高二数学上学期期末模拟试题
2023-2024学年辽宁省丹东市高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年辽宁省丹东市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．抛物线28x y =的准线方程为（）A ．1y =-B ．=2y -C ．=1x -D ．2x =-【正确答案】B【分析】由抛物线定义即可求.【详解】由定义可知，抛物线28x y =的准线方程为422y =-=-.故选：B.2．学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名同学选择，则不同的选择方法有（）A ．34A 种B ．34C 种C ．34种D ．43种【正确答案】D【分析】由分步计数乘法原理即可求解【详解】由题意可得，每名同学共有3种选择，故不同的选择方法有43种故选：D3．已知椭圆过点()0,2，焦点分别为()10,1-F ，()20,1F ，则椭圆的离心率为（）A ．12BC．2D【正确答案】A【分析】由题可得椭圆方程，后可得椭圆离心率.【详解】设椭圆方程为22221y x a b +=，右焦点为(),0c ，由题有.2222411aa b c ⎧=⎪⎨⎪-==⎩则2a =，故离心率为12c e a ==.故选：A4．已知空间向量()2,1,4a =-- ，()1,1,2b =- ，()7,5,c m =-- 若，a ，b，c 共面，则实数m 的值为（）A ．14-B ．6C ．10-D ．12【正确答案】A【分析】根据向量共面，建立方程组，解得答案.【详解】由a ，b ，c 共面，可设a xb yc =+ ，则271542x yx yx my -=-⎧⎪=--⎨⎪-=+⎩，由2715x y x y -=-⎧⎨=--⎩，解得1712112x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入第三个方程可得：174612m -=-+，解得14m =-.故选：A.5．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是1DD 的中点，则二面角11E B C C --的平面角的正切值为（）A ．1B ．5C ．2D．【正确答案】C【分析】由题可得1EC C ∠为二面角11E B C C --的平面角，后结合题目条件可得答案.【详解】如图，因几何体为正方体，则11B C ⊥面11C CDD ，1C C ⊂面11C CDD ，则111B C C C ⊥，又1C E ⊂平面11C CDD ，则111B C C E ⊥，故1EC C ∠即为二面角11E B C C --的平面角.过E 做直线1C C 垂线，交1C C 于F ，则F 为1C C 中点.故112tan EFEC F C F∠==.故选：C6．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离等于a ，则双曲线C 的渐近线方程为（）A0y ±=B．0x =C ．0x y ±=Dy ±=【正确答案】C【分析】由点到直线距离公式可得a b ，间关系，据此可得答案.【详解】由题，双曲线的一条渐近线的方程为by x a =，右焦点为(),0c ，a b a =⇒=，故渐近线方程为0x y ±=.故选：C7．如图所示为某公园景观的一隅，是由ABCDE 五处区域构成，现为了美观要将五处区域用鲜花装饰，要求相邻区域种植不同色的鲜花，有4种颜色鲜花可供选用，则不同的装饰方案数为（）A ．216B ．144C ．128D ．96【正确答案】B【分析】依次确定区域B 、A 、D 、C 、E 的选法种数，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】区域B 有4种颜色鲜花可供选择，区域A 有3种颜色鲜花可供选择，区域D 有3种颜色鲜花可供选择，区域C 、E 各有2种颜色鲜花可供选择，由分步乘法计数原理可知，不同的装饰方案数为43322144⨯⨯⨯⨯=种.故选：B.8．已知圆22:16O x y +=与圆22:86160C x y x y ++++=交于A ，B 两点，则四边形OACB 的面积为（）A ．12B ．6C ．24D ．245【正确答案】A【分析】由两圆标准方程得圆心坐标和半径，由()4,0A -和()4,3C --可知OA AC ⊥，则四边形OACB 的面积1222OAC S S OA AC ==⨯⋅⋅ ，计算即可.【详解】圆22:16O x y +=，圆心坐标为()0,0O ，半径14r =，圆22:86160C x y x y ++++=化成标准方程为()()22439x y +++=，圆心坐标为()4,3C --，半径23r =，圆O 与圆C 都过点()4,0-，则()4,0A -，如图所示，又()4,3C --，∴OA AC ⊥，由对称性可知，OB BC ⊥，4OA OB ==，3AC BC ==，则四边形OACB 的面积12243122OAC S S OA AC ==⨯⋅⋅=⨯= .故选：A 二、多选题9．20件产品中有18件合格品，2件次品，从这20件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法表述正确的是（）A ．12219C C ⋅B ．1221218218C C C C ⋅+⋅C ．332018C C -D ．1221219218C C C C ⋅-⋅【正确答案】BCD【分析】直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有两种可能：恰有1件次品和恰有2件次品，运即可算求解；间接法：法一：20件产品中任意抽取3件的抽法减去没有次品（全为合格品）的抽法；法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，减去重复一次的情况（2个次品）.【详解】直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有如下可能：抽出的3件产品中恰有1件次品的抽法12219C C ⋅；抽出的3件产品中恰有2件次品的抽法21218C C ⋅；故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为1221218218C C C C ⋅+⋅，A 错误，B 正确；间接法：法一：这20件产品中任意抽取3件的抽法为320C ，抽出的3件产品中没有次品（全为合格品）的抽法为318C ，故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为332018C C -，C 正确；法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，抽法为12219C C ⋅，但2个次品的情况重复一次，抽出2个次品的抽法为21218C C ⋅，故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为1221219218C C C C ⋅-⋅，D 正确；故选：BCD.10．若2022220220122022(1)x a a x a x a x -=++++ ，则（）A ．01a =B ．12022a =C ．1220221a a a +++=- D ．012320221a a a a a -+-++= 【正确答案】AC【分析】对ACD ，由赋值法可判断；对B ，由二项式展开项通项公式可求.【详解】对A ，令0x =得01a =，A 对；对B ，由二项式展开项通项公式可得第2项为()1120212202211C 120222022T x x a x a =-=-=⇒=-，B 错对C ，令1x =得0122022122022001a a a a a a a a +++=++=-+⇒=-+，C 对；对D ，令=1x -得0123220222022a a a a a -+-++=，D 错.故选：AC.11．已知直线:2410l kx y k --+=，则下列表述正确的是（）A ．当2k =时，直线的倾斜角为45B ．当实数k 变化时，直线l 恒过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．当直线l 与直线240x y +-=平行时，则两条直线的距离为1D ．直线l 与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4【正确答案】ABD【分析】A 选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；B 选项，将直线方程整理为()4120k x y -+-=，由此可得直线所过定点；C 选项，由题可得1k =-，后由平行直线距离公式可判断选项；D 选项，分别令0x y =，，可得直线与y 轴，x 轴交点为1402,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，140,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.则围成三角形面积为1141422k k ⎛⎫-⋅⋅- ⎪⎝⎭，后由基本不等式可判断选项.【详解】A 选项，当2k =时，直线方程为2270x y --=，可得直线斜率为1，则倾斜角为45 ，故A 正确；B 选项，由题可得()4120k x y -+-=，则直线过定点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，故B 正确；C 选项，因直线l 与直线240x y +-=平行，则221828k k k =-⎧⇒=-⎨-+≠⎩，则直线方程为：250x y --+=，即250x y +-=.则l 与直线240x y +-=之间的距离为5=，故C 错误；D 选项，分别令0x y =，，可得直线与y 轴，x 轴交点为1402,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，140,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又交点在两坐标轴正半轴，则14020140kk k-⎧>⎪⎪⇒<⎨⎪->⎪⎩.故围成三角形面积为()1141142424224k k k k ⎛⎫-⋅⋅-=+-+≥+= ⎪-⎝⎭，当且仅当144k k-=-，即14k =-时取等号.即面积最小值为4，故D 正确.故选：ABD.12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点，且满足BE BA λ=，[]0,1λ∈，BF BC μ=，[]0,1μ∈．则（）A ．当1λμ==时，正方体各棱与平面1D EF 夹角相等B ．当12λ=时，存在μ使得直线1B D 与平面1D EF 垂直C ．当12μ=时，满足12ED EF =的点E 有且只有两个D ．当12λμ==时，异面直线EF 与1B D 的距离为2【正确答案】AD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量解决夹角、距离、平行等问题.【详解】以D 为原点，1,,DA DC DD的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,0,0D ，()10,0,2D ，()12,2,2B ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，当1λμ==时，()2,0,0E ，()0,2,0F ,()12,0,2D E =- ，()10,2,2D F =-，设平面1D EF 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则11220220n D E x z n D F y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1z =，则()1,1,1n = ，()10,0,2DD = ，()2,0,0DA = ，()0,2,0DC = ，故1113cos ,23DD n DD n DD n ⋅==⨯⋅，同理3cos ,cos ,3DA n DC n == 由此可得正方体各棱与平面1D EF 夹角相等，A 正确；当12λ=时，()2,1,0E ，()12,1,2D E =- ，()12,2,2B D =--- ，则114240B D D E ⋅=--+≠ ，即1D E 与1B D不垂直，所以直线1B D 与平面1D EF 不垂直，B 错误；当12μ=时，()1,2,0F ，设()()2,,002E b b ≤≤，由12ED EF =()2222222212b b ++=+-，化简得2316120b b -+=，21643120∆=-⨯⨯>，121643b b +=>，所以这样点E 不可能有两个，C 错误；当12λμ==时，()2,1,0E ，()1,2,0F ，EF 的中点为33,,022G ⎛⎫⎪⎝⎭，1DB 的中点为()1,1,1H ，11,,122HG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,0EF =-，()12,2,2DB = ，则11022HG EF ⋅=-+= ，11120HG DB ⋅=+-= ，所以HG 是异面直线EF 与1B D 的公垂线段，且()2221161222HG ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以异面直线EF 与1B D 的距离为62，D 正确.故选：AD三、填空题13．已知异面直线AB 和CD 的方向向量分别为()1,1,1AB = ，()2,0,4CD =-则异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为______．【正确答案】15【分析】根据异面直线夹角求余弦值的坐标公式，可得答案.【详解】设异面直线AB 和CD 所成角为θ，则cos 15AB CD AB CD θ⋅===⋅ .故答案为.1514．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在1261年中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除1外，其他每一个数字都是其上一行的左右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为3:5:5，则这一行是第______行．【正确答案】7【分析】设这一行为第()21n n *+∈N 行，且这三个数分别为121C n n -+、21C nn +、121C n n ++，利用组合数公式可得出关于n 的等式，解出n 的值，即可得解.【详解】由题意可知，这一行为第()21n n *+∈N 行，且这三个数分别为121C n n -+、21C nn +、121C n n ++，由题意可得()()()()()1212121!!1!C 3C 1!2!21!25n n n n n n n n n n n n -+++⋅+=⋅==-⋅+++，解得3n =，因此，这一行是第2317⨯+=行.故答案为.715．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，2AB =，14AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒，线段1AC的长度为cos DAB ∠=______．【正确答案】12##0.5【分析】利用空间向量基本定理得到11AC AB AD AA =++，平方后，利用数量积公式列出方程，求出cos DAB ∠.【详解】因为11AC AB AD AA =++，所以()2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅因为2AB AD ==，14AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒，1211AC =，所以444168cos 16cos 16co 0s 6064BAD +++∠++︒︒=，解得.1cos 2BAD ∠=故12四、双空题16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线l 与C 在第一象限交于A ，B 两点，直线l 与x 轴和y 轴分别交于M ，N 两点，且MA NB =，点E 为AB 的中点，直线OE 倾斜角的正切值为22，3OE =，则直线l 的方程为______；椭圆C 的离心率为______．【正确答案】2232y =+22【分析】利用几何知识求出直线l 的斜率，利用中点E 坐标求出点M 坐标，即可得出直线l 的方程.设出点,A B 坐标，利用点差法，即可得出椭圆C 的离心率.【详解】由题意，在2222:1(0)x y C a b a b+=>>中，MA NB =，BA BE =，由几何知识得，直线l 与直线OE 关于点E 所在x 轴对称，∵直线OE 22，3OE =∴直线l 的斜率为22-，设(),E E E x y ，则32E E Ey y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩E E x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴E，(0,M∴:2l y =-+设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，122E x x x +==，122E y y y +==∴22221212220x x y y a b --+=，∴()()()()2121221212y y y y b x x x x a +-=-+-，∴22122b a ⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴222a b =，即a =，∴c b ===，∴离心率.2c e a ==故2y =-+2.五、解答题17．已知圆C 的圆心在直线260x y +-=上，且与直线y x =相切于原点．(1)求原点()0,0关于直线260x y +-=对称点的坐标；(2)求圆C 的方程．【正确答案】(1)2412 ,55⎛⎫⎪⎝⎭(2)22(6)(6)72x y -++=【分析】（1）若两点关于直线对称，则两点连线中点在直线上，且两点连线与直线垂直，据此可得答案；（2）因圆C 与直线y x =相切于原点，则圆C 过原点，且圆心在直线y x =-上，又圆心在直线260x y +-=上，可求得圆心坐标与圆的半径.【详解】（1）设原点()0,0关于直线260x y +-=对称点坐标为()00,x y ，则两个点的中点坐标为00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.∵中点在直线260x y +-=上，得到：002120x y +-=①.又过两个对称点的直线与已知直线垂直，∴021y x -⨯=-，得002y x =②.联立①②解得对称点坐标为2412,55⎛⎫⎪⎝⎭；（2）过原点且与直线y x =垂直的直线方程为y x =-，由题圆心在y x =-上.又圆心在直线260x y +-=上，联立直线：62606y x y x y x =-=-⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，即圆心为()6,6-.由题原点在圆C上，则半径r =.22(6)(6)72x y -++=18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC CC ===．(1)求点1B 到平面1ABC 的距离；(2)若点M 是棱BC 的中点，求直线1B M 与平面1ABC 所成角的正弦值．【正确答案】(2)5【分析】如图，建立以C 为原点的空间直角坐标系.（1）求出平面1ABC 的法向量n，设点1B 到面1ABC 的距离为d ，则1n BB d n ⋅= ；（2）设直线1B M 与平面1ABC 成角正弦值为sin θ，则111sin cos ,n B M n B M n B M θ⋅==∣.【详解】（1）因为直三棱柱111ABC A B C -底面三角形ABC 满足：AC BC ⊥，且12AC BC CC ===，则以C 为坐标原点，CA的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -.则B （0，2，0），A （2，0，0），C （0，0，2），1B （0，2，2），()0,1,0M ，()2,2,0AB =- ，()12,0,2C A =- .设面1ABC 的法向量为(),,n x y z =r，则1220220n AB x y n C A x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取()1,1,1n = .又()10,0,2BB = ，设点1B 到面1ABC 的距离为d，则13n BB d n ⋅==.（2）由题可得()10,1,2B M =--，设1B M 与面1ABC 的夹角为θ，则111sin cos ,∣n B M n B M n B M ⋅==θ19．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，且经过点(A ．(1)求C 的方程；(2)O 为坐标原点，过双曲线C 上一动点M （M 在第一象限）分别作C 的两条渐近线的平行线为1l ，2l 且1l ，2l 与x 轴分别交于P ，Q ，求证：OP OQ ⋅为定值．【正确答案】(1)22139x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线渐近线方程以及已知点，联立方程，可得答案；（2）由题意，设出动点，利用点斜式方程，结合直线位置关系，写出直线12,l l 的直线方程，求出,Q P 的坐标，整理OP OQ ⋅的表达式，利用整体思想，可得答案.【详解】（1）∵渐近线为y =，则b a =b =，∴222213x y a a-=，A 在双曲线C 上，得224313a a -=解得23a =，∴曲线C 的标准方程为22139x y -=.（2）设点M 坐标为()00,x y则)100:l y y x x -=-，得P ⎛⎫⎪⎪⎭，则OP =同理：)200:l y y x x -=-，得Q ⎫⎪⎪⎭，则OQ =则220033x y OP OQ -⋅=又∵点M 在曲线C 上，∴2200 139x y -=，∴220039x y -=则2200333x y OP OQ -⋅==，∴得证OP OQ ⋅为定值3．20．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的动直线与C 交于A ，B 两点．(1)若直线AB 的倾斜角为45 ，求弦AB 的长度；(2)设A ，B 两点到x 轴的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最小值．【正确答案】(1)8(2)4【分析】（1）先利用点斜式得到直线方程，接着与抛物线进行联立可得121244y y y y +=⎧⎨=-⎩，然后用弦长公式即可求解；（2）设直线AB 的方程为1x my =+，与抛物线联立可得343444y y my y +=⎧⎨=-⎩，所以12344d d y y ⋅==，然后用基本不等式进行求解即可【详解】（1）由抛物线2:4C y x =可得焦点()1,0F ，当直线倾斜角为45 时，直线AB 的方程为1y x =-，联立214y x y x =-⎧⎨=⎩化简得：2440y y --=，经验证Δ0>成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，此时121244y y y y +=⎧⎨=-⎩，∴128AB y y =-=（2）由题可知，直线AB 的斜率不为0，又焦点()1,0F ，所以设直线AB 的方程为1x my =+，联立214x my y x =+⎧⎨=⎩化简得：2440y my --=，经验证Δ0>成立，设()33,A x y ，()44,B x y ，此时343444y y my y +=⎧⎨=-⎩，由题可得：13d y =，24d y =，则12344d d y y ⋅==，又12d d +≥124d d +≥，当且仅当122d d ==，直线AB 与x 轴垂直，即弦AB 为通径时等号成立，所以12d d +的最小值是4．21．如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC⊥，E 是PB 上的动点．(1)若OE ∥平面PAC ，请确定点E 的位置，并说明理由；(2)若30ABO CBO ∠∠== ，4BO =，当E 是PB 中点，且二面角P AB C --的正切值为32时．求二面角C AE B --的正弦值．【正确答案】(1)E 是BP 中点，理由见解析(2)1113【分析】（1）通过证明POA POB ≅△△，得到OA OB =，再通过线面平行的性质，即可确定点E 的位置.（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面AEB 和面AEC 的法向量，即可求出二面角C AE B --的正弦值.【详解】（1）由题意，E 是BP 中点，理由如下：延长BO 交AC 于点D ，连接PD 、OA ，取AB 中点M ，连接OM .∵PO ⊥面ABC ，∴90∠=∠= POA POB .又∵PA PB =，∴POA POB ≅△△，∴OA OB =.∵M 是AB 中点，∴OM AB ⊥.∵AC AB ⊥，∴OM AC ∥，∴O 是BD 中点.又∵OE ⊂面BPD ，面BPD 面PAC PD =，若OE ∥面PAC ，则由线面平行性质定理得OE PD ∥.∵O 是BD 中点，∴E 是BP 中点.（2）由题意，以A 为坐标原点，AB的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，由（1），可知z 轴在平面AOP 内．∵4BO =，30OBA OBC ∠∠== ，∴28BD OA ==，∴4=AD ，AB =12AC =，∴()2,0O ，()B ，()0,12,0C ，由（1），可得PO ⊥平面ABC ，OM AB ⊥，∴PM AB ⊥，∴PMO ∠为二面角P AB C --的平面角，∴3tan 2PO PMO OM ∠==.又2OM =，∴3PO =，∴()2,3P .∵E 是PB中点，∴32E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴32AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,0AB =，()0,12,0AC = .设平面AEB 的法向量为(),,n x y z =r，则3020n AE y z n AB ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，取()0,3,2n =- ．设平面AEC 的法向量为(),,m a b c=，则302120m AE b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，取)6m =- ．设二面角C AE B --的平面角为θ，则sin θ==1113=.22．已知动点P 到点()1,0F 的距离与到直线:4l x =的距离之比为12，记点P 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程；(2)曲线E 与x 轴正半轴交于点M ，过F 的直线交曲线E 于A ，B 两点（异于点M ），连接AM ，BM 并延长分别交l 于D ，C ，试问：以CD 为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点，若不是，说明理由．【正确答案】(1)22:143x y E +=(2)圆恒过定点()1,0和()7,0【分析】（1）设动点(),P x y12=，化简后可得E 方程；（2）由（1）设:1AB l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，可得1124,2y D x ⎛⎫⎪-⎝⎭，2224,2y C x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，后设以CD 为直径的圆上一点为Q ，由0QC QD ⋅= 可得圆方程，即可得圆所过定点.【详解】（1）设动点(),P x y12=，化简得22:143x y E +=；（2）设:1AB l x my =+，与22143x y +=联立可得：()2234690m y my ++-=，由题Δ0>.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+.又由（1）可得()2,0M ，则()11:22AM y l y x x =--，令4x =，得1124,2y D x ⎛⎫⎪-⎝⎭.同理可得2224,2y C x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭.令以CD 为直径的圆上动点为(),Q x y ，则0QC QD ⋅=.又2121224422,，,y y QC x y QB x y x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ，则()()2212121212224(4)02222y y y y x y y x x x x ⎛⎫-+-++= ⎪----⎝⎭.注意到()()()()()212121212242211134xx my my m y y m y y m --=--=-++=+，()()()1221121222422224234my x y x my y y y m --+-=-+=+.则可得()()2222243640469044m x y y x y my ---+-+=⇒-++-=.因所过定点与参数m 无关，则0y =，则()24901x x --=⇒=或7x =.故圆恒过定点()1,0和()7,0.关键点点睛：本题涉及求轨迹方程，及探究圆是否过定点.对于直线或圆过定点问题，都是先求得直线或圆的表达式，后令含参数的项为0，即可求得所过定点.。
高二上期期末检测数学模拟试题(解析版)
高二上期期末检测模拟试题数学 试题第Ⅰ卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1、若直线3y=−的倾斜角为α,则α= ( )A. 0oB. 60oC. 90oD. o 180【答案】B2、已知(2,1,3)AB =− ，(1,4,2)AC =−−，(5,6,)AD λ=− ，若A ，B ，C ，D 四点共面，则实数λ=( ) A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D解析：由题意，得存在实数x ，y ，使得AD x AB y AC =+ 成立，即(5,6,)(2,1,3)(1,4,2)x y λ−=−+−−，所以52,64,32,x y x y x y λ=−−=−+ =− 解得2,1,8,x y λ= =− = 故选D. 3、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535S S =，且348a a +=，则5a 的值为( ) A.3 B.5 C.7 D.10【答案】C解析：由535S S =，且21(21)n n S n a −=−，得()312355a a a a =++，所以120a a +=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()341248a a a a d +−+==，所以121d a ==−，，所以5147a a d =+=. 4、斜率为l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若l 与圆22:(2)4M x y −+=相切，则p =（ ） A ．12 B ．8 C ．10 D ．6【答案】A5、在等比数列{}n a 中，若()57134a a a a +=+，则62a a =（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】D解析：()57134a a a a +=+，则44q = ，∴4624a q a ==故选：D 6、方程||1x −=( )A.一个圆B. 两个圆C.一个半圆D.两个半圆答案：D7、设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14725899,93a a a a a a ++=++=，若对任意*N n ∈都有n k S S ≤成立，则k 的值为( ) A.22 B.21 C.20 D.19【答案】C9、下列四个选项中，正确的是( ) A.数列的图象是一群孤立的点【答案】ACD解析：因为数列是一类特殊的函数，其自变量n +∈N ，故数列的图象是一群孤立的点，A 正确；数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B 错误； ，…前四项的规律，可知一个通项公式可以是()1nna n n +=∈+N ，C 正确； ()1n n n n +∈+N10、下列说法正确的是( )A.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率B.点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C.经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +−=D.直线20x y −−=与两坐标轴围成的三角形的面积是2 【答案】ABD解析：当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A 选项正确；设(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(),m n ，则满足212122n mn m − =− + =+ ，解得：11m n = = ，故点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)，B 正确；当在x 轴和y 轴上截距都等于0时，此时直线为y x =，故C 错误；直线20x y −−=与两坐标轴的交点坐标为()2,0与()0,2−，故与两坐标轴围成的三角形的面积为12222××=，D 正确. 故选：ABD.11、已知点P在双曲线2:116x C −=上，12,F F 是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F 的面积为20，则下列说法正确的有( ) A ．点P 到x 轴的距离为203B ．1250|3|||PF PF += C ．12PF F 为钝角三角形 D ．12F PF ∠等于π3【答案】BC解析：因为双曲线22:1169x y C −=，所以5c =，又因为12112102022P P F P F S c y y =⋅=⋅⋅= ，所以4P y =，所以选项A 错误；将其代入22:1169x y C −=得2241169x −=，即20||3x =，由对称性，不妨取P 的坐标为20,43，可知2133PF =，由双曲线定义可知1213372833PF PF a ++ 所以121337|||350|33PF PF +=+=，所以选项B 正确； 由对称性，对于上面点P ， 在12PF F 中，12371321033PF c PF =>=>=， 且24012020553PF k −==>−，所以12PF F 为钝角三角形，选项C 正确；因为122920tan tan 22PF F b S θθ=== ，所以9πtan tan 2206θ=<=， 即π26θ<，所以12π3F PF θ∠=<，所以选项D 错误（余弦定理也可以解决）； 12、设O 为坐标原点,F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点,过焦点F 且倾斜角为 θ的直线l 与抛物线C 交于M ,N 两点(点M 在第二象限),当30θ=2,则下列说法正确的是( ) A.3p =B.MON △C.存在直线l ,使得90OMF ONF ∠∠>°＋D.分别过点M ,N 且与抛物线相切的两条直线互相垂直 【答案】ABD解析：作出如图所示图形:对A,由抛物线定义及题意得222sin 302M M py py +==− , 即2212MM py p y+= =−,解得3p =,故A 正确; 对B,3p =,则30,2F,当直线l 的斜率不存在时,显然不合题意,设()11,M x y ,()22,N x y ,设直线l的方程为y kx =22py =得2690x kx −−=,则12126,9x x k x x +==−,121322MON S x x =×−=△当且仅当0k =时等号成立,故B 正确;对C,121212123322OM ON x x y y x x kx kx ⋅=+=+++ ()()()221212393919162424k x x k x x k k k =++++=−++⋅+故MON ∠钝角,则不存在直线l ,使得90OMF ONF ∠+∠>°,故C 错误; 对D,26x y =,即216y x =,故13y x ′=,1x ,在点N 2x ,121x x =−,故相切的两条直线互相垂直,故D 正确.故选:ABD.第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，共20分）13、已知圆:C 2220x y x ++=，若直线y kx =被圆C 截得的弦长为1，则k =_______. 【答案】为解析：将2220x y x ++=化为标准式得()2211x y ++=，故半径为1； 圆心()1,0−到直线y kx =，由弦长为1可得1=，解得k =.故答案为：.14、椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在 C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1−−,那么直线1PA 斜率的取值范围是__________。
2024届安徽省怀宁中学高二上数学期末统考模拟试题含解析
20．（12 分）已知椭圆 C： x2 a2
y2 b2
1a
b 0
短轴长为 2，且点 M
2, 2
3 2
在
C
上
的 （1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设 F1 、 F2 为椭圆的左、右焦点，过 F2 的直线 l 交椭圆 C 与 A、B 两点，若 ABF1 的面积是 6 ，求直线 l 的方 2
__________
14．如图，把正方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角，则折纸后异面直线 AB ， CD 所成的角为___________.
15．已知数列{an}满足 an+2=an+1－an（n∈N*），且 a1= 2，a2= 3，则 a2022 的值为_________.
