第29讲简单的三角函数模型应用题解法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析

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2021高考数学常见题型解法归纳《第29招简单的三角函数模型应用题解法》

w 函数不等式主要是利用三角函数的图像和数形结合的思想解答.三角不等式的解集中一般含有“ k z ”，最后给 k 赋值和实际范围求交集.
【反馈检测 2】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天
【方法讲评】
题型一
三角函数的解析式问题、图像和性质问题
使用情景解题步骤
求三角函数的解析式
先根据题意求出待定系数利用函数的图像和性质解答.
【例 1】如图，某一天从 6―14 时的温度变化曲线满足函数 y Asin(wx ) b .
（1）求这一天 6－14 时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式.
3
6
9
12
15
18
21
24
y (米) 1.5 1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
经长期观测， y f (t) 的曲线可近似地看成是函数 y A cost b . （1）根据以上数据，求函数 y A cost b 的最小正周期 T ，振幅 A 及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午 8∶00 时至晚上 20∶00 时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
出港．每次可以在港口最多能停留 4 小时.
【反馈检测 2 详细解析】（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，考虑用函数 y h Asin(wx ) 刻画水
深与时间之间的对应关系．
从数据可以得出： A 3, h 12,T 12, 0. 由 T 2 12 ，得 w ．

高中数学三角函数解题实例及解题思路分析

高中数学三角函数解题实例及解题思路分析在高中数学学习中，三角函数是一个重要的内容，也是考试中常见的题型。

掌握三角函数的解题方法和思路对于提高数学成绩至关重要。

本文将通过一些实例来解析三角函数解题的思路和技巧，帮助高中学生更好地应对这类题目。

一、正弦函数的应用正弦函数是三角函数中最常见的一种，它在解决角度问题时特别有用。

下面以一个实例来说明。

例题：已知在直角三角形ABC中，角A的对边为3，斜边为5，求角A的正弦值。

解析：根据正弦函数的定义，正弦值等于对边与斜边的比值。

所以，sinA = 对边/斜边 = 3/5。

通过这个例题，我们可以看出，解决正弦函数的题目，首先要明确正弦值的定义，然后根据题目给出的条件，找到对应的边长，最后进行计算。

二、余弦函数的应用余弦函数在三角函数中也是常见的一种，它在解决角度问题时同样非常有用。

下面以一个实例来说明。

例题：已知在直角三角形ABC中，角A的邻边为4，斜边为5，求角A的余弦值。

解析：根据余弦函数的定义，余弦值等于邻边与斜边的比值。

所以，cosA = 邻边/斜边 = 4/5。

通过这个例题，我们可以看出，解决余弦函数的题目，同样要明确余弦值的定义，然后根据题目给出的条件，找到对应的边长，最后进行计算。

三、三角函数的性质除了直接计算三角函数的值，我们还可以利用三角函数的性质来解题。

下面以一个实例来说明。

例题：已知sinA = 3/5，cosB = 4/5，求sin(A+B)的值。

解析：根据三角函数的性质，sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinB。

代入已知条件，得到sin(A+B) = (3/5)*(4/5) + (4/5)*(3/5) = 24/25。

通过这个例题，我们可以看出，利用三角函数的性质可以简化计算过程，提高解题效率。

四、三角函数的图像应用三角函数的图像在解题中也有很大的应用价值。

下面以一个实例来说明。

例题：已知函数y = sin(x)在区间[0, 2π]上的图像如下所示，求解sin(x) = 1的解。

三角函数题型归纳总结及方法

三角函数题型归纳总结及方法
三角函数是数学中的一类非常重要的函数，它们涉及的角度和边长的关系在很多实际问题中都有应用。

以下是对三角函数题型及方法的归纳总结:
1.角度和边长的关系:
在直角三角形中，三个内角和等于180度，并且-个角正弦值的平方等于余弦值的平方和。

这是三角函数的基础，也是解决许多问题的关键。

2.三角函数的定义:
三角函数是以角度为自变量，角度的正弦值、余弦值、正切值等为因变量的函数。

这些函数都可以用级数展开式来表示，而展开式又可以表示成多项式和幂级数的形式。

3.同角三角函数之间的关系:
在一个角度下，正弦值、余弦值和正切值之间有一定的关系，这些关系式可以用于简化问题或推导其他公式。

4.三角函数的恒等式:
恒等式是数学中非常有用的工具，它们可以帮助我们在不改变量的条件下推导出新的关系式。

三角函数也有一系列恒等式，如和差恒等式、积化和差恒等式等。

5.三角函数的图像:
图像是理解函数性质的重要工具。

对于三角函数，图像可以用来研究函数的周期性、最值、对称性等性质。

6.三角函数的应用:
三角函数在很多实际问题中都有应用，如物体运动轨迹的计算、振动问题的研究、电磁波的传播等。

解决三角函数问题的常用方法包括:
1.利用角度和边长的关系推导公式;
2.利用同角三角函数之间的关系简化问题;
3.利用恒等式推导新的关系式;
4.利用图像研究函数性质;
5.利用三角函数解决实际问题。

制表：审核：批准：。

三角函数题型及解法

高中数学常见三角函数题型及解法近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 三角函数的命题趋于稳定,会保持原有的考试风格，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光.三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型。

1、三角函数的概念及同角关系式此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取.例1（10全I 卷理2）记cos(80)k -︒=,那么tan100︒= A.21k k - B.-21k k - C.21k - D.-21k- 解： 222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-,∴tan100tan80︒=-2sin 801.cos80k k-=-=-。

故选B 评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用. 同时熟练掌握三角函数在各象限的符号. 例2（10全1卷文1）cos300︒=(A)32- (B)-12(C)12(D) 32 解：()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒= 评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识2、三角函数的化简求值这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值.例3（10重文数15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则232311cos cos sin sin 3333αααααα++-=____________解：232312311cos cos sin sin cos 33333ααααααααα++++-=又 1232αααπ++=，∴1231cos 32ααα++=- 评注：本题以过同一点的三段圆弧为背景，考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技巧，将已知与求解合理转化，从而达到有效地求解目的.例4（10全1理数14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= . 解： α为第三象限的角∴ππ+k 2<α<ππ232+k∴ππ24+k <2α<ππ34+k (Z K ∈)又 3cos 25α=-<0,∴4sin 25α=,∴sin 24tan 2cos 23ααα==- ∴tan(2)4πα+=41tan tan 2134471tan tan 2143παπα-+==--+. 评注：本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵活运用。

