甘肃省会宁县第二中学高中数学选修2-2同步练习综合测试题2 (新人教A版选修2-2)]

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(完整版)最新【人教A版】高中数学选修2-2综合测试题【2】及答案

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题（每题小题5分）1.设y=2x －x ,则x ∈[0,1]上的最大值是（） A 0 B －41 C 21 D 41 2.若质点P 的运动方程为S(t)=2t 2+t （S 的单位为米，t 的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（）A 2米/秒B 3米/秒C 4米/秒D 5米/秒 3.曲线ｙ＝－313x －2在点（－1，35-）处切线的倾斜角为（）Ａ 30º Ｂ 45º Ｃ 135º Ｄ 150º 4.函数y=－2x + 3x 的单调递减区间是（）A (－∞,－36) B (－36,36) C(－∞,－36)∪(36,+∞) D (36,+∞) 5.过曲线ｙ＝3x ＋１上一点（-１，０），且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是（）Ａｙ＝３ｘ＋３Ｂｙ＝3x ＋３Ｃｙ＝-3x -31Ｄｙ＝-３ｘ-３ 6.曲线ｙ＝313x 在点（１，31）处的切线与直线ｘ＋ｙ-３＝０的夹角为Ａ 30º Ｂ 45º Ｃ 60º Ｄ 90º7.已知函数)(x f =3x +a 2x +b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x+y=0平行.则a 、b 的值分别为（）.A －3, 2B －3, 0C 3, 2D 3, －4 8.已知)(x f =a 3x +32x +2,若)1(/-f =4,则a 的值等于（） A319 B 310 C 316 D 313 9.函数y = 3x －12x +16在 [－3,3]上的最大值、最小值分别是（） A 6，0 B 32, 0 C 2 5, 6 D 32, 1610.已知a>0，函数ｙ＝3x -a ｘ在[1，+∞)上是单调增函数，则a 的最大值为（） A 0 B 1 C 2 D 311.已知)(x f =23x -62x +m （m 为常数），在[-2，2]上有最大值3，则此函数在[-2，2]上的最小值为（）A -37B -29C -5D -1112.已知)(x f =x +3x , 且x 1+x 2<0, x 2+x 3<0, x 3+x 1<0则（）A f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)>0B f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<0C f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)=0D f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)符号不能确定. 二、填空题（每小题4分）13.过抛物线y=)(x f 上一点A （1，0）的切线的倾斜角为45°则)1(/f =__________. 14.函数)(x f =3x －3x 的递减区间是__________15.过点P(－1,2)且与曲线ｙ＝32x －4x +2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是__________.16.函数)(x f =x (1－2x )在[0,1]上的最大值为__________. 三、解答题17.已知函数)(x f =a 4x +b 2x +c 的图像经过点(0,1)，且在x =1处的切线方程是y=x －2. 求)(x f 的解析式；12分18.证明：过抛物线y=a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0, x 1< x 2)上两点A(x 1,0),B(x 2,0)的切线与x 轴所成的锐角相等。

高中数学新人教A版选修2-2同步练习：综合测试题1

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1．在数学归纳法证明“1211(1)1n na a a a a n a+*-++++=≠∈-N ，”时，验证当1n =时，等式的左边为（）Ａ．1 Ｂ．1a - Ｃ．1a + Ｄ．21a -答案：Ｃ2．已知三次函数3221()(41)(1527)23f x x m x m m x =--+--+在()x ∈-+，∞∞上是增函数，则m 的取值范围为（）Ａ．2m <或4m > Ｂ．42m -<<- Ｃ．24m << Ｄ．以上皆不正确答案：Ｃ3．设()()sin ()cos f x ax b x cx d x =+++，若()cos f x x x '=，则a b c d ，，，的值分别为（）Ａ．1，1，0，0 Ｂ．1，0，1，0Ｃ．0，1，0，1Ｄ．1，0，0，1答案：Ｄ4．已知抛物线2y ax bx c =++通过点(11)P ，，且在点(21)Q -，处的切线平行于直线3y x =-，则抛物线方程为（）Ａ．23119y x x =-+ Ｂ．23119y x x =++ Ｃ．23119y x x =-+ Ｄ．23119y x x =--+答案：Ａ5．数列{}n a 满足1120212112n n n nn a a a a a +⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，，，，≤≤≤若167a =，则2004a 的值为（）Ａ．67Ｂ．57Ｃ．37Ｄ．17答案：Ｃ6．已知a b ，是不相等的正数，2a b x +=，y a b =+，则x ，y 的关系是（）Ａ．x y >Ｂ．y x >Ｃ．2x y >Ｄ．不确定答案：Ｂ7．复数2()12m iz m i-=∈-R 不可能在（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ａ（1），（2），8．定义A B B C C D D A ****，，，的运算分别对应下图中的（3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）可能是下列（）的运算的结果（）Ａ．B D *，A D * Ｂ．B D *，A C * Ｃ．B C *，A D * Ｄ．C D *，A D *答案：Ｂ9．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）Ａ．a ，b 都能被5整除Ｂ．a ，b 都不能被5整除Ｃ．a 不能被5整除Ｄ．a ，b 有1个不能被5整除答案：Ｂ10．下列说法正确的是（）Ａ．函数y x =有极大值，但无极小值Ｂ．函数y x =有极小值，但无极大值Ｃ．函数y x =既有极大值又有极小值Ｄ．函数y x =无极值答案：Ｂ11．对于两个复数1322i α=+，1322i β=--，有下列四个结论：①1αβ=；②1αβ=；③1αβ=；④331αβ+=．其中正确的个数为（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｂ12．设()f x 在[]a b ，上连续，则()f x 在[]a b ，上的平均值是（）Ａ．()()2f a f b + Ｂ．()baf x dx ⎰Ｃ．1()2baf x dx ⎰ Ｄ．1()baf x dx b a -⎰答案：Ｄ二、填空题13．若复数222log (33)log (3)z x x i x =--+-为实数，则x 的值为．答案：414．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆） ○●○○●○○○●○○○○●若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006年圆中有实心圆的个数为．答案：6115．函数32()6(0)f x ax ax b a =-+>在区间[12]-，上的最大值为3，最小值为29-，则a ，b 的值分别为．答案：2，316．由24y x =与直线24y x =-所围成图形的面积为．答案：9三、解答题17．设n *∈N 且sin cos 1x x +=-，求sin cos n nx x +的值．（先观察1234n =，，，时的值，归纳猜测sin cos n n x x +的值．）解：当1n =时，sin cos 1x x +=-；当2n =时，有22sin cos 1x x +=；当3n =时，有3322sin cos (sin cos )(sin cos sin cos )x x x x x x x x +=++-，而sin cos 1x x +=-，12sin cos 1x x +=∴，sin cos 0x x =． 33sin cos 1x x +=-∴．当4n =时，有4422222sin cos (sin cos )2sin cos 1x x x x x x +=+-=．由以上可以猜测，当n *∈N 时，可能有sin cos (1)n n n x x +=-成立．18．设关于x 的方程2(tan )(2)0x i x i θ-+-+=，（1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根；（2）证明：对任意ππ()2k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根．解：（1）设实数根为a ，则2(tan )(2)0a i a i θ-+-+=，即2(tan 2)(1)0a a a i θ---+=．由于a ，tan θ∈R ，那么21tan tan 20tan 111a a a a θθ=-⎧--=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，，．又π02θ<<，得1π4a θ=-⎧⎪⎨=⎪⎩，．（2）若有纯虚数根()i ββ∈R ，使2()(tan )()(2)0i i i i βθβ-+-+=，即2(2)(tan 1)0i βββθ-+--+=，由β，tan θ∈R ，那么220tan 10βββθ⎧-+-=⎨+=⎩，，由于220ββ-+-=无实数解．故对任意ππ()2k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根．19．设0t ≠，点(0)P t ，是函数3()f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．（1）用t 表示a b c ，，；（2）若函数()()y f x g x =-在(13)-，上单调递减，求t 的取值范围．解：（1）因为函数()f x ，()g x 的图象都过点(0)t ，，所以()0f t =，即30t at +=．因为0t ≠，所以2a t =-．()0g t =，即20bt c +=，所以c ab =．又因为()()f x g x ，在点(0)t ，处有相同的切线，所以()()f t g t ''=，而2()3f x x a '=+，()2g x bx '=，所以232t a bt +=．将2a t =-代入上式得b t =．因此3c ab t ==-．故2a t =-，b t =，3c t =-．（2）3223()()y f x g x x t x tx t =-=--+，2232(3)()y x tx t x t x t '=--=+-．当(3)()0y x t x t '=+-<时，函数()()y f x g x =-单调递减．由0y '<，若0t >，则3tx t -<<；若0t <，则3tt x <<-．由题意，函数()()y f x g x =-在(13)-，上单调递减，则(13)3t t ⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭，，或(13)3t t ⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭，，．所以9t -≤或3t ≥．又当93t -<<时，函数()()y f x g x =-在(13)-，上不是单调递减的．所以t 的取值范围为(][)93--+ ，，∞∞．20．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若a b c >>，且0a b c ++=，则23b aca-<．解：此命题是真命题．0a b c ++=∵，a b c >>，0a >∴，0c <．要证23b aca-<成立，只需证23b ac a -<，即证223b ac a -<，也就是证22()3a c ac a +-<，即证()(2)0a c a c -+>．0a c ->∵，2()0a c a c a b a +=++=-+>，()(2)0a c a c -+>∴成立，故原不等式成立．21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为(0)k k >，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x ，(00.048)x ∈，，则当x 为多少时，银行可获得最大收益？解：由题意，存款量2()f x kx =，又当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即0.012x =时， 1.44y =；由21.44(0.012)k =·，得10000k =，那么2()10000f x x =，银行应支付的利息3()()10000g x x f x x ==·，设银行可获收益为y ，则2348010000y x x =-，由于，296030000y x x '=-，则0y '=，即2960300000x x -=，得0x =或0.032x =．因为，(00.032)x ∈，时，0y '>，此时，函数2348010000y x x =-递增； (0.0320.048)x ∈，时，0y '<，此时，函数2348010000y x x =-递减；故当0.032x =时，y 有最大值，其值约为0.164亿．22．已知函数2()(0)1x f x x x=>+，数列{}n a 满足1()a f x =，1()n n a f a +=．（1）求234a a a ，，；（2）猜想数列{}n a 的通项，并予以证明．解：（1）由1()a f x =，得2121222121()11211xa x x a f a axx x +====++⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，22322222212()113112xa x x a f a axx x +====++⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，23432223213()114113xa x x a f a a x x x +====++⎛⎫+ ⎪+⎝⎭．（2）猜想：2()1n x a n nx *=∈+N ，证明：（1）当1n =时，结论显然成立；（2）假设当n k =时，结论成立，即21k x a kx=+；那么，当1n k =+时，由212221()1(1)11k k xx kx a f a k xxkx ++===++⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，这就是说，当1n k =+时，结论成立；由（1），（2）可知，21n xa nx=+对于一切自然数()n n *∈N 都成立．高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1．函数2()sin f x x =的导数是（）Ａ．2sin x Ｂ．22sin xＣ．2cos xＤ．sin 2x答案：Ｄ2．设复数1322z i =-+，则满足n z z =的大于1的正整数n 中，最小的是（）Ａ．7 Ｂ．4 Ｃ．3 Ｄ．2答案：Ｂ3．下列函数在点0x =处没有切线的是（）Ａ．23cos y x x =+ Ｂ．sin y xx =· Ｃ．12y x x=+Ｄ．1cos y x=答案：Ｃ4．2231111dx x xx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎰（）Ａ．7ln 28+ Ｂ．7ln 22- Ｃ．5ln 28- Ｄ．17ln 28-答案：Ａ5．编辑一个运算程序：112(1)2m n k m n k *=*=*+=+，，，则12005*的输出结果为（）Ａ．4008 Ｂ．4006 Ｃ．4012 Ｄ．4010答案：Ｄ6．如下图为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A 到H 有几条不同的旅游路线可走（）Ａ．15 Ｂ．16 Ｃ．17 Ｄ．18 答案：Ｃ7．在复平面内，复数2(13)1iz i i=+++对应的点在（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．在ABC △中，A B C ∠∠∠，，分别为a b c ，，边所对的角，若a b c ，，成等差数列，则B ∠的范围是（）Ａ．π04⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．π03⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｃ．π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｄ．ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，答案：Ｂ9．设211111()123S n n n n n n=++++++++ ，则（）Ａ．()S n 共有n 项，当2n =时，11(2)23S =+ Ｂ．()S n 共有1n +项，当2n =时，111(2)234S =++ Ｃ．()S n 共有2n n -项，当2n =时，111(2)234S =++Ｄ．()S n 共有21n n -+项，当2n =时，111(2)234S =++答案：Ｄ10．若函数2()ln (0)f x x x x =>的极值点是α，函数2()ln (0)g x x x x =>的极值点是β，则有（）Ａ．αβ> Ｂ．αβ<Ｃ．αβ=Ｄ．α与β的大小不确定答案：Ａ11．已知函数431()232f x x x m =-+，x ∈R ，若()90f x +≥恒成立，则实数m 的取值范围是（）Ａ．32m ≥ Ｂ．32m > Ｃ．32m ≤Ｄ．32m <答案：Ａ12．如图，阴影部分的面积是（）Ａ．23Ｂ．23-Ｃ．323Ｄ．353答案：Ｃ二、填空题13．若复数22(2)(2)z a a a a i =-+--为纯虚数，则实数a 的值等于．答案：014．若函数24()1xf x x =+在区中(21)m m +，上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是．答案：10m -<≤－15．类比等比数列的定义，我们可以给出“等积数列”的定义：．答案：对n *∈N ，若1n n a a k +=·（k 是常数），则称数列{}n a 为等积数列；2()3()n n a n =⎧⎨⎩，为奇数，为偶数51()225()2n n n S n n -=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，为奇数．为偶数16．已知函数32()39f x x x x m =-+++在区间[22]-，上的最大值是20，则实数m 的值等于．答案：2-三、解答题17．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值．解：由于2y x bx c =++，所以2y x b '=+，所以抛物线在点(12)，）处的切线的斜率为2k b =+，因为切线与直线20x y ++=垂直，所以21b +=，即1b =-，又因为点(12)，在抛物线上，所以12b c ++=，得2c =．因为22y x x =-+，于是函数没有最值，当12x =时，有最小值74．18．已知数列{}n a 满足条件1(1)(1)(1)n n n a n a +-=+-，26n a =，令()n n b a n n *=+∈N ，求数列{}n b 的通项公式．解：在1(1)(1)(1)n n n a n a +-=+-中，令1n =，得11a =；令2n =，得323(1)15a a =-=；令3n =，得4324(1)a a =-２，所以428a =．将1234a a a a ，，，代入n n b a n =+中，得12b =，23481832b b b ===，，．由此猜想：22n b n =．以下用数学归纳法证明猜想正确．（1）当1n =和2n =时，结论成立；（2）假设当(2)n k k =≥时，结论成立，即22k b k =，所以22k k a b k k k =-=-，由已知有21(1)(1)(1)(1)(21)(1)(1)(21)k k k a k a k k k k k k +-=+-=+--=+-+，因为2k ≥，所以21(1)(21)231k a k k k k +=++=++，于是221(231)(1)2(1)k b k k k k +=++++=+，所以当1n k =+时，结论也成立，根据(1)和(2)，对任意n *∈N ，均有22n b n =．19．已知数列1，11，111，1111，，1111n 个，，写出该数列的一个通项公式，并用反证法证明该数列中每一项都不是完全平方数．解：由于 1911111999(101)99n n n ==-个个·，所以该数列的一个通项公式是1(101)9n n a =-；证明：假设 1111n 个是一个完全平方数，由于 1111n 个是一个奇数，所以它必须是一个奇数的平方，不妨设 21111(21)n m =+ 个（m 为整数），于是1111104(1)n m m -=+ 个．故15552(1)n m m -=+ 个5此式中左边是奇数，右边是偶数，自相矛盾，所以 1111n 个不是一个完全平方数．20．已知1a i z i -=-，0a >，复数()z z i ω=+的虚部减去它的实部所得的差为32，求实数a ．解：()(1)1(1)1112222a i a i i a a i a a z i i --+++-+-====+-． 211111()222222a a a a a a a z z i i i i ω+-++++⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∵； 213222a a a ++-=∴，解得2a =±．又因为0a >，故2a =．21．已知函数()sin cos (sin cos )f x x x m x x =-+．（1）若1m =，求函数()f x 在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上的单调增区间；（2）若函数()f x 在区间ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是单调递减函数，求实数m 的取值范围．解：（1）当1m =时，()sin cos sin cos f x x x x x =--，()sin cos sin cos f x x x x x =--，则22()cos sin cos sin (cos sin )(cos sin 0)f x x x x x x x x x '=--+=-+-，由于πcos sin 12sin 14x x x ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，而π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以cos sin 10x x +->，因此由()0f x '>，可得cos sin 0x x ->，即sin cos x x <，于是π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故函数()f x 的单调增区间为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（2）22()cos sin (cos sin )(cos sin )(cos sin )f x x x m x x x x x x m '=---=-+-．因为函数()f x 在区是ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是单调减函数，所以()0f x '<在ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立，而由于x ∈ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以cos sin 0x x -<，因此只要cos sin 0x x m +->在ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立，即sin cos m x x <+恒成立．又πcos sin 2sin (11)4x x x ⎛⎫+=+∈- ⎪⎝⎭，，所以应有1m -≤．22．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长为a 米，高为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A ，B 孔的面积忽略不计）．解：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则k y ab=，根据题设，有其中(0)k k >为比例系数，依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小，42260(00)b ab a a b ++=>>，得30(030)2a b a a-=<<+．于是22(2)30302k k k a y a a ab a a a+===--+．当0y '=时，6a =或10a =-（舍去）． ∵本题只有一个极值点，当6a =时，3b =，即当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．。