16．设正方形 ABCD 的边长是 2 ，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点 A 的距离大于 2 的概率是_____
当在 ABC 中， sin A sin B 2Rsin A 2Rsin B a b ， 反之 a b 2Rsin A 2Rsin B sin A sin B ，故为充要条件，故 C 错； 当 a 3时， loga 3 loga a ， loga 3 1 ， loga 9 2 ， 充分条件，
则 A(0,0,0), D(0, 4,0),C(4, 4,0), P(0,0,6) ， E(0, 2,3) ， CE (4, 2,3) ， AD (0, 4,0)
设直线 EC 与平面 PAB 所成角为 ，又由题可知 AD 为平面 PAB 的一个法向量， 则 sin cos CE, AD CE AD 2 4 2 29
3． (x 1)10 的二项展开式中，二项式系数最大的项是.5 D.5 和 7
2023-2024学年浙江省宁波市余姚市高二上册期末数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年浙江省宁波市余姚市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．直线1y x =+的倾斜角为（）A ．0B ．4πC ．2πD ．34π【正确答案】B【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】设直线1y x =+的倾斜角为(0π)αα≤≤，由题意可知：tan 1α=，所以π4α=，故选.B2．已知(1,2,5),(2,1,)a b x x ==- ，若ab，则x =（）A ．2-B ．12C ．52D ．72【正确答案】C【分析】根据空间向量共线定理列方程求x .【详解】因为ab，所以可设b a λ= ，又(1,2,5),(2,1,)a b x x ==-，所以2,12,5x x λλλ-===，所以51,22x λ==.故选：C.3．曲线()ln xf x x=在点(1,(1))f 处的切线方程为（）A ．0x y +=B ．0x y -=C ．10x y +-=D ．10x y --=【正确答案】D【分析】先求函数在1x =处的导数，再根据导数的几何意义确定切线斜率，并利用点斜式求切线方程.【详解】函数()ln x f x x =的定义域为()0+∞，，其导函数()21ln xf x x -'=，所以()11f '=，所以曲线()ln xf x x=在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，又()10f =，故曲线()ln xf x x=在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y --=.故选：D.4．已知F 是椭圆221167x y +=的左焦点，P 为椭圆上任意一点，点Q 的坐标为(2,1)-，则||||PQ PF +的最小值为（）A ．1B ．8C ．3D【正确答案】B【分析】将||||PQ PF +转化到8PQ PF '+－，当三点共线且P 在射线F Q '的延长线上时，取得最小值.【详解】椭圆221167x y +=的43a b c ===，，点Q 在椭圆内部，如图，设椭圆的右焦点为()3,0F '，则28PF PF a '+==；8PQ PF PQ PF '∴+=+－8PQ PF '=+－；由图形知，当P 在直线QF '上时，PQ PF QF ''==－，当P 不在直线'QF 上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，PQ PF QF ''<=－，∴当P 在射线F Q '的延长线上时，'PQ PF －取得最小值PQ PF ∴+的最小值为8．故选：B5．在四面体ABCD 中，ABC 为正三角形，DB ⊥平面ABC ，且AB BD =，若3AE AB =，2C F C D= ，则异面直线DE 和BF 所成角的余弦值等于（）A．13B．13C．39D．39-【正确答案】A【分析】由条件建立空间直角坐标系，求异面直线DE 和BF 的方向向量，利用向量夹角公式求其夹角可得结论.【详解】因为DB ⊥平面ABC ，ABC 为正三角形，故以B 为原点，以,BC BD为,y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设6AB =，则()()()()0,0,6,0,6,0,,0,0,0D C A B ，由3AE AB =，2C F C D =，可得()()2,0,0,3,3E F ，所以()()2,6,0,3,3DE BF =-=，所以cos ,13DE BF DE BF DE BF ⋅==-，所以异面直线DE 和BF故选：A.6．某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为{}n a ，在数列{}n a 的任意相邻两项k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入3k 个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ．按新数列{}n b 的各项依次派遣支教学生．记50S 为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则50S 的值为（）A ．198B ．200C ．240D ．242【正确答案】B【分析】由已知确定数列{}n a 的通项公式，再确定数列{}n b 的项的取值规律，再求其前50项的和.【详解】由已知原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．所以数列{}n a 为等差数列，且118a =，数列{}n a 的公差6d =，所以612n a n =+,数列{}n b 为数列{}n a 的任意相邻两项k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入3k 个2所得，所以数列{}n b 满足条件，118b =，当24n ≤≤时，2n b =，524b =，当614n ≤≤时，2n b =，1530b =，当1642n ≤≤时，2n b =，4336b =，当4450n ≤≤时，2n b =，所以数列{}n b 的前50项的和为18243036462200++++⨯=，故选：B.7．已知圆22:1C x y +=，椭圆22:143x y Γ+=，过C 上任意一点P 作圆C 的切线l ，交Γ于A ，B 两点，过A ，B 分别作椭圆Γ的切线，两切线交于点Q ，则||OQ （O 为坐标原点）的最大值为（）A ．16B ．8C ．4D ．2【正确答案】C【分析】先得到椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>在()00,P x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，考虑切线l 的斜率不存在和存在两种情况，得到椭圆两切线方程，联立后得到点Q 的坐标，求出当切线斜率不存在时，||4OQ =，当切线l 斜率存在时，设为y kx b =+，由l 与圆相切得到221b k =+，求出椭圆两切线方程，得到43,Q Q k x y b b =-=，求出4OQ <，求出||OQ 的最大值.【详解】当P 点坐标为()1,0±时，此时切线l 的斜率不存在，不妨设:1l x =，此时22:143x y Γ+=中令1x =得：32y =±，所以不妨令331,,1,22A B⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，下面证明椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>在()00,P x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，理由如下：当切线的斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，代入椭圆方程得：()22222222220a k b x a kmx a m a b +++-=，由()()()222222222240a km a k b a m a b ∆=-+-=，化简得：22220a k m b -+=，所以()22022222a km a kx m a k b --===+，把20a k x m -=代入00y kx m =+，得：20b y m =，于是2200022200mx x b x b k a a y a y =-=-⋅=-则椭圆的切线斜率为2020b x a y -，所以椭圆的切线方程为()200020b x y y x x a y -=--，整理得：222222220000a y y b x x b x a y a b +=+=，方程两边同除以22a b ，得到00221x x y ya b+=，当切线斜率不存在时，即此时(),0P a ，故切线方程为x a =，00221x x y ya b+=中令00,0x a y ==，可得x a =，故当切线斜率不存在，切线也满足00221x x y ya b+=，综上：椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>在()00,P x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，故过331,,1,22A B⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝⎭的两切线分别为142x y +=和142x y -=，联立可得：()4,0Q ，此时4OQ =，同理可得:1l x =-时，4OQ =，当切线l 的斜率存在时，设为y kx b =+，因为y kx b =+与22:1C x y +=1=，即221b k =+，y kx b =+与223412x y +=联立得：()2223484120k xkbx b +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则过()()1122,,,A x y B x y 的椭圆的切线方程为11143x x y y +=和22143x x y y+=，联立得：()()()()212112*********Q y y kx b kx b kx x y x y x kx b x kx bb-+--===--+-+，()()()()212121122112333Q x x x x y x y x y x kx b x kx b b--===-+-+，则4OQ ==<=，综上：OQ 的最大值为4.故选：C过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,x y 的切线方程为：()()()()200x a x a y b y b r --+--=，过圆()()222x a y b r -+-=外一点()00,x y 的切点弦方程为.()()()()200x a x a y b y b r--+--=过椭圆22221x y a b+=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，过双曲线22221x y a b-=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b -=8．已知抛物线2:4C x y =，焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交C 于A ，B 两点，过B 作l 的垂线交l 于点D ，若BDF V的面积为||||AF BF =（）A ．3B ．13C ．2D ．12【正确答案】B【分析】联立直线与抛物线的方程，结合焦半径可得111AF BF+=，根据BDF V 的面积可解得23y =，进而得214BF BD y ==+=，即可求解43AF =.【详解】焦点()0,1F ,设直线AB 的方程为1y kx =+,联立直线与抛物线的方程得2214404y kx x kx x y=+⎧⇒--=⎨=⎩，设()()1122,,,A x y B x y ,则12124,4x x k x x +==-，所以()22212121212242,116x x y y k x x k y y +=++=+==，故()()212212121111114211111111421y y k AF BF y y y y k +++++++=+===+++++++，()()()(22222221111422BDFS BD x y x y y ==+=+=V ，化简得()()22222351603y y y y -++=⇒=，所以214BFBD y ==+=，由111AF BF +=，所以43AF =,故||1||3AF BF =，故选：B二、多选题9．关于x ，y 的方程221(R)1x y m m m +=∈-表示的曲线可以是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【正确答案】BC【分析】先得到0m ≠且1m ≠，再结合方程特点，分1m >，01m <<和0m <三种情况求出答案.【详解】显然0m ≠且1m ≠，若010m m >⎧⎨->⎩，即1m >时，此时2211x y m m +=-表示椭圆；若()10m m -<，即01m <<时，此时2211x y m m +=-表示双曲线；若0m <，此时2211x y m m +=-无解，综上：方程221(R)1x y m m m +=∈-表示的曲线可以是椭圆，也可以是双曲线.故选：BC10．已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若91580,1a S a ><-，则下列结论正确的是（）A ．98a a >B ．使0n S >的n 的最大值为16C ．公差0d <D ．当8n =时n S 最大【正确答案】ACD【分析】根据条件可得80a >，890a a +<，可判断A 正确，98820d a a a =-<-< 可判断C 正确，再根据15160,0S S ><可判断B 错误，又因为8,0,9,0n n n a n a ≤>≥<可判断D 正确.【详解】 等差数列{}n a ，115815815()05,201S a a a a +=∴=>>，又99889810,0a a a a a a <-∴<-+<<，98a a ∴>，A 正确.98820d a a a =-<-< ,C 正确.89161168916160()()022a a S a a a a +<∴=+=+< ,150,S >使0n S >的n 的最大值为15.B 错误.890,0a a ><∴ 当8,0,9,0n n n a n a ≤>≥<,所以当8n =时n S 最大.D 正确.故选：ACD11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若ABC 满足AC BC =，顶点(0,1)A ，(2,1)B -，且其“欧拉线”与圆222:(4)M x y r -+=相切，则下列结论正确的是（）A ．题中的“欧拉线”为方程：10x y --=B ．圆M 上的点到直线0x y -=C ．若圆M 与圆22()8xy a +-=有公共点，则[4,4]a ∈-D ．若点(,)x y 在圆M 上，则1y x +的最大值是41【正确答案】ABD【分析】A 选项，分析得到其欧拉线过线段AB 的中点()1,0，且与直线AB 垂直，从而求出ABC 的欧拉线方程；B 选项，根据ABC 的欧拉线与222:(4)M x y r -+=相切，列出方程，求出r ，得到圆M 上的点到直线0x y -=的最小值为圆心M 到直线0x y -=的距离减去半径，求出答案；C 选项，根据两圆有公共点，列出不等式组，求出22a -≤≤；D 选项，1yx +的几何意义为点(),x y 与()1,0-两点的斜率，数形结合得到当过()1,0-的直线l 与M相切，且斜率为正时，1yx +取得最大值，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】线段AB 的中点坐标为0211,22+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()1,0，直线AB 的斜率为()11102--=--，因为AC BC =，所以ABC 为等腰三角形，三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，其欧拉线过点()1,0，且与直线AB 垂直，故ABC 的欧拉线斜率为1，则方程为1y x =-，即10x y --=，A 正确；ABC 的欧拉线与222:(4)M x y r -+=相切，故2r ==，圆心()4,0M 到直线0x y -=的距离为d ==则圆M 上的点到直线0x y -=的最小距离为d r -==B 正确；若圆229:(4)2M x y -+=与圆22()8x y a +-=有公共点，则3222≤，解得：a ≤C 错误；1yx +为点(),x y 与()1,0-两点的斜率，当过()1,0-的直线l 与229:(4)2M x y -+=相切，且直线l 的斜率为正时，1y x +取得最大值，设直线():1l y k x =+2=，解得：41k =，故1y x +的最大值是41，D 正确.故选：ABD12．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，1PA PB PC PD AB =====，E ，F 分别为线段,PB BC （含端点）上动点，则（）A ．存在无数个点对E ，F ，使得平面AEF ⊥平面ABCDB ．存在唯一点对E ，F ，使得平面AEF ⊥平面PBCC ．若EF BC ⊥，则四面体P AEF -的体积最大值为96D ．若//EF 平面PCD ，则四面体A BEF -【正确答案】ACD【分析】连接,AC BD ，记其交点为O ，在线段PB 上任取一点E ，过点E ，作//EH PO ，证明EH ⊥平面ABCD ，连接AH ，并延长交BC 于点F ，证明平面AEF ⊥平面ABCD ，判断A ，将四棱锥补形为长方体，过点A 确定平面PBC 的垂线，结合面面垂直的判断定理判断B ，根据条件确定EF 的位置特征，结合锥体体积公式求四面体P AEF -，A BEF -的体积最大值，由此判断CD.【详解】因为1PA PB PC PD AB =====，底面ABCD 为正方形，所以四棱锥P ABCD -为正四棱锥，由已知可得AC =连接,AC BD ，记其交点为O ，由正四棱锥性质可得PO ⊥平面ABCD ，因为1PA =，2AO =，所以2PO =，对于A ，在线段PB 上任取一点E ，过点E ，作//EH PO ，EH 交BD 与H ，则EH ⊥平面ABCD ，连接连接AH ，并延长交BC 于点F ，因为EH ⊂平面AEF ，EH ⊥平面ABCD ，所以平面AEF ⊥平面ABCD ，故A 正确；对于B ，将正四棱锥补形为长方体1111ABCD A B C D -，过点P 作11//NM B C ，连接,BN MC ，又11//BC B C ，又11MN B C BC ==，所以四边形BCMN 为平行四边形，过点A 作AQ BN ⊥，垂足为Q ，因为BC ⊥平面11ABB A ，AQ ⊂平面11ABB A ，所以AQ BC ⊥，BC BN B = ，,BC BN ⊂平面PBC ，所以AQ ⊥平面PBC ，在线段BC 上任取一点F ，连接QF 交BC 于点E ，因为AQ ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC ，B 错误；对于C ，因为四面体P AEF -的体积等于四面体A PEF -的体积，因为AQ ⊥平面PEF ，所以四面体A PEF -的高为AQ ，因为1121,2AB AA BB PO ====，所以32NA NB ==，因为1221224ABN S =⨯1224AQ BN ⨯=，所以63AQ =，作侧面PBC ，连接点P 和BC 的中点S ，则PS BC ⊥，因为EF BC ⊥，所以//EF PS ，设BF x =，则102x <≤，13,2EF SF x ==-，所以)211333222432PEF S x x x x ⎛⎫=⨯-=-≤ ⎪⎝⎭又四面体P AEF -的体积13P AEF A PEF PEF V V S AQ--==⋅所以四面体P AEF -的体积最大值为1362332396⨯=，C 正确；对于D ，因为//EF 平面PCD ，EF ⊂平面PBC ，平面PBC ⋂平面PCD PC =，所以//EF PC ，设BF x =，则01x <≤，BE x =，π3EBF ∠=，所以2BEF S =≤F 和点C 重合，点E 和点P 重合时取等号，又AQ ⊥平面BEF，AQ =，所以四面体A BEF -的体积最大值为1312=，D 正确；故选：ACD.本题是立体几何综合问题，主要考查面面垂直和线面垂直的关系，线面平行性质定理和锥体的体积计算，对学生的素质要求较高.三、填空题13．已知(1,2,1),(1,0,0)a b == ，则a 在b 方向上的投影向量为________________．【正确答案】()1,0,0b = 【分析】根据投影向量的定义即可由数量积求解.【详解】由于1b = ，故a 在b 方向上的投影向量为()cos ,1,0,0a b a b b b b b⋅=== ，故()1,0,0b = 14．设函数()ln 2f x x mx =-（m 为实数），若()f x 在[1,)+∞上单调递减，则实数m 的取值范围_____________．【正确答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】首先根据题意得到[)1,x ∞∈+，()0f x '≤，再根据1y x=的单调性即可得到答案.【详解】()12f x m x'=-，因为函数()ln 2f x x mx =-在区间[)1,+∞上单调递减，所以[)1,x ∞∈+，120m x-≤恒成立，即[)1,x ∞∈+，max12m x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.又1y x =在[)1,+∞上单调递减，所以max11x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故21m ≥，即12m ≥，所以m 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15．已知数列{}n a 满足111,2n n a a a n +==+，则n a =___________．【正确答案】1321n n -⋅--.【分析】由递推关系证明数列{}1n a n ++为等比数列，结合等比数列通项公式求其通项，由此可得n a .【详解】因为12n n a a n +=+，所以()1221n n a n a n +++=++，又11a =，所以123a +=，故数列{}1n a n ++为等比数列，首项为3，公比为2，所以1132n n a n -++=⋅，故1321n n a n -=⋅--，故答案为.1321n n -⋅--16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，过左焦点F 作直线交C 于A ，B 两点，连接AO （O 为坐标原点）并延长交椭圆于点D ，若0,||4||AB DF DF BF ⋅== ，则椭圆的离心率为_____________．【分析】根据椭圆的焦点三角形满足的边关系，结合勾股定理即可求解.【详解】设右焦点为E ,连接,AE BE ,由0,AB DF ⋅= 故AB DF ⊥ ，由,OF OE OA OD ==,所以四边形AFDE 为平行四边形，由于AB DF ⊥ ，进而可得四边形AFDE 为矩形，设BF x =，则4DF x =，因此4,24,22AE x AF a x BE a BF a x ==-=-=-，在直角三角形ABE 中，222AE AB BE +=,即()()22216232x a x a x +-=-，解得3a x =，所以42,24,233AE a AF a x a EF c ==-==，故222164499c a a =+，故2295c a =，即3e =，故53四、解答题17．已知空间三点(1,0,2),(0,1,2),(3,0,4)A B C --，设,AB a AC b ==．(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka b + 与- a kb 互相垂直，求k 的值．【正确答案】(1)12-(2)3132【分析】(1)先求出向量,a b ，再利用空间向量的夹角公式求解即可；(2)利用向量垂直的充要条件列出方程，解方程求出k 的值.【详解】（1）因为(1,1,0)a AB OB OA ==-= ，(2,0,2)b AC ==- ，所以空间向量的夹角公式，可得1cos 21144a b a bθ==-+⨯+ ，所以a 与b 的夹角θ的余弦值为12-.（2）由（1）可知(1,1,0)a = ，(2,0,2)b =- .因为向量ka b + 与- a kb 互相垂直，所以()()0ka b a kb +⋅-= ，所以222(1)0k a k b k a b -+-= ，所以2282(1)0k k k ---=，所以2310k k --=，解得3132k ±=.18．在①22n S n n =+；②3267,18a a a =+=；③153,35a S ==这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．问题：已知等差数列{},n n a S 为其前n 项和，若______________．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()12N n n n b n a a *+=∈，求证：数列{}n b 的前n 项和13n T <．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】(1)21n a n =+(2)证明见解析.【分析】（1）选①由n a 与n S 的关系求解即可；选②③由等差数列的通项公式与求和公式求解即可；（2）由（1）可得112123n b n n =-++，利用裂项相消法证明即可.【详解】（1）若选①：在等差数列{}n a 中，113a S ==，当2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，1a 也符合，∴21n a n =+；若选②：在等差数列{}n a 中，326718a a a =⎧⎨+=⎩ ，11272618a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+；若选③：在等差数列{}n a 中，1513545352a S a =⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+；（2）证明：由（1）得211(21)(23)2123n b n n n n ==-++++，所以111111111.355721233233n T n n n =-+-+-=-<+++L 19．已知圆22:(2)(3)4C x y -+-=，直线:(1)(21)53l m x m y m +++=+．(1)判断并证明直线l 与圆C 的位置关系；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若点A ，B 分圆周得两段弧长之比为1:2，求直线l 的方程．【正确答案】(1)直线l 与圆C 相交，证明见解析；(2)直线l 的方程为2y =或1x =.【分析】（1）由题可得()2530m x y x y +-++-=，由25030x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得直线l 恒过定点，再由定点与圆的位置关系可得直线与圆的位置关系；（2）利用条件可分析出弦所对圆心角，据此求出圆心到直线的距离，即可求解.【详解】（1）因为直线l 的方程为(1)(21)53m x m y m +++=+，所以()2530m x y x y +-++-=，由25030x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得，12x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(1,2)P ，因为22(12)(23)4-+-<，所以点(1,2)P 在圆内，故直线l 与圆C 相交；（2）因为圆C 的方程为22(2)(3)4-+-=x y ，所以点C 的坐标为()2,3，半径为2，因为点A 、B 分圆周得两段弧长之比为1：2，故120ACB ∠= ,所以30CAB ∠= ，故圆心到直线的距离12r d ==，直线斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，因为点()2,3C 到直线1x =的距离为1，所以直线1x =满足条件，即直线l 的方程可能为1x =，当直线斜率存在时，设直线方程为2(1)y k x -=-，1=，解得0k =，所以直线l 的方程为2y =，故直线l 的方程为2y =或1x =.20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S．若11,2n a a ==2n ≥且N n *∈）．(1)求证：数列为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若22n n n b a +=⋅，求{}n b 前n 项和n T ．【正确答案】(1)1,121,24n n a n n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩；(2)()12124n n T n +=-+.【分析】（1）由1n n n a S S -=-，结合已知递推关系进行转化，然后结合等差数列的通项公式及递推关系可求；（2）由已知先求n b ，根据错位相减即可求和．【详解】（1）由题意得：当2n ≥时，22122()2(2(2(n n n a S S -=-=-=，因为0n a >，0>，12=，1=，所以数列是以1为首项，以12为公差的等差数列，111(1)22n n ++-=，所以21(2n n S +=，当2n ≥时，221121()()224n n n n n n a S S -++=-=-=，由于11a =不适合上式，故1,121,24n n a n n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩；（2）当1n =时，18b =，当2n ≥时，()22121224n n n b n n ++=+=⋅，所以18T =，当2n ≥时，()2438527292212n n T n =+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，()4153216527292212n n T n +=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，相减得()()()()()322311142128522222212122212122412n nn n n n T n n n -+++--=-+⨯+⨯++⋅⋅⋅+-+=+⨯-+=---，故()12124n n T n +=-+，此时18T =也适合，故()12124n n T n +=-+．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面π,,,3ABCD AD AB AB DC ABC ⊥∠=∥，,2AB BC PA ==．点A 在平面PBC 内的投影恰好为PBC 的重心E ，连接PE 并延长交BC 于F．(1)求证：AF BC ⊥；(2)求平面ACE 与平面ABCD 所成夹角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析；(2)平面ACE 与平面ABCD【分析】(1)方法一：由条件根据线面垂直判定定理证明BC ⊥平面AEF ，由此证明AF BC ⊥.方法二：由已知证明F 为BC 的中点，结合等腰三角形性质证明AF BC ⊥；(2)建立空间直角坐标系，求平面ACE 与平面ABCD 的法向量，再由向量夹角公式求其夹角余弦，由此可得结论.【详解】（1）方法一：因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以PA BC ⊥，因为AE ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE BC ⊥，又,PE PA ⊂平面PAE ，PE PA P = ，所以BC ⊥平面PAF ，又AF ⊂平面PAF ，所以AF BC⊥方法二：因为点E 为PBC 的重心，点F 为PE 的延长线与BC 的交点，所以点F 为线段BC 的中点，因为AB BC =，π3ABC ∠=，所以ABC 为等边三角形，所以AF BC ⊥；（2）因为PA ⊥底面ABCD ，,AB AD ⊂底面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，又AD AB ⊥，如图以点A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设AB t =，则()()(),,0,0,,0,0,0,2,0,0,022t C B t P A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为点E 为PBC的重心，所以2,,623t E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2,23t AE ⎫=⎪⎪⎝⎭，()0,,2PB t =- ，由已知⊥AE 平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AE PB ⊥，即0AE PB ⋅= 所以214023t -=，所以t =所以C ⎫⎪⎪⎭，23E ⎫⎪⎪⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,n x y z = ，则00n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0320333y x y z +=++=⎩，取1x =可得，y z ==所以(1,n = 为平面ACE 的一个法向量，又()0,0,1m = 为平面ABCD的一个法向量，cos ,3m n m n m n ⋅== ，所以平面ACE 与平面ABCD22．已知双曲线22:(0)C x y λλ-=>，焦点F(1)求λ；(2)动点M ，N 在曲线C 上，已知点(2,1)A -，直线,AM AN 分别与y 轴相交的两点关于原点对称，点Q 在直线MN 上，AQ MN ⊥，证明：存在定点T ，使得||QT 为定值．【正确答案】(1)3λ=；(2)证明见解析.【分析】(1)由双曲线方程求其渐近线方程，由点到直线距离公式列方程求λ；(2)证明当MN 斜率不存在时不合题意，设直线MN 方程与双曲线C 的方程联立，根据直线,AM AN 与y 轴的两交点关于原点对称结合韦达定理即可求解.【详解】（1）由已知双曲线C 的渐近线方程为y x =±，因为焦点F=所以3λ=，（2）当直线MN 的斜率k 不存在时，此时,M N 两点关于x 轴对称，若直线,AM AN 与y 轴的两交点关于原点对称，则A 在x 轴上，与题意矛盾，因此直线MN 的斜率存在.设直线MN 的方程为y kx m =+，联立223y kx m x y =+⎧⎨-=⎩，整理得()2221230k x kmx m ----=，由已知210k -≠，且()()222244130k m k m ∆=--+>，所以1k ≠±，且2233k m -<，设()11,M x y ，()22,N x y ，12221km x x k +=-，212231m x x k --=-.直线,AM AN 分别与y 轴相交的两点为1M ，1N ，∴直线AM 方程为()111212y y x x +=---，令0x =，则111120,2x y M x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，同理221220,2x y N x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，可得11221222022x y x y x x +++=--，∴()()11221222022x kx m x kx m x x +++++=--，即()()()()1221212221220k x m x k x m x ⎡⎤⎡⎤++-+++-=⎣⎦⎣⎦，∴()()1212422(42)80k m x x k x x m +-+-++=，∴()()22223422428011km m k m k m k k ---+⋅-++=--，∴()()()()22212213410k m km k m m k -+⋅++++-=，∴22222422263440k m km km km k m m mk -++++++-=，∴()224630m k m k ++++=，()()3210m m k +++=，当210m k ++=时，21m k =--，此时直线MN 方程为()21y k x =--恒过定点()2,1A -，与已知矛盾，∴3m =-，直线MN 方程为3y kx =-，恒过定点()0,3E -∵AQ MN ⊥，设AE 中点为T ，∴()1,2T -，∴12QT AE ==为定值，∴存在()1,2T -使QT .方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。