三角函数方程的解法和应用

三角函数方程的解法和应用三角函数方程是由三角函数构成的等式，求解这种方程是解析几何和三角学中的重要内容之一。

本文将介绍常见的三角函数方程的解法以及它们在实际应用中的一些例子。

一、解三角函数方程的基本方法1. 首先，将三角函数方程转化为只包含一个三角函数的方程。

可以利用三角函数的基本性质和恒等式进行变换和化简。

2. 对于只包含一个三角函数的方程，可以通过代数方法求解。

常用的方法有代数法、因式分解法和配方法。

代数法：将三角函数变量表示成代数变量，通过利用代数运算性质简化方程，再用因式分解法求解。

因式分解法：对方程进行因式分解，找出满足方程的解。

配方法：将含有三角函数的方程进行配方变形，使方程变成含有完全平方的方程，进而求解。

3. 求得方程的解后，可以通过反函数和周期性性质来求解方程在给定范围内的全部解。

二、三角函数方程的应用1. 几何问题：三角函数方程经常在解析几何问题中应用。

例如，当我们需要求解一个三角形的内角时，可以利用三角函数方程解出对应的角度。

2. 物理问题：三角函数方程在物理学中有广泛的应用。

例如，弹簧振子的运动可以用三角函数方程来描述。

3. 工程问题：在工程领域中，三角函数方程用于描述波动、周期性运动以及交流电路中的电流和电压变化等问题。

4. 统计问题：在统计学中，三角函数方程被用于描述季节性变化、周期性趋势和周期性波动等现象。

三、实例分析下面通过一个实例来进一步说明三角函数方程的解法和应用。

例题：求解方程sin(x) + cos(x) = 1解法：将方程化简为只包含一个三角函数的方程，得到√2 * sin(x + π/4) = 1通过化简，可以得到sin(x + π/4) = 1/√2再通过观察，我们知道sin(pi/4) = 1/√2，因此，x + π/4 = nπ + (-1)^n * pi/4 (n为整数)解得x = nπ - (-1)^n * pi/4 - π/4通过这个例子，我们可以看到如何化简三角函数方程并求解其解。

