【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型：专题2 不等式与线性规划第4练

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2015江苏高考数学试题详细解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I 解析一．填空题：（70分）1. 已知集合{}1,2,3A =，{}2,4,5B =，则集合A B U 中元素个数为_____5______。

因为{}12345A B =U ，，，，，所以A B U 中元素个数为5个。

2. 已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数是__6________。

因为1(4+6+5+8+7+6=66x =），所以平均数为6. 3. 设复数z 满足234z i =+，（i 是虚数单位），则z 的模是。

设z a bi =+，则22()234a b abi i -+=+，由22324a b ab ⎧-=⎨=⎩解得21a b =±⎧⎨=±⎩，故z ==4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为______7__________。

112233441,1,3,45,77,97S I S I S I S I S ==→==→==→==→=输出5. 袋中有大小形状都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，这2只球颜色不同的概率为_______56_________。

任取2只球颜色相同的概率为22241=6C P C =同，则5=6P 异。

6. 已知向量(2,1)a =r ，(1,2)b =-r ，若(9,8),(,)ma nb m n R +=-∈r r ，则m n -的值为_____3-_____。

因为2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，所以25m n =⎧⎨=⎩3m n ⇒-=- 7. 不等式224x x -<的解集为__(1,2)x ∈-_____________。

由于 ()2x f x =单调递增，所以原不等式等价于2212x x x -<⇒-<<8. 已知tan 2α=-，1tan()7αβ+=，则tan β的值为_________3_________。

2015年江苏省高考数学试卷答案与解析

2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 5 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 6 ．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7 ．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则答：一次取出2只球，基本事件为AB、AC、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，1其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．评：6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3 ．平面向量的基本定理及其意义．考点：专平面向量及应用．题：直接利用向量的坐标运算，求解即可．分析：解解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）答：可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．点评：7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．考指、对数不等式的解法．点：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．专题：分利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．析：解解；∵2＜4，答：∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度评：不大．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为 3 ．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2 ．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为 4 ．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g （x ）与φ（x ）=﹣f （x ）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数为4．故答案为：4．点评：本题考查求方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k •a k+1）的值为．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．解解：答：=+=++++=++=++，∴（a k•a k+1）=+++++++…+ ++++++…+=+0+0=．故答案为：9．点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k 依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln （1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C 的半径．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f （x）|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．数学归纳法．考点：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．专题：分（1）f（6）=6+2++=13；析：（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解解：（1）f（6）=6+2++=13；答：（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）重庆万州区教育事业单位考试资料页脚内容21 +2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f （k+1）=f （k ）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f （k+1）=f （k ）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n 均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。

【精品18套】江苏省2015年高考数学考前指导押题预测

∴ ，或＜﹣1（a＜﹣3不合题意，舍去），解得a＞3，
∴a的取值范围是{a|a＞3}；
（2）当a=1时，f（x）=x3+x2﹣x+m，
∵f（x）有三个互不相同的零点，
∴f（x）=x3+x2﹣x+m=0，即m=﹣x3﹣x2+x有三个互不相同的实数根．
解：（1）∵f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0），∴f′（x）=3x2+2ax﹣a2，
∵f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，∴方程f′（x）=3x2+2ax﹣a2=0在[﹣1，1]上没有实数根，
由△=4a2﹣12×（﹣a2）=16a2＞0，二次函数对称轴x=﹣ ＜0，
当f′（x）=0时，即（3x﹣a）（x+a）=0，解得x=﹣a或x= ，
（2）a=1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；
（3）若对任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[﹣2，2]上恒成立，求实数m的取值范围．
解题分析
（1）要使函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在[﹣1，1]上没有实根即可，即f′（x）=0的两根x=﹣a或x= 不在区间[﹣1，1]上；
（2）若函数的图象关于对称，则有；因此轴对称函数一定会有函数值相等的点，但有函数值相等的点，未必有对称轴，本题第（Ⅱ）（Ⅲ）问就是基于弄清楚这一点来命制的，因此掌握概念的本质是关键.
函数题（丁沟中学）
三道函数题
1.设函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0）
（1）若函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，求实数a的取值范围；
当时，，即（）成立；
假设时，成立，

2015高考数学(江苏专用,文科)专题3 第2讲

题型一
参数法在函数问题中的应用
综上所述，当 k<－ 1＋ 2 2时， f(k· 3x)＋ f(3x － 9x － 2)<0 对任意 x∈R 恒成立.
x
2 方法二由 k· 3 <－3 ＋9 ＋2，得 k<3 ＋ x－1. 3 2 x u＝3 ＋ x－1≥2 2－1,3x＝ 2时，取“＝”，即 u 的最 3
数列{an}中的最小项是－5，故不是数列中的项．所以满足条件的正整数m的值为2.
题型三
例3
参数法在不等式中的应用
已知2x＝3y＝5z，试比较2x、3y、5z的大小．
破题切入点
本题的解决需要引入中间变量t(参数)，必须使得x，y，z都能
用这个参数t表示，而后通过作差即可进行大小的比较．
解
设2x＝3y＝5z＝t(t>1)，
精题狂练
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
解析如图作出区域D，
目标函数 z＝ 2x＋y 过点( 2，2)时取最大值，
故 z 的最大值为 2× 2＋2＝4.
答案 4
精题狂练
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
3．将函数 y＝ 3cos x＋sin x(x∈R) 的图象向左平移 m(m＞0)
个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 ________．
题型一
参数法在函数问题中的应用
破题切入点
将恒成立问题转化
(3)若f(k· 3x)＋f(3x －9x －2)<0对任意x∈R
恒成立，求实数k的取值范围．

2015年江苏省高考数学试卷及答案Word版(K12教育文档)

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2015年江苏省高考数学试卷一、填空题1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，,则集合AB 中元素的个数为_______。

2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位)，则z 的模为_______。

4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球,2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________。

6.已知向量()21a =，，()2a =-1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，，则m-n 的值为______.7.不等式224x x-<的解集为________。

8。

已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=,则tan β的值为_______。

9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为。

10。

在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为。

【VIP专享】2015年江苏省高考数学试卷及答案Word版

2015年江苏省高考数学试卷1、填空题1.已知集合，，则集合中元素的个数为_______.{}123A =，，{}245B =，，A B 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足（i 是虚数单位），则z 的模为_______.234z i =+4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量，，若，则m-n 的值为()21a = ，()2a =- 1，()()98ma nb mn R +=-∈ ，______.7.不等式的解集为________.224x x -<8.已知，，则的值为_______.tan 2α=-()1tan 7αβ+=tan β9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为。

