成功的抛物线及其标准方程学案
学案1：2.3.1 抛物线及其标准方程
2.3.1 抛物线及其标准方程学习目标1.理解抛物线的定义,掌握抛物线的标准方程及其推导过程,并能根据条件确定抛物线的标准方程.2.通过抛物线的定义的学习,加深对离心率的理解.学习过程一、预习提示问题1:抛物线是如何定义的?问题2:如何理解抛物线y2=2px(p>0)中p的几何意义?问题3:画出抛物线的四种形式的图象,并写出它的标准方程,焦点坐标及准线方程.问题4:如何来理解抛物线的定义?问题5:求解抛物线的标准方程时,如何建立坐标系?二、预习检测问题1:抛物线y=-2x2的准线方程是()(A)x=-.(B)x=. (C)y=.(D)y=-.问题2:若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为()(A)-2.(B)2.(C)-4.(D)4.问题3:抛物线x2=-2y上一点N到其焦点F的距离是3,则点N到直线y=1的距离等于.三、课堂探究【问题1】(1)已知抛物线的焦点在y轴上,并且经过点M(,-2),求抛物线的标准方程;(2)已知抛物线的焦点在坐标轴上,且抛物线过点(-3,2),求它的标准方程.【拓展问题1】求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程.【拓展问题2】抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10,求点P的坐标.【问题2】(1)点M与点F(0,-2)的距离比它到直线l:y-3=0的距离小1,求点M的轨迹方程;(2)已知圆C的方程为x2+y2-10x=0,求与y轴相切且与C外切的动圆圆心P的轨迹方程.【拓展问题1】已知点P(m,3)是抛物线y2=2x上的动点,点P在y上的射影为M,点A 的坐标是A(,4),则+的最小值是()(A).(B)4.(C).(D)5.【拓展问题2】已知直线l:x+1=0及圆C:(x-2)2+y2=1,若动圆M与l相切,且与圆C外切,试求动圆圆心M的轨迹方程.四、当堂达标1.抛物线y2=x上一点P到焦点的距离是2,则点P坐标为()(A)(,±).(B)(,±). (C)(,±).(D)(,±).2.焦点在x轴,且经过点(2,2)的抛物线的标准方程是.3.求与椭圆+=1有相同的焦点,且顶点在原点的抛物线的方程.答案一、问题1:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点;定直线l叫做抛物线的准线.问题2:抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,焦点坐标为(,0),所以p表示焦点到准线的距离.如果抛物线y2=2px(p>0)的标准方程已给出,则焦点的横坐标为一次项系数的,焦点在其它位置时,也有相类似的规律.问题3:图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2px(p>0)(,0)x=-y2=-2px(p>0)(-,0)x=x2=2py(p>0)(0,)y=-x2=-2py(p>0)(0,-)y=问题4:(1)抛物线的定义实质上可以归结为“一动三定”,即一个动点;一个定点F,即焦点;一条定直线l,即准线;一个定值,即动点到焦点和准线的距离之比为定值1.(2)定点F不在定直线l上,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过定点F且垂直于l的一条直线.问题5:根据抛物线的定义导出它的标准方程时,要考虑怎样选择坐标系才能得到标准方程.过抛物线的焦点F做准线的垂线,垂足为K,则一般将直线KF作为一条坐标轴,线段KF的中点作为原点,这样建出的坐标系得到的抛物线的方程最简单,不含常数项.二、预习检测问题1:C解析:抛物线的标准方程为x2=-y,故准线方程为y=.问题2:D解析:椭圆+=1的右焦点为(2,0),所以抛物线y2=2px的焦点为(2,0),则p=4.问题3:解析:点N到焦点F的距离等于其到准线y=的距离,则点N到直线y=1的距离等于.三、【问题1】解析:(1)∵抛物线的焦点在y轴上,并且经过点M(,-2),∴可设它的标准方程为x2=-2py(p>0).又∵点M在抛物线上,∴()2=-2p(-2),即p=,∴所求方程是x2=-y.(2)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),∵抛物线过点(-3,2),∴22=-2p(-3)或(-3)2=2p·2,得p=或p=,故所求抛物线方程为y2=-x或x2=y.【拓展问题1】解析:抛物线的焦点一定在坐标轴上,故焦点为(4,0)或(0,-3),当焦点为(4,0)时,抛物线的标准方程为y2=16x,当焦点为(0,-3)时,抛物线的标准方程为x2=-12y.【拓展问题2】解析:设点P的坐标为(x,y),∵|PF|=10,∴1+x=10,∴x=9,把x=9代入方程y2=4x中,解得y=±6,∴点P的坐标是(9,±6).【问题2】解析:(1)设点M坐标为(x,y),∵点M到点F的距离比它到直线l:y=3的距离小1,∴点M到点F的距离与它到直线l:y=2的距离相等,即点M的轨迹是以F(0,-2)为焦点,直线l:y=2为准线的抛物线.∵=2,且开口向下,∴点M的轨迹方程为x2=-8y.(2)设P点坐标为(x,y),半径为R,∵动圆P与y轴相切,∴R=|x|.∵动圆与定圆C:(x-5)2+y2=25外切,∴|PC|=R+5.∴|PC|=|x|+5.当点P在y轴上或y轴右侧时,即x≥0,则|PC|=x+5,即点P的轨迹是以(5,0)为焦点的抛物线,故方程为y2=20x(x≥0);当点P在y轴左侧时,即x<0,则|PC|=-x+5,此时点P的轨迹是x轴的负半轴,即方程y=0(x<0).故点P的轨迹方程为y2=20x(x≥0)或y=0(x<0).【拓展问题1】C解析:延长PM交抛物线的准线于N,如图,则+=,由抛物线定义知,+==,则只有当A,P,F三点共线时,++有最小值:=5,所以,+的最小值为.【拓展问题2】解析:设M(x,y),M到直线l的距离为d.∵动圆M与l相切且与圆C外切,∴|MC|=d+1.∴动点M到定点C的距离与到定直线x=-2的距离相等.∴动点M的轨迹是以C(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,其方程为y2=8x.由问题2及其拓展可以得出什么结论?求动点的轨迹的一个常用方法:几何定义法,所谓“几何”,是指挖掘条件的几何意义,所谓“定义”,是指所挖掘的几何意义是否符合某种曲线的定义.四、1.B解析:设P(x,y),则点P到焦点的距离为2,∴点P到准线x=-的距离也是2,即x+=2,∴x=,∴y=±,∴选B.2.y2=6x解析:设抛物线的标准方程为y2=2px,代入点(2,2)得p=3,所以方程为y2=6x.3.解析:根据抛物线的性质,所求抛物线的方程应为标准方程.椭圆的焦点为(1,0)和(-1,0),当抛物线的焦点为(-1,0)时,抛物线焦点在x轴负半轴,此时方程为y2=-4x,同理可求,焦点为(1,0)时,抛物线的标准方程为y2=4x,所以所求的方程为y2=4x或y2=-4x.。
学案2：2.3.1抛物线及其标准方程
2．3.1 抛物线及其标准方程学习目标：1.掌握抛物线的定义及其标准方程．2．了解抛物线的实际应用．3．能区分抛物线标准方程的四种形式．预习提示：1.我们知道，二次函数的图象是抛物线，那么抛物线上的点应满足什么条件呢？2. 抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？3．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，建立的抛物线方程才能更简单？4．抛物线方程中p有何意义？标准方程有几种类型？抛物线的开口方向由什么决定？5．抛物线与二次函数有何关系？课堂探究：例1、(1)抛物线y2＝2px(p＞0)上一点A(6，y0)，且点A到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是()A．4 B．8C．13 D．16(2)若点P到定点F(4,0)的距离比它到定直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是()A．y2＝－16xB．y2＝－32xC．y2＝16xD．y2＝16x或y＝0(x＜0)变式训练：(1)抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则A点到抛物线焦点的距离为() A．2B．3 C．4 D．5(2)若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x例2、分别求适合下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点M(－6,6)．(2)焦点在直线l：3x－2y－6＝0上．(3)已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程．变式训练：若把本例题目改为：(1)过点(1,2)．(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．试求抛物线的标准方程．例3、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．变式训练：定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点M 到y轴的距离的最小值．例4、如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?变式训练：某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4m ，高2 m ，载货后木船露在水面上的部分高为34 m ，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？当堂达标：1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)D ．(－4,0)2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x 3．已知动点M (x ，y )的坐标满足x －22＋y 2＝|x ＋2|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．以上均不对4．抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标． 答案：1.【提示】 抛物线上的点满足到定点的距离等于它到定直线的距离．2. 【提示】 不能，若l 经过点F ，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于l 的一条直线．3．【提示】 根据抛物线的几何特征，可以取经过点F 且垂直于直线l 的直线为x 轴，以F 到l 的垂线段的中垂线为y 轴建系．4．【提示】 p 是抛物线的焦点到准线的距离 抛物线的标准方程有四种类型：①焦点在x 轴的正半轴上，其标准方程为y 2＝2px (p ＞0)； ②焦点在x 轴的负半轴上，其标准方程为y 2＝－2px (p ＞0)； ③焦点在y 轴的正半轴上，其标准方程为x 2＝2py (p ＞0)； ④焦点在y 轴的负半轴上，其标准方程为x 2＝－2py (p ＞0)． 抛物线的方程中一次项决定开口方向．5．【提示】 二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当b ，c 为0时，y ＝ax 2表示焦点在y 轴上的抛物线，标准方程为x 2＝1a y ，a ＞0时抛物线开口向上，a ＜0时，抛物线开口向下，当抛物线的开口方向向左或向右时，方程为y 2＝2px ，这是一条曲线，不能称为函数．课堂探究：例1、 【自主解答】 (1)由题意6＋p2＝10，∴p ＝8.(2)因为点F (4,0)在直线x ＋5＝0的右侧，且P 点到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，所以点P 到F (4,0)的距离与到直线x ＋4＝0的距离相等．故点P 的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p ＝8，故P 点的轨迹方程为y 2＝16x .【答案】 (1)B (2)C变式训练：【解析】 (1)由抛物线的定义，点A 到焦点的距离等于它到准线的距离，而A 到准线的距离为4＋p2＝4＋1＝5.(2)由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x ＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，其方程为y 2＝8x .【答案】 (1)D (2)A例2、 【自主解答】 (1)由于点M (－6,6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上， 设其方程为y 2＝－2px (p ＞0)，将点M (－6,6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x ；若抛物线开口向上，焦点在y 轴上，设其方程为x 2＝2py (p ＞0)， 将点M (－6,6)代入可得，36＝2p ×6，∴p ＝3， ∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是F (2,0)， ∴p2＝2，∴p ＝4， ∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y .(3)法一：设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0， 由题设可得⎩⎨⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎫3－p22＝5， 解得{ p ＝4，m ＝26或{ p ＝4，m ＝－26，故所求的抛物线方程为y 2＝－8x .