高二上学期期末考试数学模拟试题(一)参考答案
高二文科数学期末模拟试题（一）参考答案一、选择题：1. D2. D3.C4.C5.C6.B7.D8.B9.A 10.D二、填空题:11．(](),12,-∞-+∞ 12. 7- 13．211n a n =- 14．0 15.M N > 三、解答题:16.解：1sin 4,2ABC S bc A bc ∆===由得…………………………………4分 2222cos ,5a b c bc A b c =+-+=由得，………………………………8分即：:,,45解得又b c bc c b >⎩⎨⎧==+ 所以4,1==c b ………………………………………………………12分17.解：若p 为真，则01a <<，若q 为真，则12a >.…………………………4分 又由""p q ∧为假，""p q ∨为真知,p q 一真一假，…………………………6分01101122a a a a a <<≥≤⎧⎧⎪⎪∴⎨⎨≤>⎪⎪⎩⎩或或,…………………………8分 即1012a a <≤≥或.…………………………12分18.解：（1）设公差为d ，由题意，可得 73273a a d -==-， ……………………3分 220n a n =-, ……………………5分201522015204010a =⋅-=.……………………6分（2）由数列}{n a 的通项公式可知，当9n ≤时，0n a <，当10n =时，0n a =，当11n ≥时，0n a >………………8分所以当n ＝9或n ＝10时，n S 取得最小值为91090S S ==-. ………………12分 19. 解: (1) 当2a =时，不等式为2320x x -+>, ………………2分方程2320x x -+=的两个根为1,2，∴原不等式解集为{|21}.x x x ><或………………4分（2）因为2(1)0()(1)0x a x a x a x -++>⇒-->，………………6分对根分类讨论得到结论：①当1a >时,解集为{|1}x x a x ><或………………8分②当1a =,解集为{|1}x x ≠………………10分③当1a <时,解集为{|1}x x x a ><或………………12分20.解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，……1分 由题意得3005002009000000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥ ……………4分目标函数为30002000z x y =+．……………5分 二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥……………6分 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域,如图.(图占3分)作直线:300020000l x y +=，即320x y +=．平移直线l当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值． ………10分联立30052900.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得100200x y ==，．∴点M 的坐标为(100200)，．……………12分答: 公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为100分钟和200分钟，总收益为70万元.……13分21.解: （1） 设椭圆M 的方程为)0(12222>>=+b a by a x则有⎪⎩⎪⎨⎧==-221122ab a ……………………2分 解得⎩⎨⎧==12b a , ∴椭圆M 的方程为1222=+y x ……………………4分 （2）当k 不存在时,直线为2x =与椭圆无交点;……………………5分 当k 存在时,设)2(:-=x k y PQ , 代入1222=+y x 整理得:0288)21(2222=-+-+k x k x k ,…………………8分 由0,∆>得到21.2k < 设),(),,(2211y x Q y x P ,则有222122212128,218kk x x k k x x +-=+=+,…………………10分 ∴2221221212)2)(2(k k x x k y y +=--=, OP OQ ⊥,∴02121=+x x y y 即02121022=+-kk ……………………12分 解得:55±=k 所求直线PQ 的方程为)2(55-±=x y ……………………14分。
河北省唐山市2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题(含答案解析)
河北省唐山市2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线10ax y +-=的倾斜角为30°，则=a （）A ．3-B C ．D 2．若a ，b ，c 成等比数列且公比为q ，那么1a ，1b ，1c（）A ．不一定是等比数列B ．一定不是等比数列C ．一定是等比数列，且公比为1qD ．一定是等比数列，且公比为q3．圆221:4240C x y x y +-+-=与圆222:4440C x y x y ++-+=的位置关系为（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离4．已知四棱锥P ABCD -底面为平行四边形，点M 为BC 中点，设AB a = ，AD b =，c AP = ，则下列向量中与PM相等的向量是（）A ．12a b c+-B ．12a b c+- C ．12a b c--+ D ．12a b c++ 5．已知点(4,0)A -到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>渐近线的距离为125，则C 的离心率为（）A ．54B ．53C ．43D ．26．已知1F ，2F 是椭圆22:143x yC +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上.当12PF F △的面积最大时，12PF F △的内切圆半径为（）A ．12B C ．1D 7．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，1160A AD A AB ∠=∠=︒，12AA =，则异面直线AC 与1DC 所成角的余弦值为（）A B C D 8．已知n S 和n T 分别是数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，且满足112n n S a =-，45n b n =-+，若对*n ∀∈N ，使得53(2)n n T S a a -≤+成立，则实数a 的取值范围是（）C ．2a ≤-或4a ≥D ．3a ≤-或1a ≥二、多选题9．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点(1,1,1)P ，(1,0,1)A ，(0,1,0)B ，则下列说法正确的是（）A ．点P 关于yOz 平面对称的点的坐标为(1,1,1)-B ．若平面α的法向量(2,2,2)n =-，则直线//AB 平面αC ．若PA ，PB分别为平面α，β的法向量，则平面α⊥平面βD ．点P 到直线AB 10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，()00,M x y 是抛物线C 上一个动点，点(0,2)A ，则下列说法正确的是（）A ．若5MF =，则04y =B ．过点A 与抛物线C 有一个公共点的直线有3条C ．MF MA +D ．点M 到直线30x y -+=的最短距离为11．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，70a >，80a <，6890a a a ++=，则()A ．130S <B ．10a >，0d <C ．780a a +<D ．当7n =时，n S 有最大值12．已知双曲线22:13y C x -=，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于两点A ，B ，则（）A ．若A 在双曲线右支上，则AF 的最短长度为1B ．若A ，B 同在双曲线右支上，则lC ．AB 的最短长度为6D ．满足8AB =的直线l 有4条三、填空题13．已知直线230x y +-=与直线(3)240a x y --+=平行，则=a ______.14．数列{}n a 的通项公式为()*(1)(21)n n a n n =--∈N ，其前n 项和为n S ，则15S =______.15．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，D 为PC 的中点，则点P 到平面ABD 的距离等于______.16．已知点(2,2)E -和抛物线2:8C x y =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于P ，Q 两点.若90PEQ ∠=︒，则k =______.四、解答题17．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过(1,1)A -和()1,3B 两点.(1)求圆C 的方程；(2)过点(3,2)P 的直线l 被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程.18．在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，112a b ==，22a b =，135b b a +=(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若{}n a 的前n 项和为n S ，1n n nc b S =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .19．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，13AA =，M ，N 分别为11A C ，1BB 的中点.(1)求证：//MN 平面1A BC ；(2)求直线1A N 与平面1A BC 所成角的正弦值.20．已知数列{}n a 的首项11a =，且()*132n n n a a n ++=⨯∈N ，2nn n b a =-.(1)计算1b ，2b ，3b 的值，并证明{}n b 是等比数列；(2)记(1)nn n c a =--，求数列{}(23)n n c -⋅的前n 项和n S .21．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，CD PB ⊥，122PD AD AB BC ====.(1)求证：PD ⊥平面ABCD ；(2)若直线PC 与平面ABCD 所成的角为30°，点E 在线段AP 上，且3PA PE =，求平面PBD 与平面BDE 夹角的余弦值.22．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的上顶点到右顶点的距离为3，且过点()2,1P .(1)求椭圆E 的方程；(2)O 为坐标原点，点Q 与点P 关于x 轴对称，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，且满足APQ BPQ ∠=∠，求OAB 面积的最大值.参考答案：1．A【分析】根据方程和倾斜角分别求出直线的斜率，进而得到a 的值.【详解】由已知得直线的斜率tan 30k =︒a=-,∴a =,故选:A.2．C【分析】根据等比数列的定义及等比数列的中项判断.【详解】因为a ，b ，c 成等比数列且公比为q ，所以b q a =，2b ac =，可得211b ac =，111a b b qa ==，由等比数列的中项可判断得1a ，1b ，1c成等比数列，并且公比为1q .故选：C 3．C【分析】将两圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标和半径的长，然后利用圆与圆的位置关系判定.【详解】将两圆的一般方程化为标准方程得()()221:219C x y -++=;()()222 :224C x y ++-=,可知圆心()12,1C -,()22,2C -,半径123,2r r ==,12125C C r r ==+，故两圆外切，故选：C 4．B【分析】由平面向量的线性运算与基底表示计算可得答案.【详解】如图，因为四棱锥P ABCD -底面为平行四边形，点M 为BC 中点，所以()1122PM AM AP AB BM AP AB AD AP a b c ⎛⎫⎛⎫=-=+-=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B5．A【分析】利用点到直线的距离公式求得a ,b 的关系，转化为a ,c 的关系，进而得到离心率.【详解】由双曲线的对称性，不妨取双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线0bx ay -=,由已知得125=,即()222925c c a =-,221625c a =,45c a =,54c e a ==,故选：A 6．B【分析】由椭圆方程得到椭圆的焦点坐标，由椭圆的性质得到P 的坐标，由椭圆的定义求得三角形的周长，利用面积法求得内切圆半径.【详解】解：由已知得224,3,2,1,a b a c ==∴==∴()()121,0,1,0F F -,∵点P 在椭圆C 上,当12PF F △的面积最大时，∴点P 到x 轴距离最大，即P 为椭圆的短轴的端点，不妨设P12PF F △周长为222226l c a =+=+⨯=，面积为S设内切圆半径为r ,则S =12rl ,∴r =23S l =,故选B.7．D【分析】设1,,AB a BC b CC c === ，则1,AC a b DC a c =++= ，根据空间向量夹角公式即可求解．【详解】设1,,AB a BC b CC c === ，底面ABCD 是边长为1的正方形，1112,60AA A AB A AD =∠=∠=，()()1AC DC a b a c∴⋅=+⋅+ 112cos6011cos9012cos603a a a c b a b c =⋅+⋅+⋅+⋅=+⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=，()222221102AC a ba b a b =+=++⋅=++=，()2222121427DC a c a c a c =+=++⋅=++=111cos ,,14AC DC AC DC AC DC ∴=⋅=⋅=异面直线AC 与1DC所成角的余弦值为14，故选：D 8．D【分析】利用和与项的一般关系求得数列{}n a 的递推关系，根据等比数列的定义判定为等比数列，得到通项公式，进而得到113n n S =-，利用等差数列的求和公式得到223nT n n =-+,进而结合二次函数和指数函数的单调性得到不等式左端的最大值，根据不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，求解即得.【详解】由112n n S a =-得111112a S a ==-,∴123a =,()111122n n S a n --=-≥,∴111122n n n n n a S S a a --=-=-,∴()1123n n a a n -=≥,∴数列{}n a 为首项为123a =，公比为13q =的等比数列，∴23n n a =,∴113nn S =-，∵45n b n =-+，∴{}n b 为等差数列，∴()2145232n n T n n n +-+=⨯=-+,21553110133n n n n T n S -=-+-+-,记211()101533n f n n n -=-+-+当n ∈N*时，()f n 为n 的单调递减函数，∴()()max 13f n f ==53(2)n n T S a a -≤+恒成立的充分必要条件是()32a a ≤+,解得3a ≤-或1a ≥，故选：D 9．ACD【分析】根据空间点的对称性判断A ，根据0A n B ⋅≠ 判断B ，根据0PA PB ⋅=判断C ，利用空间向量法求点到直线的距离判断D ；【详解】解：对于A ：因为(1,1,1)P ，所以点P 关于yOz 平面对称的点的坐标为(1,1,1)-，故A 正确；对于B ：因为(1,0,1)A ，(0,1,0)B ，所以()1,1,1AB =--，因为平面α的法向量(2,2,2)n =- ，所以()()12121260AB n =-⨯+⨯-+-⨯=⋅-≠，所以直线AB 与平面α不平行，故B 错误；对于C ：因为()0,1,0PA =- 、()1,0,1PB =-- ，所以0PA PB ⋅= ，因为PA ，PB分别为平面α，β的法向量，所以平面α⊥平面β，故C 正确；对于D ：因为()0,1,0AP = ，()1,1,1AB =-- ，所以1AP AB ⋅=，所以点P 到直线AB的距离d =D 正确；故选：ACD 10．BC【分析】A 选项，利用抛物线定义进行求解04x =，进而求出04y =±；B 选项，与抛物线相切的线有两条，与x 轴平行的有一条；C 选项，利用两点之间线段最短进行求解；D 选项，转化为两平行线之间距离进行求解最短距离.【详解】A 选项，过点M 作MA 垂直抛物线准线=1x -于点B ，根据抛物线定义可知：5MF MB ==，即015x +=，解得：04x =，代入抛物线中得：04y =±，故A 错误；B 选项，过点A 平行于x 轴的直线2y =与抛物线有一个公共点，过点A 的y 轴，与抛物线相切，有一个公共点，当直线斜率存在时，设过点A 的直线方程为2y kx -=，与抛物线联立得：()224440k x k x +-+=，由Δ0=得：12k =，即122y x =+与抛物线相切，只有一个交点，综上：共有3条，B 正确；C 选项，由抛物线方程可知：()1,0F ，连接AF ，与抛物线交于一点，由两点之间，线段最短，可知，此点即为符合要求的M 点，此时MF MA +=，C 正确；D 选项，设与30x y -+=平行且与抛物线相切的直线为:0l x y c -+=，此时直线:0l x y c -+=与抛物线的切点即为M ，则:0l x y c -+=与30x y -+=的距离即为点M 到直线30x y -+=的最短距离d ，联立:0l x y c -+=与抛物线方程得：()22240x c x c +-+=，由()222440c c ∆=--=解得：1c =，故d =D 选项错误.故选：BC 11．BD【分析】由等差数列前n 项和公式即可判断A ；由等差数列的单调性可判断B ；由6890a a a ++=可判断C ；由等差数列前n 项和的性质可判断D.【详解】70a > ，()113137131302a a S a +∴==>，故选项A 错误；70a > ，80a <，10a ∴>，0d <，故选项B 正确；6897880a a a a a a ++=++= ，且80a <，780a a ∴+>，故选项C 错误；由70a >，80a <知，当7n =时，n S 有最大值，故选项D 正确；故选：BD ．12．AD【分析】由双曲线的方程求出,,a b c 的值，A 在双曲线右支上，则AF 的最短长度为c a -可判断A ；求出双曲线的渐近线方程，由直线l 的斜率与渐近线斜率的关系可判断B ，讨论l 的斜率不存在和斜率为0时弦长AB ，即可得AB 的最短长度可判断C ，由l 的斜率不存在和斜率为0时弦长AB ，结合双曲线的对称性可判断D ，进而可得正确选项.【详解】由双曲线22:13y C x -=可得1a =，b =，所以2c ==，对于A ：若A 在双曲线右支上，则AF 的最短长度为211c a -=-=，故选项A 正确；对于B ：双曲线的渐近线方程为：by x a=±=，若A ，B 同在双曲线右支上，则l 的斜B 不正确；对于C ：当A ，B 同在双曲线右支上时，AB x ⊥轴时，AB 最短，将2x =代入2213y x -=可得3=±y ，此时6AB =，当A ，B 在双曲线两支上时，AB 最短为实轴长22a =，所以AB 的最短长度为2，故选项C 不正确；对于D ：当A ，B 同在双曲线右支上时，min 68AB =<，当A ，B 在双曲线两支上时，min 28AB =<，根据双曲线对称性可知：满足8AB =的直线l 有4条，故选项D 正确；故选：AD.13．1-【分析】先利用直线平行的一般式的计算公式代入求解a 的值，然后再将结果分别代入验证两条直线是否平行．【详解】由题意可知，(3)220a -+⨯=，得1a =-，当1a =-时，直线230x y +-=与直线4240x y --+=平行；故答案为：1-．14．15-【分析】根据解析式，分别求得奇数项和与偶数项和，综合即可得答案.【详解】由题意得1351,5,9a a a =-=-=-⋅⋅⋅，即奇数项为首项为-1，公差为-4的等差数列，所以1315878(1)(4)1202a a a ⨯++⋅⋅⋅+=⨯-+⨯-=-，2463,7,11a a a ===⋅⋅⋅，即偶数项为首项为3，公差为4的等差数列，所以2414767341052a a a ⨯++⋅⋅⋅+=⨯+⨯=，所以15121512010515S a a a =++⋅⋅⋅+=-+=-.故答案为：15-15【分析】根据线面垂直的性质定理，可证,PA AB PA BC ⊥⊥，即可求得各个边长、面积，利用等体积法，即可求得答案.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA BC ⊥⊥，所以在Rt PAB 中，12222PAB S =⨯⨯= ，在Rt ABC 中，2222AC AB AC =+=，在Rt PAC △中，2223PC PA AC =+=，因为D 为PC 中点，所以132AD BD PC ===，所以2211222ABDS AB BD AB ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，因为,BC AB BC PA ⊥⊥，所以BC ⊥平面PAB ，所以C 到平面PAB 的距离即为BC =2，因为D 为PC 的中点，所以D 到平面PAB 的距离即为112BC =，设P 到平面ABD 的距离为h ，因为P ABD D PAB V V --=，所以11133ABD PAB S h S ⨯⨯=⨯⨯ ，解得2h =，所以点P 到平面ABD 的距离等于2.故答案为：216．12##0.5【分析】设出直线方程，联立后用韦达定理得到两根之和，两根之积，根据垂直得到斜率的等量关系，代入后求得结果.【详解】设直线:2PQ y kx -=，与2:8C x y =联立得：28160x kx --=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则128x x k +=，1216x x =-，因为90PEQ ∠=︒，所以1PE QE k k ⋅=-，即121222122y y x x ++⋅=---，整理得：()()()21212142200kx x k x x ++-++=，即()2210k -=，解得：12k =.故答案为：1217．(1)22(2)10x y -+=(2)3x =或3410x y --=【分析】（１）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据已知条件列出方程组求解即得；（２）分斜率存在与否，利用直线与圆相切的条件求解.【详解】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则0,220,3100,E D E F D E F ⎧-=⎪⎪-+++=⎨⎪+++=⎪⎩解得4,0,6.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆C 的方程为22460x y x +--=，即()22210x y -+=.（2）因为直线l 被圆C 截得的弦长为6，所以圆心到直线l的距离1d ==.当l 的斜率不存在时，直线l 方程为3x =，符合题意.当l 的斜率存在时，设直线l 方程为()23y k x -=-，即320kx y k --+=则1d ==.解得34k =.此时直线l 方程为()3234y x -=-，即3410x y --=.综上所述，直线l 的方程为3x =或3410x y --=.18．(1)2n a n =，2nn b =(2)11211n n T n +=--+【分析】（1）列式计算等差数列的公差d 与等比数列的公比q ，从而写出通项公式；（2）计算n S ，从而表示出1nS ，利用分组求和法与裂项相消法求和n T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则22222224d qd q q d +=⎧⇒==⎨+=+⎩.所以2n a n =，2n n b =.（2）(22)(1)2n n n S n n +==+，则1111(1)1n S n n n n ==-++，()2121211111111......1...(22...2)2231nn n n T b b b S S S n n ⎛⎫⎛⎫=+++++++=-+-++-++++ ⎪+⎝⎭⎝⎭1112211211121n n n n ++-=-+=--+-+.19．(1)证明见解析(2)310【分析】（1）取1CC 的中点E ，连接ME ，NE ，通过证明平面MNE //平面1A BC 可得结论；（2）取AB 中点O ，11A B 中点1O ，连接OC ，1OO ，以OB ，OC ，1OO 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，利用向量法求直线1A N 与平面1A BC 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：取1CC 的中点E ，连接ME ，NE ，M ，E 分别为11A C ，1CC 的中点，1ME //AC ∴.又ME ⊄ 平面1A BC ，1AC ⊂平面1A BC ，ME //∴平面1A BC .又N Q ，E 分别为1BB ，1CC 的中点，NE //BC ∴，又NE ⊄ 平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，NE //∴平面1A BC .又ME NE E ⋂= ，∴平面MNE //平面1A BC .又MN ⊂ 平面MNE ，MN //∴平面1A BC .（2）取AB 中点O ，11A B 中点1O ，连接OC ，1OO .ABC 是边长为2的正三角形，.OC AB ∴⊥.以OB ，OC ，1OO 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz则()3,0C ，()11,0,3A -，()1,0,0B ，31,0,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,3,0CB =- ，()1132,0,3,2,0,2BA A N ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 设平面1A BC 的法向量(),,n x y z =，由100CB n BA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得30230x x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，取()3,2n = 设直线1A N 与平面1A BC 所成的角为θ，则11133sin cos ,51042n A N n A N n A N θ⋅====⨯∴直线1A N 与平面1A BC 所成角的正弦值为310.20．(1)11b =-，21b =，31b =-，证明见解析(2)1(25)210n n S n +=-⨯+【分析】（1）由132n n n a a ++=⨯，分别计算出23,a a ，可得1b ，2b ，3b ，132nn n a a ++=⨯转化得()1122n n n n a a ++-=--，即1n n b b +=-，即可证明数列{}n b 是等比数列；（2）写出数列{}n c 的通项公式，然后利用错位相减法求和.【详解】（1）在132n n n a a ++=⨯中，令1n =得，126a a +=，2165a a ∴=-=.同理可得，37a =.1121b a ∴=-=-，22221b a =-=，33321b a =-=-.由132nn n a a ++=⨯得，()1122n n n n a a ++-=--，即1n n b b +=-，又110b =-≠ ，{}n b ∴是以1-为首项，1-为公比的等比数列.（2）由（1）可知，(1)n n b =-，2(1)2n n nn n a b =+=-+.则(1)2n nn n c a =--=.23(1)21232(23)2n n S n =-⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，23412(1)21232(23)2n n S n +=-⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，上述两式相减，得()23122222(23)2n n n S n +-=-+++⋅⋅⋅+--⨯2112222(23)212n n n ++-=-+⨯--⨯-1(25)210n n +=--⨯-1(25)210n n S n +∴=-⨯+【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解．21．(1)证明见解析【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证得CD ⊥平面PBD ,得到CD PD ⊥,然后，根据已知条件，利用面面垂直的性质定理证得结论；（2）以DB ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量的坐标运算求解.【详解】（1）（1）证明：取BC 中点F ，连接DF .//AD BF ，且AD BF =，∴四边形ABFD 为平行四边形.则12DF AB BC ==，于是CD BD ⊥.又CD PB ⊥ ，PB BD B ⋂=，CD ∴⊥平面PBD .又PD ⊂ 平面PBD ，CD PD ∴⊥.又 平面PCD ⊥平面ABCD 且交线为CD ，PD ∴⊥平面ABCD .（2）（2）PD ⊥ 平面ABCD .PCD ∴∠即为直线PC 与平面ABCD 所成的角，30PCD ∴∠=︒.又2PD =，CD AF ∴==2BD =.以DB ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()2,0,0B，()1,A ，()0,0,2P.()1,2PA =- ，()2,0,0DB =，()0,0,2DP =.3PA PE = ，()()11140,0,21,2,,33333DE DP PA ⎛⎫∴=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BDE 的法向量(),,n x y z =，由0,0,DB n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,140,333x x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩取(0,n = .由（1）可知，DC ⊥平面PBD ，所以平面PBD的法向量()0,DC =,19DC n cos DC n DC n ⋅∴〈〉==.∴平面PBD 与平面BDE.【点睛】22．(1)22163x y +=(2)2【分析】（1）根据椭圆经过的点及上顶点到右顶点的距离，求出,a b ，得到椭圆方程；（2）设出直线AB 方程，联立后用韦达定理，根据角度相等，转化为斜率之和为0，列出方程，求出k ，求出弦长，表达出面积，求出面积最大值.【详解】（1）由已知可得，22229,411,a b ab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得226,3.a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆E 的方程为22163x y +=.（2）依题意，直线AB 斜率一定存在，设AB 方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y .由22,163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()222124260k x kmx m +++-=，()()2222Δ16412260k m k m=-+->，得22630k m -+>，122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+.APQ BPQ ∠=∠ ，0PA PB k k ∴+=，121211022y y x x --∴+=--.()()()()211221210x y x y ∴--+--=，()()()()211221210x kx m x kx m ∴-+-+-+-=.()()()1212.221410kx x m k x x m ∴+--+--=.()()()2222264214101212k m km m k m kk---∴---=++.化简得，22310k k km m -++-=，即()()1210k k m -+-=1k ∴=或12m k =-.将12m k =-代入y kx m =+中，得()12y k x -=-，即直线AB 经过点P ，不合题意，所以12m k =-舍去，AB 分别位于PQ 的两侧，31m ∴-<<-，且1243m x x +=-，212263m x x -=.12AB x =-==O 到AB 的距离d =OAB ∴ 的面积为()22911222m m S AB d +-=⨯⨯=⨯=当且仅当229m m =-，即m =.OAB ∴ 面积的最大值为2.【点睛】对于圆锥曲线求解弦长，面积等最值问题，通常情况下，要设出直线方程，联立后利用韦达定理，求出弦长，表达出面积，再最后求解最值时，要结合代数式的特征，选择合适的方法，比如基本不等式，换元法，转化为二次函数求最值等.。
高二(上)期数学期末模拟试题
高二(上)期数学期末模拟试题一.选择题.(共12小题,每小题5分,共60分) 1. 不等式x x 283)31(2-->的解集是（ ）A ．(-2, 4)B ．(-∞, -2)C ．(4, +∞)D ．(-∞, -2)∪(4, +∞)2.若直线07)3(062=+--=++y x m y mx 与直线平行,则m 的值为 ( ) A.-1 B.1 C.-3 D.33.抛物线281x y -=的准线方程 ( ) A.321=x B.2=y C.41=x D.4=y4.双曲线1422=-ky x 的离心率k e 则),2,1(∈的取值范围是( ) A.(-6,6) B.(-12,0) C.(1,3) D.(0,12)5.抛物线顶点在原点,焦点在y 轴上,且抛物线上点)2,(-m 到焦点的距离为4,则m = ( ) A.4 B.-2 C.4或-4 D.2或-26.在直角坐标系中,点A 在圆y y x 222=+上,点B 在直线1-=x y 上.则|AB|最小值为( )2 D.2260-=关于A 对称的直线方程是 （ ）C.32120x y --=D.2380x y ++= 3273xyz =++的最小值是 （ ）6 D 、9 x 轴上方的任一点,则直线PF ( ) A.),1[]0,(+∞-∞U B.),1()0,(+∞-∞U C.),1[)1,(+∞--∞U D.),0()1,(+∞--∞U10.设y x ,满足约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤+1211013623242y x y x y x ，求y x z 32+=的最大值 ( )A.39B.273C. 377D.4211.P 是抛物线x y 22=上一点,P 到点A )310,3(的距离为1d ,P 到直线21-=x 的距离为2d ,当21d d +取最小值时,点P 的坐标为 ( ) A.(0,0) B.(2,2) C.(1,2) D.(1,21) 12.若椭圆)1(122>=+m y m x 和双曲线)0(122>=-n y nx 有共同的焦点F 1、F 2,且P 是两条曲线的一个交点,则△PF 1F 2的面积是 ( )A.1B.21C.2D.4 二、填空题（每小题4分，共16分）13过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为14过点()2,1M -圆的225x y +=的切线方程是。
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题(三)
(1)求该段抛物线的方程； (2)当 CD 长为多少米时，等腰梯形草坪 ABCD 的面积最大？
20．设数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，满足 an + Sn = An2 + Bn + 1( A ¹ 0) ．
（1）若 a1
=
3 2
， a2
=
9 4
，求证数列{an
-
n} 是等比数列，并求数列{an} 的通项公式；
ïî y2 = 2 px
y1 + y2 = 2 p, y1 y2 = - p2 ，
线段 AB 的长为：
1+
1 k2
×
( y1 + y2 )2 - 4 y1 y2 =
2´
(2 p)2 - 4(- p2 ) = 4 p = 8 ，
得p=2， 故选：C. 6．A 【分析】由椭圆和双曲线的定义及条件可求 a = 2 2 ，根据双曲线离心率的定义可得结果.