10.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切xOy )0,1()(012R m m y mx ∈=---的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。

11.数列满足，且（），则数列的前10项和为 }{n a 11=a 11+=-+n a a n n *N n ∈}1{na 。

12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。

若点到直线xOy P 122=-y x P 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为。

01=+-y x 13.已知函数，，则方程实根的个|ln |)(x x f =⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g 1|)()(|=+x g x f 数为。

14.设向量，则的值为 )12,,2,1,06cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ∑=+⋅1201)(k k k a a 。

2015年高考真题——数学（江苏卷）解析版

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.2015年江苏1.已知集合，，则集合中元素的个数为_______.{}3,2,1=A {}5,4,2=B B A 【答案】5【解析】试题分析：{123}{245}{12345}5A B == ，，，，，，，，，个元素考点：集合运算2015年江苏2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.【答案】6考点：平均数2015年江苏3.设复数z 满足（i 是虚数单位），则z 的模为_______.234z i =+【解析】试题分析：22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=考点：复数的模2015年江苏4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.（第4题图）【答案】7【解析】试题分析：第一次循环：;第二次循环：;第三次循环：;3,4S I ==5,7S I ==7,10S I ==结束循环，输出7.S =考点：循环结构流程图2015年江苏5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.【答案】5.6考点：古典概型概率2015年江苏6.已知向量a =，b=, 若m a +n b =(), 的值为)1,2()2,1(-)8,9(-R n m ∈,n m -______.【答案】3-【解析】试题分析：由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-考点：向量相等2015年江苏7.不等式的解集为________.224x x-<【答案】(1,2).-【解析】试题分析：由题意得：，解集为2212x x x -<⇒-<<(1,2).-考点：解指数不等式与一元二次不等式2015年江苏8.已知，，则的值为_______.tan 2α=-()1tan 7αβ+=tan β【答案】3【解析】试题分析：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++-考点：两角差正切公式2015年江苏9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

2015年江苏高考数学试卷和答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效. 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为__5_____.2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为____6____.3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为___根号5____.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为___5/6_____.6.已知向量()21a =，，()2a =-1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，，则m -n 的值为______.7.不等式224x x-<的解集为________.8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 .10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 .11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 . 12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点.若点P 到直线01=+-yx （第4题图）的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 . 13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 .14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则∑=+⋅111)(k k k a a 的值为 . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）在ABC V 中，已知2,3,60.AB AC A ===o（1）求BC 的长；（2）求sin 2C 的值.16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1,AC BC BC CC ⊥=.设1AB 的中点为D ，11.B C BC E =I 求证：（1）11//DE AACC 平面； (2)11BC AB ⊥.17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系x O y ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且右焦点F到左准线l 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.19.（本小题满分16分）P已知函数32()(,)f x x ax b a b =++∈R ；（1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -= （实数c 是与a 无关常数），当函数)(x f 有三个不同零点时，a 的取值范围恰好是（()()33,3)1,,22-∞-+∞求c 的值.20.（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列. （1）证明：31242,2,2,2aaaa依次成等比数列;（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由;（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得351234,,,n n k n k n k a a a a +++依次成等比数列，并说明理由?数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A 、[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D 求证：ABD ∆≈AEB ∆B 、[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.C.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径.D ．[选修4-5：不等式选讲] 解不等式|23|3x x ++≥A第21—A 图22.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====.(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长.23.已知集合*{1,2,3},{1,2,3,,}()n X Y n n N ==⋅⋅⋅∈，设{(,)|,,}n n S a b a b a a X b Y =∈∈整除或整除，令()f n 表示集合n S 所含元素个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.PAB C DQ 第22题。

2015年高考文科数学江苏卷-答案

将的方程代入椭圆方程，得，则，
的坐标为，且
，若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意.
从而，故直线的方程为，
则点的坐标，从而 .
因为，所以，
解得此时直线方程为或 .
【提示】（Ⅰ）运用离心率公式和准线方程，可得的方程，解得，再由的关系，可得，进而得到椭圆方程；
2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
答案解析
数学Ⅰ
一、填空题
1.【答案】5
【解析】，中的元素个数为5.
【提示】求出，再明确元素个数
【考点】集合并集及其运算.
2.【答案】6
【解析】，这组数的平均数为6.
【提示】直接求解数据的平均数即可.
【考点】平均数的计算.
3.【答案】
【解析】， .
【考点】两平面所成二面角的余弦值，两直线所成角的大小.
23.【答案】（Ⅰ） .
（Ⅱ）当时， .
下面用数学归纳法证明：
①当时，，结论成立；
②假设时结论成立，那么时，
在的基础上新增加的元素在，，中产生，分以下情形讨论：
（1）若，则，此时有
，结论成立；
（2）若，则，此时有
，结论成立；
【考点】等比数列的判定,等差数列、等比数列的性质,等差、等比数列的性质.
数学Ⅱ(附加题)
21.A.【答案】证明：因为，所以 .又因为，所以，
又为公共角，可知 .
【提示】直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似
【考点】三角形相似的判定和弧长与圆周角、弦长的相互关系.
（3）若，则，此时有
，结论成立；

2015年江苏高考数学真题及答案(精校版)

