最新人教版高中数学必修4第三章《半角的正弦、余弦和正切》课堂探究

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38484_《半角的正弦、余弦和正切》教案2 新人教B版必修4

3.2.2半角的正弦余弦和正切（－）教学目标1知识目标：会推导半角的正弦，余弦和正切并会用半角公式进行证明，求值和化简2能力目标：会灵活运用公式进行推导变形3情感目标灵活运用公式化繁为简（二）教学重点，难点重点半角公式的推导方法和结构特征及应用公式求值，化简，证明难点是用公式求值（三）教学方法引导学生复习二倍角公式，按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式，课堂上在老师引导下，以学生为主体，分析公式的结构特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进行化简证明和求值，老师为学生创设问题情景，鼓励学生积极探究。

教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习二倍角公式，提出问题，并引出新课让学生默写二倍角公式，让学生思考二倍角公式的实质？学生练习求sin1200Cos1200tan1200。

老师提出问题学生思考a可看作哪个角的2倍角？怎样用二倍角公式写出sinacosatana？学生默写以旧引新，注意创设问题的情景，通过设疑，引导学生开展积极的思维活动公式的推导公式sin2α,cos2α,tan2α的推导，老师启发学生思考有时常用a的三角函数表示2α的三角函数，比如sin2α，cos2α可以用a的哪个三角函数怎样表示？学生推出结论得到cos2α=1cos2α+±sin2α=1cos2α-±tan2α=1cos1cosαα-±+通过设疑使学生学会分析问题，掌握公式的推导过程公式的理解（1）公式有何特点？如何记忆？(2)公式有何用途？老师：公式有何特点？如何记忆？学生回答：老师补充：（1）可以把a看作二倍角来记(2)公式用cosa表示出cos2αsin2αtan2α的三角函数公式前的符号取决于2α所在象限（3）公式可以用来化简，证明，求值引导学生观察，分析，记忆培养学生能力。

强调注意事项。

根据公式特点分析应用公式的应用例1求sin150Cos150,tan150练习：习题3－2 A1练习B，1得规律用根式求值时一般处理办法如下①如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号②如果给出a的具体范围时，则先求出2α所在范围，然后再根据2α所在范围选用符号③如给出的角时某一象限的角时，则根据下表决定符号sin2αcos2αtan2α第一象限第一，三象限＋，－＋，－+第二象限第一，三象限＋，－＋，－+第三象限第二，四象限＋，－－,＋－第四象限第二，四象限＋，－－,＋－通过练习使学生进一步理解公式及其应用，明确公式的用法公式补充例2求证tan2α＝sin1cosαα+＝1cossinαα-老师引导学生证明得到结论。

高中数学人教版必修四学案：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切[学习目标] 1.了解由二倍角的余弦公式推导半角的正弦、余弦、正切公式的过程.2.能正确运用半角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．[知识链接]1．代数式变换与三角变换有什么不同？答代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．2．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α.(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. [预习导引]1．半角公式(1)S α2：sin α2＝± 1－cos α2； (2)C α2：cos α2＝± 1＋cos α2； (3)T α2：tan α2＝± 1－cos α1＋cos α(无理形式) ＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α(有理形式)． 2．半角公式变形(1)sin 2α2＝1－cos α2；(2)cos 2α2＝1＋cos α2； (3)tan 2α2＝1－cos α1＋cos α.要点一三角函数的求值例1 已知sin α＝－817且π<α<32π，求sin α2，cos α2，tan α2的值．解 ∵sin α＝－817，π<α<32π，∴cos α＝－1517. 又π2<α2<34π， ∴sin α2＝ 1－cos α2＝ 1＋15172＝41717， cos α2＝－ 1＋cos α2＝－ 1－15172＝－1717， tan α2＝sin α2cos α2＝－4. 规律方法对于给值求值问题，其关键是找出已知式与所求式之间的角、运算及函数的差异，一般需适当变换已知式或变换所求式，建立已知式与所求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用．跟踪演练1 已知sin α＝1213，sin(α＋β)＝45，α、β均为锐角，求cos β2的值．解 ∵0<α<π2，sin α＝1213， ∴cos α＝1－sin 2 α＝513. 又∵0<α<π2，0<β<π2， ∴0<α＋β<π.若0<α＋β<π2， ∵1213>45，即sin α>sin(α＋β)， ∴α＋β<α不可能．∴π2<α＋β<π. 又∵sin(α＋β)＝45，∴cos(α＋β)＝－35. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－35×513＋45×1213＝3365. 而0<β<π2，0<β2<π4， ∴cos β2＝ 1＋cos β2＝76565. 要点二三角函数的化简例2 化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)．解原式＝ ⎝⎛⎭⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ24cos 2θ2＝cos θ2⎝⎛⎭⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2cos θ⎪⎪⎪⎪cos θ2. ∵0<θ<π，∴0<θ2<π2，∴cos θ2>0， ∴原式＝－cos θ.规律方法 (1)式子中含有1＋cos θ，1－cos θ等形式时，常需要用半角公式升幂．(2)在开方时要注意讨论角的范围．跟踪演练2 化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α. 解由tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α，则原式＝cos 2α2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αcos 2α＝1.1．设5π＜θ＜6π，cosθ2＝a，那么sinθ4等于()A．－1＋a2B．－1－a2C．－1＋a2D．－1－a2答案 B解析由cosθ2＝1－2sin2θ4得sin2θ4＝1－cosθ22，又5π＜θ＜6π，∴5π4＜θ4＜3π2.∴sinθ4＜0.∴sinθ4＝－1－a2. 2．已知cos θ＝79，且270°＜θ＜360°，则cosθ2的值为() A.23B．－223C．±233D．－23答案 B解析∵cos θ＝2cos2θ2－1，∴cos2θ2＝1＋cos θ2，∵270°＜θ＜360°∴135°＜θ2＜180°，∴cosθ2＜0，∴cosθ2＝－1＋cos θ2＝－1＋792＝－223.3．已知sin α＝－2425，且α为第三象限的角，则tanα2等于() A．－43B．－34 C.43 D.34答案 A解析由sin α＝－2425，且α为第三象限的角，得cos α＝－725.所以tanα2＝sin α1＋cos α＝－24251－725＝－43.4．若cos 22°＝a ，则sin 11°＝________，cos 11°＝________. 答案 1－a 2 1＋a 2解析 cos 22°＝2cos 2 11°－1＝1－2sin 211°，∴cos 11°＝ 1＋cos 22°2＝ 1＋a 2， sin 11°＝ 1－cos 22°2＝ 1－a 2.1.半角公式前面的正负号的选择(1)如果没有给出决定符号的条件，则要保留根号前的正负号；(2)若给出角α的具体范围时，则根号前的符号由角α2所在象限确定； (3)若给出的角α是某一象限的角时，则根据角所在象限确定符号．2．半角公式的三个变式 (1)sin 2α2＝1－cos α2； (2)cos 2α2＝1＋cos α2； (3)tan 2α2＝1－cos α1＋cos α，在实际进行三角函数的化简、求值、证明时经常用到．。