法二：设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0，准线方程为x ＝p 2， 根据抛物线的定义，点M 到焦点的距离等于5，也就是M 到准线的距离为5， 则3＋p2＝5，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .变式训练：【解】 (1)点(1,2)在第一象限，分两种情形： 当抛物线焦点在x 轴上时，设其方程为y 2＝2px (p >0)， 则22＝2p ·1，解得p ＝2， 抛物线标准方程为y 2＝4x ；当抛物线焦点在y 轴上时，设其方程为x 2＝2py (p >0)， 则12＝2p ·2，解得p ＝14，抛物线标准方程为x 2＝12y .(2)令方程x －2y －4＝0的x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4. ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)， 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，这时抛物线标准方程为y 2＝16x ； 当焦点为(0，－2)时，p2＝2，∴p ＝4，这时抛物线标准方程为x 2＝－8y .例3、 【自主解答】 (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连接AF ，AF 与抛物线的交点即为点P ，故最小值为22＋12＝5，即点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为 5.①(2)如图，把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12.因为12＞2，所以点B 在抛物线内部，过点B 作BQ 垂直于准线，垂足为点Q ，交抛物线于点P 1，连接P 1F .此时，由抛物线定义知：|P 1Q |＝|P 1F |.②所以|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝3＋1＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4.变式训练：【解】 如图，F 是抛物线y 2＝x 的焦点，过A 、B 两点分别作准线的垂线AC 、BD ，过AB 的中点M 作准线的垂线MN ，C 、D 、N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)．由抛物线的定义可知 |AF |＝|AC |，|BD |＝|BF |， ∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥12|AB |＝32.设M 点的坐标为(x ，y )，则|MN |＝x ＋14.又|MN |≥32，∴x ≥32－14＝54，当且仅当AB 过抛物线的焦点时等号成立．此时点M 到y 轴的距离的最小值为54.例4、【自主解答】 如图所示(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 因为点C (5，－5)在抛物线上， 所以该抛物线的方程为x 2＝－5y .(2)设车辆高h ，则|DB |＝h ＋0.5，故D (3.5，h －6.5)， 代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．变式训练：【解】 以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为y 轴，建立如下图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意知，点A (4，－5)在抛物线x 2＝－2py (p ＞0)上．所以16＝－2p ×(－5)，2p ＝165. 所以抛物线方程为x 2＝－165y (－4≤x ≤4)．设水面上涨船面两侧与抛物线拱桥接触于B 、B ′时，船开始不能通航． 设B (2，y )，由于22＝－165×y ，所以y ＝－54.所以水面与抛物线拱顶相距|y |＋34＝2(m)．答：水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m 时，船开始不能通航.当堂达标：1．【解析】 由y 2＝－8x ，得2p ＝8，∴p2＝2.从而抛物线的焦点为(－2,0)． 【答案】 B2．【解析】 由准线x ＝－2及顶点在原点， ∴焦点F (2,0)，p ＝4. ∴抛物线的方程为y 2＝8x . 【答案】 B3．【解析】 由条件知M 点轨迹满足抛物线定义．即M 到定点(2,0)与到定直线x ＝－2的距离相等，所以点M 的轨迹是抛物线． 【答案】 C4．【解】 设焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0，M 点到准线的距离为d . 则d ＝|MF |＝10，即9＋p2＝10.∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x ， 将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6. ∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6).。
学案10：2.4.1 抛物线及其标准方程
2.4.1 抛物线及其标准方程预习导引区 核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．(1)观察教材，点F 是定点，l 是不经过点F 的定直线，H 是l 上任意一点，过点H 作MH ⊥l ，线段FH 的垂直平分线m 交MH 于点M ，拖动点H ，观察点M 的轨迹． ①M 的轨迹是什么形状？②|MH |与|MF |之间有什么关系？③抛物线上任意一点M 到点F 和直线l 的距离都相等吗？(2)观察教材，直线l 的方程为x ＝－p2，定点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，设M (x ，y )，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MH |，则M 点的轨迹方程是什么？2．归纳总结，核心必记 (1)抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的准线． (2)抛物线的标准方程图形标准方程 焦点坐标准线方程y 2＝2px (p >0)⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p2y 2＝－2px (p >0)⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p 2 续表图形标准方程 焦点坐标准线方程x 2＝2py (p >0)⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0)⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p2问题思考(1)在抛物线定义中，若去掉条件“l 不经过点F ”，点的轨迹还是抛物线吗？(2)到定点A (3，0)和定直线l ：x ＝－3距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？(3)若抛物线的焦点坐标为(2，0)，则它的标准方程是什么？课堂互动区知识点1 求抛物线的焦点坐标及标准方程 思考1 抛物线的标准方程有哪几种类型？思考2 抛物线方程中p 的几何意义是什么？思考3 如何根据抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程？ 讲一讲1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y 2＝－14x ；(2)5x 2－2y ＝0; (3)y 2＝ax (a >0)．类题·通法根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式；然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p的几何意义，求出焦点坐标和准线方程．练一练1．求抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标和准线方程．知识点2 求抛物线的标准方程思考1抛物线标准方程有什么特点？思考2如何求抛物线的标准方程？讲一讲2．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点M(－6，6);(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．类题·通法求抛物线标准方程的两种方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx或x2＝ny，利用已知条件求出m，n 的值．练一练2．根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝－1;(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.知识点3 抛物线定义的应用讲一讲3．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．类题通法(1)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．(2)解决与抛物线焦点、准线距离有关的最值、定值问题时，首先要注意应用抛物线的定义进行转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短；三角形中三边间的不等关系；点与直线上点的连线中，垂线段最短等．练一练3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．知识点4 抛物线方程的实际应用讲一讲4．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过截面为抛物线型的隧道，已知拱口宽AB恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．类题通法在建立抛物线的方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得方程不含常数项，形式更为简单，便于计算．练一练4．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？—————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是抛物线标准方程的求法和焦点坐标、准线的求法．难点是抛物线定义的应用和抛物线方程的实际应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)由抛物线方程求焦点坐标和准线方程，如讲1；(2)求抛物线的标准方程，如讲2；(3)利用抛物线的定义解决最值问题，如讲3.3．由抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，如果不是标准方程应先转化为标准方程，这是本节课的易错点．参考答案预习导引区核心必知1．(1)①提示：抛物线． ②提示：相等． ③提示：都相等． (2)提示：y 2＝2px (p >0)．2．(1)距离相等 焦点 准线 问题思考(1)提示：不一定是抛物线，当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过点F 且垂直于定直线的一条直线，l 不过定点F 时，点的轨迹是抛物线． (2)提示：轨迹是抛物线，轨迹方程为：y 2＝12x ．(3)提示：由焦点在x 轴正半轴上，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，则p2＝2，故p ＝4.所以抛物线的标准方程是y 2＝8x ． 课堂互动区知识点1 求抛物线的焦点坐标及标准方程思考1 名师指津：y 2＝2px (p >0)；y 2＝－2px (p >0)；x 2＝2py (p >0)；x 2＝－2py (p >0)． 思考2 名师指津：p 的几何意义是：焦点到准线的距离．思考3 名师指津：先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后求p ，利用焦点坐标及准线的定义求解． 讲一讲1．解：(1)因为p ＝7，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫－72，0，准线方程是x ＝72. (2)抛物线方程化为标准形式为x 2＝25y ，因为p ＝15，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，110， 准线方程是y ＝－110.(3)由a >0知p ＝a 2，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4. 练一练1．解：把抛物线方程y ＝ax 2化成标准方程x 2＝1a y .当a >0时，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a ； 当a <0时，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a. 综上知，所求抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a . 知识点2 求抛物线的标准方程思考1 名师指津：等号一边是某个变量的完全平方，等号的另一边是另一个变量的一次项． 思考2 名师指津：(1)确定抛物线的对称轴和开口方向；(2)求p 的值． 