概率论独立性
《概率论》第1章§6 独立性
2p p
2
4
思考： A和B独立与A和B不相容有什么关系？
P ( AB ) P ( A ) P ( B ) P ( BC ) P ( B ) P (C ) P (CA ) P (C ) P ( A )
必然事件 Ω 与任何事件 A 是否独立 不可能事件Φ 与任何事件 A 是否独立
结果A出现的概率保持不变。我们把这n次独立重复贝努
利试验总起来看成一个试验，称这种试验叫n重贝努利试 验。总之，n重贝努利试验有下面四个约定：
（1）每次试验的结果只能是两个可能的结果A和A之一, （2）A在每次试验中出现的概率p保持不变, （3）各次试验相互独立,
（4）共进行了n次.
P B | A P B
若
P A 0
则 事 件 A与 任 一 事 件 B相 互 独 立 。
例2 甲乙二人独立地对目标各射击一次，设甲射中 目标的概率为 0.5，乙射中目标的概率为 0.6，求目 标被击中的概率
解
设 A, B分别表示甲,乙击中目标， 则 A B表示目标被击中，由于 A, B独立
2 1 P B 4 2
P B | C 1
生的概率，而A发生不改 1 变B发生的概率，B 的发 P AB 1 4 P B | A P B 1 P A 2 生也不改变A发生的概率， 2 也就是说A与B互不影响， 1 P AB 1 P A | B 4 P A 它们是独立的. 1 P B 2
贝努利概型
考虑一个简单的试验，它只出现（或只考虑） 两种结果，如某产品抽样检查得合格或不合格，射 击命中或不命中，试验成功或失败，发报机发出信 号0或1。掷一次骰子点数“6”是否出现。一般地， 试验E只有两种结果A和A,而P(A)=p（0<p<1）,则
概率论与统计学中的独立性与相关性
概率论与统计学中的独立性与相关性概率论与统计学是数学中的重要分支，用于研究和描述事件发生的可能性以及随机现象的规律性。
在概率论与统计学中，独立性与相关性是两个核心概念，它们描述了变量之间的关联程度。
本文将探讨概率论与统计学中的独立性与相关性，并对这两个概念在实际问题中的应用进行阐述。
一、独立性概念在概率论中，两个事件的独立性指的是这两个事件的发生不会相互影响。
具体地说，如果事件A和事件B是独立的，那么事件A的发生与否不会对事件B的发生产生影响，反之亦然。
数学上，独立事件的定义是它们的联合概率等于各自概率的乘积。
即P(A∩B) = P(A) * P(B)。
独立性在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在生活中投掷一枚均匀硬币，每次投掷结果为正面或反面，每次投掷都是一个独立事件。
再例如，在统计调查中，通过对样本进行抽样，我们可以假设样本之间是独立的，从而进行对总体的推断。
二、相关性概念与独立性相对，相关性描述了两个变量之间的关联程度。
在统计学中，相关性可以分为线性相关和非线性相关。
线性相关表明两个变量之间存在着线性关系，而非线性相关则表示两个变量之间的关系无法用简单的线性关系来描述。
在现实生活中，相关性的概念具有广泛的应用。
例如，研究两个药物对疾病治疗效果的相关性，可以通过统计方法来分析两种药物对疗效的影响程度。
此外，在金融领域，研究股票价格与利率之间的相关性可以帮助投资者做出更准确的投资决策。
三、独立性与相关性的关系独立性和相关性是概率论与统计学中最基本且重要的概念之一。
独立性意味着两个变量之间的关系不存在，即它们相互独立；而相关性则表示两个变量之间存在一定的关联。
需要注意的是，独立性和相关性是互斥的概念，即如果两个变量是独立的，则它们一定不相关；反之亦然。
虽然独立性与相关性是互斥的，但在实际问题中，两者并非绝对独立。
在某些情况下，两个变量可能既独立又相关。
这种情况下，可能存在其他未考虑到的因素，导致两个本应独立的变量出现关联。
事件的独立性条件概率与全概率公式
事件的独立性条件概率与全概率公式事件的独立性是概率论中一个非常重要的概念。
当两个事件A和B的发生与否不会相互影响时，我们称这两个事件是独立的。
具体来说，事件A的发生与否不会对事件B的发生概率造成影响，同样，事件B的发生与否也不会对事件A的发生概率造成影响。
独立性是概率论中一种核心的概念，它可以帮助我们简化计算过程，提高计算的效率。
在实际问题中，我们通常会用到一些已知的概率，利用独立性可以快速计算出我们所关心的概率。
条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下，一些事件发生的概率。
具体来说，设A和B是两个事件，已知事件B已经发生，那么事件A发生的概率记作P(A，B)，读作“A在B发生的条件下发生的概率”。
条件概率可以通过以下公式计算：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率在实际问题中非常常见，它可以帮助我们确定一些事件在给定条件下的概率。
例如，在进行疾病检测时，我们可以根据患者的年龄、性别、家族病史等条件，计算出患病的概率，为疾病的早期预防提供重要依据。
全概率公式是概率论中一个非常重要的公式，它可以帮助我们计算复杂事件的概率。
全概率公式的核心思想是将一个事件分解为不同的互斥事件，并将这些事件的概率加和起来。
具体来说，设B1、B2、…、Bn是一组互斥事件，且它们的并集构成了样本空间S，那么对于任意一个事件A，全概率公式可以表示为：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+…+P(A，Bn)P(Bn)全概率公式的应用场景非常广泛。
例如，在市场调查中，我们希望了解其中一特定群体的消费习惯，但由于无法直接获取到该群体的信息，我们可以通过对不同市场细分的消费者进行调查，然后利用全概率公式将这些细分市场的调查结果综合起来，推断出整个特定群体的消费习惯。
总结起来，事件的独立性、条件概率和全概率公式都是概率论中非常重要的概念和工具。
概率论-事件的独立性
P( Ai Aj Ak )
P( Ai )P( Aj )P( Ak ),(1
i
j
k
n)
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 )P( An ).
