2016-2017学年山西省忻州市原平市范亭中学高二下学期期末数学试题(理科)(解析版)

2016-2017学年山西省忻州市原平市范亭中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∪（∁R Q）=（）A．[2，3]B．（﹣2，3]C．[1，2） D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）2．（5分）已知复数z满足（z﹣i）i=2+3i，则|z|=（）A． B．3 C．10 D．183．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为（）A． B．y=﹣cos2x C．y=cos2x D．4．（5分）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（）A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x25．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），满足发f（x+4）=﹣f（x）且在区间[0，2]上是增函数，则（）A．f（﹣25）＜f（11）＜f（80）B．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）C．f （80）＜f（11）＜f（﹣25）D．f（11）＜f（80）＜f（﹣25）6．（5分）（2﹣）6的展开式中含x2项的系数是（）A．240 B．﹣240 C．192 D．﹣1927．（5分）“k＜9“是“方程+=1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）（正视图与侧视图的形状一样，都是边长为2的正方形，竖线为中线）A．π+4 B．2π+4 C．π+2 D．2π+29．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和且S n=2a n﹣2，则S5﹣S4的值为（）A．8 B．10 C．16 D．3210．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值是（）A．B．C．1 D．411．（5分）已知双曲线﹣=1的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交双曲线的右支于A、B两点，则|AF1|+BF1|的最小值为|（）A．14 B．16 C．18 D．2012．（5分）已知函数f（x）=m•9x﹣3x，若存在非零实数x0，使得f（﹣x0）=f （x0）成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥B．m≥2 C．0＜m＜2 D．0＜m＜二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设函数f（x）=，则f（f（4））=；若f（a）=﹣1，则a=．14．（5分）离心率的椭圆，它的焦点与双曲线的焦点重合，则此椭圆的方程是．15．（5分）已知向量在基底{，，}下的坐标为（4，3，﹣2），其中=+，=+，=+则向量在基底{，，}下的坐标是．16．（5分）某厂在生产甲产品的过程中，产量x（吨）与生产能耗y（吨）的对应数据如表：根据最小二乘法求得回归方程为=0.65x+a，当产量为80吨时，预计需要生成能耗为吨．三、解答题（本题共6道小题，最后一题10分，其余每道12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，A=，c=a．（1）求sinC的值．（2）若a=7，求△ABC的面积S．18．（12分）有甲、乙、丙、丁四名网球运动员，通过对过去战绩的统计，在一场比赛中，甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为0.6，0.8，0.9．（Ⅰ）若甲和乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率；（Ⅱ）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，求甲恰好胜两场的概率；（Ⅲ）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB ⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的平面角的余弦．20．（12分）已知抛物线x2=2py（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B 两点，抛物线在A，B两点处的切线相交于点Q．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求点Q的纵坐标；（Ⅲ）证明：．21．（12分）设f（x）=﹣x3+x2+2ax．（1）当a=1时，求f（x）在[1，4]上的最大值和最小值．（2）若f （x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（选修4-4）22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|ax+1|+|2x﹣1|（a∈R）．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年山西省忻州市原平市范亭中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∪（∁R Q）=（）A．[2，3]B．（﹣2，3]C．