广东省华附、省实、广雅、深中2021届第一学期高三四校联考数学试题
广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学试题
华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学试题第一部分 选择题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}02M x x =∈≤≤R ，{}11N x x =∈-<<R ，则M N =（ ）A ．{}01x x ≤≤B ．{}01x x ≤<∣C ．{}12x x <≤∣D {}12x x -<<2．复数20213i z i=+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知直线l ，m 和平面α，且l α⊥，则l ⊥m 是//m α的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要4．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重，经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从[)55,60，[)60,65，[]65,70这三个区间中随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，则这三人中恰有两人体重位于区间[)55,60的概率是（ ）A ．815B ．920C ．35D ．9105．已知a ，b 是两个夹角为3π的单位向量，则kb a -的最小值为（ ）A ．14 B ．12C ．34D 6．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离L ==（如图），其中1h 为雷达天线架设高度，为探测目标高度，2h 为地球半径．考虑到电磁波的弯 曲、折射等因素，R 等效取8490km ，故R 远大于1h ，2h ．假设某探测目标高度为25m ，为保护航母的安全，须在直视距离390kon 外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（ ）（参考数据：4.12≈）A ．6400mB ．7200mC ．8100mD ．10000m7．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点P 是抛物线C 上位于第一象限内的一点，M 为线段PF 的中点，MQ 垂直y 轴于点Q ，若直线QF 的倾斜角为α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则直线PF 的倾斜角为（ ）A ．αB ．2αC ．πα-D ．2απ-8．已知点A ，B ，C 是函数,03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象和函数,06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象的连续三个交点，若ABC 是锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）A ．,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．,4π⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，全部选对得5分，对而不全得3分，只要有一项选错，即得0分．9．已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 满足()()2f x f x +=，()()2f x f x -=，且[]0,1x ∈时，()21f x x =+，则下列说法中，正确的是（ ）A ．2是()f x 的周期B ．1x =-不是()f x 图象的对称轴C ．() 20212f =D ．方程1()2f x x =只有4个实根 10．已知实数0a >，0b >，1a b +=，则下列说法中，正确的是（ ） A ．114a b+≤B ．22ab+≥C ．22log log 1a b ⋅≤D ．存在a ，b ，使得直线1ax by +=与圆221x y +=相切11．点C ，D 是平面α内的两个定点，2CD =，点A ，B 在平面α的同一侧，且24AC BC ==．若AC ，BC 与平面x 所成的角分别为512π，4π，则下列关于四面体ABCD 的说法中，正确的是（ ） A ．点A 在空间中的运动轨迹是一个圆 B ．ABC 面积的最小值为2C ．四面体ABCD 体积的最大值为D ．当四面体ABCD 的体积达最大时，其外接球的表面积为20π12．已知函数sin cos ()ee xx f x =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭是增函数B ．4f x π⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数C ．()f x 在(0,)π上有两个极值点D ．设()()2f xg x x =，则满足144n n g g ππ+⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的正整数n 的最小值是2 第二部分 非选择题三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+，根据最小二乘法计算可得ˆ7b =，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为_________万元．14．42212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，P 为双曲线上一点，1PF 与双曲线C 的渐近线平行，且1PO FO =，其中O 为坐标愿点，则双曲线C 的离心率e =_________16．已知数列{}n a 的前n 项和2433n n S a n =+-，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________，1n n a a +的取值范围为__________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知正项数列{}n a 满足11a =，11,(2)n n n n a a a a n ---=≥，等比数列{}n b 满足：21a b =，238b b a -=． （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设1211nn n n b b b T a a a -=+++，求n T ． 18．（本小题满分12分）已知函数()sin ,(,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭只能同时满足以下三个条件中的两个． ①函数()f x 的最大值是2；②函数()f x 的图象可由函数22()cos2sin cos sin 2222x x x xf x =+-左右平移得到； ③函数()f x 的对称中心与()f x 的对称轴之间的最短距离是4π．（1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数()y f x =的单调递增区间；（2）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足()1f B =，点D 为BC 的中点，且AD b =，求sin sin BACC∠的值．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、O 分别为AC 、11A C 的中点，PA PC ==，11111A B B C PB ===114A C =．（1）求证：PO ⊥平面ABC ； （2）求二面角B PA C --的余弦值．20．（本小题满分12分）．某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料． 现有如下两种抽样检验方案：方案一：随机抽取一个容量为10 的样本，并全部检验，若样本中不合格品数不超过1个，则认为该批原料合格，予以接收．方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验．若都合格，则予以接收；若样本中不合格品数超过1个，则拒收；若样本中不合格品数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批抽样全部合格，才予以接收．假设拟购进的这批原料，合格率为()01p p <<，并用p 作为原料中每件产品是合格品的概率．若每件产品的所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担．（1）若23p =，记方案二中所需的检验费用为随机变量X ，求X 的分布列； （2）分别计算两种方案中，这批原料通过检验的概率，如果你是原料供应商，你希望该工厂的质检部门采取哪种抽样检验方案？并说明理由．21．（本小题满分12分）已知离心率为12的椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线22:2(0)C y px p =>有相同的焦点F ，且抛物线经过点()1,2P ，O 是坐标原点．（1）求椭圆和抛物线的标准方程；（2）已知直线:l x ty m =+与抛物线交于A ，B 两点，与椭圆交于C ，D 两点，若ABP 的内切圆圆心始终在直线PF 上，求OCD 面积的最大值．22．（本小题满分12分）已知函数2()(1)(1)ln ,22x f x a x a x a =--+->．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()()1f m f =且1m ≠，证明：(1,)x m ∀∈，(1)ln 1a x x ->-；（3）记方程243ln 42x x x -+=-的三个实根为1x ，2x ，3x ，若123x x x <<，证明：32x x -<。
广东省华附、省实、广雅、深中2021 届高三四校联考数学答案(定稿)
揭阳市2020—2021学年度高中三年级教学质量测试数学试题参考答案与评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
12345678ABDCABBD1.A本题考查集合的基本运算.解一元二次不等式求出集合}032|{2<--=x x x A ，再与集合}42|{≤≤=x x B 取交集，最后得出答案.因为}31|{}032|{2<<-=<--=x x x x x A ，所以}32|{<≤=x x B A .故选A.2.B本题考查复数的基本运算和复数的基本概念.根据复数的除法运算把复数化成)i(R ,∈+=b a b a z 的形式，再根据虚部定义得出答案.因为i 25i10i 21)(i 21()i 21)(i 24(i 21i 24-=-=-+--=+-=）z ，所以z 的虚部为-2.故选B.3.D本题考查计数原理的应用，完成该事情分两步：先分别确定学生进入校园的方式和教师进入校园的方式；再用分步乘法原理求得答案.因为学生只能从东门或西门进入校园，所以3名学生进入校园的方式共823=种.因为教师只可以从南门或北门进入校园，所以2名教师进入校园的方式共有422=种.所以2名教师和3名学生要进入校园的方式共有3248=⨯种情况.故选D.4.C本题考查等比数列通项公式的应用，根据题目提供的条件列出曲线长度组成的数列{}n a 的前4项，本题所求的结果为4a .依题意得11a =，243a =，3169a =，46427a =.所以当进行三次操作后形成图3的曲线时，曲线的长度46427a =.故选C.5.A本题考查古典概型概率、组合数的应用.根据题目条件求出从八味药中任取四味共有多少种情况，再利用古典概型概率公式求得答案.记取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”为事件M .依题意得351C 2)(48==M P .故选A.6.B本题考查对数函数的运算和应用.根据函数图象求出1.0≥t 时的函数解析式，即求出a 的值，再解不等式求得答案.把点)1,1.0(代入ta y -=10中，1.0101-=a ，解得1.0=a .所以当1.0≥t 时，2.0101.0<=-ty ，解得8.02lg 1.1≈->t .至少需要经过48608.0=⨯分钟后，学生才能回到教室.故选B.7.B本题考查平面向量的坐标运算和基本不等式的应用.如图，建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量性质得到y x +的关系式，再利用基本不等式求最小值.如图，建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,4(B ，)3,4(C ，)3,0(D ，设)0,(m M ，),0(n N ，因为12=+AN AM ，所以12=+n m ，210<<m ，10<<n .因为AN y AM x AC +=，所以m x 4=，n y 3=，所以()492425188252989832=+≥++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+nm m n n m n m n m y x .当且仅当n m m n 188=，即72=m ，73=n 时取等号.故选B.8.D本题考查函数的综合应用.根据()(2)f x f x =-得到函数()f x 关于直线1x =对称，对任意121x x ≤<均有1212()[()()]0x x f x f x --<成立得函数()f x 在[1,)+∞上单调递减.再利用函数的单调性解不等式求得答案.