人教版高中数学选修2-2综合测试卷2

人教版高中数学选修2-2综合测试卷2一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下面几种推理是合情推理的是（）①由圆的性质类比得出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180o； ③四边形内角和是360o ，五边形内角和是540o ，由此得出凸多边形内角和是(2)180n -og．Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ．①②③ 2．曲线y x 1=-在点122⎛⎫- ⎪⎝⎭，处的切线方程为（）Ａ．44y x =-Ｂ．4y x = Ｃ．4(1)y x =+Ｄ．24y x =- 3．定义运算a b ad bc c d =- ，则符合条件1142i i z z -=+ 的复数z 为（）Ａ．3i - Ｂ．13i +Ｃ．3i + Ｄ．13i - 4．在复数集C 内分解因式2245x x -+，则分解为（）Ａ．(11x x -+-Ｂ．Ｃ．2(1i)(1i)x x -+--Ｄ．2(1i)(1i)x x +++- 5．设函数313y x ax c =-+在()-∞+∞，上单调递增，则（）Ａ．0a <且0c = Ｂ．0a >且c 是任意实数Ｃ．0a <且c 是任意实数Ｄ．0a <且0c ≠6．观察按下列顺序排列的等式：9011⨯+=，91211⨯+=，92321⨯+=，93431⨯+=，…，猜想第*()n n ∈N 个等式应为（）Ａ．9(1)109n n n ++=+Ｂ．9(1)109n n n -+=- Ｃ．9(1)101n n n +-=- Ｄ．9(1)(1)1010n n n -+-=- 7．曲线3πcos 02y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤与x 轴以及直线3π2x =所围图形的面积为（）Ａ．4Ｂ．2 Ｃ．52 Ｄ．38．平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值2a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）9．复平面内点A B C ，，对应的复数分别为i 142i +，，，由A B C D →→→按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则BD 等于（）Ａ．510．已知函数()()()()f x x a x b x c =---，且()()1f a f b ''==，则()f c '等于（）Ａ．12- Ｂ．12 Ｃ．1- Ｄ．111．已知复数226(310)i()3a a z a a a a +-=+--∈+R 满足i 0z >或i 0z <，则a 等于（）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．2或3- Ｄ．212．一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）．令()P n 表示第n 秒时机器人所在位置的坐标，且记(0)0P =，则下列结论中错误的是（）Ａ．(3)3P =Ｂ．(5)1P = Ｃ．(2007)(2006)P P >Ｄ．(2003)(2006)P P < 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．*111()1()23f n n n =++++∈N L ，计算得3(2)2f =，(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >．由此推测，当2n >时，有． 14．变速运动的物体的速度为2()1m/s v t t =-（其中t 为时间，单位：s ），则它在前2s 内所走过的路程为m ．15．已知i 1i a z -=-，其中0a >，i 为虚数单位．复数(i)z z ω=+的虚部减去它的实部所得的差为32，则a = ．16．已知32()3f x x x a =++（a 为常数），在[33]-，上有最小值3，那么在[33]-，上()f x 的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题13分）已知复数2(1i)3(1i)2iz ++-=+，若21i()z az b a b ++=+∈R ，，求a b +的值．18．（本小题13分）在圆222(0)x y r r +=>中，AB 为直径，C 为圆上异于A B ，的任意一点，则有1AC BCk k =-g ．你能用类比的方法得出椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中有什么样的结论？19．（本小题15分）如图，抛物线2y x =上有一点2()A a a ，，(01)a ∈，，过点A 引抛物线的切线l 分别交x 轴与直线1x =于B C ，两点，直线1x =交x 轴于点D ．（1）求切线l 的方程；（2）求图中阴影部分的面积()S a ，并求a 为何值时，()S a 有最小值？20．（本小题14分）已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ．（1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．21．（本小题15分）某地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格下跌．现有三种价格模拟函数：①()x f x p q =g ；②2()1f x px qx =++；③2()()f x x x q p =-+．（以上三式中p q ，均为常数，且1q >）（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？（2）若(0)4f =，(2)6f =，求出所选函数()f x 的解析式（注：函数的定义域是[05]，）．其中0x =表示4月1日，1x =表示5月1日，…，依此类推；（3）为保护果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该果品在哪几个月内价格下跌．。

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综合检测(二)一、选择题1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是() A．完全归纳推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理2．复数21－i等于() A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i3．设f(x)＝10x＋lg x，则f′(1)等于()A．10 B．10ln 10＋lg eC.10ln 10＋ln 10 D．11ln 104．若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a∈R，结论：a2>0，那么这个演绎推理出错在() A．大前提B．小前提C．推理形式D．没有出错5．观察下列数表规律2→36→710→11↑↓↑↓↑↓0→1 4→58→912→…则数2 007的箭头方向是() A．2 007→B．↓↑ 2 007→C ．↑D ．→2 007→2 007 ↓6．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ，b 的值为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11 B.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11 C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝5D ．以上都不对7．给出下列命题：①ʃa b d x ＝ʃba d t ＝b －a (a ，b 为常数且a <b )； ②ʃ0－1x 2d x ＝ʃ10x 2d x ；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域面积之和为2，其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．38．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >12(n >1，n ∈N *)的过程中，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增加的代数式是( )A.12k ＋2B.12k ＋1－12k ＋2C.12k ＋1＋12k ＋2D.12k ＋19．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG GD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A —BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO OM 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．410．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2D ．e 211．设x ，y ，z 都是正数，则三个数x ＋1y ，y ＋1z ，z ＋1x的值( )A ．都小于2B ．至少有一个不大于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2二、填空题12．若复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，则其共轭复数z ＝________.13．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l 216”，可猜想关于长方体的相应命题为______________________________________ ________________________________________________________________________. 14．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为________．15．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．1 12 12 13 14 13 14 17 17 14 15 111 111 111 15三、解答题16．已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i(2＋i )2. 求：(1)z 1＋z 2；(2)z 1·z 2；(3)z 1z 2.17．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，试求ʃπ2－1f (x )d x .18．已知a ，b ，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.19．如图，已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a .求证：b 与c 是异面直线．20．已知函数f (x )＝4ln(x －1)＋12x 2－(m ＋2)x ＋32－m (m 为常数)，(1)当m ＝4时，求函数的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )有两个极值点，求实数m 的取值范围．21．是否存在常数a ，b ，使等式121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝an 2＋n bn ＋2对一切n ∈N ＋都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明．答案1．B 2．A 3．B 4．A 5．D 6．B 7．B 8．B 9．C 10．D 11．C 12．i13．表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为(S 6)3214.12516米/秒 15.119116．解 z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝5(3－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝5－15i5＝1－3i.(1)z 1＋z 2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3.(2)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i ＝－7－9i. (3)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝2＋9＋3i 10＝1110＋310i. 17．解 ʃπ2－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃπ20f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃπ20(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|π20 ＝13＋1－π2＝43－π2. 18．证明 (1)∵a 2＋19≥23a ，b 2＋19≥23b ，c 2＋19≥23c ，∴(a 2＋19)＋(b 2＋19)＋(c 2＋19)≥23a ＋23b ＋23c ＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.(2)∵a ·13≤a ＋132， b ·13≤b ＋132，c ·13≤c ＋132，三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c )＋12＝1，∴a ＋b ＋c ≤ 3.19．证明假设b ，c 不是异面直线，即b 与c 共面，设b 与c 确定的平面为γ，则γ∩α＝b ，γ∩β＝c . ∵a ∥c ，∴a ∥γ.又∵a ⊂α，且α∩γ＝b ，∴a ∥b ，这与a ∩b ＝A 矛盾．因此b 与c 不可能共面，故b 与c 是异面直线． 20．解依题意得，函数的定义域为(1，＋∞)．(1)当m ＝4时，f (x )＝4ln(x －1)＋12x 2－6x －52.f ′(x )＝4x －1＋x －6＝x 2－7x ＋10x －1＝(x －2)(x －5)x －1.令f ′(x )>0，解得x >5，或1<x <2. 令f ′(x )<0，解得2<x <5.可知函数f (x )的单调递增区间为(1,2)和(5，＋∞)，单调递减区间为(2,5)． (2)f ′(x )＝4x －1＋x －(m ＋2)＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6x －1若函数y ＝f (x )有两个极值点，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－(m ＋3)]2－4(m ＋6)>0，1－(m ＋3)＋m ＋6>0，m ＋32>1.解得m >3.21．解若存在常数a ，b 使等式成立，则将n ＝1，n ＝2代入上式，有⎩⎪⎨⎪⎧13＝a ＋1b ＋2，13＋415＝4a ＋22b ＋2.得a ＝1，b ＝4，即有121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n 2＋n 4n ＋2对于一切n ∈N ＋都成立．证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1＋14×1＋2＝13，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N ＋)时等式成立，即 121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1) ＝k 2＋k 4k ＋2，当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k 2＋k 4k ＋2＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k ＋12k ＋1·(k 2＋k ＋12k ＋3) ＝k ＋12k ＋1·2k 2＋5k ＋22(2k ＋3) ＝k ＋12k ＋1·(2k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3) ＝(k ＋1)(k ＋2)4k ＋6＝(k ＋1)2＋(k ＋1)4(k ＋1)＋2，也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立，综上所述，等式对任何n ∈N ＋都成立．。

(完整版)高中数学选修2-2综合测试题(附答案).docx

高二数学选修2-2 综合测试题f xg ′ x)>0 ，且 g ( 3) 0 ，不等式 f x g x)<0的解集是（）( ) ( ( ) (一、：A. ( －3，0) ∪(3 ，+∞)B. ( －3，0) ∪(0 ， 3)1、 i 是虚数位。

已知复数 Z1 3i (1i )4 ，复数 Z 点落在（）C.( －∞，－ 3) ∪(3 ，+∞)D. (－∞，－ 3) ∪(0 ， 3)3 iA ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限12、在古希腊，达哥拉斯学派把 1， 3， 6， 10，15，21，28，⋯ 些数叫做三角形数， 8、已知函数 f ( x) x 2bx 的象在点 A(1, f (1)) 的切的斜率 3，数列因些数的点可以排成一个正三角形f (n)的前 n 和 S n ,S 2011 的（）200820092010 2011A.B.C .D .200920102011201213610159、函数 f(x) ＝kx 3 ＋3(k －1)x 2 k 2 ＋ 1在区（，）上是减函数， k 的取范是第 n 个三角形数（( )0 4）A ． nB ．n(n 1)C ． n21D ．n( n 1)1B. 0 k1C. 0 k1122A. k3 3D. k333、求由曲 yx ，直 yx 2 及 y 所成的形的面的（）10、函数 yf ( x) 在定域 ( 3内可，其象如所示， yf ( x) 的函数,3)．．24x ) dx B.4xdx C.20 2)dyyf ( x) ，不等式 f ( x)0 的解集（）A.(2 x0 (2 y y 2 )dy D.(4 y 0224、复数 z 的共复数是 z , 且 z1, 又 A( 1,0) 与 B(0,1) 定点 , 函数f ( z)( z1)A ．1 U 2,3,13( z i ) ︱取最大在复平面上以 z ,A,B 三点点的形是C ．3 , 1 U 1,2 A,等三角形B,直角三角形C,等腰直角三角形D,等腰三2 2角形11、已知函数 f (x)5、函数 f(x) 的定义域为 R ，f(-1)=2,对任意 xR ， f ' ( x) 2 , 则 f ( x)2x4 的解集为小是(A)(-1 ， 1)(B)(-1，+∞ )(c)(-∞， -l)(D)(-∞,+ ∞ )A.24n 12 n 14( k1) 12( k 1) 13用数学归纳法证明整除时，当 nk1时，对于 335(n N) 能被 85可变形为6、Ａ． 56·3 4k 14k 152k 1) Ｂ．4 4 k 12 2k4k 12 k 14 k 15 2k 1)12、函数 f ( x)x325(3 3 ·35 ·5 Ｃ． 35Ｄ． 25(3、 f x g x 分是定在 R 上的奇函数和偶函数, 当 x <0， f ′ x g x ＋的取范（7( ) ，( )( ) ( )A ．（-24,8）B ．1,2 U 4 , 83 3D ．3, 1 U 1 , 4U 8,322 331 x 3 ax2 bx 1( a 、 bR) 在区 [-1,3] 上是减函数， ab 的最3B. 3C.2D. 323x 29x 3, 若函数 g( x) f ( x) m 在 x [ 2,5] 上有 3 个零点， m）B ．（ -24,1]C ．[1,8]D ．[1,8）高二数学选修2-2 综合测试题（答题卡）三、解答题：（70 分）一、选择题（ 60分）。

