【配套K12】[学习]四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程第5课时直线与椭圆的位置关系同

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四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质(1)课件新人教A版选修21

x2 a2
y2 b2
1 的渐近线为 y b x 即
a
x a
y b
0
渐近线为
yb a
x的双曲线标准方程一定是
x2 a2

y2 b2
1？
问：当渐近线的方程为y b x 时，双曲线的标准方程
一定是
x2 a2

y2 b2
1
吗？
a
答：不一定，例如：双曲线
x2 2a 2

85
（4）一个焦点是 F1（-6，0）的等轴双曲线.
解：(1) 2a 8, c 5 , a4
a 4, c 5, b2 c2 a2 9. 故所求标准方程为：x2 y2 1.
16 9
（2）焦点在 y 轴，焦距是 16， e 4 ; 3
（3）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点； 85
（4）一个焦点是 F1（-6，0）的等轴双曲线.
解：（3）由椭圆 x2 y2 1 的焦点 ( 3,0), ( 3,0),
85
得到双曲线的顶点 A1( 3,0), A2( 3,0),
知双曲线的焦点在x轴上，且焦点为 F1(2 2,0), F2(2 2,0),
a 3, c 2 2, b2 c2 a2 5. 故所求标准方程为：x2 y2 1.
B1
B2
O
x
A1 F1
在双曲线方程
x2 a2

y2 b2
1(
y2 a2

x2 b2
1 )中
如果 a b，那么双曲线叫做等轴双曲线.
此时双曲线方程为:
x2 y2 a2 ( y2 x2 a2 )

四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程第2课时曲线与方程的应用测试新人教A版选修2-1(2021

四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程第2课时曲线与方程的应用同步测试新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程第2课时曲线与方程的应用同步测试新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第2课时曲线与方程的应用基础达标(水平一）1。

方程x+|y-1｜=0表示的曲线是（).【解析】由x+｜y-1｜=0，可知x≤0，故选B。

【答案】B2.已知点A（1,0），B（—1，0），动点M满足|MA｜-｜MB｜=2,则点M的轨迹方程为（)。

A.y=0（-1≤x≤1）B.y=0(x≥1）C.y=0（x≤—1)D.y=0（|x|≥1)【解析】由题意知|AB｜=2,则点M的轨迹方程为射线y=0(x≤-1)。

【答案】C3。

如图，定点A,B都在平面α内,定点P∉α，PB⊥α,C是α内异于A,B的动点,且PC⊥AC,那么动点C在平面α内的轨迹是（）。

A。

一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点C.一条直线，但要去掉两个点D.半圆,但要去掉两个点【解析】由PB⊥α,得PB⊥AC.又PC⊥AC，所以AC⊥平面PBC，从而AC⊥BC。

由于A，B 是平面α内的两个定点,故AB为定长.因此,动点C在以AB为直径的圆周上,但不包含A,B两个点,故选B。

【答案】B4。

如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持AP⊥BD，则动点P的轨迹是（)。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线的标准方程教案省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

常数(小于|F1F2|)点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线焦点，两焦点间距离叫做双曲线焦距．
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思考感悟
1．双曲线的定义中，常数为什么要小于|F1F2|? 提示：①如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时动点的轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包括端点)． ②如果定义中常数为 0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线． ③如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在．
A．双曲线
B．双曲线一支
C．两条射线 D．一条射线
答案：C
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2．双曲线x32－y22＝1 的焦点坐标是(
)
A．(± 5，0) B．(0，± 5)
C．(±1,0)
D．(0，±1)
答案：A
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3．以 F1(－4,0)、F2(4,0)为焦点，且经过点 M(3， 15)的双曲线的标准方程为________．
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提醒：在x2，y2系数异号前提下，假如x2项系数是正，那么焦点在x轴上，假如y2项系数是正，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，所以，不能像椭圆那样用比较分母大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
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尝试应用
1．动点P到点M(1,0)，N(－1,0)距离之差绝对值为2，则点P轨迹是( )
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解：(1)若设所求双曲线方程为xa22－yb22＝1(a>0， b>0)，则将 a＝4 代入，得1x62－yb22＝1.
又∵点 A(1，4 310)在双曲线上， ∴116－196b02 ＝1. 由此得 b2<0，∴不合题意，舍去．
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若设所求双曲线方程为ya22－xb22＝1(a>0，b>0)，则将 a＝4 代入得1y62 －xb22＝1，代入点 A(1，4 310)，得 b2＝9，

【配套K12】[学习]四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程第4课时椭圆的简单几何性质同步

第4课时椭圆的简单几何性质基础达标(水平一 )1.已知椭圆+=1的焦距为4,则m等于().A.4B.8C.4或8D.以上均不对【解析】①当椭圆的焦点在x轴上时,10-m-(m-2)=4,解得m=4;②当椭圆的焦点在y轴上时,m-2-(10-m)=4,解得m=8.故选C.【答案】C2.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,以线段F1F2为边作正△MF1F2,若边MF1的中点在此椭圆上,则此椭圆的离心率为().A. B.-1 C. D.-1【解析】如图,由题意知△F1PF2为直角三角形,∠PF2F1=30°,又|F1F2|=2c,所以|PF1|=c,|PF2|=c,所以2a=|PF1|+|PF2|=(1+)c,所以===-1.【答案】D3.若将一个椭圆绕中心旋转90°,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中,是“对偶椭圆”的方程的是().A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】由题意,当b=c时,将一个椭圆绕中心旋转90°,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,即该椭圆为“对偶椭圆”.只有选项A中的b=c=2符合题意.【答案】A4.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是().A.B.C.2-D.-1【解析】设椭圆焦点在x轴上,点P在x轴上方,则其坐标为,因为△F1PF2为等腰直角三角形,所以|PF2|=|F1F2|,即=2c,即b2=2ac,a2-c2=2ac,等式两边同除以a2,化简得1-e2=2e,解得e=-1,故选D.【答案】D5.经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆方程为.【解析】椭圆9x2+4y2=36可化为+=1,则它的两个焦点分别为(0,-),(0,).设所求椭圆的方程为+=1(λ>0).又该椭圆过点(2,-3),所以+=1,解得λ=10或λ=-2(舍去).所以所求椭圆的方程为+=1.【答案】+=16.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列,则该椭圆的离心率为.【解析】∵A、B分别为左、右顶点,F1、F2分别为左、右焦点,∴|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c.又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列,得(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,∴离心率e=.【答案】7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e=,连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设A,B是直线l:x=2上不同的两点,若·=0,求|AB|的最小值.【解析】(1)由题意得解得所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)由(1)知,点F1(-,0),F2(,0),设直线l:x=2上不同的两点A,B的坐标分别为A(2,y1),B(2,y2),则=(-3,-y1),=(-,-y2),由·=0得y1y2+6=0,即y2=-,不妨设y1>0,则|AB|=|y1-y2|=y1+≥2,当y1=,y2=-时取等号,所以|AB|的最小值是2.拓展提升(水平二)8.设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左,右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为().A. B. C. D.【解析】设直线x=与x轴交于点M,则∠PF2M=60°,在Rt△PF2M中,|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=-c,故cos 60°===,解得=,故离心率e=.【答案】C9.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A、B1、B2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的右、下、上顶点,F是椭圆C的右焦点.若B2F⊥AB1,则椭圆C的离心率是.【解析】由题意得-·=-1⇒b2=ac⇒a2-c2=ac⇒1-e2=e,又0<e<1,故e=.【答案】10.已知曲线C上有一动点M(x,y),向量a=(x+2,y)和b=(x-2,y)满足|a|+|b|=6,则曲线C的离心率是.【解析】因为|a|+|b|=6表示动点M(x,y)到点(-2,0)和(2,0)的距离之和为6,所以曲线C是椭圆,且长轴长2a=6,即a=3,又c=2,所以e=.【答案】11.已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e.(1)若e=,求椭圆的方程.(2)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF2,BF2的中点.若坐标原点O在以MN为直径的圆上,且<e≤,求k的取值范围.【解析】(1)由题意得解得a=2,又a2=b2+c2,解得b2=3,所以椭圆的方程为+=1.(2)联立得(b2+a2k2)x2-a2b2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=0,x1x2=.依题意,OM⊥ON,易知,四边形OMF2N为平行四边形,所以四边形OMF2N为矩形,所以AF2⊥BF2,因为=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),所以·=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0,即+9=0,整理得k2==-1-.又因为<e≤,所以2≤a<3,12≤a2<18,所以k2≥,即k∈∪.。

四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线及方程第5课时双曲线的简单几何性质测试新人教A版选修1-1(20

四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线及方程第5课时双曲线的简单几何性质同步测试新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线及方程第5课时双曲线的简单几何性质同步测试新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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第5课时双曲线的简单几何性质基础达标（水平一 )1。

双曲线9y2-16x2=144的渐近线方程为()。

A。

y=x B。

x=yC.y=±x D。

x=±y【解析】令9y2—16x2=0，可得渐近线方程为y=±x。

【答案】C2.若双曲线—=1的渐近线与圆（x—3)2+y2=r2（r〉0)相切,则r等于(）.A。

B。

2C.3D。

6【解析】由题可知,双曲线的渐近线方程为y=±x,圆的圆心为(3,0).由题意得圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r===.【答案】A3.对于方程—y2=1和—y2=λ(λ〉0且λ≠1）所分别表示的双曲线有如下结论：①有相同的顶点；②有相同的焦点;③有相同的离心率；④有相同的渐近线.其中正确结论的序号是（)。

A。

①④B.②④C。

③④D。

②③【解析】对于方程-y2=1，a=2，b=1，c=；对于方程-y2=λ,a'=2,b'=，c’=·。

显然a'，b’，c’分别是a,b，c的倍，因此有相同的离心率和渐近线。

【答案】C4.已知m，n为两个不相等的非零实数,则方程mx-y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是(）。