因为函数()f x 满足()(2)f x f x =-，所以函数()f x 关于直线1x =对称，因为对任意121x x ≤<均有1212()[()()]0x x f x f x --<成立，所以函数()f x 在[1,)+∞上单调递减.由对称性可知()f x 在(,1]-∞上单调递增.因为(21(30))f x f x ---≥，即(21(3))f x f x ≥--，所以|211||31|x x ≤----，即|22||2|x x ≤--，解得403x ≤≤.故选D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年广东省四校联考高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省四校联考高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．已知集合A ＝{x |lgx ≤0}，B ＝{x ||x ﹣1|≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．AB ．BC ．∁R AD ．∁R B2．已知向量a →=（﹣3，m ），b →=（1，﹣2），若b →∥（a →−b →），则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．﹣4C ．0D ．63．若函数f （x ）={a x−3，x ≥4−ax +4，x ＜4（a ＞0，a ≠1）是定义在R 上的单调函数，则a 的取值范围为（ ）A ．(0，1)∪(1，54]B ．(1，54]C ．(0，45]D ．[45，1)4．若复数z 满足（1+i ）z ＝|1+i |，则z 的虚部为（ ） A ．−√2iB ．−√22C ．√22i D ．√225．数列{a n }满足a 1＝2019，且对∀n ∈N *，恒有a n+3=a n +2n ，则a 7＝（ ） A ．2021B ．2023C ．2035D ．20376．如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB ∥α，设α与SM 交于点N ，则SM SN的值为（ ）A ．43B ．32C ．23D ．347．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，且f （x ）为偶函数，f(π6)=−2，3f （x ）cos x +f '（x ）sin x ＞0，则不等式f(x +π2)cos 3x +12＞0的解集为（ ）A ．(−π3，+∞)B ．(−2π3，+∞) C ．(−2π3，π3) D ．(π3，+∞)8．已知函数f(x)=√3sin 2ωx 2+12sinωx −√32(ω＞0)，若f （x ）在(π2，3π2)上无零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，29]∪[89，+∞)B ．(0，29]∪[23，89]C ．(0，29]∪[89，1]D ．(29，89]∪[1，+∞)二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省2023华附省实广雅深中四校联考数学参考答案
华附、省实、广雅、深中2023届高三四校联考数学参考答案及评分标准1.【答案】B【解析】{1,2,3,4,5}U =，{1,3,4}A =，{4,5}B =，{1,2,3}U B ∴=，则(){1,3}U A B ⋂=，故选：.B2.【答案】C【解析】(1)(2)1 3.i i i −−=−故选：C . 3.【答案】B【解析】由图，因为3ACD ABD S S ∆∆=，故3CD BD =，可得3144AD AB AC =+， 则313115(+)422()444422AB AD AB AB AC ⋅=⋅=⨯+⨯⨯⨯−=,故选：.B4. 【答案】A【解析】直角梯形绕AB 旋转一周所得的圆台的体积为128(1648)33hV h ππππ=++=圆台；1(4+2)32ABCD S h h ==，故记重心G 到AB 的距离为',h 则28=(2')3,3h h h ππ⋅则14'=9h ,故选：A .5. 【答案】C【解析】如右图所示，1F 关于渐近线OM 的对称点P 在双曲线上，则12||||||OP OF OF ==. 所以21PF PF ⊥，OM 是12F F P ∆的中位线，进而1||||F M MO b a a −=−= . 所以离心率c e a =故选：C .6. 【答案】C【解析】由1212n n n a a a ++⋅⋅=−得：12312n n n a a a +++⋅⋅=−，两式相除得：31n na a +=，即3n n a a +=，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列， 由12a =−，214a =得：3121112a a a =−=； 记数列{}n a 的前n 项积为n T ，则312k k T ⎛⎫=− ⎪⎝⎭614T ≤=，3114111=221222k kk T a T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−−≤=−⨯−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，231521111=2224kk kT a a T +⎛⎫⎛⎫=−−−≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()max 1n T =.故选：C . 7. 【答案】D【解析】根据“局部奇函数”定义知：()()f x f x −=−有解，即方程()933933x x x xm m −−−⋅−=−−⋅−有解，则()993360x x x x m −−+−⋅+−= 即()()2333380x x x x m −−+−+−=有解；设33x x t −=+，则2t ≥（当且仅当0x =时取等号），方程等价于280t mt −−=在2t ≥时有解，8m t t∴=−在2t ≥时有解；8y t t=−在[)2,+∞上单调递增，82t t ∴−≥−，2m ∴≥−，即实数m 的取值范围为[)2,−+∞.故选：D . 8. 【答案】C【解析】依题意得1AB =,11B C ⊥平面11AB C ，则111B C AB ⊥,在11AB C △中，11111AB M B MC AB C S S S +=△△△故1sin 1sin 122MN MNC MPA ∠∠+=⋅1sin sin MPA MN MNC ∠+∠=又1sin ,sin MPA MN MNC MN ∠∠≤1sin sin MPA MN MNC MN ∠+∠+即MN +90MPA ∠=，190MNC ∠=时取等号当90MPA ∠=时，M 为1AC 的中点，此时当190MNC ∠=时，N 为11B C 的中点MN +故选：C . 9. 【答案】BD【解析】对于A ，因为0a b >>，()()33033b a b b a a a a −+−=<++，33b b a a +∴<+，故A 错误； 对于B ，因为0a b >>，所以22a b >，所以()()()()()2223223320232323b a a b b a a b a b a a b b a b b a b b−+−++−==<+++，3223a b aa b b +∴<+，故B 正确； 对于C ，因为0a b >>，>>所以故C 错误； 对于D ，因为0a b >>，所以lg lg lg 22a b a b++>=，故D 正确． 故选：BD ．10.【答案】BCD【解析】()cos 2sin()6f x x x x πωωω=+=+，因为()()2f x f x π+=−，所以()()f x f x π+=，故π是()y f x =的一个周期，故2||()k k Z ππω⨯=∈，即||2k ω=，又03ω<<，故2ω=，A 错误； 因为()2sin(2)6f x x π=+，当512x π=时，26x ππ+=，由于(,0)π是2sin y x =的一个对称中心，B 正确;由题有()2sin(22)6g x x s π=+−在[,]66ππ−上单调递减， 故有2262()32222s k k Z s k ππππππ⎧−−≥+⎪⎪∈⎨⎪−≤+⎪⎩，化简得()23k s k k Z ππππ−−≤≤−−∈， 当2k =−时，3523s ππ≤≤，因为*s N ∈，故s 可以取5，C 正确； 因为*s N ∈，故1k ≤−，当1k =−时，223s ππ≤≤，可知min 2s =，D 正确；故选：BCD.11.【答案】ACD【解析】不妨把两点设为1122(,),(,)A x y B x y ，焦点为(1,0)F ， 对于选项A ，1||11FA x =+≥，显然成立，选项A 正确；对于选项B ，联立直线1x my =+与抛物线24y x =，得2440y my −−=，所以124y y =−，进而221212144y y x x =⋅=，得121230x x y y +=−<，所以cos 0AOB ∠<. 所以90AOB ∠>，选项B 错误；对于选项C ，依题意，122y y =−，结合124y y =−，得2212y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2212y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，进而m =，选项C 正确；对于选项D ，依题意0PA PB k k +=，整理得12122(43)()240my y m y y −+++=，代入解得2m =−或34m =（舍去）. 选项D 正确. 故选:ACD .12. 【答案】ABD【解析】对于A ，在()()121f x f x +=−中令0x =，则()()10210f f +=−，所以()10f =，故A 正确；对于B ，当0x >时，()()121f x f x +=−，对()()121f x f x +=−两边求导，则()()()()111122f x f x f x '''=−+=−−−，所以0x >时，()()()()()1111102f x f x f x f x f x '++'−'−'=−+'−−=−<， 所以()10f x '−>，令1x μ−=，1μ∴<，()0f μ'>， 所以()f x 在(],1−∞上单调递增，所以B 对；对于C ，由B 知，()f x 在(],1−∞上单调递增，()1,+∞上单调递减，由()()1212,x x f x f x <<知12,x x 不可能均大于等于1，否则211x x >≥，则()()12f x f x >，这与条件矛盾，舍去.①若121x x <≤，则()()12f x f x <，满足条件，此时，122x x +<；’ ②若121x x <<，则221x −<，而()()2222f x f x =−，则()()()222022f x f x f x −=−−<，所以()()()()221222f x f x f x f x <−⇒<−，而12,21x x −<，所以121222x x x x <−⇒+<，C 错；对于D ，由()f x 在(],1−∞上单调递增，()1,+∞上单调递减，知()()10f x f ≤=，注意到11022g f ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110g f =+>，33022g f ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1213,1,1,22x x ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()()12f x f x <，则122x x +<，则()()()111222cos cos cos *cos f x x x x f x x ππππ⎧=⎪⇒<⎨=⎪⎩， 所以()()121212222cos cos 2cos x x x x x x x πππππ<−=>−<⇒⇒−(()12,2,2x x ππππ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭)，这与()*矛盾，舍去.所以()()()()21211f x f x f x f x >⇒>，在0x ≥时，()()121f x f x +=−中，令()()111122x x f x f x =−⇒−=，而由122122x x x x +⇒<−<，所以()()()()212122f x f x f x f x >−⇒>，所以()()212f x f x <，故D 正确. 故选：ABD . 13. 【答案】1（写出一个即可）【解析】依题意，该直线过圆心或垂直于PC ，圆心到直线距离为0d =或d PC =，221r d =+，所以1r =或r .14. 【答案】92π【解析】VA VB VC V ==在平面ABC 的射影为三角形ABC 的外心。
广东省华附深中省实广雅四校联考2024届高三上学期期末数学试题
2m,
5π 3
上单调递增，则实数
m
的取值范围是
.
16．在同一平面直角坐标系中， M , N 分别是函数 f x x 2 4x 3 和函数
g x ln ax axex 图象上的动点，若对任意 a 0 ，有 MN m 恒成立，则实数 m 的最
大值为
.
四、解答题
17．已知数列an 的前 n 项和 Sn 满足 S1
S RLeabharlann C． 2Rsin S R7．若 1 c ea 1 c lnb 1，则 a,b, c 的大小关系为（ ）
D． Rsin S R
A． c a b C． c b a
B． c<a<b D． b a c
8．数列
an
的前
n
项和
Sn
，且
1 an
8an1 8 an1 2an1
n ,
n 2, n N*
试卷第 3页，共 4页
(1)若
π 2
，求证：平面
MBF
平面
M
BF
；
(2)是否存在 ，使得直线 M F 平面 MBC ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明
理由. 21．在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c, AB 边上的高设为 h ，且 a b c h .