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习29---三角函数与解三角形热点问题

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第29讲三角函数与解三角形热点问题核心热点真题印证核心素养三角函数的图象与性质2022·全国Ⅰ，7；2022·全国Ⅲ，16；2022·天津，8；2019·全国Ⅰ，11；2019·北京，9；2019·全国Ⅲ，12；2019·天津，7；2018·全国Ⅱ，10；2018·全国Ⅰ，16；2018·全国Ⅲ，15直观想象、逻辑推理三角恒等变换2022·全国Ⅰ，9；2022·全国Ⅱ，2；2022·全国Ⅲ，9；2019·全国Ⅱ，10；2019·浙江，18；2018·浙江，18；2018·江苏，16；2018·全国Ⅱ，15；2018·全国Ⅲ，4逻辑推理、数学运算解三角形2022·全国Ⅰ，16；2022·全国Ⅲ，7；2022·北京，17；2022·天津，16；2022·新高考山东，17；2022·浙江，18；2019·全国Ⅰ，17；2019·全国Ⅲ，18；2019·北逻辑推理、数学运算京，15；2019·江苏，15；2018·全国Ⅰ，17三角函数的图象与性质(必修4P147复习参考题A 组第9题、第10题)题目9 已知函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x . (1)求它的递减区间； (2)求它的最大值和最小值．题目10 已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的集合．[试题评析]两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后利用三角函数的性质求解. 【教材拓展】已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z}， f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z).设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．探究提高 1.将f (x )变形为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是求解的关键，(1)利用商数关系统一函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数．2．把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．【链接高考】(2019·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R. (1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．解 (1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0. 又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或3π2. (2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －32sin 2x＝1－32cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由于x ∈R ，知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[－1,1]，因此，所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32.三角函数与平面向量【例题】(2021·湘赣十四校联考)已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(3，cos x )，且函数f (x )＝m ·n .(1)若x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (x )＝23，求sin x 的值；(2)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝7，△ABC 的面积为332，且f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝73b sin C ，求△ABC 的周长．[自主解答]解 (1)f (x )＝m ·n ＝(sin x ，－1)·(3，cos x ) ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.∵f (x )＝23，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝13.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝223.∴sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝13×32＋223×12＝3＋226. (2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝73b sin C ， ∴2sin A ＝73b sin C ，即6sin A ＝7b sin C ．由正弦定理可知6a ＝7bc . 又∵a ＝7，∴bc ＝6.由已知△ABC 的面积等于12bc sin A ＝332，∴sin A ＝32. 又∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.由余弦定理，得b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2＝7，故b 2＋c 2＝13， ∴(b ＋c )2＝25，∴b ＋c ＝5， ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先利用三角公式对三角函数式进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直、向量的数量积运算等形式出现的条件转化为三角函数式；再活用正、余弦定理对边、角进行互化． 2．这种问题求解的难点一般不是向量的运算，而是三角函数性质、恒等变换及正、余弦定理的应用，只不过它们披了向量的“外衣”．【尝试训练】(2021·沧州质检)已知a ＝(53cos x ，cos x )，b ＝(sin x,2cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋|b |2.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调减区间；(3)当π6≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．解 f (x )＝a ·b ＋|b |2＝53cos x sin x ＋2cos 2x ＋sin 2x ＋4cos 2x ＝53sin x cos x ＋sin 2x ＋6cos 2x ＝532sin 2x ＋1－cos 2x 2＋3(1＋cos 2x ) ＝532sin 2x ＋52cos 2x ＋72＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋72.(1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z)得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)．∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)．(3)∵π6≤x ≤π2，∴π2≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， ∴1≤5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋72≤172. ∴当π6≤x ≤π2时，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，172.解三角形【例题】(12分)(2022·全国Ⅱ卷)△ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C ．(1)求A ；(2)若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值． [规范解答]解 (1)由正弦定理和已知条件得用正弦定理化角为边BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB .①2′由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ．② 由①②得cos A ＝－12. 用余弦定理化边为角4′因为0<A <π，所以A ＝2π3.6′ (2)由正弦定理及(1)得AC sin B＝AB sin C＝BC sin A＝23，8′从而AC ＝23sin B ，AB ＝23sin(π－A －B )＝3cos B －3sin B ．故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B＝3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3. 两角和正弦公式的逆用10′又0<B <π3，所以当B ＝π6时，△ABC 周长取得最大值3＋2 3. 三角函数性质的应用12′❶写全得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出0<A <π就有分，没写就扣1分，第(2)问中0<B <π3也是如此．❷写明得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB ，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos A ，第(2)问中ACsin B＝AB sin C＝BC sin A＝23等．❸保证正确得计算分：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如第(1)问中，cos A ＝－12，若计算错误，则第(1)问最多2分；再如第(2)问3＋3sin B ＋3cos B ＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3化简如果出现错误，则第(2)问最多得2分．……利用正弦、余弦定理，对条件式进行边角互化……由三角函数值及角的范围求角……由正弦、余弦定理及条件式实现三角恒等变换……利用角的范围和三角函数性质求出最值……检验易错易混，规范解题步骤得出结论【规范训练】(2022·浙江卷)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2b sin A －3a ＝0. (1)求角B 的大小；(2)求cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围．解 (1)由正弦定理，得2sin B sin A ＝3sin A ，故sin B ＝32，由题意得B ＝π3. (2)由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝2π3－A . 由△ABC 是锐角三角形，得A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 .由cos C ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝－12cos A ＋32sin A ，得 cos A ＋cos B ＋cos C ＝32sin A ＋12cos A ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋12∈⎝⎛⎦⎥⎤3＋12，32. 故cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤3＋12，32.1．(2019·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a ， 3c sin B ＝4a sin C ． (1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B＝c sin C，得b sin C ＝c sin B ．又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a . 因为b ＋c ＝2a ，所以b ＝43a ，c ＝23a . 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a ＝－14. (2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154，从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6 ＝－158×32－78×12＝－35＋716. 2．已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R.(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．解 (1)f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)， ∴函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，又π3＜2A ＋π3＜7π3， ∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3. ∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②得b ＝3，c ＝2.3．已知函数f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x )．(1)求f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，S △ABC ＝334，c ＝7，求△ABC 的周长．解 (1)f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－1时，f (x )取得最小值－12. (2)f (C )＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12， ∵C ∈(0，π)，2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝334，∴ab ＝3. 又(a ＋b )2－2ab cos π3＝7＋2ab ， ∴(a ＋b )2＝16，即a ＋b ＝4，∴a ＋b ＋c ＝4＋7，故△ABC 的周长为4＋7.4．(2021·东北三省三校联考)已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2tan A ＝a 2tan B ，2sin 2A ＋B 2＝1＋cos 2C .(1)求角A 的大小； (2)若点D 为AB 上一点，满足∠BCD ＝45°，且CD ＝32－6，求△ABC 的面积．解 (1)由2sin 2A ＋B2＝1＋cos 2C 得1－cos(A ＋B )＝2cos 2C ，即2cos 2C －cos C －1＝0，解得cos C ＝－12(cos C ＝1舍去)，故C ＝120°. 因为asin A ＝bsin B ，b 2tan A ＝a 2tan B ，所以sin 2B sin A cos A ＝sin 2A sin B cos B，即sin A ·cos A ＝sin B cos B ，故sin 2A ＝sin 2B ，因此A ＝B 或A ＋B ＝90°(舍去)，故A ＝30°.(2)由(1)知△ABC 为等腰三角形，设BC ＝AC ＝m ，由S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD 得12m 2·sin 120°＝12m · CD ·sin 45°＋12m ·CD ·sin 75°，整理得32m＝CD⎝⎛⎭⎪⎫22＋2＋64＝()32－6×32＋64，解得m＝23，故S△ABC＝12m2·sin 120°＝3 3.5．(2021·郑州调研)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S＝b2＋c2－a24.(1)若a＝6，b＝2，求cos B；(2)求sin(A＋B)＋sin B cos B＋cos(B－A)的最大值．解(1)∵S＝b2＋c2－a24，∴12bc sin A＝b2＋c2－a24，即sin A＝b2＋c2－a22bc＝cos A，则tan A＝1，又A∈(0，π)，∴A＝π4.由正弦定理asin A ＝bsin B，得622＝2sin B，∴sin B＝66，又a>b，∴cos B＝1－16＝306.(2)由第(1)问可知，A＝π4，sin(A ＋B )＋sin B cos B ＋cos(B －A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＋sin B cos B ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π4 ＝22sin B ＋22cos B ＋sin B cos B ＋22cos B ＋22sin B ＝2(sin B ＋cos B )＋sin B cos B ，令t ＝sin B ＋cos B ，则t 2＝1＋2sin B cos B ，sin(A ＋B )＋sin B cos B ＋cos(B －A )＝2t ＋12(t 2－1)，令y ＝12t 2＋2t －12＝12(t ＋2)2－32，t ∈(0，2]， ∴当t ＝2，即B ＝π4时， sin(A ＋B )＋sin B cos B ＋cos(B －A )取得最大值52.。

第29讲简单的三角函数模型应用题解法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析 (1)