则称事件 A1 , A2 ,, An
为相互独立的.
共 2n n 1
个式子．
n 个事件相互独立
n个事件两两独立
显然，如果n个事件相互独立，则它们中任何
机事件序列 A1, A2 ,, An 为相互独立的．
例21 甲、乙、丙三三名射手，他们命中他们命 中目标的概率分别是0.9,0.8,0.6，现三人独立地 向目标各射击一次，求命中目标的可能性有多大？
解 记A=“甲命中目标”, B=“乙命中目 标”, C=“丙命中目标”, D=“命中目标”, 显然A,B,C 相互独立，并且D=A+B+C ,则
NEXT
习题一：22、23、25
作业
例补充 设A,B,C三事件独立，试证A+B与C相互
独立． 证明:因为
P[(A B)C] P( AC BC) P( AC) P(BC) P( ABC)
P( A)P(C) P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) (P( A) P(B) P( A)P(B))P(C) P( A B)P(C)
P(A) P(B) P(A)P(B)
0.7 0.8 0.70.8 0.94
例补充 甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一 密码，设甲译出的概率0.8,乙译出的概率 0.7,丙 译出的概率0.6,求密码能译出的概率.
解 记A=“甲译出密码”, B=“乙译出密
码”,
C=“丙译出密码”, D=“密码被译 显然出A”,B,,C相互独立，并且D=A+B+C ,则
独立性与期望值的性质与应用
独立性与期望值的性质与应用在概率论和统计学中，独立性和期望值是两个重要的概念。
独立性指的是两个或多个事件之间相互独立的性质，而期望值则是随机变量的平均值。
本文将就独立性和期望值的性质与应用进行探讨和分析。
一、独立性的性质与应用独立性是指两个或多个随机事件之间相互独立发生的概率性质。
当事件A和事件B相互独立时，事件A的发生与否不会对事件B的发生产生影响，反之亦然。
独立性具有以下几个性质和应用：1. 乘法定理：如果事件A和事件B相互独立，那么同时发生事件A 和事件B的概率等于它们分别发生的概率的乘积。
即P(A∩B) = P(A) ×P(B)。
2. 条件独立性：如果事件A和事件B相互独立，那么在给定事件C 发生的条件下，事件A和事件B仍然相互独立。
即P(A∩B|C) = P(A|C) × P(B|C)。
3. 应用举例：独立性的概念在概率计算和统计推理中有广泛的应用。
例如，在掷硬币的实验中，若每次掷硬币的结果不会受到前几次掷硬币的影响，则每次掷硬币都是独立事件。
另外，在信号处理中，利用独立性的性质可以降低信号的冗余，提高信号的传输效率。
二、期望值的性质与应用期望值是随机变量的平均值，用于描述随机变量的中心位置。
期望值具有以下几个性质和应用：1. 线性性：对于随机变量X和Y以及任意的实数a和b，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。
即期望值具有线性性质，可以方便地处理复杂的随机变量。
2. 应用举例：期望值在概率和统计分析中经常用于衡量随机变量的平均表现。
例如，在赌博问题中，可以通过计算每次赌博的期望值，来判断赌博是否公平。
另外，在金融领域中，可以利用期望值来评估投资的风险和回报。
三、独立性与期望值的关系与应用独立性和期望值在概率论和统计学中密切相关，它们的关系和应用可以从以下几个方面来理解和阐述：1. 离散随机变量的期望值：对于两个独立的离散随机变量X和Y，它们的期望值的乘积等于它们的联合概率分布的期望值的乘积。
《概率论》第1章§6独立性
两两独立 三三独立 ……
概率论的基本概念
§6 独立性
8/25
设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 求混合100个人的血清中含有肝炎病毒的概率. 记 Ai { 第 i 个人血清含肝炎病毒 }, i 1, 2, ,100 则所求概率为
100 P ( Ai ) P Ai i 1 i 1
100
1 P ( Ai )
i 1
100
根据实际问题 判断事件独立性
1 0.996
100
0.33
第一章
概率论的基本概念
§6 独立性
9/25
P( AB) P( A) P( B) P( BC ) P( B) P(C ) P(CA) P(C ) P( A)
A, B, C 相互独立
时 , 两种赛制甲最终获胜的 1 2 .
