所:440l kx y k -+-=()4,42244444440+-⨯-⨯+>()4,4以直线l 与圆M 不一定相交，故A 错误；B.若，则直线，直线l 与圆M 相切，故B 正确；0k =:4l y =C.当时，直线l 的方程为，过圆M 的圆心，即直线l 是直径所在直线，故C 正确； 1k =0x y -=D.由圆的性质可知当直线l 与过点的直径垂直时，圆心到直线的距离的最大，此时最大值()4,4M l故D 正确，=故选：BCD.三、填空题13．等差数列的前n 项和为，若，是方程的两实根，则______． {}n a n S 2a 4a 2230x x +-=5S =【答案】5-【分析】根据题意，结合韦达定理可得，然后再由等差数列的前项和公式，代入计算，即31a =-n 可得到结果.【详解】因为数列为等差数列，且，是方程的两实根， {}n a 2a 4a 2230x x +-=则，且，所以， 24221a a +==--3242a a a =+31a =-则. ()153535525522a a a S a +⨯====-故答案为:5-14．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，则()220y px p =>F (2,M MF =___________. 【答案】3【分析】先求出抛物线标准方程，求出焦点坐标，即可求出. MF【详解】因为点为抛物线上一点，所以，解得：.(2,M 22(0)y px p =>(222p =⨯2p =所以焦点. ()1,0F.3=故答案为：315．点到直线距离的最大值______. ()0,2()2y k x =+【答案】【解析】先得到直线过点，求出点与之间距离，结合图形，即可求出最大值. ()2,0-()2,0-()0,2【详解】因为直线显然过点，即，， ()2y k x =+()2,0-()2,0A -()0,2B连接，若，则点到直线的距离为 AB AB l ⊥()0,2()2y k x =+d AB ==若不垂直，则点到直线的距离必小于， AB l ()0,2()2y k x =+d AB综上，点到直线距离的最大值()0,2()2y k x =+max d AB ==故答案为：16．已知双曲线的左、右焦点分别为，O 为坐标原点，()22210x y a a -=>1F 2F 点P 为双曲线上一点，且P 在第一象限，，则______．125F P F P +=OP =【分析】由已知和双曲线的离心率公式可求得双曲线的标准方程，再根据双曲线的定义和勾股定理可得答案.【详解】，=24a =c =故双曲线的标准方程为．2214x y -=由题意知所以 又121245F P F P F P F P ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩129,21,2F P F P ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩11F F =在中，， 12F PF△(22222112218124F P F F F P ⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭所以1290F FP ∠==.四、解答题17．在等差数列中，求： {}n a 345984,73.a a a a ++==(1)；4a (2)求数列的通项公式． {}n a 【答案】(1) 28(2) 98n a n =-【分析】(1)应用基本量运算把条件转化为方程组计算即可 (2)基本量运算分别得到首项和方差,再应用通项公式即可. 【详解】（1）因为等差数列且,{}n a 34584,a a a ++=所以 11123484a d a d a d +++++=即, ()13384a d +=4384a =所以428a =（2）因为等差数列且,{}n a 345984,73a a a a ++==所以 111123484873a d a d a d a d +++++=⎧⎨+=⎩解得 119a d =⎧⎨=⎩得 ()()1119198n a a n d n n =+-=+-=-所以98n a n =-18．已知直线：，直线：． 1l 3460x y -+=2l 340x y c -+=(1)若，之间的距离为3，求c 的值：1l 2l (2)求直线截圆C ：所得弦长． 1l 224470x y x y +--+=AB 【答案】(1)或 21c =9c =-(2) 65【分析】（1）根据两条平行直线的距离公式列方程，化简求得的值. c （2）利用弦长公式求得.AB 【详解】（1）因为两条平行直线：与：间的距离为3， 1l 3460x y -+=2l340x y c -+=所以．3d ==解得或.21c =9c =-（2）圆C ：， ()()22224472021x x y y x y +--+-+-⇒==圆心为，半径为. ()2,21圆心到直线的距离为，()2,21l 45d所以弦长．625AB ==19．(1)若实数m 满足的方程表示焦点在y 轴上的椭圆，求m 的取值范围； 22112x y m m+=--(2)若实数m 满足的方程表示双曲线，求实数m 的取值范围．22121x y m m +=--【答案】(1)3(1,2(2) (,1)(2,)-∞⋃+∞【分析】利用对椭圆与双曲线的标准方程的理解得到关于的不等式组，解之即可.m 【详解】（1）由题意得，解得，102021m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩312m <<故实数m 的取值范围是．3(1,)2（2）由题意得，即，解得或， ()()210m m --<()()210m m -->1m <m>2故实数m 的取值范围是．(,1)(2,)-∞⋃+∞20．已知双曲线．请从①②③中选取两个作为条件补充到题中，并完成下2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>列问题．①②离心率为2；③与椭圆的焦点相同．b =2215x y +=(1)求C 的方程；(2)直线与C 交于A ，B 两点，求的值．:3ly x =-AB 【答案】(1)2213y x -=(2)||AB =【分析】（1）选①②，可得，解得即可；选①③，可得即可；选b =1a =b =1a =②③，可得，解得，即可； 2224a b a+=21a =23b =（2）联立，消掉y ，整理得，利用韦达定理、弦长公式可得答案. 22133y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩2360x x +-=【详解】（1）选①②，可得，，解得，所以C 的方程为； b =2224a b a +=1a =2213yx -=选①③，可得，解得，所以C 的方程为； b =22514a b +=-=1a =2213y x -=选②③，可得，，解得，，所以C 的方程为； 2224a b a +=22514a b +=-=21a =23b =2213y x -=（2）设，，联立，消掉y ，整理得， ()11,A x y ()22,B x y 22133y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩2360x x +-=所以，因为， 121236x x x x +=-⎧⎨=-⎩2ABx =-===所以．||AB =21．已知数列中，，． {}n a 11a =113n n na a a +=+(1)求证：数列是等差数列； 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭(2)求数列的通项公式．{}n a 【答案】(1)证明见解析；(2). 