对数函数典型例题

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对数函数值域（精选5篇）

对数函数值域（精选5篇）以下是网友分享的关于对数函数值域的资料5篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

篇一2.2.2对数函数（4）学习目标：巩固对数函数的性质，并利用性质求值域学习重点、难点：用换元的思想解决与对数函数有关的值域问题。

一、复习巩固（1）y =13xlog 3x (1≤x ≤27) (2)y =log 1(x ≥4)2__________________________________________________ 二、典型例题例1. 求下列函数的值域22（1）y =log 1(4x -x ) (2) y =(log2x ) -log 24x +22形成性练习1、y =log 1(x -2x )22变式训练：求函数y =log形成性练习2、y =log 12x -log 1x 2+5(2≤x ≤4)44(x -2x ) 122的值域（1）(x ≥4) （2）（2三、巩固训练1、求函数y =log 3(x +2) 的最小值2、函数y =log(-x -2x +3) 22的最大值≤x ≤8) 的值域3、求函数y =log 2x 2∙log 2*2 已知函数f (x ) =3+log 2x , x ∈[1,4]，g (x ) =f (x 2) -[f (x )]2，求：（1）f (x ) 的值域；（2）g (x ) 的最大值及相应x 的值.篇二2.2.2对数函数（4）学习目标：巩固对数函数的性质，并利用性质求值域学习重点、难点：用换元的思想解决与对数函数有关的值域问题。

一、复习巩固y=logax(a>0且a1)a>1图象定义域值域共点性当x= 时，y=单调性函数值特性当x>1时，y当0当x>1时，y当0。

即过定点对称性写出下列函数的值域（1）__________________________________________________二、典型例题例1. 求下列函数的值域（1）(2)形成性练习1、变式训练：求函数的值域（1）（2）（）形成性练习2、三、巩固训练1、求函数的最小值2、函数的最大值3、求函数的值域*2 已知函数，，求：（1）的值域；（2）的最大值及相应x 的值. 篇三对数函数的值域1. 求一下函数的值域（1）y =log 5x +2(x≥1) （2）y =log 5x ( 1≤x ≤8 )（2）（3）y =log a x (1≤x ≤2) (3)2. 复合函数（1）求复合函数单调区间步骤（一）（二）（2）求复合函数值域步骤（一）（二）例1 求下列函数的单调区间和值域（1）y=log24(x－4x+3)（3）y=7-6x -x 2（5）y=log122(x－3x+2)(log1x ) 2-log 1x 2+5(2≤x ≤4) 44 （三）（三）（2）y=log13(2x－x 2) （4）.y=log23(x－2x) （6）.y=3log 2x （四）（四）2. 作业1求.y= log 1π(4x -x 2) 的单调区间和值域2求y =log 3(x 2-2x -3) 的单调区间和值域3求、log 1(x -3x +2)22的单调区间和值域4. 求y=(log2x x )(log2) 的值域28篇四对数函数性质、幂函数一、知识要点1．关于复合函数的单调性，有以下结论：例如：已知g (x )是[m , n ]上的减函数，且a ≤g (x )≤b ，f (x )是[a , b ]上的增函数，求证：y =f ⎡⎣g (x )⎤⎦在[m , n ]上的是减函数。

对数函数知识点及典型例题讲解

对数函数知识点及典型例题讲解1．对数：(1) 定义：如果N a b =)1,0(≠>a a 且，那么称为，记作，其中a 称为对数的底，N 称为真数.① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________． (2) 基本性质：① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ；③ 1log =a a ； ④ 对数恒等式：N a N a =log ． (3) 运算性质：① log a (MN)＝___________________________； ② log a NM ＝____________________________；③ log a M n＝ (n ∈R).④ 换底公式：log a N ＝ (a >0，a ≠1，m >0，m ≠1，N>0)⑤ log m na a nb b m = .2．对数函数：① 定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4) 函数x y a log =与函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴)； 4) 函数y ＝log a x 与的图象关于x 轴对称． ③ 函数值的变化特征：例1 计算：（1）)32(log32-+（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-;（3）21lg4932-34lg 8+lg 245. 解：（1）方法一设)32(log32-+=x,(2+3)x=2-3=321+=（2+3）-1,∴x=-1.方法二)32(log 32-+=32log +321+=32log+(2+3)-1=-1.（2）原式=lg 2（2lg 2+lg5）+12lg 2)2(lg 2+-=lg 2(lg2+lg5)+|lg 2-1| =lg 2+(1-lg 2)=1.（3）原式=21（lg32-lg49）-34lg821+21lg245=21(5lg2-2lg7)-34×2lg 23+21 (2lg7+lg5)=25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5=21lg(2×5)= 21lg10=21.变式训练1：化简求值. （1）log 2487+log 212-21log 242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).解：(1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++ 例2 比较下列各组数的大小. （1）log 332与log 556;2）log 1.10.7与log 1.20.7;（3）已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log 332＜log 31=0,而log 556＞log 51=0,∴log 332＜log 556.(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,∴0＞2.1log 1.1log 7.00.7>,∴2.1log 11.1log 17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7.方法二作出y=log 1.1x 与y=log 1.2x 的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7. (3)∵y=x 21log 为减函数，且c a b 212121log log log <<,∴b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c.变式训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是（）A.log a bb bba1log log 1<< B.bbb baa 1log 1log log <<C.b b b a ba1log 1loglog << D.b bb a a b log 1log 1log << 解： C例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a 的取值范围.解：当a ＞1时，对于任意x ∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x 在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x ∈［3，+∞），有f(x)≥log a 3.因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立. 只要log a 3≥1=log a a 即可，∴1＜a ≤3.当0＜a ＜1时，对于x ∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f （x ）=log a x 在［3，+∴-f （x ）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x ∈［3，+|f(x)|=-f(x)≥-log a 3.因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+只要-log a 3≥1∴log a 3≤-1=log a a1,即a 1≤3,∴31≤a ＜ 1.综上，使|f(x)|≥1对任意x ∈［3，+∞）都成立的a 的取值范围是：(1，3］∪［31，1）. 变式训练3：已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.解：令g(x)=x 2-ax-a,则g(x)=（x-2a ）2-a-42a ,由以上知g(x ）的图象关于直线x=2a对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log 2g(x)的底数2＞1, 在区间（-∞,1-3］上是减函数，所以g(x)=x 2-ax-a 在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>-----≥⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-0)31()31(3220)31(2312a a a g a ，即解得2-23≤a ＜2.故a 的取值范围是{a|2-23≤a ＜2}.例4 已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行与函数y=log 2x 的图象交于C 、D 两点. （1）证明:点C 、D 和原点O（2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标. （1）证明设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题设知x 1＞1,x 2＞1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2. 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2), 由于log 2x 1=2log log 818x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,OC 的斜率为k 1=118112log 3log x x x x =,OD 的斜率为,log 3log 2282222x x x x k ==由此可知k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一直线上.（2）解：由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1=log 8x 2，即得log 2x 1=31log 2x 2,x 2=x 31,代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2，得x 31log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1＞1,知log 8x 1≠0,故x 31=3x 1, 又因x 1＞1,解得x 1=3,于是点A 的坐标为（3，log 83).1．处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.2．对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.3．含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4．含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.。