讲一讲2．解：(1)∵点M (－6，6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上， 设其方程为y 2＝－2px (p >0)，将点M (－6，6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x .若抛物线开口向上，焦点在y 轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0)， 将点M (－6，6)代入可得，36＝2p ×6，∴p ＝3， ∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2，0)， ∴抛物线的焦点是F (2，0)， ∴p2＝2， ∴p ＝4，∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y . 练一练2．解：(1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， 则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2， 则焦点到准线的距离是⎪⎪⎪⎪－p 2－p2＝p ＝3， 因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .知识点3 抛物线定义的应用 讲一讲3．解：如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ，则|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴()|P A |＋|PF |min＝|AB |＝3＋12＝72.此时y P ＝2，代入抛物线得x P ＝2，∴P 点坐标为(2，2)． 练一练3．解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知， 当点P ，A (0，2)，和抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0三点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋（2－0）2＝172. 知识点4 抛物线方程的实际应用 讲一讲4．解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－a4，由点B 在抛物线上， 得⎝⎛⎭⎫a 22＝－2p ⎝⎛⎭⎫－a 4，所以p ＝a2，所以抛物线方程为x 2＝－ay .将点(0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a .欲使卡车通过隧道，应有a 4－|y |＝a 4－0.64a >3.解得a >12.21，或a <－0.21(舍去)． ∵a 取整数， ∴a 的最小值为13. 练一练4．解：如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为点C (5，－5)在抛物线上， 所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5， 所以抛物线的方程为x 2＝－5y ， 点A (－4，y 0)在抛物线上， 所以16＝－5y 0，即y 0＝－165，所以OA 的长为5－165＝1.8(m)．所以管柱OA 的长为1.8 m.。
抛物线及其标准方程(高中数学学案)
抛物线及其标准方程
一．知识与技能
使学生了解抛物线的定义，理解焦点，准线方程的几何意义，能够根据已知条件写出抛物线的标准方程。
二．过程与方法
掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解求曲线方程的方法（坐标法）。
通过本节课的学习，培养学生在解决数学问题时能够具备观察，类比，分析，计算的能力。
三．情感态度与价值观
通过本节的学习，让学生体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想。
1.定义：
2.探究它的方程
3.例题1：已知抛物线的焦点是F（3,0）写出它的标准方程和准线方程。
巩固：根据下列条件，写出抛物线的标准方程。
（1）焦点是F（2,0）
（2）准线方程是x=-3/2.
例题2：已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3，求抛物线的标准方程以及焦点坐标和准线方程。
巩固：（1）已知抛物线的焦点在x轴正半轴上，且准线与y轴之间的距离为6.求此抛物线的标准方程。
（2）已知点M与点F（4,0）的距离比它到直线L：x+6=0的距离小2.求点M的轨迹方程。
（3）已知点M与点F（4,0）的距离比它到直线L：x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程。
（4）已知抛物线26
和点A（4,0）。
质点M在此抛物线上运动，求点M与点A的距y x
离的最小值，并指出此点M的坐标。
椭圆定义
双曲线定义
抛物线定义。
抛物线及其标准方程学案
攸县二中高二数学备课组学案执笔人谢庆华课题：抛物线及其标准方程（一）第 1 课时目标1、知识与技能：使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程。
2、方法与过程：要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力。
3、情感态度与价值观：培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
重点：抛物线的定义和标准方程。
难点：抛物线标准方程的推导及抛物线标准方程的四种类型。
教学过程【1】导入新课1、我们在哪些地方见过或研究过抛物线？(举例说明)2、通过多媒体观看实际生活中的与抛物线有关的图片。
3、回顾椭圆与双曲线的第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹(定点F不在定直线l上)，当0＜e＜1时是；当e＞1时是；那么当e=1时，它又会是什么曲线呢？4、简单实验：如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义。
【2】新知探究：1、抛物线的定义：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的，定直线l叫做抛物线的。
2、抛物线的标准方程：①设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？取过定点F且垂直于l的直线为x轴，设x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)。
抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合P={M||MF|=d}。
学案10：2.3.1 抛物线及其标准方程
2.3.1 抛物线及其标准方程学 习 目 标核 心 素 养1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点) 2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点) 3．明确p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)1．通过抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养． 2．通过抛物线定义及标准方程的应用，培养学生的直观想象、数学建模等核心素养．新知初探1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做 ．点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 ． 思考1：抛物线的定义中，若点F 在直线l 上，那么点的轨迹是什么？2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标 准线方程y 2＝2px (p >0)F ⎝⎛⎭⎫p 2，0x ＝－p2y 2＝－2px (p >0)F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0x ＝p 2x 2＝2py (p >0)F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p2x 2＝－2py (p >0)F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p2(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？初试身手1．抛物线x 2＋8y ＝0的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0，－2) C ．(0,4)D ．(0，－4)2．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 3．抛物线x ＝4y 2的准线方程是( ) A ．y ＝12B ．y ＝－1C ．x ＝－116D ．x ＝184．抛物线y 2＝－12x 上与焦点的距离等于9的点的坐标是________．合作探究类型1 求抛物线的标准方程例1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝23；(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5； (3)经过点(－3，－1)；(4)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点．规律方法1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程间的对应关系．(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，这样可以减少讨论情况的个数．(3)注意p 与p2的几何意义．跟踪训练 1．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．8类型2 抛物线的定义的应用例2 (1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程；(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，对于定点A (4,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标；(3)已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．规律方法抛物线定义的两种应用1.实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.2.解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 跟踪训练2．(1)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A ．172B ．3C ． 5D ．92(2)若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12．求点M 的轨迹方程．类型3 抛物线的实际应用 [探究问题]已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？例3 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高34米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？规律方法求抛物线实际应用的五个步骤 1.建立适当的坐标系. 2.设出合适的抛物线标准方程.3.通过计算求出抛物线的标准方程.4.求出需要求出的量.5.还原到实际问题中，从而解决实际问题. 跟踪训练3．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线型，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0．04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？课堂小结1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，准线方程为x ＝－m4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，m 4，准线方程为y ＝－m 4． 2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p 2．3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．课堂检测1．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．1B ．2C ．4D ．82．已知抛物线y ＝mx 2(m >0)的焦点与椭圆4y 29＋x 22＝1的一个焦点重合，则m 的值为________．3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 1，若点A (2，－4)在抛物线上，则点A 到焦点的距离为________．4．求顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线3x －5y －36＝0上的抛物线方程．参考答案新知初探1．抛物线 焦点 准线思考1：[提示] 点的轨迹是过点F 且垂直于直线l 的直线． 