概统(昆工版(教材习题第一至六章(演示版)[1]
统计学概论_云南大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
统计学概论_云南大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.在离散程度的测度中，最容易受极端值影响的是( )。
参考答案:极差2.变量值与其平均数的离差除以标准差后的值称为（）参考答案:标准分数3.经验法则表明，当一组数据对称分布时，在平均数加减2个标准差的范围之内大约有（）参考答案:95%的数据4.偏态系数测度了数据分布的非对称性程度。
如果一组数据的分布是对称的，则偏态系数（）参考答案:等于05.一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示：供应商正品数次品数合计甲84690乙1028110合计18614200设A=取出的一个为正品，B=取出的一个为供应商甲供应的配件。
从这200个配件中任取一个进行检查，取出的一个为供应商甲供应的配件的概率为（）.参考答案:0.456.如果一组数据不是对称分布的，根据切比雪夫不等式，对于k=3，其意义是（）参考答案:至少有89%的数据落在平均数加减2个标准差的范围之内7.比较两组数据的离散程度最适合的统计量是（）参考答案:离散系数8.如果峰态系数k>0，表明该组数据是（）参考答案:尖峰分布9.某班共有25名学生，期末统计学课程的考试分数分别为： 68，73，66，76, 86, 74, 61, 89, 65, 90, 69, 67, 76, 62, 81, 63, 68, 81, 70, 73,60，87，75，64，56，该班考试分数的下四分位数和上四分位数分别是( ) 。
参考答案:64.5和78.510.对于右偏分布，平均数、中位数和众数之间的关系是( )。
参考答案:平均数>中位数>众数11.下表是《财富》杂志提供的按销售额和利润排列的500强公司的一个样本数据：公司名称销售额（百万美元）利润额（百万美元）行业代码BancOne102721427.08CPC Intl.9844580.019TysonFoods645487.019….….…. ….…..…….…..Woolworth8092168.748在这个例子中（）参考答案:总体是500强公司，样本是表中所列的公司12.一家具制造商购买大批木材，木材不干会影响家具的尺寸和形状。
概统(昆工版(教材习题第一至三章(教师用)
3 设,,B A 为二事件，化简下列事件： B B B A B BA B A B A B A =⋃=⋃⋃=⋃⋃)()())()(1( B B A B B A A A B A B A =⋃⋃⋃=⋃⋃)())()(2(4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。
3024.010302410427210678910445==⋅=⋅⋅⋅⋅=p5 n 张奖券中有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
答案：.1k n k m n C C --6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？ 解；将这五双靴子分别编号分组},,,,{};,,,,{5432154321b b b b b B a a a a a A ==，则 C 表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有.45C 不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i 只，且编号不同，其可能选法为)0,1,2,3,4(;455=--i C C i i i 41045341523251235451)(1)(C C C C C C C C C C P C P ++++-=-= 2113218177224161247720104060401011234789105453245224551=-=⋅⋅-=⋅++++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+-= 7在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过51的概率。
答案：以构成三角形的概率。
,0,0a y a x <<<<且a y x <+<0，又 41222,,=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>+⇒⎪⎩⎪⎨⎧--<---<--->+P a y a x a y x y x a x y y x a y x y x a y x 9在区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的积小于41的概率。
概论论与数理统计课本答案CH6 ans
概率论第六章习题解答习题6.11． 求下列总体分布中参数的矩估计：（1）21,01,(;)0,,x x f x θθθ+−≤≤⎧=⎨⎩其他 其中θ < 1；（2）f (x ; p ) = p (1 − p ) x − 1，x = 1, 2, …；其中0 < p < 1；（3）1211221e ,,(;,)0,,x x f x θθθθθθ−−⎧⎪≥=⎨⎪⎩其他 其中−∞ < θ 1 < +∞，θ 2 > 0． 解：（1）因11320021211E()(21)d ()323226X x x x x x θθθθθθθ−−=+−=+=+=+∫，有θ = 6 E (X ) − 3，故θ 的矩估计为ˆ63X θ=−； （2）因1121111d d d 11E()(1)d d d 1(1)x x x x x x x x q X x p p p x qp q p q p p q q q q p q ∞∞∞∞−−====⎛⎞=⋅−=⋅=====⎜⎟−−⎝⎠∑∑∑∑， 故1E()p X =，p 的矩估计为1ˆpX=； （3）因∫∫∫∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−+−=−⋅=⋅=121121121121d eede)1(d e1)(E 2θθθθθθθθθθθθθx x x x x X x x x x212121121eeθθθθθθθθθ+=−−=+∞−−+∞−−x x x ，且∫∫∫∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−⋅+−=−⋅=⋅=121121121121d 2eede)1(d e1)(E 22222θθθθθθθθθθθθθx x x x x x X x x x x22212122122222)(E 2d e12e121121θθθθθθθθθθθθθθ++=+=⋅+−=∫∞+−−+∞−−X x x x x x ， 则2222122212122)(22)](E [)(E )(D θθθθθθθ=+−++=−=X X X ，即)(D 2X =θ，)(D )(E 1X X −=θ，故θ 1和θ 2的矩估计为n S X −=1ˆθ，nS =2ˆθ． 2． 求下列总体分布中参数的极大似然估计：（1）f (x ; θ ) = θ (1 − θ ) x − 1，x = 1, 2, …；其中0 < θ < 1； （2）λλλ−=e !);(x x f x，x = 0, 1, 2, …；其中λ > 0；（3）222)(ln 2eπ21),;(σµσσµ−−=x xx f ，x = 0；其中−∞ < µ < +∞，σ > 0．解：（1）nx nx x x n ni i n x f x f x f L −−−−∑−=−−⋅−===121)1()1()1()1();();();()(11121θθθθθθθθθθθθ""，即)1ln()(ln )(ln 1θθθ−−∑+==n x n L ni i ，令011)(1d )(ln d 1=−−⋅−∑+⋅==θθθθn x n L n i i ，得xx nni i11==∑=θ， 故θ 的极大似然估计为X1ˆ=θ； （2）λλλλλλλλλλλλn n x n x x x n x x x x x x x f x f x f L ni in−−−−∑=⋅===e !!!e !e !e !);();();()(212121121"""，即λλλn x x x x L n ni i −−⋅∑==)!!!ln(ln )(ln 211"，令01d )(ln d 1=−⋅∑==n x L n i i λλλ，得x x n ni i ==∑=11λ， 故λ 的极大似然估计为X =λˆ； （3）),;(),;(),;(),(222212σµσµσµσµn x f x f x f L "=212222222212)(ln 212)(ln 2)(ln 22)(ln 1e)π2(1eπ21eπ21eπ21σµσµσµσµσσσσ∑===−−−−−−−−ni i n x nnx nx x x x x x x x ""，即21221222)(ln )ln()ln π2(ln 2),(ln σµσσµ∑−−−+−==ni i n x x x x nL "，令0ln 2)1()(ln 2),(ln 21212=−∑=∑−⋅−−=∂∂==σµσµµσµn x x L ni i ni i ，得∑==ni i x n 1ln 1µ，再令02)(ln 12),(ln 412222=∑−+⋅−=∂∂=σµσσσµni i x n L ，得∑−==n i i x n 122)(ln 1µσ， 故µ和σ 2的极大似然估计为∑==n i i X n 1ln 1ˆµ，∑−===∧∑n i n i i i X n X n 1212)ln 1(ln 1σ． 3． 设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<+=,,0,10,)1();(其他x x x f θθθ求参数θ 的极大似然估计与矩法估计，并看看它们是否一致？今获得样本观测值为0.4, 0.7, 0.27, 0.55,0.68, 0.31, 0.45, 0.83．试分别求θ 的极大似然估计值与矩估计值．解：因121212()(;)(;)(;)(1)(1)(1)(1)()n n n n L f x f x f x x x x x x x θθθθθθθθθθθθ==+⋅++=+"""，即ln L (θ ) = n ln (θ + 1) + θ ln (x 1 x 2 … x n )，令12d ln ()1ln()0d 1n L n x x x θθθ=⋅+=+"， 则12111ln()ln nn ii nnx x x x θ==−−=−−∑"，故θ 的极大似然估计为1ˆ1ln nii nX θ==−−∑；因1211E()(1)d (1)22xX x x x θθθθθθθ++=⋅+=+⋅=++∫，有2E()11E()X X θ−=−，故θ 的矩法估计为21ˆ1X Xθ−=−； 显然参数θ 的极大似然估计与矩法估计不一致；又因样本观测值为0.4, 0.7, 0.27, 0.55, 0.68, 0.31, 0.45, 0.83，有1(0.40.70.83)0.523758x =+++="，故θ 的极大似然估计值为8ˆ10.3982ln 0.4ln 0.7ln 0.83θ=−−=+++"，θ 的矩估计值为20.523751ˆ0.099710.52375θ×−==−． 习题6.21． 设容量为3的随机样本X 1 , X 2 , X 3取自概率密度函数为1,0,(;)0,,x f x θθθ−⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他的总体．证明1(1)ˆ4X θ=和2(3)ˆ43X θ=都是θ 的无偏估计量． 