高中数学-对数函数图像和性质及经典例题

对数函数的概念: 函数y 对数函数的图象和性质高中数学-对数函数图像和性质及经典例题第一部分：回顾基础知识点log a x(a 0,且a 1）叫做对数函数其中x是自变量，函数的定义域是（o, +3）.在同一坐标系中画岀下列对数函数的图象;(1) y log 2 x (2)y log! x2(3)y log3x(4)y log i x3 ■0 5 -・图象特征函数性质a 10 a 1 a 10 a 1函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0，+x）图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点（1 , 1） 1 1自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0x 1, log a x 00 x 1, log a x 0第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于00 x 1, log a x 0x 1, log a x 0 -1 --底数a是如何影响函数log a x 的.规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大第二部分：对数函数图像及性质应用例1 •如图，A , B , C 为函数y log i x 的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t 1).2⑴设 ABC 的面积为S 。

求S=f (t )； ⑵判断函数S=f (t )的单调性;解：(1 )过A,B,C,分别作AAi,BB i ,CC i 垂直于x 轴，垂足为 Ai,B i ,C i ，则 S =S 梯形 AA i B i B +S 梯形 BB 1C 1C — S上是减函数，且 1<u“ 2 (x 23) 3 解：(1 )••• f(x -3)=lg2,(x 3) 3••• f(x)=lg x —3l t24t汽6log 3(1 J )t 2 4t2(2)因为v= t4t 在[1,)上是增函数，且v 5,梯形 AA i C i C.S log 3 u 在上是增函数,所以复合函数 S=f (t )Iog 3(1t 2上是减函数(3)由(2)知t =1 时，S 有最大值, 最大值是f (1) log 39 52 log3 59例2 .已知函数f(x -3)=lg2x x 26(1)f(x)的定义域；⑵判断f(x)的奇偶性;⑶求f(x)的反函数；⑷若f[ (x)]=lgx,求(3)的值。

对数函数典型例题

对数函数典型例题例1．求下列函数的定义域：（1）f (x )＝lg(x －1)＋4－x ；（2）)4(log x y a -=；（3）)9(log 2x y a -=．(4)y ＝log 12(x －1) 例4．比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log 3.4，2log 8.5；（2）0.3log 1.8，0.3log 2.7；（3）log 5.1a ，log 5.9a . 例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1）6log 7，7log 6；（2）3log π，2log 0.8；（3）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8；（4）5log 3，6log 3，7log 3．例6．已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。

例2．求值：（1）（2）求值)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 例21：已知3a =5b =c ，，求c 的值.例7．作出下列函数的图象：(1) y=lgx ， y=lg(-x)， y=-lgx ； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.例5．已知a >0且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )例7．求下列函数的值域：（1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．例10.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.例1已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x 则f （2+log 23）的值为 A.31 B.61 C.121 D.241例3 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.6．函数y ＝log a (x ＋2)＋3(a ＞0且a ≠1)的图象过定点________．7．函数y ＝log 13(－x 2＋4x ＋12)的单调递减区间是________．2．函数y ＝x |x |log 2|x |的大致图象是( )5．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4 3．若log a 2＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(0,1)∪(2，＋∞)C ．(0,1)∪(1,2)D ．(0，12)8．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为________．9．已知g (x )＝,00ln e >≤⎩⎨⎧x x x x则g [g (13)]＝________. 10．f (x )＝log 21＋x a －x的图象关于原点对称，则实数a 的值为________． 11．函数f (x )＝log 12(3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.例8．判断函数2()log )f x x =的奇偶性。

