浙江绍兴市诸暨市2017年高考数学二模试卷(含解析)

2017年浙江省绍兴市诸暨市高考数学二模试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．已知复数z 满足z （1+i ）=2i ，则z 的共轭复数等于（ ） A ．1+i B ．1﹣i C ．﹣1+i
D ．﹣1﹣i
2．“＞1”是“a＜1”的（ ） A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充要条件
D ．既不是充分条件，也不是必要条件
3．已知实数x ，y 满足，则目标函数z=x ﹣y 的最小值等于（ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．2
D ．1
4．二项式（x+）8
展开式的常数项等于（ ）
A ．C
B ．C
C ．24C
D ．22C
5．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，则下列四个命题中，错误的是（ ） A ．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{}的公差为的等差数列
B ．若数列{
}是公差为d 的等差数列，则数列{a n }是公差为2d 的等差数列
C ．若数列{a n }是等差数列，则数列的奇数项，偶数项分别构成等差数列
D ．若数列{a n }的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{a n }是等差数列
6．设双曲线
﹣
=1的左，右焦点分别是F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足∠PF 2F 1=2∠
PF 1F 2=60°，则此双曲线的离心率等于（ ）
A ．2
﹣2 B ． C ．
+1
D ．2+2
7．已知函数f （x ）=sin （2x+），将其图象向右平移，则所得图象的一条对称轴是（ ）
A ．x=
B ．x=
C ．x=
D ．x=
8．已知f （x ）=x 2+3x ，若|x ﹣a|≤1，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．|f （x ）﹣f （a ）|≤3|a|+3
B ．|f （x ）﹣f （a ）|≤2|a|+4
C ．|f （x ）﹣f （a ）|≤|a|+5
D ．|f （x ）﹣f （a ）|≤2（|a|+1）2
9．已知f（x）是定义在R上的单调递增函数，则下列四个命题：①若f（x0）＞x0，则f[f （x0）]＞x0；②若f[f（x0）]＞x0，则f（x0）＞x0；③若f（x）是奇函数，则f[f（x）]也是奇函数；④若f（x）是奇函数，则f（x1）+f（x2）=0⇔x1+x2=0，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个
10．已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长都相等，若AB与平面α所成角等于，则平面ACD 与平面α所成角的正弦值的取值范围是（）
A．[，] B．[，1] C．[﹣， +] D．[﹣，1]
二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）
11．已知A={x|﹣2≤x≤0}，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∪B= ，（∁R A）∩B= ．12．已知函数f（x）=x3﹣3x，函数f（x）的图象在x=0处的切线方程是；函数f （x）在区间[0，2]内的值域是．
13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的一条棱的长度= ，体积为．
14．已知实数x，y满足x2+y2﹣6x+8y﹣11=0，则的最大值= ，|3x+4y﹣28|的最小值= ．
15．用1，2，3，4，5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，其中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2（比如1524）的概率= ．
16．已知△ABC的面积为8，cosA=，D为BC上一点， =+，过点D做AB，AC 的垂线，垂足分别为E，F，则•= ．
17．已知函数f（x）=|x2+ax+b|在区间[0，c]内的最大值为M（a，b∈R，c＞0位常数）且存在实数a，b，使得M取最小值2，则a+b+c= ．
三、解答题（共5小题，满分74分）
18．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且=
（1）求A
（2）求cosB+cosC的取值范围．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD的一个侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，四边形