高中数学_人教版高中数学必修四3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式教学设计学情分析教材分析课后反思

高三数学学案班级：_____ 姓名：_________ 座号：排号审签主任：_________[考纲传真] 1. 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式2. 理解推导过程，及其灵活运用。

一、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ 练习：（1）在△ABC 中，B A B A cos cos sin sin <，则△ABC 为（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形（2）的值为12sin 12cos 3ππ-（）A ． 0B ．2C ．2D ．2-二、思考：已知432πβπ<<，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求α2sin 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），（二）公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？ 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈（三）例题讲解例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值．解：．例2．在△ABC 中，54cos =A ，。

高中数学人教版必修四讲义：第三章 3.2 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 Word版含答案

倍角公式和半角公式3．2.2半角的正弦、余弦和正切预习课本P145～146，思考并完成以下问题(1)半角的正弦、余弦、正切公式是什么？(2)半角公式的符号是由哪些因素决定的？[新知初探] 半角公式[点睛] (1)有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的条件便可求α2的正弦、余弦、正切的值．(2)对于S α2和C α2，α∈R ，但是使用T α2时，要保证α≠(2k ＋1)π(k ∈Z)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)半角公式对任意角都适用．( )(2)tan α2＝sin α1＋cos α，只需满足α≠2k π＋π(k ∈Z)．( )答案：(1)× (2)√2．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63B ．－63C ．±63D.33答案：A3．已知cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A ．－1010B.1010C.3310 D ．－35答案：B4．已知cos α＝－35，且180°<α<270°，则tan α2＝________.答案：－2[典例] 已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[解] ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－ 1＋cos α2＝－55， tan α2＝sinα2cos α2＝－2.已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． [活学活用]已知sin α2－cos α2＝－15，450°<α<540°，求tan α2的值．解：由题意得⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15，即1－sin α＝15，得sin α＝45.∵450°<α<540°， ∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.[典例](1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α(π<α<2π)．[解] 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22·2cos 2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝cos α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵π<α<2π， ∴π2<α2<π， ∴cos α2<0，∴原式＝cos α2·(－cos α)－cosα2＝cos α.[一题多变]1．[变条件]若本例中式子变为： (1－sin α－cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0)，求化简后的式子．解：原式＝⎝⎛⎭⎫2sin 2α2－2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22×2sin 2α2＝2sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝sin α2⎝⎛⎭⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪sin α2.因为－π<α<0，所以－π2<α2<0，所以sin α2<0，所以原式＝－sin α2cos α－sinα2＝cos α.2．[变条件]若本例中的式子变为：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α，π<α<3π2，求化简后的式子．解：原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪sin α2，∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4. ∴cos α2<0，sin α2>0.∴原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．题点一：与三角函数性质综合应用1．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析：由题意知，f (x )＝12sin 2x ＋12(1－cos 2x )＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z)，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z)，故单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z)．答案：π ⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z) 题点二：与平面向量综合应用2．已知向量a ＝(1＋sin 2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，函数f (x )＝a ·b .求f (x )的最大值及相应的x 值．解：因为a ＝(1＋sin 2x ，sin x －cos x )， b ＝(1，sin x ＋cos x )，所以f (x )＝1＋sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝1＋sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. 因此，当2x －π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋3π8(k ∈Z)时，f (x )取得最大值2＋1.题点三：三角变换在实际生活中的应用3.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD ，已知草坪长AB ＝100 米，宽BC ＝50 3 米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE ，HF 和EF ，并要求H 是CD 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EHF 为直角，如图所示．(1)设∠CHE ＝x (弧度)，试将三条路的全长(即△HEF 的周长)L 表示成x 的函数，并求出此函数的定义域；(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：3取1.732，2取1.414)．解：(1)∵在Rt △CHE 中，CH ＝50，∠C ＝90°， ∠CHE ＝x ，∴HE ＝50cos x.在Rt △HDF 中，HD ＝50，∠D ＝90 °，∠DFH ＝x ， ∴HF ＝50sin x .又∠EHF ＝90°， ∴EF ＝50sin x cos x，∴三条路的全长(即△HEF 的周长) L ＝50(sin x ＋cos x ＋1)sin x cos x.当点F 在A 点时，这时角x 最小，求得此时x ＝π6；当点E 在B 点时，这时角x 最大，求得此时x ＝π3.故此函数的定义域为⎣⎡⎦⎤π6，π3.(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF 的周长L 的最小值即可．由(1)得L ＝50(sin x ＋cos x ＋1)sin x cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝t 2－12，∴L ＝50(t ＋1)t 2－12＝100t －1.由t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，得3＋12≤t ≤2，从而2＋1≤1t －1≤3＋1，当x ＝π4，即CE ＝50时，L min ＝100(2＋1)，当CE＝DF＝50 米时，铺路总费用最低，最低总费用为96 560 元．应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤(1)运用和、差、倍角公式化简；(2)统一化成f(x)＝a sin ωx＋b cos ωx＋k的形式；(3)利用辅助角公式化为f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式，研究其性质．层级一学业水平达标1．已知cos θ＝－14(－180°<θ<－90°)，则cosθ2＝()A．－64 B.64C．－38 D.38解析：选B 因为－180°<θ<－90°，所以－90°<θ2<－45°.又cos θ＝－14，所以cos θ2＝1＋cos θ2＝ 1－142＝64，故选B. 2．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos α＝45，则tan α2＝( ) A ．3 B ．－3 C.13D ．－13解析：选D 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos α＝45，所以α2∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，tan α2＝－ 1－cos α1＋cos α＝－1－451＋45＝－13，故选D. 3．若α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，则 1＋cos 2α2－ 1－cos 2α2等于( ) A ．cos α－sin α B ．cos α＋sin α C ．－cos α＋sin αD ．－cos α－sin α解析：选B ∵α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，∴sin α<0，cos α>0，则1＋cos 2α2－1－cos 2α2＝cos 2α－ sin 2α＝|cos α|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α. 4．已知sin α＋cos α＝13，则2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝( ) A.89 B.1718 C ．－89D ．－23解析：选C ∵sin α＋cos α＝13，平方可得1＋sin 2α＝19，可得sin 2α＝－89.2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α＝－89. 5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1 B ．π， 2 C ．2π，1D ．2π， 2解析：选A ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋ ⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝cos 2x ，∴该函数的最小正周期为π，最大值为1. 6．若sin θ2＋2cos θ2＝0，则tan θ＝________.解析：由sin θ2＋2cos θ2＝0，得tan θ2＝－2，则tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝43.答案：437．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 解析：∵3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，因φ∈(－π，π)，∴φ＝－π6.答案：－π68．函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________．解析：y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋cos 2x ＋12＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期为π. 答案：π 9．求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α. 证明：∵左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边，∴原式成立．10．已知函数f (x )＝2a sin ωx cos ωx ＋23cos 2ωx －3(a >0，ω>0)的最大值为2.x 1，x 2是集合M ＝{x ∈R|f (x )＝0}中的任意两个元素，|x 1－x 2|的最小值为π2.(1)求a ，ω的值；(2)若f (α)＝23，求sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4α的值．解：(1)f (x )＝a sin 2ωx ＋3cos 2ωx ＝a 2＋3 sin(2ωx ＋φ)，其中tan φ＝3a. 由题意知a 2＋3＝2，a >0，则a ＝1.f (x )的最小正周期为π，则2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由f (α)＝23知2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝23，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝13. 所以sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4α＝sin ⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫4α＋2π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫4α＋2π3＝－1＋2sin 2⎝⎛⎭⎫2α＋π3 ＝－1＋2×⎝⎛⎭⎫132＝－79. 层级二应试能力达标1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2＝( )A.12 B.12或不存在C ．2D ．2或不存在解析：选B 由2sin α＝1＋cos α，得4sin α2cos α2＝2cos 2α2，当cos α2＝0时，则tan α2不存在；当cos α2≠0时，则tan α2＝12.2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >cB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a解析：选C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，∴a <c <b . 3．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( ) A ．2＋sin α B ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4 C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 解析：选C 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α2＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝34，θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，则sin θ＋cos θ的值是( ) A.62B ．－62C ．－22D.22解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ ＝12cos 2θ＝34. ∴cos 2θ＝32. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴2θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴sin 2θ＝－12，且sin θ＋cos θ<0.∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－12＝12.∴sin θ＋cos θ＝－22. 5．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________.解析：sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝cos 2αsin α＋2cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝135，所以cos 2α＝45，又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.答案：－346．已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是________，最小值是________．解析：∵A ＋B ＝2π3，∴cos 2A ＋cos 2B＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B ) ＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B )＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B ) ＝1＋cos 2π3cos(A －B )＝1－12cos(A －B )，∴当cos(A －B )＝－1时，原式取得最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12.答案：32 127．化简：cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－tan α2·(1＋cos α)1－cos α(0<α<π)．解：∵tan α2＝sin α1＋cos α，∴(1＋cos α)tan α2＝sin α.又∵cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α，且1－cos α＝2sin 2α2， ∴原式＝－sin α－sin α2sin 2α2＝－2sin α2⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝－22sin α2cosα2⎪⎪⎪⎪sin α2.∵0<α<π，∴0<α2<π2，∴sin α2>0.∴原式＝－22cos α2.8．已知函数f (x )＝sin x ·(2cos x －sin x )＋cos 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若π4＜α＜π2，且f (α)＝－5213，求sin 2α的值．解：(1)因为f (x )＝sin x ·(2cos x －sin x )＋cos 2x ，所以f (x )＝sin 2x －sin 2x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以函数f (x )的最小正周期是π.(2)f (α)＝－5213，即2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－5213， sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－513. 因为π4＜α＜π2，所以3π4＜2α＋π4＜5π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－1213，所以sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π4－π4 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4－22cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫－513－22×⎝⎛⎭⎫－1213＝7226.。