证：总体X 的分布函数为0,0,(;),0,1,,x x F x x x θθθθ<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩则容量为3的样本的最小顺序统计量X (1) 的分布函数和密度函数为33(1)0,0,(;)1[1(;)]11,0,1,,x x F x F x x x θθθθθ<⎧⎪⎪⎛⎞=−−=−−≤<⎨⎜⎟⎝⎠⎪⎪≥⎩23(1)(1)3(),0,(;)(;)0,x x f x F x θθθθθ⎧−<<⎪′==⎨⎪⎩其他且最大顺序统计量X (3) 的分布函数和密度函数为33(3)0,0,(;)[(;)],0,1,,x x F x F x x x θθθθθ<⎧⎪⎪⎛⎞==≤<⎨⎜⎟⎝⎠⎪⎪≥⎩23(3)(3)3,0,(;)(;)0,x x f x F x θθθθ⎧<<⎪′==⎨⎪⎩其他得234222321(1)33300031212ˆE()4E()4()d (2+)d 2+234x x x X x x x x x x x θθθθθθθθθθθθθ⎛⎞==⋅−=−=−=⎜⎟⎝⎠∫∫，2432(3)33300044344ˆE()E()d d 334x x X x x x x θθθθθθθ==⋅==⋅=∫∫，故1(1)ˆ4X θ=和2(3)ˆ43X θ=都是θ 的无偏估计量． 2． 设总体X 服从伯努利分布B (1, p )，p 为未知参数（0 < p < 1）．样本X 1 , …, X n 来自于X ．（1）证明：当n = 1时，p 2不存在无偏估计；（2）若n ≥ 2，求p 2的一个无偏估计量． 解：（1）当n = 1时，样本X 1的概率分布为101~1X p p ⎛⎞⎜⎟−⎝⎠， 则任何统计量T = T (X 1)的数学期望为E (T ) = T (0) ⋅ (1 − p ) + T (1) ⋅ p = T (0) + [T (1) − T (0)] ⋅ p ≠ p 2， 故当n = 1时，p 2不存在无偏估计；（2）若n ≥ 2，有样本均值11n i i X X n ==∑，样本方差2211()1n i i S X X n ==−−∑， 则E()E()X X p ==，22E()D()(1)S X p p p p ==−=−，即222E()E()E()X S X S p −=−=， 故2X S −是p 2的一个无偏估计量．3． 设从均值为µ ，方差为σ 2（> 0）的总体X 中分别抽取容量为n 1 , n 2的两个独立样本，样本均值分别为1X 和2X ．试证：对于任意满足条件a + b = 1的常数a 和b ，12ˆaX bX µ=+都是µ 的无偏估计，并确定a 、b 使方差ˆD()µ达到最小． 解：因12E()E()X X µ==，211D()X n σ=，222D()X n σ=，有12ˆE()E()E()()a X b X a b a b µµµµ=+=+=+，故当a + b = 1时，ˆE()µµ=，12ˆaX bX µ=+都是µ 的无偏估计； 又22222222222121112121212()2(1)ˆD()D()D()(1)n n a n a n a a a X b X a a n n n n n n σσµσ⎡⎤+−+−=+=⋅+−⋅=+=⎢⎥⎣⎦， 令212112ˆ2()2d D()0d n n a n a n n µσ+−==，得112n a n n =+，且2212212ˆ2()d D()0d n n n n a µσ+=>，故当112n a n n =+，2121n b a n n =−=+时，方差ˆD()µ达到最小． 4． 设X 1 , X 2 , X 3 , X 4是来自均值为θ 的指数分布的样本，其中θ 未知．证明下列三个估计量1123411()()36T X X X X =+++，212341(6543)10T X X X X =+−+，T 3 = 2 X 1 − X 2 + 3 X 3 − 3 X 4 ，均为θ的无偏估计量，并说明上述估计量中哪个最有效．证：因总体X 服从均值为θ 的指数分布，即X ~ e (1/θ )，有E (X ) = θ ，D (X ) = θ 2 ，则112341111E()[E()E()][E()E()]()()3636T X X X X θθθθθ=+++=+++=，2123411E()[6E()5E()4E()3E()](6543)1010T X X X X θθθθθ=+−+=+−+=，E (T 3) = 2 E (X 1) − E (X 2) + 3 E (X 3) − 3 E(X 4) = 2θ − θ + 3θ − 3θ = θ ， 故T 1 , T 2 , T 3均为θ 的无偏估计量；又222221123411115D()[D()D()][D()D()]()()93693618T X X X X θθθθθ=+++=+++=， 22222212341143D()[36D()25D()16D()9D()](3625169)10010050T X X X X θθθθθ=+++=+++=，D (T 3) = 4 D (X 1) + D (X 2) + 9 D (X 3) + 9 D (X 4) = 4θ 2 + θ 2 + 9θ 2 + 9θ 2 = 23θ 2 ， 显然D (T 1) < D (T 2) < D (T 3)， 故T 1最有效，T 2其次，T 3最差．5． 设ˆθ是参数θ 的无偏估计量，且ˆD()0θ>，试证：2ˆ()θ不是θ 2的无偏估计量． 证：因ˆθ是参数θ 的无偏估计量，即ˆE()θθ=，有2222ˆˆˆˆE[()]()[E()]()D D θθθθθθ=+=+>， 故2ˆ()θ不是θ 2的无偏估计量． 习题6.31． 随机地从一批零件中抽取10个，测得其长度（单位：cm ）为：2.13, 2.14, 2.12, 2.13, 2.11, 2.15, 2.14, 2.13, 2.12, 2.13．假设该批零件的长度服从正态分布N (µ , σ 2)，试求总体均值µ 的置信系数为95%的置信区间：（1）若已知σ = 0.01；（2）若σ 未知． 解：（1）单个正态总体，已知σ ，估计µ ，总体均值µ 的点估计为X，枢轴量为~(0,1)X U N =，置信系数1 − α = 0.95，置信区间为/2/2(X u u αα−+，因1(2.13 2.14 2.13) 2.1310x =+++="，σ = 0.01，n = 10，u 0.025 = 1.96， 故µ 的置信系数95%的置信区间为(2.13 1.96 2.13 1.96(2.1238,2.1362)−+=；（2）单个正态总体，未知σ ，估计µ ，总体均值µ 的点估计为X，枢轴量为~(1)X T t n =−，置信系数1 − α = 0.95，置信区间为/2/2((1)(1)X t n t n αα−−+−，因1(2.13 2.14 2.13) 2.1310x =+++="， 222221[(2.13 2.13)(2.14 2.13)(2.13 2.13)]0.01159s =−+−++−="，n = 10，t 0.025 (9) = 2.2622，故µ 的95%置信区间为(2.13 2.2622 2.13 2.2622(2.1217,2.1383)−+=．2． 为估计制造某件产品所需的单件平均工时（单位：小时），现制造了五件，记录所需工时为：10.5, 11, 11.2, 12.5, 12.8．设制造单件产品所需工时服从正态分布，试求单件平均工时的置信系数95%的置信区间．解：单个正态总体，未知σ ，估计µ ，总体均值µ 的点估计为X，枢轴量为~(1)X T t n =−，置信系数1 − α = 0.95，置信区间为/2/2((1)(1)X t n t n αα−−+−，因1(10.51112.8)11.65x =+++="，222221[(10.511.6)(1111.6)(12.811.6)]0.99754s =−+−++−="，n = 5，t 0.025 (4) = 2.7764，故µ 的95%置信区间为(11.6 2.7764 2.7764(10.3615,12.8385)−+=．3． 设有两台机床用来生产规格相同的铝合金薄板．随机选取每台机床轧制的产品若干张，测得它们的厚度（单位：cm ）如下：机器I ：0.243, 0.238, 0.248, 0.245, 0.236, 0.241, 0.239， 机器II ：0.261, 0.254, 0.255, 0.257, 0.253, 0.250，设两台机床所生产的薄板的厚度服从方差相等的正态分布．试给出两台机床生产的铝合金薄板平均厚度差的置信系数为95%的置信区间．解：两个正态总体，未知22,x y σσ（但22x yσσ=），估计µ x −µ y ，均值差µ x −µ y 的点估计为X Y −，枢轴量为()()~(2)X Y T t n m µµ−−−=+−， 置信系数1 − α = 0.95，置信区间为(， 因1(0.2430.2380.239)0.24147x =+++="，1(0.2610.2540.250)0.2556y =+++="， 222221[(0.2430.2414)(0.2380.2414)(0.2390.2414)]0.00426x s =−+−++−="，222221[(0.2610.255)(0.2540.255)(0.2500.255)]0.00375ys =−+−++−="， n = 7，m = 6，t 0.025 (11) = 2.2010， 故µ 的95%置信区间为(0.24140.255 2.2010(0.0185,0.0087)−±=−−．4． 由容量为15，取自正态总体N (µ , σ 2)的随机样本算得23.2, 4.24x s ==，确定σ 2和σ 的置信系数90%的置信区间．解：单个正态总体，估计σ 2，总体方差σ 2的点估计为S 2，枢轴量为2222(1)~(1)n S n χχσ−=−，置信系数1 − α = 0.90，置信区间为2222/21/2(1)(1)(,)(1)(1)n S n S n n ααχχ−−−−−，因s 2 = 4.24，n = 15，20.05(14)23.685χ=，20.95(14) 6.571χ=，故σ 2的90%置信区间为14 4.2414 4.24(,(2.5062,9.0336)23.685 6.571××=； σ 的90%置信区间为(1.5831,3.0056)=．5． 设有两个化验员A 和B 独立对某种聚合物中的含氯量用同一种方法各做了10次测定，其测定值的方差分别为220.512,0.665ABs s ==．假定各自的测定值均服从正态分布，方差分别为2Aσ和2Bσ，求22ABσσ的置信系数为0.90的置信区间．解：两个正态总体，估计22A B σσ，方差比22A Bσσ的点估计为22A B S S ，枢轴量为2222~(1,1)A AB B S F F n m S σσ=−−，置信系数1 − α = 0.90，置信区间为2222/22222/21/2/2111(,)(,(1,1))(1,1)(1,1)(1,1)A A A A B B B BS S S S F m n F n m F n m F n m S S S S αααα−⋅⋅=⋅⋅−−−−−−−−，因220.512,0.665A B s s ==，n = 10，m = 10，F 0.05 (9, 9) = 3.18，故22A Bσσ的置信系数为0.90的置信区间为0.51210.512(, 3.18)(0.2421,2.4484)0.665 3.180.665××=．6． 设枪弹的速度（单位：米/秒）服从正态分布．为了比较两种枪弹的速度，在相同的条件下进行了速度测定．算得数据如下：枪弹甲：m = 110，2810x =，s x = 121.41；枪弹乙：n = 100，2682y =，s x = 105.06．试求这两种枪弹的平均速度之差的置信系数近似为95%的置信区间．解：两个正态总体，未知22,x yσσ（大样本），估计µ x −µ y ，均值差µ x −µ y 的点估计为X Y −，大样本情形下枢轴量为()()~(0,1)X Y T N µµ−−−=，置信系数1 − α = 0.95，置信区间为(，因m = 110，2810x =，s x = 121.41，n = 100，2682y =，s x = 105.06，u 0.025 = 1.96，故µ x −µ y 的95%置信区间为(28102682 1.96(97.36,158.64)−±=．复习题六1． 设X 1 , …, X n 为来自总体X 的样本，X 的概率密度函数为22(),0,(;)0,,x x f x θθθθ⎧−<<⎪=⎨⎪⎩其他 其中θ（> 0）是未知参数．试求参数θ 的矩估计量． 解：因3323222002212E()()d ()()23233X x x x x x θθθθθθθθθθ=⋅−=−=−=∫，有θ = 3 E (X )，故θ 的矩估计为ˆX θ=． 注：此题有误，密度函数非零取值范围应为0 < x < θ ．2． 