高中数学人教A版选修2-2习题综合检测2(基础卷) Word版含答案

第二章综合检测(基础卷)时间分钟，满分分．一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．．②③④．①②③．①③⑤．②④⑤[答案][解析]由推理的特征知，归纳推理是由特殊到一般的推理，所以②不正确．类比推理是由特殊到特殊的推理．．设<<，则在①>；②＋>；③<；④＋>＋.这个不等式中恒成立的有( )．个．个．个．个[答案][解析]∵<<，∴>>，∴<，<，②④显然不正确．．欲证－<－成立，只需证( )．(－)<(－)．(－)<(－)．(＋)<(＋)．(－－)<(－)[答案][解析]∵－<，－<，∴原不等式只需证＋<＋，∴只需证(＋)<(＋)，故选.．有下列叙述：①“>”的反面是“<”；②“＝”的反面是“>或<”；③“三角形外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有( )．个．个．个．个[答案][解析]只有②正确，故选.．(≥，∈＋)棱柱有()个对角面，则(＋)棱柱的对角面个数(＋)为( )．()＋＋．()＋－．()＋－．()＋[答案][解析]三棱柱有个对角面；四棱柱有个对角面(＋＝＋(－))；五棱柱有个对角面(＋＝＋(－))；六棱柱有个对角面(＋＝＋(－))．猜想：若棱柱有()个对角面，则(＋)棱柱有()＋－个对角面．故选.．观察下列式子：＋<，＋＋<，＋＋＋<，…，则可归纳出＋＋＋…＋小于( )．[答案] [解析]所猜测的分式的分母为＋，而分子…恰好是第＋个正奇数，即＋.故选.．(·北京文，)某学校运动会的立定跳远和秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.，则( )．号学生进入秒跳绳决赛．号学生进入秒跳绳决赛．号学生进入秒跳绳决赛．号学生进入秒跳绳决赛[答案][解析]由数据可知，进入立定跳远决赛的人为～号，所以进入秒跳绳决赛的人从～号里产生．数据排序后可知号，号，号必定进入秒跳绳决赛，则得分为，，－的人中有人进入秒跳绳决赛．若号，号学生未进入秒跳绳决赛，则号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以号，号学生必进入秒跳绳决赛．故选.．已知，，，∈，则＝＋，＝的大小关系为( )．≥．>．> ．≥[答案][解析]＝(＋)(＋)＝＋＋＋＝(＋)＋(－)≥(＋)＝，。

高中数学综合测试题3新人教A版选修2-2

3 时， f (x )
3 x3 3x 2 x 1
3
1 3x
8，
39
由函数 y x3 在 R 上的单调性，可知当 a 3 时， f ( x)( x R ) 是减函数；（3）当 a 3 时，在 R 上存在使 f ( x) 0 的区间，
4
所以，当 a 3 时，函数 f ( x)( x R ) 不是减函数．综上，所求 a 的取值范围是 ( ∞ ， 3) ．
x (1，1.6) 时， V (x) 0 ，函数 V ( x) 递减；
0 ，函数 V (x) 递增；
所以，当 x 1时，函数 V (x) 有最大值 V (1) 1 (1 0.5) (3.2 2 1) 1.8m3 ，
即当高为 1.2m 时，长方体容器的空积最大，最大容积为
1.8m3 ．
19．如图所示，已知直线 a 与 b 不共面，直线 c a M ，直线 b c N ，又 a 平面 A ， b 平面 B ， c 平面 C ，求证： A，B，C 三点不共线．
Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限
）Ｄ．第四象限
答案：Ｄ
9．一圆的面积以 10πcm2 / s 速度增加，那么当圆半径（）
Ａ． 1 cm/s 2
Ｂ． 1 cm/s 3
Ｃ． 1 cm/s 4
r 20cm 时，其半径 r 的增加速率 u 为
Ｄ． 1 cm/s 5
答案：Ｃ
10．用数学归纳法证明不等式“
2005 个点连线形成不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（
）
Ａ． 4005
Ｂ． 4002
Ｃ． 4007
Ｄ． 4000
答案：Ａ
6．数列 1， 2， 2， 3， 3， 3，4， 4， 4，4，的第 50 项（）

高中数学人教A版选修2-2习题综合检测2(能力卷) Word版含答案

第二章综合检测(能力卷)时间分钟，满分分．一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)．观察数列，…的特点，按此规律，则第项为( )．．．．[答案][解析]设∈*，则数字共有个，所以≤即(＋)≤，又因为∈*，所以＝，到第个时共有＝项，从第项开始为，故第项为.．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是( )．甲．乙．丙．丁[答案][解析]若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．．有以下结论：①已知＋＝，求证＋≤.用反证法证明时，可假设＋≥.②已知，∈，＋<，求证方程＋＋＝的两根的绝对值都小于.用反证法证明时，可假设方程有一根的绝对值大于或等于，即假设≥.下列说法中正确的是( )．①与②的假设都错误．①与②的假设都正确．①的假设正确，②的假设错误．①的假设错误，②的假设正确[答案][解析]用反证法证题时一定要将结论的对立面找全．在①中应假设＋>，故①的假设是错误的，而②的假设是正确．．下列说法正确的是( )．“<”是“<”的充要条件．命题“∀∈，－－≤”的否定是“∃∈，－－≤”．“若、都是奇数，则＋是偶数”的逆否命题是“若＋不是偶数，则、不都是奇数”．若∧为假命题，则、均为假命题[答案][解析]中“<”是“<”的必要不充分条件，故错；中“∀∈，－－≤”的否定是“∃∈，－－>”，故错；正确；中∧为假命题，则、中至少有一个为假命题，故错．．下列代数式(其中∈*)能被整除的是( )．＋·．＋－．(＋＋) ．(＋)[答案][解析]特值法：当＝时，显然只有(＋)能被整除，故选.证明如下：当＝时，已验证结论成立，假设当＝(∈*)时，命题成立，即(＋)能被整除，那么(＋＋)＝(＋)－.∵(＋)能被整除，能被整除，∴(＋)－能被整除，这就是说，＝＋时命题也成立．故命题对任何∈*都成立．．(·枣庄一模)用数学归纳法证明“＋＋＋…＋<(∈*，>)”时，由＝(>)不等式成立，推证＝＋时，左边应增加的项数是( ) ．－．－．．＋[答案][解析]左边的特点是分母逐渐增加，末项为；由＝时，末项为到＝＋时末项为＝，∴应增加的项数为.故选.．已知()＝＋＋＋…＋，则( )．()中共有项，当＝时，()＝＋．()中共有＋项，当＝时，()＝＋＋．()中共有－项，当＝时，()＝＋．()中共有－＋项，当＝时，()＝＋＋[答案][解析]项数为－(－)＝－＋，故应选.．已知＋＋＝，则＋＋的值( )．大于．小于．不小于．不大于。

