同济版高等数学下册练习题附答案

第八章测验题一、选择题：1、若a →，b →为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→⋅=().(A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→.向量a b →→⨯与二向量a →及b →的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 .3、设向量Q →与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当cos 0β=时，有()5、2()αβ→→±=( )(A)22αβ→→±； (B)222ααββ→→→→±+；(C)22ααββ→→→→±+； (D)222ααββ→→→→±+.6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠，则 平面( ).(A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C)y 经过轴；(D) 经过轴y .7、设直线方程为11112200A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩且111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ).(A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴.8、曲面250z xy yz x +--=与直线513x y -=-107z -=的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)；(C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).--9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周22160x y z ⎧+=⎨=⎩，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=； (B)222160x y z z ++-=； (C)2226160x y z z ++-+=； (D)2226160x y z z +++-=.10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ).(A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=；(C)22214y x z -+=； (D)2221916x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3π，且2,5a b →→==，求(2)(3)a b a b →→→→-⋅+ .三、求向量{4,3,4}a→=-在向量{2,2,1}b →=上的投影 .四、设平行四边形二边为向量{1,3,1};{2,1,3}a b →→=-=-{}2,1,3b =-，求其面积 .五、已知,,a b →→为两非零不共线向量，求证：()()a b a b →→→→-⨯+2()a b →→=⨯.六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 .七、求直线L ：31258x t y t z t =-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩在三个坐标面上及平面π380x y z -++=上的投影方程 .八、求通过直线122232x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .九、求点(1,4,3)--并与下面两直线1L ：24135x y z x y -+=⎧⎨+=-⎩，2:L 24132x ty t z t=+⎧⎪=--⎨⎪=-+⎩都垂直的直线方程 .十、求通过三平面：220x y z +--=，310x y z -++=和30x y z ++-=的交点，且平行于平面20x y z ++=的平面方程 .十一、在平面10x y z +++=内，求作一直线，使它通过直线1020y z x z ++=⎧⎨+=⎩与平面的交点，且与已知直线垂直 .十二、判断下列两直线111:112x y z L +-==, 212:134x y z L +-==,是否在同一平面上，在同 一平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距离 .第九章 测 验 题一、选择题: 1、二元函数221arcsin z x y=+的定义域是( ).(A)2214x y ≤+≤； (B)2214x y <+≤；(C)2214x y ≤+<； (D)2214x y <+<.2、设2(,)()xf xy x y y=+,则(,)f x y =( ). (A)221()x y y +； (B) 2(1)xy y+； (C)221()y x x +； (D) 2(1)yy x+.3、22220lim()x y x y x y →→+=( ).(A) 0 ； (B) 1 ； (C) 2 ； (D) e .4、函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,且两个偏导数 0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是(,)f x y 在该点可微的( ).(A)充分条件,但不是必要条件； (B)必要条件,但不是充分条件； (C)充分必要条件；(D)既不是充分条件,也不是必要条件.5、设(,)f x y 222222221()sin ,00,0x y x y x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩则在原点(0,0)处(,)f x y ( ). (A)偏导数不存在； (B)不可微； (C)偏导数存在且连续； (D)可微 .6、设(,),(,)z f x v v v x y ==其中,f v 具有二阶连续偏导则22zy∂=∂( ). (A)222f v f v v y y v y ∂∂∂∂⋅+⋅∂∂∂∂∂； (B)22f v v y∂∂⋅∂∂；(C)22222()f v f v y v v y ∂∂∂∂+⋅∂∂∂∂； (D)2222f v f v y v v y∂∂∂∂⋅+⋅∂∂∂∂.7、曲面3(0)xyz a a =>的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积V=( ).