【配套K12】2017_2018版高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程教学案新

2．3.1 抛物线及其标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点一抛物线的定义思考1 如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？思考2 抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？梳理从定义可以看出，抛物线不是双曲线的一支，双曲线有渐近线，而抛物线没有．对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否则，动点的轨迹是一条________．知识点二抛物线的标准方程思考1 抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？思考2 抛物线标准方程的特点？思考3 已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？梳理抛物线的标准方程有四种类型类型一抛物线标准方程及求解命题角度1 由抛物线方程求焦点坐标或准线方程例1 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．(1)y2＝－6x；(2)3x2＋5y＝0；(3)y＝4x2；(4)y2＝a2x(a≠0)．反思与感悟如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x (或y )，则x 轴(或y 轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．跟踪训练1 (1)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1D. 3(2)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝_____________________________________，准线方程为____________．命题角度2 求解抛物线标准方程例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为(－2,0)； (2)准线为y ＝－1； (3)过点A (2,3)； (4)焦点到准线的距离为52.反思与感悟求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2＝ay (a ≠0)．跟踪训练2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1) 过点(3，－4)；(2) 焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．类型二抛物线定义的应用例3 已知点A (3,2)，点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12. (1)求点M 的轨迹方程；(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．反思与感悟 (1)抛物线定义具有判定和性质的双重作用．本题利用抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线的定义，“化曲折为平直”，将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得最小值，这是平面几何性质的典型运用．(2)通过利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，从而简化问题的求解过程．在解决抛物线问题时，一定要善于利用其定义解题．跟踪训练3 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A.172 B ．3 C. 5 D.921．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－22．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x3．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．4B ．2C ．1D ．84．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.115 D.37165．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F (m4，0)，准线方程为x ＝－m4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F (0，m 4)，准线方程为y ＝－m4.2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p2.3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．答案精析问题导学知识点一思考1 平面内到一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．思考2 不能，若l 经过点F ，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于l 的一条直线．梳理直线知识点二思考1 p 是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向．思考2 (1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p 为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于p2.思考3 一次项变量为x (或y )，则焦点在x 轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．题型探究例1 解 (1)由方程y 2＝－6x ，知抛物线开口向左，2p ＝6，p ＝3，p 2＝32，所以焦点坐标为(－32，0)，准线方程为x ＝32.(2)将3x 2＋5y ＝0变形为x 2＝－53y ，知抛物线开口向下， 2p ＝53，p ＝56，p 2＝512，所以焦点坐标为(0，－512)，准线方程为y ＝512.(3)将y ＝4x 2化为x 2＝14y ，知抛物线开口向上， 2p ＝14，p ＝18，p 2＝116，所以焦点坐标为(0，116)，准线方程为y ＝－116.(4)由方程y 2＝a 2x (a ≠0)知抛物线开口向右， 2p ＝a 2，p ＝a 22，p 2＝a 24，所以焦点坐标为(a 24，0)，准线方程为x ＝－a 24.跟踪训练1 (1)B (2)2 x ＝－1例2 解 (1)由于焦点在x 轴的负半轴上，且p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线标准方程为y 2＝－8x . (2)∵焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线标准方程为x 2＝4y .(3)由题意，抛物线方程可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)，将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ·2,22＝n ·3， ∴m ＝92，n ＝43.∴所求抛物线方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(4)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .跟踪训练2 解 (1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .方法二设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝by (b ≠0)．把点(3，－4)分别代入，可得a ＝163，b ＝－94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x .例3 解 (1)由于动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等，由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，∴p ＝1,2p ＝2，故轨迹方程为y 2＝2x .(2)如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l 的距离|MN |，于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |，所以当A 、M 、N 三点共线时，|MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA |＋|MF |取最小值，这时M 的纵坐标为2，可设M (x 0,2)，代入抛物线方程得x 0＝2，即M (2,2)．跟踪训练3 A [如图，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离等于点P 到焦点F 的距离．因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为 4＋14＝172.]当堂训练 1．A 2.D3．C [如图，F (14，0)，过A 作AA ′⊥准线l ， ∴|AF |＝|AA ′|， ∴54x 0＝x 0＋p 2＝x 0＋14， ∴x 0＝1.]4．A [如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为到点F 的距离，由图可知，距离和的最小值，即F 到直线l 1的距离d ＝|4＋6|42＋－2＝2.]5．解由抛物线定义，设焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0.则该抛物线准线方程为x ＝p2，由题意设点M 到准线的距离为|MN |，则|MN |＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10，∴p ＝2. 故抛物线方程为y 2＝－4x .将M (－9，y 0)代入抛物线方程，得y 0＝±6. ∴M 点的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．。

【配套K12】四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线及方程第10课时圆锥曲线的综合应用同步测试新人教A版

第10课时圆锥曲线的综合应用基础达标(水平一 )1.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是().A. B. C.或 D.或【解析】因为m=±4,当m=4时,离心率为,当m=-4时,离心率为,故选D.【答案】D2.下列说法中不正确的是().A.若动点P与定点A(-4,0),B(4,0)连线PA,PB的斜率之积为定值,则动点P的轨迹为双曲线的一部分B.设m,n∈R,常数a>0,定义运算“*”:m*n=(m+n)2-(m-n)2,若x≥0,则动点P(x,)的轨迹是抛物线的一部分C.已知圆A:(x+1)2+y2=1,圆B:(x-1)2+y2=25,动圆M与圆A外切,与圆B内切,则动圆的圆心M的轨迹是椭圆D.已知点A(7,0),B(-7,0),C(2,-12),椭圆过A,B两点且以C为其一个焦点,则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线【解析】A选项中轨迹是双曲线去掉与x轴交点的部分;B选项中的抛物线取x轴上方的(包含x轴)部分;C选项中符合椭圆定义是正确的;D选项中应为双曲线一支.故选D.【答案】D3.已知A是双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线上一点,G是△PF1F2的重心,若=λ,则双曲线的离心率为().A.2B.3C.4D.与λ的取值有关【解析】因为=λ,所以∥,所以==,即=,所以e==3,故选B.【答案】B4.已知椭圆的中心在原点,离心率e=,且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合,则此椭圆的方程为().A.+=1B.+=1C.+y2=1D.+y2=1【解析】∵抛物线的焦点为(-1,0),∴c=1.又椭圆的离心率e=,∴a=2,b2=a2-c2=3,∴椭圆的方程为+=1,故选A.【答案】A5.若双曲线-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5∶3两段,则此双曲线的离心率为.【解析】因为抛物线的焦点坐标为,由题意知=,解得c=2b,所以c2=4b2=4(c2-a2),即4a2=3c2,所以2a=c,故e==.【答案】6.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A、B,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角θ满足cos θ=-,则E的离心率为.【解析】设点M在第一象限,△ABM是等腰三角形,则有AB=BM,由cos θ=-得sin θ=,所以M点坐标为,即,代入双曲线方程有-=1,b2=2a2,又因为b2=c2-a2,所以c2-a2=2a2,=3,e==.【答案】7.已知动直线l的倾斜角为45°,若l与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且A,B两点纵坐标之和为2.(1)求抛物线方程;(2)若直线l'与l平行,且l'过原点关于抛物线的准线与x轴的交点的对称点,M为抛物线上一动点,求动点M到直线l'的最小距离.【解析】(1)设直线l的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),将x=y-b代入y2=2px,得y2-2py+2pb=0.由题意知y1+y2=2p=2,得p=1.故抛物线方程为y2=2x.(2)抛物线y2=2x的准线与x轴的交点为,则l'过点(-1,0),所以l'的方程为y=x+1,故点M(x,y)到直线l'的距离d=.因为点M(x,y)在抛物线y2=2x上,所以d===.故当y=1时,d的最小距离为.拓展提升(水平二)8.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为().A. B.6 C.8 D.12【解析】设点P(x,y),则·=(x,y)·(x+1,y)=x2+x+y2,因为点P在椭圆上,所以+=1,所以x2+x+=x2+x+3=(x+2)2+2,又-2≤x≤2,所以当x=2时,(x+2)2+2取得最大值为6,即·的最大值为6,故选B.【答案】B9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,虚轴的一个端点与抛物线x2=2py(p>0)的焦点重合,直线y=kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行,则p的值为().A.4B.3C.2D.1【解析】抛物线x2=2py的焦点为,所以可得b=,因为2a=4⇒a=2,所以双曲线方程为-=1,可求得其渐近线方程为y=±x,不妨设y=kx-1与y=x平行,则有k=.联立方程得x2-x+2p=0,所以Δ=-8p=0,解得p=±4,又p>0,故p=4.【答案】A10.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,△ABC的顶点都在抛物线上,且满足+=-,则++=.【解析】设A,B,C三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).∵+=-,∴△ABC的重心是F.又∵抛物线y2=2px的焦点F的坐标为,∴y1+y2+y3=0.又∵点A,B在抛物线上,∴=2px1,=2px2,两式相减,得-=2p(x1-x2),∴k AB=,同理k BC=,k CA=,∴++=++==0.【答案】011.已知椭圆C1的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线C2:-y2=1的顶点,直线x+y=0与椭圆C1交于A,B 两点,且点A的坐标为(-,1),点P是椭圆C1上异于A,B的任意一点,点Q满足·=0,·=0,且A,B,Q三点不共线.(1)求椭圆C1的方程;(2)求点Q的轨迹方程;(3)求△ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标.【解析】(1)∵双曲线C2:-y2=1的顶点为F1(-,0),F2(,0),∴椭圆C1两焦点分别为F1(-,0),F2(,0).设椭圆C1方程为+=1(a>b>0),∵椭圆C1过点A(-,1),∴+=1. ①∵a2=b2+2,②由①②解得a2=4,b2=2.∴椭圆C1的方程为+=1.(2)设点Q(x,y),点P(x1,y1),由点A(-,1)及椭圆C1关于原点对称可得B(,-1),∴=(x+,y-1),=(x1+,y1-1),=(x-,y+1),=(x1-,y1+1).由·=0,得(x+)(x1+)+(y-1)(y1-1)=0,即(x+)(x1+)=-(y-1)(y1-1). ①同理,由·=0,得(x-)(x1-)=-(y+1)(y1+1). ②①×②得(x2-2)(-2)=(y2-1)(-1). ③由于点P在椭圆C1上,则+=1,得=4-2,代入③式得-2(-1)(-2)=(y2-1)(-1).当-1≠0时,有2x2+y2=5;当-1=0,则点P(-,-1)或P(,1),此时点Q对应的坐标分别为(,1)或(-,-1),其坐标也满足方程2x2+y2=5.当点P与点A重合时,即点P(-,1),由②得y=x-3,解方程组得点Q的坐标为(,-1)或.同理,当点P与点B重合时,可得点Q的坐标为(-,1)或.∴点Q的轨迹方程为2x2+y2=5,除去四个点(,-1),,(-,1),.(3)由于|AB|==2,故当点Q到直线AB的距离最大时,△ABQ的面积最大.设与直线AB平行的直线为x+y+m=0,由消去x,得5y2+4my+2m2-5=0,由Δ=32m2-20(2m2-5)=0,解得m=±.若m=,则y=-2,x=-;若m=-,则y=2,x=.故当点Q的坐标为或时,△ABQ的面积最大,其最大值为S=|AB|·=.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程第5课时双曲线的简单几何性质课件新人教A版选修1_1