ABCD是平行四边形，AD=2，AB=4，BD=2
（1）求证；PA⊥BD
（2）求二面角D﹣BC﹣P的余弦值．
20．已知函数f（x）=xe x﹣a（x﹣1）（a∈R）
（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求a的值及f（x）的单调区间
（2）若存在实数x0∈（0，），使得f（x0）＜0，求实数a的取值范围．
21．如图，P（x0，y0）是椭圆+y2=1的上的点，l是椭圆在点P处的切线，O是坐标原点，OQ∥l与椭圆的一个交点是Q，P，Q都在x轴上方
（1）当P点坐标为（，）时，利用题后定理写出l的方程，并验证l确定是椭圆的切线；
（2）当点P在第一象限运动时（可以直接应用定理）
①求△OPQ的面积
②求直线PQ在y轴上的截距的取值范围．
定理：若点（x0，y0）在椭圆+y2=1上，则椭圆在该点处的切线方程为+y0y=1．
22．已知数列{a n}的各项都是正数，a1=1，a n+12=a n2+（n∈N*）
（1）求证：≤a n＜2（n≥2）
（2）求证：12（a2﹣a1）+22（a3﹣a2）+…+n2（a n+1﹣a n）＞﹣（n∈N*）
2017年浙江省绍兴市诸暨市高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．已知复数z满足z（1+i）=2i，则z的共轭复数等于（）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：由z（1+i）=2i，
得，
则z的共轭复数=1﹣i．
故选：B．
2．“＞1”是“a＜1”的（）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由＞1⇔a（a﹣1）＜0，解得0＜a＜1．即可判断出结论．
【解答】解：由＞1⇔a（a﹣1）＜0，解得0＜a＜1．
∴“＞1”是“a＜1”的充分不必要条件．
故选：A．
3．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值等于（）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可
【解答】解：由不等式组得到可行域如图：目标函数变形为y=x﹣z，当此直线经过图中B 时z最小，所以最小值为z=0﹣2=﹣2；
故选：B．
4．二项式（x+）8展开式的常数项等于（）
A．C B．C C．24C D．22C
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】先求出通项公式，再令x的指数为零，即可求出答案
【解答】解：二项式（x+）8展开式的通项公式为2r C8r x8﹣4r，
令8﹣4r=0，解得r=2，
则二项式（x+）8展开式的常数项等于22C82，
故选：D
5．已知数列{a n}的前n项和是S n，则下列四个命题中，错误的是（）
A．若数列{a n}是公差为d的等差数列，则数列{}的公差为的等差数列
B．若数列{}是公差为d的等差数列，则数列{a n}是公差为2d的等差数列
C．若数列{a n}是等差数列，则数列的奇数项，偶数项分别构成等差数列
D．若数列{a n}的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{a n}是等差数列
【考点】8F：等差数列的性质．
【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式进行分析，并作出判断．
【解答】解：A、若等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，前n项的和为S n，则数列{}为
等差数列，且通项为=a1+（n﹣1），即数列{}的公差为的等差数列，故说法正确；
B、由题意得： =a1+（n﹣1）d，所以S n=na1+n（n﹣1）d，则a n=S n﹣S n﹣1=a1+2（n﹣1）d，即数列{a n}是公差为2d的等差数列，故说法正确；
C、若数列{a n}是等差数列的公差为d，则数列的奇数项，偶数项都是公差为2d的等差数列，说法正确；
D、若数列{a n}的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{a n}不一定是等差数列，例如：{1，4，3，6，5，8，7}，说法错误．
故选：D．
6．设双曲线﹣=1的左，右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线上，且满足∠PF2F1=2∠PF1F2=60°，则此双曲线的离心率等于（）
A．2﹣2 B．C． +1 D．2+2
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】根据点P为双曲线上一点，且∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，可得|PF1|=c，|PF2|=c，利用双曲线的定义，可求双曲线的离心率．