(A)332a ； (B) 33a ； (C) 392a ； (D) 36a . 8、二元函数333()z x y x y =+--的极值点是( ). (A) (1,2)； (B)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1).9、函数sin sin sin u x y z =满足(0,0,0)2x y z x y z π++=>>>的条件极值是( ).(A) 1 ； (B) 0 ； (C) 16； (D)18.10、设函数(,),(,)u u x y v v x y ==在点(,)x y 的某邻 域内可微分,则 在点(,)x y 处有 ()grad uv =( ).二、讨论函数33x yz x y+=+的连续性，并指出间断点类型. 三、求下列函数的一阶偏导数: 1、ln yz x= ；2、(,,),(,)u f x xy xyz z x y φ==；3、22222220(,)00x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩.四、设(,)u f x z =,而(,)z x y 是由方程()z x y z φ=+所 确的函数,求du .五、设(,,),yz u x y u xe ==,其中f 具有连续的二阶偏导数,求2z x y∂∂∂.六、设cos ,sin ,uux e v y e v z uv ===,试求z x ∂∂和z y∂∂ . 七、设x 轴正向到方向l 的转角为,φ求函数22(,)f x y x xy y =-+在点(1,1)沿方向l 的方向导数,并分确定转角,φ使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于零 八、求平面1345x y z++=和柱面221x y +=的交线上与xoy 平面距离最短的点 .九、在第一卦限内作椭球面2222221x y z a b c++=的切平面, 使切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最 小,求这切平面的切点,并求此最小体积 .第十章 测 验 题一、选择题: 1、1100(,)xdx f x y dy -⎰⎰=( )(A)1100(,)xdy f x y dx -⎰⎰； (B)110(,)xdy f x y dx -⎰⎰；(C)1100(,)dy f x y dx ⎰⎰； (D)110(,)ydy f x y dx -⎰⎰.2、设D 为222x y a +≤,当a =( )时,Dπ=.(A) 1 ；(B)；(C)(D) . 3、当D 是( )围成的区域时二重积分 1.Ddxdy =⎰⎰4、xy Dxe dxdy ⎰⎰的值为( ).其中区域D 为01,10.x y ≤≤-≤≤(A)1;e (B) e ; (C) 1;e- (D) 1. 5、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰,其中D 由222x y a +=所围成,则I =( ).(A)2240ad a rdr a πθπ=⎰⎰;(B)2240012a d r rdr a πθπ⋅=⎰⎰; (C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰;(D)22402ad a adr a πθπ⋅=⎰⎰.6、设Ω是由三个坐标面与平面2x y z +-=1所围成的 空间区域,则xdxdydz Ω⎰⎰⎰=( ).(A)148 ； (B) 148- ； (C) 124 ； (D) 124- . 7、设Ω是锥面222222(0,z x ya c ab =+>0,0)bc >>与平面 0,0,x y z c ===所围成的空间区域在第一卦限的部分,则Ω=( ).(A)2136a b ；(B) 2136a b(C) 2136b c ；(D) 136.8、计算I zdv Ω=⎰⎰⎰,其222,1z x y z Ω=+=中为围成的立体,则正确的解法为( )和( ). (A)21100I d rdr zdz πθ=⎰⎰⎰；(B)211rI d rdr zdz πθ=⎰⎰⎰；(C)21100rI d dz rdr πθ=⎰⎰⎰；(D)120zI dz d zrdr πθ=⎰⎰⎰.9、曲面z=222x y x +=内部的那 部分面积s =( ).；(B) ；；(D) .10、由直线2,2,2x y x y +===所围成的质量分布均匀 (设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量x I =( ).(A) 3μ； (B) 5μ； (C) 4μ； (D) 6μ. 二、计算下列二重积分: 1、22()Dx y d σ-⎰⎰,其中D 是闭区域: 2、Dyarctgd xσ⎰⎰,其中D 是由直线0y =及圆周 22224,1x y x y +=+=,y x =所围成的在第一象限内的闭区域 . 3、2(369)D y x y d σ+-+⎰⎰,其中D 是闭区 域:222x y R +≤4、222D x y d σ+-⎰⎰,其中D :223x y +≤. 三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: 1、12330010(,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰； 2、110(,)dx f x y dy ⎰；3、(cos ,sin )ad f r r rdr θθθθ⎰⎰.四、将三次积分110(,,)yxxdx dy f x y z dz ⎰⎰⎰改换积分次序为x y z →→.五、计算下列三重积分: 1、cos(),y x z dxdydz Ω+Ω⎰⎰⎰:抛物柱面y =,,2y o z o x z π==+=及平面所围成的区域 .2、22(),y z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由xoy 平面上曲线 22y x =绕x 轴旋转而成的曲面与平面5x =所围成的闭区域 .3、222222ln(1),1z x y z dv x y z Ω++++++⎰⎰⎰其中Ω是由球面 2221x y z ++=所围成的闭区域 . 六、求平面1x y za b c++=被三坐标面所割出的有限部分 的面积 .七、设()f x 在[0,1]上连续,试证:111301()()()[()]6yxxf x f y f z dxdydz f x dx =⎰⎰⎰⎰ .