制有利 .
概率是
相同的 , 都是
§6 独立性
19/25
甲、乙两坦克的首发命中率均为0.8，经修正后的第 二发命中率均为0.95，敌目标被一发炮弹击中而被击毁 的概率为0.2，被两发炮弹击中而击毁的概率为0.5，被三 发炮弹击中必定被击毁。在战斗中，甲、乙两坦克分别 向敌同一目标发射了两发炮弹，求敌目标被击毁的概率。
p n P ( Ai )
i 1 n
1 P ( Ai )
i 1
n
n 1 (1 p) 1 0.999 n
n pn
1000
2000
3000
4000
5000
0.632 0.865 0.950 0.982 0.993
可见即使 p 很小，但只要试验不断进 行下去，小概率事件几乎必然要发生
概率论第三章事件的独立性
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用
P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.
一、两事件独立的定义
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B)
(1)
则称A、B独立，或称A、B相互独立.
例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
所求为 P(A1∪A2∪A3)
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3
1 所求为 P(A1∪A2∪A3)
3
已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
P(A1∪A2∪A3) 1 P( A1 A2 An )
2
1 P( A1A2 A3)
1 P( A1)P( A2 )P( A3)
= P( A1 )P( Ai1 ) P( Aim ).
[注释] 1. n个事件独立，则其中任意k（2≤k<n） 个事件也独立，反之未必成立，
2. 在实际应用中，独立性往往通过实际 意义判断，而不用定义证明；在理论证 明中，独立性用定义或定理证明。
3. 事件的独立与互斥是两个截然不同的概 念，互斥是指两个事件之间的关系，独 立是指两个事件概率之间的关系。
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的
概率，故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）
又如：一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立.
概率论 独立性
第六节 独立性
两个事件的独立性 多个事件的独立性 独立性的概念在计算概率中的应用 小结
---
概率论
一、两事件的独立性
先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次，
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然
P(A|B)=P(A)
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概
率,这时称事件A、B独立.
方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工 作的概率.
C
0.70
AB
D
0.95 0.95
0.70
E
0.70
F
0.75
H
G
0.率论
解 将电路正常工作记为W，由于各元件独立工 作，有
P W P A P B P C D E P F G P H
其中 P(C D E) 1 P(C )P(D )P(E ) 0.973
---
概率论
例如 S 1,2 ,3 ,4,A 1,2, B 1,3,
C 1,4,则
PA PB PC 1 , 并且 ,
2
PAB 1 PAPB ,
4
PAC 1 P A P C ,
4
PBC 1 PBPC .
4
即事件 A、B、C 两两独立 .
但是 PABC 1 PAPBPC .
也相互独立.
证明 仅证A与 B 独立
A、B独立
概率的性质 P(AB )= P(A - A B)
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B)
=P(A)[1- P(B)]= P(A) P(B )
故 A与 B独立
---
概率论
二、多个事件的独立性
概率论1.4独立性
P( A1 U A2 U L U An ) = 1− P A1 P A2 L P An
( )( ) ( )
四、相互独立的性质
• 例3（保险赔付）设有n个人向保险公司购 买人身意外险（保险期为1年），假定投保 人在一年内发生意外的概率为0.01，求 （1）保险公司赔付的概率； （2）当n为多大时，使得上述赔付的概率超 过0.5。 • 例4 设有电路如图所示，其中1，2，3，4 为续电器接点，设各续电器接点闭合与否 是相互独立的，且每一续电器接点闭合的 概率为p，求L至R为通路的概率。
– 一共要满足的等式个数为
C + C + L + C = 2 − n −1
2 n 3 n n n n
• 称无穷多个事件相互独立，是指其中任意 无穷多个事件相互独立， 有限多个事件都相互独立。 有限多个事件都相互独立。
四、相互独立的性质
• 性质 若n（n ≥ 2）个事件相互独立，则 性质1 （ ）个事件相互独立， 其中任意k（ 其中任意 （1 < k ≤ n）个事件也相互独立。 ）个事件也相互独立。 • 性质 若n（n ≥ 2）个事件相互独立，则 性质2 （ ）个事件相互独立， 将其中任意m（ 将其中任意 （1 ≤ m ≤ n）个事件换成它 ） 们的对立事件，所得的n 个事件仍相互独立。 们的对立事件，所得的 个事件仍相互独立。 • 若n个事件相互独立，则
二、事件独立性的判断
• 根据定义 • 根据条件概率 • 根据问题的实际意义
– 如，甲乙两人向同一目标射击，则“甲命中” 并不影响“乙命中”的概率，所以二者独立。
三、多个事件的独立性
