青年教师展评课 函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d的性质教学设计(江苏无锡辅仁高级中学)

函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的性质Ⅰ．教学内容解析本节课的教学内容是函数d cx bx ax x f +++=23)(的性质．教学重点是函数d cx bx ax x f +++=23)(单调性、极值和最值的研究方法及其应用．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．在高中，其研究经历了三个阶段，一是数学1中指数函数、对数函数和幂函数的研究，二是数学4中三角函数的研究，三是选修系列中的导数及其应用．导数是研究函数的单调性、极值和最值等性质的有力工具，函数及其导数具有丰富的思想内涵和应用价值．在复习了导数的概念、导数的计算及其简单应用后，以函数d cx bx ax x f +++=23)(的性质研究为载体，设计此教学内容，具有承上启下的作用．通过对函数d cx bx ax x f +++=23)(性质的探索，一方面可以让学生感受导数在研究函数性质中的意义和价值，另一方面可以帮助学生建立并完善讨论函数性质的基本框架，掌握研究函数性质的过程和方法，知道函数性质的基本内容及其作用．更为重要的是，在此过程中，可以使学生进一步体会数形结合、分类讨论、转化与化归等思想方法，为继续学习和研究其他函数问题奠定基础．Ⅱ．教学目标设置本节课教学是为了帮助学生系统了解研究函数性质的思维过程，掌握运用导数研究函数性质的基本方法，感受导数在研究函数中的作用和价值，体会导数的思想与丰富内涵，提高学生运用所学知识分析问题解决问题的能力．具体目标是：1．从已有的研究函数的经历中建立函数d cx bx ax x f +++=23)(性质的研究思路，体会对函数从具体到一般的研究过程和数形结合的研究方法；2．能用导数研究函数d cx bx ax x f +++=23)(的单调性、极值、最值、零点个数等性质，感受导数在研究函数性质中的意义和作用；3．构建讨论函数性质的基本框架，完善数学认知结构，提高运用等价转化、分类讨论和数形结合等数学思想方法分析问题、解决问题的能力．Ⅲ．学生学情分析本节课的授课对象为无锡市辅仁高级中学高三（3）班的学生，选修物理和化学，他们思维活跃，学习数学的积极性较高，数学基础较好．1、学生已有的认知基础学生已经有了研究指数函数、对数函数、幂函数和三角函数等函数模型的直接经验，具备了从图象直观获得结论和从数量关系上进行逻辑推理的能力，掌握了导数的概念和求法，了解了运用导数研究函数的单调性、极值、最值和零点等性质的过程和方法．2、达成教学目标所需具备的认知基础函数d cx bx ax x f +++=23)(的性质比较复杂，图象也不容易作出，为了实现本节课的教学目标，对学生运用分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法分析问题、解决问题的能力有较高的要求．3、“已有的基础”与“需要的基础”之间的差异一般情况下，研究函数离不开图象，要作出函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象，并利用图象解决问题，学生有一定的困难，需要教师精心设计，帮其化解；学生有运用分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法分析问题、解决问题的意识，但面对具体问题，如何正确的运用，需要教师做好示范和引领．4、教学难点及其突破策略难点：研究函数的性质，学生习惯于由形到数，由具体到一般，本节课中，需要通过对函数d cx bx ax x f +++=23)(的性质的研究，得出其图象特征，再运用图象分析思路、解决问题，这在思维上是一个逆转，成为教学的难点．突破策略：摆正教师的主导作用和学生的主体地位之间的关系，设计问题串让学生回顾已有经验，进而从整体上认识研究目标，构建研究思路，发挥信息技术的辅助功能，引导学生观察发现，归纳总结d cx bx ax x f +++=23)(的图象与系数之间的关系以及导函数的图象与原来函数之间的关系，实现数和形的灵活转换．