[1，2） D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）【分析】运用二次不等式的解法，求得集合Q，求得Q的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求．【解答】解：Q={x∈R|x2≥4}={x∈R|x≥2或x≤﹣2}，即有∁R Q={x∈R|﹣2＜x＜2}，则P∪（∁R Q）=（﹣2，3]．故选：B．【点评】本题考查集合的运算，主要是并集和补集的运算，考查不等式的解法，属于基础题．2．（5分）已知复数z满足（z﹣i）i=2+3i，则|z|=（）A． B．3 C．10 D．18【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：（z﹣i）i=2+3i，∴﹣i•（z﹣i）i=﹣i（2+3i），∴z﹣i=3﹣2i，∴z=3﹣i．则|z|==．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为（）A． B．y=﹣cos2x C．y=cos2x D．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为y=sin[2（x+）+]=sin（2x++）=sin（2x+）．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基础题．4．（5分）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（）A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2【分析】特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，依据规则写出结论即可【解答】解：“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2“故选：D．【点评】本题考查命题的否定，解本题的关键是掌握住特称命题的否定是全称命题，书写答案是注意量词的变化．5．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），满足发f（x+4）=﹣f（x）且在区间[0，2]上是增函数，则（）A．f（﹣25）＜f（11）＜f（80）B．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）C．f （80）＜f（11）＜f（﹣25）D．f（11）＜f（80）＜f（﹣25）【分析】由题意可得f（x+8）=f（x），可得函数的周期为8，分析可得f（﹣25）=f（﹣1），f（80）=f（0），f（11）=f（1），结合函数的奇偶性与单调性分析可得f（x）在区间[﹣2，2]上是增函数，由此分析可得f（﹣1）＜f（0）＜f（1），从而得出结论．【解答】解：根据题意，定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+4）=﹣f（x），则有f（x+8）=f（x），故函数的周期为8．f（﹣25）=f[（﹣1）+（﹣3）×8]=f（﹣1），f（80）=f（0+8×10）=f（0），f（11）=f（3）=f[（﹣1）+4]=﹣f（﹣1）=f（1），根据奇函数f（x）在区间[0，2]上是增函数，可得f（x）在[﹣2，0]上也是增函数，则函数f（x）在区间[﹣2，2]上为增函数，则有f（﹣1）＜f（0）＜f（1），即f（﹣25）＜f（80）＜f（11）；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性、周期性的综合应用，关键是分析得到函数f（x）的周期．6．（5分）（2﹣）6的展开式中含x2项的系数是（）A．240 B．﹣240 C．192 D．﹣192=•（﹣1）r•26﹣r【分析】利用（2﹣）6的展开式的通项公式T r+1即可求得其展开式中含x2项的系数．，【解答】解：设（2﹣）6的展开式的通项为T r+1=•（﹣1）r•26﹣r=•（﹣1）r•26﹣r x3﹣r，则T r+1令3﹣r=2得r=1，∴T2=﹣25x2=﹣192x2，∴其展开式中含x2项的系数为﹣192．故选D．【点评】本题考查二项式定理，着重考查（2﹣）6的展开式的通项公式的应用，考查转化与运算能力，属于中档题．7．（5分）“k＜9“是“方程+=1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的性质进行判断即可．【解答】解：若方程+=1表示双曲线，则（k﹣9）（25﹣k）＜0，（k﹣9）（k﹣25）＞0即解得k＞25或k＜9，则“k＜9“是“方程+=1表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线的定义是解决本题的关键．8．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）（正视图与侧视图的形状一样，都是边长为2的正方形，竖线为中线）A．π+4 B．2π+4 C．π+2 D．2π+2【分析】由三视图还原原几何体，可得该几何体为组合体，左边为直三棱柱，直三棱柱底面ABC为等腰三角形，其中BC=2，BC边上的高为1，右边为半圆柱，底面半径为1，组合体的高为2，再由柱体体积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，左边为直三棱柱，直三棱柱底面ABC为等腰三角形，其中BC=2，BC边上的高为1，右边为半圆柱，底面半径为1，组合体的高为2．∴该几何体的体积是V=．故选：C．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和且S n=2a n﹣2，则S5﹣S4的值为（）A．8 B．10 C．16 D．