2015年江苏高考数学真题及答案(精校版)2绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I参考公式：圆柱的体积公式：shV=圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高. 圆锥的体积公式：sh V 31=圆锥，其中s 为圆锥的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字3上．． 1. 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合BA Y 中元素的个数为 ▲ ．2. 已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6，则这组数据的平均数为 ▲ ．3. 设复数z 满足iz 432+=（i 是虚数单位），则z 的模为 ▲ ．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球. 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ． 6. 已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若ma +nb =)8,9(-(R n m ∈,), nm -的值为 ▲ ．7. 不等式422<-xx 的解集为 ▲ ．1←S1←IWhile48. 已知2tan -=α，71)tan(=+βα，则βtan 的值为▲ ．9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ． 10. 在平面直角坐标系x O y 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ． 11. 设数列{}na 满足11=a，且11+=-+n a an n (*N n ∈), 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧na1前10项的和为 ▲ ．12. 在平面直角坐标系x O y 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点，若点P 到直线51=+-y x 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ▲ ． 13. 已知函数x x f ln )(=，⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<=,1,24,10,0)(2x x x x g ，则方程1)()(=+x g x f 实根的个数为 ▲ ．14. 设向量a k=(6cos 6sin ,6cos πππk k k +)，(12,,2,1,0Λ=k )，则∑=+⋅111)(k k ka a的值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知ο60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长；（2）求C 2sin 的值.616．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC⊥， 1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BCC B =11I . 求证：（1）C C AA DE 11//平面；（2）11AB BC ⊥.17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角ABCDEA BC7坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2a y xb =+（其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；8（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.19.（本小题满分16分）已知函数),()(23R b a b ax xx f ∈++=.（1）试讨论)(x f 的单调性；BAO x ylP C9（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞Y Y ，求c 的值.20.（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列（1）证明：31242,2,2,2a a a a 依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a aa a 依次成等比10数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.★ 启用前绝密2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学II21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆ 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回. 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知圆C 的极坐标方程为222sin()404πρρθ+--=，求圆C 的半径. AB C ED O （第21D.（选修4—5：不等式选讲）解不等式|23|3x x ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题．．．．卡．的指定区域内．．．．．．. 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ==== （1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长23．（本小题满分10分）已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Yn ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除= }n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.PAB C D Q。

2015年高考数学(文科)不等式汇编

2015年高考数学（文科）分类——不等式1.【2015高考天津，文2】设变量,y x 满足约束条件2020280x x y x y ,则目标函数3y z x 的最大值为（）(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14 【答案】C 【解析】513y2289922z x x x y ,当 2,3x y == 时取得最大值9,故选C.此题也可画出可行域,借助图像求解,【考点定位】本题主要考查线性规划知识.【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合,准确作出图形是解决问题的关键.2.【2015高考浙江，文6】有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++ 【答案】B 【解析】由x y z <<，a b c <<，所以()()()ax by cz az by cx a x z c z x ++-++=-+-()()0x z a c =-->，故ax by cz az by cx ++>++；同理，()ay bz cx ay bx cz ++-++ ()()()()0b z xc x z x z c b =-+-=--<，故ay bz cx ay bx cz ++<++.因为()az by cx ay bz cx ++-++()()()()0a z y b y z a b z y =-+-=--<，故az by cx ay bz cx ++<++.故最低费用为az by cx ++.故选B. 考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小.【名师点睛】本题主要考查不等式的性质以及不等式比较大小.解答本题时要能够对四个选项利用作差的方式进行比较，确认最小值.本题属于容易题，重点考查学生作差比较的能力.3.【2015高考重庆，文10】若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为（）(A)-3 (B) 1 (C) 43(D)3 【答案】B【解析】如图，，由于不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为ABC ∆，且其面积等于43，再注意到直线:20AB x y +-=与直线:20BC x y m -+=互相垂直，所以ABC ∆是直角三角形，易知，(2,0),(1,1)A B m m -+,2422(,)33m m C -+;从而112222122223ABC m S m m m ∆+=+⋅+-+⋅=43，化简得：2(1)4m +=，解得3m =-,或1m =，检验知当3m =-时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以1m =;故选B. 【考点定位】线性规划与三角形的面积.【名师点睛】本题考查线性规划问题中的二元一次不等式组表示平面区域，利用已知条件将三角形的面积用含m 的代数式表示出来，从而得到关于m 的方程来求解.本题属于中档题，注意运算的准确性及对结果的检验.4.【2015高考湖南，文7】若实数,a b 满足12ab a b+=，则ab 的最小值为( )A、2B、2C、22D、4 【答案】C【解析】12121220022,22ab a b ab aba b a b a b ab+=∴=+≥⨯=∴≥，＞，＞，，（当且仅当2b a=时取等号），所以ab的最小值为22，故选C.【考点定位】基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．5.【2015高考四川，文9】设实数x，y满足2102146x yx yx y+≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy的最大值为( )(A)252(B)492(C)12 (D)14【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考查学生综合运用知识解决问题的能力.【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求xy最大值”中，xy已经不是“线性”问题了，如果直接设xy＝k，，则转化为反比例函数y＝kx的曲线与可行域有公共点问题，难度较大，且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系数的配凑，即可得到结论，当然，对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.6.【2015高考广东，文4】若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（）A ．10B ．8C ．5D ．2 【答案】C【解析】作出可行域如图所示：作直线0:l 230x y +=，再作一组平行于0l 的直线:l 23x y z +=，当直线l 经过点A 时，23z x y =+取得最大值，由224x y x +=⎧⎨=⎩得：41x y =⎧⎨=-⎩，所以点A 的坐标为()4,1-，所以()max 24315z =⨯+⨯-=，故选C ．【考点定位】线性规划．【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于容易题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误． 7.【2015高考重庆，文14】设,0,5a b a b ,1++3a b 的最大值为________.【答案】23【解析】由222ab a b ≤+两边同时加上22a b +得222()2()a b a b +≤+两边同时开方即得：222()a b a b +≤+（0,0a b >>且当且仅当a b =时取“=”），从而有1++3a b 2(13)2932a b ≤+++=⨯=（当且仅当13a b +=+,即73,22a b ==时，“=”成立），故填：23. 【考点定位】基本不等式.【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式222ab a b ≤+转化为222()a b a b +≤+（a>0,b>0且当且仅当a=b 时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.8.【2015高考新课标1，文15】若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为．【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：30x y +=，平移直线0l ，当直线l :z =3x +y 过点A 时，z 取最大值，由2=021=0x y x y +-⎧⎨-+⎩解得A （1,1），∴z =3x +y 的最大值为4.考点：简单线性规划解法【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z 的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.9.【2015高考陕西，文11】某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元.4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D【解析】设该企业每天生产甲乙两种产品分别x ，y 吨，则利润34z x y =+由题意可列0,0321228x y x y x y ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值324318z =⨯+⨯=，故答案选D 。