【解答】解：设双曲线的焦距长为2c，
∵点P为双曲线上一点，且∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，
∴P在右支上，∠F2PF1=90°，
即PF1⊥PF2，|PF1|=2csin60°=c，|PF2|=2ccos60°=c，
∴由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=（﹣1）c=2a，
∴e===+1．
故选：C．
7．已知函数f （x ）=sin （2x+），将其图象向右平移，则所得图象的一条对称轴是（ ）
A ．x=
B ．x=
C ．x=
D ．x=
【考点】HJ ：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．
【分析】求出函数y=f （x ）图象向右平移后的函数的解析式，由正弦曲线的对称性，得函数的对称轴方程，通过k 去0，即得本题答案．
【解答】解：设f （x ）=sin （2x+），得图象向右平移
个单位后，
得到的表达式为f （x ﹣）=sin[2（x ﹣）+
]=sin （2x ﹣
）
对于函数y=sin （2x ﹣
），令2x ﹣
=
+k π，得x=k π+
，k ∈Z
∴变换后的函数图象的对称轴方程为：x=k π+，k ∈Z
取k=0，得x=，
故选：C ．
8．已知f （x ）=x 2
+3x ，若|x ﹣a|≤1，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．|f （x ）﹣f （a ）|≤3|a|+3
B ．|f （x ）﹣f （a ）|≤2|a|+4
C ．|f （x ）﹣f （a ）|≤|a|+5
D ．|f （x ）﹣f （a ）|≤2（|a|+1）2
【考点】3H ：函数的最值及其几何意义．
【分析】结合二次函数的图象可知，当f （x ）在区间[a ﹣1，a+1]单调时，|f （x ）﹣f （a ）|的最大值为|f （a+1）﹣f （a ）|或|f （a ﹣1）﹣f （a ）|，从而得出结论． 【解答】解：∵|x ﹣a|≤1，∴a ﹣1≤x ≤a+1， ∵f （x ）是二次函数，
∴f （x ）在区间[a ﹣1，a+1]上单调时，|f （x ）﹣f （a ）|取得最大值为|f （a+1）﹣f （a ）|或|f （a ﹣1）﹣f （a ）|，
而|f （a+1）﹣f （a ）|=|（a+1）2
+3（a+1）﹣a 2
﹣3a ）|=|2a+4|≤2|a|+4，
|f （a ﹣1）﹣f （a ）|=|（a ﹣1）2+3（a ﹣1）﹣a 2﹣3a|=|﹣2a ﹣2|=|2a+2|≤2|a|+2． ∴|f （x ）﹣f （a ）|≤2|a|+4， 故选B ．
9．已知f（x）是定义在R上的单调递增函数，则下列四个命题：①若f（x0）＞x0，则f[f （x0）]＞x0；②若f[f（x0）]＞x0，则f（x0）＞x0；③若f（x）是奇函数，则f[f（x）]也是奇函数；④若f（x）是奇函数，则f（x1）+f（x2）=0⇔x1+x2=0，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】2K：命题的真假判断与应用．
【分析】①，由f（x）是定义在R上的单调递增函数，若f（x0）＞x0，则f[f（x0）]＞f （x0）＞x0，；
②，若f（x0）≤x0，由f（x）是定义在R上的单调递增函数得f[f（x0）]≤f（x0）≤x0与已知矛盾；
③，由奇函数的性质及判定得f[f（﹣x）]=f[﹣f（x）]=﹣f[f（﹣x）]，即可判定；
④，若f（x1）+f（x2）=0，则f（x1）=﹣f（x2）⇒x1=﹣x2⇒x1+x2=0；若x1+x2=0⇒x1=﹣x2⇒f（x1）=f（﹣x2）=﹣f（x2）⇒f（x1）+f（x2）=0
【解答】解：对于①，∵f（x）是定义在R上的单调递增函数，若f（x0）＞x0，则f[f（x0）]＞f（x0）＞x0，故①正确；
对于②，当f[f（x0）]＞x0时，若f（x0）≤x0，由f（x）是定义在R上的单调递增函数得f[f（x0）]≤f（x0）≤x0与已知矛盾，故②正确；
对于③，若f（x）是奇函数，则f[f（﹣x）]=f[﹣f（x）]=﹣f[f（﹣x）]，∴f[f（x）]也是奇函数，故③正确；
对于④，当f（x）是奇函数，且是定义在R上的单调递增函数时，若f（x1）+f（x2）=0，则f（x1）=﹣f（x2）⇒x1=﹣x2⇒x1+x2=0；
若x1+x2=0⇒x1=﹣x2⇒f（x1）=f（﹣x2）=﹣f（x2）⇒f（x1）+f（x2）=0，故④正确；
故选：A
10．已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长都相等，若AB与平面α所成角等于，则平面ACD 与平面α所成角的正弦值的取值范围是（）
A．[，] B．[，1] C．[﹣， +] D．[﹣，1] 【考点】MT：二面角的平面角及求法．
【分析】由题意求出AB与平面ACD所成角的正弦值和余弦值，然后分类求出平面ACD与平