如图,某工厂有一双曲线型自然通风塔,其外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,已知该塔最小半径为 12 米,下口半径为 25 米,下口半径到最小圆面距离为 45 米,整个通风塔高为 55 米.问在建造该塔的过程中,上口半径大约应该建多少米?
预学 1:双曲线的几何性质
标准方程
x2 y2
- =1(a>0,b>0) a2 b2
�� 2 1 + �� 2 .故当
也越大,所以 e 反
映了双曲线开口的大小,即双曲线的离心率越大,它的开口就越大.
预学 4:实轴和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线,它的渐近线方程为 y=±x,离心率 e= 2.
1.双曲线 9y -16x =144 的渐近线方程为(
4 A.y= x 3 4 B.x= y 3 4
第 5 课时
双曲线的简单几何性质
知识目标能力目标素养目标
1.掌握双曲线的简单几何性质 2.给出双曲线的方程能够得到其几何性质,反之由双曲线的几何性质也能得到该双曲线的方程通过学习双曲线简单的几何性质培养学生灵活应对、适当转化的能力;利用双曲线的性质求解双曲线的标准方程、渐近线、离心率培养学生灵活应用知识探究问题和解决问题的能力通过学习双曲线的简单几何性质结合双曲线的图象培养数学抽象素养,通过求解双曲线的标准方程、渐近线、离心率培养数学运算素养
时,焦点在 y 轴上.
预学 2:椭圆与双曲线的几何性质的异同 (1)椭圆与双曲线的离心率都为 e=�� .椭圆的离心率 e∈(0,1),双曲线的离心率 e∈(1,+∞). (2)椭圆中长轴长大于短轴长,即 2a>2b;双曲线中虚轴长 2b 和实轴长 2a 大小关系不确定. (3)焦点在坐标轴,中心为原点时,椭圆与双曲线的焦点坐标形式一 2 2 2 2 2 2 致,即(±c,0)或(0,±c).在椭圆中,c =a -b ,在双曲线中,c =a +b . (4)椭圆无渐近线,双曲线有渐近线.

【配套K12】[学习]四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程第10课时抛物线的简单几何性质

第10课时抛物线的简单几何性质基础达标(水平一 )1.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,点F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆与抛物线C的准线相交于不同两点,则y0的取值范围是().A.(0,2)B.[0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)【解析】圆心到抛物线准线的距离为p=4,根据题意,只要满足|FM|>4即可.由抛物线定义知,|FM|=y0+2.由y0+2>4,解得y0>2,故y0的取值范围是(2,+∞).【答案】C2.探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,已知灯口直径是60 cm,灯深40 cm,则光源到反光镜顶点的距离是().A.11.25 cmB.5.625 cmC.20 cmD.10 cm【解析】如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为y2=2px(p>0),则点A(40,30).∴302=2p·40,∴p=,∴y2=x.∴光源到反光镜顶点的距离为=×==5.625(cm).【答案】B3.抛物线y2=2x的焦点为F,其准线经过双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点,点M为这两条曲线的一个交点,且|MF|=2,则双曲线的离心率为().A.B.2 C.D.【解析】点F,准线l:x=-,由题意知a=.由抛物线的定义知,x M-=2,∴x M=,∴=3.∵点(x M,y M)在双曲线上,∴-=1,∴b2=,∴c2=a2+b2=,∴e2==×4=,∴e=.【答案】A4.已知点O为坐标原点,点F为抛物线y2=4x的焦点,点A是抛物线上一点,若·=-4,则点A的坐标是().A.(1,2)B.(4,4)C.(1,2)或(1,-2)D.(4,4)或(4,-4)【解析】因为抛物线的焦点为F(1,0),设点A,则=,=.由·=-4,得y0=±2,所以点A的坐标是(1,2)或(1,-2).【答案】C5.对标准形式的抛物线,给出下列条件:①焦点在y轴上;②焦点在x轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1).其中满足抛物线方程y2=10x的是.(要求填写适合条件的序号)【解析】抛物线y2=10x的焦点在x轴上,①不满足,②满足;设M(1,y0)是抛物线y2=10x上的一点,F为抛物线的焦点,则|MF|=1+=1+=≠6,所以③不满足;由于抛物线y2=10x的焦点为,过该焦点的直线方程为y=k,若由原点向该直线作垂线,垂足坐标为(2,1)时,则k=-2,此时存在,所以④满足.【答案】②④6.设过点P(-2,4)且倾斜角为135°的直线l与抛物线C:y2=2px(p>0)相交于A,B两点,若|PA|,|AB|,|PB|成等比数列,则抛物线C的方程为.【解析】直线l的方程为y=-x+2,联立y=-x+2和y2=2px,消去x,得y2+2py-4p=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-2p,y1y2=-4p.由P,A,B三点共线,且|PA|,|AB|,|PB|成等比数列,则|y1-4|,|y1-y2|,|y2-4|也成等比数列,得|(y1-4)(y2-4)|=|y1-y2|2≠0,则|y1y2-4(y1+y2)+16|=(y1+y2)2-4y1y2,且y1≠y2,即|p+4|=p2+4p,且Δ=(2p)2-4(-4p)=4p2+16p>0,解得p=1.所求抛物线的方程为y2=2x.【答案】y2=2x7.在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),B(0,-2),动点P(x,y)满足·-y2+8=0.(1)求动点P的轨迹方程;(2)设(1)中所求的轨迹与直线y=x+2交于C,D两点,求证:OC⊥OD(O为坐标原点).【解析】(1)由题意,可知=(-x,4-y),=(-x,-2-y),∴x2+(4-y)(-2-y)-y2+8=0,整理得x2=2y,∴动点P的轨迹方程为x2=2y.(2)由整理得x2-2x-4=0,∴x1+x2=2,x1x2=-4.∵k OC·k OD=·====-1,∴OC⊥OD.拓展提升(水平二)8.已知点M在抛物线y2=6x上,N为抛物线的准线l上的一点,F为抛物线的焦点,若=,则直线MN的斜率为().A.±B.±1C.±2D.±【解析】由题设可知点M,N,F三点共线,且点F是线段MN的中点,不妨设点M(x0,y0)(y0<0),N(t>0),F,则x0=,y0=-t.又点M(x0,y0)在抛物线上,所以=6x0,即y0=-3,所以t=3.故直线MN的斜率k=-.设y0>0,则t<0,同理可得MN的斜率k=,故选D.【答案】D9.已知点A(1,2)在抛物线C:y2=4x上,过点A作两条直线分别交抛物线于D,E两点,直线AD,AE的斜率分别为k AD,k AE,若直线DE过点P(-1,-2),则k AD·k AE=().A.4B.3C.2D.1【解析】设点D(x1,y1),E(x2,y2),则k AD=,k AE=,∴k AD·k AE=·=,①设直线DE:y+2=k(x+1),联立方程消去x,可得ky2-4y+4k-8=0.∴y1+y2=,y1y2=.∴x1+x2==,x1x2==,代入①可得k AD·k AE==2.【答案】C10.已知南北方向有条公路L,A地在公路正东2 km处,B地在A地北偏东60°方向2 km 处,河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等.现要在曲线PQ上某处建一座码头,向A,B两地运货物.经测算,从M到A,B修建公路的费用都为a万元/km,那么,修建这两条公路的总费用最低是万元.【解析】如图所示,由题意知,曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线,根据抛物线的定义,知欲求M到A,B修建公路的费用最低,只需求出B点到准线L的距离即可.∵B地在A 地北偏东60°方向2 km处,∴B点到抛物线L的距离为2·sin 60°+2=5(km),∴修建这两条公路的总费用最低为5a万元.【答案】5a11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,A,B为抛物线上两点.(1)若·=0,求证:直线AB恒过定点,并求出该定点坐标.(2)若线段AB中点的横坐标为2,且AB不与x轴垂直,求证:线段AB的垂直平分线恒过定点,并求出该定点坐标.(3)若线段AB过焦点F,AO与抛物线的准线交于点C,求证:BC∥x轴.【解析】(1)显然AB不与x轴平行,故设AB所在直线的方程为x=my+a,A(x1,y1),B(x2,y2).由得y2-4my-4a=0,∴y1+y2=4m,y1y1=-4a.∵·=x1x2+y1y2=(my1+a)(my2+a)+y1y2=(m2+1)y1y2+ma(y1+y2)+a2,代入化简得a2-4a=0,∴a=0(舍去)或a=4,∴直线AB的方程为x=my+4,直线恒过定点(4,0).(2)若AB不与x轴垂直,设AB所在直线的方程为y=kx+b,由得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,∵x1+x2==4,∴b=. ①又AB中点的坐标为(2,2k+b),∴线段AB的垂直平分线为y-(2k+b)=-(x-2).将①代入得方程为x+ky-4=0,直线恒过定点(4,0).(3)当直线AB的斜率存在时,设线段AB所在直线的方程为y=k(x-1),由得ky2-4y-4k=0,∴y1y2=-4,即y2=-.又直线AO的方程为y=x,其中=4x1,∴y=x,∴直线与准线x=-1的交点C的纵坐标y C=-.∵y C=y2,∴BC∥x轴.当直线AB⊥x轴时,显然BC∥x轴.。