思考2：[提示] (1)p 的几何意义是焦点到准线的距离．(2)根据抛物线方程中一次式±2px ，±2py 来确定焦点位置，“x ，y ”表示焦点在x 轴或y 轴上，系数“±2p ”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．初试身手1．【答案】B【解析】抛物线x 2＝－8y 的焦点在y 轴的负半轴上，且p2＝2，因此焦点坐标是(0，－2)．2．【答案】C【解析】由y 2＝8x 得p ＝4，即焦点到准线的距离为4． 3．【答案】C【解析】由x ＝4y 2得y 2＝14x ，故准线方程为x ＝－116．4．【答案】(－6,62)或(－6，－62)【解析】由y 2＝－12x 知p ＝6，准线方程为x ＝3，设抛物线上点P (x ，y )，由抛物线定义可知－x ＋3＝9，x ＝－6，将x ＝－6代入y 2＝－12x ，得y ＝±62，所以满足条件的点为(－6,62)或(－6，－62)．合作探究类型1 求抛物线的标准方程例1 解：(1)因为抛物线的准线交y 轴于正半轴，且p 2＝23，则p ＝43，所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y ．(2)已知抛物线的焦点在y 轴上，可设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y ． (3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)．若抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则由(－1)2＝－2p ×(－3)，解得p ＝16；若抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，则由(－3)2＝－2p ×(－1)，解得p ＝92．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－13x 或x 2＝－9y ．(4)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4， ∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x ．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x ．跟踪训练 1．【答案】D类型2 抛物线的定义的应用例2 解：(1)设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由p2＋3＝5得p ＝4，因此抛物线方程为x 2＝－8y ，其准线方程为y ＝2，由m 2＝24得m ＝±26． (2)如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ，则|P A |＋|PF | ＝|P A |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AB | ＝4＋1＝5． 此时y P ＝2， 代入抛物线得x P ＝1， ∴P (1,2)．(3)设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，则由题意可得M 到圆心C (0，－3)的距离与直线y ＝3的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y ． 跟踪训练2．(1)【答案】A【解析】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得，∴点P 到准线x ＝－12的距离d ＝|PF |，易知点A (0,2)在抛物线y 2＝2x 的外部， 连接AF ，交y 2＝2x 于点P ′，欲使所求距离之和最小，只需A ，P ′，F 共线，∴其最小值为 |AF |＝⎝⎛⎭⎫0－122＋(2－0)2＝172． (2)解：由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)． 类型3 抛物线的实际应用 [探究问题][提示] 以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标轴建系．例3 解：如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝85，∴抛物线方程为x 2＝－165y ．∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航． 设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )， 由22＝－165y A ，得y A ＝－54．又知船露出水面上部分为34米，设水面与抛物线拱顶相距为h ，则h ＝|y A |＋34＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航． 跟踪训练3．解：如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴，建立直角坐标系．因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A (10，－2)． 设桥孔上部抛物线方程是x 2＝－2py (p >0)， 则102＝－2p ×(－2)，所以p ＝25，所以抛物线方程为x 2＝－50y ，即y ＝－150x 2．若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x ＝8时， y ＝－150×82＝－1．28，即船体在x ＝±8之间通过，B (8，－1．28)，此时B 点距水面6＋(－1．28)＝4．72(米)． 而船体高为5米，所以无法通行．又因为5－4．72＝0．28(米)，0．28÷0．04＝7， 150×7＝1 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现在状况下不能通过桥孔．课堂检测1．【答案】A【解析】∵14＋x 0＝54x 0，∴x 0＝1．2．【答案】12【解析】将抛物线y ＝mx 2(m >0)的方程化为标准方程是x 2＝1m y ，所以其焦点是⎝⎛⎭⎫0，14m ，因为抛物线y ＝mx 2(m >0)的焦点与椭圆4y 29＋x 22＝1的一个焦点重合，因此94－2＝⎝⎛⎭⎫14m 2，解得m ＝12． 3．【答案】4【解析】把点(2，－4)代入抛物线y 2＝2px ，得16＝4p ，即p ＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A 到焦点的距离为4．4．解：因为焦点在直线3x －5y －36＝0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴， 所以焦点A 的坐标为(12,0)或⎝⎛⎭⎫0，－365． 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，求得p ＝24，所以此抛物线方程为y 2＝48x ； 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，求得p ＝725，所以此抛物线方程为x 2＝－1445y ． 综上所求抛物线方程为y 2＝48x 或x 2＝－1445y ．。
抛物线及其标准方程学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.3.1抛物线及其标准方程班级:_________姓名:__________一 、课前回顾1、双曲线的几何性质；2、做一做:直线033=+-y x 被双曲线122=-y x 截得的弦AB 的长为 .二、学习目标1.了解抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.了解抛物线的几何图形和标准方程.3.明确p 的几何意义,并能解决简单的求抛物线标准方程问题.三、自学指导阅读教材130--131页，完成下列问题与例题 定义我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离的点的轨迹叫做抛物线焦点叫做抛物线的焦点准线叫做抛物线的准线集合表示P={M|,d 为点M 到准线l 的距离}.做一做:到直线2=x 与到定点)0,2(-P 的距离相等的点的轨迹是( )A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.直线问题1：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单?问题2：探究在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程．抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表问题3：你能说明二次函数)0(2≠=a ax y 的图像为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程.例1（1）已知抛物线的标准方程是x y 62=，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是26x y -=，求它的焦点坐标和准线方程；（3）已知抛物线的焦点坐标是），（20-F ，求它的标准方程.变式1.变式1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）x y 202=; （2）y x 212=; （3）082=+y x .例2.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程.（1）准线方程为32=y ； （2）过点)2,3(-; （3）焦点在直线042=--y x 上; （4）焦点在y 轴上,焦点到准线的距离为5.变式2、根据下列条件求抛物线的标准方程:(1)焦点在y 轴上且过点(-1,-3); (2)过点(4,-8).例3. (1)已知O 为坐标原点,F 为抛物线x y C 24:2=的焦点,P 为C 上一点,若24=PF ,则POF ∆的面积为( )A.2B.22C.32D.4(2)已知抛物线x y 42=的焦点是F ,点P 是抛物线上的动点,对于定点)2,4(A ,求PF PA +的最小值,并求出取最小值时的点P 的坐标.变式3、 (1)已知点P 是抛物线x y 22=上的一个动点,则点P 到点)2,0(A 的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A. 217 B.3 C.5 D.29 (2)若抛物线)0(22>=p px y 上有一点M ,其横坐标为9-,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和点M 的坐标.例4、一种卫星接收天线如图3.3-3左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图3.3-3(1)．已知接收天线的口径（直径）为4.8m ，深度为lm ，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．变式4、 (1)已知动圆M 与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M 的轨迹方程.(2)某河上有一座抛物线形的拱桥,当水面距拱顶5 m 时,水面宽8 m,一木船宽4 m,高2 m,载货的木船露在水面上的部分为0.75 m,当水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?四、目标检测1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：（1）焦点是)0,3(F ； （2）准线方程式41-=x ； （3）焦点到准线的距离是2。
《抛物线及其标准方程》教案
《抛物线及其标准方程》教案《抛物线及其标准方程》教案教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。
下面是小编整理的《抛物线及其标准方程》教案，欢迎大家分享。
《抛物线及其标准方程》教案篇1一、目标1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。
并进一步感受坐标法及数形结合的思想二、重点抛物线的定义及标准方程三、教学难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）四、教学过程（一）复习旧知在初中，我们学习过了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物线。
例如：（1），（2）的图象（展示两个函数图象）：（二）讲授新课1.课题引入在实际生活中，我们也有许多的抛物线模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。
到底什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容.（板书：课题2.4.1抛物线及其标准方程）2.抛物线的定义信息技术应用（课堂中展示画图过程）先看一个实验：如图：点F是定点，是不经过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线交MH于点M。
拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论）可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有MH=MF,即点M 与定点F和定直线的距离相等。
（也可以用几何画板度量MH，MF的值）（定义引入）：我们把平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。