新人教B版高中数学(必修4)3.2.2《半角的正切、余切和正弦》word表格教案

8 8
学生练习、板演，教师讲评。分析：（1）对角进行分析发现其二倍角是特殊角 30 ‘其余弦值是已知的。（2）判定三角函数的符号，因为 15 是第一象限角，因此都取正号。（3）用半角公

使学生进一步熟悉公式特征，为后面的灵活运用作铺垫。
例 2：已知公式的应用
课题引入：为引起学生兴趣，拉近师生距离，我从 “倍角与半角关系”入手设置情景引入
教学环节课题引入
气象学家洛伦兹 1963 年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风。这就是理论界闻名的 “蝴蝶效应”，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，那么“半角与倍角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？本节课我们就通过二倍角公式来研究半角的正弦、余弦和正切。
课题教学目标
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切（1）
授课教师
教学重点教学难点教学方法
1、知识目标：掌握半角的正弦、余弦、正切公式推导方法及结构特点；能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明恒等式。 2、能力目标：通过公式的推导及应用，培养他们的化归思想（换元），分类讨论思想，方程思想和逻辑推理能力。 3、德育目标：通过半角公式的推导，以及它们与倍角公式之间的内在联系，培养学生的特殊与一般；相对性；和普遍联系等辨证唯物主义观点。掌握半角的正弦、余弦、正切公式的结构特点，灵活用公式；方程思想，分类讨论思想，和化归思想的运用。公式前符号的确定；变换中三统一原则的运用； “倍与半”的相对性思考方法。半角与倍角公式之间的内在联系。本节课运用现代化多媒体教学手段，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得半角公式，对于半角公式的应用采取讲了练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆。教学内容师生互动设计意图

人教版数学高一B版必修4课堂探究半角的正弦、余弦和正切

课堂探究探究一利用半角公式化简求值问题对于化简求值问题要遵循三个“统一”，即统一角，统一函数名称，统一结构形式，另外还要有必要的切化弦、通分、角变换等常用技巧．【例1】 (1)求值：(tan 5°－cot 5°)·cos 701sin 70︒+︒； (2)已知sin 2α－cos 2α2π<α<π，求tan 2α的值．解：(1)原式＝1tan 5tan 5⎛⎫︒-⎪︒⎝⎭·cos 701sin 70︒+︒ ＝2tan 51tan 5︒-︒·sin 201cos 20︒+︒＝－2·21tan 52tan 5-︒︒·sin 201cos 20︒+︒＝－2cot 10°·tan 10°＝－2．(2)因为2sin cos 22αα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝15，所以1－sin α＝15，所以sin α＝45．又因为2π<α<π，所以cos α＝－35．所以tan 2α＝1cos sin αα-＝31545⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝2．探究二给值求值问题【例2】已知tan 2θ＝－，θ∈,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求22cos sin 12sin 33θθππθθ--⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．分析：先化简，再求值．解：．因为θ∈,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2θ∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以cos 2θ＝－13．所以sin θ＝3 cos θ3，64-＝4(1)．评注sin 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2sin cos 3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭－2cos sin 3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝34cos 2θ－14sin 2θ＝cos 2θ－14＝1cos 22θ+－14＝12cos 2θ＋14．探究三与向量、三角函数有关的综合问题【例3】已知a ＝cos sin ,sin 222x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，b ＝cos sin ,2cos 222x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设f (x )＝a·b ． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，5π6，求f (x )的值域．解：(1)f (x )＝a·b ＝cos sin cos sin 2222x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＋sin 2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭·2cos 2x ＝cos 22x －sin 22x －sin x ＝cos x －sin xcos cos sin sin 44x x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．所以f (x )的最小正周期为2π．(2)因为x ∈5,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以x ＋4π∈13,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．当x ＋4π＝3π时，f max (x )＝2；当x ＋4π＝π时，f min (x )．故f (x )的值域为2⎦．探究四易错辨析易错点：没有分类讨论而漏解【例4】在等腰三角形中，已知顶角θ的正弦值为35，试求该三角形底角的正弦值、余弦值和正切值．错解：因为sin θ＝35，所以cos θ＝45．设等腰三角形的底角为α，则2α＋θ＝π，即α＝2π－2θ，所以sin α＝sin 22πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos 2θ＝±310cos α＝cos 22πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin 2θ＝所以tan α＝sin αcos α＝±3．错因分析：错误一是由sin θ＝35求cos θ没有分类讨论；错误二是由cos θ求α的正弦值、余弦值和正切值时没有检验符号．正解：设等腰三角形的底角为α，则2α＋θ＝π，即α＝2π－2θ．由sin θ＝35，得cos θ＝±45．①当cos θ＝45时，sin α＝cos 2θ310cos α＝sin2θ 所以tan α＝sin cos αα＝3． ②当cos θ＝－45时，sin α＝cos 2θcos α＝sin 2θ310 所以tan α＝sin cos αα＝13．。