2015年江苏省高考数学试卷答案与解析

2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B 中元素的个数为 5 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B 中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 6 ．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）（2015•江苏）设复数z 满足z 2=3+4i （i 是虚数单位），则z 的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7 ．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I ＜8，S=3，I=4满足条件I ＜8，S=5，I=7满足条件I ＜8，S=7，I=10不满足条件I ＜8，退出循环，输出S 的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解解：根据题意，记白球为A ，红球为B ，黄球为答： C 1、C 2，则一次取出2只球，基本事件为AB 、AC 1、AC 2、BC 1、BC 2、C 1C 2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB 、AC 1、AC 2、BC 1、BC 2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m +n =（9，﹣8）（m ，n ∈R ），则m ﹣n 的值为 ﹣3 ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m +n =（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x 2﹣x ＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x 2﹣x ＜2，即x 2﹣x ﹣2＜0，解得：﹣1＜x ＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan （α+β）=，则tanβ的值为 3 ．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan （α+β）=，可知tan （α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r ，求出体积，由前后体积相等列式求得r ．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r ，则新圆锥和圆柱的体积和为：． ∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y ﹣2m ﹣1=0（m ∈R ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x ﹣1）2+y 2=2 ．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d 的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤， ∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x ﹣1）2+y 2=2．故答案为：（x ﹣1）2+y 2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列{}的前10项的和为．考数列的求和；数列递推式．点：专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），利用“累加求和”可得a n =．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），∴当n≥2时，a n =（a n ﹣a n ﹣1）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立， ∴a n =． ∴=2． ∴数列{}的前n 项的和S n ===． ∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2﹣y 2=1右支上的一个动点，若点P 到直线x ﹣y+1=0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x 2﹣y 2=1的渐近线方程为x±y=0，c 的最大值为直线x ﹣y+1=0与直线x ﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x 2﹣y 2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P 到直线x ﹣y+1=0的距离大于c 恒成立，所以c 的最大值为直线x ﹣y+1=0与直线x ﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f （x ）=|lnx|，g （x ）=，则方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数为 4 ．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f （x ）+g （x ）|=1可得g （x ）=﹣f （x ）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f （x ）+g （x ）|=1可得g （x ）=﹣f （x ）±1．g （x ）与h （x ）=﹣f （x ）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g （x ）与φ（x ）=﹣f （x ）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数为4．故答案为：4．点评：本题考查求方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos ，sin +cos ）（k=0，1，2，…，12），则（a k •a k+1）的值为．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、析：积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．解答：解：=+=++++=++ =++，∴（a k •a k+1）=+++++++…+++++++…+=+0+0 =．故答案为：9．点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC 的长；（2）求sin2C 的值．考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（1）由余弦定理可得：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===， ∵AB＜BC ，∴C 为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC 1⊥AC；最后证明BC 1⊥平面B 1AC ，即可证出BC 1⊥AB 1．解答：证明：（1）根据题意，得；E 为B 1C 的中点，D 为AB 1的中点，所以DE∥AC；又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ，所以DE∥平面AA 1C 1C ；（2）因为棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，所以AC⊥CC 1；又因为AC⊥BC， CC 1⊂平面BCC 1B 1， BC ⊂平面BCC 1B 1， BC∩CC 1=C ，所以AC⊥平面BCC 1B 1；又因为BC 1⊂平面平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC；因为BC=CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，所以BC 1⊥平面B 1AC ；又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1．点本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与评：平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a ，b 的值；（2）①求出切线l 的方程，可得A ，B 的坐标，即可写出公路l 长度的函数解析式f （t ），并写出其定义域； ②设g （t ）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t 为何值时，公路l 的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P （t ，），∴y′=﹣，∴切线l 的方程为y ﹣=﹣（x ﹣t ）设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，则A （，0），B （0，）， ∴f （t ）==，t ∈[5，20]；②设g （t ）=，则g′（t ）=2t ﹣=0，解得t=10，t ∈（5，10）时，g′（t ）＜0，g （t ）是减函数；t ∈（10，20）时，g′（t ）＞0，g （t ）是增函数，从而t=10时，函数g （t ）有极小值也是最小值，∴g（t ）min =300， ∴f（t ）min =15，答：t=10时，公路l 的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a ，c 的方程，解得a ，c ，再由a ，b ，c 的关系，可得b ，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB 的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y 2=1；（2）当AB⊥x 轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB 与x 轴不垂直，设直线AB ：y=k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将AB 方程代入椭圆方程可得（1+2k 2）x 2﹣4k 2x+2（k 2﹣1）=0，则x 1+x 2=，x 1x 2=，则C （，），且|AB|=•=，若k=0，则AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC ：y+=﹣（x ﹣），P （﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB 的方程为y=x ﹣1或y=﹣x+1．点本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离评：心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+b （a ，b ∈R ）．（1）试讨论f （x ）的单调性；（2）若b=c ﹣a （实数c 是与a 无关的常数），当函数f （x ）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c 的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f （x ）的单调性；（2）由（1）知，函数f （x ）的两个极值为f （0）=b ，f （﹣）=+b ，则函数f （x ）有三个不同的零点等价于f （0）f （﹣）=b （+b ）＜0，进一步转化为a ＞0时，﹣a+c ＞0或a ＜0时，﹣a+c ＜0．设g （a ）=﹣a+c ，利用条件即可求c 的值．解答：解：（1）∵f（x ）=x 3+ax 2+b ， ∴f′（x ）=3x 2+2ax ，令f′（x ）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x ）＞0，∴f（x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a ＞0时，x ∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x ）＞0，x ∈（﹣，0）时，f′（x ）＜0，∴函数f （x ）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a ＜0时，x ∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x ）＞0，x ∈（0，﹣）时，f′（x ）＜0，∴函数f （x ）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f （x ）的两个极值为f （0）=b ，f （﹣）=+b ，则函数f （x ）有三个不同的零点等价于f （0）f （﹣）=b （+b ）＜0，∵b=c﹣a ，∴a＞0时，﹣a+c ＞0或a ＜0时，﹣a+c＜0．设g （a ）=﹣a+c ，∵函数f （x ）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞）， ∴在（﹣∞，﹣3）上，g （a ）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g （a ）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c ﹣1≤0，且g （）=c ﹣1≥0，∴c=1，此时f （x ）=x 3+ax 2+1﹣a=（x+1）[x 2+（a ﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x 2+（a ﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a ﹣1）2﹣4（1﹣a ）＞0，且（﹣1）2﹣（a ﹣1）+1﹣a≠0，解得a ∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）（2015•江苏）设a 1，a 2，a 3．a 4是各项为正数且公差为d （d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a 1n ，a 2n+k ，a 3n+2k ，a 4n+3k 依次构成等比数列？并说明理由．考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a 1，d 使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a 1n ，a 2n+k ，a 3n+2k ，a 4n+3k 依次构成等比数列，得到a 1n （a 1+2d ）n+2k =（a 1+2d ）2（n+k ），且（a 1+d ）n+k （a 1+3d ）n+3k =（a 1+2d ）2（n+2k ），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t ）ln （1+2t ）+3ln （1+2t ）ln （1+t ）=4ln （1+3t ）ln （1+t ），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：∵==2d ，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a 1+d=a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a﹣d ，a ，a+d ，a+2d （a ＞d ，a ＞﹣2d ，d≠0）假设存在a 1，d 使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，则a 4=（a ﹣d ）（a+d ）3，且（a+d ）6=a 2（a+2d ）4，令t=，则1=（1﹣t ）（1+t ）3，且（1+t ）6=（1+2t ）4，（﹣＜t ＜1，t≠0），化简得t 3+2t 2﹣2=0（*），且t 2=t+1，将t 2=t+1代入（*）式，t （t+1）+2（t+1）﹣2=t 2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．（3）假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a 1n ，a 2n+k ，a 3n+2k ，a 4n+3k 依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k （1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln （1+2t ）+3（1+t ）2ln （1+t ），则φ′（t ）=6[（1+3t ）ln （1+3t ）﹣2（1+2t ）ln （1+2t ）+3（1+t ）ln （1+t ）]，令φ1（t ）=φ′（t ），则φ1′（t ）=6[3ln （1+3t ）﹣4ln （1+2t ）+ln （1+t ）]，令φ2（t ）=φ1′（t ），则φ2′（t ）=＞0，由g （0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t ）＞0，知g （t ），φ（t ），φ1（t ），φ2（t ）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g （t ）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a 1n ，a 2n+k ，a 3n+2k ，a 4n+3k 依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x ，y ∈R ，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A =﹣2，可得A=，通过令矩阵A 的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A =﹣2，即==，则，即， ∴矩阵A=，从而矩阵A 的特征多项式f （λ）=（λ+2）（λ﹣1）， ∴矩阵A 的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C 的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C 的半径．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x 2+y 2﹣2x+2y ﹣4=0，化为标准方程为（x ﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f （x ）|≥g（x ）⇔f （x ）≥g（x ），或f （x ）≤﹣g （x ）；思路2（零点分段法）：对x 的值分“x≥”“x ＜”进行讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x ，得2x+3≥2﹣x ，或2x+3≥﹣（2﹣x ），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=． ①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥； ②x＜时，原不等式化为x ﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f （x ）|≥g（x ）⇔f （x ）≥g（x ），或f （x ）≤﹣g （x ）；|f（x ）|≤g（x ）⇔﹣g （x ）≤f（x ）≤g（x ）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，已知PA⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系A ﹣xyz ．（1）所求值即为平面PAB 的一个法向量与平面PCD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos 2＜，＞≤，结合函数y=cosx 在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系A ﹣xyz 如图，由题可知B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，2，0），P （0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB ，∴=（0，2，0），是平面PAB 的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向评：量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n ={1，2，3，…，n ）（n ∈N *），设S n ={（a ，b ）|a 整除b 或整除a ，a ∈X ，B ∈Y n }，令f （n ）表示集合S n 所含元素的个数．（1）写出f （6）的值；（2）当n≥6时，写出f （n ）的表达式，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）f （6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f （6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f （k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f （k+1）=f （k ）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f （k+1）=f （k ）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f （k+1）=f （k ）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n 均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。