《抛物线及其标准方程》 学历案
《抛物线及其标准方程》学历案一、学习目标1、理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导过程。
2、能够根据抛物线的标准方程确定抛物线的焦点、准线、对称轴等几何特征。
3、会运用抛物线的标准方程解决简单的实际问题。
二、学习重难点1、重点（1）抛物线的定义。
（2）抛物线的标准方程及其推导。
2、难点（1）抛物线标准方程的推导。
（2）根据抛物线的方程确定其几何特征，并解决相关问题。
三、知识回顾在平面直角坐标系中，我们已经学习了直线和圆的方程。
直线可以用一般式、点斜式、斜截式等形式表示；圆的标准方程是\（（x a)＾2＋（y b)＾2 ＝ r^2\），其中\（（a,b)＼）为圆心坐标，＼（r\）为半径。
四、新课导入生活中，我们常常能看到抛物线的形状。
比如，喷泉喷出的水线，投篮时篮球的运动轨迹，等等。
那么，什么是抛物线？它的方程又是怎样的呢？五、抛物线的定义平面内与一定点\（F\）和一条定直线\（l\）（＼（l\）不经过点\（F\））的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点\（F\）叫做抛物线的焦点，定直线\（l\）叫做抛物线的准线。
为了更好地理解抛物线的定义，我们来看一个例子。
假设点\（F\）是点\（（1,0)＼），直线\（l\）的方程是\（x ＝－1\），那么到点\（F\）的距离等于到直线\（l\）距离的点的轨迹就是一条抛物线。
六、抛物线的标准方程我们以抛物线的顶点在原点，焦点在\（x\）轴正半轴上为例来推导抛物线的标准方程。
设焦点\（F\）的坐标为\（（p,0)＼），＼（p ＞ 0\），准线\（l\）的方程为\（x ＝ p\）。
设抛物线上任意一点\（M\）的坐标为\（（x,y)＼），由抛物线的定义，点\（M\）到焦点\（F\）的距离等于点\（M\）到准线\（l\）的距离。
点\（M\）到焦点\（F\）的距离为\（＼sqrt{（x p)＾2 ＋y^2}＼），点\（M\）到准线\（l\）的距离为\（｜x ＋ p|＼），所以有：＼＼begin{align}＼sqrt{（x p)＾2 ＋ y^2}＆＝｜x ＋ p|＼＼（x p)＾2 ＋ y^2&＝（x ＋ p)＾2\＼x^2 2px ＋ p^2 ＋ y^2&＝x^2 ＋ 2px ＋ p^2\＼y^2&＝4px＼end{align}＼这就是焦点在\（x\）轴正半轴上的抛物线的标准方程。
学案11：2.4.1 抛物线及其标准方程
2.4.1 抛物线及其标准方程教材新知知识点一抛物线的定义入门答辩如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：画出的曲线是什么形状？问题2：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？问题3：点D在移动过程中，满足什么条件？新知自解抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的.知识点二抛物线的标准方程入门答辩平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－1，0)，C(0,1)，D(0，－1)；l1：x＝－1，l2：x＝1，l3：y＝－1，l4：y＝1.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？问题3：到定点C和定直线l3，到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程分别是什么？新知自解抛物线标准方程的几种形式图形标准方程 焦点坐标 准线方程y 2＝2px (p >0)(p2，0) x ＝－p 2y 2＝－2px (p >0)(－p2，0) x ＝p 2x 2＝2py (p >0)(0，p2)y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0)(0，－p 2)y ＝p 21．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M ；一个定点F ，即抛物线的焦点；一条定直线l ，即为抛物线的准线；一个定值，即点M 与点F 的距离和M 到l 的距离之比等于1.定点F 不能在直线上，否则，动点M 的轨迹就不是抛物线．2．抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标准方程形式，规律是：焦点取决于一次项，开口取决于正负号，即标准方程中，如果含的是x 的一次项，则焦点就在x 轴上，并且焦点的横坐标为2p 4(或－2p 4)，相应的准线是x ＝－2p 4(或x ＝2p4)；如果含的是y的一次项，有类似的结论．3．抛物线标准方程中的参数p 的几何意义是焦点到准线的距离． 热点考向考点一 求抛物线的标准方程例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)准线方程为2y ＋4＝0； (2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．一点通 求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可；若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)．题组集训1．以双曲线x216－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A．y2＝16x B．y2＝－16xC．y2＝8x D．y2＝－8x2．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和m的值；(2)求抛物线的焦点和准线方程．考点二抛物线定义的应用例2已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)．在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|P A|的值最小．一点通利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用；其次是注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等．题组集训3．点P为抛物线y2＝2px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴()A．相交B．相切C．相离D．位置由F确定4．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B.3C. 5D.92考点三 与抛物线有关的应用问题例3 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？一点通 涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决．建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解． 题组集训5．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm ，灯深40 cm ，则光源到反光镜顶点的距离是( ) A ．11.25 cm B ．5.625 cm C ．20 cmD ．10 cm6．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值． 方法小结1．求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定型”(确定焦点位置)→定量(参数p 的值)的程序求解．2．应用定义可以解决两类问题：①求抛物线的方程；②涉及抛物线的最值问题，通常将到焦点的距离转化为到准线的距离，充分利用直角梯形的性质解题．参考答案教材新知知识点一 抛物线的定义 入门答辩问题1：提示：抛物线问题2：提示：是．AB 是直角三角形的一条直角边． 问题3：提示：|DA |＝|DC |. 新知自解距离相等 焦点 准线 知识点二 抛物线的标准方程 入门答辩问题1：提示：y 2＝4x . 问题2：提示：y 2＝－4x . 问题3：提示：x 2＝4y ，x 2＝－4y . 热点考向考点一 求抛物线的标准方程例1 解：(1)准线方程为2y ＋4＝0，即y ＝－2，故抛物线焦点在y 轴的正半轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0)．又p2＝2，所以2p ＝8，故抛物线的标准方程为x 2＝8y .(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝x －2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94. ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(3)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x . 题组集训 1．【答案】A【解析】由双曲线方程x 216－y 29＝1，可知其焦点在x 轴上．由a 2＝16，得a ＝4，∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0)，∴抛物线的焦点为F (4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则由p2＝4，得p ＝8，故所求抛物线的标准方程为y 2＝16x . 2．解：(1)法一：∵抛物线焦点在x 轴上，且过点M (－3，m )， ∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点坐标F (－p2，0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋(3－p 2)2＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝26，或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 法二：设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 则焦点坐标F (－p 2，0)，准线方程x ＝p 2.由抛物线定义知，点M 到焦点的距离等于5， 即点M 到准线的距离等于5，则3＋p2＝5，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .又点M (－3，m )在抛物线上， ∴m 2＝24，∴m ＝±26，∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. (2)∵p ＝4，∴抛物线的焦点坐标为(－2,0)， 准线方程是x ＝2.考点二 抛物线定义的应用 例2 解：∵(－2)2<8×4，∴点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部．如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B .由抛物线的定义可知：|PF |＋|P A |＝|PQ |＋|P A |≥|AQ |≥|AB |，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时，|PF |＋|P A |取得最小值，即为|AB |.此时P 的横坐标为－2，代入x 2＝8y 得y P ＝12.故使|PF |＋|P A |的值最小的抛物线上的点P 的坐标为(－2，12)．题组集训 3．【答案】B【解析】如图，抛物线的焦点为F (p 2，0)，M 为PF 的中点，准线是l ：x ＝－p 2.作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么|PF |＝|PH |，且|QH |＝|OF |＝p2.作MN ⊥y 轴于N ，则MN 是梯形PQOF 的中位线，即|MN |＝12(|OF |＋|PQ |)＝12|PH |＝12|PF |，故以PF 为直径的圆与y 轴相切．4．【答案】A【解析】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，P 点，A (0,2)点，抛物线的焦点F (12，0)三点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝|AF |＝(0－12)2＋(2－0)2＝172.考点三 与抛物线有关的应用问题例3 解：如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴，建立直角坐标系．∵拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米， ∴A (10，－2)．设桥孔上部抛物线方程是x 2＝－2py (p >0)， 则102＝－2p (－2)，∴p ＝25，∴抛物线方程为x 2＝－50y ，即y ＝－150x 2.若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x ＝8时， y ＝－150×82＝－1.28，即船体在x ＝±8之间通过，B (8，－1.28)，此时B 点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)． 而船体高为5米，∴无法通行．又∵5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7， 150×7＝1 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔． 题组集训 5．【答案】B【解析】如图，建立直角坐标系，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)．∵A (40,30)在抛物线上， ∴302＝2p ×40，∴p ＝454，∴光源到反光镜顶点的距离为p 2＝4524＝458＝5.625 (cm)．6．解：以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则点B 的坐标为(a 2，－a4)，如图所示．设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ， 则(a 2)2＝m ·(－a4)，∴m ＝－a ， 即抛物线方程为x 2＝－ay . 将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ，即y ＝－0.82a.欲使卡车通过隧道，应有y －(－a4)>3，即a 4－0.82a>3. 解得a >12.21或a <－0.21(舍去)． ∴使卡车通过的a 的最小整数值为13.。