《半角的正弦、余弦和正切》教案1

《半角的正弦余弦正切》教案
一.教学目标
1．知识与技能：
掌握半角的正弦、余弦和正切公式，以及半角正切公式的有理表达式，运用公式进行简单三角函数的化简、求值和证明恒等式。

通过公式的推导，了解它们之间与倍角之间内在联系，以及角与角之间的转化关系，从而培养学生逻辑推理能力。

2．过程与方法：
合作交流。

观察、赋值、启发探究相结合，体现数学的思想方法。

3．情感态度与价值观：
培养合作交流、独立思考等良好的个性品质；以及勇于批判、敢于创新的科学精神在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，拉近情感距离．二．教学重点、难点
半角的正弦、余弦和正切公式，半角公式和倍角公式之间内在联系，以及运用公式时正负号的选取
三．教学方法
观察、赋值、启发探究相结合的教学方法,运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得半角公式，采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆。

四．教学过程。

新人教b版高中数学必修43.2.2《半角的正弦、余弦和正切》课件最新

∴cos2φ＜0，∴2φ＝－ 1－sin22φ 120 119 2 ＝－ 1－＝－， 169 169 119 1＋ 1－cos2φ 169 12 ∴sinφ＝＝＝， 2 2 13 119 1－ 1＋cos2φ 169 5 cosφ＝＝＝ . 2 2 13
三角函数式的化简三角函数式化简的一般要求：(1)项数尽量少；(2)
1 5 1 2cos2x 2cos2x 1 ＝ (2× ＋＋ )＋ [2× (－ )＋ 5 × － 4 4 2 4 4 2 2 2 cos 2x cos 2x 1 3 2 cos2x]＋ (2× ＋ 5× － × 2cos 2x)＋ 4 4 2 4 sin22x 9 3 2 3 2 ＝＋ cos2x＋ cos 2x＋ sin 2x 4 4 4 9 3 ＝＋ cos2x＋ 4 4 ＝ 3＋ cos2x＝ 3＋ (2cos2x－ 1)
2α
2α
课堂互动讲练
考点突破利用半角公式求值在套用公式时，一定注意求解顺序和所用到的角的范围问题，其次还要注意选用公式要灵活多样．
例1
4 5π θ 已知 sinθ＝，且＜θ＜3π，求 cos 和 5 2 2
θ tan 的值． 2
【思路点拨】先由 sinθ的值求出 cosθ的值，
然后利用半角公式求值．
【解】原式＝
2cos2α＋ 2sinα cosα sinα－cosα 2 2 2 2 2
2· 2cos
2α
2
α α α α α 2cos cos 2＋ sin2 sin2－ cos2 2 ＝ α 2|cos | 2
α cos －cosα 2 ＝ . α |cos | 2 又∵180° ＜α＜360° ， α ∴90° ＜＜180° ， 2 α ∴cos ＜0， 2 α cos · －cosα 2 ∴原式＝＝cosα. α －cos 2

高中数学第三单元三角恒等变换 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切课件新人教B版必修4.pptx

1－cos α 2，
1＋cos α 2，
(S )
2
(C )
2
1－cos 1＋cos
αα＝1＋sincoαs
1－cos
＝ α
sin α
α
.
(T )
2
8
题型探究
9
类型一应用半角公式求值
例1
若π2＜α＜π，且 cos α＝－35，则 sin 2α＝
25 5
.
解析因为 cos α＝1－2sin2α2，
答案
αα
α
tan2α＝ sin cos
2α＝
sin2·2cos α
2 cos2·2cos
2α＝1＋sincoαs 2
， α
α
αα
tan
2α＝ sin
2α＝ sin
2·2sin α
2α＝1－sincoαs
α .
cos 2 cos 2·2sin 2
7 答案
梳理正弦、余弦、正切的半角公式
sin α2＝ ± cos α2＝± tan α2＝±
sin α、cos α 都可以表示成 tan 2α＝t 的“有理式”，将其代入式子中，
从而可以对式子求值.
11
跟踪训练 1
若 tan θ2＋ 1 θ＝m，则 sin θ＝
2 m
.
tan 2
解析因为 tanθ2＋ 1 θ＝m， tan2
即tanta2θ2n＋θ2 1＝m，所以tanta2θ2n＋θ2 1＝m1 ，
所以 2sin2α2＝1－c2os α＝45，
又因为π4＜2α＜π2，所以
sinα2＝2
5
5 .
解析 10 答案
容易推出下列式子：

数学人教B版必修4课堂探究：3.2.2半角的正弦、余弦和

课堂探究探究一利用半角公式化简求值问题对于化简求值问题要遵循三个“统一”，即统一角，统一函数名称，统一结构形式，另外还要有必要的切化弦、通分、角变换等常用技巧．【例1】 (1)求值：(tan 5°－cot 5°)·cos 701sin 70︒+︒；(2)已知sin2α－cos 2α2π<α<π，求tan 2α的值．解：(1)原式＝1tan 5tan 5⎛⎫︒-⎪︒⎝⎭·cos 701sin 70︒+︒＝2tan 51tan 5︒-︒·sin 201cos 20︒+︒＝－2·21tan 52tan 5-︒︒·sin 201cos 20︒+︒＝－2cot 10°·tan 10°＝－2．(2)因为2sin cos 22αα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝15，所以1－sin α＝15，所以sin α＝45．又因为2π<α<π，所以cos α＝－35．所以tan 2α＝1cos sin αα-＝31545⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝2．探究二给值求值问题【例2】已知tan 2θ＝－θ∈,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求22cos sin 12sin 33θθππθθ--⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．分析：先化简，再求值．解：．因为θ∈,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2θ∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以cos 2θ＝－13．所以sin θ＝3cos θ＝4(1．评注sin 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2sin cos 3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭－2cos sin 3πθ⎛⎫⎪⎝⎭＝34cos 2θ－14sin 2θ＝cos 2θ－14＝1cos 22θ+－14＝12cos 2θ＋14．探究三与向量、三角函数有关的综合问题【例3】已知a ＝cossin ,sin 222x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，b ＝cos sin ,2cos 222x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设f (x )＝a·b ． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，5π6，求f (x )的值域．解：(1)f (x )＝a·b ＝cos sin cos sin 2222x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＋sin 2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭·2cos 2x ＝cos 22x －sin 22x －sin x ＝cos x －sin xcos cos sin sin 44x x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．所以f (x )的最小正周期为2π． (2)因为x ∈5,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以x ＋4π∈13,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．当x ＋4π＝3π时，f max (x )＝2；当x ＋4π＝π时，f min (x )故f (x )的值域为2⎦．探究四易错辨析易错点：没有分类讨论而漏解【例4】在等腰三角形中，已知顶角θ的正弦值为35，试求该三角形底角的正弦值、余弦值和正切值．错解：因为sin θ＝35，所以cos θ＝45．设等腰三角形的底角为α，则2α＋θ＝π，即α＝2π－2θ，所以sin α＝sin 22πθ⎛⎫-⎪⎝⎭＝cos2θ＝±310cos α＝cos 22πθ⎛⎫-⎪⎝⎭＝sin 2θ＝所以tan α＝sin αcos α＝±3．错因分析：错误一是由sin θ＝35求cos θ没有分类讨论；错误二是由cos θ求α的正弦值、余弦值和正切值时没有检验符号．正解：设等腰三角形的底角为α，则2α＋θ＝π，即α＝2π－2θ．由sin θ＝35，得cos θ＝±45． ①当cos θ＝45时，sin α＝cos2θ310cos α＝sin2θ所以tan α＝sin cos αα＝3． ②当cos θ＝－45时，sin α＝cos2θ10，cos α＝sin2θ310 所以tan α＝sin cos αα＝13．。