【详解】直线 l : 3x - y +1 = 0 变为 y = 3x +1 ，
对于 A，直线的斜率为 3 ，所以倾斜角为 π ，A 错误， 3
对于 B，令 y = 0 ，则 x = -
3 3
，所以
x
轴上的截距为
-
3 ，B 错误， 3
对于 C， m : x -
3y +1 = 0 的斜截式方程为 y =
是 3x - y - 4 = 0 3．已知直线 y = ex + a 与曲线 y = ln x 相切，则 a 的值为（ ）
A． -1
B． -2
C．
1 e
e
D．
4．设 Sn 为各项均不为零的等差数列{an} 的前 n 项和，若 (a3
【压轴题】高二数学上期末第一次模拟试题附答案
【压轴题】高二数学上期末第一次模拟试题附答案一、选择题1．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49D ．292．如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为1xy e =-，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率是（ ）A ．23e - B ．13e - C ．43e- D ．53e- 3．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A ．B ．C ．D ．4．我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2S =（单位：升），则输入k 的值为A ．6B ．7C ．8D ．95．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n 边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n 的值分别为（ ）（参考数据：20sin200.3420,sin()0.11613≈≈）A．1180sin,242S nn=⨯⨯B．1180sin,182S nn=⨯⨯C．1360sin,542S nn=⨯⨯D．1360sin,182S nn=⨯⨯6．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（）A．112B．12C．13D．167．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填入的条件为（）A．4i≤B．5i≤C．6i≤D．7i≤8．已知线段MN的长度为6，在线段MN上随机取一点P，则点P到点M，N的距离都大于2的概率为()A．34B．23C．12D．139．按照程序框图（如图所示）执行，第3个输出的数是（）A．6B．5C．4D．310．执行如图所示的程序框图，若输入2x=-，则输出的y=（）A．8-B．4-C．4D．811．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+.（注：如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.）在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是（）A．12B．13C．14D．1512．有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150)，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的频数为（）A．48B．60C．64D．72二、填空题13．北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示. 设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为X ，则()E X =______________．14．已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）．15．已知实数]9[1x ∈，，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为________．16．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，则这组数据的标准差是______．17．下图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值满足关系式y=-2x+4，则这样的x 值___个．18．我国元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没有壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，问一开始输入的x =______斗.遇店添一倍，逢友饮一斗，意思是碰到酒店就把壶里的酒加1倍，碰到朋友就把壶里的酒喝一斗，店友经三处，意思是每次都是遇到店后又遇到朋友，一共是3次．19．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为_____．20．将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里，每个盒子里放且只放1个小球，则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是______.三、解答题21．某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完.根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了250公斤这种蔬果，假设当天的需求量为x公斤≤≤，利润为y元.求y关于x的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润x(0500)y不小于1750元的概率.22．某公司为研究某产品的广告投入与销售收入之间的关系，对近五个月的广告投入x （万元）与销售收入y（万元）进行了统计，得到相应数据如下表：广告投入x（万元）91081112销售收入y（万元）2123212025（1）求销售收入y关于广告投入x的线性回归方程y bx a=+$$$．（2）若想要销售收入达到36万元，则广告投入应至少为多少.参考公式：()()()121ni iiniix x y ybx x∧==--=-∑∑，ˆˆ•a yb x=-23．一个盒子中有5只同型号的灯泡，其中有3只一等品，2只二等品，现在从中依次取出2只，设每只灯泡被取到的可能性都相同，请用“列举法”解答下列问题：（Ⅰ）求第一次取到二等品，且第二次取到的是一等品的概率；（Ⅱ）求至少有一次取到二等品的概率.24．东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼，摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[20,70]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）求频率分布直方图中x的值，并根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数x和中位数m（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中抽出20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会.①在答题卡上的统计表中填出每组相应抽取的人数：年龄[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]人数②若从年龄在[30,50)的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在[30,40)的概率.25．甲乙两人同时生产内径为25.41mm的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出 5 件（单位：mm ） , 甲：25.44，25.43， 25.41，25.39，25.38 乙：25.41，25.42， 25.41，25.39，25.42. 从生产的零件内径的尺寸看、谁生产的零件质量较高． 26．某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表按年级分层抽样的方法评选优秀学生50人，其中高三有10人． （1）求z 的值；（2）用分层抽样的方法在高一中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用随机抽样的方法从高二女生中抽取8人,经检测她们的得分如下：9．4，8．6，9．2， 9．6，8．7，9．3，9．0，8．2，把这8人的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可. 【详解】如图所示，01,01x y ≤≤≤≤表示的平面区域为ABCD ， 平面区域内满足23x y +≤的部分为阴影部分的区域APQ ，其中2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为1222233119p ⨯⨯==⨯. 本题选择D 选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.2．D解析：D 【解析】 【分析】通过定积分可求出空白部分面积，于是利用几何概型公式可得答案. 【详解】由题可知长方形面积为3，而长方形空白部分面积为：()()11001|2x x e dx e x e -=-=-⎰，故所求概率为25133e e---=，故选D. 【点睛】本题主要考查定积分求几何面积，几何概型的运算，难度中等.3．C解析：C 【解析】 【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率． 【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体， ∴基本事件总数n ＝27， 在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上， 且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P =故选：C 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．C解析：C 【解析】分析：执行程序框图，得到输出值4k S =，令24k=，可得8k =. 详解：阅读程序框图，初始化数值1,n S k ==，循环结果执行如下：第一次：14n =<成立，2,22k k n S k ==-=； 第二次：24n =<成立，3,263k k k n S ==-=； 第三次：34n =<成立，4,3124k k k n S ==-=； 第四次：44n =<不成立，输出24kS ==，解得8k =. 故选C.点睛：解决循环结构程序框图问题的核心在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.5．C解析：C 【解析】分析：在半径为1的圆内作出正n 边形，分成n 个小的等腰三角形，可得正n 边形面积是13602S n sinn=⨯⨯o，按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可的结果.详解：在半径为1的圆内作出正n 边形，分成n 个小的等腰三角形，每一个等腰三角形两腰是1，顶角是360n ⎛⎫ ⎪⎝⎭o，所以正n 边形面积是13602S n sin n=⨯⨯o，当6n =时， 2.6S =≈； 当18n =时， 3.08S ≈；当54n =时， 3.13S ≈；符合 3.11S ≥，输出54n =，故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6．C解析：C 【解析】 【分析】基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，由此能求出小明恰好分配到甲村小学的概率．【详解】解：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教， 每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，∴小明恰好分配到甲村小学的概率为p 121363m n ===． 故选C ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．B解析：B 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,i S 的值，当输出的63S =时，退出循环，对应的条件为5i ≤，从而得到结果. 【详解】当=11S i =，时，不满足输出条件，故进行循环，执行循环体； 当1123,2S i =+==，不满足输出条件，故进行循环，执行循环体；当2327,3S i =+==，不满足输出条件，故进行循环，执行循环体； 当37215,4S i =+==，不满足输出条件，故进行循环，执行循环体； 当415231,5S i =+==，不满足输出条件，故进行循环，执行循环体； 当313263,6S i =+==，满足输出条件，故判断框中应填入的条件为5i ≤， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，根据题意写出判断框中需要填入的条件，属于简单题目.8．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形即可得出结论． 【详解】 如图所示，线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ， 则点P 到点M ，N 的距离都大于2的概率为2163P ==． 故选D ． 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．9．B解析：B 【解析】第一次输出1,A =第二次输出123A =+=，第三次输出325A =+= ，选B.10．C解析：C 【解析】 【分析】执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数32,0,0x x y x x ⎧>=⎨≤⎩的值，从而计算得解. 【详解】执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数32,0,0x x y x x ⎧>=⎨≤⎩的值，由于20x =-<，可得2(2)4y =-=，则输出的y 等于4，故选C. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有读取程序框图的输出的结果，在解题的过程中，需要明确框图的功能，从而求得结果.11．A解析：A 【解析】 【分析】先列出不超过11的素数,再列举出随机选取2个不同的数的情况,进而找到和小于等于10的情况,即可求解 【详解】不超过11的素数有:2,3,5,7,11,共有5个, 随机选取2个不同的数可能为:()2,3,()2,5,()2,7,()2,11,()3,5,()3,7,()3,11,()5,7,()5,11,()7,11,共有10种情况, 其中和小于等于10的有:()2,3,()2,5,()2,7,()3,5,()3,7,共有5种情况, 则概率为51102P ==, 故选:A 【点睛】本题考查列举法求古典概型的概率,属于基础题12．B解析：B 【解析】 【分析】由(0.00500.00750.01000.0125)201a ++++⨯=，求出a ，计算出数据落在区间[90,110)内的频率，即可求解.【详解】由(0.00500.00750.01000.0125)201a ++++⨯=, 解得0.015a =，所以数据落在区间[90,110)内的频率为0.015200.3⨯=， 所以数据落在区间[90,110)内的频数2000.360⨯=， 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率、频数，属于中档题.二、填空题13．【解析】【分析】列出随机变量的分布列求解【详解】由题意知某人到达银行的概率为几何概型所以：其到达银行时服务窗口的个数为的分布列为： 5 4 3 4 2 则【点睛】本题考查几何概型及随 解析：3.5625【解析】 【分析】列出随机变量的分布列求解. 【详解】由题意知某人到达银行的概率为几何概型，所以： 其到达银行时服务窗口的个数为的分布列为：则()54342 3.56258161648E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查几何概型及随机变量的分布列.14．【解析】由题意可知2次检测结束的概率为3次检测结束的概率为则恰好检测四次停止的概率为解析：35【解析】由题意可知，2次检测结束的概率为22225110A p A ==，3次检测结束的概率为31123232335310A C C A p A +==， 则恰好检测四次停止的概率为231331110105p p p =--=--=. 15．【解析】设实数x ∈19经过第一次循环得到x=2x+1n=2经过第二循环得到x=2(2x+1)+1n=3经过第三次循环得到x=22(2x+1)+1+1n=4此时输出x 输出的值为8x+7令8x+7⩾55 解析：38【解析】 设实数x ∈[1,9]，经过第一次循环得到x =2x +1，n =2， 经过第二循环得到x =2(2x +1)+1，n =3，经过第三次循环得到x =2[2(2x +1)+1]+1，n =4此时输出x ， 输出的值为8x +7， 令8x +7⩾55，得x ⩾6，由几何概型得到输出的x 不小于55的概率为963918P -==-. 故答案为38. 16．1【解析】【分析】设这10个数为则这组数据的方差为：由此能求出这组数据的标准差【详解】现有10个数其平均数为3且这10个数的平方和是100设这10个数为则这组数据的方差为：这组数据的标准差故答案为1解析：1 【解析】 【分析】设这10个数为1x ，2x ，3x ，⋯，10x ，则12310310x x x x +++⋯+=，222212310100x x x x +++⋯+=，这组数据的方差为：()()22222222212310123101231011[()()())69101010S x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎤⎤⎡=-+-+-+⋯+-=+++⋯+-+++⋯++⨯ ⎥⎥⎢⎦⎣⎝⎦，由此能求出这组数据的标准差． 【详解】现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100， 设这10个数为1x ，2x ，3x ，⋯，10x ， 则12310310x x x x +++⋯+=，222212310100x x x x +++⋯+=，∴这组数据的方差为：()()22222222212310123101231011[()()())691011010S x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎤⎤⎡=-+-+-+⋯+-=+++⋯+-+++⋯++⨯= ⎥⎥⎢⎦⎣⎝⎦，∴这组数据的标准差1S =．故答案为1． 【点睛】本题考查一组数据的标准差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17．2【解析】【分析】分析程序中各变量各语句的作用再根据流程图所示的顺序可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值并输出【详解】该题考查的是有关程序框图的问题在解题的过程中注意对框图进行分析明确框图的作用解析：2 【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数2,224,251,5x x y x x x x⎧⎪≤⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎩的函数值，并输出.【详解】该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意对框图进行分析，明确框图的作用，根据题意，建立相应的等量关系式，求得结果.根据题意，可知该程序的作用是计算分段函数2,224,251,5x x y x x x x ⎧⎪≤⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎩的函数值，依题意得2224x x x ≤⎧⎨=-+⎩或252424x x x <≤⎧⎨-=-+⎩或5124x x x>⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得1x =-±x 的值有两个， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意分析框图的作用，之后建立相应的等量关系式，求得结果，从而得到满足条件的x 的个数.18．【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件输出令即可得结果【详解】第一次输入执行循环体执行循环体执行循环体输出的值为0解得：故答案为【点睛】本题主要考查程 解析：78【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件输出87x -，令870x -=即可得结果. 【详解】第一次输入x x =，1i =执行循环体，21x x =-，2i =，执行循环体，()221143x x x =--=-，3i =， 执行循环体，()243187x x x =--=-，43i =>，输出87x -的值为0，解得：78x =， 故答案为78． 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.19．8【解析】【分析】根据程序框图知该程序的功能是计算并输出变量的值模拟程序的运行过程即可求解【详解】当时满足循环条件当时满足循环条件当时满足循环条件；当时不满足循环条件跳出循环输出故填【点睛】本题主要解析：8 【解析】 【分析】根据程序框图知，该程序的功能是计算并输出变量s 的值，模拟程序的运行过程即可求解. 【详解】当2i =时，满足循环条件，2,4,2s i k ===， 当4i =时，满足循环条件，4,6,3s i k === ， 当6i =时，满足循环条件，8,8,4s i k ===； 当8i =时，不满足循环条件，跳出循环，输出8s =. 故填8. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.20．65【解析】设红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率为再设红球在红盒内的概率为黄球在黄盒内的概率为红球在红盒内且黄球在黄盒内的概率为则红球不在红盒且黄球不在黄盒由古典概型概率公式可得则即故答案为解析：65 【解析】设红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率为P ，再设红球在红盒内的概率为1P ，黄球在黄盒内的概率为2P ，红球在红盒内且黄球在黄盒内的概率为3P ，则()1231P P P P =-+-:P 红球不在红盒且黄球不在黄盒由古典概型概率公式可得，1234!3!,5!5!P P P ===，则()1234!3!131125!5!20P P P P ⎛⎫=-+-=-⨯-=⎪⎝⎭，即0.65P =，故答案为0.65. 三、解答题21．（1）265公斤 （2）0.7 【解析】 【分析】（1）用频率分布直方图的每一个矩形的面积乘以矩形的中点坐标求和即为平均值； （2）讨论日需求量与250公斤的关系，写出分段函数再利用频率分布直方图求概率即可. 【详解】 （1）500.00101001500.00201002500.00301003500.0025100x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 4500.0015100+⨯⨯ 265=故该种蔬果日需求量的平均数为265公斤.（2）当日需求量不低于250公斤时，利润()=2515250=2500y ⨯－元, 当日需求量低于250公斤时，利润()()=25152505=151250y x x x ---⨯-元 所以151250,0250,2500,250500.x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩由1750y ≥得，200500x ≤≤, 所以()1750P y ≥＝()200500P x ≤≤=0.0030100+0.0025100+0.0015100=0.7⨯⨯⨯ 故估计利润y 不小于1750元的概率为0.7 .【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，做此类题的关键是理解题意，属于中档题.22．（1）71510ˆyx =+（2）30 【解析】 【分析】（1）由表中数据计算平均数和回归系数，求出y 关于x 的线性回归方程；（2）利用回归方程令715361ˆ0yx =+≥，求出x 的范围即可． 【详解】（Ⅰ）由题意知，10,22,x y ==()()()()()222221101211223710212ˆ10b-⨯-+⨯+-⨯-+⨯-+⨯==++++则，72210151ˆ0a∴=-⨯=， ∴ y 关于x 的线性回归方程为71510ˆy x =+. （Ⅱ）令715361ˆ0yx =+≥，则30x ≥，即广告投入至少为30（万元）. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题． 23．（Ⅰ）310；（Ⅱ）710. 【解析】 【分析】列举出所有的基本事件,共有20个, （I ）从中查出第一次取到二等品,且第二次取到的是一等品的基本事件数共有6个,利用古典概型的概率公式可得结果；（II ）事件“至少有一次取到二等品”的对立事件是“取到的全是一等品”,“取到的全是一等品”包括了6个事件，“至少有一次取到二等品”取法有14种, 利用古典概型的概率公式可得结果. 【详解】（I ）令3只一等品灯泡分别为,,a b c ；2只二等品灯泡分别为,X Y . 从中取出2只灯泡，所有的取法有20种，分别为：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a X a Y b a b c b X b Y c a ，，(),c X ，(),c Y ，(),X a ，(),X b ，(),X c ，(),X Y ，(),Y a ，(),Y b ，(),Y c ，(),Y X第一次取到二等品，且第二次取到的是一等品取法有6种， 分别为()()()()()(),,,,,,,,,,,X a X b X c Y a Y b Y c ，故概率是632010=； （II ）事件“至少有一次取到二等品”的对立事件是“取到的全是一等品”， “取到的全是一等品”包括了6种分别为()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c b a b c c a c b ， 故“至少有一次取到二等品”取法有14种,事件“至少有一次取到二等品”的概率是1472010=.本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 ，(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.24．（1）0.025x=，平均数x 为52，中位数为53.75m =（2）①见解析②35【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图各个小矩形的面积之和为1可得x ，用区间中点值代替可计算均值，中位数把频率分布直方图中小矩形面积等分．（2）①分层抽样，是按比例抽取人数；②年龄在[30,40)有2人，在[40,50)有4人，设在[30,40)的是1a ，2a ，在[40,50)的是1234b , b , b , b ，可用列举法列举出选2人的所有可能，然后可计算出概率． 【详解】（1）由频率分布直方图各个小矩形的面积之和为1， 得0.025x=在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数为：250.05350.1450.2550.4650.452⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=设中位数为m ，由0.050.10.2(50)0.040.5m +++-⨯=，解得53.75m =.（2）①每组应各抽取人数如下表：②根据分层抽样的原理，年龄在有2人，在有4人，设在的是1a ，2a ，在[40,50)的是1234b , b , b , b ，列举选出2人的所有可能如下：()()()()()()()()()()()1211121314212223241213,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b ，()()()()14232434,,,,,,,b b b b b b b b 共15种情况.设“这2人至少有一人的年龄在区间[30,40)”为事件A ，则包含：()()()()()()()()()121112131422222324,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b a b a b a b 共9种情况则93()155P A ==本题考查频率分布直方图，考查样本数据特征、古典概型，属于基础题型． 25．乙生产的零件比甲的质量高 【解析】试题分析：分别利用平均值公式算出甲乙两人生产的零件的平均值，再利用方差公式算出甲乙两人生产的零件的方差，发现甲、乙平均数相同，乙的方差较小，∴乙生产的零件比甲的质量高．试题解析：甲的平均数()125.4425.4325.4125.3925.3825.415x =⨯++++=甲. 乙的平均数()125.4125.4225.4125.3925.4225.415x =⨯++++=乙. 甲的方差20.00052s =甲，乙的方差20.00012s =乙.∵甲、乙平均数相同，乙的方差较小，∴乙生产的零件比甲的质量高. 26．（1）400（2）710 （3）0.75【解析】 【分析】 【详解】（1）设该校总人数为n 人,由题意得,5010100300n =+， 所以n=2000．z=2000-100-300-150-450-600=400；（2）设所抽样本中有m 个女生,因为用分层抽样的方法在高一女生中抽取一个容量为5的样本，所以40010005m=， 解得m=2也就是抽取了2名女生，3名男生，分别记作S 1，S 2；B 1 ，B 2，B 3， 则从中任取2人的所有基本事件为（S 1, B 1），（S 1, B 2），（S 1, B 3），（S 2,B 1），（S 2,B 2）, （S 2,B 3），（S 1, S 2），（B 1,B 2），（B 2,B 3），（B 1,B 3）共10个， 其中至少有1名女生的基本事件有7个：（S 1, B 1），（S 1, B 2），（S 1, B 3），（S 2,B 1），（S 2,B 2），（S 2,B 3），（S 1, S 2）， 所以从中任取2人，至少有1名女生的概率为710． （3）样本的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=， 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的数为9．4, 8．6, 9．2, 8．7, 9．3, 9．0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的概率为．。
2022-2023学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期末模拟数学试题(解析版)
2022-2023学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期末模拟数学试题一、单选题1．已知复数12i z =+，212i z =-+，则112z z z -=（ ） A ．1 B．C ．2D【答案】B【分析】结合复数的运算法则和模长公式即可求解.【详解】∵()()()()122i 12i 2i 5i i 12i 12i 12i 5z z +--+-====--+-+--，∴1122i i zz z -=++= 故选：B2．设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()3,6,3c =-且a c ⊥，//b c ，则a b +=（ ） A．B．C ．4 D ．3【答案】D【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x 、y 的值，求出向量a b +的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为a c ⊥，则3630a c x ⋅=-+=，解得1x =，则()1,1,1a =， 因为//b c ，则136y=-，解得=2y -，即()1,2,1b =-，所以，()2,1,2a b +=-，因此，413a b +=+=. 故选：D.3．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10-C ．10D ．12【答案】B【详解】分析：首先设出等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式，得到公差d 所满足的等量关系式，从而求得结果3d =-，之后应用等差数列的通项公式求得51421210a a d =+=-=-，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为d ， 根据题中的条件可得32433(32)224222d d d ⨯⨯⨯+⋅=⨯++⨯+⋅， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d 和的关系，从而求得结果.4．如图，在三棱锥O ABC -中，设,,OA a OB b OC c ===，若,2AN NB BM MC ==，则MN =（ ）A ．112263a b c +-B ．112263a b c -+C ．111263a b c --D ．111263a b c ++【答案】A【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解. 【详解】解：MN BN BM =-1223BA BC =-， ()()1223OA OB OC OB =---， 112263OA OB OC =+-， 112263a b c =+-， 故选：A5．已知抛物线C ：28y x =，点P 为抛物线上任意一点，过点P 向圆D ：22430x y x +-+=作切线，切点分别为A ，B ，则四边形PADB 的面积的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C 3D 5【答案】C【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD ，则Rt 2PAD PADB S S PA ==四边形△，而21PA PD =-PD 最小时，四边形PADB 的面积最小，再抛物线的定义转化为点P 到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【详解】如图，连接PD ，圆D ：()2221x y -+=，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1， 则Rt 2PAD PADB S S PA ==四边形△． 又21PA PD =-，所以当四边形PADB 的面积最小时，PD 最小．过点P 向抛物线的准线2x =-作垂线，垂足为E ，则PD PE =， 当点P 与坐标原点重合时，PE 最小，此时2PE =． 故()()2min min13PADB S PD =-=四边形．故选：C6．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22420x y x +++=，则PAB 面积的取值范围是（ ） A ．[2,32] B ．[22,32] C ．[2,6] D ．[4,12]【答案】C【分析】由题意首先求得AB 的长度，然后确定圆上的点到直线AB 的距离'd ，最后确定三角形面积的取值范围.【详解】解：因为()()2,0,0,2A B ，所以22AB =. 圆的标准方程22(2)2x y ++=，圆心()2,0C -， 圆心C 到直线AB 的距离为2d =所以，点P 到直线AB 的距离d '的取值范围为：[2,32]，所以[]12,62PABSAB d '=∈. 故选:C.7．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>左焦点(),0F c -作倾斜角为π6的直线l ，与椭圆C 交于A 、B 两点，其中P 为线段AB 的中点，线段PF，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．12CD【答案】D【分析】设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y，利用点差法，化简可得020x a =，结合已知条件可得12P c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，将其代入上式化简可求得结果. 【详解】设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，由题意得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减，得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，因为P 为线段AB 的中点，且直线AB 的倾斜角为π6，所以020x a +=．因为(),0F c -，直线AB 的倾斜角为π6，PF =，易知点P在第二象限，则0π1cos )(62c x c =-=-，0πsin 6y ==，所以12P c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以22316203c c a b -+=，得223a b ，所以2223()a a c =-，即2223a c =，所以c e a =． 故选：D.8．已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点. 过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（ ）A．,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．⎛ ⎝⎭C．⎛ ⎝⎭D．⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为,,H I J ，利用双曲线定义及内心性质可得2M J x x ==，同理可得2N x =，设直线AB 的倾斜角为θ，由,A B 均在双曲线右支结合渐近线斜率可得π2π,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则通过()()πtan tan 22M c a N c E E a θθ-=----化简讨论范围即可.【详解】由题意，2,4a b c ===，()2,0E ，设1212,,AF AF F F 上的切点分别为,,H I J ，则1122,,AH AI F H F J F I F J ===， 由124AF AF -=得()()1212124J J AH F H AI F I F H F I F J F J c x c x +-+=-=-=+--=， ∴2J x =，即J 与E 重合，又MJ ⊥x 轴，故2M x =，同理可得2N x =. 设直线AB 的倾斜角为θ，∵,A B 均在双曲线右支，则tan baθ<-或[)tan ,0,πb a θθ>∈，即tan θ<或tan θ>π2π,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∵22π,22EF M EF N θθ-∠=∠=，则()()()()cos sin π2cos 22tan tan 22sin sin cos 22M c E NE c a c a c a a θθθθθθθθ⎛⎫ ⎪-=---=--=-⎪ ⎪⎭- ⎝， 当π2θ=时，0ME NE -=；当π2θ≠，()24430,tan tan 3ME NE c a θθ⎛⎫⎛⎫=-=∈⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭. 综上， ME NE -的取值范围是⎛ ⎝⎭.故选：B二、多选题9．某市新冠肺炎疫情工作取得阶段性成效，为加快推进各行各业复工复产，对当地进行连续11天调研，得到复工复产指数折线图（如图所示），下列说法错误．．的是（）A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加B．这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差C．第3天至第11天复工复产指数均超过80％D．第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量【答案】ABD【分析】特例法否定选项A；比较两指数极差判断选项B；读图判断选项CD.【详解】选项A：第8天比第7天的复工指数和复产指数均低.判断错误；选项B：这11天期间，两指数的最大值相近，但复工指数比复产指数的最小值低得多，所以复工指数的极差大于复产指数的极差. 判断错误；选项C：第3天至第11天复工复产指数均超过80％. 判断正确；选项D ：第9天至第11天复工指数的增量小于复产指数的增量.判断错误. 故选：ABD10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且214S a =，2a 是11a +与312a 的等差中项，数列{}nb 满足1nn n n a b S S +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（ ）A ．数列{}n a 的通项公式123n n a -=⨯B ．31n n s =-C ．数列{}n b 的通项公式为()()1233131nn nn b +⨯=--D ．n T 的取值范围是11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】ABD【分析】根据已知条件求出等比数列{}n a 的公比和首项，进而可以求得n a 和n S ；利用裂项相消法可得111133131n nn b +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭和n T ，讨论数列{}n T 的单调性，即可得出n T 的范围. 【详解】A ：由214S a =可得213a a =，所以等比数列{}n a 的公比3q =，所以113n n a a -=⨯.由2a 是11a +与312a 的等差中项，可得2131212a a a =++，即()2111123132a a a ⨯=++⨯，解得12a =，所以123n n a -=⨯，所以A 正确；B ：()()1121331113n nnn a q S q-⨯-===---，所以B 正确；C ：()()111123111331313131n n n n n n n n n a b S S -+++⨯⎛⎫===- ⎪⋅----⎝⎭，所以C 不正确；D ：12n n T b b b =++⋅⋅⋅+1223111111111111113313133131331313231n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列{}n T 是递增数列，得11110326n T T ⎛⎫≤<⨯-= ⎪⎝⎭，所以1186n T ≤<，所以D 正确.故选：ABD.11．已知圆22:4C x y +=，直线():34330l m x y m ++-+=，(R m ∈)．则下列四个命题正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点()3,3-B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1 C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上一个动点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】利用相交直线系方程和圆系方程可判断AD 的正误，根据圆心到直线的距离可判断B 的正误，根据两圆外切可判断C 的正误.【详解】直线():34330l m x y m ++-+=可化为：():34330l x y m x +-++=，由343030x y x +-=⎧⎨+=⎩可得33x y =-⎧⎨=⎩，故直线l 恒过定点()3,3-，故A 正确.当0m =时，直线:3430l x y +-=，圆心到该直线的距离为003355d +-==， 因为715R d -=>，故圆C 上有且仅有四个点到直线l 的距离都等于1，故B 错. 因为圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，故两圆外切， 故252CO ====+16m =，故C 正确.当13m =时，直线:490l x y ++=，设(),49P a a --， 则以OP 为直径的圆的方程为()()490x x a y y a -+++=， 而圆22:4C x y +=，故AB 的直线方程为()4940ax a y -+++=， 整理得到()4940a x y y -+++=，由4=0940x y y -+⎧⎨+=⎩可得16949x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：对于含参数的直线方程，可通过化简其方程，以便于求出定点坐标，而切点弦，则需要利用圆系来求其方程，过圆外一点及两个切点的圆的方程可由直径式方程得到.12．如图，过双曲线222:1(0)y C x b b-=>右支上一点P 作双曲线的切线l 分别交两渐近线于A 、B 两点，交x 轴于点D ，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A ．2min ||21AB b =+B ．OAP OBP S S =△△C ．AOB S b =△D ．若存在点P ，使121cos 4F PF ∠=，且122F D DF =，则双曲线C 的离心率2e = 【答案】BCD【分析】联立切线方程与渐近线方程，求出,A B 的坐标，即可得2202(1)1AB b x =+-0x 的取值范围即可得min ||2AB b =，从而可判断A ，由中点坐标公式可判断P 是,A B 的中点，由此可判断BC ，由余弦定理结合122F D DF =可判断D.【详解】先求双曲线2221y x b-=上一点00(,)P x y 的切线方程：不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.由2221y x b -=，得222y b x b -2222y b x b'=-则在00(,)P x y 的切线斜率22022200b x y y b x b '==-，所以在点00(,)P x y 处的切线方程为：20000()b x y y x x y -=- 又有220021y x b-=，化简即可得切线方程为： 0021y y x x b -=.不失一般性，设00(,)P x y 是双曲线在第一象限的一点， 11(,)A x y 是切线与渐近线在第一象限的交点， 22(,)B x y 是切线与渐近线在第四象限的交点,双曲线的渐近线方程是y bx ±=，联立：0021y y x x b y bx⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得：20000(,)b b A bx y bx y --， 联立：0021y y x x b y bx⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，解得：20000(,)b b B bx y bx y -++，则AB =又因为01x ≥，所以AB≥2b =，即min ||2AB b =，A 错误； 由220000000000,22b b b b bx y bx y bx y bx y x y -++-+-+==， 可知00(,)P x y 是,A B 的中点，所以OAP OBP S S =△△，B 正确； 易知点D 的坐标为01(,0)x ， 则221200000111()22AOBADOBDOb b SSSOD y y b x bx y bx y =+=⨯⨯-=⨯⨯+=-+， 当点00(,)P x y 在顶点(1,0)时，仍然满足AOB S b =△，C 正确； 因为1201(,0),(,0),(,0)F c F c D x -，所以101(,0)F D c x =+，201(,0)DF c x =-， 因为122F D DF =，则00112()c c x x +=-，解得03c x =，即03x c=， 代入220021y x b -=，得222029b y b c=-，所以222222212223999()6b b PF c b c b c c c c=++-=+++- 2222299(1)6(1)16c c c c c -=+++--=， 222222222223999()6b b PF c b c b c c c c=-+-=+-+- 2222299(1)6(1)4c c c c c-=+-+--=， 所以2222212121212164451cos 224244PF PF F F c c F PF PF PF +-+--∠====⨯⨯⨯⨯，所以24c =，2c =，所以离心率2ce a==，D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求得在双曲线上一点00(,)P x y 的切线方程，并联立渐近线方程，求得,A B 的坐标，判断出P 是AB 中点.