• 若事件 i ( i=1,2,3 ) 满足下列四个等式，则 若事件A 满足下列四个等式， 这三个事件相互独立。 称这三个事件相互独立。 P(A1A2) = P(A1) P(A2) P(A2A3) = P(A2) P(A3) P(A1A3) = P(A1) P(A3) P(A1A2A3) = P(A1) P(A2) P(A3)
大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性
大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性大学数学易考知识点：概率论中的条件概率与独立性概率论是数学中一个重要的分支，研究事物发生的可能性。
在大学数学的学习中，概率论是一个比较常见的考点。
其中，条件概率与独立性是概率论中的两个基本概念。
本文将详细介绍条件概率与独立性的概念、性质以及应用。
一、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的计算可以通过实际问题的转化来帮助理解。
例如，某班级有60%的男生和40%的女生，已知班级中80%的学生喜欢数学。
现在要求已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率。
根据条件概率的计算公式，我们可以得到：P(喜欢数学|男生) = P(喜欢数学∩男生) / P(男生)由于已知喜欢数学的学生占总人数的80%，而男生占总人数的60%，则有：P(喜欢数学|男生) = (0.8*0.6) / 0.6 = 0.8所以，在已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率为0.8。
条件概率的计算方法对于实际问题的解决非常有用。
通过合理的条件划分，我们可以计算出各种条件下的概率，从而更好地理解和解决问题。
二、独立性在概率论中，独立性是指两个事件的发生与否互相不影响。
具体而言，事件A与事件B相互独立的条件为：P(A|B) = P(A)P(B|A) = P(B)即事件A发生的概率与事件B发生与否无关，事件B发生的概率与事件A发生与否无关。
两个独立事件的条件概率相等于事件的边际概率。
例如，某扑克牌中共有52张牌，我们从牌中随机抽取一张，记录下此牌的花色，然后将此牌放回。
再次从牌中随机抽取一张，记录下此牌为红桃。
问第一次所抽取的牌为红色的概率是多少？根据题意，第一次所抽取的牌为红色的概率为1/2，因为扑克牌中共有52张牌，其中红色牌有26张。
概率论独立的定义
概率论独立的定义概率论独立的定义概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的规律性和统计规律性。
在概率论中，独立是一个重要的概念。
下面将从多个角度对概率论独立进行全面详细的定义。
一、基本定义在概率论中，事件A和事件B是相互独立的，当且仅当事件A发生与否不影响事件B发生的概率。
也就是说，如果P(A|B)=P(A)，则称事件A和事件B相互独立。
二、条件独立条件独立是指在已知某些信息的情况下，两个或多个事件之间相互独立。
具体来说，设A、B、C为三个事件，则当且仅当P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)时，称事件A和事件B在条件C下相互独立。
三、无后效性无后效性是指在已知某些信息的情况下，过去和未来是相互独立的。
具体来说，在已知某些信息时，如果P(A|BC)=P(A|B)，则称事件A与事件C在给定条件B下无后效性。
四、互斥与不互斥如果两个或多个事件不能同时发生，那么它们就是互斥的。
如果两个或多个事件可以同时发生，那么它们就是不互斥的。
五、独立事件的性质1. 如果事件A和事件B相互独立，则P(A∩B)=P(A)P(B)。
2. 如果事件A和事件B相互独立，则P(A|B)=P(A)，即已知B发生时，A发生的概率等于A本身发生的概率。
3. 如果事件A和事件B相互独立，则P(AB')=P(A)P(B')，其中B'表示事件B的补集。
4. 如果事件A和事件B相互独立，则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。
六、应用场景概率论中的独立性是一个非常重要的概念，在实际应用中也有广泛的应用。
例如，在统计学中，我们经常需要判断两个变量之间是否存在相关性；在机器学习中，我们需要对数据进行预处理，并将相关性较小的特征组合成新特征以提高模型效果；在金融领域中，我们需要对不同投资品种之间进行分析，以确定投资组合。
综上所述，概率论独立是指在某些条件下两个或多个随机变量之间相互独立，其定义包括基本定义、条件独立、无后效性、互斥与不互斥以及独立事件的性质。
概率论-第一章1.6-独立性
如果两个事件不能同时发生，那么它 们之间没有任何联系？
如果一个事件发生了，我们即可以确 定另外一个事件不会发生！
性质:
当 P( A) > 0, P( B) > 0 时，互不相容与相互独立 不能同时成立。
证： A、B互不相容 P( AB) = 0 ⇒ P( AB) ≠ P( A) P( B) 反之 A、B 相互独立 = P( AB) P( A) P( B) > 0 则 AB ≠ Φ ，故A、B不可能互不相容。
这在直观上很显然，但证明较麻烦. 若B3=A4A5A6，则B2 , B3就不一定独立，因为都 与A4有关.
例：设某型号高炮命中率为0.6，现若干门炮同时发射
（每炮一发）,欲以99%以上的把握击中来犯的一架敌机， 至少需要配备几门炮？ 解：设n为所需炮数，
i = 1, 2, , n Ai 表示第i门炮击中飞机，
从四个球中任取一个
1 2 3
123
即A 1、A2、A3 两两独立。
1 1 1 1 1 P ( A1 A2 A3 ) = ≠ P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) = ⋅ ⋅ = 4 2 2 2 8
所以A 1、A2、A3 不相互独立。
定理4 设 n个事件A1, A2, …An相互独立，则把它们中的任意 m (1≤m ≤ n)个事件换成各自事件的逆事件，则所得的n个事件 也相互独立.