38485_《半角的正弦、余弦和正切》教案3 新人教B版必修4

§3.2.2半角的正弦、余弦、正切（一）教学目标1.知识目标：了解半角公式的推导过程，能初步运用公式求三角函数值。

2.能力目标：能应用公式进行三角函数求值、化简、证明。

3.情感目标：通过公式的推导，了解半角公式和倍角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。

（二）教学重点、难点重点：半角的正弦、余弦、正切公式难点：半角公式与倍角公式之间的内在联系，以及运用公式时正负号的选取。

（三）教学方法观察、启发、探究相结合的教学方法（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图练习引入已知31cos=α，),0(πα∈，求2sinα师：分析此题的已知和所求，是由2sincosαα→再指导学生对照课本P143例1，分析例1的已知和所求。

生：由αααα2tan,2cos,2sinsin→即是已知角α的三角函数值求2α的三角函数值；师：请大家想一想，这两个题中已知和所求有什么共同点？生：已知角和所求角之间有2倍关系师：由这个思路，完成此题生：2sin2122coscos2ααα-=⋅=∵),0(πα∈∴)2,0(2πα∈师：此题能求2cosα和2tanα吗？生：能12cos222coscos2-=⋅=ααα通过练习题的求解，引导学生开展积极的思维活动，同时为推导半角公式作准备公式的推导探索研究：用α的三角函数值表示2sinα，2cosα，2tanα师：考察前面写出来的两个式子12cos222coscos2-=⋅=ααα①2sin2122coscos2ααα-=⋅=②能否用α的三角函数值表示2sinα，2cosα，2tanα生：可以，由①②变形可得2cos12cos2αα+=，2cos12sin2αα-=所以2cos12cosαα+±=2cos12sinαα-±=把两式的两边分别相除，得αααcos1cos12tan+-±=师：（1）上面三个公式称为半角公式，是用单角的三角函数表示半角的三角函数；（2）若要求2sinα，2cosα，2tanα，一定要注意先确定角2α所在的象限，否则，无法确定符号。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切》

3.2.2半角的正弦、余弦和正切一、教学目标1、知识与技能理解半角的正弦、余弦和正切公式；能够利用公式求解有关半角的问题；知道半角公式成立的条件.2、过程与方法经历半角的正弦、余弦和正切公式的推导过程；感悟倍角与半角的相对关系；培养学生分析问题、解决问题的能力.3、情感态度与价值观在公式推导的过程中，体会数学思维的缜密性.二、教学重点半角的正弦、余弦和正切公式的推导方法及应用.三、教学难点半角的正弦、余弦和正切公式的理解和应用.四、教学过程（一）、复习引入1.复习二倍角公式及成立条件2S sin2=2sin cos αααα： ()R α∈22222C cos2cos sin 2cos 112sin αααααα=-=-=-： ()R α∈αααα22tan 1tan 22tan :-=T 422k k πππααπ⎛⎫≠+≠+∈ ⎪⎝⎭且，k Z2.()sin 0,,22ααπαα=∈已知且则cos =________;tan =_______.3..8π尝试利用已知公式求sin 的值（二）、探索新知1.由二倍角公式推导：cos =2α± 2C α⎛⎫ ⎪⎝⎭()R α∈sin =2α2S α⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()R α∈tan =2α 2T α⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()2,k k Z αππ≠+∈ （三）、例题解析例1.sin15cos15tan15.求，，的值解：因为15°是第一象限的角，所以11cos30sin15=4-==11cos30cos15=+==1cos30tan15=21cos30=-小结：确定半角的正弦余弦和正切公式的符号原则：1) 如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号.2) 若给出角α的具体范围（即某一区间）时，则先求2α的所在范围，然后再根据2α所在范围确定符号.变式训练1.3cos =0sin cos tan .52222πβββββ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭已知，，，求、和的值例2.()3sin =2cos tan .2544θθθθππ∈已知，，，求和的值解：()42cos =2225sin 4424sin 4cos tan 3.44cos 4θπθθπππθππθθθθθ⎛⎫∈∈-- ⎪⎝⎭⎛⎫∈== ⎪⎝⎭====，，，，，，小结：半角2α是相对于α而言的，同时4α是2α的一半，=2242ππαα⎛⎫-- ⎪⎝⎭即42πα-是2πα-的一半，要正确理解倍角与半角的关系.变式训练2.证明恒等式：22cos =1sin 42παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.例3.求证：sin tan =21cos ααα+，1cos tan =2sin ααα-. 证明：sin sin 2cos sin 222tan 21cos cos cos 2cos 222ααααααααα⋅===+⋅ sin sin 2sin 1cos 222tan 2sin cos cos 2sin 222ααααααααα⋅-===⋅ （四）、随堂训练教材P146练习A3.等腰三角形的顶角的余弦等于720，求这个三角形一个底角的正弦和余弦. 练习B2.求下列函数的周期： ()21cos 2x y = ()222sin y x = （五）、课堂小结本节课重点由二倍角公式推导了半角的正弦、余弦和正切公式，并针对如何利用半角公式进行了一些练习，体会倍角与半角的相对关系，领悟解决数学问题的缜密思维.（六）、课后作业见附件.（七）、板书设计（八）、教学反思考试大纲中对于半角的正弦、余弦和正切公示的要求是能够利用倍角公式推导得出，但不要求记忆。

高中数学人教B版必修4教学案：第三章 3.2 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 Word版含答案