2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型：专题2 不等式与线性规划第5练

第5练如何用好基本不等式题型一利用基本不等式求解最大值、最小值问题例1 (1）设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当错误!取得最小值时,x ＋2y －z 的最大值为________．（2）函数y ＝错误!的最大值为________．破题切入点（1）利用基本不等式确定错误!取得最小值时x ，y ，z 之间的关系，进而可求得x ＋2y －z 的最大值．(2）可采用换元法,将函数解析式进行变形，利用基本不等式求解最值．答案（1）2 (2）错误!解析（1)错误!＝错误!＝错误!＋错误!－3≥2错误!－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，因此z ＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，所以x ＋2y －z ＝4y －2y 2＝－2（y －1)2＋2≤2。

(2)令t ＝错误! ≥0，则x ＝t 2＋1,所以y ＝t t 2＋1＋3＋t＝错误!。

当t ＝0,即x ＝1时,y ＝0；当t >0,即x 〉1时，y ＝错误!,因为t ＋4t≥2错误!＝4（当且仅当t ＝2时取等号），所以y ＝错误!≤错误!，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．题型二利用基本不等式求最值的综合性问题例2 如图所示，在直角坐标系xOy 中，点P (1,错误!）到抛物线C ：y 2＝2px (p >0）的准线的距离为错误!。

点M (t ，1）是C 上的定点,A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点Q (m ,n )在直线OM 上．（1)求曲线C 的方程及t 的值；（2）记d ＝错误!，求d 的最大值．破题切入点（1）依条件，构建关于p ,t 的方程；（2)建立直线AB 的斜率k 与线段AB 中点坐标间的关系，并表示弦AB 的长度，运用函数的性质或基本不等式求d 的最大值．解 (1)y 2＝2px （p >0）的准线x ＝－错误!,∴1－（－p 2)＝错误!,p ＝错误!， ∴抛物线C 的方程为y 2＝x .又点M (t,1)在曲线C 上，∴t ＝1。

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型：(精)