人教A版高中数学选修2-2全册同步练习及单元检测含答案

人教版高中数学选修2～2 全册章节同步检测试题选修2-2 1.1 第1课时变化率问题一、选择题1．在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( ) A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不等于零[答案] D[解析] Δx 可正，可负，但不为0，故应选D.2．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)[答案] D[解析] 由定义，函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，故应选D. 3．已知函数f (x )＝－x 2＋x ，则f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( ) A ．3B ．0.29C ．2.09D ．2.9[答案] D[解析] f (－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.f (－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.∴平均变化率为f (－0.9)－f (－1)－0.9－(－1)＝－1.71－(－2)0.1＝2.9，故应选D.4．已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则直线AB 的斜率为( ) A ．2B ．2.3C ．2.09D ．2.1[答案] B[解析] f (1)＝5，f (1.3)＝5.69. ∴k AB ＝f (1.3)－f (1)1.3－1＝5.69－50.3＝2.3，故应选B.5．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，函数f (x )从2到2＋Δx 的平均变化率为( ) A ．2－Δx B ．－2－Δx C ．2＋ΔxD ．(Δx )2－2·Δx[答案] B[解析] ∵f (2)＝－22＋2×2＝0， ∴f (2＋Δx )＝－(2＋Δx )2＋2(2＋Δx )＝－2Δx －(Δx )2， ∴f (2＋Δx )－f (2)2＋Δx －2＝－2－Δx ，故应选B.6．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2[答案] C [解析]Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝[(1＋Δx )2＋1]－2Δx＝2＋Δx .故应选C.7．质点运动规律S (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．6.3 B ．36.3 C ．3.3D ．9.3[答案] A[解析] S (3)＝12，S (3.3)＝13.89， ∴平均速度v ＝S (3.3)－S (3)3.3－3＝1.890.3＝6.3，故应选A.8．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①[答案] B[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选B.9．物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s ＝s (t )，则物体在时间间隔[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度是( )A ．v 0B.Δts (t 0＋Δt )－s (t 0)C.s (t 0＋Δt )－s (t 0)ΔtD.s (t )t[答案] C[解析] 由平均变化率的概念知C 正确，故应选C.10．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14(Δx )2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14(Δx )2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14(Δx ＋1)2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14(1＋Δx )2[答案] C[解析] 点Q 的横坐标应为1＋Δx ，所以其纵坐标为f (1＋Δx )＝14(Δx ＋1)2，故应选C.二、填空题11．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx ＝________.[答案] (Δx )2＋6Δx ＋12[解析] Δy Δx ＝(2＋Δx )3－2－(23－2)Δx＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12ΔxΔx＝(Δx )2＋6Δx ＋12.12．在x ＝2附近，Δx ＝14时，函数y ＝1x 的平均变化率为________．[答案] －29[解析] Δy Δx ＝12＋Δx －12Δx ＝－14＋2Δx ＝－29.13．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝12时的平均变化率为________．[答案] 6－2[解析]Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1＝6－2. 14．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是________．[答案] 5 4.1[解析] 当Δx ＝1时，割线AB 的斜率Δx Δx 1当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率 k 2＝Δy Δx ＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1.三、解答题15．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f (x )及g (x )的平均变化率．[解析] 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为f (－1)－f (－3)－1－(－3)＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]2＝2.函数f (x )在[0,5]上的平均变化率为f (5)－f (0)5－0＝2.函数g (x )在[－3，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－3)－1－(－3)＝－2.函数g (x )在[0,5]上的平均变化率为g (5)－g (0)5－0＝－2.16．过曲线f (x )＝2x2的图象上两点A (1,2)，B (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线AB ，求出当Δx ＝14时割线的斜率．[解析] 割线AB 的斜率k ＝(2＋Δy )－2(1＋Δx )－1＝ΔyΔx＝2(1＋Δx )2－2Δx ＝－2(Δx ＋2)(1＋Δx )2＝－7225. 17．求函数y ＝x 2在x ＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？ [解析] 在x ＝2附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为Δx Δx对任意Δx 有，k 1＜k 2＜k 3， ∴在x ＝3附近的平均变化率最大．18．(2010·杭州高二检测)路灯距地面8m ，一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率．[解析] (1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BE CD ，即yy ＋x ＝1.68，所以y ＝f (x )＝14x . (2)84m/min ＝1.4m/s ，在[0,10]内自变量的增量为x 2－x 1＝1.4×10－1.4×0＝14， f (x 2)－f (x 1)＝14×14－14×0＝72.所以f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝7214＝14.即人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率为14.选修2-2 1.1 第2课时导数的概念一、选择题1．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C[解析] 由定义，f ′(x 0)是当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近的常数，故应选C.2．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( ) A ．6B ．18C ．54D ．81[答案] B[解析] ∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32＝18Δt ＋3(Δt )2∴Δs Δt ＝18＋3Δt .当Δt →0时，ΔsΔt →18，故应选B.3．y ＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2 C ．2＋Δx D ．1[答案] B[解析] ∵f (x )＝x 2，x ＝1，∴Δy ＝f (1＋Δx )2－f (1)＝(1＋Δx )2－1＝2·Δx ＋(Δx )2∴ΔyΔx＝2＋Δx 当Δx →0时，ΔyΔx →2∴f ′(1)＝2，故应选B.4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s (t )＝4t 2－3(s (t )的单位：m ，t 的单位：s)，则t ＝5时的瞬时速度为( )A ．37B ．38C ．39D ．40[答案] D[解析] ∵Δs Δt ＝4(5＋Δt )2－3－4×52＋3Δt ＝40＋4Δt ，∴s ′(5)＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝li m Δt →0 (40＋4Δt )＝40.故应选D. 5．已知函数y ＝f (x )，那么下列说法错误的是( ) A ．Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)叫做函数值的增量 B.Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx叫做函数在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率 C ．f (x )在x 0处的导数记为y ′ D ．f (x )在x 0处的导数记为f ′(x 0) [答案] C[解析] 由导数的定义可知C 错误．故应选C.6．函数f (x )在x ＝x 0处的导数可表示为y ′|x ＝x 0，即( ) A ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) B ．f ′(x 0)＝li m Δx →0[f (x 0＋Δx )－f (x 0)] C ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)ΔxD ．f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx[答案] D[解析] 由导数的定义知D 正确．故应选D.7．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)在x ＝2时的瞬时变化率等于( ) A ．4aB ．2a ＋bC ．bD ．4a ＋b[答案] D[解析] ∵Δy Δx ＝a (2＋Δx )2＋b (2＋Δx )＋c －4a －2b －c Δx＝4a ＋b ＋a Δx ，∴y ′|x ＝2＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 (4a ＋b ＋a ·Δx )＝4a ＋b .故应选D. 8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．直线[答案] D[解析] 当f (x )＝b 时，f ′(x )＝0，所以f (x )的图象为一条直线，故应选D. 9．一物体作直线运动，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度为( ) A ．0 B ．3 C ．－2D ．3－2t[答案] B[解析] ∵Δs Δt ＝3(0＋Δt )－(0＋Δt )2Δt ＝3－Δt ，∴s ′(0)＝li m Δt →0 ΔsΔt＝3.故应选B. 10．设f (x )＝1x ，则li m x →a f (x )－f (a )x －a 等于( )A ．－1aB.2aC ．－1a2D.1a2[答案] C[解析] li m x →a f (x )－f (a )x －a ＝li m x →a 1x －1a x －a＝li m x →aa －x (x －a )·xa ＝－li m x →a 1ax ＝－1a2.二、填空题11．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则 li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝________；li m x →x 0f (x )－f (x 0)2(x 0－x )＝________.[答案] －11，－112[解析] li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝－li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0)＝－11；li m x →x 0f (x )－f (x 0)2(x 0－x )＝－12li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝－12f ′(x 0)＝－112.12．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ＋11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11 ＝Δx －1＋1Δx ＋1＝(Δx )2Δx ＋1，∴Δy Δx ＝Δx Δx ＋1.∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 Δx Δx ＋1＝0. 13．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(2)＝2，则a 等于______． [答案] 2[解析] ∵Δy Δx ＝a (2＋Δx )＋4－2a －4Δx ＝a ，∴f ′(1)＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝a .∴a ＝2. 14．已知f ′(x 0)＝li m x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0，f (3)＝2，f ′(3)＝－2，则li m x →32x －3f (x )x －3的值是________．[答案] 8[解析] li m x →3 2x －3f (x )x －3＝li m x →3 2x －3f (x )＋3f (3)－3f (3)x －3 ＝lim x →32x －3f (3)x －3＋li m x →3 3(f (3)－f (x ))x －3.由于f (3)＝2，上式可化为li m x →3 2(x －3)x －3－3li m x →3 f (x )－f (3)x －3＝2－3×(－2)＝8. 三、解答题15．设f (x )＝x 2，求f ′(x 0)，f ′(－1)，f ′(2)． [解析] 由导数定义有f ′(x 0) ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝li m Δx →0 Δx (2x 0＋Δx )Δx＝2x 0，16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．[解析] 位移公式为s ＝12at 2∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ， ∴li m Δt →0 Δs Δt ＝li m Δt →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫at 0＋12a Δt ＝at 0，已知a ＝5.0×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， ∴at 0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.17．在曲线y ＝f (x )＝x 2＋3的图象上取一点P (1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy )，求(1)ΔyΔx(2)f ′(1)． [解析] (1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝(1＋Δx )2＋3－12－3Δx ＝2＋Δx .(2)f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2. 18．函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x 0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 2(x ≥0)－x －x 2(x <0)Δy ＝f (0＋Δx )－f (0)＝f (Δx )＝⎩⎪⎨⎪⎧Δx ＋(Δx )2(Δx >0)－Δx －(Δx )2(Δx <0)∴lim x →0＋ Δy Δx ＝lim Δx →0＋ (1＋Δx )＝1， lim Δx →0－ Δy Δx ＝lim Δx →0－(－1－Δx )＝－1， ∵lim Δx →0－ Δy Δx ≠lim Δx →0＋ Δy Δx ，∴Δx →0时，Δy Δx无极限． ∴函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x 0＝0处没有导数，即不可导．(x →0＋表示x 从大于0的一边无限趋近于0，即x ＞0且x 趋近于0)选修2-2 1.1 第3课时导数的几何意义一、选择题1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在[答案] B[解析] 切线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，即f ′(x 0)＝－12＜0.故应选B.2．曲线y ＝12x 2－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的倾斜角为( )A ．1 B.π4C.54πD ．－π4[答案] B[解析] ∵y ′＝li m Δx →0 [12(x ＋Δx )2－2]－(12x 2－2)Δx ＝li m Δx →0 (x ＋12Δx )＝x ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线的倾斜角为π4，故应选B.3．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 [答案] D[解析] 易求y ′＝2x ，设在点P (x 0，x 20)处切线的倾斜角为π4，则2x 0＝1，∴x 0＝12，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.4．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －5[答案] B[解析] y′＝3x2－6x，∴y′|x＝1＝－3.由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.5．设f(x)为可导函数，且满足limx→0f(1)－f(1－2x)2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )A．2 B．－1C．1 D．－2[答案] B[解析] limx→0f(1)－f(1－2x)2x＝limx→0f(1－2x)－f(1)－2x＝－1，即y′|x＝1＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交[答案] B[解析] 由导数的几何意义知B正确，故应选B.7．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为( ) A．3,3 B．3，－1C．－1,3 D．－1，－1[答案] B[解析] 由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故应选B.8．曲线f(x)＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P点的坐标为( ) A．(1,0)或(－1，－4) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,4)[答案] A[解析] ∵f(x)＝x3＋x－2，设x P＝x0，∴Δy＝3x20·Δx＋3x0·(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，∴ΔyΔx＝3x20＋1＋3x0(Δx)＋(Δx)2，∴f′(x0)＝3x20＋1，又k＝4，∴3x20＋1＝4，x20＝1.∴x0＝±1，故P(1,0)或(－1，－4)，故应选A.9．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，πB.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，πD.⎝⎛⎦⎥⎤π2，56π[答案] A[解析] 设P (x 0，y 0)，∵f ′(x )＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )＋23－x 3＋3x －23Δx ＝3x 2－3，∴切线的斜率k ＝3x 20－3， ∴tan α＝3x 20－3≥－ 3.∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π.故应选A.10．(2010·福州高二期末)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 横坐标的取值范围为( ) A ．[－1，－12]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[12，1][答案] A[解析] 考查导数的几何意义．∵y ′＝2x ＋2，且切线倾斜角θ∈[0，π4]，∴切线的斜率k 满足0≤k ≤1，即0≤2x ＋2≤1， ∴－1≤x ≤－12.二、填空题11．已知函数f (x )＝x 2＋3，则f (x )在(2，f (2))处的切线方程为________． [答案] 4x －y －1＝0[解析] ∵f (x )＝x 2＋3，x 0＝2∴f (2)＝7，Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝4·Δx ＋(Δx )2∴Δy Δx＝4＋Δx .∴li m Δx →0 Δy Δx ＝4.即f ′(2)＝4.又切线过(2,7)点，所以f (x )在(2，f (2))处的切线方程为y －7＝4(x －2) 即4x －y －1＝0.12．若函数f (x )＝x －1x，则它与x 轴交点处的切线的方程为________．[答案] y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)[解析] 由f (x )＝x －1x＝0得x ＝±1，即与x 轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)．∵f ′(x )＝li m Δx →0 (x ＋Δx )－1x ＋Δx －x ＋1xΔx＝li m Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1x (x ＋Δx )＝1＋1x 2. ∴切线的斜率k ＝1＋11＝2.∴切线的方程为y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)．13．曲线C 在点P (x 0，y 0)处有切线l ，则直线l 与曲线C 的公共点有________个． [答案] 至少一[解析] 由切线的定义，直线l 与曲线在P (x 0，y 0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个．14．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为________． [答案] 3x －y －11＝0[解析] 设切点P (x 0，y 0)，则过P (x 0，y 0)的切线斜率为，它是x 0的函数，求出其最小值．设切点为P (x 0，y 0)，过点P 的切线斜率k ＝＝3x 20＋6x 0＋6＝3(x 0＋1)2＋3.当x 0＝－1时k 有最小值3，此时P 的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x －y －11＝0.三、解答题15．求曲线y ＝1x －x 上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程． [解析] ∴y ′＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋Δx －1x －(x ＋Δx －x )Δx＝lim Δx →0 －Δx x (x ＋Δx )－Δx x ＋Δx ＋x Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎪⎫－1x (x ＋Δx )－1x ＋Δx ＋x ＝－1x 2－12x.∴y ′|x ＝4＝－116－14＝－516，∴曲线在点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程为：y ＋74＝－516(x －4)．即5x ＋16y ＋8＝0.16．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程；(2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程y ＝g (x )． [解析] (1)y ′＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )－3x 3＋3x Δx ＝3x 2－3. 则过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率k 1＝f ′(1)＝0，∴所求直线方程为y ＝－2. (2)设切点坐标为(x 0，x 30－3x 0)，则直线l 的斜率k 2＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴直线l 的方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0) 又直线l 过点P (1，－2)，∴－2－(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)， ∴x 30－3x 0＋2＝(3x 20－3)(x 0－1)，解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12.故所求直线斜率k ＝3x 20－3＝－94，于是：y －(－2)＝－94(x －1)，即y ＝－94x ＋14.17．求证：函数y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.[解析] y ′＝li m Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋Δx ＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x Δx＝li m Δx →0 x ·Δx (x ＋Δx )－Δx(x ＋Δx )·x ·Δx＝li m Δx →0(x ＋Δx )x －1(x ＋Δx )x＝x 2－1x 2＝1－1x2＜1，∴y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.18．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积． [解析] (1)y ′|x ＝1＝li m Δx →0 (1＋Δx )2＋(1＋Δx )－2－(12＋1－2)Δx ＝3，所以l 1的方程为：y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3. 设l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， y ′|x ＝b ＝li m Δx →0 (b ＋Δx )2＋(b ＋Δx )－2－(b 2＋b －2)Δx＝2b ＋1，所以l 2的方程为：y －(b 2＋b －2)＝(2b ＋1)·(x －b )，即y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，所以3×(2b ＋1)＝－1，所以b ＝－23，所以l 2的方程为：y ＝－13x －229.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52，即l 1与l 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52.又l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0.所以所求三角形面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋223＝12512.选修2-2 1.2 第1课时几个常用的函数的导数一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝0，则y ′＝0 B ．若y ＝5x ，则y ′＝5 C ．若y ＝x －1，则y ′＝－x －2[答案] D2．若函数f (x )＝x ，则f ′(1)等于( ) A ．0 B ．－12C ．2D.12[答案] D[解析] f ′(x )＝(x )′＝12x ，所以f ′(1)＝12×1＝12，故应选D.3．抛物线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线方程是( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0[答案] A[解析] ∵f (x )＝14x 2，∴f ′(2)＝li m Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14Δx ＝1.∴切线方程为y －1＝x －2.即x －y －1＝0. 4．已知f (x )＝x 3，则f ′(2)＝( ) A ．0 B ．3x 2C ．8D ．12[答案] D[解析] f ′(2)＝lim Δx →0 (2＋Δx )3－23Δx＝lim Δx →0 6Δx 2＋12Δx Δx ＝lim Δx →0 (6Δx ＋12)＝12，故选D. 5．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3D ．－3[答案] A[解析] 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A. 6．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[答案] D[解析] ∵y ＝x 3＋x 2－x －1∴Δy Δx ＝(1＋Δx )3＋(1＋Δx )2－(1＋Δx )－1Δx ＝4＋4Δx ＋(Δx )2，∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0[4＋4·Δx ＋(Δx )2]＝4. 故应选D.7．曲线y ＝x 2在点P 处切线斜率为k ，当k ＝2时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1) C ．(1,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18[答案] C[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)， ∵y ＝x 2，∴y ′＝2x .∴k ＝＝2x 0＝2，∴x 0＝1，∴y 0＝x 20＝1，即P (1,1)，故应选C. 8．已知f (x )＝f ′(1)x 2，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[答案] A[解析] ∵f (x )＝f ′(1)x 2，∴f ′(x )＝2f ′(1)x ，∴f ′(0)＝2f ′(1)×0＝0.故应选A.9．曲线y＝3x上的点P(0,0)的切线方程为( )A．y＝－x B．x＝0 C．y＝0 D．不存在[答案] B[解析] ∵y＝3 x∴Δy＝3x＋Δx－3x＝x＋Δx－x(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2＝Δx(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2∴ΔyΔx＝1(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2∴曲线在P(0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x＝0.10．质点作直线运动的方程是s＝4t，则质点在t＝3时的速度是( )A.14433B.14334C.12334D.13443[答案] A[解析] Δs＝4t＋Δt－4t＝t＋Δt－t4t＋Δt＋4t＝t＋Δt－t(4t＋Δt＋4t)(t＋Δt＋t)＝Δt(4t＋Δt＋4t)(t＋Δt＋t)∴li m Δt →0 Δs Δt＝124t ·2t ＝144t 3， ∴s ′(3)＝14433 .故应选A.二、填空题11．若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为________． [答案] 某物体做瞬时速度为1的匀速运动[解析] 由导数的物理意义可知：y ′＝1可以表示某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 12．若曲线y ＝x 2的某一切线与直线y ＝4x ＋6平行，则切点坐标是________． [答案] (2,4)[解析] 设切点坐标为(x 0，x 20)，因为y ′＝2x ，所以切线的斜率k ＝2x 0，又切线与y ＝4x ＋6平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，故切点为(2,4)．13．过抛物线y ＝15x 2上点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45的切线的斜率为______________．[答案] 45[解析] ∵y ＝15x 2，∴y ′＝25x∴k ＝25×2＝45.14．(2010·江苏，8)函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．[答案] 21[解析] ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题15．过点P (－2,0)作曲线y ＝x 的切线，求切线方程． [解析] 因为点P 不在曲线y ＝x 上，故设切点为Q (x 0，x 0)，∵y ′＝12x ，∴过点Q 的切线斜率为：12x 0＝x 0x 0＋2，∴x 0＝2，∴切线方程为：y －2＝122(x －2)，即：x －22y ＋2＝0.16．质点的运动方程为s ＝1t 2，求质点在第几秒的速度为－264.[解析] ∵s ＝1t2，∴Δs ＝1(t ＋Δt )2－1t2＝t 2－(t ＋Δt )2t 2(t ＋Δt )2＝－2t Δt －(Δt )2t 2(t ＋Δt )2∴li m Δt →0 Δs Δt ＝－2t t 2·t 2＝－2t 3.∴－2t 3＝－264，∴t ＝4. 即质点在第4秒的速度为－264. 17．已知曲线y ＝1x.(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程； (3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．[解析] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)显然P (1,1)是曲线上的点．所以P 为切点，所求切线斜率为函数y ＝1x在P (1,1)点导数．即k ＝f ′(1)＝－1.所以曲线在P (1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即为y ＝－x ＋2.(2)显然Q (1,0)不在曲线y ＝1x上．则可设过该点的切线的切点为A ⎝⎛⎭⎪⎫a ，1a ，那么该切线斜率为k ＝f ′(a )＝－1a2.则切线方程为y －1a ＝－1a2(x －a )．①将Q (1,0)坐标代入方程：0－1a ＝－1a2(1－a )．解得a ＝12，代回方程①整理可得：切线方程为y ＝－4x ＋4.(3)设切点坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ，则切线斜率为k ＝－1a 2＝－13，解得a ＝±3，那么A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，33，A ′⎝⎛⎭⎪⎫－3，3－3.代入点斜式方程得y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－13(x ＋3)．整理得切线方程为y ＝－13x ＋233或y ＝－13x －233.18．求曲线y ＝1x与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．[解析] 两曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1.∴y ′＝－1x2，∴k 1＝－1，k 2＝2x |x ＝1＝2，∴两切线方程为x ＋y －2＝0,2x －y －1＝0，所围成的图形如上图所示． ∴S ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝34.选修2-2 1.2.2 第1课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．曲线y ＝13x 3－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135°D ．60°[答案] B[解析] y ′|x ＝－1＝1，∴倾斜角为45°. 2．设f (x )＝13x 2－1x x，则f ′(1)等于( )A ．－16B.56 C ．－76D.76[答案] B3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0[答案] A[解析] ∵直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝x 4＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0.4．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A.193B.163 C.103D.133[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163.∴选B.5．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒[答案] D[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.6．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1B ．y ＝－x －1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x －2[答案] A[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.7．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角[答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.8．曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为( )A.π22B ．π2C ．2π2D.12(2＋π)2 [答案] A[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为π22.9．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[答案] D[解析] f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，∴4为最小正周期，∴f 2011(x )＝f 3(x )＝－cos x .故选D.10．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数[答案] B[解析] 令F (x )＝f (x )－g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝0，∴F (x )为常数．二、填空题11．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12，则a ＝________，b ＝________.[答案] 0 －1[解析] f ′(x )＝2ax －b cos x ，由条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧－b cos0＝12π3a －b cos π3＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1a ＝0.12．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________． [答案] (－1,3)[解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9，由f ′(x )＜0得3x 2－6x －9＜0，∴x 2－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3.13．曲线y ＝cos x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线的斜率为______．[答案] －32[解析] ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ， ∴切线斜率k ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.14．已知函数f (x )＝ax ＋b e x图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________．[答案] f (x )＝－52x －12e x ＋1[解析] 由题意可知，f ′(x )|x ＝－1＝－3， ∴a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，∴－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12e ，故f (x )＝－52x －12e x ＋1.三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x－1)；(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x .[解析] (1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2，∴y ′＝3x 2－2x3；(3)∵y ＝sin 4x4＋cos 4x4＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x ；(4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.16．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析] 由于y ＝sin x 、y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， ∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的， ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．17．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程． [解析] 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.①对于C 2：y ′＝－2(x －2)，与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.②∵两切线重合，∴2x 1＝－2(x 2－2)且－x 21＝x 22－4，解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0. ∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4. 18．求满足下列条件的函数f (x )：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. [解析] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0) 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c由f (0)＝3，可知d ＝3，由f ′(0)＝0可知c ＝0，由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3a ＋2b ＝－3f ′(2)＝12a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3，所以f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )是一次函数可知f (x )是二次函数，则可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )和f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1整理得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1 若想对任意x 方程都成立，则需⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0b －2c ＝0c ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.选修2-2 1.2.2 第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[答案] D[解析] y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)·(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， ∴y ′|x ＝1＝4.2．若对任意x ∈R ，f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则f (x )＝( ) A ．x 4B ．x 4－2 C ．4x 3－5D ．x 4＋2[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝4x 3.∴f (x )＝x 4＋c ，又f (1)＝－1 ∴1＋c ＝－1，∴c ＝－2，∴f (x )＝x 4－2.3．设函数f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1 C.nn －1D.n ＋1n[答案] A[解析] ∵f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，即f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)， ∴数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和为： S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故选A.4．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2－b 24a，顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b2a，－b 24a 在第三象限，故选C.5．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( ) A ．6x 5＋12x 2B ．4＋2x 3C ．2(2＋x 3)2D ．2(2＋x 3)·3x[答案] A[解析] ∵y ＝(2＋x 3)2＝4＋4x 3＋x 6， ∴y ′＝6x 5＋12x 2.6．(2010·江西文，4)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0[答案] B[解析] 本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )，f ′(1)＝4a ＋2b ，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2要善于观察，故选B.7．设函数f (x )＝(1－2x 3)10，则f ′(1)＝( ) A ．0B ．－1C ．－60D ．60[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝10(1－2x 3)9(1－2x 3)′＝10(1－2x 3)9·(－6x 2)＝－60x 2(1－2x 3)9，∴f ′(1)＝60.8．函数y ＝sin2x －cos2x 的导数是( ) A ．22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．cos2x －sin2xC ．sin2x ＋cos2xD ．22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 [答案] A[解析] y ′＝(sin2x －cos2x )′＝(sin2x )′－(cos2x )′ ＝2cos2x ＋2sin2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.9．(2010·高二潍坊检测)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12[答案] A[解析] 由f ′(x )＝x 2－3x ＝12得x ＝3.10．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15D ．5[答案] B[解析] 由题设可知f (x ＋5)＝f (x ) ∴f ′(x ＋5)＝f ′(x )，∴f ′(5)＝f ′(0) 又f (－x )＝f (x )，∴f ′(－x )(－1)＝f ′(x ) 即f ′(－x )＝－f ′(x )，∴f ′(0)＝0 故f ′(5)＝f ′(0)＝0.故应选B. 二、填空题11．若f (x )＝x ，φ(x )＝1＋sin2x ，则f [φ(x )]＝_______，φ[f (x )]＝________. [答案]2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，1＋sin2x[解析] f [φ(x )]＝1＋sin2x ＝(sin x ＋cos x )2＝|sin x ＋cos x |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.φ[f (x )]＝1＋sin2x .12．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.[答案]π6[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋5π6. 若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z )．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.13．函数y ＝(1＋2x 2)8的导数为________． [答案] 32x (1＋2x 2)7[解析] 令u ＝1＋2x 2，则y ＝u 8，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝8u 7·4x ＝8(1＋2x 2)7·4x ＝32x (1＋2x 2)7.14．函数y ＝x 1＋x 2的导数为________． [答案] (1＋2x 2)1＋x21＋x2[解析] y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x2＝(1＋2x 2)1＋x21＋x2. 三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y ＝x sin 2x ； (2)y ＝ln(x ＋1＋x 2)； (3)y ＝e x＋1e x －1； (4)y ＝x ＋cos x x ＋sin x .[解析] (1)y ′＝(x )′sin 2x ＋x (sin 2x )′ ＝sin 2x ＋x ·2sin x ·(sin x )′＝sin 2x ＋x sin2x . (2)y ′＝1x ＋1＋x2·(x ＋1＋x 2)′ ＝1x ＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2.(3)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝－2ex(e x －1)2 .(4)y ′＝(x ＋cos x )′(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(x ＋sin x )′(x ＋sin x )2＝(1－sin x )(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(1＋cos x )(x ＋sin x )2＝－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1(x ＋sin x )2. 16．求下列函数的导数：(1)y ＝cos 2(x 2－x )； (2)y ＝cos x ·sin3x ； (3)y ＝x log a (x 2＋x －1)； (4)y ＝log 2x －1x ＋1. [解析] (1)y ′＝[cos 2(x 2－x )]′ ＝2cos(x 2－x )[cos(x 2－x )]′＝2cos(x 2－x )[－sin(x 2－x )](x 2－x )′ ＝2cos(x 2－x )[－sin(x 2－x )](2x －1) ＝(1－2x )sin2(x 2－x )．(2)y ′＝(cos x ·sin3x )′＝(cos x )′sin3x ＋cos x (sin3x )′ ＝－sin x sin3x ＋3cos x cos3x ＝3cos x cos3x －sin x sin3x .(3)y ′＝log a (x 2＋x －1)＋x ·1x 2＋x －1log a e(x 2＋x －1)′＝log a (x 2＋x －1)＋2x 2＋x x 2＋x －1log a e.(4)y ′＝x ＋1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′log 2e ＝x ＋1x －1log 2e x ＋1－x ＋1(x ＋1)2＝2log 2e x 2－1. 17．设f (x )＝2sin x 1＋x 2，如果f ′(x )＝2(1＋x 2)2·g (x )，求g (x )．[解析] ∵f ′(x )＝2cos x (1＋x 2)－2sin x ·2x(1＋x 2)2＝2(1＋x 2)2[(1＋x 2)cos x －2x ·sin x ]，又f ′(x )＝2(1＋x 2)2·g (x )．∴g (x )＝(1＋x 2)cos x －2x sin x .18．求下列函数的导数：(其中f (x )是可导函数)(1)y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x；(2)y ＝f (x 2＋1)．。