定理1: 当 P ( A ) > 0 ( 或 P ( B ) > 0)时，
事件A与B 独立的充要条件是:
P ( B A) = P ( B )
(或 P ( A B ) = P ( A) )
P ( AB )= P ( A) P ( B ) ⇔ P ( B A)= P ( B )
概率论4-独立性
P( A) p,
P( A) 1 p,
不同的p可用来描述不同的Bernoulli试验.
由n个(次)相同的、独立的Bernoulli试验组成的试 验，称为n重Bernoulli试验。 如: ① 检查7个产品, 合格情况; ② 打靶10次, 脱靶情况;
③ 诞生100个婴儿, 性别情况.
设Bn,k = “n重Bernoulli试验中A恰好发生k次”,
3 5 5 5 5
1 5 1 k C5 2 k 0 2 1 2
5
思考: 若采用只要有一方获胜三局则终止比赛,
情况如何? 证 : 设 Ak表示“经过 k局比赛 ,甲获胜”事件, 则 “甲获胜” = A3∪A4∪A5 并且
1 P( A3) C 2
§1.4 独立性
1.4.1 事件的独立性
两个事件之间的独立性是指一个事件的发生不
影响另一个事件的发生.
注: 两个事件独立不是指这两个事件互不相容.
定义1 若事件A与B满足 P(AB) = P(A)P(B), 则称A
与B相互独立，简称A与B独立.
例1.4.1 在有三个孩子的家庭中, 假定新生婴儿是男 或是女是等可能的 . 设 A表示“有男孩也有女 孩”事件, B表示“至多只有一个女孩”事件, 则由古典定义知, 而
对于n个试验E1, E2, …, En, 假如E1的任一结果、
E2的任一结果、…、En的任一结果都是相互独
立的，则称试验E1, E2, …, En相互独立。
假如这n个试验还是相同的，则称其为n重独立
重复试验。
1.4.3 n重 Bernoulli 试验 定义 只有两个结果(成功与失败,记为A与 A )的试 验称一个产品, 看是否合格. 注: 在一次Bernoulli试验中, 设成功的概率为p, 即:
概率论第三章-随机向量的独立性
f X ( x) =
1 e 2π σ 1
−
( x − µ 1 )2
2 2σ 1
fY ( y ) =
2π σ 2
1
−
( y − µ 2 )2
2 2σ 2
e
X~ N（µ1，σ12 ) , （
Y~ N（µ2，σ22 ) （
二维正态随机向量（ 二维正态随机向量（X，Y）的两个分量独立的充要条件是 ）
ρ= 0
P {X ≤ a , X ≤ b} = P {X ≤ a}P { X ≤ b}
对所有实数对(a, b) 均成立. 对所有实数对( 均成立. 随机事件{ 有下述关系： 2) 随机事件{ X≤a } 与{︱X︱ ≤a } 有下述关系：
{X
从而
≤ a} = {− a ≤ X ≤ a} ⊂ {X ≤ a}
P{ X ≤ a , X ≤ a } = P{ X ≤ a }
维随机变量X 相互独立， 维随机变量 例如3维随机变量 1 ,X2 ,X3 相互独立，则 X12 , X22 , X32 也相互独立 相互独立. X1 +X2与X3也相互独立 相互独立. sinX1 与X3也相互独立. 相互独立.
X1 +X2与X1 －X2 不一定相互独立. 不一定相互独立
随机变量的独立性本质上 是事件的独立性
FX ( x) FY ( y )
∀ i, j
1) 对于离散型的随机变量，X与Y相互独立的充要条件为：
P{ X = xi , Y = y j } = P{ X = xi } ⋅ P {Y = y j }
2) 对于连续型的随机变量， X与Y相互独立的充要条件为：
f ( x , y ) = f X ( x) fY ( y ) 几乎处处成立。
概率论中的独立性与互斥性
概率论中的独立性与互斥性在概率论中，独立性与互斥性是两个重要的概念。
独立性描述了两个事件之间的关系，而互斥性则表示两个事件不可能同时发生。
理解这两个概念对于解决概率问题非常重要。
接下来，我们将通过一些典型例题来加深对独立性和互斥性的理解。
一、独立性概念的理解与应用独立性事件的定义是：事件A和事件B相互独立，当且仅当事件A的发生不影响事件B的发生概率。
换言之，如果两个事件相互独立，那么一个事件的发生不会影响到另一个事件的发生概率。
例题1：设事件A表示抛一枚硬币正面朝上，事件B表示抛一枚硬币反面朝上。
那么事件A和事件B是否独立？解：事件A和事件B是相互独立的。
因为抛硬币的结果只有正面和反面两种可能，且每次抛硬币的结果都是独立的，所以事件A的发生不会影响到事件B的发生概率。
结论1：相互独立的事件概率之积等于各自事件概率的乘积。
二、互斥性概念的理解与应用互斥性事件的定义是：事件A和事件B互斥，当且仅当两个事件不能同时发生。
换言之，如果两个事件互斥，那么它们之中只能发生一个。
例题2：设事件A表示掷一个骰子，点数为1、2、3，事件B表示掷一个骰子，点数为4、5、6。
那么事件A和事件B是否互斥？解：事件A和事件B是互斥的。
因为掷两个骰子的结果不可能同时包含1、2、3和4、5、6，所以事件A和事件B不能同时发生。
结论2：互斥事件的概率之和等于0。
三、独立性与互斥性的关系事件独立性和事件互斥性之间有着密切的关系。