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2015年江苏省高考数学试卷答案与解析

2021 年XX省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，共计70分〕1．〔5分〕〔2021 ?XX〕集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，那么集合A∪B中元素的个数为5．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，那么A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考察了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于根底题2．〔5分〕〔2021 ?XX〕一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考察数据的均值的求法，根本知识的考察．23．〔5分〕〔2021 ?XX〕设复数z满足z=3+4i〔i是虚数单位〕，那么z的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩大和复数．分析：直接利用复数的模的求解法那么，化简求解即可．2解答：解：复数z满足z=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考察复数的模的求法，注意复数的模的运算法那么的应用，考察计算能力．4．〔5分〕〔2021 ?XX〕根据如下图的伪代码，可知输出的结果S为7．1考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考察了循环构造的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于根底题．5．〔5分〕〔2021 ?XX〕袋中有形状、大小都一样的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，那么这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出根本领件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，那么一次取出2只球，根本领件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考察了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是根底题目．6．〔5分〕〔2021 ?XX〕向量=〔2，1〕，=〔1，﹣2〕，假设m+n=〔9，﹣8〕〔m，n∈R〕，那么m﹣n的值为﹣3．考点：平面向量的根本定理及其意义．专题：平面向量及应用．2分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=〔2，1〕，=〔1，﹣2〕，假设m+n=〔9，﹣8〕可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考察向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考察计算能力．7．〔5分〕〔2021 ?XX〕不等式2＜4的解集为〔﹣1，2〕．考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．2分析：利用指数函数的单调性转化为x﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，2∴x﹣x＜2，2即x﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜ 2故答案为：〔﹣1，2〕点评：此题考察了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．〔5分〕〔2021 ?XX〕tanα=﹣2，tan〔α+β〕=，那么tanβ的值为3．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan〔α+β〕=，可知tan〔α+β〕==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考察两角和的正切函数，根本知识的考察．9．〔5分〕〔2021 ?XX〕现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，假设将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径一样的新的圆锥和圆柱各一个，那么新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．3专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，那么新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考察了圆柱与圆锥的体积公式，是根底的计算题．10．〔5分〕〔2021 ?XX〕在平面直角坐标系xOy中，以点〔1，0〕为圆心且与直线mx﹣y22 ﹣2m﹣1=0〔m∈R〕相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为〔x﹣1〕+y=2．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为〔x﹣1〕2 故答案为：〔x﹣1〕+y 2=2．22+y=2．点评：本题考察所圆的标准方程，考察点到直线的距离公式，考察学生的计算能力，比拟基础．*11．〔5分〕〔2021 ?XX〕设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1〔n∈N 〕，那么数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1〔n∈N *〕，利用“累加求和〞可得a n=．再利用“裂项求和〞即可得出．*解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1〔n∈N〕，∴当n≥2时，a n=〔a n﹣a n﹣1〕+⋯+〔a2﹣a1〕+a1=+n+⋯+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．4∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考察了数列的“累加求和〞方法、“裂项求和〞方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22﹣y12．〔5分〕〔2021 ?XX〕在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x=1右支上的一个动点，假设点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，那么实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．22分析：双曲线x﹣y=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0 的距离．22解答：解：由题意，双曲线x﹣y=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考察双曲线的性质，考察学生的计算能力，比拟根底．13．〔5分〕〔2021 ?XX〕函数f〔x〕=|lnx|，g〔x〕=，那么方程|f〔x〕+g〔x〕|=1实根的个数为4．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f〔x〕+g〔x〕|=1可得g〔x〕=﹣f〔x〕±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f〔x〕+g〔x〕|=1可得g〔x〕=﹣f〔x〕±1．g〔x〕与h〔x〕=﹣f〔x〕+1的图象如下图，图象有两个交点；5g〔x〕与φ〔x〕=﹣f〔x〕﹣1的图象如下图，图象有两个交点；所以方程|f〔x〕+g〔x〕|=1实根的个数为4．故答案为：4．点评：本题考察求方程|f〔x〕+g〔x〕|=1实根的个数，考察数形结合的数学思想，考察学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．〔5分〕〔2021 ?XX〕设向量=〔cos，sin+cos〕〔k=0，1，2，⋯，12〕，那么〔a k?a k+1〕的值为．考数列的求和．点：专等差数列与等比数列；平面向量及应用．题：分利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可析得出．：解解：6答：=+=++++=++=++，∴〔a k?a k+1〕=+++++++⋯+++++++⋯+=+0+0=．故答案为：9．点此题考察了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期评性，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．：二、解答题〔本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕15．〔14分〕〔2021 ?XX〕在△ABC中，AB=2，AC=3，A=60°．〔1〕求BC的长；〔2〕求sin2C的值．考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：〔1〕直接利用余弦定理求解即可．〔2〕利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：〔1〕由余弦定理可得：BC 2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．〔2〕由正弦定理可得：，那么s inC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，7那么cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：此题考察余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的X围的解题的关键．16．〔14分〕〔2021 ?XX〕如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：〔1〕DE∥平面AA1C1C；〔2〕BC1⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：〔1〕根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；〔2〕先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：〔1〕根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；〔2〕因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC?平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1?平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；8又因为AB1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考察了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考察了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是根底题目．17．〔14分〕〔2021 ?XX〕某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，方案修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，方案修建的公路为l，如下图，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=〔其中a，b为常数〕模型．〔1〕求a，b的值；〔2〕设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f〔t〕，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：〔1〕由题意知，点M，N的坐标分别为〔5，40〕，〔20，2.5〕，将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；〔2〕①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f〔t〕，并写出其定义域；②设g〔t〕=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：〔1〕由题意知，点M，N的坐标分别为〔5，40〕，〔20，2.5〕，将其分别代入y=，得，解得，9〔2〕①由〔1〕y=〔5≤x≤20〕，P〔t，〕，∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣〔x﹣t〕设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，那么A〔，0〕，B〔0，〕，∴f〔t〕==，t∈[5，20]；②设g〔t〕=，那么g′〔t〕=2t﹣=0，解得t=10，t∈〔5，10〕时，g′〔t〕＜0，g〔t〕是减函数；t∈〔10，20〕时，g′〔t〕＞0，g〔t〕是增函数，从而t=10时，函数g〔t〕有极小值也是最小值，∴g〔t〕min=300，∴f〔t〕min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考察利用数学知识解决实际问题，考察导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．〔16分〕〔2021 ?XX〕如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1〔a＞b＞0〕的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段A B的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，假设PC=2AB，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔1〕运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；〔2〕讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．10解答：解：〔1〕由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，那么b=1，即有椭圆方程为+y 2=1；〔2〕当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k〔x﹣1〕，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，2222将AB方程代入椭圆方程可得〔1+2k〕x﹣4k﹣1〕=0，x+2〔k那么x1+x2=，x1x2=，那么C〔，〕，且|AB|=?=，假设k=0，那么AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；那么k≠0，故PC：y+=﹣〔x﹣〕，P〔﹣2，〕，从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考察椭圆的方程和性质，主要考察椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考察两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．3219．〔16分〕〔2021 ?XX〕函数f〔x〕=x+ax+b〔a，b∈R〕．〔1〕试讨论f〔x〕的单调性；〔2〕假设b=c﹣a〔实数c是与a无关的常数〕，当函数f〔x〕有三个不同的零点时，a的取值X围恰好是〔﹣∞，﹣3〕∪〔1，〕∪〔，+∞〕，求c的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：〔1〕求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f〔x〕的单调性；〔2〕由〔1〕知，函数f〔x〕的两个极值为f〔0〕=b，f〔﹣〕=+b，那么函数11f〔x〕有三个不同的零点等价于f〔0〕f〔﹣〕=b〔+b〕＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g〔a〕=﹣a+c，利用条件即可求c的值．32解答：解：〔1〕∵f〔x〕=x+ax+b，2∴f′〔x〕=3x+2ax，令f′〔x〕=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′〔x〕＞0，∴f〔x〕在〔﹣∞，+∞〕上单调递增；a＞0时，x∈〔﹣∞，﹣〕∪〔0，+∞〕时，f′〔x〕＞0，x∈〔﹣，0〕时，f′〔x〕＜0，∴函数f〔x〕在〔﹣∞，﹣〕，〔0，+∞〕上单调递增，在〔﹣，0〕上单调递减；a＜0时，x∈〔﹣∞，0〕∪〔﹣，+∞〕时，f′〔x〕＞0，x∈〔0，﹣〕时，f′〔x〕＜0，∴函数f〔x〕在〔﹣∞，0〕，〔﹣，+∞〕上单调递增，在〔0，﹣〕上单调递减；〔2〕由〔1〕知，函数f〔x〕的两个极值为f〔0〕=b，f〔﹣〕=+b，那么函数f〔x〕有三个不同的零点等价于f〔0〕f〔﹣〕=b〔+b〕＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g〔a〕=﹣a+c，∵函数f〔x〕有三个不同的零点时，a的取值X围恰好是〔﹣∞，﹣3〕∪〔1，〕∪〔，+∞〕，∴在〔﹣∞，﹣3〕上，g〔a〕＜0且在〔1，〕∪〔，+∞〕上g〔a〕＞0均恒成立，∴g〔﹣3〕=c﹣1≤0，且g〔〕=c﹣1≥0，∴c=1，此时f〔x〕=x 32 +ax+1﹣a=〔x+1〕[x 2+〔a﹣1〕x+1﹣a]，∵函数有三个零点，2∴x+〔a﹣1〕x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，22∴△=〔a﹣1〕﹣4〔1﹣a〕＞0，且〔﹣1〕﹣〔a﹣1〕+1﹣a≠0，12解得a∈〔﹣∞，﹣3〕∪〔1，〕∪〔，+∞〕，综上c=1．点评：本题考察导数知识的综合运用，考察函数的单调性，考察函数的零点，考察分类讨论的数学思想，难度大．20．〔16分〕〔2021 ?XX〕设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d〔d≠0〕的等差数列．〔1〕证明：2，2，2，2依次构成等比数列；234〔2〕是否存在a1，d，使得a1，a2，a3，a4依次构成等比数列？并说明理由；nn+kn+2kn+3k〔3〕是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1，a2，a3，a4依次构成等比数列？并说明理由．考点：等比关系确实定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：〔1〕根据等比数列和等差数列的定义即可证明；234〔2〕利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a2，a3，a4依次构成等比数列，推出矛盾，否认假设，得到结论；nn+kn+2kn+3k〔3〕利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1，a2，a3，a4依nn+2k2〔n+k〕n+kn+3k次构成等比数列，得到a1〔a1+2d〕，且〔a1+d〕〔a1+3d〕=〔a1+2d〕=2〔n+2k〕〔a1+2d〕，利用等式以及对数的性质化简整理得到ln〔1+3t〕ln〔1+2t〕+3ln〔1+2t〕ln〔1+t〕=4ln〔1+3t〕ln〔1+t〕，〔**〕，屡次构造函数，屡次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：d解：〔1〕证明：∵==2，〔n=1，2，3，〕是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；〔2〕令a1+d=a，那么a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d〔a＞d，a＞﹣2d，d≠0〕234假设存在a1，d使得a1，a2，a3，a4依次构成等比数列，43624那么a，且〔a+d〕〔a+2d〕，=〔a﹣d〕〔a+d〕=a36令t=，那么1=〔1﹣t〕〔1+t〕，且〔1+t〕=〔1+2t〕4，〔﹣＜t＜1，t≠0〕，3222化简得t﹣2=0〔*〕，且t+2t=t+1，将t=t+1代入〔*〕式，2t〔t+1〕+2〔t+1〕﹣2=t+3t=t+1+3t=4t+1=0，那么t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，234因此不存在a1，d，使得a1，a2，a3，a4依次构成等比数列．