矩阵论简明教程(徐仲等编著)思维导图

1.1 Eigenvalues and eigenvectors

2、特征多项式 characteristic polynomial 定义2
设A Cnn , 称 I A为A的特征矩阵，称det I A 为A的特征多项式,称det I A 0为A的特征方程.
Remark
1 I A = - a11 a22
定理6
设A Cmn , B Cnm ,则 tr AB tr BA .
Remark
设A Cmn , B Cnm ,则
n det I m AB m det I n BA .
特别地，若m n, 则det In AB det I n BA.
, xiri 是对应特征值i的线性无关的特征向量,则向量组也线性无关.
定理5
设n 阶方阵A aij
1 1 +2 + +n a11 a22 ann ; 2 12 n det A; 3 AT的特征值仍为1，2，，n , 而AH的特征值是
n
ann
n 1
+
+ -1 A ；
n
2 A的特征值就是A的特征方程的根； 3 n 阶方阵A在复数范围内一定有n个特征值.
3、特征值与特征向量的求法
设A Cnn .
1 求 det I A 0的n个根1 , 2 ,

线性代数考研复习思维导图——矩阵代数

=1 X
A
A(BC)=(AB)C
(A+B)C=AC+BC
C(A+B)=CA+CB
k
(kA)B=A(kB)
0
AB AB Ak
*A l
E (E+A)(E+A)=E*exp(2)+2A+A*exp(2)
k
=0
|A|=0
AXA=0ĺ|A|X|A|=0|A|=0
En
E
k=
X
A Ak
n-1 A
A
ad-bc=0ĺa/b=c/d
A
AX=B X XA=B
An
A,B
n
B
AB=BA=E
A
BA
0 A*XA=|A|XE
A
B
A+B
n
A
A
mn =0
ĺ =0
:A+B=B+A :A+(B+C)=(A+B)+C
A
A+0=0+ຫໍສະໝຸດ Baidu=A
A
-A
A+(-A)=0
n
1A=A,0A=0
kl
AB
k(lA)=(kl)A k(A+B)=kA+kB
(k+l)A=kA+lA

徐仲矩阵论简明教程习题答案

习题一

1. 设λ为的任一特征值,则因 λλ22- 为A =-A 22

O 的特征值, 故022=-λλ. 即 λ=0或2.

2. A ～B , C ～D 时, 分别存在可逆矩阵P 和Q , 使得 P 1

-AP =B , Q

1

-CQ =D .令

T =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛Q O O P 则 T 是可逆矩阵,且

T 1

-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C O O A T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--Q O O P C O O A Q O O P 11=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛D O O B 3. 设i x 是对应于特征值i λ的特征向量, 则 A i x =i λi x , 用1

-A 左乘得 i i i x A x 1-λ=.即

i i i x x A 1

1--λ= 故

1-i λ是A 的特征值, i =1,2,, n .

4. (1) 可以. A E -λ=)2)(1)(1(-+-λλλ,

=P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--104003214, ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-2111

AP P .

(2) 不可以.

(3) ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=110101010P , ⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=-1221

AP P . 5. (1) A 的特征值是0, 1, 2. 故A =－(b －a )2

=0. 从而 b =a .又

1

11

1

-λ----λ----λ=-λa a a

a A I =)223(22+---a λλλ 将λ=1, 2 代入上式求得 A =0.

(2) P =⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-101010101.