【知识要点】一、函数的物理意义A 是函数的振幅，wx ϕ+是相位，ϕ是初相.一般通过函数的最值求A ,通过周期2T wπ=求w ，通过最值点求ϕ.二.用坐标法简单三角函数模型的应用题的步骤：第一步：求出三角函数的解析式；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成实际问题的结论. 【方法讲评】题型一三角函数的解析式问题、图像和性质问题使用情景求三角函数的解析式解题步骤先根据题意求出待定系数→利用函数的图像和性质解答.【例1】如图，某一天从6―14时的温度变化曲线满足函数sin()y A wx b φ=++.（1）求这一天6－14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式.将6,10x y ==代入上式，解得43πϕ=. 综上，所求解析式为：10sin y =（8πx ＋43π）＋20，x ∈［6,14］.【点评】求函数sin()y A wx b φ=++一般利用待定系数法，从已知条件中找到方程组解答即可.一般通过函数的最值求A 和B ,通过周期2T wπ=求w ，通过最值点求ϕ. 【例2】某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B 及CD 的中点P 处，已知20AB km =，10CB km =，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A ，B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为ykm ．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设()BAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP xkm =，将y 表示成x 的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．（Ⅱ）选择函数模型①，【点评】（1）本题主要考查根据实际意义建立函数模型、三角函数性质和解决最值问题的基本知识，考查了数形结合思想和分析问题、转化求解的能力．（2）对于较复杂的三角函数的最值，一般利用导数来研究函数的单调性从而得到函数的最值.（3）一般以平面几何为背景的应用题，多以角为自变量建立三角函数模型，比以边为自变量建立函数模型简单. 学科*网【反馈检测1】如图所示，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余地方种花. 若BC a =，ABC θ∠=，设ABC ∆的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S . （1）12;a S S θ用、表示和（2）当a 固定,θ变化时,求12S S 取得最小值时θ的值.题型二潮汐进出港和海滨冲浪问题使用情景潮汐进出港和海滨冲浪问题解题步骤一般先求出三角函数的解析式，再解三角函数不等式.【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y （单位：米）与时间 t (024)t ≤≤（单位：时）的函数关系记作()y f t =，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，()y f t =的曲线可近似地看成是函数cos y A t b ω=+.（1）根据以上数据，求函数cos y A t b ω=+的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)1.51.00.51.01.51.00.51.01.5ABCPQ R Sθ8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？∵024t ≤≤，故可令①中k 分别为0,1,2，得03t ≤<或915t <<或2124t <≤．∴在规定时间上午8:00至晚上20:00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9:00至下午3:00．【点评】（1）首先要利用三角函数的图像和性质求出三角函数的表达式，A 是函数的振幅，wx ϕ+是相位，ϕ是初相.一般通过函数的最值求A ,通过周期2T wπ=求w ，通过最值点求ϕ.（2）解简单的三角函数不等式主要是利用三角函数的图像和数形结合的思想解答.三角不等式的解集中一般含有“k z ∈”，最后给k 赋值和实际范围求交集.【反馈检测2】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天从0时至24时的时间x （单位：时）与水深y （单位：米）的关系表：（1）请选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系；（2）一条货轮的吃水深度（船体最低点与水面的距离）为12米，安全条例规定船体最低点与洋底间隙至少要有1.5米，请问该船何时能进出港口？在港口最多能停留多长时间？高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第29讲: 简单的三角函数模型应用题解法参考答案【反馈检测1答案】（1）211sin 2,4S a θ=2222sin 244sin 2sin 2a S θθθ=++；（2）.4πθ=【反馈训练2答案】（1）123sin6y x π=+；（2）货船在1点至5点可以进出港；或13点至17点可以进出港．每次可以在港口最多能停留4小时.【反馈检测2详细解析】（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，考虑用函数sin()y h A wx φ=++刻画水深与时间之间的对应关系．从数据可以得出：3,12,12,0.A h T φ====由212T w π==，得6w π=．所以这个港口的水深与时间的关系可用123sin6y x π=+，[0,24]x ∈近似描述．（2）货船需要的安全水深为12+1.5=13.5，所以当13.5y ≥时就可以进港．因此，货船在1点至5点可以进出港；或13点至17点可以进出港．每次可以在港口最多能停留4小时.。

三角函数解题技巧和公式(已整理)技巧归纳以及练习题

浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。

下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如：例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。

分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。

解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+=2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用：由于tg θ+ctg θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。

例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（）。

三角函数的应用与解题技巧

三角函数的应用与解题技巧三角函数是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。

无论是几何图形的分析、物理问题的求解还是工程设计的计算，都离不开三角函数的应用。

在解题过程中，合理地运用三角函数的概念和性质可以有效地简化计算，提高解题效率。

本文将介绍三角函数的常见应用以及解题技巧，帮助读者更好地理解和应用三角函数。

一、三角函数的基本概念与性质在介绍应用与解题技巧之前，我们先来回顾一下三角函数的基本概念与性质。

1.1 正弦函数、余弦函数和正切函数正弦函数、余弦函数和正切函数是最基本的三角函数。

正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值，通常记作sin；余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值，通常记作cos；正切函数表示一个角的对边与邻边的比值，通常记作tan。

1.2 周期性与对称性三角函数具有周期性与对称性。

正弦函数和余弦函数的周期均为2π，即当自变量增加2π时，函数值重新回到原来的值，反之亦然。

而正切函数的周期为π，当自变量增加π时，函数值重新回到原来的值。

此外，正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)；而正切函数是周期为π的奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。

二、三角函数的应用2.1 几何应用在几何图形的分析中，我们经常需要计算角的度数或者边长的比值。

三角函数提供了一种便捷的工具，帮助我们求解各种几何问题。

以直角三角形为例，已知一个角的两条边长，我们可以使用正弦函数、余弦函数或正切函数来求解另外两个角的度数或边长的比值。

这种方法称为三角函数的逆运算，可以帮助我们快速解决几何问题。

2.2 物理应用在物理学中，三角函数的应用尤为突出。

例如，在分析运动学问题时，如果已知物体的速度和加速度的关系，我们可以通过三角函数来求解物体的位移和时间的关系，推导出运动方程。

同样地，在分析力学问题、波动问题和电磁问题时，三角函数也是不可或缺的工具。

2.3 工程应用三角函数在工程设计中具有广泛的应用。

高中数学解决三角函数问题的五种方法(带答案)

高中数学解决三角函数问题的五种方法（带答案）方法一：角度法1. 计算给定角度的三角函数值。

2. 利用已知三角函数值的关系进行运算或计算未知三角函数值。

3. 根据问题给出的条件，确定需要解决的三角函数问题类型，如求角度、边长等。

4. 根据已知和未知的三角函数值，利用三角函数的简单性质和公式解决问题。

5. 最后，确保结果符合问题的要求，有必要的话进行合理的近似处理。

方法二：等式法1. 将问题中的三角函数转换成等式形式。

2. 根据已知的等式，利用等式的性质和公式进行推导和运算。

3. 通过求解等式，得到未知三角函数值或角度。

4. 判断结果是否符合问题的要求，并进行必要的近似处理。

方法三：图像法1. 根据给定的角度，画出三角函数图像。

2. 根据图像性质分析问题中的条件，确定需要求解的问题类型。

3. 利用图像，在合适的位置找到所需的三角函数值或角度。

4. 确认结果是否符合问题的要求，如有需要，进行近似处理。

方法四：三角恒等式法1. 根据问题中的条件，利用已知的三角恒等式进行变形和推导。

2. 将问题转化为包含已知三角函数的等式。

3. 通过求解等式，得到所需的三角函数值或角度。

4. 验证结果是否符合问题的要求，如有需要，进行近似处理。

方法五：三角函数特性法1. 根据问题中的条件，利用三角函数的特性进行分析。

2. 根据已知的特性，推导出所需的三角函数值或角度。

3. 判断结果是否满足问题要求，如有必要，进行近似处理。

这些方法是解决高中数学中三角函数问题常用的方法。

通过选择合适的解决方法，结合问题中给出的条件，可以有效地解决各种三角函数问题。

请注意，以上所提供的答案仅供参考，具体问题的解决方法可能因具体条件而有所不同。

解决数学问题时，请始终独立做出决策，并确保所引用的内容能够得到确认。

高中数学三角函数应用解题技巧

高中数学三角函数应用解题技巧在高中数学中，三角函数是一个非常重要的知识点。

它不仅在几何学中有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域中起着重要的作用。

因此，掌握三角函数的应用解题技巧对于高中学生来说是至关重要的。

一、三角函数的基本概念在开始讲解解题技巧之前，我们首先需要了解三角函数的基本概念。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示一个角的正弦值、余弦值和正切值。