三、填空题13．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 【答案】0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯= 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 14．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何”根据这一数学思想，所有被 3除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列{}n a ，所有被 5 除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列{}n b ，把数列{}n a 与{}n b 的公共项按从小到大的顺序排列组成数列{}n c ， 则数列{}n c 的第10项是数列{}n b 的第______项. 【答案】28【分析】根据给定的条件，求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式，再推导出数列{}n c 的通项即可计算作答.【详解】依题意，数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为31,53n n a n b n =-=-，令,,N k m a b k m *=∈，即有3153k m -=-，则522233m m k m -+==-，因此23,N m p p *+=∈，即32,N m p p *=-∈，有32p p c b -=，于是得数列{}n c 的通项为325(32)31513n n c b n n -==--=-，10137c =，由53137n -=得：28n =， 所以数列{}n c 的第10项是数列{}n b 的第28项. 故答案为：2815．如图1所示，拋物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A ，B 两点关于抛物线的对称轴对称，F 是抛物线的焦点，AFB ∠是馈源的方向角，记为θ，焦点F 到顶点的距离f 与口径d 的比值fd称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角2π3θ=，则其焦径比为______．【答案】34【分析】理解题意，根据抛物线有关知识求解【详解】设抛物线的方程为()220y px p =>，则2p f =． 设()00,A x y ，因为2π3θ=，所以00222p p AF x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以06p x =，所以033y p =，所以02323d y p ==，故其焦径比324233pf d p==． 故答案为：3416．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，11,2,2,60AB AD AA BAD ===∠=︒，点P 是半圆弧11A D 上的动点(不包括端点)，点Q 是半圆弧BC 上的动点(不包括端点)，若三棱锥P BCQ -的外接球表面积为S ，则S 的取值范围是__．【答案】2541π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】先由余弦定理求出BD AB BD ⊥，确定BC 的中点E 为三棱锥P BCQ -的外接球球心O 在平面BCQ 的投影，再证明出M 为AD 的中点，N 为11B C 的中点，即EN ⊥平面ABCD ，故球心在线段EN 上，从而确定当点P 与点N 重合时，三棱锥P BCQ -的外接球半径最小，点P 与1A 或1D 重合，此时PN 最长，故三棱锥P BCQ -的外接球半径最大，画出图形，求出相应的外接球半径和表面积，最后结合点P 是半圆弧11A D 上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，求出表面积的取值范围.【详解】因为1,2,60AB AD BAD ==∠=︒，由余弦定理得：BD = 因为222AB BD AD +=，由勾股定理逆定理得：AB BD ⊥， 直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面1AB =为平行四边形， 故BD ⊥CD ，点Q 是半圆弧BC 上的动点(不包括端点)，故BC 为直径，取BC 的中点E ，则E 为三棱锥P BCQ -的外接球球心O 在平面BCQ 的投影， 设BC 与AD 相交于点M ，11A D 与11B C 相交于点N ，连接EM ，ED ， 则EM =ED因为60BCD ∠=︒，故30CBD ∠=︒，260DEM DBC ∠=∠=︒， 故三角形DEM 为等边三角形，1122DM DE BC AD ===， 即M 为AD 的中点，同理可得：N 为11B C 的中点， 连接EN ，则EN ⊥平面ABCD ，故球心在线段EN 上，显然，当点P 与点N 重合时，三棱锥P BCQ -的外接球半径最小，假如点P 与1A 或1D 重合，此时PN 最长，故三棱锥P BCQ -的外接球半径最大， 如图1，点P 与点N 重合，连接OC ，设ON R =，则OE =2-R ，OC R =， 由勾股定理得：222OE EC OC +=，即()2221R R -+=，解得：54R =，此时外接球表面积为2254ππ4R =； 如图2，当点P 与1A 或1D 重合时，连接11,,A O A N OC ， 其中2211112A N A B B N =+=， 设OE h =，则2ON h =-，由勾股定理得：()2221122AO A N ON h =+=+-，2221OC OE EC h =+=+， 故()22221h h +-=+，解得：54h =， 此时外接球半径为25411164OC =+=，故外接球表面积为41414ππ164⨯=，但因为点P 是半圆弧11A D 上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，综上：S 的取值范围是2541π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：2541π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用正弦定理或几何性质找到其外心，求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，根据半径相等列出方程，求出半径，再求解外接球表面积或体积.四、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,n n a a S +==．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足24n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩；(2)1414939n n n T +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭．【分析】（1）利用()12n n n S S a n --=≥求解即，注意验证1n =时是否符合； （2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）因为1n n a S +=，所以当2n ≥时，1nn a S -=，由此可得()11n n n n n a a S S a +--=-=，所以12n n a a +=，其中121a S ==，所以当2n ≥时，22222n n n a a --=⋅=，11a =不符合上式，所以21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩. （2）由（1）得2224424n n n n b n a n n -=⋅=⋅=⋅， 1231142434(1)44n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，221141424(2)4(1)44n n n n T n n n -+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+⋅，可得()21114144134444441433nn n n n n T n n n +++⨯-⎛⎫-=+++-⋅=-⋅=-+-⋅ ⎪-⎝⎭，所以1414939n n n T +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭． 18．某校在2021年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，并将成绩共分成五组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到的频率分布直方图如图所示．且同时规定成绩小于85分的学生为“良好”，成绩在85分及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入复试．(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；(2)如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人发言，那么这两人中至少有一人是“优秀”的概率是多少？如果第三、四、五组的人数成等差数列，规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前18%的学生可直接进入复试，根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能直接进入复试？ 【答案】(1)82.5 (2)910；初试时笔试成绩至少得到93分才能直接进入复试【分析】（1）根据最高小长方形底边中点对应的横坐标为众数，即可得到答案；（2）先计算出5人中“良好”的学生和“优秀”的学生的人数，再古典概型的公式即可求解；由第三、四、五组的人数成等差数列和“优秀”学生的频率为0.6，列方程组求出,m n ，接着判断出初试时笔试成绩得分从高到低排名在18%的学生分数在第四组，设为至少x 分能进入面试，由此可得(95)0.040.0250.18x -⨯+⨯=，即可求解.【详解】（1）根据样本频率分布直方图估计样本的众数为1(8085)82.52+=；（2）“良好”的学生频率为(0.010.07)50.4+⨯=，“优秀”学生频率为10.40.6-=； 由分层抽样可得“良好”的学生有50.42⨯=人，“优秀”的学生有3人， 将三名优秀学生分别记为A ，B ，C ，两名良好的学生分别记为a ，b ，则这5人中选2人的基本事件有：,,,,,,,,,AB AC BC Aa Ab Ba Bb Ca Cb ab 共10种， 其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：,,,,,,,,AB AC BC Aa Ab Ba Bb Ca Cb 共9种， 所以至少有一人是“优秀”的概率是910P =由第三、四、五组的人数成等差数列得(0.02)54025400.022n m n m +⨯⨯=⨯⨯⇒+=，①又三，四，五组的频率和为(0.02)50.6n m ++⨯=，② 由①②可得0.04,0.06m n ==第五组人数频率为0.0250.110%⨯==，第四、五组人数的频率为(0.020.04)50.330%+⨯==，故初试时笔试成绩得分从高到低排名在18%的学生分数在第四组，设至少得x 分能进入面试，则(95)0.040.0250.1893x x -⨯+⨯=⇒=，即根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到93分才能直接进入复试． 19．已知抛物线2:2C y px =的焦点为()0,2,F P y 是抛物线C 上一点，且4PF =.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)直线():20l y x m m =+≠与抛物线C 交于,M N 两点，若以MN 为直径的圆过原点O ，求直线l 的方程.【答案】(1)28y x =； (2)216=-y x .【分析】（1）根据抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离相等，转化焦半径，可得p ，从而求出抛物线方程；（2）直线与抛物线相交，采用标准计算步骤设而不求的思想可解得. 【详解】（1）抛物线2:2C y px =的准线为2p x =-，所以242pPF =+=， 解得4p =，所以抛物线C 的标准方程为28y x =.（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立28y x =与2y x m =+，消去x 得2440,Δ16160y y m m -+==->，即1m <；由韦达定理有：12124,4y y y y m +==，因为以MN 为直径的圆过原点O ，所以12120OM ON x x y y ⋅=+=， 即1212022y m y m y y --⋅+=，化简可得：()2121250444m m y y y y -++=， 代入韦达定理得：()25440444m m m ⨯-⨯+=，解得16m =-或0m =（舍去）， 所以直线l 的方程为216=-y x .20．如图，⊥AE 平面ABCD ，//BF 平面ADE ，//CF AE ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==.（Ⅰ）求证：//AD BC ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）49.【分析】（Ⅰ）由//CF AE ，可得//CF 平面ADE ，从而有平面//BCF 平面ADE ，结合，面面平行的性质可得//AD BC ；（Ⅱ）依题意，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系，可得(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,2,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,2)E ，利用法向量即可求出答案． 【详解】（Ⅰ）证：依题意//CF AE ，CF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ， ∴//CF 平面ADE ，又//BF 平面ADE ，BF CF F ⋂=，∴平面//BCF 平面ADE ， ∴平面BCF ⋂平面ABCD AD =，平面ADE 平面ABCD BC =， ∴//AD BC ；（Ⅱ）解：依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,2,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,2)E ， (1,1,0)BD =-，(1,0,2)BE =-，(1,2,2)CE =--，设(,,)n x y z =为平面BDE 的法向量，则00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令1z =，可得(2,2,1)n =，因此有4cos ,9||CE n CE n CE n ⋅〈〉==-‖，∴直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49．【点睛】本题主要考查线线平行的证明，考查向量法求线面角，属于中档题．21．过双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 1的动直线l 与Γ的左支交于A ，B 两点，设Γ的右焦点为F 2.(1)若2ABF △是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程； (2)若存在直线l ，使得22AF BF ⊥，求Γ的离心率的取值范围. 【答案】(1)2212y x -=； (2)(5,12⎤+⎦.【分析】（1）结合图像，分别求得122,4AF AF ==，1223F F =，从而求得,,a b c ，由此双曲线Γ的标准方程可求；（2）联立方程，由韦达定理得12y y +与12y y ，再由22AF BF ⊥推得221212()2(140)y y m m y y c ++-=+，由此得到关于,,a b c 的一个齐次方程，可求得离心率e 的范围，再由y 1y 2<0，得到关于,,a b c 的另一个齐次方程，缩小离心率e 的范围，从而得到Γ的离心率的取值范围.【详解】（1）依题意，结合双曲线的对称性得122,4AF AF ==，1223F F =， 所以2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝2，a ＝1，12223==c F F ，3c =，b 2＝c 2－a 2＝2， 此时Γ的标准方程为2212y x -=.（2）依题意知直线l 的斜率不为0，设l 的方程为x ＝my －c ，联立22221x my c x y a b=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x ，得22222420()b m a y b cmy b --+=，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则2122222b cm y y b m a +=-，412222b y y b m a =-，由AF 2⊥BF 2得220AF BF =⋅，故(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0，即(my 1－2c )(my 2－2c )＋y 1y 2＝0，整理得()()2212121240m y y cm y y c +-++=，即(m 2＋1)b 4－4m 2c 2b 2＋4c 2(b 2m 2－a 2)＝0，则(m 2＋1)b 4＝4a 2c 2，所以2224411a c m b+=≥，故4a 2c 2≥(c 2－a 2)2，所以c 4＋a 4－6a 2c 2≤0，两边除以4a ，得e 4－6e 2＋1≤0，解得233e -≤≤＋又因为e >1，所以(2211e ≤≤+，故11e ≤≤又A ，B 在左支且l 过F 1，所以y 1y 2<0，即42220b b m a <-，故222a m b <，所以222242411a c a m b b+=<+，所以()22224222224a c a b b b a b b c <+=+=，即4a 2<b 2＝c 2－a 2，则225a c <，故e 2>5，即e >1e ≤e ∈.22．已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为k 的直线l 与椭圆Γ有两个不同的交点A ，B (1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l 的方程为：y x t =+，椭圆上点31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线l 的对称点N （与M 不重合）在椭圆Γ上，求t 的值；(3)设()2,0P -，直线PA 与椭圆Γ的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆Γ的另一个交点为D ，若点C ，D 和点71,42Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭三点共线，求k 的值；【答案】(1)2213x y +=(2)12(3)2【分析】（1）利用题给条件求得a b 、的值，即可求得椭圆Γ的方程；（2）先求得点M 关于直线l 的对称点N 的坐标，并代入椭圆Γ的方程，即可求得t 的值； （3）先利用设而不求的方法求得点C ，D 的坐标，再利用向量表示点C ，D 和点Q 三点共线，进而求得k 的值【详解】（1）椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为则a =cac =1b =则椭圆Γ的方程为2213x y +=； （2）设椭圆上点31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线l 的对称点(,)N s n 则132********n s t n s ⎧+-⎪=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎪+⎩，解之得1232s t n t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，则13(,)22N t t --+ 由N 在椭圆Γ上，可得22112233t t ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎭+=⎝， 整理得22520t t -+=，解之得12t =或2t = 当2t =时31,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭与点M 重合，舍去.则12t = （3）设11223344(,)(,)(,)(,)A x y B x y C x y D x y ，，，，则222211223333x y x y +=+=， 又()2,0P -，则1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+ 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222111(13)121230k x k x k +++-= 则2113211213k x x k +=-+，则2131211213k x x k =--+ 又1112y k x =+，则211131211112271247132y x x x x x y x ⎛⎫ ⎪+--⎝⎭=--=+⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， 则13147y y x =+，则11117124747x y C x x ⎛⎫--⎪++⎝⎭, 令则2222PB y k k x ==+，直线PB 的方程为2(2)y k x =+ 由222(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222222(13)121230k x k x k +++-= 则2224221213k x x k +=-+，则2242221213k x x k =--+又2222y k x =+，则222242222212271247132y x x x x x y x ⎛⎫ ⎪+--⎝⎭=--=+⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， 则24247y y x =+，则22227124747x y D x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭, 则()11111117127111,,474472447472x y y QC x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ()22222227127111,,474472447472x y y QD x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭由点C ，D 和点71,42Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭三点共线，可得//QC QD 则()()21122111110447472447472y y x x x x ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭整理得21212()y y x x -=-，则21212y y k x x -==- 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
2023-2024学年广东省珠海市斗门区高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年广东省珠海市斗门区高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．从某社区65户高收入家庭，280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出90户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是（）A ．系统抽样B ．分层抽样C ．简单随机抽样D ．各种方法均可【正确答案】B【分析】根据分层抽样的概念判断即可；【详解】解：因为社会购买力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以应采用分层抽样法，故选：B.2．已知椭圆的长轴长为10，离心率为35，则椭圆的短轴长为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【正确答案】D【分析】根据已知求出,a c ，再求出b 即得解.【详解】由题意，得210a =，35c a =，所以5,3a c ==，所以4b ==，所以椭圆的短轴长为8.故选：D.3．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（）.A ．至多有1次中靶B ．2次都中靶C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶【正确答案】C【分析】根据对立事件的概念可得结果.【详解】根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”.故选：C.4．圆()()22341x y -+-=上一点到原点的距离的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【正确答案】C求得圆()()22341x y -+-=的圆心和半径，由此求得圆上一点到原点的距离的最大值.【详解】圆()()22341x y -+-=的圆心为()3,4，半径为1，5=，所以圆上一点到原点的距离的最大值为516+=.故选：C本小题主要考查点和圆的位置关系，属于基础题.5．已知双曲线221y xm+=的渐近线方程为y =，则=m （）A ．5B ．5-C ．15-D ．25-【正确答案】B【分析】根据双曲线方程的特点确定m 为负，再求出双曲线渐近线方程作答.【详解】在双曲线22=1y x m--中，0m <，其实半轴长=1a ，虚半轴长b =因双曲线221y x m+=的渐近线方程为y ==5m =-，所以5m =-.故选：B6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12345a a a a a ++=+，560S =，则5a =（）A ．16B ．20C ．24D ．26【正确答案】A【分析】利用等差数列通项和求和公式化简已知等式可求得1,a d ，由514a a d =+可得结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，12345a a a a a ++=+ ，113327a d a d ∴+=+，解得：14a d =，5154530602S a d d ⨯∴=+==，解得：2d =，18a ∴=，51416a a d ∴=+=.故选：A.7．若直线10ax by +-=与圆22:1C x y +=相离，则过点(),P a b 的直线与圆C 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定【正确答案】C【分析】根据题意，求出圆心(0,0)到直线10ax by +-=的距离大于半径，得到221a b +<，故点(),P a b 在圆内，进而判断结果.【详解】因为直线10ax by +-=与圆22:1C x y +=相离，所以圆心(0,0)到直线10ax by +-=的距离大于半径，1>，所以221a b +<，故点(),P a b 在圆内，所以过点(),P a b 的直线与圆C 相交，故选：C.8．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，14AB AD AA ===，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠==︒，则异面直线1AC 与1BC 所成角的余弦值是（）A B ．23C ．6D ．13【正确答案】C【分析】构建基向量AB，AD ，1AA 表示11,AC BC ，并根据向量的夹角公式求其夹角的余弦值即可.【详解】如下图，构建基向量AB，AD ，1AA .则11AC A A AB AD =++ ，111BC AD AD AA ==+所以1A C ====4=1BC===4=1111()()AC BC A A AB AD AD AA⋅=++⋅+11111A A AD A A AA AB AD AB AA AD AD AD AA=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅44cos12044044cos604444cos608=⨯⨯︒-⨯++⨯⨯︒+⨯+⨯⨯︒=所以111111cos,6AC BCAC BCAC BC⋅<>==⋅.故选：C.二、多选题9．（多选）对于抛物线上218x y=，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为()0,2B．开口向上，焦点为10,16⎛⎫⎪⎝⎭C．焦点到准线的距离为4D．准线方程为4y=-【正确答案】AC【分析】写出标准形式即28x y=，即可得到相关结论【详解】由抛物线218x y=，即28x y=，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为()0,2，焦点到准线的距离为4，准线方程为=2y-．故选：AC10．已知v 为直线l的方向向量,12,n n分别为平面α,β的法向量（α,β不重合）,那么下列说法中正确的有（）．A．12n nαβ⇔∥∥B．12n nαβ⊥⇔⊥C．1v n l⇔α∥∥D．1v n l⊥⇔⊥α【正确答案】AB【分析】根据法线面垂直平行的性质及法向量、方向向量的概念即可选出选项.【详解】解:若12n n∥,因为α,β不重合,所以αβ∥,若αβ∥,则12,n n共线,即12n n∥,故选项A正确;若12n n ⊥,则平面α与平面β所成角为直角,故αβ⊥,若αβ⊥,则有12n n ⊥,故选项B 正确;若1v n∥,则l α⊥,故选项C 错误;若1v n ⊥,则l α∥或l ⊂α,故选项D 错误.故选:AB11．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标分别为()3,4A --，()6,3B ，交通枢纽()0,1C -，计划经过C 修建一条马路l （l 看成一条直线，l 的斜率为k ），则下列说法正确的是（）A ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则79k =或13B ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则97k =或32C ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为2,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为()2,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 【正确答案】AD【分析】结合图象，由两点斜率公式求对满足条件的直线的斜率.【详解】若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，当l 与直线AB 平行时，则437369k --==--.当直线AB 与l 相交时，则直线过AB 的中点，又AB 的中点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以11123302k -+==-，故79k =或13.若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则1413AC k -+==，31263BC k +==，故k 的取值范围为()2,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，故AD.12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列说法正确的是（）A ．若221n S n n =+-，则21n a n =+B ．若323n a n =-，则n S 的最小值为77-C ．若43n a n =-，则数列{}(1)nn a -的前17项和为33-D ．若数列{}n a 为等差数列，且10111012100010240,0a a a a +<+>，则当0n S <时，n 的最大值为2023【正确答案】BC【分析】令1n =时，由,n n S a 求出1a 可判断A ；由323n a n =-知，780,0a a <>，当7n =时，n S 取得的最小值可判断B ；若43n a n =-，求出数列(){}1nn a -的前17项和可判断C ；由数列的下标和性质可得101110121202210001024120230,0a a a a a a a a +=+<+=+>，则202220230,0S S <>可判断D.【详解】对于A ，由221n S n n =+-，当1n =时，112a S ==，由21n a n =+，当1n =时，1=3a ，所以，A 不正确；对于B ，若323n a n =-，当1n =时，120a =-，则780,0a a <>，所以当7n =时，n S 取得的最小值为()17777(202)7722a a S +--===-，所以，B 正确；对于C ，若43n a n =-，设数列(){}1nn a -的前n 项和为n T ，所以1712341617T a a a a a a =-+-+++- ()()159136165=-++-+++- 486533=⨯-=-，故C 正确；对于D ，数列{}n a 为等差数列，且10111012100010240,0a a a a +<+>，则101110121202210001024120230,0a a a a a a a a +=+<+=+>，所以()()120221202320222023202220230,022a a a a S S ++=<=>，当0n S <时，n 的最大值为2022，所以D 不正确.故选：BC.三、填空题13．已知等差数列{}n a 中，34a =，710a =，则数列{}n a 的前9项和9S =____________．【正确答案】63【分析】根据给定条件，利用等差数列前n 项和公式及等差数列性质计算作答.【详解】等差数列{}n a 中，34a =，710a =，所以193799()9()6322a a a a S ++===.故6314．过点()4,3作圆22(2)1x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为__________.【正确答案】2350x y +-=【分析】先求得切线长，然后结合圆与圆的位置关系求得正确答案.【详解】圆22(2)1x y -+=的圆心为()2,0C ，半径1r =，设()4,3D ，CD ===以D 为圆心，半径为()()224312x y -+-=，即2286130x y x y +--+=①，圆22(2)1x y -+=即22430x y x +-+=②，由①-②得直线AB 的方程为46100x y --+=，即2350x y +-=.故2350x y +-=15．将一张坐标纸折叠一次，使点()3,2与点()1,4重合，则折痕所在直线的一般式方程为___________.【正确答案】10x y -+=【分析】利用折痕所在直线与两点连线垂直可得所求直线斜率，利用中点在折痕所在直线上可得所求直线方程.【详解】 点()3,2与点()1,4连线斜率24131k -==--，∴折痕所在直线斜率1k '=，又点()3,2与点()1,4的中点为()2,3，∴折痕所在直线方程为：32y x -=-，即10x y -+=.故答案为.10x y -+=16．椭圆2212516x y +=的左、右焦点为F 1､F 2，点P 在椭圆上，若Rt F 1PF 2，则点P 到x 轴的距离为_____.【正确答案】165或163点(,)P x y ，易得点P 到x 轴的距离为||y ，然后分1290PF F ∠=︒或2190PF F ∠=︒，1290F PF ∠=︒，三种情况结合椭圆的定义求解.【详解】设点(,)P x y ，则到x 轴的距离为||y ，因为5a =，4b =，3c ∴=，当1290PF F ∠=︒或2190PF F ∠=︒时，则3x =±，得2y =291616(1)2525-=，16||5y ∴=，即P 到x 轴的距离为165．当1290F PF ∠=︒时，则122221210||6PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，22121||||(106)322PF PF ∴=-=，121211||||||||22PF PF F F y =，6|1|3y ∴=，由（1）（2）知：P 到x 轴的距离为165或163，故165或163．四、解答题17．求经过点(A -和点(1,B 的椭圆的标准方程.【正确答案】221155y x +=.【分析】根据给定条件，设出椭圆的方程，利用待定系数法计算作答.【详解】设椭圆的方程为：221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，因该椭圆经过点(A -和(1,B ，于是得431121m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得11,515m n ==，即有221515x y +=，所以椭圆的标准方程为.221155y x +=18．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解.某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛.现把50名党员的成绩绘制了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题：(1)求a 的值及这50名党员成绩的众数；(2)试估计此样本数据的第90百分位数.【正确答案】(1)0.020a =，众数为75(2)93.75【分析】（1）利用频率和为1列方程即可求得a 的值；利用频率分布直方图的性质即可求得这50名党员成绩的众数；（2）依据利用频率分布直方图的性质即可求得此样本数据的第90百分位数.【详解】（1）根据频率分布直方图得：()0.0040.0060.0300.0240.016101a +++++⨯=，解得0.020a =.由众数概念可知，众数是出现次数最多的数，所以众数为7080752+=.（2）前5个小组的频率之和是()0.0040.0060.0200.0300.024100.84++++⨯=，所以第90百分位数在第六小组[]90,100内，设其为x ，则()0.84900.0160.90x +-⨯=，解得93.75x =，则可以估计此样本数据的第90百分位数为93.75.19．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，60a =，376a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若0n S <，求n 的最小值.【正确答案】(1)318n a n =-+(2)12【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量列出方程，求出公差，进而求出通项公式；（2）在第一问的基础上，求出n S ，得到不等式，求出11n >，结合*n ∈N ，得到n 的最小值.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为60a =，所以()()3766326a a a d a d d +=-++=-=.解得3d =-.所以()66318n a a n d n =+-=-+.（2）131815a =-+=，所以()215318333222n n n S n n +-+⋅⎡⎤⎣⎦==-+.令0n S <，得2333022n n -+<，解得：11n >（0n <舍去）.因为*n ∈N ，所以n 的最小值是12.20．已知直线l ：(a +1)x +y +2-a =0(a ∈R )．（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）当O (0，0)点到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．【正确答案】（1）x +y +2=0或3x +y =0；（2）x -3y -10=0．【分析】（1）求得横截距和纵截距，由此列方程求得a 的值，从而求得直线l 的方程.（2）求得直线l 所过定点，根据OA l ⊥求得直线l 的斜率，由此求得直线l 的方程.【详解】（1）依题意得，a +1≠0．令x =0，得y =a -2；令y =0，得x =-21a a +．∵直线l 在两坐标轴上的截距相等，∴a -2=-21a a +，化简，得a (a -2)=0，解得a =0或a =2．因此，直线l 的方程为x +y +2=0或3x +y =0．（2）直线l 的方程可化为a (x -1)+x +y +2=0．令-1=020x x y ⎧⎨++=⎩，，解得13x y =⎧⎨=-⎩，．因此直线l 过定点A (1，-3)．由题意得，OA ⊥l 时，O 点到直线l 的距离最大．因此，kl =1OA k -=13，∴直线l 的方程为y +3=13(x -1)，即x -3y -10=0．21．如图1，在ABC 中，90C ∠=︒，BC =，3AC =，E 是AB 的中点，D 在AC 上，DE AB ⊥.沿着DE 将ADE V 折起，得到几何体A BCDE -，如图2(1)证明：平面ABE ⊥平面BCDE ；(2)若二面角A DE B --的大小为60︒，求直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值.【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据图1可知折叠后DE AE ⊥，DE BE ⊥，由此可证DE ⊥平面ABE ，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）由题可知AEB ∠是二面角A DE B --的平面角，易证ABE 是等边三角形，连接CE ，根据图1中的几何关系和面面垂直的性质定理可证AO ⊥平面BCDE ，再以O 为原点，OB ，OC ，OA为x ，y ，z 轴建系，利用空间向量法即可求出线AD 与平面ABC 所成角.【详解】（1）证明：因为在图1中DE AB ⊥，沿着DE 将ADE V 折起，所以在图2中有DE AE ⊥，DE BE ⊥，又AE BE E =I ，所以DE ⊥平面ABE ，又因为DE ⊂平面BCDE ，所以平面ABE ⊥平面BCDE ；（2）解：由（1）知，DE AE ⊥，DE BE ⊥，所以AEB ∠是二面角A DE B --的平面角，所以60AEB ∠=︒，又因为AE BE =，所以ABE 是等边三角形，连接CE ，在图1中，因为90C ∠=︒，BC =，3AC =所以60EBC ∠=︒，AB =因为E 是AB 的中点，所以BE BC =所以BCE 是等边三角形.取BE 的中点O ，连接AO ，CO ，则AO BE ⊥，CO BE ⊥，因为平面ABE ⊥平面BCDE ，平面ABE ⋂平面BCDE BE =，所以AO ⊥平面BCDE ，所以OB ，OC ，OA 两两垂直，以O 为原点，OB ，OC ，OA 为x ，y ，z 轴建系，如图所示.30,0,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，30,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以3,0,22AB ⎫=-⎪⎪⎝⎭ ，330,,22AC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3,1,22AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面ABC 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即30,2330.22z y z -=⎨⎪-=⎪⎩取1z =，得平面ABC的一个法向量为)n = ，所以31112cos,5n ADAD nn AD⎛⎛⎫⨯⨯+-⨯⎪⋅==-.设直线AD与平面ABC所成角为θ，则sin5θ=.22．在平面直角坐标系xOy中，圆1O：()2221x y++=，圆2O：()2221x y-+=，点()1,0H，一动圆M与圆1O内切、与圆2O外切.(1)求动圆圆心M的轨迹方程E；(2)是否存在一条过定点的动直线l，与E交于A、B两点，并且满足HA HB⊥？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)()22113yx x-=≤-(2)存在，过定点()2,0-【分析】（1）由题意得212MO MO-=，则动圆圆心M的轨迹是以12,O O为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，可得21,2,413a c b===-=，即可得出结果；（2）设直线l为x my n=+，代入2213yx-=，并整理得()222316330m y mny n+-+-=，设()()1122,,,A x yB x y，由题知0HA HB⋅=，即()12121210x x x x y y-+++=，结合韦达定理求得n，代入直线方程即可得出答案.【详解】（1）由圆1O方程知：圆心1(2,0)O-，半径1r1=；由圆2O方程知：圆心2(2,0)O，半径21r=，设动圆M的半径为r，动圆M与圆1O内切，与圆2O外切，121,1MO r MO r∴=-=+，212MO MO ∴-=，且2124O O <=，∴动圆圆心M 的轨迹是以12,O O 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，21,2,413a c b ∴===-=，∴动圆圆心M 的轨迹方程E 为.()22113y x x -=≤-（2）设直线l 为x my n =+，把x my n =+代入2213y x -=，并整理得()222316330m y mny n +-+-=，2222364(31)(33)0m n m n ∆=--->，即22310m n +->，设()()1122,,,A x y B x y ，则212122233,31316n y y y m y m m n --+==--，()()()2212121212x x my n my n m y y mn y y n =++=+++2222222233*********n mn m n m mn n m m m ----=⨯+⨯+=>---，所以2310m -<()()()1212122my my n =++++++=2262203131mn n m n m m --=⨯+=<--，所以0n <，HA HB ⊥ ，0HA HB ∴⋅= ，()()1212110x x y y ∴--+=，()12121201x x x x y y ∴-++=+，222222331013231331n m m m m n n -∴--+---+-=-，即220n n +-=，解得2n =-或1n =，当1n =时，直线l 为1x my =+，过()1,0H ，不合题意，舍去；当2n =-时，直线l 为2x my =-，过定点()2,0-.方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
陕西省西北工业大学附属中学2025届高二数学第一学期期末考试模拟试题含解析
（1）求异面直线 BC1 与 AD 所成角的余弦值；
（2）在棱
DC1
上是否存在点
P，使平面
PEB
与平面
C1EB
的夹角为
4
？若存在，则求三棱锥
C1
PBE
的体积，若
不存在，则说明理由
20．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA 底面 ABCD ，AB ∥ DC ，DA AB ，AB AP 2 ，DA DC 1 ，
∵ gx f x xf x，
∴当 x 0 时， g x 0 ， g x 单调递减，
∵g(x)是奇函数，g(0)＝0，∴g(x)在 R 上单调递减，
由不等式 1 x f x 1 2xf 2x 0得，
2xf 2x x 1 f x 1 g 2x g x 1 2x x 1 x 1.
A.1
B.2
C.3
D.4
12．已知椭圆 C：
x2 a2
y2 b2
1（ a
b
0 ）的长轴的长为
4，焦距为
2，则
C 的方程为（）
A x2 y2 1 16 15
B. x2 y2 1 16 12
C. x2 y2 1 42
D. x2 y2 1 43
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
A.①②③
B.②④
C.③④
D.②③④
2．设 a 为实数，则曲线 C
： x2
y2 1 a2
1不可能是（
）
A.抛物线 C.圆
B.双曲线 D.椭圆
3．已知 x＞0、y＞0，且 2 1 1，若 2x y m2 8m 恒成立，则实数 m 的取值范围为（） xy
A.( 1,9) C.[ 9,1]
2023-2024学年山东省菏泽市鄄城县高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年山东省菏泽市鄄城县高二上册期末数学模拟试题一、单选题140y +-=的倾斜角为（）A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π6【正确答案】B【分析】根据直线的斜率与倾斜角关系求解即可.40y +-=的倾斜角为θ，则tan k θ==又[)0,πθ∈，所以2π3θ=.故选：B.2．已知数列{}n a 满足*1112,,N 3n n n a a a n a +-==∈+，则4a =（）A ．15B ．14-C ．511-D ．47-【正确答案】C【分析】根据递推关系即可逐一代入求值.【详解】312234123111115,,3534311a a a a a a a a a ---====-==-+++.故选:C3．已知函数()sin cos f x x x x =+，则()f x '=（）A ．cos x xB ．cos x x -C ．2sin cos x x x +D ．sin x x【正确答案】A【分析】根据导数运算法则直接求解即可.【详解】()()()sin sin cos sin cos sin cos f x x x x x x x x x x x x ''''=++=+-=.故选：A.4．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，P 为1AD 与1A D 的交点，若1,,DA a DC b DD c ===，则CP = （）A ．1122a b c++ B ．1122a b c--C ．1122a b c-+ D ．1122a b c-+- 【正确答案】C【分析】根据空间向量的加法，减法，数乘向量运算的定义求解即可.【详解】()111111*********CP CD DP DC DA DC DA DD DA DC DD a b c =+=-+=-++=-+=-+.故选：C.5．已知函数()21ln 62f x a x x x =-+在定义域内单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．[)9,-+∞B ．()9,-+∞C ．(),9-∞-D ．(],9-∞-【正确答案】D【分析】根据单调性可知()0f x '≤在()0,∞+上恒成立，分离变量可得26a x x ≤-，根据二次函数性质可求得26x x -的最小值，由此可得a 的取值范围.【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()6af x x x'=-+，又()f x 在定义域内单调递减，()60af x x x'∴=-+≤在()0,∞+上恒成立，即26a x x ≤-在()0,∞+上恒成立；()22min63639x x-=-⨯=- ，9a ∴≤-，即实数a 的取值范围为(],9-∞-.故选：D.6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点P 是椭圆C 上一点，且PF OF ⊥（O 为坐标原点），以P 为圆心，PF 为半径的圆与y 轴相交于,A B 两点，若2π3APB ∠=，则C 的离心率为（）A1B 1C ．3D ．2【正确答案】A【分析】根据已知条件作出图形，利用点在曲线上及垂径定理，结合锐角三角函数及构造齐次式方程法解决椭圆的离心率即可.【详解】由题可知，(),0F c ，过P 作PQ y ⊥轴，垂足为Q ，如图所示因为点P 是椭圆C 上一点，且PF OF ⊥，设(),P c y ，则所以22221c y a b +=，即2422221c b y b a a⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得2b y a =±，不妨设点P 在第一象限，所以2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即圆P 的半径2b r PF a ==，因为圆心在弦的垂直平分线上，所以Q 为AB 的中点，即,,AQ BQ PQ PQ PA PB ===,所以APQ BPQ ≅ ,又因为2π3APB ∠=，所以π312APQ BPQ APB ∠=∠=∠=，在Rt APQ △中，2b AP PF a==，PQ OF c ==，所以π1cos 32PQ PA PF =⋅=,即2PQ PF =，所以22b c a=，即222c ac a +-=0，即2210e e +-=，解得1e =-或1e =-.因为01e <<，所以1e =.1，故选：A.7．已知数列{}n a 满足11a =，1113n n a a +=+，设数列{}1n n a a +的前n 项和为n T ，若()33101k T k *>∈N ，则k 的最小值是（）A ．16B ．17C ．18D ．19【正确答案】B【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到n a ，由此可得1n n a a +，利用裂项相消法可求得n T ，由33101k T >可构造不等式求得k 的范围，进而得到最小值.【详解】1113n n a a +=+，111a =，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，3为公差的等差数列，()113132n n n a ∴=+-=-，则132n a n =-，()()11111323133231n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭，11111111111344771035323231n T n n n n ⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪---+⎝⎭11133131⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭n n n ，由33101k T >得：3331101k k >+，解得：332k >，又k *∈N ，min 17k ∴=.故选：B.8．已知函数()ln f x ax x x =-与函数()e 1xg x =-的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（）A ．(],1e -∞-B ．1e ,2-⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(),1e -∞-D ．1e ,2-⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据题意函数()f x 与()g x 的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，得到方程有两解，分离参数构造新函数，利用导数求出最值，结合题意分析即可得.【详解】因为函数()f x 与()g x 的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，所以()()f x g x -=，即ln e 1x ax x x -+=-有两解，所以ln e 1x x x a x -+=有两解，令()ln e 1x x x h x x-+=，则()()()2e11xx h x x--'=，所以当()0,1x ∈时，()h x '>0，此时函数()h x 在()0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()h x 在1x =处取得极大值，()11e h =-，且()0,1x ∈时，()h x 的值域为(),1e -∞-，()1,x ∈+∞时，()h x 的值域为(),1e -∞-，因此ln e 1x x x a x-+=有两解时，实数a 的取值范围为(),1e -∞-，故选：C.二、多选题9．已知直线l 与直线3460x y -+=平行，且与圆()()22:119C x y -++=相切，则直线l 的方程是（）A ．3480x y -+=B ．3480x y --=C ．34220x y --=D ．34220x y -+=【正确答案】AC【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，设:340l x y m -+=，根据直线与圆相切可知圆心到直线距离等于半径，由此可构造方程求得结果.【详解】由圆的方程可知：圆心()1,1C -，半径3r =；设直线:340l x y m -+=，则圆心C 到直线l 的距离73m d +==，解得：8m =或22m =-，∴直线l 的方程为：3480x y -+=或34220x y --=.故选：AC.10．已知双曲线22:1124x y C -=的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线C 上，且122F PF π∠=，则（）A ．双曲线C 的离心率为43B ．双曲线22139y x -=与双曲线C 的渐近线相同C ．12F PF △的面积为4D ．12F PF △的周长为8【正确答案】BCD【分析】由双曲线C 的方程求,,a b c ，由此可求双曲线C 的离心率，分别求双曲线C 和双曲线22139y x -=的渐近线方程判断B ；结合双曲线的定义和勾股定理求128PF PF ⋅=，再求12F PF △的面积，判断C ；由条件求12PF PF +，求12F PF △的周长判断D.【详解】设双曲线221124x y -=的实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距长为c ，则2a b ==，所以4c ==，离心率c e a =，A 错误；双曲线C 的渐近线方程为y =，双曲线22139y x -=的渐近线方程是y =，双曲线22139y x -=与双曲线C 的渐近线相同，B 正确；由双曲线定义可得12PF PF -=，又12128,2F F F PF π∠==，所以()2222212121212122644816PF PF PF PF PF PF F FPF PF ⋅=+--=--=-=，即128PF PF ⋅=，所以12F PF △的面积为12142PF PF ⋅=，C 正确；()2222121212121222641680PFPF PF PF PF PF F F PF PF +=++⋅=+⋅=+=，即12PF PF +=12F PF △的周长为12128PF PF F F ++=，D 正确.故选：BCD.11．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N ，11a =，24a =，则（）A ．583S =B ．数列{}1n n a a +-是等比数列C ．1323n n a -=⋅-D ．3223nn S n =⋅--【正确答案】ABD【分析】根据递推关系式依次求得数列{}n a 的前5项，加和即可知A 正确；将递推关系式转化为()112n n n n a a a a +--=-，结合213a a -=，由等比数列定义可得B 正确；利用累加法可求得C 错误；采用分组求和的方式，结合等比数列求和公式可求得D 正确.【详解】对于A ，()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N ，11a =，24a =，3213210a a a ∴=-=，4323222a a a =-=，5433246a a a =-=，51410224683S ∴=++++=，A 正确；对于B ，由()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N 得：()112n n n n a a a a +--=-，又213a a -=，∴数列{}1n n a a +-是以3为首项，2为公比的等比数列，B 正确；对于C ，由B 知：1132n n n a a -+-=⋅，当2n ≥时，()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+=()()1231112322213321132212n n n n n ------++⋅⋅⋅++=⨯=-+=⋅--，又11a =满足1322n n a -=⋅-，()1322n n a n -*∴=⋅-∈N ，C 错误；对于D ，()011123222232322312nn n n S n n n --=++⋅⋅⋅+-=⨯-=⋅---，D 正确.故选：ABD.12．已知函数()21ln 2f x x ax a x =-+的两个极值点分别是12,x x ，则（）A ．a<0或4a >B ．22128x x +>C ．存在实数a ，使得()()120f x f x +>D ．()()()221212164f x f x x x +<+-【正确答案】BD【分析】对于A ，由题意可得()0f x '=在()0,∞+上有2个不等的实根，从而可求出a 的范围，对于B ，根据根与系数的关系结合a 的范围进行判断，对于C ，由题意得()()2121ln 2f x f x a a a a +=--+，令()()11ln ,4,2g a a a a ∞=--+∈+，利用导数可求得()0g a <，从而可进行判断，对于D ，()()()22212121316ln 6442f x f x x x a a a a +-++=--+，令()()231ln 6,4,42h a a a a a a =--+∈+∞，利用导数可求出其在()4,+∞上的最大值小于零即可.【详解】由()f x 有两个极值点12,x x ，得()0af x x a x'=-+=在()0,∞+上有2个不等的实根，即20x ax a -+=在()0,∞+上有2个不等的实根，则2Δ400a a a ⎧=->⎨>⎩解得4a >，A 错误；由韦达定理，得()222221212121212,,22(1)1x x a x x a x x x x x x a a a +==+=+-=-=--，当4a >时，22212(1)18x x a +=-->，B 正确；()()()()()2221212121211ln ln ln 22f x f x x x a x x a x x a a a a +=+-+++=--+，令()()11ln ,4,2g a a a a ∞=--+∈+，则()1102g a a=-'+<，所以()g a 在()4,+∞上单调递减，所以()()4ln430g a g <=-<，所以()()()2121ln 02f x f x a a a a a g a +=--+=⋅<恒成立，C 错误；()()()22212121316ln 6442f x f x x x a a a a +-++=--+，令()()()23131ln 6,4,,ln 4222h a a a a a a h a a a ∞=--+∈=-+'+，令()()()3113ln ,0222a h a a a a a ϕϕ==-+=-'<'，所以()a ϕ在()4,+∞上单调递减，所以()()1114ln462ln2022a ϕϕ<=-+=-<，即()()0h a a ϕ'=<，所以()h a 在()4,+∞上单调递减，()()23144ln44468ln28042h a h <=-⨯-⨯+=-<.所以()()()2212121604f x f x x x +-++<，D 正确.故选：BD.关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数极值问题，解题的关键是根据题意可得()0af x x a x'=-+=在()0,∞+上有2个不等的实根，即20x ax a -+=在()0,∞+上有2个不等的实根，然后利用根与系数的关系分析判断，考查数学计算能力，属于较难题.三、填空题13．已知ABC 的三个顶点为()()()4,0,2,3,4,5A B C --，则AB 边上的高所在直线的方程为__________.【正确答案】230x y +-=【分析】由两点斜率公式求得AB k ，根据垂直直线的斜率关系求AB 边上的高所在直线的斜率，再由直线的点斜式求AB 边上的高所在直线的方程.【详解】因为()()()4,0,2,3,4,5A B C --，所以301242AB k -==+，设AB 边上的高所在直线的斜率为k ，则112k ⨯=-，所以2k =-，故AB 边上的高所在直线的斜率为2-，所以AB 边上的高所在直线的方程为()524y x +=--，即230x y +-=.故答案为.230x y +-=14．张大爷为了锻炼身体，每天坚持步行，用支付宝APP 记录每天的运动步数.在11月，张大爷每天的运动步数都比前一天多相同的步数，经过统计发现前10天的运动步数是6.9万步，前20天的运动步数是15.8万步，则张大爷在11月份的运动步数是__________万步.【正确答案】26.7【分析】由题分析知张大爷每天的步行步数成等差数列，利用等差数列及等差数列前n 项和公式的性质求解.【详解】设张大爷在11月份每天的运动步数构成数列{}n a ，由题可知该数列为等差数列且{}n a 的前n 项和为nS 所以1020103020,,S S S S S --成等差数列，所以()20101030202S S S S S -=+-，即()30215.8 6.9 6.915.8S ⨯-=+-，解得30S =26.7，所以张大爷在11月份的运动步数是26.7万步.故26.7.15．若曲线e x y a =与曲线y ==a __________.【分析】令()e xf x a =，()g x =()00,x y ，结合导数几何意义可构造方程组()()()()0000f x g x f x g x ⎧==''⎪⎨⎪⎩，由此可解得0x ，进而求得a 的值.【详解】令()e x f x a =，()g x =()e xf x a '=，()g x '=设()f x 与()g x 的公共点为()00,x y ，()f x 与()g x 在公动点处有相同的切线，()()()()0000f x g x f x g x '⎧=∴'⎪⎨=⎪⎩，即00e e x x a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩012x =，12e a ∴=，解得.a =故答案为.2e16．已知点F 是抛物线26y x =的焦点，过点F 作互相垂直的直线12,l l ，且12,l l 分别与抛物线相交于点,,,A B C D ，则四边形ACBD 的面积的最小值为__________.【正确答案】72【分析】设()13:02l x my m =+≠，将其与抛物线方程联立，结合抛物线的焦点弦长公式可表示出AB ，根据垂直关系，将1m-代入，即可求得CD ，利用基本不等式即可求得面积的最小值.【详解】由抛物线方程知：3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭；设()13:02l x my m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，由2326x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2690y my --=，则236360m ∆=+>，126y y m ∴+=，()21212363x x m y y m ∴+=++=+，212366AB x x m ∴=++=+；12l l ⊥ ，213:2l x y m ∴=-+，同理可得：266CD m =+，()222211118111821822ACBD S AB CD m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⋅=++=++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭四边形72=（当且仅当221m m =，即1m =±时取等号），则四边形ACBD 面积的最小值为72.故答案为.72思路点睛：求解直线与抛物线综合应用中的四边形面积最值问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理求解出所需的长度；④将所求面积转化为关于某一变量的函数形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值.四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35961227,16S a a a a =++=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若54n n S a =+，求n .【正确答案】(1)41n a n =+(2)9【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，然后根据已知条件列方程可求出1,a d ，从而可求出其通项公式；（2）根据等差数列的求和公式和通项公式列方程可求得结果.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则由5961216a a a a ++=+，得416,4d d ==，因为327S =，所以13327a d +=，解得15a =.所以()1141n a a n d n =+-=+.（2）()()125412322n n n a a n n S n n +++===+，由54n n S a =+，得()2235414n n n +=++，即221790n n --=，解得9n =或12n =-，又*N n ∈，所以9n =.18．已知函数()()3261f x x ax x a =+-+∈R ，且()16f '=-.(1)求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求函数()f x 在区间[]2,4-上的值域.【正确答案】(1)12210x y +-=(2)[]9,17-【分析】（1）利用()16f '=-可构造方程求得a 的值，结合()1112f =-可求得切线方程；（2）利用导数可求得()f x 的单调性，结合区间端点值和极值可求得()f x 的最值，由此可得()f x 的值域.【详解】（1）()2326f x x ax '=+- ，()1236f a '∴=-=-，解得：32a =-，()323612f x x x x ∴=--+，则()311116122f =--+=-，()f x \在点()()1,1f 处的切线方程为：()11612y x +=--，即12210x y +-=.（2）由（1）知：()323612f x x x x =--+，则()()()2336321f x x x x x '=--=-+，∴当[)(]2,12,4x ∈-- 时，()0f x ¢>；当()1,2x ∈-时，()0f x '<；()f x \在[)2,1--，(]2,4上单调递增，在()1,2-上单调递减，又()21f -=-，()912f -=，()29f =-，()417f =，()max 17f x ∴=，()min 9f x =-，()f x \的值域为[]9,17-.19．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，122AA AB ==，E 为1DD 的中点.(1)证明：CE ⊥平面11B C E ；(2)求平面11B C E 与平面1AC E 夹角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）利用勾股定理和线面垂直的性质可证得1C E CE ⊥，11B C CE ⊥，由线面垂直的判定定理可证得结论；（2）以A 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果.【详解】（1） 四边形11CDD C 为矩形，1112CD DD ==，E 为1DD中点，1C E CE ∴===，又12CC =，22211C E CE CC ∴+=，1C E CE ∴⊥；11B C ⊥ 平面11CDD C ，CE ⊂平面11CDD C ，11B C CE ∴⊥；1111B C C E C = ，111,B C C E ⊂平面11B C E ，CE ∴⊥平面11B C E .（2）以A 为坐标原点，1,,AB AD AA正方向为,,x y z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()11,1,2C ，()0,1,1E ，()1,1,0C ，()11,1,2AC ∴= ，()0,1,1AE =，()1,0,1CE =- ；设平面1AC E 的法向量(),,n x y z =，则1200AC n x y z AE n y z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1y =，解得：1x =，1z =-，()1,1,1n ∴=- ；由（1）知：CE ⊥平面11B C E ，∴平面11B C E 的一个法向量为()1,0,1CE =-，cos ,CE n CE n CE n⋅∴<>=⋅即平面11B C E 与平面1AC E20．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>()4P 是C 上一点.(1)求C 的方程；(2)已知直线():0l y kx m m =+>与C 交于,E F 两点，O 为坐标原点，若4OE OF ⋅=，判断直线l 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【正确答案】(1)22124x y -=(2)直线l恒过定点(【分析】（1）根据离心率、双曲线,,a b c 关系和双曲线所过点可构造方程求得22,a b ，进而得到双曲线方程；（2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，代入向量数量积的坐标运算中，整理可求得m =.【详解】（1） 双曲线C的离心率==ce a22223c a b a ∴=+=，则222b a =，又()4P 为C 上一点，22101612a a∴-=，解得：22a =，24b ∴=，∴双曲线C 的方程为.22124x y -=（2）设()11,E x y ，()22,F x y ，由22124y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得：()2222240k x kmx m ----=，()()2222220Δ44240k k m k m ⎧-≠⎪∴⎨=+-+>⎪⎩，则222224k m k ⎧≠⎨>-⎩；12222km x x k ∴+=-，212242m x x k +=--，()()()()221212121212121OE OF x x y y x x kx m kx m k x x km x x m∴⋅=+=+++=++++()()2222222142422k m k m m k k++=-++=--，整理可得：212m =，又0m >，m ∴=，则:l y kx =+∴直线l恒过定点(.21．在数列{}n a 中，*11122,,N 33n n a a a n +==+∈.(1)证明：{}1n a -是等比数列；(2)若数列{}n b 的前n 项和()2*2,1,N n n n n S n n c b a n =+=-∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .【正确答案】(1)证明见解析(2)()11623n n T n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知可得()11113n n a a +-=-，进而可证明{}1n a -为等比，（2）根据,n n S b 的关系可求解*21,N n b n n =+∈，由（1）知1113n n a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而可得()()111213n n n n c b a n -⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，由错位相减法即可求解.【详解】（1）证明：因为11233n n a a +=+，所以()11113n n a a +-=-，又12a =，所以111a -=，所以11113n n a a +-=-.所以{}1n a -是首项为1，公比为13的等比数列.（2）由（1）知1113n n a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为数列{}n b 的前n 项和22n S n n =+，所以当2n ≥时，121n n n b S S n -=-=+，当1n =时，113b S ==，满足上式，所以*21,N n b n n =+∈.所以()()111213n n n n c b a n -⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭.()01211111357213333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①由①13⨯，得()123111113572133333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②①②相减得()()()112121133211111132213214241333333313n n nn nn T n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++++-+=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 所以()11623n n T n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.22．已知函数()ln 21x f x x-=+，()()e x g x m f x =+（m ∈R ，e 为自然对数的底数）.(1)求函数()f x 的极值；(2)若对()0,x ∀∈+∞，()0g x <恒成立，求m 的取值范围.【正确答案】(1)极大值为311e +，无极小值(2)31,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）求导后，根据()f x '的正负可求得()f x 的单调性，根据极值的定义可求得结果；（2）分离变量可将问题转化为()2ln e xx xm h x x --<=在()0,∞+上恒成立；求导后可令()3ln x x x ϕ=-+，利用导数可求得()x ϕ的单调性，利用零点存在定理可求得()x ϕ'的零点，并得到()h x 的单调性，由此可求得()min h x ，化简可得()3min 1e h x =-，由此可求得m 的取值范围.【详解】（1）()f x 定义域为()0,∞+，()23ln xf x x -'=，∴当()30,e x ∈时，()0f x ¢>；当()3e ,x ∞∈+时，()0f x '<；()f x \在()30,e 上单调递增，在()3e ,+∞上单调递减，()f x \的极大值为()331e 1ef =+，无极小值.（2）由()0g x <得：ln 2e 10xx m x -++<，2ln e xx xm x --∴<在()0,∞+上恒成立；令()2ln e xx x h x x --=，则()()()()()22112ln 113ln e e x xx x x x x x x x h x x x ⎛⎫-----+ ⎪+-+⎝⎭'==；令()3ln x x x ϕ=-+，则()1110x x x xϕ+'=+=>，()x ϕ∴在()0,∞+上单调递增，又()2ln 210ϕ=-<，()3ln 30ϕ=>，()02,3x ∴∃∈，使得()00x ϕ=，则00ln 3x x =-，∴当()00,x x ∈时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>；()h x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()0000min 02ln e x x x h x h x x --∴==；由00ln 3x x =-得：()0000ln ln e ln e 3x x x x +==，030e e x x ∴=，()()00003min 02ln 1e e x x x h x h x x --∴===-，31em ∴<-，则实数m 的取值范围为31,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求解函数最值来求得变量的取值范围.。
2023-2024学年上海市新川中学高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年上海市嘉定区高二上册期末数学模拟试题一、填空题1．已知数列{}n a 是等差数列，172,20a a ==，则公差d =____________【正确答案】3【分析】由等差数列的基本量法求解.【详解】由题意712023716a a d --===-.故3.2．过点(2,3),(1,1)A B -的直线斜率大小为________【正确答案】4-【分析】利用两点的斜率公式求解.【详解】因为3(2,)A -，(1,1)B ，所以线AB 的斜率为1(3)412k --==--.故4-3．已知四棱锥的底面积为4，体积为8，则该四棱锥的高为____________【正确答案】6【分析】根据棱锥的体积公式，即可求得答案.【详解】设该四棱锥的高为h ，则148,63h h ⨯⨯=∴=，故64．抛物线22y x =的准线方程为__________．【正确答案】12x =-【分析】抛物线22y px =的准线方程为2px =-，由此得到题目所求准线方程.【详解】抛物线22y x =的准线方程是12x =-.本小题主要考查抛物线的准线方程，抛物线22y px =的准线方程为2px =-，直接利用公式可得到结果.属于基础题.5．圆心为(2,1)C ，且与x 轴相切的圆的标准方程为____________【正确答案】22(2)(1)1x y -+-=【分析】由圆的圆心(2,1)C ，且与x 轴相切可求1r =，从而可得该圆的标准方程.【详解】因为该圆的圆心(2,1)C ，且与x 轴相切，所以圆心(2,1)C 到x 轴的距离等于半径，则该圆的半径为1r =，所以所求圆的标准方程为22(2)(1)1x y -+-=.故答案为.22(2)(1)1x y -+-=6．已知双曲线22221x y a b -=的实轴长为2，则双曲线的标准方程为________【正确答案】22126x y -=【分析】由题意列出关于a 、b 、c 的方程组，即可计算出双曲线标准方程.【详解】由题得2222222,126a cx y a b a c a b ⎧=⎪⎪=∴==-=⎨⎪=+⎪⎩.故22126x y -=7．已知12,F F 是椭圆22198x y +=的左、右焦点，P 是椭圆上的一点，若12=PF ，则2PF =____________【正确答案】4【分析】由椭圆的方程及定义可求得结果.【详解】由椭圆的方程22198x y +=，可知3a =，又P 是椭圆上的一点，由椭圆的定义知，12||||26PF PF a +==，又12=PF ，则2||4PF =.故4.8．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为________.【正确答案】2:3.根据圆柱的侧面积公式，求出圆柱的表面积，再由球的表面积公式，即可求解.【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R .∴222226S R R R R πππ=⋅+⋅=圆柱，24S R π=球，∴22:4:62:3S S R R ππ==球圆柱.故答案为:2:3.本题考查圆柱和球的表面积，属于基础题.9．双曲线22128x y -=的两条渐近线的夹角大小为____________【正确答案】4arctan3【分析】根据双曲线的标准方程，先求得渐近线方程，根据渐近线方程的斜率求得倾斜角，从而利用正切的二倍角公式求得两条渐近线方程的夹角.【详解】因为双曲线的标准方程为22128x y -=，所以a b ==所以该双曲线的渐近线方程为2b y x x a =±=±=±，如图，.设2y x =的倾斜角为θ，则tan 21θ=>，又0πθ≤<，所以ππ42θ<<，由双曲线的对称性可得2y x =-的倾斜角为πθ-，因为π2π2θ<<，π0π22θ<-<，所以两条渐近线方程的夹角为π2θ-，因为()222tan 224tan π2tan 231tan 12θθθθ⨯-=-=-=-=--，所以4π2arctan 3θ-=，即两条渐近线方程的夹角为4arctan 3.故答案为.4arctan310．求经过点M (2，且与圆x 2＋y 2=4相切的直线的方程为________．【正确答案】40x +=或2x =．【分析】分类讨论，斜率不存在时，直接验证说明是否是切线，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数得直线方程．【详解】由已知直线2x=是圆的切线，斜率存在时设切线方程为(2)y k x-=-，即20 kx y k-+-=，2=，解得k=切线方程为033x y-+-=，即40x+=．故40x+=或2x=．11．若平面内到两定点的距离差的绝对值为常数的点的轨迹存在，则该轨迹可以是_________（1）椭圆；（2）双曲线；（3）抛物线；（4）两条射线；（5）一条直线.【正确答案】（2）（4）（5）【分析】设两定点分别为1F、2F，动点为P，则12PF PF-为定值.分120PF PF-=、12120PF PF F F<-<、1212PF PF F F-=三种情况讨论，分析出三种情况下点P的轨迹的形状，可得出结论.【详解】设两定点分别为1F、2F，动点为P，则12PF PF-为定值.①若120PF PF-=，则12PF PF=，此时点P的轨迹为线段12F F的垂直平分线，（5）满足；②若12120PF PF F F<-<，则点P的轨迹是以1F、2F为焦点的双曲线，（2）满足；③若1212PF PF F F-=，则点P的轨迹是直线12F F上去除线段12F F（不含端点）的两条射线，（4）满足.故（2）（4）（5）.12．定义[]x为不超过实数x的最大整数，例如：[ 2.3]3-=-，[]3π=，已知函数()[]2logf x x=，则()921121if i+=-=∑____________【正确答案】4107【分析】根据已知结合对数函数的性质得出规律，即可得出答案.【详解】()()()()()9211012113521i f i f f f f +=-=+++++∑ 根据已知可得：()[]21log 10f ==，()[]23log 31f ==，()()572f f ==，()()()()91113153f f f f ====，共4个，()()()51719214f f f ===-= ，共8个（由5171921- 、、之间含多少个奇数决定），()()633215f f ==-= ，共16个，()()765216f f ==-= ，共32个，()()8129217f f ==-= ，共64个，()()9257218f f ==-= ，共128个，()()10513219f f ==-= ，共256个，()102110f +=，则()9211210122438416532664712882569104107i f i +=-=++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=∑，故4107.二、单选题13．下列条件不能确定一个平面的是（）A ．不共线三点B ．直线和直线上一点C ．两条平行直线D ．两条相交直线【正确答案】B【分析】根据确定平面的公理及其推论，即可判断．【详解】经过不共线三点，有且只有一个平面，故A 不符合题意；经过直线和直线上一点，有无数个平面，故B 符合题意；经过两条平行直线，有且只有一个平面，故C 不符合题意；经过两条相交直线，有且只有一个平面，故D 不符合题意．故选：B ．14．直线2x y +=与圆()()22236x y -+-=交于A 、B 两点，则AB =（）A ．B C ．2D ．【正确答案】B【分析】求出圆心到直线2x y +=的距离，利用勾股定理可求得AB .【详解】圆心()2,3到直线2x y +=的距离为d =圆()()22236x y -+-=的半径为r =，又22AB ，故AB =故选：B.15．某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体)，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆(如图所示)则“切面”所在平面与底面所成的角为（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【正确答案】D【分析】根据已知条件做出截面图，根据二面角的平面角的定义及锐角三角函数，结合椭圆的离心率公式及三角函数的特殊值对应的特殊角的即可求解.【详解】设椭圆与圆柱的轴截面如图所示，DE BC ⊥，则CDE ∠为“切面”与所在平面与底面所成的角，设π02CDE θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭.设圆柱的直径为2r ,则CD 为椭圆的长轴2a ，短轴为2DE r =，则椭圆的长轴长为22,cos cos r ra CD aθθ===，短轴为22DE b r ==，所以椭圆的离心率为22222311sin 2cos e c b r r a aθθ==-===-，所以π3θ=故选：D.16．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2023这2023个数中，所有能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列共有（）A ．97项B ．98项C ．99项D ．100项【正确答案】A【分析】先求出数列的通项公式，然后根据数列的通项公式求解项数.【详解】所有能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，所以，()12112120n a n n =+-=-，由12023n a ≤≤可得121202023n ≤-≤，解得21977n ≤≤，因此，数列{}n a 共有97项.故选：A.三、解答题17．已知点P 到点(2,0)F 的距离等于它到直线2x =-的距离，(1)求点P 的轨迹方程;(2)若(2,2)A ，求PAF △周长的最小值.【正确答案】(1)28y x =(2)6【分析】（1）利用抛物线的定义得解；（2）根据抛物线的定义可将问题转化成PA PN '+的最小值，根据三点共线即可求解.【详解】（1）由题意知动点P 到(2,0)F 的距离与它到直线2x =-的距离相等，所以动点P 的轨迹为以(2,0)F 为焦点、以直线2x =-为准线的抛物线，因此动点P 的轨迹方程为28y x =.（2）由题意知，焦点为()2,0F ,22022FA =+=,当PA PF +的值最小时，PAF △的周长最小.设点P 在抛物线的准线上的射影为N '，根据抛物线的定义，可知PN PF '＝，因此PA PF +的最小值即PA PN '+的最小值.根据平面几何的知识可得，当N P A '，，三点共线时，即可A 作AN ⊥准线于N ,与抛物线交于M ',此时N M A '，，三点共线，此时224PF M A M PA AN N +='='=+=+，所以PAF △周长的最小值为24 6.+=18．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，且PD ⊥平面ABCD ，2,23,PD PA E ==为PC 中点(1)求证：面PAC ⊥面PBD(2)求异面直线PA 与BE 所成角的大小【正确答案】(1)证明见解析(2)533arccos33【分析】（1）根据面面垂直的判定，结合题目条件，证明AC ⊥面PBD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式来解决.【详解】（1）连接,AC BD ，交于O 点，根据正方形性质，对角线AC BD ⊥，又PD ⊥面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，故AC PD ⊥，由PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂面PBD ，故AC ⊥面PBD ，而AC ⊂面PAC ，根据面面垂直的判定，面PAC ⊥面PBD .（2）由PD ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，故PD AD ⊥，PD CD ⊥，由AD CD ⊥，故下以D 为原点，,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，正方形边长为：2222PA PD -=则(22,0,0)A ，(22,22,0)B ，(0,0,2)P ，(0,22,0)C ，根据中点坐标公式：()2,1E ，故()22,2,1BE =- ，(22,0,2)PA =-，故533cos ,2311PA BE PA BE PA BE ⋅==-⨯异面直线PA 与BE 所成角的范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，故所成角的大小为5333319．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>定义:把双曲线C 的虚轴保持不变，渐近线的斜率变为原来渐近线斜率的两倍得到的曲线称为曲线C 的“α-线”，把双曲线C 的左支向右平移a 个单位，把它的右支向左平移a 个单位得到的曲线称为曲线C 的“β-线”，若双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>是等轴双曲线，且焦距等于,(1)求双曲线C 的“α-线”和“β-线”;(2)若由“α-线”和“β-线”围成的封闭曲线上的点集都在圆M 内或圆M 上，求半径最小时圆M 的方程，并在坐标系中用尺规作图画出该封闭曲线和圆M 大致图像.【正确答案】(1)“α-线”的方程为：224199x y-=；“β-线”的方程为：()()222231,09931,099x y x x y x ⎧--=≤⎪⎪⎨+⎪-=>⎪⎩(2)2236x y +=；图象见解析【分析】（1）根据给定的定义即可求出α-线”和“β-线；（2）要满足由“α-线”和“β-线”围成的封闭曲线上的点集都在圆M 内或圆M 上，则原点O 与“α-线”和“β-线”的交点P 即为最小半径，求出OP 的长度即可.【详解】（1）依题意知，因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>是等轴双曲线，且焦距等于所以a b =，2c =222c a b =+，解得：3a b ==，c =所以双曲线C 的方程为：22199x y -=因为双曲线C 的虚轴保持不变，渐近线的斜率变为原来渐近线斜率的两倍得到的曲线称为曲线C 的“α-线”，所以只需a 变为2a 即可，所以“α-线”的方程为：224199x y -=；因为双曲线C 的左支向右平移a 个单位，把它的右支向左平移a 个单位得到的曲线称为曲线C 的“β-线”，所以“β-线”的方程为：()()222231,09931,099x y x x y x ⎧--=≤⎪⎪⎨+⎪-=>⎪⎩；（2）由（1）得，如图所示：设“α-线”和“β-线”在第二象限的交点为P ，由()()222231990,04199x y x y x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：3,x y =-=(P -，要满足由“α-线”和“β-线”围成的封闭曲线上的点集都在圆M 内或圆M 上，则原点O 与“α-线”和“β-线”交点P 的距离OP 即为最小半径，所以()(222336OP =-+=，所以半径最小时圆M 的方程为.2236x y +=20．已知数列{}n a 中，21a =，其前n 项和为*,Nn S n ∈(1)若{}n a 是等比数列，24S =，求通项公式n a ;(2)若121++=+n n a a n ，求2023S ;(3)若{}n a 是等差数列，对任意的*n ∈N 都有20n S n +≥，求其公差d 的取值范围.【正确答案】(1)23n n a -=；(2)2047277；(3)[0,3].【分析】(1)由题意求出公比q 和1a 即可得答案；(2)由121++=+n n a a n 可得12a =，10(1)n n a a n n +-++=-，令n n b a n =-，求出数列{}n b 的通项公式即可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和即可；(3)由题意可得223(1)0dn d n +-≥对任意的*n ∈N 成立，即(23)30n d -+≥对任意的*n ∈N 成立，分1n =、2n ≥分别求解，再取交集即可.【详解】（1）解：因为{}n a 是等比数列，21a =，24S =，所以数列{}n a 的公比1q ≠，所以124a a +=，即114q+=，解得13q =，13a =，所以1213()33n n n a --=⨯=；（2）解：因为121++=+n n a a n ，即1(1)n n a a n n ++=++，且122113a a +=⨯+=，所以12a =，所以10(1)n n a a n n +-++=-，令n n b a n =-，则有10n n b b ++=，所以1n n b b +=-，所以数列{}n b 是等比数列，公比1q =-，首项1111b a =-=，所以1(1)n n b -=-，即1(1)n n a n --=-，所以1(1)n n a n -=+-，所以0120221220223302(122023)[(1)(1)(1)]S a a a =+++=++++-+-++-K L L 2023(12023)20231[1(1)]101220231204727721(1)+⨯⨯--=+=⨯+=--；（3）解：因为{}n a 是等差数列，所以公差121a a d d =-=-，所以2212(21)22(1)(21)2(23)2n S n n n d na n d n n d dn d -=+=-+-=+-，所以2223(1)n dn d n S n +=-+，又因为20n S n +≥对任意的*n ∈N 成立，即223(1)0dn d n +-≥对任意的*n ∈N 成立，即23(1)0dn d +-≥对任意的*n ∈N 成立，所以(23)30n d -+≥对任意的*n ∈N 成立，当1n =时，3d ≤，当2n ≥时，323d n -≥-恒成立，又因为3[3,0)23n -∈--，所以0d ≥，综上所述，[0,3]d ∈.21．在直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2倍，斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆于A ，B(1)求椭圆的标准方程(2)若P 为线段AB 的中点，设OP 的斜率为k '，求证：k k '⋅为定值；(3)设点A ，B 关于原点对称的点分别为C ，D ，求四边形ABCD 面积的最大值.【正确答案】(1)2214x y +=；(2)证明见解析；(3)4【分析】（1）根据已知条件建立,,a b c 的方程，求解即可；（2）设1122(,),(,),(,)A x y B x y P m n ，利用点差法求得k ，利用两点斜率公式求得k '，计算k k '⋅即可证明；（3）设直线AB 的方程为y kx t =+，1122(,),(,),A x y B x y 按照利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤可求得弦长AB ，利用点线距离公式可求得原点到直线AB 的距离为d .根据对称性可知四边形ABCD 的面积4AOB S S = ，求出面积后再利用基本不等式求得最大值.【详解】（1）依题意可知：222224c a b a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21c a b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）证明：设1122(,),(,),(,)A x y B x y P m n ，则12122,2x x m y y n +=+=.把1122(,),(,)A x y B x y 代入椭圆方程2214x y +=得221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得：()212121214y y x x x x y y -+=--+，即4m k n=-，而n k m '=，则144m n k k n m '⋅=-⋅=-.故k k '⋅为定值.（3）设直线AB 的方程为y kx t =+，1122(,),(,),A x yB x y 联立方程组2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222148440k x ktx t +++-=，()()()()2222284144416410kt k t k t ∴∆=-+-=+->，即22410k t +->又2121222844,1414kt t x x x x k k -+=-=++.AB ∴=4=记原点到直线AB 的距离为d ，则d=1122AOB S AB d ∴=⋅=⨯= 因为点A ，B 关于原点对称的点分别为C ，D ，所以四边形ABCD 的面积4AOB S S ==所以22222411414842k t t k k S +-+++=≤⨯=当且仅当22222411414k t t k k+-=++，即22412k t +=时，等号成立，故四边形ABCD 的面积的最大值为4.方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
2023-2024学年上海市向东中学高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年上海市杨浦区高二上册期末数学模拟试题一、填空题1．“两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的__________条件．【正确答案】必要不充分【分析】两条直线没有公共点，得到异面或者平行，异面可以得到没有交点，得到答案.【详解】两条直线没有公共点，则两条直线平行或者异面两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点“两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的必要不充分条件.故答案为必要不充分本题考查了充分必要条件，属于基础题型.2．已知向量()()()3,5,1,2,1,3,1,1,2a b c =-==-- ，则向量4a b c -+ 的坐标为______．【正确答案】()5,012-，【分析】根据向量坐标运算法则即可求解.【详解】由题意可知，()()()()435121341,125012a b c -+=--+--=- ，，，，，，，.故()5,012-，3．已知球的体积是9π2，则该球的半径为______．【正确答案】32##1.5【分析】根据球的体积公式34π3V R =，代入就可求得半径.【详解】设球的半径为R ,根据球的体积公式34π9π32V R ==,即3278R =，解得32R =.故答案为.324．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是2的倍数的概率为______．【正确答案】45##0.8【分析】列举出所有情况，及数字之积是2的倍数的情况，从而利用古典概型求概率公式求出答案.【详解】6张卡片中无放回随机抽取2张，有以下情况：()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6，()()()4,5,4,6,5,6，共有15种情况，其中数字之积是2的倍数的情况有()()()()()()()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,6,4,5,4,6,5,6，共12种情况，故概率为124155=.故455．用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为______．【正确答案】16【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．【详解】设原正方形的边长为a ，根据斜二测画法的原则可知O C a ''=，1122O A OA a ''==，高1sin 45224A D O A a a '=''== ，∴对应直观图的面积为2=44a a a ⋅216a =，故原正方形的面积为16，故答案为:16．6．将边长分别为3cm 和2cm 的矩形，绕边长为3cm 的一边所在直线旋转一周得到一个圆柱，则该圆柱的体积为______3cm ．【正确答案】12π【分析】确定圆柱的底面半径和母线长，利用侧面积求解公式可得.【详解】解：由题知，圆柱的底面半径为2cm r =，母线长为3cm l =，所以该圆柱的体积为2π12πV r l ==3cm 故12π．7．棱长为2的正四面体（所有棱长都相等）的侧棱与底面所成角的大小是______．【正确答案】【分析】设正四面体的顶点P 在平面ABC 中的投影为点O ，进而得PCO ∠是侧棱PC 与底面ABC 所成角，再根据几何关系求解即可.【详解】解：如图，设正四面体的顶点P 在平面ABC 中的投影为点O ，所以，由正四面体的性质可知，OP ⊥平面ABC ，且O 为等边三角形ABC 的中心，所以，PCO ∠是侧棱PC 与底面ABC 所成角，且OC 是等边三角形ABC 的AB 边的中线，因为正四面体-P ABC 的棱长为2，所以，233OC =，22263OP PC OC =-=，所以，在Rt POC △中，tan 2OP PCO OC ∠==，所以，侧棱与底面所成角的大小是arctan 2故arctan 28．圆锥底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的侧面积为______．【正确答案】27π【分析】侧面积即为扇形面积，底面周长为扇形弧长，由此可得扇形半径，后可得答案.【详解】因底面半径为3，则底面周长即扇形弧长为2π36π⨯=，又圆心角为2π3，则扇形半径为.6923ππ=则扇形面积即圆锥侧面积为.21292723ππ⨯⨯=故27π9．正三棱锥-P ABC 底面边长为234，则二面角P BC A --的大小为______．【正确答案】13arccos 13【分析】根据题意分析可得二面角P BC A --的平面角为PMA ∠，利用余弦定理运算求解.【详解】取BC 的中点M ，连接,PM AM ，∵4,23PB PC PA AB AC BC ======，则,PM BC AM BC ⊥⊥，故二面角P BC A --的平面角为PMA ∠，由题意可得：13,3,4PM AM PA ===，∵22213cos 213PM AM PA PMA PA AM +-∠==⋅，且[]0,πPMA ∠∈，故二面角P BC A --的大小为13arccos13.故答案为.13arccos 1310．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆雉母线在圆台中的部分）长为9，则原圆锥的母线长______．【正确答案】12【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.【详解】由题意可得，几何体如下图所示：取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为14CD AB =，且//,9CD AB BD =，设圆锥的母线长为l ，根据相似比可得914CD ED l AB EB l -===，解得12l =，即原圆锥的母线长为12.故答案为.1211．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是正方形ABCD 、正方形11BB C C 的中心，则过点A ，M ，N 的平面截正方体的截面面积为______．【正确答案】22a 【分析】连接AC ，1B C ,1AB ,找到过点A 、M 、N 的平面截正方体的截面,确定其形状，求得截面边长，即可求得答案.【详解】如图连接AC ，则AC 过点M ,连接1B C ,则1B C 经过点N ,连接1AB,则过点A 、M 、N 的平面截正方体的截面为等边1ACB ，因为正方体棱长为a ，故1ACB22)=，故22a 12．设一组样本数据128,,,x x x ⋅⋅⋅的方差为6，则数据12831,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的方差是______．【正确答案】54【分析】设128,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为x ，结合128,,,x x x ⋅⋅⋅的方差为6，根据平均数和方差的计算公式得到12831,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的平均数和方差.【详解】设128,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为x ，则1288x x x x ⋅⋅+++=⋅，且()()()2122288648x x x x x x ⋅⋅⋅-+-+-+=⨯=，故12831,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的平均数为()128128383131313188x x x x x x x +⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+=++=+，方差为()()()8212223131313131318x x x x x x +--++--+⋅⋅⋅++--()()()22228194854898x x xx x x ⎡⎤⋅⋅⋅+⎢=-⎦+-+-⎥⨯⎣==.故54二、单选题13．若直线l 的方向向量为r ，平面α的法向量为n ，能使l α∥的是（）A ．()()1,0,0,1,0,0r n ==- B ．()()1,2,3,0,3,2r n =-= C ．()()0,1,1,1,0,1r n ==-- D ．()()1,3,5,1,0,1r n ==-【正确答案】B 【分析】由题意知，要使l α∥，则直线l 的方向向量r 与平面α的法向量n 垂直，即r ⋅n 0=.【详解】若l α∥，则r ⋅n 0=；对于A ：()()1,0,0,1,0,0r n ==- ，()()1,0,01,0,010r n ⋅-=⋅=-≠ ，故A 错误；对于B ：()()1,2,3,0,3,2r n =-= ，()()1,2,30,3,20r n =-⋅⋅= ，故B 正确；对于C ：()()0,1,1,1,0,1r n ==-- ，()()0,1,11,0,110r n -⋅⋅-==-≠ ，故C 错误；对于D ：()()1,3,5,1,0,1r n ==- ，()()1,3,51,0,140r n =⋅-⋅=-≠ ，故D 错误；故选：B.14．下列命题中真命题是（）A ．四边形一定是平面图形B ．相交于一点的三条直线只能确定一个平面C ．四边形四边上的中点可以确定一个平面D ．如果点A ，B ，C ∈平面α，且A ，B ，C ∈平面β，则平面α与平面β为同一平面【正确答案】C【分析】利用平面的基本性质逐一判断即可．【详解】对于A ，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故A 错误；对于B ，三棱锥三条侧棱所在的直线相交于一点，但这三条直线不共面，故B 错误；对于C ，由四边形四边上的中点连线为平行四边形，平行四边形对边平行，所以四边形四边上的中点可以确定一个平面，故C 正确；下面证明四边形四边上的中点连线为平行四边形．证明：如图为四边形ABCD ，其中E ，F ，G ，H 分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，连接BD ，FE ，GH ，由E ，F 为AD ，AB ，则FE BD ∥，且1=2FE BD ，同理GH BD ∥，且1=2GH BD ，所以FE GH ，且=FE GH ，所以四边形EFGH 为平行四边形．对于D，当点A，B，C在一条直线上时，平面α和与平面β也可能相交，故D错误．故选：C．15．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为A．710B．58C．38D．310【正确答案】B【详解】试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=，故选B.几何概型【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．16．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【正确答案】C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)，超过6.5万元，故C 错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距.三、解答题17．某高中高一、高二、高三年级共有学生800名，各年级男、女生人数如下表：高一高二高三男生（人数）149x y 女生（人数）143130z 已知在三个年级的学生中随机抽取1名，抽到高二年级男生的概率是0.16(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生，应从高三年级抽取多少名?【正确答案】(1)128.(2)10名.【分析】（1）根据抽到高二年级男生的概率是0.16，列式计算，可得答案.（2）求出高三年级的总人数，根据分层抽样的比例，列式计算，求得答案.【详解】（1）由题意可知0.16,128800x x =∴=.（2）高三年级人数为800(149143)(128130)250-+-+=，故用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生，应从高三年级抽取人数为2503210800⨯=（名）.18．甲乙两名射击运动员在某次选拔赛中的成绩的茎叶图为：甲乙1103333677992236688889如果以这个成绩为依据选择一个人参加正赛，从平均水平和稳定性的角度出发应该选择谁？用统计学相关数据说明你选择的理由．【正确答案】选择甲，理由见解析【分析】分别求出x 甲，x 乙和2S 甲，2S 乙，然后比较大小即可求解.【详解】依题意，888893939697979910129493x ++++++++==甲，8889929293969610310329493x ++++++++==乙，2222212222889488949394939493333S ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣甲222222222296949794979499941019416633333⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦2222212222889489949294929493333S ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣乙2222222222939496949694103941039423633333⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦，所以x x =甲乙，22S S <甲乙.所以从平均水平和稳定性的角度出发应该选择甲.19．三棱锥A BCD -中，O ，E 分别为BD ，BC 中点，2CA CB CD BD ====，AB AD ==(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的大小．【正确答案】(1)证明见解析.(2).【分析】（1）连接OC ，证明AO BD ⊥，AO OC ⊥,根据线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）取AC 的中点M ，连接OM ME OE 、、，找到异面直线AB 与CD 所成角，求出相关线段长，解三角形，即可求得答案.【详解】（1）连接OC ，∵AB AD ==O 为BD 的中点，∴AO BD ⊥，112OD BD ==,且1AO ===,又2CA CB CD BD ====，O 为BD 的中点，∴CO BD ⊥，且CO ===在AOC 中，2224AO CO AC =+=，∴=90AOC ∠︒，即AO OC ⊥，又,,OC BD O OC BD =⊂ 平面BCD ，∴AO ⊥平面BCD .（2）取AC 的中点M ，连接OM ME OE 、、，由E 为BC 的中点，知,ME AB OE DC ∥∥，∴直线OE 与EM 所成的角就是异面直线AB 与CD 所成角或其补角，在OME V 中，1222EM AB ==，112OE DC ==，由AO ⊥平面BCD ，OC ⊂平面BCD ,所以AO OC ⊥,∵OM 是直角三角形AOC 斜边上的中线，∴112OM AC ==,在OEM △中，由余弦定理可得：222cos 2OE EM OM OEM OE EM +-∠=⋅1112242212+-=⨯⨯,由于异面直线所成角的范围为π(0,]2，所以异面直线AB 与CD 所成角的大小为2arccos 4.20．如图所示的正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，侧棱12AA =,点E 在棱1CC 上，且1=CE CC λ (0λ>).（1）当1=2λ时，求三棱锥1D EBC -的体积；（2）当异面直线BE 与1D C 所成角的大小为2arccos 3时，求λ的值.【正确答案】(1)16(2)54λ=【详解】试题分析：（1）正四棱柱1111ABCD A B C D -中，11 D C ⊥平面EBC ，可得11113D EBC Rt ECB V S D C -∆=⋅111326CE BC =⨯⋅=；（2）以D 为原点，射线DA 、DC 、1DD 作x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，可得()10,1,2D C =- ，()1,0,2BE λ=- ，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可.试题解析：（1）由11=2CE CC ，得1CE =，又正四棱柱1111ABCD A B C D -，则11D C ⊥平面EBC ，则11113D EBC Rt ECB V S D C -∆=⋅111326CE BC =⨯⋅=.（2）以D 为原点，射线DA 、DC 、1DD 作x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系（如图），则()1,1,0B ，()0,1,2E λ，()10,0,2D ，()0,1,0C ，即()10,1,2D C =- ，()1,0,2BE λ=- 又异面直线BE 与1D C 所成角的大小为2arccos3，则1123D C BE D C BE ⋅==⋅,化简整理得2165λ=，又0λ>，即4λ=.【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求异面直线所成的角角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21．如图，等腰Rt AOB △，2OA OB ==，点C 是OB 的中点，AOB 绕BO 所在的边逆时针旋转一周．设OA 逆时针旋转至OD ，旋转角为θ，[)0,2θ∈π．(1)求ABC 旋转一周所得旋转体的体积V 和表面积S ；(2)当π3θ=时，求点O 到平面ABD 的距离；(3)若AC BD ⊥，求旋转角θ．【正确答案】(1)4π3V =，42π25πS =+.(2)217(3)2π3θ=或4π3θ=.【分析】(1)旋转体的体积为圆锥BO 与圆锥CO 的体积之差;表面积S 为圆锥BO 与圆锥CO 的侧面积之和;(2)三棱锥B AOD -与三棱锥O ABD -体积相等,使用等积转化法求点O 到平面ABD 的距离；(3)取OD 中点E ,连接,CE AE ,得AC CE ⊥,在Rt ACE 求得AE ,在AOE △中由余弦定理得cos AOE ∠,从而求得旋转角θ．【详解】（1）设底面半径为R ,圆锥BO 底面面积为2π4πS R '==,底面周长4πL =,母线2222AB BO AO =+=圆锥BO 的体积1118π4π2333V S BO '=⋅=⨯⨯=，侧面积14π222π22L S AB =⨯=⨯.圆锥CO 的体积1114π4π1333V S CO '=⋅=⨯⨯=，225AC CO AO +24π525π22L S AC =⨯=⨯=.ABC 旋转一周所得旋转体的体积124π3V V V =-=.ABC 旋转一周所得旋转体表面积1242π25πS S S =+=+.（2）π,3OA OD AD θ=∴== ,24AOD S R ∴==∴11233B AOD AOD V S OB -=⋅=⨯ 在ABD △中,连接AD ,取AD 的中点M ,连接BM ,2BA BD AD ===,BM =所以11222ABD S AD BM =⋅⋅=⨯= 设点O 到平面ABD 的距离为h ，13O ABD ABD B AOD V S h V --∴=⋅= ，13h ∴7h ∴=.即点O 到平面ABD 的距离为7.（3）取OD 中点E ,连接,CE AE ,1//,2CE BD CE BD ∴=,AC BD AC CE ⊥∴⊥ ,在Rt ACE 中,AC CE ==AE ∴在AOE △中,2,1,OA OE AE ===由余弦定理得2224171cos 22212OA OE AE AOE OA OE +-+-∠===-⋅⋅⨯⨯,()0,AOE ∈π∠ ，2π3AOE ∴∠=，[)0,2θπ∈ ,2π3θ∴=或4π3θ=.。