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、已知a=lg2，10b=3，则log56=（）A．a+b1+a B．a+b1−aC．a−b1+aD．a−b1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a=lg2,0b=3，∴b=lg3，∴log56=lg6lg5=lg2×3lg102=lg2+lg31−lg2=a+b1−a．故选：B．2、函数f(x)=|x|⋅22−|x|在区间[−2,2]上的图象可能是（）A．B．C．D．答案：C分析：首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可；解：∵f(−x)=|x|⋅22−|x|=f(x)，∴f(x)是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，B选项；∵f(1)=2=f(2)，∴f(x)在[0,2]上不单调，排除D选项．故选：C3、式子√m⋅√m 43√m 56m >0)的计算结果为（）A ．1B ．m 120C ．m 512D ．m 答案：D分析：由指数运算法则直接计算可得结果.√m⋅√m 43√m 56=m 12⋅m 43m 56=m 12+43−56=m .故选：D.4、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（）A ．[1,5]B ．[32,5) C ．(32,5)D ．(1,5) 答案：B分析：由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解不等式组可求得答案因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解得32≤a <5，故选：B5、函数f (x )=√3−x +log 13(x +1)的定义域是（）A ．[−1,3)B ．(−1,3)C ．(−1,3]D ．[−1,3] 答案：C分析：由题可得{3−x ≥0x +1>0，即得.由题意得{3−x ≥0x +1>0，解得−1<x ≤3，即函数的定义域是(−1,3].故选：C.6、下列函数中是增函数的为（）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意，故选：D.7、下列计算中结果正确的是（） A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确；对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误；对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误；对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误；故选：A8、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过(参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956) （）天．A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天答案：D分析：根据题意可列出方程100×0.99x =1.01x ，求解即可.设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则100×0.99x=1.01x，即(1.010.99)x =100，∴x =log 1.010.99100=lg lg 1.010.99=lg lg 10199=2lg−lg≈22.0043−1.9956=20.0087≈230．故选：D ．多选题9、已知函数f(x)=1−2x 1+2x，则下面几个结论正确的有（）A ．f(x)的图象关于原点对称B ．f(x)的图象关于y 轴对称C ．f(x)的值域为(−1,1)D ．∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2,f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0恒成立答案：ACD分析：利用奇函数的定义和性质可判断AB 的正误，利用参数分离和指数函数的性质可判断CD 的正误. 对于A ，f(x)=1−2x1+2x ，则f(−x)=1−2−x1+2−x =2x −11+2x =−f(x)，则f(x)为奇函数，故图象关于原点对称，故A 正确.对于B ，计算f(1)=−13，f(−1)=13≠f(1)，故f(x)的图象不关于y 轴对称，故B 错误. 对于C ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ，1+2x =t,t ∈(1,+∞)，故y =f(x)=−1+2t ，易知：−1+2t ∈(−1,1)，故f(x)的值域为(−1,1),故C 正确. 对于D ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ，因为y =1+2x 在R 上为增函数，y =−1+21+t 为(1,+∞)上的减函数，由复合函数的单调性的判断法则可得f (x )在R 上单调递减，故∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0恒成立，故D 正确.故选：ACD.小提示：方法点睛：复合函数的单调性的研究，往往需要将其转化为简单函数的复合，通过内外函数的单调性结合“同增异减”的原则来判断.10、设函数f (x )=ax 2+bx +c (a,b,c ∈R,a >0)，则下列说法正确的是（） A ．若f (x )=x 有实根，则方程f(f (x ))=x 有实根 B ．若f (x )=x 无实根，则方程f(f (x ))=x 无实根 C ．若f (−b 2a)<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2个零点D ．若f (f (−b 2a))<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2零点答案：ABD分析：直接利用代入法可判断A 选项的正误；推导出f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立，结合该不等式可判断B 选项的正误；取f (x )=x 2−x ，结合方程思想可判断C 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断D 选项的正误.对于A 选项，设f (x )=x 有实根x =x 0，则f(f (x 0))=f (x 0)=x 0，A 选项正确；对于B 选项，因为a >0，若方程f (x )=x 无实根，则f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立，故f(f (x ))>f (x )>x ，从而方程f(f (x ))=x 无实根，B 选项正确；对于C 选项，取f (x )=x 2−x ，则f (12)=−14<0，函数y =f (x )有两个零点，则f(f (x ))=[f (x )]2−f (x )=0，可得f (x )=0或f (x )=1，即x 2−x =0或x 2−x =1. 解方程x 2−x =0可得x =0或1，解方程x 2−x −1=0，解得x =1±√52. 此时，函数y =f(f (x ))有4个零点，C 选项错误；对于D 选项，因为f (f (−b2a ))<0，设t =f (−b2a )，则t =f (x )min ，因为f (t )<0且a >0，所以，函数f (x )必有两个零点，设为x 1、x 2且x 1<x 2，则x 1<t <x 2，所以，方程f (x )=x 1无解，方程f (x )=x 2有两解，因此，若f(f(−b))<0，则函数y=f(x)与y=f(f(x))都恰有2零点，D选项正确.2a故选：ABD.小提示：思路点睛：对于复合函数y=f[g(x)]的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)；（2）确定外层函数y=f(u)的零点u=u i(i=1,2,3,⋯,n)；（3）确定直线u=u i(i=1,2,3,⋯,n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1、a2、a3、⋯、a n，则函数y=f[g(x)]的零点个数为a1+a2+a3+⋯+a n.11、(多选题)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km 但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（）A．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km答案：BCD分析：根据题意分别计算各个选项的情况，即可得答案.对于A选项：出租车行驶4km，乘客需付费8+1×2.15+1=11.15元，故A错误；对于B选项：出租车行驶10 km，乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45元，故B正确；对于C选项：乘出租车行驶5km，乘客需付费8+2×2.15+1=13.30元，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，故C正确；对于D选项：设出租车行驶x km时，付费y元，由8+5×2.15+1=19.75<22.6，知x>8，因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6，解得x=9，故D正确.故选：BCD.小提示：本题考查函数模型的应用，解题要点为认真审题，根据题意逐一分析选项即可，属基础题.12、若log2m=log4n，则（）A．n=2m B．log9n=log3mC．lnn=2lnm D．log2m=log8(mn)答案：BCD分析：利用对数运算化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.依题意log2m=log4n，所以m>0,n>0,log2m=log22n=12log2n=log2n12，所以m=n 12,m2=n，A选项错误.log9n=log32m2=22log3m=log3m，B选项正确.lnn=lnm2=2lnm，C选项正确.log8(mn)=log23m3=33log2m=log2m，D选项正确.故选：BCD13、在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（）A．y=﹣2x B．y=x﹣6C．y=3xD．y=x2﹣3x+4答案：ACD分析：横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，依次计算即可.横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，对于A,{y=xy=−2x，解得{x=0y=0，即存在完美点(0,0)，对于B,{y=xy=x−6，无解，即不存在完美点，对于C,{y=xy=3x，解得{x=√3y=√3或{x=−√3y=−√3，即存在完美点(√3,√3)，(−√3,−√3)对于D,{y=xy=x2−3x+4，x2−3x+4=x,即x2−4x+4=0，解得x=2，即存在完美点(2,2).故选：ACD.填空题14、化简(√a−1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=________.答案：a-1分析：根据根式的性质即可求解.由(√a−1)2知a-1≥0，a≥1.故原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1.所以答案是：a-115、对数型函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，则满足题意的一个函数解析式为______．答案：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一，满足f(x)=|log a(x+b)|，a>1，b≥1即可）分析：根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.∵函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，∴满足题意的一个函数是f(x)=|log2(x+1)|．所以答案是：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一）16、函数y＝log a(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________．答案：(0，－2)分析：由对数函数的图象所过定点求解．解：依题意，x+1=1，即x＝0时，y＝log a(0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2)．所以答案是：(0，－2)解答题17、（1）计算0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1；（2）若x 12+x−12=√6，求x 2+x −2的值．答案：（1）-5；（2）14.分析：（1）由题意利用分数指数幂的运算法则，计算求得结果．（2）由题意两次利用完全平方公式，计算求得结果．（1）0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1=0.3﹣1﹣36+33+1−13=103−36+27+1−13=−5．（2）若x 12+x −12=√6，∴x +1x +2＝6，x +1x =4，∴x 2+x ﹣2+2＝16，∴x 2+x ﹣2＝14．18、已知函数f (x )=2x −12x +1．(1)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性；(2)若f (k ⋅3x )+f (3x −9x +2)<0对任意x ≥1恒成立，求实数k 的取值范围．答案：(1)f (x )在R 上单调递增；证明见解析 (2)(−∞,43)分析：（1）设x 2>x 1，可整理得到f (x 2)−f (x 1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)>0，由此可得结论；（2）利用奇偶性定义可证得f (x )为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为k <g (x )=3x −23x −1，由g (x )单调性可求得g (x )≥43，由此可得k 的取值范围.（1）f (x )在R 上单调递增，证明如下：设x 2>x 1，∴f (x 2)−f (x 1)=2x 2−12x 2+1−2x 1−12x 1+1=(2x 2−1)(2x 1+1)−(2x 2+1)(2x 1−1)(2x 2+1)(2x 1+1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)；∵x 2>x 1，∴2x 2−2x 1>0，又2x 2+1>0，2x 1+1>0，∴f (x 2)−f (x 1)>0， ∴f (x )在R 上单调递增. （2）∵f (−x )=2−x −12−x +1=1−2x1+2x =−f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数，由f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)<0得：f(k⋅3x)<−f(3x−9x+2)=f(9x−3x−2)，由（1）知：f(x)在R上单调递增，∴k⋅3x<9x−3x−2在[1,+∞)上恒成立；当x≥1时，3x≥3，∴k<3x−23x−1在[1,+∞)上恒成立；令g(x)=3x−23x−1，∵y=3x在[1,+∞)上单调递增，y=23x在[1,+∞)上单调递减，∴g(x)在[1,+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)=3−23−1=43，∴k<43，即实数k的取值范围为(−∞,43).。

对数函数经典例题

对数函数经典例题（实用版）目录1.对数函数的定义与性质2.对数函数的图像与性质3.对数函数的运算法则4.对数函数的应用5.经典例题解析正文对数函数是一种重要的数学函数，它被广泛应用于各个领域。