在解题过程中，我们经常需要利用这些函数来求解角度、长度等问题。

例如，考虑以下问题：已知一个直角三角形的斜边长为10，其中一个锐角的正弦值为0.6，求该锐角的度数。

我们可以利用正弦函数的性质来解决这个问题。

根据正弦函数的定义，正弦值等于对边与斜边的比值。

设该锐角为θ，则sinθ=0.6。

由此可得，对边长为0.6×10=6。

由于这是一个直角三角形，我们可以利用反正弦函数来求解θ的度数。

通过计算，我们可以得到θ≈36.87°。

因此，该锐角的度数约为36.87°。

通过这个例子，我们可以看出，掌握三角函数的基本概念是解决三角函数应用题的关键。

二、角度的换算在解决三角函数应用题时，我们经常需要进行角度的换算。

因为在不同的问题中，角度的单位可能是度、弧度或者百分度。

因此，我们需要掌握这些单位之间的换算关系。

例如，考虑以下问题：已知一个角的弧度为π/4，求该角的度数。

我们可以利用弧度和度之间的换算关系来解决这个问题。

由于π的近似值为3.14，所以π/4≈3.14/4=0.7857。

将0.7857乘以180°/π，我们可以得到该角的度数为45°。

因此，该角的度数为45°。

通过这个例子，我们可以看出，在解决三角函数应用题时，角度的换算是一个非常重要的环节。

三、三角函数的性质和公式在解决三角函数应用题时，我们还需要掌握三角函数的性质和公式。

这些性质和公式可以帮助我们简化计算过程，提高解题效率。

三角函数、解三角形高考常见题型解题思路及知识点总结

三角函数、解三角形高考常见题型解题思路及知识点总结一、解题思路（一）解题思路思维导图（二）常见题型1.三角恒等变换已知正切值求正弦、余弦齐次式值问题典例1：（2016年3卷）若tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】2cos 2sin 2αα+=25641tan tan 41cos sin cos sin 4cos 2222=++=++ααααααα故选A ．2.三角恒等变换给值求值问题典例2：（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．3．图象法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质典例3：（2017年3卷6）设函数()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知， ()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.4．复合函数法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质π5．求三角函数()B x A y ++=ϕωsin ⎪⎭⎫⎝⎛<>>2,00πϕω，A 解析式典例4：（2015年1卷8）函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D. 考点：三角函数图像与性质6．三角函数图象的平移与伸缩变换典例5：（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2()f x cos()x ωϕ+()f x 13(,),44k k k Z ππ-+∈13(2,2),44k k k Z ππ-+∈13(,),44k k k Z -+∈13(2,2),44k k k Z -+∈1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩=ωπ=4πϕ()cos()4f x x ππ=+22,4k x k k Z πππππ<+<+∈124k -x 324k +k Z ∈124k -324k +k Z ∈3π6π12写性质根据解出x 的值或范围写出函数对称轴、对称中心、单调区间、最值等性质解题思路及步骤注意事项求A 和B ()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，求ω 先求周期T ，再由求ωπ2=T 求ω 求ϕ代入已知点坐标，根据ϕ的具体范围求出ϕ，一般代入最值点，若代入与B y =的交点，注意区分是在增区间还是减区间上求解析式写出解析式解题思路及步骤注意事项写出变换法则把变换前的函数看成抽象函数()x f y =，根据变换法则写出变换后的抽象函数代入表达式根据原函数解析式写出变换后的解析式，例如：()x f y ==⎪⎭⎫⎝⎛+62sin 3πx 向右平移4π个单位后得函数⎪⎭⎫⎝⎛-=4πx f y =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-32sin 3642sin 3πππx x ，其他变换都按这个方法确定变换后解析式C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2【解析】先变周期：先变相位：选D ．7.解三角形知一求一问题8.解三角形知三求一问题典例6：（2017年2卷17）的内角的对边分别为，已知． (1)求;(2)若，的面积为2，求解析:（1）依题得．因为，所以，所以，得（舍去）或12π612π122cos sin sin 2sin 2sin 2223122y x x y x y x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⇒=+⇒=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22cos sin sin sin sin 222633y x x y x x y x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⇒=++=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ABC △,,A B C ,,a b c ()2sin 8sin 2B AC +=cos B 6a c +=ABC △.b 21cos sin 8sin 84(1cos )22B B B B -==⋅=-22sin cos 1B B +=2216(1cos )cos 1B B -+=(17cos 15)(cos 1)0B B --=cos 1B =（2）由∵可知，因为，所以，即，得.因为，所以，即，从而，即，解得．9.解三角形知二求最值（或范围）问题典例7：(2013年2卷17)∵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.(1)求B.(2)若b=2，求∵ABC面积的最大值.【解析】(1)因为a=bcosC+csinB，所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB，所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB，即cosBsinC=sinCsinB，因为sinC≠0，所以tanB=1，解得B=.4π(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos4π，即4=a2+c2ac，由不等式得a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时，取等号，所以4≥(2)ac，解得，所以∵ABC的面积为12acsin4π≤4+1.所以∵ABC +1.典例8：（2011年1卷16）在中，的最大值为.令AB c=，BC a=，则由正弦定理得【解析】2,sin sin sina c ACA C B====2sin,2sin,c C a A∴==且120A C+=︒，222sin4sinAB BC c a C A∴+=+=+2sin4sin(120)C C=+︒-＝2sin C+14(cos sin)4sin22C C C C+=++)Cϕ=(其中tan2ϕ=∴当90Cϕ+=︒时，2AB BC+取最大值为8sin17B=2ABCS=△1sin22ac B⋅=182217ac⋅=172ac=15cos17B=22215217a c bac+-=22215a c b+-=22()215a c ac b+--=2361715b--=2b=ABC60,B AC==2AB BC+二、知识点总结（一）知识点思维导图（二）常用定理、公式及其变形1.同角三角函数关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．2.诱导公式：对于角α±π2k 与角α的三角函数关系“奇变偶不变，符号看象限”，这句话是对变化前的函数和角来说的. 例如在三角形，∵，∴A B C A B C ++=+=-ππ3.两角和与差公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.4.二倍角公式：（1）升幂公式：sin 2sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，22tan tan 21tan ααα=-（2）降幂公式：221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==5.辅助角公式：sin cos a b αα+=22sin()a b αϕ++(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定，tan b aϕ=).6．正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：7．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：振幅：A ，周期：2πωT =，频率：12f ωπ==T ，相位：x ωϕ+，初相：ϕ．sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴函数性质8．函数x y sin =变换到函数()ϕω+=x A y sin 的两种途径 ∵的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．∵数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．9.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===；化边变形：sin 2a R A =，sin 2bR B =，sin 2c C R=；化角变形：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；比例关系：::sin :sin :sin a b c C =A B .10.余弦定理2222cos a b c bc A =+-；2222cos b c a ca B =+-； 2222cos c a b ab C =+-.边角互化变形：222cos 2b c a bc+-A =，ac b c a B 2cos 222-+=，ab c b a C 2cos 222-+=11.面积公式：（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.（3）()c b a r S ++=21（r 为三角形内切圆半径）。