nn+kn+2kn+3k〔3〕假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1，a2，a3，a4依次构成等比数列，nn+2k那么a1〔a1+2d〕=〔a1+2d〕2〔n+k〕n+kn+3k2〔n+2k〕，且〔a1+d〕〔a1+3d〕，=〔a1+2d〕2〔n+k〕2〔n+2k〕分别在两个等式的两边同除以=a1，a1，并令t=，〔t＞，t≠0〕，13那么〔1+2t〕n+2k=〔1+t〕2〔n+k〕n+k，且〔1+t〕〔1+3t〕n+3k=〔1+2t〕2〔n+2k〕，将上述两个等式取对数，得〔n+2k〕ln〔1+2t〕=2〔n+k〕ln〔1+t〕，且〔n+k〕ln〔1+t〕+〔n+3k〕ln〔1+3t〕=2〔n+2k〕ln〔1+2t〕，化简得，2k[ln〔1+2t〕﹣l n〔1+t〕]=n[2ln〔1+t〕﹣l n〔1+2t〕]，且3k[ln〔1+3t〕﹣l n〔1+t〕]=n[3ln〔1+t〕﹣l n〔1+3t〕]，再将这两式相除，化简得，ln〔1+3t〕ln〔1+2t〕+3ln〔1+2t〕ln〔1+t〕=4ln〔1+3t〕ln〔1+t〕，〔**〕令g〔t〕=4ln〔1+3t〕ln〔1+t〕﹣l n〔1+3t〕ln〔1+2t〕+3ln〔1+2t〕ln〔1+t〕，22那么g′〔t〕=[〔1+3t〕ln〔1+3t〕﹣3〔1+2t〕ln〔1+2t〕2+3〔1+t〕ln〔1+t〕]，222令φ〔t〕=〔1+3t〕ln〔1+3t〕﹣3〔1+2t〕ln〔1+2t〕+3〔1+t〕ln〔1+t〕，那么φ′〔t〕=6[〔1+3t〕ln〔1+3t〕﹣2〔1+2t〕ln〔1+2t〕+3〔1+t〕ln〔1+t〕]，令φ1〔t〕=φ′〔t〕，那么φ1′〔t〕=6[3ln〔1+3t〕﹣4ln〔1+2t〕+ln〔1+t〕]，令φ2〔t〕=φ1′〔t〕，那么φ2′〔t〕=＞0，由g〔0〕=φ〔0〕=φ1〔0〕=φ2〔0〕=0，φ2′〔t〕＞0，知g〔t〕，φ〔t〕，φ1〔t〕，φ2〔t〕在〔﹣，0〕和〔0，+∞〕上均单调，故g〔t〕只有唯一的零点t=0，即方程〔**〕只有唯一解t=0，故假设不成立，nn+kn+2kn+3k所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1，a2，a3，a4依次构成等比数列．点评：本题主要考察等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等根底知识，考察代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题〔本大题包括选做题和必做题两局部〕【选做题】此题包括21-24题，请选定其中两小题作答，假设多做，那么按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．〔10分〕〔2021 ?XX〕如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，14可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考察圆的根本性质与相似三角形等根底知识，考察逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．〔10分〕〔2021 ?XX〕x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由，可得A=﹣2，即==，那么，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f〔λ〕=〔λ+2〕〔λ﹣1〕，∴矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考察求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】223．〔2021 ?XX〕圆C的极坐标方程为ρ+2ρsin〔θ﹣〕﹣4=0，求圆C的半径．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：22解：圆的极坐标方程为ρ﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，+2ρsin〔θ﹣〕﹣4=0，可得ρ22化为直角坐标方程为x﹣2x+2y﹣4=0，+y22化为标准方程为〔x﹣1〕+〔y+1〕=6，圆的半径r=．点评：本题主要考察把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比拟根底，[选修4-5：不等式选讲】24．〔2021 ?XX〕解不等式x+|2x+3|≥2．考点：绝对值不等式的解法．15分析：思路1〔公式法〕：利用|f〔x〕|≥g〔x〕?f〔x〕≥g〔x〕，或f〔x〕≤﹣g〔x〕；思路2〔零点分段法〕：对x的值分“x≥〞“x＜〞进展讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣〔2﹣x〕，即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+〔2x+3〕≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣〔2x+3〕≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考察了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．假设含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f〔x〕|≥g〔x〕?f〔x〕≥g〔x〕，或f〔x〕≤﹣g〔x〕；|f〔x〕|≤g〔x〕?﹣g〔x〕≤f〔x〕≤g〔x〕．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．〔10分〕〔2021 ?XX〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．〔1〕求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；〔2〕点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．〔1〕所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；2〔2〕利用换元法可得cos＜，＞≤，结合函数y=cosx在〔0，〕上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣x yz如图，由题可知B〔1，0，0〕，C〔1，1，0〕，D〔0，2，0〕，P〔0，0，2〕．〔1〕∵AD⊥平面PAB，∴=〔0，2，0〕，是平面PAB的一个法向量，∵=〔1，1，﹣2〕，=〔0，2，﹣2〕，设平面PCD的法向量为=〔x，y，z〕，由，得，取y=1，得=〔1，1，1〕，∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；〔2〕∵=〔﹣1，0，2〕，设=λ=〔﹣λ，0，2λ〕〔0≤λ1≤〕，又=〔0，﹣1，0〕，那么=+=〔﹣λ，﹣1，2λ〕，又=〔0，﹣2，2〕，从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，2那么cos＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在〔0，〕上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考察求二面角的三角函数值，考察用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．〔10分〕〔2021 ?XX〕集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，⋯，n〕〔n∈N *〕，设S n={〔a，b〕|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f〔n〕表示集合S n所含元素的个数．〔1〕写出f〔6〕的值；〔2〕当n≥6时，写出f〔n〕的表达式，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：〔1〕f〔6〕=6+2++=13；〔2〕根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：〔1〕f〔6〕=6+2++=13；〔2〕当n≥6时，f〔n〕=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f〔6〕=6+2++=13，结论成立；②假设n=k〔k≥6〕时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的根底上新增加的元素在〔1，k+1〕，〔2，k+1〕，〔3，k+1〕中产生，分以下情形讨论：1〕假设k+1=6t，那么k=6〔t﹣1〕+5，此时有f〔k+1〕=f〔k〕+3=〔k+1〕+2++，结论成立；2〕假设k+1=6t+1，那么k=6t+1，此时有f〔k+1〕=f〔k〕+1=k+2+++1=〔k+1〕+2++，结论成立；3〕假设k+1=6t+2，那么k=6t+1，此时有f〔k+1〕=f〔k〕+2=k+2+++2=〔k+1〕+2++，结论成立；4〕假设k+1=6t+3，那么k=6t+2，此时有f〔k+1〕=f〔k〕+2=k+2+++2=〔k+1〕+2++，结论成立；5〕假设k+1=6t+4，那么k=6t+3，此时有f〔k+1〕=f〔k〕+2=k+2+++2=〔k+1〕+2++，结论成立；6〕假设k+1=6t+5，那么k=6t+4，此时有f〔k+1〕=f〔k〕+2=k+2+++2=〔k+1〕+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．点评：本题考察数学归纳法，考察学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。

2015年高考文科数学江苏卷

4
D.（本小题满分 10 分）选修 4—5:不等式选讲解不等式 x | 2x 3 |≥2 .
数学试卷第 5 页（共 6 页）
【必做题】第 22,23 题,每小题 10 分,共 20 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分 10 分）
如图,在四棱锥 P ABCD 中,已知 PA 平面 ABCD ,且四边形 ABCD 为直角梯形, π
姓名________________ 准考证号_____________
-------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- ---------------
所有圆中,半径最大的圆的标准方程为
.
11. 设数列
{an }
满足
a1
1
,且
an1
an
n 1(n Ν*)
,则数列
1 {}
an
的前
10
项的和
为
.
12.在平面直角坐标系 xOy 中, P 为双曲线 x2 y2 1 右支上的一个动点,若点 P 到直线
x y 1 0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为
在
绝密★启用前
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
此
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共 6 页,均为非选择题（第 1 题～第 20 题,共 20 题）.本卷满分为 160 分,考卷

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