四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.1

x2 a2

y2 b2 1
a b 0 或
y2 a2

x2 b2 1
a b 0
注意：
求椭圆的标准方程，要先定“位”，
即“确量定”焦，点即的求位a、置b；的其大次小是.定a、b、Fc1
满足的关系有：
(1) a2 b2 c2 ；
(2) a b 0；
(3) a c 0 .
解：设 M(x，y)，P(x0，y0)，则
x
x0 ，y
y0 2
.
∵ P(x0，y0) 在圆 x2 + y2 = 4 上，
∴ x02 + y02 = 4
将 x0 x ，y0 2 y 代入
得 x2 +4 y2 = 4 即 x2 y2 1 .
4
∴ 点M的轨迹是一个椭圆 .
y
.P .
M
y
M
o
y F1
o
F2
F2 x
M
x
（4）椭圆方程的鉴别：
形如 mx2 ny2 1的式子要表示椭圆，
当且仅当 m 0, n 0, 且 m n ;
（5）椭圆焦点位置的判断：标准方程中,谁x2, y2的分母大，则焦点在其对应的坐标轴上.
例1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
（1）a 4,b 1 ，焦点在x轴上； x2 y2 1
1 的右焦点 F2 作垂直于 x 轴的直线
AB ，交椭圆于 A, B 两点， F1 是椭圆的左焦点.
（1）求 AF1B 的周长；
（2）如果
AB
不垂直于
x
轴，
AF1 B
的周长有变化吗？为什么？