高中数学常见题型解法归纳反馈训练-三角函数专题22-31讲(学生版)

k + 在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是 2 sin = tan cos
平方关系： sin 2 + cos2 = 1
k + , k z 的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果 2
(00 ,1800 ) 的角，再变到区间 (00 ,900 ) 的角计算.
+
2
, +

= ( + ) − 等. 6 3 6

（2） “变名”指的是n . cos
（3） “变式”指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、辅助角公式展开和合并等. 【方法讲评】方法一使用情景变角未知的角和已知的角之间有联系 2 / 39
高中数学常见题型解法归纳与反馈检测
第 22 讲三角恒等变换的方法
【知识要点】一、同角的三大关系：商数关系：温馨提示：（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解. （2）利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“ ”号. 二、诱导公式口诀：纵变横不变，符号看象限用诱导公式化简，一般先把角化成前面的角是纵轴（即 y 轴）上的角，就是 “纵” ，是横轴（即 x 轴）上的角，就是“横” ；符号看象限是，把看作是锐角，判断角 “--” ，就加在前面）. 用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间 (00 ,3600 ) 的角，再变到区间
cos )
= a 2 + b2 (sin
+ cos
a +b
2
2
) = a 2 + b2 (sin cos + cos sin ) = a 2 + b2 sin( + )

第29讲简单的三角函数模型应用题解法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析

【知识要点】一、函数的物理意义A 是函数的振幅，wx ϕ+是相位，ϕA ,通过周期2T wπ=求w ，通过最值点求ϕ. 二.用坐标法简单三角函数模型的应用题的步骤：第一步：求出三角函数的解析式；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译〞成实际问题的结论. 【方式讲评】题型一三角函数的解析式问题、图像和性质问题使用情景求三角函数的解析式解题步骤先根据题意求出待定系数→利用函数的图像和性质解答.【例1】如图，某一天从6―14时的温度转变曲线知足函数sin()y A wx b φ=++.〔1〕求这一天6－14时的最大温差；〔2〕写出这段曲线的函数解析式.将6,10x y ==代入上式，解得43πϕ=. 综上，所求解析式为：10sin y =〔8πx ＋43π〕＋20，x ∈［6,14］.【点评】求函数sin()y A wx b φ=++A 和B ,通过周期2T wπ=求w ，通过最值点求ϕ.【例2】某地有三家工厂，别离位于矩形ABCD 的极点A ，B 及CD 的中点P 处，20AB km =，10CB km =，为了处置三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上〔含边界〕，且A ，B 与等距离的一点O 处建造一个污水处置厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为ykm ．〔Ⅰ〕按以下要求写出函数关系式：①设()BAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP xkm =，将y 表示成x 的函数关系式．〔Ⅱ〕请你选用〔Ⅰ〕中的一个函数关系式，肯定污水处置厂的位置，使三条排污管道总长度最短．〔Ⅱ〕选择函数模型①，【点评】〔1〕此题主要考察按如实际意义成立函数模型、三角函数性质和解决最值问题的根本知识，考察了数形结合思想和分析问题、转化求解的能力．〔2〕对于较复杂的三角函数的最值，一般利用导数来研究函数的单调性从而取得函数的最值.〔3〕一般以平面几何为背景的应用题，多以角为自变量成立三角函数模型，比以边为自变量成立函数模型简单. 学科*网【反映检测1】如下图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余地方种花. 假设BC a =，ABC θ∠=，设ABC ∆的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S .〔1〕12;a S S θ用、表示和〔2〕当a 固定,θ转变时,求12S S 取得最小值时θ的值.题型二潮汐进出港和海滨冲浪问题使用情景潮汐进出港和海滨冲浪问题解题步骤一般先求出三角函数的解析式，再解三角函数不等式.【例2】某海滨浴场的海浪高度y 〔单位：米〕与时间 t (024)t ≤≤〔单位：时〕的函数关系记作()y f t =，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，()y f t =的曲线可近似地看成是函数cos y A t b ω=+.〔1〕按照以上数据，求函数cos y A t b ω=+的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；〔2〕依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据〔1〕的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进展运动？∵024t ≤≤，故可令①中k 别离为0,1,2，得03t ≤<或915t <<或2124t <≤．∴在规按时间上午8:00至晚上20:00之间，有6个小不时间可供冲浪者运动，即上午9:00至下午3:00．【点评】〔1〕首先要利用三角函数的图像和性质求出三角函数的表达式，A 是函数的振幅，wx ϕ+是相位，ϕA ,通过周期2T wπ=求w ，通过最值点求ϕ“k z ∈〞，最后给k 赋值和实际范围求交集. t (时)0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)ABCPQ R Sθ【反映检测2】海水受日月的引力，在必然的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某口岸在某季节天天从0时至24时的时间x 〔单位：时〕与水深y 〔单位：米〕的关系表：〔1〕请选用一个函数来近似描述这个口岸的水深与时间的函数关系；〔2〕一条货轮的吃水深度〔船体最低点与水面的距离〕为12米，平安条例规定船体最低点与洋底间隙至少要有1.5米，请问该船何时能进出口岸？在口岸最多能停留多长时间？高中数学常见题型解法归纳及反映检测第29讲: 简单的三角函数模型应用题解法参考答案【反映检测1答案】〔1〕211sin 2,4S a θ=2222sin 244sin 2sin 2a S θθθ=++；〔2〕.4πθ= 【反映训练2答案】〔1〕123sin 6y x π=+；〔2〕货船在1点至5点可以进出港；或13点至17点可以进出港．每次可以在口岸最多能停留4小时.【反映检测2详细解析】〔1〕以时间为横坐标，水深为纵坐标，考虑用函数sin()y h A wx φ=++刻画水深与时间之间的对应关系．从数据可以得出：3,12,12,0.A h T φ====由212T w π==，得6w π=．所以这个口岸的水深与时间的关系可用123sin6y x π=+，[0,24]x ∈近似描述．〔2〕货船需要的平安水深为12+1.5=13.5，所以当13.5y ≥时就可以够进港．因此，货船在1点至5点可以进出港；或13点至17点可以进出港．每次可以在口岸最多能停留4小时.。