伯莱托（Pareto ）分布是常用于研究收入的模型，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=,,0,,1),;(111212θθθθθθx x x x F 其中θ 1 > 0，θ 2 > 0．若随机样本X 1 , …, X n 取自该分布，求θ 1与θ 2的极大似然估计量．解：伯莱托分布的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥⋅=′=+,,0,,),;(),;(11112212122θθθθθθθθθθx x x x F x f则1211211212121112212122112122222222)(),;(),;(),;(),(++++=⋅==θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθn n nnn x x x x x x x f x f x f L """，即ln L (θ 1, θ 2) = n ln θ 2 + n θ 2 ln θ 1 − (θ 2 + 1) ln (x 1 x 2 …x n )，显然θ 1越大，ln L (θ 1, θ 2) 就越大，且x i ≥ θ 1，故θ 1的极大似然估计量为)1(11},,min{ˆX X X n =="θ； 令0)ln(ln 1),(ln 2112221=−+⋅=∂∂n x x x n n L "θθθθθ，得111212ln ln 11ln )ln(θθθ−=−=∑=ni i n x n n x x x n "， 故θ 2的极大似然估计量为)1(12ln ln 11ˆX X n ni i −=∑=θ．3． 设总体X 的概率密度为2231/224πe ,0,(;)0,0,xx x f x x ααα−−−⎧⎪>=⎨≤⎪⎩ 试求参数α 的矩估计和极大似然估计，并证明矩估计量是无偏的． 解：因222231/2211/2200E()4πe d 2π(1)de xxX x x x x αααα+∞+∞−−−−−−=⋅=⋅−∫∫22222211/2211/221/21/2002πe2πe d()0(2πe )2πx x x x x ααααααα+∞+∞+∞−−−−−−−−−=−+=+−=∫，故α=，α的矩估计为ˆXα=；因2222221231/2231/2231/221212()(;)(;)(;)4πe4πe4πenx x x n n L f x f x f x x x x αααααααααα−−−−−−−−−==⋅""2213/22124π()eni i x n n n n x x x αα=−−−∑="，即212211ln ()ln 43ln ln π2ln()2nn i i n L n n x x x x ααα==−−+−∑"，令231d ln ()1230d n i i L n x αααα==−⋅+=∑，得α=，故α的极大似然估计为ˆα= 4． 设总体X 的密度函数为||1(;)e ,2x f x x λλ−−=−∞<<+∞，试求参数λ（−∞ < λ < +∞）的极大似然估计量．解：112||||||||121111()(;)(;)(;)e e e e 2222ni n i x x x x n n L f x f x f x λλλλλλλλ=−−−−−−−−∑==⋅=""，即1ln ()ln 2||ni i L n x λλ==−−−∑，设顺序统计量为x (1) , x (2) , …, x (n )，并且记x (0)为−∞，x (n + 1)为+∞，不妨设x (k ) ≤ λ < x (k + 1)，k = 0, 1, …, n − 1, n ， 则1111ln ()ln 2()()ln 2()kn k ni i i i i i k i i k L n x x n k x x n k λλλλλ==+==+=−−−−−=−−+−+−∑∑∑∑11ln 2(2)kni i i i k n n k x x λ==+=−+−+−∑∑，若2n k <，有n − 2k < 0，ln L (λ )关于λ 单调增加，若2nk >，有n − 2k < 0，ln L (λ )关于λ 单调减少， 当n 为偶数时，取2nk =，ln L (λ )在()()221n n x x λ+≤<时达到最大，（由连续性知()21n x λ=时也达到最大），故当n 为偶数时，λ 的极大似然估计量ˆλ为区间()()221[,]n n X X+上的任何值；当n 为奇数时，取12n k −=，ln L (λ )在()()1122n n x x λ−+≤<时单调增加，取12n k +=，ln L (λ )在()()1322n n x x λ++≤<时单调减少，即ln L (λ ) 在()12n x λ+=时达到最大，故当n 为奇数时，λ 的极大似然估计量()12ˆn X λ+=．5． 设总体X ~ N (µ , σ 2)，X 1 , …, X n 是X 的样本，X 为样本均值，求常数c 和d ，使∑−=+−1121)(n i i i X X c 与∑=−ni i X X d 1||分别为σ 2和σ 的无偏估计．解：因E (X i ) = µ ，2222)](E [)(D )(E µσ+=+=i i i X X X ，则∑∑∑−=++−=++−=+−+=−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1112211112211121)](E )(E 2)(E )(E [)2(E )(E n i i i i i n i i i i i n i i i X X X X c X X X X c X X c221122222)1(22)1(]2)()[(σσµµσµσ−=⋅−⋅=−+++=∑−=n c n c c n i ，故当)1(21−=n c 时，21121)(E σ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∑−=+n i i i X X c ，∑−=+−−1121)()1(21n i i i X X n 为σ 2的无偏估计； 因∑∑≠=−−=−=−ij j i n j j i i X n X n n X n X X X 1111，有i X X −服从正态分布，且E()E()E()0i i X X X X µµ−=−=−=，22222(1)1(1)11D()D()D()(1)i i jj i n n n X X X X n n n n n n σσ≠−−−−=+=+⋅−=∑， 则21~(0,)i n X X N n σ−−~(0,1)X N ，记X Y =Y ~ N (0, 1)，则22222200E(||)||d 2d 2y y y Y y yy y+∞−−−+∞+∞−∞===−=∫∫即E(||)i X X −=，11E(||)E(||)n ni i i i d X X d X X d n ==−=−=⋅∑∑，故当d =时，1E ||ni i d X Xσ=⎡⎤−=⎢⎥⎣⎦∑1||n i X X =−为σ 的无偏估计．。
概率统计第一章习题答案
第一章 随机事件及其概率1．解：（1）{}67,5,4,3,2=S（2）{} ,4,3,2=S（3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S =2．解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ∴ )()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -==838121=-=87811)(1)(=-=-=AB P AB P )])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB ⊂218185=-= 3．解：用A 表示事件“取到的三位数不包括数字1”25189********)(191918=⨯⨯==C C C A P 4、解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330”(1) 455443)(2515141413⨯⨯⨯⨯==A C C C C A P = 2） 455421452)(251514122512⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=A C C C A C B P = 五、解：用A 表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”，用B 表示事件“4只中至少有2只红球”，用C 表示事件“4只中没有只白球”（1）412131425)(C C C C A P ==495120=338 （2）4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= 或16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P（3）99749535)(41247===C C C P 6．解：用A 表示事件“某一特定的销售点取得k 张提货单”n kn k n MM C A P --=)1()( 7、解：用A 表示事件“3只球至少有1只配对”，用B 表示事件“没有配对”（1）3212313)(=⨯⨯+=A P 或321231121)(=⨯⨯⨯⨯-=A P （2）31123112)(=⨯⨯⨯⨯=B P 八、解 1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P（1）313.01.0)()()(===B P AB P B A P ， 515.01.0)()()(===A P AB P A B P 7.01.03.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P)()()()()()]([)(B A P AB P B A P AB A P B A P B A A P B A A P ===757.05.0== 717.01.0)()()()])([()(====B A P AB P B A P B A AB P B A AB P 1)()()()]([)(===AB P AB P AB P AB A P AB A P （2）设{}次取到白球第i A i = 4,3,2,1=i那么)()()()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =0408.020592840124135127116==⨯⨯⨯= 九、解： 用A 表示事件“取到的两只球中至少有1只红球”，用B 表示事件“两只都是红球”方式1 651)(2422=-=C C A P ，61)(2422==C C B P ，61)()(==B P AB P 516561)()()(===A P AB P A B P方式2 在减缩样本空间中计算51)(=A B P 10、解：A 表示事件“一病人以为自己得了癌症”，用B 表示事件“病人确实得了癌症” 由已知得，%40)(%,10)(%,45)(%,5)(====B A P B A P B A P AB P（1）B A AB B A AB A 与, =互斥5.045.005.0)()()()(=+=+==∴B A P AB P B A AB P A P同理 15.01.005.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P（2）1.05.005.0)()()(===A P AB P A B P （3）2.05.01.0)()()(,5.05.01)(1)(====-=-=A P B A P A B P A P A P （4）17985.045.0)()()(,85.015.01)(1)(====-=-=B P B A P B A P B P B P （5）3115.005.0)()()(===B P AB P B A P 1一、解：用A 表示事件“任取6张，排列结果为ginger ”92401)(61113131222==A A A A A A P 1二、解：用A 表示事件“A 该种疾病具有症状”，用B 表示事件“B 该种疾病具有症状” 由已知2.0)(=B A P 3.0)(=B A P 1.0)(=AB P（1）,B A AB B A B A S =且B A AB B A B A ,,,互斥()6.01.03.02.0)()()(=++=++=∴AB P B A P B A P B A P4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P()()()4.0)(1=---=AB P B A P B A P B A P（2）()()()6.01.03.02.0)(=++=++=AB P B A P B A P AB B A B A P （3）B A AB B =， B A AB ,互斥4.03.01.