人教A版选修2-2《数学选修2-2》综合测试.docx

《数学选修2-2》综合测试第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1、复数i a b +与复数i c d +的积是实数的充要条件是 ( ) A.0ad bc += B.0ac bd += C.ac bd = D.ad bc =2、函数()323922y x x x x =---<<有( )A.极大值5,极小值27-B.极大值5,极小值11-C.极大值5,无极小值D.极小值27-,无极大值 3、函数xx y 142+=单调递增区间是( ) A.),0(+∞ B.)1,(-∞ C.),21(+∞ D.),1(+∞ 4、下列计算错误的是( ) A.ππsin 0xdx -=⎰ B.123xdx =⎰C.ππ22π02cos 2cos xdx xdx -=⎰⎰D.π2πsin 0xdx -=⎰5、计算10052201i 1i [(12i)i()]()1i 2-++⋅+-+的值为( ) A.1- B.12i - C. 12i + D.16、函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为( ) A.10 B. 5 C. 1- D.73-7、有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线b ⊂/平面α,直线a ⊂平面α,直线b ∥平面α,则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的,这是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 8、若121212,,z z C z z z z --∈+是( ).A.纯虚数B.实数C.虚数D.不能确定9、设222log (33)ilog (3)(),z m m m m R =--+-∈若z 对应的点在直线210x y -+=上,则m 的值是( )A.15±B.15 C. 15- D. 1510、用数学归纳法证明不等式“11113(2)12224n n n n +++>>++”时的过程中,由n k =到1n k =+时,不等式的左边( )A.增加了一项12(1)k +B.增加了两项11212(1)k k +++ C.增加了两项11212(1)k k +++,又减少了一项11k + D.增加了一项12(1)k +,又减少了一项11k +11、定义复数的一种运算1212||||*2z z z z +=(等式右边为普通运算),若复数i z a b =+,且正实数a,b 满足3a b +=,则*z z 最小值为( )A.92 B.322 C.32 D.9412.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和(如图2所示).那么对于图中给定的01t t 和,下列判断中一定正确的是( )A.在1t 时刻,甲车在乙车前面B.1t 时刻后,甲车在乙车后面C.在0t 时刻,两车的位置相同D.0t 时刻后,乙车在甲车前面第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)tt 0 t 1v 甲v 乙v(t) 图2 O13、复数1i1.1iz -+=-+在复平面内,z 所对应的点在第________象限. 14、垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程是_______ 15、在弹性限度内,将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处,则克服弹力所作的功是______________ J.(设比例系数为k )16、若RtΔABC 中两直角边为a 、b ,斜边c 上的高为h ,则222111b a h +=,如图,在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC,PO 为棱锥的高, 记M=21PO ,N=222111PCPB PA ++,那么M 、N 的大小关系是 .三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)设复数z 满足1z =,且(34i)z +⋅是纯虚数,求z -.18、(12分) 已知如下等式:212316⨯⨯=,22235126⨯⨯+=,2223471236⨯⨯++=,当n *∈N 时,试猜想2222123n ++++的值,并用数学归纳法给予证明.19、(12分)请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥(如右图所示).试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时,帐篷的体积最大?【注:1,3V S h V S h =⋅=⋅底锥体底柱体】20、(12分)设函数3()3(0)f x x a b a =-+>.(1)若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,求,a b 的值;(2)求函数()f x 的单调区间与极值点.21、(12分)已知函数2()ln f x x a x =-(常数0)a >,()xg x e x =-. (1)证明:ae a >;(2)当2a e >时,讨论函数()f x 在区间(1,)ae 上零点的个数(e 为自然对数的底数). 22、(14分)(1)已知函数2()4f x x =-+((1,2)x ∈-),P 、Q 是()f x 图象上的任意两点, ①试求直线PQ 的斜率PQ k 的取值范围; ②求()f x 图象上任一点切线的斜率k 的范围;(2)由(1)你能得出什么结论?(只须写出结论,不必证明),试运用这个结论解答下面的问题: 已知集合D M 是满足下列性质函数()f x 的全体:若函数()f x 的定义域为D ,对任意的1212,,()x x D x x ∈≠有1212|()()|||.f x f x x x -<-①当(0,)D =+∞时,()ln f x x =是否属于D M ,若属于D M ,给予证明,否则说明理由; ②当3(0,)3D =,函数3()f x x ax b =++时,若()D f x M ∈,求实数a 的取值范围.参考答案1.A ∵(i)(i)()i a b c d ac bd ad bc R +⋅+=-++∈⇔0=+bc ad2.C 23690,1,3y x x x x '=--==-=得,当1x <-时,0y '>;当1x >-时,0y '< 当1x =-时,5y =极大值;x 取不到3,无极小值.3.C 令3222181180,(21)(421)0,2x y x x x x x x x -'=-=>-++>> 4.Ｄ可由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果. 5.C 10052201i 1i [(12i)i()]()1i 2-++⋅+-+5210[(12i)1(i)]i =+⋅+--()2101i i 12i =+-=+6.D 23()34,(1)7,(1)10,107(1),0,7f x x f f y x y x ''=+==-=-==-时 7.A 直线平行于平面,则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直.大前提错误. 8.B 121212i,i,(,,,),(i)(i)(i)(i)z a b z c d a b c d R z z z z a b c d a b c d --=+=+∈+=+-+-+ 22ac bd R =+∈9.B 22222233log (33)2log (3)10,log 1(3)m m m m m m ------+==-- 22331,15,3,15(3)2m m m m m m --==±>=-而 10.C kk k k k n ++++++==1...2111,左边时, 22112111)1...2111( )1()1(1...2)1(11)1(1,+++++-++++++=++++++++++==k k k k k k k k k k k k n 左边时11.B *z z =ab b a b a b a z z 2)(222||||22222-+=+=+=+ 49,4922-≥-∴=⎪⎭⎫⎝⎛+≤ab b a ab 又,*z z ==⨯-≥29492932212.A 由图可得,在1t 时刻,甲车的路程是S 1＝1t 0v dt ⎰甲,表示的是由线v 甲与x 轴、x=t 1所围成的面积;同理可得S 2＝1t 0v dt ⎰乙,表示的是由线v 乙与x 轴、x=t 1所围成的面积,所以S 1>S 2, 甲车在乙车前面.选A.其它可一一验证是错的.故选A. 13.二 1i11i 1iz -+=-=-++. 14.360x y ++= 设切点为(,)P a b ,函数3235y x x =+-的导数为236y x x '=+切线的斜率2|363x a k y a a ='==+=-,得1a =-,代入到3235y x x =+-,得3b =-,即(1,3)P --,33(1),360y x x y +=-+++=15.212kl 因为力()F x 与弹簧的长度x 关系为()F x kx =,又变力作功公式,得 22011022l l W kxdx kx kl ===⎰16.M N = 在RtΔABC 中,222c a b =+ ①,由等面积法得ch ab =,∴2222c h a b ⋅=⋅ ②,①÷②整理得222111b a h +=. 类比得,2222ABC PAB PBC PAC S S S S ∆∆∆∆=++ ①,由等体积法得12ABC S PO PA PB PC ∆⋅=⋅⋅, ∴2222214ABC S PO PA PB PC ∆⋅=⋅⋅②,①÷②整理得M N =. 17.解:设i,(,)z a b a b R =+∈,由1z =得221a b +=;(34i)(34i)(i)34(43)i z a b a b a b +⋅=++=-++是纯虚数,则340a b -= 2244155,3334055a a a b a b b b ⎧⎧==-⎪⎪⎧⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎨-=⎪⎪⎪⎩==-⎪⎪⎩⎩或,4343i,i 5555z -=--+或 18.解:由已知,猜想2222(1)(21)1236n n n n ++++++=,下面用数学归纳法给予证明:(1)当1n =时,由已知得原式成立;(2)假设当n k =时,原式成立,即2222(1)(21)1236k k k k ++++++=那么,当1n k =+时,222222(1)(21)123(1)(1)6k k k k k k ++++++++=++22(1)(21)6(1)(1)(276)66k k k k k k k +++++++==(1)(2)(23)6k k k +++==(1)[(1)1][2(1)1]6k k k +++++故1n k =+时,原式也成立. 由(1)、(2)知2222(1)(21)1236n n n n ++++++=成立.19.解:设正六棱锥的高为x m,则正六棱锥底面边长为223x -(单位:m). 于是底面正六边形的面积为(单位:m 2):2223336(9)(9)42S x x =⋅⋅-=-.帐篷的体积为(单位:m 3):223233133()(9)1(9)(3)(3927)2322V x x x x x x x x ⎡⎤=-+=-+=--++⎢⎥⎣⎦(13)x << 求导数,得233()(23)2V x x x '=-+-; 令()0V x '=解得x=-3(不合题意,舍去),x=1.当0<x<1时,()0V x '>,V(x)为增函数;当1<x<3时,()0V x '<,V(x)为减函数. 所以当x=1时,V(x)最大.即当OO 1为2m 时,帐篷的体积最大.20.解:(1)()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩(2)∵3()3(0)f x x a b a =-+>, 由()'0f x x a =⇒=±,当(),x a ∈-∞-时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,当(),x a a ∈-时,()'0f x <,函数()f x 单调递减, 当(),x a ∈+∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,∴此时x a =-是()f x 的极大值点,x a =是()f x 的极小值点.21.(1)证明:得() 1 xg x e '=-,令()00g x x '=⇒=,当0x >时,()1110xg x e '=->-=, ∴()g x 在),0[+∞上是增函数,又0a >,得()(0)10g a g >=>. 所以,0ae a ->,即>ae a .(2)解:因为22()2a x a f x x x x-'=-= 222()()22a ax x x-+=. 当202a x <<时,()0f x '<,()f x 为减函数;当22a x >时,()0f x '>,()f x 为增函数. ∴min 2()()(1ln ).222a a af x f ==- 又由(1)得22 (0,2)22a a a a a a e e a a a e <<<≥<⇒<,且当2a e >时,212a e >>, 有212a ae <<. 而(1)10f =>,22()()()0,aaa a f e ea e a e e =-=-+>当2a e >时,min 2()()(1ln )0222a a af x f ==-<, 所以,当2a e >时,函数()f x 在(1,)ae 上有两个零点.22.解:(1)①设1122(,()),(,())P x f x Q x f x 是()f x 图象上的任意两点(12x x ≠),则222121212121()()(4)(4)()PQf x f x x x k x x x x x x --+--+===-+--,由12,(1,2)x x ∈-,知12()(4,2)x x -+∈-, ∴直线PQ 的斜率PQ k 的取值范围是(4,2)-; ②由'()2f x x =-,(1,2)x ∈-,得'()(4,2)f x ∈-, ∴()f x 图象上任一点切线的斜率k 的范围是(4,2)-;(2)由(1)得:函数()y f x =图象上任意两点P 、Q 连线的斜率121212()y y k x x x x -=≠-的取值范围,就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围(其实由导数的定义可得). ①1'(),f x x=∴(0,1),'()1|'()|1,x f x f x ∈>⇒>若 ∴1212()()||1,f x f x x x ->- 当12,(0,1)x x ∈时,()ln .D f x x M =∉②由32()()3,f x x ax b f x x a '=++⇒=+当3(0,)3x ∈时,'()1.a f x a <<+ (),D f x M ∈∴12121212()()|()()|||,||1,f x f x f x f x x x x x --<-<-即∴111a a ≥-⎧⎨+≤⎩,得10a -≤≤.∴实数a 的取值范围是[1,0]-.。