[配套K12]2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.1 椭圆教学案新人教A版

2.1 椭圆第1课时椭圆及其标准方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P32～P36的内容，回答下列问题．(1)阅读教材P32“探究”的内容，思考下列问题：①移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？提示：椭圆．②笔尖在移动的过程中，笔尖到两个定点F1和F2的距离之和是一个定值吗？提示：是．其距离之和始终等于线段的长度．(2)观察教材P33－图2.1－2.设M(x，y)，F1(－c，0)，F2(c，0)，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则M点的轨迹方程是什么？提示：．(3)观察教材P34“思考”．设M(x，y)，F1(0，－c)，F2(0，c)，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则M点的轨迹方程是什么？提示：．2．归纳总结，核心必记(1)椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程[问题思考](1)定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2;_当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)如图，你能从中找出表示a，b，c的线段吗？提示：a＝|PF2|，b＝|OP|，c＝|OF2|．(3)确定椭圆的标准方程需要知道哪些量？提示：a，b的值及焦点的位置．[课前反思](1)椭圆的定义是：；(2)椭圆的标准方程是：；特点：；(3)在椭圆的标准方程中，a，b，c之间的关系是：．讲一讲1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2是它的焦点．过F 1的直线AB 与椭圆交于A 、B 两点，求△ABF 2的周长．[尝试解答] ∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵△ABF 2的周长＝|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ， ∴△ABF 2的周长为4a .由椭圆的定义可知，点的集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }(其中|F 1F 2|＝2c )表示的轨迹有三种情况：当a >c 时，集合P 为椭圆；当a ＝c 时，集合P 为线段F 1F 2；当a <c 时，集合P 为空集．在利用椭圆的定义判断有关点的轨迹问题时一定要注意所给常数与已知两定点之间距离的大小关系．因为椭圆上的点与两个焦点构成一个三角形，所以可联系三角形两边之和大于第三边来帮助记忆．练一练1．已知命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a ，其中a 为大于0的常数；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若点P 的轨迹是椭圆，则一定有|PA |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)，当2a >|AB |时，点P 的轨迹是椭圆；当2a ＝|AB |时，点P 的轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，点P 的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上可知，甲是乙的必要不充分条件．2．已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段解析：选D 因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2.讲一讲2．(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程．[尝试解答] (1)法一：∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知 2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝210，∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.法二：设标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧254a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝10，b 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1. (2)法一：当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.与a >b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．练一练3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为2a ＝（5＋3）2＋02＋（5－3）2＋02＝10，2c ＝6，所以a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16. 所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．因为2a ＝26，2c ＝10，所以a ＝13，c ＝5. 所以b 2＝a 2－c 2＝144. 所以所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1.讲一讲3．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．[尝试解答] 由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .动圆P 与圆M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆定义可知，曲线C 是以M 、N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．练一练4．如图，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝16及点A (1，0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，求点M 的轨迹方程．解：由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |，∴|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |. ∴|CM |＋|MA |＝4.又|AC |＝2， ∴M 点的轨迹为椭圆．由椭圆的定义知，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴所求轨迹方程为x 24＋y 23＝1.讲一讲4．如图所示，P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思考点拨] 由余弦定理结合椭圆的定义求出|PF 1|，再代入三角形的面积公式求解． [尝试解答] 由已知a ＝2，b ＝3，得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|， ① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|. ② ②代入①解得|PF 1|＝65.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335.即△PF 1F 2的面积是335.对于椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2构成的△F 1PF 2，求其三角形的面积时注意整体思想的应用，如已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出|PF 1|和|PF 2|，这样可以减少运算量．练一练5．将本讲中“∠PF 1F 2＝120°”改为“∠F 1PF 2＝60°”，求△PF 1F 2的面积．解：由已知a ＝2，b ＝3，得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. ∴|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos 60°，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°. ∴4＝16－3|PF 1||PF 2|. ∴|PF 1||PF 2|＝4.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin 60°＝12×4×32＝ 3. ——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是椭圆的定义、标准方程的求法，以及与椭圆焦点有关的三角形问题． 2．对椭圆定义的理解易忽视“2a >2c ”这一条件，是本节课的易错点．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在． 3．本节课要重点掌握的规律方法 (1)椭圆标准方程的求法，见讲2. (2)与椭圆有关的轨迹问题的求法，见讲3. (3)与椭圆焦点有关的三角形问题，见讲4.课时达标训练（六） [即时达标对点练]题组1 椭圆的标准方程 1．已知方程x 2k －4＋y 210－k＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(4，10)B ．(7，10)C ．(4，7)D ．(4，＋∞)解析：选B 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k －4>0，10－k >0，k －4>10－k ，解得7<k <10.2．已知椭圆 x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1解析：选D 由题意知，椭圆焦点在x 轴上，且c ＝2，∴a 2＝2＋4＝6，因此椭圆方程为x 26＋y 22＝1，故选D.3．椭圆9x 2＋16y 2＝144的焦点坐标为________．解析：椭圆的标准方程为x 216＋y 29＝1，∴a 2＝16，b 2＝9，c 2＝7，且焦点在x 轴上， ∴焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．答案：(－7，0)，(7，0)4．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________．解析：∵c ＝23，a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝3b 2＝c 2＝12，b 2＝4，a 2＝16.又∵焦点在y 轴上，∴标准方程为y 216＋x 24＝1.答案：y 216＋x 24＝1题组2 与椭圆有关的轨迹问题5．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P ′，则PP ′的中点M 的轨迹方程是( )A ．4x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 214＝1C.x 24＋y 2＝1 D ．x 2＋y 24＝1 解析：选A 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 02，y ＝y 0.∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 20＋y 20＝1. ①将x 0＝2x ，y 0＝y 代入方程①，得4x 2＋y 2＝1.6．已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解：以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4，0)，C (4，0)．由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，c ＝4.但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．题组3 椭圆的定义及焦点三角形问题7．椭圆的两焦点为F 1(－4，0)、F 2(4，0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3，又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝18．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4，0)和C (4，0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上．则sin A ＋sin Csin B＝________．解析：由椭圆方程x 225＋y 29＝1知，a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，即点A (－4，0)和C (4，0)是椭圆的焦点．又点B 在椭圆上，∴|BA |＋|BC |＝2a ＝10，且|AC |＝8.于是，在△ABC 中，由正弦定理，得sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝54.答案：549．已知椭圆的焦点在x 轴上，且焦距为4，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若△PF 1F 2的面积为23，求点P 坐标．解：(1)由题意知，2c ＝4，c ＝2， |PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝8，即2a ＝8，∴a ＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设点P 坐标为(x 0，y 0)，依题意知，12|F 1F 2||y 0|＝23，∴|y 0|＝3，y 0＝± 3.代入椭圆方程x 2016＋y 2012＝1，得x 0＝±23，∴点P 坐标为(23，3)或(23，－3)或(－23，3)或(－23，－3)．[能力提升综合练]1．设定点F 1(0，－3)，F 2(0，3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段解析：选D ∵a ＋9a≥2a ·9a＝6，当且仅当a ＝9a，即a ＝3时取等号，∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0，且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是椭圆．2．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作x 轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P ，则△PF 1F 2的面积等于( )A.32B. 3C.72 D ．4解析：选A 如图所示，由定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，c ＝a 2－b 2＝3，又由PF 1⊥F 1F 2，可设点P 的坐标为(－3，y 0)，代入x 24＋y 2＝1，得|y 0|＝12，即|PF 1|＝12，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|＝32. 3．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或 x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或 x 245＋y 248＝1 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3. ∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.4．设F 1，F 2是椭圆C ：x 28＋y 24＝1的焦点，在曲线C 上满足的点P 的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4 解析：选B ∵，∴PF 1⊥PF 2.∴点P 为以线段F 1F 2为直径的圆与椭圆的交点，且此圆的半径为c ＝8－4＝2. ∵b ＝2，∴点P 为该椭圆y 轴的两个端点．5．F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．解析：∵|OF 2|＝c ，∴由已知得3c24＝3，∴c 2＝4，c ＝2.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由△POF 2为正三角形， ∴|x 0|＝1，|y 0|＝3，代入椭圆方程得1a 2＋3b2＝1.∵a 2＝b 2＋4，∴b 2＋3(b 2＋4)＝b 2(b 2＋4)，即b 4＝12，∴b 2＝2 3. 答案：2 36．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于________．解析：如图，设椭圆的右焦点为F 2，则由|MF 1|＋|MF 2|＝10，知|MF 2|＝10－2＝8.又因为点O 为F 1F 2的中点，点N 为MF 1的中点，所以|ON |＝12|MF 2|＝4.答案：47．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)． ∵F 1A ⊥F 2A ，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. 即F 1(－5，0)，F 2(5，0)．则2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. 故所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.8．已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)当∠F 1PF 2＝60°时，求△F 1PF 2的面积； (2)当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．解：(1)由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4且F 1(－3，0)，F 2(3，0)．①在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°.② 由①②得|PF 1|·|PF 2|＝43.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝33.(2)设点P (x ，y )，由已知∠F 1PF 2为钝角，得即(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )<0.又y 2＝1－x 24，所以34x 2<2，解得－263<x <263.所以点P 横坐标的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263.第2课时椭圆的简单几何性质[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 37～P 40“探究”的内容，回答下列问题．观察教材P 38－图2.1－7，思考以下问题：(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中x ，y 的取值范围各是什么？提示：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ．(2)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的对称轴和对称中心各是什么？提示：对称轴为x 轴和y 轴，对称中心为坐标原点(0，0)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与坐标轴的交点坐标是什么？提示：与x 轴的交点坐标为(±a ，0)，与y 轴的交点坐标为(0，±b )． (4)椭圆的长轴和短轴分别对应图中的哪些线段？提示：长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2.(5)椭圆的离心率是什么？用什么符号表示？其取值范围是什么？提示：离心率e ＝c a；0<e <1.(6)如果保持椭圆的长半轴长a 不变，改变椭圆的短半轴长b 的值，你发现b 的变化与椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：b 越大，椭圆越圆；b 越小，椭圆越扁． (7)根据离心率的定义及椭圆中a ，b ，c 的关系可知，e ＝c a ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以e 越接近于1，则c 越接近于a ，从而b ＝a 2－c 2就越小；e 越接近于0，则c 越接近于0，从而b 越接近于a .那么e 的大小与椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆． 2．归纳总结，核心必记椭圆的简单几何性质续表[问题思考](1)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？提示：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远． (2)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值各是何值？提示：点(a ，0)，(－a ，0)与焦点F 1(－c ，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F 1的最大距离和最小距离，分别为a ＋c 和a －c ．(3)如何用a ，b 表示离心率？提示：由e ＝c a 得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2，∴e ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. ∴e ＝1－b 2a2. [课前反思](1)椭圆的几何性质：；(2)椭圆的离心率与椭圆的扁圆程度的关系是：．讲一讲1．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． [尝试解答] 将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6，2c ＝25，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3，0)，A 2(3，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，离心率e ＝c a ＝53.解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．练一练1．求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解：椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)，可转化为x 21m 2＋y 214m 2＝1.∵m 2<4m 2， ∴1m 2>14m2， ∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝32m .∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32m ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ，0，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎪⎫0，－12m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12m .离心率e ＝ca ＝32m1m＝32.讲一讲2．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5，0)； (2)离心率e ＝35，焦距为12.[尝试解答] (1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.(2)由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝64.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1.(1)根据椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．(2)在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定其所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长、焦距时，则不能确定焦点的位置，这时应对两种情况分别求解并进行取舍．练一练2．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A (2，3)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解：(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设标准方程为x 24b 2＋y 2b2＝1(b >0)，∵椭圆过点A (2，3)，∴1b 2＋9b2＝1，b 2＝10.∴方程为x 240＋y 210＝1.若椭圆的焦点在y 轴上．设椭圆方程为y 24b 2＋x 2b2＝1(b >0)，∵椭圆过点A (2，3)，∴94b 2＋4b 2＝1，b 2＝254. ∴方程为y 225＋4x225＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 240＋y 210＝1或y 225＋4x225＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.讲一讲3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e .[尝试解答] 由A (－a ，0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝b a，故AB 所在的直线方程为y －b ＝b ax ，即bx －ay ＋ab ＝0. 又F 1(－c ，0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2.又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，即8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－14c a ＋5＝0.∴8e 2－14e ＋5＝0.解得e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c ，可直接利用e ＝c a求解．若已知a ，b 或b ，c ，可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝c a求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．练一练3．如图，已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的一点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．解：由已知可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则由题意可知P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵△PF 1O ∽△BOA ， ∴PF 1BO ＝F 1OOA. ∴b 2a b ＝ca，即b ＝c ， ∴a 2＝2c 2， ∴e ＝c a ＝22.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是椭圆的几何性质及椭圆离心率的求法，难点是求椭圆的离心率． 2．由椭圆的几何性质求标准方程时易忽视椭圆的焦点位置，这也是本节课的易错点． 3．本节课要重点掌握的规律方法(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式，见讲1. (2)根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法，见讲2.(3)求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用，见讲3.课时达标训练（七） [即时达标对点练]题组1 由椭圆的标准方程研究几何性质1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( ) A ．5、3、0.8 B ．10、6、0.8 C ．5、3、0.6 D ．10、6、0.6解析：选B 把椭圆的方程写成标准方程为x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴2a ＝10，2b ＝6，c a＝0.8.2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知，其焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69.3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( )A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25 D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9.题组2 由椭圆的几何性质求标准方程4．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 解析：选A 因为2a ＝18，2c ＝13×2a ＝6，所以a ＝9，c ＝3，b 2＝81－9＝72.5．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8解析：选D 由题意得m －2>10－m 且10－m >0，于是6<m <10，再由(m －2)－(10－m )＝22，得m ＝8.6．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，两个焦点分别为F 1和F 2，椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离之和为12.则椭圆G 的方程为_______________________．解析：依题意可设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，a >b >0，半焦距为c ， ∵椭圆G 的离心为率为32， ∴c a ＝32⇒c ＝32a . ∵椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离之和为12， ∴2a ＝12⇒a ＝6.∴c ＝33，b ＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝1题组3 椭圆的离心率7．椭圆x 2＋4y 2＝4的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23解析：选A 化为标准方程为x 24＋y 2＝1，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，∴e ＝c a ＝32.8．椭圆的短半轴长为3，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为( ) A.513 B.35 C.45 D.1213解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a －c ＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＋c ＝9.当a －c ＝9时，由b 2＝9得a 2－c 2＝9＝(a －c )(a ＋c )，a ＋c ＝1，则a ＝5，c ＝－4(不合题意)．当a ＋c ＝9时，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝4，故e ＝45.9．A 为y 轴上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，△AF 1F 2为正三角形，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．解：如图，连接BF 2.∵△AF 1F 2为正三角形，且B 为线段AF 1的中点， ∴F 2B ⊥AF 1.又∵∠BF 2F 1＝30°，|F 1F 2|＝2c ， ∴|BF 1|＝c ，|BF 2|＝3c ，根据椭圆定义得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，即c ＋3c ＝2a ， ∴ca＝3－1.∴椭圆的离心率e 为3－1.[能力提升综合练]1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 解析：选A 由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14.2．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.52B.33 C.12 D.13解析：选B 记|F 1F 2|＝2c ，则由题设条件，知|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33.3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若，则椭圆的离心率是( )A.32 B.22 C.13D.12解析：选D又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即aa ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12. 4．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝15．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5，4)，则椭圆的方程为________．解析：∵e ＝c a ＝55， ∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a2＝1(a >0)，∵椭圆过点P (－5，4)，∴25a 2＋5×164a2＝1. 解得a 2＝45.∴椭圆方程为x 245＋y 236＝1. 答案：x 245＋y 236＝16．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为，所以MF 1⊥MF 2，所以点M 的轨迹是以O 为圆心，c 为半径的圆．因为点M 总在椭圆内部，所以c <b ，所以c 2<b 2＝a 2－c 2，所以2c 2<a 2，所以e 2<12，所以0<e <22.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 7．中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，432，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，2两点，求椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).将点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，432，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，2代入上式，得 ⎩⎪⎨⎪⎧12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4322b2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3222a 2＋（2）2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝4.此时椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．将点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，432，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，2代入上式得 ⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫4322a 2＋12b2＝1，（2）2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3222b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝9.因为a >b >0，所以舍去，所以椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.8．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，由m >0，易知m >mm ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3. ∴c ＝a 2－b 2＝ m （m ＋2）m ＋3.由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，顶点坐标分别为A 1(－1，0)，A 2(1，0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.第3课时直线与椭圆的位置关系(习题课)[思考1] 判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？名师指津：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径的大小关系判断，d＝r⇔相切；d>r⇔相离；d<r⇔相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，利用方程组解的个数判断．[思考2] 能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系？名师指津：不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系．[思考3] 已知直线l和椭圆C的方程，如何判断直线与椭圆的位置关系？名师指津：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．讲一讲1．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.问m为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离．[尝试解答] 将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，消去y整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0.Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2.当Δ＝0时，得m＝±52，直线与椭圆相切；当Δ>0时，得－52<m<52，直线与椭圆相交；当Δ<0时，得m<－52或m>52，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系的方法练一练1．若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆 x 25＋y 2m ＝1总有公共点，求m 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y 2m＝1，消去y ，整理得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0，所以Δ＝100k 2－20(m ＋5k 2)(1－m )＝20m (5k 2＋m －1)，因为直线与椭圆总有公共点，所以Δ≥0对任意k ∈R 都成立，因为m >0，所以5k 2≥1－m 恒成立，所以1－m ≤0，即m ≥1.又因为椭圆的焦点在x 轴上，所以0<m <5，综上，1≤m <5，即m 的取值范围是[1，5)．[思考1] 若直线l 与圆C 相交于点A ，B ，如何求弦长|AB |?名师指津：(1)利用r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22求解；(2)利用两点间的距离公式求解；(3)利用弦长[思考2] 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如何求|AB |的值？讲一讲2．已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4，2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．[尝试解答] (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋14（x 1－x 2）2＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k （x －4），消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4，2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9（x 2＋x 1）36（y 2＋y 1），由于P (4，2)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.(1)弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2，所以|AB |＝（x 1－x 2）2＋（kx 1－kx 2）2＝1＋k 2·（x 1－x 2）2 ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2，或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y 1－1k y 22＋（y 1－y 2）2＝1＋1k 2·（y 1－y 2）2＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，①x 22a 2＋y 22b 2＝1，②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB＝－b 2x 0a 2y 0.练一练2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，－172解析：选C 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0.设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)， ∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13.∴所求中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13.3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P ，Q ，且|PQ |＝10，求椭圆方程．解：∵e ＝32，∴b 2＝14a 2.∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2. 与x ＋2y ＋8＝0联立消去y ，得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0，由Δ>0得a 2>32，由弦长公式得10＝54×[64－2(64－a 2)]．∴a 2＝36，b 2＝9.∴椭圆方程为x 236＋y 29＝1.讲一讲3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e ＝63.(1)若2a2c＝32，求椭圆方程；(2)直线l 过点C (－1，0)交椭圆于A 、B 两点，且满足：，试求△OAB 面积的最大值．[尝试解答] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，2a 2c ＝32，解得a ＝3，c ＝ 2.所以a 2＝3，b 2＝1，所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)由e ＝c a ＝63，及a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝3b 2，可设椭圆的方程为x 23b 2＋y 2b2＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),由题意知直线l 的斜率存在，则设l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 23b 2＋y 2b2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－3b 2＝0，且Δ＝12(3b 2－1)k 2＋12b 2，因为直线l 交椭圆于A 、B 两点，且，所以点C 在椭圆内部，所以a >1，所以3b 2>1，所以Δ>0.所以x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1.因为，所以(x 1＋1，y 1)＝3(－1－x 2，－y 2)，所以x 1＝－4－3x 2，所以x 2＋1＝－13k 2＋1，所以|x 1－x 2|＝43k 2＋1.又O 到直线l 的距离为d ＝|k |1＋k2，所以S △ABO ＝12|AB |d ＝121＋k 2|x 1－x 2|·d。