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P)()()(])[()(B P AB P B P B AB P B AB P ==414.01.0== 13、解：用i A 表示事件“讯号由第i 条通信线输入”，,4,3,2,1=i B 表示“讯号无误差地被同意” ;2.0)(,1.0)(,3.0)(,4.0)(4321====A P A P A P A P9998.0)(1=A B P ，9999.0)(2=A B P ，,9997.0)(3=A B P 9996.0)(4=A B P 由全概率公式得9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)()()(41⨯+⨯+⨯+⨯==∑=ii i A B P A P B P 99978.0=14、解：用A 表示事件“确实患有关节炎的人”，用B 表示事件“检验患有关节炎的人”由已知 1.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，04.0)(=A B P ，那么 9.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，96.0)(=A B P ，由贝叶斯公式得017.096.09.015.01.015.01.0)()()()()()()(=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 1五、解：用A 表示事件“程序交与打字机A 打字”，B 表示事件“程序交与打字机B 打字”，C 表示事件“程序交与打字机C 打字”；D 表示事件“程序因运算机发生故障被打坏” 由已知得 6.0)(=A P ，3.0)(=B P ，1.0)(=C P ；01.0)(=A D P ，05.0)(=B D P ，04.0)(=C D P由贝叶斯公式得)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P D A P ++=24.025604.01.005.03.001.06.001.06.0==⨯+⨯+⨯⨯= )()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P B D P B P D B P ++= 6.05304.01.005.03.001.06.005.03.0==⨯+⨯+⨯⨯= )()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P C D P C P D A P ++= 16.025604.01.005.03.001.06.004.01.0==⨯+⨯+⨯⨯=1六、解：用A 表示事件“收到可信讯息”，B 表示事件“由密码钥匙传送讯息” 由已知得 95.0)(=A P ，05.0)(=A P ，1)(=A B P ，001.0)(=A B P由贝叶斯公式得999947.0001.005.0195.0195.0)()()()()()()(≈⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 17、解：用A 表示事件“第一次得H ”，B 表示事件“第二次得H ”，C 表示事件“两次得同一面”那么 ,21)(,21)(==B P A P ,21211)(2=+=C P ,4121)(2==AB P ,4121)(2==BC P ,4121)(2==AC P )()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===∴C B A ,,∴两两独立 而41)(=ABC P ，)()()()(C P B P A P ABC P ≠ C B A ,,∴不是彼此独立的1八、解：用A 表示事件“运动员A 进球”，B 表示事件“运动员B 进球”，C 表示事件“运动员C 进球”，由已知得 5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，6.0)(=C P那么 5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，4.0)(=C P（1）{})(C B A C B A C B A P P =恰有一人进球)()()(C B A P C B A P C B A P ++= （C B A C B A C B A ,,互斥）)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 相互独立）C B A ,,( 29.06.03.05.04.07.05.04.03.05.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= （2）{})(C B A BC A C AB P P =恰有二人进球)()()(C B A P BC A P C AB P ++= （C B A BC A C AB ,,互斥）)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 相互独立）C B A ,,( 44.06.03.05.06.07.05.04.07.05.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（3）{})(C B A P P =至少有一人进球)(1C B A P -=)(1C B A P -=)()()(1C P B P A P -= 相互独立）C B A ,,(4.03.05.01⨯⨯-=94.0=19、解：用i A 表示事件“第i 个供血者具有+-RH A 血型”， ,3,2,1=i B 表示事件“病人获救”,4321321211A A A A A A A A A A B =4321321211,,,A A A A A A A A A A 互斥，i A （ ,3,2,1=i ）彼此独立()()(1P A P B P +=∴+)21A A )()(4321321A A A A P A A A P +8704.04.06.04.06.04.06.04.032=⨯+⨯+⨯+=20、解：设i A 表示事件“可靠元件i ” i=1,2,3,4,5 ，B 表示事件“系统可靠”由已知得p A P i =)(1,2,3,4,5)(i = 54321,,,,A A A A A 相互独立法1：54321A A A A A B = )()(54321A A A A A P B P =∴()()()()()()542154332154321A A A A P A A A P A A A P A A P A P A A P ---++= ()54321A A A A A P + 543322p p p p p p p +---++= ()相互独立54321,,,,A A A A A543222p p p p p +--+=法2：)(1)(54321A A A A A P B P -=)()()(154321A A P A P A A P -= ()相互独立54321,,,,A A A A A()()]1][1)][(1[154321A A P A P A A P ----=()()()]1][1)][()(1[154321A P A P A P A P A P ----= ()相互独立54321,,,,A A A A A ()()()221111p p p ----=543222p p p p p +--+=2一、解：用A 表示事件“真含有杂质”,用B 表示事件“次检验认为不含有杂质次检验认为含有杂质次检验中有123”由已知得 4.0)(=A P ，6.0)(=A P ，8.0)(=A B P ，9.0)(=A B P由贝叶斯公式得9.01.06.02.08.04.02.08.04.0)()()()()()()(223223223⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+=C C C A B P A P A B P A P A B P A P B A P 905.016981536==。
昆明理工大学概率论课后习题答案1、2、3、4、8章习题解答
第一章思 考 题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习 题一1．写出下列试验下的样本空间：（1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1) “甲未中靶”： ;A(2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A(3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A(5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC(7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB(9)“三人均未中靶”： ;C B A(10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()A B A B (2) ()()A B A B解:(1)()()A B A B AB AB B B == , (2) ()()A B A B ()AB AB B A A B B ==Ω= .4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率. 解：51050.302410P P ==. 5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
昆明理工大学概率论与数理统计习题册答案
.c
x
w. a
id
aa n
xy > 1 4
1
4
n
P= 1 4
6 在区间 (0,1) 内任取两个数， 求这两个数的积小于 的概
ww
12 甲乙丙车间生产同一种螺钉，每个车间产量分别占
w. a
id
7
k −1 a(第k次取出黑球）Aa （ 1 a + b − 1个球中取k − 1个) +b − k Aa +b ( a + b个球中取k个
aa n
（2）
.c
（1） P
=
a a+b
n
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aa n
一球，求直到第 n 次才取出 k (1 ≤
.c
13
10 个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出
n
25 5 P( A1) P( B / A1) 100 100 P( A1 / B ) = = ≈ 0.362 P( B) 0.045
k ≤ n 次红球的
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A BC ∪ ABC ∪ A BC ∪ A BC
（11） 三人中至多两人中靶 ABC
= A∪ B ∪C
3 20 个运动队，任意分成甲乙两组（每组 10 队）进行比 赛，已知其中有两个队是一级队，求这两个一级队： （2）被分在同一组的 （1） 被分在不同组的概率， A ；
1 9 C2 C18
概论 统计 栾 教材第1章
证明： 证明：对任一事件A，A＝A＋Φ
则P(A)=P(A＋Φ)=P(A)＋P(Φ) ∴P(Φ)=0
5) 如 B， P(A) ≤ P(B) A 则
证明： 证明：∵A B
∴B = A+ (B A)
∴P(B) = P[ A+ (B A)] = P( A) + P(B A) ∵P(B A) ≥ 0 ∴P(B) ≥ P( A)
证明： 证明：∵A∪B=A+(B－AB) ∴P(A∪B)=P(A+(B－AB))=P(A)+P(B－AB) =P(A)+P(B)－P(AB)
小概率原理
若在某试验中，事件A的概率非常接近于零。那 么可以实际推断，若进行一次该试验，在试验的结果中 事件A是不会出现的。从而实际上可将A看作是（实际） 不可能事件。