6. A I -λ=)1()2(2+-λλ, A 有特征值 2, 2, －1.

矩阵论(徐仲)简明教程习题答案

习
题一
即
1. 设 λ 为的任一特征值,则因 λ2 − 2λ 为 A 2 −2 A = O 的特征值, 故 λ2 − 2λ = 0 . λ =0 或 2. 2. A～B, C～D 时, 分别存在可逆矩阵 P 和 Q, 使得 P −1 AP=B, Q −1 CQ=D.令 ⎛ P O⎞ T= ⎜ ⎜O Q ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 则 T 是可逆矩阵,且
⎛ A O ⎞ ⎛ P −1 O ⎞⎛ A O ⎞⎛ P O ⎞ ⎛ B O ⎞ ⎟⎜ T −1 ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ =⎜ ⎜O C ⎟ ⎟ T= ⎜ ⎜ −1 ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ O Q ⎠⎝ O C ⎠⎝ O Q ⎠ ⎝ O D ⎠ 3. 设 xi 是对应于特征值 λi 的特征向量 , 则 A x i = λi xi , 用 A−1 左乘得 x i = λ i A −1 x i .即
由此求出特征向量 p 2 =( －2, 1, 0) T , p 3 =(2, 0, 1) T . 单位化后得 e 2 =( −
2 , 5
1 , 0) T , 5
⎛ 1 2 2 ⎞ ⎜− − ⎟ 5 3 5⎟ ⎜ 3 ⎛10 ⎞ ⎜ ⎟ 2 4 5 T 1 4 ⎟ ⎜ 2 −1 e 3 =( , , ) . 令 U= ⎜ − , 则 U AU = 1 ⎜ ⎟. ⎟ 3 3 5 3 5 3 5 5 3 5 ⎜ ⎜ 2 1⎟ ⎝ ⎠ 5 ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎜ 3 ⎟ 3 5⎠ ⎝ (2) A 是 Hermit 矩阵 . 同理可求出相似变换矩阵 ⎛ 1 1 ⎞ − ⎜ 0 ⎟ 2 2⎟ ⎜ ⎛0 ⎞ ⎜ ⎟ i i⎟ ⎜ i −1 U= ⎜ − − ⎟ , U AU= ⎜ 2 ⎟. 2 2 2 ⎜ ⎜ 1 − 2⎟ ⎝ ⎠ 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2⎠ ⎝ 2 13. 若 A 是 Hermit 正定矩阵,则由定理 1.24 可知存在 n 阶酉矩阵 U, 使得 ⎛ λ1 ⎞ ⎛ λ1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ λ2 λ2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ H H U AU= ⎜ , λi ﹥0, I=1, 2, ⋯, n.于是 A=U ⎜ ⎟ ⎟U ⋱ ⋱ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ λn ⎟ λn ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ λ1 ⎞ ⎛ λ1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ H ⎜ ⎟ H λ2 λ2 = U⎜ 令 ⎟U U⎜ ⎟U ⋱ ⋱ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ λ λ n ⎠ n ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ λ1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ H λ2 B= U ⎜ ⎟U ⋱ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ λ n ⎠ ⎝ t 则 A=B 2 .反之 ,当 A=B 2 且 B 是 Hermit 正定矩阵时 ,则因 Hermit 正定矩阵的乘积仍为 Hermi Hermit 正定矩阵 ,故 A 是 Hermit 正定的. 14. (1) ⇒ (2). 因 A 是 Hermit 矩阵,则存在酉矩阵 U,使得 U H AU=diag( λ1 , λ2 ,⋯, λn ) 令 x=Uy, 其中 y=e k . 则 x ≠ 0. 于是 x H Ax=y H (U H AU)y= λk ≧0 (k=1, 2, ⋯ , n).

矩阵论PPT

为正.
第二章：范数理论
§2.1 向量范数
定义: 若对任意 x Cn都有一个实数 x 与之对应,
且满足
(1) 当 x 0时, x 0. 当 x 0 时, x 0.
(2) 对任何 C, x x .
(3) 对任意 x, y C n ,都有 x y x y .
则称 x 为 C n上向量 x 的范数.
定理 1.21: 设 A, B C nn.
(1) 若 A是酉矩阵, 则 A1也是酉矩阵. (2) 若 A, B是酉矩阵, 则 AB也是酉矩阵.
(3) 若 A是酉矩阵, 则 det A 1
(4) A是酉矩阵的充要条件是: 它的 n 个列向量是两
两正交的单位向量.
§1. 6 酉相似下的标准形
定理 1.22 (Schur): 设 A C nn , 则 A 可酉相似于上三角矩阵 T , 即存在 n 阶酉矩阵 U , 使得
1
1
n k k n k p p n k q q ,
k 1
k1
k1
其中 p 1, q 1, 且 1 1 1.
pq
定理 2.3: 设 x 1,2, ,n T Cn, 则
lim x x
p p
• 从已知的某种向量范数导出另一种向量范数的方
法.
定理
2.4:
设
A
C mn n
,

矩阵论同步学习辅导张凯院西北工业大学出版社

矩阵论同步学习辅导(习题与试题精解)

张凯院徐仲编

西北工业大学出版社

图书在版编目(CIP) 数据

矩阵论同步学习辅导/ 张凯院,徐仲编. —西安: 西北工业大学出版社,2002. 8

ISBN7-5612-1542-8

Ⅰ. 矩⋯Ⅱ. ①张⋯②徐⋯Ⅲ. 矩阵-理论-高等学校-教学参考资料Ⅳ. 0151. 21

中国版本图书馆CIP数据核字( 2002 )第062114 号

出版发行: 西北工业大学出版社

通信地址: 西安市友谊西路127 号邮编: 710072 电话: 029 - 8493844

网址: ht tp: / / www. nwpup. com

印刷者: 印刷厂

开本: 850×1 168mm1/32

印张:

字数:

版次: 2002 年8 月第1 版2002 年8 月第1 次印刷

印数: 1～

定价: 元

【内容简介】本书由两部分内容组成。第一部分按照程云鹏等编的研究生教材《矩阵论》(第2 版)的自然章节,对矩阵论课程的基本概念、主要结论和常用方法做了简明扼要的分类总结, 对各章节的课后习题做了详细的解答; 第二部分收编了近年来研究生矩阵论课程的考试试题12 套和博士入学考试试题3 套,并做了详细的解答。

本书叙述简明,概括性强。可作为理、工科研究生和本科高年级学生学习矩阵论课程的辅导书,也可供从事矩阵论教学工作的教师和有关科技工作者参考。

—Ⅳ—

前言

矩阵论是高等学校和研究院、所面向研究生开设的一门数学基础课。作为数学的一个重要分支,矩阵理论具有极为丰富的内容;作为一种基本工具,矩阵理论在数学学科以及其他科学技术领域都有非常广泛的应用。因此,学习和掌握矩阵的基本理论与方法, 对于研究生来说是必不可少的。

第2章-戴华-矩阵论

z
例
f ( x) = x 2 + 2 x + 3，则f ( A) = A2 + 2 A + 3I , 0 0⎤ ⎡6 0 0⎤ 1 0 ⎥ 时，f ( A) = ⎢ 0 6 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0 1⎥ ⎢ ⎦ ⎣0 0 6⎥ ⎦ −2 ⎤ ⎡ 0 −12 ⎤ 时， f ( A) = ⎢ ⎥ 3⎥ 18 12 ⎦ ⎣ ⎦
(− A )(α ) = −A (α ), ∀α ∈ V1
z z z z
z
例例例
y=x2不是线性映射 y=x+1不是线性映射
z
z
⎡ y1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ 2 3 线性映射A: P → P , y=A(x), y = ⎢ y2 ⎥ , x = ⎢ ⎥ x2 ⎦ ⎣ ⎢ ⎣ y3 ⎥ ⎦ y1=2x1+3x2 y2=4x1+6x2 y3=2x1+3x2
z
因为α ≠ 0，所以(λ I − A)α = 0有非零解。该方程有非零解的充分必要条件是系数矩阵行列式为零，即
λI − A = 0
求解上式可得特征值λ，再将得到的λ 代入(λ I − A)α = 0可解得特征向量α
z
例
⎡ 1 −2 ⎤ A=⎢ ⎥ ⎣2 1 ⎦ λ −1 2 首先，解方程 λ I − A = = λ 2 − 2λ + 5 = 0，得到两个特 −2 λ − 1

矩阵论简明教程(整理全)

1
x1
Dn
x
2 1
M
x n1 1
1L
x2 L
x
2 2
L
MO
x n1 2
L
1
x n
x
2 n
(xj xi)
1i jn
M
x n1 n
§1.3 矩阵的秩
一、矩阵秩的定义及基本性质 1、秩的定义
1 r a n k A r
A 的行向量组的极大线性无关组中向量的个数
Bs1
Bs2
L
Bsr
A11B11 A12B12 L A1r B1r
则, ABA21B21
A22B22 L
A2r
B2r
,
M
M O M
As1Bs1
As2Bs2 L
Asr
Bsr
2、数乘
A11 A12 L A1r
A11 A12 L A1r
设 AA21 A22 L A2r，则 AA21 A22 L A2r
矩阵论
教材：矩阵论简明教程（第二版）
徐仲，张凯院，陆全，冷国伟编著科学出版社
第一章矩阵的基础知识
§1.1 矩阵的运算 §1.2 方阵的行列式 §1.3 矩阵的秩 §1.4 特殊矩阵类
§1.1 矩阵的运算
一、矩阵的概念 1、数集 R—实数集，C—复数集 2、矩阵的记号

矩阵论课程学习指南

《矩阵论》课程学习指南

The theory of matrices

任课教师

课程基本信息：选修课程

课程编码：

课程名称：矩阵论（The theory of matrices）

授课教师：

授课对象：计算数学研究生

授课地点：

授课时间：第三学期

授课形式：课堂讲授与课堂讨论

联系方式：

课程教材：

1.程云鹏张凯院徐仲，《矩阵论（第3版）》，西北工业大学出版社，2006年

课程简介：

矩阵理论在数学及其他科学技术领域如数值分析、最优化理论、多元统计分析、运筹学、控制、力学、电学、管理科学与工程等学科中都有十分重要的作用，越来越引起人们的重视。矩阵不仅表述简洁，易于理解，而且具有适合计算机数值计算的特点。因此，矩阵理论是从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。通过本课程的学习，掌握矩阵论的基本概念，基本理论和基本运算，全面了解若干特殊矩阵的标准形及其基本性质。通过学习使学生能将向量空间及其变换的问题化为矩阵问题,用矩阵运算加以解决.