3．2.2 半角的正弦、余弦和正切预习课本P145～146，思考并完成以下问题(1)半角的正弦、余弦、正切公式是什么？(2)半角公式的符号是由哪些因素决定的？[新知初探] 半角公式[点睛] (1)有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的条件便可求α2的正弦、余弦、正切的值．(2)对于，α∈R ，但是使用T α2时，要保证α≠(2k ＋1)π(k ∈Z)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)半角公式对任意角都适用．( )(2)tan α2＝sin α1＋cos α，只需满足α≠2k π＋π(k ∈Z)．( )答案：(1)× (2)√2．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63B ．－63C ．±63D.33答案：A3．已知cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A ．－1010B.1010C.3310 D ．－35答案：B4．已知cos α＝－35，且180°<α<270°，则tan α2＝________.答案：－2求值问题[典例] 已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[解] ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－ 1＋cos α2＝－55， tan α2＝sinα2cos α2＝－2.解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． [活学活用]已知sin α2－cos α2＝－15，450°<α<540°，求tan α2的值．解：由题意得⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15，即1－sin α＝15，得sin α＝45.∵450°<α<540°， ∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.三角函数式的化简[典例] (1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α(π<α<2π)．[解] 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22·2cos2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝cos α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵π<α<2π， ∴π2<α2<π， ∴cos α2<0，∴原式＝cos α2·(－cos α)－cosα2＝cos α. [一题多变]1．[变条件]若本例中式子变为： (1－sin α－cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0)，求化简后的式子．解：原式＝⎝⎛⎭⎫2sin 2α2－2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22×2sin2α2＝2sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝sin α2⎝⎛⎭⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪sin α2.因为－π<α<0，所以－π2<α2<0，所以sin α2<0，所以原式＝－sin α2cos α－sinα2＝cos α. 2．[变条件]若本例中的式子变为：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α，π<α<3π2，求化简后的式子．解：原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪sin α2， ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4. ∴cos α2<0，sin α2>0.∴原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．三角恒等变换的综合应用1．(浙江高考)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析：由题意知，f (x )＝12sin 2x ＋12(1－cos 2x )＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z)，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z)，故单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z)．答案：π ⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z) 题点二：与平面向量综合应用2．已知向量a ＝(1＋sin 2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，函数f (x )＝a ·b .求f (x )的最大值及相应的x 值．解：因为a ＝(1＋sin 2x ，sin x －cos x )， b ＝(1，sin x ＋cos x )，所以f (x )＝1＋sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝1＋sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. 因此，当2x －π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋3π8(k ∈Z)时，f (x )取得最大值2＋1. 题点三：三角变换在实际生活中的应用3.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD ，已知草坪长AB ＝100 米，宽BC ＝50 3 米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE ，HF 和EF ，并要求H 是CD 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EHF 为直角，如图所示．(1)设∠CHE ＝x (弧度)，试将三条路的全长(即△HEF 的周长)L 表示成x 的函数，并求出此函数的定义域；(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：3取1.732，2取1.414)．解：(1)∵在Rt △CHE 中，CH ＝50，∠C ＝90°， ∠CHE ＝x ， ∴HE ＝50cos x.在Rt △HDF 中，HD ＝50，∠D ＝90 °，∠DFH ＝x ，∴HF ＝50sin x .又∠EHF ＝90°， ∴EF ＝50sin x cos x，∴三条路的全长(即△HEF 的周长) L ＝50(sin x ＋cos x ＋1)sin x cos x.当点F 在A 点时，这时角x 最小，求得此时x ＝π6；当点E 在B 点时，这时角x 最大，求得此时x ＝π3.故此函数的定义域为⎣⎡⎦⎤π6，π3.(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF 的周长L 的最小值即可．由(1)得L ＝50(sin x ＋cos x ＋1)sin x cos x，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝t 2－12，∴L ＝50(t ＋1)t 2－12＝100t －1.由t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，得3＋12≤t ≤2，从而2＋1≤1t －1≤3＋1，当x ＝π4，即CE ＝50时，L min ＝100(2＋1)，所以当CE ＝DF ＝50 米时，铺路总费用最低，最低总费用为96 560 元．应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤(1)运用和、差、倍角公式化简；(2)统一化成f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式；(3)利用辅助角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，研究其性质．层级一学业水平达标1．已知cos θ＝－14(－180°<θ<－90°)，则cos θ2＝( )A ．－64B.64C ．－38D.38解析：选B 因为－180°<θ<－90°，所以－90°<θ2<－45°.又cos θ＝－14，所以cos θ2＝1＋cos θ2＝ 1－142＝64，故选B. 2．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos α＝45，则tan α2＝( ) A ．3 B ．－3 C.13D ．－13解析：选D 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos α＝45，所以α2∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，tan α2＝－ 1－cos α1＋cos α＝－1－451＋45＝－13，故选D. 3．若α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，则 1＋cos 2α2－ 1－cos 2α2等于( ) A ．cos α－sin α B ．cos α＋sin α C ．－cos α＋sin αD ．－cos α－sin α解析：选B ∵α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，∴sin α<0，cos α>0，则1＋cos 2α2－1－cos 2α2＝cos 2α－ sin 2α＝|cos α|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α.4．已知sin α＋cos α＝13，则2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝( ) A.89 B.1718 C ．－89D ．－23解析：选C ∵sin α＋cos α＝13，平方可得1＋sin 2α＝19，可得sin 2α＝－89.2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α＝－89. 5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1 B ．π， 2 C ．2π，1D ．2π， 2 解析：选A ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋ ⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝cos 2x ，∴该函数的最小正周期为π，最大值为1. 6．若sin θ2＋2cos θ2＝0，则tan θ＝________.解析：由sin θ2＋2cos θ2＝0，得tan θ2＝－2，则tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝43.答案：437．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 解析：∵3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，因φ∈(－π，π)，∴φ＝－π6.答案：－π68．函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________．解析：y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋cos 2x ＋12＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期为π. 答案：π 9．求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α. 证明：∵左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边，∴原式成立．10．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值．解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4，所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f (α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1，因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4. 所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16. 层级二应试能力达标1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2＝( ) A.12B.12或不存在 C ．2 D ．2或不存在解析：选B 由2sin α＝1＋cos α，即4sin α2cos α2＝2cos 2α2，当cos α2＝0时，则tan α2不存在；当cos α2≠0时，则tan α2＝12. 2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >cB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a 解析：选C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，∴a <c <b .3．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( ) A ．2＋sin αB ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 解析：选C 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α2＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝34，θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，则sin θ＋cos θ的值是( ) A.62B ．－62C ．－22 D.22 解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ ＝12cos 2θ＝34. ∴cos 2θ＝32. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴2θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴sin 2θ＝－12，且sin θ＋cos θ<0. ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－12＝12. ∴sin θ＋cos θ＝－22. 5．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________. 解析：sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝cos 2αsin α＋2cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝135，所以cos 2α＝45，又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34. 答案：－346．已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是________，最小值是________．解析：∵A ＋B ＝2π3，∴cos 2A ＋cos 2B ＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B ) ＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B ) ＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3cos(A －B ) ＝1－12cos(A －B )，∴当cos(A －B )＝－1时，原式取得最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12. 答案：32 127．化简：cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－tan α2·(1＋cos α)1－cos α(0<α<π)．解：∵tan α2＝sin α1＋cos α，∴(1＋cos α)tan α2＝sin α. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α，且1－cos α＝2sin 2α2， ∴原式＝－sin α－sin α2sin 2α2＝－2sin α2⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝－22sin α2cos α2⎪⎪⎪⎪sin α2. ∵0<α<π，∴0<α2<π2，∴sin α2>0. ∴原式＝－22cos α2.8．已知cos 2θ＝725，π2<θ<π， (1)求tan θ的值．(2)求2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值．解：(1)因为cos 2θ＝725，所以cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝725，所以1－tan 2θ1＋tan 2θ＝725，解得tan θ＝±34，因为π2<θ<π，所以tan θ＝－34.(2)2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos θ＋sin θcos θ＋sin θ，因为π2<θ<π，tan θ＝－34，所以sin θ＝35，cos θ＝－45，所以2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos θ＋sin θcos θ＋sin θ ＝1－45＋35－45＋35＝－4.。