2)、从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命。 、
{灯泡寿命大于100小时}的事件。
解:{灯泡寿命大于100小时}＝｛Ｔ∣Ｔ＞100｝
例： 随机试验E :从一副扑克牌中任取一张牌。
表示下列事件。 A=“取到黑桃” A= 取到黑桃”=｛黑桃A，黑桃2，…，黑桃K｝ 取到黑桃 黑桃A 黑桃2 ，黑桃K B=“取到K = 黑桃K 红心K 梅花K 方块K B= 取到K”=｛黑桃K，红心K，梅花K，方块K｝ 取到 C=“取到黑牌”=｛黑桃A，黑桃2，…，黑桃K，梅花 C= 取到黑牌” 取到黑牌 黑桃A 黑桃2 ，黑桃K K,小王 A，梅花2，…，梅花K,小王｝ 梅花2 ，梅花K,小王｝ D=“取到黑桃K = 黑桃K D= 取到黑桃K”=｛黑桃K｝ 取到黑桃
例3，在一批含有20件正品，5件次品的产品中随机地抽取
2件，可能结果如下： A＝{2件全是正品} B＝{只有1件是正品} C＝{2件全是次品} 1)、在不计次序的假定下，A、B、C是基本事件 、 2)、如果考虑次序，B不再是基本事件，它可分解为B1和B2 、 两个基本事件。 B1＝{第1次抽到正品，第2次是次品} B2＝{第1次抽到次品，第2次是正品}
[理学]概率论与数理统计昆工版教材习题第一至六章学生用
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习题一（请尊重我的劳动，不要将资料外传）3 设,,B A 为二事件，化简下列事件：B B B A B BA B A B A B A =⋃=⋃⋃=⋃⋃)()())()(1(B B A B B A A A B A B A =⋃⋃⋃=⋃⋃)())()(2(4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。
3024.010302410427210678910445==⋅=⋅⋅⋅⋅=p5 n 张奖券中有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
答案：.1k nkm n C C --6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？ 解；将这五双靴子分别编号分组},,,,{};,,,,{5432154321b b b b b B a a a a a A ==，则C 表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有.45C 不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i 只，且编号不同，其可能选法为)0,1,2,3,4(;455=--i C C ii i41045341523251235451)(1)(C C C C C C C C C C P C P ++++-=-=21131234789105453245224551=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+-=7在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过51的概率。
答案：519在区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的积小于41的概率。
10设,,B A 为二事件，设).(,36.0)(,9.0)(B A P AB P A P 求==解：).(36.0)()()()(9.0B A P B A P AB P B B PA A P +=+=⋃==故.54.0)(=B A P 11设,,B A 为二事件，设).(,3.0)(,7.0)(B A P B A P B P ⋃==求 解： .4.0)()()(,3.0)(,7.0)(=-=⇒==B A P B P AB P B A P B P.6.04.01)(1)()(=-=-==⋃AB P AB P B A P12 设7.0)(,4.0)(=⋃=B A P A P .（1）若).(,B P AB 求互不相容 若).()()(,B P A P B A P AB +=⋃则互不相容3.0)()()(=-⋃=A P B A P B P （2）若).(,B P AB 求相互独立若A 与B 相互独立，则5.0)(),(4.04.07,0)()()()()(=+-=⋅+-⋃=B P B P B P A P A P B A P B P13飞机投炸弹炸敌方弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01，0．02，0.03，求飞机投一弹没有命中仓库的概率。
概率统计第六章习题参考答案
概率统计第六章参考答案1．~(0,)X U b 101()2bbE X x dx A X b ====⎰2bX = ，b =1.69 2. 22()()3E X x xdx X θθθθ=-==⎰, 3X θ= 3. ~(,)X B m p111(1)101()(1)(1)kkm kk k m k mm k k E X kC p p pm C pp pm ∞∞-------===-=-=∑∑=X 22()(1)(1)(1)(1)k km kk km k mm k k E X k k C p p kC p p pm p X ∞∞--===--+-=-+∑∑=2A 4．~()X πλ {}!k e P X k k λλ-==()!k k e E X kX k λλλ-∞====∑ 所以 x λ= 11()()!nii x n nii e L p x λλ=-=∑=∏, 11ln ()ln ln ()!n niii i L p x n x λλ===--∑∏1(ln ())0nii x dL p n dp λ==-=∑ 解得 X λ=且2221(ln ())0d L p dp λ=-<所以 x λ=利用此式计算(2)5．1{}(1)x P X x p p -==-，1()()(1)ni i x n n L p p p =-∑=-1ln(())()ln(1)ln ni i L p x n p n p ==--+∑1(ln ())1ni i x n d nL p dp p p=-=-+-∑=0 解得1p = 利用此式解(2)6．2~(,)X N μσ (1) 参数2σ已知，估计μ解：由于),(~2σμN X ，故其概率密度函数为：),;(σμx f =()22221σμσπ--⋅x e⇒似然函数为),;,,,(21σμn n x x x L =∏=ni 1),;(σμi x f =∏=ni 1()22221σμσπ--⋅i x e=()21221σμσπ--∑=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅i ni x ne=()()212122μσσπ----∑=⋅⋅i ni x n n e两边取对数有：ln L =()()()212212ln ln 2ln μσσπ----∑=++i ni x nn e=()()212221ln 2ln μσσπ-∑--=-i ni nx n(l n ())dL d μμ=2(1)0ni i x n μ=-=∑ ⇒ˆx μ= (2) 参数μ已知，估计2σ22(ln ())d L d σσ=()2130ni i x nμσσ=-∑-+=⇒()2211ˆni i x x n σ==-∑ 7. (1) /21,0()0,x xe x f x θθ-⎧>⎪=⎨⎪ ⎩其他1/1222111()(),nii i x nx i n ni L x ex x x eθθθθθ=--=∑==∏121(())2()()()/nn i i Ln L nLn nLn x x x x θθθ==-+-∑(ln ())d L d θθ=1202nii x n θθ=-+=∑ ⇒ 2X θ=(2) 32/1,0()20,x x e x f x θθ-⎧>⎪=⎨⎪ ⎩其他1/221233111()(),22nii i x nx i n n n i L x e x x x e θθθθθ=--=∑==∏2121(())23()()()/nn i i Ln L nLn nLn nLn x x x x θθθ==--+-∑(ln ())d L d θθ=1203nii x n θθ=-+=∑⇒ 3X θ= (3) ~(,)X B m p 参数m 已知估计p ，{}(1)k kn k n P X k C p p -==-()L p =1(1)ii i nx x m x ni Cp p -=-(())Ln L p =111()ln(1)i nnnx ni i i i i Ln C x Lnp nm x p ===++--∑∑(ln ())dL p dp=1101nniii i xnm x pp==--=-∑∑⇒1ni i x =∑=nmp ⇒Xp m= 8．22()2(1)L θθθθθ=- 直接对其求导数=0 得到 56θ= 9．利用第六题中的结论可知道Y Xαβαβ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩解得 22X Y α=+， 22X Y β=-10．(1) 证明：()(2)2()E E X E X θθ===(2) ()()E Y E Y λ==22()(3)3()()()E Z E Y Y E Y E Y D Y =+=++=24λλ+(3) 22111()(3)3()()()ni i E U E Y Y E Y nE Y E Z nn==+=+⋅=∑11 .T1和T3是无偏估计量 T3最有效 22212210()36936D T θθθ=+= 222222149164()252525255D T θθθθθ=+++= 2231()40.2516D T θθ=⋅= 12．(,1296)X N μ 27,36n σ==置信区间是22(,)X Z X Z αα-+(1) 210.95, 1.96Z αα-==, (2) 210.9, 1.645Zαα-==13. (1) 用第6题结论 （2）置信区间是22(,)X Z X Z αα-+，210.95, 1.96Z αα-==14．（1）根据P140中结论计算 （2）置信区间是2((1))X n a?，230,10.9, 1.6973n t a a =-== 15．置信区间是2((1))X n a?，9.4,12,s n == 210.95, 2.1788t a a -== 16．置信区间是2((1))X n a?， 19.06875,32, 3.256x n S === 210.95, 2.1788t a a -==17．置信区间是2((1))X n a?， 214.71, 6.144,13,10.95, 2.1788x S n t a a ===-==18．置信区间是122((2)X Y t n n S a -?-其中: W S =221281.31,78.61,60.76,48.24X Y S S ====1229,15,10.95,(23) 1.7139n n t a a ==-==19. 置信区间是2211222/21221/21211(,)(1,1)(1,1)S S S F n n S F n n a a -----129,11,n n == 22120.344,0.456S S ==/212(1,1) 3.85F n n a --=, 11/212 4.3(1,1)F n n a ---=20．单侧置信上限：221122221121()(1,1)S S F n n a s s -=--其中10.95a -=,21S =6.798 , 22S = 9.627 , 112(1,1)F n n a ---=3.29单侧置信上限22121(1)(1)n S n a s c --=- 21(1)n a c --=2.16721.单侧置信下限：(1)X n a m =+- 14.71, 6.144,13,10.95,(12)x S n t a a ===-==1.782322.单侧置信上限12(2)X Y t n n S a m =-++-222112212(1)(1)2wn S n S S n n -+-=+-，221281.31,78.61,60.76,48.24X Y S S ====12(2) 1.71t n n a +-=,。