如果两个事件是独立的，那么它们一定是互斥的；反之，如果两个事件是互斥的，那么它们不一定是独立的。
例题3：设事件A表示掷一个骰子，点数为1、2、3，事件B表示掷一个骰子，点数为4、5、6。
那么事件A和事件B既互斥又独立。
解：事件A和事件B是互斥的，因为两个骰子的点数不可能同时包含1、2、3和4、5、6。
事件A和事件B是独立的，因为一个骰子的点数不会影响到另一个骰子的点数。
通过以上例题和结论，我们可以看出独立性和互斥性在概率论中的重要性。
概率计算的独立性
概率计算的独立性概率计算的独立性是概率论的一个重要概念，指的是在某些条件下，两个或多个事件的发生与其他事件无关。
它在数学、统计学、经济学和其他领域都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨概率计算的独立性的含义、性质以及它在现实生活中的应用。
首先，让我们来了解概率计算的独立性的含义。
简而言之，当两个或多个事件的发生与其他事件无关时，我们称它们是相互独立的。
数学上，我们可以用以下公式来表示独立事件的概率：P(A∩B) = P(A) ×P(B)。
其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B单独发生的概率。
独立性的性质有以下几点。
首先，如果事件A和事件B是独立的，那么它们的补事件（即不发生的事件）也是独立的。
其次，任意多个事件的并集也是独立的，即若事件A1到An互相独立，则它们的并集也是独立的。
最后，如果事件A和事件B是独立的，并且事件C与事件A、B互不相交，那么事件C与事件A、B的并集也是独立的。
概率计算的独立性在实际生活中有许多应用。
其中之一是赌博和博弈论。
在赌博中，计算独立事件的概率可以帮助人们制定合理的下注策略，从而增加获胜的机会。
例如，在掷硬币的游戏中，每次掷硬币的结果都是相互独立的。
所以，如果我们知道正面和反面出现的概率都是50%，那么我们可以根据这个信息来计算获胜的概率。
另一个应用是市场调查和统计学。
在市场调查中，人们经常需要根据样本数据来预测总体的情况。
如果样本数据是随机且相互独立的，那么我们可以使用概率计算的独立性来进行推断。
例如，如果我们想预测一个城市的人口中男性和女性的比例，我们可以使用随机抽样方法来获取样本数据。
如果抽样过程中每个人都是相互独立的，那么我们可以用这些数据来估计总体的情况。
此外，概率计算的独立性还可以在信号处理、通信系统和信息论中得到应用。
在这些领域，我们经常需要计算信号的传输概率。
如果信号是相互独立的，那么我们可以利用独立性的性质来简化计算过程。
论概率论相容性与独立性
概率论中的相容性指的是两个事件发生的概率之积等于这两个事件分别发生的概率之积。
这意味着，两个事件相互影响较小，互不干扰。
例如，假设有两个不相关的事件A 和B，那么它们发生的概率之积等于它们分别发生的概率之积，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。
独立性指的是两个事件发生的概率没有任何关系，即两个事件发生的概率是独立的。
例如，假设有两个完全独立的事件A 和B，那么它们发生的概率之积等于它们分别发生的概率之积，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。
不过，相容性和独立性并不是完全相同的概念。
相容性指的是两个事件相互影响较小，互不干扰，而独立性指的是两个事件完全没有任何关系。
因此，独立性是相容性的一种特殊情况。
在实际应用中，相容性和独立性都是非常重要的概念。
例如，在统计学中，我们常常假设样本之间是独立的，这样才能进行合理的统计分析。
在保险学中，我们也会假设某些事件之间是相容的，这样可以使得保险公司的风险管理更加精确。
同时，在做决策的时候，相容性和独立性也可以帮助我们更加准确地评估风险。
例如，在投资时，我们可以假设股票市场和房地产市场是相容的，这样就可以避免一种投资失败后其他投资也跟着失败的情况。
因此，相容性和独立性都是概率论中非常重要的概念，在实际应用中也有着广泛的意义。
概率事件的独立性分析
概率事件的独立性是一个核心概念，在概率论和统计学中有广泛应用。
理解独立事件有助于我们更准确地分析复杂系统中的不确定性。
本文将详细探讨概率事件的独立性，包括其定义、性质、应用，以及在现实世界中的意义和局限性。
一、独立性的定义两个事件A和B如果满足以下条件，则称它们是独立的：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和B发生的概率。
这个定义直观的表达了独立性的含义：一个事件的发生不影响另一个事件的概率。
二、独立性的性质1. 交换性：如果A和B是独立的，那么B和A也是独立的。
这符合我们对独立性的直观理解，即独立关系不具有方向性。
2. 对称性：如果A和B是独立的，那么对于任何事件C，A和C独立的概率等于B和C独立的概率。
这意味着在独立关系中，一个事件与其他事件的独立性不依赖于其他特定事件。
3. 传递性：如果A和B独立，B和C独立，那么A和C也是独立的。
这个性质表明，独立性可以在事件之间传递，使得我们可以更方便地分析多个事件之间的独立关系。