对数函数的定义为：如果，那么我们称 y 为以 a 为底的 x 的对数，记作：x=loga y（a>0，且 a≠1）。

根据这个定义，我们可以得到对数函数的一些基本性质。

首先，对数函数的图像与性质。

对数函数的图像通常为一条斜率为 1，截距为 0 的直线。

其性质包括：当 x=1 时，y=0；当 x>1 时，y>0；当0<x<1 时，y<0；当 x<0 时，y 不存在。

其次，对数函数的运算法则。

对数函数的运算法则包括：loga (xy) = logax + logay；loga (x/y) = logax - logay；loga x^n = nlogax。

再次，对数函数的应用。

对数函数在实际生活中的应用非常广泛，例如在计算机科学中，对数函数被用来表示数据的大小；在经济学中，对数函数被用来表示成本与收益的关系。

最后，让我们来看一些经典的对数函数例题。

例如，如果 a=2，那么log2 8 等于多少？根据对数函数的定义，我们可以得到 log2 8=3。

再比如，如果 a=10，b=100，那么 log10 100 等于多少？根据对数函数的定义，我们可以得到 log10 100=2。

总的来说，对数函数是一种重要的数学函数，它被广泛应用于各个领域。

对数函数的定义、图像、性质、运算法则以及应用，都是我们需要掌握的基本知识。

高一数学典型例题分析指数函数、对数函数、换底公式试题

卜人入州八九几市潮王学校指数函数和对数函数·换底公式·例题例1-6-38log34·log48·log8m=log416，那么m 为[ ]解 B 由有[ ]A．b＞a＞1B．1＞a＞b＞0C．a＞b＞1D．1＞b＞a＞0解 A 由不等式得应选A．[ ]应选A．[ ]A．[1，+∞] B．(-∞，1] C．(0，2) D．[1，2) 2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数，[ ]A．m＞p＞n＞qB．n＞p＞m＞qC．m＞n＞p＞qD．m＞q＞p＞n例1-6-43(1)假设log a c+log b c=0(c≠0)，那么ab+c-abc=____；(2)log89=a，log35=b，那么log102=____(用a，b表示)．但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1．例1-6-44函数y=f(x)的定义域为[0，1]，那么函数f[lg(x2-1)]的定义域是____．由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得．例1-6-45log1227=a，求log616的值．例1-6-46比较以下各组中两个式子的大小：例1-6-47常数a＞0且a≠1，变数x，y满足3log x a+log a x-log x y=3(1)假设x=a t(t≠0)，试以a，t表示y；(2)假设t∈{t|t2-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值．解(1)由换底公式，得即log a y=(log a x)2-3log a x+3当x=a t时，log a y=t2-3t+3，所以y=a r2-3t+3(2)由t2-4t+3≤0，得1≤t≤3．值，所以当t=3时，u max=3．即a3=8，所以a=2，与0＜a＜1矛盾．此时满足条件的a值不存在．。

对数函数题型例题及练习

对数与对数函数例题及习题一、对数（一）、对数的基本知识点1、定义：如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a 即有：⇔=N a b )1,0(log ≠>=a a N b a2、性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a ；3、恒等式：N a N a =log ；b a b a =log )1,0(≠>a a4、运算法则：N M MN a a a log log log )1(+=N M NMa a a log log log )2(-=M n M a n a log log )3(= 其中a>0,a≠0,M>0,N>0 5、换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且（二）、题型题型一．对数式的化简和运算例1 计算：练习求下列各式的值：例2 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：;(1)log zxya 32log )2(zyx a例3计算：（1）1log 2log 2a a +；（2）33log 18log 2-；（3）1lg lg 254-；（4）552log 10log 0.25+；（5）522log 253log 64+；（6）22log (log 16)。

换底公式的应用: a b b c c a log log log ==ablg lg （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）1.设a =2lg ,b =3lg ，试用a 、b 表示12log 5。

2.设a =7log 14,514=b ，试用a 、b 表示28log 35题型二：指数与对数的互化即：N x N a a x log =⇔= （10≠>a a 且）反函数1 概念：函数y=f （x ）的定义域为A ，值域为c ，由y=f （x ）得x=φ（y ）函数y=φ（x ）是y=f （x ）的反函数。

对数函数·换底公式·例题

指数函数和对数函数·换底公式·例题例1-6-38log34·log48·log8m=log416，则m 为 [ ]解 B 由已知有A．b＞a＞1 B．1＞a＞b＞0C．a＞b＞1 D．1＞b＞a＞0解 A 由已知不等式得故选A．[ ]故选A．[ ]A．[1，+∞] B．(-∞，1] C．(0，2) D．[1，2)2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数，[ ]A．m＞p＞n＞q B．n＞p＞m＞qC．m＞n＞p＞q D．m＞q＞p＞n例1-6-43 (1)若log a c+log b c=0(c≠0)，则ab+c-abc=____；(2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)．但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1．例1-6-44函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是____．由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得．例1-6-45已知log1227=a，求log616的值．例1-6-46比较下列各组中两个式子的大小：例1-6-47已知常数a＞0且a≠1，变数x，y满足3log x a+log a x-log x y=3(1)若x=a t(t≠0)，试以a，t表示y；(2)若t∈{t|t2-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值．解 (1)由换底公式，得即 log a y=(log a x)2-3log a x+3当x=a t时，log a y=t2-3t+3，所以y=a r2-3t+3(2)由t2-4t+3≤0，得1≤t≤3．值，所以当t=3时，u max=3．即a3=8，所以a=2，与0＜a＜1矛盾．此时满足条件的a值不存在．（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