【配套K12】高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程课堂探究

2.2.1 双曲线及其标准方程课堂探究探究一双曲线的定义及应用若F 1，F 2分别表示双曲线的左、右焦点，点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在双曲线的右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在双曲线的左支上，反之亦成立．如果遇到动点到两定点的距离之差的问题，应联想到利用双曲线的定义来解，但要注意x 的范围．【典型例题1】已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积．思路分析：利用双曲线的定义，结合勾股定理来求解．解：由x 29－y 216＝1，知a ＝3，b ＝4，所以c ＝5.由双曲线定义及勾股定理，得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝102＝100，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝100－2|PF 1|²|PF 2|，所以|PF 1|²|PF 2|＝32.所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|²|PF 2|＝16. 探究二求双曲线的标准方程解决求双曲线的标准方程问题，主要关注三个问题：(1)注意焦点的位置，以确定双曲线标准方程的类型；(2)求方程的关键是确定a 2，b 2的值；(3)充分利用a 2＋b 2＝c 2.【典型例题2】根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)以椭圆x 28＋y 25＝1的焦点为顶点，顶点为焦点； (2)焦距为26，经过点(－5,2)，且焦点在x 轴上；(3)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)； (4)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5且焦点在坐标轴上．思路分析：先根据条件确定焦点的位置再设出方程，确定参数的值．解：(1)依题意，双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝3，c ＝22，所以b 2＝c 2－a 2＝5. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.(2)因为焦点在x 轴上，且c ＝6，所以设方程为x 2a 2－y 26－a 2＝1. 又因为过点(－5,2)，所以25a 2－46－a 2＝1. 解得a 2＝5或a 2＝30(舍去)．所以方程为x 25－y 2＝1. (3)设所求双曲线方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4＜λ＜16)．因为双曲线过点(32，2)，所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．所以所求双曲线方程为x 212－y 28＝1. (4)设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn ＜0)．因为P ，Q 两点在双曲线上，所以⎩⎨⎧ 9m ＋22516n ＝1， 2569m ＋25n ＝1，解得{ m ＝－16， n ＝9.所以所求双曲线方程为y 29－x 216＝1. 点评：在(3)中，运用了与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点的双曲线系方程x 216－λ－y 24＋λ＝1后，便可迅速求解．(4)中，焦点位置无法判断，可把双曲线方程设为x 2A ＋y 2B＝1(AB ＜0)或设为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，可避免分类讨论．探究三易错辨析易错点忽略双曲线方程中含有的字母的符号【典型例题3】已知双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，求k 的值．错解：将双曲线方程化为标准方程为x 21k －y 28k＝1. 由题意知焦点在y 轴上，所以a 2＝8k ，b 2＝1k，所以c ＝a 2－b 2＝8k －1k ＝3，即7k＝9，所以k ＝79. 错因分析：上述解法有两处错误：一是a 2，b 2确定错误，应该是a 2＝－8k ，b 2＝－1k；二是a ，b ，c 的关系式用错了，在双曲线中应为c 2＝a 2＋b 2.正解：将双曲线方程化为kx 2－k 8y 2＝1，即x 21k －y 28k＝1. 因为一个焦点是(0,3)，所以焦点在y 轴上，所以c ＝3，a 2＝－8k ，b 2＝－1k，所以a 2＋b 2＝－8k －1k＝c 2＝9，所以k ＝－1.。

【配套K12】[学习]四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程第6课时双曲线及其标准方程同步

第6课时双曲线及其标准方程基础达标(水平一 )1.已知双曲线-=1上的点P到(5,0)的距离为15,则点P到点(-5,0)的距离为().A.7B.23C.5或25D.7或23【解析】设点F1(-5,0),F2(5,0),则由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=8,而|PF2|=15,解得|PF1|=7或23.【解析】D2.已知双曲线-=1上一点P到点F(3,0)的距离为 6,O为坐标原点,=(+),则||=().A.1B.5C.2 或 5D.1 或 5【解析】设双曲线的另一个焦点为F1,则由双曲线的定义知||PF1|-|PF||=4,所以|PF1|=2或10.因为=(+),所以Q为PF的中点.又因为O为F1F的中点,所以||=||=1或5,故选D.【答案】D3.设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于().A.4B.8C.24D.48【解析】由3|PF1|=4|PF2|知,|PF1|>|PF2|.由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=8,|PF2|=6.又∵c2=a2+b2=25,∴c=5,∴|F1F2|=10,∴△PF1F2为直角三角形,∴=|PF1|·|PF2|=×8×6=24.【答案】C4.设P是双曲线-=1右支上的一点,M和N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|—|PN|的最大值为().A.6B.7C.8D.9【解析】设F1,F2分别为双曲线的左,右焦点,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=6,由数形结合可知,|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,∴(|PM|-|PN|)max=|PM|max-|PN|min=6+3=9.【答案】D5.已知点P(2,-3)是双曲线-=1(a>0,b>0)上的一点,双曲线两个焦点间的距离等于4,则该双曲线方程是.【解析】由题意知c=2,设该双曲线方程是-=1,把点P(2,-3)代入,得-=1,解得a2=1或a2=16(舍去).所以该双曲线方程为x2-=1.【答案】x2-=16.已知双曲线C的中心为坐标原点,点F(2,0)是双曲线C的一个焦点,过点F作渐近线的垂线l,垂足为M,直线l交y轴于点E,若|FM|=3|ME|,则双曲线C的方程为.【解析】设双曲线C的方程为-=1,由已知得|FM|=b,所以|OE|=,所以=,因为a2=4-b2,所以b2=3,a2=1,所以双曲线C的方程为x2-=1.【答案】x2-=17.已知B(-5,0),C(5,0)是△ABC的两个顶点,且sin B-sin C=sin A,求顶点A的轨迹方程.【解析】由正弦定理得|AC|-|AB|=|BC|=×10=6.又|AC|>|AB|,6<|BC|,则点A的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的左支(除去左顶点).由2a=6,2c=10,得a=3,c=5,b2=c2-a2=16,故顶点A的轨迹方程为-=1(x<-3).拓展提升(水平二)8.椭圆+=1与双曲线y2-=1有公共点P,则点P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为().A.48B.24C.24D.12【解析】由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0,-5),又由椭圆与双曲线的定义可得解得或又|F1F2|=10,所以△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°.所以△PF1F2的面积S=|PF1||PF2|=×6×8=24.【答案】B9.已知方程+=1表示的曲线为C.给出以下四个判断:①当1<t<4时,曲线C表示椭圆;②当t>4或t<1时,曲线C表示双曲线;③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1<t<;④若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则t>4.其中判断正确的是.(只填正确命题的序号)【解析】①错误,当t=时,曲线C表示圆;②正确,若C为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,∴t<1或t>4;③正确,若C为焦点在x轴上的椭圆,则4-t>t-1>0,∴1<t<;④正确,若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则∴t>4.【答案】②③④10.已知双曲线-=1的左焦点为F,点P为双曲线右支上一点,且PF与圆x2+y2=16相切于点N,M为线段PF的中点,O为坐标原点,则|MN|-|MO|= .【解析】设F'是双曲线的右焦点,连接PF'(图略).因为M,O分别是FP,FF'的中点,所以|MO|=|PF'|,所以|FN|==5.由双曲线的定义知|PF|-|PF'|=8,所以|MN|-|MO|=|MF|-|FN|-|PF'|=(|PF|-|PF'|)-|FN|=×8-5=-1.【答案】-111.当0°≤α≤180°时,方程x2cos α+y2sin α=1表示的曲线如何变化?【解析】当α=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=±1.当0°<α<90°时,方程为+=1.①当0°<α<45°时,0<<,它表示焦点在y轴上的椭圆;②当α=45°时,它表示圆x2+y2=;③当45°<α<90°时, >>0,它表示焦点在x轴上的椭圆.当α=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=±1.当90°<α<180°时,方程为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.当α=180°时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.。