人教版高中数学选修2-2综合测试卷A(含答案)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作数学选修2-2综合测试卷A （含答案）考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）1．若函数2()cos f x x x =-，则'()f α等于（） A.sin α B.cos αC.2sin αα+D. 2sin αα-2．在平面几何里，有勾股定理：“设A B C ∆的两边AC AB ,互相垂直，则222BC AC AB =+”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ABD 两两互相垂直”，则可得（） A 、222222BD CD BC AD AC AB ++=++B 、2222BCD ABD ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=⨯⨯ C 、2222BCD ABD ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++D 、222222BD CD BC AD AC AB ⨯⨯=⨯⨯3．已知数列：,41,32,23,14,31,22,13,21,12,11…,依前10项的规律，这个数列的第200项200a 满足（）A ．20001a <<B ．2001 1.5a ≤<C ．2001.52a ≤<D ．20015a >4．已知a b c ++>0,ab bc ac ++>0,abc >0,用反证法求证a >0, b >0,c>0的假设为 A.,,a b c 不全是正数 B.a<0,b<0,c<0 C.a ≤0,b>0,c>0 D.abc<0 5．用反证法证明命题“220,0(a b a a +=∈若则、b 全为、b R)”,其反设正确的是A ．0a b 、至少有一个为 B ．0a b 、至少有一个不为C ．0a b 、全不为D ．0a b 、中只有一个为 6．下列求导运算正确的是（A ）22[(3)(1)]326x x x x '-+=-+ （B ）(sin cos )cos sin x x x x '-=- （C ）3()2x x x x e x e '-=- （D ）212()1(1)x x x -'=-++ 7．用反证法证明：某方程“至多有一个解”中，假设正确的是：该方程 ( )A ．无解B ．有一个解C ．有两个解D ．至少有两个解8．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是 ( )A.42n +B.42n -C.24n +D.33n +9．已知函数2210()40x x f x x x a x ⎧+>⎪=⎨--+≤⎪⎩ 在点（1,2）处的切线与()f x 的图像有三个公共点，则a 的取值范围是（） A ．[8,425)--+ B ．(425,425)---+ C ．(425,8]-+ D ．(425,8]---10．若函数)(log )(3ax x x f a -=)1,0(≠>a a 在区间21(-，0)内单调递增，则a 取值范围是( )A.[41，1)B.[43，1)C.49(，)+∞D.(1，49)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）11．函数xxy 2sin=的导数为________.12．如右图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n(2n ≥)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111122=+，111236=+，1113412=+，…，则第8行第4个数（从左往右数）为．13．复数(2)i i +的虚部是．14．已知)1(3)1()(//23-++=xf f x x x f ，则)1()1(//-+ff 的值为 15．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集。

人教a版(数学选修2-2)测试题及参考答案(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改人教a 版（数学选修2-2）测试题第一章导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞ 4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