对数函数知识点及典型例题讲解

对数函数知识点1．对数：(1) 定义：如果N a b =)1,0(≠>a a 且，那么称为，记作，其中a 称为对数的底，N 称为真数. ① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________． (2) 基本性质：① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ；③ 1log =a a ； ④ 对数恒等式：N a N a =log ． (3) 运算性质：① log a (MN)＝___________________________； ② log a NM ＝____________________________；③ log a M n＝ (n ∈R).④ 换底公式：log a N ＝ (a >0，a ≠1，m >0，m ≠1，N>0)⑤ log mna a nb b m = .2．对数函数：① 定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4) 函数x y a log =与函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴)；4) 函数y ＝log a x 与的图象关于x 轴对称． ③ 函数值的变化特征：例1 计算：（1）)32(log32-+（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-;（3）21lg 4932-34lg 8+lg 245.例2 比较下列各组数的大小.（1）log 332与log 556; （2）log 1.10.7与log 1.20.7;（3）已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b ,2a ,2c 的大小关系.例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a 的取值范围.函数y=log 2x 的图象交于C 、D 两点.例4 已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行与（1）证明:点C 、D 和原点O 在同一直线上；（2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.1解：（1）方法一利用对数定义求值设)32(log32-+=x, 则(2+3)x=2-3=321+=（2+3）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解)32(log 32-+=32log +321+=32log+(2+3)-1=-1.（2）原式=lg 2（2lg 2+lg5）+12lg 2)2(lg 2+-=lg 2(lg2+lg5)+|lg 2-1| =lg 2+(1-lg 2)=1. （3）原式=21（lg32-lg49）-34lg821+21lg245 =21 (5lg2-2lg7)-34×2lg 23+21 (2lg7+lg5) =25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5 =21lg(2×5)= 21lg10=21. 2解：（1）∵log 332＜log 31=0, 而log 556＞log 51=0,∴log 332＜log 556.(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2, ∴0＞2.1log 1.1log 7.00.7>, ∴2.1log 11.1log 17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7.方法二作出y=log 1.1x 与y=log 1.2x 的图象. 如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7. (3)∵y=x 21log 为减函数，且c a b 212121log log log <<, ∴b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c .3解：当a ＞1时，对于任意x ∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x 在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x ∈［3，+∞），有f(x)≥log a 3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立. 只要log a 3≥1=log a a 即可，∴1＜a ≤3. 当0＜a ＜1时，对于x ∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f （x ）=log a x 在［3，+∞）上为减函数，∴-f （x ）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x ∈［3，+∞）都有 |f(x)|=-f(x)≥-log a 3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立，只要-log a 3≥1成立即可， ∴log a 3≤-1=log a a1,即a 1≤3,∴31≤a ＜1. 综上，使|f(x)|≥1对任意x ∈［3，+∞）都成立的a 的取值范围是：(1，3］∪［31，1）.例4（1）证明设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2, 由题设知x 1＞1,x 2＞1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2. 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2), 由于log 2x 1=2log log 818x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2, OC 的斜率为k 1=118112log 3log x x x x =, OD 的斜率为,log 3log 2282222x x x x k ==由此可知k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一直线上. （2）解：由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1=log 8x 2，即得log 2x 1=31log 2x 2,x 2=x 31, 代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2，得x 31log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1＞1,知log 8x 1≠0,故x 31=3x 1, 又因x 1＞1,解得x 1=3,于是点A 的坐标为（3，log 83).训练1：化简求值. （1）log 2487+log 212-21log 242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是（）A.log a bb bba1loglog 1<< B.bbb baa1log 1log log << C.b bb aba1log 1log log << D.b bb aablog 1log 1log <<训练3：已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞, 1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.训练4：已知函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x). （1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.1解：(1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++2解： C3解：令g(x)=x 2-ax-a,则g(x)=（x-2a ）2-a-42a , 由以上知g(x ）的图象关于直线x=2a 对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log 2g(x)的底数2＞1, 在区间（-∞,1-3］上是减函数，所以g(x)=x 2-ax-a 在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>-----≥⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-0)31()31(3220)31(2312a a a g a ，即解得2-23≤a ＜2.故a 的取值范围是{a|2-23≤a ＜2}.4解：（1）f(x)有意义时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+,③0,②01,①011x p x x x 由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p ＞1,f(x)的定义域是(1,p).（2）f(x)=log 2［(x+1)(p-x)］ =log 2［-（x-21-p ）2+4)1(2+p ］ (1＜x ＜p), ①当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时， 0＜-(x-4)1(4)1()21222+≤++-p p p , ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2. ②当21-p ≤1，即1＜p ≤3时， ∵0＜-(x-),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2(p-1). 综合①②可知：当p ＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log 2(p+1)-2］; 当1＜p ≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log 2(p-1)). 1．处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.2．对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.3．含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类. 4．含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.。

对数、对数函数、反函数、最简指对数方程、任意角、三角比、诱导公式等超强练习及题型

龙文教育·高一年级第二学期数学期末复习（对数、反函数、对数函数、三角比）一、对数运算、反函数、对数函数、简单指对数方程 1、对数运算公式的应用【典型例题】例1：已知3log 2,m =试用m 表示32log 18= 例2：已知25log 5,log 7a b ==，用a 、b 表示35log 562、对数函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性【典型例题】例1：求函数2()lg(9)f x x =-的定义域、值域并指出其单调递增区间_________ 例2：函数lga xy a x+=- (0)a >是____________函数例3：函数x xx f +-=11lg )(的图像关于____________对称（原点、y 轴、x 轴对称、直线x y =）例4：函数x y alog=在[]2,4上最大值比最小值大1，则=a ____________例5：（1）已知函数()⎩⎨⎧≤>=0,20,log 3x x x x f x ，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f。

A ．4B ．41 C ．4- D ．41-（2）函数()34log15.0-=x y 的定义域为。

A ．⎪⎭⎫⎝⎛1,43B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,43C ．()+∞,1D ．()+∞⎪⎭⎫⎝⎛,11,43（3）函数xy 416-=的值域是。

A ．[)+∞,0B ．[]4,0C ．[)4,0 D ．()4,0例6：给定函数①21x y =，②()1log 21+=x y ，③1-=x y，④12+=x y ，其中在区间()1,0上单调递减的函数的序号是。

A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④例7：设2log 3=a ，2ln =b ，215-=c ，则。

A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<例8：已知函数1()log (0,1)1ax f x a a x+=>≠-（1）求()f x 的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并加以证明；（3）当01a <<时，求使()0f x >的x 的取值范围。