【配套K12】[学习]2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.1 抛物

2.3.1 抛物线及其标准方程学习目标：1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)[自主预习·探新知]1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？[提示]点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．2．抛物线的标准方程(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？[提示](1)p的几何意义是焦点到准线的距离．(2)根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．[基础自测]1．思考辨析(1)并非所有二次函数的图象都是抛物线．()(2)抛物线是双曲线的一支．( )(3)抛物线的标准方程有四种不同的形式，它们的共同点为“顶点在原点，焦点在坐标轴上．”( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)D ．(－4,0)B [抛物线y 2＝－8x 的焦点在x 轴的负半轴上，且p2＝2，因此焦点坐标是(－2,0)．]3．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8C [由y 2＝8x 得p ＝4，即焦点到准线的距离为4.] 4．抛物线x ＝4y 2的准线方程是( )【导学号：97792096】A ．y ＝12B ．y ＝－1C ．x ＝－116D ．x ＝18C [由x ＝4y 2得y 2＝14x ，故准线方程为x ＝－116.][合作探究·攻重难](1)准线方程为y ＝23；(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5； (3)经过点(－3，－1)；(4)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点． [思路探究] (1)(2)由题意可确定方程形式→求出p →写出抛物线的标准方程(3)设出抛物线的标准方程→代入点的坐标求参数 →写出抛物线的标准方程(4)写出焦点坐标→分情况讨论焦点的位置→写出抛物线的标准方程[解] (1)因为抛物线的准线交y 轴于正半轴，且p 2＝23，则p ＝43，所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .(2)已知抛物线的焦点在y 轴上，可设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y .(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)．若抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则由(－1)2＝－2p ×(－3)，解得p ＝16；若抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，则由(－3)2＝－2p ×(－1)，解得p ＝92.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－13x 或x 2＝－9y .(4)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4， ∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . ．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题把握开口方向与方程间的对应关系．当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，这样可以减少讨论情况1．根据下列条件确定抛物线的标准方程．(1)关于y 轴对称且过点(－1，－3)； (2)过点(4，－8)； (3)焦点在x －2y －4＝0上．[解] (1)法一：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，将点(－1，－3)代入方程，得(－1)2＝－2p ·(－3)，解得p ＝16，所以所求抛物线方程为x 2＝－13y .法二：由已知，抛物线的焦点在y 轴上，因此设抛物线的方程为x 2＝my (m ≠0)．又抛物线过点(－1，－3)，所以1＝m ·(－3)，即m ＝－13，所以所求抛物线方程为x 2＝－13y .(2)法一：设所求抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2p ′y (p ′＞0)，将点(4，－8)代入y 2＝2px ，得p ＝8；将点(4，－8)代入x 2＝－2p ′y ，得p ′＝1.所以所求抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－2y .法二：当焦点在x 轴上时，设抛物线的方程为y 2＝nx (n ≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以64＝4n ，即n ＝16，抛物线的方程为y 2＝16x ；当焦点在y 轴上时，设抛物线的方程为x 2＝my (m ≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m ，即m ＝－2，抛物线的方程为x 2＝－2y .综上，抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－2y .(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x －2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＝4.所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．当焦点为(0，－2)时，由p2＝2，得p ＝4，所以所求抛物线方程为x 2＝－8y ；当焦点为(4,0)时，由p2＝4，得p ＝8，所以所求抛物线方程为y 2＝16x .综上所述，所求抛物线方程为x 2＝－8y 或y 2＝16x .的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，对于定点A (4,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标.【导学号：97792097】(3)已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[思路探究] (1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m 和准线方程． (2)利用抛物线的定义，把|PF |转化为到准线的距离． (3)利用|MC |的长度比点M 到直线y ＝2的距离大1求解．[解] (1)设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由p2＋3＝5得p ＝4，因此抛物线方程为x 2＝－8y ，其准线方程为y ＝2，由m 2＝24得m ＝±2 6.(2)如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ，则|PA |＋|PF | ＝|PA |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴(|PA |＋|PF |)min ＝|AB | ＝4＋1＝5.此时y P ＝2，代入抛物线得x P ＝1， ∴P (1,2)．(3)设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，则由题意可得M 到圆心C (0，－3)的距离与直线y ＝3的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y .2．(1)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3 C. 5D.92A [由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得， ∴点P 到准线x ＝－12的距离d ＝|PF |，易知点A (0,2)在抛物线y 2＝2x 的外部，连接AF ，交y 2＝2x 于点P ′，欲使所求距离之和最小，只需A ，P ′，F 共线， ∴其最小值为|AF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋－2＝172.] (2)若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.求点M 的轨迹方程．[解] 由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p ＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0).已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？提示：以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标轴建系．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高34米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？[思路探究] 建系→设方程→解方程→求出相关量→解决问题[解] 如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝85，∴抛物线方程为x 2＝－165y .∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船露出水面上部分为34米，设水面与抛物线拱顶相距为h ，则h＝|y A |＋34＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．3．如图231是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水面下降0.42米后，则水面宽为( )图231A ．2.2米B ．4.4米C ．2.4米D ．4米B [如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝my ，将A (2，－2)代入x 2＝my ，得m ＝－2∴x 2＝－2y ，代入B (x 0，－2.42)得x 0＝2.2，故水面宽为4.4 m ，故选B.][当堂达标·固双基]1．准线方程为y ＝23的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝83yB ．x 2＝－83yC ．y 2＝－83xD ．y 2＝83xB [由准线方程为y ＝23知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且p 2＝23，则p ＝43.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .]2．抛物线y ＝14x 2的焦点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116B.⎝⎛⎭⎪⎫116，0C ．(0,1)D ．(1,0)C [抛物线的标准方程为x 2＝4y ，从而焦点坐标为(0,1)．]3．抛物线y 2＝24ax (a >0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝12x C ．y 2＝16xD ．y 2＝20xA [由题意知6a ＋3＝5，解得a ＝13，因此抛物线方程为y 2＝8x .]4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 1，若点A (2，－4)在抛物线上，则点A 到焦点的距离为________.【导学号：97792098】4 [把点(2，－4)代入抛物线y 2＝2px ，得16＝4p ，即p ＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A 到焦点的距离为4.]5．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M 的坐标．[解] 由抛物线方程y 2＝－2px (p ＞0)，得其焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，准线方程为x ＝p 2.设点M 到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10，得p ＝2，故抛物线方程为y2＝－4x .由点M (－9，y )在抛物线上，得y ＝±6，故点M 的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．。