面α所成角的正弦值的最小值与最大值得答案．
【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD的所有棱长都相等，
∴三棱锥A﹣BCD为正四面体，如图：
设正四面体的棱长为2，取CD中点P，连接AP，BP，
则∠BAP为AB与平面ADC所成角．
AP=BP=，可得sin，cos∠BAP=．
设∠BAP=θ．
当CD与α平行且AB在面ACD外时，平面ACD与平面α所成角的正弦值最小，
为sin（）=sin=；
当CD与α平行且AB在面ACD内时，平面ACD与平面α所成角的正弦值最大，
为sin（）=sin cos=．
∴平面ACD与平面α所成角的正弦值的取值范围是[，]．
故选：A．
二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）
11．已知A={x|﹣2≤x≤0}，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∪B= [﹣2，2] ，（∁R A）∩B= （0，2] ．
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．
【分析】运用二次不等式的解法可得集合B，求出A的补集，运用交集和并集的定义，即可得到所求集合．
【解答】解：A={x|﹣2≤x≤0}，
B={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}，
∁R A={x|x＞0或x＜﹣2}，
则A∪B={x|﹣2≤x≤2}=[﹣2，2]；
（∁R A）∩B={x|0＜x≤2}=（0，2]．
故答案为：[﹣2，2]，（0，2]．
12．已知函数f（x）=x3﹣3x，函数f（x）的图象在x=0处的切线方程是y=﹣3x ；函数f（x）在区间[0，2]内的值域是[﹣2，2] ．
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，求解切线方程，判断函数的单调性，然后求解在闭区间上的最值．
【解答】解：函数f（x）=x3﹣3x，切点坐标（0，0），导数为：y′=3x2﹣3，切线的斜率为：﹣3，
所以切线方程为：y=﹣3x；
3x2﹣3=0，可得x=±1，x∈（﹣1，1），y′＜0，函数是减函数，x∈（1，+∞），y′＞0函数是增函数，
f（0）=0，f（1）=﹣2，f（2）=8﹣6=2，
函数f（x）在区间[0，2]内的值域是：[﹣2，2]．
故答案为：y=﹣3x；[﹣2，2]．
13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的一条棱的长度= 2，体积为
．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】如图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC．其中PA⊥底面ABC，PA=2，底面△ABC是边长为2的等边三角形．
【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC．其中PA⊥底面ABC，PA=2，
底面△ABC是边长为2的等边三角形．
该几何体最长的一条棱的长度为PA或PC==2，
体积V==．
故答案为：2，．
14．已知实数x，y满足x2+y2﹣6x+8y﹣11=0，则的最大值= 11 ，|3x+4y﹣28|的最小值= 5 ．
【考点】J9：直线与圆的位置关系；QK：圆的参数方程．
【分析】化圆的一般方程为标准方程，可得x﹣3=6cosθ，y+4=6sinθ，分别代入
与|3x+4y﹣28|，然后利用辅助角公式化简求最值．
【解答】解：化方程x2+y2﹣6x+8y﹣11=0为（x﹣3）2+（y+4）2=36．
令x﹣3=6cosθ，y+4=6sinθ，
则x=3+6cosθ，y=﹣4+6sinθ，
∴==（tanα=）．
∴的最大值为；
|3x+4y﹣28|=|9+18cosθ﹣16+24sinθ﹣28|=|24sinθ+18cosθ﹣35|=|30sin（θ+β）﹣35|（tanβ=）．
∴|3x+4y﹣28|的最小值为|30﹣35|=5．
故答案为：11，5．
15．用1，2，3，4，5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，其中千位上是奇数，且相
邻两位上的数之差的绝对值都不小于2（比如1524）的概率= ．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】先求出基本事件总数n=，再利用列举法求出千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2包含的基本事件的个数，由此能求出千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2（比如1524）的概率．
【解答】解：用1，2，3，4，5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，