第十一章 测 验 题一、选择题: 设L 为03,02xx y =≤≤,则4L ds ⎰的值为( ).(A)04x ， (B)6, (C)06x .设L 为直线0y y =上从点0(0,)A y 到点0(3,)B y 的有向直线段,则2Ldy ⎰=( ).(A)6; (B) 06y ; (C)0.若L 是上半椭圆cos ,sin ,x a t y b t =⎧⎨=⎩取顺时针方向,则Lydx xdy -⎰的值为( ).(A)0; (B)2ab π; (C)ab π.4、设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内有一阶连续 偏导数,则在D 内与LPdx Qdy +⎰路径无关的条件,(,)Q Px y D x y∂∂=∈∂∂是( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件.5、设∑为球面2221x y z ++=,1∑为其上半球面,则 ( )式正确.(A)12zds zds ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(B)12zdxdy zdxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(C)1222z dxdy z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰. 6、若∑为222()z x y =-+在xoy 面上方部分的曲面 , 则ds ∑⎰⎰等于( ).(A)200rd rdr πθ⎰⎰;(B)20d rdrπθ⎰⎰(C)20d rdr πθ⎰.7、若∑为球面2222x y z R ++=的外侧,则22x y zdxdy ∑⎰⎰等于( ).(A)2xyD x y ⎰⎰;(B) 22xyD x y ⎰⎰; (C) 0 . 8、曲面积分2z dxdy ∑⎰⎰在数值上等于( ). 向量2z i r穿过曲面∑的流量；面密度为2z 的曲面∑的质量；向量2z k r穿过曲面∑的流量 .9、设∑是球面2222x y z R ++=的外侧,xy D 是xoy 面 上的圆域222x y R +≤,下述等式正确的是( ).(A)2222xyD x y zds x y ∑=⎰⎰⎰⎰； (B)2222()()xyD x y dxdy x y dxdy ∑+=+⎰⎰⎰⎰；(C)2xyD zdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰.10、若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算中运用奥-高 公式正确的是( ).(A)2(2)x dydz z y dxdy ∑++⎰⎰Ò外侧=(22)x dxdydz Ω+⎰⎰⎰； (B)32()2x yz dydz x ydzdx zdxdy ∑--+⎰⎰Ò外侧=22(321)x x dxdydz -+⎰⎰⎰； (C)2(2)x dydz z y dxdy ∑++⎰⎰Ò内侧=(21)x dxdydz Ω+⎰⎰⎰.二、计算下列各题:1、求zds Γ⎰,其中Γ为曲线cos ,sin ,,x t t y t t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩0(0)t t ≤≤；2、求(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy -+-⎰,其中L 为上半圆周222()x a y a -+=,0y ≥,沿逆时针方向 . 三、计算下列各题: 1、求222dsx y z ∑++⎰⎰其中∑是界于平面0z z H ==及 之间的圆柱面222x y R +=； 2、求222()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰， 其中∑为锥面(0)z z h =≤≤的外侧；∑其中∑为曲面22(2)(1)15169z x y ---=+(0)z ≥的上侧 .四、证明:22xdx ydy x y ++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数 .五、求均匀曲面z= .六、求向量A xi yj zk =++r r r r通过区域:Ω01,x ≤≤01,01y z ≤≤≤≤的边界曲面流向外侧的通量 .七、流体在空间流动,流体的密度μ处处相同(1μ=),已知流速函数222V xz i yx j zy k =++r r r r ,求流体在单位时间流过曲面222:2x y z z ∑++=的流量(流向外侧)和沿曲线:L 2222x y z z ++=,1z =的环流量(从z 轴正向看去逆针方向) .第十二章 测 验 题一、选择题:1、下列级数中,收敛的是( ).(A)11n n ∞=∑；(B)1n ∞=；(C)1n ∞=； (D)1(1)nn ∞=-∑.2、下列级数中,收敛的是( ).(A) 115()4n n ∞-=∑； (B)114()5n n ∞-=∑；(C)1115(1)()4n n n ∞--=-∑； (D)1154()45n n ∞-=+∑. 3、下列级数中,收敛的是( )(A)221(!)2n n n ∞=∑； (B)13!n n n n n∞=∑； (C)221sinn nππ∞=∑； (D)11(2)n n n n ∞=++∑.4、部分和数列{}n s 有界是正项级数1n n u ∞=∑收敛的( )(A)充分条件； (B)必要条件；(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 . 5、设a 为非零常数,则当( )时,级数1n n ar ∞=∑收敛 . (A)1r <； (B)1r ≤；(C)r a <； (D)1r >.6、幂级数11(1)(1)nn n x n∞-=--∑的收敛区间是( ). (A) (0,2]； (B) [0,2)； (C) (0,2]； (D) [0,2].7、若幂级nn n a x∞=∑的收敛半径为1:R 10R <<+∞;0nn n b x∞=∑的收敛半径为2:R 20R <<+∞,则幂级数()n nn n ab x ∞=+∑的收敛半径至少为( )(A)12R R +； (B)12R R ⋅； (C){}12max,R R ； (D){}12min ,R R .8、当0R >时,级数21(1)nn k nn ∞=+-∑是( ) (A)条件收敛； (B)绝对收敛； (C)发散； (D)敛散性与k 值无关.9、lim 0nn u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的( )(A)充分条件； (B)必要条件；(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 . 