人教a版高中数学选修2-2全册同步测控知能训练题集含答案

人教A版高中数学选修2-2全册同步测控知能训练题集目录第1章1.1.2知能优化训练第1章1.1.3知能优化训练第1章1.2.2（一）知能优化训练第1章1.2.2（二）知能优化训练第1章1.3.1知能优化训练第1章1.3.2知能优化训练第1章1.3.3知能优化训练第1章1.4知能优化训练第1章1.5.2知能优化训练第1章1.5.3知能优化训练第1章1.6知能优化训练第1章1.7.2知能优化训练第2章2.1.1知能优化训练第2章2.1.2知能优化训练第2章2.2.1知能优化训练第2章2.2.2知能优化训练第2章2.3知能优化训练第3章3.1.1知能优化训练第3章3.1.2知能优化训练第3章3.2.1知能优化训练第3章3.2.2知能优化训练1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量D ．在区间[x 0，x 1]上的导数答案：A2．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析：选C.Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝2(1＋Δx )2－4＋2Δx＝2(Δx )2＋4Δx Δx＝2Δx ＋4.3．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.解析：Δs Δt ＝7(t 0＋Δt )2＋8－(7t 20＋8)Δt＝7Δt ＋14t 0，当li mΔt →0(7Δt ＋14t 0)＝1时，t 0＝114. 答案：1144．求函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数．解：Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －(1－11)＝Δx ＋Δx 1＋Δx，Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li mΔx →0 (1＋11＋Δx )＝2，从而y ′|x ＝1＝2.一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44解析：选B.Δy ＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41.2．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率ΔyΔx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x 解析：选 B.因为Δy ＝[2(1＋Δx )2－1]－(2×12－1)＝4Δx ＋2(Δx )2，所以ΔyΔx＝4＋2Δx ，故选B.3．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81解析：选B.Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×32Δt ＝18＋3Δt ，s ′＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝li mΔt →0(18＋3Δt )＝18，故选B.4．某质点沿曲线运动的方程y ＝－2x 2＋1(x 表示时间，y 表示位移)，则该点从x ＝1到x ＝2时的平均速度为( ) A ．－4 B ．－8 C ．6 D ．－6解析：选D.令f (x )＝y ＝－2x 2＋1，则质点从x ＝1到x ＝2时的平均速度v －＝Δy Δx ＝f (2)－f (1)2－1＝－2×22＋1－(－2×12＋1)2－1＝－6.5．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A ．－0.88 m/s B ．0.88 m/s C ．－4.8 m/s D ．4.8 m/s解析：选C.s ′|t ＝1.2＝li mΔt →02[1－(1.2＋Δt )2]－2(1－1.22)Δt ＝－4.8.6．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选B.∵ΔyΔx ＝f (32＋Δx )－f (32)Δx＝－Δx －3，∴li mΔx →0 ΔyΔx ＝－3.二、填空题7．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为1，则li mx →0f (1＋x )－f (1)x ＝________. 解析：li mx →0f (1＋x )－f (1)x ＝f ′(1)＝1.答案：18．设函数y ＝f (x )＝ax 2＋2x ，若f ′(1)＝4，则a ＝________.解析：li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0a (x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )－ax 2－2xΔx＝li mΔx →02ax ·Δx ＋2·Δx ＋a (Δx )2Δx＝2ax ＋2.∴f ′(1)＝2a ＋2＝4， ∴a ＝1. 答案：19．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则li mΔx →0f (x 0－2Δx )－f (x 0)Δx ＝________.解析：li mΔx →0f (x 0－2Δx )－f (x 0)Δx＝－2li m－2Δx →0f (x 0－2Δx )－f (x 0)－2Δx＝－2f ′(x 0)＝－2×11＝－22. 答案：－22 三、解答题10．若f ′(x 0)＝2，求lim k →0f (x 0－k )－f (x 0)2k 的值．解：令－k ＝Δx ，∵k →0，∴Δx →0. 则原式可变形为lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)－2Δx＝－12lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x )Δx＝－12f ′(x 0)＝－12×2＝－1.11．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ，时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．解：(1)初速度v 0＝li mΔt →0s (Δt )－s (0)Δt＝li m Δt →0 3Δt －(Δt )2Δt ＝li mΔt →0(3－Δt )＝3.即物体的初速度为3 m/s.(2)v 瞬＝li mΔt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝li mΔt →03(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝li mΔt →0－(Δt )2－ΔtΔt＝li mΔt →(－Δt －1)＝－1. 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度相反．(3)v －＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1.即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.12．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的范围．解：∵函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2. 又∵Δx ＞0，∴Δx ＞0，即Δx 的取值范围是(0，＋∞)．1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．2．曲线y ＝－1x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝－x －2解析：选A.f ′(1)＝li m Δx →0 －11＋Δx ＋11Δx ＝li mΔx →0 11＋Δx＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y ＋1＝x －1，即y ＝x －2.3．函数y ＝x 2＋4x 在x ＝x 0处的切线斜率为2，则x 0＝________________________________________________________________________.解析：2＝li mΔx →0(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )－x 20－4x 0Δx＝2x 0＋4，∴x 0＝－1. 答案：－14．求证：函数y ＝x ＋1x图象上的各点处的斜率小于1.证明：∵y ＝li mΔx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝li m Δx →0(x ＋Δx ＋1x ＋Δx)－(x ＋1x )Δx＝x 2－1x 2＝1－1x2<1，∴y ＝x ＋1x 图象上的各点处的斜率小于1.一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线解析：选C.k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2解析：选C.曲线在点A 处的切线的斜率就是函数y ＝2x 2在x ＝2处的导数．f ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li mΔx →02(x ＋Δx )2－2x 2Δx ＝li mΔx →04x ·Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4x .则f ′(2)＝8.3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＝0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＞0 D ．f ′(x 0)不确定解析：选B.曲线在某点处的切线的斜率为负，说明函数在该点处的导数也为负．4．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)解析：选D.k ＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li mΔx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝li mΔx →(2x ＋Δx )＝2x . ∵倾斜角为π4，∴斜率为1.∴2x ＝1，得x ＝12，故选D.5．设f (x )为可导函数，且满足li mx →f (1)－f (1－x )x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( )A ．2B ．－1 C.12D ．－2解析：选B.∵li mx →f (1)－f (1－x )x ＝－1， ∴li mx →0 f (1－x )－f (1)－x ＝－1，∴f ′(1)＝－1. 6．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 解析：选A.y ′＝li mΔx →0(x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )Δx＝li mΔx →0(2x ＋a )Δx ＋(Δx )2Δx ＝2x ＋a ，因为曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线l 的方程是x －y ＋1＝0，所以切线l 的斜率k ＝1＝y ′|x ＝0，且点(0，b )在切线l 上，于是有⎩⎪⎨⎪⎧0＋a ＝10－b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1.二、填空题7．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________. 解析：设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0， ∴x 0＝1.即切点坐标为(1,1)． ∴2－4＋P ＝1，即P ＝3. 答案：38．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.解析：li mΔx →0 a (1＋Δx )2－aΔx ＝li mΔx →0(a ·Δx ＋2a )＝2a ＝2，∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，即ba＝2.答案：29．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P (1，－32)，则过点P 的切线的倾斜角为________．解析：∵y ＝12x 2－2，∴y ′＝li mΔx →012(x ＋Δx )2－2－(12x 2－2)Δx＝li m Δx →0 12(Δx )2＋x ·Δx Δx ＝li m Δx →0(x ＋12Δx )＝x .∴y ′|x ＝1＝1.∴点P (1，－32)处的切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.答案：45° 三、解答题10．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．解：曲线y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)的斜率k ＝y ′|x ＝1＝li m Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx ＝li mΔx →0(3Δx ＋2)＝2.∴过点P (－1,2)直线的斜率为2，由点斜式得y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx＝lim Δx →0 (Δx )2＋2x ·ΔxΔx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x )＝2x .∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解：∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时， ΔyΔx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3.又a <0， ∴a ＝－3.1．函数y ＝x 3cos x 的导数是( ) A ．3x 2cos x ＋x 3sin x B ．3x 2cos x －x 3sin x C ．3x 2cos x D ．－x 3sin x解析：选B.y ′＝(x 3cos x )′＝3x 2cos x ＋x 3(－sin x )＝3x 2cos x －x 3sin x ，故选B. 2．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133 D.103解析：选D.∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4.∴a ＝103.3．曲线y ＝x ln x 在x ＝1处的切线方程为________．解析：∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋1，则切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线方程为y ＝x －1. 答案：y ＝x －14．求下列函数的导数：(1)y ＝3x 2＋x cos x ；(2)y ＝x1＋x；(3)y ＝lg x －e x ；(4)y ＝sin2x －cos2x .解：(1)y ′＝6x ＋cos x －x sin x .(2)y ′＝1＋x －x (1＋x )2＝1(1＋x )2. (3)y ′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln10－e x .(4)法一：y ′＝(sin2x －cos2x )′＝(sin2x )′－(cos2x )′＝2cos2x ＋2sin2x＝22sin(2x ＋π4)．法二：∵y ＝2sin(2x －π4)，∴y ′＝2cos(2x －π4) ·2＝22sin(2x ＋π4)．一、选择题1．下列求导运算正确的是( )A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x ·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x解析：选B.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x2，(3x )′＝3x ln3， (x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .2．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －4B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －5解析：选B.由y ′＝3x 2－6x 在点(1，－1)的值为－3，故切线方程为y ＋1＝－3(x －1)．即y ＝－3x ＋2.3．(2011年高考湖南卷)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12C ．－22 D.22解析：选B.y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－(cos x －sin x )sin x (sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2.故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M (π4，0)处的切线的斜率为12.4．函数y ＝x 2cos2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos2x －x 2sin2x B ．y ′＝2x cos2x －2x 2sin2x C ．y ′＝x 2cos2x －2x sin2x D ．y ′＝2x cos2x ＋2x 2sin2x 解析：选B.y ′＝(x 2cos2x )′ ＝(x 2)′·cos2x ＋x 2·(cos2x )′＝2x cos2x －2x 2sin2x .5．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0解析：选B.由题意知f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，若f ′(1)＝2，即f ′(1)＝4a ＋2b ＝2，从题中可知f ′(x )为奇函数，故f ′(－1)＝－f ′(1)＝－4a －2b ＝－2，故选B.6．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：选B.∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2.∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2. ∴f ′(－1)＝－1. 二、填空题 7．令f (x )＝x 2·e x ，则f ′(x )等于________．解析：f ′(x )＝(x 2)′·e x ＋x 2·(e x )′＝2x ·e x ＋x 2·e x ＝e x (2x ＋x 2)．答案：e x (2x ＋x 2)8．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f ′(x )＝2ax －b cos x ， ∴f ′(0)＝－b ＝1，得b ＝－1，f ′(π3)＝23πa ＋12＝12，得a ＝0.答案：0 －19．若函数f (x )＝e xx 在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，则c 的值为________．解析：∵f (x )＝e x x ，∴f (c )＝e cc ，又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，∴f ′(c )＝e c (c －1)c 2.依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，∴e c c ＋e c(c －1)c 2＝0，∴2c －1＝0得c ＝12.答案：12三、解答题10．求下列函数的导数： (1)f (x )＝ln(8x )；(2)f (x )＝(x ＋1)(1x－1)；(3)y ＝5log 2(2x ＋1)．解：(1)因为f (x )＝ln(8x )＝ln8＋ln x ，所以f ′(x )＝(ln8)′＋(ln x )′＝1x .(2)因为f (x )＝(x ＋1)(1x－1)＝1－x ＋1x－1＝－x ＋1x ＝1－xx，所以f ′(x )＝－1·x －(1－x )·12xx＝－12x(1＋1x )．(3)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln2＝10(2x ＋1)ln2.11．设f (x )＝a ·e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e.求a ，b 的值．解：由f (x )＝a ·e x＋b ln x ，∴f ′(x )＝a ·e x ＋bx ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝a e ＋b ＝e f ′(－1)＝a e －b ＝1e解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0，所以a ，b 的值分别是1,0.12．已知f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.求f (x )的解析式．解：由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .把f (x )，f ′(x )代入方程x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1得： x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0.要使方程对任意x 恒成立，则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0，解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ．6 D ．9 答案：C2．下列结论正确的是( ) A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin x B ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos xC ．若y ＝1x ，则y ′＝－1x2D ．若y ＝x ，则y ′＝x2答案：C3．若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________.解析：∵y ′＝10x ln10，∴y ′|x ＝1＝10ln10. 答案：10ln104．质点的运动方程是s ＝1t5，求质点在t ＝2时的瞬时速度．解：∵s ＝1t 5，∴s ′＝(1t5)′＝(t －5)′＝－5t －6.∴s ′|t ＝2＝－5×2－6＝－564，即质点在t ＝2时的瞬时速度是－564.一、选择题1．y ＝x 2的斜率等于2的切线方程为( ) A ．2x －y ＋1＝0 B ．2x －y ＋1＝0或2x －y －1＝0 C ．2x －y －1＝0 D ．2x －y ＝0解析：选C.设切点为(x 0，y 0)，y ′＝2x .y ′|x ＝x 0＝2x 0＝2，x 0＝1，y 0＝1，∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0，故选C.2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A ．(12，2)B ．(12，2)或(－12，－2)C ．(－12，－2)D ．(12，－2)解析：选B.y ′＝(1x )′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B.3．已知f (x )＝x a，则f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5解析：选A.f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4.故选A. 4．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②(sin π3)′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④(－1x )′＝12x x.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选B.因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而(32)′＝0，所以②错误；(1x2)′＝(x －2)′＝－2x －3，所以③错误； (－1x )′＝(－x －12)′＝12x －32＝12x x，所以④正确，故选B.5．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．[0，π4]∪[3π4，π) B ．[0，π)C ．[π4，3π4]D ．[0，π4]∪[π2，3π4]解析：选A.设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，切线的倾斜角为α. ∵y ′＝cos x ，∴tan α＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0. ∵－1≤cos x 0≤1，∴－1≤tan α≤1.又0≤α<π，∴α∈[0，π4]∪[3π4，π)．6．已知命题p ：函数y ＝f (x )的导函数是常数函数；命题q ：函数y ＝f (x )是一次函数．则命题p 是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B.常数函数的导数也是常数函数．故由p 不能得q ，而由q 能得出p . 二、填空题7．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________________________________________________________________________.解析：∵f ′(x )＝1x ln a ，∴f ′(1)＝1ln a ＝－1.∴ln a ＝－1，a ＝1e.答案：1e8．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，若f ′(x )－g ′(x )＝－1，则x ＝________. 解析：f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2，∴2x －3x 2＝－1，解得x ＝1或－13.答案：1或－139．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________．解析：因为y ′＝(ln x )′＝1x ，设切点为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.由ln x 0－1＝0，得x 0＝e.∴k ＝1e.答案：1e三、解答题10．求下列函数的导数：(1)f (x )＝log 2x ；(2)f (x )＝2－x .解：(1)f ′(x )＝(log2x )′＝1x ln 2＝2x ln2. (2)∵2－x ＝(12)x ，∴f ′(x )＝[(12)x ]′＝(12)x ln 12＝－(12)x ln2.11．求与曲线y ＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直于点P 的直线方程．解：∵y ＝3x 2，∴y ′＝(3x 2)′＝(x 23)′＝23x －13，∴y ′|x ＝8＝23×8－13＝13.即在点P (8,4)的切线的斜率为13.∴适合题意的切线的斜率为－3.从而适合题意的直线方程为y －4＝－3(x －8)，即3x ＋y －28＝0.12．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2012(x )．解：f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4， ∴f 2012(x )＝f 0(x )＝sin x .1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A. 2．(2011年高考辽宁卷)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，＋∞)解析：选B.设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则m ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}，即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．3．函数y ＝3x －x 3在(－1,1)内的单调性是____________．解析：y ′＝3－3x 2，令y ′<0得x >1或x <－1，令y ′>0得－1<x <1.∴原函数在(－1,1)上是单调递增函数．答案：单调递增4．求下列函数的单调区间． (1)y ＝x －ln x ；(2)y ＝12x.解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．其导数为y ′＝1－1x .令1－1x >0，解得x >1；再令1－1x<0，解得0<x <1.因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)，函数的单调减区间为(0,1)．(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．y ′＝－12x 2，所以当x ≠0时，y ′＝－12x2<0，而当x ＝0时，函数无意义，所以y ＝12x 在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是减函数，即y ＝12x 的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．一、选择题1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.2．函数y ＝4x 2＋1x 的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(12，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C.∵y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，∴x >12.即函数的单调递增区间为(12，＋∞)．3．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定解析：选A.因f ′(x )>0，所以f (x )在(a ，b )上是增函数，所以f (x )>f (a )≥0. 4．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝2－3x 2 B ．y ＝ln xC ．y ＝1x －2D ．y ＝sin x解析：选C.对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1(x －2)2＜0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C.5．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B.()π，2π C.⎝⎛⎭⎫3π3，5π2D.()2π，3π 解析：选B.y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′恒大于或等于0即可．∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′≥0恒成立．6．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )A ．a ≥13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0解析：选D.因为y ′＝3ax 2－1，函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以y ′＝3ax 2－1≤0恒成立，即3ax 2≤1恒成立．当x ＝0时，3ax 2≤1恒成立，此时a ∈R ；当x ≠0时，若a ≤13x2恒成立，则a ≤0.综上可得a ≤0. 二、填空题7．y ＝x 2e x 的单调递增区间是________．解析：∵y ＝x 2e x ，∴y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝e x x (2＋x )>0⇒x <－2或x >0. ∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)．答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________. 解析：∵y ′＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知[－1,2]是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集，∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的根，由根与系数的关系得b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－69．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间， ∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×(－4)×a >0， ∴a >0.答案：(0，＋∞) 三、解答题10．求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝x 3＋3x ；(2)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)．解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝3x 2－3x 2＝3(x 2－1x2)，由f ′(x )>0，解得x <－1或x >1，由f ′(x )<0，解得－1<x <1且x ≠0，∴f (x )的递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，递减区间为(－1,0)，(0,1)．(2)f ′(x )＝cos x (1＋cos x )＋sin x (－sin x ) ＝2cos 2x ＋cos x －1＝(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵0≤x ≤2π，∴由f ′(x )＝0得x 1＝π3，x 2＝π，x 3＝53π，↗ ↘↘ ↗ ∴f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)的单调递增区间为[0，π3]，[53π，2π]，单调递减区间为[π3，53π]．11．已知函数f (x )＝x 2·e x －1＋ax 3＋bx 2，且x ＝－2和x ＝1是f ′(x )＝0的两根． (1)a ，b 的值；(2)f (x )的单调区间．解：(1)∵f ′(x )＝e x －1(2x ＋x 2)＋3ax 2＋2bx＝x e x －1(x ＋2)＋x (3ax ＋2b )，又x ＝－2和x ＝1为f ′(x )＝0的两根， ∴f ′(－2)＝f ′(1)＝0，故有⎩⎪⎨⎪⎧－6a ＋2b ＝03＋3a ＋2b ＝0，解方程组得a ＝－13，b ＝－1.(2)∵a ＝－13，b ＝－1，∴f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)，令f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1，当x ∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(－2,0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)和(0,1)．12．已知函数f (x )＝ax －ax－2ln x (a ≥0)，若函数f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝a ＋a x2－2x ，要使函数f (x )在定义域(0，＋∞)内为单调函数，只需f ′(x )在(0，＋∞)内恒大于0或恒小于0.当a ＝0时，f ′(x )＝－2x<0在(0，＋∞)内恒成立；当a >0时，要使f ′(x )＝a (1x －1a )2＋a －1a ≥0恒成立，∴a －1a ≥0，解得a ≥1.综上，a 的取值范围为a ≥1或a ＝0.1．设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是()A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0答案：A2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝()A．2B．3C．4 D．5解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0∴a＝5.3．y＝x3－6x＋a的极大值为________．解析：y′＝3x2－6＝0，得x＝±2.当x<－2或x>2时，y′>0；当－2<x<2时，y′<0.∴函数在x＝－2时，取得极大值a＋4 2.答案：a＋4 24．求函数f(x)＝x＋1x的极值．解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－1x2＝(x＋1)(x－1)x2，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.当↗极大值y极小值＝f(1)＝2.一、选择题1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.2．下列函数存在极值的是()A．y＝1x B．y＝x－exC．y＝x3＋x2＋2x－3 D．y＝x3解析：选B.A中f′(x)＝－1x2，令f′(x)＝0无解，∴A中函数无极值．B中f′(x)＝1－ex，令f ′(x )＝0可得x ＝0.当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时， f ′(x )<0.∴y ＝f (x )在x ＝0处取极大值，f (0)＝－1. C 中f ′(x )＝3x 2＋2x ＋2，Δ＝4－24＝－20<0. ∴y ＝f (x )无极值．D 也无极值．故选B.3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如题图所示，函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．4．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．2，－1C ．－1D ．－3 解析：选C.f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －2)·(x ＋1)，∵在x ＝－1的附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0， ∴x ＝－1时取极小值．5．已知函数y ＝x －ln(1＋x 2)，则y 的极值情况是( ) A ．有极小值 B ．有极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．无极值解析：选D.f ′(x )＝1－2x1＋x 2＝(x －1)21＋x 2≥0，∴函数f (x )在定义域R 上为增函数，故选D. 6．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a 、b 的值为( ) A ．a ＝－4，b ＝11B ．a ＝－4，b ＝1或a ＝－4，b ＝11C ．a ＝－1，b ＝5D ．以上都不正确解析：选A.f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，∵在x ＝1处f ′(x )有极值，∴f ′(1)＝0，即3－2a －b ＝0.①又f (1)＝1－a －b ＋a 2＝10，即a 2－a －b －9＝0.② 由①②得a 2＋a －12＝0，∴a ＝3或a ＝－4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故f (x )在R 上单调递增，不可能在x ＝1处取得极值，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－3舍去．二、填空题7．函数f (x )＝x 3－6x 2－15x ＋2的极大值是________，极小值是________．解析：f ′(x )＝3x 2－12x －15＝3(x －5)(x ＋1)，在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f ′(x )>0，在(－1,5)上 f ′(x )<0，∴f (x )极大值＝f (－1)＝10，f (x )极小值＝f (5)＝－98. 答案：10 －988．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R ，有大于零的极值点，则a 的取值范围为________．解析：y ′＝e x ＋a ，由y ′＝0得x ＝ln(－a )．由题意知ln(－a )>0，∴a <－1. 答案：(－∞，－1)9．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值等于13，则实数m 等于________．解析：y ′＝－3x 2＋12x ，由y ′＝0，得x ＝0或x ＝4，容易得出当x ＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m ＝13，解得m ＝－19. 答案：－19 三、解答题10．求下列函数的极值．(1)f (x )＝x 3－22(x －1)2；(2)f (x )＝x 2e －x .解：(1)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．∵f ′(x )＝(x －2)2(x ＋1)2(x －1)3，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝2.↗ ↘ ↗ ↗ 并且极大值为f (－1)＝－38.(2)函数的定义域为R ，f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·(1ex )′＝2x e －x －x 2e －x＝x (2－x )e －x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x ↘ ↗ ↘且为f (2)＝4e －2.11．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值．解：∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .↗ ↘ ↗∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52，∴m ＝1.12．(2010年高考安徽卷)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1，0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值．解：由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1，于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4)．令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22，得x ＝π，或x ＝3π2.当x ↗ ↘ ↗ 因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(3π2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上( ) A ．极大值一定比极小值大 B ．极大值一定是最大值 C ．最大值一定是极大值 D ．最大值一定大于极小值解析：选D.由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值．2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值解析：选D.f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3．函数y ＝4x 2(x －2)在x ∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________．解析：由y ′＝12x 2－16x ＝0，得x ＝0或x ＝43.当x ＝0时，y ＝0；当x ＝43时，y ＝－12827；当x ＝－2时，y ＝－64；当x ＝2时，y ＝0. 比较可知y max ＝0，y min ＝－64. 答案：－64 04．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.求：(1)函数的极值；(2)函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．解：(1)f ′(x )＝x 2－4，解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当↗ ↘ ↗ 从上表可看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为283；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为－43.(2)f (－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f (4)＝13×43－4×4＋4＝283，与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是283，最小值是－43.一、选择题1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5)C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3) 解析：选B.∵f ′(x )＝－2x ＋4， ∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0，故f (x )在[3,5]上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)．2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4解析：选C.f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0可得x ＝0或x ＝2(舍去)，当－1≤x <0时，f ′(x )>0，当0<x ≤1时，f ′(x )<0. 所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为2.3．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1 B ．eC ．e 2 D.103解析：选A.令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx 2＝0.解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当x <e时，y ′>0.y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.4．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1C ．πD ．π＋1解析：选C.因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，y ′>0，则函数y 在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C.5．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15 D ．－22解析：选B.f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f ′(x )＝0得x ＝3，－1.又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27， f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71.6．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32 B.12C ．－12 D.12或－32解析：选C.当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减函数，f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．二、填空题7．函数y ＝x e x 的最小值为________．解析：令y ′＝(x ＋1)e x ＝0，得x ＝－1. 当x <－1时，y ′<0；当x >－1时，y ′>0.∴y min ＝f (－1)＝－1e.答案：－1e8．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m2.由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]9．函数f (x )＝ax 4－4ax 2＋b (a >0,1≤x ≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a ＝________，b ＝________.解析：y ′＝4ax 3－8ax ＝4ax (x 2－2)＝0， x 1＝0，x 2＝2，x 3＝－2，又f (1)＝a －4a ＋b ＝b －3a ，f (2)＝16a －16a ＋b ＝b ， f (2)＝b －4a ，f (0)＝b ，f (－2)＝b －4a . ∴⎩⎪⎨⎪⎧b －4a ＝－5，b ＝3，∴a ＝2. 答案：2 3 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2，x ＝2是f (x )的一个极值点，求： (1)实数a 的值；(2)f (x )在区间[－1,3]上的最大值和最小值．解：(1)∵f (x )在x ＝2处有极值，∴f ′(2)＝0. ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ，∴3×4＋4a ＝0，∴a ＝－3. (2)由(1)知a ＝－3，∴f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x . 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.当↗ ↘ ↗11．(2011年高考安徽卷)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．解：对f (x )求导得f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.① (1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝1.结合①，可知↗ ↘ ↗所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知1＋ax 2－2ax ≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1. 所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}． 12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最大值和最小值．解：(1)令f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3＞0，∴a ＜⎣⎡⎦⎤32(x ＋1x )min ＝3(当x ＝1时取最小值)． ∵x ≥1，∴a ＜3，a ＝3时亦符合题意， ∴a ≤3.(2)f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去)．当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0，当3＜x ＜5时，f ′(x )＞0，即当x ＝3时，f (x )的极小值f (3)＝－9. 又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15.1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203C ．－1D ．－8解析：选C.原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x ＞0)；生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，则应生产( ) A ．6千台 B ．7千台 C ．8千台 D ．9千台解析：选A.设利润为y (万元)，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x ＞0)，∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x ·(x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．故选A.3．把长60 cm 的铁丝围成矩形，当长为________cm ，宽为________cm 时，矩形面积最大．解析：设长为x cm ，则宽为(30－x ) cm ，所以面积S ＝x (30－x )＝－x 2＋30x . 由S ′＝－2x ＋30＝0，得x ＝15. 答案：15 154．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2160×100002000x＝560＋48x ＋10800x (x ≥10，x ∈N *)f ′(x )＝48－10800x2.令f ′(x )＝0，得x ＝15. 当x >15时，f ′(x )>0；当10≤x <15时，f ′(x )<0.因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2000(元)．故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．一、选择题1．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒运动的距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( ) A ．1秒末 B ．0秒 C ．4秒末 D ．0,1,4秒末解析：选D.∵s ′＝t 3－5t 2＋4t ，令s ′＝0，得t 1＝0，t 2＝1，t 3＝4，此时的函数值最大，故选D.2．用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( ) A ．6 cm B ．8 cm C ．10 cm D ．12 cm解析：选 B.设截去小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3.所以V ＝x (48－2x )2(0<x <24)，V ′＝12(x －8)(x －24)．令V ′＝0，则x ＝8∈(0,24)．3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( ) A ．32米，16米 B ．30米，15米 C ．40米，20米 D ．36米，18米解析：选A.要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x 米，则长为512x 米，因此新墙总长度L ＝2x ＋512x(x >0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝±16. ∵x >0，∴x ＝16.当x ＝16时，L 极小值＝L min ＝64，∴堆料场的长为51216＝32(米)．4．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C.因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当x ∈(0,9)时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值． 5．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( ) A ．150 B ．200 C ．250 D ．300解析：选D.由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20000，0≤x ≤390.由P ′(x )＝0，得x＝300.当0≤x <300时，P ′(x )>0，当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大．6．若一球的半径为r ，则内接于球的圆柱的侧面积最大为( ) A ．2πr 2 B ．πr 2C ．4πr 2 D.12πr 2解析：。