运筹学_昆明理工大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
运筹学_昆明理工大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.答案:等式约束2.在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为（）。
答案:自由变量3.线性规划问题的标准型的特点正确的是（）。
答案:约束条件一定是等式形式4.答案:5.答案:6.答案:n 7.答案:8.在下列整数规划问题中，分支定界法和割平面法都可以采用的是答案:纯整数规划9.答案:10.若将指派问题的效率矩阵每一行或每一列分别减去各行或各列的最小元素，则得到新指派问题与原指派问题的最优解（）。
答案:11.无圈的连通图即为（）答案:树12.如果一个图是由点和弧所构成的，那么称这个图为（），记作答案:有向图13.答案:14.答案:15.答案:16.答案:2717.答案:1818.答案:125/2719.逗留时间是指（）。
答案:等待时间+服务时间20.当输入过程是泊松流时，那么顾客相继到达的间隔时间（注意是随机变量）必然服从（）。
答案:负指数分布21.在第二次世界大战期间，运筹学成功解决了许多重要作战问题，比较著名的两大战役为答案:不列颠空战大西洋战役22.著名的（）与（），是20实际50年代中期由钱学森、华罗庚、徐国志等教授将运筹学从西方引入我国并结合我国特点在国内推广应用的。
答案:“中国邮递员问题”“打麦场的选址问题”23.决策的类型多种多样，按照不同的标准可划分很多种类型，按照决策问题目标的多少可分为（）和（）。
答案:单目标决策多目标决策24.关于线性规划的说法，下面正确的是（）。
答案:约束条件是线性的目标函数是线性的25.以下集合为凸集的是（）答案:（2）其对偶问题的最优解为（）答案:127.在求解整数规划问题时，可能出现的是答案:唯一最优解无可行解多个最优解28.对于某一整数规划可能涉及到的解题内容为答案:多次切割应用单纯形法或图解法求其松弛问题割去部分非整数解29.有m个产地和n个销地的运输平衡问题模型具有特征答案:有mn个变量，m+n个约束有m+n-1个基变量mn-m-n+1个非基变量30.动态规划方法的基本思想体现了（）答案:全局优化性多阶段性递归性无后效性31.线性规划的数学模型由决策变量、约束条件及目标函数构成，称为三个要素。
湘教版高中数学必修第一册课后习题 第6章 统计学初步 6.2.1 简单随机抽样 (2)
6.2 抽样6.2.1 简单随机抽样必备知识基础练1.使用简单随机抽样从1 000件产品中抽出50件进行某项检查,合适的抽样方法是( )A.抽签法B.随机数法C.分层抽样法D.以上都不对2.交警在某一路口随机抽查司机是否酒驾,这种抽查是( )A.简单随机抽样B.抽签法C.随机数法D.以上都不对3.利用随机数法对一个容量为500,编号为000,001,002,…,499的产品进行抽样检验,抽取一个容量为10的样本,若选定从第12行第5列的数开始向右读数(下面摘取了随机数表中的第11行至第15行),根据随机数表,读出的第3个数是( )18 18 07 92 45 44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 10 55 23 64 05 0526 62 38 97 75 84 16 07 44 99 83 11 46 32 24 20 14 85 88 45 10 93 72 88 7123 42 40 64 74 82 97 77 77 81 07 45 32 14 08 32 98 94 07 72 93 85 79 10 7552 36 28 19 95 50 92 26 11 97 00 56 76 31 38 80 22 02 53 53 86 60 42 04 5337 85 94 35 12 83 39 50 08 30 42 34 07 96 88 54 42 06 87 9835 85 29 48 39A.841B.114C.014D.1464.在容量为100的总体中用随机数法抽取5个样本,总体编号为00,01,02,03,…,99,给出下列几组号码:(1)00,01,02,03,04;(2)10,30,50,70,90;(3)49,17,46,09,62;(4)11, 22,33,44,55,则可能成为所得样本编号的是( )A.只可能为(3)B.只可能为(3)(4)C.只可能为(2)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)均有可能5.(多选题)对于简单随机抽样,下列说法中正确的为( )A.它要求被抽取样本的总体的个数有限,以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析B.它是从总体中逐个地进行抽取,以便在抽样实践中进行操作C.它是一种放回抽样D.它是一种等可能抽样,不仅每次从总体中抽取一个个体时,各个个体被抽取的可能性相等,而且在整个抽样过程中,各个个体被抽取的可能性也相等,从而保证了这种方法抽样的公平性6.在总体为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本,若每个零件被抽取的可能性为20%,则N的值为.7.设某公司共有100名员工,为了支援西部基础建设,现要从中随机抽出12名员工组成工作小组,请写出利用随机数法抽取该样本的步骤.关键能力提升练8.某中学高一年级有700人,高二年级有600人,高三年级有500人,从该中学学生中用简单随机抽样的方法抽取一个样本,若已知每人被抽取的机会为0.03,则样本容量n为( )A.54B.21C.18D.159.下列抽样方法是简单随机抽样的是( )A.从无数张高考试卷中抽取10份作为样本B.从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验C.从整数集中逐个抽取10个分析是奇数还是偶数D.运动员从8个跑道中随机抽取一个跑道10.用简单随机抽样的方法从含N个个体的总体中,逐个抽取一个容量为3,那么N=( )的样本,若其中个体a在第一次就被抽取的可能性为18A.8B.24C.72D.无法计算11.用随机数法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教,某男学生被抽到的可能性是,某女学生被抽到的可能性是.12.为了检验某种产品的质量,决定从10 001件产品中抽取10件进行检查,用随机数法抽取样本的过程中,所编的号码的位数最少是位.13.某中学共有学生2 000人,其中高一年级学生共有650人,现从全校学生中随机抽取1人,抽到高二年级学生的可能性是0.40,估计该校高三年级学生共有人.14.学校举办元旦晚会,需要从每班选10名男生,8名女生参加合唱节目,某班有男生32名,女生28名,试用抽签法确定该班参加合唱的同学.学科素养创新练15.某市某中学从40名学生中选1人作为该市男篮拉拉队的成员,采用下面两种选法:选法一:将这40名学生从1~40进行编号,相应地制作1~40的40个号签,把这40个号签放在一个暗箱中搅匀,最后随机地从中抽取1个号签,与这个号签编号一致的学生幸运入选;选法二:将39个白球与1个红球(球除颜色外,其他完全相同)混合放在一个暗箱中搅匀,让40名学生逐一从中摸取一球,摸到红球的学生成为拉拉队成员.试问这两种选法是否都是抽签法?为什么?答案：1.B 由于总体相对较大,样本容量较小,故采用随机数法较为合适.2.D 由于不知道总体的情况(包括总体个数),因此不属于简单随机抽样.3.B 由已知随机数法的使用方法进行选择编号分别为389,449,114,242,…,因此第3个数是114.故选B.4.D 用随机抽样方法抽样,每个个体都有可能被抽到且各个个体被抽到的可能性相等.故选D.5.ABD 由简单随机抽样的概念,知简单随机抽样是一种无放回抽样,故C 不正确.A、B、D都是简单随机抽样的特点,均正确.故选ABD.6.150 据题意30N=0.2,故N=150.7.解第一步,将100名员工进行编号:00,01,02, (99)第二步,利用随机数工具产生00~99内的随机数;第三步,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的员工进入样本,直到抽足样本所需要的人数.8.A n=(700+600+500)×0.03=54.9.D A项总体是无限的,则A项不是简单随机抽样;B项中是有放回抽取,则B项也不是简单随机抽样;C项中整数集是无限集,总体不是有限的,则C 项也不是简单随机抽样;很明显D项是简单随机抽样.10.A 在第一次抽样中,每个个体被抽到的可能性均为1N =18,所以N=8.11.0.2 0.2 因为样本量为20,总体数量为100,所以总体中每个个体被抽到的可能性都为20100=0.2.12.五由于所编号码的位数和读数的位数要一致,因此所编号码的位数最少是五位,从00000到10000,或者是从00001到10001等.13.550 ∵在全校学生中抽取1名学生,抽到高二年级学生的可能性是0.40,∴高二学生人数为0.40×=800,则高三人数为-650-800=550.14.解第一步,将32名男生从0到31进行编号.第二步,用相同的纸条制成32个号签,在每个号签上写上这些编号.第三步,将写好的号签放在一个不透明的容器内摇匀,不放回地从中逐个抽出10个号签.第四步,相应编号的男生参加合唱.第五步,用相同的办法从28名女生中选出8名,则此8名女生参加合唱.15.解选法一满足抽签法的特征,是抽签法,选法二不是抽签法,因为抽签法要求所有的号签编号互不相同,而选法二中39个白球无法相互区分.。
概统(昆工版)辅导第一,二三章
概率统计学习辅导戴琳秦叔明付英姿昆明理工大学应用数学系第一章 随机事件与概率一 基本概念和内容样本空间：试验的所有可能结果的集合。
事件之间的关系及运算：φ=⇔AB B A 互斥与，.Ω=⋃=⇔B A AB B A 且互逆与φ互斥必互逆，互逆不一定互斥。
随机事件的运算满足的运算规律：（1）结合律：).()(),()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃ （2）交换律：.,A B B A BA AB ⋃=⋃=（3）分配律：).()()(,)(C A B A C B A AC AB C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃⋃=⋃ 概率的古典定义：设随机试验下样本空间Ω的样本点数为有限数n ，且Ω中每个样本点出现的可能性相同，若事件A 含有k 个样本点则.)(n k A P =概率的几何定义：设随机试验下样本空间Ω为),2,1( =n R n 中一区域，Ω⊂A ，且Ω中每个样本点出现的可能性相同，则.)()()(Ω=μμA A P 概率的公理化定义：设随机试验E 下样本空间为Ω，对任一事件A 赋予值)(),(A P A P 若满足：（1）非负性：()0P A ≥ ；（2）规范性：()1P Ω=；（3）可列可加性：若)()(,,,,,1121i i i i n A P A P A A A ∑∞=∞== 则两两互斥 则称A A P 为)(的概率。
概率的加法公式：)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃； 当)()()()()(,,B P A P B P A P B A P B A -+=⋃有独立时)()()(,,B P A P B A P B A +=⋃有互斥时概率的减法公式：)()()()()()(AB P A P B A P AB P A P B A P -=⇒-=-若)()()(,B P A P B A P B A -=-⊃则有逆事件概率公式：)(1)(A P A P -=条件概率：设:,0)(,,称且为二随机事件>A P B A )()()(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。
湘教版高中数学必修第一册课后习题 第6章 统计学初步 6.4.3 用频率分布直方图估计总体分布