2.4.1 抛物线及其标准方程学案
2.4.1 抛物线及其标准方程学案撰写：聂洪峰一 . 学习目标（1）掌握抛物线的定义、几何图形 （2）会推导抛物线的标准方程 （3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程 （4） 抛物线的定义及标准方程 （5）抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择） 在初中，我们学习过了二次函数2y ax bx c =++，知道二次函数的图象是一条抛物线， 例如 (1）24y x =，（2）24y x =-的图象（展示两个函数图象）二. 基础知识 1、抛物线的标准方程我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做 ，点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 。
2、抛物线标准方程★ 小结：(1）(0)p p >表示焦点F 到准线l 的距离；（2）抛物线标准方程中若一次项是x ，则对称轴为x 轴，焦点在x 轴上；若一次项是y ，则对称轴为y 轴，焦点在y 轴上；（对称轴看一次项）（3）若标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向为x 轴或y 轴的正方向；若一次项前面的系数为负数，则开口方向为x 轴或y 轴的负方向；（符号决定开口方向）（4）焦点坐标中横（纵）坐标的值是一次项系数的41，准线方程中的数值是一次项系数的41-。
三、例题讲解例1、 （1）已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程（2）已知抛物线的焦点是()0,2F -，求它的标准方程。
解：（1）因为3p =，所以抛物线的焦点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x =-（2）因为抛物线的焦点在y 轴上，所以抛物线方程为28x y =-。
练习1、 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：2112x y =（） 22250y x +=（） 23160x y +=（）练习2、根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1) 焦点是()30F ， ； （2）准线方程是14x =-； （3）焦点到准线的距离是2 ；例2 （1）00,)M x y （是抛物线22(0)y px p =>上一点，则点M 到准线的距离是02px +， 点M 到焦点的距离是02p x +。
抛物线及其标准方程导学案
抛物线及其标准方程（一）学习目标：1、掌握抛物线的定义2、掌握抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线。
3、能根据已知条件求抛物线的标准方程，并会由标准方程求相应准线方程，焦点坐标。
4、提高分析、概括等方面能力，渗透数形结合和分类讨论等数学思想。
一、自主学习:阅读教材p64-65 回答下列问题：1、和椭圆和双曲线的研究过程一样，教材先给出抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （_______）的___________的轨迹叫抛物线.点F 叫抛物线的___，直线l 叫做抛物线的_______.2、根据定义推导出了焦点在x 轴上的抛物线的标准方程：________, 这里标准的含义是_________,其中p 的几何意义是_____________。
3、抛物线px y 22=(p ＞0)上一点Ｍ到焦点的距离是⎪⎭⎫ ⎝⎛>2p a a ，则点Ｍ到准线的距离是___，点Ｍ的横坐标是______自学中未解决的问题：二、问题探究（先独立思考，再小组交流）1、在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系可以得到不同形式的标准方程，那么抛物线的标准方程有哪些不同的形式？探究之后填写下表：图 形 标准方程 焦点坐标 准线方程px y 22=(p ＞0))0,2(p 2p x -=2、说明二次函数()02≠=a ax y 的图象为什么是抛物线，并指出它的焦点坐标和准线方程。
探究结果：三、例题分析1、（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程。
（2）已知抛物线的焦点是F（0，-2），求它的标准方程。
2.根据已知条件分别写出抛物线标准方程。
（1）经过点（-3，2）。
（2）焦点在直线x-2y-4=0上。
四、课堂练习（课本P63练习第3、4题）五、课时小结（1）理解掌握抛物线的定义，四种标准方程及参数p的几何意义（2）熟练抛物线标准方程与其焦点坐标及准线方程之间关系。
（3）进一步掌握坐标法求方程的思想方法。
学案1：2.3.1抛物线及其标准方程
2.3.1 抛物线及其标准方程问题导学一、求抛物线的标准方程探究1：根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．巩固1：动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P 的轨迹方程．二、由抛物线方程求焦点坐标、准线方程探究2：已知下列抛物线的方程，分别求其焦点坐标和准线方程：(1)y2＝8x；(2)2x2＋5y＝0；(3)y2＝ax(a＞0)．巩固2：1．抛物线y＝4x2的焦点坐标为()A ．(1,0)B ．⎝⎛⎭⎫12，0C ．⎝⎛⎭⎫14，0D ．⎝⎛⎭⎫0，116 2．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点P (－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标．三、抛物线定义的应用探究3：(1)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆(2)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)巩固3：1．若抛物线y 2＝4x 上有一点P 到焦点F 的距离为5，且点P 在直线x ＋y －3＝0的上方，则P 的坐标为__________．2．抛物线x 2＝ay 过点A ⎝⎛⎭⎫1，14，则点A 到此抛物线焦点的距离为__________．四、与抛物线有关的最值问题探究4：已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|P A |的值最小．巩固4：1．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，－1B ．⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2) 2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点M 到定点A ⎝⎛⎭⎫72，4和焦点F 的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．当堂检测1．抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．82．以双曲线22=1169x y -的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝12x C ．y 2＝－20x D ．y 2＝20x3．已知动点M (x ，y )2|x -，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上均不对 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是__________．5．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为__________．答案： 【问题导学】探究1： 思路分析：(1)点在第三象限，则抛物线的焦点可能在x 轴的负半轴上，也可能在y 轴的负半轴上，按这两种情况进行讨论；(2)直线与坐标轴的交点有两个，分情况讨论焦点的位置，从而确定抛物线的标准方程．解：(1)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p ＞0)或x 2＝－2py (p ＞0)． 若抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 则由(－1)2＝－2p ×(－3)，解得p ＝16；若抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 则由(－3)2＝－2p ×(－1)，解得p ＝92．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－13x 或x 2＝－9y ．(2)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4， ∴所求抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)． 当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ； 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x ． ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x ． 巩固1： 1．解：如图，设动圆圆心P (x ，y )，过点P 作PD ⊥l 于点D ，作直线l ′：x ＝2，过点P 作PD ′⊥l ′于点D ′，连接P A ．设圆A 的半径为r ，动圆P 的半径为R ，可知r ＝1． ∵圆P 与圆A 外切， ∴|P A |＝R ＋r ＝R ＋1．又∵圆P 与直线l ：x ＝1相切， ∴|PD ′|＝|PD |＋|DD ′|＝R ＋1．∵|P A |＝|PD ′|，即动点P 到定点A 与到定直线l ′距离相等， ∴点P 的轨迹是以A 为焦点，以l ′为准线的抛物线． 设抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 可知p ＝4，∴所求的轨迹方程为y 2＝－8x ．:探究2： 思路分析：解答本题可先把原方程转化为标准方程，求得参数p ，再求焦点坐标和准线方程．解：(1)∵p ＝4，∴所求抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程是x ＝－2． (2)2x 2＋5y ＝0化为x 2＝－52y ，且抛物线开口向下，∴p ＝54．∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－58，准线方程是y ＝58． (3)由于a ＞0，∴p ＝a2，∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4． 巩固2： 1．D 解析：原方程化为标准方程为x 2＝14y ，焦点在y 轴上，且p ＝18，∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116． 2．解：由已知设抛物线的标准方程是x 2＝－2py (p ＞0)或y 2＝－2px (p ＞0)，把P (－2，－4)代入x 2＝－2py 或y 2＝－2px 得p ＝12或p ＝4，故所求的抛物线的标准方程是x 2＝－y 或y 2＝－8x ．当抛物线方程是x 2＝－y 时，焦点坐标是F ⎝⎛⎭⎫0，－14，准线方程是y ＝14． 当抛物线方程是y 2＝－8x 时，焦点坐标是F (－2,0)，准线方程是x ＝2． :探究3： (1)思路分析：利用圆与圆外切、直线与圆相切的几何条件求轨迹． A 解析：由题意知动圆圆心C 到点(0,3)距离与到定直线y ＝－1的距离相等， ∴C 的圆心轨迹是抛物线．(2)思路分析：利用抛物线的定义将|FM |转化为点M 到准线的距离，再利用直线与圆相交的条件求解．C 解析：由抛物线方程为x 2＝8y ，得焦点坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2， 则|FM |等于点M 到准线y ＝－2的距离，∴|FM |＝y 0＋2． 又圆与准线相交，∴|FM |＝y 0＋2＞4．∴y 0＞2．巩固3：1．(4,4) 解析：设P 的坐标为(x 0，y 0)， ∵抛物线方程为y 2＝4x ， ∴准线方程为x ＝－1． ∴|PF |＝x 0＋1＝5．∴x 0＝4． 代入抛物线方程，得y 20＝4x 0＝16， ∴y 0＝±4．又∵P 在直线x ＋y －3＝0的上方， ∴P 的坐标为(4,4)．2．54 解析：把点A ⎝⎛⎭⎫1，14代入抛物线方程得a ＝4，即抛物线方程为x 2＝4y ，准线方程为y ＝－1．由抛物线定义，得|AF |＝1＋14＝54．