(1)若 c 3h ，求 tanC 的值；
C．当
r
2
时，则
PQ
斜率的最大值为
7 24
D．当
r
3 时，过
P
点作圆
C2
两条切线，切点分别为
A,
B
，则
APB
不可能等于
π 2
11．已知函数 f x x3 3x2 ，满足 f x kx b 有三个不同的实数根 x1, x2 , x3 ，则（ ）
广东省华南师大附中、实验中学、广雅中学、深圳中学2021届高三上学期期末联考试题+英语含答案
英语命题学校：广雅中学定稿人：谢秀娟本试卷分选择题和非选择题两部分，共11页，满分120分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
第一部分阅读理解（共两节，满分50分）第一节（共15小题；每小题2.5分，满分37.5分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C和D四个选项中，选出最佳选项。
AWe love food and drink.We love to celebrate the good stuff and criticize the bad. This is our take on the top three food cultures and destinations.It’s time to find out once and for all,which cuisine is king as you plan where you’ll travel next:No.3FranceYou can spend an entire two-week vacation exploring combinations of wines and cheeses around the country.YumEscargot---credit the French for turning garden-dwelling pests into a delicacy. Massive respect for making them taste amazing too.Baguette---the first and last thing that you’ll want to eat in France.The first bite is superb;the last will be full of longing.DumbFoie gras---it tastes like10,000ducks roasted in butter then reduced to a velvet pudding.No.2ChinaThe people who greet each other with“Have you eaten yet?”are arguably the most food-obsessed in the world.The Chinese almost cook and sell anything,and they also make it taste great.YumSweet and sour pork---a guilty pleasure that has taken on different forms.Dim sum---a grand tradition from Hong Kong to New York.The best to start a day as breakfast.DumbShark’s fin soup---calling for Chinese restaurants to ban the dish has been a goal of green campaigners in recent years.No.1ItalyItalian food has enslaved taste-buds around the globe for centuries,with its tomato sauces,and those clever things they do with wheat flour and desserts.YumPizza---simple yet satisfying dish.Staple diet of bachelors and college students.Coffee---cappuccino is for breakfast?Forget it.We want it all day and all night.DumbBuffalo mozzarella--those balls of water buffalo milk.The flavor’s so subtle you have to imagine it.1.Which food would you not try as an environmentalist?A.Shark’s fin soupB.Foie grasC.Sweet and sour porkD.Escargot2.Which will be the best choice for hungry students in Italy?A.PizzaB.CoffeeC.Buffalo mozzarellaD.Desserts3.Which will be the best breakfast?A.CappuccinoB.BaguetteC.CheeseD.Dim sumBThat was how the adventures began.It was the sort of house that you never seem to come to the end of,and it was full of unexpected places.The first few doors they triedled only into spare bedrooms,as everyone had expected that they would;but soon they came to a very long room full of pictures;and after that was a room all hung with green, with a harp in one corner;and then a kind of little upstairs hall and a door that led out on to a balcony.And shortly after that they looked into a room that was quite empty except for one big wardrobe,the sort that has a looking-glass in the door.“Nothing there!”Everybody rushed out but Lucy stayed because she thought it would be worthwhile trying the door of the wardrobe,even though she felt almost sure that it would be locked.To her surprise,it opened quite easily,and two mothballs dropped out.Looking into the inside,she saw several coats hanging up---mostly long fur coats. There was nothing Lucy liked so much as the smell and feel of fur.She immediately stepped into the wardrobe and got in among the coats and rubbed her face against them, leaving the door open,of course,because she knew that it is very foolish to shut oneself into any wardrobe...She took a step further in---then two or three steps,always expecting to feel woodwork against the tips of her fingers.But she could not feel it.“This must be a simply vast wardrobe!”thought Lucy,going still further in.Then she noticed that there was something crunching under her feet.“Is that more mothball?”she thought,stooping down to feel it with her hand.But instead of feeling the hard, smooth wood,she felt something soft and powdery and extremely cold.“This is very queer,”she said,and went on a step or two further....And then she saw that there was a light ahead of her;...A moment later she found that she was standing in the middle of a wood at night-time with snow under her feet and snowflakes falling through the air.4.What is the first paragraph mainly about?A.The discovery of mysterious rooms.B.The complex structures of the house.C.The unexpected search of the house.D.The adventurous exploration in a house.5.Why didn’t Lucy go out of the room?A.She wanted to explore the wardrobe.B.She found her favourite fur coats.C.She was attracted by mothballs.D.She liked the smell of the room.6.What can we infer about Lucy from the third paragraph?A.Careful and cowardly.B.Cautious and curious.C.Foolish but brave.D.Adventurous but casual.7.What does the underlined word“queer”mean?A.Terrifying.B.Empty.C.Strange.D.Impressive.CStories are shared in many ways.They are described in books and magazines.They are read around the campfire at night.They are randomly distributed from stand-alone booths.But what else?To revive literature in the era of fast news and smartphone addiction,Short Edition, a French publisher of short-form literature,has set up more than30story dispensers（分发机）in the USA in the past years to deliver fiction at the push of a button at restaurants, universities and government offices.Francis Ford Coppola,the film director and winemaker,liked the idea so much that he invested in the company and placed a dispenser at his Cafe Zoetrope in San st month,public libraries in some other cities announced they would be setting them up,too.There is one on the campus at Penn State.A few can be found in downtown West Palm Beach,Fla.And Short Edition plans to announce more,including at the Los Angeles International Airport.“Everything old is new again,”said Andrew Nurkin,director of the Free Library of Philadelphia,which is one of the libraries that set up the dispensers.“We want people to be easily exposed to literature.We want to advance literacy among children and inspire their creativity.”Here’s how a dispenser works.It has three buttons on top indicating choices for stories that can be read in one minute,three minutes or five minutes.When a button is pushed,a short story is printed.The stories are free.They are chosen from a computer category of more than100,000original submissions by writers whose works have been evaluated by Short Edition’s judges,and transmitted over a mobile network.Offerings can be tailored to specific interests,like children’s fiction or romance.Short Edition gets stories for its category by holding writing contests.Short Edition set up its first booth in2016and has150machines worldwide.“The idea is to make people happy,”said Kristan Leroy,director of Short Edition.“There istoo much unhappiness today.”8.What do we know about the stories sent by dispensers?A.They are easily read.B.They are short in form.C.They can be bought from booths.D.They can be found in magazines.9.Which paragraph shows the popularity of story dispensers in America?A.Paragraph3.B.Paragraph5.C.Paragraph6.D.Paragraph7.10.Why were the story dispensers set up according to Andrew Nurkin?A.To introduce French literature.B.To get rid of smartphone addiction.C.To make people have access to literature.D.To reduce the financial stress of libraries.11.What is the best title for the text?A.Everything Old Is NewB.Online Reading:a Virtual TourC.Short Edition Is Getting PopularD.Taste of Literature,at the Push of a ButtonDDo you think you’re smarter than your parents and grandparents?According to James Flynn,a professor at a New Zealand university,you are!Over the course of the last century,people who have taken IQ tests have gotten increasingly better scores---on average,three points better for every decade that has passed.This improvement is known as“the Flynn effect”,and scientists want to know what is behind it.IQ tests and other similar tests are designed to measure general intelligence rather than knowledge.Flynn knew that intelligence is partly inherited from our parents and partly the result of our environment and experiences,but