6.4.3 用频率分布直方图估计总体分布必备知识基础练1.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为n 的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[20,40)(单位:元)的同学有34人,则n的值为( )A.900B.1 000C.90D.1002.一个样本的容量为72,分成5组,已知第一、五组的频数都为8,第二、四组的频率都为2,则第三组的频数为( )9A.16B.20C.24D.363.(多选题)某大学生暑假到工厂参加生产劳动,生产了100件产品,质检人员测量其长度(单位:厘米),将所得数据分成6组:[90,91),[91,92),[92,93),[93,94),[94,95),[95,96],得到如下所示的频率分布直方图,则对这100件产品,下列说法中正确的是( )A.b=0.25B.长度落在区间[93,94)内的个数为35C.长度的平均数为94D.长度的中位数一定落在区间[93,94)内4.(甘肃兰州高三模拟)1月1日,“学习强国”学习平台在全国上线,某单位组织全体党员登录学习统计学习积分得到的频率分布直方图如图所示.若学习积分在[1,1.5)(单位:万分)的人数是32人,则该单位共有名党员,若学习积分超过2万分的党员可获得“学习达人”称号,则该单位有名党员能获得该称号.关键能力提升练5.一个样本容量为50的样本数据分组如下:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60],其中样本数据在[10,20)和[40,50)内的频率之和为0.7,[20,30),[30,40)对应的频数分别为4,5,则样本数据在[50,60]内的频数为( )A.4B.6C.11D.216.(多选题)在某次高中学科竞赛中,4 000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格,若同一组中的数据用该组区间中点值为代表,则下列说法中正确的是( )A.成绩在[70,80)分的考生人数最多B.不及格的考生人数为1 000C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分7.(多选题)某学校组织学生参加数学测试,某班成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].若不低于80分的人数是35人,且同一组中的数据用该组区间的中点值代表,则下列说法中正确的是( )A.该班的学生人数是50B.成绩在[80,90)的学生人数是12C.估计该班成绩的众数是95分D.估计该班成绩的方差为1008.为了了解某校学生的体重情况,采用随机抽样的方法调查.将样本体重数据整理后,画出了频率分布直方图如图所示.已知图中从左到右前三个小长方形面积之比为1∶2∶3,第二小组频数为12,则全校共抽取人数为.学科素养创新练9.(多选题)如图,海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品产量(单位:kg),其频率分布直方图如图所示.旧养殖法新养殖法根据频率分布直方图,下列说法正确的是( )A.箱产量的方差的估计值B.箱产量中位数的估计值C.箱产量平均数的估计值D.箱频率最高组总产量估计值的两倍答案：1.D 由题意,支出在[20,40)(单位:元)的同学有34人.由频率分布直方图可知,支出在[20,40)的同学的频率为(0.01+0.024)×10=0.34,∴n=340.34=100.故选D.2.C 因为频率=频数样本容量,所以第二、四组的频数都为72×29=16.所以第三组的频数为72-2×8-2×16=24.3.ABD 由频率和为1,得(0.35+b+0.15+0.1×2+0.05)×1=1,解得b=0.25,所以A正确.长度落在区间[93,94)内的个数为100×0.35=35,所以B正确.长度的平均数为90.5×0.1+91.5×0.1+92.5×0.25+93.5×0.35+94.5×0.15+95.5×0.05 =93,故C错误.[90,93)内有45个数,[94,96]内有20个数,所以长度的中位数一定落在区间[93,94)内,所以D正确.故选ABD.4.80 8 由频率分布直方图可知,该单位学习积分在[1,1.5)内的党员所占的频率为0.8×0.5=0.4,所以,该单位的党员总人数为320.4=80,该单位学习积分超过2万分的党员所占的频率为0.2×0.5=0.1,因此,该单位能获得“学习达人”称号的党员人数为80×0.1=8.5.B 由题可得,样本数据在[20,30),[30,40),[50,60]内的频率之和为1-0.7=0.3,又[20,30),[30,40)对应的频数分别为4,5,所以样本数据在[50,60]内的频数为50×0.3-4-5=6,故选B.6.ABC 由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)内的频率最高,因此考生人数最多,故A正确;由频率分布直方图可得成绩在[40,60)的频率为0.25,因此,不及格的人数为4000×0.25=1000,故B正确;由频率分布直方图可得,平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,故C正确;因为成绩在[40,70)内的频率为0.45,[70,80)的频率为0.3,所以中位数≈71.67,故D错误,故选ABC.为70+10×0.050.37.ACD 由题图可知a=0.1-0.01-0.02-0.04=0.03,从而不低于80分的频率为(0.03+0.04)×10=0.7,所以该班的学生人数是35=50,所以A选项正0.7确;成绩在[80,90)的频率为0.3,所以成绩在[80,90)的学生人数是50×0.3=15,所以B选项不正确;因为在频率分布直方图中,众数是最高矩=95,所以C选项正确;因为形的中点的横坐标,所以90+1002x=0.1×65+0.2×75+0.3×85+0.4×95=85,所以s2=0.1×(65-85)2+0.2×(75-85)2+0.3×(85-85)2+0.4×(95-85)2=100,所以D选项正确.故选ACD.8.48 由题意,得频率分布直方图左边三组的频率和为1-5×(0.0375+0.0125)=0.75,所以全校抽取的人数为12÷0.75×21+2+3=48. 9.BCD 对于A,旧养殖法的平均数x 旧=27.5×0.06+32.5×0.07+37.5×0.12+42.5×0.17+47.5×0.2+52.5×0.16+57.5×0.1+62.5×0.06+67.5×0.06=47.1,所以s 旧2=(27.5-47.1)2×0.06+(32.5-47.1)2×0.07+(37.5-47.1)2×0.12+(42.5-47.1)2×0.17+(47.5-47.1)2×0.2+(52.5-47.1)2×0.16+(57.5-47.1)2×0.1+(62.5-47.1)2×0.06+(67.5-47.1)2×0.06=107.34.新养殖法的平均数x 新=37.5×0.02+42.5×0.1+47.5×0.22+52.5×0.34+57.5×0.23+62.5×0.05+67.5×0.04=52.35,所以s 新2=(37.5-52.35)2×0.02+(42.5-52.35)2×0.1+(47.5-52.35)2×0.22+(52.5-52.35)2×0.34+(57.5-52.35)2×0.23+(62.5-52.35)2×0.05+(67.5-52.35)2×0.04=39.7275.因为s 新2<s 旧2,所以箱产量的方差的估计值,故A 错误;对于旧养殖法中,左边4个矩形的面积和为(0.012+0.014+0.024+0.034)×5=0.42,并且由于区间[45,50]的频率为0.04×5=0.2,因此旧养殖法的中位数在45和50之间.新养殖法中,左边三个矩形的面积和为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34,第4个矩形[50,55]所占的概率为0.068×5=0.34,所以其中位数在50和55之间,因此箱产量中位数的估计值,所以B正确;=47.1,箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的对于③,因为x旧估计值,故C正确;对于D,旧网箱频率最高组总产量估计值为47.5×100×0.2=950,新网箱频率最高组的总产量的估计值为52.5×100×0.34=1785,所以箱频率最高组总产量估计值的两倍,故D正确.。
运筹学_昆明理工大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
运筹学_昆明理工大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.当输入过程是泊松流时，那么顾客相继到达的间隔时间（注意是随机变量）必然服从（）。
参考答案:负指数分布2.分支定界法和割平面法的基础都是用线性规划方法求解整数规划。
参考答案:正确3.在用割平面法求解整数规划问题时，要求全部变量必须都为整数。
参考答案:正确4.线性规划的数学模型由（）、（）及（）构成，称为三个要素。
参考答案:约束条件_决策变量_目标函数5.用大M法求目标函数为极大值的线性规划问题时，引入的人工变量在目标函数中的系数应为_______。
参考答案:-M6.若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解（反之亦然），且两者最优值（）。
参考答案:相等7.动态规划问题是研究（）的最优化方法。
参考答案:多阶段决策8.图解法一般用来求解（）个变量的线性规划问题。
参考答案:29.在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理。
参考答案:错误10.在顾客到达的分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间将越长。
参考答案:正确11.排队系统中,顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响。
参考答案:错误12.排队分为有限排队和无限排队两类。
参考答案:正确13.接问题3题干继续回答：（4）若顾客的平均到达率为2人/h，顾客在系统中的平均逗留时间为（）min参考答案:6414.接问题3题干继续回答：（3）某一时刻正在被服务的顾客的平均数（）参考答案:1.62515.接问题3题干继续回答：（2）系统中平均排队的顾客数为（）人。
参考答案:0.37516.【图片】（1）可增加的最大可靠性为（）参考答案:0.04217.到达一个加工中心的零件平均为60件/h，该中心的加工能力为平均75件/h。
处于稳定状态时该加工中心的平均输出率为（）件/h。
概率论与数理统计习题精讲中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
概率论与数理统计习题精讲中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.若随机变量X和Y的相关系数不等于0，则X和Y肯定不独立.参考答案:正确2.设【图片】是来自正态总体【图片】的简单随机样本，其样本均值为【图片】，则【图片】参考答案:正确3.将一枚骰子重复掷n次，则当【图片】，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于7/2.参考答案:正确4.在大数定律中有1.切比雪夫大数定律，2.伯努利大数定律，3.辛钦大数定律，可以由（）参考答案:1或3都能推出25.若X和Y服从二维正态分布，则他们不相关和独立是等价的.参考答案:正确6.设二维随机变量（X，Y）在区域Ｄ:0参考答案:错误7.设随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，则【图片】参考答案:错误8.所随机变量X的分布律为【图片】,则EX=（）参考答案:不存在9.对于任意两个随机变量X和Y，若D(X+Y)=DX+DY，则（）参考答案:E(XY)=EXEY10.设随机变量【图片】和【图片】互相独立，且【图片】，则【图片】的分布函数（）参考答案:是连续函数11.已知【图片】在区域【图片】上服从均匀分布，则【图片】( )参考答案:与无关，是个定值12.若随机变量可以取值为一个区间内的任何一个值，则该随机变量一定为连续型随机变量.参考答案:错误13.设随机变量X的密度函数为【图片】，则常数A的值为【图片】.参考答案:正确14.设随机变量X服从参数为l的指数分布，则随机变量Y=max(X,1)的分布函数的间断点的个数为（）参考答案:115.若【图片】,则必有【图片】.参考答案:错误16.任何不含未知参数的样本的函数都是统计量参考答案:正确17.已知连续型随机变量X与-X具有相同的概率密度，记X的分布函数为F(x)，则F(x)+ F(-x)=1.参考答案:正确18.将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）参考答案:-1。