Ⅳ．教学策略设计本节课是高三复习课，帮助学生系统地掌握知识和方法，形成良好的认知结构，培养学生的思维品质、提高学生的解题能力是主要目标．为了实现这一目标，教学中采用了以下策略：1、站在系统的高度组织复习内容．通过精心设计的“问题串”引导学生回顾研究函数性质的过程和方法，在实际问题中构建具体的函数模型，运用“数”和“形”结合的手段展开性质探究，从中归纳出以导数为工具研究函数性质的一般方法，帮助学生形成完整的认知结构，学会学习．2、站在学生的角度组织教学活动．根据学生的思维特点和认知基础，运用引导发现和讲练结合的方法，尽可能多地给学生提供课堂参与的机会，提出问题让学生分析、思考和交流，借助多媒体课件、图形计算器等工具，让学生动手操作，在尝试和探索中掌握方法，体会思想，形成技能．3、突出数学思想方法的提炼和渗透．通过典型例题及其变式的教学，由浅入深，逐层递进，不断地给学生提供比较、分析、归纳、综合的机会，保持积极有效的思维活动，帮助学生在解题总结和反思中领悟转化与化归、分类讨论、数形结合等数学思想方法在数学学习中的价值和作用．Ⅴ．教学过程1、问题引领师：同学们，今天我们要来研究函数f (x )=ax 3+bx 2+cx+d 的性质．老师先与大家交流几个问题．[问题1]在高一高二阶段我们主要研究过哪些函数模型？师：今天我们要研究的函数是一个多项式函数．如果0=a ，这个函数我们已经研究过．今天我们着重研究0≠a 的情形，不妨称之为三次函数．在研究之前，我们先回忆一下对已有函数的性质是怎么研究的，研究了哪些问题，以便为我们今天的研究提供参考．以指数函数为例．[问题2]你能回忆一下指数函数性质的研究过程和方法吗？[师生活动]引导学生回忆指数函数性质的研究过程和方法，得到：由具体的几个指数函数的图象概括得到一般的指数函数的性质．教师总结：具体 一般数 形（板书）[设计意图]用问题串启发，引导学生回忆研究函数性质的过程和方法，并展开积极的思考，给学生营造一个良好的探究学习的氛围．2、整体感知[问题3]我们常研究函数的哪些性质？师：我们研究一类函数的性质，实际上就是要探讨这类函数有哪些共同的特征．那么，我们常研究函数的哪些性质呢？生：定义域，值域，定点，奇偶性（对称性），单调性，极值，最值，零点，周期性等． 师：（板书学生回答）总结的很好．函数的性质就是函数的运动变化中的规律性，不变性和特殊性．[问题4]你能勾画一下函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 性质的研究过程和方法吗？[设计意图]从宏观上把握，让学生整体感知研究函数性质的思路、过程和方法，发现问题的本质，抓住要点，为研究函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 性质指明方向．3、组织探究问题：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是28.0r π分，其中r（单位：cm ）是瓶子的半径．已知每出售1mL 的饮料，制造商可获利0．2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm ．瓶子半径r 多大时，能使每瓶饮料的利润y 最大？（球的体积公式为334r V π=球） [师生活动]教师引导学生首先要建立利润与半径的函数关系式,将实际问题转化为函数模型，将利润最大问题转化为研究函数的最值问题．生：由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是238.02.034)(r r r f y ππ-⨯==)3(15423r r -=π，]6,0(∈r ． 师：我们将实际问题的研究转化为研究函数．如果抛开实际背景，我们可以得到一个函数233)(x x x f -=．我们就从它先研究起．[问题5]你准备如何研究函数233)(x x x f -=的性质？分别从什么角度入手研究？[设计意图]在实际问题中抽象出一个具体的三次函数模型，为从具体函数入手探究函数的性质提供一个载体，让学生构建研究函数性质的思路，展开探究活动．[师生活动]学生根据上述性质在预先准备好的方格纸上作出函数的草图．教师投影展示学生画出的草图．