the improvement in test scores was happening too quickly to be explained by heredity.So what was happening in the 20th century that was helping people achieve higher scores on intelligence tests?Scientists have proposed several explanations for the Flynn effect.Some suggest that the improved test scores simply reflect an increased exposure to tests in general.Because we take so many tests,we learn test-taking techniques that help us perform better on any test.Others have pointed to better nutrition since it results in babies being born larger,healthier,and with more brain development than in the past.Another possible explanation is a change in educational styles,with teachers encouraging children to learn by discovering things for themselves rather than just memorizing information.This could prepare people to do the kind of problem solving that intelligence tests require.Flynn limited the possible explanations when he looked carefully at the test data and discovered that the improvement in scores was only on certain parts of the IQ test. Test-takers didn’t do better on the arithmetic or vocabulary sections of the test;they did better on sections that required a special kind of reasoning and problem solving.For example,one part of the test shows a set of abstract shapes,and test-takers must look for patterns and connections between them and decide which shape should be added to the set.According to Flynn,this visual intelligence improves as the amount of technology in our lives increases.Every time you play a computer game or figure out how to program a new cell phone,you are exercising exactly the kind of thinking and problem solving that helps you do well on one kind of intelligence test.So are you really smarter than your parents?In one very specific way,you may be.12.The Flynn effect is_____.A.not connected to our experiencesB.unknown in some parts of the worldC.an increase in IQ test scores over timeed to measure people’s intelligence13.According to the article,newer educational techniques include_____.A.improving test scoresB.exposure to many testsC.memorizing informationD.children finding things out themselves14.Why does the author mention computer games?A.To encourage the reader to do more exercise instead of playing games.B.To explain why more and more young people have poor vocabularies.C.To give an example of technology improving our visual intelligence.D.To show the fact that young people are not getting more intelligent.15.Which statement would Professor Flynn agree with?A.People today are taking easier tests.B.People today have more visual intelligence.C.People today have fewer problems to solve.D.People today are more intelligent in every way.第二节（共5小题；每小题2.5分，满分12.5分）阅读下面短文，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。
广东省深圳中学、华南师大附中、广东实验中学、广雅中学四校联考高三数学上学期期末试卷文(含解析)
广东省深圳中学、华南师大附中、广东实验中学、广雅中学四校联考高三数学上学期期末试卷文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M={x|x2＞4}，N={x|1＜x≤3}，则N∩（∁R M）=（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|﹣2≤x≤3} 2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．132 C．142 D．1545．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．B．C．D．6．函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（3+x）=f（3﹣x），当x∈（0，3）时f（x）=2x，则当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）=（）A．2x+6B．﹣2x+6C．2x﹣6D．﹣2x﹣67．已知等差数列{a n}的通项公式a n=，设A n=|a n+a n+1+…+a n+12|（n∈N*），当A n取得最小值时，n的取值是（）A．16 B．14 C．12 D．108．已知△ABC中，平面内一点P满足=+，若||=t||，则t的值为（）A．3 B．C．2 D．9．已知点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．12 D．1310．设变量x，y满足：，则z=|x﹣3y|的最大值为（）A．8 B．3 C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）=2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．设2m＞2n＞4，则log m2与log n2大小关系是．14．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t= ．15．函数y=xe x在其极值点处的切线方程为．16．已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，若，，，…，，…成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，则数列{k n}的通项公式k n= ．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f （A）=，求角C．18．性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男女总计喜爱40 60 100不喜爱20 20 40总计60 80 140（Ⅰ）从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0.001）（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．附：p（k2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.705 3.841 5.024 6.635 7.879k2=．19．如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=CP=2，D是CP中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD；（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）若E是PC的中点．求三棱锥A﹣PEB的体积．20．设函数f（x）=alnx﹣bx2．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处与直线相切，求函数上的最大值．（Ⅱ）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的，x∈（1，e2]都成立，求实数m的取值范围．21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存过点P（2，1）的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．四.选作题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明]22．如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F．（Ⅰ）求证：BC∥DE；（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且=，求∠BAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知直线l过点P（﹣1，2），倾斜角α=，再以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=3．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于M、N两点，求|PM|•|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年广东省深圳中学、华南师大附中、广东实验中学、广雅中学四校联考高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M={x|x2＞4}，N={x|1＜x≤3}，则N∩（∁R M）=（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|﹣2≤x≤3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合M，然后进行集合的补集、交集运算即可．【解答】解：M={x|x＞2，或x＜﹣2}，N={x|1＜x≤3}；∴∁R M={﹣2≤x≤2}；∴N∩（∁R M）={x|1＜x≤2}．故选A．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出Z的坐标得答案．【解答】解：复数Z=，对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．3．条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．【分析】根据题意，解|x+1|＞2可以求出p为真的解集，从而得到¬p，由q 可得¬q为x＜2，进而能够判断出¬p是¬q的真子集，由集合间的关系与充分条件的关系可得答案．【解答】解：根据题意，|x+1|＞2⇔x＜﹣3或x＞1，则￢p：﹣3≤x≤1，又由题意，q：x≥2，则￢q为x＜2，所以￢p是￢q的充分不必要条件；故选A．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．132 C．142 D．154【考点】程序框图．【分析】由已知中程序的框图，我们可知程序的功能是利用循环结构，累乘变量i的值，由于循环的初值为12，终值为10，步长为1，故输出结果为S=12×11的值．【解答】解：由已知中程序的功能为：利用循环结构，计算S=12×11的结果，并输出．∵S=12×11=132．故选：B．5．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，根据图中数据与勾股定理求出SB的值．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中，AC=4，AC边上的高为，所以BC=4；在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=．故选：C．6．函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（3+x）=f（3﹣x），当x∈（0，3）时f（x）=2x，则当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）=（）A．2x+6B．﹣2x+6C．2x﹣6D．﹣2x﹣6【考点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数；函数的周期性．【分析】由已知中定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（3+x）=f （3﹣x），我们可以求出函数的对称轴和对称中心，根据函数对称性与周期性之间的关系，我们易求出函数的周期，进而结合当x∈（0，3）时f（x）=2x，即可求出当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）的解析式．【解答】解：∵f（3+x）=f（3﹣x），故直线x=3是函数y=f（x）的一条对称轴又由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，故原点（0，0）是函数y=f（x）的一个对称中心则T=12是函数y=f（x）的一个周期设x∈（﹣6，﹣3）则x+6∈（0，3）时f（x+6）=2x+6=f（﹣x）=﹣f（x）即f（x）=﹣2x+6故选B7．已知等差数列{a n}的通项公式a n=，设A n=|a n+a n+1+…+a n+12|（n∈N*），当A n取得最小值时，n的取值是（）A．16 B．14 C．12 D．10【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的通项公式可得数列首项和公差，且求得数列{a n}的前15项大于0，第16项等于0，第17项及以后项小于0．由此可知只有第16项为中间项时A n=|a n+a n+1+…+a n+12|最小，此时n=10．【解答】解：由a n=，可得等差数列的首项为a1=12，公差d=，则数列{a n}为递减数列，由a n==0，解得n=16．∴数列{a n}的前15项大于0，第16项等于0，第17项及以后项小于0．而a n+a n+1+…+a n+12为数列中的13项和，∴只有第16项为中间项时A n=|a n+a n+1+…+a n+12|最小，此时n=10．故选：D．8．已知△ABC中，平面内一点P满足=+，若||=t||，则t的值为（）A．3 B．C．2 D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】在CA上取CE=2EA，过点E作EP∥BC交AB于点P，过点P作PF∥AC 交BC于点F，可得，，可得点P满足=+，利用平行四边形法则即可得出．【解答】解：如图所示，在CA上取CE=2EA，过点E作EP∥BC交AB于点P，过点P作PF∥AC交BC于点F，则，，∴点P满足=+，∴，满足||=2||，又||=t||，∴t=2．故选：C．9．已知点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．12 D．13【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的对称性及直角三角形，可得∠AEF=45°，从而|AF|=|EF|，求出|AF|，|EF|得到关于a，b，c的等式，即可求出离心率的值．【解答】解：∵△ABE是直角三角形，∴∠AEB为直角，∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，∴∠AEF=∠BEF=45°，∴|AF|=|EF|，∵F为左焦点，设其坐标为（﹣c，0），令x=﹣c，则﹣=1，则有y=±，∴|AF|=，∴|EF|=a+c，∴=a+c∴c2﹣ac﹣2a2=0∴e2﹣e﹣2=0∵e＞1，∴e=2故选B．10．设变量x，y满足：，则z=|x﹣3y|的最大值为（）A．8 B．