10、幂级数1(1)nn n n x ∞=+∑的收敛区间是( )(A) (1,1]-； (B) (1,1]-； (C) (1,1]-； (D) [1,1]-. 二、判别下列级数的收敛性:1、221(!)2n n n ∞=∑； 2、21cos 32nn n n π∞=∑.三、判别级数11(1)lnn n n n∞=+-∑的敛散性 . 四、求极限 111139273lim[248(2)]nn n →∞⋅⋅⋅⋅L .五、求下列幂级数的收敛区间:1、135n n n n x n ∞=+∑； 2、212n n n nx ∞=∑. 六、求幂级数1(1)nn x n n ∞=+∑的和函数 .七、求数项级数21!n n n ∞=∑的和 .八、试将函数21(2)x -展开成x 的幂级数. 九、设()f x 是周期为2π的函数,它在[,]ππ-上的表达式0,[,0)(),[0,)xx f x e x ππ∈-⎧=⎨∈⎩将()f x 展开成傅立叶级数 . 十、将函数1,0()0,x hf x h x π≤≤⎧=⎨<≤⎩分别展开成正弦级数 和余弦级数 .十一、证明:如果()(),()f x f x f x π-=-以2π为周期, 则()f x 的傅立叶系数 00a =,220,0(1,2,)kk a b k ===L .第八章 测 验 题 答 案一、1、D ； 2、C ； 3、C ； 4、A ； 5、B ； 6、B ； 7、C ； 8、A ； 9、D ； 10、D. 二、-103. 三、2.四、六、221330y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩. 七、3120x t y t z =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩,3058x t y z t =-⎧⎪=⎨⎪=+⎩, 01258x y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩, 1411260380x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩. 八、81390x y z --+=.九、1124463x ty t z t =--⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩.十、240x y z ++-=.十一、21010x y z x y z +-+=⎧⎨+++=⎩.十二、直线12L L 与为异面直线,d =. 第九章 测 验 题 答 案一、1、A ； 2、B ； 3、B ； 4、B ； 5、D ； 6、C ； 7、A ； 8、A ； 9、D ； 10、B. 二、(1)当0x y +≠时,在点(,)x y 函数连续； (2)当0x y +=时,而(,)x y 不是原点时, 则(,)x y 为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.三、1、ln 1(ln )y x z y x -=,ln ln y y x z x y=； 2、123(),x x u f yf yz xyz f =+++23()y y u xf xz xyz f =++.3、322222222,0()(,),0,0x xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ 2222222222(),0()(,),0y x x y x y x y f x y o x y ⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩.四、221()()()1()1f f z f dx dy y z y z φφφ--''--.五、2yy y y uuuy xu xy u xef e f xe f f e f '''''''''++++. 六、(cos sin ),(cos sin )u z zv v u v e u v v v e x y-∂∂=-=+∂∂七、cos sin ,flφφ∂=+∂ 八、4335(,,).5512九、切点min V =. 第十章 测 验 题 答 案1、D ；2、C ；3、A ；4、A ；5、B ；6、A ；7、A ；8、B,D ；9、B ； 10、C.二、1、2409π-；2、2364π； 3、4294R R ππ+；4、5.2π三、1、2302(,)xxdx f x y dy -⎰⎰；2、21201(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰；3、(cos ,sin )aarrdr f r r d θθθ⎰⎰.四、11(,,)zzdz dy f x y z dx ⎰⎰⎰.五、1、21162π-； 2、2503π； 3、0.. 七、提示：第十一章 测 验 题 答 案一、1、B ； 2、C ； 3、C ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、B ； 8、C ； 9、C ； 10、B.二、1、3220(2)3t +-； 2、2a π.三、1、2H arctg R π； 2、44h π-； 3、0.四、221(,)ln()2u x y x y =+.五、(0,0,)2a. 六、3.七、32,015π.第十二章 测 验 题 答 案一、1、B ； 2、B ； 3、C ； 4、C ； 5、D ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、B ； 10、A. 二、1、发散； 2、收敛. 三、条件收敛.提示:化成2123332n n ++++L L )五、1、11[,)55-； 2、(. 六、11(1)ln(1),(1,0)(0,1)()0,0x x s x xx ⎧+--∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩. 七、2e .八、12111,(2,2)(2)2n n n n x x x ∞-+==∈--∑九、2111(1)1()[cos 21n n e e f x nx nππππ∞=---=++∑ 12((1)1)sin ]1n n e nx n π+-+++, (,0,1,2,x x n n π-∞<<+∞≠=±±L 且).十、121cos ()sin ,(0,)(,n nhf x nx x h h nππ∞=-=∈⋃∑。