教师用图形计算器作出函数图象，请学生验证自己的草图，并交流作图时注意运用函数的变化趋势、极值以及零点等性质．师：（教师利用图形计算器画出导函数x x x f 63)(2-='的图像）你能描述导函数)(x f '的性态对函数)(x f 单调性的影响吗？生：在)0,(-∞上，0)(>'x f ，所以233)(x x x f -=在)0,(-∞上单调递增；在)2,0(上，0)(<'x f ，所以233)(x x x f -=在)2,0(上单调递减；在),2(+∞上，0)(>'x f ，所以233)(x x x f -=在),2(+∞上单调递增.师：一个函数的导函数也是我们研究该函数性质的重要方面.（教师板书：导函数图像）[即时调查])0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的导函数)0(23)(2≠++='a c bx ax x f 的图象如图所示，则)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的大致图象可能是（A ）（B ）（C ）（D ）中的哪一个？(1) (2) (3)[问题6]你能借助导数写出（A ）（B ）（C ）（D ）不同情形下，各系数应满足的关系式吗？[设计意图]让学生体会研究函数性质既可以从形的角度进行直观描述，又可以从数的角度进行精确刻画，数与形之间可以灵活转换，数与形协同作战威力无限，从而培养学生运用数形结合的思想方法解决问题的意识和能力．生：系数应满足的关系式分别为：c bx ax x f ++='23)(2，0)(='x f 的判别式)3(42ac b -=∆（A ）0,0>∆>a ；（B ）0,0≤∆>a ；（C ）0,0>∆<a ；（D ）0,0≤∆<a师：这就告诉我们，对一个函数“形”的研究最终回到了对“数”的研究．好，回到开头提出的实际问题，饮料公司若想利润最大，饮料瓶的半径应为多大？生：233)(x x x f -=在]6,0(上的最大值在6=x 时取到，所以半径应定为6cm ．师：那么是不是半径越大利润就越大？生：不对．在]2,0(上半径越大，利润越小（利润为负值，是亏本的）．在),2(+∞上半径越大利润越大．4、抽象概括[问题7]一般地,对函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ,你能研究它的性质了吗？生：定义域、值域都为R , 当0==d b 时cx ax x f +=3)(是奇函数，单调性、极值、最值都可以通过导数来研究．师：同学们，对于这样一个函数，我们经历了研究性质的过程，着重从“数”和“形”两个角度研究其性质，体会了导数在研究函数性质中的巨大作用．[设计意图]在教师的主导下，学生完成抽象概括的过程，让学生进一步体会由具体到一般的研究过程，培养学生抽象、概括、归纳推理的能力．5、实践体验例题 设函数∈-+=a x ax x f (13)(3R ),求)(x f 的单调区间和极值．思路1函数)(x f 的导函数为33)(2+='ax x f .（1）当0≥a 时，033)(2>+='ax x f ，)(x f 在),(+∞-∞上单调递增，)(x f 无极值；（2）当0<a 时，由033)(2=+='ax x f 得ax -±=1.)(x f ∴的单调减区间是)1,(a ---∞和)1,(a ---∞，单调增区间是)1,1(aa ---． )(x f 的极小值为1)1(3)1()1(3---+--=--a a a a f =112---a， )(x f 的极大值为113)1()1(3--⨯+-=-a a a a f =112--a ． [设计意图]让学生在解决具体问题的过程中巩固运用导数研究函数性质的一般方法，加深数学理解，学会数学思考，培养良好的解题习惯，提高分析问题、解决问题的能力．变式1：若函数)(x f 有三个不同的零点，求实数a 的取值范围．（1）当0≥a 时，033)(2>+='ax x f ，)(x f 在),(+∞-∞上单调递增，故)(x f 不可能有三个零点；（2）当0<a 时，040)1(0)1(<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<--a a f a f ；综上所述，实数a 的取值范围)0,4(-.