(人教A版)高中数学【选修2-2】：本册综合测试试卷(含答案)

本册综合测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.1＋2i (1－i )2＝( ) A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12iD ．1－12i解析 1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i ＝(1＋2i )i －2i ·i ＝－1＋12i .答案 B2．若f(x)＝e x ，则lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)Δx＝( ) A ．e B ．－e C ．2eD ．－2e解析 ∵f(x)＝e x ，∴f ′(x)＝e x ，f ′(1)＝e . ∴lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)Δx ＝－2lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)－2Δx＝－2f ′(1)＝－2e .答案 D3．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x 的值为( ) A ．29 B ．31 C ．32D ．33解析观察前几项知，5＝2＋3，11＝5＋2×3,20＝11＋3×3， x ＝20＋4×3＝32,47＝32＋5×3. 答案 C4．函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的最大值是M ，最小值是m ，若m ＝M ，则f ′(x)( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能答案 A5．已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞)B ．[－3， 3 ]C ．(－∞，－ 3 )∪(3，＋∞)D ．(－3， 3 )解析 f ′(x)＝－3x 2＋2ax －1，若f(x)在(－∞，＋∞)上为单调函数只有f ′(x)≤0， ∴Δ＝(2a)2－4(－3)(－1)≤0，解得－3≤a ≤ 3. 答案 B6．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<n(n ∈N *且n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13<2 C ．1＋12＋13<3 D ．1＋12＋13＋14<3答案 B7．对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，有f ′(x )>0，g ′(x )＞0，则x <0时，有( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )<0，g ′(x )>0C ．f ′(x )<0，g ′(x )<0D ．f ′(x )>0，g ′(x )<0解析由f (－x )＝－f (x )及g (－x )＝g (x )知，f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，由函数奇偶性的性质得f ′(x )>0，g ′(x )<0.答案 D8．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝13(23－13)＝73，S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪ 21＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e .∵e 2－e >4，ln 2<lne ＝1,2<73<3， ∴S 3>S 1>S 2. 答案 B9．曲线y ＝13x 3＋12x 2在点T(1，56)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A .4918B .4936C .4972D .49144解析 y ′＝x 2＋x ，y ′|x ＝1＝2，∴切线方程为y －56＝2(x －1)，与坐标轴的交点分别为(0，－76)，(712，0)，故切线与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×76×712＝49144.答案 D10．在平面直角坐标系中，直线x －y ＝0与曲线y ＝x 2－2x 所围成的面积为( )A ．1B .52C .92D ．9解析如图所示由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x ，y ＝x ，得交点(0,0)，(3,3)． ∴阴影部分的面积为S ＝⎠⎛03(x －x 2＋2x)d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x)d x ＝(－13x 3＋32x 2)⎪⎪⎪ 30＝－9＋272＝92.答案 C11．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 有一个能被5整除D ．a ，b 有一个不能被5整除答案 B12．桌上放着红桃、黑桃和梅花三种牌，共20张，下列判断正确的是( )①桌上至少有一种花色的牌少于6张；②桌上至少有一种花色的牌多于6张；③桌上任意两种牌的总数将不超过19张．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．关于x 的不等式mx 2－nx ＋p >0(m ，n ，p ∈R )的解集为(－1,2)，则复数m ＋p i 所对应的点位于复平面内的第________象限．解析因为mx 2－nx ＋p >0(m ，n ，p ∈R )的解集为(－1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <0，(－1)＋2＝n m ，(－1)×2＝p m ，解得m <0，p >0.故复数m ＋p i 所对应的点位于复平面内的第二象限．答案第二14．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ，若⎠⎛1－1f(x)d x ＝2f(a)成立，则a ＝________.解析 ∵⎠⎛1－1(3x 2＋2x)d x ＝(x 3＋x 2)⎪⎪⎪ 1－1＝2， ∴2(3a 2＋2a)＝2.即3a 2＋2a －1＝0，解得a ＝－1，或a ＝13. 答案－1或13 15．观察下列等式： (1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …照此规律，第n 个等式可为________________．解析观察上列等式可得第4个等式为(4＋1)(4＋2)(4＋3)(4＋4)＝24×1×3×5×7，…，第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n)＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)．答案 (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1) 16．若函数f(x)＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．解析 f ′(x)＝4(x 2＋1)－4x·2x (x 2＋1)2＝4(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，令f ′(x)>0，得(1＋x)(1－x)>0，解得－1<x<1.若在区间(m,2m ＋1)上是单调增函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧m>－1，2m ＋1<1，解得－1<m<0.但m ＝0时，也适合，故－1<m ≤0.答案 (－1,0]三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)用反证法证明：在△ABC 中，若sin A>sin B ，则∠B 必为锐角．证明假设B 不是锐角，则0°<∠A<∠A ＋∠C ＝180°－∠B ≤90°， ∴sin A<sin (180°－B)，即sin A<sin B ，这与已知sin A>sin B 矛盾，故∠B 必为锐角．18．(12分)已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，∫10f(x)d x＝－2.(1)求f(x)的表达式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．解 (1)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则f ′(x)＝2ax ＋b.由f(－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0.∴f(x)＝ax 2＋2－a.又∵⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01(ax 2＋2－a)d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋(2－a )x ⎪⎪⎪10＝13a ＋2－a ＝－2，∴a ＝6.从而c ＝－4.故f(x)＝6x 2－4.(2)∵f(x)＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，∴f(x)min ＝－4.f(x)max ＝f(－1)＝f(1)＝2.故f(x)在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－4.19．(12分)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx 在点x 0处取得极小值－7，其导函数y ＝f ′(x)的图象经过点(－1,0)，(2,0)，如图所示，试求x 0，a ，b ，c 的值．解由y ＝f ′(x)的图象可知，在(－∞，－1)上f ′(x)<0，在(－1,2)上f ′(x)>0，在(2，＋∞)上f ′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1,2)上递增，在(2，＋∞)上递减．因此，f(x)在x ＝－1处取得极小值，所以x 0＝－1.∵f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ， ∴f ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c.故由f ′(－1)＝0，f ′(2)＝0，f(－1)＝－7，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，－a ＋b －c ＝－7，解得a ＝－2，b ＝3，c ＝12.20．(12分)设f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)∵f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ＝ax 2－10ax ＋25a ＋6ln x ， ∴f ′(x )＝2ax －10a ＋6x ＝2a (x －5)＋6x . 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝－8a ＋6.故曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)．又点(0,6)在切线上，得6－16a ＝8a －6，∴a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x ，(x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x . 令f ′(x )＝0，得x 1＝2，x 2＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )的增区间为(0,2)，(3，＋∞)；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )的减区间为(2,3)．由此可知，当x ＝2时，f (x )取得极大值f (2)＝92＋6ln2. 当x ＝3时，f (x )取得极小值f (3)＝2＋6ln3.21．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．(1)写出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n 的表达式．解 (1)易求得S 1＝1＝22，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.(2)①当n ＝1时，S 1＝2×11＋1＝1，猜想成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，S k ＝2kk ＋1，则当n ＝k ＋1时， S k ＋1＝(k ＋1)2a k ＋1 ＝(k ＋1)2(S k ＋1－S k )，∴S k ＋1＝(k ＋1)2k 2＋2k ·2k k ＋1＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1，这表明当n ＝k ＋1时，猜想也成立．根据①，②可知，对n ∈N *， S n ＝2n n ＋1，从而a n ＝S n n 2＝2n (n ＋1).22．(12分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k 2x 2(k ≥0)． (1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间．解 (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ，x ∈(－1，＋∞)，当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x，所以在区间(－1,0)上f ′(x )>0；在区间(0，＋∞)上f ′(x )<0，故f (x )的单调增区间为(－1,0)，单调减区间为(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk >0.匠心文档，专属精品。

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12分19.已知)(x f =a 3x +b 2x +cx （a ≠0）在x=±1时取得极值且f （1）= -1 试求常数a 、b 、c 的值并求极值。

12分 20.已知函数)(x f =1323++-x ax x a . （1）若)(x f 在（－∞，+∞）上是增函数，求a 的取值范围.(2) 若)(x f 在x=x 1及x=x 2 (x 1, x 2>0)处有极值，且1<21x x ≤5,求a 的取值范围。

12分 21.已知函数)(x f =ax 3+cx+d(a ≠0)在R 上满足 )(x f -=－)(x f , 当x=1时)(x f 取得极值－2. (1)求)(x f 的单调区间和极大值;(2)证明：对任意x 1,x 2∈(－1,1),不等式│)()(21x f x f -│<4恒成立. 14分22.如图在边长为4的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，在把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底盒子.xx（1）问切去的小正方形边长为多少时，盒子容积最大？最大容积1V 是多少？（2）上述做法，材料有所浪费，如果可以对材料进行切割、焊接，请你重新设计一个方案，使材料浪费最少，且所得无盖的盒子的容积2V >1V 14分答案：1.A2.D3.C4.B5.C6.D7.A8.B9.B10.D11.A12B13. 1 14.[－1,1] 15.2x －y+4=0 16.932 提示：1.A f(1)=f(0)=0最大2. D ∵S '=4t+1∴当t=1时的瞬时速度为5米/秒3. 选Ｃ∵)(/x f =－2x ∴)1(/-f =－1即tan α=－1∴α=135º4. 选B ∵y '=－2+32x <0,∴－36<x <36 5. C ∵23x y ='∴该点处的切线斜率为3，∴所求直线方程为y=－31(x+1)即Ｃ答案 6. 选Ｄ∵y ' =2x , y '│x=1=1,∴切线斜率为1,又直线斜率为－1∴两直线垂直∴夹角为90º7. A ∵)(/x f =32x +2ax ，切线的斜率k=3+2a ，3+2a= -3 ∴a=-3又∵f （1）=a+b+1=0 ∴b=2，故选A8. 选B ∵)(/x f =3a 2x +6x ∴)1(/-f =3a －6∴a=310 9. 选B ∵y '=32x －12, 由y '=0得x =±2当x =±2，x =±3时求得最大值32，最小值0 10. D ∵)(/x f =32x －a ，∴若)(x f 为增函数，则)(/x f >0即a<32x 要使a<32x , x ∈[1,+∞)，上恒成立，∴a ≤3故选D 11. A 令)(/x f =0得x =0或x =2，而f(0)=m,f(2)=－8+m,f(－2)=－40+m 显然f(0)>f(2)>f(－2)∴m=3最小值为f(－2)=－37故选A12. B ∵)(/x f =32x +1,∴)(/x f >0∴)(x f 在上是增函数，且)(x f 是奇函数，∴f(x 1)<f(－x 2), f(x 2)<f(－x 3), f(x 3)<f(－x 1)∴f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<－[f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)]即f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<0故选B13.由题意可知切线斜率为1，由导数定义知)1(/f =1 14. ∵)(/x f =32x －3∴令32x －3≤0解得－1≤x ≤115. ∵y '=6x －4∴k=y '│x=1=2∴直线方程为y －2=2(x +1)即2x －y+4=016. ∵)(x f =x －3x ∴)(/x f =1－32x =0得x =33可知当x =33时函数值为最大值，最大值是932 17. 解：由题意可知f(0)=1，f(1)=－1，)1(f '=1，.…………..6分∴⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+=11241c b a b a c 解之得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===29251b ac .………….11分∴)(x f =1292524+-x x .…………..12分 18. 证明：∵y= a(x －x 1)(x －x 2)=ax 2－a(x 1+ x 2)x+a x 1 x 2.…………..3分 ∴y '=2ax －a(x 1+x 2) .………….6分∴k 1=y '│x=x 1=a(x 1－x 2) k 2=y '│x=x 2=a(x 2－x 1) .…………..9分设两切线与x 轴所成锐角为θ1和θ 2则tan θ1=│a(x 1－x 2)│=│a │(x 2－x 1)>0, tan θ2=│a(x 2－x 1)│=│a │(x 2－x 1)>0………11分∴tan θ1= tan θ2.…………..12分19. 解：)(/x f =3a 2x +2bx+c ，.…………3分∵)(x f 在x=±1时取得极值∴x=±1是)(/x f =0即3a 2x +2bx+c=0的两根………6分 ∴⎩⎨⎧=+-=++)2(023)1(023c b a c b a ∵f （1）= -1 ∴ a+b+c=-1（3）由（1），（2），（3）得a=21， b=0，c=23-………9分 ∴)(x f = 213x 23-x ，∴)(/x f =23（x –1）（x+1）当x<-1或x>1时，)(/x f >0，当-1<x<1时，)(/x f <0∴)(x f 在（-∞，-1）及（1，+∞）上是增函数，在（-1，1）是减函数………11分 ∴当x= -1时函数取得极大值f （-1）=1当x=1时函数取得极小值f （1）= -1………12分20. 解：(1)∵)(x f '=ax 2－2ax+1……………………………...….1分∴当a=0时，，)(x f '=1>0,故结论成立………………………………2分当a>0时,[ )(x f ']min =)1(f '=1－a ≥0,∴a ≤1即0<a ≤1.…………..4分当a<0时, )(x f '在(0,+∞)上不恒大于或等于0，故舍去.…………..5分综上得a 的取值范围是0≤a ≤1.(2) 令)(x f '=ax 2－2ax+1=0，由题知其二根为x 1，x 2且x 1+x 2=2，x 1x 2=a1…………..7分 ∵1<21x x ≤5 ∴x 1≤2－x 2≤5x 1 ∴31≤x 1<1 …………..9分∴x 1(2－x 2)=a 1 ∴a1=－(x 1－1)2+1…………..11分 ∴95≤a 1<1 ∴1<a ≤59…………..12分 21. 解：（1）由)(x f -=－)(x f (x ∈R)得.d=0∴)(x f = ax 3+cx , )(x f '=ax 2+c. (2)分由题设f(1)=－2为)(x f 的极值,必有)1(f '=0∴⎩⎨⎧=+=+030c a c a 解得a=1,c=－3∴)(x f ' =3x 2－3=3(x －1)(x+1) 从而)1(f '=)1(-'f =0. …………4分当x ∈(－∞,－1)时, )(x f '>0则)(x f 在(－∞,－1)上是增函数; …………5分在x ∈(－1,1)时, )(x f '<0则)(x f 在(－1,1)上是减函数…………6分当x ∈(1,+∞)时, )(x f '>0则)(x f 在(1,+∞)上是增函数…………7分 ∴)1(-f =2为极大值. …………9分(2)由(1)知, )(x f =x x 33-在[－1,1]上是减函数,且)(x f 在[－1,1]上的最大值M=)1(-f =2,在[－1,1]上的最小值m= f(2)=－2. …………12分对任意的x 1,x 2∈(－1,1),恒有│)()(21x f x f -│<M －m=2－(－2)=4…………14分. 22. 解：（1）设切去的正方形边长为x ，则焊接成的盒子的底面边长为4－2x ，高为x .所以1V =(4－2x )2²x =4(3x －42x +4x ),(0<x <2) ………5分∴1V '=4(32x －8x +4). ………6分令1V '=0得x 1=32 ,x 2=2（舍去）而1V '=12(x －32)(x －2)又当x <32时，1V '>0, 当32<x <2时，1V '<0∴当x =32时盒子容积最大，最大容积1V 是27128………9分方案：如下图a ，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图b ，将切下的小正方形焊接成长方形再焊在原正方形一边；如图c 再焊成盒子123411212321图a 图b 图c新焊成的盒子的容积2V 为：3³2³1=6,显然2V >1V 故此方案符合要求。

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