【配套K12】[学习]2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.2 抛物

2.4.2 抛物线的简单几何性质学习目标：1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)[自主预习·探新知]1．抛物线的几何性质直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝x 1＋x 2＋p .3．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．[基础自测]1．思考辨析(1)抛物线关于顶点对称．( )(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( ) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．4B [|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]3．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.【导学号：46342111】2 [F (1,0)，由抛物线定义得A 点横坐标为1. ∴AF ⊥x 轴，∴|BF |＝|AF |＝2.][合作探究·攻重难]弦长等于23，则抛物线的方程为________．(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，求抛物线的标准方程．[解] (1)根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，3)或(－1，3)，设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)则2p ＝3，从而抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x . [答案] y 2＝3x 或y 2＝－3x(2)由已知得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba＝3，即渐近线方程为y ＝±3x . 而抛物线准线方程为x ＝－p2，于是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，3p 2，从而△AOB 的面积为12·3p ·p2＝3，可得p ＝2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y 2＝4x .1．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x C [设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32，12(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ，解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x .故选C ．]方程为________．(2)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.①求该抛物线的方程；②O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．[思路探究] (1)法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，用点差法求k AB ；法二：设直线AB 的方程，建立方程求解．(2)①设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求解． ②根据(1)求出点A 、B 的坐标，设出点C 的坐标，由OC →＝OA →＋λOB →，可用λ表示点C 的坐标，最后根据点C 在抛物线上求出λ值．[解] (1)法一：设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k ＝4. ∴所求弦AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.法二：设弦AB 所在直线的方程为y ＝k (x －4)＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －4)＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A ，B 两点的纵坐标，由根与系数得y 1＋y 2＝8k.又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0.(2)①直线AB 的方程是y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .②由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)；设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[跟踪训练]2．(1)已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．y 2＝4x [设抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②，②－①整理得y 2－y 1x 2－x 1＝2py 1＋y 2又y 2－y 1x 2－x 1＝1，y 1＋y 2＝4，所以2p ＝4. 因此抛物线C 的方程为y 2＝4x .](2)直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，求直线l 的方程.【导学号：46342112】[解] 因为抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，若直线l 与x 轴垂直，则直线l 的方程为x ＝1，此时|AB |＝4，不合题意，所以可设所求直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.又AB 过焦点，由抛物线的定义可知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k2＋2＝8，所以2k 2＋4k2＝6，解得k ＝±1.所以所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.A ．直线与抛物线有一个公共点B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点D ．直线与抛物线可能没有公共点(2)已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？[思路探究] (1)直线y ＝kx －k 过定点(1,0)，根据定点与抛物线的位置关系判断． (2)直线与抛物线方程联立，根据“Δ”的正负判断．[解析] (1)直线方程可化为y ＝k (x －1)，因此直线恒过定点(1,0)，点(1,0)在抛物线y 2＝2px (p >0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点，故选C ．[答案] C(2)由题意，直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2) 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x(*)可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0①. Ⅰ：当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. Ⅱ：当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1)．a ．由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，所以方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l 与抛物线只有一个公共点．b ．由Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，于是，当－1<k <12，且k ≠0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两个解，这时直线l 与抛物线有两个公共点．c ．由Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k <－1或k >12.于是k <－1或k >12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线l 与抛物线无公共点．综上，当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点．当－1<k <12，且k ≠0时直线l 与抛物线有两个公共点．当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线无公共点．3．若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax (a ≠0)恰好有一个公共点，试求实数a 的取值集合．[解] 因为直线l 与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1，y 2＝ax 只有一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，即(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0， ①(1)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程．令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－45.所以原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45.[1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？提示：两条直线的斜率互为相反数．2．如何求抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的最小值？提示：法一：设A (t ，－t 2)为抛物线上的点，则点A 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4t －3t 2－8|5＝|3t 2－4t ＋8|5＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232－43＋8＝153t －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43.∴当t ＝23时，d 有最小值43.法二：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0， ∴Δ＝16＋12m ＝0，∴m ＝－43.∴最小距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43.如图245所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．图245(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB 的斜率为定值.【导学号：46342113】[思路探究] 第(1)问可以利用待定系数法解决；第(2)问关键是如何将PA 与PB 两条直线的倾斜角互补与直线AB 的斜率联系起来．[解] (1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由点P (1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)证明：因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1. 母题探究：1.(变条件)若本例题改为：如图246，已知直线l ：y ＝2x －4交抛物线y2＝4x 于A ，B 两点，试在抛物线AOB 这段曲线上求一点P ，使△PAB 的面积最大，并求出这个最大面积．如何求解？图246[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.由图可知，A (4,4)，B (1，－2)，则|AB |＝3 5.设P (x 0，y 0)为抛物线AOB 这段曲线上一点，d 为点P 到直线AB 的距离，则 d ＝|2x 0－y 0－4|5＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0－4＝125|(y 0－1)2－9|.∵－2<y 0<4，∴(y 0－1)2－9<0. ∴d ＝125[9－(y 0－1)2]．从而当y 0＝1时，d max ＝925，S max ＝12×925×35＝274.故当点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1时，△PAB 的面积取得最大值，最大值为274.2．(变条件)若本例改为：在平面直角坐标系xOy 中，设点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)记Q 的轨迹为曲线E ，过点F 作两条互相垂直的直线交曲线E 的弦为AB ，CD ，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 过定点(3,0)．如何求解？[解] (1)因为点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，所以点R 是线段FP 的中点，由此及RQ ⊥FP 知，RQ 是线段FP 的垂直平分线．因为|PQ |是点Q 到直线l 的距离，而|PQ |＝|QF |，所以动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x (x >0)．(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，直线AB ：x ＝my ＋1(m ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4＝0.于是，有y M ＝y 1＋y 22＝2m ，x M ＝m ·y M ＋1＝2m 2＋1，即M (2m 2＋1,2m )．同理，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋1，－2m .因此，直线MN 的斜率k MN ＝2m ＋2m (2m 2＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋1＝m m 2－1，方程为y －2m ＝mm 2－1(x －2m 2－1)，即mx ＋(1－m 2)y －3m ＝0.显然，不论m 为何值，(3,0)均满足方程，所以直线MN 过定点(3,0)．[当堂达标·固双基]1．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝±3y B ．y 2＝±6x C ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6yC [由题意知抛物线方程为x 2＝±2py ，且p2＝3，即p ＝6，因此抛物线方程为x 2＝±12y .]2．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14精品K12教育教学资料精品K12教育教学资料 C ．16 D ．18A [线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.] 3．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是________． 158[设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14， ∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∴y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158.] 4．若直线x －y ＝2与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是________.【导学号：46342114】(4,2) [由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝2y 2＝4x 得x 2－8x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝x 1＋x 2－4＝4，故线段AB 的中点坐标为(4,2)．]5．设直线y ＝2x ＋b 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为35，求b 的值．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋b ，y 2＝4x ，消去y ，得4x 2＋4(b －1)x ＋b 2＝0.由Δ＞0，得b ＜12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24. ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1－2b .∴|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝5·1－2b＝35，∴1－2b ＝9，即b ＝－4.。

【配套K12】[学习]2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程学案新人教A

2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程学习目标：1.了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系.2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程．(难点)[自主预习·探新知]1．曲线的方程与方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．思考：(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明．(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？[提示](1)会出现曲线上的点的坐标不满足方程的情况，如方程y＝1－x2表示的曲线是半圆，而非整圆．(2)充要条件是f(x0，y0)＝0.2．求曲线方程的步骤[基础自测]1．思考辨析(1)若点P的坐标是方程f(x，y)＝0的解，则点P在方程f(x，y)＝0的曲线上．( )(2)单位圆上的点的坐标是方程x2＋y2＝1的解．( )(3)方程y ＝1x 与方程y ＝1x(x >0)是同一条曲线的方程．( )[答案] (1)√ (2)× (3)×2．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2,1)( ) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上 B ．在直线l 上，也在曲线C 上 C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上 D ．不在直线l 上，但在曲线C 上B [将点M 的坐标代入直线l ，曲线C 的方程知点M 在直线l 上，也在曲线C 上．] 3．到两坐标轴距离之和为4的点M 的轨迹方程为( )【导学号：46342051】A ．x ＋y ＝4B ．x －y ＝4C ．|x ＋y |＝4D ．|x |＋|y |＝4D [点M (x ，y )到两坐标轴的距离分别为|x |和|y |，故选D.][合作探究·攻重难]题中正确的是 ( )A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是CB ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是C C ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上 (2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：①过点A (2,0)平行于y 轴的直线与方程|x |＝2之间的关系； ②到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy ＝5之间的关系； ③第二、四象限角平分线上的点与方程x ＋y ＝0之间的关系． [解析] (1)根据方程的曲线和曲线的方程的定义知A 、C 、D 错． [答案] (1)B(2)①过点A (2,0)平行于y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x |＝2的解，但以方程|x |＝2的解为坐标的点不一定都在过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上．因此|x |＝2不是过点A (2,0)平行于y 轴的直线的方程．②到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy ＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5.③第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0，反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上．因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.1．(1)已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么( )【导学号：46342052】A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0B ．凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上 C ．不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0D ．不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0 C [根据曲线的方程的定义知，选C ．] (2)已知方程x 2＋(y －1)2＝10.①判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；②若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值． [解] ①因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．②因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以x ＝m2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.[探究问题]1．求曲线方程为什么要首先“建立适当的坐标系”？如何建系？提示：只有建立了平面直角坐标系，才能用坐标表示点，才能把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹．建立坐标系时，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．2．在求出曲线方程后，为什么要说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上？提示：根据条件求出的方程，只满足“曲线上的点的坐标都是方程的解”，而没说明“以方程的解为坐标的点都在曲线上”，故应说明．在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：46342053】[思路探究]以线段AB的中点为原点，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，法一(直接法)：利用|AC|2＋|BC|2＝|AB|2求解．法二(定义法)：顶点C在以AB为直径的圆上．[解] 法一(直接法)：取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y)．由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．法二(定义法)：建立平面直角坐标系同法一因为AC⊥BC，则顶点C的轨迹是以AB为直径的圆(除去A，B两点)，因此顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)母题探究：1.(变条件)若本例题改为“一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．如何求解？”[解] 设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.则|8－x|＝2(x－2)2＋(y－0)2，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48.2．(变条件)若本例题改为“已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．”如何求解？[解] 如图，设OQ 为过O 点的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ ，设M 为OC 的中点，则M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.∵∠OPC ＝90°，∴动点P 在以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上，由圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(0<x ≤1)．m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程．[解] 设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)，则点N 的坐标为(0，y 0)．因为OQ →＝OM →＋ON →，即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)，则x 0＝x ，y 0＝y2.又点M 在圆C 上，所以x 20＋y 20＝4，即x 2＋y 24＝4.所以，动点Q 的轨迹方程是x 24＋y 216＝1.2．已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．[解] 设△ABC 的重心为G (x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)，由重心坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋0＋x 13，y ＝0－2＋y 13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2.代入y 1＝3x 21－1，得3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1. ∴y ＝9x 2＋12x ＋3即为所求轨迹方程．[当堂达标·固双基]1．若点M (m ，m )在曲线x －y 2＝0上，则m 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1或0 D ．0或1 D [由题意知m －m 2＝0，解得m ＝0或m ＝1，故选D.] 2．在直角坐标系中，方程|x |·y ＝1的曲线是( )【导学号：46342054】C [当x ＞0时，方程为xy ＝1， ∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1， ∴y ＞0，故在第二象限有一支图象．]3．已知等腰三角形ABC 底边两端点是A (－3，0)，B (3，0)，顶点C 的轨迹是( ) A ．一条直线 B ．一条直线去掉一点 C ．一个点 D ．两个点B [由题意知|AC |＝|BC |，则顶点C 的轨迹是线段AB 的垂直平分线(除去线段AB 的中点)，故选B.]4．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________．x 2＋y 2＝8 [设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.]5．动点M 与距离为2a 的两个定点A ，B 的连线的斜率之积等于－12，求动点M 的轨迹方程.【导学号：46342055】[解] 如图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－a,0)，B (a,0)．设M (x ，y )为轨迹上任意一点，则k MA ＝yx ＋a，k MB ＝yx －a(x ≠±a )．∵k MA ·k MB ＝－12，∴y x ＋a ·yx －a ＝－12，化简得：x 2＋2y 2＝a 2(x ≠±a )．∴点M 的轨迹方程为x 2＋2y 2＝a 2(x ≠±a )．。

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