师：还有其他解法吗?生：利用函数与方程的思想，转化为方程问题处理．变式2：若对任意的]1,1[-∈x ，都有0)(≤x f 成立，求实数a 的值.思路1：分离参数a ，转化为)(x g a ≥或)(x g a ≤的形式，进而转化为函数的最值问题． 将不等式变形为133+-≤x ax ．（1）当0=x 时，∈a R ；（2）当]1,0(∈x 时，3213x x a +-≤，令3213)(x x x g +-=，设),1[1+∞∈=xt ，则 ),1[,3)(23+∞∈-=t t t t g ，易知4)(min -=t g ，所以4-≤a ；（3）当)0,1[-∈x 时，3213x x a +-≥，令3213)(x x x g +-=，设]1,(1--∞∈=xt ，则]1,(,3)(23--∞∈-=t t t t g ，易知4)(max -=t g ，所以4-≥a ；综上所述，4-=a ．思路2：求)(x f 的最大值，再通过0)(max ≤x f 求出a ．函数)(x f 的导函数为33)(2+='ax x f（1）当0≥a 时，033)(2>+='ax x f ，故)(x f 在]1,1[-上单调递增，所以02)1()(max ≤+==a f x f ，得到2-≤a ，与0≥a 矛盾，不符合题意；（2）当0<a 时，由033)(2=+='ax x f 得ax -±=1 若)0,1[-∈a ，则)(x f 在]1,1[-上单调递增，所以)0,1[-∈a 不符合题意；若)1,(--∞∈a ，列表如下：则⎩⎨⎧-≤-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-440)1(0)1(a a a f f ，所以4-=a ．综上所述，4-=a ．[解题小结]师：回顾一下这道题目，不等式恒成立问题和函数的零点个数问题，我们是如何解决的？生：转化为函数的单调性、极值和最值问题的研究．师：这是数学中的转化的思想． 对含有参数的复杂问题，我们是怎么处理的？生：分类讨论．师：好,我们还借助于函数的图象分析问题，比如零点的个数，很好地运用了数形结合的思想．从本题我们再次感受到解决函数的单调性、极值和最值，导数是个有力的工具．[设计意图]让学生体会数学问题之间的内在联系，体会数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法在数学解题中的意义和作用，培养学生的运算能力，提升学生的数学素养．6、总结提升师：同学们，今天我们研究了函数d cx bx ax x f +++=23)(的性质．下面通过几个问题一起来回顾一下本节课的学习过程和收获．（1）为什么研究？生：能够解决很多的实际问题．师：函数是描述客观世界变化规律的重要模型，很多实际问题的研究最后都归结为研究函数．我们研究函数的目的是为了掌握事物的变化规律．研究函数的性质既是解决实际问题的需要，也是数学本身的自然要求．对函数d cx bx ax x f +++=23)(性质的研究也不例外．（2）研究什么？师：事物的变化趋势、对称特征、用料最省问题、利润最大问题、周而复始现象等问题，反映到函数上就是要研究函数的基本性质，函数的性质就是函数变化中的规律性、不变性和特殊性．那么，我们本节课着重研究了函数的哪些性质？生：单调性、奇偶性、最值、极值、零点等．（3）怎么研究？师：对一类新函数，我们的研究过程是什么？生：从几个具体的函数入手,从具体到一般的研究过程．师：我们研究函数d cx bx ax x f +++=23)(的性质，方法是什么？生：数形结合．师：很好．我们借鉴指数函数性质的从形到数的研究方法，但是我们又有了导数的工具，所以拓宽了我们的研究的思路，不拘泥于从形到数，我们可以在数和形之间灵活转换．（4）获得什么？生：数形结合、转化与化归、分类讨论等数学思想．师：你能借鉴今天的研究过程和方法去研究其他的函数吗？[设计意图]从问题开始，再到问题结束，回顾复习过程，总结复习内容，建构知识网络，挖掘、提炼、渗透相应的数学思想并使其逐步显化，使学生对研究函数性质的过程和方法有一个系统全面的认识，实现知识不断深化，思想、方法不断升华，把学生的思考和认知引向深入，在完善认知结构的同时，学会学习，实现长效发展，这是本节课教学的落脚点．。