勾股定理的应用：最短路径和根号线段(第4课时)

练习 : 如图，在四边形 ABCD 中，∠ BAD
=900，∠DBC = 900 ， AD = 3，AB = 4，BC
= 12， 求CD；
D A C B
C
c
b
2、实数
数轴上的点
A
点A表示 点C表示
；点B表示 ；点D表示
； 。
你能在数轴上标出象
2 等的无理数吗？
在4×4的正方形网格中,求出图中三 条线段的长。
A
探究：数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，
你能在数轴上画出表示 13 的点吗？ 步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3;
2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2; 3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与 数轴交于C点，则点C即为表示 13的点。 l
三、长方体中的最值问题
左面和上面
前面和右面
前面和上面
四、圆柱(锥)中的最值问题
B
底面圆周长的 C 一半 B
h
A
结论：圆柱体中的最短路径为展 开图中一半矩形的对角线长
勾股定理 的应用（4）
利用直角三角形画长 为 n 的线段
知识回顾
1.请叙述勾股定理的内容. 勾股定理：直角三角形两直角边的平 B 方和等于斜边的平方． a
勾股定理的 应用
勾股定理 的应用（3）
求解几何体的最 短路线长
考考你的记性：
1、勾股定理的文字及符号语言 2、在平面上如何求点与点、点与线的最短路径， 依据什么？ （1）两点之间线段最短 （2）垂线段最短 3、那么如何求某些几何体中的最短路径呢？
例1 如图 在一个底面周长为 20cm,高AA′为4cm的圆柱石凳 ′ A 上，若小明在吃东西时留下了一 点食物在B处，恰好一只在A处 的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它 想从A 处爬向B处，你们想一想， 蚂蚁怎么走最近？
2
1
1
2 -1
0
1
2
2
3
5
3
4
6
7
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为
1,
2,
3,
4,
5L
的线段.
1
1
3
2
4
5
练习&
☞
1.如图为4×4的正方形网格,以格点与点A为 端点,你能画出几条边长为 10 的线段?
A
2.如图，等边△ABC，高AD=6，
（1）求等边三角形的边长；
（2）求△ABC的面积。
A
所以走的最短线段是
=
三种情况比较而言，第二种情况最短 答案：
台阶中的最值问题
例1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高 分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对 的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物， 则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
Ａ ２０
A
20
2 3
Ｃ 3 ２ 3
A
B
A’
d
B
A’
B
A
A
蚂蚁A→B的路线
O
B B
A
A
怎样计算AB？
A’ r O B
4
侧面展开图
A
AB AA A' B
2 2
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)
圆柱(锥)中的最值问题
有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只 老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？

答案：
5a
检测题二、如图是一个棱长为4cm的 正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点 M处，它到BB1的中点N的最短路线是 （ ）
2 10
检测题三、如图所示，一圆柱高8cm， 底面半径2cm，一只蚂蚁从点A沿表 面爬到点B处吃食，要爬行的最短路 程（π取3）是（ ）
10
检测题四
如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方 体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示）， 问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D
A 4 C1 1 B1 C 2 B
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股 定理可求得图1中AC1爬行的路线最 短.
D D1 C1
2
D1
C1
1
A1
B1
4
①
D
C
4
②
A B 2
C1
1
③
A
B
2
C
A 1 A1
4
B1
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ;
正方体中的最值问题
例2、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出 发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）. （A）3 （B） √5 （C）2 （D）1
B C
2
C
1
B
A
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
长方体中的最值问题
如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm 和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块 的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体 上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行 的最短路径的长是（ ）
B
A
∴点C即为表示 13 的点
0
1
2

3 C 4
你能在数轴上画出表示
17 的点和 15 的点吗？
你能在数轴上画出表示
17 的点和 15 的点吗？
15
?
17
? 16 4
15
? 14
15
11
3
?
6
1
√ lB
4
A
1
15
2 1?
B
17
4
√
15
4
1A
4
2 3C 4 15
0
1
2
3
17 4 C
0
1
你能在数轴上表示出 2 的点吗？ 2呢 ? 用相同的方法作 3, 4, 5, 6, 7,. . . . 呢?
第一种情况：把我们所看到的前面和 上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段 是
=
第二种情况：把我们看到的左面与上 面组成一个长方形，
；
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是 =
第三种情况：把我们所看到的前面和 右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
2
B
3
AB=25
2 Ｂ
长方体中的最值问题（续）
例 4 、如图，长方体的长 为15 cm，宽为 10 cm，高 为20 cm，点B离点C 5 cm, 一只蚂蚁如果要沿着长方 体的表面从点 A 爬到点 B ， 需要爬行的最短距离是多 少？ A
5
C
B
20
15
10
E
C5
B
20
E
20
5 C
B
A 10 20
AC1 =√52+22 =√29
.
小 结： 把几何体适当展开成平面图 形，再利用“两点之间线段最 短”，或点到直线“垂线段最短” 等性质来解决问题。
一、台阶中的最值问题
A
aБайду номын сангаас
c b
Ａ
B
a
Ｃ b c b
c
b
AB= （nb nc） a
2
2
c Ｂ
二、正方体中的最值问题
B
C
C a 2a B
A
A
结论：5a，即由两个正方形组成 的长方形的对角线长
5
B C
15
A
10 F
A 10 F
15 A 20 E 10
B 5 C
找方法、巧归纳
分别画出立体图形和对应的平面展开图 制作实体模型 归纳出所在直角三角形的两直角边的一般性 规律，并记录在平面图或模型上

检测题一：如图，一只蚂蚁沿边长为 a的正方体表面从顶点A爬到顶点B， 则它走过的路程最短为（ ）
B
C D
当堂达标 1．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底 边上的高为 ． 2 ．长为 26 的线段是直角边长为正整数 ， 的 直角三角形的斜边. 3 ．如图所示，在正方形网格中,每个小正方形的边长为1, 则在网格上的三角形ABC中,边长为无理数的边数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3
B
C A
B
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的 表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图)
解：AC = 6 – 1 = 5 ， BC = 24 × 1 2 = 12， 在Rt△ABC 由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .