2012年高考第一轮复习数学：5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积

第五章 平面向量●网络体系总览平面向量解斜三角形向量的概念向量的运算向量的表示向量的应用几何表示坐标表示代数运算几何运算线段的定比分点平移正弦定理余弦定理●考点目标定位1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.2.掌握向量的加法与减法的运算律及运算法则.3.掌握实数与向量的积的运算律及运算法则.4.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. ●复习方略指南向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强.从近几年高考试题可以看出，主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使用，“平面向量”将会成为命题的热点，一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律.本单元试题的常见类型有：（1）与“定比分点”有关的试题；（2）平面向量的加减法运算及其几何意义；（3）平面向量的数量积及运算律，平面向量的坐标运算，用向量的知识解决几何问题； （4）正、余弦定理的应用. 复习本章时要注意：（1）向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量.（2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.（3）向量的加、减、数乘积是向量的线性运算，其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直.（4）向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律.（5）要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.（6）平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积●知识梳理1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. （5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. （7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. （2）法则：三角形法则；平行四边形法则. （3）运算律：a +b =b +a ；（a +b ）+c =a +（b +c ）. 3.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法. （2）法则：三角形法则；平行四边形法则. 4.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，规定：|λa |=|λ||a |.当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λa 与a 平行.（2）运算律：λ（μa ）=（λμ）a ，（λ+μ）a =λa +μa ，λ（a +b ）=λa +λb . 5.两个重要定理：（1）向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ，即b ∥a ⇔b =λa （a ≠0）.（2）平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2.●点击双基1.（2004年天津，理3）若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=35，则b 等于A.（－3，6）B.（3，－6）C.（6，－3）D.（－6，3）解析：易知a 与b 方向相反，可设b =（λ，－2λ）（λ＜0）.又|b |=35=224λλ+，解之得λ=－3或λ=3（舍去）.∴b =（－3，6）. 答案：A2.（2004年浙江，文4）已知向量a =（3，4），b =（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于A.43 B.－43 C.34 D.－34 解析：由a ∥b ，∴3cos α=4sin α.∴tan α=43. 答案：A3.若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且=a ，=b ，则等于 A.b +21a B.b －21a C.a +21bD.a －21b 解析：BE =AE －AB =AD +DE －AB =AD +21AB －AB =b －21a . 答案：B4.e 1、e 2是不共线的向量，a =e 1+k e 2，b =k e 1+e 2，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于 A.0 B.－1 C.－2 D.±1 解析：a 与b 共线⇔存在实数m ，使a =m b ， 即e 1+k e 2=mk e 1+m e 2.又e 1、e 2不共线， ∴⎩⎨⎧==.1k m mk ，∴k =±1.答案：D5.若a =“向东走8 km ”，b =“向北走8 km ”，则｜a +b |=_______，a +b 的方向是_______. 解析：|a +b |=6464+=82（km ）. 