32【分析】运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，求得数列{a n}的通项公式，注意检验n=1的情况，再由S5﹣S4=a5，即可得到答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2，当n=2时，a1+a2=2a2﹣2，求得a2=4，当n≥2时，S n=2a n﹣2，=2a n﹣1﹣2，可得S n﹣1两式相减可得，a n=2a n﹣2a n﹣1，即为a n=2a n﹣1，则数列{a n}为首项为4，公比为2的等比数列，则a n=2n，对n=1也成立．则S5﹣S4=a5=25=32．故选：D．【点评】本题考查数列的通项求法，注意运用数列递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，考查等比数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于中档题．10．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值是（）A．B．C．1 D．4【分析】由约束条件作出可行域，由z=x2+y2的几何意义，即原点O（0，0）到直线3x+4y﹣5=0的距离求得答案．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，由图可知，z=x2+y2的最小值为原点O（0，0）到直线2x+y﹣2=0的距离的平方，等于=．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．（5分）已知双曲线﹣=1的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交双曲线的右支于A、B两点，则|AF1|+BF1|的最小值为|（）A．14 B．16 C．18 D．20【分析】根据双曲线的标准方程可得：a=3，再由双曲线的定义可得：|AF1|﹣|AF2|=2a=6，|BF1|﹣|BF2|=2a=6，所以得到|AF1|+|BF1|﹣（|AF2|+|BF2|）=12，再根据A、B两点的位置特征，结合通径最小，得到答案．【解答】解：根据双曲线﹣=1可得：a=3，b=，由双曲线的定义可得：|AF1|﹣|AF2|=2a=6…①，|BF1|﹣|BF2|=2a=6…②，所以①+②可得：|AF1|+|BF1|﹣（|AF2|+|BF2|）=12，因为过F2的直线l交双曲线的右支于A、B两点，所以|AF2|+|BF2|=|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小．所以[|AF1|+|BF1|﹣（|AF2|+|BF2|）]min=|AF1|+|BF1|﹣|AB|=12．|AF1|+|BF1|=|AB|+12≥+12=+12=16．故选：B．【点评】本题主要考查双曲线的定义与双曲线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=m•9x﹣3x，若存在非零实数x0，使得f（﹣x0）=f （x0）成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥B．m≥2 C．0＜m＜2 D．0＜m＜【分析】由题意可得m•9x﹣3x =m•9﹣x﹣3﹣x 有解，可得=3x+3﹣x ，利用基本不等式求得m的范围．【解答】解：由题意可得m•9x﹣3x =m•9﹣x﹣3﹣x 有解，即m（9x﹣9﹣x ）=（3x ﹣3﹣x ）有解．可得=3x+3﹣x ≥2 ①，求得0＜m≤．再由x0为非零实数，可得①中等号不成立，故0＜m＜，故选：D．【点评】本题主要考查指数函数的综合应用，基本不等式的应用，注意检验等号成立条件是否具备，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设函数f（x）=，则f（f（4））=5；若f（a）=﹣1，则a=1或．【分析】直接利用分段函数，由里及外求解函数值，通过方程求出方程的根即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（4）=﹣2×42+1=﹣31．f（f（4））=f（﹣31）=log2（1+31）=5．当a≥1时，f（a）=﹣1，可得﹣2a2+1=﹣1，解得a=1；当a＜1时，f（a）=﹣1，可得log2（1﹣a）=﹣1，解得a=；故答案为：5；1或．【点评】本题考查函数的值的求法，方程的根的求解，分段函数的应用，考查计算能力．14．（5分）离心率的椭圆，它的焦点与双曲线的焦点重合，则此椭圆的方程是．【分析】求出双曲线的焦点坐标，求解椭圆的半焦距，然后求解椭圆长半轴与短半轴的长，即可定点结果．【解答】解：双曲线的焦点为：（±2，0），可得椭圆c=2，椭圆的离心率，可得a=4，则b=2，则此椭圆的方程是：．故答案为：．【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能15．（5分）已知向量在基底{，，}下的坐标为（4，3，﹣2），其中=+，=+，=+则向量在基底{，，}下的坐标是（2，7，1）．【分析】通过代换将用，，表示即可．【解答】解：∵向量在基底{，，}下的坐标为（4，3，﹣2），∴=4+3﹣2，又∵=+，=+，=+，∴=4（+）+3（+）﹣2（+）=2+7+=（2，7，1），故答案为：（2，7，1）．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示的应用，属于基础题．16．（5分）某厂在生产甲产品的过程中，产量x（吨）与生产能耗y（吨）的对应数据如表：根据最小二乘法求得回归方程为=0.65x+a，当产量为80吨时，预计需要生成能耗为59吨．【分析】求出x，y的平均数，代入y关于x的线性回归方程，求出a，把x=80代入，能求出当产量为80吨时，预计需要生成的能耗．