2023-2024学年广东省广州市高二上册期末数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年广东省广州市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．直线2023y x =+的倾斜角为（）A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4【正确答案】A【分析】设直线2023y x =+的倾斜角为()0πθθ≤<，然后利用斜率公式即可【详解】设直线2023y x =+的倾斜角为()0πθθ≤<，由2023y x =+可得斜率tan 1k θ==，即π4θ=故选：A2．已知圆C 的方程为()22120x y -+-=，则圆心C 的坐标为（）A ．()1,0-B ．()1,2C ．()1,0D ．()1,2-【正确答案】C【分析】将圆C 的方程转化为标准形式,再得到圆心C 的坐标即可.【详解】圆C 的方程为()22120x y -+-=,则圆C 的标准方程为()2212x y -+=,所以圆心C 的坐标为(1,0).故选:C.3．已知双曲线221169x y -=，则该双曲线的离心率为（）A ．2516B ．259C ．54D ．53【正确答案】C【分析】根据双曲线的方程直接求出离心率即可.【详解】由双曲线221169x y -=,可知该双曲线的离心率54e ==.故选:C.4．等差数列{}n a 中，已知310a =，820a =-，则公差d 等于A ．3B ．-6C ．4D ．-3【正确答案】B【分析】利用等差数列的性质()n m a a n m d -=-，即能求出公差.【详解】由等差数列的性质，得()83835a a d d =-=-，所以201065d --==-.故选：B.本题考查了等差数列的公差的求法，是基础题.5．已知点()2,1P -到直线:340l x y m -+=的距离为1，则m 的值为（）A ．-5或-15B ．-5或15C ．5或-15D ．5或15【正确答案】D【分析】根据条件,利用点到直线的距离公式建立关于m 的方程,再求出m 的值.【详解】因为点()2,1P -到直线:340l x y m -+=的距离为1，1=,解得15m =或5.故选:D.6．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比2q =，且满足2616a a =，则5a =（）A ．8B ．4C ．2D ．1【正确答案】A【分析】根据{}n a 是等比数列，则通项为11n n a a q -=，然后根据条件可解出112a =，进而求得58a =【详解】由{}n a 为等比数列，不妨设首项为1a 由2616a a =，可得：26261216a a a =⋅=又0n a >，则有：112a =则451282a =⨯=故选：A7．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，H 分别为11CD ，11AC ，DE 的中点．若AB a →= ，AD b →= ，1AA c →=，则向量FH 可用,,a b c →→→表示为（）A ．113122a b c→→→--+B ．111422a b c→→→-+-C ．311443a b c→→→--D ．231343a b c→→→-+【正确答案】B【分析】根据向量的线性运算，利用基底,,a b c →→→表示所求向量即可.【详解】由题意，1111111222FH FC C E EH AC AB DE =++=--,且11111,2AC a b DE DD D E c a →→→→=+=+=+ ，2111()(1114)222212a b a FH a b a c c →→→→→→→→∴-++=+-=-- ，故选：B.8．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点F 与抛物线216y x =的焦点重合，过点F 的直线交E 于A B 、两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 方程为（）A ．221248x y +=B ．221259x y +=C ．2213620x y +=D ．221189x y +=【正确答案】A【分析】结合中点坐标用点差法求得228,24b a ==.【详解】∵216y x =，故右焦点()4,0F ，则2216a b =+，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=-，且22221122222211x y x y a b a b+=+=，，两式相减得()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=，故()()2221212222121220112413ABb x x y y b b k x x a y y a a +-+==-=-===-+--,故222316a b b ==+，故228,24b a ==,故椭圆E 方程为221248x y +=，故选：A.二、多选题9．已知非零空间向量,,a b c，则下列说法正确的是（）A ．若//,//a b b c，则//a cr r B ．a b b a⋅=⋅ C ．()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅r r r r r r D ．若(),R c xa yb x y =+∈ ，则,,a b c不共面【正确答案】AB【分析】根据向量共线定理判断A ；利用数量积的定义判断B ；根据平面向量数量积的定义和运算律判断C ；利用平面向量基本定理判断D【详解】对于A ，因为a ，b ，c是非零向量，且满足//a b ，//c b ，故存在实数,λμ使得,a b b c λμ== ，故a c λμ= ，所以//a c，故正确；对于B ，因为a ，b ，c是非零向量，所以cos ,a b a b a b b a ⋅=⋅=⋅ ，故正确；对于C ，()()R a b c mc m ⋅⋅=∈ ，()()R b c a na n ⋅⋅=∈ ，a 与c未必共线，故不正确；对于D ，由平面向量基本定理可得若(),R c xa yb x y =+∈ ，则,,a b c共面，故不正确故选：AB10．已知点P 在圆C ：2240x y x +-=上，直线:AB 2y x =+，则（）A ．直线AB 与圆C 相交B ．直线AB 与圆C 相离C ．点P 到直线AB距离最大值为2D ．点P 到直线AB距离最小值为1【正确答案】BC【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断.【详解】解：圆C ：2240x y x +-=，即()2224x y -+=，圆心为()2,0C ，半径2r =，则圆心C 到直线AB 的距离d r =，所以直线AB 与圆C 相离，又点P 在圆C 上，所以点P 到直线AB 距离最大值为2+，点P 到直线AB 距离最小值为2-，故正确的有B 、C.故选：BC11．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知26a =，548a =，则下列结论正确的是（）A ．39a =B ．132n n a -=⋅C ．31nn S =-D ．()321nn S =⋅-【正确答案】BD【分析】根据等比数列公式得到13a =，2q =，计算得到132n n a -=⋅，()321n n S =⋅-，对比选项得到答案.【详解】126a a q ==，45148a a q ==，解得13a =，2q =，故132n n a -=⋅，()321n n S =⋅-，233212a =⋅=，故BD 正确，AC 错误.故选：BD.12．已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点12,F F 在y 轴上，短轴长等于2，离心率为3，过焦1F 作y 轴的垂线交椭圆C 于,P Q 两点，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的方程为2213y x +=B ．椭圆C 的方程为2213x y +=C ．PQ =D ．2PF =【正确答案】ACD【分析】根据给定条件，求出椭圆C 的方程，再逐项计算判断作答.【详解】依题意，椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b +=>>，有1b =得：222223a b e a -==，解得2233a b ==，因此椭圆C 的方程为2213y x +=，A 正确，B 不正确；由椭圆的对称性不妨令1(0,F ，直线:PQ y =2233y y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得||x =，则3PQ =，C 正确；由选项C 知，1||PF =21||2||PF a PF =-=D 正确.故选：ACD三、填空题13．已知()3,2,5a =- ，()1,5,1b =- ，则向量3a b -的坐标为______.【正确答案】()10,1,16-【分析】空间向量线性运算的坐标表示，直接求值.【详解】已知()3,2,5a =- ，()1,5,1b =- ，则()()()333,2,51,5,110,1,16a b -=---=-.故()10,1,16-14．古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数.那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是______.【正确答案】66【分析】根据给定信息，求出三角形数按从小到大排列构成数列的通项，即可求解作答.【详解】依题意，三角形数按从小到大排列构成数列{}n a ，则(1)1232n n n a n +=++++=，所以第11个三角形数是1166a =.故6615．已知抛物线26y x =，直线l 过抛物线的焦点，直线l 与抛物线交于,A B 两点，弦AB 长为12，则直线l 的方程为______.【正确答案】32y x =-或32y x =-+【分析】根据题意可得抛物线的焦点3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 的方程为3322y k x kx k ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，联立直线l 与抛物线方程，消掉y 得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理可得12x x +，由||12AB =，解得k ，即可求解．【详解】解：根据题意可得抛物线的焦点3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为3322y k x kx k ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，联立2326y kx ky x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得22229(36)04k x k x k -++=，所以212236k x x k ++=，1294x x =，因为212236312k AB x x p k +=++=+=，解得21k =，1k =±，则直线l 的方程为32y x =-或32y x =-+．故32y x =-或32y x =-+．四、双空题16．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A ，B 距离之比是常数λ0λ>1λ≠的点M 的轨迹是圆.若两定点(3,0)A -，(3,0)B ，动点M满足MA =，点M 的轨迹围成区域的面积为______，△ABM 面积的最大值为______.【正确答案】72π【分析】设动点(,)M x y，由MA =结合两点距离公式可得得动点M 的轨迹方程为22(9)72x y -+=，可得圆心坐标和半径，即可求点M 的轨迹围成区域的面积；又12ABMM SAB y =⋅，只需max ||M y ，即可得△ABM 面积的最大值.【详解】解：设动点(,)M x y，则MA =MB =，由|||MA MB ==，所以221890x x y -++=，所以22(9)72x y -+=，所以动点M 的轨迹方程为22(9)72x y -+=，所以点M 的轨迹是圆且圆心(9,0)N ，半径为R =点M 的轨迹区域面积272S R ππ==；12ABMM SAB y =⋅，又||6AB =，所以3ABMM Sy =，而max ||M y R ==ABM S △的最大值为．故72π；五、解答题17．已知圆M 的圆心为()2,3，且经过点()5,1C -.(1)求圆M 的标准方程；(2)已知直线:34160l x y -+=与圆M 相交于,A B 两点，求AB .【正确答案】(1)()()222325x y -+-=(2)AB =【分析】（1）根据条件求出圆M 的半径,再结合圆心坐标求出标准方程即可;（2）求出圆心M 到直线l 的距离,再由垂径定理求出||AB .【详解】（1）因为圆M 的圆心为(2,3),且经过点(5,1)C -,所以圆M 的半径5r MC ===,所以圆M 的标准方程为()()222325x y -+-=.（2）由（1）知，圆M 的圆心为()2,3，半径=5r ，所以圆心M 到直线l的距离2d =,所以由垂径定理，得AB ===18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+(1)求{}n a 的通项公式(2)求证数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列【正确答案】(1)21n a n =+(2)证明见解析【分析】(1)根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,代入即可求出通项公式,注意检验1a ;(2)由题意得出n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,用后一项减前一项为定值来证明是等差数列即可.【详解】（1）解:由题知22n S n n =+,113,S a ∴==当2n ≥时,1n n n a S S -=-()()222121n n n n =+----21n =+,将1n =代入上式可得13a =,故1n =时满足上式,21n a n ∴=+;（2）证明:由题知22n S n n =+,2nS n n∴=+,()121211n n S S n n n n -∴-=+---=-,且131S =,n S n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以3为首项,1为公差的等差数列.19．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为,AB BC 的中点.(1)求证：11A F C E ⊥；(2)求点A 到平面1C EF 的距离.【正确答案】(1)证明见解析；(2)23.【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答.（2）利用（1）中坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离.【详解】（1）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，分别以1,,BC BA BB 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则()()()()110,1,0,1,0,0,0,2,2,2,0,2E F A C ，()()111,2,2,2,1,2A F C E =--=--，所以2111(2)(2)1(2)0A F C E ⋅=⨯-+-⨯+-= ，即有11A F C E ⊥ ，所以11A F C E ⊥.（2）由（1）知，()0,2,0A ，则()()()11,1,0,1,0,2,0,1,0EF FC AE =-==-，设(),,n x y z = 是平面1C EF 的法向量，则1020n EF x y n FC x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1z =-，得()2,2,1n =- ，所以点A 到平面1C EF的距离||23||AE n d n ⋅== .20．已知()()1,2,2,4A B ，且()()*,N n C n a n ∈在直线AB 上，其中n a 是数列{}n a 中的第n 项.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)2n a n =；(2)()2124n n T n +=-+.【分析】（1）根据给定条件，求出直线AB 的方程，再代入求解作答.（2）由（1）求出n b ，再利用错位相减法求和作答.【详解】（1）因为()()1,2,2,4A B ，则直线AB 的斜率为42221AB k -==-，直线AB 的方程为：()221y x -=-，即2y x =，又因为()()*,N n C n a n ∈在直线AB 上，则有2n a n =，所以数列{}n a 的通项公式是2n a n =.（2）由（1）知，1222nn n b n n +=⋅=⋅，则23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯，于是得()341221222122n n n T n n ++=⨯+⨯++-⨯+⨯，两式相减得：22312222(12)22222(1)2412n n n n n n T n n n ++++--=+++-⨯=-⨯=-⨯--，所以数列{}n b 的前n 项和()2124n n T n +=-⋅+.21．如图，PA ⊥底面ABCD ，ED ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，22AP AD DE ===.(1)证明：//DE 平面ABP ；(2)求直线CP 与平面DCE 所成角的正切值.【正确答案】(1)证明见解析；22.【分析】（1）利用线面垂直的性质、线面平行的判定推理作答.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦即可求解作答.【详解】（1）因为PA ⊥底面ABCD ，ED ⊥底面ABCD ，则//PA DE ，PA ⊂平面ABP ，DE ⊄平面ABP ，所以//DE 平面ABP .（2）依题意，,,AB AD AP 两两垂直，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()()()()0,2,0,2,2,0,0,2,1,0,0,2D C E P ，()2,2,2CP =-- ，()0,2,0AD = ，而,,,,DE AD DC AD DE DC D DE DC ⊥⊥⋂=⊂平面DCE ，即AD ⊥平面DCE ，则平面DCE 的一个法向量为()0,2,0AD = ，设直线CP 与平面DCE 所成角为θ，则||3sin cos ,3||||223AD CP AD CP AD CP θ⋅=〈〉==⨯则cosθ===sintancos2θθθ==，所以直线CP与平面DCE所成角的正切值为2.22．已知椭圆C：22221x ya b+=（0a b>>）的离心率为2，其左､右焦点分别为1F，2F，T为椭圆C上任意一点，12TF F△面积的最大值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知()0,1A，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线AM，AN与x 轴的交点分别为P，Q，证明：以PQ为直径的圆过定点.【正确答案】(1)2212x y+=(2)证明见解析【分析】（1）依题意可得22221cabca b c⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，即可求出a、b、c，即可得解；（2）设直线l的方程为12y kx=+，()11,M x y，()22,N x y，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由直线AM、AN的方程，得到P、Q的坐标，即可得到以PQ为直径的圆的方程，再令0x=，得到26y=，即可得解；【详解】（1）解：因为椭圆C的离心率为2，所以2ca=.又当T位于上顶点或者下顶点时，12TF F△面积最大，即1bc=.又222a b c=+，所以1b c==，a=所以椭圆C的标准方程为2212x y+=.（2）解：由题知，直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为12y kx=+，设()11,M x y，()22,N x y，将直线l代入椭圆C的方程得：()2242430k x kx++-=，由韦达定理得：122442k x x k -+=+，122342x x k -=+，直线AM 的方程为1111y y x x -=+，直线AN 的方程为2211y y x x -=+，所以11,01x P y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，22,01x Q y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，所以以PQ 为直径的圆为21212011x x x x y y y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，整理得.()()221212*********x x x x x y x y y y y ⎛⎫++++= ⎪----⎝⎭①因为()()()121212222212121212412611114211284222x x x x x x y y k x x k x x k k k kx kx -====----++-+++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令①中的0x =，可得26y =，所以，以PQ为直径的圆过定点(0,.。
广东省广州市第八十九中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题(一)
广东省广州市第八十九中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．111333a b c++ B ．6．直线3230x y -+=被圆A ．2B ．7．中国古代的武成王庙是专门祭祀姜太公以及历代良臣名将的庙宇，这类庙宇的顶部构造颇有讲究.如图是某武成王庙顶部的剖面直观图，A ．0.4B ．0.458．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是的离心率512e -=，则称椭圆C 为“黄金椭圆和B 分别为椭圆C 的上顶点和右顶点，则下列说法错误的是（A ．a ，b ，c 成等比数列C ．222111a b c+=二、多选题9．已知圆O ：224x y +=和圆C ：(2x -A ．圆O 与圆C 有四条公切线B ．过C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为C ．过C 且与圆O 相切的直线方程为D ．P ､Q 分别为圆O 和圆C 上的动点，A ．存在点P 使得1//A PB ．当2t =时，存在点PC ．当2t =时，满足1A PD ．当233t =时，满足三、填空题13．已知空间向量(1,1,0a =r 是.14．已知等比数列{}n a 的公比不为5a =．15．一抛物线型的拱桥如图所示：桥的跨度4米用一个柱子支撑，则支柱四、解答题(1)证明：BD ⊥平面ACF ；(2)若直线DA 与平面ACF 所成的角为20．已知数列{}n a 满足1a =(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n n na b =，且数列{}n b 范围．21．如图，在三棱柱PAD -(1)求证：M 为PB 的中点；(2)求二面角B PD A --的大小；(3)在线段AC 上是否存在点N 出ANAC的值；若不存在，请说明理由22．已知双曲线(22221x y a a b -=点到渐近线的距离为1.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点()0,1-的直线l 与双曲线的右支相切于点B 两点，与直线l 交于点M .是否存在实数数λ的值；若不存在，请说明理由。
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上学期高二数学期末模拟试题02一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．复数i z 21+-=所对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．复数11ii-=+ A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．抛物线28y x =的焦点坐标为A ．(20)，B ．(20)-，C ．(02)，D ．(02)-，4．已知直线经过点(04)A ，和点(12)B ，，则直线AB 的斜率为（ ） A ．2B ．2-C ．12-D ．不存在5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积 是6．双曲线22144x y -=的渐近线方程为 7．已知命题2:10q x x ∀∈+>R ，，则q ⌝为（ ）A ．210x x ∀∈+≤R ， B ．210x x ∃∈+<R ， C ．210x x ∃∈+≤R ， D ．210x x ∃∈+>R ，8．过点(12)P -，与直线210x y +-=垂直的直线的方程为 A ．12B．3+ C ．2+D ．6A ．y x =± B．y =C ．2y x =±D ．4y x =±左视图俯视图A ．032=++y xB ．052=+-y xC ．032=-+y xD ．240x y -+=9．已知αβ，表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件10．过点(11)，的直线l 与圆224x y +=交于A B ，两点，若|AB l 的方程为A ．+2=0x y -B ．2+1=0x y -C ．21=0x y --D ．1=0x y --11．已知三条不同直线m n l ，，，两个不同平面αβ，，有下列命题： ①m α⊂，n α⊂，m ∥β，n ∥β，则α∥β ②m α⊂，n α⊂，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥ ③αβ⊥，=m αβ，n β⊂，n m ⊥，则n α⊥④m ∥n ，n α⊂，则m ∥α 其中正确的命题是 A ．①③ B ．②④C ．③D ．①②④12．若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同，且12a a >，则下面结论正确的是① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点 ② 22212221b b a a -=-③1122a b a b > ④ 1212a a b b -<- A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D. ①②③ 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上．13．如果复数i z +-=2，则z =________，3i z +=________.14．命题“a b ∀∈R ，，如果a b >，则33a b >”的逆命题是____________________． 15．椭圆22192x y +=的焦点为12F F ，，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =_________；12F PF ∠的小大为__________．16．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点．已知下列判断：①1AC ^平面1B EF ；②1B EF D 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线．其中正确结论的序号为__________（写出所有正确结论的序号）.三、解答题：本大题共6个小题，共40分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分5分)实数x 取何值时，复数i x x x x z )23()2(22+++-+=是实数？是虚数？是纯虚数？18．(本小题满分6分)已知直线l 与直线3470x y +-=的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程.19．(本小题满分6分)已知直线1:20l x y +=，直线2:20l x y +-=和直线3:3450l x y ++=． （Ⅰ）求直线1l 和直线2l 交点C 的坐标；（Ⅱ）求以C 点为圆心，且与直线3l 相切的圆C 的标准方程．A BCD FE1A1B1C 1D如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，O 是正方形ABCD 的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：（Ⅰ）PA ∥平面BDE ；（Ⅱ）平面PAC ⊥平面BDE .21．(本小题满分8分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，点M N ，分别为BC PA ，的中点，且2==AB PA ． （Ⅰ）证明：BC ⊥平面AMN ； （Ⅱ）求三棱锥AMC N -的体积；（Ⅲ）在线段PD 上是否存在一点E ，使得//NM 平面ACE ；若存在，求出PE 的长；若不存在，说明理由．PAB CDN M ABCD OEP已知椭圆的两个焦点1F (0)，2F 0)，过1F 且与坐标轴不平行的直线m 与椭圆相交于M ，N 两点，如果2MNF ∆的周长等于8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点(10)，的直线l 与椭圆交于不同两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (0)m ，，使PE QE ⋅恒为定值？若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.（一题两空的题目第一问1分，第二问2分.第16题答对一个给1分，但有多答或答错不给分.）三、解答题：本大题共6个小题，共40分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分5分)解： 令022=-+x x ，解得21x x =-=，； 令0232=++x x ，解得21x x =-=-，． ……………2分 所以 当2-=x 或1-=x 时，复数z 是实数； ……………3分 当2-≠x 且1-≠x 时，复数z 是虚数； ……………4分当1=x 时，复数z 是纯虚数． ……………5分 18．(本小题满分6分)解：直线3470x y +-=的斜率为34-. 因为直线l 与直线3470x y +-=的倾斜角相等，所以3=4l k -. ……………1分 设直线l 的方程为3=+4y x b -，令=0y ，则4=3x b . ……………2分因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，所以14=||||=2423S b b ⋅， 所以=6b ±. ……………4分所以直线l 的方程为3=64y x -±，即3+4+24=0x y 或3+424=0x y -． ……………6分 19．(本小题满分6分) 解：（Ⅰ）由2020x y x y +=⎧⎨+-=⎩，，得24x y =-⎧⎨=⎩，，所以直线1l 和直线2l 交点C 的坐标为()24-，． ……………3分 （Ⅱ）因为圆C 与直线3l 相切， 所以圆的半径351543516622==+++-=r ， ……………5分 所以圆C 的标准方程为()()94222=-++y x ． ……………6分 20．(本小题满分7分) 证明：（Ⅰ）连结OE ．因为O 是AC 的中点，E 是PC 的中点，所以OE ∥AP ． ……………2分 又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以PA ∥平面BDE ． ……………3分 （Ⅱ）因为PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BD ． ……………4分 又因为AC ⊥BD ，且AC PO =O ， ……………5分 所以BD ⊥平面PAC ． ……………6分 而BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE ． ……………7分21．(本小题满分8分)证明：（Ⅰ） 因为ABCD 为菱形，所以=ABBC ， 又60ABC ∠=，所以==AB BC AC ． 因为点M 为BC 的中点，所以BC AM ⊥， 而PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PA BC ⊥． 又PAAM A =，所以BC ⊥平面AMN ． ……………2分（Ⅱ）因为11122AMC S AM CM ∆=⋅==, 又PA ⊥底面ABCD ， 2PA =，所以1AN =． 所以三棱锥N AMC -的体积31=V AMC S AN ∆⋅11326=⨯=． ……………4分 （Ⅲ）在PD 上存在一点E ，使得//NM 平面ACE ． ……………5分取PD 中点E ，连结NE ，EC ，AE ． 因为N ，E 分别为PA ，PD 中点，所以AD NE 21//． 又在菱形ABCD 中，1//2CM AD ，所以MC NE //，即MCEN 是平行四边形， ……………6分 所以EC NM //．又⊂EC 平面ACE ，⊄NM 平面ACE ，所以MN //平面ACE ， ……………7分PAB CDN M E即在PD 上存在一点E ，使得//NM 平面ACE ，此时12PE PD ==……………8分 22．(本小题满分8分)解：（Ⅰ）由题意知c ，4=8a ，所以 =2a ，=1b ，所以 椭圆的方程为22+=14x y . ……………2分 （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为=(1)y k x -， 因为点(1,0)在椭圆内，所以直线l 与椭圆有两个交点，k ∈R .由22+=14=(1)x y y k x ⎧⎪⎨⎪-⎩，，消去y 得2222(4+1)8+44=0k x k x k --， ……………3分 设P 11()x y ，，Q 22()x y ，，则由根与系数关系得21228+=4+1k x x k ，212244=4+1k x x k -， 所以21212=(1)(1)y y k x x --， ……………4分 则=PE 11()m x y --，，=QE 22()m x y --，， 所以PE QE ⋅＝1212()()+m x m x y y --＝2121212(+)++m m x x x x y y -＝22121212(+)++(1)(1)m m x x x x k x x ---＝2222222222844448++(+1)4+14+14+14+1k m k k k m k k k k k ---- ＝2222(48+1)+44+1m m k m k -- ……………5分 要使上式为定值须2248+14=41m m m --，解得17=8m ，所以PE QE ⋅为定值3364. ……………6分 当直线l 的斜率不存在时P (1，Q (1，，由E 17(0)8，可得=PE 9(8-，，=QE 9(8， 所以81333==64464PE QE ⋅-， ……………7分 综上所述当E 17(0)8，时，PE QE ⋅为定值3364. ……………8分。