:探究4： 思路分析：根据抛物线的定义把|PF |转化为点P 到准线的距离，画出图形，通过观察图形，利用“数形结合”的思想即可求出点P 的坐标．解：∵(－2)2＜8×4，∴点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部．如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ， 由抛物线的定义可知：|PF |＋|P A |＝|PQ |＋|P A |≥|AQ |≥|AB |，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时，|PF |＋|P A |取得最小值，即为|AB |．∵A (－2,4)，∴不妨设|PF |＋|P A |的值最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12．故使|PF |＋|P A |的值最小的抛物线上的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12． 巩固4： 1．A解析：点Q (2，－1)在抛物线内部，如图所示．由抛物线的定义知，抛物线上的点P 到点F 的距离等于点P 到准线x ＝－1的距离，过Q 点作x ＝－1的垂线，与抛物线交于K ，则K 为所求，当y ＝－1时，x ＝14，∴P 为⎝⎛⎭⎫14，－1． 2．解：(1)当点A 在抛物线内部时，42＜2p ·72，即p ＞167时，|MF |＋|MA |＝|MA ′|＋|MA |．当A ，M ，A ′共线时(如图中A ，M ′，A ″共线时)，(|MF |＋|MA |)min ＝5． 故p 2＝5－72＝32⇒p ＝3，满足3＞167， 所以抛物线方程为y 2＝6x ．(2)当点A 在抛物线外部或在抛物线上时，42≥2p ·72，即0＜p ≤167时，连接AF 交抛物线于点M ，此时(|MA |＋|MF |)最小， 即|AF |min ＝5，⎝⎛⎭⎫72－p 22＋42＝25， 72－p 2＝±3⇒p ＝1或p ＝13(舍去)． 故抛物线方程为y 2＝2x ．综上，抛物线方程为y 2＝6x 或y 2＝2x ． 当堂检测1．答案：B 解析：由y 2＝4x 得焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1， ∴焦点到准线的距离为2．2．答案：A 解析：由已知抛物线的焦点为(4,0)， 则设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)． ∴=42p，p ＝8． ∴所求方程为y 2＝16x ．3．答案：C 解析：设F (2,0)，l ：x ＝－2，则M 到F ，M 到直线l ：x ＝－2的距离为|x ＋2||x ＋2|，所以动点M 的轨迹是以F (2,0)为焦点，l ：x ＝－2为准线的抛物线．4．答案：6 解析：由题意知P 到抛物线准线的距离为4－(－2)＝6， 由抛物线的定义知，点P 到抛物线焦点的距离也是6．5．答案：5 解析：由x 2＝4y 知其准线方程为y ＝－1，根据抛物线定义，点A 与焦点的距离等于点A 到准线的距离，其距离为4－(－1)＝5．。
抛物线及其标准方程导学案
2.3.1 抛物线及其标准方程一、【学习目标】1.理解抛物线的定义，掌握抛物线标准方程的推导；2．掌握抛物线标准方程的四种形式，会求抛物线的焦点坐标及准线方程； 3．能利用定义解决简单的应用问题. 二、【复习引入】 1．椭圆的第二定义:2. 双曲线的第二定义：3．问题：到定点距离与到定直线距离之比是定值e 的点的轨迹，当0<e<1时是（ ），当e>1时是（ ）.此时自然想到，当e=1时轨迹是什么？若一动点到定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比是一个常数1=e 时，那么这个点的轨迹是什么曲线？ 三、【新知探究】 1. 抛物线定义：2．推导抛物线的标准方程：说明：1．方程形式与图形之间的关系： 2．p 的几何意义： 四、【例题精讲】例1：（1）已知抛物线标准方程是x y 62=，求它的焦点坐标和准线方程. （2）已知抛物线的焦点坐标是)2,0(-F ，求它的标准方程.例2： 已知抛物线的标准方程是（1）x y 122=（2）212x y =求它的焦点坐标和准线方程．例3：求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标是)0,5(-F （2）经过点)3,2(-A五、【随堂练习】1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）x y 82=（2）y x 42=（3）0322=+x y （4）261x y -= 2．根据下列条件写出抛物线的标准方程（1）焦点是)0,2(-F （2）准线方程是31=y （3）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上 （4）经过点)2,6(-A3．抛物线y x 42=上的点P 到焦点的距离是10，求P 点坐标4.P67 1、2、35.P72 习题2.4 A 组1、22.3.2 抛物线的简单几何性质（一）一、【学习目标】1．巩固抛物线定义和标准方程；2．掌握抛物线简单几何性质，会利用性质求方程. 二、【新知探究】 抛物线的几何性质：例1 ：已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．例2 ：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径60cm ，灯深为40cm ，求抛物线的标准方程和焦点坐标． 四、【随堂练习】 1.P72 12.P73 习题A 组 42.3.2 抛物线的简单几何性质（二）一、【学习目标】1．掌握与弦中点相关的性质； 2．掌握与OB OA ⊥相关的性质. 二、【新知探究】1.抛物线的焦半径（定义）及其应用： 定义：焦半径公式：2．抛物线的焦点弦： （1）弦长公式：①=AB ________________________ ②=AB ________________________ （2）通径：（px 2 =∆AOB S（4px 2 n BF m AF ==||,||，p n m 211=+（5）=21x x=21y y（1）=21x x =21y y 三、【例题精讲】例1：过抛物线px y 22=的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于B A ,两点， 求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．例2：过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4 例3：过抛物线()02>=a axy 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF的长分别是p 、q ，则qp 11+=（ ） A ．a 2 B ．a 21 C ．a 4 D ．a4 例4：直线2-=x y 与抛物线x y 22=相交于B A ,两点，求证：⊥.四、【随堂练习】1．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 2.P73 3、52.3.3 专题：直线与抛物线的位置关系一、【知识要点】1.如何确定直线和抛物线的位置关系？ ________⇔直线与抛物线有两个公共点________⇔直线与抛物线有且只有一个公共点 ________⇔直线与抛物线没有公共点2.弦长公式：=AB ________________________3.点差法：4.⇔⊥OB OA ________________________ 二、【典型例题】例1：已知抛物线的方程为x y 42=，直线l 过定点），（12-P ，斜率为k ．k 为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.例2:过点)0,2(M 作斜率为1的直线l ，交抛物线x y 42=于B A ,两点，求||AB .例3：过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 与它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 _____________.例4：直线2+=x y 与抛物线相交于A 、B 两点，求证：OB OA ⊥. 三、【巩固练习】1． 垂直于x 轴的直线交抛物线x y 42=于B A ,两点，且34||=AB ，求直线AB 的方程.2．顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线12+=x y 截得的弦长为15，求抛物线的方程.3．以双曲线 191622=-y x 的右准线为准线，以坐标原点O 为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB ，求△AB O 的面积.4．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标.5．在抛物线x y 42=上求一点P ，使得P 到直线3+=x y 的距离最短.6．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上.（1）分别求A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线AB 是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由； （3）求O 点在线段AB 上的射影M 的轨迹方程.7．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上，原点在直线AB 上的射影为()1,2D ，求抛物线的方程.8．已知抛物线()022>=p px y 与直线1+-=x y 相交于A 、B 两点，以弦长AB 为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程.9．已知直线b x y +=与抛物线px y 22=()0>p 相交于A 、B 两点，若OB OA ⊥，（O 为坐标原点）且52=∆AOB S ，求抛物线的方程.10．（1）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 求这个正三角形的边长.（2）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，求正三角形外接圆的方程.11．已知ABC ∆的三个顶点是圆0922=-+x y x 与抛物线()022>=p px y 的交点，且ABC ∆的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程.12．顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点(4,2)P 的抛物线方程是（ ）A. y x 82=B. y x 42=C. y x 22= D. y x 212=13．抛物线x y 82=上一点P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是( ) A. （2，4） B.（2，±4） C.（1，22） D.（1，±22）14．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为 __________.15．抛物线x y 62=，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________________.3.1.1 变化率问题一、【学习目标】理解函数平均变化率的概念，会求已知函数的平均变化率。
抛物线及其标准方程教案
抛物线及其标准方程（教案）数学组刘伟教学目标A、知识目标①理解并掌握抛物线的定义。
②根据抛物线定义推导抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程。
B、能力目标①在研究抛物线的定义过程中培养学生严谨、周密的思考能力及抽象概括能力。
②通过选择恰当的坐标系进一步培养学生的直觉判断能力及思维优化意识。
③通过写出不同位置的抛物线的标准方程，培养学生的类比思维能力。
C、情感目标（数学文化功能）①通过函数的图象上点的几何特征的探索，激发学生学习激情，通过新旧知识间的联系体验培养学生自主学习信心和勇气。
②通过学生欣赏抛物线图形的对称性等及图形与方程的统一性质唤起美感意识。
③通过建立坐标系求标准方程的解析思想的训练进一步增强学生解决实际问题的适应性、灵活性。
教学重点和难点1、教学重点：①．抛物线的标准方程。
②．标准方程的形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系。
2、教学难点：①．应用标准方程的形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系解题。
②．培养学生选择适当坐标系的能力。
教学方法在具体问题的分析、引导过程中，依据建构主义教学原理（学生的认知过程是一个同化与顺应的过程），通过类比、对比、和归纳，把新的知识化归到学生原有的认知结构中去（如二次函数与抛物线方程的对比，从移图到适当建立坐标系方法的归纳等）。