第29讲简单的三角函数模型应用题解法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析

【知识重点】一、函数的物理意义A 是函数的振幅，wx是相位，是初相 . 一般经过函数的最值求A,经过周期T 2求 w ，通w过最值点求.二. 用坐标法简单三角函数模型的应用题的步骤：第一步：求出三角函数的分析式；第二步：经过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成实质问题的结论.【方法讲评】题型一三角函数的分析式问题、图像和性责问题使用情形求三角函数的分析式解题步骤先依据题意求出待定系数利用函数的图像和性质解答.【例 1】如图，某一天从6― 14 时的温度变化曲线知足函数y Asin( wx) b .（1）求这天 6－14 时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数分析式 .将 x 6, y 10 代入上式，解得3. 4综上，所求分析式为：y 10sin （x ＋3）＋ 20，x∈［ 6,14 ］ .84【评论】求函数y Asin( wx ) b 一般利用待定系数法，从已知条件中找到方程组解答即可. 一般经过函数的最值求A和B,经过周期T 2求 w ，经过最值点求. w【例 2】某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的极点A，B及 CD 的中点P处，已知 AB20km ，CB 10km ，为了办理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的地区上（含界限），且A，B与等距离的一点 O 处建筑一个污水办理厂，并铺设排污管道AO ， BO ， OP ，设排污管道的总长为 ykm ．（Ⅰ）按以下要求写出函数关系式：①设BAO rad，将 y 表示成的函数关系式；②设OP xkm ，将y表示成 x 的函数关系式．（Ⅱ）请你采用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确立污水办理厂的地点，使三条排污管道总长度最短．（Ⅱ）选择函数模型①，【评论】（ 1）此题主要考察依据实质意义成立函数模型、三角函数性质和解决最值问题的基本知识，考察了数形联合思想和剖析问题、转变求解的能力．（ 2）关于较复杂的三角函数的最值，一般利用导数来研究函数的单一性进而获得函数的最值. （ 3）一般以平面几何为背景的应用题，多以角为自变量成立三角函数模型，比以边为自变量成立函数模型简单.学科*网【反应检测1】如下图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC 外的地方种草，ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其他地方栽花.若BC a ，ABC，设ABC 的面积为S1，正方形 PQRS 的面积为S2.（ 1）用a、表示S1和S2;（ 2）当a固定 ,变化时,求S1获得最小值时的值.S2AP SθB Q R C题型二潮汐出入港和海滨冲浪问题使用情形潮汐出入港和海滨冲浪问题解题步骤一般先求出三角函数的分析式，再解三角函数不等式.【例 2】已知某海滨浴场的海浪高度y （单位：米）与时间t (0 t24)（单位：时）的函数关系记作 y f (t ) ，下表是某日各时的浪高数据：t (时)03691215182124y (米) 1.5 1.00.5 1.0 1.5 1.00.5 1.0 1.5经长久观察， y f (t ) 的曲线可近似地当作是函数 y Acos t b .（1）依据以上数据，求函数y A cos t b 的最小正周期T，振幅A及函数表达式；（2）依照规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪喜好者开放，请依照（1）的结论，判断一天内的上午8∶00 时至夜晚20∶00 时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？∵ 0t 24 ，故可令①中k 分别为0,1,2 ，得 0t 3 或 9 t 15 或 21t24 ．∴在规准时间上午 8: 00至夜晚 20 : 00 之间，有6个小不时间可供冲浪者运动，即上午9: 00至下午3: 00．【评论】（ 1）第一要利用三角函数的图像和性质求出三角函数的表达式， A 是函数的振幅，wx是相位，是初相 . 一般经过函数的最值求A,经过周期T 2. （ 2）解简单的三角求 w ，经过最值点求w函数不等式主假如利用三角函数的图像和数形联合的思想解答. 三角不等式的解集中一般含有“k z ”，最后给 k 赋值和实质范围求交集.【反应检测2】海水受日月的引力，在必定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在往常状况下，船在涨潮时驶进航道，凑近码头；卸货后，在落潮时返回大海．下边是某港口在某季节每日从 0 时至 24 时的时间x（单位：时）与水深y （单位：米）的关系表：（1）请采用一个函数来近似描绘这个港口的水深与时间的函数关系；（ 2）一条货轮的吃水深度（船体最低点与水面的距离）为12 米，安全条例规定船体最低点与洋底空隙起码要有 1.5 米，请问该船何时能出入港口？在港口最多能逗留多长时间？高中数学常有题型解法概括及反应检测第29 讲:简单的三角函数模型应用题解法参照答案1a2sin 2 , S2a2 sin 2 2；（ 2）.【反应检测 1 答案】（ 1）S124 4 4sin 2 sin24【反应训练 2 答案】（ 1）y 123sin x ；（2）货船在1点至5点能够出入港；或13 点至 17 点能够进6出港．每次能够在港口最多能逗留 4 小时.【反应检测 2 详尽分析】（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，考虑用函数y h Asin( wx) 刻画水深与时间之间的对应关系．从数据能够得出： A 3, h 12, T 12,0.212 ，得 w．由 Tw6所以这个港口的水深与时间的关系可用y12 3sin x ， x[0,24] 近似描绘．6（ 2）货船需要的安全水深为 12+1.5=13.5，所以当 y13.5 时就能够进港．所以，货船在 1 点至 5 点能够出入港；或13 点至 17 点能够出入港．每次能够在港口最多能逗留 4 小时 .。

高中数学《三角函数的应用》微课精讲+知识点+教案课件+习题

▼知识点：教案：教材分析本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.教学目标与核心素养课程目标1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．2．实际问题抽象为三角函数模型．数学学科素养1.逻辑抽象：实际问题抽象为三角函数模型问题；2.数据分析：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型；3.数学运算：实际问题求解；4.数学建模：体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，提高学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.教学重难点重点：了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题；难点：实际问题抽象为三角函数模型.课前准备教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程一、情景导入生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象-----5.7三角函数模型的简单应用。