3 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=|x﹣3y|，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣3y过可行域内的点A时，从而得到z=|x﹣3y|的最大值即可．【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数z=x﹣3y，当直线经过A（﹣2，2）时，z=|x﹣3y|，取到最大值，Z m a x=8．故选：A．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△A B C=，∴V三棱锥S﹣A B C==．故选：C．12．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）=2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【考点】导数的运算；其他不等式的解法．【分析】根据条件构造函数g（x）=，利用导数求函数的单调性，即可解不等式．【解答】解：设g（x）=，则g′（x）=，∵f（x）＜f′（x），∴g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增．∵f（0）=2，∴g（0）=，则不等式等价为，即g（x）＞g（0），∵函数g（x）单调递增．∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．设2m＞2n＞4，则log m2与log n2大小关系是log m2＜log n2 ．【考点】对数值大小的比较．【分析】根据指数函数和对数函数的图象和性质比较即可【解答】解：∵2m＞2n＞22，∴m＞n＞2，∴log2m＞log2n＞1即＜，∴log m2＜log n2故答案为：log m2＜log n214．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t= 1 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若﹣2的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得t的值．【解答】解：∵=（，1），=（0，﹣1），∴﹣2=，又=（t，），且﹣2与共线，则，解得：t=1．故答案为：1．15．函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程．【解答】解：依题解：依题意得y′=e x+xe x，令y′=0，可得x=﹣1，∴y=﹣．因此函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．故答案为：y=﹣．16．已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，若，，，…，，…成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，则数列{k n}的通项公式k n= ．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式分别求出对应的公差和公比，即可得到结论．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，，，，…，成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，∴，即（1+d）2=1•（1+4d），解得d=2，即a n=2n﹣1，∴，又等比数列a1，a2，a5的公比为q=，∴=3n﹣1，即k n=，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）把函数解析式中第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，利用两角和的正弦函数公式化简，由函数在x=π处取最小值，把x=π代入到化简后的式子中并令f（x）等于﹣1，得到sinθ的值，然后利用θ的范围及特殊角的三角函数值即可求出θ的度数；（Ⅱ）把θ的值代入到f（x）中化简可得f（x）的解析式，然后把x等于A代入解析式，利用其值等于，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，然后由a，b和sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，根据B的范围和特殊角的三角函数值即可求出B的度数，根据三角形的内角和定理即可求出C的度数．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sinx=sinx+sinxcosθ+cosxsinθ﹣sinx=sin（x+θ）．因为f（x）在x=π时取最小值，所以sin（π+θ）=﹣1，故sinθ=1．又0＜θ＜π，所以θ=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（x+）=cosx．因为f（A）=cosA=，且A为△ABC的角，所以A=．由正弦定理得sinB==，又b＞a，所以B=时，，当B=时，C=π﹣A﹣B=π﹣．18．性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男女总计喜爱40 60 100不喜爱20 20 40总计60 80 140（Ⅰ）从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0.001）（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．附：p（k2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.705 3.841 5.024 6.635 7.879k2=．【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）由抽样比例求样本中的数据；（Ⅱ）代入公式求出k2的值，查表得结论；（Ⅲ）列出所有的基本事件，用古典概型概率公式求值．【解答】解：（Ⅰ）抽样比为=，则样本中喜爱的观从有40×=4名；不喜爱的观众有6﹣4=2名．（Ⅱ）假设：观众性别与喜爱乐嘉无关，由已知数据可求得，k2==≈1.167＜5.024；∴不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（Ⅲ）记喜爱乐嘉的4名男性观众为a，b，c，d，不喜爱乐嘉的2名男性观众为1，2；则基本事件分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），（c，d），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2）．其中选到的两名观众都喜爱乐嘉的事件有6个，故其概率为P（A）==0.4．19．如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=CP=2，D是CP中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD；（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）若E是PC的中点．求三棱锥A﹣PEB的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥底面PCD，利用面面垂直的判定，可得平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）证明点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离，利用等体积转换，即可求三棱锥A﹣PEB的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．…又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC∴正方形ABCD，∴AD⊥CD，…又PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，…∵AD⊂平面PAD，∴PAD⊥底面PCD …（Ⅱ）解：∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC∴点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离…又∵PD=DC，E是PC的中点∴PC⊥DE由（Ⅰ）知有AD⊥底面PCD，∴有AD⊥DE．由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．又∵PC∩BC=C∴DE⊥面PBC．…∴，，又∵AD⊥底面PCD，∴AD⊥CP，∵AD∥BC，∴AD⊥BC∴∴…20．设函数f（x）=alnx﹣bx2．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处与直线相切，求函数上的最大值．（Ⅱ）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的，x∈（1，e2]都成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出a，b的值，研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值；（Ⅱ）当b=0时，f（x）=alnx，已知条件转化为即m≤alnx﹣x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，则m≤h （a）m i n．由单调性求得最小值，即可得到m的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题知f′（x）=﹣2bx，∵函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，∴解得，∴，当≤x≤e时，令f′（x）＞0得＜x＜1；令f′（x）＜0，得1＜x＜e，∴f（x）在（，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f（x）max=f（1）=﹣；（Ⅱ）当b=0时，f（x）=alnx，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，即m≤alnx﹣x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，∴m≤h（a）m i n．∵x∈（1，e2]，∴lnx＞0，∴h（a）在a∈[0，]上单调递增，∴h（a）m i n=h（0）=﹣x，∴m≤﹣x对所有的x∈（1，e2]都成立．∵1＜x＜e2，∴﹣e2≤﹣x＜﹣1，∴m≤（﹣x）m i n=﹣e2．则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣e2]．21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存过点P（2，1）的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）先设椭圆的标准方程，将点M代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由a2=b2+c2可得到a，b，c的值，进而得到椭圆的方程．（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为y=k1（x﹣2）+1，然后与椭圆方程联立消去y得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应△大于0得到k的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再由，可确定k1的值，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），∵e==，且经过点M，∴，解得c2=1，a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为．…（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意直线l存在斜率，设直线l的方程为y=k1（x﹣2）+1，由，得（3+4k12）x2﹣8k1（2k1﹣1）x+16k12﹣16k1﹣8=0．因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），所以△=[﹣8k1（2k1﹣1）]2﹣4•（3+4k12）•（16k12﹣16k1﹣8）＞0．整理得32（6k1+3）＞0．解得k1＞﹣，又，因为，即，所以=．即．所以，解得．因为A，B为不同的两点，所以．于是存在直线l1满足条件，其方程为．…四.选作题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明]22．如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F．（Ⅰ）求证：BC∥DE；（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且=，求∠BAC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）通过证明∠EDC=∠DCB，然后推出BC∥DE．（Ⅱ）解：证明∠CFA=∠CED，然后说明∠CFA=∠ACF．设∠DAC=∠DAB=x，在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠EDC=∠DAC，∠DAC=∠DAB，∠DAB=∠DCB，所以∠EDC=∠DCB，所以BC∥DE．…（Ⅱ）解：因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA=∠CED由（Ⅰ）知∠ACF=∠CED，所以∠CFA=∠ACF．设∠DAC=∠DAB=x，因为=，所以∠CBA=∠BAC=2x，所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x，在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，则x=，所以∠BAC=2x=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知直线l过点P（﹣1，2），倾斜角α=，再以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=3．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于M、N两点，求|PM|•|PN|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=3，利用即可得出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入x2+y2=9，得，利用直线参数方程中参数t的几何意义可得|PM|•|PN|=|t1t2|即可得出．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=3，可得曲线C的直角坐标方程x2+y2=9．（Ⅱ）将直线的参数方程代入x2+y2=9，得，设上述方程的两根为t1，t2，则t1t2=﹣4．由直线参数方程中参数t的几何意义可得|PM|•|PN|=|t1t2|=4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）运用函数的零点分区间，讨论当x≥3时，当x≤2时，当2＜x ＜3时，化简不等式解得，最后求并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣2|，当x≥3时，f（x）≤﹣，即为（x﹣3）﹣（x﹣2）≤﹣，即﹣1成立，则有x≥3；当x≤2时，f（x）≤﹣即为（3﹣x）﹣（2﹣x），即1，解得x∈∅；当2＜x＜3时，f（x）≤﹣即为3﹣x﹣（x﹣2）≤﹣，解得，x≥，则有≤x＜3．则原不等式的解集为[，3）∪[3，+∞）即为[，+∞）；（2）由绝对值不等式的性质可得||x﹣3|﹣|x﹣a||≤|（x﹣3）﹣（x﹣a）|=|a﹣3|，即有f（x）的最大值为|a﹣3|．若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，则有|a﹣3|≥a，即或，即有a∈∅或a≤．则a的取值范围是（﹣∞，]．。
广东省华附+深中+省实+广雅四校联考2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题