基本事件总数n=，
其中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2包含的基本事件有：1352，1425，1524，3142，3524，3514，3152，5241，5314，5142，共10个，
∴千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2（比如1524）的概率：
p==．
故答案为：．
16．已知△ABC的面积为8，cosA=，D为BC上一点， =+，过点D做AB，AC
的垂线，垂足分别为E，F，则•= ﹣．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据题意，利用△ABC的面积求出||•||的值，再利用=+求出D 是BC的四等分点，计算S△ABD和S△ACD的值，求||•||•||•||的值，从而求出| |•||的值，计算数量积•的值．
【解答】解：如图所示，
△ABC中，cosA=，∴sinA==；
∴S△ABC=||•||sinA=||•||•=8，
即||•||=20；
设=λ，λ∈（0，1），
则=+=+λ（﹣）=（1﹣λ）+λ，
又=+，∴λ=；
∴====3，
∴S△ABD=||•||=×8=6，
∴||•||=12；
又S△ACD=||•||=2，
∴||•||=4；
∴||•||•||•||=48，
∴||•||==，
∴•=||•||•cos=×（﹣）=﹣．
故答案为：﹣．
17．已知函数f（x）=|x2+ax+b|在区间[0，c]内的最大值为M（a，b∈R，c＞0位常数）且存在实数a，b，使得M取最小值2，则a+b+c= 2 ．
【考点】3H：函数的最值及其几何意义．
【分析】函数y=x2+ax+b是二次函数，可得函数f（x）=|x2+ax+b|在区间[0，c]内的最大值在端点处或x=﹣处取得．
分别讨论即可得到a+c=0，b=2，可得a+b+c=2．
【解答】解：函数y=x2+ax+b是二次函数，
∴函数f（x）=|x2+ax+b|在区间[0，c]内的最大值为M在端点处或x=﹣处取得．
若在x=0处取得，则b=±2，
若在x=﹣处取得，则，
若在x=c处取得，则|c2+ac+b|=2．
若b=2，则顶点处的函数值不为2，应为0，符合要求，
若b=﹣2则顶点处的函数值的绝对值大于2，不成立．
由此推断b=，即有b=2，则a+c=0，
可得a+b+c=2．
故答案为：2．
三、解答题（共5小题，满分74分）
18．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且=
（1）求A
（2）求cosB+cosC的取值范围．
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：b2+c2﹣a2=﹣bc，由余弦定理可求cosA，结合A∈（0，π），可得A的值．
（2）由（1）得：C=﹣B，利用三角函数恒等变换的应用化简可求cosB+cosC=sin（B+），
由B∈（0，），可得：B+∈（，），由正弦函数的图象和性质即可得解．
【解答】（本题满分为14分）
解：（1）∵=，
∴由正弦定理可得： =，可得：b2+c2﹣a2=﹣bc，
∴由余弦定理可得：cosA===﹣，
∴由A∈（0，π），可得：A=…6分
（2）∵A=，可得：C=﹣B，
∴cosB+cosC=cosB+cos（﹣B）=cosB+sinB=sin（B+），
∵B∈（0，），可得：B+∈（，），
∴cosB+cosC=sin（B+）∈（，]…14分
19．如图，四棱锥P﹣ABCD的一个侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，四边形
ABCD是平行四边形，AD=2，AB=4，BD=2
（1）求证；PA⊥BD
（2）求二面角D﹣BC﹣P的余弦值．
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LX：直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）由面面垂直的性质得BD⊥面PAD，即可证得DB⊥PA．
（2）二面角D﹣BC﹣P的余弦值即二面角A﹣BC﹣P的余弦值，作PO⊥AD于O，则PO⊥面ABCD．过O作OE⊥BC于E，连接PE，则∠PEO为二面角A﹣BC﹣P的平面角，在△PEO中，
求得cos∠PEO=，即可得二面角D﹣BC﹣P的余弦值
【解答】解：（1）在△ABD中，AD⊥DB，
由平面PAD⊥平面ABCD，∴BD⊥面PAD，∴DB⊥PA．
（2）二面角D﹣BC﹣P的余弦值即二面角A﹣BC﹣P的余弦值，
作PO⊥AD于O，则PO⊥面ABCD．
过O作OE⊥BC于E，连接PE，则∠PEO为二面角A﹣BC﹣P的平面角．
又△PEO中，PO=，OE=DB=2，故PE=，
cos∠PEO=，
∴二面角D﹣BC﹣P的余弦值为．
20．已知函数f（x）=xe x﹣a（x﹣1）（a∈R）
（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求a的值及f（x）的单调区间