要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本242-245页，思考并完成以下问题1.解三角函数应用题的基本步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型．其基本模型可化为y＝A sin(ωx＋φ)＋B的形式．2．解三角函数应用题的基本步骤：(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论．四、典例分析、举一反三题型一三角函数模型在物理学中的应用例1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为t∈[0，＋∞)．(1)用“五点法”作出这个函数的简图；(2)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？(3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(4)经过多长时间小球往复振动一次？【答案】（1）略（2）（3）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.（4）π s.【解析】(1)列表如下：描点、连线，图象如图所示．(3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.(4)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.解题技巧：（处理物理学问题的策略）处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．跟踪训练一1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为(1)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？(2)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？(3)单摆来回摆动一次需多长时间？【答案】(1)3 cm；(2)6 cm；(3) 1 s.题型二三角函数模型的实际应用例2 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数．（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式解题技巧：(解三角函数应用问题的基本步骤)解三角函数应用问题的基本步骤提醒：关注实际意义求准定义域．跟踪训练二1.已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(h)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t03691215182124 y 1.5 1.00.5 1.0 1.510.50.99 1.5经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋b的图象．(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本249页习题5.7.教学反思以问题引导教学，让学生听有所思，思有所获，获有所感。

高中三角函数常见题型与解法

高中三角函数常见题型与解法(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--三角函数的题型和方法一、思想方法1、三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

即倍角公式降次与半角公式升次。

（4）化弦（切）法。

将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

（5）引入辅助角。

asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。

（6）万能代换法。

巧用万能公式可将三角函数化成tan 2θ的有理式。

2、证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4、解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

二、注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。

解三角函数方程的各种方法与实战演练

解三角函数方程的各种方法与实战演练三角函数方程是解决三角函数的一种重要方法，在初中数学学习中也是必修内容，但是解三角函数方程过程比较繁琐，需要掌握各种方法，下面就详细讲述解三角函数方程的各种方法与实战演练。

一、基础知识回顾1. 三角函数的定义在一个锐角三角形中，设直角所对的边为斜边的一半为 $1$，那么对锐角 $A$，正弦函数的值为 $\sin A$，余弦函数的值为 $\cos A$，正切函数的值为 $\tan A$。

2. 三角函数的性质三角函数有以下性质：（1）正弦函数和余弦函数值域在 $[-1, 1]$ 之间，正切函数的定义域为 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，值域为 $(-\infty, \infty)$。

（2）正弦函数以 $2\pi$ 为周期，余弦函数以 $2\pi$ 为周期，正切函数以 $\pi$ 为周期。

（3）正弦函数奇函数，余弦函数偶函数，正切函数奇函数。

二、解三角函数方程的方法1. 代换法当三角函数中有二次项和一次项，无常数项时，常常采用代换法解方程。

例如：$\sin^2x+\sin x=0$解法：设 $t=\sin x$，方程变形为 $t^2+t=0$，解得 $t=0$ 或 $t=-1$。

因此 $\sin x=0$ 或 $\sin x=-1$，即 $x=k\pi$ 或$x=(2k+1)\frac{\pi}{2}$，$k\in Z$。

2. 因式分解法当三角函数全部为平方项且有交叉项，无常数项时，常常采用因式分解法解方程。

例如：$\sin^2x-\cos^2x=0$解法：化简方程，得到 $\sin^2x-\cos^2x=-\cos2x=0$。

因此 $2x=k\pi$ 或 $2x=(2k+1)\frac{\pi}{2}$，$k\in Z$。

3. 换元法有些三角函数方程难以用通用解法直接求解，此时可以考虑采用合适的变量代换来简化方程。

例如：$\tan x+2\cot x=0$解法：将 $\cot x$ 视为 $\tan y$ 的倒数，即 $\cot x=\frac{1}{\tan y}$，于是原方程就变成了 $\tan x+2\tan y=0$。

高三数学第29课时三角函数式的化简、求值与证明教案教案

课题：三角函数式的化简、求值与证明教学目标：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明．教学重点：有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用．（一）主要知识：1.三角函数求值问题一般有三种基本类型：1.给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值；2.给值求值，即给出一些三角函数，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值；3.给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角．2.三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名类或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少； ④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．3.三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等. （二）主要方法：1.寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；2.正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；3.一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等． 4.三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．5.三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．（三）典例分析：问题1．()1已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求212sin cos cos ααα+的值；()2已知2sin sin 1θθ+=，求243cos cos 2sin 1θθθ+-+的值．问题2．()1；()2(cot tan )(1tan tan )222αααα-+⋅；问题3． ()1求证：()()sin 2sin 2cos sin sin αββαβαα+-+=；()2 ()2223cos 4tan cot 1cos 4x x x x++=-问题4．已知()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，且(),0,αβπ∈，求2αβ-的值（四）巩固练习：1.化简1tan151tan15+︒-︒等于 .A .B .C 3.D 12.= .A sin 4-.B sin 4.C sin 42cos4-.D 2sin 4cos4-3.（06萍乡模拟）tan tan tan 6666ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.A .B .C .D4.已知3sin 5m m θ-=+，42cos 5m m θ-=+（2πθπ<<），则tan θ=5.tancot88ππ-= .A 1-.B 2-.C 1.D 26.tan 204sin 20︒+︒7.已知1tan 7α=，1tan 3β=，已知,αβ均为锐角，则2αβ+= .A 4π .B 54π .C 4π或54π .D π8.已知,αβ均为锐角，且满足223sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=.求证：22παβ+=9.已知：22tan 2tan 1θϕ=+，求证：cos 212cos 2ϕθ=+（五）课后作业：10.1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα++=+- .A cot α；.B cot 2α；.C tan α；.D tan 2a11. (05全国Ⅲ文)22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+.A tan α；.B tan 2α；.C 1 ；.D 1212.222cos 12tan()sin ()44αππαα-=-+13.若21cos cos =+βα，31sin sin =+βα，则 ()βα-cos =14.已知()sin 22sin αββ+=，求证：()tan 3tan αβα+=15.(04全国) 已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值（六）走向高考：16.（06安徽）已知34παπ<<，10tan cot 3αα+=- （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值17.（05福建文）已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. （Ⅰ）求x x cos sin -的值；（Ⅱ）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值.18.（05全国Ⅱ文）已知α为第二象限的角，3sin 5α=，β为第一象限的角，5cos 13β=．求tan(2)αβ-的值．。

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