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（请尊重我的劳动，不要将资料外传）习题一3 设,,B A 为二事件，化简下列事件：B B B A B BA B A B A B A =⋃=⋃⋃=⋃⋃)()())()(1(B B A B B A A A B A B A =⋃⋃⋃=⋃⋃)())()(2(4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。
3024.010302410427210678910445==⋅=⋅⋅⋅⋅=p5 n 张奖券中有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
答案：.1k n k mn C C --6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？解；将这五双靴子分别编号分组},,,,{};,,,,{5432154321b b b b b B a a a a a A ==，则C 表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有.45C不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i 只，且编号不同，其可能选法为)0,1,2,3,4(;455=--i C C i i i 41045341523251235451)(1)(C C C C C C C C C C P C P ++++-=-=2113218177224161247720104060401011234789105453245224551=-=⋅⋅-=⋅++++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+-= 7在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过51的概率。
答案：518在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。
,0,0a y a x <<<<且a y x <+<0，又41222,,=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>+⇒⎪⎩⎪⎨⎧--<---<--->+P ay a x a y x y x a x y y x a y x y x a y x 9在区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的积小于41的概率。
4ln 4141)41(;4ln 41411)ln 41(1)411()41(141141+=<--=-=-=>⎰xy P x x dx xxy P 10设,,B A 为二事件，设).(,36.0)(,9.0)(B A P AB P A P 求== 解：).(36.0)()()()(9.0B A P B A P AB P B B PA A P +=+=⋃==故 .54.0)(=B A P11设,,B A 为二事件，设).(,3.0)(,7.0)(B A P B A P B P ⋃==求解： .4.0)()()(,3.0)(,7.0)(=-=⇒==B A P B P AB P B A P B P.6.04.01)(1)()(=-=-==⋃AB P AB P B A P 41>xy 4111xa2a2ax12 设7.0)(,4.0)(=⋃=B A P A P（1）若).(,B P AB 求互不相容若).()()(,B P A P B A P AB +=⋃则互不相容3.0)()()(=-⋃=A P B A P B P（2）若).(,B P AB 求相互独立若A 与B相互独立，则5.0)(),(4.04.07,0)()()()()(=+-=⋅+-⋃=B P B P B P A P A P B A P B P 13飞机投炸弹炸敌方弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01，0．02，0.03，求飞机投一弹没有命中仓库的概率。
解 0.9414某市有50％的住户订日报，有65％的住户订晚报，有85％的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时定这两种报纸的住户的百分比。
解：.:,:订晚报订日报B A)(65.05.0)()()()(85.0AB P AB P B P A P B A P -+=-+=⋃=， .3.085.015.1)()()()(=-=⋃-+=B A P B P A P AB P15一批零件共100个，次品率10％,连续两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率。
解: 第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品；等价于第一次取出的零件为次品，求第二次取得正品；故：0909.0999999010010≈=⋅=p 16 设随机事件,0)(2)(,0)(,,,>==C P B P AB P C B A 已知两两独立且).(,85)(B A P C B P ⋃=⋃求 解：)(21)(23)()()()()(852)(2)(B P B P C P B P C P B P C B P C P B P -=-+=⋃==,210)()()(,0)(,5.0)()()()(021)(126412)(,05)(12)(42=-+=⋃=⋅====⇒±=⇒=+-B P A P B A P A P A P B P A P AB P B P B P B P B P17 设A 是小概率事件，即ε=)(A P 是给定的任意小的正数，试证明：当试验不断地重复进行下去，事件A 总会发生（以概率1发生）。
当试验不断地重复进行下去，事件A 发生的概率为：101)1(lim 1)](1[lim 1)(lim 1=-=--=--=-∞→∞→∞→n n n n n n A P A P ε 18 三人独立的破译一密码，他们能单独译出的概率分别为,41,31,51求此秘密被译出的概率。
解：以C B A ,,分别表示第一，二，三人独立地译出密码，D ：表示密码被译出，则534332541)()()(1)(1)()(=-=-=⋃⋃-=⋃⋃=C P B P A P C B A P C B A P D P20 三台机器相互独立的运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，求这三台机器中至少有一台发生故障得概率。
解：.496.0504.017.08.09.01=-=⋅⋅-=P21设,,B A 为二事件，设).(,4.0)(,6.0)(,7.0)(B A P A B P B P A P ⋃===求 解：,123.06.04.0)/()()(=⨯==A B P A P B A P,48.012.06.0)()()(=-=-=B A P B P AB P..82.048.07.06.0)()()()(=-+=-+=⋃AB P B P A P B A P22设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为8.0，活到25年以上的概率为4.0，问现在25岁的这种动物，它能活到25年以上的概率为多少？ 解：,:表动X 5.08.04.020}P{X }2520{}20/25{==≥≥≥=≥≥X X P X X P ， 23某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80％，40年内发生特大洪水的概率为85％，求已过去了30年未发生特大洪水的地区在未来10年内发生特大洪水的概。
:X 发生特大洪水的时刻。
25.02.005.02.08.085.0}30{}4030,30{}304030{==-=≥<<≥=≥<<X P X X P X X P 24 设甲袋中有2只白球，4只红球，乙设甲袋中有3只白球，2只红球，今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球。
（1）问取道白球的概率是多少？（2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？解：解：:A “首先从甲袋中取到白球” :B 收到信号“然后从乙袋中取到白球.”;由题设:21)/(,32)(,32)(,31)(====A B P A P A B P A P 于是: 9521323231)/()()/()()(=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P 由贝叶斯公式有:52953231)()/()()/(=⋅==B P A B P A P B A P ; 25 一批产品共有10件正品和2件次品，任取两次，每次取一件，取后不放回，求第2次取出的是次品的概率。
解：B A ,分别表示第一次、第二次取得的是次品，则.61122121221121210111122)/()()/()()(===⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P 26一批元件，，其中一等品占95％，二等品占4％，三等品占1％，它们能工作500h 以上的概率分别为90％，80％，70％，求任取一元件能工作500h 以上的概率。
解：321,,A A A 分别为任意抽出一元件是由一、二、三等品。
:B 抽出的一个能工作500h 以上894.01007010011008010041009010095)/()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P 27 某厂用甲乙丙三地收购而来的药材加工生产一种中成药，三地供货量分别占40％，35％，25％，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70，和0.85，（1）求从该厂产品中任取一件是优等品的概率。
（2）若取一件是优等品的概率，求它的材料来自甲地的概率。
（1）321,,A A A 分别为任意抽出一螺钉是由甲、乙、丙车间生产的。
:B 抽出的一个是次品035.0100210040100410035100510025)/()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P（1） 由贝叶斯公式有:362.0045.0100510025)()/()()/(111≈==B P A B P A P B A P 28用某种检验方法检查癌症，根据临床记录，患癌症者施行此项检查，结果是阳性的概率为0.95，无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90，若据统计，某地癌症的发病率为0.0005，试求用此法检查结果为阳性者而而实际患癌症的概率。
解：:1A “患癌症.” :2A “未患癌症”; :B “检查结果为阳性”; :B “结果是阴性”由题设:1.0)/(,9995.0)(,95.0)(,0005.0)(2211====A B P A P A B P A P 于是: 100425.01.09995.095.00005.0)/()()/()()(2211=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P 由贝叶斯公式有:47299.0100425.0000475.0)()/()()/(111===B P A B P A P B A P ; 29 三人同时向一敌机射击，击中的概率分别是0.4，0.6和0.7；一人击中，敌机被击落的概率为0.2；二人击中，敌机被击落的概率为0.6；三人击中，敌机必被击落；求（1）敌机被击落的概率。