对数函数典型例题

对数函数例1求下列函数的定义域（1）y=log2（x2-4x-5）;（2）y=log x+1（16-4x）（3）y= ．解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0，故定义域为｛x｜x＜-1，或x＞5｝．（2）令得故所求定义域为｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝．（3）令，得故所求定义域为｛x｜x＜-1- ，或-1- ＜x＜-3,或x≥2｝．说明求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零．例2求下列函数的单调区间．（1）y=log2（x-4）；（2）y=log0．5x2．解：（1）定义域是（4，+∞），设t=x-4,当x＞4时，t随x的增大而增大，而y=log2t，y又随t的增大而增大，∴（4，+∞）是y=log2（x-4）的递增区间．（2）定义域｛x｜x∈R，且x≠0｝，设t=x2，则y=log0．5t当x＞0时，t随x的增大而增大，y随t的增大而减小，∴（0，+∞）是y=log0．5x2的递减区间．当x＜0时，t随x的增大而减小，y随t的增大而减小，∴（-∞，0）是y=log0．5x2的递增区间．例3比较大小：（1）log0．71．3和log0．71．8．（2）（lg n）1．7和（lgn）2（n＞1）．（3）log23和log53．（4）log35和log64．解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以log0．71．3＞log0．71．8．（2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论．若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2；若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里x=3，所以log23＞log53．（4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解．因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64．评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论．例4已知函数f（x）=log a（a-a x）（a＞1），（1）求f（x）的定义域、值域．（2）判断并证明其单调性．（3）解不等式f-1（x2-2）＞f（x）．解：（1）要使函数有意义，必须满足a-a x＞0，即a x<a．因为a＞1，所以x＜1；又因为0＜a-a x＜a，所以f（x）=log a（a-a x）（a＞1）的值域为（-∞，1）（2）设x1＜x2＜1，则a ＜a ＜a（因为a＞1）．所以a-a ＞a-a ＞0，所以log a（a-a ）＞log a（a-a ），即f（x1）＞f（x2）．所以f（x）这（-∞，1）上的减函数．（3）设y=log a（a-a x），则a-a x=a y,a x=a-a y,x=log a（a-a y）,所以f-1（x）=log a（a-a x）（x∈（-∞，1）），f（x）=f-1（x）．由f-1（x2-2）＞f（x）有f（x2-2）＞f（x）,且f（x）为（-∞，1）上的减函数，所以x2-2＜x,x＜1,解得-1＜x＜1．评析知道函数值大小关系和函数单调性，要研究自变量取值范围，应直接用单调性得关于x的不等式，但要注意单调区间．例5已知f（x）=2+log3x，x∈［1，9］，求y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，及y 取最大值时，x的值．分析要求函数y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定义域，然后求值域．解：∵f（x）=2+log3x，∴y=［f（x）］2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2=（2+log3x）2+2+2log3x=log23x+6log3x+6=（log3x+3）2-3．∵函数f（x）的定义域为［1，9］，∴要使函数y=［f（x）］2+f（x2）有定义，就须∴1≤x≤3．∴0≤log3x≤1∴6≤y=（log3x+3）2-3≤13∴当x=3时，函数y=［f（x）］2+f（x2）取最大值13．说明本例正确求解的关键是：函数y=［f（x）］2+f（x2）定义域的正确确定．如果我们误认为［1，9］是它的定义域．则将求得错误的最大值22．其实我们还能求出函数y=［f（x）］2+f（x2）的值域为［6，13］．例6（1）已知函数y=log3（x2-4mx+4m2+m+ ）的定义域为R，求实数m的取值范围；（2）已知函数y=log a［x2+（k+1）x-k+ （a＞0，且a≠1）的值域为R，求实数k的取值范围．点拨：题（1）中，对任意实数x,x2-4mx+4m2+m+ ＞0恒成立；题（2）中，x2+（k+1）x-k+ 取尽一切正实数．解：（1）∵x2-4mx+4m2+m+ ＞0对一切实数x恒成立，∴△=16m2-4（4m2+m+ ）=-4（m+ ）＜0，∴ ＞0．又∵m2-m+1＞0，∴m-1＞0，∴m＞1．（2）∵y∈R，∴x2+（k+1）x-k+ 可取尽一切正实数．∴△=（k+1）2-4（-k+ ）≥0，∴k2+6k≥0，∴k≥0，或k≤-6．评析本题两小题的函数的定义域与值域正好错位．（1）中函数的定义域为R，由判别式小于零确保；（2）中函数的值域为R，由判别式不小于零确定．例7求函数y=log0．5（-x2+2x+8）的单调区间．分析由于对函数的底是一个小于1的正数，故原函数与函数u=-x2+2x+8（-2＜x＜4）的单调性相反．解．∵-x2+2x+8＞0，∴ -2＜x＜4，∴原函数的定义域为（-2，4）．又∵函数u=-x2+2x+8=-（x-1）2+9在（-2，1］上为增函数，在［1，4）上为减函数，∴函数y=log0．5（-x2+2x+8）在（-2，1］上为减函数，在［1，4）上为增函数．评析判断函数的单调性必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集．例8已知a＞0且a≠1，f（log a x）= ·（x-x-1）．（1）求f（x）;（2）判断f（x）的奇偶性和单调性；（3）对于f（x）,当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求m的取值范围．分析先用换元法求出f（x）的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第（3）小题．解：（1）令t=log a x（t∈R），则x=a t，且f（t）= （a t-a-t），∴f（x）= （a x-a-x）（x∈R）．（2）∵f（-x）= （a-x-a x）=-f（x），且x∈R，∴f（x）为奇函数．a＞1时，a x-a-x为增函数，并且注意到，∴这时，f（x）为增函数．0＜a＜1时，类似可证f（x）为增函数．∴f（x）在R上是增函数．（3）∵f（1-m）+f（1-m2）＜0，且f（x）为奇函数．∴f（1-m）＜f（m2-1）．∵f（x）在（-1，1）上是增函数，∴∴1＜m＜．评析题（3）的求解脱离了f（x）的具体形式，仅用到前面得到的函数的性质。

对数函数的图像典型例题（一）.doc

对数函数的图像典型例题（一）1 如图，曲线是对数函数的图象，已知的取值，则相应于曲线的值依次为( )．（A ）（B ）（C ）（D ）2.函数y=log x －1(3－x)的定义域是如果对数)56(log 27+++x xx 有意义，求x 的取值范围；解：要使原函数有意义，则26507071x x x x ⎧++>⎪+>⎨⎪+≠⎩解之得： -7<x<-6-6<x<-5-1或或x> ∴原函数的定义域为-7，-6)(-6，-5)(-1，+∞)函数]45)2(lg[2+++=x k x y 的定义域为一切实数，求k 的取值范围。

22k <<利用图像判断方程根的个数 3．已知关于x 的的方程a x =3log ，讨论a 的值来确定方程根的个数。

解：因为⎩⎨⎧<<->==)10(log )1(log log 333x x x x x y 在同一直角坐标系中作出函数与a y =的图象，如图可知：①当0<a 时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0个；②当0=a 时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个；③当0>a 时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数为2个。

4．若关于x 的方程4)lg()lg(2=⋅ax ax 的所有解都大于1，求a 的取值范围．解：由原方程可化为4)lg 2)(lg lg (lg =++x a x a ，变形整理有04lg lg lg 3lg 222=-+⋅+a x a x （*）1>x ，0lg >∴x ，由于方程（*）的根为正根，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-≥--=∆0)4(lg 210lg 230)4(lg 8lg 9222a a a a 解之得2lg -<a ，从而10010<<a5．求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间．．解：设u y 21log =，322--=x x u ，由0>u 得0322>--x x ，知定义域为),3()1,(+∞⋃--∞又4)1(2--=x u ，则当)1,(--∞∈x 时，u 是减函数；当),3(+∞∈x 时，u 是增函数，而u y 21log =在+R 上是减函数)33(212log --=∴x x y 的单调增区间为)1,(--∞，单调减区间为),3(+∞题目2】求函数12log y x x =215（-3+）22的单调区间。

对数函数经典例题

对数函数经典例题摘要：1.对数函数的定义与性质2.对数函数的图像与性质3.对数函数的运算法则4.对数函数经典例题解析5.对数函数的应用领域正文：对数函数是一种数学函数，主要用于解决指数方程和表达式的简化问题。

它具有很多性质和运算法则，因此在数学领域中非常重要。

下面我们通过对数函数经典例题的解析，来更好地理解对数函数的应用。

首先，我们来回顾一下对数函数的定义与性质。

对数函数是指以某个数为底，另一个数为真数的函数。

它的符号表示为y=loga(x)，其中a 为底数，x 为真数，y 为对数。

对数函数的性质包括：当a>1 时，函数为增函数；当0<a<1 时，函数为减函数；当a=1 时，函数为常数函数。

此外，对数函数还具有以下性质：loga(1)=0，loga(a)=1，loga(x^n)=nloga(x) 等。

其次，我们来了解对数函数的图像与性质。

对数函数的图像可以帮助我们更好地理解对数函数的性质。

对于loga(x)，当a>1 时，函数图像为右上方向的斜线；当0<a<1 时，函数图像为右下方向的斜线；当a=1 时，函数图像为x 轴。

接下来，我们来学习对数函数的运算法则。

对数函数的运算法则包括：loga(x)+loga(y)=loga(xy)，loga(x)-loga(y)=loga(x/y)，loga(x^n)=nloga(x) 等。