答案：82 km 东北方向●典例剖析【例1】 已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |等于 A.1B.2C.5D.6剖析：欲求|a +b |，一是设出a 、b 的坐标求，二是直接根据向量模计算. 解法一：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则x 12+y 12=1，x 22+y 22=4，a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2）， ∴（x 1－x 2）2+（y 1－y 2）2=4. ∴x 12－2x 1x 2+x 22+y 12－2y 1y 2+y 22=4. ∴1－2x 1x 2－2y 1y 2=0.∴2x 1x 2+2y 1y 2=1.∴（x 1+x 2）2+（y 1+y 2）2=1+4+2x 1x 2+2y 1y 2=5+1=6. ∴|a +b |=6.解法二：∵|a +b |2+|a －b |2=2（|a |2+|b |2）， ∴|a +b |2=2（|a |2+|b |2）－|a －b |2 =2（1+4）－22=6. ∴|a +b |=6.故选D.深化拓展此题也可以利用“解斜三角形”的方法进行处理.【例2】如图，G是△ABC的重心，求证：GA+GB+GC=0.AGB CDE剖析：要证GA+GB+GC=0，只需证GA+GB=－GC，即只需证GA+GB与GC互为相反的向量.证明：以向量GB、GC为邻边作平行四边形GBEC，则GB+GC=GE=2GD.又由G 为△ABC的重心知AG=2GD，从而GA=－2GD.∴GA+GB+GC=－2GD+2GD=0.评述：向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认识，并能体会用向量处理问题的优越性.深化拓展此题也可用向量的坐标运算进行证明.【例3】设OA、OB不共线，点P在AB上，求证：OP=λOA+μOB且λ+μ=1，λ、μ∈R.剖析：∵点P在AB上，可知AP与AB共线，得AP=t AB.再用以O为起点的向量表示.证明：∵P在AB上，∴AP与AB共线.∴AP=t AB.∴OP－OA=t（OB－OA）.∴OP=OA+t OB－t OA=（1－t）OA+t OB.设1－t=λ，t=μ，则OP=λOA+μOB且λ+μ=1，λ、μ∈R.评述：本例的重点是考查平面向量的基本定理，及对共线向量的理解及应用.深化拓展①本题也可变为OA，OB不共线，若OP=λOA+μOB，且λ+μ=1，λ∈R，μ∈R，求证：A、B、P三点共线.提示：证明AP与AB共线.②当λ=μ=21时，OP =21（OA +OB ），此时P 为AB 的中点，这是向量的中点公式. 【例4】 若a 、b 是两个不共线的非零向量（t ∈R ）.（1）若a 与b 起点相同，t 为何值时，a 、t b 、31（a +b ）三向量的终点在一直线上?（2）若|a |=|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小? 解：（1）设a －t b =m ［a －31（a +b ）］（m ∈R ），化简得（32m －1）a =（3m－t ）b . ∵a 与b 不共线， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.2123030132t m t m m ，∴t =21时，a 、t b 、31（a +b ）的终点在一直线上. （2）|a －t b |2=（a －t b ）2=|a |2+t 2|b |2－2t |a ||b |cos60°=（1+t 2－t ）|a |2，∴t =21时，|a －t b |有最小值23|a |. 评述：用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题.思考讨论两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样?●闯关训练 夯实基础1.（2004年广东，1）已知平面向量a =（3，1），b =（x ，－3）且a ⊥b ，则x 等于 A.3 B.1 C.－1 D.－3 解析：由a ⊥b ，则3x －3=0，∴x =1. 答案：B2.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有 A.a ∥b 且a 、b 方向相同 B.a =b C.a =－b D.以上都不对 解析：a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，∴a ∥b 且方向相同. 答案：A3.在四边形ABCD 中，AB －DC －CB 等于 A.ACB.BDC.ADD.AC解析：－－=－=+=. 答案：C4.设四边形ABCD 中，有DC =21AB 且|AD |=|BC |，则这个四边形是A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形解析：∵DC =21AB ，∴DC ∥AB ，且DC ≠AB .又|AD |=|BC |，∴四边形为等腰梯形. 答案：C5.l 1、l 2是不共线向量，且a =－l 1+3l 2，b =4l 1+2l 2，c =－3l 1+12l 2，若b 、c 为一组基底，求向量a .解：设a =λ1b +λ2c ，即－l 1+3l 2=λ1（4l 1+2l 2）+λ2（－3l 1+12l 2）， 即－l 1+3l 2=（4λ1－3λ2）l 1+（2λ1+12λ2）l 2，∴⎩⎨⎧-=-.31221342121＝＋，λλλλ解得λ1=－181，λ2=277，故a =－181b +277c . 6.