132n a n =-【分析】（1）根据题意，将原式两边同时取倒数，即可得到证明； （2）由（1）可得数列的通项公式，从而求得数列的通项公式． 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a 【详解】（1）因为，，所以，即， 11a =113n n n a a a +=+1113n na a +=+1113n n a a +-=所以，即数列是首项为1，公差为3的等差数列. 111a =1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）由（1）可知，数列是首项为1，公差为3的等差数列， 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以，所以. ()111332n n n a =+-⨯=-132n a n =-22．已知椭圆，其长轴为4，短轴为2． ()2222:10x y C a b a b+=>>（1）求椭圆C 的方程及离心率．（2）直线l 经过定点(1,0)，且与椭圆C 交于两点，求面积的最大值．,A B OABA 【答案】（1）；22214x y +=e =【解析】试题分析：（1）根据条件可得，即得椭圆的方程，及离心率．（2）先设直线2a =1b =，C方程为：，与椭圆联立方程组，利用韦达定理，根据三角形面积公式表示面积，最1x my =+OAB A 后根据对勾函数求最大值.【详解】（1）由条件可知，所以，24,22a b ==2,1a b ==c==所以椭圆的方程是，离心率 C 2214x y +=c e a ==（2）设直线，，，:l 1x my =+()11,A x y ()22,B x y 直线与椭圆方程联立 得， 22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()224230m y my ++-=，， 12224m y y m +=-+12234y y m =-+ 1112OAB S y=⨯⨯-=A ，则，t =≥2241m t +=+则，在上，单调递增，所以22211OAB t S t t t ==++A )+∞1t t+1t t +则，所以21t t ≤+OAB A 【点睛】思路点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.。
山东省青岛二中2016-2017学年度第一学段高二数学(理科)试题无答案
青岛二中2016-2017学年度第一学段高二数学（理科）试题满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、抛物线241x y =的焦点坐标是（ ） A.)0,161( B.)0,1( C.)0,161(- D.)1,0( 2、某客运公司为了了解客车的耗油情况，现采用系统抽样方法按1:10的比例抽取一个样本进行检测，将所有200辆客车依次编号为200,,2,1 ，则其中抽取的4辆客车的编号可能是（ ）A.3,23,63,102B.31,61,87,127C.103,133,153,193D.57,68,98,1083、已知y x ,的取值如下表所示：如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为2+=bx y ，则=b （ ） A.31B.21-C.21 D.1 4、在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示，若该处高速公路规定正常行驶速度为h km h km /120~/90，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（ ）A.30辆B.300辆C.170辆D.1700辆 5、已知四面体ABCD ，===,,，点M 在棱DA 上，MA DM 2=，N 为BC 中点，则=（ ）A.212132---B.212132++-C.212132++D.212132-- 6、下列命题正确的是（ ）A."5"=x 是"054"2=+-x x 的充分不必要条件.B.若q p ∨为真命题，则q p ∧为真命题.C.命题“若1-<x ，则0322>--x x ”的否命题为：“若1-<x ，则0322≤--x x ”.D.已知命题01,:2<-+∈∃x x R x p ，则01,:2≥-+∈∃⌝x x R x p .7、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ） A.20162015 B.20172016 C.20182017 D.201710088、不透明的袋子内装有相同的5个小球，分别标有1-5五个编号，现有放回的随机摸取三次，则摸出的三个小球的编号乘积能被10整除的概率为（ ） A.12542 B.12518 C.256 D.12512 9、已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ） A.x y 33±= B.x y 3±= C.x y 23±= D.x y 23±= 10、在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥0500y x y x 所表示的平面区域是α，不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤3030y x 所表示的平面区域是β，从区域α中随机取点),(y x P ，则P 为区域β内的点的概率是（ ） A.5017 B.2517 C.259 D.2518 11、已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 与双曲线19722=-y x 的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的焦点为K ，点A 在抛物线上且AF AK 2=，则AFK ∆的面积为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 3212、已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 与圆2222:b y x C =+，若在椭圆1C 上存在点P ，过P 作圆的切线PB PA ,，切点为B A ,使得3π=∠BPA ，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A.)1,23[B. ]23,22[C.)1,22[D.)1,21[二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上13、某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了 调查产品销售的情况，需从这600个销售点中，抽取一个容量为100的样本，则应从丙地区中抽 取 个销售点.14、已知条件043:2≤--x x p ；条件096:22≤-+-m x x q ，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 .15、已知向量29||),0,1,4(),1,1,0(=+=-=→→→→b a b a λ，且0>λ，则=λ .16、抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，准线为l ，B A ,为抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17、（本小题满分12分）已知R m ∈，设命题:P 关于x 的不等式0)1()1(2≤-+-+m x m mx 对任意实数x 都成立；命题:q 直线m x y +=2与抛物线x y 42=有两个不同的交点。