高二数学人教版必修4学案：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 Word版含解析

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切明目标、知重点 1.了解由二倍角的余弦公式推导半角的正弦、余弦、正切公式的过程.2.能正确运用半角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明.1.半角公式 (1)S 2α：sin α2＝±1－cos α2； (2)C 2α：cos α2＝±1＋cos α2； (3)T 2α：tan α2＝±1－cos α1＋cos α(无理形式)＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α(有理形式).2.半角公式变形 (1)sin 2α2＝1－cos α2；(2)cos 2α2＝1＋cos α2；(3)tan 2α2＝1－cos α1＋cos α.[情境导学]三角变换不同于代数式变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数式结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.例如，在二倍角公式中2α是α的二倍，α是α2的二倍，那么cos α能用α2的三角函数表示出来吗？反过来，你能用cos α表示出sin 2α2，cos 2α2，tan 2α2吗？探究点一半角公式的推导思考1 如何用cos α表示sin α2、cos α2、tan α2？答 ∵cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝1－2sin 2α2，∴2sin 2α2＝1－cos α，∴sin 2α2＝1－cos α2，∴sin α2＝±1－cos α2； ∵cos α＝2cos 2α2－1，∴cos 2α2＝1＋cos α2，∴cos α2＝±1＋cos α2； ∵tan 2α2＝sin 2α2cos 2α2＝1－cos α21＋cos α2＝1－cos α1＋cos α，∴tan α2＝±1－cos α1＋cos α.思考2 半角公式中根号前面的正负号怎样确定？答在半角公式中，根号前面的正负号，由角α2所在的象限来确定.思考3 利用倍角公式，半角的正切公式还可以作如何变形？答 tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.证明：∵sin α1＋cos α＝2sin α2cosα22cos 2α2＝tan α2，∴tan α2＝sin α1＋cos α，同理可证tan α2＝1－cos αsin α.∴tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.思考4 倍角公式和半角公式有何联系？答倍角公式和半角公式功能各异，本质相同，对立统一. 例1 求sin 15°，cos 15°，tan 15°的值. 解因为15°是第一象限的角，所以sin 15°＝1－cos 30°2＝ 1－322＝2－32＝8－434＝(6－2)24＝6－24；cos 15°＝1＋cos 30°2＝ 1＋322＝2＋32＝8＋434＝(6＋2)24＝6＋24； tan 15°＝1－cos 30°1＋cos 30°＝2－ 3.跟踪训练1 求cos π8的值.解因为π8是第一象限的角，所以cos π8＝1＋cosπ42＝ 1＋222＝122＋ 2.例2 已知cos α＝13，α为第四象限角，求sin α2、cos α2、tan α2的值.解 sin α2＝±1－cos α2＝± 1－132＝±33， cos α2＝±1＋cos α2＝± 1＋132＝±63， tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝±1－131＋13＝±22. ∵α为第四象限角， ∴α2为第二、四象限角. 当α2为第二象限角时， sin α2＝33，cos α2＝－63，tan α2＝－22；当α2为第四象限角时， sin α2＝－33，cos α2＝63，tan α2＝－22. 反思与感悟在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tan θ2，还要注意运用公式tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝1－cos θsin θ来求值.跟踪训练2 已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，求tan θ2的值.解方法一 ∵180°<θ<270°， ∴90°<θ2<135°，∴tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2. 方法二 ∵180°<θ<270°，∴sin θ<0， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－925＝－45， ∴tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－451＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2.探究点二半角公式的应用例3 如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积. 解在Rt △OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α. 在Rt △OAD 中，DAOA ＝tan 60°＝3，∴OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α， ∴AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝⎝⎛⎭⎫cos α－33sin αsin α＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin 2α－36(1－cos 2α) ＝12sin 2α＋36cos 2α－36 ＝13⎝⎛⎭⎫32sin 2α＋12cos 2α－36＝13sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6－36. 由0<α<π3，得π6<2α＋π6<5π6，所以当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36.因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36.反思与感悟从本例可以看到，通过三角变换，我们把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而使问题得到简化，这个过程蕴含了化归思想. 跟踪训练3 已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最小值和最大值. 解 (1)f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1 ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 因此，函数f (x )的最小正周期为π.(2)因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π8上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤3π8，3π4上为减函数，又f ⎝⎛⎭⎫π8＝0，f ⎝⎛⎭⎫3π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫3π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－π4＝－2cos π4＝－1，故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最大值为2，最小值为－1.1.设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，那么sin θ4等于( )A.－1＋a2 B.－ 1－a2 C.－1＋a2D.－1－a2答案 B解析由cos θ2＝1－2sin 2θ4，得sin 2θ4＝1－cosθ22，又5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2.∴sin θ4<0.∴sin θ4＝－1－a2. 2.已知cos θ＝79，且270°<θ<360°，则cos θ2的值为( )A.23B.－223C.±233D.－23答案 B 解析∵cos θ＝2cos 2θ2－1，∴cos 2θ2＝1＋cos θ2， ∵270°<θ<360°，∴135°<θ2<180 °，∴cos θ2<0，∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－ 1＋792＝－223. 3.已知sin α＝－2425，且α为第三象限的角，则tan α2等于( )A.－43B.－34C.43D.34答案 A解析由sin α＝－2425，且α为第三象限的角，则cos α＝－725.所以tan α2＝sin α1＋cos α＝－24251－725＝－43.4.若cos 22°＝a ，则sin 11°＝，cos 11°＝ . 答案1－a21＋a2解析 cos 22°＝2cos 211°－1＝1－2sin 211°，∴cos 11°＝1＋cos 22°2＝ 1＋a2， sin 11°＝1－cos 22°2＝ 1－a2. [呈重点、现规律]1.半角公式前面的正负号的选择(1)如果没有给出决定符号的条件，则要保留根号前的正负号； (2)若给出角α的具体范围时，则根号前的符号由角α2所在象限确定；(3)若给出的角α是某一象限的角时，则根据下表确定符号：2.半角公式的三个变式：sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2，tan 2α2＝1－cos α1＋cos α.在实际进行三角函数的化简、求值、证明时经常用到.一、基础过关1.cos 2π8－12的值为( )A.1B.12C.22D.24答案 D解析 cos 2π8－12＝12(2cos 2π8－1)＝12cos π4＝12×22＝24.2.下列各式与tan α相等的是( ) A.1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α答案 D解析由于1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α.3.已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan α2的值为( )A.3B.2C.－2D.－3 答案 D解析 ∵sin(270°＋α)＝45，∴cos α＝－45.又180°<α<270°， ∴90°<α2<135°.∴tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－(－45)1＋(－45)＝－3. 4.已知tan α2＝3，则cos α为( )A.45B.－45C.415D.－35 答案 B解析 cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－321＋32＝－45. 5.化简： 1＋cos (3π－θ)2(3π2<θ<2π)＝ .答案 sin θ2解析原式＝1－cos θ2＝|sin θ2|， ∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ2<π， ∴sin θ2>0，故原式＝sin θ2.6.函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是 . 答案 1－ 2解析 y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，∴y min ＝－2＋1.7.已知0<α<π，且1＋cos 2αcot α2－tan α2＝310，求sin α＋cos α的值.解 1＋cos 2αcot α2－tan α2＝2cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝2cos 2α·sin α2·cosα2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin αcos α＝sin αcos α＝310.又0<α<π，可知sin α>0，cos α>0. ∴sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋35＝2105. 二、能力提升8.已知cos α＝45，且32π<α<2π，则tan α2等于( )A.－13B.13C.－13或13D.－3答案 A解析 ∵3π2<α<2π，∴3π4<α2<π.∴cos α2＝－1＋cos α2＝－ 910＝－31010， sin α2＝1－cos α2＝ 110＝1010， ∴tan α2＝sinα2cosα2＝－13.故选A.9.已知α为锐角，且sin α∶sin α2＝3∶2，则tan α2的值为( )A.74 B.53 C.73D.54答案 C解析 sin αsin α2＝2sin α2cosα2sin α2＝2cos α2＝32，∴cos α2＝34，∵α为锐角，∴sin α2＝1－916＝74， ∴tan α2＝sinα2cosα2＝73.10.已知tan(π－α)＝2，则sin 2αsin 2α－sin αcos α－cos 2α的值是 .答案－45解析 ∵tan(π－α)＝－tan α＝2，∴tan α＝－2，∴原式＝2sin αcos αsin 2α－sin αcos α－cos 2α＝2tan αtan 2α－tan α－1＝2×(－2)(－2)2－(－2)－1＝－45. 11.已知tan α2＝2，求： (1)tan(α＋π4)的值； (2)6sin α＋cos α3sin α－2cos α的值. 解 (1)∵tan α2＝2， ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×21－4＝－43， ∴tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝－43＋11＋43＝－17. (2)由(1)知，tan α＝－43，所以6sin α＋cos α3sin α－2cos α＝6tan α＋13tan α－2＝6×(－43)＋13×(－43)－2＝76. 12.已知cos(α－β2)＝－277，sin(α2－β)＝12，且α∈(π2，π)，β∈(0，π2). 求：(1)cos α＋β2； (2)tan(α＋β). 解 (1)∵π2<α<π，0<β<π2，∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2， ∴sin(α－β2)＝ 1－cos 2(α－β2)＝217， cos(α2－β)＝ 1－sin 2(α2－β)＝32， ∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)] ＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝－277×32＋217×12＝－2114. (2)∵π4<α＋β2<3π4， ∴sin α＋β2＝ 1－cos 2α＋β2＝5714， ∴tan α＋β2＝sin α＋β2cos α＋β2＝－533， ∴tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝5311. 三、探究与拓展13.已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值. 解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34＝14sin 2x －34cos 2x＝12sin(2x －π3). 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数， f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.。