设两向量e 1、e 2满足|e 1|=2，|e 2|=1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.解：e 12=4，e 22=1，e 1²e 2=2³1³cos60°=1， ∴（2t e 1+7e 2）²（e 1+t e 2）=2t e 12+（2t 2+7）e 1²e 2+7t e 22=2t 2+15t +7.∴2t 2+15t +7＜0.∴－7＜t ＜－21.设2t e 1+7e 2=λ（e 1+t e 2）（λ＜0）⇒⎩⎨⎧==λλt t 72⇒2t 2=7⇒t =－214， ∴λ=－14. ∴当t =－214时，2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为π. ∴t 的取值范围是（－7，－214）∪（－214，－21）. 思考讨论向量a 、b 的夹角为钝角，则cos 〈a ，b 〉＜0，它们互为充要条件吗?培养能力7.已知向量a =2e 1－3e 2，b =2e 1+3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c =2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d =λa +μb 与c 共线?解：∵d =λ（2e 1－3e 2）+μ（2e 1+3e 2） =（2λ+2μ）e 1+（－3λ+3μ）e 2，要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d =k c ，即（2λ+2μ）e 1+（－3λ+3μ）e 2=2k e 1－9k e 2，由⎩⎨⎧-=+-=+，，k k 933222μλμλ得λ=－2μ.故存在这样的实数λ、μ，只要λ=－2μ，就能使d 与c 共线.8.如图所示，D 、E 是△ABC 中AB 、AC 边的中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知=a ，=b ，试用a 、b 分别表示、和.解：由三角形中位线定理，知DE 21BC . 故DE =21BC ，即DE =21a . CE =CB +BD +DE =－a +b +21a =－21a +b ， MN =MD +DB +BN =21ED +DB +21BC =－41a +21a －b =41a －b . 探究创新9.在△ABC 中，AM ∶AB =1∶3，AN ∶AC =1∶4，BN 与CM 交于点E ，AB =a ，AC =b ，用a 、b 表示.解：由已知得AM =31AB ，AN =41AC .设ME =λMC ，λ∈R ，则AE =AM +ME =AM +λMC . 而MC =AC －AM ，∴=+λ（－） =31+λ（－31）. ∴AE =（31－3λ）AB +λAC .同理，设NE =t NB ，t ∈R ，则AE =AN +NE =41AC +t NB =41AC +t （AB －AN ）=41AC +t （AB －41AC ）. ∴=（41－4t）+t . ∴（31－3λ）+λ=（41－4t）+t .由AB 与AC 是不共线向量，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-，，441331t t λλ解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.113112t ，λ∴AE =113AB +112AC ，即AE =113a +112b . 评述：此题所涉及的量较多，且向量与向量之间的关系较为复杂，因此对学生来说确有一定困难.通过共线向量，增加辅助量来理清向量之间关系是“探索”之所在，即对基本定理的深化及应用.●思悟小结1.我们学习的向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.2.共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.3.对于两个向量平行的充要条件：a ∥b ⇔a =λb ，只有b ≠0才是正确的.而当b =0时，a ∥b 是a =λb 的必要不充分条件. 4.向量的坐标表示体现了数形的紧密关系，从而可用“数”来证明“形”的问题. 5.培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力. ●教师下载中心 教学点睛1.本课复习的重点是：理解向量的基本概念，掌握向量的加法、减法运算，掌握实数与向量的积的运算.2.复习时要构建良好的知识结构.3.向量的加法、减法运算既要注重几何运算，又要注重代数运算.4.强化数学思想的教学，尤其是数形结合思想、化归思想等. 拓展题例【例题】 对任意非零向量a 、b ，求证：|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |. 证明：分三种情况考虑.（1）当a 、b 共线且方向相同时，|a |－|b |＜|a +b |=|a |+|b |，|a |－|b |=|a －b |＜|a |+|b |. （2）当a 、b 共线且方向相反时，∵a －b =a +（－b ），a +b =a －（－b ），利用（1）的结论有||a |－|b ||＜|a +b |＜|a |+|b |，|a |－|b |＜|a －b |=|a |+|b |.（3）当a ，b 不共线时，设OA =a ，OB =b ，作OC =OA +OB =a +b ，BA =OA －OB =a －b ，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得||a |－|b ||＜|a ±b |＜|a |+|b |.综上得证.。