三、独立性的应用1. 赌博游戏：在许多赌博游戏中，如掷骰子或抽取扑克牌，每次抽取都是独立的。
这意味着前一次的结果不会影响下一次的结果，从而保证了游戏的公平性。
2. 可靠性工程：在可靠性工程中，独立性概念用于评估系统的整体可靠性。
如果系统中的各个组件故障是相互独立的，那么整个系统的可靠性可以通过单个组件的可靠性来计算。
3. 统计分析：在统计分析中，独立性假设是许多统计模型的基础。
例如，在回归分析中，我们假设自变量和因变量之间的关系是独立的，以便更准确地预测因变量的值。
四、独立性与条件独立性条件独立性是两个事件在给定第三个事件的情况下相互独立。
即如果已知事件C发生，那么事件A和B的发生是独立的。
条件独立性的概念扩展了独立性的定义，使我们能够在更复杂的情境中分析事件之间的关系。
例如，在天气预报中，给定某个大气条件C（如高压系统），某地区明天是否下雨A和后天是否下雨B可能是条件独立的，即明天的雨水不会影响后天是否下雨，在给定的大气条件下。
概率论独立的定义
概率论独立的定义引言在概率论中，独立是一个非常重要的概念。
它被广泛应用于各个领域，包括统计学、数学和工程等。
独立性是描述两个或多个事件之间关系的一种性质，其中一个事件的发生不会对其他事件的发生产生影响。
在本文中，我们将详细介绍概率论中独立的定义，深入探讨其性质和应用，并提供一些例子来帮助读者更好地理解独立性的概念。
概率论独立的定义在概率论中，独立是指两个事件的发生与否之间没有关联性。
具体来说，若事件A和事件B是两个随机事件，它们的发生与否应满足以下条件：1.事件A的发生与否不会对事件B的发生产生影响；2.事件B的发生与否不会对事件A的发生产生影响。
用数学符号表示，若事件A和事件B是独立事件，则有以下等式成立：P(A ∩ B) = P(A) · P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
需要注意的是，两个事件的独立性是一种相对概念，具体取决于事件之间是否存在相互依赖或相关性。
如果事件A和事件B之间存在一定的依赖关系，那么它们就不是独立的。
概率论独立的性质独立事件具有以下几个性质：1.传递性：如果事件A独立于事件B，事件B独立于事件C，则事件A独立于事件C。
这是因为如果事件A和事件B是独立的，那么事件A的发生与否不会对事件B的发生产生影响；同理，事件B的发生与否不会对事件C的发生产生影响，所以事件A与事件C也是独立的。
2.对称性：如果事件A独立于事件B，则事件B独立于事件A。
这是因为事件A的发生与否不会对事件B的发生产生影响，那么事件B的发生与否也不会对事件A的发生产生影响。
3.自反性：任何事件都与它自己独立。
这是因为事件A的发生与否完全由事件A本身决定，与其他任何事件无关。
这些性质使我们能够更好地理解和应用独立性的概念。
在实际问题中，我们常常利用独立性来简化计算和分析，从而得出更准确的结果。
概率论独立的应用独立性在概率论中有着广泛的应用。
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此定义可以推广到任意 有限多个事件的情形:
概率论
定义 设 A1 , A2 , , An 为 n 个事件 , 如果对于任意
的 k 1 k n , 和任意的1 i1 i2 ik n 有等式
P Ai1 Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik
不一定成立 .
概率论
例
设同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每 一个四面体标有号码1，2，3，4。令
A={第一个四面体的触地面为偶数}
B={第二个四面体的触地面为奇数}
C={两个四面体的触地面同时为奇数，或者同 时为偶数}
试讨论A、B、C的相互独立性。
A={第一个…为偶数}；B={第二个…为奇数} C={两个…同时为奇数，或者同时为偶数} 解 试验的样本空间为
概率论
第六节
主要内容：
独立性
1）两个事件的独立性
2）多个事件的独立性
3）独立性的概念在计算概率中的应用
重点：
1）两个、多个事件独立性的定义
2）利用独立性的概念接概率题目
概率论
一、两事件的独立性
先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次， 设 显然 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}， P(A|B)=P(A)
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1与A2不独立. 因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响.
概率论
例 一批产品共有10件，其中8件正品，2件次品，设
Ai ={第i次取到正品}，则
1）有放回抽样
8 8 88 P( A1 ) , P( A2 ) , 而 P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ). 10 10 10 10
更好,它不受 P(B)>0 或 P(A)>0 的制约.