现在，我们来解析一道对数函数的经典例题。

题目如下：求log2(16)+log2(32)-log2(8)。

根据对数函数的运算法则，我们可以将题目转化为log2((16*32)/8)，进一步计算得到log2(64)，最后得到答案为6。

最后，我们来讨论一下对数函数的应用领域。

对数函数在数学、物理、化学、生物、经济学等领域都有广泛的应用。

例如，在计算机科学中，对数函数常用于计算算法的时间复杂度和空间复杂度；在经济学中，对数函数常用于计算复利和折现现值等。

高中数学《指数函数与对数函数》典型例题分析

高中数学《指数函数与对数函数》典型例题分析例1.（1）下图是指数函数（1）y＝a x，（2）y＝b x，（3）y＝c x，（4）y＝d x的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是（）A. a＜b＜1＜c＜dB. b＜a＜1＜d＜cC. 1＜a＜b＜c＜dD. a＜b＜1＜d＜c剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c、d的大小，从（1）（2）中比较a、b的大小。

解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴.得b＜a＜1＜d＜c。

故选B。

解法二：令x＝1，由图知c1＞d1＞a1＞b1，∴b＜a＜1＜d＜c。

（2）已知2≤（）x－2，求函数y＝2x－2－x的值域。

解：∵2≤2－2（x－2），∴x2＋x≤4－2x，即x2＋3x－4≤0，得－4≤x≤1。

又∵y＝2x－2－x是［－4，1］上的增函数，∴2－4－24≤y≤2－2－1。

故所求函数y的值域是［－，］。

（3）要使函数y＝1＋2x＋4x a在x∈（－∞，1）上y＞0恒成立，求a的取值范围。

解：由题意，得1＋2x＋4x a＞0在x∈（－∞，1）上恒成立，即a＞－在x∈（－∞，1）上恒成立。

又∵－＝－（）2x－（）x＝－［（）x＋］2＋，当x∈（－∞，1）时值域为（－∞，－），∴a＞－。

评述：将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法。

例2.已知f（x）＝log［3－（x－1）2］，求f（x）的值域及单调区间。

解：∵真数3－（x－1）2≤3，∴log［3－（x－1）2］≥log3＝－1，即f（x）的值域是［－1，＋∞］。

又3－（x－1）2＞0，得1－＜x＜1＋，∴x∈（1－，1）时，3－（x－1）2单调递增，从而f（x）单调递减；x∈［1，1＋］时，f（x）单调递增。

例3. 若f（x）＝x2－x＋b，且f（log2a）＝b，log2［f（a）］＝2（a≠1）。

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、如图所示，函数y =|2x −2|的图像是（）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x −2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0. 故选：B.2、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是（） A ．(1,+∞)B ．(12，1)C ．(13，12)D ．(14，13)答案：B分析：结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0，所以f(12)⋅f(1)<0，又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增，所以函数f(x)的零点所在的区间是(12，1)，故选：B ．小提示：本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题.3、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0 若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（） A ．[0,34]B ．(0,34) C ．[0,916]D ．(0,916) 答案：D分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示：若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点，若直线y =12x +m 经过原点时，m ＝0，若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切，令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0，令Δ=94−4m =0⇒m =916. 故m ∈(0,916). 故选：D ．4、函数y =2x −2−x （）A ．是R 上的减函数B ．是R 上的增函数C ．在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数D ．无法判断其单调性答案：B分析：利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数，指数函数g (x )=2−x =(12)x为R 上的减函数，故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数. 故选：B.5、若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，且y =a −x 也为增函数，则a 的取值范围是（） A ．(√33,1)B ．(0,12)C ．(√33,√63)D ．(√63,1) 答案：D分析：根据函数单调性，列出不等式组{3a 2−1>10<a <1求解，即可得出结果. 若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，则3a 2−1>1，由y =a −x 为增函数得0<a <1．解不等式组{3a 2−1>10<a <1，得a 的取值范围是(√63,1)．故选：D.小提示：本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数，涉及不等式的解法，属于基础题型. 6、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（） A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100 答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100. 故选：A7、已知a =lg2，10b =3，则log 56=（） A ．a+b 1+aB ．a+b 1−aC ．a−b 1+aD ．a−b 1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b ，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a =lg2, 10b =3， ∴b =lg3， ∴log 56=lg6lg5=lg2×3lg 102=lg2+lg31−lg2=a+b 1−a．故选：B ．8、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．因为2a =5，b =log 83=13log 23，即23b =3，所以4a−3b =4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C. 多选题9、已知函数f (x )={e x −1,x ≥a,−(x +1)2,x <a (a ∈R ) ，则（） A ．任意a ∈R ，函数f (x )的值域为R B ．任意a ∈R ，函数f (x )都有零点C ．任意a ∈R ，存在函数g (x )满足g (−|x |)=f (x )D ．当a ∈(−∞,−4]时，任意x 1≠x 2,(x 1−x 2)(f (x 1)−f (x 2))>0答案：BD分析：画出分段函数图像，根据图像逐项分析即可得到结果设函数y=e x−1和y=−(x+1)2的左右两交点坐标为(x1,y1)，(x2,y2)对于选项A，由图像可知，当a<x1时，f(x)的值域不为R，故A错误对于选项B，由图像可知，无论a取何值，函数f(x)都有零点，故B正确对于选项C，当x>0时g(−|x|)=g(−x)，g(−|−x|)=g(−x)由图像可知f(−x)≠f(x)所以不存在函数g(x)满足g(−|x|)=f(x)对于选项D，若x1<a，x2<a，因为y=−(x+1)2为增函数，所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立若x1>a，x2>a因为y=e x−1为增函数，所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立当x1，x2不在同一区间时，因为a∈(−∞,−4]，所以y=e x−1(x>a)的图像在y=−(x+1)2(x<a)的图像的上方，所以也满足对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立故D正确故选：BD10、已知实数a，b满足等式2a=3b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a=b=0其中有可能成立的关系式有（）A．①B．②⑤C．②③D．④答案：AB分析：画出指数函数y=2x，y=3x的图象，利用单调生即可得出答案.如图所示，数y=2x，y=3x的图象，由图象可知：( 1 ) 当时x>0，若2a=3b，则a>b；( 2 ) 当x=0时，若2a=3b，则a=b=0；( 3 ) 当x<0时，若2a=3b，则a<b.综上可知，有可能成立的关系式是①②⑤ .故选：AB11、某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（）A．2.5元B．3元C．3.2元D．3.5元答案：BC分析：设每册杂志定价为x(x>2)元，根据题意由(10−x−2×0.5)x≥22.4，解得x的范围，可得答案.0.2依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，×0.5万册，设每册杂志定价为x(x>2)元，则发行量为10−x−20.2则该杂志销售收入为(10−x−2×0.5)x万元，0.2所以(10−x−2×0.5)x≥22.4，化简得x2−6x+8.96≤0，解得2.8≤x≤3.2，0.2故选：BC小提示：关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为x (x >2)元时的发行量是解题关键. 填空题 12、化简：(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)=________．答案：2−1263分析：分析式子可以发现，若在结尾乘以一个(1−12)，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以(1−12)×2即可﹒ 原式=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)×(1−12)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)×(1−122)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)×(1−124)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)×(1−128)×2 =(1+1232)(1+1216)×(1−1216)×2 =(1+1232)×(1−1232)×2 =(1−1264)×2 =2−1263所以答案是：2−1263﹒13、√a ⋅√a ⋅√a 3的分数指数幂表示为____________答案：a 34分析：本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果.√a ⋅√a ⋅√a 3=√a ⋅√a ⋅a 123=√a ⋅√a 323=√a ⋅a 12=√a 32=a 34，所以答案是：a 34.14、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=________.①定义域为R；②值域为(−∞,1)；③对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.答案：f(x)=1−12x（答案不唯一）分析：直接按要求写出一个函数即可.f(x)=1−12x ，定义域为R；12x>0，f(x)=1−12x<1，值域为(−∞,1)；是增函数，满足对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.所以答案是：f(x)=1−12x（答案不唯一）.解答题15、已知函数f(x)=1−2a|x|+1(a>0，a≠1)．（1）判断f(x)的奇偶性并证明；（2）若f(x)在[−1,1]上的最大值为13，求a的值．答案：（1）偶函数；证明见解析；（2）a=2．解析：（1）利用奇偶函数的定义证明；（2）讨论去绝对值，并分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的单调性，求函数的最大值，建立方程，求a的值.解：（1）f(x)的定义域为R，又f(−x)=1−2a|−x|+1=1−2a|x|+1=f(x)⇒f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数；（2）因为f(x)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递减，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递增，f(x)max=f(1)=1−2a+1=13⇒a=2，当−1≤x<0，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a−x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递增，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递减，f(x)max=f(−1)=1−2a+1=13⇒a=2，综上，a=2．小提示：关键点点睛：本题考查指数型复合函数证明奇偶性以及根据函数的最值，求参数的取值范围，本题的关键是求函数的单调性，关键是利用函数是偶函数，先去绝对值，再利用复合函数的单调性求函数的单调性，从而确定函数的最值.。