（2）若存在实数x0∈（0，），使得f（x0）＜0，求实数a的取值范围．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（1）求出函数的导数，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为a＜在x∈（0，）上有解，设h（x）=，x∈（0，），根据函数的单调性求出a的范围即可．
【解答】解：（1）f′（x）=（x+1）e x﹣a，
由f′（0）=0，解得：a=1，
故f′（x）=（x+1）e x﹣1，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；
（2）若f（x）＜0在x∈（0，）上有解，
即xe x＜a（x﹣1），a＜在x∈（0，）上有解，
设h（x）=，x∈（0，），
则h′（x）=＜0，
故h（x）在（0，）递减，
h（x）在（0，）的值域是（﹣，0），
故a＜h（0）=0．
21．如图，P（x0，y0）是椭圆+y2=1的上的点，l是椭圆在点P处的切线，O是坐标原点，OQ∥l与椭圆的一个交点是Q，P，Q都在x轴上方
（1）当P点坐标为（，）时，利用题后定理写出l的方程，并验证l确定是椭圆的切线；
（2）当点P在第一象限运动时（可以直接应用定理）
①求△OPQ的面积
②求直线PQ在y轴上的截距的取值范围．
定理：若点（x0，y0）在椭圆+y2=1上，则椭圆在该点处的切线方程为+y0y=1．
【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由定理求得切线方程，代入椭圆方程，由△=0，则直线l：x+y=2是在P点的椭圆的切线；
（2）①由定理求得P点的切线方程，即可求得OQ的方程，代入椭圆方程，即可求得Q点坐标，即可求得丨OQ丨，则l与直线OQ之间的距离d，即可求得△OPQ的面积；
②由k PQ=k PM，即可求得m，由3=x02+3y02＜（x0+y0）2≤2（x02+3y02）=6，即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）由点（x0，y0）在椭圆+y2=1上，则椭圆在该点处的切线方程为+y0y=1．
若P（，），则，整理得：直线l：x+y=2，
由，整理得：4x2﹣12x+9=0，
△=（12）2﹣4×4×9=0，
∴直线l ：x+y=2是椭圆的切线；
（2）①设P （x 0，y 0），则x 02+3y 02=1，且切线l ：
+y 0y=1．
则OQ ：x 0x+3y 0y=0，，解得：，
由Q 在x 轴上方，则Q （﹣y 0， x 0），
则丨OQ 丨==，
由l 与直线OQ 之间的距离d=，
由△OPQ 的面积S=×丨OQ 丨×d=，
②设直线PQ 交y 轴点M （0，m ），由P （x 0，y 0），Q （﹣
y 0，
x 0），x 0x+3y 0y=0，
由k PQ =k PM ，则=，
则m=y 0﹣=，
3=x 02+3y 02＜（x 0+y 0）2≤2（x 02+3y 02）=6，
故m=∈[
，1）．
22．已知数列{a n }的各项都是正数，a 1=1，a n+12=a n 2+（n ∈N *）
（1）求证：≤a n ＜2（n ≥2）
（2）求证：12（a 2﹣a 1）+22（a 3﹣a 2）+…+n 2（a n+1﹣a n ）＞﹣（n ∈N *） 【考点】R6：不等式的证明；8E ：数列的求和．
【分析】（1）由条件得a n 2﹣a n ﹣12≥
，a n ﹣12﹣a n ﹣22≥
，…，a 32﹣a 22≥
，
各式累加后放缩得出结论；
（2）由条件得n 2
（a n+1﹣a n ）=
=﹣＞﹣﹣
，各式累加后放缩得出结论．
【解答】证明：（1）∵a n ＞0，a n+12=a n 2+，∴a n+1＞a n ，
∴{a n }是递增数列．
由a 1=1，得a 2=
，
当n ≥2时，a n+12
﹣a n 2
=≥，
∴a n 2﹣a n ﹣12≥，a n ﹣12﹣a n ﹣22≥，…，a 32﹣a 22≥，
以上各式相加得：a n 2﹣a 22≥（++…+），
而++…+
≥
+
+…+
=（
+
+…
﹣
）
=
，
∴a n 2﹣2≥，即a n 2≥2+，
∴a n ≥
，
又a n+12=a n 2+=（a n +）2﹣＜（a n +）2，
∴a n+1＜a n +，即a n+1﹣a n ＜，
∴a n ﹣a n ﹣1＜
，a n ﹣1﹣a n ﹣2＜
，…，a 3﹣a 2＜，a 2﹣a 1＜，
以上各式相加得：a n ﹣a 1＜（
+
+…+
）＜
（1+
+
+…+
）=（2﹣
）＜1，
∴a n ＜a 1+1=2．
（2）∵a n+12=a n 2+
，
∴n2（a n+12﹣a n2）=a n，
∴n2（a n+1﹣a n）==﹣，
又a n+1﹣a n=＜，
∴n2（a n+1﹣a n）=﹣＞﹣﹣，
∴12（a2﹣a1）+22（a3﹣a2）+…+n2（a n+1﹣a n）＞﹣（+++…+）
＞﹣（1+++…+）=﹣（1+1﹣）＞﹣．。