华附、省实、广雅、深中2024届高三四校联考数学命题学校：广东实验中学 定稿人：杨晋鹏 张淑华本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U =R ，集合A ，B 满足A ⊆(A⋂B)，则下列关系一定正确的是( )A. A =BB. B ⊆AC. (∁U A)∩B =⌀D. A⋂(∁U B)=⌀2.已知复数z 满足i z i −=+1)1(，则z 2024=( )A. iB. −1C. 1D. −i3.直线x +2y +3=0关于直线y =−x 对称的直线方程是( )A. x +2y −3=0B. 2x +y −3=0C. x −2y −3=0D. 2x +3y +3=04.已知向量a 在b 方向上的投影向量的模为2，向量b 在a 方向上的投影向量的模为1，且)32)b a b a −⊥+（（，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．43π 5.若椭圆Γ1：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，则双曲线Γ2：y 2b2−x 2a 2=1的离心率为( )A.321B.27 C. √ 3 D. √ 56. 在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R ，且某个车轮上的点P 刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离S ，则此时P 到铁轨上表面的距离为（ ） A ．)cos 1(RS R +B ．)cos 1(R S R −C ．R S R sin 2D ．RS R sin7.若1ln )1)1=−=−b c e c a（（则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ． c ≤a ＜bB ． c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ≤c8.数列}{n a 的前n 项和n S ，且1112881−−−++=n n n n a n a a a ，),2(+∈≥N n n ，若11=a ，则 A ．3252024<<S B ．2522024<<S C ．2232024<<S D ． 2312024<<S 二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9.下列结论正确的是( )A. 若a >b,c >d ，则ac 2>bd 2B. 若ac 2>bc 2，则a >bC. “ab >1”是“a >1,b >1”成立的充分不必要条件D. 若a >b >1，则)1(log log 1+<+b b a a10. 已知圆C 1：122=+y x ，圆C 2：222)4()3(r y x =++−）（0>r ，P 、Q 分别是圆C 1与圆C 2上的点，则（ ）A .若圆C 1与圆C 2无公共点，则0＜r ＜4B .当r ＝5时，两圆公共弦所在直线方程为0186=−−y xC .当r ＝2时，则PQ 斜率的最大值为−724D .当r ＝3时，过P 点作圆C 2两条切线，切点分别为A ，B ，则APB ∠不可能等于 π211.已知函数f(x)=x 3−3x 2，满足f (x )=kx +b 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则( ) A. 若k =0，则实数b 的取值范围是−4<b <0B. 过y 轴正半轴上任意一点仅有一条与函数 y =f (x )−1 相切的直线C. x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3=kD.若 x 1，x 2，x 3成等差数列，则k +b =−212.已知正四面体O −ABC 的棱长为3，下列说法正确的是( )A. 若点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x +y +z =1，则|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为6B. 在正四面体O −ABC 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为√ 210C. 若正四面体O −ABC 的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为3√ 1010D.点Q 在△ABC 所在平面内且|QO|=2|QA|,则Q 点轨迹的长度为2√ 303π三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线1422=−y x ，则此双曲线的渐近线方程为 ．14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，a 4=4，a 7=10，则S n 的最小值为 ． 15.已知函数)3(sin )(2πω−=x x f (ω>0)的最小正周期为2π，且f (x )在[0,m]上单调递减，在[2m,5π3]上单调递增，则实数m 的取值范围是 ．16. 在同一平面直角坐标系中，M ，N 分别是函数34)(2−+−−=x x x f 和函数x axe ax x g −=)ln()( 图象上的动点，若对任意a ＞0，有|MN |≥m 恒成立，则实数m 的最大值为______________． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。
广东省华南师范大学附属中学、广东实验中学、深圳中学、广雅中学四校高三数学上学期期末联考试题文(含解析
广东省华南师范大学附属中学、广东实验中学、深圳中学、广雅中学四校高三数学上学期期末联考试题文（含解析）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1． 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2． 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3． 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4． 考生必须保持答题卡的整洁.第一部分 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 若集合{}24M x x =>，{}13N x x =<≤，则()RNM =（ ** ）A.{}12<≤x x B. {}22x x -≤≤ C. {}21x x -≤< D. {}23x x -≤≤【答案】A考点：集合的运算． 2． 在复平面内，复数323Z i i=+-对应的点位于（ ** ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】试题分析：复数Z=()()()3232334333555i i i i i i i i i +++=-=-=---+对应的点位于第四象限． 考点：复数的运算与几何意义． 3． 条件:12p x +>，条件:2q x ≥，则p ⌝是q ⌝的（ ** ）A ．充分非必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件【答案】A考点：充分必要条件．4． 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ** ）A ．121B ．132C ．142D ．154【答案】B 【解析】试题分析：由程序框图，算法执行过程中，第一次循环，11212,12111S i =⨯==-=，第二次循环，1211132S =⨯=，11110i =-=，此时不符合判断条件，执行输出语句，因此输出为132S =．故选B ． 考点：程序框图．5． 三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为（ ** ）（第4题图）结束输出s 12,1i s == 1i i =-是否开始s s i =⨯11?i ≥A ．163B ．38C ． 42D ．211【答案】C考点：三视图．6． 函数()y f x =是R 上的奇函数，满足(3)(3)f x f x +=-，当()0,3x ∈时()2xf x =，则当()6,3x ∈--时，()f x =（ ** ） A ．62x +B ．62x +-C ．62x -D ．62x --【答案】B 【解析】试题分析：∵f （3+x ）=f （3﹣x ），故直线x=3是函数y=f （x ）的一条对称轴,又由函数y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， 故原点（0，0）是函数y=f （x ）的一个对称中心 则T=12是函数y=f （x ）的一个周期，设x ∈（﹣6，﹣3）则x+6∈（0，3）时f （x+6）=2x+6=f （﹣x ）=﹣f （x ）即f （x ）=﹣2x+6考点：函数的奇偶性，周期性． 7． 已知等差数列{}n a 的通项公式6445n na -=，设112||n n n n A a a a ++=+++(*)n N ∈，则当n A 取最小值时，n 的取值为（ ** ）A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】D 【解析】试题分析：64405n na -=≥，16n ≤，且160a =，所以16160i i a a -++=（*i N ∈），n A 中共13项的和，因此取10n =，则1120n n n a a a +++++=，即0n A =最小，故选D ．考点：等差数列的性质．8． 已知ABC ∆中，平面内一点P 满足2133CP CA CB =+，若PB t PA =，则t =（ ** ）A ．3B ．13C ．2D ．12【答案】C考点：向量的线性运算．9. 已知点F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，ABE ∆是直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ** ） A ．3B ．2C ．12D ．13【答案】B 【解析】试题分析：∵△ABE 是直角三角形，∴∠AEB 为直角，∵双曲线关于x 轴对称，且直线AB 垂直x 轴，∴∠AEF=∠BEF=45°，∴|AF|=|EF|， ∵F 为左焦点，设其坐标为（﹣c ，0）， 令x=﹣c ，则22221c y a b-=，则有2b y a =±∴|AF|=2b a ，∴|EF|=a+c ，∴2b a=a+c ∴c 2﹣ac ﹣2a 2=0 ∴e 2﹣e ﹣2=0∵e ＞1，∴e=2 考点：双曲线的几何性质．10. 设变量x 、y 满足：342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最大值为（ ** ）A ．8B ．3C ．134D ．92【答案】A考点：简单的线性规划的应用．11. 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC为球O 的直径，且2SC =，则此三棱锥的体积为（ ** ） A ．14B ．24C ．26D ．212【答案】C 【解析】试题分析：根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=233323⨯=，考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等． 12. 已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(0)2f =，则不等式()2xf x e >的解集为（ ** ） A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞【答案】B【解析】试题分析：设g （x ）=()x f x e ，则g′（x ）=()()2()()x x x x f x e f x e f x f x e e ''--=⎡⎤⎣⎦∵f （x ）＜f′（x ），∴g′（x ）＞0，即函数g （x ）单调递增． ∵f （0）=2，∴g （0）=(0)(0)2f f e ==， 则不等式()2xf x e >等价为()()00xf x f e e >，即g （x ）＞g （0），∵函数g （x ）单调递增．∴x ＞0，∴不等式()2xf x e>的解集为（0，+∞）考点：导数的应用．【名师点睛】本题考查导数的应用．解题思路是由函数的单调性得出不等式的解集，关键是利用导数确定函数的单调性．这类问题考查学生的分析问题、解决问题的能力，考查转化与创新能力．这类题是近年来常考题型，许多时候，还要我们构造新函数，以便能应用题设条件确定单调性，而构造的根据是导数的运算法则．第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13. 设224mn >>，则log 2m 与log 2n 大小关系是 ** .【答案】log m 2＜log n 2考点：比较大小，指数函数的性质． 14. 已知向量()3,1m =，()0,1n =-，(),3k t =，若2m n -与k 共线，则t =** . 【答案】1 【解析】试题分析：∵()3,1m=，()0,1n =-，∴()()()23,120,13,3m n -=--= 又(),3k t =，且2m n -与k 共线，则3330t ⨯-=，解得：t=1．考点：向量共线．15. 函数x yxe =在其极值点处的切线方程为 ** .【答案】y=1e-考点：导数与切线．【名师点睛】本题考查利用导数求切线方程，解题关键是掌握函数极值的定义，求得极值点与极值．方法是求得导函数'()f x ，解方程'()0f x =，得极值点，若极值是0y ，则所求切线方程为0y y =．本题是填空题，因此只要求得'()0f x =的解后，可以直接写出切线方程．如果是解答题还要判断方程'()0f x =的解0x 是不是极值点，否则易出错． 16. 已知数列{}n a 为等差数列，首项11a =，公差0d ≠，若1k a ,2k a ,3k a ,,nk a ,成等比数列，且11k =，22k =，35k =，则数列{}n k 的通项公式n k = ** . 【答案】1312n -+【解析】试题分析：由题意，2215a a a =⋅，2(1)1(14)d d +=⋅+，得2d =，即21n a n =-， 所以21n k n a k =-．又等比数列125,,a a a 的公比为3，所以13n n k a -=．根据1213n n k --=可得1312n n k -+=． 考点：等差数列与等比数列的综合应用．【名师点睛】本题考查等差数列与等比数列的性质，解题关键是求出等差数列{}n a 的通项公式，而方法是利用等比数列的性质：等比数列{}n c 中，若(,,,*)m n k l m n k l N +=+∈，则m n k l a a a a =，特别地若2(,,*)m n k m n k N +=∈，则2m n k a a a =．由等比数列的性质求得等差数列{}n a 的公差d ，得出其通项公式．三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知函数2()2sin cos cos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<在π=x 处取最小值．（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知,,21==b a 23=)(A f ， 求角C ． 【答案】（Ⅰ）2πϕ=；（Ⅱ）712π或12π． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数式，即()sin()f x x φ=+，由()1f π=-（最小值）可求得φ；（Ⅱ）由（Ⅰ）及()f A =可得6πA =，由正弦定理先求得B ，最后得C ，只是要注意正弦定理解三角形时可能出现两解．考点：二倍角公式，两角和与差的正弦公式，正弦定理．【名师点睛】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.特别在应用正弦定理解三角形时，可能出现两解的情形要特别注意．18.（本小题满分12分）乐嘉是北京卫视《我是演说家》的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象．某机构为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男女总计喜爱40 60 100不喜爱20 20 40总计60 80 140（Ⅰ）从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0. 025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0.001）（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．p（k2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k0 2.705 3.841 5.024 6.635 7.879附：临界值表参考公式：K 2 = n (ad－bc) 2(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)，n= a+ b+ c + d.【答案】（Ⅰ）喜爱的观众有4名，不喜爱的观众有2名；（Ⅱ）不能；（Ⅲ）0.4．【解析】试题分析：（Ⅰ）从60人中抽6人，比例是110，按此比例计算可得；（Ⅱ）按所给公式计算出2K即得；（Ⅲ）6人中有4人喜爱乐嘉，有2人不喜爱乐嘉，可以把它们编号，喜爱的为,,,a b c d，不喜爱的为1,2，从6人中抽取2人的所有可能情况可用列举法列举出来，共15种，其中2人都喜爱乐嘉的有6种，由概率公式计算可得．试题解析：（Ⅰ）抽样比为61 6010，则样本中喜爱的观众有40×110=4名；不喜爱的观众有6﹣4=2名．……… 3分考点：分层抽样，独立性检验；古典概型． 19. （本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCP 中，//CP AB ，CP CB ⊥，122AB BC CP ===，D 是CP 中点，将PAD ∆沿AD 折起，使得PD ⊥面ABCD . （Ⅰ）求证：平面PAD ⊥ 平面PCD ；（Ⅱ）若E 是PC 的中点．求三棱锥A PEB -的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）23． 【解析】试题分析：（Ⅰ）要证面面垂直，就是要证线面垂直，也就是要证线线垂直，由原图知AD CD ⊥，又由PD ⊥平面ABCD 得PD CD ⊥，PD AD ⊥，需要的两个线线垂直有了，结论可得；（Ⅱ）三棱锥A PEB -的底面积与高都不易求得，可采用等积转化法，由于有//AD 平面PBC ，因此A PBE D PBE V V --=，又E 是PC 中点，可得DE ⊥平面PBC ，从而Δ13D PBE PBE V DE S -=⋅，还可以由12D PBE P DBE P DBC V V V ---==计算得结论．考点：面面垂直的判断，棱锥的体积． 20. （本小题满分12分）设函数2()ln f x a x bx =-.(Ⅰ)若函数()f x 在1x =处与直线12y =-相切,求函数(),1在f x e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.(Ⅱ)当0b =时，若不等式()f x m x ≥+对所有的,302a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(,21x e ⎤∈⎦都成立， 求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）max 1()(1)2f x f ==-；（Ⅱ）2m e ≤-． 