对数与对数函数知识点及例题讲解教师版(已打)

基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是C D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞） 3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］ 4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z =y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b 解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.42B.22C.41 D.21 解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a .∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21B.－21 C.2 D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a 1）|，对称轴为x =a 1，由a1=－2得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4），可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1.∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是AB解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C9.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1 B.2 C.3 D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2 典型例题【例1】已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为A.31 B.61 C.121 D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4，∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0；（2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】（2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是 A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47. ∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47.（2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1.2.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数y =g （x ）的图象，若2 f－1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3.∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）.（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm+2m ≥3在 x ＞0时恒成立，只要（x +xm+2m ）min ≥3. 又x +x m ≥2m （当且仅当x =x m，即x =m 时等号成立），∴（x +x m +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。

对数函数经典例题

对数函数经典例题对数函数作为数学中的重要函数之一，在实际问题中有许多经典的例题。

以下是两个常见的对数函数的例题：例题1：解决复利问题假设你的银行账户每年的利率为4%，每年复利。

如果你初始存入1000美元，问多少年后账户里的金额会达到2000美元？解答：设所需年数为x，则根据复利公式：2000 = 1000 * (1 + 0.04)^x将方程进行变形得：2 = (1.04)^x对数函数可以帮助我们求解这个问题。

我们可以用对数函数求解x：x = log(2) / log(1.04)使用计算器或编程语言中的对数函数，我们可以得到近似结果。

在Python 中，可以使用math库中的log函数：```pythonimport mathx = math.log(2) / math.log(1.04)print("需要约", round(x, 2), "年")```输出结果为：需要约 17.67 年。

例题2：解决指数增长问题某城市人口每年以2%的速度增长。

如果某年的人口为1000万人，请问经过多少年后人口会翻倍？解答：设所需年数为y，则根据指数增长公式：2 * 1000万 = 1000万 * (1 + 0.02)^y将方程进行变形得：2 = (1.02)^y同样，我们可以使用对数函数求解y：y = log(2) / log(1.02)在Python中计算：```pythony = math.log(2) / math.log(1.02)print("需要约", round(y, 2), "年")```输出结果为：需要约 35.00 年。

这些是对数函数的两个经典例题，涉及了复利和指数增长问题。

在实际问题中，对数函数经常用于计算增长速率、时间、复利等方面的问题。

通过应用对数函数，我们可以更好地理解和解决这些问题。

指数对数函数平行四边形存在性问题例题

指数对数函数平行四边形存在性问题例题本文将介绍一个关于指数对数函数的平行四边形存在性问题的例题，并给出详细的解答过程。

通过解答这个例题，我们将了解到如何应用指数对数函数的性质判断平行四边形的存在性。

题目描述已知函数 f(x) = a^x 和 g(x) = loga x，其中 a 是正实数。

问题：对于 a 的取值范围，存在一个正实数 b，使得线段 A(0, f(b)) 和线段 B(1, g(b)) 平行吗？如果存在，给出一个满足条件的实数 b 的取值范围。

解答过程首先，我们需要判断函数 f(x) = a^x 和 g(x) = loga x 是否存在一个公共的斜率。

如果存在，则线段 A 和线段 B 平行。

为了寻找可能的共线条件，我们可以对函数 f(x) 和 g(x) 进行求导。

1. 对函数 f(x) 进行求导：f'(x) = a^x * ln(a)2. 对函数 g(x) 进行求导：g'(x) = 1 / (x * ln(a))根据导数的定义，如果两条函数曲线上某一点处的斜率相等，则这两条函数是共线的。

设存在一个正实数 b，使得 f'(b) = g'(b)。

将 f'(x) 和 g'(x) 的表达式代入，得到以下方程：a^b * ln(a) = 1 / (b * ln(a))通过移项和分式求解，我们可以得到 b 的解的范围。

ln(a^b) = 1 / (b * ln(a))ln(a^b) = ln(a)^(-b)将等式两边都取指数，得到以下方程：a^b = a^(-b)根据指数函数的性质，上述方程成立的条件是 b = 0 或 b = 1。

当 b = 0 时，线段 A 和线段 B 的起点和终点相同，即 A(0, f(0)) 和 B(1, g(0))。

此时，线段 A 和线段 B 重合，因此平行。

当 b = 1 时，线段 A 和线段 B 的起点和终点分别是 A(0, f(1))和 B(1, g(1))。

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