概率论
两事件独立的定义independence
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B) (1)
则称A、B相互独立，简称A、B独立.
定理 1 事件 A、B 独立的充要条件为
P A | B P A , P B 0 P B | A P B , P A 0
击中它 ,问至少需要多少门高射炮 ? 解 设 Ak 第 k 门高射炮发射一发炮弹而击中飞机 ,
k 1,2 , 则 Ak 之间相互独立, 且 P Ak 0.6 , 于是
1 P A1 A2 1 P A1 A2 1 P A1 A2
概率论
(1,1) (1, 2) (1,3) (1, 4) (2,1) (2, 2) (2,3) (2, 4) (3,1) (3, 2) (3,3) (3, 4) (4,1) (4, 2) (4,3) (4, 4)
P( ABC ) 0
所以，A、B、C 两两独立，但总 起来讲不独立。
概率论
2 0.84 . 1 0 . 4 1 P A1 P A2
2 设至少需要 n 门高射炮 ,由题知
P A1 A2 An 1 P A1 A2 An 1 P A1 A2 An 1 P A1 P A2 P An
1 P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) 4
1 P ( A) P ( B ) P (C ) 2
概率论
对于三个事件A、B、C，若
P(AB)= P(A)P(B)
P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.
所以在又放回抽样下，第i次和第j次抽到正品是独立的。 2）无放回抽样
8 P( A1 ) , P( A2 ) P( A1 A2 A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 ) 10
概率论
P( A2 | A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A1 )
则称 A1 , A2 , , An 为相互独立的事件.
请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系
对 n (n > 2)个事件
相互独立 两两独立
?
概率论
三、独立性的概念在计算概率中的应用
例2 设有两门高射炮 , 每一门击中飞机的概率都
是 0.6 , 求下列事件的概率:
1同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少 ? 2 若有一架敌机入侵领空 , 欲以 99%以上的概率
故 事件A、B独立.
概率论
前面我们是根据两事件独立的定义作出结论 的，也可以通过计算条件概率去做:
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}, 则 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
可见
P(A)= P(A|B), 即事件A、B独立.
在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去 判断两事件是否独立.
概率论
定理 2 若两事件A、B独立, 则 A 与B, A与B , A 与B 也相互独立. 证明 仅证A与 B 独立
概率的性质 A、B独立
P(A B )= P(A - A B)
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B) =P(A)[1- P(B)] = P(A) P(B ) 故 A与 B 独立
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四 个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0 2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
8 7 2 8 4 . 10 9 10 9 5
8 7 28 . 而 P( A1 A2 ) 10 9 45
因为 P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 所以在有放回抽样 下，第i次取到正品和第j次取到正品 不是独立的.
概率论
请问：如图的两个事件是独立的吗？ 我们来计算：
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概 率,这时称事件A、B独立.
概率论
由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B)
P AB P A B P B
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
概率论
解 设 H i 随机地取出 3 件 , 恰有 i 件音色不纯 ,
i 0 ,1,2 ,3 .
A 这批乐器被接收 . 则
P A P A | H 0 P H 0 P A | H 1 P H 1
P A | H 2 P H 2 P A | H 3 P H 3 3 2 1 C 96 C 96 C4 , 其中 P H 0 3 , P H 1 3 C 100 C 100
概率论
在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判 断两事件是否独立.
例如
甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率， 故认为A、B独立 . （即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）
概率论
又如： 一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
概念辨析 事件Ａ与事件Ｂ独立
概率论
P( AB) P( A) P( B)
事件Ａ与事件Ｂ互不相容
AB AB
P( AB) 0
事件Ａ与事件Ｂ为对立事件
A B
P( A) P( B) 1
概率论
二、多个事件的独立性
定义 设 A、B、C 为三事件 , 如果满足等式
再证充分性 : 设 P A | B P A 成立 , 则有
P AB P A | B P B P AP B
由定义可知, 事件 A、B 相互独立 .
概率论
例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张， 记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的} 问事件A、B是否独立？ 解 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2, P(AB)=2/52=1/26. 可见, P(AB)=P(A)P(B)
P AB P AP B P AC P AP C P BC P B P C
则称三事件 A、B、C 为两两独立的事件 .
当事件A、B、C 两两独立时 , 等式 P ABC P AP B P C
或
概率论
证 先证必要性 . 设事件 A、B 独立 ,由独立定义知
P AB P A P B
P AB P AP B P A 所以 ,当 P B 0 时 , P A | B P B P B P AB P AP B P B 或者 ,当 P A 0 时 , P B | A P A P A
2 3
所以这批乐器被接收的 概率为: P A P A | H 0 P H 0 P A | H 1 P H 1
P A | H 2 P H 2 P A | H 3 P H 3
3 2 1 C 96 C C 3 2 96 4 3 0.99 3 0.99 0.05 C 100 C100 3 1 2 C 3 C 96C 4 4 2 0.05 0.8629 . 0.99 0.05 3 3 C 100 C 100