试题解析：（Ⅰ）由题知'()2af x bx x =- 函数()f x 在1x =处与直线12y =-相切 ()()120112f a b f b '=-=⎧⎪∴⎨=-=-⎪⎩ 解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ………………………3分 ()ln ,()221112x f x x x f x x x x -'∴=-=-=当1x e e ≤≤时，令'()0f x >得11x e<<； 令'()0f x <，得1;x e <<1(),1f x e ⎛⎤∴ ⎥⎝⎦在上单调递增，在上单调递减，max 1()(1)2f x f ∴==- …………………………6分（Ⅱ）当0b =时，()ln f x a x =若不等式()f x m x ≥+对所有的(230,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦都成立，考点：导数与切线，导数与函数的最值，不等式恒成立． 21. （本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)是否存过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，满足PA PB PM PM ⋅=⋅？ 若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(Ⅰ) 22143x y +=；(Ⅱ) 存在直线l 满足条件，其方程为12y x =．【解析】试题分析：(Ⅰ)求椭圆标准方程，就是列出关于,,a b c 的两个方程，本题中有离心率12c e a ==是一个，另外一个是把点3(1,)2的坐标代入标准方程，由此结合222a b c =+或解得,a b 值；(Ⅱ)解析几何中的探索性问题，一般都是假设存在，设直线l 方程为(2)1y k x =-+，代入椭圆C 的方程整理得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=．同时设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则有Δ0>（保证有两交点），1212,x x x x +（用k 表示），再把已知条件PA PB PM PM ⋅=⋅用坐标1122(,),(,)x y x y 表示，并把1212,x x x x +代入可解得k 值，若无实数解，说明不存在．即212125[2()4](1)4x x x x k -+++=． ……………………9分所以222222161688(21)44524(1)3434344k k k k k k k k k ⎡⎤---+-⋅++==⎢⎥+++⎣⎦，解得12k =±． 因为,A B 为不同的两点，所以12k =．于是存在直线l 满足条件，其方程为12y x =．………………………12分考点：椭圆的标准方程，探索性问题，直线与椭圆的综合问题．【名师点睛】1．运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a 、b 的方程组，一般情况下可根据椭圆的几何性质，以及椭圆过某个点来确定．2．直线和圆锥曲线的综合问题，一般设直线方程，设交点坐标1122(,),(,)x y x y ，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后，利用韦达定理得1212,x x x x +（或者1212,y y y y +），再把已知条件用坐标1122(,),(,)x y x y 表示出来，并把1212,x x x x +代入，化简、变形，解方程等得出结论．这体现了“设而不求”方法的具体应用．选作题：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .（Ⅰ）求证：//BC DE ；（Ⅱ）若D E C F 、、、四点共圆，且AC BC =，求BAC ∠． ABCD EF【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）27π． 【解析】试题分析：（Ⅰ）要证线线平面，一般可先证同位角相等或内错角相等，题中有弦切角，圆周角，由切线的性质可得；（Ⅱ）要求BAC ∠，此处可能要用到三角形内角和定理，在ΔABC 中，设CAF x ∠=，则2CAB CBA x ∠=∠=，而由四点共圆及平行线又可得3ACF AFC FAC FBC x ∠=∠=∠+∠=，这样由内角和定理可得x ，从而得解．试题解析：（Ⅰ）BAC ∠的平分线与圆交于点D,EDC DAC DAC DAB ∴∠=∠∠=∠……………2分BD BD DAB DCB =∠=∠∴EDC DCB ∴∠=∠//BC DE ∴. ………………………………4分考点：圆周角定理与弦切角定理，四点共圆． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线l 过点(),12P - ，倾斜角6πα=，再以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为3ρ=． （Ⅰ）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 分别交于、M N 两点，求PM PN ⋅的值．【答案】（Ⅰ）直线l 的参数方程：()312为参数122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，曲线C 的直角坐标方程229x y +=；（Ⅱ）4．【解析】试题分析：（Ⅰ）由直线l 参数方程的标准式()cos sin 00为参数x x t t y y t =+⎧⎨=+⎩αα，（其中00(,)P x y 是直线l 上的一点，α是它的倾斜角）可得参数方程，由公式222ρx y =+可得曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）利用直线参数方程标准式中参数t 的几何意义，把直线l 参数方程代入曲线C 的方程可得t 的二次方程，此方程的解为12,t t ，则124t t =-，而12,PM t PN t ==，由此有124PM PN t t ⋅=⋅=．考点：直线的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3.f x x x a =--- （Ⅰ）当2a =时，解不等式()12f x ≤-； （Ⅱ）若存在实数a ，使得不等式()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）114x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. ；（Ⅱ）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】试题分析：含绝对值的函数，由绝对值定义去掉绝对值符号化为分段函数形式，解不等式1()2f x ≤时，只要分段求解，最后合并即可；（Ⅱ）若存在x 使不等式()f x a ≥恒成立，即a 小于等于()f x 的最大值，由绝对值的性质可有()()()333f x x x a x x a a =---≤---=-，从而只要解不等式3a a -≥即得．试题解析：（Ⅰ）当2a =时，()1, 23252, 231, 3x f x x x x x x ≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎩， ……… …2分()12f x ∴≤-等价于2112x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩或231522x x <<⎧⎪⎨-≤-⎪⎩或3112x ≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩， …………… …4分 解得1134x ≤<或3x ≥，∴ 不等式的解集为114x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. ………………5分考点：解含绝对值的不等式，不等式恒成立，绝对值的性质．。
【全国百强校】广东省华南师范大学从属中学尝试中学广雅中学深圳高级中学四校期末联考数学（文）试题
绝密★启用前试卷类型：A广东省2021 届高三年级四校联考文科数学本试卷共6页，22 小题，满分150 分. 考试历时120 分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案. 答案不能答在试卷上.3．非选择题必需用黑色笔迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准利用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必需维持答题卡的整洁.第Ⅰ卷(选择题共60 分)一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．i 为虚数单位，则复数z =2 - i在复平面上对应的点位于iA．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2．若全集U ={1, 2,3,4,5,6}，M =⎧x6∈N*, x ∈U⎫，则M =⎨x⎬ U⎩ ⎭A．{1,2,3,4,5,6} B．{1, 2, 3, 6} C．{4, 5} D．∅⎨⎩3. 下列函数中，既是 R 上的偶函数，又在区间 (0, 3) 内单调递减的是A. y = x 3B. y = ln xC. y = 2x + 2- xD. y = cos x 4. 给定空间中的点 P ，直线 l ，平面α 与平面 β ，若 P ∈ l ， P ∈α ，α ⊥ β ， 则“ l ⊂ α ”是“ l ⊥ β ”的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件⎧ x + y < 6, 5．若实数 x , y 知足条件 ⎪x - 3 y < -2, ，设 z =2x + 3y 的取值集合为 M ，则 ⎪ x > 1.A.17 ∈ M B. 14 ∈ M C. 5 ∈ M D. 3∈ M6. 已知曲线 y = sin(ω x + π) （ω > 0 ）关于直线 x = π 对称，则ω 的最小值为 32 1 A ．B ．321 1 C ．D ．367.在平面直角坐标系中，随机从O (0，0)，A (2，0)，B (1，1)，C (0，2)，D (2，2) 这五个点中选取三个，则以这三点为极点能组成三角形的概率是4 7 3 1 A.B.C.D.510528.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为 2 ，四条 用虚线表示的线段的长度均相等，则该几何体的表面积为2π正视图侧视图A. 8 -B. 24 - π 3C. 24 + 1)πD. 24 +1)π4 9 2 35 78 1 6⎧ a < -1或a =1 或a > 9 ⎫ ⎧ a < -1或 1 ≤ a ≤ 1 ⎫⎬⎩ e 28 ⎬ ⎩ ⎭ ⎧ a > -1或 1 < a < 9 ⎫ ⎧ a > -1或> 9 ⎫ ⎩ 8 ⎬ ⎩ 8 ⎬+ ⎨ 29.设 a 是列位数字不全相同的三位数，调整 a 各数位上数字 开始 输入 a的顺序，取得的最大数为 M , 最小数为 m , 例如若 a = 693 ，n=1则 M = 963, m = 369 .如图，若输入的 a = 693 ，则输出的 n 为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5a=M-m a=495? 是 输出 nn=n +1否10.设 a > 1 ，则曲线xa 2 y 2结束- = 1的离心率的取值范围是 (a + 1)2A ． ( 2，2) B ． ( 2，5)C ． (2，5)D ． (2，5)11.幻方，是中国古代一种填数游戏. n (n ∈ N *,n ≥ 3) 阶幻方是指将持续 n 2个正整数排成的正方形数阵，使之同一行、同一列和同一对角线上的 n 个数的和都相等.中国古籍《周易本义》中的《洛书》记载了一个三阶幻方（如图 1），即此刻的图1 图2图 2. 若某3 阶幻方正中间的数是 2021 ，则该幻方中的最小数为 A. 2021 B. 2021 C. 2021 D. 202112. ⎧ x e = 2.718⋅⋅⋅ 为自然对数的底数，已知函数 f ( x ) = ⎪ 81, x < 1, ，若关于 x 的方程⎪⎩ln x -1, x ≥ 1.f (x ) = ax 有唯一实数根，则实数 a 的取值范围是A ． ⎨a C ． ⎨a B ． ⎨a ⎭ D ． ⎨a⎭ ⎭* 2 第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.y4.43.2 1.90.9O 13 4 x14. 已知两个单位向量 a , b 的夹角为120︒ ，则 2a - b 的值为.15．已知动圆 M 与圆 C : ( x +1)2 + y 2= 1，圆 C ：(x -1)2 + y 2 = 25 均内切，则动圆圆心 1 2M 的轨迹方程是 .16. 已知数列{a n } 知足：a 1 = 2 ，a n +1 + a n = log 2 (n+ 3n + 2)(n ∈ N ) .若 a m > 7 ，则 m 的最小值为 .三、解答题：共 70 分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.第 17~21 题为必考题， 每一个试题考生都必需作答.第 22、23 题为选考题，考生按照要求作答. （一）必考题：60 分. 17．（本小题满分 12 分）已知 ∆ABC 中，角 A , B , C 所对的边别离为 a , b , c ，且cos(B - C ) - 2 s in B sin C = 1.2（1）求 A ； （2）若 a =3, c = 2 c os C ，求∆ABC 面积．18．（本小题满分 12 分）如图，DC ⊥ 平面 ABC ，EB DC ，AAC = CB = BE = 2DC = 2 ，P 为 AE 的中点， BP ⊥ AD ．（1）证明： PD 平面ACB ； （2）证明： ∆ABC 为等边三角形； C (3) 求四棱锥 A - BCDE 的体积．DPBE219．（本小题满分 12 分）依据某地某条河流 8 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的 频率散布直方图如图（甲）所示；依据本地的地质构造，取得水位与灾害品级的频率分布 条形图如图（乙）所示.频率1级级40 米的情况下发生 1 级灾害的频率为 g ，则该河流 1 级灾害 的频率为 f ⨯ g ，其它情况类似. 据此，试别离估量该河流在 8 月份发生 一、2 级灾害及 不发生灾害的概率 p 1 , p 2 , p 3 ；（3）该河流域某企业，在 8 月份，若没受 一、2 级灾害影响，利润为 500 万元；若受 1级灾害影响，则亏损 100 万元；若受 2 级灾害影响则亏损 1000 万元.现此企业有如试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪一种方案？说明理由.20. （本小题满分 12 分）已知圆 M : x 2 + ( y + 1)2= 4 p 9通过抛物线C : x 2 = 2 py 的核心.（1）求 p 的值；（2）当 p > 0 时，直线 l 与抛物线 C 、圆 M 均只有一个公共点，求直线l 的方程.21．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ( x -1 - a)e x + 1 ，其中 e = 2.718⋅⋅⋅ 为自然对e数的底数，常数 a > 0 ．（1）求函数 f (x ) 在区间[0, +∞) 的零点个数； （2）设函数 g ( x ) 的导数 g '(x ) = (e x - a ) f (x ) ， a ∈ (1, e) ，判断 ln a 是函数g ( x ) 的极 大值点仍是极小值点并说明理由．（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题计分.22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分） ⎧ x = 2 + 2 cos ϕ,在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线C 1 : x + y = 1与曲线 C 2 : ⎨ ⎩ y = 2 s in ϕ.( ϕ 为参数，ϕ ∈[0, 2π) )．以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系． （1）写出曲线 C 1 , C 2 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，已知点 A 是射线 l :θ = α ( ρ ≥ 0) 与 C 1 的公共点， 点 B 是l 与C 2 的 公共点，当α 在区间[0, π] 上转变时，求 OB 的最大值．2OA23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）已知函数 f ( x ) =x -1 + x + a 2 ，其中 a ∈ R ．（1）当 a =f ( x ) ≥ 6 的解集；（2）若存在 x 0 ∈ R ，使得 f ( x 0 ) < 4a ，求实数 a 的取值范围．。
广东省四校2021届上学期高三年级开学联考数学试卷
广东省四校2022届上学期高三年级开学联考数学试卷本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1 答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内2 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效4 考生必须保持答题卡的整洁一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 设集合{}22A x x =-<，{}2,3,4B =，则A B =（ ）A {}2B {}2,3C {}3,4D {}2,3,42 已知34i z =+，则3zz =-（ ） A 31i 4+B 31i 4-C 31i 4-+D 31i 4--3 函数()sin cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭具有性质（ ） A 最大值为2，图象关于,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称B ，图象关于,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C 最大值为2，图象关于直线6x π=对称D ，图象关于直线6x π=对称4 一个圆柱的侧面展开图是一个面积为24π的正方形，则这个圆柱的体积为（ ） A π B 2πC 2πD 22π5 已知1sin 54πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A 78-B78 C 8-D86 已知函数log (1)1a y x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在椭圆221x y m n+=上，则m n +的最小值为（ ） A 12B 10C 9D 87 2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”（“三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是（ ） A49B827C23D598 已知点Q 在圆E ：22(3)(4)4x y ++-=上，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，点P 在椭圆C上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若PQ PF -的最小值为6，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，过点F 作圆E 的切线，则切线斜率为（ ）A 2±B43-± C12- D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9 如图是2021年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 、n 均为数字0~9中的一个），在去掉一个最高分和一个最低分后，则有（ ）A 甲选手得分的平均数一定大于乙选手得分的平均数B 甲选手得分的中位数一定大于乙选手得分的中位数C 甲选手得分的众数与m 的值无关D 甲选手得分的方差与n 的值无关10 已知向量()1,sin a θ=，(cos b θ=，则下列命题正确的是（ ）A 存在θ，使得//a bB 当tan θ=时，a 与b 垂直C 对任意θ，都有a b ≠D 当3a b ⋅=-时，a 在b 方向上的投影为11 如图，点M 是正方体1111ABCD A B C D -中的侧面11ADD A 内（包括边界）的一个动点，则下列结论正确的是（ ）A 满足1BM A D ⊥的点M 的轨迹是一条线段B 在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30︒C 若正方体的棱长为1，三棱锥1B C MD -的体积最大值为13D 点M 存在无数个位置满足到直线AD 和直线11C D 的距离相等12 已知函数21,()()(2),x e x mf x m R x x m⎧-≥=∈⎨-+<⎩，则（ ） A 对任意的m R ∈，函数()f x 都有零点B 当3m ≤-时，对12x x ∀≠，都有()()()()12120x x f x f x --<成立 C 当0m =时，方程[]()0f f x =有4个不同的实数根 D 当0m =时，方程()()0f x f x +-=有2个不同的实数根 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13 已知双曲线C ：221(0)x y m m-=>0my +=，则双曲线C 的实轴长为__________14 已知二项式2n⎛⎝的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的有理项系数和为___________ 15 函数1cos ()sin x f x x -=的图象在点,12π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线10x ay -+=垂直，则非零实数a 的值为__________16 设正整数0110112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅，其中{}i 0,1a ∈，i 0,1,2,,k =⋅⋅⋅，记()01k n a a a ω=++⋅⋅⋅+若019100192222m a a a =⋅+⋅++⋅+且()3m ω=，则这样的正整数m 有__________个，所有的这样的正整数m 的和为_____________（用数字作答）四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 已知等比数列{}n a 是递增数列，满足432a =，3580a a += （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，若n b 为数列{}n c 的前n 项积，证明111n nb c += 18 党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为()01p p <<现有6例疑似病例，分别对其取样、检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验现有以下三种方案：方案一：6个样本逐个化验；方案二：6个样本混合在一起化验；方案三：6个样本均分为两组，分别混合在一起化验在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优” （1）若13p =，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率； （2）若()31t p =-，现将该6例疑似病例样本进行化验，当方案三比方案二更“优”时，求t 的取值范围19 如图所示，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，cos B =（1）若BC =AB 的长；（2）求四边形ABCD 面积的最大值20 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，BC CD ⊥，2PA AD ==，33BC CD ==，点M ，N 在线段BC 上，满足21BM MN ==，ANMD E =（1）求证：PN MD ⊥；（2）若Q 为线段PB 上的一点，且//PD 平面AQM ，求平面QAM 与平面PAN 所成锐二面角的余弦值 21 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，(),2M n 为抛物线C 上的一点，且2MF =（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，点P 在抛物线C 上，记直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，试判断是否存在点P ，使得122k k +=若存在，求出点P 的个数；若不存在，请说明理由22 已知函数21()2ln 2f x x ax x =-+ （1）若函数()f x 为增函数，求实数a 的取值范围； （2）设31()()22g x xf x x x =-+有两个不同零点1x ，2x （i ）证明：121x x a+>； （ii ）若2130x x -≥，证明：1226x x e+>参考答案一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分 其中第1题~第10题为单项选择题，在给出的四个选项中，只有一项符合要求；第11题和第12题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）13． 32 14． 65 15． 1- 16．45 ， 55287三、解答题（本大题6小题，共70分）17（1）可设等比数列{}n a 的公比为)1(>q q ，.803232,32534=+=+∴=q qa a a ……2分 解得：2=q 或21=q （舍去） ……4分 所以14422+-=⋅=n n n a a ……5分 22,1log 112==∴+==b c n a b n n ……6分当2≥n 时，121+=⋅⋅⋅n c c c n ①，n c c c n =⋅⋅⋅-121 ②，……7分 ①/②得)2(1≥+=n nn c n ，……8分 当1=n 时，2121==c 也成立nn c n 1+=∴……9分 111111=+++=+∴n nn c b n n ……10分 181用X 表示6例疑似病例中化验呈阳性的人数，则随机变量)31,6(~B X ……1分由题意可知：729665)32(1)0(1)1(606=-==-=≥C x P x P ……3分 答：6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率为729665……4分 2方案二：混合一起检验，记检验次数为ξ，则71，=ξ……5分2222267)1(7)(1)7()1(tt t E t P t P -=-+=∴-====∴ξξξ，……7分方案三：每组的三个样本混合在一起化验，记检验次数为η，则852，，=η……8分tt t t t E t P t t P t P 68)1(8)1(102)()1()8(),1(2)5()2(2222-=-+-+=∴-==-====∴ηηηη，……10分63363311666768)()(22+<<-∴<+-∴-<-∴<t t t t t E E ξη ……12分∴t 的取值范围633633+<<-t 19（1）∵2D B ∠=∠，cos B =， ∴221cos cos22cos 1133D B B ==-=-=-， ……2分 ∵在ACD 中， 1AD =， 3CD =， 1cos 3D =-， ∴由余弦定理可得22212cos 1923123AC AD CD AD CD D ⎛⎫=+-⋅⋅=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴AC =……4分在ABC 中，BC =AC =cos B =， ∴由余弦定理可得222cos 2AB BC AC B AB BC +-=⋅，即23=……5分化简得260AB --=，解得AB =AB的长为 ……6分 （2）设四边形ABCD 面积为S ，则DAC BAC S S S ∆∆+=2cos 121sin 212=-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=∆D DC DA D DC DA S DAC ， ……7分 所以2662sin 212+⋅=+⋅=+=∆BC BA B BC BA S S BAC ， ……8分 在ABC 中，AC =cos B =，∴由余弦定理可得： B BC AB AC BC AB cos 2222⋅⋅=-+，……9分即1223321222-⋅≥⋅=-+BC AB BC AB BC AB ， ……10分 339332212+=-≤⋅∴BC AB , 当且仅当339+==∴BC AB 时，22363)339(66max +=+⨯=∆）（BAC S ，……11分 所以22563222363max +=++=S ，……12分 20（1）证明：ABCD MD ABCD PA 平面平面⊂⊥, ，PA MD ⊥∴……1分AD MC BM BC AD CD BC BC AD =====⊥2,1,3,2,,// ,∴四边形ADCM 为矩形……2分AN DM ANM DMC DMC MDA NAM AM MN AD AM ⊥∴=∠+∠∴∠=∠=∠∴==︒,90,,21……3分PAN MD PAN AN PA A AN PA 平面，平面⊥∴⊂=,,MD PN PAN PN ⊥∴⊂，平面 ……4分（第一问直接用向量法，也相应给分） （2）连接BD 交AM 于点E ，连接QE21,~==∴∆∆EA ME ED BE DAE BME QE PBD AQM PBD PD AQM PD =⊂平面平面平面平面 ,,//31,//==∴∴BN BM BP BQ PD QE ……6分 如图建立空间指角坐标系，则)0,2,0()32,32,32(),0,1,1(),0,21,1(),2,0,0(),0,0,1(),0,0,0(D Q B N P M A ，--……8分由（1）知PAN MD 平面⊥，则)0,2,1(-=MD 为平面PAN 的一个法向量……9分)32,32,32(),0,0,1(-==AQ AM设平面QAM 的一个法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0323232000z y x x AQ m AM m ，取)1,1,0(=m ……11分 设平面QAM 与平面PAN所成锐二面角为51052020cos =⨯+-==∴θθ，……12分 ∴平面QAM 与平面PAN 所成锐二面角的余弦值为510 21（1）根据题意抛物线C 的方程为22(0)y px p =>， 则42,22==+=pn pn MF ，……2分，解得1,2==n p ，……3分， 所以抛物线C 的标准方程为x y 42=．……4分（2）由题意知，)0,1(F ，直线m 的斜率不为0，可设直线m 的方程为1+=ty x ，……5分联立方程得⎩⎨⎧+==142ty x x y ，消去x 并化简得0442=--ty y ，……6分设),(),,(),,(002211y x P y x B y x A ，则4,42121-=⋅=+y y t y y ……7分因为P A ,两点在抛物线C 上，所以⎪⎩⎪⎨⎧==02012144x y x y ，所以10101014y y x x y y k +=--=，同理可得2024y y k +=，……8分，则1012212220022100100101000224(2)4(2)4(2)442()()(444)y y y y y y y y y y y y y y y y y y y t k y y y y k t ++++++===+++++==+-++++，……9分所以20004448y ty y t ++-=+，即04844020=---+t y t y ）（(*)……10分 因为0)2(16)48(4)44(22>+=++-=∆t t t ，所以方程(*)有两个不同的解，……11分故满足221=+k k 的点P 的个数为2……12分 22（1） )(x f 的定义域为),0(+∞，xa x x f 12)('+-=……1分 函数)(x f 是),0(+∞上的增函数，.102221221)('≤∴≥-=-⋅≥-+=∴a a a xx a x x x f ，……3分 ∴实数a 的取值范围是.1≤a（2）（i ）)0(022ln ,0)22(ln )(>=-+∴=-+=x ax x ax x x x g 的两个根为21,x x ……4分 不妨设012>>x x)(2ln ln .ln ln )(222ln 22ln 121212122211x x x x a x x x x a ax x ax x --=∴-=-∴⎩⎨⎧=+=+∴……5分要证：ax x 121>+， 只需证1)1(2ln )(2ln ln ln ln )(2121212211212121221+->⇔+->-⇔-->+x x x x x xx x x x x x x x x x x x ……6分令)1.(1)1(2ln )(,112>+--=>=t t t t x F x x t 0)1()1()(22'>+-=∴t t t t F 在),1(+∞∈t 恒成立，)(x F ∴在),1(+∞∈t 为增函数，0)1()(=>∴F x Fax x 121>+∴……8分 （ii ）3031212≥=∴≥-x x t x x ，， 121212212112121212122211ln 114)ln()(ln ln 4ln ln )(24ln ln 22ln 22ln x x x x xx x x x x x x x x x x x x a x x ax x ax x ++=+∴+--=++∴+=++∴⎩⎨⎧=+=+， ……9分 令)3.(ln 1)1()(≥-+=t t t t x G ，)3()1(ln 21)(2'≥---=∴t t tt t t G ……10分 令0)1()().3(ln 1)(22'≥-=∴≥--=tt t h t t t t t h )(x h ∴在),1(+∞∈t 为增函数，0)1()3()(=>≥∴h h x h ，0)1(ln 21)(2'>---=∴t t t t t G )(x G ∴在),3[+∞∈t 为增函数，.9ln 3ln 2)3()(==≥∴G x G ……11分421421129,9ln )ln(,9ln 4ln ln ex x e x x x x ≥⋅∴≥⋅∴≥++∴2421216922e e x x x x ==⋅>+∴2216ex x >+∴……12分。
广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学试题参考答案详解
则 g(x) ln(x x2) 2 .
易知
g(
x)
在
0，1 2
上单调递减.
因为
g
(
1 e2
)
ln(e2
1)
2
0，
g
(
1 2
)
2
ln
2
2
0
，所以存在
x0
1 e2
,
1 2
，使得
g(
x0
)
0
，且
x
0,
x0
时，g(x)
0
，g(x)
单调递增，x
x0，12
时，g(x)
0
，g(
x)
单调递减.
因为
19．（1）证明：连接 OB1 .
∵ PA1 PC1, O 为 A1C1 的中点, ∴ PO A1C1.
∵ A1C1 4, PA1 2 2 , ∴ PO PA12 OA12 2 .
………2 分
∵ A1B1 B1C1 , O 为 A1C1 的中点, ∴ OB1 A1C1.
∵ A1B1 2 3, A1O 2 , ∴ OB1 A1B12 OA12 2 2 . ………4 分 PB1 2 3, 故PB12 =OB12 OP2 , P O O1B.
令
f
(x)
log2
x log2 (1
x)=
ln
x ln(1 (ln 2)2
x)
,0
x
1，
因为
f
(x)
f
(1 x) ，故
f
(x) 关于 x
1 2
对称，故只需研究
x
0,
1 2
的情况即可.
f (x)