【解答】解：由题意，=45，=36.25，代入=0.65x+a，可得a=7，∴当产量为80吨时，预计需要生成能耗为0.65×80+7=59，故答案为：59．【点评】本题考查了最小二乘法，考查了线性回归方程，解答的关键是知道回归直线一定经过样本中心点，是基础题．三、解答题（本题共6道小题，最后一题10分，其余每道12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，A=，c=a．（1）求sinC的值．（2）若a=7，求△ABC的面积S．【分析】（1）由已知及正弦定理可得sinC的值．（2）由正弦定理可得c的值，由余弦定理可求b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵A=，c=a．∴由正弦定理可得：sinC=sinA==．（2）∵a=7，A=，sinC=．∴由正弦定理可得：c===3，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：49=b2+9﹣2×，可得：b2﹣3b﹣40=0，解得：b=8或﹣5（舍去），=bcsinA==6．∴S△ABC【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18．（12分）有甲、乙、丙、丁四名网球运动员，通过对过去战绩的统计，在一场比赛中，甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为0.6，0.8，0.9．（Ⅰ）若甲和乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率；（Ⅱ）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，求甲恰好胜两场的概率；（Ⅲ）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ．【分析】（Ⅰ）本题符合独立重复试验，试验发生3次，每一次试验甲对乙取胜的概率是0.6，根据独立重复试验的概率公式，得到甲和乙之间进行三场比赛，甲恰好胜两场的概率．（Ⅱ）甲与每一位进行一场比赛，甲进行三场比赛，甲恰好胜两场包括三种结果，这三种结果是互斥的，而在每一种情况中发生的事件是相互独立的，根据概率公式得到结果．（III）四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为ξ，由题意知随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3．根据变量对应的事件写出概率，写出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，本题符合独立重复试验，试验发生3次，每一次试验甲对乙取胜的概率是0.6，∴甲和乙之间进行三场比赛，甲恰好胜两场的概率为P1=C32×0.62×0.4=0.432．（Ⅱ）记“甲胜乙”，“甲胜丙”，“甲胜丁”三个事件分别为A，B，C，则P（A）=0.6，P（B）=0.8，P（C）=0.9．则四名运动员每两人之间进行一场比赛，甲恰好胜两场包括三种结果，这三种结果是互斥的，而在每一种情况中发生的事件是相互独立的，∴=P（A）⋅P（B）⋅[1﹣P（C）]+P（A）⋅[1﹣P（B）]⋅P（C）+[1﹣P（A）]⋅P（B）⋅P（C）=0.6×0.8×0.1+0.6×0.2×0.9+0.4×0.8×0.9=0.444（Ⅲ）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3．P（ξ=0）=0.4×0.2×0.1=0.008；P（ξ=1）=0.6×0.2×0.1+0.4×0.8×0.1+0.4×0.2×0.9=0.116；由（Ⅱ）得P（ξ=2）=0.444；P（ξ=3）=0.6×0.8×0.9=0.432．∴随机变量ξ的分布列为Eξ=0×0.008+1×0.116+2×0.444+3×0.432=2.3．【点评】求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB ⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的平面角的余弦．【分析】（Ⅰ）只需证明BC⊥PA，CD⊥PA，即可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）设M为AD中点，连结EM，过M作AC的垂线MN，垂足为N，连结EN．由三垂线定理有EN⊥AC，ENM为二面角E﹣AC﹣D的平面角在Rt中△EMN，可求得EM=1，MN=，cos∠EMN=，即可得二面角E﹣AC ﹣D的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为正方形，∴BC⊥AB，又BC⊥PB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA．…（2分）同理CD⊥PA，…（4分）BC∩CD=C∴PA⊥平面ABCD．…（6分）（Ⅱ）解：设M为AD中点，连结EM，又E为PD中点，可得EM∥PA，从而EM⊥底面ABCD．过M作AC的垂线MN，垂足为N，连结EN．由三垂线定理有EN⊥AC，∴∠ENM为二面角E﹣AC﹣D的平面角．…（8分）在Rt中△EMN，可求得EM=1，MN=，∴tan∠ENM==．cos∠EMN=…（10分）∴二面角E﹣AC﹣D的大小为．…（12分）【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，二面角的求解，属于中档题．20．（12分）已知抛物线x2=2py（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B 两点，抛物线在A，B两点处的切线相交于点Q．