设计思想：抛物线是学生非常熟悉的一种曲线，但对它是满足什么条件的动点的轨迹却很陌生．为此，可由椭圆与双曲线的第二定义引入课题，再通过“拉线教具”（flash）的演示引入抛物线的定义，这样可以使学生一开始就看到椭圆、双曲线、抛物线这三种曲线的联系与区别．接着按求曲线方程的步骤推导焦点在x轴正方向上的抛物线的标准方程．再改变坐标系的建立方式，给出另外三种类型的标准方程．通过形数结合的对比，让学生把握抛物线的四类标准方程的图形、焦点和准线的位置，识别它们之间的差异．在解有关抛物线的问题时，要求学生能MKFND′ABCD′迅速写出焦点坐标和准线方程，在练习中反复领会“依形判数”“就数论形”的方法，达到熟练运用标准方程的技能技巧．教学过程：一、引入在讲抛物线的概念时，由椭圆、双曲线的第二定义（统一定义）引入，提出：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹，当e ＜1时是椭圆，当e ＞1时是双曲线，那么当e ＝1时，又是什么曲线呢？接着，用“拉线教具”（flash ）演示．如图，在平板上把三角板较短的直角边BC 紧靠在固定的直尺边缘DD ′上，取一条与另一直角边AC 等长的细线，一端固定在三角板的顶点A 上，另一端固定在平板F 处，然后用铅笔紧靠三角板的AC 的边缘，把细线轻轻拉紧，并将三角板紧靠直尺沿DD ′移动，笔尖M 画出的图形便是抛物线，在此基础上可引入抛物线的定义．二、新授内容：1．在“拉线画抛物线”的基础上，提出抛物线的定义，然后推导抛物线的标准方程．（1）在推导标准方程之前，首先让学生考虑怎样建立坐标系？由定义可知直线KF 是曲线的对称轴，所以把KF 作为x 轴可以使方程不会出现y 的一次项，因线段KF 的中点适合条件，即它在抛物线上，所以以KF 的中点为原点，方程中就不会出现常数项，这样建立坐标系，得出的方程比较简单．（2）设焦点到准线的距离｜KF ｜＝p （p ＞0），这是抛物线方程中参数p 的几何意义．因为抛物线的顶点是KF 的中点，所以知道了p ，焦点F （2p ，0），准线2p x -=都可以确定了．由于抛物线的标准方程中只有一个参数p ，所以只需一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．（3）由于p 是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 永远大于零．这点必须向学生强调．以防止以后设错标准形式，而出现p 为负值的错误．2．如果选取坐标系使得抛物线的顶点在原点，对称轴和一条坐标轴重合，那么随着焦点在x 轴或y 轴的正半轴或负半轴的不同情况（课件演示），引导学生得到四种不同的抛物线的标准方程：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py （p ＞0）．由y 2＝2px 的焦点坐标、准线方程和图形，用类比的方法得到y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py 的焦点坐标、准线方程和图形： （1）教学中要通过例题阐明：y 2＝2px 的焦点坐标F （2p ,0），准线方程2p x -=中，2p 是2p 的41（其它三种标准形式也是这样），如：y 2＝6x 中，2p ＝6，23462==p ．所以焦点坐标是F （23，0），准线方程是23-=x ．（2）标准方程有四种形式，要防止如下错误：求过点A （－2，6）的抛物线的标准方程时，设抛物线标准方程为y 2＝2px ，把x ＝－2，y ＝6代入得p ＝－9，所以，抛物线的标准方程为y 2＝－18x ，结果错了，原因是标准方程的设定不全面，正确的思路是根据条件画出示意图，从而确定所求抛物线方程分别为x 2＝2py （p ＞0）或y 2＝－2px （p ＞0）．将A （－2，6）分别代入y x 342=⇒或y 2＝－18x ．在设所求方程时，最好用标准方程，此时注意p ＞0．3.根据上表中抛物线的标准方程与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系，判断抛物线的焦点位置、开口方向的方法：“一次定轴”------ 一次项的变量如果为x（或y），则焦点就在对应的坐标轴上！“符号定向”------ 一次项的系数的符号决定了开口方向: 符号为正, 开口向正方向; 符号为负, 开口向负方向.三、例析：例1．(1) 已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是y = －6x2，求它的焦点坐标和准线方程；例2．已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它的标准方程。
3.3.1 抛物线及其标准方程 导学案正文
3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程【学习目标】1.会识别抛物线的定义和相关概念,知道二次函数的图象符合抛物线的定义,能初步应用抛物线定义解决一些简单问题.2.能根据抛物线的几何特征选择适当的平面直角坐标系,根据抛物线定义的代数表达类比导出抛物线的标准方程.3.能识别焦点在不同坐标轴上的抛物线的四种标准方程,能说出标准方程中一次项系数的意义.4.能初步应用抛物线定义和标准方程解决一些关联问题.◆知识点一抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的,直线l叫作抛物线的.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线的焦点到准线的距离是p(p>0).( )(2)抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离的比值为1.( )(3)抛物线的焦点可以在准线上.( )(4)平面内与定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线.( )◆知识点二抛物线的标准方程标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形焦点坐标准线方程p的几何意义焦点到准线的距离【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线的方程都是二次函数.( )(2)抛物线的原点到准线的距离是p(p>0).( )(3)抛物线的开口方向由方程中的一次项确定.( )(4)方程y=ax2(a≠0)是抛物线的标准方程.( )◆探究点一抛物线的定义及应用例1 (1)一动圆过点A(1,0)且与直线:x=-1相切,则该动圆圆心的轨迹为( )A.抛物线B.椭圆C.直线D.圆(2)抛物线x2=4y上的点P到焦点的距离是10,则点P的坐标为.变式 (1)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=5x0,则x0=( )4A.1B.2C.4D.8(2)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,直线l1:x=-1,l2:x+y+3=0,则P到直线l1,l2的距离之和的最小值为( )A.2√2B.4+1C.√2D.3√22[素养小结]利用抛物线的定义可以解决以下两类问题:(1)点的轨迹问题:利用抛物线的定义求解点的轨迹方程,关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件.(2)抛物线的焦半径问题:利用抛物线的定义,对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化,解决与抛物线有关的最大(小)值问题,解题时要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短、三角形中三边间的不等关系、点与直线上点的连线垂线段最短等.拓展 (1)已知点P是抛物线y2=-4x上的一个动点,则点P到点M(0,2)的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )A.3B.√172C.√5D.92(2)已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2),则|PA|+|PF|的最小值为,取得最小值时点P的坐标为.◆探究点二求抛物线的标准方程例2分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点到准线的距离是4;(2)焦点在y轴上,且经过点(-1,-3);(3)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.变式 (1)焦点在直线2x+5y-10=0上的抛物线的标准方程为( )A.y2=10x或x2=4yB.y2=-10x或x2=-4yC.y2=20x或x2=8yD.y2=-20x或x2=-8y(2)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上一点M(x0,x0)(x0≠0)满足|MF|=5,则抛物线C的方程为.[素养小结](1)求抛物线的标准方程要注意确定焦点在哪条坐标轴上,进而求方程的有关参数.(2)求抛物线的标准方程的方法:①直接法,建立恰当的坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出对应方程,化简方程;②直接根据定义求p,然后写出标准方程;③利用待定系数法设标准方程,找有关的方程(组)求系数.◆探究点三抛物线的实际应用问题例3如图,某河道上有一抛物线形拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面9 m,拱圈内水面宽30 m,一条船在水面以上部分高7 m,船顶部宽6 m.(1)试建立适当的平面直角坐标系,求拱桥所在的抛物线的标准方程.(2)近日水位暴涨了2.46 m,为此,必须加重船载,降低船身,才能安全通过桥洞,则船身至少应降低多少(精确到0.1 m)?变式青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体,具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图,已知碗体和碗盖内部的轴截面均近似为抛物线的一部分,碗盖深为3 cm,碗盖口直径为8 cm,碗体口直径为10 cm,碗体深6.25 cm,则盖上碗盖后,碗盖内部的最高点到碗底的垂直距离为(碗和碗盖的厚度忽略不计)( )A.5 cmB.6 cmC.7 cmD.8.25 cm[素养小结]求解抛物线实际应用题的五个步骤(1)建系:建立适当的坐标系.(2)假设:设出合适的抛物线的标准方程.(3)计算:通过计算求出抛物线的标准方程.(4)求解:求出所要求出的量.(5)还原:还原到实际问题中,从而解决实际问题.。
抛物线及其标准方程学案doc
抛物线及其标准方程学案一、学情分析：学生已经学习了椭圆和双曲线，对圆锥曲线有了初步的认识．通过曲线与方程的学习已经对解析法有了一定的了解．二、教学法说明： 1.理解抛物线的概念2．掌握抛物线的四种标准方程及其对应的图形 3．培养学生运用数形结合的思想理解有关问题三、重点和难点 1、教学重点：抛物线的定义及四种标准方程2、教学难点：抛物线定义及标准方程的推导四、教学过程：引入: 1.我们对二次函数 的图象已经有了哪些认识？ 2.展示生活中抛物线的实例 3.抛物线的生成:动画展示从中发现pc pm=,及动点p 到定点F 和到定直线 l 的距离相等1、定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
（F l ∉）定点F 叫做抛物线的焦点 定直线l 叫做抛物的准线2.复习求曲线方程的步骤（36页）3、推导抛物线标准方程体现不同的坐标系建立方式 ,得出标准方程y 2=2px （p ＞0） 方程y 2= 2px （p ＞0）叫做焦点在X 轴的正半轴上抛物线的标准方程.其中p 为正常数，它的几何意义是：_______________(,0)2p F 焦点:2px =-准线例1:已知抛物线的标准方程是y 2= 4x ，求它的焦点坐标和准线方程；变式1已知抛物线的标准方程是y = 4x 2，求它的焦点坐标和准线方程；变式2已知抛物线的标准方程是y = 4ax 2，求它的焦点坐标和准线方程；例2、求点A （-3，2）的抛物线的标准方程。
本节课收获1。
抛物线的定义，标准方程与其焦点、准线2。
抛物线的标准方程类型与图象特征的对应关系及判断方法 3。
注重数形结合的思想和分类讨论的思想 作业：课本67页练习1、2、3()20y ax bx c a =++≠。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
拓展延伸：由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式。
如图所示：
设出|KF|=p（p>0），分别建立直角坐标系，根据下图分别写出则抛物线的标准方程，焦点坐标，准线方程：鉴别以上四种方程的异同：相同点：
不同点：
总结：如何确定抛物线的焦点位置和开口方向？
4.根据抛物线方程求焦点坐标，准线方程
【例1】已知抛物线方程如下，求其焦点坐标和准线方程;
（1）2
6y x = (2)0532=+y x (3)24x y = (4))0(2
2≠=a x a y
变式1.（1）已知 抛物线方程0472
=+y x ，求焦点坐标； （2）已知 抛物线方程2
4
1x y -=，求其准线方程；
例2.根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点是F （3，0）；
（2）准线方程时x=-1/4；
（3）焦点到准线的距离是2
变式2.（1）求焦点在042=--y x 上的抛物线的标准方程？ （2）求过点（-3，2）的抛物线的标准方程？
三、议——学生起立讨论。
根据以上学习的内容进行小组集体讨论。
（9分钟） 四、展——学生激情展示。
小组代表或教师随机指定学生展示。
（8分钟） 五、评——教师点评，教师总结规律，点评共性问题，或拓展延伸。
（9分钟） 六、检——课堂检测。
（3分钟）（5题之内） 当堂检测
1.抛物线2
y x =的焦点到准线的距离是 （ ）
A .
12 B .1 C .2 D .14
2.抛物线)0(2
<=a ax y 的焦点坐标是 （ ）
A ．)4,0(a
B ．)41
,0(a
- C ．1(0,)4a
D ．)0,41
(
a
3.顶点在原点，准线方程2y =的抛物线方程是
4.抛物线上)0(22
>=p px y 上一点M 到焦点的距离是ɑ，则点M 到准线的距离是 ；点M 的横坐标是 .
5.抛物线x y 122
=上与焦点的距离等于9的点的坐标是。