课程说明：

1. 教学方式：课堂讲授＋课堂讨论+课后实践

2．考核方式：期末考试+课堂讨论+出勤情况

学期总评成绩（100%）=出勤（10%）+课堂讨论（30%）+期末考试（60%）

3.实验、实习、作业要求: 每次课后安排阅读作业，提交学习笔记；课堂发言与小组讨论。

教学进度与教学内容概览

主要内容及学时安排：

第一章：线性空间与线性变换(4学时)

·重点内容：特征值和特征向量、正交矩阵

·第一节线性空间

·第二节线性变换及其矩阵

·第三节两个特殊的线性空间

第二章：范数理论及其应用(6学时)

第1章线性空间与线性变换

所以所求坐标分别为 (1, 0, 0)T , (2,1, 0)T , (4, 4,1)T 和 (23,18, 4)T .
矩阵分析简明教程
定理1.1.1 数域 F 上的线性空间 V 中的任意向量在给定基下的坐标是唯一的。
定理1.1.2 （基的扩张定理）数域 F 上的 n 维线性空间 V 中的任意一个线性无关向量组
的基,并求 1,2,3 及在此基下的坐标。
矩阵分析简明教程
分析：容易验证 1, 2, 3 线性无关，因此
也是 P[x]3 的基。又
1 11 0 ( x 2) 0 ( x 2)2 1 1 0 2 0 3 2 2 1 1 ( x 2) 0 ( x 2)2 2 1 1 2 0 3 3 4 1 4 ( x 2) 1 ( x 2)2 4 1 4 2 1 3 23 1 18 ( x 2) 4 ( x 2)2 23 1 18 2 4 3
矩阵分析简明教程
第一章线性空间与线性变换
矩阵分析简明教程
§1.1、线性空间的基本概念
线性空间是线性代数最基本的概念之一，是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。
线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉的一般运算，也可以是各种特殊的运算。

矩阵论简明教程整理全PPT课件

t k 1
Aik Bkj
i 1, 2, , s; j 1, 2, , r
4、转置与共轭转置
A11 A12
设
A
A21
A22
As1 As2
A1r
A2r
, 则AT
A1T1 A1T2
A2T1 A2T2
Asr
A1Tr A2Tr
AsT1 AsT2
AsTr
第10页/共188页
AH
k
ei
e
H j
E ei , ej , k
第45页/共188页
Remark
det E u,v, det In uvH det 1 vHu
1 vHu (由n Im AB m In BA 得到）
第46页/共188页
四、其他特殊矩阵
1幂零矩阵：Ak 0, k : 某正整数; 2幂等矩阵：A2 A; 3 实对称正定矩阵：
A
rank
A 0
rank
A B
4 rank A rank A 0 rank A AB rank AB;
rank
B
rank
B 0
rank
B AB
rank
AB
第29页/共188页
定理1
1设A, B Cmn ,则 rank A B rank A rank B; 2设A Cmn , B Cnk ,则 rank A rank B n rank AB

矩阵学习心得体会

篇一：

在线性代数的基本知识基础上，我通过矩阵的学习，系统地掌握了矩阵的基本理论和基本方法，进一步深化和提高矩阵的理论知识，掌握各种矩阵分解的计算方法，了解矩阵的各种应用，其主要内容包括矩阵的基本理论，矩阵特征值和特征向量的计算,矩阵分解及其应用，矩阵的概念，了解单位阵、对角距阵、三角矩阵、零矩阵、数量矩阵、对角距阵等。这些内容与方法是许多应用学科的重要工具。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。

我通过学习得知，矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的，而矩阵本身所具有的性质是依赖于元素的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。

矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线

性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。

矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。

矩阵这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统（有深圳网域提出）等等。

矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1801年德国数学家高斯把一个线性变换的全部系数作为一个整体。1844年，德国数学家爱森斯坦讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家西尔维斯特首先使用矩阵一词。1858年，英国数学家凯莱发表《关于矩阵理论的研究报告》。他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、两矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、两个矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等。并且凯莱还注意到矩阵的乘法是可结合的，但一般不可交换，且m*n矩阵只能用n*k矩阵去右乘。1854年，法国数学家埃米尔特使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由德国数学家费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。