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求点Q的纵坐标；（Ⅲ）证明：．【分析】（I）设直线l的方程为．将它与抛物线的方程联立组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，再结合根与系数的关系即可求出的值；（II）利用导数几何意义求出切线的斜率，从而求得切线的方程，最后联立直线的方程组成方程组求出交点Q的坐标即可；（III）欲证明：．分别求出左式和右式，看它们是否相等即可．为了求得左右两式，须结合（1）中的方程中根与系数的关系，以及（2）求得和Q的坐标求解即可．【解答】（Ⅰ）解：∵，∴设直线l的方程为．由可得x2﹣2pkx﹣p2=0．（2分）设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=2pk，x1x2=﹣p2．（3分）=（4分）∴．（5分）（Ⅱ）解：由x2=2py，可得，∴．∴抛物线在A、B两点处的切线的斜率分别为．∴在点A处的切线方程为，即．（7分）同理在点处B的切线方程为．解方程组可得即点Q的纵坐标为．（9分）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，，∴，（11分）又，∴==（1+k2）p2．∴．（13分）【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质、直线与圆锥曲线的综合问题等知识．属于中档题．21．（12分）设f（x）=﹣x3+x2+2ax．（1）当a=1时，求f（x）在[1，4]上的最大值和最小值．（2）若f （x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．【分析】（1）当a=1时，求出导函数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求f（x）在[1，4]上的最大值和最小值．（2）利用导函数是二次函数，判断导函数的最值，讨论a的范围，利用f （x）在（，+∞）上存在单调递增区间，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=﹣x2+x+2 令f′（x）=0，x=2或x=﹣1f′（x）＞0解得﹣1＜x＜2 f′（x）＞0解得x＞2或x＜﹣1所以f（x）在（2，4），）上单调递减，在（1，2）上单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）﹣所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（2）=．．又f（4）﹣f（1）=﹣+6＜0，即f（4）＜f（1），所以f（x）在[1，4]上的最小值为f（4）=8﹣=﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）﹣（2）由f′（x）=﹣x2+x+2a=﹣（x﹣）2++2a，当x∈（，+∞）时，f′（x）的最大值为f′（）=+2a，令+2a＞0，得a＞﹣，所以，当a＞﹣时，f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）﹣【点评】本题考查函数与导函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．（选修4-4）22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．【分析】（I）由⊙C的方程可得：，利用极坐标化为直角坐标的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出．．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得到关于t的一元二次方程，即可得到根与系数的关系，根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|即可得出．【解答】解：（I）由⊙C的方程可得：，化为．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得=0，化为．∴．（t 1t2=4＞0）．根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的几何意义、直线与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|ax+1|+|2x﹣1|（a∈R）．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可；（2）得到当x∈[，1]时，不等式可化为|ax+1|≤1，解得﹣≤a≤0，根据x 的范围，求出a的范围即可．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）≥2可化为|x+1|+|2x﹣1|≥2①当x≥时，不等式为3x≥2，解得x≥，故x≥；②当﹣1≤x＜时，不等式为2﹣x≥2，解得x≤0，故﹣1≤x≤0；③当x＜﹣1时，不等式为﹣3x≥2，解得x≤﹣，故x＜﹣1；综上原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[，+∞）；（2）f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立时恒成立，当x∈[，1]时，不等式可化为|ax+1|≤1，解得﹣2≤ax≤0，所以﹣≤a≤0，因为x∈[，1]，所以﹣∈[﹣4，﹣2]，所以a的取值范围是[﹣2，0]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。