半角的正弦余弦和正切教案2 新人教B版必修4.doc

3. 2.2半角的正弦余弦和正切（—）教学目标1知识目标：会推导半角的正弦，余弦和正切并会用半角公式进行证明，求值和化简 2能力目标：会灵活运用公式进彳丁推导变形 3情感目标灵活运用公式化繁为简（二）教学重点，难点重点半角公式的推导方法和结构特征及应用公式求值，化简，证明难点是用公式求值（三）教学方法引导学生复习二倍角公式，按课本知识结构设置提问引导学生动于推导出半角公式，课堂上在老师引导下，以学生为主体，分析公式的结构特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进彳丁化简证明和求值，老师为学生创设问题情景，鼓励学生积极探究。

教学坏节教学内容师生互动设计意图复习二倍角让学生默写二倍角公式，让学生思考二倍角公式的实质？学生以旧引新，注意创公式，提出问练习求sinl20° Cosl20° tan 120°老师提出问题学生思考a 可设问题的情景，通题，并引出新看作哪个角的 2倍角？怎样用二倍角公式写出sina cosa过设疑，引导学生课tana ?学生默写开展积极的思维活动公式ry老师启发学生思考有时常用a 的三角函数表示一的三角函通过设疑使学生学 .a sin —2,cos 2 会分析问题，掌握 ry 数，比如sin- Of,cos — 可以用a 的哪个二角函数怎样表示？公式的推导过程a2 2~2a ,tan— 学生推出结论的/1 + COSQ2 得至！J cos导， 2、1 2• a亠 1-COS6Z2 V 2a ,1-COS6Ztan — = ±2V 1 + COS6Z公式的理解”有如何TR ?公点z?y ?1)特讪仏逖{何何(2用0 一 2£2 In 價 fc?.S1求诂莉£25(耳何17s wE0 M角。

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【人教B版】高一数学必修四：3.2.2《半角的正弦、余弦和正切》ppt课件

α 2
＝sinα2cosα2cos α＝12sin αcos α
＝14sin 2α＝右边．∴原式成立．
3.2.2
研一研·问题探究、课堂更高效
方法二
左边＝1＋cos sin α
cos2α α－1－sincoαs
α
本课时
＝2ccooss2αα＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边．
栏
sin α
当α2为第四象限角时，sinα2＝－
33，cosα2＝
36，tanα2＝－
2 2.
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.2
小结在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确
本定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于 tan θ2，还要注
课时栏
意运用公式 tan θ2＝1＋sincoθs θ＝1－sincoθs θ来求值．
3.2.2
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
【学习要求】
1．了解由二倍角的余弦公式推导半角的正弦、余弦、正切公
本
式的过程．
课时
2．能正确运用半角公式进行简单的三角函数式的化简、求值
栏目
和恒等式的证明．
开关
【学法指导】
1．已知角 α 的某三角函数，用半角公式可求α2的正弦、余弦、
正切值，思路是先由已知利用同角三角函数公式求出该角
本课时栏目
2．半 ((12))角scion公s22α2α2式＝＝变111形－－＋：ccc22ooosss
α α α
；；
(3)tan2α2＝ 1＋cos α .
开
关
3.2.2
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一半角公式的推导与应用